ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ Лекция 10 (2 часа)

Курс Физика твердого тела и межфазных границ
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Лекция 10
ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ
РЕШЕТКИ
(2 часа)
1
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
ПЛАН ЛЕКЦИИ
• Понятие обратного пространства. Обратная решетка. Зоны
Бриллюэна;
• Упругие волны в кристалле, смещения атомов, фононы;
• Упругие свойства простых решеток.
2
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Формирование дифракционной картины
Гексагональная решетка).
Отражение от эквивалентных друг другу / системы плоскостей – точка
(рефлекс) на электронограмме / рентгенограмме
3
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Понятие обратного пространства
Монокристалл (бесконечное повторение в 3D
пространстве идентичных блоков) можно
представить как бесконечный набор точек,
расположенных эквидистантно, в обратном
пространстве – РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО РАССТОЯНИЮ
МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ В ПРЯМОЙ РЕШЕТКЕА.
Размерность вектора в обратном пространстве (длина)-1
4
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Приложение понятия «обратного пространства» к
объектам микромира (квантовая механика в
интерпретации Шредингера)
Если исходить из размерности, вектор обратного пространства
можно уподобить / поставить в соответствие волновым векторам
состояний (фотоны, колебания решетки, движущиеся (свободные)
электроны из уравнения Шредингера.
Произведение координат в обратном пространстве и постоянной
Планка ћ – приводит к «формированию» пространства
импульсов
5
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Связь между прямой и обратной решетками
где a, b, c – примитивные векторы трансляции
прямой решетки
Обратное преобразование
Уравнение дифракции
6
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Зоны Бриллюэна
Если прямая решетка периодична (и бесконечна), то и обратная
решетка тоже периодична и бесконечна
Первая зона Брюллиэна – это область
обратного пространства, окружающего один из
узлов обратной решетки и ограниченную
набором плоскостей, проходящих через
середины векторов, соединяющих в обратной
решетке данную точку с ее ближайшими
соседями (G - координаты узла в обратном
пространстве)
Любой точке в обратном пространстве A’(k’)
соответствует точка A(k) в первой зоне Брюллиэна
7
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Упругие волны в кристалле
Адиабатическое распространение продольной волны в жидкости
, где ρ – плотность, Bs – коэффициент жесткости
Макроскопический подход применим, когда λ >> d
8
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Учет периодичности решетки при расчете
колебательного спектра кристалла
Волна – распространение колебания в кристаллической решетке есть
повторяющаяся последовательность смещения атомов из положения равновесия (как
продольных, так и поперечных), характеризуемая:
Колебаниям столь высокой частоты присущ корпускулярно-волновой
дуализм – распространение упругой волны в кристалле можно уподобить
движению особой частицы – ФОНОНА с энергией ћω и импульсом ћk
Закон Дюлонга – Пти для удельной теплоемкости (1869 г.)
Хорошо описывает теплоемкость при Т > 300К, но не при низких температурах
При Т~300К корпускулярный аспект играет роль для волн с λ ≤ 10-9м
9
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Колебательные моды одно-атомной решетки
Уравнение плоской волны в моноатомной цепочке
Поскольку среда несполошная / дисперстная смещение имеет физический смысл только в точке, где
располагается атом. Смещение r-го атома,
, а его ускорение
Возвращающая сила, действующая на атом в цепочке
В приближении закона Гука для цепочки сила имеет вид
Дисперсионное соотношение для продольных волн
в линейной одноатомной цепочке
Длинные волны – малые k – для описания акустических
колебаний (до 1012Гц)
10
Лекция 10 Динамика решетки
2013
http://ums.physics.usu.ru/fttmf/index.html
Колебательные моды двух- атомной решетки
Решетка состоит из атомов двух сортов
Дисперсионное соотношение имеет вид
Спектр частот / решений ω(k)– двузначая функция k
Нижняя – акустическая ветвь (как у одно-атомной
цепочки);
Верхняя - оптическая ветвь, обусловлена высокой
степенью ионности (разницей в линейных размерах)
атомов цепочки.
11