Течения газа, обусловленные малыми возмущениями равновесия

Реклама
А.А. Горбунов
Течения газа, обусловленные малыми возмущениями равновесия.В классическом
руководстве по динамике вязкого газа [n1] используется система дифференциальных
уравнений Навье-Стокса, для замыкания которой применяется уравнение Клайперона
[n2], являющееся уравнением состояния идеального или совершенного газа. В последнее
время возрос интерес к изучению динамики реальных газов особенно в околокритическом
состоянии [n3], где в качестве уравнения состояния выбрано уравнение Ван-дер-Ваальса,
которое, как отмечено в [n2], недостаточно строго описывает связь между
термодинамическими параметрами. Более точно такую связь определяют уравнения
состояния, основанные на использовании вириальных коэффициентов [n4]. Выбор
конкретного уравнения состояния влияет на вид уравнения баланса энергии, что в той или
иной степени затрудняет аналитические исследования. Задание уравнения состояния,
например, в виде неявной функции [n10], позволяет в достаточно общей форме изучать
такие явления как скорость звука в газах, адиабатические градиенты термодинамических
параметров, которые играют значительную роль в условиях возникновения в газах
конвекции Рэлея-Бенара [n5], а также позволяет построить аналитические решения
линеаризованных уравнений, описывающих малые возмущения механического
равновесия.
Уравнение состояния.
Будем рассматривать движение газа, уравнение состояния которого определено
соотношением
f  p, ρ,T   0 ,
где p - давление, ρ - плотность, T - температура. Здесь и далее наклонным шрифтом
изображаются размерные величины, а прямым шрифтом – безразмерные. Пусть, по
крайней мере, при неотрицательных значениях термодинамических параметров функция
f определена и непрерывна, а ее частные производные по термодинамическим
параметрам существуют и непрерывны. При этих предположениях уравнение состояния
локально разрешимо относительно выбранного аргумента ξ : p, ρ, T , всюду, кроме
совокупностей p ,  , T термодинамических параметров, определяемых равенствами
f ξ  p , ρ ,T   0, ξ : p, ρ, T ,
где символу ξ предписываются значения p, ρ, T . Так, при f p  0 , можно говорить, что
уравнение состояния задает давление как неявную функцию плотности и температуры.
Указанные выше совокупности p ,  , T значений давления, плотности и температуры
соответственно будем называть множеством критических точек уравнения состояния.
Так в случае совершенного газа f  p - RρT , где R - газовая постоянная, имеем
f p  1, f ρ   RT , fT   Rρ .
Здесь множество критических точек определяется соотношениями
f ρ  0 : p  0, ρ  0, T  0 ,
fT  0 : p  0, ρ  0, T  0 .
Для газа Ван-дер-Ваальса f  p -
RρT
 aρ2 , a, b - константы газа Ван-дер-Ваальса,
1 - bρ
имеем
 RT

Rρ

f p  1, f   
 2aρ , fT  
.
 1 - bρ 2

1
bρ




В этом случае множество критических точек имеет вид
f ρ  0 : p  aρ2 1  2bρ , ρ  0, T 
2a
ρ 1  bρ 2 ; p  0, ρ  0, T  0 ,
R
fT  0 : p  0, ρ  0, T  0 .
Видно, что при ρ  0 , критические линии, связывающие давление и температуру с
плотностью, имеют максимумы соответственно p  pc , и T  Tc , при ρ  ρc 
1
.
3b
Критическую точку pc , ρc ,Tc будем называть термодинамической критической точкой.
2
Отметим, что согласно [n2] соотношение p  aρ 1  2bρ  , интерпретируется как
линия разделения фаз.
В дальнейшем для определенности будем считать, что выполняются условия
f p  0, fT  0, f   0 ,
которые будем называть условиями надкритичности, а соответствующую область
изменения термодинамических параметров – областью надкритичности.
Существенным будем считать подмножество критических точек, порождаемых
равенством
f   p , ρ ,T   0 .
Система уравнений динамики газа.
Построим уравнение баланса энергии, соответствующее выбранному уравнению
состояния. Из первого начала термодинамики следует, что
dE
dQ p dρ
.
ρ

dt
dt
ρ dt
Здесь E и Q обозначают соответственно внутреннюю энергию газа и подводимую
d 
теплоту, а t - время;
  V ,   ,  - оператор Гамильтона [n6]. Полагая известной
dt t
зависимость E  E  ρ,T  , согласно [n2] имеем
E 1 
p 
E
  p T
 cv , ρ
,
ρ ρ 
T 
T
где c v - теплоемкость при постоянном объеме; далее предполагается, что c v = const. Из
ρ
принципа Фурье (см., например, [n1]) при постоянном коэффициенте теплопроводности
λ вытекает, что
ρ
dQ
 λ 2T .
dt
Так как при сделанных предположениях о разрешимости уравнения состояния
p

T
fT
, то, учитывая изложенное выше, уравнение баланса энергии будет иметь вид
f p
ρ 2cv f p
dT
dρ
 TfT
 λρf p  2T .
dt
dt
Уравнения движения Навье-Стокса и уравнение неразрывности будем рассматривать
соответственно в виде
ρ
dV
1


 p  ρgez  μ  2V   ,V  ,
dt
3


dρ
 ρ ,V   0 .
dt
Здесь e x , e y , e z - координатные орты, определяющие соответственно направления осей


x, y, z , V  Vx ,Vy ,Vz - скорость, g - постоянное ускорение силы тяжести, μ = const –
динамический коэффициент вязкости.
Таким образом, приведенные дифференциальные уравнения в частных производных и
выбранное уравнение состояния определяют замкнутую систему уравнений динамики газа
с постоянными физическими свойствами в постоянном гравитационном поле.
Изэнтропическое движение.
В предельном случае при λ  0 , а, следовательно, и μ  0 [n7], получим систему
уравнений изэнтропической динамики газа, включающую кроме уравнения состояния и
уравнения неразрывности соответственно уравнение изэнтропического баланса энергии и
уравнения движения Эйлера
ρ 2cv f p
ρ
dT
dρ
 TfT
0,
dt
dt
dV
 p  ρge z  0 .
dt
С учетом соотношения
f p dp  f  d  fT dT  0 ,
являющегося результатом дифференцирования уравнения состояния, и уравнения
изэнтропического баланса энергии запишем уравнение адиабаты в виде
2
2
dp T  fT  - ρ cv f p f ρ

, T  T  p, ρ .
2
2
dρ

ρ cv f p
В силу условий надкритичности правая часть приведенного выше обыкновенного
дифференциального уравнения строго положительна, что дает возможность ввести
обозначение
T  fT 2 - ρ 2cv f p f ρ
v
ρ 2cv f p 2
и записать уравнение адиабаты в виде
 
 
dp
 v2 .
dρ
Изэнтропическое равновесие. Адиабатические градиенты.
Полагая в системе уравнений изэнтропической динамики газа V  0 , получим систему
уравнений изэнтропического равновесия газа
p  ρge z  0 ,
интегрирование которой на адиабате позволяет получить распределения давления p a  z 
и плотности ρa  z  , а, следовательно, и распределение температуры Ta  z  ,
удовлетворяющие начальным условиям pa  z0   p0 , ρa  z0   ρ0 , Ta  z0   T0 , и
реализующие равновесие газа. Эти распределения будем называть адиабатическими, а их
градиенты адиабатическими градиентами. Следовательно, адиабатические градиенты
давления, плотности и температуры соответственно имеют вид
pa   ρge z ,
ρ g
ρa   a e z ,
v2
fT Ta g
Ta 
ez .
f p ρa cv v 2
Так, например, для совершенного газа имеем
f p  1, f ρ   RTa , fT   Rρa , v 2 
R  cv
g
RTa , Ta  
ez
cv
R  cv
Адиабаты совершенного газа и газа Ван-дер-Ваальса и соответствующие адиабатические
градиенты температуры достаточно подробно рассмотрены в [n5].
Скорость распространения малых возмущений в неограниченной среде.
Пусть теперь в системе уравнений изэнтропической динамики газа g  0 , и учитывается
лишь направление, определяемое осью z , то есть рассмотрим одномерную систему
дифференциальных уравнений, определяющую изэнтропическое движение газа в
невесомости
dVz p

0,
dt
z
V
dp
 ρv 2 z  0 .
dt
z
ρ
В этом случае изэнтропическое равновесие газа определяется следующими
адиабатическими распределениями давления, плотности и температуры
pa  z   p0 , ρa  z   0 , Ta  z   T0 .
Линеаризация приведенной выше системы уравнений при малых возмущениях скорости и
термодинамических параметров в изэнтропическом равновесии, обозначенных
соответственно через V z t, z , pt, z , t, z , T t, z  , приводит к волновой системе
уравнений
Vz p

0,
t
z
Vz
p
 ρ0 v02
 0,
t
z
где v0 - значение функции v в точках p0 ,  0 , T0 . Дифференцируя первое уравнение
ρ0
этой системы по времени, а второе - по координате, и исключая смешанную производную
от возмущения давления, получим дисперсионное уравнение [n8],
2
 2Vz
2  Vz
 v0
0.
2
2
t
z
Сделав замену переменных ξ   z  v0t, ξ   z - v0t , преобразуем дисперсионное
 2 δVz
уравнение к виду
 0 . Решение этого уравнения определяется соотношением
ξ  ξ 
δV z    ξ      ξ   ,
где   ,   - произвольные функции, интерпретируемые как волны, распространяющиеся
по оси z со скоростью v0 , называемой адиабатической скоростью звука [n1]. Из
уравнения адиабаты следует, что при изэнтропическом движении коэффициент
пропорциональности между дифференциалами давления и плотности равен квадрату
скорости распространения малых возмущений или квадрату скорости звука. Таким
образом, скорость звука определяется формулой
T0  fT 2 - ρ02cv f p f ρ
,
v0 
ρ02cv f p 2
 
где частные производные от функции f , задающей уравнение состояния, определяются в
точках p0 ,  0 , T0 . В частности, в критических точках p0  p ,  0   , T0  T
скорость звука задается соотношением
T  fT 2
,
v 
2
2
ρ cv f p
 
которое следует понимать как предел v0 при переходе из области надкритичности.
Так, для совершенного газа
v0 
R  cv
R  cv
RT0   0 RT0 ,  0 
.
cv
cv
В случае газа Ван-дер-Ваальса имеем
1
 0 RT0  2aρ0 1  bρ0 2 ,
1  bρ0
1
 0  1RT  2 0  1aρ 
v 
1  bρ
3 ρc
 0  1RT ,

3 ρc  ρ
1
так как b 
[n2],
3 ρc
3
 0  1RTc  2 0  1aρc .
vc 
2
v0 
Чтобы сопоставить скорость звука в термодинамической критической точке газа Ван-дерВаальса со скоростью звука в совершенном газе при температуре T0  Tc рассмотрим
отношение этих скоростей, полагая, что теплоемкости c v обоих газов одинаковы,
v
3 0  1
κ  0   c 
.
v0 2
0
Для одноатомных газов, например, гелия ( He ),  0 
5
,и
3
3
5 3 2
κ He  κ   

 0.95 .
10
3 2 5
Для трехатомных газов, например, углекислого газа ( CO 2 ),  0 
4 3 1 3
κ CO 2  κ   
  0.75 .
3 2 4 4
4
,и
3
Для многоатомных газов, например, шестифтористой серы ( SF6 ),  0  1.06 , и
κSF6  κ 1.06  
3 0.06
 0.15  6  0.37 .
2 1.06
Видно, что скорость звука в термодинамической критической точке газа Ван-дер-Ваальса
весьма значительна и для «молекулярнолегких» газов мало отличается от скорости звука в
совершенном газе.
Распространение малых возмущений в ограниченной замкнутой области.
Предположим теперь, что при одномерном изэнтропическом движении в невесомости газ
заключен в ограниченной замкнутой области
0  z  Lz .
Выбрав для определенности в качестве масштаба скорости скорость звука v0 , а в качестве
~
масштабов длины и времени соответственно величины L и t , рассмотрим на отрезке
0  z  L z , безразмерное дисперсионное уравнение
2
2
2  δVz  δVz
Sh

 0,
2
2
t
где Sh 
z
L
- число Струхала [n1]. Границы области будем считать непроницаемыми,
v0 ~
t
то есть будем предполагать, что
δVz t,0  δVz t,L z   0 .
В этом случае при малых возмущениях изэнтропического равновесия нетривиальные
решения дисперсионного уравнения будем искать, разделяя переменные во времени и
пространстве, в виде
δVz  w t w z; w t  w t t , w z  w z z  .
Подстановка выбранного вида возмущений скорости в безразмерное дисперсионное
уравнение приводит к основному соотношению

w  w  
w t w z  Sh 2 t  z   0 .
wt wz 

Здесь штрихами обозначено дифференцирование функций по соответствующим
переменным. Полагая известным отношение
w z
 λz ,
wz
где λ z - действительное число, для функции w t получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
w t 
λz
Sh
2
wt  0.
Далее имеем
w z  C1z ch z λ z  C2z sh z λ z ,
z  z 
где C1 , C 2 - произвольные постоянные. Из граничных условий и предположения о
z 
z 
нетривиальности искомых решений вытекает, что C1  0, C2  0 , и, следовательно,








0  sh Lz λ z  i sin iL z λ z ,
откуда
2
 πn 
λ z   z  , n z  1,2,... .
 Lz 
и
 n 
w z  C nz  sin  z z  ,
z
 Lz 
где C
z  - произвольные постоянные.
nz
Таким образом,
n z  cos t n z   Cn z  sin  t n z  .




2
w t  C1
 ShL z 
 ShL z 
Наконец
 n   n z 
 n z    n z 
  C2n z  sin  t
  sin  z
 .
Vzn z    C1 z cos t
ShL
ShL
L


z
z  
z 

Возвращаясь к размерным переменным, будем иметь

V zn z   v0 w t  ShL z


v0   z
t  sin  n z  .
Lz   Lz

Далее из волновой системы получим
 z

p n z   ρ0 v02 w t cos n z  .
 Lz

Из уравнения адиабаты следует, что
 z

ρ n z   ρ0 w t cos n z  .
 Lz

Уравнение состояния приводит к соотношению


 z

ρ
T n z    0 v02 f p  f  w t cos n z  .
fT
 Lz

Видно, что возмущения температуры соответствуют условиям теплоизоляции.
Полагая, что в начальный момент времени t  0 , возмущения термодинамических
параметров отсутствуют, придем к системе собственных функций
v t
  z

V zn z   v0 C n z cos 0 n z  sin  n z  ,
 Lz
  Lz

v t
  z

p n z   ρ0 v02 C n z sin  0 n z  cos n z  ,
 Lz
  Lz

v t
  z

ρ n z   ρ0 C n z sin  0 n z  cos n z  ,
 Lz
  Lz

v t
  z

ρ
T n z    0 v02 f p  f  C n z sin  0 n z  cos n z  ,
fT
 Lz
  Lz



где C n – произвольные постоянные. Видно, что согласно [n9], скорость
z
распространения возмущений равна v0 , то есть равна скорости звука.
Такая система собственных функций позволяет аналитически исследовать эволюции
скорости и термодинамических параметров при произвольных начальных распределениях
скорости.
Безразмерные уравнения.
Возвратимся к системе уравнений динамики газа с постоянными физическими свойствами
в постоянном гравитационном поле. Будем считать, что газ заключен в прямоугольном
параллелепипеде со сторонами L x , L y , L z с твердыми непроницаемыми гранями. Будем
также предполагать, что ускорение силы тяжести направлено противоположно оси z ,
выбранной, для определенности правой [n6], системы координат, причем одна из вершин
параллелепипеда является началом координат, а сам параллелепипед расположен в
положительном октанте этой системы координат (см. Рис.1).
z
Lz
g
zs
s
Ly
ys
y
xs 0
Lx
x
Рис. 1. Область, заполненная газом.
Введем безразмерные переменные
F
F ~,
F
где символу F , обозначающему размерную переменную, предписываются значения
F : t, x, y, z,Vx ,V y ,Vz , p, ρ,T ,
~
а F изображает масштаб соответствующей переменной. Для простоты будем считать, что
~ ~ ~ ~
~
x~
y ~
z  L , и Vx  Vy  Vz  V .


p,~
ρ ,TT , и дифференцируя это соотношение частным
Обозначая f p, , T   f p~
образом по соответствующим безразмерным термодинамическим параметрам, получим
f p
f p  ~ ,
p
f
f ρ  ~ ,
ρ
f
fT  ~T .
T
~
Подставив теперь указанные выше связи размерных и безразмерных переменных в
систему уравнений динамики газа, придем к безразмерной системе уравнений состояния,
баланса энергии, движения и неразрывности соответственно в виде
f p, ρ, T   0 ,

 T

 ρ

MPr ρ 2f p  Sh
 V,  T   σ p γ 0  1Tf T  Sh  V,  ρ   C R ρf p  2T ,
 t

 t


1
 V
 σ pσ V


M 2ρ Sh
 V,   V  
p  C Fρez  MC R   2 V  , V  ,
t
γ0
3




ρ
Sh  V, ρ  ρ,V   0 .
t
Отметим, что приведенная система уравнений, согласно предположениям, описывает
движение газа в параллелепипеде с безразмерными сторонами L x , L y , L z . Здесь
введены следующие безразмерные комплексы.
L
Sh  ~~ - число Струхала.
Vt
~
~
T  fT 2 - ~
ρ 2cv f p f ρ
V
- число Маха, v~ 
- скорость звука при масштабных
M
~
v~
ρ 2cv f p 2
~
термодинамических параметрах ~
p, ~
ρ,T .
R  cv
- показатель адиабаты. В частности, адиабаты газа Ван-дер-Ваальса
γ0 
cv
 
приведены в [n5].
~
~
ρ VL
M
μ
, Re 
- число Рейнольдса. Параметр C R позволяет
CR 

μ
Re ~
ρ Lv~
сопоставить влияние трения при скоростях диффузионных процессов с влиянием трения,
возникающего при движении со звуковыми скоростями в среде с масштабной плотностью
в масштабном объеме.
~
V2
M 2 gL
, Fr 
- число Фруда. Параметр C F соотносит потенциальную
CF 

gL
Fr v~2
энергию пробной массы при заданном тяготении на уровне масштабной высоты с
кинетической энергией, которую приобретает эта масса, двигаясь со скоростью звука.
~
p
σ p  ~ ~ - коэффициент, характеризующий уклонение выбранного масштаба давления
Rρ T
от давления совершенного газа при выбранных масштабах плотности и температуры.
σV 
~
γ 0 RT
v~2
- коэффициент, характеризующий уклонение квадрата скорости звука в
совершенном газе при выбранном масштабе температуры от квадрата скорости звука
исследуемого газа при масштабных термодинамических параметрах.
μcv
μcv
- число Прандтля. Формально, согласно [n7]
 1 , однако на практике
λ
λ
параметр Pr указывает отклонение этого отношения от единицы.
Pr 
Так, рассмотренные ранее адиабатические градиенты давления, плотности и температуры
в безразмерном виде соответственно выражаются соотношениями
p a  
γ0
C Fρ a e z ,
σ pσ V
 
ρ3a f p 2
γ0
ρ a  
CF
ez ,
2
2
σ pσ V
σ p γ 0  1Ta f T   ρ a f p f ρ
ρ a Ta f T f p
γ γ  1
Ta  0 0
CF
ez .
2
2
σV
σ p γ 0  1Ta f T   ρ a f p f ρ
Напомним, что здесь частные производные от функции f , задающей уравнение
состояния, вычисляются на адиабатических распределениях термодинамических
~
параметров p a z , ρ a z , Ta z  . Например, для совершенного газа, полагая ~
p  R~
ρT ,
имеем
f  p  ρT; f p  1, f ρ  Ta , f T  ρ a ; σ p  1, σ V  1; Ta  γ 0  1C Fe z .
Механическое равновесие.
Пусть теперь в направлении оси
T  Te  Tm 
z задано линейное распределение температуры,
L 
T 
 z  z , 0  z  L z ,
Lz 
2 
где Tm обозначает температуру в центре области, заполненной газом (средняя
температура), а величина T определяет разность температур между верхней и нижней
гранями (стенками) параллелепипеда. Найдем такие распределения давления p e и
плотности ρ e , при которых газ внутри области сохраняет состояние покоя, то есть имеют
место равенства
V  Ve  0 .
Распределения Ve , p e , ρ e , Te будем называть механическим равновесием газа. При
механическом равновесии из системы уравнений динамики газа следует, что
σ pσ V
γ0
p e  C Fρ e e z  0 ,
откуда получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно ρ e
f ρ
dρ e
γ
ΔT
 0 C Ff p ρ e 
f T .
dz σ p σ V
Lz
Это уравнение является следствием разрешимости уравнения состояния относительно
давления и дифференциального соотношения
f p dp  f ρ dρ  f T dT  0 .
При строгой надкритичности, то есть при условии f ρ  0 , интегрирование уравнения для
ρ e должно производиться с учетом условия сохранения массы
Lz
 edz  mLz .
0
В случае если искомое распределение плотности ρ e и заданное распределение
температуры Te в некоторой точке z  своей области определения достигают
соответственно критических значений термодинамических параметров, то в этой точке
должно удовлетворяться алгебраическое уравнение
γ0
ΔT
C Ff p ρ e z  
f T  0 .
σ pσ V
Lz
Решения этого уравнения, вообще говоря, могут требовать дополнительных ограничений,
как на параметры γ 0 , σ p , σ V , C F , ΔT, L z , так и на положение самой точки z  на
отрезке 0, L z .
В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение для
определения плотности при механическом равновесии в совершенном газе. Полагая для
определенности, что при строгой надкритичности ΔT  0 , сделаем преобразование
переменных Ρ  ln ρ e , Z  ln Te . При σ p  1, имеем
f  p  ρT, σ V  1; f p  1, f ρ  Te, f T  ρ e;
d
 γ L

 1  0 z C F  .
dZ
ΔT


Линеаризованное равновесие.
Далее рассмотрим в направлении оси
z линейные распределения давления и плотности
L 
L 
Δp 
Δρ 
p  pq  p m 
 z  z , ρ  ρ q  ρ m 
 z  z , 0  z  L z ,
Lz 
2 
Lz 
2 
где p m и ρ m обозначают средние значения давления и плотности в области,
заполненной газом, а числа Δp и Δρ - разности давлений и плотностей соответственно
между верхней и нижней границами области. Предположим, что величины C F и Δρ , а
также Δp, ΔT достаточно малы, то есть
C F  1, Δρ  1, p  1, ΔT  1.
Подставив распределения p q , ρ q , Te в уравнение для определения плотности при
механическом равновесии, а также в дифференциальное следствие уравнения состояния, и
удержав лишь члены первого порядка малости, получим систему линейных
алгебраических уравнений
γ
Δρ
ΔT
 0 C Ff p ρ m 
f T ,
Lz σ pσ V
Lz
f p p  f ρ ρ  f T T  0 ,
f ρ
где частные производные от функции f вычислены при средних значениях
термодинамических параметров. Разрешая эту систему относительно Δp, ΔT , будем
иметь
Δp  ρ m L z
ΔT 
γ0
CF ,
σ pσ V

γ
1 
f p ρ m L z 0 C F  f ρ Δρ  .

f T 
σ pσ V

Совокупность функций Ve, p q , ρ q , Te назовем приближенным линейным равновесием
(см., также [n5]) или линеаризованным равновесием газа. Видно, что линеаризованное
равновесие определяется лишь средними значениями термодинамических параметров,
сосредоточенными в центре области, заполненной газом, а также перепадом плотности
между верхней и нижней стенками области и значением параметра C F .
Например, для совершенного газа при σ p  σ V  1 , имеем
Δp  ρ m L z γ 0 C F ,


T
ΔT   L z γ 0 C F  m Δρ  .
m


В частности, при Δρ  0 , ΔT   L z γ 0 C F .
Для газа Ван-дер-Ваальса при σ p  1, σ V 
4 γ0
,
9 γ0  1
9
Δp   ρ m L z  0  1CF ,
4


 
4Tm
3


ΔT   3  ρ m  L z γ 0  1C F 
 1Δρ  .
2

 

4
 ρ m 3  ρ m 
 

3
При Δρ  0 , имеем ΔT   3  ρ m L z γ 0  1C F .
4
Возмущение линеаризованного равновесия.
Предположим, что в безразмерной системе уравнений динамики газа величина C R
достаточно мала, то есть
C R  1 ,
и для определенности масштабы длины, времени скорости и давления выбраны так, что
M~1, Sh~1, σ p ~1 .
Пусть теперь линеаризованное равновесие подвергается малым возмущениям
V, p, ρ, T ,


где δV  δVx ,δVy ,δVz - вектор возмущений скорости. Подставив возмущенное
линеаризованное равновесие
Ve  δV, p q  δp, ρ q  δρ, Te  δT ,
в безразмерную систему уравнений динамики газа и удержав члены одинакового порядка
малости, будем иметь систему уравнений в частных производных для возмущений в виде
f p δp  f ρ δρ  f T δT  0 ,
δT
δρ 

M Pr Sh ρ 2m f p
 σ p γ 0  1Tm f T

t
t 


γ
Δρ 
 M Pr ρ3m f p 2 0 C F  σ p γ 0  1Tm f T 2  ρ 2m f p f ρ
δVz 
σ pσ V
L z 

 C R ρ m f p f T  2T ,
 
M 2Shρ m


δV σ p σ V
1



δp  C Fδρez  MC R   2V  , V  ,
t
γ0
3


Sh
δρ Δρ

δVz  ρ m ,δV   0 .
t
Lz
Полученную систему уравнений назовем возмущенной системой уравнений динамики
газа, а соответствующие уравнения этой системы будем называть возмущенными
уравнениями состояния, баланса энергии, движения и неразрывности. Из возмущенных
уравнений баланса энергии и движения следует, что в зависимости от соотношения
порядков величин C R и C F, Δρ различаются следующие случаи.
1. C F  C R , Δρ  C R ,
2. C F  C R , Δρ ~ C R ,
3. C F ~ C R , Δρ  C R ,
4. C F ~ C R , Δρ ~ C R .
Однородная среда в невесомости.
В первом случае, когда параметры C F и Δρ пренебрежимо малы по сравнению с
величиной C R , будем считать, что возмущенные уравнения баланса энергии, движения и
неразрывности имеют вид
δT
δρ 

2
MSh Pr ρ 2m f p
 σ p γ 0  1Tm f T
  C R ρ m f p  δT ,
t
t 

δV σ p σ V
1


M 2Shρ m

δp  MC R   2V  , V  ,
t
γ0
3


δρ
Sh
 ρ m ,δV   0 .
t
Эти уравнения вместе с возмущенным уравнением состояния определяют малые
изменения линеаризованного равновесия, в частности, когда газ с однородным
распределением термодинамических параметров в области находится в невесомости.
Применив к возмущенному уравнению движения оператор Гамильтона  , и использовав
возмущенное уравнение неразрывности, получим уравнение
σ pσ V
γ0
 2 δp  M 2Sh 2
  δρ  4 MSh
 δρ 
CR  2 


,
t  t  3 ρ m

t


связывающее возмущение давления с возмущением плотности. Исключая из этого
уравнения возмущение давления с помощью следствия воздействия на возмущенное
2
уравнение состояния оператора Лапласа  , и дифференцируя по времени полученный
результат, придем к соотношению
 2  δρ  4
  δρ 
2
2
γ 0ρ m f p M Sh
 γ 0f p MShC R  2 



2  t  3
t  t 
t
 δρ 
2  δT 
 ρ m σ p σ V f ρ  2 
  ρ m σ p σ V f T  
 0.
 t 
 t 
Подставив в это соотношение следствие возмущенного уравнения баланса энергии в виде
δρ
δT
 A ρ1 2T  A ρ2 
,
t
t
где
A 1 
ρ
C R ρ m f p
MSh Pr σ p γ 0  1Tm f T
, A 2  
ρ
ρ 2m f p
σ p γ 0  1Tm f T
,
получим дисперсионное (см., например, [n8]) дифференциальное уравнение в частных
производных относительно возмущения температуры
 3T
2 2


A
B
 T  C  2 2T  D  2T  E 2 2T  0 .
3
2
t
t
t
t
Здесь
 
 4 
B   γ 0ρ m f p 2 M 2Sh 2C R 1  Pr  ,
3
A  γ 0ρ 2m f p 2 M 3Sh 3 Pr ,
 


4
C  γ 0 f p 2 MShC 2R ,
3


D  σ p σ V MSh Pr σ p γ 0  1Tm f T 2  ρ 2m f ρ f p ,
E  ρ m σ p σ V f ρ f p C R .
Видно, что при строгой надкритичности в центре области, заполненной газом, имеют
место неравенства
A  0, B  0, C  0, D  0, E  0 .
Будем искать решения дисперсионного уравнения в виде
δT  Tt Tx Ty Tz ,
где
Tt  Tt t , Tx  Tx x , Ty  Ty y , Tz  Tz z  .
Подстановка указанного вида нетривиальных возмущений температуры δT в
дисперсионное уравнение приводит к основному соотношению
Tt
T  T Ty Tz 
A  t B x 


Tt
Tt  Tx Ty Tz 
iv


Tt    Txiv Ty
Tziv   Tx Ty Tx Tz Ty Tz  

C


2



Tt    Tx
Ty
Tz   Tx Ty Tx Tz Ty Tz  


 
 T Ty Tz 
 
 D x 

 Tx Ty Tz 


  iv T iv

Tziv   Tx Ty Tx Tz Ty Tz  
y
  Tx
 E


2


 0.
Ty
Tz   Tx Ty Tx Tz Ty Tz  
  Tx



Свободные теплоизолированные границы.
Проведем разделение переменных в основном соотношении, задавая волновые свойства
газа в виде
T
T
   ,  : x, y, z .
Здесь символу  предписывается принимать значения x, y, z , а λ x ,λ y ,λ z являются
действительными числами. Общие решения приведенных выше обыкновенных
однородных дифференциальных уравнений второго порядка представляются функциями
Tξ  Cξ1ch λ ξ ξ  Cξ2sh λ ξ ξ ,
1 2
где Cξ , Cξ - соответствующие произвольные постоянные. Для определения функции




Tt такой способ разделения переменных приводит к однородному обыкновенному
дифференциальному уравнению третьего порядка
ATt  BTt  C  DTt  2 ETt  0 , Λ  λ x  λ y  λ z .
Согласно выбранному представлению возмущений температуры соответствующие
возмущения плотности, давления и скорости будем искать в виде
δρ  rt Tx Ty Tz ,
δp  p t Tx Ty Tz ,
δVx  u t Tx Ty Tz ,
δVy  u t Tx Ty Tz ,
δVz  u t Tx Ty Tz ,
где
rt  rt t , p t  p t t , u t  u t t  .
При этом из возмущенного уравнения баланса энергии для определения функции rt
имеем неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
rt  ΛAρ1Tt  A ρ2Tt .
Из возмущенного уравнения состояния следует, что функция p t имеет вид
pt  


1
f ρ rt  f T Tt .
f p
Для определения функции u t из возмущенных уравнений движения получим
неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
MShρ m u t  C R Λu t  
1  σ pσ V
1 

p

rt  .
t

M  γ0
3 
Из предположения о том, что газ находится в ограниченной замкнутой области с
твердыми непроницаемыми стенками, следует, что для функций Tx , Ty , Tz должны
выполняться граничные условия
Tξ
0,
ξ  0,L ξ
которые являются граничными условиями теплоизоляции, отвечающими свободным
граничным условиям (условиям непротекания) для соответствующих проекций
возмущений скорости. Сопоставляя эти граничные условия с приведенными ранее
общими решениями, придем к соотношениям
Cξ1  0, Cξ2  0, sh λ ξ ξ  i sin i λ ξ ξ  0 ,
откуда следует, что




2
 πn ξ 
 ; n ξ  1,  2,... ,
λ ξ  
 Lξ 


а функции Tξ имеют вид
 πn ξ 
,
Tξ  Cξ cos 
 Lξ 


где C ξ - произвольные постоянные.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Tt , запишем
соответствующее характеристическое уравнение
A3t  B2t  C  D t  2 E  0 .
При λ t  0 , число перемен знака в ряду коэффициентов этого характеристического
уравнения с учетом приведенных ранее свойств коэффициентов дисперсионного
уравнения равно нулю, то есть все действительные корни уравнения отрицательны
(правило Декарта, см., например, [n11]).
Замена переменных
λ  λt 
ΛB
,
3A
позволяет получить приведенное характеристическое уравнение
λ 3  3pλ  2q  0 ,
где
p

9A
q
2
3AC  B2   3AD,

B2B2  9AC  9ABD  3AE ,
54A 3
2
с дискриминантом
D  p3  q 2 .
При D  0 , все корни приведенного уравнения действительны, а, следовательно, все
корни характеристического уравнения отрицательны, то есть возмущения скорости и
термодинамических параметров имеют характер затухающих стоячих волн. В частности,
если D  0 , функция Tt имеет вид
λ 1t
λ 2  t
λ 3t
Tt  Ct1e t  Ct2e t  Ct3e t ,
1 2  3
где λ t , λ t , λ t - отрицательные решения характеристического уравнения, а
C t1, C t2 , C t3 - произвольные постоянные.
При D  0 , приведенное уравнение имеет единственный действительный корень, и общее
решение для обыкновенного дифференциального уравнения, определяющего функцию
Tt , может быть записано в виде


1

1 λ t t
Tt  C t e
 e αt Ct2 cosωt   Ct3 sin ωt  .
1
Здесь λ t - отрицательный корень характеристического уравнения, а
λ t2   α  iω, λ t3  α  iω , его комплексные корни. Таким образом, в этом случае
возмущения скорости и термодинамических параметров представляют собой
совокупность затухающих стоячих волн и бегущих волн, изменение амплитуды которых
зависит от знака действительной части α комплексных решений характеристического
уравнения. Возмущения, отвечающие условию α  0 , будем называть устойчивыми, а
возмущения для которых α  0 - неустойчивыми.
Выясним условия затухания колебаний, присутствующих в приведенном выше общем
решении. Пусть λ1 обозначает действительный корень приведенного
характеристического уравнения, а λ 2 , λ3 - его комплексно-сопряженные корни. По
формуле Кардана [n11]
1
3
u  v  ;
1  u  v,  2,3   1  i
2
2
u  3 p 3  q 2  q , v  3 p 3  q 2  q .
Согласно проведенной ранее замене переменных имеем
λ t1  λ1 
ΛB
1
ΛB
3
u  v .
 0, α   λ1 
,ω
3A
2
3A
2
Так как для затухания колебаний необходимо условие α  0 , то должно выполняться
соотношение
1
ΛB
 λ1 
 0,
2
3A
откуда с учетом предыдущего неравенства, будем иметь условие устойчивости
возмущений
2
3A
λ1  1.
ΛB
Литература.
n1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987, 840 с.
n2. Кикоин И.К. и Кикоин А.К. Молекулярная физика. М.: Гос. Изд. Физ-мат. лит-ры,
1963, 500 с.
n3. B. Zappoli, A. Durand-Daubin. Heat and Mass Transport in a Near Supercritical Fluid., Phys.
Fluid. 6, № 5, 1994, 1929-1936.
n4. Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах. М.: Наука,
1987, 272 с.
n5. А.А. Горбунов, С.А. Никитин, В.И. Полежаев. Об условиях возникновения конвекции
Рэлея-Бенара и теплообмене в околокритической среде. Изв. РАН, МЖГ №5, 2007, 30-46.
n6. Н.Е. Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.-Л.: ГОНТИ,
1938, 456 с.
n7. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т 2. М.: Наука, 1975, 552 с.
n8. А.С. Монин, А.М. Яглом. Статистическая гидромеханика. Часть 1. М.: Наука, 1965,
640 с.
n9. Д. Джанколи. Физика. Т 1. М.: Мир, 1989, 653 с.
n10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.:
Наука, 1969, 607 с.
n11. И.Н. Бронштейн и К.А. Семендяев. Справочник по математике. М.: Наука, 1967, 608
с.
Скачать