геометрия идеальных границ геодезических пространств с

УДК 514.774.8
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРУДЫ
2007, том 10, № 1, 16–28
ГЕОМЕТРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГРАНИЦ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
С НЕПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ
В СМЫСЛЕ БУЗЕМАНА
П. Д. Андреев
Устанавливаются связи между разными подходами к идеальному замыканию геодезического метрического пространства со свойством
неположительности кривизны в смысле Буземана. Построен контрпример, показывающий возможность несовпадения идеального замыкания Буземана и геодезического замыкания.
Ключевые слова и фразы: геодезическая, неположительная кривизна, пространство Буземана, орифункция, функция Буземана, метрическая граница, геодезическая граница, CAT(0)-пространство.
Посвящается Ю. Г. Решетняку в связи с его 75-летием.
§ 1. Введение
Идеальная граница метрического пространства X, т. е. множество его
бесконечно удаленных точек, играет важную роль в решении многих проблем в метрической геометрии. К понятию идеальной границы имеются
корректные подходы и определения в ряде случаев. Так, для пространств,
гиперболических в смысле Громова, в [11] определяется гиперболическая
граница; для полных открытых римановых многообразий описывается так
называемая граница Мартина (см. [15]) и т. д.
Для римановых многообразий неположительной кривизны в [5] предлагаются два возможных подхода к идеальному замыканию многообразия.
Первый подход основан на том, что для любого метрического пространства X существует вложение Куратовского (см. [3]) в пространство C(X)
непрерывных функций. В этом случае замыкание представляет собой замыкание образа X в фактор-пространстве C ∗ (X) = C(X)/R пространРабота выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 04–01–00315-a) и ведомственной программы
«Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и науки
РФ (код проекта 335).
c П. Д. Андреев; 2007
Геометрия идеальных границ
17
ства C(X) по пространству R, рассматриваемому как множество постоянных функций на X. Второй подход базируется на том, что в полном
односвязном римановом многообразии неположительной кривизны (многообразии Адамара) имеется отношение асимптотичности геодезических
лучей, которое является отношением эквивалентности и порождает границу многообразия как множество классов эквивалентности. Такая граница
введена Эберлейном и О’Нилом в [10]. В [5] показано, что два представленных подхода приводят к одному и тому же результату в том смысле,
что тождественное отображение пространства X на себя продолжается
до гомеоморфизма его идеальных замыканий. Это совпадение двух подходов к идеальному замыканию пространства остается справедливым и в
случае так называемых CAT(0)-пространств, которые можно охарактеризовать как полные односвязные пространства неположительной кривизны
в смысле А. Д. Александрова (см. [7]).
Целью настоящей работы является исследование идеальных границ
пространств, имеющих неположительную кривизну в смысле Буземана, и,
как частный случай, пространств Минковского, т. е. нормированных вещественных пространств со строго выпуклой нормой. Два представленных
выше подхода корректны в случае локально компактного пространства
с неположительной кривизной по Буземану. Такие пространства впервые
введены в [8] и составляют более общий класс по сравнению с классом геодезически полных односвязных пространств неположительной кривизны
по Александрову. Неположительность кривизны здесь имеет более слабый смысл. Одно из следствий этого — возможность несовпадения двух
рассматриваемых способов идеального замыкания.
Наиболее ярко это проявляется при изучении нормированных линейных пространств с сингулярной нормой. Пространства Минковского появляются при изучении финслеровых метрик на многообразиях как плоские финслеровы многообразия или касательные пространства. Классическое определение финслеровой метрики подразумевает гладкость сфер в
пространстве Минковского. Из определения пространства Буземана неположительной кривизны следует, что в плоском пространстве Буземана
все сферы строго выпуклые, но не обязательно гладкие. Мы будем называть аффинные пространства, оснащенные нерегулярной строго выпуклой
нормой на направляющем пространстве, сингулярными пространствами
Минковского.
К настоящему времени устоявшейся терминологии, различающей две
рассматриваемые идеальные границы, еще не сложилось. Здесь мы будем
называть идеальную границу ∂B X пространства Буземана X, возникающую как границу X при его вложении в C ∗ (X), метрической границей
(в соответствии с [16; 18]) или границей Буземана (см. [2]). Для грани-
18
П. Д. Андреев
цы ∂g X, возникающей как множество классов эквивалентности асимптотических лучей, примем термин геодезическая граница, введенный в [10]
для многообразий Адамара и в [14] для гиперболических пространств.
В. Бальманн в [4] также приводит для указанной компактификации пространства X термин «компактификация Эберлейна — О’Нила».
Основным результатом статьи является следующее утверждение.
Теорема 1.1. Пусть X — локально компактное пространство с неположительной кривизной по Буземану. Существует непрерывная сюръекция Pr : X ∪ ∂B X → X ∪ ∂g X, совпадающая с тождественным отображением IdX на X. При этом классу функции Буземана βc , порожденной лучом
c : R+ → X, сопоставляется класс Pr(βc ) = [c] лучей, асимптотичных c.
Идеальная граница ∂∞ X локально компактного CAT(0)-пространства
X метризуема и обладает двумя стандартными метриками. Первая — это
угловая метрика ∠(ξ, η), равная супремуму величины угла между лучами, выходящими в направлениях идеальных точек ξ, η ∈ ∂∞ X. Вторая —
это метрика Титса Td, т. е. внутренняя метрика, порожденная угловой
метрикой. Именно метрика Титса идеальной границы во многом определяет геометрические свойства пространства X. При этом различают два
ключевых значения метрики Титса. Это значения π/2 и π. Особая роль
значения π видна из следующего утверждения.
Предложение 1.2 [7, предложение 9.21]. Пусть ξ0 , ξ1 — две различные точки идеальной границы ∂∞ X CAT(0)-пространства X.
(1) Если Td(ξ0 , ξ1 ) > π, то существует геодезическая c : R → X c
c(+∞) = ξ0 и c(−∞) = ξ1 .
(2) Если не существует геодезической c : R → X с c(+∞) = ξ0 и
c(−∞) = ξ1 , то Td(ξ0 , ξ1) = ∠(ξ0 , ξ1 ) и найдется геодезический отрезок в метрике Титса, соединяющий ξ0 с ξ1 .
(3) Для геодезической c : R → X выполняется неравенство
Td c(−∞), c(+∞) > π,
и равенство выполняется в том и только в том случае, если c лежит
на границе изометрически вложенной в X евклидовой полуплоскости.
(4) Если диаметр границы в метрике Титса равен π, то всякая геодезическая в X ограничивает изометрически вложенную евклидову полуплоскость.
(5) Если ∠(ξ, η) < π, то Td(ξ, η) = ∠(ξ, η) и существует единственная
кратчайшая в угловой метрике на ∂∞ X, соединяющая ξ и η.
Геометрия идеальных границ
19
Значение π/2 тесно связано с понятием оришара, т. е. множества подуровня функции Буземана. Во-первых, всякий шар радиуса π/2 в угловой
метрике ∂∞ X является 1-областью, а во-вторых, если луч [oη] идет в направлении идеальной точки η ∈ ∂∞ X, для которой Td(ξ, η) 6 π/2, то он
содержится в оришаре HB(ξ, o).
§ 2. Предварительные сведения
Пусть (X, d) — метрическое пространство. Пространство (X, d) называется геодезическим, если любые две его точки можно соединить отрезком.
Под отрезком, соединяющим точки x и y в пространстве X, понимается
изометрическое отображение f : [a, b] → X числового отрезка [a, b], при
котором f (a) = x и f (b) = y. Геодезической в X называется локально изометрическое отображение c : I → X числового промежутка I, т. е. такое
отображение, что для произвольного t ∈ I существует ε > 0 такое, что
сужение отображения c на I ∩ [t − ε, t + ε] является отрезком в X. Геодезическая c называется полной, если I = R. Геодезическое метрическое
пространство X называется геодезически полным, если всякую геодезическую в X можно продолжить до полной геодезической.
Пусть X — геодезически полное геодезическое метрическое пространство. Расстояние между его точками x и y обозначается через |xy|, отрезок, соединяющий x и y, — через [xy]. Замкнутый шар радиуса r с центром
x ∈ X обозначается символом B(x, r).
Определение 2.1. Пространство X называется пространством с неположительной кривизной в смысле Буземана, если для любых трех точек
x, y, z ∈ X, для произвольной середины m между x и y и для произвольной
середины n между x и z выполняется неравенство
1
|mn| 6 |yz|.
(2.1)
2
Замечание 2.2. Класс пространств, заданный определением 2.1, отличается от пространств, определенных в [1; 8], тем, что рассматриваемые нами пространства допускают неоднозначное продолжение (ветвление) геодезических. Такие пространства были определены в [6] и рассматривались в [12; 13] и некоторых других работах. Следует заметить, что все
результаты настоящей статьи за исключением контрпримера 6.8 остаются
справедливыми для G-пространств Буземана с неположительной кривизной, введенных в статье [8], но не выполняются для пространств неположительной кривизны с выделенными геодезическими, изученных в книге [9].
В частности, теорема 1.1 не справедлива для нормированных пространств
с выделенным классом прямолинейных геодезических, если норма не является строго выпуклой.
20
П. Д. Андреев
Из определения 2.1 следует, что пространство X односвязно, и для любой пары точек x и y существует единственная середина m между ними.
Следовательно, однозначно определен отрезок [xy]. Кроме того, метрика пространства X является выпуклой: для любых двух геодезических
γ1 , γ2 : I → X, параметризованных пропорционально длине дуги, функция γ1 (t)γ2 (t) выпукла на промежутке I.
В качестве очевидных примеров пространств с неположительной кривизной в смысле Буземана можно привести геодезически полные CAT(0)пространства, т. е. пространства неположительной кривизны в смысле
Александрова, а также строго выпуклые пространства Минковского, т. е.
конечномерные нормированные вещественные аффинные пространства
с параллельной строго выпуклой нормой в касательном расслоении.
При этом норма не обязана быть гладкой. Метрическое произведение пространств неположительной кривизны по Буземану вновь является пространством неположительной кривизны по Буземану. Возможны также
некоторые процедуры склеивания пространств, не нарушающие требования неположительности кривизны.
Определение 2.3. Геодезические лучи c, d : [0, +∞) → X в метрическом пространстве X называются асимптотическими, если хаусдорфово
расстояние между ними конечно:
Hd(c, d) < +∞.
Отношение асимптотичности представляет собой эквивалентность на множестве геодезических лучей в X. Множество классов эквивалентности называется геодезической идеальной границей пространства X и обозначается через ∂g X. Объединение Xg = X ∪ ∂g X называется геодезическим
идеальным замыканием X.
Для пары точек y, z ∈ Xg запись [yz] означает
• либо соединяющий их отрезок, если y, z ∈ X;
• либо геодезический луч с началом в y, идущий в направлении z, если
y ∈ X, а z ∈ ∂g X (если X — полное локально компактное CAT(0)пространство, то такой луч существует и однозначно определен);
• либо произвольную полную геодезическую с концами в y и z, если
y, z ∈ ∂g X и такая геодезическая существует.
На замыкании Xg естественно вводится коническая топология как топология равномерной сходимости на ограниченных множествах отрезков
и лучей. Последовательность {xn }+∞
n=1 ⊂ Xg сходится в конической топологии к точке x ∈ Xg , если для отмеченной точки o ∈ X последовательность
+∞
натурально параметризованных отрезков или лучей [oxn ] n=1 равномерно сходится на ограниченных множествах к натуральной параметризации
Геометрия идеальных границ
21
отрезка (луча) [ox]. Коническая топология на Xg не зависит от выбора отмеченной точки o. Индуцированная топология на геодезической идеальной
границе ∂g X также называется конической.
Определение 2.4. Для произвольного локально компактного метрического пространства X определено его вложение Куратовского в пространство C(X) непрерывных функций на X. Именно, если o ∈ X — отмеченная точка, то точка x отождествляется с дистанционной функцией dx ,
которая определена равенством
dx (y) = |xy| − |ox|.
Пусть C ∗ (X) = C(X)/{constants} — фактор-пространство C(X) по подпространству постоянных функций. Тогда проекция C(X) → C ∗ (X) порождает вложение i : X → C ∗ (X), не зависящее от выбора отмеченной
точки o. Топология на C ∗ (X) наследуется из компактно-открытой топологии на C(X). Мы будем отождествлять само пространство X с его образом i(X).
Метрической компактификацией или компактификацией Буземана
пространства X называется замыкание его образа i(X) ⊂ C ∗ (X). Компактификация Буземана обозначается через XB . Границей Буземана будет
по определению ∂B X = XB \ X. Термин «метрическая компактификация»
введен в [16] (см. также [18]). Функции, составляющие метрическую границу, называются орифункциями. Они являются пределами для дистанционных функций в смысле топологии равномерной сходимости на ограниченных подмножествах. Частным случаем орифункций служат функции
Буземана. Для геодезического луча c : [0, +∞) → X функция Буземана βc ,
порождаемая им, определяется равенством
βc (y) = lim yc(t) − t .
t→+∞
Для орифункции Φ ∈ ∂B X и произвольной точки x ∈ X определяются
орисфера
HS(Φ, x) = y ∈ X Φ(y) = Φ(x)
и оришар
HB(Φ, x) = y ∈ X Φ(y) 6 Φ(x) ,
т. е. соответствующие x множества уровня и подуровня орифункции Φ.
Если пространство X является многообразием Адамара или полным
локально компактным CAT(0)-пространством, то его геодезическое и метрическое замыкания совпадают в следующем смысле: тождественное отображение IdX однозначно продолжается до гомеоморфизма XB → Xg .
В частности, всякая орифункция определена как функция Буземана по
22
П. Д. Андреев
некоторому геодезическому лучу, а функции Буземана, определенные по
асимптотическим лучам, отличаются лишь константой.
§ 3. Проекция границ
В этом параграфе мы доказываем теорему 1.1. Далее пространство
X — локально компактное геодезически полное геодезическое пространство с неположительной кривизной по Буземану. В силу теоремы Хопфа —
Ринова [2, теорема 2.5.28] пространство X является полным и конечнокомпактным, т. е. всякое его ограниченное замкнутое множество компактно. В частности, компактны все шары B(x, r).
Лемма 3.1. Пусть Φ — орифункция на X. Тогда для любой точки
o ∈ X однозначно определен луч c : R+ → X с началом c(0) = o, для
которого при всех t > 0 имеем
Φ c(t) = Φ(o) − t = min Φ(x) .
x∈B(o,t)
Лучи с различными началами o, o′ ∈ X, определенные по орифункции Φ,
асимптотичны. Если Φ = βc — функция Буземана, соответствующая лучу c, то c — определенный по ней луч с началом c(0).
Доказательство. Орифункция Φ является пределом дистанционных
функций dxn :
Φ = lim dxn ,
(3.1)
n→∞
для некоторой уходящей на бесконечность последовательности {xn }+∞
n=1 .
Зафиксируем t > 0. Можно считать, что |oxn | > t при всех n. Рассмотрим
последовательность отрезков [oxn ] и точек yn (t) ∈ [oxn ] с oyn (t) = t. Так
как все точки yn (t) принадлежат компактному шару B(x, t), из последовательности yn можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Кроме
того, если t′ > t и последовательность yn (t′ ) сходится
к точке c(t′ ), то после
довательность yn (t) сходится к точке c(t) ∈ oc(t′ ) . Поэтому существует
ynk (t)
такая подпоследовательность {xnk } ⊂ {xn }, что
последовательности
сходятся
при
всех t > 0. При этом отрезки oynk (t) сходятся к отрезкам
вида oc(t) , объединение которых будет лучом c : R+ → X. Будем считать, что {xnk } совпадает с исходной последовательностью. При каждом
t > 0 имеем
Φ c(t) = lim dxn c(t) = lim dxn (yn ) = lim dxn (o) − t = Φ(o) − t.
n→∞
n→∞
n→∞
Орифункция Φ является пределом 1-липшицевых дистанционных функций dxn , поэтому сама будет 1-липшицевой. Отсюда следует, что
Φ(o) − t = min Φ(x).
x∈B(o,t)
Геометрия идеальных границ
23
Предположим, что существует еще один луч
c1 : R+ → X с началом o, для
которого при всех t > 0 выполнено Φ c1 (t) = Φ(o) −t. Пусть c1 (t0 ) 6= c(t0 ).
Для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется N ∈ N такой, что при
всех n > N выполняется неравенство
dxn c1 (t0 ) < dxn (o) − t0 + ε.
В
метрики на X для произвольной точки y отрезка
силу выпуклости
c(t0 )c1 (t0 ) имеем
dxn (y) < dxn (o) − t0 + ε,
а значит,
Φ(y) 6 Φ(o) − t0 .
(3.2)
Поскольку отрезок c(t0 )c1 (t0 ) содержится в шаре B(o, t0 ), где величина
Φ(o)−t0 является минимумом значений орифункции
Φ,
неравенство в (3.2)
обращается в равенство. Причем отрезок c(t0 )c1 (t0 ) лежит на границе
шара B(o, t0 ).
Аналогично для любой точки z отрезка c(2t0 )c1 (2t0 ) справедливо соотношение
Φ(z) = Φ(o) − 2t0 ,
и отрезок c(2t0 )c1 (2t0 ) лежит на граничной
сфере шара B(o, 2t0 ). Пусть
m — середина отрезка c(2t0 )c1 (2t0 ) . Тогда
c(t0 )m 6 1 oc1 (2t0 ) = t0
2
в силу неположительности кривизны по Буземану, и неравенство
c(t0 )m > |om| − oc(t0 ) = t0
вытекает из неравенства треугольника. Комбинируя два последних неравенства, получаем равенство
c(t0 )m = t0 ,
которое означает, что ломаная, составленная из отрезков oc(t0 ) и c(t0 )m ,
является отрезком [om]. Аналогично
отрезок
[om] представляется как ломаная, составленная из отрезков oc1 (t0 ) и [c1 (t0 )m], что противоречит
единственности отрезков в X. Этим доказана единственность луча c, минимизирующего значения Φ. В частности, луч c не зависит от последовательности xn , для которой выполнено (3.3).
Пусть лучи c, c′ : R+ → X, начинающиеся (соответственно) в точках
o = c(0) и o′ = c′ (0), определены по орифункции Φ. Иначе говоря, если
24
П. Д. Андреев
для уходящей на бесконечность последовательности xn выполняется равенство (3.1), то
c = lim [oxn ], c′ = lim [o′ xn ].
n→∞
n→∞
Здесь равенства означают сходимость
натуральных параметризаций
′
отрезков [oxn ] соответственно [o xn ] к натуральной параметризации c
(соответственно c′ ).
Пусть yn (t) ∈ [oxn ] и yn′ (t) ∈ [o′ xn ] — точки, для которых
oyn (t) = o′ yn′ (t) = t и λn = |o′ xn |/|oxn |.
При n → ∞ имеем λn → 1, yn (t) → c(t) и yn′ (t) → c′ (t) при всех t > 0.
По свойствам выпуклости метрики на X находим
t
′
yn (t)yn (λn t) 6 1 −
|oo′ |.
|oxn |
Переходя к пределу при n → ∞, получаем
c(t)c′ (t) 6 |oo′ |
при всех t > 0. Значит, Hd(c, c′ ) = |oo′ | и лучи c и c′ асимптотичны.
Если Φ = βc — функция Буземана, определенная по лучу c с началом o,
то в качестве определяющей последовательности xn можно принять xn =
c(n). Дальнейшие вычисления очевидны.
Определение
3.2. Для орифункции Φ и ее класса [Φ] ∈ C ∗ (X) поло
жим Pr [Φ] = [c] ∈ ∂g , где c : R+ → X — луч с началом o, определенный
леммой 3.1. В силу этой леммы класс [c] корректно определен: он не зависит от выбора начальной точки o и представителя Φ ∈ [Φ]. Для точки
x ∈ X будем считать, что Pr [dx ] = x.
§ 4. Свойства проекции границ
В предыдущем параграфе определена проекция, о которой говорится
в теореме 1.1. Дальнейшее доказательство состоит в изучении ее свойств.
Доказательство теоремы 1.1. Покажем непрерывность отображения
Pr : Xm → Xg в определении 3.2. На X оно непрерывно как тождественное
отображение. Пусть [Φ] ∈ ∂B X и {xn }∞
n=1 — последовательность, для которой dxn → Φ при n → ∞. Можно считать, что Φ(o) = 0. Из доказательства
леммы 3.1 следует, что последовательность отрезков [oxn ] сходится к лучу c : R+ → X, для которого [c] = Pr(Φ).
По определению конической
топологии на Xg это означает, что xn → c(+∞) ∈ ∂g X.
Пусть последовательность орифункций Ψn такова, что при всех n выполнено Ψn (o) = 0 и [Ψn ] → [Φ] ∈ ∂m X. Это значит, что для произвольного
Геометрия идеальных границ
25
компакта K ⊂ X и любого ε > 0 существует число N = N(K, ε) ∈ N такое,
что для всех n > N и всех x ∈ K справедливо неравенство
Φ(x) − Ψn (x) < ε.
(4.1)
В частности, при достаточно больших n неравенство (4.1) выполняется в
шарах B(o, t). Зададим последовательности tn → +∞, εn → 0 и для каждого n дистанционную функцию dxn , для которой в шаре B(o, tn ) имеют
место соотношения
Ψn (y) − dxn (y) < 1 εn ,
(4.2)
2
yn cn (tn ) < εn ,
(4.3)
где yn ∈ [oxn ] — точка, для которой |oyn | =
tn , а cn : R+ → X — луч с началом c(0) = o, для которого [c] = Pr [Ψn ] . Неравенство (4.1) перепишем
в виде
Φ(y) − Ψn (y) < 1 εn .
(4.4)
2
Сопоставляя оценки (4.2) и (4.4),
получаем,
что последовательность клас
∞
сов дистанционных функций [dxn ] n=1 ⊂ Xm сходится к классу [Φ]. Последовательность отрезков [ox
n ], в свою очередь, сходится к лучу c : R+ →X,
для которого [c] = Pr [Φ] . Из (4.3) вытекает, что к этому же пределу сходится и последовательность лучей cn , откуда окончательно следует непрерывность отображения Pr в точке [Φ] ∈ ∂B X.
Свойство проекции класса функции Буземана в теореме немедленно
следует из последнего предложения леммы 3.1.
§ 5. Пример несовпадения замыканий
Как уже было замечено, наиболее простой пример пространства X с
несовпадающими геодезическим и метрическим замыканиями возникает
при рассмотрении нормированного пространства со строго выпуклой, но
негладкой индикатрисой нормы. Здесь мы рассмотрим эту ситуацию подробно на простом примере.
Пусть X — двумерное нормированное линейное пространство с координатами (x1 , x2 ) и нормой
q
(x1 , x2 ) = x2 + 2x2 + |x2 |.
1
2
Индикатриса нормы S включает две дуги и ограничивает пересечение евклидовых кругов
x21 + (x2 − 1)2 6 2,
x21 + (x2 + 1)2 6 2.
26
П. Д. Андреев
Направления, задаваемые осью x1 , являются особыми направлениями нормы. Для луча cy ⇈ [ox1 ) с началом (0, y) функция Буземана βcy имеет вид
βcy (x1 , x2 ) = lim (x1 − t, x2 − y) − t = |x2 − y| − x1 ,
t→∞
т. е. зависит от y так, что разность βc1 − βc2 для лучей c1 = cy1 и c2 = cy2
непостоянна.
∞
Если последовательность (x1,n , x2,n ) n=1 уходит на бесконечность так,
что x1,n , x2,n → +∞ и x2,n /x1,n → 0, то предел дистанционных функций dzn
для zn = (x1,n , x2,n ) равен
Φ+ (x1 , x2 ) = lim dzn (x1 , x2 )
n→∞
= lim (x1,n − x1 , x2,n − x2 ) − (x1,n , x2,n )
n→∞
= −x2 − x1
и задает орифункцию Φ+ , класс которой не совпадает ни с одним из классов функций Буземана βcy . При этом их общей проекцией будет
Pr [Φ+ ] = Pr [βcy ] = x1,+∞ = [cy ],
т. е. геодезическая бесконечно удаленная точка на оси [ox1 ).
Аналогично, если при всех перечисленных выше условиях имеет место
x2,n → −∞, то предел дистанционных функций равен
Φ− (x1 , x2 ) = x2 − x1 .
Произвольная орифункция Φ, для которой Pr [Φ] = x1,+∞ , определяется некоторой уходящей последовательностью {zn } с zn = (x1,n , x2,n )
и x2,n /x1,n → 0. Любая такая последовательность содержит подпоследовательность, для которой последовательность {x2,n } имеет конечный или
бесконечный предел. Она порождает ту же самую орифункцию, поэтому
изначально можно предполагать, что lim x2,n существует. Следовательn→∞
но, если lim x2,n = y, то [Φ] = [βcy ], а если lim x2,n = ±∞, то [Φ] = [Φ± ].
n→∞
n→∞
Таким образом,
Pr−1 (x1,+∞ ) = [βcy ] y ∈ R ∪ [Φ− ], [Φ+ ] .
Аналогично для противоположной бесконечно удаленной точки x1,−∞ получаем
Pr−1 (x1,−∞ ) = [−βcy ] y ∈ R ∪ [−Φ− ], [−Φ+ ] .
В то же время для ξ ∈ ∂g X \ {x1,+∞ , x1,−∞ } все остальные прообразы
Pr−1 (ξ) одноэлементны и включают классы соответствующих функций
Буземана.
Геометрия идеальных границ
27
Определение 5.1. Идеальная точка ξ ∈ ∂g X называется регулярной,
если Pr−1 (ξ) состоит из единственного элемента. Этот элемент является
классом функции Буземана. Геодезическая a : R → X называется регулярной, если ее концы a(−∞), a(+∞) ∈ ∂g X — регулярные идеальные
точки.
Список литературы
1. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1955.
2. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
3. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.
4. Ballmann W. The Martin boundary of certain Hadamard manifolds //
Proc. on Analysis and Geometry / Eds. Vodop’yanov S. K. Novosibirsk:
Sobolev Institute Press, 2000. P.36–46.
5. Ballmann W., Gromov M., and Schroeder V. Manifolds of Nonpositive
Curvature. Boston; Basel; Schtuttgart: Birkhäuser, 1985.
6. Bowditch B. H. Minkowskian subspaces of nonpositively curved metric
spaces // Bull. London Math. Soc. 1995. V. 27, N 6. P. 575–584.
7. Bridson M. R. and Haefliger A. Metric Spaces of Nonpositive Curvature /
Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Bd 319. Berlin:
Springer-Verlag, 1999.
8. Busemann H. Spaces with nonpositive curvature // Acta Math. 1948. V. 80.
P. 259–310.
9. Busemann H. and Phadke B. B. Spaces with Distinguished Geodesics. NewYork; Basel: Marsel Dekker Inc., 1987.
10. Eberlein P. and O’Neill B. Visibility manifolds // Pacific J. Math. 1973.
V. 46. P. 45–109.
11. Gromov M. Hyperbolic groups // Essays in Group Theory / Math. Sci.
Res. Inst. Publ. / Ed. Gersten S. M. Berlin: Springer-Verlag, 1987. V. 8.
P. 75–263.
12. Hosaka T. Limit sets of geometrically finite groups acting on Busemann
spaces // Topology Appl. 2002. V. 122, N 3. P. 565–580.
13. Hotchkiss Ph. K. The boundary of Busemann space // Proc. Amer. Math.
Soc. 1997. V. 125, N 7. P. 1903–1912.
14. Kapovich I. and Benakli N. Boundaries of hyperbolic groups: Combinatorial and geometric group theory // Contemp. Math. 2004. V. 296. P. 39–94.
15. Martin R. S. Minimal positive harmonic functions // Trans. Amer. Math.
Soc. 1941. V. 49. P. 137–172.
28
П. Д. Андреев
16. Rieffel M. Group C ∗ -algebras as compact quantum metric spaces // Doc.
Math. 2002. V. 7. P. 605–651.
17. Rinow W. Die Innere Geometrie der Metrischen Raume / Die Grundlehren
der Mathematischen Wissenschaften. Bd 105 Berlin; Gottingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1961.
18. Webster C. and Winchester A. Boundaries of Hyperbolic Metric Spaces /
Preprint: arXiv: math. MG/0310101, 2003.
Андреев Павел Дмитриевич
Поморский государственный университет
им. М. В. Ломоносова,
ул. Ломоносова, 4,
Архангельск, 163002, РОССИЯ.
E-mail: pdandreev@mail.ru
Статья поступила
12 июля 2005 г.