Лекция 5.

Лекция 5.
РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА.
Баланс мощностей.
Идея баланса мощностей (БМ) основана на законе сохранения энергии. В приложении к электрическим цепям он утверждает,
что скорость потребления энергии (мощность) нагрузкой (сопротивлением) электрической цепи, равна скорости вырабатывания энергии источниками в её составе.
Формально БМ можно записать в виде:
n
m
k
i 1
i 1
i 1
 Ii 2 Ri   Ei Ii   U i J i ,
(1)
n
где
I
i 1
2
i
Ri - арифметическая сумма мощностей, потребляемых нагрузкой Ri.
m
E I
i 1
i i
- алгебраическая сумма мощностей вырабатываемых источниками ЭДС. При этом слагаемое берется со знаком «+»,
если направление тока и ЭДС совпадают по направлению и со знаком «-», если не совпадают. В случае, если слагаемое отрицательное, то источник находится в схеме в режиме потребителя (например, заряд батареи).
k
U J
i 1
i
i
- алгебраическая сумма мощностей вырабатываемых источниками тока.
В процессе расчета электрических цепей БМ обычно используют для проверки правильности найденного решения. Невыполнение БМ при расчете может только говорить об ошибке в расчетах. При несовпадении БМ в эксперименте говорит о неучтенных потерях в цепи.
Пример.
E3
I3
F1
R6
R3
I6
F2
G0
I1
E1
I5
E2
I0
R2
I2
F3
E2  150
E3  140
J  12
G0  0.4
E0 
R2  20
R1  15
R3  10
R5  6
R6  8
R0 
J
R1
R5
E1  150
F4
J
G0
1
G0
Определить токи в цепи и проверить правильность решения через баланс мощностей.
Решение.
Произведя расчет представленной цепи методом узловых потенциалов были получены следующие значения токов:
I1  3.1383
I3  6.0457
I0  12.7589
I2  0.7589
I5  3.8971
I6  9.9429
Определим мощности, потребляемые нагрузкой Pпр и источниками Pист:
Pпр
 2  R2  I22  R3  I32  R5  I52  R6  I62 
R1  I1
1
G0
 2
 I0
Pист E2  I2  E1  I1  E0  I0  E3  I3
Подставим найденные токи:Баланс мощностей
2
2
2
2
2
R1  I1  R2  I2  R3  I3  R5  I5  R6  I6 
1
G0
2
3
 I0  1.8137  10
3
E2  I2  E1  I1  E0  I0  E3  I3  1.8137  10
По результатам расчетов можно видеть, что БМ выполняется.
Метод наложения.
Метод наложения (МН) основан на одном из основных принципов линейных систем – принципе наложения. МН
может быть использован при расчете линейных эл. цепей, содержащих два и более источников энергии. Принцип наложения
применительно к электрическим цепям заключается в следующем: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен ал-
гебраической сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности. Аналитически принцип наложения для цепи,
содержащей n источников ЭДС и m источников тока, выражается соотношением
I k  Gk1 E1  Gk 2 E2 
 Gkn En  Kk1 J1  Kk 2 J 2 
Kkm J m
(2)
Здесь Gkn - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению тока к ЭДС в этой ветви при равных
нулю ЭДС в остальных ветвях; Gki - комплекс взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению
тока в k – й ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. Входные и взаимные проводимости можно
определить экспериментально или аналитически, используя их указанную смысловую трактовку, при этом Gki= Gik, что
непосредственно вытекает из свойства взаимности (см. ниже). Аналогично определяются коэффициенты передачи тока Kki,
которые в отличие от проводимостей являются величинами безразмерными.
При определении токов ветвей при помощи метода наложения следует поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах.
После этого полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые токи в ветвях исходной цепи. В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы на рис. 1,а.
E1
I1
E1
I2'
J3
I2
R1
E2
I3
E2
R1
R2
I2"
R1
R2
J3
I2'’’
R2
R1
R2
Рис.1.
Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление
равно нулю, а у идеального источника тока – бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным
схемам на рис. 1,б…1,г.
Принцип взаимности
Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без доказательства: для линейной цепи ток
Ik в k – й ветви, вызванной единственной в схеме ЭДС Ei, находящейся в i – й ветви,
Ik=GkiEi будет равен току Ii в i – й ветви, вызванному ЭДС Ek, численно равной ЭДС Ei, находящейся в k – й ветви, Ii=GikEk.
Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение Gik=Gki.
Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС E, действуя в некоторой ветви
схемы, не содержащей других источников, вызывает в другой ветви ток I (см. рис. 2,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС E
вызовет в первой ветви такой же ток I (см. рис. 2,б).
Ri
Rk
Ri
Rk
П
Ei
Ik
Ik=Ii
П
Ek=Ei
Рис.2.
Принцип компенсации
Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов
в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения
на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви. Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением i, по которой протекает ток I, а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым
активным двухполюсником А (см. рис. 3,а).
a
R
R
A
a
E
I
A
c
A
R
b
I
E
b
Рис.3.
При включении в ветвь с R двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с E=IR (рис. 3,б) режим
работы цепи не изменится. Для этой цепи
c  a  IR  E
(3)
Равенство (3) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 3,в. Таким образом, теорема доказана. В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током i можно
заменить источником тока J=I.