Межотраслевой баланс производства и распределения
реклама
1 Межотраслевой Баланс (МОБ) Раздел I. Что такое межотраслевой баланс? Приведем несколько статей из словаря-справочника «Математика и кибернетика в экономике» (издательство «Экономика», Москва, 1975г). Межотраслевой баланс производства и распределения продукции – инструмент анализа и планирования структуры общественного производства, учитывающий комплексные взаимосвязи отраслей производственной сферы. Межотраслевой баланс характеризует процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в детальном отраслевом разрезе. Детализируя общие народнохозяйственные пропорции, отражаемые важнейшей составной частью баланса народного хозяйства – балансом общественного продукта, межотраслевой баланс в то же время синтезирует в единую систему частные балансы, характеризующие источники формирования ресурсов и использование в народном хозяйстве отдельных видов продукции. Теоретической основой межотраслевого баланса является марксистско-ленинская теория расширенного воспроизводства. Основы анализа межотраслевых связей были заложены в процессе составления первого баланса народного хозяйства СССР за 1923-1924 гг. Математическая модель межотраслевого баланса была разработана В.Леонтьевым. Интенсивное развитие метода межотраслевого баланса как инструмента анализа и планирования темпов и пропорций общественного производства в СССР было начато со второй половины 50-ых годов силами Лаборатории экономико-математических методов (ныне Центральный экономико-математический институт) АН СССР, Научно-исследовательского экономического института при Госплане СССР и ЦСУ СССР. Межотраслевой баланс может быть разработан как в денежном, так и в натуральном выражении. Схема межотраслевого баланса представляет собой синтез двух таблиц, одна из которых характеризует детальную структуру затрат на производство в разрезе отдельных видов продукции, а другая – структуру распределения продукции в народном хозяйстве. 2 Таблица 1. Наименование продукции (индекс) Единица измерения Межотраслевой баланс (МОБ) в натуральном выражении Поступление ресурсов Использование ресурсов На производство продукции (по видам) – Всего в том числе: текущее производственное потребление Произ- Прочие ведено ресурсы (импорт, запасы и 1 2 … j … n Итого резервы на начало периода) Первый раздел Второй На конечное потребление (возмещение выбытия и накопление основных фондов, запасы и резервы на конец периода, личное и общественное потребление, экспорт, потери) Итого использовано ресурсов раздел n 1 R1 Q1 S1 Q11 … Q12 Q1j … Q1n Q j 1 1j G1 R1 G2 R2 … … n 2 R2 Q2 S2 Q21 … Q22 .Q2j … Q2n Q j 1 2j … … … … … … … … … … … i Ri Qi Si Qi1 Qi2 … Qij … Qin Q Gi Ri … … … Gn Rn n ij j 1 … … … … … … … … … … n Rn Qn Sn Qn1 Qn2 … Qnj … Qnn n Q j 1 n Q ij j 1 n Q j 1 2j nj Qi1 Qi 2 ... Qij ... Qin – сумма начала i-й строки II-го раздела, например Q21 Q22 ... Q2 j ... Q2n – сумма начала 2-й строки II-го раздела. 3 Таблица 2. Распределение продукции Затраты на производство Межотраслевой баланс (МОБ) в денежном выражении Текущее производственное потребление в отраслях (промежуточный продукт) НепроизводФонд 1 2 … j … n Итого ственное накоппотребление ления Первый раздел Сальдо экспорта (+) и импорта (–) Итого Всего – валовая продукция Второй раздел Текущие материальные затраты по видам продукции: 1 Конечный продукт Возмещение выбытия основных фондов и возмещение потерь n x11 … x1j x12 x … x1n 1j j 1 y1 x1 y2 x2 … … yi xi … … yn xn n 2 x21 x22 … x2j … x2n x … … … … … … … j 1 … 2j n i x i1 x i2 … xij … xin x … … … … … … … j 1 … ij n n xn1 Итого x n n i 1 … xnj xn2 i1 x i 1 … x i 1 j 1 n n i2 x … xnn ij … x i 1 n in nj n n x i 1 j 1 y ij i 1 Третий раздел Амортизация и чистая продукция n i x i 1 i Четвёртый раздел n z1 z2 … zj … zn z j 1 j n Всего валовая продукция x1 x2 … xj … xn x j 1 j n z j z1 z 2 ... z j ... z n – сумма строки III-го раздела j 1 n y i 1 i y1 y 2 ... y i ... y n – сумма столбца «Итого» II-го раздела n x j 1 ij xi1 xi 2 ... xij ... xin 2j x21 x22 ... x2 j ... x2 n – сумма 2-й строки I-го раздела. n x j 1 – сумма i-й строки I-го раздела, например 5 Межотраслевой баланс в натуральном выражении (табл.1, стр.2) состоит из двух разделов. Первый раздел отражает источники формирования ресурсов продукции: Ri = Qi + Si где (i = 1, 2, …, n), Ri – ресурсы продукции вида i; Qi – производство продукции вида i; Si – прочие ресурсы продукции вида i (т.е. импорт, запасы и резервы на начало года). Второй раздел характеризует направления использования ресурсов на текущее про- изводственное потребление (в разрезе тех же видов продукции, по которым в балансе учитывается формирование ресурсов, что обеспечивает шахматное построение данного разделе баланса) и на конечное потребление: n Q j 1 где ij + Gi = Ri [ т.е. Qi1 + Qi 2 + … + Qij + … + Qi n + Gi =Ri ] Qi j – потребление продукции вида i на производство продукции вида j (текущее производственное потребление), Gi – конечное потребление продукции вида i (т.е. возмещение выбытия и накопление основных фондов, запасы и резервы на конец периода, личное и общественное потребление, экспорт, потери), Ri – см. выше. Межотраслевой баланс в денежном выражении (табл.2, стр.3) состоит из четырёх разделов. В первом разделе отражаются межотраслевые потоки продукции в процессе текущего производственного потребления. Этот раздел имеет одинаковую классификацию отраслейпроизводителей и отраслей-потребителей, что обеспечивает его шахматную структуру. Общий итог первого раздела выражает промежуточный продукт. Второй раздел характеризует материально-вещественную структуру элементов конечного продукта. В третьем разделе показывается амортизация и вновь созданная стоимость* по отраслям материального производства. Четвёртый раздел отражает элементы частичного перераспределения вновь созданной стоимости. Введём обозначения: xi – валовая продукция отрасли i (т.е. общий стоимостной объём производства продукции отрасли i); Вновь созданная стоимость (или чистая продукция) – это стоимость, вновь созданная трудом людей в процессе производства; она распадается на фонд зарплаты и прибыль. С точки зрения бухучёта, чистая продукция равна валовой продукции за вычетом материальных затрат (прямых материальных затрат и амортизации). * 6 xij – затраты продукции отрасли i на производство продукции в отрасли j (текущее производственное потребление); yi – конечный продукт отрасли i (т.е. продукция, идущая на непроизводственное (личное и общественное) потребление, возмещение выбытия основных фондов и возмещение потерь, накопление основных фондов, прирост материальных оборотных фондов, т.е. запасов и резервов на конец периода; сюда же относят сальдо экспорта (+) и импорта(–) ); zj – амортизация и чистая продукция отрасли j Рассматривая строки межотраслевого баланса (см. табл.2), видим, что: xi = xi1 + xi2 + … + xij + … + xi n + yi , или: n xi xij yi (i=1, 2, …, n) (1) j 1 Рассматривая столбцы межотраслевого баланса (см. табл.2), видим, что: xj = x1j + x2j + … + xij + … + xn j + zj , или: n x j xij z j (j=1, 2, …, n) (2) i 1 Уравнение (1) характеризует распределение продукции отраслей. Уравнение (1) показывает, что часть валового продукта отрасли i используется в других отраслях (в качестве «прямых материальных затрат»), а остальное (yi) идёт на конечное потребление. Уравнение (2) характеризует затраты на производство продукции отраслей. Оно показывает, что стоимость продукции отрасли j складывается из стоимости продукции других отраслей, использованных в производстве в данной отрасли в качестве «прямых материальных затрат»1, а также амортизации2, фонда оплаты труда и прибыли данной отрасли. Шахматное построение межотраслевого баланса обеспечивает соблюдение в нём следующих соотношений: а) Общие итоги одноимённых строк и столбцов равны между собой, то есть в табл. 2 всегда xi = xj при i = j , так как это одна и та же стоимость, рассматриваемая в первом случае [xi , строка МОБ, уравнение (1) ] с точки зрения того, как она была распределена, а во втором случае [xj , столбец МОБ, уравнение (2) ] с точки зрения того, из чего она была составлена. Следовательно, из уравнений (1) и (2) при i = j = к получаем: К «прямым материальным затратам» относятся затраты энергии, сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий и т.п. 2 Амортизация – это часть стоимости используемых в данной отрасли оборудования, производственных зданий, сооружений и т.п. Подробнее см. ниже статью «Амортизация». 1 7 n n j 1 i 1 xк xкj y к xiк z к [ т.е. xк = xк1 + xк2 + …+ xк n + yк = x1к + x2к + … + xn к + zк ] . б) Общий итог второго раздела равен общему итогу третьего раздела: n n y z i 1 i j 1 j [ т.е. y1 + y2 + … + yn = z1 + z2 + … + zn ] . Статическая модель межотраслевого баланса. Экономико-математическая модель статического межотраслевого баланса исходит из следующих основных предпосылок: а) объёмы производственного потребления прямо пропорциональны объёмам производства продукции потребляющих отраслей; коэффициентами пропорциональности являются коэффициенты прямых затрат, которые для межотраслевого баланса в денежном выражении определяются так: aij = xij / xj ; следовательно, xij = aij xj ; б) каждый продукт производится только одной отраслью. При помощи коэффициентов прямых затрат система уравнений межотраслевого баланса (1) может быть записана так: n xi aij x j yi [ т.е. xi = ai1 x1 + ai 2 x2 + … + ai n xn + yi ] , i = 1,2, …, n ; j 1 или в матричной форме x = Ax + y . Решение этой системы относительно неизвестных значений объёмов производства продукции (xi) при заданном векторе конечного продукта (yi) таково: x = (E – A)–1 y , где (E – A)–1 – матрица коэффициентов полных затрат. Полные затраты – это характеристика непосредственного и косвенного потребления продукции отрасли для выпуска конечного продукта. Основой для расчёта полных затрат являются коэффициенты прямых затрат. Элемент bij матрицы B = (E – A)–1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы 8 конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски отраслей xi в виде функции планируемых значений yj конечных продуктов отраслей: n xi f ( y1 , y 2 ,..., y n ) bij y j [ т.е. xi = bi1 y1 + bi2 y2 + … + bin yn ] . j 1 Коэффициенты полных затрат отражают всё многообразие и сложные косвенные связи, возникающие в процессе общественного воспроизводства. Можно показать, что B = (E – A)–1 = E + A + A2 + A3 + … + Aк + …, где A – матрица прямых затрат; коэффициент aij показывает расход продукта i непосредственно при производстве единицы продукции вида j. С1 = A2 – матрица косвенных затрат 1-го порядка, т.е. коэффициент cij n ( cij aik a kj ) k 1 показывает расход продукта i на производство тех видов продукции, которые непосредственно расходуются при производстве единицы продукции отрасли j. С2 = A3 – матрица косвенных затрат 2-го порядка, и т.д. Т.е. коэффициент полных затрат bij – это (при ij) сумма прямых и косвенных затрат продукта i на производство единицы продукции вида j. Коэффициент j полных затрат трудовых ресурсов всех отраслей на единицу конечного продукта отрасли j рассчитывается так: n j t i bij i 1 или в матричной форме (j)T = (ti)T B где ti – коэффициент прямых затрат трудовых ресурсов на единицу продукции отрасли i. Хозяйственная отрасль и «чистая» отрасль Шахматное построение межотраслевого баланса требует строгой идентичности содержания показателей его одноимённых строк и столбцов. Поскольку в качестве затрат по строкам межотраслевого баланса могут быть отражены только затраты определённых видов продукции, то и в столбцах межотраслевого баланса должны быть отражены определённые виды продукции независимо от конкретных способов их производства. В практике статистического учёта и планирования под отраслью понимается совокупность предприятий, характеризующихся общностью выпускаемой продукции, технологии производства, используемых основных фондов и профессиональных навыков работающих 9 (хозяйственная отрасль). Помимо основного вида продукции, определяющего отраслевую принадлежность, хозяйственная отрасль может производить значительное число так называемых «непрофильных» видов продукции, наличие которых, как правило, обусловлено комплексным использованием сырья, обслуживанием основного производства, использованием отходов, загрузкой свободных производственных мощностей и т.п. В отличие от этого в межотраслевом балансе под отраслью понимается совокупность технологических процессов по производству определённых видов продукции независимо от того, являются ли они «профильными» или «непрофильными» на производящих их предприятиях («чистая» или технологическая отрасль). Продукция одного предприятия может состоять из продуктов разных «чистых» отраслей. С другой стороны, продукция «чистой» отрасли может включать продукты, произведённые многими хозяйственными отраслями. Виды МОБ. В зависимости от цели и объекта исследования межотраслевые балансы классифицируются по следующим признакам: единицы измерения (натуральные, натурально-стоимостные, ценностные); объект анализа (народнохозяйственные, районные, межрайонные, внутриотраслевые межпродуктовые); период анализа (статические, динамические); цель исследования (отчётные, плановые). Отличие межотраслевых балансов в натуральном и денежном выражении заключается не только в характере единиц измерения, но и в методологии учёта продукции. Межотраслевой баланс в денежном выражении в СССР разрабатывался преимущественно по заводскому методу. В качестве затрат в этом случае учитывалась только та продукция, которая поступала на предприятие со стороны. Результаты производства отражались валовой продукцией предприятий. Межотраслевой баланс в натуральном выражении строится по методу валового оборота, т.е. в составе затрат учитывает все виды продукции независимо от того, получены они со стороны или произведены непосредственно на предприятии. Такой подход более приемлем с точки зрения анализа межотраслевых связей, поскольку в этом случае коэффициенты прямых затрат не зависят от изменений организационного состава производства (объединение предприятий в комбинаты, выделение самостоятельных предприятий из объединений, закрытие вспомогательных служб и т.п.). 10 Натурально-стоимостной межотраслевой баланс базируется на принципе выделения в самостоятельные позиции баланса важнейших видов продукции, которые отражаются (по строкам) в натуральном выражении. Остальные виды продукции включаются в схему натурально-стоимостного межотраслевого баланса в виде объединённых групп в денежном выражении. Для экономики СССР важное значение имел территориальный аспект анализа и планирования структуры общественного производства. Поэтому значительное развитие в нашей стране получили исследования по построению районных межотраслевых балансов. В районных межотраслевых балансах существенным является аспект анализа ввоза и вывоза продукции. Поэтому районные межотраслевые балансы дополняются специальными таблицами, характеризующими ввоз и вывоз продукции в разрезе районов-поставщиков и потребителей продукции. Межрайонные межотраслевые балансы представляют собой синтез единой системы межотраслевых балансов всех экономических районов с включением в неё параметров, характеризующих межрайонные связи. Отличительной особенностью динамических межотраслевых балансов от статических является рассмотрение в них динамики структуры общественного производства в течение определённого периода, что достигается включением производственных капитальных вложений в состав неизвестных модели и исключением их из автономно 3 задаваемого вектора конечного продукта. Динамические балансовые модели, в отличие от статических, характеризуют развитие народного хозяйства по годам планового периода. Состояние экономики в году t+1 во многом зависит от её состояния в году t и в предшествующие годы. Общая динамика развития определяется исходным состоянием системы, характеристиками структурных параметров на каждый год планового периода и заданиями по тем элементам конечного продукта, которые не имеют обратной связи с приростом производства в плановом периоде. В динамических моделях потребность в капиталовложениях в каждом году определяется из решения модели, в статической же модели инвестиции задаются экзогенно4, а в её расширенной схеме увязка плана производства с планом капиталовложений осуществляется только в пределах рассматриваемого года. «экзогенно», т.е. «извне модели»,; см. следующую сноску. т.е. «извне» модели. Экзогенные переменные – это параметры модели. Задав значение всех параметров, остальные («эндогенные») переменные модели можно найти, решив систему уравнений данной модели. 3 4 11 Разработаны различные типы динамических моделей, среди которых, с точки зрения отражения взаимосвязей процесса инвестирования с динамикой производства, можно выделить три основных типа: 1) модели, в которых сочетается статическая модель межотраслевого баланса на последний год с системой соотношений, определяющих распределение общего объёма капиталовложений на весь плановый период по отдельным годам; 2) модели поэтапного расчёта объёмов производства и капитальных вложений для каждого периода планирования начиная с первого года; результаты решения для последующих лет полностью определяются решениями, полученными для предыдущих лет, а также экзогенно задаваемыми характеристиками воздействия капиталовложений на динамику производства в последующих периодах, – так называемые рекуррентные динамические модели; 3) модели, в которых явно учитываются прямые и обратные связи показателей объёмов производства и основных производственных фондов внутри рассматриваемого периода; величины новых и реконструированных основных фондов исчисляются как результат капиталовложений, планируемых за счёт продукции данного года и предшествующих лет. Кроме того, возможности развития производства в данном году обусловливаются наличным объёмом основных производственных фондов, часть которого образована фондами, введёнными в предшествующие годы. Модели, учитывающие такие взаимосвязи, и являются динамическими моделями межотраслевого баланса в собственном смысле этого слова. По характеру отражения процесса формирования капитальных вложений различаются модели с учётом и без учёта лага капиталовложений.5 В качестве параметров, характеризующих потребность в капиталовложениях, чаще всего рассматриваются удельные веса различных видов средств труда (оборудования, зданий и сооружений и т.п.) в общем объёме капиталовложений, либо коэффициенты капиталоёмкости (коэффициенты приростной фондоёмкости). Для математического описания динамических моделей используются системы линейных дифференциальных, разностных или обыкновенных алгебраических уравнений. Системы дифференциальных и разностных уравнений соответствуют одному из типов рекуррентных динамических моделей, для которых характерно то, что в качестве неизвестных рассматриваются объёмы выпуска отдельных видов продукции и годовые приросты этих объёмов. Таким образом, показатели капиталовложений или основных производственных фондов в таких моделях непосредственно не рассматриваются; они могут быть найдены после решения модели, как производные величины. 5 См. ниже статью «Лаги запаздывания». 12 Отчётные межотраслевые балансы являются средством анализа структуры экономики и исходной базой составления плановых межотраслевых балансов. Отчётные межотраслевые балансы в СССР разрабатывались на основе данных о структуре затрат на производство, получаемых от предприятий в результате специального единовременного обследования. Разработка плановых межотраслевых балансов направлена в первую очередь на совершенствование балансового метода планирования, точное количественное выражение сложных взаимосвязей процесса общественного воспроизводства, расчёт сбалансированных вариантов структуры народного хозяйства на основе использования ЭВМ. Литература. 1. Немчинов В.С. Экономико-математические методы и модели. Избранные произведения. Т.3. М., «Наука», 1967. 2. Аганбегян А.Г., Гранберг А.Г. Экономико-математический анализ межотраслевого баланса СССР. М., «Мысль», 1968. 3. Коссов В.В. Межотраслевой баланс. М., «Экономика», 1966. 4. Эйдельман М.Р. Межотраслевой баланс общественного продукта. М., «Статистика», 1966. 5. Методы планирования межотраслевых пропорций. М., «Экономика», 1965. Конечный продукт – часть совокупного общественного продукта, которая характеризует конечный результат процесса общественного производства. Конечный продукт – это продукция отраслей материального производства, поступающая на цели личного и общественного непроизводственного потребления6, на накопление основных и оборотных фондов, на возмещение выбытия основных фондов и возмещение потерь, а также включает экспортно-импортное сальдо. Стоимостным эквивалентом конечного продукта является величина условно-чистой продукции, произведённой в народном хозяйстве (т.е. созданный национальный доход плюс амортизационные отчисления в производственной сфере). Сумма конечного продукта и промежуточного продукта составляет общую стоимость совокупного (или валового) общественного продукта (ВОП). Конечный продукт является одним из важнейших элементов межотраслевого баланса и макромоделей экономического роста. Промежуточный продукт – часть совокупного общественного продукта, предназначенная для возмещения текущего производственного потребления предметов труда. С точки зрения конечного результата процесса общественного воспроизводства, выражаемого величиной конечного продукта, промежуточный продукт представляет повторный счёт продукТо есть: еда, одежда, мебель, бытовая техника, и т.д.; материальные услуги населению (например, транспортные); жильё; а также материально-техническая база науки, культуры, образования, здравоохранения, армии и т.д. 6 13 ции, произведённой и потреблённой в течение производственного цикла. В то же время, промежуточный продукт отражает реальный оборот продукции в процессе материального производства, учёт которого необходим для планирования материально-вещественных пропорций воспроизводственного процесса. Общая величина промежуточного продукта равна суммарной стоимости всех межотраслевых потоков предметов труда, отражаемых в первом разделе межотраслевого баланса. По материально-вещественному составу промежуточный продукт меньше фонда возмещения на величину возмещения выбытия основных производственных фондов; по стоимости промежуточный продукт меньше суммарных материальных затрат в составе совокупного общественного продукта на величину амортизационных отчислений в сфере материального производства. Основные производственные фонды (ОПФ) – это производственные здания и сооружения, передаточные устройства, различное оборудование и инструмент, транспортные средства, трубопроводы, и др. ОПФ обслуживают производство в течение длительного периода, целиком и многократно участвуют в производственном процессе. Поэтому стоимость ОПФ переносится на производимую с их помощью продукцию не целиком, а по частям, по мере их износа. После реализации готовой продукции стоимость изношенной части ОПФ возвращается предприятию в денежной форме и образует амортизационный фонд. Возмещение снашивающихся основных фондов (приобретение новых взамен выбывших) осуществляется за счёт амортизационного фонда. Амортизационный фонд – фонд, создаваемый путём периодических отчислений той части стоимости продукта, которая соответствует размеру снашивания основных фондов (фондов, при помощи которых произведён этот продукт). Амортизационный фонд предназначен для воспроизводства основных фондов (т.е. для приобретения новых взамен изношенных). Амортизация – часть цены продукции; денежное выражение той части стоимости ОПФ (зданий, сооружений, оборудования и т.д.), которая в процессе труда перенесена на готовый продукт. Например, если станок стоит 1000 рублей, и на нем можно сделать 1000 деталей, то в цену каждой детали включается 1 рубль амортизации. Когда будут произведены и проданы 14 1000 деталей, у предприятия будет амортизационный фонд 1000 рублей для покупки станка взамен износившегося. Валовой продукт (валовой выпуск) отрасли (или предприятия, или народного хозяйства в целом) – это вся продукция (в денежном выражении), произведённая данной отраслью (предприятием, народным хозяйством) за определённый период (например за год). Т.е. это фактический (или плановый) выпуск продукции. Производственная мощность отрасли (или предприятия) – это либо основное оборудование (т.е. оборудование, определяющее возможный** объём выпуска продукции), либо максимально возможный** (при имеющихся основных фондах) выпуск продукции за год. Вспомогательное оборудование (т.е. оборудование, облегчающее труд и экономящее материалы, но не увеличивающее максимально возможный** выпуск продукции) к производственным мощностям не относится. В динамических моделях МОБ (см. выше, стр.9-11) производственные мощности ограничивают максимально возможный выпуск продукции, см. неравенство (2) на стр.10, а вспомогательное оборудование влияет только на коэффициенты прямых материальных затрат aij и на коэффициенты трудоёмкости wi . Лаги запаздывания Лаг запаздывания (временной лаг, или, для краткости, просто «лаг») представляет собой промежуток времени (), отделяющий эффект (Et) от предшествующего «стимула» (st). В любой реальной системе имеют место запаздывания; в социально-экономических си- стемах они особо значительны по длительности и играют существенную роль в планировании и управлении. Если рассмотреть экономический процесс yt , который имеет в качестве «стимула» (аргумента) переменную xt , то наличие запаздывания означает, что влияние переменной x на переменную y не проявляется немедленно, а растягивается на множество промежутков времени. Формально это можно выразить в виде лаговой модели: y t wi xt i u t , i 0 где yt – значение эффекта E в момент t; xt – значение «стимула» s в момент t; wi , i = 0, 1, 2, … – лаговые коэффициенты; ut – случайная ошибка уравнения. 15 Разумеется, бесконечная последовательность эффектов есть абстракция; в действительности сумма wixt–i ограничена (достаточно большим) периодом T (горизонтом времени T). Последовательность коэффициентов wi называется структурой или спектром лага. В экономических моделях подлежат учёту лаги между принятием управляющего решение и его реализацией; между капитальными затратами и их окончательным «созреванием» (вводом в действие), между научным открытием и его внедрением, и др. Особо важное значение имеют запаздывания отдачи капитальных вложений в народное хозяйство. Здесь можно выделить следующие основные типы лагов: технологический лаг – интервал времени от начала проектирования объекта капитального строительства до его ввода в действие; строительный лаг – от начала работ по сооружению объекта до их завершения; лаг отдачи, отделяющий произведённые вложения от освоения проектной мощности и достижения рентабельности (если речь идёт о производственных объектах); комплексный лаг – лаг отдачи группы связанных между собой объектов. Запаздывания отдачи капитальных вложений приводят к длительному «омертвлению» («иммобилизации») ресурсов; вместе с тем занятые в капитальном строительстве работники, реализуя свою зарплату, предъявляют спрос на предметы потребления и услуги, ещё не создав какой-либо законченной продукции. При чрезмерно продолжительных лагах могут возникнуть диспропорции в народном хозяйстве и замедлиться технический прогресс. Сокращение лагов – одно из важных средств повышения эффективности общественного производства; однако, предельно наименьший (технически допустимый) лаг не может рассматриваться как экономически наивыгоднейший. Для определения оптимума надо учитывать как сумму потерь f, вызываемых запаздыванием отдачи, так и сумму затрат , требующихся для сокращения лагов. Таким образом, оптимальный лаг определяется минимизацией суммы обеих указанных величин. Расчёт оптимального лага требует сбора и анализа статистических данных о значениях величин f и (в зависимости от длины лага) в прошлом, и соответствующей информации о вероятных их значениях в будущем. На основе технических расчётов и систематизированных отчётных данных устанавливаются нормативные сроки проектирования, строительства и освоения проектной мощности для объектов различных типов и отраслей. По ряду причин эти нормативы во многих случаях не выдерживаются. Соблюдение и дальнейшее сокращение нормативных лагов требует В предположении, что материальные (в т.ч. энергетические) и трудовые ресурсы имеются в достаточном количестве. ** 16 анализа причин, вызывающих отклонение от норм, и проведения системы мероприятий организационного, политического и технико-экономического порядка. Межотраслевые балансы продуктообмена и финансового обмена и как они связаны друг с другом А) Если не рассматривать кредит, биржевые спекуляции и т.п., – то финансовые потоки и потоки товаров (встречные потоки) соответствуют друг другу: когда товары переходят от А к Б, то деньги на соответствующую сумму переходят от Б к А. Обратимся к межотраслевому балансу (МОБ; см. табл. 2 на стр. 3). Величина xij в первом разделе МОБ показывает, что отрасль i передала отрасли j товары на сумму xij (и получила от отрасли j соответствующую сумму денег). Т.е. первый раздел МОБ описывает межотраслевые потоки промежуточного продукта7. Далее, xk , валовая продукция отрасли k , это : по натуральному составу (по строке МОБ, см. табл. 2 на стр. 3) – сумма созданных отраслью k промежуточного продукта (т.е. продукта, использованного в производстве в других отраслях) и конечного продукта8: n xk xkj y k (1) j 1 по стоимости (по столбцу МОБ, см. табл.2 на стр.4) – сумма прямых материальных затрат (затрат продукции других отраслей на производство продукции k-й отрасли), а также амортизации, зарплаты и прибыли (вошедших в цену продукции отрасли k): n xk xik z k (2) i 1 Тогда: из (1) : n n n xk xkj y k xkj y k k 1 k 1 j 1 k 1 k , j 1 из (2) : n n n xk xik z k xik z k . k 1 k 1 i 1 k 1 k ,i 1 n n 7 8 n n См. выше статьи «Промежуточный продукт» и «Межотраслевой баланс». См. выше статьи «Конечный продукт» и «Межотраслевой баланс». ; 17 n Отсюда, т.к. x k , j 1 n kj xik k ,i 1 = сумме всех чисел из I-го раздела МОБ , получаем: n n y z k 1 k k 1 k , т.е. стоимость годового конечного продукта = сумме фонда зарплаты, прибыли и амортизационного фонда (сумме по всем предприятиям). Иными словами, конечный продукт покупается на зарплату, прибыль и амортизацию. При этом: 1. Зарплата тратится на покупку предметов потребления (еда, одежда, мебель, бытовая техника, и т.д.), на оплату различных услуг (в т.ч. материальных, например транспортных, и услуг нематериальной сферы), а также на оплату строительства жилья, на покупку инвентаря и саженцев для «дачи», и т.д. 2. Амортизация тратится (должна тратиться) на возмещение выбывших основных производственных фондов9, т.е. на покупку ОПФ взамен выбывших; но может использоваться и как временно свободные денежные средства. 3. Часть прибыли идёт на непроизводственное потребление (личное и общественное). Это, прежде всего, часть от прибыли, централизуемой через налоги. Кроме того, в СССР часть прибыли предприятий шла в фонд материального поощрения (ФМП) и в фонд социального развития10. Сюда же относятся дивиденды собственников. 4. Часть прибыли идёт на возмещение потерь (на ликвидацию последствий аварий и стихийных бедствий, и др.) 5. Большая часть прибыли идёт на развитие производства. Для расширения производства нужно: - построить новые заводские корпуса, производственные сооружения, и т.п.; и/или - закупить новое оборудование (или модернизировать старое); и/или - закупить дополнительное количество энергии, сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий. Всё, что покупается на зарплату, прибыль и амортизацию, относится к «конечному продукту в смысле МОБ». Вспомним, что состав конечного продукта (в смысле МОБ): оборудования, заводских корпусов, производственных сооружений, передаточных устройств, транспортных средств, и др. 10 «Фонд материального поощрения» использовался для премирования работников предприятия (премии из ФМП). «Фонд социального развития» шёл на строительство и содержание жилья, домов культуры, профилакториев, детских садов, пионерлагерей и т.д. 9 18 предметы потребления (и материальные услуги); здания и сооружения (производственные и непроизводственные); оборудование (сферы материального производства и нематериальной сферы); а также прирост материальных оборотных фондов (энергоресурсов, сырья и материалов, полуфабрикатов и комплектующих) – прирост запасов и резервов на складах. Б) Финансовый баланс народного хозяйства и его связи с материальным балансом рассматриваются, например, в книге Б.М. Смехова «Перспективное народнохозяй- ственное планирование», М. «Экономика», 1968г. В книге «Закономерности расширенного социалистического воспроизводства», М., «Наука», 1977г (руководитель авторского коллектива Г.М. Сорокин) в 8-й главе описана динамическая модель «доход-товары», в которой динамическая модель МОБ дополнена уравнениями, обеспечивающими финансово-стоимостную сбалансированность. (Т.е. здесь учтены налогообложение, инвестиции и другие финансовые потоки, и обеспечивается их увязка с материальными потоками). Выражение целей производства и распределения в межотраслевых балансах Эти цели выражаются, прежде всего, в векторе конечного продукта y (см. 2-й раздел МОБ). Что производит общество? предметы роскоши или то, что действительно необходимо людям? Каково качество продукции, производимой для масс? суррогаты, «пищевые добавки», синтетическая одежда, панельные дома и т.д., порождающие проблемы со здоровьем? Или естественные и здоровые еда, одежда, жилище? Достаточно ли домов культуры, театров, библиотек, музеев, детских садов, спорткомплексов, турбаз и домов отдыха, и т.п.? а также мебели и бытовой техники, спортинвентаря, и т.п. ? Какова материально-техническая база образования и здравоохранения, науки и армии? Вектор конечного продукта y показывает, чего и сколько производит общество для непроизводственного (личного и общественного) потребления. Кроме того, вектор конечного продукта y показывает структуру производимых основных производственных фондов (ОПФ) и прирост материальных оборотных фондов. Условия труда (его тяжесть, вредность, содержательность) существенно зависят от того, на каком оборудовании и в каких помещениях работают люди. Поэтому программы по 19 улучшению условий труда изменяют планируемую структуру производимых ОПФ, а значит и вектор конечного продукта y . Цели распределения, свойственные обществу, выражаются также в структуре величин zj из 3-го раздела МОБ. Структура величин zj показывает, какова оплата труда по отраслям, и какова прибыльность (рентабельность) разных отраслей. Часть прибыли централизуется через налоги и перераспределяется, что находит своё отражение в структуре величин zj , а также в 4-м разделе МОБ. Как должна строиться система планирования, чтобы она порождала преемственную последовательность плановых балансов, отвечающих осуществлению нравственно здоровых целей производства и распределения продукции Для этого в статической модели МОБ, x=Ax+y , надо надлежащим образом задавать вектор конечного продукта y . Надлежащим образом, это значит: План производства должен быть реален. Т.е. плановый выпуск отраслей, вектор x [который при заданном векторе y находится из соотношения x=(E–A)–1y ], не должен превышать существующих производственных мощностей отраслей. Иными словами, должно выполняться неравенство (2) из динамической модели МОБ (см. стр.10), или, что то же, неравенства xi mi , i = 1,2,…,n Должен обеспечиваться приемлемый уровень потребления. Т.е. продукция, предназначенная для непроизводственного (личного и общественного) потребления должна производиться в достаточном количестве. [Объёмы производства этой продукции по видам – это соответствующие компоненты вектора y .] Должно обеспечиваться развитие производства (в т.ч. научно-технический прогресс и улучшение условий труда). Т.е. в векторе конечного продукта y должны быть заданы производство необходимых основных производственных фондов (по видам) и необходимый прирост материальных оборотных средств. В статической модели МОБ вектор y задаётся экспертно. Задать y надлежащим образом – это сложная задача. Динамическая модель МОБ облегчает ее решение. Для получения преемственной последовательности плановых балансов, отвечающих осуществлению нравственно здоровых целей производства и распределения продукции, в 20 динамической модели МОБ надо надлежащим образом задавать целевую функцию потребления11 c(t) . Кроме того, в модели (в ограничениях или в целевой функции) должны быть отражены потребности научно-технического прогресса и производство оборудования для улучшения условий труда. При построении целевой функции потребления важно различать (чётко разграничивать) потребности демографически-обусловленные и деградационно- паразитарные. (А не просто изучать закономерности платёжеспособного спроса.) Проблемы построения целевой функции потребления обстоятельно рассмотрены в экономической литературе. См., например, книги: Б.М. Смехов «Перспективное народнохозяйственное планирование», М. «Экономика», 1968г.; "Использование народнохозяйственных моделей в планировании" под ред. А.Г.Аганбегяна и К.К.Вальтуха, изд-во "Экономика", Москва, 1975г. (см. главу 8, «Целевая функция потребления»; здесь есть и список литературы); «Теоретические народнохозяйственные модели», сборник из серии «Проблемы народнохозяйственного оптимума», отв. ред. К.К.Вальтух, изд-во «Наука», СО, Новосибирск, 1980г. Важно понимать, что модели МОБ необходимы, но не достаточны для получения преемственной последовательности плановых балансов, отвечающих осуществлению нравственно здоровых целей производства и распределения продукции. Хотя бы потому, что в условиях научно-технического прогресса более-менее достоверно коэффициенты прямых затрат aij можно оценить не более, чем на 5-7 лет вперёд. Значит, для расчёта долгосрочных планов экономического развития (его основных направлений) нужны модели других типов. Подробнее об этом см. книгу "Использование народнохозяйственных моделей в планировании" (под ред. А.Г.Аганбегяна и К.К.Вальтуха, изд-во "Экономика", Москва, 1975г.), глава 5 «Проблемы построения системы народнохозяйственных моделей». Кроме того, модели МОБ не решают ни проблем размещения производительных сил (где лучше строить тот или иной завод?), ни проблем развития регионов и территориальнопроизводственных комплексов, ни задач оптимизации производства отдельных отраслей12. Т.е. объём и структуру непроизводственного (личного и общественного) потребления. См. описание динамической модели МОБ. 12 Здесь используются производственно-транспортная задача линейного программирования и другие модели. См., например, книгу «Оптимальный план отрасли» (под ред. И.Я.Бирмана), М., «Экономика», 1970г. 11 21 Инструментарий настройки рыночного механизма на саморегуляцию производства и распределения; и как этот инструментарий выражается в межотраслевых балансах В общем случае управление многоотраслевой производственно-потребительской системой на плановой основе включает в себя: целеполагание; целесообразное распределение инвестиций между отраслями и регионами, а также распределение их очерёдности и объемов во времени; директивно-адресное управление предприятиями государственного сектора; разработку и выдачу госзаказа для предприятий негосударственного сектора и сопутствующую формированию госзаказа разработку налогово-дотационной, кредитной, страховой политики, а также политики субсидий и их осуществление в процессе выполнения плана и т.п. Всё вышеперечисленное, плюс гос.регулирование цен (в форме установление «потолка» или «ножниц» цен для важнейших товаров, или в иной форме), а не только кредитнофинансовая политика, и является «инструментарем настройки рыночного механизма». Настроить рыночный механизм, используя только «налогово-дотационную политику, кредитную и страховую политику и политику субсидий» – невозможно. Если говорить о «налогово-дотационной политике, кредитной и страховой политике и политике субсидий», то в межотраслевом балансе она отражается, прежде всего, в 3-м разделе (в структуре величин zj) и в 4-м разделе. Кроме того, влияя на соотношение и уровень цен, эта политика влияет и на величины aij в 1-м разделе стоимостного межотраслевого баланса, и на структуру выпуска конечного продукта (2-й раздел МОБ). Как должна меняться налогово-дотационная, кредитная и страховая политика в процессе осуществления преемственной последовательности плановых балансов, чтобы реальные показатели производства и потребления были бы не хуже плановых заданий, и тем самым осуществились бы избранные цели Вопросы увязки цен с принятым планом экономического развития рассматриваются, например, в книгах: Б.М. Смехов «Перспективное народнохозяйственное планирование», М. «Экономика», 1968г.; «Оптимальный план отрасли» (под ред. И.Я.Бирмана), М., «Экономика», 1970г. 22 Вопросы воздействия кредитно-финансовой политики на экономику страны, проблемы настройки рыночного механизма обсуждаются в книгах о реформе венгерской экономики (реформе 1968г): 1. «Система управления народным хозяйством в ВНР», изд-во АН Венгрии, Будапешт, 1972 2. «Реформа хозяйственного механизма в Венгрии. Дальнейшее развитие. 1968-1971 гг», под общей редакцией О.Гадо, изд-во АН Венгрии, Будапешт, 1972 3. Ласло Самуэли «Новое в структуре хозяйственных организаций Венгрии», ИМЭ ВАН, Будапешт, 1983 4. В.И. Голубева «Система планирования и управления народным хозяйством в Венгерской Народной Республике», изд-во «Наука», М., 1978 5. Р.Г. Карагедов «Совершенствование системы экономического управления в Венгерской Народной Республике», см. «Известия СО АН СССР», серия общественных наук, выпуск 2, №6, изд -во «Наука», СО, 1974 В книге Р.Г. Карагедова «Хозрасчёт, эффективность и прибыль (очерки теории)», изд-во «Наука», СО, Новосибирск, 1979г., рассматриваются роль, место и возможности «финансово-экономических рычагов» в системе управления народным хозяйством. В то же время, именно в вопросах функционирования хозяйственного механизма, в вопросах согласования целей (личных, групповых и общенародных) и контроля за деятельностью должностных лиц (а вовсе не в вопросах макроэкономического планирования материальных и финансовых потоков) советская экономическая наука оказалась не на высоте, что и привело к "перестройке". (Возможно, это проблемы не столько экономические, сколько идеологические, мировоззренческие.) 23 Элементы линейной алгебры Знак суммирования имеет следующий смысл: n xi x1 x2 ... xn ; i 1 n x j 1 ij xi1 xi 2 ... xin Действия с матрицами. Матрица – это прямоугольная таблица чисел. (m*n)-матрица – это таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов: a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n a 21 a 22 a 23 ... a 2 j ... a 2 n a a32 a33 ... a3 j ... a3n 31 ... ... ... ... ... ... A = (aij) = ... a i1 ai 2 ai 3 ... aij ... ain ... ... ... ... ... ... ... a m1 a m 2 a m3 ... a mj ... a mn Элемент матрицы aij стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца. Например, элемент a23 стоит на пересечении 2-й строки и 3-го столбца. Главная диагональ квадратной (n*n)-матрицы: a11, a22, a33, …, aii, …, ann Матрица называется диагональной, если у неё все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица E – это диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы. 1 0 0 Т.е. E= ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 1 (1*n)-матрица – это вектор-строка a = (a1, a2, a3, …, aj,…, an) b1 b2 b 3 (m*1)-матрица – это вектор-столбец b = (bi) = ... b i ... bm 24 Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы равны. Т.е. A = B если для всех i,j aij = bij. Сложение матриц. C = A+B если матрицы A и B имеют одинаковую размерность (т.е. одинаковое число строк и столбцов) и для всех i,j сij = aij+ bij. Т.е. каждый элемент матрицы C – это сумма соответствующих элементов матриц A и B. Примеры. 1 4 1 4 5 1) 2 5 2 5 3 7 0 7 0 7 1 2 3 3 1 5 1 3 2 1 3 5 4 1 8 2) 4 5 6 0 7 2 4 0 5 7 6 2 4 12 8 7 8 9 3 4 5 7 3 8 4 9 5 4 12 14 3) (1, 2, 3, 4, 5) + (4, –2, 0, –1, 3) = (1+4, 2–2, 3+0, 4–1, 5+3) = (5, 0, 3, 3, 8) 1 2 3 3 1 4) 4 5 6 0 7 ? сложить нельзя, т.к. у этих матриц разные размерности. 7 8 9 3 4 4 5) 1 2 3 5 ? сложить нельзя, т.к. у этих матриц разные размерности. 6 Умножение матрицы на число. Результатом умножения матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой умножен на это число. Т.е. C = A , если для всех i,j cij=aij . 1 2 3 3 6 9 Пример. 3 * 4 5 6 12 15 18 7 0 9 21 0 27 Умножение матриц. Произведением матриц называется матрица, каждый элемент которой является скалярным произведением соответствующей строки первой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы. Т.е. C = A*B если для всех i,j n cij aik * bkj ai1 * b1 j ai 2 * b2 j ... ain * bnj . k 1 Элемент cij равен произведению i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B. Часто вместо A*B пишут AB. 25 Примеры. 1) a1 a2 ... a i b1 b2 ... ... a n * a1 * b1 a 2 * b2 ... a i * bi ... a n * bn bi ... b n 4 (1, 2, 3) * 5 = 1*4 + 2*(–5) + 3*0 = –6 0 1 2 0 2 4 2) 3 4 * ? 1 3 2 5 6 1 2 2 4 8 0 2 4 4 6 20 , т.к. 3 4 * 5 6 1 3 2 6 8 32 с11 = 1*0 + 2*1 = 2 с21 = 3*0 + 4*1 = 4 с31 = 5*0 + 6*1 = 6 с12 = 1*(–2) + 2*3 = 4 с22 = 3*(–2) + 4*3 = 6 с32 = 5*(–2) + 6*3 = 8 с13 = 1*4 + 2*2 = 8 с23 = 3*4 + 4*2 = 20 с33 = 5*4 + 6*2 = 32 1 2 0 2 4 * 3 4 ? 3) 1 3 2 5 6 1 2 14 16 0 2 4 * 3 4 , т.к. 1 3 2 5 6 20 26 c11 = 0*1 + (–2)*3 + 4*5 = 14 c21 = 1*1 + 3*3 + 2*5 = 20 c12 = 0*2 + (–2)*4 + 4*6 = 16 c11 = 1*2 + 3*4 + 2*6 = 26 Сравнивая 2-й и 3-й примеры, видим, что произведение матриц некоммутативно, т.е. (как правило) A*B B*A . 1 2 0 2 * 3 4 ? 4) 1 3 5 6 26 1 2 0 2 * 3 4 ? умножить нельзя. 1 3 5 6 Две матрицы можно перемножить, если длина строки первой равна длине столбца второй. 1 2 0 2 4 7 5) 3 4 * ? 5 6 1 3 2 5 1 2 2 4 8 17 0 2 4 7 4 6 20 41 3 4 * 5 6 1 3 2 5 6 8 32 65 Произведение двух матриц имеет размерность (m*n), где m – число строк в первой (левой) матрице, n – число столбцов во второй (правой) матрице13. В частности, при умножении любой матрицы на вектор-столбец, если произведение имеет смысл, получится вектор-столбец. Свойства действий над матрицами. 1) A+B = B+A (коммутативность сложения матриц) 2) (A+B)+C = A+(B+C) (ассоциативность сложения матриц) 3) ()*A = (*A) 4) (+)*A = *A + *A 5) *(A+B) = *A + *B (дистрибутивность при умножении на число) 6) как правило, A*B B*A (некоммутативность умножения матриц) 7) для любой матрицы A, если произведение имеет смысл, A*E = A, E*A = A 8) (A*B)*C = A*(B*C) (ассоциативность умножения матриц) 9) A*(B+C) = A*B + A*C (дистрибутивность умножения матриц) Транспонированная матрица AT = (aij)T получается из матрицы A , если первую строку записать как первый столбец, вторую строку записать как второй столбец, третью строку записать как третий столбец, и т.д. В 5-м примере длина строки первой матрицы равна длине столбца второй матрицы (=2), поэтому эти матрицы можно перемножить. У первой матрицы 3 строки, у второй матрицы 4 столбца, поэтому их произведение – (3*4)-матрица. 13 27 a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 ... A = (aij) = ... a ai2 i1 ... ... a m1 a m 2 a11 a12 a 13 => AT = (aji) = ... a 1j ... a1n ... a1n ... a 2 n ... a 3n ... ... ... a in ... ... ... a mn a13 a 23 ... a1 j ... a 2 j a 33 ... a 3 j ... ai3 ... ... ... a ij ... ... ... a m3 ... a mj a 21 a 22 a31 a32 ... ai1 ... ai 2 a 23 a33 ... ai 3 ... a2 j ... a3 j ... ... ... aij ... ... ... ... a2n a3n ... ain => ... a m1 ... a m 2 ... a m3 ... ... ... a mj ... ... ... a mn Транспонированная матрица симметрична исходной относительно главной диагонали. 1 2 3 Примеры. 1) A = 4 5 6 7 8 9 1 2 2) A = 3 4 5 6 => => 1 4 7 AT = (aji) = 2 5 8 3 6 9 1 3 5 AT = 2 4 6 a1 a2 ... 3) Если a = (a1, a2, …, aj,…, an), то aT = . Если b =(bi)= aj ... a n x1 x2 ... Если x = xi ... x n и b1 b2 ... , то bT = (b1, b2, …, bi, …, bm) bi ... b m r1 r2 ... r = , то xT * r = x1*r1 + x2*r2 + … + xi*ri + … + xn*rn ri ... r n 28 Обратная матрица. Матрица B называется обратной к квадратной матрице A и обозначается A–1 , если B * A = A * B = E . Т.е. A–1 * A = A * A–1 = E . Не всякая матрица имеет обратную. Матрица, обратная к A, существует, если определитель матрицы A не равен нулю. В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (E–A) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (E–A)–1 всегда существует. Пример вычисления обратной матрицы методом неопределённых коэффициентов. 2 7 3 x1 y1 –1 Найдём матрицу, обратную к A = 3 9 4 . Пусть A = x2 y 2 1 5 3 x y 3 3 Наша задача – найти коэффициенты x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , z1 , z2 , z3 . z1 z2 . z 3 По определению обратной матрицы, должно выполняться равенство: A * 2 7 3 3 9 4 * 1 5 3 x1 x2 x 3 A–1 = E y1 z1 1 0 0 y2 z 2 = 0 1 0 0 0 1 y3 z 3 Т.е. (см. правило умножения матриц в Приложении 2, «Действия с матрицами»): 2 x1 7 x 2 3x3 1 (a) 3x1 9 x 2 4 x3 0 , x 5 x 3x 0 2 3 1 2 y1 7 y 2 3 y3 0 (b) 3 y1 9 y 2 4 y 3 1 , y 5y 3y 0 2 3 1 2 z1 7 z 2 3z 3 0 (c) 3z1 9 z 2 4 z 3 0 . z 5 z 3z 1 2 3 1 Из системы (a) находятся коэффициенты x1 , x2 , x3 ; из системы (b) – коэффициенты y1 , y2 , y3 ; из системы (c) – коэффициенты z1 , z2 , z3 . Решим эти линейные системы методом Гаусса. Сначала надо привести исходную систему (a) к диагональному виду, т.е. к виду: c11 x1 c12 x2 c13 x3 b1 ...............(1' ) ...........c22 x2 c23 x3 b2 ..............(2' ) .......................c x b ...............(3' ) 33 3 3 где cij , bi – некоторые числа. Потом из нижнего (3-го) уравнения найти x3 : Найденное значение x3 подставить в уравнение (2’), после чего найти x2 : x3 = b3 . c 33 29 1 (b2 – c23 x3) . c 22 подставить в уравнение (1’) и найти x1 : 1 x1 = (b1 – c12 x2 – c13 x3) . c11 x2 = Затем значения x2 и x3 Итак, решаем систему (a). 2 x1 7 x2 3x3 1 1) Приведём систему (a) 3x1 9 x 2 4 x3 0 x 5 x 3x 0 2 3 1 к диагональному виду. Для этого сначала переставим 3-е уравнение на 1-е место: x1 5 x 2 3x3 0........................(1) 2 x1 7 x 2 3x3 1.....................(2) 3x 9 x 4 x 0.....................(3) 2 3 1 Теперь умножим уравнение (1) на подходящее число (–2) и добавим к уравнению (2), так чтобы в уравнении (2) на месте коэффициента 2 (коэффициента при x1) получить 0. Получим: x1 5 x2 3x3 0........................(1) .... 3x2 3x3 1........................(2' ) 3x 9 x 4 x 0.....................(3) 2 3 1 Умножим уравнение (1) на подходящее число (–3) и добавим к уравнению (3), так чтобы в уравнении (3) на месте коэффициента 3 (коэффициента при x1) получить 0. Получим: x1 5 x2 3x3 0........................(1) .... 3x2 3x3 1........................(2' ) ... 6 x 5 x 0........................(3' ) 2 3 Умножим уравнение (2’) на (–1), получим: x1 5 x2 3x3 0.........................(1) .......3x2 3x3 1......................(2" ) ... 6 x 5 x 0.........................(3' ) 2 3 Умножим уравнение (2”) на подходящее число (2) и добавим к уравнению (3'), так чтобы в уравнении (3') на месте коэффициента –6 (коэффициента при x2) получить 0. Получим: x1 5 x2 3x3 0.........................(1) .......3x2 3x3 1......................(2" ) ..................x 2......................(3" ) 3 Итак, мы привели исходную систему (a) к диагональному виду. 30 2) Решаем полученную систему «снизу вверх» : 1 1 5 5 x3 = –2 ; x2 = *(–1 – 3 x3) = *(–1 – 3*(–2) ) = ; x1 = – 5 x2 – 3 x3 = – 5 * – 3*(–2) = – 3 3 3 3 7 . 3 7 5 Итак, решение системы (a): x1 = – ; x2 = ; x3 = –2 . 3 3 Аналогично, решая системы (b) и (c) получим: 1 1 y1 = 2 ; y2 = –1 ; y3 = 1 ; z1 = – ; z2 = – ; z3 = 1 . 3 3 Следовательно, A–1 Проверка: x1 = x2 x 3 y1 y2 y3 z1 7 3 2 13 7 6 1 1 1 1 = * 5 3 1 z2 = 5 3 3 3 1 1 z 3 2 3 6 3 A A–1 * 2 7 3 3 9 4 1 5 3 7 3 2 1 Следовательно, матрица 5 3 1 2 = E 7 1 2 1 0 0 3 3 1 1 = 0 1 0 * 5 3 3 0 0 1 1 1 2 1 3 1 действительно является обратной к матрице 3 1 A. Решение линейной системы уравнений n xi аij x j yi , i=1,2,…,n j 1 1) Покажем, что линейная система n xi аij x j yi , i=1,2,…,n , или, подробнее, сиj 1 стема x1 a11 x1 a12 x 2 ... a1 j x j ... a1n x n y1 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 j x j ... a 2 n x n y 2 .......................................................................... xi ai1 x1 ai 2 x 2 ... aij x j ... ain x n y i .......................................................................... x n a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nj x j ... a nn x n y n (1) 31 может быть записана в виде: x = Ax + y , x1 x2 ... где: x = , y = xi ... x n y1 y2 ... , A= yi ... y n a11 a 21 ... ai1 ... a n1 a12 a 22 ... ai 2 ... an2 ... a1 j ... a 2 j ... ... ... aij ... ... ... a nj a1n a2n ... . ain ... a nn ... ... ... ... ... ... В самом деле, произведение Ax – это вектор-столбец14 : A a11 a 21 ... Ax = ai1 ... a n1 Тогда a12 a 22 ... ai 2 ... an2 ... a1 j ... a 2 j ... ... ... aij ... ... ... a nj * ... ... ... ... ... ... x a1n x1 a11 x1 a12 x 2 ... a1 j x j ... a1n x n a 2 n x 2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 j x j ... a 2 n x n ... ... .......................................................... * = ain x j ai1 x1 ai 2 x 2 ... aij x j ... ain x n ... ... .......................................................... a nn x n a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nj x j ... a nn x n Ax + a11 x1 a12 x 2 ... a1 j x j ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 j x j ... a 2 n x n ......................................................... + Ax + y = a i1 x1 a i 2 x 2 ... a ij x j ... a in x n ......................................................... a x a x ... a x ... a x n2 2 nj j nn n n1 1 a11 x1 a12 x 2 ... a1 j x j ... a1n x n y1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 j x j ... a 2 n x n y 2 ................................................................ . ai1 x1 ai 2 x 2 ... aij x j ... ain x n y i ................................................................ a x a x ... a x ... a x y n2 2 nj j nn n n n1 1 y y1 y2 ... = yi ... y n Векторное равенство x = b (по определению равенства матриц) равносильно системе уравнений: 14 См. «Умножение матриц» в разделе «Действия с матрицами». 32 x1 b1 x b 2 2 .......... xi bi .......... x n bn У нас b = Ax + y . Следовательно, векторное равенство x = Ax + y равносильно системе уравнений (1) : x1 a11 x1 a12 x 2 ... a1 j x j ... a1n x n y1 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 j x j ... a 2 n x n y 2 .......................................................................... xi ai1 x1 ai 2 x 2 ... aij x j ... ain x n y i .......................................................................... x n a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nj x j ... a nn x n y n Что и требовалось показать. Уравнение x = Ax + y решается так15 : x – Ax = y Ex – Ax = y (E–A)x = y 2) (*) В экономико-математической литературе показано, что свойства реально возможных матриц прямых затрат A таковы, что матрица (E–A) имеет обратную; т.е. матрица полных затрат B = (E–A)–1 всегда существует. Умножим уравнение (*) слева на матрицу B = (E–A)–1 , получим: (E–A)–1 * (E–A) *x = (E–A)–1 * y , \____________/ =E То есть получаем: Или: Далее. 15 т.е. Ex = (E–A)–1 * y , и, окончательно, x = By , x = (E–A)–1 * y . где B = (E–A)–1 . x = x1 b11 b12 x 2 b21 b22 ... ... ... = xi bi1 bi 2 ... ... ... x b n n1 bn 2 B ... b1 j ... b2 j ... ... ... bij ... ... ... bnj y b1n y1 b2 n y 2 ... ... * bin y j ... ... bnn y n * ... ... ... ... ... ... См. свойства действий с матрицами в разделе «Действия с матрицами». 33 n откуда, (см. умножение матриц) получаем: xi bi1 y1 bi 2 y 2 ... bij y j ... bin y n bij y j j 1 Итак, если матрица B = (E –A)–1 существует, то решением системы уравнений n xi аij x j yi , i=1,2,…,n , является вектор x = (E –A)–1 * y , или, что то же, велиj 1 n чины xi bij y j i=1,2,…,n , где bij - элемент матрицы B = (E –A)–1 j 1
