( 3 балла).

Математическая олимпиада в школе
6-8 классы:
1. Утром в магазин привезли 6 бидонов молока, в которых было по 15, 16, 18. 19,20 и
31 литру. До перерыва на обед продали молока из трёх бидонов, а к закрытию
продали молоко ещё из двух бидонов. Утром продали в два раза больше, чем после
обеда. Из каких бидонов было продано молоко до перерыва?
( 4 балла).
2. Трава на всём лугу растёт одинаково быстро и густо. Известно, что 70 коров поели
бы её за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96
дней?
( 4 балла).
3. 100 кг свежих грибов имели влажность 99%. После сушки их влажность составила
48%. Сколько весили высушенные грибы?
( 3 балла).
4. Найти количество делителей числа 3600.
( 3 балла).
5. Существуют ли такие натуральные числа n, что (n2 + n + 1) делится без остатка на
1995?
( 3 балла).
6. Морская вода содержит 5% соли. Сколько нужно добавить пресной к 40 кг
морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?
( 2 балла).
7. Все натуральные числа выписаны подряд, начиная с одного. Определить, какая
цифра стоит на 34788-м месте?
( 4 балла).
8. Найти наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт в остатке 1 и
делится нацело на 7?
( 3 балла).
9. Сумма двух натуральных чисел равна 1244. Если в конце первого приписать 3, а в
конце второго отбросить два, то числа окажутся равными. Найти эти числа.
(3 балла).
10. Пароход плыл против течения. Потом с него спустили плот. Когда после этого
пароход прошел 15 км, плот оказался от него на расстоянии в 20 км. Определить
скорость парохода в стоячей воде, если по течению он движется со скоростью 24
км/ч.
(3 балла).
9-11 классы:
1. Решить уравнение:
√𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 1 + √𝑥 + 8 − 6√𝑥 − 1 = 1.
(3 балла).
2. Решить уравнение:
𝑥 3 − 3𝑥 = 𝑎3 +
1
.
𝑎3
(3 балла).
3. Найти все простые трехзначные числа, цифры которых образуют геометрическую
прогрессию с целым q, не равным 1.
(3 балла).
4. Дано:
1
1
2
+ 𝑐 = 𝑏 ; 𝑎𝑐 > 0.
𝑎
𝑎+𝑏
𝑐+𝑏
Доказать: 2𝑎−𝑏 + 2𝑐−𝑏 ≥ 4.
(3 балла).
5. Дано: ABCД – параллелограмм. Угол А = 60º; АЕ = ЕД; ВЕ =
√3
;
2
СЕ =
√7
.
2
Найти АВ
и АД.
(3 балла).
6. Дано: треугольник АВС; АВ = ВС; СD перпендикулярна DF, где F - точка
пересечения прямой DF с прямой АС; DE║AC; CD - биссектриса. Найти
𝐷𝑀
𝐹𝐶
.
(3 балла).
7. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели
бы ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96
дней?
(3 балла).
8. Утром в магазин привезли 6 бидонов молока, в которых было по 15, 16, 18, 19, 20 и
31 литру. До перерыва на обед продали молоко из трех бидонов, а к закрытию
продали молоко еще из двух бидонов. Утром продали в два раза больше, чем после
обеда. Из каких бидонов было продано молоко до перерыва?
(3 балла).
9. Решить уравнение:
3
.
√𝑥 =
5√𝑥 + √6𝑥 − 3
(3 балла).
2
10. Периметр треугольника Р = 42 см; S = 84 см ; R = 8,125 см. Найти стороны
треугольника.
(4 балла).
11. Найти количество делителей числа 3600.
(2 балла).
Задачи для подготовки к олимпиаде.
1. Цены снижены на 20%. Насколько больше можно купить товаров на те же деньги?
2. На поверхности прямоугольного торта лежит круглая шоколадка. Как одним
прямолинейным разрезом поделить и торт и шоколадку пополам?
3. Полторы курицы за полтора дня снесли полтора яйца. Сколько яиц снесут 6 кур за
6 дней?
4. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5
частей, а Вася – на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1988 обрывков.
Докажите, что нашли не все.
5. Можно ли разрезать треугольники так, чтобы никакие два не имели двух общих
вершин?
6. Из стакана кофе в стакан молока перелили одну ложку кофе и размешали. Затем
обратно перелили одну ложку смеси. Чего больше: кофе в молоке или молока в
кофе?
7. Можно распилить кубик 3х3х3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли
уменьшить число распилов, если можно распиливать сразу несколько кубиков?
8. В числе переставили цифры и получили число в три раза меньшее. Докажите, что
исходное число делилось на 27?
9. Двое поочерёдно кладут пятаки на прямоугольный стол на свободное место.
Проигрывает тот, кто не может положить пятак. Кто выигрывает при правильной
игре?
10. 20 школьников решали 20 задач. Оказалось, что каждый школьник решил две
задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так
организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых
им задач и все задачи были разобраны.
11. Дана точка. Можно ли нарисовать многоугольник так, чтобы ни одна его сторона
не была видна из этой точки плоскостью?
12. Перед вами два брата близнеца. Одного из них зовут Ваня, другого – Веня. Один из
братьев всегда говорит правду, а другой всегда врёт. Вы можете задать один вопрос
одному из братьев, на который тот ответит «да» или «нет». Попробуйте выяснить,
кого из близнецов как зовут.
13. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого. Верно ли,
что площадь первого больше площади второго?
14. Генерал построил солдат в колонну по 4, но при этом солдат Иванов оставался
лишним. Тогда генерал построил солдат в колонну по 5. И снова Иванов остался
лишним. Когда же в колонне по 6 Иванов остался лишним, генерал посулил ему
наряд вне очереди, после чего в колонне по 7 Иванов нашел себе месте и никого
лишнего не осталось. Сколько солдат могло быть у генерала?
15. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности.
Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально
противоположные точки.
16. В углах шахматной доски 3 на 3 стоят 4 коня: 2 белых (в соседних углах) и 2
черных. Можно ли за несколько ходов (по шахматным правилам): а) поменять
местами белых и черных коней? б) поставить коней так, чтобы во всех соседних
углах стояли кони разного цвета.
17. В одну из голов 1000-голового дракона пришла мысль расположить свои головы
так, чтобы каждая находилась между двумя другими. Сможет ли он это сделать?
(Головы дракона принять за точки на плоскости).
18. 7 разбойников хотят поделить добычу. Каждый может ее делить на любое число
равных (по его мнению) частей, но мнения разбойников различны. Как
организовать дележ, чтобы каждому досталось (по его мнению) не меньше одной
седьмой всей добычи?
19. Внутри квадрата ABCD находится точка О. ∠ OAB = ∠OBA =15°. Докажите, что
треугольник OCD равносторонний.
20. Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать
число, делящееся на 1993.
21. Есть два больших сосуда, в одном – 1 л спирта, в другом – 1 л воды. Разрешается
переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой. Можно ли за
несколько переливаний сделать 60-процентный раствор спирта в том сосуде, где
была вода?
22. Какое наименьшее число выстрелов всегда достаточно, чтобы попасть в
«четырехклеточный корабль» при игре в «морской бой»?
23. На пир собрались 100 людоедов. Известно: что среди любых 10 из них хотя бы
один оказался в желудке у другого (из этой десятки). Докажите, что есть
«матрешка» из 12 людоедов, каждый из которого (кроме последнего) находится в
желудке у следующего.
24. Докажите, что у любого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом
сторон.
25. В марсианском метро 100 станций. Забастовочный комитет хочет закрыть n из них,
где 0 < 𝑛 < 100. Забастовка считается гуманной, если между всеми незакрытыми
станциями останется проезд. Докажите, что при любом n возможна гуманная
забастовка.
26. Докажите, что в игре «крестики-нолики» на бесконечной доске у ноликов
отсутствует выигрышная стратегия.
27. Монах с 6 утра до 6 вечера поднимался на гору и там ночевал. На следующий день
с 7 утра до 2 дня он спускался по той же дороге. Докажите, что в пути было такое
место, где он находился в одно и то же время и на подъеме, и на спуске (монах
часто отдыхал и шел неравномерно).