ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ
(МТУСИ)
Кафедра теории электрических цепей
Курсовая работа
Расчёт разветвлённых цепей синусоидального тока
Часть 2
Выполнил студент группы БИН1301 ОТФ-2
_______________ В.А. Куленко
Проверил доц. кафедры ТЭЦ
_______________ В.В. Фриск
Москва 2014
Реферат
Объём отчёта: 22 страниц
Количество иллюстраций: 26
Количество использованных источников: 9
Перечень ключевых слов: комплексные токи, комплексные сопротивления,
импеданс, комплексный закон Кирхгофа, комплексный закон Ома, кривая тока по
времени, векторная диаграмма токов.
Цель работы – расчёт комплексных токов во всех ветвях цепи, а также расчёт её
баланса мощностей, построение векторной диаграммы искомых токов и построение
диаграммы изменения одного из токов во времени.
Объектом
исследования
данной
работы
являлась
электрическая
схема,
представленная на рис. 1:
Рис. 1
При
выполнении
данной
курсовой
работы
использовался
метод
анализа
электрических цепей с использованием программного обеспечения: Mathcad 14,
Schemagee demo.
Методология проведения работы:
1) Расчёт комплексных токов в ветвях цепи методом уравнений Кирхгофа,
построение векторных диаграмм найденных токов;
2) Расчёт комплексных токов в ветвях цепи методом контурных токов;
3) Расчёт комплексных токов в ветвях цепи методом узловых потенциалов;
4) Расчёт комплексных токов в ветвях цепи методом двух узлов;
2
5) Расчёт комплексных токов в ветвях цепи методом наложения;
6) Расчёт комплексного тока в сопротивлении R1 методом эквивалентного
генератора ЭДС, построение кривой изменения найденного тока во времени;
7) Расчёт комплексного тока в сопротивлении R2 методом эквивалентного
генератора тока;
8) Расчёт баланса комплексных мощностей исходной схемы и его проверка с
помощью ЭВМ.
Исходные данные:
f = 50 Гц
E1 = 100 В; E2 = 50e10j∙10˚ В
R1 = 11 Ом; R2 = 12 Ом; R3 = 15 Ом
L3 = 20 мГн
C1 = 210 мкФ; C2 = 220 мкФ
ω = 2·π·f; ω = 314,1593
рад
с
Преобразованная схема показана на рис. 2
рис. 2
𝑍1 = R1 −
Z2 = R 2 −
j
ω∙C1
j
ω∙C2
= 11 - 15,1576j Ом
= 12 - 14,4686j Ом
𝑍3 = R 3 + j ∙ ω ∙ L3 = 15 + 6,2832j Ом
3
Содержание:
Обозначения и сокращения .............................................................................................. 5
Введение.............................................................................................................................. 6
1 Расчет электрических цепей в режиме гармонических колебаний символическим
методом………………………..…………………………………………………………...8
1.1 Метод уравнений Кирхгофа для комплексных величин...........................................8
1.2 Метод контурных токов для комплексных величин............................................... 10
1.3 Метод узловых потенциалов для комплексных величин........................................11
1.4 Метод двух узлов для комплексных величин...........................................................12
1.5 Метод наложения для комплексных величин.......................................................... 13
1.6 Метод эквивалентного генератора ЭДС для комплексных величин..................... 15
1.7 Метод эквивалентного генератора тока для комплексных величин…................. 17
1.8 Расчёт баланса мощностей для комплексных величин...........................................19
Заключение.……………… ………………………………………..…………………….21
Список использованных источников …………………………….………………..…...22
4
Обозначения и сокращения
R
- сопротивление, Ом;
E
- ЭДС, В;
С - ёмкость, Ф;
L
- индуктивность, Гн;
I
- ток, А;
f
- частота, Гц;
 - угловая частота, рад/с;
 - начальная фаза, рад;
I - комплексный ток, А;

I - комплексно-сопряжённый ток, А;
J - комплексный ток, А;
U - комплексное напряжение, В;
V - комплексный потенциал, В;
E - комплексная ЭДС, В;
Z - импеданс, Ом;
G - комплексная проводимость, См;
S п - комплексная мощность приемника, Вт;
S и - комплексная мощность источника, Вт;
y - количество уравнений по первому закону Кирхгофа;
K - количество уравнений по второму закону Кирхгофа;
N - количество уравнений в системе уравнений;
NУ - количество узлов;
N В - количество ветвей;
N Т - количество источников тока;
N И - количество ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС.
5
Введение
Конденсатор (рис. 3) — это электрический накопитель заряда, электронный
пассивный компонент, применяющиеся во всех электронных, радиотехнических
конструкциях.
Различные
типы
конденсаторов
отличаются
между
собой
конструктивным диэлектриком, что сказывается на области их применения, и
схематическим предписанием в те или иные конструктивные приложения. При
выборе и покупке компонента необходимо учитывать его основные характеристики,
такие как, емкость, рабочее напряжение и тип конденсатора, а так же,
конструктивное
исполнение,
выводной
или
чип-конденсатор,
элемент
поверхностного монтажа.
рис. 3
Катушка индуктивности (рис. 4) – электронный компонент, представляющий собой
винтовую
либо
спиральную
конструкцию,
выполненную
с
применением
изолированного проводника. Основным свойством катушки индуктивности, как
понятно из названия, является индуктивность. Индуктивность – это свойство
преобразовать энергию электрического тока в энергию магнитного поля.
рис. 4
6
К15-5 Н20 1500пФ х 6.3кВ, Конденсатор керамический высоковольтный (рис. 5)
Технические параметры:
Тип
Рабочее напряжение, В
Материал
Номинальная емкость
Единица измерения
Допуск номинала, %
Температурный коэффициент емкости
Рабочая температура, С
Выводы/корпус
к15-5
6300
керамические
1500
пф
20
н20
-40…85
радиал.пров.
Цена в интернет-магазине: 1 шт. – 26 руб.
рис. 5
SDR0403-470KL, 47 мкГн, катушка индуктивности (рис. 6)
Технические параметры:
Серия
Номинальная индуктивность, мкГ
Допуск номинальной индуктивности, %
Рабочая температура, С
Способ монтажа
Диаметр (ширина)корпуса, мм
Особенности
sdr0403
47
10
-40…105
smd
4.5
для силовых линий
Цена в интернет-магазине: 1 шт. – 25 руб.
рис. 6
7
1 Расчет электрических цепей в режиме гармонических колебаний символическим
методом
1.1 Метод уравнений Кирхгофа
Для использования данного метода необходимо произвольно задать направление
токов во всех ветвях цепи, что продемонстрировано на рис. 7:
Рис. 7
Рассчитываем необходимое количество уравнений по первому и второму законам
Кирхгофа:
y  N y 1  2 1  1
K  N B  NУ  1  N T  3  2  1  0  2
𝑁𝑦 - количество узлов, 𝑁𝐵 - количество ветвей, 𝑁𝑇 - количество источников тока;
и K - количество уравнений.
Уравнение по 1-ому Закону Кирхгофа:
I1 − I2 + I3 = 0
Для записи уравнений по 2-ому закону Кирхгофа произвольно выбирается первый
контур и в нём произвольно задаётся положительное направление обхода контура.
Затем
из
цепи
мысленно
удаляется
какая-либо
ветвь
(для
обеспечения
независимости уравнений во 2-ом законе Кирхгофа друг от друга) и снова задаётся
положительное направление обхода контура для оставшегося участка.
Для каждого контура записываются уравнения по 2-ому закону Кирхгофа:
Z1 ∙ I1 − Z2 ∙ I3 = E1 (I)
Z2 ∙ I3 + Z3 ∙ I2 = −E2
(II)
8
В итоге составляем систему уравнений и решаем ее:
I1 − I2 + I3 = 0
{Z1 ∙ I1 − Z2 ∙ I3 = E1
Z2 ∙ I3 + Z3 ∙ I2 = −E2
1
(Z1
0
I1
−1
1
0
0 − Z2 ) ∙ (I2 ) = ( E1 )
Z3
Z2
−E2
I3
−1
I1
1
−1
1
0
I
11
−
15,1576j
0
−12
+
14,4686j
( 2) = (
) ∙(
);
100
10𝑗∙10˚
0
15 + 6,2832j 12 − 14,4686j
−50𝑒
I3
I1 = 3,1463 + 1,0848j А
I2 = 2,9482 − 2,1338j А
I3 = −0,1981 − 3,2187j А
На рис. 8 представлена векторная диаграмма полученных токов, построенная с
помощью системы MathCad:
рис. 8
9
1.2 Метод контурных токов
Для использования метода контурных токов необходимо произвольно задать
положительные направления токов во всех ветвях цепи, а также положительные
направления контурных токов, что продемонстрировано на рис. 9:
Рис. 9
Рассчитываем необходимое количество уравнений по 2-му закону Кирхгофа:
k = NB − N𝑦 + 1 − NT = 3 − 2 + 1 − 0 = 2
Для каждого контура запишем уравнение относительно контурных токов:
(Z1 + Z2 ) ∙ I11 − Z2 ∙ I22 = E1
−Z2 ∙ I11 + (Z2 + Z3 ) ∙ I22 = −E2
Составим систему и решим ее:
(Z1 + Z2 ) ∙ I11 − Z2 ∙ I22 = E1
{
−Z2 ∙ I11 + (Z2 + Z3 ) ∙ I22 = −E2
I11
Z1 + Z2
( )=(
I22
−Z2
−Z2 −1
E1
) ∙(
)
Z2 + Z3
−E2
I1 = I11 = 3,1463 + 1,0848j A
I2 = I22 = 2,9482 − 2,1338j A
I3 = I22 − I11 = −0,1981 − 3,2187j A
10
1.3 Метод узловых потенциалов
Для использования данного метода необходимо принять равным нулю потенциал
одного из узлов цепи, что продемонстрировано на рис. 10:
Рис. 10
Число уравнений
y = Ny − 𝑁и − 1 = 2 − 0 − 1 = 1
Пусть потенциал узла V2 будет равен нулю (V2 =0). Решим систему уравнений
относительно потенциала узла V1.
Тогда: Y11 ∙ V1 = ∑ E ∙ Y
(
(
1
Z1
+
1
Z2
+
1
11 − 15,1576j
1
Z3
+
) v1 =
E1
Z1
+
1
12 − 14,4686j
E2
+
Z3
1
15 + 6,2832j
) v1 =
Откуда:
V1 = 48,9471 + 35,7571j B
Токи в ветвях по обобщенному закону Ома:
I1 =
I2 =
−v1 + E1
Z1
v1 − E2
= 3,1463 + 1,0848j A
= 2,9482 − 2,1338j A
Z3
−v1
I3 =
= −0,1981 − 3,2187j A
Z2
11
100
11 − 15,1576j
+
50e10j∙10˚
12 − 14,4686j
1.4 Метод двух узлов
Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов и
наиболее рационален для расчёта схем с двумя узлами. Схема с учётом данного
метода представлена на рис. 11:
Рис. 11
Методом двух узлов определяется напряжение между этими узлами, а затем по
величине этого напряжения определяются токи ветвей. Формула, по которой мы
будем искать напряжение между двумя узлами:
U12 =
∑ Ek ∙ Gk + ∑ Jk
∑ Gk
Подставляя все значения в формулу получаем:
E1 E2
+
Z1 Z3
U12 =
= 48,9471 + 35,7571j B
1
1
1
+ +
Z1 Z2 Z3
Токи ветвей вычисляются по следующей формуле:
Ik = (Ek − U12) ∙ Gk =
(Ek − U12)
Zk
12
Подставим значения в формулу для расчета тока:
I1 =
I2 =
E1 − U12
Z1
U12 − E2
= 3,1463 + 1,0848j A
= 2,9482 − 2,1338j A
Z3
−U12
I3 =
= −0,1981 − 3,2187j A
Z2
1.5 Метод наложения
Произвольно выбираем направление всех токов в ветвях и пронумеруем все
независимые источники целыми числами. Схема представлена на рисунке 12:
Рис. 12
Положить равным нулю все источники ЭДС и тока кроме первого, затем берем
кроме второго. При этом независимые источники, ЭДС которых равна нулю,
заменяем короткозамкнутыми отрезками.
1)
Токи создаваемые источником ЭДС E1
Рис. 13
13
I1′ =
I2′
=
E1
= 2,8349 + 2,2495j A
Z2 ∙ Z3
Z1 +
Z2 + Z3
I1′
Z2
Z2 + Z 3
= 2,4021 + 0,2089j A
I3′ = I1′ − I2′ = 0,4328 + 2,0406j A
2)
Токи создаваемые источником ЭДС E2
Рис. 14
E2
= −0,5461 + 2,3427j A
Z1 ∙ Z2
Z3 +
Z1 + Z2
Z2
I1′′ = I2′′
= −0,3114 + 1,1647j A
Z1 + Z2
I2′′ =
I3′′ = I2′′ − I1′′ = −0,2347 + 1,1780j A
3)
Токи в ветвях схемы:
Подставляем все значения:
I1 = I1′ − I1′′ = 3,1463 + 1,0848j A
I2 = I2′ − I2′′ = 2,9482 − 2,1338j A
I3 = −I3′ − I3′′ = −0,1981 − 3,2187j A
14
1.6 Метод эквивалентного генератора ЭДС
Произвольно выбираем положительное направление искомого тока I в ветви на
исходной схеме. Исходная схема представлена на рисунке 15:
Рис. 15
1)
Схема для расчета Еэк
Рис. 16
Для этого найдем ток I по закону Ома для замкнутого контура:
I=
E2
Z2 +Z3
= −0,8009 + 1,5809j A
Eэк = Uxx = I ∙ Z2 = 13,2636 + 30,5584j B
2)
Схема для расчета Zэк
Рис. 17
15
Zэк =
3)
Z2 ∙ Z 3
Z2 + Z 3
= 10,6455 − 2,0183j Ом
Схема эквивалентного генератора ЭДС
И последний этап в этом методе, составляем схему, изображающую одноконтурную
цепь с ветвью, исключенной при составлении схемы . Направление Eэк принимаем
противоположным направлению Uxx
Рис. 18
I1 =
E1 − Eэк
Zэк + Z1
= 3,1463 + 1,0848j A
Построим кривую изменения найденного тока во времени. Для этого произведем
некоторые вычисления:
|I1 | = √Re2 (I1 ) + Im2 (I1 ) = 3,3281 A
φ = −arctg
Im (I1 )
Re (I1 )
= −0,3591
ω = 50 ∙ 2π
i(t) = 3,3281 ∙ √2 sin( 50 ∙ 2πt + 0,3591)
16
рис.19
1.7 Метод эквивалентного генератора тока
Произвольно выбираем положительное направление искомого тока I в ветви.
Исходная схема представлена на рисунке 20:
Рис. 20
Заменим ветвь, по которому протекает искомый ток короткозамкнутым отрезком.
Направление тока короткого замыкания Ik выбираем совпадающим с направлением
тока I. Искомая схема представлена на рисунке 21:
17
Рис. 21
По методу наложения:
Ik = −
E1
Z1
−
E2
Z3
= −3,8135 − 7,3204j A
Cоставим схему 3 для вычисления Zэк. Для этого источники ЭДС заменяем
короткозамкнутыми отрезками. Исходная схема представлена на рисунке 22:
Рис. 22
Zэк =
Z1 ∙ Z3
Z1 + Z3
= 10,8254 − 2,3915j Ом
Составим схему эквивалентного генератора тока:
Рис. 23
18
I3 =
Zэк ∙ Ik
Zэк + Z2
= −0,1981 − 3,2187j A
Полученное значение тока справедливо для схемы.
1.8 Баланс мощностей
Исходная электрическая цепь представлена на рисунке 24:
Рис. 24
Мощность источников:
Sи = I1 ∙ E1 − I2 ∙ E2 = 235,1571 − 55,2109j Вт.
Мощность приёмников:
2
2
2
Sп = |I1 | ∙ Z1 + |I2 | ∙ Z3 + |I3 | ∙ Z2 = 235,1571 − 55,2109j Вт.
Относительная погрешность баланса мощностей по действительной части:
|
Re(Sи − Sп )
Re(Sп )
| ∙ 100% = 2 ∙ 10−16 %
Таким образом, баланс сошёлся с точностью 2 ∙ 10−16 %.
Относительная погрешность баланса мощностей по мнимой части:
|
Im(Sи − Sп )
Im(Sп )
| ∙ 100% = 2 ∙ 10−16 %
Таким образом, баланс сошёлся с точностью 2 ∙ 10−16 %.
19
Диаграммы мощностей действительной и мнимой части представлены
соответственно на рисунках 25 и 26:
Диаграмма мощностей для
действительной части
16%
S1
12%
S2
22%
50%
S3
Sобщ
рис. 25
Диаграмма мощностей для мнимой
части
S1
21%
21%
50%
8%
S2
S3
Sобщ
рис. 26
20
Заключение
В проделанной работе целью являлось применение различных методов расчета
цепи. А именно: метод уравнения Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых
потенциалов, метод двух узлов, метод наложения, метод эквивалентного генератора
тока и вычет баланса мощностей. В процессе выполнения работы, были рассчитаны
комплексные токи в электрических цепях, и в каждом методе значения этих токов
совпали. Были построены векторная диаграмма найденных токов и диаграмма
изменения одного из токов во времени. Расчёт токов рассмотренными методами
оказался во многом идентичен с расчётом токов при работе с действительными
числами. Баланс мощностей действительных и мнимых частей сошелся с точностью
0.00001%.
21
Список использованных источников
1 Фриск В.В. Основы теории цепей. Учебное пособие. –М.: ИП РадиоСофт, 2002 –
288с.
2 Фриск В.В. Основы теории цепей. Сборник задач с примерами применения
персонального компьютера. –М.:СОЛОН-Пресс, 2003. – 192 с.
3 Фриск В. В. Основы теории цепей. Расчеты и моделирование с помощью пакета
компьютерной математики Mathcad. – М.:СОЛОН – Пресс, 2006. – 88 с.: ил. –
(Серия «Библиотека студента»)
4 Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей.
– М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.
5 Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. –М.: Радио и
связь, 2003 – 592с.
6 http://frisk.newmail.ru
7 http://fmccgroup.ru/
8 http://www.zip-2002.ru/?z=268/
9 ГОСТ 7.32-2001. Отчет о научно-исследовательской работе.
22