ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ ГОРЮЧЕЙ СМЕСИ В КАНАЛЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ ГОРЮЧЕЙ СМЕСИ В КАНАЛЕ
Баубек А.А., Сулейменов Т.Б.
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева
Уравнение сохранения энергии представляет собой особую форму первого
закона термодинамики для стационарных поточных процессов, оно отражает
энергетический баланс для открытой системы [1, 2].
Первый закон термодинамики в этой форме можно применять к
техническим устройствам, не требуя точных данных о процессах, протекающих
внутри рассматриваемого устройства. В энергетическом балансе используются
только величины, определяемые на его входе и выходе массы рабочего тела.
Приведем обоснование того, что закрутку входящего в канал потока,
создаваемую искусственно для интенсификации турбулентности, можно
представить как действие технической работы Wt некоторого воображаемого
устройства (вал с лопатками), как показано на рис. 1.
Рис. 1. К формулировке основных законов сохранения
массы, импульса и энергии для поточных процессов в
канале горелки; z – координата по вертикали
Во-первых, эта работа, как и в случае реальной закрутки потока,
осуществляется внешним воздействием, т.е. не вызвана внутренними причинами
в термодинамической системе. В реальном горелочном устройстве такое
внешнее воздействие осуществляется за счет ее специфической конструкции.
Работа, затрачиваемая на закрутку, осуществляется насосом, нагнетающим
воздух в горелку по тангенциальному направлению к оси горелки. Во-вторых,
такое движение газа увеличивает интенсивность турбулентного смешения –
одного из главных факторов, приводящих к ускорению горения.
В поточных процессах в любой фиксированный момент времени рабочее
тело целиком не находится в равновесном состоянии: на входе и выходе
рассматриваемой технической установки оно имеет разные значения
термодинамических параметров. Так как поточный процесс подразумевает
перенос массы рабочего тела, то введем элемент массы m. Он полагается
настолько малым, что в нем состояние вещества можно считать равновесным.
Обозначим за t время, в течение которого масса m проходит через входное
или выходное сечение горелки.
Рассмотрим детально состояния системы, в которых она пребывает в
течение малого промежутка времени t. Отбрасывая несущественные детали,
получим термодинамическую схему протекающих процессов (рис. 2).
На рис. 2, а контрольный элемент массы изображен в начальном состоянии
во входном сечении 1. В промежуточном состоянии (рис. 2, б),
соответствующем времени t/2, половина массы m уже поступила в систему.
Причем, эта часть равна (только для стационарного процесса!) расходу из
системы через выходное сечение 2. В конечном состоянии (рис. 2, в) по
истечении времени t поступление массы m через входное сечение 1 закончено
с появлением за выходным сечением равного количества вещества m.
Применим теперь к рассматриваемой системе со стационарным поточным
процессом закон сохранения энергии. Пусть Q12 – тепло, которое газ получает
(или теряет) при прохождении от сечения 1 до сечения 2. На этом же интервале
1-2 совершаемую работу газом обозначим как W12. За E1 и E2 примем полную
энергию газа на входе и выходе канала.
а)
б)
Рис. 2. Термодинамическая схема
баланса энергии в горелке
в)
Будем учитывать наряду с кинетической энергией движения вещества, еще
изменение потенциальной энергии рабочего тела.
Q12  W12  E2  E1 , (1)
выражающем сохранение энергии в общем виде (первый закон термодинамики),
записанную для элемента массы m, взятого по срезу канала (элемент его
сечения малой толщины),


mvc 2
vc 2
E  U 
 mgz  m  u 
 gz 


2
2


,
(2)
где g – ускорение свободного падения.
Скорость vс меняется не только вдоль оси канала двигателя, она также
имеет различные числовые значения по сечению канала. Но нас сейчас не
интересуют изменения скорости (или каких-либо других параметров газа) по
поперечным направлениям движения потока как второстепенные или
малозначительные факторы.
Масса m входит в систему с энергией


vc21
E1  m  u1 
 gz1 


2

,
(3)


vc22
E2  m  u2 
 gz2 


2

,
(4)
а покидает ее с энергией
Тогда уравнение баланса энергии можно записать как


vc22  vc21
Q12  W12  m u2  u1 
 g ( z2  z1) 
2

 .
(5)
t
Общая работа W12 состоит из технической работы W12 , переходящей
границы системы в связи с вращением вала, и из работы изменения объема,
совершаемой во входном и выходном сечениях. Обозначим за V объем
элемента массы m. Во входном сечении давление p1 неизменно (равновесное
состояние!), и, следовательно, работа изменения объема равна
p1V1  p1
V1
m  p11m
m
.
Обращаем внимание на положительность этой работы, т.к. проталкивая
массу в систему, мы совершаем работу над газом – рабочим телом. В выходном
сечении работа изменения объема отрицательна (так как газ системы совершает
работу) и равна
 p2 V2   p2 2 m .
(6)
Полная работа W12 складывается из технической работы и суммы работы
изменения объема в сечениях 1 и 2:
t
t
W12  W12
 p11m  p22 m  W12
 m( p22  p11 ) .
(7)
Разность p22 – p11 называют удельной работой проталкивания. Она
определяется только параметрами состояния во входном и выходном сечениях
канала. Подставив значение W12 из (7) в уравнение (5), далее получим
t
Q12  W12


vc22  vc21
 m( p22  p11)  m u2  u1 
 g ( z2  z1) 
2

 .
(8)
При выводе этого уравнения мы полагали процесс стационарным. Но для
t
таких процессов тепло Q12, техническая работа W12 и приращение массы m как
интегральные по времени являются переменным величинами, они монотонно
растут. Постоянным остаются связанный с ними массовый расход m = m/t,
t

скорость прихода тепла Q12 = Q12/t в систему и мощность P12 = W12 /t,
передаваемая валом (или на вал). Разделив обе части (10) на t получим


vc22  vc21


Q12  P12  m u2  u1  p22  p11 
 g ( z2  z1 ) 
2

.
В этом выражении присутствует комплекс u + p, который называется
удельной энтальпией [2] и обозначается как h. Она, как и любая удельная
величина, связана с энтальпией H = U + pV простым соотношением
h
H U  pV

 u  p
m
m
.
Относительно удельной энтальпии закон сохранения энергии для горелки
теперь можно записать как


vc22  vc21
  P12  m  h2  h1 
Q12
 g ( z2  z1 ) 
2

.
(9)
Иногда на практике часто бывает удобно пользоваться другой формой
записи первого закона термодинамики для поточных процессов. Поделив обе


части (11) на массовый расход m и введя удельный поток тепла q12  Q12 / m
t

и техническую работу w12  P12 / m , приходим к уравнению
t
q12  w12
vc22  vc21
 h2  h1 
 g ( z2  z1)
2
.
(10)
Уравнения (9), (10) хотя и сформулированы для конкретной горелки, тем не
менее, ввиду общности рассуждений и используемых понятий, оказываются
применимыми для широкого класса тепловых машин. Но надо учитывать, что не
все входящие в них члены обязательно принимать в расчет. В зависимости от их
типов тепловых машин существенными становятся те слагаемые, которые
отвечают
собственно
их
принципу
действия.
Например,
для
гидроэлектростанции можно принять
vc22  vc21
q12  0, h2  h1  0,
0
2
.
Здесь первое равенство означает отсутствие источников тепла, второе –
практическое постоянство температуры и плотности воды, третье –
неизменность кинетической энергии воды при переходе с уровня выше (z = z2) и
ниже (z = z1) плотины ГЭС. Поэтому гидроэлектростанции хорошо описываются
приближенными формулами
t
P12  mg  z2  z1  , w12
 g  z2  z1  .
При составлении аналогичных уравнений баланса энергии для реактивного
двигателя в уравнениях (9), (10) можно отбросить изменение потенциальной
энергии рабочего тела как малую величину по сравнению с остальными,
формально полагая z2 = z1. Для ветряной электростанции можно считать
q12  0, h2  h1  0, g  z 2  z1   0 ,
и, поэтому
vc22  vc21
vc22  vc21
t
P12  m
, w12 
2
2
.
Закон сохранения энергии для двигателей внутреннего сгорания наземных
транспортных средств можно записать как
  P12  m  h2  h1 
Q12
,
t
q12  w12
 h2  h1 .
Обратим теперь внимание на одно важное обстоятельство. Под скоростью
выделения тепла Q12 подразумевалось ее общее количество в единицу времени
без детализации ее происхождения. Более строго ее следовало бы представлять
в виде суммы из составляющих Q12 компонент с указанием вида источника
тепла. Как правило, можно считать
  Q12
t  Q12
d  Q12
 ,
Q12
(11)
t
где Q12 – тепло, поступающее (за единицу времени) от сжигания топлива, Дж/с;
d – тепло, выделяющееся в системе за счет сил трения, Дж/с; Q12
 –
Q12
уходящее в окружающую среду тепло через границу  системы, Дж/с. В
принципе тепло может поступать в систему из окружающего ее пространства.
d

Но такой случай в технике обычно не реализуется. Последние две Q12 и Q12
объединяются в понятие энергии диссипации или потери энергии. Причем,
 – это та часть мощности P , которая выделяется в виде работы сил
тепло Q12
12
трения (или на преодоление сопротивления) и которая теряется безвозвратно.
Если имеется в виду машина, где для производства технической работы
d
t
энергия получается путем сжигания топлива, то Q12 существенно превосходит
остальные виды прихода и расхода тепла. Это и ясно, в противном случае
машина просто не работала бы. Наличие неустранимых потерь энергии снижает
d
коэффициент полезного действия. Поэтому стараются минимизировать Q12 и
 .
Q12
При проектировании горелок, где сжигается высококалорийное топливо,
или тепловых машин для грубых предварительных приближенных расчетов

t
можно полагать Q12  Q12 , т.к. обычно приход тепла в систему за счет сжигания
топлива существенно превосходит ее потери.
Таким образом
m  1vc1 A1  2vc 2 A2  const ,
(12)
m
 v2  v1     p2  p1   p  p f
A
,


v2  v2
  P12  m  h2  h1  c 2 c1  g ( z2  z1 ) 
Q12
2

,
совместно с уравнением состояния газа на входе p1 = 1RT1 и выходе из канала
p2 = 2RT2 представляют собой полную систему, необходимую для анализа
режимов работы горелки канального типа. Они выражают три основных закона
сохранения массы, импульса и энергии для стационарных процессов в
интегральной форме и наиболее общем виде. В системе (12), включающей и
уравнение состояния, связаны между собой входные (p1, 1, vc1, T1) и выходные
(p2, 2, vc2, T2) параметры газа. В зависимости от типа решаемых технических
задач среди этих восьми переменных можно считать неизвестными любые
четыре набора. Оставшиеся четыре находятся решением системы нелинейных
алгебраических уравнений (12).
В дальнейшем, для получения конкретных числовых результатов,
t
d
необходимо раскрывать вид выражений для сил p, pf (6), теплоты Q12 , Q12 ,
t
t
 и работы W12
Q12
. Причем, работа W12 должна иметь положительный знак, так
как она совершается над газом [1]. К тому же она тесно связана с силой p ,
которая имеет гидродинамическую природу, а ее числовое значение
определяется главным образом турбулентным движением газа в канале.
Список литературы.
1. 1. Бэр Г.Д. Техническая термодинамика. – М.: Мир, 1977. – 518 с.
2. 2.
Кириллин В.А. и др. Техническая термодинамика.
Энергоатомиздат, 1983.  416 с.

М.: