Механика. Электричество.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
________________
ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МЕХАНИКА. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Сборник методических указаний
к лабораторным работам
Москва 2013
2
Под редакцией проф. В. К. Михайлова
Составители:
Михайлов В. К., Молодцов Ю. М. – лабораторная работа 1М
Лескова Л. В., Михайлов В. К. – лабораторная работа 2М
Михайлов В. К., Труханов С. В. – лабораторная работа 3М
Корнилова Т. А., Михайлов В. К. – лабораторная работа 1Э
Михайлов В. К., Прокофьева Н. И. – лабораторная работа 2Э
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Физический практикум призван помочь студентам глубже осознать физические
закономерности и приобрести элементарные навыки экспериментирования.
При подготовке к выполнению лабораторных работ рекомендуется:
а) изучить соответствующую тему,
б) ознакомиться с методическими указаниями к лабораторной работе.
Для получения допуска к выполнению лабораторной работы необходимо письменно
ответить на вопросы:
а) какое явление изучается и какие величины определяются в данной работе,
б) привести расчетные формулы для величин, указанных в «Заданиях»,
в) привести названия и определения величин, входящих в расчетные формулы, и
указать, как находятся их значения.
При выполнении лабораторной работы производятся необходимые измерения. Задания
и обработка результатов измерений выполняются самостоятельно, вне занятий.
Оформленные в отдельной тетради отчеты по лабораторным работам представляются
преподавателю.
4
1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1М
ИЗУЧЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРУНТА
НА МОДЕЛИ КОПРА
В лабораторной работе на основе опытных данных определяются кинематические,
динамические и энергетические характеристики тел при поступательном движении.
1.1. Описание работы установки
Для забивания свай в грунт применяется копер, который состоит из двух вертикальных
направляющих брусьев, вдоль которых может двигаться тяжелый груз. Падая на сваю с
некоторой высоты, груз забивает ее в грунт.
Вертикальный разрез модели копра (по осевой плоскости) показан на рис. 1.1. Груз 4
может перемещаться по направляющим 1 и удерживаться на заданной высоте с помощью
затвора 2, установленного на зажиме 3, который закрепляется на направляющих винтом
13. Координаты нижней грани груза определяются по линейке 5. Свая 6 может
перемещаться между двумя половинами 7 и 12 разрезной втулки. Груз 10, подвешенный к
большому плечу рычага 9, стремится повернуть рычаг вокруг оси 8. Вследствие этого
нажимной кулачок 11, которым оканчивается малое плечо рычага, оказывает давление на
подвижную половину 7 разрезной втулки. В результате этого между сваей и втулкой
возникает сила трения, которая моделирует силу сопротивления грунта. Передвигая груз
10 по большому плечу рычага, можно моделировать силы сопротивления разных грунтов.
Рис.1.1
5
Рис. 1.2
«Рабочий ход» груза копра состоит из трех процессов: 1 – падение груза на сваю (рис.
1.2,а); 2 – удар груза о сваю (рис. 1.2,б); 3 – погружение груза и сваи до полной остановки
(рис. 1.2,в).
В начале падения нижняя грань груза имеет координату y1 (рис.1. 2), во время удара – в
начале совместного движения груза и сваи – координату y2 , в конце совместного движения
– координату y3 . Координаты y1 , y2 , y3 регистрируются с помощью линейки 5.
Таким образом установка позволяет измерить высоту падения груза H , равную
разности координат y1 и y2 :
H = y1 − y2 ,
и глубину погружения груза совместно со сваей в «грунт» ℓ , равную разности координат
y2 и y3 :
ℓ = y2 − y3 .
На основе определенных таким образом величин H и ℓ и заданных значений масс
груза m1 и сваи m2 можно определить кинематические, динамические и энергетические
характеристики поступательного движения груза и совместного движения груза со сваей.
1.2. Порядок выполнения работы
1. Установить груз 10 на выбранном расстоянии b от оси рычага 9 (модель грунта №
1). Значение b записать в таблицу результатов измерений (табл. 1.1).
2. Освободив винт 13, поднять и закрепить зажим 3 на рекомендованной высоте.
3. Поднять груз и закрепить с помощью затвора в зажиме 3.
4. Определить значение координаты нижнего основания груза y1 по линейке 5.
5. Слегка приподняв конец рычага 9 выдвинуть сваю на рекомендованную высоту.
6. Придерживая груз 4 рукой, груз освободить от зажима 3 и поставить на сваю.
7. Определить значение координаты нижнего основания груза y2 по линейке.
8. Поднять груз 4 и закрепить в затворе 2.
9. Освободить груз 4 из затвора 2.
10. После падения груза и удара его о сваю определить координату нижней грани груза
y3 по линейке.
6
11. Повторить измерение y3 при тех же значениях b , y1 , y2 (п.п. 3 … 10) еще 2 раза.
12. Повторить измерение y3 при двух других значениях b , y1 , y2 (модели № 2 и № 3).
Таблица 1.1
Номер
модели
грунта
1
2
3
b,
м
y2 ,
м
y1 ,
м
y3 ,
м
H,
м
ℓ,
м
Fc ,
Н
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
1
2
3
Среднее
значение
1.3. Задания
(для одной из моделей грунта результаты вычислений внести в таблицу 1.2)
1. Вычислить среднее значение координаты y3 нижней грани груза в конце погружения
в «грунт» сваи совместно с грузом:
1 3
y3 = ∑ yзi .
3 i =1
2. Выразить через координаты y1 и y2 высоту падения груза H и вычислить H .
3. Выразить через координаты y2 и y3 и вычислить глубину погружения сваи ℓ .
4. Принимая падение груза свободным, выразить через H и вычислить:
а) время падения t1 , используя формулу пути при равноускоренном движении;
б) скорость груза в конце падения υ1 , используя формулу скорости при
равноускоренном движении;
5. Используя формулу определения импульса тела:
а) выразить через m1 и H и вычислить импульс груза в конце падения на сваю p11 .
б) определить импульс сваи до удара груза p21 .
7
6. а) Принимая удар груза о сваю абсолютно неупругим, т.е. принимая скорости
движения груза и сваи в конце удара (в начале погружения сваи) одинаковыми и равными
υ2 ,
б) пренебрегая движением груза со сваей и действием силы тяжести груза во время
удара,
в) учитывая, что время взаимодействия груза и сваи во время удара одинаково,
г) используя формулы 3-го закона Ньютона и 2-го закона Ньютона, выраженного через
импульсы груза и сваи и импульс силы, получить выражение скорости совместного
движения груза и сваи в начале погружения υ2 через H , m1 , m2 :
m 2 gH
m1υ1
(1.1)
= 1
.
m1 + m2
m1 + m2
7. Вычислить скорость совместного движения груза со сваей в начале погружения υ2 .
υ2 =
8. Выразить через m1 , m2 , H и вычислить:
а) импульс груза после удара p12 ;
б) импульс сваи после удара p22 ;
в) изменение импульса груза при ударе ∆p1 ;
г) изменение импульса сваи при ударе ∆p2 ;
д) импульс силы удара Fy ∆t. .
9. Используя формулу, выражающую связь скорости движения с пройденным путем и
ускорением, получить выражение ускорения совместного движения груза и сваи через H ,
ℓ , m1 , m2 :
a=
m12 gH
ℓ ( m1 + m2 )
2
.
10. Вычислить ускорение a при погружении сваи с грузом в «грунт».
11. Используя формулу скорости при равноускоренном движении, определить время
погружения сваи с грузом в «грунт» t 2 .
12. Применяя 2-й закон Ньютона для совместного движения груза и сваи, получить
выражение силы сопротивления (силы трения скольжения между сваей и разрезной
втулкой) Fc через H , ℓ , m1 , m2 :
 m12 H

Fc = g 
+ m1 + m2  .
 ℓ ( m1 + m2 )

(1.2)
13. Вычислить силу сопротивления Fc .
14. Принимая коэффициент трения сваи об втулку равным 0,2 и используя формулу
силы трения, определить силу N , с которой разрезная втулка прижимает сваю.
15. По формуле силы тяжести определить силу тяжести FГ груза 10 (масса груза mГ =
0,5 кг).
16. Определить плечо bГ силы тяжести груза FГ , используя величину b - расстояния от
оси вращения рычага 9 до груза 10 (толщина груза d Г = 1,5 см);
17. Определить плечо bc силы сопротивления Fc , используя условие равновесия
рычага 9.
18. Используя определение импульса системы тел, выразить через H , m1 , m2 и
вычислить импульс системы, состоящей из груза и сваи:
8
а) в начале удара груза о сваю pc 2 ;
б) в конце удара груза о сваю pc 3 .
19. Принимая удар груза о сваю за абсолютно неупругий, и применяя закон сохранения
импульса, получить для скорости совместного движения груза и сваи выражение (1.1).
20. Принять за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии высоту y = y3 .
21. Используя определение механической энергии системы тел и формулы
потенциальной и кинетической энергии, выразить через высоту падения H груза на сваю,
массу груза m1 , массу сваи m2 и глубину погружения сваи ℓ и вычислить механическую
энергию системы, состоящей из груза и сваи:
а) в начале падения груза Wc1 ;
б) в конце падения – в начале удара груза о сваю Wc 2 , пренебрегая потерей
механической энергии на преодоление сопротивления воздуха; убедиться в
справедливости закона сохранения механической энергии.
Таблица 1.2
Номер
задания
Величина
1
2
m1
m2
b
y1
y2
1
2
3
4а
4б
5а
y3
H
ℓ
t1
υ1
p11
Наименование 3
единицы
измерения
Численное 4
значение
Таблица 1.2 (продолжение)
1
5б
7
8а
8б
2
p21
υ2
p12
p22 ∆p1
8в
8г
8д
10
11
13
14
15
∆ p2
Fy ∆t
a
t2
Fc
N
FГ
dГ
3
4
Таблица 1.2 (окончание)
1
16
17
18а 18б 21а 21б
23
2
bГ
bc
pc 2
Wc 3 ∆W23
3
4
pc 3
Wc1 Wc 2
24а
24б
25
26
∆W23
Wc1 Wc 4 ∆W34
27
30
Ac
η
9
22. Используя определение, получить выражение механической энергии системы в конце
удара (в начале погружения сваи в грунт) Wc 3 через H , m1 , m2 , ℓ :
Wс 3 =
m12 gH
+ (m1 + m2 ) g ℓ.
m1 + m2
23. Вычислить энергию Wc 3 .
24. Выразить через H , m1 , m2 , и вычислить:
а) потерю механической энергии системы при ударе груза о сваю ∆W23 = Wc 2 - Wc 3 ;
б) долю потерянной механической энергии системы при ударе груза о сваю
∆W23
(эффективность работы копра)
, учитывая ℓ ≪ H .
Wc1
25. Определить механическую энергию системы в конце погружения сваи Wc 4 .
26. Выразить через H , m1 , m2 , ℓ и вычислить изменение (потерю) механической
энергии системы при погружении сваи ∆W34 .
27. Используя формулу, выражающую работу неконсервативных сил через изменение
механической энергии системы, выразить работу Ac неконсервативной силы трения
скольжения сваи – силы сопротивления грунта Fc через ∆W34 и определить Ac .
28. Используя выражение работы Ac , через ∆W34 выразить Ac через m1 , m2 , H , ℓ .
29. Используя формулу определения работы силы, выразить работу Ac через силу
сопротивления Fc и глубину погружения ℓ .
30. Приравняв полученные в заданиях 28 и 29 выражения работы силы сопротивления
Ac вывести формулу силы сопротивления (1.2).
31. Принимая за полезную работу модели копра Ac , а за затраченную работу
первоначальную энергию Wc1 , выразить через m1 и m2 и вычислить к.п.д. модели копра
η (долю механической энергии Ac / Wc1 , которая идет на забивание сваи), учитывая
ℓ ≪ H , m2 < m1.
Студент ____________________________________________________
(институт, курс, группа, фамилия, и.о.)
лабораторную работу выполнил ________________________________
(подпись преподавателя)
задания к лабораторной работе выполнил ________________________
(подпись преподавателя)
10
2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2М.
ИЗУЧЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ И
ПРОВЕРКА ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ТЕЛ НА МОДЕЛИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА
В лабораторной работе на основе опытных данных определяются кинематические,
динамические и энергетические характеристики тел при поступательном и вращательном
движении и проверяются основной закон динамики вращательного движения тел и
теорема Штейнера.
2.1. Описание установки
В лабораторной работе поступательное и вращательное движение тел изучается на
установке, основной частью которой является модель маятника Обербека –
крестообразный маятник. Схема установки приведена на рис. 2.1.
Рис. 2.1
Вращающейся частью установки (рис. 1,а) являются четыре одинаковых стержня 1,
укрепленных на цилиндрическом диске 2 под прямым углом друг к другу (крестовина), и
два шкива 3 и 4 различного диаметра D , жестко соединенные с диском 2.
На стержнях находятся цилиндрические грузы 5 массой mц , которые можно
перемещать по стержням и с помощью винтов на них закреплять на выбранных
расстояниях d на стержнях.
Диск крестовины и шкивы насажены на общий стержень, закрепленный в
подшипниках так, что вся эта система – маятник Обербека – может вращаться вокруг
вертикальной оси OZ , перпендикулярной горизонтальной плоскости крестовины и
проходящей через ось диска.
11
К шкивам прикрепляется нить 6. Нить перекидывается через блок 7, к свисающему
свободному концу нити подвешивается груз 8 массой m .
Если, вращая маятник руками, намотать нить на шкив и поднять груз 8 на некоторую
высоту h и отпустить маятник, то груз, опускаясь (падая), приводит всю систему в
движение. При этом груз совершает поступательное движение, а маятник – вращательное.
В установке предусмотрена возможность фиксации груза на выбранной высоте h с
помощью электромагнита 9, расположенного в верхней части установки. Высота падения
груза h измеряется по линейке 10, установленной в верхней части установки, на которой
указано расстояние груза от столика установки 11.
Для измерения времени падения груза t используется цифровой секундомер. При
нажатии кнопки секундомера «пуск» электромагнит автоматически отключается, и груз
начинает опускаться, а секундомер начинает считать время. В место падения груза на
столик 11 вмонтирован датчик 12, выключающий секундомер при ударе груза об это
место столика установки.
Подвешивая грузы с разной массой и к разным шкивам, можно изменить момент сил,
действующих на маятник, а передвигая цилиндрические грузы на стержнях, можно
изменять момент инерции маятника.
Таким образом, установка позволяет измерить высоту падения (опускания) груза h и
время падения t , на основе которых при заданных значениях массы груза m и диаметра
шкива D можно определить кинематические, динамические и энергетические
характеристики поступательного движения груза и вращательного движения маятника,
принимая их равноускоренными.
Установка позволяет также проверить основной закон динамики вращательного
движения
M
(2.1)
α =
J
т.е. прямо-пропорциональную зависимость углового ускорения маятника от момента сил
M , действующих на тело:
(2.2)
α∼M
при постоянном моменте инерции тела J , и обратно-пропорциональную зависимость
углового ускорения α от момента инерции J тела:
α∼
1
J
(2.3)
при постоянном моменте действующих сил M .
2.2. Упражнение 1. Проверка зависимости углового ускорения
от момента действующих сил и определение момента инерции маятника и
момента сил сопротивления
12
2.2.1. Теория метода
Проверка зависимости углового ускорения от момента действующих сил. На
маятник действуют сила натяжения нити FН и сила сопротивления Fc , обусловленная
трением в подшипниках и сопротивлением воздуха. (Сила тяжести маятника
уравновешена силой реакции стойки 13, на которую укреплен маятник).
Моменты сил FН и Fc обозначим через M Н и M c .
С учетом знаков моментов сил M Н и M c согласно основному закону динамики
вращательного движения тел (2.1)
Mн - Mc
(2.4)
.
J
Момент инерции J маятника при неизменном расположении цилиндрических грузов 5
на стержнях и момент сил сопротивления M c , если пренебречь зависимостью силы
сопротивления от скорости, постоянны. Поэтому проверка зависимости (2.2) сводится к
проверке линейной зависимости углового ускорения α от момента силы натяжения нити
M Н (2.4).
α=
Момент силы натяжения M Н можно изменять, подвешивая к свободному концу нити
грузы 8 с разной массой m и наматывая нить на разные шкивы.
Экспериментально определенные значения высоты падения груза h , времени падения
t и заданные значения масс грузов m и диаметров шкивов D позволяют определить
угловое ускорение маятника α (см. п.п. 1.3,г в «Заданиях …») и момент силы натяжения
M Н (см. п.п. 1.6 в «Заданиях …») при различных m и D , и, построив график зависимости
α от M Н , убедиться в справедливости зависимости (2.4).
Определение момента инерции маятника J и момента сил сопротивления M c .
График зависимости углового ускорения от момента силы натяжения M Н позволяет
определить момент инерции маятника J и момент сил сопротивления M c
Сопоставив уравнение (2.4) с уравнением прямой в виде
y = kx + b,
заключаем, что угловой коэффициент k , равный тангенсу угла наклона δ прямой, в
нашем случае равен:
1
k = tg δ =
.
J
Отсюда
J =
1
.
tg δ
Используя определение тангенса угла, получим:
tg δ =
∆M н
∆α
, J=
,
∆M н
∆α
(2.5)
13
где Δ M Н – выбранный интервал момента силы натяжения, ∆α - соответствующий Δ M Н
интервал углового ускорения, определенный по графику зависимости α от M Н .
Отрезок M нo , отсекаемый прямой на оси M Н , является моментом силы натяжения, при
котором α = 0, т.е. моментом силы натяжения, при котором маятник начинает вращаться.
Поэтому согласно уравнению (2.4)
0 =
M нo - M c
, M c = M нo .
J
(2.6)
(Из (2.4) следует, что при M Н < M нo маятник должен вращаться с угловым
ускорением α =
M н − M нo
< 0, т.е. в обратную сторону, но этого не будет, т.к.
J
сила сопротивления Fc и M c возникают только при действии M Н , причем при M Н <
M нo момент сил сопротивления M c = M Н ).
Таким образом, график зависимости α от M Н позволяет определить момент инерции
маятника J при выбранном расстоянии грузов 5 до оси вращения (2.5) и момент сил
сопротивления M c (2.6).
2.2.2. Порядок выполнения упражнения 1
1) Освободив грузы 5 на стержнях с помощью винтов, установить их на
рекомендованном расстоянии d от оси вращения.
2) Включить вилку шнура секундомера в розетку.
3) Установить дополнительный груз m Д на подвешиваемый груз с массой mГ (масса
груза 8 будет равна m = mГ + m Д ) и подвесить их к свободному концу нити.
4) Перевести в положение «-» выключатель на задней панели секундомера; при этом
секундомер должен показывать «00.0».
5) Вращая маятник руками, намотать нить на один из шкивов и поднять груз m на
рекомендованную высоту h .
6) Нажав красную кнопку электромагнита, зафиксировать груз в поднятом положении.
7) По линейке 10 измерить высоту h и записать в таблицу 2.1.
8) Нажав кнопку «пуск», включить секундомер.
9) Дождаться, когда груз 7 ударится об столик установки и закончится счет времени.
10) Показание секундомера – время падения груза t – записать в табл. 2.1.
11) Выключить секундомер, поставив в положение «0» выключатель на задней панели
секундомера.
12) При тех же m , D и h выполнить пункты 4) …11) еще два раза (измерить время
t еще два раза).
13) Установив на подвешиваемый груз mГ по очереди два других дополнительных
груза m Д , выполнить пункты 4) … 12) при тех же D и h .
14) Наматывая нить на другой шкив, выполнить пункты 4) … 13).
14
15) Вынуть вилку шнура секундомера из розетки.
2.2.3. Задания к упражнению 1.
(результаты вычислений внести в таблицы 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3)
1) Вычислить массы грузов 8.
m = mГ + m Д
2) Вычислить среднее значение времени падения груза при всех массах груза m и
диаметрах шкивов D :
t =
1
t.
3∑ i
3) Учитывая, что падение груза и вращение маятника равноускоренное, выразить через
высоту падения h и время падения груза tc и вычислить при одном из значений величин
D , m , h , tc :
а) ускорение падения груза a , используя формулу пути при равноускоренном
прямолинейном движении;
б) скорость груза в конце падения υ , используя формулу скорости при
равноускоренном прямолинейном движении;
в) угловую скорость вращения маятника ω , используя связь υ с ω и принимая, что
нить намотана на шкив плотно и проскальзывания нити по шкиву нет и линейная скорость
точек цилиндрической поверхности обода шкива υ Д равна скорости движения груза υ ;
г) угловое ускорение маятника α при падении груза, используя связь α с
тангенциальным ускорением aτ и предполагая, что проскальзывание нити по шкиву и
растяжение нити отсутствуют и тангенциальное ускорение точек обода шкива aτ равно
ускорению падения груза a ;
д) угол поворота маятника ϕ за время падения груза;
е) число оборотов маятника N за время падения груза.
4) Используя формулу второго закона Ньютона, пренебрегая массой нити и
действующими на груз силой сопротивления воздуха и силой Архимеда, получить
выражение силы натяжения нити FН через измеренные величины h и t и заданную массу
груза m :

Fн = m  g 

2h 
.
t 2 
5) Вычислить силу натяжения FН для выбранных в задании 3 значений m , h , tc .
6) Пренебрегая массой нити и массой блока 7 и силой сопротивления, действующей на
блок, принимая, что нить действует на шкив с силой, по величине равной FН , и,
используя выражение момента силы через плечо силы, получить выражение момента
силы натяжения M Н через h , t , m , D :
Mн =
mD 
2h 
 g - 2 .
2 
t 
15
7) Вычислить момент силы натяжения M Н и угловое ускорение α (см. задание 3,г)
при всех m , D , t .
8) Построить график зависимости углового ускорения α от момента силы натяжения
M Н и убедиться в линейной зависимости α от M Н и прямо-пропорциональной
зависимости α от алгебраической суммы момента силы M Н и момента силы
сопротивления: M = M Н - M c :
α =
Mн - Mc
M
=
∼ M.
J
J
9) Выбрав интервал значений момента сил натяжения ∆ M Н , по графику найти
соответствующий интервал значений углового ускорения ∆ α .
10) Учитывая, что тангенс угла наклона графика зависимости α от M Н
равен tg δ =
1
∆α
и tg δ =
, вычислить момент инерции маятника J при
J
∆M н
выбранном расположении грузов 5 на стержнях.
11) Обозначив момент силы M Н при α = 0 через M нo и определив M нo по графику,
найти значение момента силы сопротивления
M c = M нo .
12) Принимая за нулевой уровень потенциальной энергии груза поверхность столика
установки, выразить через массу m груза 8, высоту h и время t падения груза, диаметр
шкива D и вычислить для выбранных значений m , h , t , D :
а) механическую энергию груза 8 в начале падения W11 ;
б) механическую энергию маятника в начале падения груза W21 , принимая за нулевой
уровень потенциальной энергии маятника горизонтальную плоскость крестовины;
в) механическую энергию системы, состоящей из груза и маятника, в начале падения
груза W1 = W11 + W21 .
г) кинетическую энергию поступательного движения груза W12 в конце падения;
д) кинетическую энергию вращательного движения маятника W22 в конце падения
груза;
е) механическую энергию системы W2 , состоящей из груза и маятника в конце падения
груза;
ж) изменение механической энергии системы ∆W при падении груза;
з) работу неконсервативных сил сопротивления при падении груза Ac ;
и) работу момента сил сопротивления, действующих на маятник, при падении груза Ac 2
к) работу сил сопротивления, действующих на груз при его падении: Ac1 = Ac – Ac 2 .
13) Используя формулу, выражающую определение работы силы, найти силу
сопротивления, действующую на груз при его падении.
16
Таблица 2.2.1
mц =
= const ; d =
D,
кг
кг
= const ; mг =
= const ; m = mг + mд
t,с
m,
mД ,
м
= const ; h =
1
α,
tc ,
2
3
MН ,
Нм
с-2
с
1
2
3
4
5
6
Таблица 2.2.2
Номер задания
Величина
D
1
2
3,а 3,б 3,в 3,г 3,д
3,е
5
7
9
9
10
11
m
tc
a
N
Fн
MН
∆α
∆M н
J
Mc
υ
ω
α
ϕ
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
Таблица 2.2.3
Номер
задания
Величина
D
1
2
m
tc
h
12,
а
W11
12,б
12,
в
W21
W1
12,
г
W12
12,д
12,
е
12,ж
12,
з
12,и
12,
к
13
W22
W2
∆W
Ac
Ac 2
Ac1
Fc1
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
2.3. Упражнение 2. Проверка зависимости углового ускорения
от момента инерции маятника и зависимости момента инерции тела от
расстояния до оси вращения (теоремы Штейнера)
2.3.1. Теория метода
Проверка зависимости углового ускорения от момента инерции маятника. Для
проверки обратно-пропорциональной зависимости углового ускорения от момента
17
инерции маятника при постоянном моменте силы M (2.3) момент инерции маятника J
изменяют, закрепляя цилиндрические грузы 5 на стержнях 1 на разных расстояниях d от
оси вращения.
Значения момента инерции маятника при разных положениях грузов 5 на стержнях
находим по основному закону динамики вращательного движения
α =
M - Mc
M
M
,J =
= н
.
J
α
α
Для этого при одном и том же шкиве 3 или 4, при одном и том же грузе 8 и при одной и
той же высоте падения груза h , но при различных расстояниях d , измеряют время
падения груза t и вычисляют угловые ускорения (см. задание 3,г к упражнению 1) и
момент силы M Н (см. задание 6 к упражнению 1) при различных d .
Расчеты показывают, что момент силы M Н от d и t зависит слабо. Поэтому,
принимая за M Н среднее значение, можно допустить, что
M нc =
1 n
M нi = const ,
n∑
i=1
где n – число выбранных расстояний d (число вычисленных значений M Н ).
Пренебрегая зависимостью момента сил сопротивления M c от скорости вращения
маятника, можно принять
M c = M нo = const .
Тогда
M = M нo – M c = const ; J =
Вычислив J и
от
M нc - M c
.
α
(2.7)
1
при различных d и α и построив график зависимости α
J
1
1
, убеждаемся, что α ∼ , т.е. угловое ускорение действительно обратно
J
J
пропорционально моменту инерции маятника.
Проверка зависимости момента инерции тела от расстояния до оси вращения
(проверка теоремы Штейнера). Момент инерции системы тел равен сумме моментов
инерции тел, составляющих систему тел. Поэтому момент инерции маятника J
складывается из момента инерции крестовины (без грузов на стержнях) J kp и момента
инерции цилиндрических грузов 5 на стержнях J ц :
J = J kp + J ц .
Если грузы закреплены на одинаковых расстояниях d от оси крестовины (оси
вращения), то моменты инерции J ц1 грузов 5 одинаковы. Тогда
J ц = 4 J ц1 ; J = J kp + 4 J ц1 .
18
По теореме Штейнера момент инерции каждого груза J ц1 равен сумме момента
инерции груза J оц относительно оси, проходящей через центр инерции груза (через
середину груза) перпендикулярно оси груза, и произведения массы груза mц на квадрат
расстояния d от оси вращения до центра инерции груза:
J ц1 = J cц + mц d 2 .
(2.8)
Рассматривая груз как стержень, по таблице формул момента инерции находим
J cц =
1
mц ℓ 2 ,
3
где ℓ – длина груза (высота цилиндрического груза).
Тогда
1 2
1
ℓ + d 2 ); J ц = 4 J ц1 = mц ( ℓ 2 + 4 d 2 );
12
3
1
J = J kp + mц ( ℓ 2 + 4 d 2 ).
(2.9)
3
Таким образом, проверка формулы теоремы Штейнера для одного груза (2.8) сводится
к проверке линейной зависимости момента инерции маятника J от d 2 (2.9). Используя
значения J , вычисленные по формуле (2.7) и построив график зависимости J от d 2 ,
J ц1 = mц (
можно убедиться в линейной зависимости J от d 2 , т.е. в справедливости теоремы
Штейнера.
Определение момента инерции крестовины. График линейной зависимости момента
инерции маятника J от квадрата расстояния грузов до оси вращения d 2 позволяет
определить момент инерции крестовины J kp .
Отрезок J 0 , отсекаемый графиком на оси J , соответствует расстоянию d = 0 м и
равен моменту инерции маятника, если бы центры грузов находились на оси вращения.
Согласно (2.9) при d = 0 м
1
J 0 = J kp + 4 J cц = J kp + mц ℓ 2 .
3
Отсюда
1
(2.10)
mц ℓ 2 .
3
Определив J 0 по графику, используя заданные значения mц и ℓ , можно найти
J kp = J 0 -
момент инерции крестовины J kp .
2.3.2.Порядок выполнения упражнения 2
1) Включить вилку шнура секундомера в розетку.
19
2) Установить дополнительный груз m Д на подвешиваемый груз с массой mГ (масса
груза 8 будет равна m = mГ + m Д ) и подвесить их к свободному концу нити.
3) Перевести в положение «-» выключатель на задней панели секундомера; при этом
секундомер должен показывать «00.0».
4) Освободив грузы 5 на стержнях с помощью винтов, установить их на
рекомендованном расстоянии d от оси вращения.
5) Определить расстояние d от середины грузов 5 до центра диска 2.
6) Вращая маятник руками, намотать нить на один из шкивов и поднять груз m на
рекомендованную высоту h .
7) Нажав красную кнопку электромагнита, зафиксировать груз в этом положении.
8) По линейке 10 измерить высоту h и записать в таблицу 3.1.
9) Нажав кнопку «пуск», включить секундомер.
10) Дождаться, когда груз 7 ударится об столик установки и закончится счет времени.
11) Показание секундомера – время падения груза t – записать в табл. 3.1.
12) Выключить секундомер, поставив в положение «0» выключатель на задней панели
секундомера.
13) При тех же m , D , h и d повторить пункты 4) …12) еще два раза (измерить
время t еще два раза).
14) Выполнить пункты 3) … 13) при четырех других расстояниях d при тех же D , h ,
m.
15) Вынуть вилку шнура секундомера из розетки.
2.3.3. Задания к упражнению 2
(результаты вычислений внести в таблицы 2.3.1, 2.3.2)
1) Вычислить среднее время падения груза tc при различных расстояниях d грузов на
стержнях от оси вращения (табл. 2.3.1).
2) Вычислить угловое ускорение при всех выбранных d (см. задание 3,г к упражнению
1).
3) Используя выражение момента силы натяжения M н , полученное в задании 6 к
упражнению 1, вычислить M н при всех d .
4) Вычислить среднее значение момента силы натяжения M нc .
5) Используя основной закон динамики вращательного движения, выразить через M нc ,
M c и α и вычислить момент инерции маятника J при всех расстояниях d .
6) Вычислить значения
1
.
J
7) Построить график зависимости углового ускорения α от величины
1
J
и
убедиться, что угловое ускорение при постоянном моменте сил, действующих на тело,
20
действительно обратно пропорционально моменту инерции тела: α ∼
1
.
J
8) Для всех расстояний d вычислить d 2 .
9) Построить график зависимости момента инерции маятника J от d 2 и убедиться в
линейной зависимости момента инерции маятника от квадрата расстояния
цилиндрических грузов 5 от оси вращения.
10) По графику зависимости J от d 2 определить момент инерции маятника J 0 при d =
0 м, т.е. в случае, когда грузы 5 были бы расположены так, что ось вращения проходит
через их центры масс перпендикулярно их оси.
11) Выразить через момент инерции маятника J 0 , массу грузов mц и длину ℓ грузов 5
(получить формулу 2.10) и вычислить момент инерции крестовины J kp (маятника без
грузов 5 на стержнях 1).
12) Рассматривая цилиндрический груз как стержень, и используя формулу теоремы
Штейнера, получить выражение момента инерции четырех грузов через массу mц и
длину ℓ груза и расстояние d грузов от оси вращения:
1
J ц = mц ( ℓ 2 + 4d 2 ).
3
13) Вычислить момент инерции всех четырех цилиндрических грузов J ц при
выбранном расстоянии d .
14) Вычислить, какую долю от момента инерции маятника J составляют:
а) момент инерции крестовины J kp ;
б) момент инерции цилиндров на стержнях J ц .
15) Используя формулы моментов инерции тел и формулу теоремы Штейнера,
вычислить:
а) момент инерции J Д диска (диаметр диска DД = …, масса диска m Д = …);
б) момент инерции шкивов J ш1 , J ш 2 , J ш = J ш1 + J ш 2 (высота шкива 1 равна h1 = …;
высота шкива 2 равна h2 = …; плотность стали
= …);
16) Получить формулу момента инерции стержней относительно оси вращения
4
J ст = mc ℓ 2c .
3
17). Вычислить момент инерции стержней J ст (длина стержня ℓ ст = …; масса стержня
mc = …; расстояние от оси вращения до центра инерции стержней dc = …).
18). Вычислить момент инерции J овч остальных вращающихся частей маятника (блока
7, подшипников):
J овч = J kp – J Д – J ш – J ст
19). Вычислить, какую долю от момента инерции крестовины J kp составляют:
а) момент инерции диска J Д ;
б) момент инерции шкивов J ш ;
в) момент инерции стержней J ст ;
22
г) момент инерции остальных вращающихся частей маятника J овч .
Студент _______________________________________________
(факультет, курс, группа, фамилия, и.о.)
лабораторную работу выполнил ______________________________
(подпись преподавателя)
задания к лабораторной работе выполнил ___________________
(подпись преподавателя)
Таблица 2.3.1
mц =
= const; D = = const; h = = const; M c =
mг =
= const; m = mг + mд = ... = const
t,с
d,
м
1
2
α
tc ,
с
3
Mн
Нм
-2
с
= const
M нc
Нм
J
кг м2
1/ J
.
d2
2
1/(кг м )
м2
1
2
3
4
5
6
Таблица 2.3.2
Номер
задания
Величина
d
1
3
5
10
11
13
14,а
14,б
15,а
15,б
15,б
15,б
17
18
19,а
19,б
19,в
19,г
t
Mн
J
Jо
J кр
Jц
J кр
Jц
Jд
J ш1
J ш2
Jш
J ст
J овч
J
J
Jд
J кр
Jш
J кр
J ст
J кр
J овч
J кр
с
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
23
3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3М.
ИЗУЧЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МОДЕЛИ МАХОВИКА И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
3.1. Упражнение 1. Изучение поступательного и вращательного движения тел
и определение момента инерции маховика
и момента сил сопротивления вращению маховика
В лабораторной работе на основе опытных данных определяются кинематические,
динамические и энергетические характеристики тел при поступательном и вращательном
движении.
3.1.1. Описание установки
В лабораторной работе поступательное и вращательное движение тел изучается на
примере вращения диска (модели колеса, маховика) 1 со шкивом 2 (рис. 3.1) вокруг
неподвижной горизонтальной оси ОZ под действием груза 3, подвешенного на нити 4 к
шкиву. Один конец нити прикреплен к шкиву, к другому концу подвешен груз.
Рис. 3.1
В установке предусмотрена возможность фиксации груза на выбранной высоте с
помощью электромагнита, расположенного с задней стороны верхней части установки.
Высота падения груза h1 измеряется с помощью линейки.
Для измерения времени падения груза t используется секундомер. При нажатии
кнопки секундомера «пуск» электромагнит автоматически отключается и под действием
силы натяжения шкив с диском начинают вращаться, нить разматывается, груз
опускается.
24
После того, как нить полностью разматывается, диск продолжает вращаться в ту же
сторону, нить начинает наматываться на шкив в обратном направлении, груз после
кратковременной остановки начинает подниматься вверх.
При подъеме груза вверх сила натяжения нити уже не ускоряет, а замедляет вращение
диска. Поэтому, когда груз оказывается на некоторой высоте h2 , диск и груз
останавливаются.
Время падения груза t1 и высоту h2 , на которую поднимется груз, автоматически
фиксируют секундомер и измеритель перемещения.
Таким образом, установка позволяет измерить высоту падения (опускания) груза h1 ,
время падения t1 , высоту подъема груза h2 , на основе которых при заданных значениях
массы груза m = 0,0585 кг, диаметра шкива D = 0,025 м можно определить
кинематические, динамические и энергетические характеристики поступательного
движения груза и вращательного движения диска, принимая их равноускоренными.
3.1.2. Порядок выполнения лабораторной работы.
1) Выкрутить цилиндры 8 из диска 1.
2) К свободному концу нити подвесить груз массой m .
3) При полностью размотанной со шкива нити линейкой измерить высоту h0 от
столика установки 5 до груза 3.
4) Включить секундомер в сеть.
5) Включить включатель секундомера на задней панели, при этом секундомер должен
показывать «00.0», а измеритель перемещения «0.00».
6) Вращая диск и наматывая нить на шкив с левой стороны, поднять груз на
выбранную высоту h10 над столиком установки и, нажав кнопку электромагнита,
зафиксировать груз в этом положении.
7) Измерить высоту h10 линейкой и найти высоту падения h1 = h10 − h0 .
8) Нажать кнопку секундомера «пуск» и дождаться, пока секундомер перестанет
считать время, а измеритель перемещения перестанет считать высоту подъема груза.
9) Показание секундомера – время падения груза t1 и показание измерителя
перемещения – высоту подъема h2 записать в табл. 3.1.1.
10) Выключить включатель секундомера.
11) Повторить еще два раза измерения t1 и h2 при падении груза с той же высоты h10 .
12) Измерить три раза время падения t1 и высоту подъема h2 при падении груза с той
же высоты h10 , когда нить намотана на шкив с правой стороны.
13) Выключить секундомер.
25
Таблица 3.1.1
1
2
3
4
5
6
Среднее
значение
t1 , с
h2 , м
h0 =__________ h10 = __________ h1 = h10 − h0 = _________
2.3. Задания к упражнению 1
(результаты вычислений внести в таблицу 3.1.2)
1) Вычислить высоту падения груза h1 = h10 − h0 .
2) Вычислить средние значения времени падения t1 и высоты подъема груза h2 :
t1 =
1 6
1 6
t
;
h
=
h2i
1i
2
6∑
6∑
i=1
i=1
3) Учитывая, что падение груза и вращение диска равноускоренные, выразить через
измеренные и заданные величины h1 , t1 , D и вычислить:
а) ускорение падения груза a1 , используя формулу пути;
б) скорость груза в конце падения (в начале торможения) υ1 , используя формулу
скорости;
в) угловую скорость диска ω1 в конце падения груза, принимая, что нить намотана
плотно и проскальзывание нити по шкиву отсутствует и линейная скорость точек обода
шкива равна скорости груза υ , и используя связь линейной скорости с угловой;
г) угловое ускорение диска α1 , предполагая, что проскальзывание нити по шкиву и
растяжение нити отсутствуют и тангенциальное ускорение точек обода шкива aτ1 равно
ускорению падения груза a1 , и используя связь aτ1 с α1 .
д) угол поворота диска ϕ1 за время падения груза t1 ;
е) число оборотов диска N1 во время падения груза, учитывая, что одному обороту
соответствует угол поворота 2π .
26
4) Пренебрегая массой нити и действующими на груз силой сопротивления воздуха и
силой Архимеда, получить через измеренные и заданные величины h1 , t1 , D , m и
вычислить:
а) силу натяжения нити FH 1 при падении груза, пользуясь формулой 2-го закона
Ньютона;
б) момент силы натяжения M H 1 , действующий на диск при падении груза, пользуясь
формулой определения момента силы.
5) Пренебрегая потерей механической энергии при изменении направления движения
груза и принимая, что груз начинает подниматься со скоростью υ2 , равной скорости
падения груза υ1 , выразить через измеренные и заданные величины h1 , t1 , h2 , D , m и
вычислить:
а) ускорение a2 при подъеме груза, используя выражение разности квадратов
скоростей через ускорение и пройденный путь;
б) время подъема груза t2 , используя формулу скорости;
в) угловую скорость диска ω2 в начале подъема груза, учитывая, что υ2 = υ1 и
используя связь ω2 с υ2 ;
г) угловое ускорение диска α2 при подъеме груза, используя связь α2 с a2 ;
д) угол поворота диска ϕ1 за время подъема груза t2 , используя выражение разности
квадратов угловых скоростей через угловое ускорение и угол поворота;
е) число оборотов диска N 2 во время подъема груза;
ж) силу натяжения нити FH 2 при подъеме груза, используя формулу 2-го закона
Ньютона;
з) момент силы натяжения M H 2 при подъеме груза, используя формулу определения
момента силы.
6) Принимая моменты сил сопротивления движению диска при падении груза и
подъеме груза одинаковыми и равными M C и применяя основной закон динамики
вращательного движения для диска при падении груза и при подъеме груза, и используя
выражения угловых ускорений α1 и α2 и моментов сил M H 1 и M H 2 , полученных в
заданиях 3.г, 5.г, 4.б, 5.з, получить:
а) выражения для момента сил сопротивления
Mc =
M H 1α1 - M H 2α2
M h - M H 2 h2
mgD (h1 - h2 )
; M c = H1 1
; Mc =
;
α1 + α2
h1 + h2
2(h1 + h2 )
(3.1)
б) выражения для момента инерции диска
J =

M H1 + M H 2
mD 2  gh2t12
; J =
-1.

α1 + α2
4  h1 (h1 + h2 ) 
7) Подставив значения измеренных величин h1 , t1 , h2 и заданных величин m ,
D , вычислить:
(3.2)
27
а) момент сил сопротивления M C ;
б) момент инерции диска J .
8) Принимая за нулевой уровень потенциальной энергии груза высоту h0 , а
потенциальную энергию диска постоянной и равной 0 Дж, и используя формулу
потенциальной энергии взаимодействия груза с Землей, формулы кинетической энергии
поступательного и вращательного движения тел и определение механической энергии
тела и системы, получить выражения через величины h1 , t1 , h2 , m , D , J механической
энергии:
а) груза в начале падения WГ 1 ;
б) диска в начале падения W Д 1 ;
в) системы тел, состоящей из груза и диска, в начале падения W10 ;
г) груза в конце падения WГ 2 ;
д) диска в конце падения W Д 2 ;
е) системы тел, состоящей из груза и диска, в конце падения W2 = WГ 2 + W Д 2 :
W2 =
2h12
4J
).
2 (m +
t1
D2
9) Получить выражение потери механической энергии системы при падении груза
через h1 , t1 , m , D , J :
2h12 
4J 
∆W12 = W1 - W2 = mgh1 - 2 m + 2 .
t1 
D 
10) Пренебрегая потерей механической энергии при изменении направления движения
груза, принять, что механическая энергия системы в начале подъема груза W3 равна
энергии системы в конце падения W2 .
11) Получить выражение через h2 и m механической энергии системы W4 в конце
подъема груза.
12) Получить выражение потери механической энергии системы при подъеме груза
через h1 , t1 , h2 , m , D :
2h12 
4J 
∆W34 = W3 - W4 = W2 −W4 = 2 m + 2  - mgh2 .
t1 
D 
13) Принимая моменты сил сопротивления движению диска при падении груза и
подъеме груза одинаковыми и равными M C , и используя формулу работы момента силы,
получить выражения работы момента сил сопротивления:
2h1
;
D
2h
б) при подъеме груза Ac 2 = M c 2 .
D
а) при падении груза Ac1 = M c
14) Учитывая неконсервативные силы, действующие только на диск, работы момента
сил сопротивления Ac1 и Ac 2 выразить через потери механической энергии ∆W12 и ∆W34 .
28
15) Приравняв выражения работ момента сил сопротивления при падении груза и
подъеме груза через M C и через ∆W1 и ∆W2 , составить систему двух уравнений с
неизвестными M C и J и получить выражения через h1 , t1 , h2 , m , D :
а) момента сил сопротивления M C – выражение (3.1);
б) момента инерции диска J - выражение (3.2).
16) Подставив значения измеренных величин h1 , t , h2 , заданных величин m , D и
вычисленных в задании 6 величин M C и J , вычислить:
а) механическую энергию груза WГ 1 , диска W Д 1 и системы W1 , состоящей из груза и
диска, в начале падения груза;
б) механическую энергию груза WГ 2 , диска W Д 1 и системы W1 в конце падения груза;
в) потерю механической энергии системы при падении груза ∆W12 ;
г) механическую энергию системы в начале подъема W3 и в конце подъема груза W4 ;
д) потерю механической энергии системы при подъеме груза ∆W34 ;
е) работу сил неконсервативных взаимодействий при падении груза AC1 = ∆W12 ;
ж) работу сил неконсервативных взаимодействий при подъеме груза AC 2 = ∆W34 ;
з) потерю механической энергии системы W14 и работу сил неконсервативных
взаимодействий AC в процессе падения и подъема груза
AC = ∆ W14 = W1 – W4 .
и) долю потерянной механической энергии системы в процессе падения и
∆W14
подъема груза
;
W1
к) долю механической энергии системы, потерянной при падении груза
∆W12
W1
л) долю механической энергии системы, потерянной при подъеме груза
∆W34
;
W10
17) Вычислить момент инерции диска J p , включая моменты инерции прикрепленной к
диску пластины 6, шкива 2, цилиндрического вала 7 (рис. 3.2), используя формулы
моментов инерции тел; плотность стали ρ = 7800 кг/м3; на рисунке размеры указаны в
сантиметрах; пластину рассматривать как стержень.
18) Сравнить вычисленное по формулам значение момента инерции J p с
полученным значением J на основе опытных данных; найти значение
сделать вывод о правомочности принятых допущений.
∆J
J
= 1;
Jp
Jp
29
Рис. 3.2
Таблица 3.1.2
Номер
задания
Величина
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
D
м
m
кг
h0
м
h10
м
1
2
2
3,а
3,б
3,в
h1
t1
h2
a1
υ1
ω1
м/с
с-1
м
с
м
2
м/с
Таблица 3.1.2 (продолжение)
3,г
3,д
3,е
4,а
4,б
5
5,а
5,б
5,в
5,г
5,д
5,е
α1
ϕ1
N1
об
FH 1
Н
M H1
Н.м
υ2
a2
м/с2
t2
с
ω2
α2
ϕ2
-1
-2
рад
N2
об
-2
с
рад
м/с
с
с
30
Таблица 3.1.2 (продолжение)
5,ж
FH 2
Н
5,з
MH2
Н
7,а
MC
Н.м
7,б
J
кг.м2
16,а
WГ 1
Дж
16,а
WД 1
Дж
16,а
W1
Дж
16,б
WГ 2
Дж
16,б
WД 2
16,б
W2
Дж
Дж
16,в
∆W12
Дж
16,г
W3 = W2
Дж
Таблица 3.1.2 (окончание)
16,г
W4
Дж
16,д
∆W34
Дж
16,е 16,ж
Ac1
Ac 2
Дж Дж
16,з
Ac = ∆W14
Дж
16,и
∆W14 / W1
%
16,к
∆W12 / W1
%
16,л
∆W34 / W
%
17
JP
кг.м2
18
∆J / J P
%
3.2. Упражнение 2. Исследование зависимости момента инерции тел
от расстояния до оси вращения (проверка теоремы Штейнера)
В лабораторной работе экспериментально проверяется линейная зависимость момента
инерции тела от квадрата расстояния до оси вращения.
2.1. Теория метода и описание установки
Согласно теореме Штейнера момент инерции тела J относительно данной оси можно
представить как сумму момента инерции тела J c относительно оси, параллельной данной
оси и проходящей через центр масс тела C, и произведения массы тела m на квадрат
расстояния d между этими осями:
J = J c + md 2 ,
т.е. момент инерции тела J относительно данной оси является линейной функцией
квадрата расстояния d 2 между данной осью и осью, параллельной данной и проходящей
через центр масс тела.
Лабораторная работа выполняется на установке, описанной в методических указаниях
к лабораторной работе «Исследование поступательного и вращательного движения тел на
модели маховика». В установке предусмотрена возможность прикручивания
дополнительных грузов 6 к диску 1 на различных расстояниях d от оси вращения диска.
Дополнительные грузы представляют собой цилиндры с диаметром Dc и массой mc .
Момент инерции J системы тел, состоящий из диска и прикрученных цилиндров равен
сумме момента инерции диска J Д и момента инерции цилиндров J Ц
J = JД + J
Ц
При прикручивании цилиндров на одинаковом расстоянии d от оси вращения диска,
момент инерции цилиндров J Ц равен
31
J Ц = N J1 ,
где N – число цилиндров,
J1 - момент инерции одного цилиндра.
Момент инерции J1 одного цилиндра относительно оси вращения диска согласно
теореме Штейнера равен
J1 = J c + mc d 2 ,
где J c – момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра, на которой находится
центр масс C .
По формуле момента инерции цилиндра относительно оси цилиндра
J c = 0,5 mRц2 = 0,125 mDц2 .
Тогда момент инерции одного цилиндра
J1 = 0,125 mDц2 + md 2 = (0,125 mDц2 + d 2 )m,
а момент инерции системы, состоящей из диска и прикрученных цилиндров,
J = J Д + NJ1 = J Д + Nm(0,125Dц2 + d 2 ).
(3.3)
Из полученных формул следует, что зависимость как момента инерции одного
цилиндра J1 , так и момента инерции системы тел, состоящей из диска и цилиндров J , от
квадрата расстояния d 2 между осью вращения и осями цилиндров является линейной. К
экспериментальной проверке этой зависимости и сводится исследование зависимости
момента инерции тела от расстояния до оси вращения и проверка теоремы Штейнера.
3.2.2. Порядок выполнения лабораторной работы
1) К свободному концу нити подвесить груз массой m .
2) При полностью размотанной со шкива нити линейкой измерить высоту h0 от
столика установки 5 до груза 3 (рис. 3.1).
3) Выкрутить цилиндры 6 из диска 1.
4) Измерить линейкой расстояния d от оси вращения до центров отверстий на диске
(диаметр вала 18 мм).
5) Включить секундомер в сеть.
6) Включить включатель секундомера на задней панели, при этом секундомер должен
показывать «00.0», а измеритель перемещения «0.00».
7) Вращая диск и наматывая нить на шкив с левой стороны, поднять груз на
выбранную высоту h10 над столиком установки и, нажав кнопку электромагнита,
зафиксировать груз в этом положении.
8) Измерить высоту h10 линейкой и найти высоту падения h1 = h10 − h0 .
9) Нажать кнопку секундомера «пуск» и дождаться, пока секундомер перестанет
считать время, а измеритель перемещения перестанет считать высоту подъема груза.
32
10) Показание секундомера – время падения груза t1 и показание измерителя
перемещения – высоту подъема h2 записать в табл. 3.1.
11) Выключить включатель секундомера.
12) Повторить еще два раза измерения t1 и h2 при падении груза с той же высоты h10 .
13) Измерить три раза время падения t1 и высоту подъема h2 при падении груза с той
же высоты h10 , когда нить намотана на шкив с правой стороны.
14) Выключить секундомер.
15) Прикрутить цилиндры 6 к диску 1 на выбранном расстоянии d от оси вращения
диска.
16) Выполнить пункты 5) … 14) .
17) Выполнить пункты 3), 15) и 5) … 14) при четырех других значениях расстояния d .
Таблица 3.2.1.
d , см
1
Без
цилиндров
t1 , c
3,5
t1 , c
2
3
4
5
6
Среднее
значение
h2 , см
h2 , см
4,5
t1 , c
h2 , см
5,5
t1 , c
h2 , см
6,5
t1 , c
h2 , см
7,5
t1 , c
h2 , см
h0 =
m =
h10 =
D =
h1 = h10 − h0 =
Dc =
mц =
3.2.3. Задания к упражнению 2
(результаты вычислений внести в таблицы 3.2.2 и 3.2.3)
1) Вычислить средние значения времени падения t1 и высоты подъема груза h2 для
диска без прикрепленных цилиндров и диска с цилиндрами при всех значениях
33
расстояния d :
t1 =
1 6
1 6
t1i ; h2 = ∑ h2 i .
∑
6 i=1
6 i=1
2) Вывести формулу для определения момента инерции J э диска на основе
экспериментальных данных: высоты падения груза h1 , времени падения груза t1 , высоты
подъема груза h2 , и заданных величин массы груза m и диаметра шкива D (см. задания 6
и 15 к упражнению 1):
Jэ =

mD 2  gh2t12
-1.

4  h1 (h1 + h2 ) 
3) Принимая за t1 и h2 их средние значения вычислить момент инерции диска J Дэ и
диска с цилиндрами J э при всех значениях расстояния d .
4) Для всех расстояний d вычислить d 2 .
5) Построить график зависимости момента инерции J э от d 2 и убедиться в линейной
зависимости J э от d 2 .
6) По графику определить момент инерции J oэ диска с цилиндрами при d = 0 м, т.е. в
случае, когда оси цилиндров совпадают с осью вращения диска.
7) Используя формулы моментов инерции тел вычислить момент инерции диска J p ,
включая моменты инерции прикрепленной к диску пластины 6, шкива 2, цилиндрического
вала 7 (рис. 3.2); плотность стали ρ = 7800 кг/м3; на рисунке размеры указаны в
сантиметрах; пластину рассматривать как стержень (см. задание 17 к упражнению 1).
8) Учитывая, что момент инерции J oэ равен J oэ = J Д + NJ cэ , определить момент
инерции одного цилиндра относительно оси цилиндра из экспериментальных данных J cэ .
9) По формуле момента инерции цилиндра относительно оси цилиндра вычислить
момент инерции одного цилиндра J cp (масса цилиндра mц = 240 г, диаметр основания
цилиндра Dц = 42 мм) и сравнить его с J cэ .
10) Вычислить момент инерции J p диска с цилиндрами по формуле (3.3) при всех
расстояниях d . Значение J op при d = 0 м вписать в табл. 3.2.3.
11) Построить график зависимости J p от d 2 и сравнить его с графиком
зависимости J э от d 2 .
34
Таблица 3.2.2
Без
цилиндров
1
2
3
4
5
d,м
t1 , с
h2 , м
J э , кг м2
d 2 , м2
J p , кг м2
Таблица 3.2.3
J0
JД
Экспериментальные
значения
Рассчитанные
значения
Jc
Jэ =
J oэ =
J cэ =
Jp =
J op =
J cp =
Студент _______________________________________________
(факультет, курс, группа, фамилия, и.о.)
лабораторную работу выполнил __________________________,
(подпись преподавателя)
задания к лабораторной работе выполнил ___________________
(подпись преподавателя)
35
4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1Э.
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
В МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПРОВОДНИКАХ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОПРОТИВАЛЕНИЯ ПРОВОДНИКОВ
4.1. Упражнение 1. Определение сопротивления проводника
на основе закона Ома
4.1.1. Теория метода
По определению электрическое сопротивление проводника
U
R= .
J
Для нахождения сопротивления R необходимо измерить приложенное к проводнику
напряжение U и силу тока J в проводнике при этом напряжении.
Напряжение измеряется с помощью вольтметра, сила тока измеряется с помощью
амперметра.
Вольтметр включается параллельно участку цепи, на котором измеряется напряжение.
Это напряжение Uиз равно показанию вольтметра.
Амперметр включается последовательно к участку цепи, в котором измеряется сила
тока. Эта сила тока J из равна показанию амперметра.
На рис. 4.1 приведены две возможные электрические схемы соединения вольтметра V,
амперметра A и исследуемого проводника с сопротивлением Rx.
а
б
Рис.4.1
По схеме, приведенной на рис. 4.1,а – схеме 1, проводник и амперметр соединены
последовательно, и вольтметр измеряет и показывает сумму напряжения на проводнике
Ux и напряжения на амперметре UA:
Uиз =Uх + UА,
(4.1)
амперметр измеряет и показывает силу тока Jиз, которая равна силе тока в проводнике Jx:
Jиз = Jx.
По определению сопротивление проводника равно
36
Rx =
Ux Ux
.
=
J x J из
Из (4.1) следует, что напряжение на проводнике
Ux =Uиз – UА.
Напряжение на амперметре UA согласно закону Ома равно
UA = JARA = JизRA.
Тогда
Ux =Uиз – JизRА,
и для определения Rх по измеренным значениям U из и J из по схеме 1 получим формулу
Rх =
Отношение
U из
J из
U x U из − J из RA U из
=
=
− RA .
J из
J из
J из
является общим сопротивлением последовательно соединенных
проводника и амперметра (сопротивлением, определенным по показаниям приборов):
U
Rиз = из .
J из
Поэтому сопротивление проводника будет равно:
Rx = Rиз - RA.
(Это выражение следует и из формулы общего сопротивления при последовательном
соединении проводников).
Отсюда следует, что
∆R = Rиз – Rх = RА,
т.е. сопротивление Rиз, вычисленное по показаниям амперметра и вольтметра по схеме 1,
отличается от сопротивления проводника Rx на величину сопротивления амперметра.
Относительное отличие сопротивления проводника Rx от сопротивления
Rиз,
определенного по показаниям амперметра и вольтметра, равно
∆R RA
=
Rx Rx
Видно, что отличие значения сопротивления Rиз, полученного на основе
экспериментальных данных, от истинного значения сопротивления проводника Rx тем
меньше, чем меньше сопротивление амперметра RA и чем больше сопротивление
проводника.
По схеме, приведенной на рис. 4.1,б – схеме 2, проводник и вольтметр соединены
параллельно и амперметр измеряет и показывает сумму сил токов через проводник Jx и
через вольтметр JV :
Jиз = Jx + JV,
а вольтметр измеряет и показывает напряжение на проводнике:
Uиз = Ux.
По определению сопротивление проводника
U
U
Rx = x = из .
Jx
Jx
Из (4.2) следует, что сила тока в проводнике
Jx = Jиз – JV
(4.2)
37
Сила тока через вольтметр JV согласно закону Ома
v
v
v
U
U
= из .
R
R
v
J =
Тогда
v
v
U из
U из R
=
J из − U из / R
J из R − U из
v
Rx =
U из
;
R
v
J x = J из −
Разделив на Jиз и числитель, и знаменатель, получим формулу для определения Rx по
измеренным значениям U из , J из по схеме 2:
v
U из
R
J из
Rx =
.
U из
R −
J из
v
U из
, т.е. определенное по показателям приборов сопротивление, равное
J из
U
Rиз = из ,
J из
в этом случае является общим сопротивлением параллельно соединенных проводника и
вольтметра. Поэтому сопротивление проводника будет равно
Отношение
v
v
Rиз R
Rиз
=
.
R − Rиз 1 − Rиз / R
v
Rx =
(Это выражение следует и из формулы общего сопротивления при параллельном
соединении проводников).
Сопротивление Rиз, вычисленное по показаниям амперметра и вольтметра, отличается
от сопротивления проводника Rx в этом случае на величину
Rx
.
1 + R / Rx
v
∆R = R x − Rиз =
Относительное отличие сопротивления проводника Rx от сопротивления Rиз,
определенного по показаниям амперметра и вольтметра в этом случае равно
v
v
Rx
∆R
1
=
=
.
Rx 1 + R / Rx R + Rx
v
Видно, что отличие значения сопротивления Rиз, полученного на основе
экспериментальных данных от истинного значения Rx тем меньше, чем больше
сопротивление вольтметра R и чем меньше сопротивление проводника Rx.
4.1.2. Описание установки
Схема установки для определения сопротивления проводников приведена на рис. 4.2.
38
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками, которые позволяют произвести
выравнивание положения прибора. К основанию прикреплена колонна 2 с нанесенной
метрической шкалой 3. На колонне смонтированы два неподвижных кронштейна 4 и один
подвижный кронштейн 5, который может передвигаться вдоль колонны и
фиксироваться в любом положении.
Между верхним и нижним кронштейнами натянут провод 6, который является
исследуемым проводником. Провод прикрепляется к неподвижным кронштейнам при
помощи винтов 7. Рабочая длина провода 0,5 м. Через контактный зажим на подвижном
кронштейне обеспечивается соединение провода с измерительной частью. На подвижный
кронштейн нанесена метка в виде черты, которая облегчает определение длины отрезка
измеряемого провода.
Нижний, верхний и подвижный кронштейны при помощи проводов низкого
сопротивления соединены с измерительной частью установки 8.
Миллиамперметр mA служит для измерения силы тока Jиз в диапазоне 100 … 250 мА.
Внутреннее сопротивление миллиамперметра RA = 0,15 Ом.
Вольтметр V служит для измерения напряжения в диапазоне 0,1 … 1,2 В. Внутреннее
сопротивление вольтметра Rv= 2500 Ом.
Рис.4.2
Кнопка переключателя режима работы К1 «мост – (V – mA)» на передней панели
измерительной части прибора 8 служит для переключения прибора для измерения
сопротивления проводника или на основе закона Ома путем измерения силы тока и
напряжения, или с помощью внешнего измерительного моста постоянного тока (см. п.4.3).
Кнопка К2 служит для переключения прибора для измерения сопротивления
проводника на основе закона Ома или по схеме, приведенной на рис. 4.1,а, или по схеме,
39
приведенной на рис. 4.1,б. Через зажимы «Rx» исследуемый проводник подключается во
внешний измерительный мост в качестве одного из четырех проводников (см. п.4.3).
4.1.3. Порядок выполнения упражнения по определению
сопротивления проводника на основе закона Ома
1) Ручку потенциометра на передней панели измерительной части установки «Рег.
тока» повернуть против часовой стрелки до упора.
2) Для определения сопротивления проводника на основе закона Ома по схеме,
приведенной на рис. 4.1,а - по схеме 1:
а) нажав на кнопку переключателя вида работы К1 выбрать режим «V - mA»;
б) отжав кнопку выбора схемы К2, выбрать схему 1.
3) Включить вилку шнура установки в розетку.
4) Нажав кнопку «сеть» на передней панели измерительной части, включить установку.
5) Освободив винт на подвижном кронштейне, передвинуть кронштейн на выбранную
длину провода ℓ .
6) Поворачивая ручку потенциометра «Регулировка тока» по часовой стрелке,
установить такое значение тока, чтобы вольтметр показывал около 0,9 В.
7) Показания амперметра и вольтметра записать в табл. 4.1.1.
8) Нажав кнопку К2 переключить установку в режим измерения сопротивления по
схеме, приведенной на рис. 4.1,б – схеме 2.
9) Пункты 2,б, 5) … 8) повторить для двух других положений кронштейна (для двух
других длин провода) при двух других напряжениях.
10) Нажав кнопку «Сеть», выключить установку.
11) Вытащив вилку из розетки, отключить установку от сети.
4.1.4. Задания к упражнению 1
(результаты вычислений внести в таблицы 4.1.1 и 4.1.2)
1) Используя формулу, выражающую определение электрического сопротивления,
выразить через показания вольтметра Uиз и амперметра Jиз и вычислить общее
сопротивление Rиз соединенных последовательно проводника и амперметра (схема 1).
2) Используя формулу, выражающую определение электрического сопротивления,
выразить через показания амперметра Jиз и вольтметра Uиз и вычислить общее
сопротивление соединенных параллельно проводника и вольтметра Rиз (схема 2).
3) Используя формулы общего напряжения, общей силы тока при последовательном
соединении проводников и формулу, выражающую определение сопротивления
проводника, получить выражение сопротивления проводника Rx через сопротивление
амперметра RA, показание вольтметра Uиз и показание амперметра Jиз (схема 1):
U
Rx = из − RA = Rиз − RA . .
J из
4) Используя формулы общей силы тока, общего напряжения при параллельном
соединении проводников и формулу, выражающую определение сопротивления
v
v
40
проводника, получить выражение сопротивления проводника через сопротивление
вольтметра RV, показание амперметра Jиз и показание вольтметра Uиз (схема 2):
U из
Rиз
Rx =
=
.
J из − U из / R 1 − Rиз / R
5) Вычислить сопротивления Rx проводников на основе экспериментальных данных
Uиз, Jиз и сопротивлений амперметра RA и вольтметра Rv по схемам 1 и 2.
6) Вычислить среднее значение сопротивлений Rx1 и Rx2, определенных по схемам 1 и
2:
Rc = 0,5 (Rx1 + Rx2),
и принять его за истинное значение сопротивления проводника.
7) Вычислить разницу ∆R сопротивления проводника Rc от сопротивлений Rиз,
определенных по показаниям приборов по схеме 1 и по схеме 2:
∆R = Rс–Rиз.
8) Вычислить относительное отличие сопротивлений Rиз от среднего значения
∆R
сопротивления Rc:
.
Rc
9) Используя формулу сопротивления цилиндрических проводников и геометрические
размеры проводника, выразить через среднее значение сопротивление RC и диаметр и длину
проволоки D и ℓ и вычислить удельное сопротивление материала проводника ρ:
Rcπ D 2
.
ρ=
4ℓ
10) Вычислить среднее значение удельного сопротивления материала проводника ρ c .
11) Сопоставив
ρ c с табличными значениями удельных сопротивлений металлов,
определить материал, из которого изготовлен проводник.
12) Используя связь удельного электрического сопротивления
ρ с удельной
электропроводностью материала γ, вычислить γ.
13) Используя формулу, выражающую определение плотности тока
выражение плотности тока через силу тока J и D:
j=
4J
πD 2
j, получить
.
14) Вычислить плотность тока при одной из выбранных длин проводника.
15) Используя формулу закона Ома в дифференциальной форме, вычислить
напряженность электрического поля в проводнике Е при определенной в задании 14
плотности тока j.
16) Принимая электрическое поле внутри проводника однородным,
учитывая, что напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах проводника,
используя связь напряженности электрического поля с разностью потенциалов,
вычислить напряженность E p .
17) Выбрав в качестве точки проводника бесконечно малый цилиндрик с высотой dℓ и
площадью основания dS , определения плотности тока и силы тока,
используя выражение электрического заряда через объемную плотность ρ э ,
41
используя выражение ρ э через концентрацию n и заряд e свободных переносчиков
заряда,
используя формулу объема цилиндра,
учитывая, что по определению модуль скорости упорядоченного движения переносчиков
заряда υ =
dl
,
dt
получить выражение плотности тока через n , e , υ :
i = neυ .
18) Принимая, что на каждый атом металла приходится один свободный электрон, а
концентрация электронов n равняется концентрации атомов металла, и, учитывая
определения концентрации n , плотности вещества ρ м и выражения молярной массы M
через число Авогадро N A , получить выражение n через ρ м , M и N A :
n=
ρм N A
.
M
19) Принимая, что провод изготовлен из сплава фехраль ( ρ м =7,8 . 103кг/м3, M =0,056
v
кг/моль, ρ =1,3 . 10-8 Ом . м), вычислить концентрацию переносчиков заряда n .
20) Используя выражение плотности тока j через характеристики переносчиков заряда,
вычислить скорость упорядоченного движения электронов при выбранной в задании 14
силе тока J.
21) Рассматривая совокупность обобществленных электронов в металлах как
идеальный газ и используя связь кинетической энергии теплового хаотичного движения
электронов с абсолютной температурой, получить выражение средней скорости теплового
хаотичного движения электронов через постоянную Больцмана к, массу электрона mе и
абсолютную температуру Т:
υc =
3кT
.
me
22) Используя табличные значения к, m, и пренебрегая нагреванием проводника при
прохождении тока по нему, вычислить среднюю скорость υc теплового движения
электронов в металле при комнатной температуре Т и сравнить υc со скоростью
упорядоченного движения электронов в металле υ (см. задание 20).
23) Рассматривая электрон в проводнике как свободную частицу
используя формулу силы, с которой электрическое поле действует на электрический
заряд,
формулу второго закона Ньютона,
принимая, что между столкновениями электрон двигается равноускоренно с начальной
скоростью υ0 = 0 м / с , используя формулы скорости и
средней скорости при
равноускоренном движении,
используя
формулу, выражающую плотность тока через характеристики
переносчиков заряда,
вывести формулу закона Ома в дифференциальной форме согласно классической
электронной теории электропроводности металлов:
42
j=
ne2t
ne 2 λ
1
E=
E=
E.
2m
2mv c
ρкл
24) Принимая за ρкл удельное электрическое сопротивление ρc (см. задание 10) и
используя табличные значения mе, e, вычислить среднюю длину свободного пробега
электрона в проводнике λ при комнатной температуре Т:
2m v
λ = e 2c .
ρ c ne
25) Сравнить длину свободного пробега электрона λ с расстоянием d kp между узлами
кристаллической решетки (с постоянной кристаллической решетки).
Таблица 4.1.1
Номер
схемы
ℓ
U из
В
J из
А
Rиз
Ом
∆R
Rx
Ом
∆R / Rc %
ρ .106
Ом . м
1
2
ℓ1 =
Среднее
значение
1
2
ℓ2 =
Среднее
значение
1
2
ℓ3 =
Среднее
значение
Среднее значение ρ c
Таблица 4.1.2
Номер
задания
Величина
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
6
D
ℓ
J из
U из
10
Rc
ρc
11
ρм
12
γ
43
Таблица 4.1.2 (окончание)
14
15
16
j
E
Ep
ρм
M
19
20
22
24
25
n
υ
υc
λ
d
4.2. Упражнение 2. Исследование зависимости
силы тока в металлах от напряжения
(проверка закона ома)
4.2.1. Теория метода
По закону Ома сила тока в металлическом проводнике прямо пропорциональна
напряжению и сопротивление металлического проводника не зависит от напряжения и
силы тока:
J ~ U; J =
U
; R = const
R
В работе закон Ома проверяется на установке, описанной в п.п. 4.1.2.по схеме,
изображенной на рис. 4.1,а – по схеме 1.
Напряжение, подаваемое на участок цепи, содержащей проводник Rx , амперметр А и
вольтметр V, регулируется ручкой «Рег. тока» на передней панели измерительной части
установки и измеряется вольтметром. Сила тока измеряется амперметром.
Амперметр включается последовательно с проводником, поэтому сила тока J в
проводнике равна показанию амперметра Jиз:
J = Jиз.
Вольтметр включается параллельно участку цепи, состоящему из последовательно
соединенных проводника и амперметра, и его показание Uиз равно сумме напряжения на
проводнике U и напряжения на амперметре UA:
Uиз = U + UA.
Отсюда напряжение на проводнике
U = Uиз – UA.
Напряжение на амперметре согласно закону Ома равно
UA = JизRA.
Тогда напряжение на проводнике
U = Uиз – JизRA.
Таким образом, проверка закона Ома сводится к проверке прямой пропорциональной
зависимости измеренной силы тока Jиз от выражения (Uиз – JизRA):
Jиз ~ (Uиз – JизRA).
44
4.2.2. Порядок выполнения упражнения
1) Ручку потенциометра на передней панели измерительной части установки «Рег.
тока» повернуть против часовой стрелки до упора.
2) Включить вилку шнура установки в розетку.
3) Нажав кнопку «сеть» на передней панели измерительной части, включить
установку.
4) Нажав кнопку переключателя вида работы К1 выбрать режим «V - mA».
5) Отжав кнопку выбора схемы К2, выбрать схему, приведенную на рис. 4.1,а – схему 1.
6) Освободив винт на подвижном кронштейне, передвинуть кронштейн на выбранную
длину провода ℓ (около 45 см).
7) Поворачивая ручку «Рег. тока» по часовой стрелке добиться, чтобы напряжение,
подаваемое на исследуемый участок цепи (напряжение, которое показывает вольтметр),
равнялось 0,6 В.
8) Значения напряжения Uиз и силы тока Jиз (показания вольтметра и амперметра)
записать в табл. 4.2.1.
9) Поворачивая ручку «Рег. тока» по часовой стрелке и увеличивая напряжение на 0,1
В, повторить пункты 7) и 8) при напряжениях Uиз , равных 0,7 В; 0,8 В; 0,9 В; 1,0 В.
10) Нажав кнопку «сеть» выключить установку.
11) Вынув вилку шнура установки из розетки, отключить установку от сети.
4.2.3.Задания к упражнению 2
(результаты вычислений внести в таблицы 4.2.1 и 4.2.2)
1) Используя формулу общего сопротивления при последовательном соединении
проводников и формулу закона Ома, получить выражение напряжения на проводнике
через показания вольтметра Uиз и амперметра Jиз и сопротивление амперметра RA:
U = Uиз – JизRA.
2) Вычислить напряжения U, приходящиеся на проводник.
3) Построить график зависимости силы тока в проводнике J от приложенного
напряжения U и убедиться в прямо-пропорциональной зависимости J от U.
4) Выбрав интервал значений напряжений около ∆U = 0,5 В, по графику найти
соответствующий интервал значений сил тока ∆J.
5) Вычислить угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона графика
зависимости J от U:
tgα =
6) Учитывая, что отношение
∆J
.
∆U
∆U
равно сопротивлению проводника, вычислить R:
∆J
R=
1
.
tgα
45
7) Используя формулу сопротивления цилиндрических проводников, выразить через
сопротивление проводника R и геометрические размеры проводника и вычислить
удельное сопротивление материала проводника ρ .
8) Сравнить полученное значение ρ со средним значением ρ c , вычисленным в
упражнении 1, и найти относительное отличие удельных сопротивлений ρ и ρ c :
ρс − ρ
ρ
= 1− .
ρс
ρс
ρс
9. Если не выполнялись упражнение 1 и задания к нему, то выполнить задания
12)…25) из пункта 4.1.4.
∆ρ
=
Таблица 4.2.1
1
2
3
4
5
Uиз, В
Jиз = J, А
U, В
Таблица 4.2.2
Номер
задания
4
4
5
6
7
Величина
∆U
∆J
tg α
R
ρ
А
1/Ом
Ом
Ом. м
Наименование В
единицы
измерения
Численное
значение
8
∆ρ
ρс
%
4.3. Упражнение 3. Измерение сопротивления
проводника по схеме моста постоянного тока
4.3.1. Теория метода
Для измерения сопротивления проводников методом сравнения, используется
измерительный мост.
Принципиальная схема моста изображена на рис. 4.1.
Четыре сопротивления R1, R2, R3, R4 соединяют последовательно, образуя замкнутый
четырехугольник.
46
К двум противоположным вершинам четырехугольника через ключ Ки присоединяют
источник тока. К двум другим вершинам через ключ КG присоединяется гальванометр G
(эта ветвь цепи и называется мостом).
Ток, протекающий через гальванометр, зависит от разности потенциалов между теми
вершинами четырехугольника, к которым он подсоединен. Если подобрать сопротивления
R1, R2, R3, R4 так, чтобы эта разность потенциалов обратилась в нуль, то ток через
гальванометр протекать не будет. В этом случае мост считается уравновешенным.
Применив правила Кирхгофа, найдем условие, при котором мост будет уравновешен,
т.е. найдем соотношение между сопротивлениями R1, R2, R3, R4, при выполнении которого
сила тока через гальванометр JG = 0 А.
Рис.4.3
Для применения 1-го правила Кирхгофа выберем за направления токов на участках
цепи направления, указанные на рис. 4.3.
Согласно 1-му правилу Кирхгофа для узла В
J1 – J2 – JG = J1 – J2 – 0 = 0; J1 = J2,
(4.3)
для узла Д
J3 – J4 – JG = J3 – J4 – 0 = 0; J3 = J4.
(4.4)
В качестве замкнутых контуров для применения 2-го правила Кирхгофа выберем
контуры АВДВ и ВСДВ, а за направления обхода контуров – направление по часовой
стрелке.
В выбранных контурах нет источников тока (ε = 0), поэтому согласно 2-му правилу
Кирхгофа для контура АВДА
(4.5)
J1R1 + JGRG – J3R3 = 0; J1R1 – J3R3 = 0; J1R1 = J3R3,
для контура ВСДВ –
J2R2 + JGRG – J4R4 = 0; J2R2 – J4R4 = 0; J2R2 = J4R4.
(4.6)
Из равенств (4.3) … (4.6) следует, что условием уравновешивания измерительного
моста является равенство
R1R4 = R2R3.
47
Таким образом, зная значения трех из четырех сопротивлений, входящих в схему
моста, можно определить величину четвертого (неизвестного) сопротивления:
R4 =
R2 R3
.
R1
Если сопротивления R1 и R2 одинаковые (R1 = R2), то условием равновесия моста будет
равенство
R4 = R3.
В измерительных мостах в качестве одного из сопротивлений – сопротивления R3 –
выбирается переменное сопротивление – реохорд. Для измерения сопротивления R4
исследуемого проводника
нужно подобрать такое сопротивление R3 реохорда, чтобы мост был уравновешен. Тогда
измеряемое сопротивление
Rиз = R3.
Измеряемое сопротивление Rиз складывается из сопротивления проводника Rx и
сопротивления соединительных проводов Rпр, поэтому
Rx = Rиз – Rпр.
4.3.2. Описание установки
В лабораторной работе используется мост постоянного тока (индикатор сопротивления
ММВ), предназначенный для измерения сопротивления проводников.
На лицевой панели индикатора расположены: гальванометр магнитоэлектрической
системы, рукоятка реохорда, переключатель пределов, кнопка для включения источников
питания на время уравновешивания индикатора, зажимы для присоединения исследуемого
проводника.
Исследуемый проводник присоединяется к зажимам «Rx» измерительного моста через
клеммы «Rx» на передней панели измерительной части установки, описанной в п.п. 4.1.2.
В качестве источника тока для питания моста используется внешний источник тока –
выпрямитель ВС4-12.
4.3.3. Порядок выполнения упражнения 3
1) Отжав кнопку переключателя вида работы К1 на передней панели измерительной
части установки, описанной в п.п. 4.1.2, выбрать режим «мост».
2) С помощью проводов подключить исследуемый проводник к мосту постоянного тока
через зажимы «Rx» на передней панели установки.
3) Корректором на лицевой панели моста установить стрелки гальванометра на ноль
(при не включенном мосте).
4) Провода для внешнего питания моста подключить к клеммам «+» и «–» выпрямителя
ВС4-12.
5) Вставив вилку шнура выпрямителя в розетку, подключить выпрямитель к сети.
6) Тумблером «вкл» на передней панели выпрямителя включить выпрямитель.
48
7) Освободив винт на подвижном кронштейне установки, передвинуть кронштейн на
выбранную длину провода (около 45 см).
8) Переключатель пределов реохорда на лицевой панели моста поставить в положение
«Х1».
9) Нажав кнопку включения моста на лицевой панели и придерживая ее в нажатом
положении, поворотом ручки реохорда в соответствующую сторону добиться, чтобы
стрелка гальванометра установилась на нуле шкалы.
10) Величину измеренного сопротивления Rиз, равную произведению отсчетов по
шкале реохорда и по рукоятке переключателя пределов измерений, записать в табл. 4.3.1.
11) Выполнить пункты 7) … 10) для выбранных в упражнении 1 положений подвижного
кронштейна (выбранных длин провода).
12) Передвинуть подвижный кронштейн вниз до соединения с неподвижным нижним
кронштейном и провести измерение сопротивления, которое в этом случае будет равно
Rпр.
13) Тумблером «вкл» выключить выпрямитель.
14) Вынув вилку шнура выпрямителя из розетки, отключить выпрямитель от сети.
4.3.4. Задания к упражнению 3
(результаты вычислений внести в таблицы 4.3.1 и 4.3.2)
1) Используя правила Кирхгофа и учитывая, что в уравновешенном измерительном
мосте сила тока через гальванометр равна нулю, выведите условие равновесия моста.
2) Выведите условие, при выполнении которого неизвестное сопротивление равно
одному из трех других сопротивлений измерительного моста.
3) Вычислить сопротивление проводника
Rx = Rиз – Rпр
4) Значения сопротивления Rx сравнить со средними значениями сопротивлений Rc,
полученных в упражнении 1, и вычислить их относительное отличие
∆R R x − Rc
=
.
Rx
Rx
5) Используя формулу сопротивления цилиндрических проводников, выразить через
сопротивление Rx и геометрические размеры проводника и вычислить удельное
сопротивление металла ρ, из которого изготовлен проводник.
6) Вычислить среднее значение удельного сопротивления материала проводника ρ c .
7) Вычислить экспериментальное значение удельного сопротивления материала
проводника ρ э как среднее значение удельных сопротивлений ρ1 , ρ 2 , ρ3 определенных в
упражнениях 1, 2, 3:
ρэ =
1
( ρ + ρ 2 + ρ3 ) .
3 1
8) Вычислить относительное отличие значений удельного сопротивления материала
проводника, полученных в 1, 2 и 3 упражнениях от среднего экспериментального
значения ρ э :
49
∆ρэ1
ρэ
=
ρэ − ρ1 ∆ρэ 2 ρ э − ρ2 ∆ρ э3 ρ э − ρ3
=
=
;
;
ρэ
ρэ
ρэ
ρэ
ρэ
9. Если не выполнялись упражнение 1 и задания к нему, то выполнить задания
12)…25) из пункта 4.1.4.
Таблица 4.3.1
ℓ, м
Rиз, Ом
Rпр, Ом
Rх, Ом
∆R
,%
Rx
ρ , Ом. м
1
2
3
Среднее
значение
Таблица 4.3.2
1
Величина
Наименование
единицы
измерения
Численное
значение
ρ1
.
Ом м
2
ρ2
.
Ом м
3
ρ3
.
Ом м
4
ρэ
.
Ом м
5
6
∆ρ э1
∆ρ э2
%
%
ρэ
ρэ
Студент _____________________________________________
(факультет, курс, группа, фамилия, и.о.)
лабораторную работу выполнил _________________________
(подпись преподавателя)
задания к лабораторной работе выполнил ________________
(подпись преподавателя)
7
∆ρ э3
ρэ
%
50
5. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2Э.
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ И
МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПРОВОДНИКОВ С ТОКОМ
5.1. Упражнение 1. Проверка закона электромагнитной индукции.
5.1.1. Описание установки. Теория метода
Электромагнитной индукцией называется возникновение электродвижущей силы
(ЭДС) в проводнике под действием магнитного поля. ЭДС электромагнитной индукции
равна скорости изменения магнитного потока со временем с обратным знаком (закон
электромагнитной индукции):
ε = -
dФв
.
dt
(5.1)
В лабораторной работе проверяется прямая пропорциональная зависимость ЭДС
электромагнитной индукции от скорости изменения магнитного потока.
Лабораторная работа выполняется на установке, принципиальная схема которой
изображена на рис. 5.1.
Рис. 5.1
В качестве контура L1 , создающего магнитное поле, используются либо катушки
Гельмгольца (КГ) – при проверке закона электромагнитной индукции, либо исследуемый
контур с током – при изучении магнитного поля проводников с током (упражнение 2).
Катушки Гельмгольца представляют две короткие по длине последовательно
соединенные одинаковые соосные катушки с одинаковым числом витков N k = 160 ,
расположенные на расстоянии, равном радиусу катушек rk = 0,5d k = 5 см.
Контур L1 питается от генератора (ГСФ) пилообразным током (рис. 5.2,а).
С сопротивления R ( R = 1 Ом) , включенного последовательно с контуром L1 ,
напряжение U1 подается на вход y1 (канал A ) осциллографа.
По закону Ома сила тока
J =
U1
,
R
поэтому наблюдаемая на экране осциллографа зависимость напряжения
U1 = JR
от времени соответствует зависимости силы тока J от времени в контуре L1 . Более того,
численные значения J и U1 совпадают, ибо R = 1 Ом .
51
Рис. 5.2
ЭДС индуцируется в эталонном датчике (ДЭ), представляющем собой катушку малого
диаметра d Д = 0,02 м с числом витков N Д = 150 , и находящемся в магнитном поле
контура L1 .
Индуцируемая в датчике ЭДС ε определяет напряжение U 2 на концах катушки
датчика, которое подается на вход
y 2 осциллографа (канал Б).
На экране осциллографа можно одновременно наблюдать зависимости напряжения U1 ,
связанного с силой тока J в контуре L1 , и напряжения U 2 , связанного с индуцируемой в
датчике ЭДС ε от времени (рис. 5.2,б).
По определению магнитный поток через поперечное сечение датчика (через площадь
S Д = 0, 25π d Д2 , ограниченную одним витком датчика)
Ф1 = BS Д cos ϕ,
где ϕ - угол между нормалью к S Д и магнитной индукцией B .
Магнитный поток через площадь, ограниченную всеми витками датчика (поток
сцепления катушки), больше Ф1 в N Д раз:
Фв = N Д Ф1 = N Д BS Д cos ϕ.
При данном угле ϕ изменение магнитного потока
dФв = N Д S Д dB cos ϕ.
Тогда ЭДС индукции, возникающей в датчике, по величине будет равна
ε =
и проверка зависимости ε от
dФ
dB
= N Д SД
cos ϕ,
dt
dt
(5.2)
dФ
сводится к проверке зависимости ε от скорости
dt
изменения индукции магнитного поля, вызывающего электромагнитную индукцию,
dB
.
dt
Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что для всех проводников с током
B ∼ J ; B = kJ ; dB = kdJ .
(5.3)
52
Коэффициент пропорциональности k называется калибровочным коэффициентом; он
показывает, насколько изменяется индукция магнитного поля контура с током при
изменении силы тока в нем на 1 А:
k =
dB
.
dJ
Тогда
dB
dJ
dJ
=k
, ε = kN Д S Д
cos ϕ
(5.4)
dt
dt
dt
dФ
и проверка зависимости ε от
сводится к проверке зависимости ε от скорости
dt
dJ
изменения силы тока
в контуре L1 .
dt
При линейной зависимости силы тока от времени (в течение каждого полупериода при
пилообразном токе) скорость изменения силы тока со временем
dJ
, равная тангенсу угла
dt
наклона графика зависимости J = J (t ), постоянна. Поэтому:
1) если положение датчика ДЭ не изменяется (ϕ = const ) , то при пилообразном токе
в контуре L1 в датчике возникает постоянная во времени ЭДС электромагнитной
индукции (ε = const ) и пилообразному току в контуре L1 соответствует прямоугольная
форма графика зависимости ЭДС ε и напряжения U 2 от времени, приведенная на рис.
5.2,б.
T
скорость изменения силы тока можно выразить
2
через конечные изменения силы тока ∆J = J м и времени ∆t = 0,5T , т.е.
2) для промежутка времени ∆t ≤
2J м
dJ
∆J
2 ∆J
=
=
=
= 2ν J м ,
dt
∆t
T
T
где T и ν - период и частота колебаний тока.
Тогда для ЭДС индукции, возникающей в датчике под действием магнитного поля
контура L1 при пилообразном токе в нем, получаем формулу
ε = 2kN Д S Д ν J М cos ϕ =
1
πkd Д2 N Д νU1М cos ϕ.
2R
(5.5)
Отсюда следует, что проверка закона электромагнитной индукции (5.1) сводится к
проверке зависимостей:
1) при неизменных частоте пилообразного тока (ν = const ) и ориентации датчика
(ϕ = const )
ε ∼ J М ,U 2 ∼ U1М ,
53
т.е. чем больше амплитуда пилообразного тока в катушках Гельмгольца, тем большая
ЭДС индукции должна возникнуть в эталонном датчике;
2) при неизменных амплитуде пилообразного тока ( J М = const ) и ориентации
датчика (ϕ = const )
ε ∼ν , U 2 ∼ν ,
т.е. чем больше частота пилообразного тока в катушках Гельмгольца, тем большая ЭДС
индукции должна возникнуть в эталонном датчике;
3) при неизменных частоте (ν = const ) и амплитуде ( J М = const ) пилообразного
тока
ε ∼ cos ϕ, U 2 ∼ cos ϕ,
т.е. с увеличением угла ϕ между нормалью к сечению катушки и магнитной индукцией
B ЭДС индукции изменяется прямо пропорционально косинусу угла ϕ ;
4) при неизменных частоте и амплитуде пилообразного тока и ориентации датчика
ЭДС индукции постоянна.
В лабораторной работе проверяется цепочка зависимостей:
dФВ dB dJ 2 J М
∼
∼
=
∼ J М ∼ U1М
(5.6)
dt
dt dt
T
при выбранных ν = const и ϕ = const .
В условиях опыта ε равна напряжению U 2 , которое подается на осциллограф, а
U2 = ε ∼
измеряется напряжение ∆U 2 , равное 2ε (рис. 5.2,б).
Частотаν , напряжение U1М , численно равное J М , угол ϕ измеряются в лабораторной
работе.
Калибровочный коэффициент k можно определить на основе опытных данных,
используя расчетную формулу (5.5):
k =
R∆U 2
2 Rε
=
2
πd N Д νU1М cos ϕ
πd Д N Д νU1М cos ϕ
(5.7)
2
Д
Калибровочный коэффициент можно определить также теоретически, учитывая, что
катушки Гельмгольца короткие и рассматривая их как круглые проводники с током. На
оси катушек на расстояниях r1 и r2 от них модуль индукции магнитного поля равен сумме
индукций магнитного поля катушек:
B = B1 + B2 =
µ0 Jrk2 N k
2(rk2 + r12 )3/2
+
µ0 Jrk2 N k
2(rk2 + r22 )3/2
.
Эталонный датчик, в котором возникает ЭДС индукции, располагается посередине
между катушками, а из-за малости его диаметра ( d Д ≪ d k ) можно принять, что он
находится в точке на расстояниях r1 = r2 = 0,5rk . Тогда
B=
µ0 Jrk2 N k
(rk2 + 0,5rk )2 )
 2  µ JN
=  0 k
rk
 5
3
3/2
и для калибровочного коэффициента kТ посередине между катушками получим
выражение
54
 2  µ0 N k
dB
B
=
=
= 

dJ
J
 5  rk
3
kТ
(5.8)
5.1.2. Порядок выполнения упражнения 1
1) Подготовить установку к работе согласно описанию, прилагаемому к ней.
2) Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой, изображенной на рис. 5.3.
Рис. 5.3
3) Установить катушки Гельмгольца на расстоянии 5 см друг от друга.
4) Датчик ДЭ с подставкой установить на поперечные полозья и расположить так,
чтобы он находился посередине между катушками Гельмгольца.
5) Поворачивая датчик, добиться, чтобы оси катушек датчика и Гельмгольца совпали.
6) Нажав кнопку «Вкл», включить генератор ГСФ-1.
7) Оттянув кнопку «Сеть», включить осциллограф С1-125.
8) С помощью ручки «Частота» и кнопок множителей «х3», «х10», «х100» на панели
генератора выбрать частоту ν пилообразного сигнала около 300 Гц (частоту
высвечивает индикатор).
9) Переключателем «ν \дел» на канале А осциллографа выбрать цену большого
деления 0,5 В\дел.
10) Ручкой «Уровень» на панели генератора выбрать выходной сигнал в пределах U1М
= 0,1 … 0,6 В ( J М = 0,1 …0,6 А). Для этого размах пилообразного напряжения U1 на
экране осциллографа должен составить 2 … 12 маленьких делений.
11) Переключателем «ν \дел» на канале Б осциллографа выбрать такую цену большого
деления, чтобы число делений между горизонтальными отрезками на экране
осциллографа, соответствующими ЭДС ε и - ε , было около 10.
12) Умножив число делений между горизонтальными отрезками на выбранную цену
деления на канале Б, определить напряжение ∆U 2 = 2 ε .
13) Произвести измерения ∆U 2 при других четырех амплитудах J М (напряжениях U1М )
в пределах 0,1…0,6 А (0,1…0,6 В); внести полученные значения в табл. 5.1.2 и
вычислить значения U 2 ( U 2 = 0,5 ∆U 2 ).
14) Отжав кнопку «Вкл», выключить генератор; нажав кнопку «Сеть», выключить
осциллограф.
55
5.1.3. Задания к упражнению 1
(результаты вычислений внести в таблицы 5.1.2, 5.1.3)
1) Используя закон Ома, вычислить максимальную силу пилообразного тока J М при
одном из значений напряжения U1М , приложенного к катушкам Гельмгольца.
∆U 2
вычислить U 2 и ε при всех U1М .
2
3) Построить график зависимости ε от U1М .
2) Учитывая, что ε = U 2 =
4) Рассматривая катушки Гельмгольца как круглые проводники с током и используя
формулу индукции магнитного поля на оси, получить выражение индукции посередине
между катушками
 2  µ0 JN k
B=
.

rk
 5
5) По формуле B , полученной в задании 4, вычислить BМ при выбранном в задании 1
3
значении J М .
6) Используя определение калибровочного коэффициента k , показать, что посередине
между катушками
 2  µ0 N k
kТ = 
.

 5  rk
7) По формуле kТ , полученной в задании 6, вычислить kТ .
3
8) Учитывая пилообразную (линейную) зависимость силы тока J от времени t ,
получить выражение скорости изменения силы тока через период T и частоту ν
пилообразного тока:
dJ 2 J М
=
= 2ν J М .
dt
T
9) Вычислить
dJ
при выбранных ν и J М .
dt
10) Учитывая прямую пропорциональную зависимость индукции магнитного поля
проводников с током от силы тока J в контуре,
учитывая определение калибровочного коэффициента,
используя выражение скорости изменения силы тока, полученное в задании 7,
используя формулу закона Ома,
получить выражения скорости изменения индукции магнитного поля катушек
Гельмгольца:
dB
dJ dB
dB
2
= k
;
= 2kν J М ;
=
kν U1М .
dt
dt
dt
dt
R
dB
dB
11) Используя выражение
, полученное в задании 10, вычислить
.
dt
dt
12) Используя определение потока индукции магнитного поля Ф ,
формулу э.д.с. электромагнитной индукции ε Т ,
56
выражение скорости изменения индукции магнитного поля катушек Гельмгольца,
полученное в задании 10,
формулу площади круга,
получить выражения э.д.с. индукции в датчике:
εТ =
d
dB
2
( N Д S Д B cos ϕ ); εТ = N Д S Д
cos ϕ; εТ =
N S k νU1М cos ϕ
dt
dt
R Д Д
π
εТ =
N Д d Д2 k νU1М cos ϕ.
2R
13) Используя выражение ε Т , полученное в задании 12, вычислить расчетные значения
э.д.с. в датчике ε Т при всех U1М (табл. 5.1.2).
14) Построить график зависимости ε Т от U1М и сравнить его с опытной зависимостью
ε =
∆U 2
от U1М .
2
15) Используя выражение ε Т , полученное в задании 12, и принимая ε Т = ε , вычислить
опытное значение калибровочного коэффициента k при ν = 300 Гц, ϕ = 0о:
2 Rε
.
π N Д d νU1М cos ϕ
k =
2
Д
16) Оцените напряженность вихревого электрического поля Eв , возбужденного
изменяющимся со временем магнитным полем в эталонном датчике, принимая
электрическое поле однородным:
Eв =
U2
U2
=
.
ℓ N Дπ d Д
Таблица 5.1.1
Nk
dk
NД
dД
R
160
0,1 м
150
0,01 м
1 Ом
ν
ϕ
0о
Таблица 5.1.2
1
U1М , В
∆U 2 , В
U2 , В
ε ,В
εТ , В
2
3
4
5
Номер
задания
Величина
U1М
1
5
7
9
11
JМ
BМ
kТ
dJ
dt
dB
dt
57
Таблица 5.1.3
15
16
k
Eв
Численное
значение
Наименование
единицы
измерения
5.2. Упражнение 2. Изучение магнитного поля проводников с током и проверка
формул индукции магнитного поля прямого проводника с током и кругового
проводника с током.
5.2.1. Теория метода. Описание установки
В лабораторной работе магнитное поле проводников с током изучается, вызывая
электромагнитную индукцию в эталонном датчике магнитным полем исследуемого
контура с током.
Эталонный датчик представляет собой короткую катушку малого диаметра d Д =0,02 м
с числом витков N Д = 150.
По определению, в однородном магнитном поле магнитный поток через поперечное
сечение датчика (через площадь S Д = 0, 25π d Д2 , ограниченную одним витком датчика)
Ф1 = BS Д cos ϕ,
где ϕ - угол между нормалью к S Д и магнитной индукцией B .
Магнитный поток через площадь, ограниченную всеми витками датчика (поток
сцепления катушки), больше Ф1 в N Д раз:
ФB = N Д ФB1 = N Д BS Д cos ϕ.
Эталонный датчик располагается перпендикулярно линиям индукции магнитного поля,
поэтому ϕ = 0o , cos ϕ = 1,
Ф = N Д S Д B.
Тогда
ε=
dФ
dB
ε dt
= NД SД
, dB =
.
dt
dt
NД SД
(5.9)
В случае пилообразного тока в контуре (при линейной зависимости силы тока от
T
времени) в течение каждой половины периода ∆t =
э.д.с. ε = const.
2
Действительно, из закона Био–Савара-Лапласа следует, что для всех проводников с
током
B ∼ J ; B = kJ ; dB = kdJ .
58
Коэффициент пропорциональности k называется калибровочным коэффициентом; он
показывает, насколько изменяется индукция магнитного поля контура с током при
изменении силы тока в нем на 1 А. Тогда
dB
dJ
= k .
dt
dt
При линейной зависимости силы тока от времени (в течение каждого полупериода при
dJ
пилообразном токе) скорость изменения силы тока
постоянна и равна
dt
dJ
∆J
2J М
=
=
= 2ν J М = const ,
dt
∆t
T
где T и ν - период и частота колебаний пилообразного тока.
Тогда
dB
dJ
= k
= 2kν J М = const , ε = 2W Д S Д kν J М = const.
dt
dt
T
сила тока изменяется от 0 до J М , индукция магнитного поля B от 0
2
до BМ . Интегрируя выражение dB (5.9), получим значение модуля магнитной индукции в
За время от 0 до
рассматриваемой точке в момент времени t =
T
, когда ток в исследуемом контуре имеет
2
наибольшее значение:
В
∫0 dB
=
ε
NД SД
T /2
∫0 dt;
B=
εT
2N Д S Д
.
Таким образом, индукцию магнитного поля B контура с током можно определить по
величине ЭДС индукции ε , которую вызывает в датчике магнитное поле этого контура
при пропускании по нему изменяющегося со временем по линейному закону тока
(пилообразного тока). Если пренебречь индуктивным и активным сопротивлениями
датчика, то напряжение U 2 на концах катушки датчика равно ε . Тогда, выразив период
колебаний пилообразного тока через частоту T = 1/ ν , для определения модуля индукции
магнитного поля контура с током при силе тока в нем, равной J М , получим расчетную
формулу
B =
U2
∆U 2
∆U 2
=
=
,
2ν N Д S Д
4ν N Д S Д
π d Д2 N Дν
(5.10)
где ∆U 2 = 2U 2 (рис. 5.2,б).
Величины N Д и d Д указаны в справочных данных к установке. Величины ν и ∆U 2
измеряются в работе.
5.2.2,а. Порядок выполнения упражнения 2
для связки прямых проводников с током
1) Подготовить установку к работе согласно описанию, прилагаемому к установке.
59
2) Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой, изображенной на рис. 5.1.,
выбрав в качестве контура L1 связку N прямых проводников, укрепленную на лицевой
стороне задней стенки установки.
3) Датчик ДЭ с подставкой установить на поперечные полозья и придвинуть его
вплотную к связке прямых проводников. При этом расстояние r от прямых проводников
до центра катушки датчика равно 0,025 м.
4) Поворачивая датчик, добиться, чтобы катушка датчика и связка проводников лежали
в одной плоскости.
5) Нажав кнопку «Вкл», включить генератор ГСФ-1.
6) Оттянув кнопку «Сеть», включить осциллограф С1-125.
7) С помощью ручки «Частота» и кнопок множителей «х3», «х10», «х100» на панели
генератора выбрать частоту ν пилообразного сигнала в пределах 100…500 Гц (частоту
высвечивает цифровой индикатор).
8) Переключателем «ν \дел» на канале А осциллографа выбрать цену большого
деления 0,5 В\дел.
9) Ручкой «Уровень» на панели генератора выбрать выходной сигнал U1М = 0,3…0,6 В
( J М = 0,3…0,6 А). Для этого размах пилообразного напряжения U1 на экране
осциллографа должен составить 6…12 маленьких делений.
10) Переключателем «ν \дел» на канале Б осциллографа выбрать такую цену большого
деления, чтобы число делений между горизонтальными отрезками на экране
осциллографа, соответствующими ЭДС ε и - ε , было около 10.
11) Умножив число делений между горизонтальными отрезками на выбранную цену
деления на канале Б, определить напряжение ∆U 2 = 2 ε .
12) Измерить ∆U 2 при пяти расстояниях r , увеличивая расстояние каждый раз на
0,02…0,03 м, полученные значения занести в табл. 5.2.2.
13) Отжав кнопку «Вкл», выключить генератор; нажав кнопку «Сеть», выключить
осциллограф.
Таблица 5.2.1
NД
dД
N
150
0,02 м
100
ν
U1М
JМ
Таблица 5.2.2
r,м
1
2
3
4
5
∆U 2 , В
ε ,В
BМ , Тл
BТ , Тл
60
5.2.2, б. Порядок выполнения упражнения 2
для круглого проводника с током (одной из катушек Гельмгольца)
1) Подготовить установку к работе согласно описанию, прилагаемому к установке.
2) Собрать электрическую цепь в соответствии со схемой, изображенной на рис. 3.1,
выбрав в качестве контура L1 одну из катушек Гельмгольца.
3) Датчик ДЭ с подставкой установить на продольные полозья. Придвинуть и
сориентировать датчик так, чтобы плоскости катушек датчика и Гельмгольца совпали.
4) Выполнить пп. 5…13 п. 5.2.2, а. Полученные результаты занести в табл. 5.2.3.
5) На одном и том же графике изобразить зависимости B и BТ от расстояния r и
сравнить их.
6) Отжав кнопку «Вкл», выключить генератор; нажав кнопку «Сеть», выключить
осциллограф.
Таблица 5.2.3
r,м
∆U 2 , В
ε ,В
BМ , Тл
BТ , Тл
1
2
3
4
5
5.2.3. Задания к упражнению 2.
(результаты вычислений внести в табл. 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3)
1) Применяя закон Ома и учитывая, что сопротивление R = 1 Ом, вычислить
максимальную силу тока J М в контуре при напряжении U1 ;
∆U 2
при всех расстояниях r и вписать в таблицу 5.2.3.
2
3) Учитывая пилообразную (линейную) зависимость силы тока J от времени t ,
получить выражение скорости изменения силы тока через период T и частоту ν
2) Вычислить э.д.с. ε = U 2 =
пилообразного тока:
dJ
2J М
2ν
=
= 2ν J М =
U
= const.
dt
T
R 1М
и убедиться, что при выбранных ν и U1М она постоянна.
4) Учитывая прямую пропорциональную зависимость индукции магнитного поля
проводников с током от силы тока J в контуре и используя выражение скорости
изменения силы тока, полученное в задании 3, получить выражения скорости изменения
индукции магнитного поля контура с током
dB
dJ dB
2kν
= k
,
=
U
= const
dt
dt
dt
R 1М
и убедиться, что на выбранном расстоянии r она постоянна.
61
5) Используя определение потока индукции магнитного поля Ф , формулу э.д.с.
электромагнитной индукции ε Т , выражение скорости изменения индукции магнитного
поля, полученное в задании 4, получить выражение э.д.с. индукции в датчике при ϕ = 00 :
ε =
dФ
d
dB
=
( N Д S Д B cos ϕ ) = N Д S Д
= const ,
dt
dt
dt
и убедиться, что э.д.с. ε постоянна.
6) Получить выражение dB из выражения
dB =
ε , полученного в задании 5:
ε dt
NД SД
.
T
сила тока изменяется от 0 до J М , а индукция
2
магнитного поля от 0 до BМ , и интегрируя выражение dB , получить выражения
7) Учитывая, что за время от 0 до
BМ =
εT
2N Д S Д
=
ε
2ν N Д S Д
; BМ =
∆U 2
.
πν N Д d Д2
8) По формуле BМ , полученной в задании 7, вычислить BМ при всех расстояниях r для
связки прямых проводников (табл. 5.2.2) и для одной из катушек Гельмгольца (табл.
5.2.3).
9) Используя формулу индукции магнитного поля прямого проводника с током
BТ =
µ0 NJ М
2π r
и круглого проводника с током (короткой катушки)
BТ =
µ0 N k J М Rk2
(2 Rk2 + r 2 )3/2
,
вычислить теоретические значения индукции магнитного поля BТ на тех же расстояниях
r.
10) На одном и том же графике построить зависимости BМ (r ) и BТ (r ) для связки
прямых проводников с током и сравнить их.
11) На одном и том же графике построить зависимости BМ (r ) и BТ (r ) для круглого
проводника с током и сравнить их.
Студент _________________________________________________
(институт, курс, группа, фамилия, и.о.)
лабораторную работу выполнил ____________________________
(подпись преподавателя)
задания к лабораторной работе выполнил ____________________
(подпись преподавателя)
62
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. – М.: Academa, 2005.
Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. – Спб.: Лань, 2012.
Курс физики: Учебник для вузов./Под ред. В. Н. Лозовского. – Спб.: Лань, 2012.
Михайлов В. К. и др. Основы физики. Часть 1. Механика - М.: Классикс Стиль, 2007.
Савельев И. В. Курс общей физики. – Спб.: Лань, 2011.
Трофимова Т. И. Курс физики. – М.: Academa, 2007.
Школьные учебники по физике.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Лабораторная работа 1М. Изучение поступательного движения тел и определение
силы сопротивления грунта на модели копра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Лабораторная работа 2М. Изучение поступательного и вращательного движения тел
и проверка основного закона динамики вращательного движения тел на модели маятника
Обербека . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Лабораторная работа 3М. Изучение поступательного и вращательного движения тел
на модели маховика и проверка теоремы Штейнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Лабораторная работа 1Э. Изучение электрического тока в металлических
проводниках и определение сопротивления проводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Лабораторная работа 2Э. Изучение электромагнитной индукции и магнитного поля
проводников с током . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62