Тема 3. Методы определения усилий от подвижной нагрузки

Тема 3. Методы определения усилий от подвижной нагрузки
Лекция 3.7. Линии влияния
3.7.1. Понятие о линиях влияния
При расчете сооружений часто приходится иметь дело с подвижной
нагрузкой различных видов.
Какая же нагрузка считается подвижной?
Подвижной нагрузкой называется такая нагрузка, которая непрерывно
меняет свое положение на сооружении, т. е. перемещается по нему с
некоторой скоростью.
Например, движение автомобиля или поезда по мосту, движение
тележки крана с грузом по подрановой балке или стрелке крана.
Что представляет собой подвижная нагрузка?
Подвижная нагрузка представляет собой систему вертикальных
сосредоточенных
грузов
с
неизменным
расстоянием
между
ними.
Перемещаясь по сооружению, грузы занимают различные положения на
сооружении. В зависимости от положения грузов на сооружении в элементах
сооружения меняются усилия и перемещения.
Расчет сооружений на подвижную нагрузку производится с помощью
теории линий влияния.
Линия влияния - это график, выражающий закон изменения какоголибо усилия в заданном сечении элемента или сооружения при перемещении
единичного груза по сооружению.
Например, груз движется по простой балке.
При построении линий влияния усилий принимается, что скорость
движения
груза
мала.
Таким
образом,
динамическими
нагрузками,
возникающими при движении груза, пренебрегают и учитывают лишь
статическое действие этого груза.
Таким образом, линии влияния усилий строятся лишь от одного
единичного груза (Р=1). Имея графики изменения усилий, можно найти
значения усилий при любом положении единичного груза. Если груз будет не
единичный (Р≠1), то полное усилие определяется путем увеличения усилия
от единичного груза в Р раз.
3.7.2. Линии влияния реакций и усилий в простой балке
2. 1. Правила знаков
Вертикальная
нагрузка,
приложенная
сверху
реакции,
направленные
снизу
вниз,
считается
вверх,
считаются
положительной.
Вертикальные
положительными.
Правила знаков для усилий М, Q, N при построении линий влияния
усилий принимаются такими же, что и при построении эпюр усилий.
2.2. Линии влияния опорных реакций
Положим, что единичный груз (единичная сила Р=1) перемещается по
простой балке. Зафиксируем его на балке и, считая груз неподвижным,
рассмотрим равновесие балки в этом состоянии. Пример.
В простой балке возникают две вертикальные опорные реакции VA, VB.
Построим линию влияния левой опорной реакции VA. Запишем условие
статического равновесия в виде суммы моментов относительно точки В:
Отсюда получим:
Получили выражение (закон) прямой линии. Задавая значения переменной х,
построим линию влияния реакции VA, проставим на графике знаки ординат и
сделаем надпись.
Построим теперь линию влияния правой опорной реакции VB.
Запишем условие статического равновесия:
Получили закон прямой линии. Задавая значения переменной х,
построим линию влияния реакции VB, проставим на графике знаки ординат и
сделаем надпись.
2.3. Линия влияния изгибающего момента
Построим линию влияния изгибающего момента в сечении «К»
простой балки. Единичная сила Р=1 может занимать положение как слева от
сечения, так и справа от сечения, в результате линия влияния будет иметь две
ветви - левую и правую. Рассмотрим оба этих случая. Пример.
Вопрос. При каком положении силы изгибающий момент в заданном
сечении будет наибольшим?
Случай 1. Сила находится слева от сечения, строим левую ветвь линии
влияния, рассматриваем правую часть балки (проще, меньше сил).
Запишем выражение изгибающего момента:
Полученное выражение представляет собой закон правой опорной
реакции. Подчеркнутая надпись (лев) показывает, что строится левая ветвь
линии влияния.
Построим левую ветвь линии влияния изгибающего момента и
надпишем, что она левая.
Случай 2. Сила находится справа от сечения, строим правую ветвь
линии влияния, рассматриваем левую часть балки (проще, меньше сил).
Запишем выражение изгибающего момента:
Полученное выражение представляет собой закон левой опорной
реакции. Построим правую ветвь линии влияния изгибающего момента и
надпишем, что она правая.
Ветви линии влияния изгибающего момента пересекаются под
сечением (это закон геометрии).
Слева от сечения линия влияния будет изменяться по закону левой
ветви, справа от сечения – по закону правой ветви. В соответствии с этим
правилом производится заштриховка линии влияния и ставятся знаки
ординат.
2.4. Линия влияния поперечной силы
Построим линию влияния поперечной силы в сечении «К» простой
балки. Рассмотрим те же два случая.
Случай 1. Сила находится слева от сечения, строим левую ветвь линии
влияния,
рассматриваем
правую
часть
балки.
Запишем
выражение
поперечной силы:
- закон правой опорной реакции.
Построим левую ветвь линии влияния.
Случай 2. Сила находится справа от сечения, строим правую ветвь
линии влияния, рассматриваем левую часть балки. Запишем выражение
поперечной силы:
- закон левой опорной реакции.
Построим правую ветвь линии влияния.
Штриховка линии влияния поперечной силы производится так же, как
линия влияния изгибающего момента.
3.7.3. Линии влияния реакций и усилий в балке-консоли
Построим линии влияния вертикальной реакции, опорного момента,
изгибающего момента и поперечной силы в заданном сечении балкиконсоли.
Зафиксируем силу P=1 на балке и, считая ее неподвижной, рассмотрим
равновесие балки в этом состоянии. Пример.
Запишем условия равновесия балки консоли:
Построим линию влияния вертикальной опорной реакции
Построим линию влияния опорного момента
.
.
Единичная сила P=1 может занимать положение как слева от сечения,
так и справа от сечения. Рассмотрим оба эти случая.
Случай 1. Сила слева от сечения, строим левую ветвь линии влияния,
рассматриваем правую часть балки. Запишем выражения изгибающего
момента и поперечной силы:
Построим левые ветви линий влияния.
Случай 2. Сила справа от сечения, строим правую ветвь линий влияния,
рассматриваем опять правую часть балки (сил меньше). Запишем выражения
изгибающего момента и поперечной силы:
Построим правые ветви линий влияния и произведем заштриховку.
Лекция 3.8. Определение усилий по линиям влияния
3.8.1. Линии влияния в многопролетной балке
Рассмотрим построение линий влияния усилий в двухпролетной балке.
Пример.
Пусть нам надо построить линию влияния изгибающего момента в сечении
К1. Положим для начала, что единичная сила Р=1 перемещается только по
балке АВ, т.е. по балке, в которой задано сечение. Тогда остальные балки не
будут оказывать на балку АВ никакого влияния, т.к. они не будут загружены.
Построим линию влияния изгибающего момента для балки-консоли
статическим способом. Пример.
1.
2.
Положим теперь, что единичная сила перемещается по балке BCD. В
зависимости от своего положения на балке BCD часть силы Р=1 будет
передаваться на балку AB. Эта часть силы будет равна давлению в точке B, а
давление равно реакции VB с обратным знаком. Пример.
Тогда изгибающий момент в сечении K1 будет равен:
Таким образом, изгибающий момент в сечении K1 при перемещении
силы P=1 по балке BCD изменяется по закону изменения реакции VB, т.е. по
линейному закону. Пример.
Если единичная сила P=1 будет перемещаться по балке DE, то получим
аналогичный результат, т.е. в пределах участка DE линия влияния M1 будет
изменяться по закону изменения реакции VD.
Таким образом, учитывая, что нагрузка с верхних балок передается на
нижние,
линия
влияния
усилия
может
быть
построена
путем
ее
распространения на участки под балками, лежащими выше исследуемой
балки. Распространение ведется по закону изменения соответствующей
реакции опоры, а именно, от значения на консоли на нуль под опорой выше
лежащей балки. Распространение ведется до тех пор, пока не окажется ниже
лежащей балки.
3.8.2. Физический смысл и размерность ординат линий влияния
Ординаты линий влияния усилий имеют ясный физический смысл.
Каждая ордината линии влияния yi численно равна значению того
усилия, для которого она построена, если единичная сила P=1 находится на
сооружении над этой ординатой. Следовательно, усилие от действия
единичной силы может быть определено по формуле:
где
– определяемое усилие. Пример.
Размерность ординат линий влияния зависит от размерности изучаемой
величины SK и от размерности заданных сил Pi, и определяется по формуле:
Например, размерность ординат линии влияния изгибающего момента
будет равна:
Отсюда видно, что размерность единичной силы P=1 отсутствует, она
безразмерна.
3.8.3. Действие системы сосредоточенных сил
От одного сосредоточенного груза силы P усилие можно определить по
формуле (3.1), увеличив значение усилия в P раз. Если грузов будет
несколько, то в соответствии с принципом суперпозиции результаты
действия грузов (сил) нужно суммировать:
Таким образом, если на сооружение действует система неподвижных
сосредоточенных сил, не равных единице, то усилие будет равно
алгебраической сумме произведений каждой силы на соответствующую
ординату линии влияния. Пример.
По формуле (3.2) получим:
По линии влияния реакции найдем: y1=0,75; y2=0,5; y3=0,25.
Положим P1=P2=P3=P. В результате получим:
VA= P∙0,75 + P∙0,5 + P∙0,25 = 1,5P.
VA=1,5P.
3.8.4. Действие распределенной нагрузки
Если на балку или другое сооружение действует неподвижная
распределенная нагрузка, то на малом участке ее можно представить в виде
элементарной сосредоточенной силы. Пример.
Элементарная сосредоточенная сила будет равна:
Тогда усилие от действия всех элементарных сил можно определить по
формуле (3.2), заменив суммирование интегрированием по длине участка
интегрирования. В результате получим формулу для определения усилия от
произвольной распределенной нагрузки:
Очень часто на сооружение действует равномерно распределенная
нагрузка постоянной интенсивности, т.е.
Тогда формула
(2.3) упростится:
Интеграл произведения
заданного усилия
равен площади линии влияния
под участком действия нагрузки. В результате получим:
Таким образом, усилие от действия равномерно распределенной
нагрузки равно произведению интенсивности распределенной нагрузки на
площадь линии влияния усилия под участком действия этой нагрузки.
Лекция 3.9. Матрицы в задачах строительной механики
3.9.1. Матричная форма расчета сооружения
В последнее время труд инженера-расчетчика существенно облегчен
путем применения компьютеров. Применение компьютера при расчете
сооружений позволяет сократить время и затраты человеческого труда на
вычислительных операциях, повысить точность и достоверность результатов
счета, позволяет решать более сложные задачи строительной механики.
Расчет сооружений на компьютере требует от инженера умения
выразить решаемую задачу в наиболее удобной для вычислительной машины
форме. Язык матриц является такой удобной формой.
Использование
позволяет
матричного
производить
аппарата
расчеты
в
строительной
строительных
механике
конструкций
по
единообразной методике при более компактной записи всего процесса
расчета, что улучшает его обозримость и контроль.
Матричная форма очень удобна при расчете сооружений на несколько
вариантов загружений или их сочетаний.
3.9.2. Матрицы влияния усилий
Матричный аппарат широко применяется в строительной механике для
определения усилий и перемещений в элементах сооружения при действии
на него различных внешних факторов.
Для определения усилий используется матрица влияния усилий.
Матрица влияния усилий преобразует вектор внешних сил
в вектор
усилий , для которого она составлена. Пусть на сооружение действуют силы
Р1, Р2…..Рn и требуется найти усилия в местах приложения этих сил.
Определим усилия в сечениях балки от каждой силы в отдельности,
принимая ее равной единице, полученные значения сведем в таблицу
(матрицу), а затем, используя принцип суперпозиции, определим искомое
усилие.
Произведя запись в матричной форме, получим:
(3.5)
Где
-матрица-столбец искомых усилий;
Эти матрицы имеют вид:
;
матрица-столбец внешних сил.
Ls-матрица влияния усилия S, она имеет вид:
Ls=
Номер строки матрицы влияния Ls определяется номером сечения, в
котором определяется усилие (i=1, 2,…..,n), номер столбца определяется
номером внешней нагрузки (k=1, 2,….n). Таким образом, Sik - это значение
искомого усилия в i-том сечении сооружения от единичной силы,
приложенной в k-том сечении (от Рk=1).
3.9.3. Построение матриц влияния усилий
Матрица влияния обычно строится для каждого вида усилий. Для
определения изгибающих моментов строится матрица влияния моментов LM,
для определения поперечных сил строится матрица влияния поперечных сил
LQ, а для определения продольных сил - матрица влияния продольных сил
LN.
Матрицу влияния усилия можно построить двумя путями: 1использование эпюр усилий; 2 – использование линий влияния усилий.
Для построения матрицы влияния первым путем надо в k-том сечении
упругой
системы
приложить
единичную
силу
(Рk=1),
определить
интересующие нас усилия во всех сечениях системы и построить эпюру
усилий. Полученные усилия (ординаты эпюры усилий) будут элементами kго столбца матрицы влияния Ls.
Для построения матрицы влияния вторым путем надо для i-го сечения
упругой
системы
построить
линию
влияния
искомого
усилия
при
перемещении единичной силы (Р=1) по всем сечениям системы, ординаты
линии влияния будут элементами i-той строки матрицы влияния LS.
Таким образом, понятия «матрица влияния» и «линия влияния» тесно
связаны между собой. Кроме того, матрицы влияния устанавливают тесную
связь между линиями влияния усилий и эпюрами усилий.
3.9.4. Матрица влияния изгибающих моментов в простой балке
Рассмотрим построение матрицы влияния изгибающих моментов в
простой балке длиной l. Разобьем балку на несколько равных участков,
например, на 5 (пять). Построим эпюры изгибающих моментов в балке,
прикладывая силу Pk=1 поочередно в каждом сечении балки. Пример.
Составим матрицу влияния изгибающих моментов из ординат эпюр
изгибающих моментов, откладывая ординаты по столбцам матрицы влияния:
Матрицу влияния изгибающих моментов (3.7) можно построить
вторым путем. Она будет такой же. Любопытным студентам – проверить.
3.9.5. Определение усилий в матричной форме
Если матрица влияния усилия построена, то путем перемножения
матрицы влияния LS на матрицу-столбец внешних сил
элементы Si матрицы-столбца искомых усилий
определяются
по формуле (3.5):
По физическому смыслу величина Si есть искомое усилие в i-том
сечении сооружения от заданной нагрузки. По значениям, взятым с матрицы
усилий, строится эпюра искомого усилия.
Матрица влияния усилия является инвариантной частью расчета,
поэтому она составляется независимо от внешних воздействий. Это очень
удобно при расчете сооружений при различных вариантах загружения.
Если на систему действуют несколько вариантов загружения или их
различных сочетаний, то матрица усилий будет определяться из формулы:
где P – матрица нагрузки, в которой номер столбца определяется номером
варианта загружения;
n – число нагружений.
При определении усилий от действия системы подвижных грузов
необходимо каждое положение подвижной нагрузки считать новой системой
сил, одним из вариантов загружения и составить матрицу нагрузки.