Материалы для организации СРС при изучении модуля М-10

Материалы для организации самостоятельной работы студентов 4 курса
ИСФ заочной формы обучения при изучении строительной механики
Модуль М-10. РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК
1.Методические указания
Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:
1. Общие сведения о неразрезной балке.
2. Применение метода сил для расчета неразрезных балок на действие
неподвижной нагрузки и осадки опор.
3. Расчет неразрезных балок на действие неподвижной нагрузки с использованием фокальных свойств
4. Расчет неразрезных балок на действие временной нагрузки.
Изучение модуля следует начинать с усвоения определения неразрезной
балки, существующих ее разновидностей и особенностей в устройстве опорных закреплений такой балки. Также следует разобраться с используемой
при расчете неразрезных балок любой разновидности взаимосвязанной системы обозначения опор и пролетов и связанной с ней формулой для определения степени статической неопределимости неразрезной балки.
Рассматривая применение метода сил к расчету неразрезной балки важно
понимать, почему в качестве основной системы выбирается многопролетная
шарнирная балка, как это влияет на коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, что происходит с самими каноническими уравнениями
и почему они в этом случае называются уравнениями трех моментов.
Важно разобраться, как применяются уравнения трех моментов в случае
заделки на крайней опоре и в случае консоли, какой вид имеют первое и последнее уравнения трех моментов, вся система уравнений в целом и каковы
особенности ее решения.
При рассмотрении вопросов определения внутренних усилий неразрезной
балки необходимо разобраться с приемами построения эпюр изгибающих
моментов и поперечных сил, а также способами проверки полученных эпюр.
Серьезное внимание при изучении модуля следует уделить фокальным
свойствам неразрезной балки, условиям при которых они справедливы и их
применениям к расчету неразрезной балки на действие постоянной и временной нагрузок. При решении задач важно понять, как определяются исходные
моментные фокусные отношения (для крайних пролетов), научиться определять последующие моментные фокусные отношения по реккурентным формулам, научиться определять опорные моменты по концам нагруженного
пролета по замкнутым формулам и опорные моменты ненагруженных пролетов с использованием моментных фокусных отношений.
Необходимо внимательно разобраться с построением объемлющих эпюр
M и Q , имеющих большое значение при конструировании железобетонных и
металлических балок. Четко уясните сущность объемлющих эпюр и их отличие от обычных эпюр.
При изучении учебных элементов модуля рекомендуется использование следующей литературы: [1, с.288-300]; [2, c.258-276, 283-286]; [3, c.182 –
196].
2.Сводка формул модуля
1.Уравнение трех моментов при действии нагрузки
~
~
⎛ Si A Si +B1 ⎞
~
~ ~
~
⎟⎟
+
li X i −1 + 2 li + li +1 X i + li +1 X i +1 = −6⎜⎜
l
l
i +1 ⎠
⎝ i
( i = 1,...,n − 1 )
(
)
2.Формулы для определения:
- изгибающих моментов в пролетах неразрезной балки от действия нагрузки
M=
x
li − x
X i −1 + X i + M P
li
li
(i = 1,...,n )
- изгибающих моментов в пролетах неразрезной балки от действия
осадки опор
M=
li − x
x
X i −1 + X i
li
li
(i = 1,...,n )
- поперечных сил в пролетах неразрезной балки от действия нагрузки
Q=
X i − X i −1
+ QP
li
- поперечных сил в пролетах неразрезной балки от действия осадки
опор
Q=
X i − X i −1
li
- опорных реакций
пр
Ri = Qiлев
+1 + Qi
(i = 0,1,...,n )
.
3.Рекуррентные формулы для вычисления моментных фокусных отношений:
- левые моментные фокусные отношения
1
l
ki = 2 + i −1 ( 2 −
)
li
ki −1
- правые моментные фокусные отношения
1
l
ki′ = 2 + i +1 ( 2 −
)
li
ki′+1
4.Опорные моменты загруженного пролета
6 SiB ki′ − SiA
X i −1 = − 2
li ki ki′ − 1
и
Xi = −
6 SiA ki − SiB
li2 ki ki′ − 1
3.Примеры расчета неразрезных балок
Пример 1. Для неразрезной балки, показанной на рис.1, определить изгибающие моменты, поперечные силы и опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий с использованием уравнений трех моментов
Рис.1
Введем эквивалентное стержневое изображение для защемляющей опоры и
произведем нумерацию опор и пролетов (рис.2)
Рис.2
Тогда параметры эквивалентной неразрезной балки принимают значения
l1 = 0 l2 = 6 м l3 = 8 м l4 = 8 м b = 2 м
I0 = I I2 = I I3 = 2I I 4 = 2I
Составляем систему уравнений трех моментов
~
S 2B
~
~
2 l2 X 1 + l2 X 2 = −6
l2
~
~
⎛ S 2A S3B ⎞
~
~ ~
~
⎟⎟
l2 X 1 + 2 l2 + l3 X 2 + l3 X 3 = −6⎜⎜
+
l
l
3 ⎠
⎝ 2
~
~
⎛ S3A S 4B ⎞ ~
~
~ ~
⎟ − l4 X 4
l3 X 2 + 2 l3 + l4 X 3 = −6⎜⎜
+
l4 ⎟⎠
⎝ l3
(
)
(
)
и определяем величины, входящие в коэффициенты уравнений трех моментов
I
I
I
~
~
~
l2 = l2 0 = 6 l3 = l3 0 = 4 l4 = l4 0 = 4
I2
I3
I4
Строим грузовую эпюру моментов (рис.3)
Рис.3
Формулы для определения приведенных статических моментов участков грузовых эпюр имеют вид
I
I
~
~
S 2A = S 2A 0 = S 2A S 2B = S 2B 0 = S 2B
I2
I2
I
I
~
~
S3A = S3A 0 = 0.5S3A S3B = S3B 0 = 0.5S3B
I3
I3
I
I
~
~
S 4A = S 4A 0 = 0.5S 4A S 4B = S 4B 0 = 0.5S 4B
I4
I4
qli4
Si = S =
24
A
B
i
(i = 2,3,4)
Численные значения величин, входящих в свободные члены уравнений трех
моментов, равны
~
~
S 2A = S 2B = 108 кНм3
~
~
S3A = S3B = 341.3 кНм3
~
~
S4A = S 4B = 341.3 кНм3
и
X 4 = M к = −4 кНм
Тогда система уравнений трех моментов в численном виде имеет вид
2 X 1 + X 2 = −18
3 X 1 + 10 X 2 + 2 X 3 = −118
X 2 + 4 X 3 = −60
В результате решения этих уравнений получим следующие значения опорных моментов неразрезной балки
X 1 = −5.2 кНм
X 2 = −7.63 кНм
X 3 = −13.1 кНм
Тогда эпюра опорных моментов имеет вид, показанный на рис.4
Рис.4
Окончательная эпюра моментов, полученная сложением грузовой эпюры и
эпюры опорных моментов, имеет вид, показанный на рис.5
Рис.5
Тогда окончательная эпюра поперечных сил имеет вид, показанный на рис.6
Рис.6
С помощью эпюры Q определяем опорные реакции
R1 = 5.6 кН
R2 = 13.7 кН
R3 = 17.8 кН
R4 = 10.9 кН
Для проверки правильности определения опорных реакций в соответствии со
схемой балки, показанной на рис.7
Рис.7
составим уравнение проекций на ось y
∑ y = 0; 5.6 + 13.7 + 17.8 + 10.9 - 2 ⋅ 24 = 48 - 48 = 0
и уравнение моментов относительно заделки
∑ M 1 = 0; − 5.2 - 13.7 ⋅ 6 - 17.8 ⋅14 - 10.9 ⋅ 22 + 2 ⋅ 24 ⋅12 = -576.4 + 576 = -0.4
Полученная погрешность
0.4
100% = 0.07%
576
существенно меньше допустимой погрешности инженерных расчетов.
Пример 7. Для неразрезной балки, показанной на рис.8
Рис.8
определить изгибающие моменты с помощью моментных фокусных отношений.
Задаем параметры нагрузки
q = 4 кН / м P = 8 кН
Задаем параметры неразрезной балки
l1 = 12 м l2 = 12 м l3 = 12 м l4 = 12 м l5 = 12 м
EI 0 = EI EI i = EI ( i = 1,...,5 )
и определяем приведенные длины пролетов
EI
~
li = li 0 = li = 12 (i = 1,...,5 )
EI i
Используя рекуррентные формулы, вычислим левые
k1 = ∞
k2 = 4
k3 = 3.75
k4 = 3.733
k5 = 3.732
и правые моментные фокусные отношения
k5′ = ∞
k4′ = 4
k3′ = 3.75
k2′ = 3.733
k1′ = 3.732
Стоим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис.9)
Рис.9
и определяем статические моменты ее площадей в загруженных пролетах
S 2A = S 2B = 3456 кНм 3
S 4A = S 4B = 864 кНм 3
Рассматриваем первое нагружение – нагрузка во втором пролете. Определяем опорные изгибающие моменты на левом конце
6 S 2B k2′ − S 2A
X 11 = − 2
= -28.248 кНм
l2 k2 k2′ − 1
и на правом конце загруженного пролета
X 12 = −
6 S 2A k2 − S 2B
= -31.008 кНм
l22 k2 k2′ − 1
Используя правые моментные фокусные отношения, находим изгибающие
моменты по концам незагруженных пролетов
X 13 = −
X 12
= 8.269 кНм
k3′
X 14 = −
X 13
= −2.067 кНм
k4′
X 15 = −
X 14
=0
k5′
Рассматриваем второе нагружение – нагрузка в четвертом пролете. Определяем опорные изгибающие моменты на левом конце
6 S B k ′ − S 4A
X 23 = − 2 4 4
= -7.751 кНм
l4 k4 k4′ − 1
и на правом конце загруженного пролета
6 S 4A k4 − S 4B
X 24 = − 2
= -7.062 кНм
l4 k4 k4′ − 1
Используя левые моментные фокусные отношения, находим изгибающие
моменты по концам незагруженных пролетов
X 25 = −
X 22 = −
X 21 = −
X 24
=0
k5′
X 23
= 2.067 кНм
k3
X 22
= −0.517 кНм
k2
X 20 = 0
Суммарные опорные моменты определяем по формулам
X 1 = X 11 + X 21 = −28.765 кНм
X 2 = X 12 + X 22 = −28.941 кНм
X 3 = X 13 + X 23 = 0.517 кНм
X 4 = X 14 + X 24 = −9.129 кНм
Окончательная эпюра моментов имеет вид, показанный на рис.10
Рис.10
Задачи для самостоятельного решения.
Для балок, показанных на рис.11
Рис.11
найти изгибающие моменты, поперечные силы, опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил с использованием уравнений трех моментов.
Для балок, показанных на рис.11 с помощью моментных фокусных отношений найти изгибающие моменты с помощью моментных фокусных отношений и построить их эпюры.
4.Материалы для самоконтроля
Проверьте, как Вы знаете следующие понятия, определения, формулировки и формулы, связанные с вопросами к тестам 1-го уровня:
-
неразрезная балка;
типы неразрезных балок;
нумерация опор и пролётов;
степень статической неопределимости;
основные системы метода сил для неразрезных балок;
канонические уравнения метода сил;
уравнения трёх моментов для нагрузки;
уравнения трёх моментов для осадки опор;
решение системы уравнений трёх моментов;
формулы для определения окончательных изгибающих моментов и поперечных сил от нагрузки;
формулы для определения окончательных изгибающих моментов и поперечных сил от осадки опор;
формулу для определения опорной реакции на произвольной опоре неразрезной балки;
фокальные свойства;
моментные фокусы;
формулы для вычисления моментных фокусных отношений;
интервал изменения моментных фокусных отношений;
объемлющая эпюра;
способы построения объемлющих эпюр.
Проверьте, как Вы умеете определять для статически неопределимых
стержневых конструкций (типовые задачи, связанные с тестами 2-го уровня):
-
нумеровать опоры и пролёты;
образовывать основную систему;
составлять и решать уравнения трёх моментов;
строить эпюры окончательных изгибающих моментов и поперечных сил;
определять опорные реакции;
строить эпюры окончательных изгибающих моментов методом моментных фокусных отношений.
5.Рекомендуемая литература
1. Киселев В.А. Строительная механика. Общий курс. М., Стройиздат,
1986.
2. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем.
М., Стройиздат, 1960.
3. Руководство к практическим занятиям по строительной механике.
Под общей редакцией Г.К. Клейна. М.Высшая школа, 1980
Материалы составлены доцентом кафедры механики Турищевым Л.С.
20.02.2014