ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå4

Практическое занятие №4
Тема: Векторное произведение векторов
План
1. Определение и свойства векторного произведения.
2. Векторное произведение в координатах.
3. Приложение векторного произведения к вычислению площадей.
Основные факты
Векторным произведением неколлинеарных
векторов
Рис. 16
a и b , взятых в данном порядке, называется вектор
c = a × b (рис. 16), удовлетворяющий трем условиям:
1) длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
a и b:
∧
| a × b |=Sпар.=| a |⋅| b |⋅sin( a ,b );
2)
c ⊥a , c ⊥b ;
3) тройка векторов
a , b , c - правая.
Из определения следует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов (НДУ №4): a || b ⇔ a × b = 0 .
Свойства векторного произведения векторов:
a × b = - b × a (антикоммутативный закон);
2) (α⋅ a )× b = a ×(α⋅ b )=α⋅( a × b );
3) ( a + b )× c = a × c + b × c , a ×( b + c )= a × b + a × c (дистрибутивный закон относи1)
тельно сложения).
a (a1,a2,a3) и b (b1,b2,b3) заданы своими координатами в
ортонормированном базисе, то координаты векторного произведения a × b вычисляютТеорема. Если векторы
ся по формуле:
a ×b (
a2
a3 a 3
a1 a1
a2
b2
b3
b1 b 1
b2
,
b3
,
).
Замечание: Формулу, приведенную в теореме можно записать иначе:
i
j
a × b = a1 a 2
b1 b 2
k
a3 .
b3
140
Примеры решения типовых задач
Задача 1
При каком значении коэффициента α векторы
коллинеарными, если
p =α a +5 b и q =3 a - b окажутся
a и b не коллинеарны?
Решение
Согласно НДУ№4 коллинеарности
Найдем
p || q ⇔ p × q = 0 .
p × q =(α a +5 b )×(3 a - b )=3α ( a × a )+15( b × a )-α ( a × b )-
5( b × b )=(15+α)( b × a ).
(15+α)( b × a )= 0 только при 15+α=0 ( b × a )≠ 0 , так как по условию
арны).
Итак, α=-15 – искомое значение.
a и b не коллине-
Задача 2
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
∧
p =2 a +3 b и q = a -4 b , где | a |=5, | b |=3 и ( a ,b )= π .
6
Решение
Пусть искомая площадь S.
S=|
p × q |=|(2 a +3 b )×( a -4 b )|=|-11( a × b )|=|-11|⋅|( a × b )|=11| a |⋅| b |⋅sin π =
6
1
=11⋅5⋅3⋅ =82,5.
2
Задача 3
Вычислить синус угла, образованного векторами
мированном базисе.
Решение
a (2,-2,1) и b (2,3,6) в ортонор-
i
j k
a × b = 2 − 2 1 =-15 i -10 j +10 k , | a × b |= 225 + 100 + 100 =5 17 .
2 3 6
∧
sin ( a ,b )=
| a×b|
5 17 5 17
=
.
21
| a | ⋅| b | 3⋅7
=
Задача 4
Вычислить площадь треугольника АВС, если в ортонормированном базисе:
OA (1,2,3), OB (2,3,-1), OC (3,4,-2), где О – произвольная точка пространства.
Решение
1
1
S∆АВС= SАВСD= | AB × AD |,
2
2
AB = OB - OA ,
AB (1,1,-4);
AD = BC = OC - OB , AD (1,1,-1).
141
i j k
AB × AD = 1 1 − 4 =3 i -3 j . Тогда
1 1 −1
S∆АВС=
A D | AB × AD |= 32 + (−3) 2 =3 2 ;
3 2
.
2
Задача 5
Найти расстояние от точки М до прямой АВ, если в ортонормированном базисе:
OM (1,2,3), OA (2,3,4), OB (-1,2,3,), где О – произвольная точка пространства.
Решение
Расстояние от точки М до прямой АВ обозначим через h.
Тогда h=
S ABCM | AM × AB |
| AB |
=
| AB |
, где
AB (-3,-1,-1), AM (-1,-1,-1).
i
j
k
AM × AB = − 1 − 1 − 1 =2 j -2 k , | AB |= 11 , | AM × AB |=2 2 .
− 3 −1 −1
Следовательно, h=
2 2
.
11
Задача 6
x , удовлетворяющий уравнению x × b = a , где a и b заданы
своими координатами в ортонормированном базисе: a (-1,1,-1), b (1,2,1).
Найти вектор
Решение
i j k
Пусть x (x, y, z). Тогда: x × b = x y z =(-1,1,-1).
1 2 1
Отсюда следует:
y z
z x
x
=-1,
=1,
2 1
1 1
1
y
=-1.
2
Эта система имеет бесконечное множество решений вида:
x = λ , λ ∈ ℜ

 y = 2x + 1
. Таким образом, x - любой вектор вида (λ, 2λ+1, λ+1), λ∈ℜ.
 z = x +1

Задача 7
Найти расстояние h от точки А до плоскости BCD (точки те же, что и в задаче).
Решение
BA , BC , BD .
S – площадь параллелограмма, построенного на векторах BC и BD .
Пусть V – объем параллелепипеда, построенного на векторах
142
Тогда h=
V | BA BC BD |
=
,
S
| BC × BD |
−1
BA (0,1,0), BC (0,-1,1), BD (1,0,-2).
i
j
k
BA BC BD = 0 − 2 1 =1; BC × BD = 0 − 1 1 =2 i + j + k , | BC × BD |= 6 .
1 1 −2
1 0 −2
0
Следовательно, h=
0
6
.
6
Задачи для самостоятельного решения
166. Преобразовать выражения:
а) ( a - b )×( a + b );
б) ( a +2 b - c )×( a -2 b ).
167. Доказать, что если векторы a , b , c не коллинеарны, то
a +b +c =0 ⇔ a ×b =b ×c =c × a .
168. Пусть a , b , c , d - произвольные векторы. Проверить тождества:
а) ( a × b )2+( a ⋅ b )2= a 2⋅ b 2;
б) ( a - b )× ( a ⋅ b )=2 a × b ;
в) ( a × b )× c = b ⋅( a ⋅ c )- a ⋅( b ⋅ c );
г) ( a × b )⋅ ( c × d )=( a ⋅ c )⋅( b ⋅ d )-( a ⋅ d )⋅( b ⋅ c );
д) a ×( b × c )+ b ×( c × a )+ c ×( a × b )= 0 .
169. Векторы a и b образуют угол α =
π
6
. Зная, что | a |=6, | b |=5, вычислить | a × b |.
170. Векторы a и b взаимно перпендикулярны. Зная, что | a |=3, | b |=4, вычислить:
а) |( a - b )×( a + b )|;
б) |(3 a - b )×( a -2 b )|.
2
171. Векторы a и b образуют угол α= π . Зная, что | a |=1, | b |=2, вычислить:
3
а) ( a × b )2;
б) ((2 a + b )×( a +2 b ))2; в) (( a +3 b )×( a - b ))2.
∧
172. Известно, что | a |=3, | b |=1, ( a ,b )=
а) | a × b |;
π
6
. Вычислить:
б) |( a - b )×( a + b )|;
в) |( a +2 b )×(3 a - b )|.
173. Дан вектор a =(3 m +4 n +5 p )×( m +6 n +4 p ), где m , n , p - взаимно перпендикулярные единичные векторы, образующие правую тройку. Вычислить его длину.
174. Векторы a , b , c удовлетворяют условию a + b + c = 0 . Доказать, что
a ×b =b ×c =c ×a .
175. При каком значении коэффициента α векторы p =α a +5 b и q =3 a - b окажутся
коллинеарными, если a и b не коллинеарны?
143
176. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах p =2 a +3 b и
q = a -4 b , где a и b -единичные взаимно перпендикулярные векторы.
177. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:
а) a =2 i +3 j , b =3 j +2 k ;
б) a =2 i + j +2 k , b =3 i +2 j +2 k ;
в) a = i + j - k , b =2 i - j +2 k .
178. Найти a × b , если:
∧
∧
а) | a |=4, | b |=5, ( a ,b )=30°;
б) | a |=6, | b |=4, ( a ,b )=150°.
179. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
p =2 a +3 b и
∧
q = a -4 b , где | a |=5, | b |=3 и ( a ,b )= π .
6
180. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если
AB =3 m -2 n , AC = m + n ,
| m |=5, | n |=12, ∠CAB=30°.
181. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a =2 m -3 n и
∧
π
b = m -2 n , если известно, что | m |=2, | n |=3, ( m , n )= .
4
182. Зная две стороны треугольника
AB =3 p -4 q и BC = p +5 q , вычислить длину его
высоты CD при условии, что p и q - взаимно перпендикулярные единичные векторы.
183. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a =2 m + n ные векторы.
p и b = m -3 n + p , где m , n , p - взаимно перпендикулярные единич-
184. Отрезок ОН является высотой тетраэдра ОАВС. Найти вектор OH , если известны
векторы OA = a , OB = b , OC = c .
185. | a |=10, | b |=2, a ⋅ b =12. Вычислить | a × b |.
186. | a |=3, | b |=26, | a × b |=72. Вычислить a ⋅ b .
187. Даны векторы a (3,-1,-2) и b (1,2,-1). Найти координаты векторных произведений:
а) a × b ;
б) (2 a + b )× b ;
в) (2 a - b )×(2 a + b ).
188. Найти a × b , если
а) a =3 i -2 j +3 k , b =2 i - j +3 k ;
б) a =2 i +3 j -4 k , b = i - j +3 k .
189. Вычислить векторное произведение векторов a и b , если:
а) a =2 i -3 j , b =4 k ;
144
б) a =-4 i +5 j -2 k , b =2 i -
5
j +k ;
2
в) a = i + j + k , b =- i - j +2 k .
190. Найти площадь треугольника АВС по координатам его вершин:
а) А(2,-3,4), В(1,2,-1), С(3,-2,1);
б) А 6,5,-1), В (12,1,0), С (1,4,-5);
в) А 2,1,0), В (-3,-6,4), С (-2,4,1);
г) А (1,2,0), В (3,0,-3), С (5,2,6).
191. Даны вершины треугольника АВС: А(1,-1,2), В(5,-6,2), С(1,3,-1). Вычислить длину
его высоты ВН, проведенной к стороне АС.
192. Вычислить синус угла, образованного векторами a (2,-2,1) и b (2,3,6).
193. Даны векторы a (2, -3,1), b (-3,1,2), c (1,2,3). Вычислить ( a × b )× c и a ×( b × c ).
x , перпендикулярный к векторам a (4,-2,-3) и b (0,1,3) образует с осью Оу
тупой угол. Зная, что | x |=26, найти его координаты.
194. Вектор
195. Вектор m , перпендикулярный к оси Oz и к вектору a (8,-15,3), образует острый
угол с осью Ох. Зная, что | m |=51, найти его координаты.
x , зная, что он перпендикулярен к векторам
a (2, -3,1) и b (1,-2,3) и удовлетворяет условию x ⋅( i +2 j -7 k )=10.
196. Найти вектор
197. Даны некомпланарные векторы a , b , c и числа α , β , γ ∈ℜ. Найти вектор
удовлетворяющий равенствам: a ⋅
x,
x =α, b ⋅ x =β, c ⋅ x =γ.
198. Проверьте, что векторы a (6,3,-6) и b (3,6,6) можно принять за ребра куба, исходящие из одной вершины. Найдите вектор, совпадающий с третьим ребром этого куба, исходящим из той же вершины.
145