I этап (очный) Всесибирской олимпиады по физике 1

I этап (очный) Всесибирской олимпиады по физике
Задачи 11 кл. (14 октября 2012 г.)
1. Три микрофона установлены на одной прямой. Звук
от среднего микрофона доходит до крайних за равное время
= 7 с. Происходит взрыв. Левый микрофон фиксирует
приход звука от взрыва на время t1 = 1 с позже среднего,
правый – позже на t2 = 3 с. Скорость звука c = 330 м/с. На
каком расстоянии от среднего микрофона произошѐл взрыв?
Решение
Пусть время прохождения звука от места взрыва до среднего микрофона t. Тогда
искомое расстояние R = ct, а расстояния до левого микрофона от места взрыва R1 = c(t + t1)
и до правого соответственно R2 = c(t + t2). Расстояние же между микрофонами L = c . Из
теоремы Пифагора или теоремы косинусов R12 + R22 = 2L2 + 2R2. Откуда получаем уравнение для t и t = (2 2 – t12 – t22)/2(t1 + t2) = 11 c, R = ct = 3630 м.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Выражения расстояний через время
R = ct, R1 = c(t + t1), R2 = c(t + t2).
3
2
2
2 2
2
Геометрическая связь расстояний
3
R1 + R2 = 2с + 2R или аналоги
2
2
2
Нахождение времени t
3
t = (2 – t1 – t2 )/2(t1 + t2) = 11 c
Нахождение искомого расстояния
R = ct = 3630 м
1
2. Воздух в невесомом тонкостенном цилиндре сеg PA-? чения S и высоты H перекрыт снизу поршнем толщины d
m H
и массы m. Если держать цилиндр, то нижний торец
d
поршня в равновесии находится на уровне открытого
конца цилиндра. После опускания в воду в вертикальном
положении цилиндр плавает так, что его верхний конец
оказывается на уровне воды. Каково атмосферное давление PA? Плотность воды , температура неизменна, ускорение свободного
падения g, трения нет.
S
Решение
Пусть h расстояние от верхнего конца цилиндра до нижнего торца поршня при указанном плавании. Тогда из закона Архимеда m = Sh. Начальное давление воздуха в цилиндре P = (PА – mg/S), а конечное PА (цилиндр невесом!). Если толщина поршня d, то из
неизменности температуры имеем
P(H – d) = (PА – mg/S)(H – d) = PА(h – d), PА = mg(H – d)/( SH – m).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Нахождение h из закона Архимеда
2
m = Sh или аналог
Нахождение начального и конечного давлений P = (PА – mg/S), PА
2
Учѐт толщины поршня
1
Выражение неизменности температуры
(PА – mg/S)(H – d) = PА(h – d)
3
Нахождение искомого PА
2
PА = mg(H – d)/( SH – m)
1
3. Шесть отрезков резиновой нити соединили так, что получился ромб с двумя диагоналями.
При этом все отрезки выпрямлены, но не деформированы. Ромб растягивают за вершины силами
F и f, направленными вдоль диагоналей. При каком отношении сил F/f угол между стороной и
горизонтальной диагональю останется прежним?
f
F
F
f
Решение
Сохранение угла означает подобие растянутого ромба исходному. Поэтому относительное удлинение всех отрезков одинаково. Рассмотрим три участка равной длины, исходящих из вершины ромба. Их жѐсткость одинакова и одинаковы их удлинения. Тогда
равны и упругие силы. Таким образом натяжения T всех отрезков равны. Из условия равновесия сил, приложенных к вершинам
F = T(1 + 2cos ); f = T(1 + 2sin ) и F/f = (1 + 2cos )/(1 + 2sin ).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Вывод одинаковости относительных удлинений
2
Вывод равенства всех натяжений
3
Условия равновесия для двух вершин
F = T(1 + 2cos ); f = T(1 + 2sin ) 2 + 2
Нахождение искомого отношения
1
F/f = (1 + 2cos )/(1 + 2sin )
4. Груз висел на вертикальной нити в поле тяжести. К
нему приложили горизонтальную силу направленную вправо.
g
В момент достижения грузом наибольшей высоты h от низшей точки направление силы поменяли на обратное при
прежней еѐ величине. Когда груз возвратился по дуге окружh
ности в низшую точку, действие этой силы прекратилось. Насколько поднимется груз при дальнейшем движении влево?
(Считайте, что h меньше половины длины нити.)
Решение
При наибольшем отклонении вправо работа горизонтальной силы идѐт на увеличение потенциальной энергии A = mgh. Такую же работу совершает горизонтальная сила
при возвращении в исходную точку, тогда кинетическая энергия в ней E = A + mgh =
2mgh. Это кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию mgH при отклонении в крайне левое положение E = mgH. Окончательно H = 2h.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Баланс энергии при подъѐме вправо
A = mgh
2
Баланс энергии при спуске в исходную точку
E = A + mgh = 2mgh.
4
Баланс энергии при подъѐме влево
E = mgH
2
Нахождение высоты подъѐма
H = 2h
2
2
5. По горизонтальному полу может двигаться без
трения тележка массы M. Горизонтально брошенная
шайба пролетает расстояние L по горизонтали и попадает в исходно неподвижную тележку, отскакивает от
L
l
неѐ, поднимаясь на прежнюю высоту, и снова попадает
в тележку пролетев расстояние l по горизонтали. Потом снова отскакивает, снова попадает в тележку на
расстоянии l и продолжает так прыгать далее. Какова масса шайбы?
g
l
Решение
Периодичность движения указывает, что горизонтальная скорость шайбы равна
скорости тележки после первого отскока. Равенство высот – равенство времѐн. Скорость
шайбы по горизонтали до первого столкновения v = L/t, где t время спуска, скорость тележки u = l/2t. Из закона сохранения импульса mv = (m + M)u, откуда m = Ml/(2L – l).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Равенство скоростей по горизонтали после отскока
2
Выражение этих скоростей через время спуска
v = L/t; u = l/2t
3
Использование сохранения импульса по горизонтали
mv = (m + M)u
3
Нахождение массы шайбы
m = Ml/(2L – l)
2
3
I этап (очный) Всесибирской олимпиады по физике
Задачи 10 кл. (14 октября 2012 г.)
1. На испытаниях посадочный модуль массы m бросили под углом к гориg
F -?
зонтали. В верхней точке траектории
включили ракетный двигатель с постоянной вертикальной силой тяги F. Найдите
l
L
еѐ, если до включения двигателя модуль
пролетел расстояние l по горизонтали, а с включенным двигателем до точки
приземления – расстояние L. Сопротивлением воздуха и изменением массы
модуля пренебречь, ускорение свободного падения g.
Решение
Вертикальная тяга двигателя не влияет на горизонтальную составляющую vг скорости модуля l v Г t1 ; L v Г t 2 (2б), где t1 и t2 время движения до верхней точки траектории и после нее. Поскольку в вершине траектории вертикальная составляющая скорости равна нуgt12
at 22
лю, высота траектории h
(1б) и h
(2б). Ускорение a находим из 2 закона
2
2
a t12 l 2
Ньютона: ma mg F (2б). Решая уравнения, находим:
, откуда окончательно
g t 22 L2
F = mg(1 – (l/L)2). (3б).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Неизменность горизонтальной скорости и связь пере- l v Г t1 ; L v Г t 2
2
мещений l и L с временами подъѐма и спуска
Выражения высоты траектории через ускорения и время
1+2
gt12
at 22
h
h
а)
б)
а)подъѐм б) спуск (или аналог)
2
2
Применение 2-го закона Ньютона
Решение уравнений и получение ответа
ma mg F
F = mg(1 – (l/L)2)
2
3
2. Одинаковые пластины установлены наклонно на
горизонтальной ленте транспортѐра, верхний конец плаv
стин правее нижнего на L и выше на h, расстояние между ними по горизонтали d (d < L). Равномерно распылѐнh u-?
ные капельки краски летят вертикально с постоянной
d
L
скоростью v и прилипают, попав на поверхность. При
какой скорости ленты полностью окрашивается правая сторона пластин без
потерь краски, а при какой – левая?
Решение
Перейдѐм в систему отсчѐта, где пластины неподвижны. В
ней при той же вертикальной скорости v у капелек появляется
горизонтальная скорость u, направленная влево. Рассмотрим случай окрашивания правой стороны пластинки потоком краски,
павшей в зазор. Его границы на рис. тонкие параллельные линии.
Если нижняя граница выше нижнего конца окрашиваемой
стинки, то еѐ правая сторона не полностью окрашена. Если выше
– часть краски пролетит мимо. Условию полного окрашивания
1
правой стороны без потерь отвечает нижняя граница, проходящая через нижниий конец
окрашиваемой пластинки и верхний конец следующей пластинки. Тогда за время пролѐта
t h = vt; L + d = ut и u = v(L + d)/h.
Для полного окрашивания левых сторон без потерь критическая граница, направленная по вектору относительной скорости проходит через верхний край предыдущей
пластины и нижний край окрашиваемой левой стороны пластины. В этом случае перемещение по горизонтали за время пролѐта будет L – d, а соответственно u = v(L – d)/h.
Можно не переходить в систему покоя пластин, а рассматривать движение капелек
в зазоре по вертикали и встречу их с нижними концами окрашиваемых сторон.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Условие полного окрашивания правых (левых)
2 +2
сторон без потерь из относительного движения
или через встречу капелек с нижними концами
Связи горизонтальных и вертикальных переме- а) h=vt; L+d = ut
2+2
щений при окраске а)правых б) левых сторон
б) h=vt; L-d = ut
Нахождение скоростей
а) u = v(L + d)/h б) u = v(L - d)/h 1 + 1
g
m
a1-?
m
F-?
a
3. Две шайбы равных масс m скользят без трения по
вертикальным спицам. Они связаны упругой резинкой. В
момент, когда она образует угол с вертикалью, ускорение нижней шайбы равно a. Каковы в этот момент ускорение a1 верхней шайбы и натяжение F резинки? Ускорение свободного падения g.
Решение
На нижнюю шайбу в вертикальном направлении действуют две силы: сила тяжести
и вертикальная компонента силы натяжения F (1б). Второй закон Ньютона:
ma mg F cos (2б). На верхнюю шайбу действуют две подобные силы. Второй закон
Ньютона для нее: ma1 mg F cos (1 + 2б). Решая совместно уравнения, получаем ответ: a1 2 g a (2б) и F = m(g – a)/cos (2б).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Указание вертикальных сил, действую1 +1
щих на шайбы и их направления
Применение к каждой 2-го з-на Ньютона ma mg F cos ; ma1 mg F cos
2+2
Нахождение ускорения
2
a1 2 g a
Нахождение натяжения
2
F = m(g – a)/cos
H2
4. Вертикальные сосуды одинакового сечения соединены тонкими
трубками внизу и на высоте H1 = 1 м. В нижней
трубке есть кран, который вначале закрыт. Правый сосуд до высоты H1 заполнен водой, в левый
до высоты H2 = 0,5м налита ртуть. Плотность ртуH2O
H1
ти в 13,6 раз больше плотности воды о. Какой
Hg
высоты h установится столб ртути в правом сосуде после открытия крана в нижней трубке?
2
Решение
Давление 0,5 м столба ртути больше давления 1 м столба воды. Поэтому после открытия крана ртуть будет перетекать по нижней трубке в правый сосуд (1б). Равный объему пришедшей ртути объем воды вытечет по верхней трубке из правого сосуда в левый
(1б). Процесс замещения воды ртутью закончится, когда давление вблизи дна в левом и
правом сосудах сделается равным. Предположим, что конечный столб ртути в правом сосуде h. Тогда в левом сосуде будет столб h воды, опирающийся на столб H2 – h ртути (1б).
Давление на дно будет Pл = оgh + g(H2 – h) (2б). Аналогично находим высоты столбов
(1б) и давление в правом сосуде Pпр = gh + og(H1 – h) (2б). Из условия Pл = Pпр (2б) получаем ответ:
h = ( H2 – oH1)/2( – o) 0,23 м (2б).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Вывод о вытекании ртути из давлений столбов
1
Равенство вытекшего объѐма воды объѐму пе- Слева h воды и H2 – h ртути
1+1
ретѐкшей ртути и выражения высот столбов
Справа h ртути и H1 – h воды
Нахождение давления у дна а) слева б)справа
а) Pл = оgh + g(H2 – h)
2 +2
б) Pпр = gh + og(H1 – h)
Условие равновесия
Pл = Pпр
1
Решение уравнения для h и ответ
h = ( H2 – oH1)/2( – o) 0,23 м 2
h
g
5. Высота каждого этажа дома h = 3 м. С пола балкона
верхнего этажа свалился цветочный горшок. Надо же так случиться, но спустя время = 0,2 с пола балкона этажом ниже
тоже свалился горшок, причѐм они столкнулись в воздухе, не
достигнув земли. Сколько этажей как минимум имеет дом?
Принять ускорение свободного падения g 10 м/с2.
Решение
Пусть второй горшок до столкновения падал в течение времени t. Он опустился на
gt 2
высоту x
(1б). Первый горшок двигался на время больше и прошел путь на h
2
g (t ) 2
g 2
больше: x h
(3б). Исключая x получим уравнение для t: h gt
. Зная
2
2
2
g h
время t = h/g – /2, (2б) получим x
(2б). Подставив значения величин, по2 g
2
лучим x 10 м. Это больше 3 этажей (1б), плюс два верхних этажа. Поэтому минимальное
количество этажей в доме N = 6 (1б).
Можно выразить времена пролѐта и найти их разницу 2( H h ) / g – 2 H / g , а затем перебирать H целократные h, пока разница не станет меньше .
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
2
2
Перемещения горшков до встречи x = gt /2; x + h =g(t+ ) /2
1 +3
2
Нахождение t и x
2+2
t = h/g – /2; x =g(h/g - /2) /2
Сравнение x (числа!) с h
1
x 10 м > 3h
Минимальное число этажей
N=6
1
3
I этап (очный) Всесибирской олимпиады по физике
Задачи 9 кл. (14 октября 2012 г.)
1. Два туриста должны сесть на курсирующий по прямолинейному каналу пассажирский катер. Когда до канала осталось 12 км, они разошлись.
Первый отправился по кратчайшему пути к каналу – там находился ближайший причал. Второй пошѐл прямо к другому причалу, находящемуся в 5 км
от ближайшего. Скорости катера 20 км/час, туристов 5 км/час. Только один
из туристов успел к катеру. Какой из них? Мог ли попавший на катер турист
ожидать прихода катера 5 минут?
Решение
Второй турист прошѐл R = 13 км (теорема Пифагора) и выR
h = 5 км шел к своему причалу на время T1 = (R – L)/u = 1/5 часа позже первого (u = 5 км/час скорость туристов, далее v = 20 км/час скорость
катера). Если первый успел к катеру, то и второй успевает. Ведь
L = 12 км
расстояние h = 5 км катер проходит за время T2 = h/v = 1/4 часа, что
больше T1! По условию успел только один турист, значит это второй. Наибольшее время
ожидания Т отвечает случаю, когда первый турист приходит к причалу в момент отхода
катера, тогда Т = T2 – T1 = 1/4 – 1/5 = 1/20 часа = 3 минуты. Ждать 5 минут он не мог.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
2
2
2
Нахождение пройденного вторым туристом пути
R = L + h ; R = 13 км
3
Нахождение времени T1
T1 = (R – L)/u = 1/5 часа
2
Нахождение времени T2
T2 = h/v = 1/4 часа
1
Вывод об опоздавшем по сравнению времѐн
T2 > T1 (указание)
2
Нахождение наибольшего времени ожидания
Т = T2 – T1 = 3 минуты
1
Ответ на второй вопрос
Т < 5 минут (указание)
1
2. Автомобиль едет по шоссе вдоль железной дороги со скоростью v = 30 м/с и обгоняет поезд за время T1 = 40 с. Потом он разворачивается, едет назад с той же скоростью и встречает тот же поезд. На этот раз он
проезжает вдоль поезда время T2 = 8 с. Найдите длину поезда, если его скорость оставалась неизменной.
Решение
Рассмотрим при обгоне отрезок от автомобиля до «головы» поезда. Когда автомобиль поравнялся с «хвостом» поезда, длина этого отрезка равна длине поезда L. С заднего
конца длина этого отрезка сокращается каждую секунду на v, а с переднего увеличивается
на u, где u скорость поезда. Полное же сокращение за единицу времени составляет v – u.
До нуля дистанция до головы поезда сокращается за время T1. Таким образом L/T1 = v – u.
При встречном движении от L до нуля за время T2 сокращается дистанция от автомобиля
до хвоста поезда, тогда L/T2 = v + u. Исключив из этих соотношений неизвестную скорость поезда, найдѐм L = 2vT1T2/(T1 +T2) = 400 м. Возможны решения, связанные с переходом в систему покоя поезда (или автомобиля).
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Вывод о ежесекундном сокращении дистанции а) v – u б) v + u
2(1+1)
а)при попутном б) встречном движении
Нахождение соотношений для L T1 T2 и скоростей L/T1 = v – u; L/T2 = v + u или 4 (2+2)
аналоги
Нахождение L (получение уравнения, решение, L/T2 + L/T1 = 2v (аналоги)
4
числовой ответ)
L = 2vT1T2/(T1 +T2) = 400 м
1
3. До снегопада на круговой дорожке почти не было снега. С началом
снегопада снегоуборочная машина начинает убирать снег с неѐ, двигаясь с
постоянной скоростью и полностью счищая снег перед собой. Снег идѐт равномерно. Когда машина прошла полкруга, суммарная масса снега на всей дорожке m = 3,6 т. Какова масса снега на дорожке, когда машина завершит
круг? Полтора круга?
Решение
При равномерности снегопада масса упавшего
L/2
L/2
снега на каждом «единичном» участке нарастает с некоторой постоянной скоростью. Сразу за машиной она нулевая, увеличиваясь пропорционально времени с момента
прохождения данного участка машиной. Поэтому «профиль» распределения массы снежного покрова при прохождении полукруга таков, как на рис. сверху. Если на
половине круга перед машиной выпала масса снега M, то
на половине круга за машиной остаѐтся M/2. Таким образом m = (3/2)M, M = (2/3)m = 2,4 т. При завершении круга
полная масса выпавшего снега равна 4M – удваивается за
счѐт удвоения времени и удвоения длины. Остаѐтся же на
всѐм кругу половина этой массы Mо = 2M = 4,8 т. Профиль распределения массы указан на рис. посередине. При дальнейшем движении сразу за
машиной снега нет, а на «единичном» участке сразу перед машиной, масса, выпавшая за
время прохождения всего круга. Таким образом профиль остаѐтся прежним, только перемещается по кругу вместе с машиной. Если отрезок L на рис. посередине и внизу замкнуть
в кольцо, то такое совпадение профилей очевидно. Остающаяся на дороге масса Mо = 4m/3
= 4,8 т и для 1 и 1,5 кругов.
При решении без рассмотрения профиля покрова ключевой момент решения состоит в выводе, что на пройдѐнном машиной участке половина выпавшего за время прохождения снега остаѐтся, а половина счищается.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Вывод, что на пройденном участке массы сбро3
шенного и оставшегося снега равны
Распределение снега при прохождении полукруга
m = M + M/2
2
Распределение снега при прохождении круга
Mо = 2M = 4m/3 = 4,8 т
3
Распределение снега при прохождении более круга
2
4. Найдите сопротивления каждого из трѐх резисторов,
соединѐнных по схеме на рисунке, если показания омметра
при подсоединении к контактам 1 и 2 равно R12, к 1 и 3 – R13,
ко 2 и 3 – R23.
1
2
3
Решение
Пронумеруем резисторы также как подсоединѐнные к ним контакты. Омметр измеряет сопротивление между контактами, где каждая пара резисторов оказывается последовательно сединѐнной. Тогда R1+R2=R12, R2+R3=R23, R3+R1=R13. Сложив два уравнения и
вычтя третье, получим удвоенное искомое сопротивление.
Окончательно: R1 = (R12+ R13- R23)/2, R2 = (R12+ R23- R13)/2, R3 = (R23+ R13- R12)/2.
2
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Введение разумных обозначений резисторов
Указание на последовательное соединение
Выражение R12, R23, R13 через искомые со- R1+R2=R12, R2+R3=R23, R3+R1=R13
противления
Нахождение искомых сопротивлений
R1 = (R12+ R13- R23)/2 и далее
5. Поршень высоты h вставлен в вертикальный цилиндр с
площадью сечения S, под ним жидкость плотности . В поршне
есть сквозная полость объѐма V. При какой массе поршня M
жидкость начнѐт проникать в область выше поршня? Трения
поршня со стенками нет.
Баллы
2
2
3
3
M-?
h
V
S,
Решение
Избыточное давление жидкости на нижнем уровне поршня удерживает поршень и
воду в полости. Условие равновесия ghS = (M + V)g, тогда M = (Sh – V). Можно подругому, указав, что ситуация отвечает плаванию полностью погружѐнного поршня, а тогда его средняя плотность равна плотности воды: M/(Sh – V), откуда тот же ответ.
Разбалловка
Этапы решения
Соотношения
Баллы
Формулировка условия равновесия
2
Нахождение избыточного давления и сил
4
gh; ghS; Mg; Vg,
2
ghS = (M + V)g или аналог
Уравнение для M (условие равновесия)
2
M = (Sh – V).
Нахождение M
3
I Этап Всесибирской олимпиады.
7-8 классы,
Физика
Возможные решения с баллами. Максимальный балл за задачу – 10.
7 класс
1) Исследователь проводил опыт по взвешиванию закрытой банки, в которой сидел
большой паук. За время опыта паук сплѐл внутри много паутины. Весы были очень точные,
но после появления паутины показания весов были те же, что и в начале. Как можно
объяснить такой результат?
Объяснение: паутина была сплетена из вещества, находившегося внутри паука (+3), так
что масса самого паука уменьшилась на массу появившейся паутины (+6). Даже если при
формировании паутины используется окружающий воздух или из нее выделяется какойнибудь газ или жидкость (+1), то внутри закрытой банки масса всего вещества остается
постоянной.
2) Имеется куб с длиной стороны 8 см и массой 640 г. Со
стороны каждой из 6-ти граней, по очереди, от куба отрезают по
одному слою толщиной 2 см (см. рис.). Чему равна масса всех
отрезанных кусочков?
Решение: после отрезания всех кусочков останется кубик с длиной стороны 4 см (+3). Его
объем и масса в 8 раз меньше, чем у исходного (+4). Значит, масса всех кусочков равна 64080=560 г (+3). Примечание: за правильный ответ, полученный непосредственным
суммированием масс разных кусочков ставится 9 баллов.
3) Две патрульных машины все время двигаются по двум близко
расположенным дорогам с постоянной скоростью (см. рис.). Водитель
одной из машин заметил, что он обгоняет вторую машину, проехав во
своей дороге каждые 3.5 круга. Сколько кругов по своему маршруту
между моментами обгона проезжает вторая машина?
Решение: Вторая машина отстает (+3 б) и она делает на 1 круг
меньше, т.е. 2.5 (+7).
4) Машину скорой помощи из города срочно вызвали в горное селение, в которое вело две
дороги, короткая (40 км) и длинная (90 км). Машина поехала по короткой дороге, и
расчетное время прибытия было 12-00. Когда машина проехала 15 км, оказалось, что дорога
засыпана обвалом. Врачи сразу поехали обратно в город и свернули на длинную дорогу. В
селение они прибыли в 13-00. Найдите скорость машины, считая, что она была постоянной.
Решение: Если бы завала не было, то машина, проехав еще 25 км,
прибыла бы в селение в 12-00. Следовательно, на обратном пути в
12-00 машина находилась на длинной дороге в 25 км от обвала (+2)
или в 10 км от города (+3). По условию, в 13-00 она уже прибыла в
селение, проехав оставшиеся 80 км (+2). Значит, скорость машины
составляла 80 км/час (+3).
12-00
8 класс
1) У школьника есть 4 внешне одинаковых динамометра, один из которых
неисправен. Школьник соединил все динамометры друг за другом и подвесил к
ним груз. Показания динамометров, начиная от нижнего, составили: 4 Н, 9 Н, 12
Н, 19 Н. Можно ли по этим данным определить какой из динамометров
неисправен?
Решение: Показания исправных одинаковых динамометров должны
увеличиваться на одну и ту же величину при переходе к более высокому
динамометру (+1), так как более высокий «взвешивает», кроме груза и все
динамометры, находящиеся снизу (+2). Предположим, что неисправен нижний, тогда
остальные три должны быть исправны, однако разницы их показаний не одинаковы, т.е.
приходим к противоречию (+2). Аналогично убеждаемся, что верхний также должен быть
исправным (+1). Отсюда следует, что три нижних динамометра весят 15 Н, т.е. правильное
значение разницы показаний равно 5Н (+3). Следовательно, неисправен третий динамометр,
считая снизу (+1).
2) Имеется куб из материала с плотностью 2 г/см3 с длиной
стороны 20 см. Со стороны каждой из 6-ти граней, по очереди,
от куба отрезают по одному слою толщиной 5 см (см. рис.).
Чему равна масса 4-х самых больших отрезанных кусочков?
Однажды отрезанный кусок больше не разрезают.
Решение: После отрезания 4-х самых больших кусочков остается параллелепипед
10х10х20 см3 (+3).Его масса составляет четверть от массы исходного куба, равной 16 кг (+4).
Следовательно, масса уже отрезанных кусочков составляет 12 кг (+3). Примечание: за
правильный ответ, полученный непосредственным суммированием масс разных кусочков
ставится 9 баллов.
3) Машину скорой помощи из города срочно вызвали в горное селение, длина пути до
которого составляла 120 км. Расчетное время прибытия было 12-00. Когда машина проехала
58 км, оказалось, что дорога засыпана обвалом. Врачи поехали обратно в город, там сразу
пересели на вертолет и полетели в селение на нем. При этом путь вертолета составил 20 км, а
врачи прибыли в селение ровно в 12-00. Считая, что скорости машины и вертолета
постоянны во время движения, определите, во сколько раз они различаются?
Решение: Обнаружив обвал, машина возвратилась в город, проехав 58 км (+1). Если бы
обвала не было, через это время машина бы уже находилась в 4-х км от селения (+4). Отсюда
следует, что машина проезжает 4 км, а вертолет пролетает 20 км за одно и тоже время (+3).
Значит, скорость вертолета в 5 раз больше, чем скорость машины (+2).
4) Имеются кран , из которого течет вода с температурой 60 оС, и кран с водой при 20 оС.
Если открыть только кран горячей воды, то ванна набирается за 40 минут, если только кран
холодной воды – то за 24 минуты. За какое время наберется ванна, если открыть оба крана?
Какую температуру будет иметь вода в ванне, если теплообмен с окружающей средой
пренебрежимо мал?
Решение: Если объем ванны равен V, то при открытых кранах скорость
наполнения ванны составляет V/24+V/40 (размерность (единица объема)/мин) (+3).
Время заполнения ванны составит T=V/(V/24+V/40)=24·40/(24+40)=15 мин (+2).
Отношение объемов горячей и холодной воды в ванне равно отношению скоростей
В
наполнения, т.е. (V/40):(V/24)=3:5, соответственно (+2). Значит, температура воды
составит (3·60+5·20)/(3+5)=35 оС (+3 балла).
А
g
5) В сосуде прямоугольной формы налита жидкость. На дне (т. А) и на боковой стенке
(т.В) сосуда находятся датчики давления жидкости. Плотность жидкости уменьшается с
ростом температуры. Что произойдет с показаниями датчиков А и В, если температура
жидкости повысится, а сосуд не изменит свои размеры? Каким будет ответ, если материал,
из которого сделан сосуд, уменьшает свою плотность при нагреве так же, как и жидкость?
Внешним давлением пренебречь.
Решение: В равновесии давление в любом сечении прямоугольного сосуда равно Mg/S,
где М – масса жидкости выше этого сечения, S – площадь сечения сосуда (+2). При
неизменных размерах сосуда и массе жидкости давление на дно и показания датчика в т. А,
не изменятся (+1). Показания датчика в т. В возрастут, так как при уменьшении плотности
возрастет масса жидкости, которая находится выше т. В (+1). Это следует из того, что при
неизменных размерах сосуда масса жидкости ниже т. В уменьшится, так как объем сосуда
ниже т. В остался неизменным (+1). Во втором случае показания обоих датчиков уменьшатся
(+2), так как сечение сосуда увеличится (+1), а масса жидкости, в том числе и выше т. В,
останется неизменной (+1). Это объясняется тем, что доля жидкости выше т. В не изменится
вследствие пропорционального измерения всех размеров, как всего сосуда, так и его части,
занятой жидкостью (+1).