Теплообмен в противотоке.

Тема 11.
Математичекие модели сланцевого генератора
1. Математическое моделирование полукоксования сланца в газогенераторах
по технологии “Kiviter”
Для математического моделирования полукоксования сланца в газогенераторах была
использована теория явлений переноса [61], позволяющая описать физико-химическую
сущность процесса полукоксования сланца в виде уравнений баланса энергии и массы
компонентов.
Преимуществами
принятого
метода
являются:
единый
подход
к
моделированию статики и динамики; незначительное количество коэффициентов,
требующих
экспериментального
определения;
представление
модели
в
виде
дифференциальных уравнений первого порядка, что удобно для синтеза системы
автоматического управления.
Отличительной особенностью 1000 - тонного газогенератора (технология “Kiviter”) является наличие двух камер полукоксования, разделенных горячей камерой, и развитой
зоны теплообмена. Швель шахты расположены по обе стороны горячей камеры и каждая
из которых может быть представлена известным генератором с поперечным потоком
теплоносителя.
Проведен6о
моделирование
процесса
в
обычном
генераторе
с
последующим учетом общих для двух аппаратов конструктивных частей; горячей камеры,
зон газификации и теплообмена. Режим полукоксования в генераторе обеспечивается
поддержанием в основном температурных параметров, в частности, температуры в
газосливе (Тг), температур теплоносителя (Тm), дутья (Тд) и обратного генераторного газа
(Тз). Выходные показатели, работы генератора объединим в вектор выхода Y = (Gген, Тг,
Gсм, Gгор, Тт)т
Управление процессом осуществляется изменением компонентов, вектора входа U= Gг1,
Сг2, Gг3,. Gв1, Gв2, Gсл).
Так как газогенератор является многомерным объектом управления, в котором
происходят распределенные в пространстве и связанные между собой процессы тепло- и
массообмена в его частях, то полная теоретическая модель процесса состоит из моделей
зон полукоксования, газификации, горячей и холодной камер и модели информационных
связей; между ними. Модель информационных связей имеет простой вид;Xi = Ui+1, то есть
выходы одного технологического узла Xi соединяются с входами другого узла Ui+1.
Используя алгоритм решения модели для заданного вектора входа U, можно рассчитать
значения вектора состояния - Х и вектора выхода генератора -Y. Вектор, состояния
системы Х образован из векторов состояния узлов газогенератора.
2. Аналитическая модель зоны полукоксования
Наиболее трудна для моделирования зона полукоксования, рассматриваемая как
сложный двухфазный реактор системы «газ - твердое тело» с поперечно движущимися
фазами. О.Аарна [35,36] предложил математическую модель процессов термического
разложения сланца и парофазного пиролиза компонентов сланцевой смолы в виде
системы уравнений баланса энергии и массы компонентов в фазах;
  (c1 1T1 )
 (c1 1T1 )
 v1
  K (T1 , T2 )(T1  T2 );
 t
x

  (c2  2T2 )  v  (c2  2T2 )   K (T , T )(T  T )  Q (1  m) K (T )  0 ;
2
1
2
1
2
r
c
2
2 2

t
z


  2
(5-1)
 v2 1  K c (T2 )(1  m)  20 2 ;


t

x

 2
  2
 t  v2 x   K c (T2 )(1  m) 2 ;

 ( 1  )
  ( 1  )
0
 t  v1 x  (1   0 )(1  m) K c (T2 )  2  2  K c (T1 )  0 m1 ,
где V1, V2 – скорости подачи фаз;

- частная производная по времени;
t
 
,
- частные производные по координатам;
t  z
В пределах 200 - 1000 °С не имеется расчетных соотношений для вычисления
теплоёмкостей. В связи с этим в выражении энтальпии балансовых уравнений энергии фаз
теплоемкости C1 и С2 приняты равными усредненным постоянным величинам. К (T1, Т2)
определен по уравнению Китаева [54,64], учитывающему размер, термическое сопротивление кусков материала и порозность слоя. Константа скорости термического
разложения сланца вычисляется по формуле [13]
K c (T2 )  10

13650 
 21,36

T2 

.
Система
уравнений (1) не разрешима аналитически. Физически разностная аппроксимация (2)
означает переход от исходной непрерывной модели зоны полукоксования к двухмерной
однородной сети проточных реакторов идеального перемешивания размерности nх-niz
(рис. 1) или, другими словами, к модели с сосредоточенными параметрами и большим
числом переменных состояния. Основой математической модели зоны полукоксования
становится модель двухфазного адиабатического проточного реактора идеального
перемешивания. Доля объема реактора, занимаемаемая фазой 1, обозначена через m.
Плотность фазы 1 изменяется за счет продуктов разложения реагирующего компонента
фазы 2, которые переходят в фазу 1 без сопротивления. Тогда состояние реактора описывается уравнениями:
1
 d (c1 1T1 )
 (c10 10T10  c1 1T1 )
 K (T1 , T2 )(T1  T2 );

dt
1

1
 d (c2  2T2 )
 (c20  20T20  c2  2T2 )
 K (T1 , T2 )(T1  T2 );

dt
2

 Qr (1  m) K c (T2 )  20 2 ;

(5-2)
1
 d 2
0

(



)

K
(
T
)(
1

m
)


;
10
1
c
2
2
2
 dt
1

1
 d 2
 dt  ( 20  1 )   K c (T2 )(1  m) 2 ;
2

 d ( 1  )
1
[( 1 ) 0  ( 1 )]
 (1   0 )(1  m) K c (T2 )  20 2  K c (T1 )  0 m1

1
 dt
В стационарном состоянии входящие и выходящие потоки •реактора удовлетворяют
системе уравнений, получаемой из системы (3) приравниванием нулю производных по
времени. Система в векторно-матричной форме имеет вид:


f 1 X 1 ,U 1  0 ,
(5-3)
где f1 - вектор - функция размерности n = 5;
X 1  (T1 , T2 , 1 , 2 , 1 )Т - вектор состояния;
U 1  [T10 ,T20 , 10 , 20 , ( 1 ) 0 ]Т - вектор управления.
Размерность всей системы математического описания определяется произведением числа
реакторов N = nх • nz. на размерность f1. Для определения вектора стационарного
состояния первые четыре уравнения из (4) решаются методом Ньютона-Рафсона , а из
последнего выражена ( 1  ) . Решение уравнений (4) на ЭВМ для прямоугольной сети
реакторов дает стационарное распределение температур, плотностей и концентраций
компонентов в фазах по всему объему зоны полукоксования. Коэффициенты в
математической модели зоны полукоксования (физико-химические параметры сланца,
теплоносителя, скорость термического разложения, объемный коэффициент теплообмена)
заимствованы в основном из справочных данных, и лишь один показатель  0 определен
по результатам балансовых испытаний на промышленной установке.
А.Аксельродом [62.63] были разработаны математические модели горячей и холодной
камер, зоны газификации.
3. Аналитическая модель зоны газификации
Работы по изучению особенностей полукоксования сланца в режиме без газификации
полукокса показали возможность повышения степени использования физического тепла
твердого остатка до 60-70% вместо 10% при режиме с газификацией, значительного
увеличения производительности и технико-экономических показателей работы агрегата
[8]. По сравнению с обычным" режимом работы газогенератора на паровоздушном дутье в
данном случае не происходит больших изменений в составе твердого остатка, и в зоне
газификации совершается лишь теплообмен между газовой и твердой фазами. Поэтому
при
математическом
моделировании
газификатора
возможны
два
направления:
моделирование теплообмена между двумя фазами в режиме без газификации полукокса;
математическое описание количества тепла, образующегося в газификаторе при режиме с
паровоздушным дутьем. При первом методе моделирования зона теплообмена аппроксимируется ячейками идеального перемешивания . Система уравнений, описывающая
стационарный перенос тепла в i-й ячейке, имеет вид:
Gr 1

c1 1 (T30  T31 )  mV  K (Tni , T31 )(Tni  T31 )  0;

1

c  (T  T )  Gn
 K (Tni , T31 )(Tni  T31 )  0.
 2 n n 0 ni (1  m)V1
(5)
Плотность полукокса определяется как среднеарифметическое из плотностей твердой
фазы последнего слоя реакторов зоны полукоксования в вертикальном направлении.
Система уравнений (5) в векторной форме имеет вид:
f 2 X ,U 2  0,
где f2 — вектор-функция 2n-размерности;
X 2  (T31 , T32 ,...T3n , Tni ,...Tnn )T  2n - компонентный вектор состояния;
U 2  (T30i ,...T30n , Tn 0i ,...Tnon )T  2n - компонентный вектор управления.
Согласно уравнениями связи между ячейками справедливы следующие соотношения:
Tni  Tn 0i 1 , T3i  T30i 1 .
В качестве моделирующего метода для системы нелинейных алгебраических уравнений,
как и при моделировании зоны полукоксования, использован метод Ньютона-Рафсона.
Решение системы (5) дает установившиеся значения температур обратного газа и
полукокса в каждой ячейке и на выходе из зоны теплообмена.
Количество органического вещества, выходящего из зоны газификации с полукоксом
Grop, является компонентом вектора выхода газогенератора и определялся из следующей
зависимости:
(6)
G гор  G сл (  2  1 ).
При подаче паровоздушного дутья в газификатор происходят реакции газификации
углерода (т. е. образование СО и Н2), содержание которого в полукоксе не превышает 6—
9%. Карбонаты минеральной части полукокса также подвергаются разложению, что
требует
затрат
значительного
количества
тепла.
Водяной
пар
необходим
для
предотвращения спекания и шлакования топлива. Сложность процессов газификации,
отсутствие данных о кинетике разложения карбонатов не позволяют получить
математическое описание газификатора методами явлений переноса. Поэтому зона
газификации рассматривается как источник тепла, получаемого при «сжигании полукокса». Количество тепла Q определяется по выражению:
(7)
Q  Qк  K  GB 2
Система уравнений (5) совместно с уравнениями (6) и (7) представляют собой
математическое описание зоны газификации.
4. Модель горячей камеры
При моделировании процесса образования газового теплоносителя горячая камера
рассматривается как емкость идеального перемешивания входящих тепловых потоков,
один из которых характеризует количество тепла, выделяющегося при горении
генераторного газа. Материальный баланс камеры горения показывает, что масса
входящего обратного газа и воздуха равна массе полученного газа-теплоносителя [8], и
модель горячей камеры может не содержать уравнений баланса массы компонентов, а
описывается уравнением баланса энергии. Сделано предположение, что в каждый момент
времени сумма объемных скоростей газов, входящих в камеру и выходящих из нее, равна
нулю. Тогда состояние горячей камеры описывается уравнением
d (c11Tm
dt
 (c1 1TГ 1G Г 1  QD G Г 2  c1 1TГ 3G Г 3  cm  mTm Gm )
1
VГ
(9)
Из анализа материального баланса горячей камеры (9) следует, что С1=Сm и 1   m
Gm=Gг1+Gг2+Gг3+GB1.
(10)
В стационарном состоянии производная по времени в уравнении (9) равна нулю, и
уравнение баланса энергии имеет вид:
c1 1TГ 1GГ 1  QD GГ 2  с1  йTГ 3GГ 3  c1 1TmGm  0
(11)
или в векторной форме
f 3 ( X 3 ,U 3 )  0,
где X3=Tm - вектор состояния;
U 3  (GГ1GГ 2 , GГ 3 )Т - вектор управления.
Решение системы уравнений (10) и (11) дает значения установившейся температуры и
объемной скорости подачи теплоносителя.
5.
Модель холодной камеры
Холодная камера газогенератора рассмотрена
как замкнутый объем, в котором
происходит идеальное перемешивание входящих потоков парогазовой смеси. Также
сделано предположение, что в каждый момент, времени сумма объемных скоростей газов,
входящих в холодную камеру и выходящих из нее, равна нулю. Тогда стационарное
состояние газокамеры описывается уравнением:
 nz
1
 c1 1TГ  0
 с1 1 Е1
n


1
z

 nz
1
 1  0
 1
nz
  1
 nz
1
 ( 1 )
 ( 1  )  0
nz
  1
(13)
В результате решения системы (13) определяются координаты вектора состояния
X 4  (TГ , 1 , 1 )Т .
Gген и Gсм являются компонентами вектора выхода газогенератора и вычисляются из
зависимостей
GГЕН  Gm 1 / 10 и Gсм  Gm  ( 1 ).
Параметры представлены как выходы холодной камеры, а не конденсационной системы,
влияние которой в данном случае рассмотрены в виде масштабного преобразования
переменных состояния камеры.
В векторно-матричной форме система (13) записывается в виде:
 f 4 ( X 4 ,U 4 )  0

Y  g ( X 4 ),
где
f4 - вектор-функция уравнений состояния;
g - вектор-функция уравнений выхода.
6. Математическая модель стационарного процесса полукоксования сланца
Математическое описание газогенераторов складывается из систем уравнений (3), (5),
(11),
(13).
Для
определения
размерности
всей
системы
число
реакторов,
аппроксимирующих зону полукоксования, принято равным N, а число
ячеек,
аппроксимирующих зону газификации, равным М. В векторно-матричной форме записи
модель представлена в виде уравнений состояния и выхода
 f ( X ,U , P)  0

Y  g ( X ),
(15)
где P - вектор параметров. Его компонентами в общем случае являются независящие от
времени и значений выходов свободные коэффициенты модели, как, например,
геометрические размеры узлов,. физико-химические константы, эмпирические коэффициенты.
Определение
вектора
параметров
необходимо
для
решения
задачи
идентификации модели. При использовании математической модели (15) для 1000тонного газогенератора следует учитывать, что общее количество теплоносителя Gm разделяется
на
два
потока
(имеются
две
симметрично
расположенные
камеры
полукоксования). Поэтому для определения времени пребывания сланца- ( 2 )
и
теплоносителя - (1 ) используются скорости поступления сланца и теплоносителя в
каждую , камеру полукоксования Gсл.2 и Gm/2. После окончательного определения режима
работы 1000-тонного агрегата необходимо в системе уравнений (15) учитывать тепловые
потоки именно тех источников, которые присущи выбранному режиму (сжигание
генераторного газа, подача генераторного газа в зоны газификации и теплообмена, подача
паровоздушного дутья).
Таким образом, модель статики газогенератора представляет собой систему нелинейных
алгебраических уравнений большой размерности, связывающих вектор управления U с
вектором состояния X или вектором выхода Y . Модель может быть использована Рак
для вычисления стационарных значений технологических параметров, так и для целей
проектирования агрегатов различной производительности.
Нахождение
управления
стационарных
и
вектор
значений
параметров
технологических
фиксированы:
параметров.
Если
вектор
U  U   const , P  P  const ,
то
стационарное состояние Х° находится из системы уравнений:
f ( X ,U , P)  0
(16)
Из-за неявности уравнений (16) относительно Х° нахождение стационарных значений
технологических параметров требует итерационных расчетов. Применён метод НьютонаРафсона, алгоритм которого для системы (16) имеет вид:
X
( K 1)
X
(K )
 f 


 X 
(K )
0
0
0
f ( X ( K ) ,U , P ),
(17)
0
где X (K
) - К-е приближение вектора состояния;
 f 
 x  - якобиан.
В связи с большой размерностью системы (16) возникают трудности при вычислении
аналитических выражений частных производных якобиана и при выборе величины
начального приближения компонентов вектора состояния. Это удается преодолеть
благодаря разделению якобиана на отдельные блоки, соответствующие математическому
описанию узлов газогенератора.
Вычисленный вектор X  с помощью уравнений (15) преобразуется в вектор выхода Y 
(стационарное состояние Y ). Координаты вектора выхода и доступные для измерения
координаты вектора состояния характеризуют стационарный технологический режим
генератора.
7.
Идентификация математической модели газогенератора
При использовании модели для оптимизации технологического процесса необходимо
произвести ее идентификацию . Если задан определенный класс моделей процессов и
некоторый процесс, то проблема идентификации состоит в том, чтобы с помощью
наблюдений на входе и выходе процесса определить в некотором смысле наилучшую
модель. Определяются конкретные значения коэффициентов модели, входящих в состав
вектора P  (C1 , C2 ,  0 , QD ), при котором погрешность расчетов минимальна. Так как
значения параметров зачастую недоступны наблюдению, для оценки эквивалентности
модели и объекта вводим скалярную функцию потерь (или функцию цели), связанную со
значениями параметров, и определяем ее минимум
n
I   (Y1  Y Ti
Т q(Y 1  Y Ti ),
(18)
i 1
где Y i и Y Тi - векторы измеренных и рассчитанных выходов газогенератора;
q - положительно определенная весовая матрица;
n - число измерений.
Матрица q принята диагональной со значениями, равными квадратам обратных величин
координат вектора выхода. Подставляя в функцию цели (18) значения Y i , Y Тi ,q, получено
 G ГЕН i  G ГЕН .Т .i ) 2 (TГi  Т ГТ i ) 2 (Gсм.i  GСМ .Т .i ) 2 (G ГОР.i  G ГОР.Т .i ) 2 (Tmi  Tm.T .i ) 2 
I  




.
2
2
2
G ГЕН
TГ2
Gсм
G ГОР
Tm2
.


(19)
Использование функции цели (19) позволяет добиться примерно равной относительной
погрешности по всем координатам вектора выхода.
Оптимальная оценка P получена методом наименьших квадратов по измерения выходов
объекта и решения модели в идентичных условиях (при одинаковых значениях входного
вектора). Эта задача может быть сформулирована следующим образом: найти
оптимальную оценку вектора параметров Р*, минимизирующую функционал
n
I   (Y i  Y Тi )Т q (Y i  Y Тi )  min
(20)
i 1
при ограничениях
 j ( X ,U , P )  0;

(21)
Y  g ( X );

 ( P )  0.
Ограничения типа равенств из системы (21) представляют собой математическое
описание объекта, необходимое для вычисления функционала (20), а ограничения типа
неравенств задают область допустимых значений вектора P .
В нескольких сериях машинных экспериментов определено значение вектора Р = Р*. Для
сравнения использованы данные балансовых испытаний за 5 лет работы одного агрегата
газогенераторной станции (ГГС-5) на СПК им. В. И. Ленина в режиме без газификации
полукокса [8]. Определено минимальное количество реакторов и ячеек идеального
перемешивания, аппроксимирующих зоны полукоксования и газификации. Для этого
составлены программы решения систем уравнений сети реакторов (3) и ячеек (5) методом
Ньютона-Рафсона. Машинные эксперименты показали, что наилучшее совпадение с
опытными
данными
достигается
при
сети
из
10
реакторов,
расположенных
соответственно по оси X-nx = 5, по оси Z-nz = 2. В зоне газификации минимальное число
ячеек
«М»
равно
трем.
Таким
образом,
размерность
математической
модели
газогенератора С = N +2 • М + 4 = 50 + 2 • 3 + 4 = 60. Многократные машинные расчеты
позволили определить минимум функционала (20) в области допустимых значений Р.
Попадание в окрестности минимума гарантировалось перебором начальных значений Р в
области его существования и изменением величины шага в алгоритме метода случайных
направлений. Координаты оптимальной оценки вектора Р* получили следующие
значения:
C1  0,29
ккал
;
кг  С
C 2  0,43
ккал
;
кг  С
 0  0,115; Q  930
ккал
.
м3
В результате решения модели на ЭВМ определены температурные и концентрационные
поля в узлах генератора .
Характерно, что область, в которой происходит разложение керогена, очень узкая и
расположена диагонально относительно середины зоны полукоксования. Рассчитанные
показатели работы агрегата полностью согласуются экспериментальными данными.
Оптимизация технологического процесса. Задача оптимального управления процессом
особенно часто возникает, если в ходе эксплуатации изменяются характеристики
оборудования (изменение коэффициентов теплопередачи, гидродинамических условий в
потоках и т. п.) или имеют место внешние возмущения (главным образом за счет
изменения свойств сырья). При полукоксовании сланца в газогенераторе встречаются оба
типа нестационарностей, но основным можно считать изменение свойств сланца:
содержания керогена, влажности, гранулометрического состава.
Математическая формулировка задачи имеет вид: найти вектор управления U*,
максимизирующий (минимизирующий) целевую функцию стационарного состояния
I  I (U , Y )  экстремум
(22)
при ограничениях
 f ( X , U , P)  0;

Y  g ( X );
(23)

 1 (U )  0;

 2 (Y )  0;
Ограничения типа равенств из системы (23) представляют собой математическое
описание объекта, для которого определяется целевая функция. Ограничения типа
неравенств задают область допустимых значений вектора управления и выхода.
Результатом оптимизации являются оптимальные установившиеся значения вектора U* и
Y*. а также вектора состояния X* Решение задачи проведено методом случайных
направлений.
Численные значения компонентов начального вектора и в алгоритме метода случайных
направлений приняты равными значениям расходов газа и воздуха при балансовых
испытаниях газогенератора. Для большей гарантии попадания в окрестность максимума
целевой функции машинные расчеты повторялись при шагах оптимизации переменной
величины Результаты оптимизации показывают, что для достижения максимального
выхода смолы Gсм необходимо поддерживать повышенные по сравнению с обычными
расходы генераторного газа в газификатор Gг1 и воздуха в горячую камеру Gг1.
Для сопоставления данных оптимизации технологического режима по максимуму выхода
смолы и максимуму удельного выхода смолы решена задача оптимизации, в которой
вектор управления Uн содержит две независимых координаты Gг1 Gв1 а величина расхода
сланца Сел принимает из области существования ряд последовательных дискретных
значений Gсл.i. Каждому i-му значению расхода сланца соответствует свой максимальный
выход смолы и удельный выход смолы.
. Величина расхода сланца изменялась в пределах от 3,5 до 11 т/ч. Представленные кривые
связывают оптимальные точки, полученные при различной величине шага в алгоритме
случайных направлений. Максимальный выход смолы возрастает линейно с увеличением
G 
расхода сланца, а максимальный удельный выход смолы  см  вначале повышается,
 Gсл 
приближаясь к 20% при 4,5 т/ч сланца, а затем несколько понижается.
Интересен характер кривых, связывающих координаты оптимального вектора Uн* для
различных значений расходов сланца. Расход газа в газификатор Gг1 стремится к верхней
границе ограничений и держится примерно постоянным для всего диапазона изменения
Gсл. Расход воздуха в горячую камеру Gв возрастает почти линейно с увеличением Gсл.
Характерной особенностью процесса оптимизации является то, что температура теплоносителя Тm, соответствующая оптимальному режиму, несколько ниже обычной. Это
хорошо
согласуется
с
рекомендациями
технологов
по
улучшению
процесса
полукоксования сланца.
В результате решения задачи оптимизации технологического режима появилась
возможность для известного расхода сланца в генератор рассчитать на ЭВМ
технологические режимы, оптимальные по выходу смолы или удельному выходу смолы и
рекомендовать полученные значения входных параметров для управления процессом.
Теплообмен в противотоке.
В большинстве шахтных печей движение шихты и газов происходит по принципу
противотока.
Рассмотрим, следуя работам Б. И. Китаева, ряд наиболее важных аспектов теплообмена в
плотном слое при противотоке. Общее уравнение теплового баланса можно написать
следующим образом:
G м c м dTм  Gг cг dTг
,
(1)
где Gм и Gг — массовый расход соответственно нагреваемого материала и
охлаждающихся газов, кг/ч; см и сr — теплоемкость материала и газов, кДж/(кг∙К); dTм и
dTг — изменение температуры материала и газов, К.
Применяя водяные эквиваленты, это выражение можно записать так:
Wм dTм  Wг dTг
,
(2)
Очевидно, что изменение температур dTм и dTг будет зависеть от соотношения между
величинами Wм и Wг. Возможны три случая такого соотношения, изображенные на
(рисунке 1).
В первом случае, когда Wг > Wм, конечная температура нагреваемого материала
(обозначения ясны из рисунка 1) практически достигает начальной температуры газов.
Газы при любой высоте слоя не могут отдать всего своего тепла нагреваемому материалу
и выходят из состояния теплообмена с высокой конечной температурой, что является
неизбежным.
При Wг = Wм и dТг = dТм охлаждение газов на 1 °С обеспечивает нагрев металла также
на 1 0С. Следовательно, на всей высоте слоя разность температур между Тг и Тм будет
одинаковой, что обеспечивает прямолинейный характер изменения этих температур по
высоте слоя.
Если Wг < Wм, то при достаточной поверхности нагрева газы отдадут все свое тепло
материалу (Т''г и Т'м), однако этого тепла не хватит, чтобы
нагреть материал до начальной температуры газов.
Как будет показано ниже, в разных частях шахтной печи возможны случаи, когда Wг >
Wм и Wм > Wг, поэтому рассмотрим подробнее теплообмен при Wг > Wм сначала для
случая термически тонких кусков. С этой целью выделим элементарный участок слоя,
через который в единицу времени проходит объем материала Vм с поверхностью F.
Количество тепла, переданное материалу, может быть записано следующим образом:
G м c м dTм  FVм Tг  Tм dt
,
(3)
где α — коэффициент теплоотдачи от газов к поверхности кусков, Вт/(м2 ∙ К).
При отсутствии тепловых потерь для противотока характерно, что в любом сечении по
высоте слоя (рисунок 1).
Gг c г Tг  G м c мTм  Gг c г Tг
откуда
, (4)
 G c
Т г  Т г  м м Tм
Gг c г
(5)
Подставив выражение (5) в уравнение (3), можно получить после соответствующих
преобразований неходкое дифференциальное уравнение

FVм
Tм dt 
Т гdt  0 (6)
Gм c м

 1
1
dTм  FVм 

 G м c м Gг c г
решением которого будет
 FVм


Т м  Т г 1  ехр

 Gм c м

 Gм c м
1 
Gг c г

 

t  
 
 (7)
Из последнего выражения следует, что при t=∞ (высота слоя ∞) температура кусков
материала на выходе из слоя Т''м достигнет температуры газов на входе в слоя Т'г. Если
учесть, что для этого момента времени Т'г ≈ Т''м, то из выражения (5) можно получить:

 G c
Т г  Т г 1  м м
Gг c г



 (8)
Учитывая, что αv=αF, t = H/p и Gм cм /Vм = cм pнас (pнас – плотность насыпного слоя) и,
перейдя к безразмерной форме, можно записать следующее выражение для условий
завершенного теплообмена (Т'г ≈ Т''м) при Wг > Wм:


Т г  Т г Wм
 v  Wм
1 

exp 

W
c
p
г
м
нас
 Wг
Тг Тм

Приведенные
выше
 h
 
 p
(9)
выражения
устанавливают
связь
между
всеми
основными
величинами, определяющими изменение температуры материала в слое и температуры
газов.
Для случая Wм > Wг, аналогичные рассуждения приводят к выражению:


Тг Тг
 v  Wм  Н 

 1  еxp
 1 

c
p
W
м
нас
г

 p
Тг Тм

Уместно напомнить, что все вышеприведенные рассуждения относятся к нагреву кусков,
представляющих собой термически тонкие тела, т. е. без учета внутреннего теплообмена в
кусках. В действительности реальные куски могут не быть термически тонкими телами, т.
е. не будет иметь место равенство
t   t  
, где
t  , t   — время прогрева кусков
соответственно с реальной и с бесконечно большой теплопроводностью. Для реальных
кусков можно говорить о какой-то условной величине отношения
t  / t   , которое будет
зависеть от критерия Bi . Поскольку куски бесформенны, то для них практически
невозможно определить точно величину линейного размера, входящего в критерий Bi.
Если с определенной степенью приближения считать, что куски имеют форму шара, то
t   t    t 
1
1
1  Bi
5
где Bi = R /  ; R – радиус шара.
После соответствующей подстановки в уравнение (7) можно получить выражение




  v  W м  t   

1 

Т м  Т г 1  ехр
1  
c
p
W
м
нас
г




1  Bi 
5  


которое позволяет делать необходимые расчеты нагрева слоя, состоящего реальны кусков.
Bo все приведенные выражения, естественно, входят величины коэффициентов
теплоотдачи, которые определяются экспериментальным путем.
Большой
практический
интерес
представляет
определение
гидравлического
сопротивления слоя. Хаотическое распределение кусков неопределенность сечений для
прохода газов - все это делает возможным, по существу, лишь эмпирический путь
исследования этих вопросов. В результате неопределенности формы и размеров пор
между кусками определения отдельных элементов местных сопротивлений выполнить
невозможно, поэтому они учитываются общим коэффициентом Ксл, входящим в
нижеприведенную формулу для определения потерь напора в слое, Па:
p  K сл
 об2 p
2

1
f2
где Ксл - 4ξ (Н/dэкв); wоб — скорость, отнесенная к общему сечению шахты, м/с; f —
порозность слоя; рг — плотность газов, кг/м3; Н — высота слоя, м; dэкв — эквивалентный
диаметр, м; dэкв = (0,45÷0,47) d; d — средний диаметр кусков слоя, м; ξ – коэффициент
сопротивления, зависящий от критерия Re и определяемый при турбулентном режиме при
250 < Re < 5000 по формуле ξ = 1,56/Re0,15.
Турбулентный режим в слое наступает при низких значениях критерия Re. Это
объясняется турбулизацией потока при внезапных расширениях и сужениях, резких
поворотах при прохождении газа через слой кусковых материалов.
Кинетика нестационарного теплообмена в пластине
Кинетика теплообменных процессов рассматривает вопросы о механизмах и скорости
передачи энергии в форме теплоты от тела с большей температурой к телу с меньшей
температурой. Движущая сила процесса теплообмена – разность температур между двумя
точками в пространстве. К теплообменным процессам относятся процессы нагревания,
охлаждения, выпаривания, конденсации паров и др. Различают три механизма переноса
теплоты: теплопроводность, конвекция и излучение.
При моделировании процесса теплообмена обычно рассматривают внутренний, внешний
и сложный теплообмен.
Наиболее простая постановка задачи внутреннего теплообмена состоит в изучении
пространственно–временного изменения температуры внутри твердого непрозрачного
тела. Кинетика теплообмена, происходящего в сплошной среде в результате
теплопроводности, описывается уравнением Фурье:
𝑄 = −𝜆
𝑑𝑡
𝐹,
𝑑𝑛
(1)
где Q – количество теплоты, передаваемое в единицу времени; λ – коэффициент
теплопроводности; dt/dn – градиент температуры; F – площадь поперечного сечения тела,
перпендикулярного направлению теплового потока.
При составлении теплового баланса для малого элемента объема изотропного
неоднородного тела с учетом уравнения (1) может быть получено дифференциальное
уравнение, описывающее нестационарное поле температуры внутри рассматриваемого
тела:
𝜕𝑡
𝜌𝑐 = 𝑑𝑖𝑣(𝜆 grad 𝑡),
𝜕𝜏 𝑝
(2)
где ρ – плотность тела; ср – теплоемкость тела.
В случае изотропного однородного тела, когда коэффициент теплопроводности может
быть принят постоянным по всему объему, уравнение (2) примет вид:
𝜕𝑡
= 𝑎∇2 𝑡,
𝜕𝜏
(3)
где а=λ/(ρcp) – коэффициент температуропроводности, ∇2 - оператор Лапласа.
Уравнение(3) имеет множество решений. Для получения однозначного решения
уравнения (3) необходимо выполнение следующих условий: геометрические условия –
задаются форма и размеры твердого тела; физические условия – задаются физические
свойства тела: коэффициент теплопроводности, теплоемкость, плотность и др.; начальные
условия – устанавливают распределение температуры в теле в начальный момент времени
при τ = 0. Имеем
𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜏) = 𝑡0 (𝑥, 𝑦, 𝑧),
(4)
где x,y,z – координаты тела.
В простом случае принимают равномерное начальное распределение температуры в
объеме частицы:
𝑡|𝜏=0 = 𝑡0 ;
(5)
Граничные условия – отражают условия теплового взаимодействия на границе между
рассматриваемым телом и окружающей его средой.
Граничные условия имеют четыре основных вида (рода).
Граничные условия
первого
рода характеризуют
поверхности тела как функцию координат и времени
𝑡|гр = 𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜏),
температуру на
(6)
где𝑡|гр – температура на внешней границе частицы.
Простейший случай граничных условий первого рода задает постоянство температуры на
поверхности тела в любой момент времени (условие Дирихли):
𝑡|гр = 𝑡0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(7)
Граничные условия второго рода задают на поверхности тела плотность теплового потока
в виде функции координат и времени:
𝑞гр = 𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜏),
(8)
или
−𝜆
𝜕𝐶̅
| = 𝑞гр .
𝜕𝑛 гр
(9)
Частный случай условия Неймана – условие тепловой изоляции:
𝜕𝑡
( ) = 0.
𝜕𝑛 гр
(10)
где n – внешняя нормаль к поверхности тела.
Граничные условия третьего рода характеризуются законом теплообмена между телом и
рабочей средой (условие Ньютона):
−𝜆
𝜕𝑡
| = 𝛼(𝑡гр − 𝑡𝑐 ).
𝜕𝑛 гр
(11)
где 𝑡𝑐 и 𝑡гр – температура среды и поверхности тела.
При α→0 граничное условие третьего рода переходит в граничное условие второго
рода.
При α→0 и λ→0 получаем граничное условие первого рода, т.е.
1 𝜕𝑡
𝑡|гр − 𝑡𝑐 = 𝛼lim [ 𝛼 ( ) ] = 0.
𝜕𝑛 гр
→∞
𝜆
𝜆
(12)
Откуда
𝑡гр = 𝑡𝑐 .
(13)
Граничные условия четвертого рода (условия сопряжения) задаются в месте контакта двух
тел, предполагая равенство температур поверхностей двух тел и тепловых потоков:
𝑡1 (𝑅1 , 𝜏) = 𝑡2 (𝑅1 , 𝜏),
𝜆1
(14)
𝜕𝑡1 (𝑅1 , 𝜏)
𝜕𝑡2 (𝑅1 , 𝜏)
= 𝜆2
.
𝜕𝑥
𝜕𝑥
где 𝑡1 (𝑅1 , 𝜏) и 𝑡2 (𝑅1 , 𝜏) – температуры на поверхности первого и второго тела,
соответственно.
Уравнение (3) может быть упрощено. Обычно рассматривают одномерное
дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности для изотропных тел
одной из трех классических форм:
𝜕𝑡
𝜕 2 𝑡 𝐴 𝜕𝑡
= 𝑎( 2 +
).
𝜕𝜏
𝜕𝑥
𝑥 𝜕𝑥
(16)
Для тел плоской формы А=0, для протяженных тел цилиндрической формы А=1 и для
шара А=2.
В качестве примера приведем решение уравнения нестационарной теплопроводности,
полученное методом разделения переменных при равномерном распределении
температуры в теле, имеющем форму одномерной пластины толщиной 2R:
∞
𝑡(𝑥, 𝜏) − 𝑡𝑐
2
𝑥
𝑎𝜏
= ∑ (−1)𝑛+1 𝑐𝑜𝑠 (𝜇𝑛 ) 𝑒𝑥𝑝 (−𝜇𝑛2 2 ) ,
𝑡0 − 𝑡𝑐
𝜇𝑛
𝑅
𝑅
(17)
𝑛=1
где t0 – начальная температура тела; tс - температура стенки тела, μn = π(2n-1)/2.
Среднее значение температуры в теле определяется почленным интегрированием
распределения (17) по толщине пластины в диапазоне от х=0 до х=R:
∞
𝑡̅(𝜏) − 𝑡𝑐
2
𝑎𝜏
= ∑ 2 𝑒𝑥𝑝 (−𝜇𝑛2 2 ) ,
𝑡0 − 𝑡𝑐
𝜇𝑛
𝑅
(18)
𝑛=1
Иллюстрация решений (17) и (18) приведена на рис.1.
При установившемся процессе передачи теплоты через плоскую стенку уравнение
теплопроводности примет вид:
𝜕 2𝑡
= 0.
𝜕𝑥 2
(19)
Рис. 1 Пример расчета процесса охлаждения пластины
Граничные условия к уравнению (19) запишем так:
𝑡|𝑥=0 = 𝑡ст1 ,
𝑡|𝑥=𝛿 = 𝑡ст2 ,
(20)
(21)
Интегрированиеуравнения (19) с условиями (20)и (21) приводит к функции:
𝑡(𝑥) = 𝑡ст1 −
𝑡ст1 − 𝑡ст2
𝑥,
𝛿
(22)
На рис. 2. приведен пример расчета стационарного процесса передачи теплоты через
плоскую стенку в системе Mathcad с помощью блока given и функции odesolve.
К задачам внешнего теплообмена относятся задачи переноса теплоты излучением и
конвекцией из внешней среды к поверхности тела или в обратном направлении.
Кинетика лучистого теплообмена определяется интенсивностью излучения и
относительным расположением тел. Количество теплоты, передаваемое посредством
излучения в единицу времени от более нагретого тела к менее нагретому телу,
определяется уравнением:
𝑇1 4
𝑇2 4
𝑄л = 𝐶1−2 𝐹 [(
) −(
) ] 𝜑1−2 ,
100
100
(23)
где 𝐶1−2 – коэффициент взаимного излучения; 𝑄л – количество теплоты, передаваемое
лучеиспусканием в единицу времени; F – площадь поверхности излучения; 𝑇1 –
температура поверхности более нагретого тела; 𝑇2 – температура поверхности менее
нагретого тела; 𝜑1−2 – средний угловой коэффициент.
Кинетика конвективного теплообмена описывается законом охлаждения Ньютона:
𝑄 = 𝛼𝐹∆𝑡,
(24)
где α – коэффициент теплоотдачи;∆𝑡- разность температур жидкости в еёобъеме и на
поверхности стенки.
Кинетика теплообмена между двумя
описывается уравнением теплопередачи:
𝑄 = 𝐾𝐹∆𝑡ср ,
гдеК
–
теплоносителями,
разделенными стенкой,
(25)
коэффициент
междутеплоносителями.
теплопередачи,
𝑡ср –
средняя
разность
температур
Рис. 2. Пример расчета процесса передачи теплоты через плоскую стенку
Сложный теплообмен – это процесс переноса теплоты, в котором принимают участие все
виды теплообмена – теплопроводность, конвекция и излучение.
Плотность теплового потока при сложной теплоотдаче равна:
𝑞 = 𝑞к + 𝑞л = 𝛼к (𝑇ср − 𝑇ст ) + 𝛼л (𝑇ср − 𝑇ст ) = 𝛼общ (𝑇ср − 𝑇ст ),
(26)
где 𝑞к и 𝑞л – плотность тепловых потоков, переносимых путем конвекции и излучения; 𝛼к –
конвективная составляющая коэффициента теплоотдачи; 𝛼л – лучистая составляющая
коэффициента теплоотдачи; 𝛼общ – суммарный коэффициент теплоотдачи.
В движущейся среде перенос теплоты может осуществляться совместно конвекцией и
теплопроводностью. С учетом этого при выводе уравнения теплового баланса для
небольшого элемента движущейся среды может быть получено дифференциальное
уравнение конвективного теплообмена (уравнение Фурье-Киргофа):
𝜕𝑡
𝜌𝑐 = 𝑑𝑖𝑣(𝜆grad𝑡) − 𝑑𝑖𝑣(𝑤𝜌𝑐𝑝 𝑡) (27)
𝜕𝜏 𝑝
где𝑤– вектор скорости жидкости.
В такой общей постановке задача о распределении температуры в движущемся потоке
вязкой среды аналитическими методами не решается. Теоретическое рассмотрение данной
задачи возможно только в предельно упрощенных случаях.
Для нестационарного теплообмена внутри цилиндрических и сферических твердых тел
решение приводится в книге.
Карслоу Г.,Егер Д., Теплопроводность твёрдых тел. Пер. с англ. М.,»Наука»,1964.487.с.
Литература.
61. Р. Берд.,В. Стюард, Е. Лайтфут Явления переноса. М., Химия, 1974.
62.
Аарна О., Аксельрод А., Орлов Г.И., Математическая модель зоны газификации в
газогенераторе с поперечным потоком теплоносителя.- В кн.: Сб. статей по хим. и хим.
технол. 40, Таллинн,1976,с.93-98. (Тр. ТПИ,№397).
63.
Аксельрод
А.А.
Определение
оптимальных
технологических
режимов
в
газогенераторах с поперечным потоком теплоносителчя на основе модели процесса
полукоксования сланца.- «Горючие сланцы», 1978,№3, с.14-20. (Ин-т информации ЭССР.
Информ.сер.1).
64. Китаев Б.И. и др. Теплообмен в доменной печи. Под ред. Б.И.Китаева.
М.,«Металлургия», 1966,355с.
65. Китаев Б.И. и др. Теплообмен в доменной печи. Под ред. Б.И.Китаева.
М.,«Металлургия», 1966,355с.
66.
Пиоттух Ю.Н., Шабанов С.И., Теплообмен в условиях трёхкомпонентного потока
«Известия СО АН СССР», 1961, №11.
67. Баскаков А.П. и др. Определение коэффициента теплоотдачи от твёрдого
теплоносителя к засыпке.- Тр. Межвуз. Конф. по энегротехнологическому использованию
и рациональным методам сжигания мелкозернистого топлива.,Свердловск ,1959.
68. Горбис З.Р., и др. Теплообмен в равномерной смеси двух дисперсных материалов
ИФЖ, 1970, т. 18, №1.
69. Шабанов С.И. Исследование и комплексный расчёт движения, теплообмена и
реагирования в дисперсных средах. Новосибирск. 1972 СО АН СССР.
70.
Сыроедов В.И., Гинзбург А.С. Кинетический расчёт влажного дисперсного
материала в виброожиженном слое с кондуктивным подводом тепла.- ИФЖ, 1965,т.
11,№6.
71.
Куклинский В.В..Горбис З.Р. Расчёт теплообмена в смеси дисперсных материалов.-
«Труды ВНИИнеруд», 1973, вып. 30.
72.. Куклинский В.В., Горбис З.Р., Календерьян В.А., О нестационарном теплопереносе в
дисперсных средах при малом времени контакта ИФЖ, 1972, т. 23, № 5.
73.
Шнеллер И.
Тепловой расчёт теплообменных аппаратов
с плотным слоем
переменной толщины при перекрёстном токе газа и частиц.- В кн.: Тепло- и массообмен.
Т.5. Минск, «Наука и техника»,1968.
74. Кейс А., Лондон А., Компактные теплообменники. Пер. с англ. М., «Энергия»,1967.
75. Фраас А., Оцисик М. Расчёт и конструирование теплообменников . Пер. с англ.М.,
Атомиздат,1971
76. Ефимов и др. Освоение режима полукоксования кускового сланца в газогенераторах
без газификации полукокса.- В кн.: Добыча и переработка горючих сланцев. Л., «Недра№,
1967, с. 79-89. ( Тр. НИИ сланцев. Вып.16).
77. Ефимов и др. К исследованию особенностей полукоксования сланца в газогенераторах
с поперечным потоком теплоносителя.- В кн.:Процессы переработки и продукты
термического разложения горючих сланцев. Таллин, «Валгус», 1975, с. 40-59. (Тр. НИИ
сланцев. Вып.20 Тр. НИИ сланцев. Вып.16).).