9. Силы, действующие на звенья механизмов

6.1. Силы, действующие на звенья механизмов
6.1.1. Классификация сил. Задачи силового анализа
Силы и моменты, действующие на звенья механизмов принято делить на
внешние и внутренние. К внешним относятся:
силы движущие Fд или их моменты Мд, приложенные к ведущим звеньям,
предназначенные для преодоления сопротивлений и создаваемые двигателями;
работа этих сил положительна (Ад > 0), так как векторы силы и скорости ее
точки приложения направлены в одну сторону или образуют острый угол;
силы полезных сопротивлений FПС или их моменты МПС, приложенные
к ведомым звеньям; работа этих сил отрицательна (АПС < 0), так как векторы
силы и скорости ее точки приложения противоположны или образуют тупой
угол;
силы тяжести G, приложенные в центрах масс звеньев, работа которых
в зависимости от движения центра масс может быть положительной или
отрицательной;
силы инерции Fи или их моменты Ми, возникающие при движении
звеньев с ускорениями и действующие на ускоряющее звено со стороны
ускоряемого, работа которых может быть положительной или отрицательной;
силы вредных сопротивлений FВС или их моменты МВС (силы трения,
сопротивления среды и др.) препятствуют движению звеньев, поэтому их
работа всегда отрицательна (АВС < 0).
К внутренним силам относятся:
реакции в кинематических парах R, являющиеся функциями внешних сил,
их работа (для идеальных пар) равна нулю ( Ar = 0);
внутренние силы упругости F у или их моменты М u , возникающие
в звеньях или элементах кинематических пар под действием внешних сил и
реакций в кинематических парах;
силы трения в кинематических парах FТ или их моменты МТ,
возникающие под действием внешних сил и препятствующие относительному
перемещению звеньев, их работа отрицательна (AT < 0).
При решении задач силового анализа механизмов определяются: силы
инерции (главный вектор Fи и главный момент Ми); реакции в кинематических
парах R; силы, движущие Fд, и их моменты Мд; силы и моменты трения в
кинематических парах − FТ и МТ.
Расчеты, выполняемые при решении задач силового анализа, называют
статическими, если в качестве исходных данных используются силы тяжести и
полезных сопротивлений; кинетостатическими, если учитываются и силы
инерции; динамическими, если учитываются все силы.
6.1.2. Основные понятия и аксиомы статики
Статика − раздел механики, в котором изучают эквивалентные
преобразования и условия равновесия сил, приложенных к твердым телам.
Сила − векторная величина, являющаяся мерой взаимодействия двух тел.
Единица силы в СИ − ньютон (Н).
Система сил − совокупность сил, приложенных к твердому телу.
Две системы сил называют эквивалентными, если при замене одной
системы другой механическое состояние тела не меняется.
Сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей
данной системы сил.
Сила как вектор определяется точкой приложения, направлением и
модулем.
Свободными называют тела, которые от действия приложенных сил
могут двигаться в любом направлении в пространстве.
Система сил, которая, действуя на свободное тело, находящееся в покое,
не сообщает ему никакого движения, находится в равновесии или эквивалентна
нулю.
Сила, приводящая систему сил в состояние равновесия, называется
уравновешивающей.
Статика базируется на основных законах, принимаемых без
доказательства, называемых аксиомами.
Аксиома 1 (принцип инерции). Всякое тело продолжает удерживаться
в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и
поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.
Принцип сформулирован применительно к отдельной материальной частице
или к центру масс и справедлив по отношению к инерциальным системам
отсчета.
Аксиома 2 (аксиома об абсолютно твердом теле). Две силы,
действующие на твердое тело, взаимно уравновешиваются тогда и только
тогда, когда они равны по модулю и действуют по одной прямой в
противоположные стороны. Это необходимое и достаточное условие
равновесия двух сил. Две такие силы, приложенные к реальному телу, могут
вызывать его деформацию или разрушение. Лишь на абсолютно твердое тело
такие силы не оказывают никакого влияния.
Аксиома 3. Не нарушая равновесия (движения) тела, можно добавлять и
отбрасывать (исключать) уравновешенную систему сил.
Пусть на тело в точке А действует сила F (рис. 80, а). В точке В приложим
две равные и противоположно направленные силы F1 = F2 = F
(рис. 5.1,
F
=
F
б). Согласно третьей аксиоме, уравновешенную систему сил
2 можно
F
=
F
исключить. Сила 1
приложена в точке В. Следовательно, для абсолютно
твердого тела сила − вектор скользящий.
а
б
в
Рис. 80
Рис. 81
Аксиома 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и
направленных под углом друг к другу, изображается по модулю и направлению
диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 81).
Аксиома 5 (принцип равенства действия и противодействия). Действию
есть равное и противоположное противодействие, иначе − взаимодействия двух
тел друг на друга всегда между собой равны и направлены в противоположные
стороны. Действие и противодействие приложены к разным телам.
Аксиома 6 (принцип отвердевания). Равновесие тела не нарушится, если
это тело отвердеет. Аксиома сформулирована Стевином. Из нее следует, что
условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу, должны
выполняться и для сил, приложенных к деформируемому телу. Для него эти
условия необходимы, но недостаточны.
Моментом силы относительно точки называют произведение модуля
силы на ее плечо − длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию
действия силы. Момент силы считают положительным, если сила стремится
повернуть плечо против часовой стрелки.
Момент силы относительно точки выражается произведением радиусавектора точки приложения силы на вектор силы (рис. 82, а):
M0 = r × F
.
(6.1)
а
б
Рис. 82
Вектор М0 перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F.
Пусть дана сила F, направление которой составляет угол αF с осью абсцисс
(рис. 82, а); cos αF = Fу / F , cos β F = Fx / F . Направляющие косинусы радиусавектора cos α r = x / r , sin α r = у / r , M = rF sin δ , а sin δ = sin (α F − α r ) . После
подстановки в (6.1) некоторых величин и преобразований получим
M 0 = rF ( xF y − yFx ) / rF = xF y − yFx .
(6.2)
Это выражение устанавливает связь между моментом силы относительно
начала координат, проекциями силы на оси координат и координатами точки
приложения силы. Так как h = r sin δ , то M 0 = F ⋅ h .
Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы
относительно точки, взятой на этой оси (рис. 82, б):
M z = M 0 cos δ .
(6.3)
По теореме Вариньона момент равнодействующей системы сходящихся
сил относительно какого-либо центра равен сумме моментов сил,
составляющих относительно этого же центра, т. е.
M 0 = r × F1 + r × F2 + ... + r × Fn = r × ( F1 + F2 + ... + Fn ) .
Заменив сумму сходящихся сил равнодействующей R, получим
M0 = r × R .
(6.4)
В частном случае, если все силы и точка О − центр моментов − лежат
в одной плоскости, то векторы моментов направлены по одной прямой
перпендикулярно к этой плоскости.
6.2. Силы тяжести и инерции звеньев
6.2.1. Система параллельных сил. Пара сил
Система сил, линии действия которых параллельны, называется системой
параллельных сил.
Пусть в точках А и В действуют однонаправленные параллельные силы F1
и F2 (рис. 83, а). Для приведения этой системы сил к равнодействующей
соединим точки А и В прямой и приложим равные и противоположно
направленные силы F3, линии действия которых совпадают с прямой АВ.
Складывая сходящиеся в точках А и В силы получим равнодействующие R1 и
R2. Продолжим линии действия равнодействующих до пересечения в точке О,
перенесем в эту точку силы R1 и R2 и разложим их на составляющие: R1 на
F3 ||AB и F1⊥AB , a R2 на F3 ||AB и F2⊥AB . Уравновешенную систему сил F3 и
F3 можно исключить. Силы F1 и F2 направлены по одной прямой в одну сторону
и их равнодействующая
R = F1 + F2 .
а
(6.5)
б
Рис. 83
Из подобия треугольников R1F1F3 и АОС, R2F2F3 и ВОС можно записать
F3 / F1 = AC / OC ,
F3 / F2 = CB / OC .
Разделив первую пропорцию на вторую, получим
F1 / F2 = AC / CB .
(6.6)
Линия действия равнодействующей однонаправленных параллельных сил
делит расстояние между линиями действия слагаемых сил на части, обратно
пропорциональные модулям слагаемых сил.
Приведение разнонаправленных неравных параллельных сил к
равнодействующей выполняется аналогично (рис. 83, б):
R = F1 − F2 ,
(6.7)
F1 / F2 = BC / BA .
(6.8)
Равнодействующая неравных разнонаправленных параллельных сил направлена в сторону большей силы и делит расстояние между линиями действия
слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям
слагаемых сил.
Из (6.6) и (6.8) можно получить следующие производные пропорции, полезные при решении задач:
F1 / BC = F2 / CA = R / AB .
(6.9)
Задача разложения силы R на две параллельные ей F1 и F2 становится
определенной, если заданы расстояния до линий действия этих сил (расстояния
АС, ВС и АВ) и модуль одной из сил.
Система двух равных разнонаправленных параллельных сил называется
парой сил.
Равнодействующая такой системы сил равна нулю. Плоскость, в которой
лежат линии действия сил пары, называют плоскостью пары, а кратчайшее
расстояние между линиями действия сил пары − ее плечом. Момент пары равен
произведению модуля одной из сил пары на ее плечо (рис. 84, а). Вектор
момента пары перпендикулярен к плоскости пары и направлен таким образом,
чтобы с его конца видеть пару вращающей тело против часовой стрелки. Это
направление момента пары считается положительным.
Можно показать, что сумма моментов сил пары относительно произвольного центра равна произведению модуля силы на плечо пары. В плоскости
пары F1, F2 возьмем произвольную точку О (рис. 84, б), проведем оси координат
и определим моменты сил пары относительно точки О: M 01 = −x1Fy1 − y1Fx1 ;
M 02 = Fy 2 ( x1 + h sin α) + Fx 2 ( y + h cos α) . После преобразования и приведении
свободных членов получим M 01 + M 02 = Fh .
а
б
Рис. 84
Следовательно, момент пары выражается свободным вектором,
перпендикулярным к плоскости пары, который не имеет фиксированной точки
приложения.
Теоремы, выражающие свойства пары, формулируются следующим
образом: действие пары на твердое тело не изменится, если переместить пару
в другое положение в плоскости ее действия; если плоскость действия пары
переместить параллельно самой себе; если любым способом изменить силы и
плечо пары, сохраняя их произведение постоянным.
а
б
в
Рис. 85
Пусть дана пара F, F' с плечом АВ (рис. 85, а). Переместим плечо пары
в некоторое положение А1 В1 и приложим силы F1, F2, F3, F4, равные силам
пары, направленные перпендикулярно A1B1. Перенесем силы F' и F4 в точку L
пересечения их линий действия, а силы F и F3 в точку К. Равнодействующие
силы F и F3, F' и F4 направлены по диагоналям ромбов, уравновешиваются и
система сил (F, F', F3, F4) − эквивалентна нулю. Система сил F, F' эквивалентна
системе F1, F2, т. е. пары F, F', F1 и F2, эквивалентны.
Пусть дана пара F, F' с плечом АВ (рис. 85, б). Перенесем плечо
параллельно самому себе в положение A1B1 и к точкам А1 и В1 приложим силы
F1 и F2, равные по модулю силам F, F' и параллельные им. Равнодействующие
системы сил F, F' и F1, F2, R = 2F будут приложены в точке пересечения
диагоналей параллелограмма АA1B1B и направлены в противоположные
стороны. Следовательно, система сил (F, F2, F', F1) эквивалентна нулю, а пара
F, F' эквивалентна паре F2, F1, плоскость действия которой параллельна плоскости
пары F, F'.
Пусть силы пары F, F' с плечом АВ (рис. 85, в) приложены в точках А и В.
Разложим силу F на силы F2 и (F'−F2), приложенные в точках А и С. Силы F1 и
F'−F2) имеют равнодействующую R1, модуль которой R1 = F1 − (F '−F2) = F2 . Для
новой пары F1, F2 с плечом АС удовлетворяется соотношение
F / AB = F2 / AC или F ( AC ) = F2 ( AB ) .
Следовательно, пара R1R2 эквивалентна паре F1F2.
Момент пары сил, полученный сложением нескольких пар,
расположенных в одной плоскости, равен сумме моментов слагаемых пар (рис.
86).
Рис. 86
При повороте всех параллельных сил около точек их приложения на
одинаковый угол в одну сторону линия действия их равнодействующей
повернется на тот же угол около точки ее приложения. Следовательно, эта
точка не меняет своего положения заданных сил и называется центром
параллельных сил. Координаты центра параллельных сил тяжести тела
определяют по теореме Вариньона:
X c = ∑ qi xi / G , Yc = ∑ qi yi / G , Z c = ∑ qi zi / G ,
(6.10)
где qi − элементарная сила тяжести; G − вес тела.
Для определения координат центра масс плоской фигуры однородной
толщины используются выражения
X c = ∑ Ai xi / A , Yc = ∑ Ai yi / A ,
(6.11)
где Ai − площади отдельных частей плоской фигуры; А − площадь всей
плоской фигуры.
Суммы произведений элементарных сил на координаты точек их
приложения называют статическими моментами сил:
S x = ∑ qi xi , S y = ∑qi yi , S z = ∑ qi zi .
(6.12)
Разделив числитель и знаменатель выражений (6.12) на ускорение
свободного падения, получим формулы для определения координат центра
масс тела:
xc = ∑ mi xi / m ,
yc = ∑ mi yi / m ,
zc = ∑ m i zi / m ,
(6.13)
где ∑m i xi , ∑m i yi ∑m i zi − статические моменты массы относительно
осей X, Y, Z.
По аналогии суммы произведений в (6.11) называют статическими
моментами площади:
S x = ∑ Ai xi , S y = ∑ Ai yi , z x = ∑ Ai zi ,
(6.14)
Для тел сложной формы, ограниченных кривыми линиями,
Sx =
∫ xdA ,
Sy =
( A)
∫ ydA ,
Sz =
( A)
∫ zdA .
( A)
(6.15)
Для удобства изучения плоской системы сил, приложенных к твердому
телу, выполняют операцию приведения всех сил к одному центру,
расположенному в плоскости действия сил. Пусть к твердому телу в точке А
приложена сила F (рис. 87). Выберем в плоскости действия силы F
произвольную точку В и приложим к ней две противоположно направленные
силы F1 и F2, равные и параллельные силе F. Силы F и F'1 образуют пару с
плечом h, а сила F1 представляет собой данную силу F, перенесенную в точку
В. Таким образом, сила F1 и пара (F, F'1) эквивалентны силе F. Следовательно,
система сил, произвольно расположенных на плоскости, может быть приведена
к одной силе − главному вектору и одному моменту − главному. Главный
вектор плоской системы сил равен геометрической сумме всех сил и приложен
в центре приведения. Главный момент плоской системы сил равен
алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения:
F = ∑ Fi ,
M 0 = ∑ M i0 .
а
(6.16)
б
Рис. 87
Модуль главного вектора данной системы сил определяется его
проекциями на оси координат:
F = ( ∑Fix ) 2 +(∑Fiy ) 2
.
(6.17)
Если за центр приведения принять начало координат, то выражение для
главного момента плоской системы сил имеет вид
M 0 = ∑( xi Fyi − yi Fxi ) .
(6.18)
Главный вектор может быть равнодействующей данной системы сил
только в том случае, если главный момент относительно центра приведения
равен нулю.
Если главный вектор данной системы сил не равен, а главный момент
равен нулю, то система сил приводится к одной равнодействующей, линия
действия которой проходит через центр приведения.
Если главный вектор и главный момент системы сил не равны нулю, то
система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой не
проходит через центр приведения. В самом деле, если главный момент системы
сил не равен нулю, то его можно представить в виде пары сил, которые равны
главному вектору, а плечо − равным отношению модуля главного момента и
главного вектора:
h = M0 / F .
(6.19)
Действие пары на тело не зависит от ее положения в плоскости действия,
и эту плоскость можно располагать так, чтобы одна из сил пары была
направлена по линии действия главного вектора в сторону, ему
противоположную. Тогда, исключив эту силу вместе с главным вектором как
взаимно уравновешенные, получим силу, эквивалентную данной системе сил,
которая является ее равнодействующей.
Равнодействующая по модулю равна главному вектору, параллельна ему,
но отличается линией действия.
6.2.2. Определение сил инерции
При определении движения или условий равновесия тел составляют
уравнения движения или равновесия и включают в них только те силы, которые
на них реально действуют. Однако есть и такой метод решения задач, когда
наряду с силами, приложенными к данному телу и сообщающими ему
ускорение, учитывают также и силы, с которыми данное тело препятствует
телам, сообщающим ему ускорение.
Пусть имеется некоторая материальная частица dm (рис. 88, а) и другие
тела ml, m2 и m3, действие которых на данную частицу представлено силами F1,
F2 и F3. Эти силы сообщают частице ускорение а. Частица препятствует телам с
силами F'1, F'2 и F'3, которые равны и противоположно направлены силам F1, F2
и F3, но не уравновешиваются ими, так как они не приложены к данной
частице. Приложим (условно) эти силы к материальной частице и сложим их
(рис. 88, б). Эту геометрическую сумму ( F '1+F '2 +F '3 ) сил противодействия
движущейся частицы dm телам ml, m2 и m3, сообщающим ей ускорение а,
называют силой инерции.
а
б
Рис. 88
При определении сил инерции исходными данными являются: форма и
размеры звеньев, линейные ускорения точек и угловые ускорения звеньев,
массы и моменты инерции звеньев.
Элементарная сила инерции dFiτ тела, совершающего плоское движение,
dFi = −adm ,
(6.20)
где а − ускорение элементарной массы dm.
Силы инерции звена распределяются по всему его объему
пропорционально массе и ускорениям точек. При решении задач силового
анализа
оперируют статически эквивалентными системами и вместо
распределенных сил инерции пользуются их главным вектором Fu ,
приложенным в центре масс звена, и главным моментом M u :
Fu = − maS , M u = − J S ε ,
(6.21)
где m − масса звена, кг; as − полное ускорение центра масс звена, м/с2;
J S − момент инерции звена относительно центра масс, Н⋅м2; ε − угловое
ускорение звена, рад/с2. В (6.20) и (6.21) знак "−" указывает на то, что силовые
факторы направлены противоположно ускорениям.
а
б
в
Рис. 89
В случае поступательного движения (рис. 89, а) элементарные силы
инерции приводятся к главному вектору инерции Fu , определяемому первым
выражением (6.21). При вращательном движении звена (рис. 89, б) на
материальную частицу dm, расположенную на расстоянии ρ от центра
вращения А, действуют нормальная dFun = −ω 2ρdm и касательная dFuτ = −ερdm
составляющие силы инерции. Равнодействующая касательных составляющих
определится интегрированием выражения для касательной составляющей
элементарной силы инерции по всей массе звена:
Fuτ = − ∫ερdm = −ε
( m)
∫ ρdm .
( m)
Выражение под интегралом представляет собой статический момент
массы звена относительно оси вращения A: SA = mlAS , поэтому
Fuτ = − mεl AS ,
где l AS − расстояние от оси вращения до центра масс S.
Учитывая, что l ASε = aτAS , окончательно получим
Fuτ = − maτS .
(6.22)
Точку К, через которую проходит равнодействующая элементарных
касательных сил инерции, можно найти по теореме Вариньона:
M uτ = Fuτ l AK = − ∫ ρdFuτ = −ε
( m)
∫ρ
2
dm = −εml AK = −εJ A
(m)
,
откуда
l AK = εJ A / Fuτ = J A /(mlAS ) .
ρdA = J
A
∫
Интеграл (m
является моментом инерции звена относительно оси
)
2
вращения А. Учитывая, что J A = J S + mlAS
, где J S − момент инерции
звена
относительно центра масс, окончательно запишем
l AK = l AS + J S /(ml AS ) .
(6.23)
Равнодействующая элементарных нормальных сил инерции определяется
интегрированием выражения для элементарной силы инерции по всей массе звена:
Fun = −ω 2
∫ ρdm = −ω
2
l AS m = −ma Sn
(m)
.
(6.24)
Равнодействующая нормальных сил инерции проходит через точку А.
В частном случае, если центр вращения совпадает с центром масс звена,
главный вектор сил инерции Fu = 0, а главный момент пары сил инерции определяется вторым выражением (6.21).
В случае плоского движения звена (рис. 89, в) его можно представить как
поступательное вместе с центром масс и вращательное относительно центра
масс. Тогда главный вектор и главный момент пары сил инерции вычисляется
по (6.21).
6.3. Реакции в кинематических парах
6.3.1. Реакции связей
Силу, с которой тело, осуществляющее связь, действует на тело, на которое
связь наложена, называют реакцией связи. Конструктивно связи могут выполнятся
различными способами, но чаще всего встречаются в виде неподвижных
поверхностей (рис. 90, а), линий (рис. 90, б), точек (рис. 90, в) и нитей (рис. 90, г).
а
в
б
Рис. 90
г
В реальных условиях при соприкосновении тела со связью между ними
возникает трение. В первом приближении опорные поверхности можно считать
абсолютно гладкими. Связи без трения называют идеальными. Так как
идеальные связи не препятствуют взаимному перемещению тел в любом
направлении, то реакция связи всегда направлена по нормали к опорной
поверхности (рис. 90, а); если одна из поверхностей вырождается в точку, то
реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис. 90, в). Реакция
неподвижной линии (рис. 90, б) может иметь любое направление в нормальной
плоскости, проведенной к кривой в точке касания. Примером такой связи
служит вращательная пара пятого класса, в которой ось шарнира,
перпендикулярная
к плоскости чертежа, является неподвижной прямой
(рис. 90, г).
При определении реакций применяют принцип освобождаемости от
связей: любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если
мысленно отбросить связи и заменить их реакциями.
В статике рассматриваются различные системы сил с целью замены этих
систем более простыми, им эквивалентными, и нахождения необходимых и
достаточных условий их равновесия. Процесс замены систем сил одной силой
называют приведением сил. Операцию замены одной силы системой сил, ей
эквивалентной, называют разложением сил. Для решения задач приведения и
разложения сил используют аналитический или графический методы.
6.3.2. Определение реакций в механизмах с низшими парами
Исходные данные для определения реакций: план положения механизма,
силы полезных сопротивлений, тяжести и инерции.
Задача решается построением плана сил кинетостатическим методом.
Реакцию, как и другие силы, определяют модуль, направление и точка
приложения. Для вращательной пары реакция проходит через центр шарнира
(рис. 90, г) и неизвестными являются модуль и ее направление. В
поступательной паре (рис. 90, б) линия действия реакции перпендикулярна к
направляющей и неизвестны ее модуль и точка приложения. Таким образом,
при определении реакций в низших парах пятого класса подлежат определению
два неизвестных. Если в кинематической цепи Р5 пар, то число неизвестных
будет 2Р5 и при n подвижных звеньях число уравнений равновесия − 3n.
Кинематическая цепь полностью определима, если
3n − 2 P5 = 0 .
(6.25)
Это равенство аналогично структурной формуле группы (2.3).
Следовательно, структурные группы являются статически определимыми
системами и при определении реакций можно рассматривать равновесие
каждой из групп
в отдельности.
Реакции в механизмах с низшими парами рекомендуется определять
в такой последовательности:
1. Выделенные структурные группы изображают в масштабе для каждого
положения механизма.
2. К звеньям группы прикладывают все задаваемые силы и моменты.
3. Действие отсоединенных звеньев во внешних парах каждой группы
заменяют реакциями.
4. Составляя уравнение равновесия группы и звеньев, определяют
реакции во внешних и внутренних кинематических парах.
Определение реакций необходимо начинать с группы, наиболее
удаленной от ведущего звена, постепенно переходя к последующим группам, и
заканчивать рассмотрением ведущего звена. Применяемые для структурных
групп второго класса уравнения приведены в [3].
Рассмотрим определение реакций в кинематических парах группы
второго класса второго вида (рис. 91, а). Действие всех заданных сил на звенья
2 и 3 представлены равнодействующими F2 и F3 и моментом M2, которые
включают силы инерции Fu2, Fu3 и момент пары сил и инерции Мu2. Действия
отсоединенных звеньев 1 и 0 заменим реакциями R1τ2 и R1n2 , проходящими
через центр пары А перпендикулярно к звену 2 и вдоль звена 2, и R03,
направленными перпендикулярно к направляющей пары В. Под действием
приложенных сил группа находится в равновесии.
Составим уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2,
относительно центра вращательной пары В:
∑ M ( Fi 2 ) B = R12τ l AB + F2 h2 + M 2 = 0 ,
откуда
τ
− R12
= ( F2 h2 + M 2 ) / l AB .
Величину и направление составляющей R1n2 и реакции R03 находим из
условия равновесия группы
∑ Fi 2,3 = R12n + R12τ + F2 + F3 + R03 = 0 ,
решаемого построением плана сил (рис. 91, б). Точку приложения реакции R03
можно найти, если представить ее плечо относительно центра вращательной
пары В из условия равенства нулю моментов всех сил, приложенных к звену 3:
∑ M ( Fi3 ) B = R03h03 − F3h3 = 0 ,
откуда
h03 = F3h3 / R03 .
Модуль и направление реакции R23 = R32 во внутренней вращательной
паре В определяется из рассмотрения условия равновесия звена 3:
∑ Fi3 = F3 + R0 3+ R2 3= 0.
На плане сил соединим начало вектора F3, конец вектора R03 с вектором
R23, который в масштабе плана сил изображает искомую реакцию.
а
в
б
г
Рис. 91
Сила или момент, приложенные к ведущему звену и уравновешивающие
действие всех остальных сил и моментов, приложенных к звеньям механизма,
называют уравновешивающими. За уравновешивающий момент или силу
принимают момент движущих сил M д = M y или силу Fд = F у , приложенные к
ведущему звену (рис. 91, в). Их величина и направление определяются из
условия равновесия звена 1:
∑ M ( Fi1 )0 = R21h21 − M у = 0 ,
откуда
M у = R21 h21 .
Реакция во вращательной паре определяется из условия равновесия сил,
действующих на звено 1:
∑ Fi1 = R2 1 + G1 + R0 1 = 0 .
Построением этого уравнения в масштабе µF определяется модуль и
направление реакции R01 (рис. 91, г).