балтийский государственный технический университет

БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова
__________________________________________________________
Кафедра электротехники (Н7)
Домашнее задание.
Вариант 10-4-2.
Дисциплина: «Электротехника»
Тема:
«Расчет установившихся процессов в
электрической цепи синусоидального тока»
линейной
Выполнил: Пальцев А. А.
Группа: И531
Преподаватель: доц. Желанкина И. К.
г. Санкт – Петербург
2005 г.
Содержание
1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ. ..................................................................................... 5
1.1. Основные законы электрических цепей в комплексной форме. ................................................................................... 5
1.1.1. Первый закон Кирхгофа. .................................................................................................................................................. 5
1.1.2. Второй закон Кирхгофа. ................................................................................................................................................... 5
1.1.3. Закон Ома .......................................................................................................................................................................... 5
1.1.4. Расчет мощностей комплексным методом. .................................................................................................................... 5
1.1.5. Баланс мощностей. ............................................................................................................................................................ 6
1.2. Методы расчета установившегося режима в электрических цепях синусоидального тока. ................................... 6
1.2.1. Расчет по законам Кирхгофа. ........................................................................................................................................... 6
1.2.2. Метод эквивалентных преобразований........................................................................................................................... 6
1.2.3. Метод эквивалентного генератора. ................................................................................................................................. 7
1.2.4. Метод контурных токов. .................................................................................................................................................. 7
1.2.5. Метод узловых потенциалов. ........................................................................................................................................... 8
2. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА. .............................. 9
3. РАСЧЕТ ЦЕПИ МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ............................. 10
3.1. Расчет комплекса полного входного сопротивления. .................................................................................................... 10
3.2. Расчет токов и напряжений. ............................................................................................................................................... 11
3.3. Баланс мощностей. ............................................................................................................................................................... 12
3.4. Определение показаний измерительных приборов. ...................................................................................................... 12
3.5. Построение векторной диаграммы токов и напряжений. ............................................................................................ 12
3.6. Определение влияния изменения частоты в n раз на величину сопротивления каждого сопротивления. ........ 13
4. РАСЧЕТ ТОКА В ВЕТВИ 5 МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА. ................... 13
4.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора. .............................................................................................................. 13
4.2. Определение комплекса внутреннего сопротивления эквивалентного генератора. ............................................... 14
4.3. Определение тока в нагрузке. ............................................................................................................................................ 14
5. РАСЧЕТ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ. ......................................................................... 14
5.1. Выражение токов в ветвях через контурные токи. ........................................................................................................ 14
5.2. Составление системы уравнений....................................................................................................................................... 15
z . .................................................................................................................... 15
5.4. Определение вектора свободных членов EK  ............................................................................................................... 15
5.5. Нахождение вектора контурных токов I K  и токов в ветвях Ii . ............................................................................. 15
5.3. Определение матрицы коэффициентов
6. РАСЧЕТ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ. .............................................................. 16
6.1. Выражение токов в ветвях через узловые потенциалы. ............................................................................................... 16
6.2. Составление системы уравнений....................................................................................................................................... 16
Y . ................................................................................................................... 16
6.4. Определение вектора свободных членов I З  . ............................................................................................................... 16
6.3. Определение матрицы коэффициентов
6.5. Нахождение вектора узловых потенциалов
  и токов в ветвях Ii . ....................................................................... 17
7. ВЫВОДЫ. ............................................................................................................................... 17
2
Техническое задание.
рис. 1
В цепи, представленной на рис. 1, действует источник синусоидальной ЭДС
e(t )  Em sin( t   ) В, частота 50Гц., Em. Модули сопротивлений элементов цепи и их
характер приведены ниже.
Исходные данные:
Em  180 В
  150
e(t )  180 sin( t   )  180 sin( t  150) В
f  50 Гц
n  0.4
Комплексы полных сопротивлений ветвей:
Z1 = jXL = j40 = 40ej90°
Ом
j0°
Z2 = R2 = 30 = 30e
Ом
j0°
Z3 = R3 = 40 = 40e
Ом
j0°
Z4 = R4 = 50 = 50e
Ом
-j90°
Z5 = -jXC = -j60 = 60e
Ом
Комплекс ЭДС источника:
E
E  m  e j  127.66  e  j150  110.55  j 63.83В
2
3
Требуется:
1. Составить
по
законам
Кирхгофа
алгебраических
уравнений.
“MathCAD”(или
иной
в
Решить
программы
для
комплексной
ее
с
форме
помощью
решения
системы
систему
программы
линейных
уравнений).
2. Рассчитать токи и напряжения на всех участках цепи методом эквивалентных
преобразований. При оформлении работы привести все схемы, полученные
методом эквивалентных преобразований.
3. Записать значения найденных в пп. 1 - 2 комплексов токов и комплексов
напряжений на всех участках цепи в алгебраической и показательной форме.
Перейти от комплексов токов и напряжений к их мгновенным значениям и
записать их.
4. Проверить баланс активных и реактивных мощностей.
5. Определить показания амперметра, вольтметра и ваттметра.
6. Построить векторные диаграммы токов и напряжений.
7. Определить сопротивление каждого элемента при изменении частоты в n раз.
8. Для одной из ветвей схемы определить ток методом эквивалентного
генератора.
9. Составить и решить систему алгебраических уравнений в комплексной
форме методом контурных токов. Определить токи в ветвях. Сравнить
полученные значения со значениями, полученными в п.1.
10.Составить и решить систему алгебраических уравнений в комплексной
форме методом узловых потенциалов. Определить токи в ветвях. Сравнить
полученные значения со значениями, полученными в п.1.
4
1. Теоретическое обоснование.
1.1. Основные законы электрических цепей в комплексной форме.
1.1.1. Первый закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма комплексов токов в любом узле электрической цепи
равна нулю. Входящие в узел и выходящие из узла токи берутся с разными знаками.
 I
k
0
(1.1.1)
k
1.1.2. Второй закон Кирхгофа.
В замкнутом контуре алгебраическая сумма комплексов напряжений равна
алгебраической сумме комплексов ЭДС, действующих в этом контуре. Напряжения
и ЭДС берутся с положительным знаком, если их направление совпадает с
выбранным направлением обхода контура.
U
m
  E n
m
(1.1.2)
n
1.1.3. Закон Ома
Закон Ома для участка цепи в комплексной форме записывается следующим
образом:
U  Z  I
(1.1.3)
где U , I - комплексы действующих значений напряжения и тока на участке цепи
соответственно, а Z – комплекс полного сопротивления участка цепи:
Z  R  jX  R  j ( X L  X C )  z  e j
Также закон Ома можно записать, используя комплекс полной проводимости
участка цепи:
I  Y  U ,
где Y  g  jb 
1
1

 y  e  j - комплекс полной проводимости.
Z
z  e j
Для отдельных идеальных элементов цепи закон Ома можно записать с учетом
комплекса сопротивления элемента:
для резистивного элемента: U R  R  IR
для индуктивного элемента: U L  jL  IL  jX L  IL
для емкостного элемента:
U C 
1 
 I C   jX C  IC
jC
1.1.4. Расчет мощностей комплексным методом.
Комплекс полной мощности равен произведению комплекса действующего
значения напряжения на сопряженный комплекс действующего значения тока:

S  U  I ,

где I  I  e
 ji
- сопряженный комплекс действующего значения тока
5
Тогда комплекс полной мощности можно представить в следующем виде:

S  U  I  Ue ju  Ie  ji  Se j ( u i )  Se j  UI cos   jUI sin   P  jQ
где   u  i - угол сдвига фаз между напряжением и током;
S – полная мощность
P  UI cos  - активная мощность
Q  UI sin  - реактивная мощность
1.1.5. Баланс мощностей.
Проверка баланса мощностей проводится в соответствии с уравнением
5
*
E I ист   Z k I k2 ,
(1.1.5)
k 1
*
где I ист – сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник, E комплексное напряжение источника, Z k , I k – комплекс сопротивления и действующий
ток ветви k .
1.2. Методы расчета установившегося режима в электрических цепях
синусоидального тока.
1.2.1. Расчет по законам Кирхгофа.
Метод расчета по законам Кирхгофа (1.1.1–1.1.2) является простым и
универсальным методом расчета электрических цепей. Он позволяет рассчитывать
как установившиеся, так и переходные режимы, как в линейных, так и в нелинейных
цепях, как в цепях с сосредоточенными параметрами, так и в цепях с
распределенными параметрами.
Для расчета этим методом необходимо составить систему уравнений с
неизвестными токами. По первому закону Кирхгофа составляется (q-1) уравнений,
где q – количество узлов цепи. По второму закону составляют (p-(q-1)) уравнений, где
p – количество ветвей в цепи. В итоге получится система из p уравнений, которая
разрешается относительно токов.
1.2.2. Метод эквивалентных преобразований.
Суть метода заключается в упрощении исходной цепи путем замены нескольких
элементов одним эквивалентным. Преобразование называют эквивалентным, если
напряжение, ток и угол сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи, не
затронутом преобразованием, остаются неизменными.
Метод применяют:
1). для упрощения цепи;
2). в случае действия в цепи одного источника, для расчета токов и напряжений.
Основные расчетные формулы метода основаны на вычислении эквивалентного
полного сопротивления нескольких элементов, включенных последовательно или
параллельно:
6
n
Z Э   Z j - полное эквивалентное сопротивление при последовательном соединении
j 1
n
YЭ   Yk - полная эквивалентная проводимость при параллельном соединении.
k 1
1.2.3. Метод эквивалентного генератора.
Метод применяют в тех случаях, когда сложная линейная цепь работает на
переменную нагрузку. Суть метода заключается в замене части сложной линейной
цепи (за исключением цепи, содержащей нагрузку) эквивалентным генератором, т.е.
метод позволяет сложную цепь свести к последовательному соединению
эквивалентного генератора с параметрами E ЭГ , Z ЭГ и
сопротивлению нагрузки Z Н .
Тогда ток в нагрузке будет определяться формулой:
I 
E ЭГ
.
Z ЭГ  Z Н
(1.2.3.1)
Для расчета параметров эквивалентного генератора
необходимо разомкнуть ветвь, содержащую
нагрузку (ветвь ab). Тогда в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе
E ЭГ равно напряжению на зажимах разомкнутой цепи ab в режиме холостого хода:
E ЭГ  U abх.х. .
(1.2.3.2)
Эквивалентное полное сопротивление генератора вычисляется как полное
сопротивление участка цепи ab.
E ЭГ , Z ЭГ
1.2.4. Метод контурных токов.
Метод контурных токов позволяет сократить число совместно решаемых
уравнений за счет введения новых переменных – контурных токов. Контурный ток –
расчетный ток, считаем, что в каждом контуре протекает один ток.
Для расчета методом контурных токов необходимо составить и решить систему
из n=p-(q-1) уравнений:
z ij
Расчет
матрицы
коэффициентов
 z11 IK  z12 IK  ...  z1n IK  E K

производится следующим образом: элементы
 z 21 IK  z 22 IK  ...  z 2 n IK  E K
(1.2.4) главной диагонали вычисляются как собственные

...................................................
сопротивления
соответствующих
контуров.
 z I  z I  ...  z I  E
Остальные элементы. вычисляются как взаимные
n2 K
nn K
K
 n1 K
сопротивления
контуров,
т.е.
суммарное
сопротивление ветви, являющейся общей для рассматриваемых контуров, причем
сопротивление берется с положительным знаком, если направления контурных токов
в рассматриваемой ветви совпадают.
Вектор свободных членов E k - контурные ЭДС определяются как алгебраическая
сумма комплексов ЭДС, входящих в контур. ЭДС входит в сумму с положительным
знаком, если ее направление совпадает с выбранным направлением контурного тока.
После решения системы уравнений и нахождения контурных токов, необходимо
выразить токи в ветвях через контурные токи. Ток в ветви равен алгебраической
сумме контурных токов, соответствующих контурам, через которые протекает
1
2
n
1
1
2
n
2
1
2
n
n
7
рассматриваемый ток. Если направление тока совпадает с направлением контурного
тока, то контурный ток берется с положительным знаком.
1.2.5. Метод узловых потенциалов.
Метод узловых потенциалов позволяет сократить число совместно решаемых
уравнений за счет введения новых переменных – узловых потенциалов. Так как токи
в ветвях определяются разностью потенциалов, то потенциал одного из узлов можно
принять равным нулю.
Для расчета методом узловых потенциалов необходимо составить и решить
систему из n=(q-1) уравнений:
В данной системе уравнений коэффициенты,
 Y111  Y12 2  ...  Y1n n  IЗ

стоящие на главной диагонали, берутся с
 Y211  Y22 2  ...  Y2 n n  IЗ
знаком,
остальные
–
с
(1.2.5) положительным

..........
..........
..........
..........
.........

отрицательным.
 Y   Y   ...  Y   I
В матрице коэффициентов Yij коэффициенты,
n2 2
nn n
З
 n1 1
стоящие на главной диагонали, определяются как
сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся в узле. Остальные элементы
определяются как сумма проводимостей всех ветвей, связывающих непосредственно
соответствующие узлы.
Вектор свободных членов IЗ - задающие токи определяются как алгебраическая
сумма произведений проводимостей соответствующих ветвей, сходящихся в узле, на
ЭДС, действующие в ветви, причем слагаемое берется с положительным знаком, если
соответствующая ЭДС направлена к узлу: IЗ    Y j E j .
1
2
n
K
K
j
После решения системы уравнений и нахождения узловых потенциалов,
необходимо выразить токи в ветвях через узловые потенциалы. Для этого
выражаются потенциалы конечных узлов ветви, содержащей рассматриваемый ток,
через начальные потенциалы.
8
2. Составление системы уравнений по законам Кирхгофа.
В цепи, приведенной на рисунке,
зададимся
направлением
токов,
напряжений и направлением обхода
контуров.
Цепь содержит 5 ветвей и 3 узла,
то есть необходимо составить 5
уравнений по законам Кирхгофа – два
уравнения
по первому закону
Кирхгофа (1.1.1) и три уравнения по
второму закону Кирхгофа (1.1.2).
p = 5; q = 3, общее число уравнений – n = p – (q – 1).

 I1  I2  I3  0,

I3  I4  I5  0,


Z 1 I1  Z 2 I2  E ,

 



Z 2 I 2  Z 3 I 3  Z 4 I 4  E ,

 Z 4 I4  Z 5 I5  0

(2.1)
В матричной форме уравнение (2.1) будет иметь вид: A  I   E  .
Перепишем его с числовыми значениями:
1
0
j 40
0
0







1
0
30
30
0
1
1
0
40
0
0
1
0
50
 50
. 
0   I1  
0

.





1  I2
0

.  
0    I    110.6  j 63.83
3



0   .   110.6  j 63.83
I4

 j 60  .  
0
 I 5 
(2.2)
Решая матричное уравнение (2.1) с помощью ЭВМ, получим:
  1.704  j1.241 
  2.031  j 0.145


[ I ]    0.326  j1.096 


 0.732  j 0.486
 0.405  j 0.610 
Представим токи в алгебраической и показательной форме:
I1  1.704  j1.241  2.11e j143.9 A
I2  2.031  j 0.145  2.04e j175.9 A
I3  0.326  j1.096  1.14e  j106.6 A
I  0.732  j 0.486  0.879e  j146.4 A
4
I5  0.405  j 0.610  0.732e  j 56.4 A
9
Рассчитаем теперь напряжения по формуле (1.1.3):
U 1  Z1  I1  40e j 90  2.108e143.9  84.33e  j126.1  49.64  j 68.17 B
U 2  Z 2  I2  30e j 0  2.036e j175.9  61.07e j175.9  60.92  j 4.34 B
U  Z  I  40e j 0  1.144e  j106.6  45.75e  j106.6  13.05  j 43.85B
3
3
3
U 4  Z 4  I4  50e j 0  0.879e  j146.4  43.93e  j146.4  36.58  j 24.32 B
U 5  Z 5  I5  60e  j 90  0.732e  j 56.4  43.93e  j146.4  36.58  j 24.32 B
3. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований.
3.1. Расчет комплекса полного входного сопротивления.
1).Первая схема замещения.
Z 45 
Z4  Z5
50e j 0  60e  j 90


Z4  Z5
50  j 60
 38.4e  j 39  29.5  j 24.6Ом
Сопротивление Z 45 имеет активно-емкостной характер.
2).Вторая схема замещения.
Z 345  Z 3  Z 45  40  29.508  j 24.59 
 69..5  j 24.6  73.7e  j19 Ом
Сопротивление Z345 имеет активно-емкостной характер.
3). Третья схема замещения.
Z 1345 
Z 1  Z 345
40e j 90  73.729e  j19.482


Z 1  Z 345
j 40  69.508  j 24.59
2949.16e j 70.518

 41.4e j 58  21.9  j 35.1Ом
 j12.5
71.196e
Сопротивление Z1345 имеет активно-индуктивный характер.
10
4).Конечная схема замещения.
Z в х  Z 2  Z 1345  30  21.94  j 35.136  51.9  j 35.1  62.7e j 34 Ом
Сопротивление Z в х имеет активно-индуктивный характер.
3.2. Расчет токов и напряжений.
Ток I2 в конечной схеме замещения определяется формулой: I2 
E
Z вх
Остальные токи и напряжения определяются из закона Ома (1.1.3).
 j150

I  E  127.66e
 2.036e j175.9  2.031  j 0.145 A
2
j 34.076
Z вх 62.708e
U  Z  I  30  2.036e j175.924  61.1e j175  60.9  j 4.3B
2
2
2
U 2  Z 1345  I2  41.423  e j 58.018  2.036e j175.924  84.3e  j126  49.6  j 68.2 B
U
84.337e  j126.059
I1  1 
 1.144e  j106.6  0.326  j1.096 A
 j19.482
Z 1 73.729e
U  Z  I  40  1.144e  j106.577  45.8e  j107  13.1  j 43.9 B
3
3
3
U 4  U 5  Z 45  I3  38.411e  j 39.806  1.144e  j106.577  43.9e  j146  36.6  j 24.3B
U
43.942e  j146.383
I4  4 
 0.879e  j146.4  0.732  j 0.487 A
j 0
Z4
50e
 j146.383

I  U 4  43.942e
 0.732e  j 56.4  0.405  j 0.610 A
5
 j 90
Z5
60e
Представим полученные значения в виде таблицы:
Таблица 3.2.1.
Величина
I1
I
2
I3
I
4
I5
U
1
U 2
U
3
U 4
U
5
А
А
А
А
А
В
В
В
В
В
Мгновенные значения ( I m 
Алгебраическая форма
Показательная форма
 1.70  j1.24
2.11e j144
i1  3.04 sin( t  144  )
 2.03  j 0.145
2.04e j176
i2  2.93 sin( t  176  )
 0.326  j1.10
1.14e  j107
i3  1.65 sin( t  107  )
 0.732  j 0.487
0.879e  j146
i4  1.27 sin( t  146  )
0.405  j 0.610
0.732e  j 56
i5  1.05 sin( t  56  )
 49.6  j 68.2
84.3e  j126
 60.9  j 4.34
61.1e j176
 13.1  j 43.9
45.8e  j107
 36.6  j 24.3
43.9e  j146
 36.6  j 24.3
43.9e  j146

2I)
u1  121sin( t  126  )
u 2  88.0 sin( t  176  )




u 3  65.9 sin( t  107  )
u 4  63.3 sin( t  146  )
u 5  63.3 sin( t  146  )
11
3.3. Баланс мощностей.
Проверку баланса мощностей будем проводить на основе формулы (1.1.5):
5
*
E I 2   Z k I k2 ,
k 1
*
где I 2 – сопряженный комплекс тока ветви, в которую включен источник, E комплексное напряжение источника, Z k , I k – комплекс сопротивления и действующий
ток ветви k .
*
I 2  2.04e  j176
*
E I 2  127.7e  j150  2.04e  j176  260.508e j 34  216.0  j145.7  Pист  jQист
Pист  216 Вт
Qист  145.7 ВАр
5
Z
k 1
k
I k2  j 40  4.4521  30  4.1616  40  1.2996  50  0.7726  j 60  0.5358  215.5  j145.9  Pпр  Qпр
Pпр  215.5Вт
Qпр  145.9 ВАр
Проводим оценку баланса по формулам
P 
Q 
Pист  Pпр
Pист
 100% 
Qист  Qпр
Qист
216  215.5
 100%  0.23%  5%
216
 100% 
145.7  145.9
 100%  0.14%  5%
145.7
Полученное расхождение находится в пределах погрешности вычислений.
3.4. Определение показаний измерительных приборов.
Амперметр показывает действующее значение тока:
I A  I 2  2.04 A .
Вольтметр показывает действующее напряжения:
U V  U 4  U 5  43.9B .
Показание ваттметра определяется произведением действующих значений
измеряемого напряжения и измеряемого тока, умноженным на косинус сдвига фаз
между ними:
Pw  U 2 I 3 cos(U 2 I 3 )  61.08  1.144  cos(U  I )  69.87552  cos 283  15.7 Вт .
2
3
3.5. Построение векторной диаграммы токов и напряжений.
Для построения векторной диаграммы воспользуемся алгебраической формой
записи комплексов токов и напряжений. Проверку выполнения законов Кирхгофа –
можно провести пунктирными линиями – по правилу сложения векторов.
Масштаб диаграммы по токам равен 0,2 А/см, по напряжениям 20 В/см.
12
3.6. Определение влияния изменения частоты в n раз на величину
сопротивления каждого сопротивления.
Обозначим измененную частоту:   n  0.4 .
Считаем, что все элементы цепи – идеальные, тогда для активных элементов
сопротивление не изменится, для индуктивных и емкостных будет определяться
соответствующими формулами:
Z L   X L
Z C 
1
 X C
В соответствии с этим получим:
Z 1  jX L  j 40  j L  0.4 jL  0.4Z1  j16Ом
Z 2  Z 2  30Ом
Z 3  Z 3  40Ом
Z 4  Z 4  50Ом
Z 5   jX C   j 60   j
1
1
1
j

Z 5   j150Ом
 C
0.4C 0.4
4. Расчет тока в ветви 5 методом эквивалентного генератора.
4.1. Определение ЭДС эквивалентного генератора.
Для нахождения тока I5 размыкаем
ветвь, по которой течет этот ток – ветвь
ab. Тогда по формуле (1.2.3.2) ЭДС
эквивалентного генератора будет равна:
E ЭГ  U abх.х.
Для нахождения U abх.х. составим
систему
уравнений
по
законам
Кирхгофа, решим ее относительно токов
и найдем U 4  U abх. х.
Для полученной цепи p=3, q=2, значит необходимо составить 1 уравнение по
первому закону Кирхгофа (1.1.1) и 2 уравнения по второму закону Кирхгофа (1.1.2):
 I1  I2  I3  0
 
, в матричной форме:
Z1I1  Z 2 I2  E
 


Z 2 I 2  ( Z 3  Z 4 ) I 3  E
0
  1 1  1  I1  

 j 40 30 0    I    110.6  j 63.8

  2 

 0 30 90   I3   110.6  j 63.8
Решив полученное матричное уравнение с помощью ЭВМ, получим:
  1.795  j1.063 
I    2.267  j 0.266
  0.473  j 0.798 
Тогда ЭДС эквивалентного генератора будет равно:
E ЭГ  U abх. х.  U 4  Z 4 I3  50  (0.473  j 0.798)  23.6  j 40  46.4e  j121 B
13
4.2. Определение комплекса внутреннего сопротивления эквивалентного
генератора.
Для нахождения комплекса внутреннего сопротивления
эквивалентного
генератора
воспользуемся
Z ЭГ
эквивалентной схемой. Тогда внутреннее сопротивление
эквивалентного генератора будет равно полному
сопротивлению ветви ab.
Z12 
Z1  Z 2
40e j 90  30 1200e j 90


 24e j 36.9  19.2  j14.4Ом
j 53.1
Z1  Z 2
30  j 40
50e
Z123  Z12  Z 3  19.2  j14.4  40  59.2  j14.4  60.9e j13.7 Ом
Z ЭГ  Z ab
Z 4  Z123 50  60.926e j13.671 3046.3e j13.7



 27.7e j 6.2  27.5  j 3.0Ом
j 7.5
Z 4  Z123 50  59.2  j14.4
110.1e
4.3. Определение тока в нагрузке.
Найдем искомый ток в нагрузке I5 по формуле (1.2.3.1):
I5 
E ЭГ
46.36e  j120.642
46.36e  j120.642


 0.732e 56.4  0.405  j 0.610 A
Z ЭГ  Z 5 27.497  j 2.967  j 60 63.315e  j 64.26
Полученное значение для I5 совпадает со значением, полученном при расчете
токов методом эквивалентных преобразований в п. 3.2.
5. Расчет методом контурных токов.
Для расчета методом контурных
токов (п. 1.2.4) необходимо ввести новые
расчетные переменные – контурные
токи, и задаться их направлением в
каждом независимом контуре.
5.1. Выражение токов в ветвях через контурные токи.
Выразим токи в ветвях через соответствующие контурные токи:
 I1  IK1

 I2  IK1  IK 2

 I 3  IK 2



I 4  I K 2  I K3


I 5  I K3
(5.1)
14
5.2. Составление системы уравнений.
Запишем систему уравнений (1.2.4) для рассматриваемой цепи:
 z11IK1  z12 IK 2  z13 IK1  E K1

 z21IK1  z22 IK 2  z23IK 2  E K 2 , в матричной форме: z  I K   EK 
 
 z31I K1  z32 IK 2  z33 IK 3  E K 3
(5.2)
5.3. Определение матрицы коэффициентов z .
Определим коэффициенты z ij в соответствии с п. 1.2.4:
 z11  Z1  Z 2
 z12  z 21  Z 2


и запишем их в матричной форме:
 z 22  Z 2  Z 3  Z 4 ,  z13  z 31  0
z  Z  Z
z  z  Z
4
5
32
4
 33
 23
0 
30  j 40 30

(5.3)
z    30
120
 50 
 0
 50 50  j 60
5.4. Определение вектора свободных членов EK  .
Определим коэффициенты E K i в соответствии с п. 1.2.4:
 E K1  E
 E   110.6  j 63.8

  

 E K 2  E , в матричной форме: E K    E    110.6  j 63.8

 0  

0
 
 E K 3  0
(5.4)
5.5. Нахождение вектора контурных токов I K  и токов в ветвях Ii .
Подставим найденные значения (5.3) и (5.4) в уравнение (5.2):
0   IK1   110.6  j 63.8
30  j 40 30
 30
   I    110.6  j 63.8
120

50

  K2  

 0

 50 50  j 60  IK 3  
0
(5.5)
Решим матричное уравнение (5.5) с помощью ЭВМ:
 IK1    1.704  j1.241
I K    IK 2    0.326  j1.096
 IK   0.405  j 0.610 
 3
Подставив полученные значения контурных токов найдем искомые токи в
ветвях:
I1  IK1  1.70  j1.24  2.11e144 A
I2  IK1  IK 2  2.03  j 0.145  2.04e j176 A
I3  IK 2  0.326  j1.10  1.14e  j107 A
I4  IK 2  IK 3  0.731  j 0.486  0.878e  j146 A
I5  IK 3  0.405  j 0.610  0.732e  j 56 A
Полученные значения токов совпадают со значениями, полученными при расчете
методом эквивалентных преобразований в п. 3.2.
15
6. Расчет методом узловых потенциалов.
Для расчета методом узловых
потенциалов (п. 1.2.5) необходимо
ввести новые переменные – узловые
потенциалы, пронумеровать все узлы
цепи и принять потенциал одного из
узлов равным нулю. Принимаем 3  0 .
Также для составления уравнений
необходимо
вычислить
комплексы
проводимостей всех ветвей цепи: Yi 
1
.
Zi
Y1  0.025e  j 90 Ом 1
Y2  0.0333e j 0 Ом 1
Y3  0.025e j 0 Ом 1
Y4  0.020e j 0 Ом 1
Y5  0.0167e j 90 Ом 1
6.1. Выражение токов в ветвях через узловые потенциалы.
Токи в ветвях определяются разностью потенциалов на между конечным и
начальным узлом ветви, причем токи текут из области с более высоким потенциалом
в область с более низким потенциалом. На основании этого можно выразить все токи
через потенциалы узлов:
 3  1  Z 1 I1
 I1  Y11
1   3  Z 2 I2  E  I2  Y2 ( E  1 )
 2  1  Z 3 I3
 I3  Y3 (1   2 )
    Z I
 I  Y 
3
2
4 4
 3   2  Z 5 I5
4
4
(6.1)
2
 I5  Y5 2
6.2. Составление системы уравнений.
Запишем систему уравнений (1.2.5) для рассматриваемой цепи:
Y111  Y12 2  IЗ1
, в матричной форме: Y     I З 

 Y211  Y22 2  IЗ2
(6.2)
6.3. Определение матрицы коэффициентов Y  .
Определим коэффициенты Yij в соответствии с п. 1.2.5:
Y11  Y1  Y2  Y3
,

Y22  Y3  Y4  Y5
Y12  Y12  Y3 и запишем их в матричной форме:
0.058  j 0.025
 0.025 
0.045  j 0.017
  0.025
Y   
(6.3)
6.4. Определение вектора свободных членов I З  .
Определим коэффициенты I З в соответствии с п. 1.2.5:
i
16
 3.69  j 2.13

0




I З   Y2 E   
 0 
(6.4)
6.5. Нахождение вектора узловых потенциалов   и токов в ветвях Ii .
Подставим найденные значения (6.3) и (6.4) в уравнение (6.2):
 0.025  1   3.69  j 2.13
0.058  j 0.025


  0.025

0.045  j 0.017  2  
0


(6.5)
Решим матричное уравнение (6.5) с помощью ЭВМ:
1   49.6  j 68.2 84.3e  j126.1 
      

 j146.4 
 2    36.6  j 24.3 43.9e

Подставив полученные значения узловых потенциалов найдем искомые токи в
ветвях:
I1  Y11  0.025e  j 90  84.327e  j126.059  2.11e j144  1.70  j1.24 A
I2  Y2 ( E  1 )  0.0333e j 0  (110.554  j 63.830  49.636  j 68.171)  2.03e j176  2.03  j 0.145 A
I  Y (   )  0.025e j 0  (49.636  j 68.171  36.584  j 24.323)  1.14e  j107  0.326  j1.10 A
3
3
1
2
I4  Y4 2  0.02e j 0  43.932e  j146.382  0.879e  j146  0.732  j 0.486 A
I5  Y5 2  0.0167e j 90  43.932e  j146.382  0.734e  j 56  0.406  j 0.611A
Полученные значения токов совпадают со значениями, полученными при расчете
методом эквивалентных преобразований в п. 3.2.
7. Выводы.
В проделанной работе я научился расчитывать установившиеся процессы в
линейной электрической цепи синусоидального тока различными методами, оценил
их достоинства и недостатки, а также специфику их применения. В данной работе все
рассмотренные методы применимы и дают одинаковые результаты с высокой
степенью точности. Полученные в результате расчета токи и напряжения приведены в
таблице 1.
Также я оценил баланс мощностей для исследуемой цепи, полученные
расхождения оказались в пределах погрешности вычислений.
Определил показания измерительных приборов, включенных в цепь – амперметр,
вольтметр и ваттметр:
I A  2.04 A
U V  43.9 B
Pw  15.7 Вт
Также я научился строить векторные диаграммы токов и напряжений и
проверять по ним выполнение законов Кирхгофа.
17