уравнения баланса составляющих мгновенной мощности

ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
УДК 621.3.016.2.:621.311.1
УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА СОСТАВЛЯЮЩИХ МГНОВЕННОЙ МОЩНОСТИ
Родькин Д.И.
Кременчугский государственный политехнический университет
Институт электромеханики, энергосбережения и компьютерных технологий
В разнообразных задачах оценки энергетических режимов, диагностики параметров электрооборудования, энергосбережения и управления
энергетическими потоками используются методы,
базирующиеся на балансе составляющих мощности
энергии, их временных характеристик. Наиболее
часто используется баланс активной мощности, отражающий наиболее полно важнейший закон природы – закон сохранения. Существенно реже используется баланс так называемой реактивной
мощности, хорошо характеризующей энергообменные процессы в электрических цепях [1, 2, 3].
Уместно при этом упомянуть то обстоятельство,
что понятие реактивной мощности применяется,
как правило, в задачах, связанных с анализом процессов в электрических цепях. Обоснованная применимость баланса реактивной мощности имеет
место, прежде всего тогда, когда анализируются
процессы с синусоидальными напряжениями и токами. В цепях с полигармоническими, несинусоидальными сигналами, имеющиеся подходы оказываются неэффективными прежде всего потому, что
понятие полной мощности, на которой базируется
такой баланс, неадекватно отражает физические
процессы преобразования сложных электрических
сигналов [4, 5, 6].
Многочисленные исследования, посвященные
анализу сложных энергетических процессов, до недавних пор базировались на использовании интегральных методов, оказавшихся эффективными в
тех случаях, когда допустимо усреднение на определенном временном интервале, в качестве которого чаще всего принимается период переменного
напряжения [1-3].
Наиболее полно вопросы баланса мощностей и
энергий представлены в работе [3], которая, по существу, является итоговой, наиболее полно характеризующей возможности интегральных методов
оценки энергетических режимов. Вопросам баланса
мгновенной мощности должного внимания при
этом не уделено.
Дальнейшее развитие теории энергопроцессов,
наблюдающееся в последние 10 лет, характерно
ощутимым интересом и результатами анализа
мгновенных мощностей в линейных и нелинейных
цепях [4, 5].
В исследованиях [4, 5] мгновенная мощность
анализируется в осях d и q , как это принято в
настоящее время при анализе процессов в электрических машинах. Возможности такого подхода до
настоящего времени полностью не исчерпаны. Более того, поле анализа, применение полученных ре-
зультатов расширяются. Работы [4-6], появившиеся в
последнее время, затрагивают важные аспекты преобразовательной техники, где можно ожидать появления ценных результатов, касающихся теоретического обоснования компенсационных процессов, построения и применения активных фильтров и т.п.
Важная сторона проблематики мгновенной мощности – оценка балансных особенностей отдельных
составляющих.
Очевидно, что процессы преобразования энергии,
имея общую физическую сторону, по разному проявляются при различных частотах изменения напряжения и тока. Математическое описание процессов,
очевидно, является тем базовым материалом, где могут решаться две важные задачи:
описание процессов изменения мощности
через некоторые составляющие мгновенной мощности позволяет оценить влияние этих процессов на
физические объекты или их определенные части;
имеющиеся зависимости мощности во времени в форме мгновенной мощности являются тем
материалом, с помощью которого можно оценить параметры электротехнической цепи, на входе которой
определена мгновенная мощность.
Здесь уместно отметить, что в электротехнических расчетах и в особенности при диагностике параметров цепей, энергетические методы фактически
не распространены. В крайнем случае используются
уравнения баланса активной мощности для оценки
иных расчетов.
Сказанное требует получить и оценить возможную совокупность уравнений энергобаланса, которые
предположительно можно использовать для решения
целого ряда диагностических задач в электромеханике, при исследовании электрических цепей.
Для уяснения вопроса рассмотрим задачу оценки
энергопроцесса в линейной цепи с синусоидальными
напряжениями и токами.
Мгновенная мощность – реальная физическая величина, изменяющаяся в течение периода кривой
выходного напряжения по значению и по знаку, т.е.
отражает процессы генерирования и рекуперации
энергии между источником и потребителем. Мгновенную мощность можно рассматривать как стационарную энергетическую функцию. При этом мгновенная мощность для каждой цепи и соответствующего ей режима работы имеет единственную реализацию, продолжительность которой достаточна для
получения ее характеристик. Указанные характеристики должны выявить особенности кривой мгновенной мощности: среднее значение, гармонический
состав и т.п. Главное при этом то, что характеристи-
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
92
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
ки энергопроцессов являются некоторыми результатами математического анализа мгновенной мощности.
Если учесть то обстоятельство, что мгновенная
мощность является единственной функцией, однозначно описывающей процессы в конкретной системе, то можно иметь такие характеристики, которые однозначно отвечают происходящим процессам. По этой причине при определении характеристик важно исключить искусственность математических приемов, какими бы изящными они не были. В основе при этом должна находиться четкая
физическая интерпретация как процесса, так и его
характеристик.
Пусть напряжение и ток описываются зависимостями:
Ut   2 U  cost   Um  cost ;
(4)
Pa  P b  U  I  S .
Отсюда следует, что полная мощность равна геометрической сумме знакопеременных составляющих
мощности Pt  . По существующим представлениям
под кажущейся мощностью понимается та мощность,
которую имела бы нагрузка при заданном токе в случае, если угол   0 , т.е. когда напряжение совпадает по фазе с током. Наше толкование отличается от
приведенного выше, что принципиально, т.к. мгновенная мощность рассматривается состоящей из постоянной составляющей, т.е. энергии за период интегрирования и знакопеременной мощности S . Режим
энергопотребления может быть получен при учете
как переменных, так и постоянных составляющих:
P
(1)
It   2I  cost    Im  cost  .
Мощность электрического сигнала:

Pt   Ut   It   UI cos   UІ cos   cos2t  
,(2)
 UІ  sin   sin 2t   a  a cos2t   b sin 2t 
0
2
2
T
1

2
1
(5 )
 S cos 2   .
2
На практике зависимости тока и напряжения, как
правило, содержат гармоники, порядок которых может совпадать; возможны также режимы, при которых частоты некоторых гармонических в кривых тока и напряжения могут не совпадать. Для получения
конкретных результатов, определяющих особенности
преобразования мощности, запишем общие выражения для тока и напряжения так:
T
2
Pt   coskt   dt,
T 0
T
1
( U  I  cos   UI cos   cos2t   
T 0
  U  I  sin   sin 2t ) 2 dt  U  I cos2  
где  - круговая частота сигнала;  - угол
сдвига между напряжением и током.
Для определения коэффициентов a 0 , a1, a 2
можно использовать аппарат Фурье:
ak 
T
1
P0  Pa t   Pb t 2 dt 
T 0
(3)
2
b k   Pt   sin kt   dt.
T0
Очевидно, что использование аппарата Фурье
для (2) дает:
a 0  U  I  cos ;
It   2
a 2  U  I  cos ;
m k i

Im
m 0
n k u
 cosmt   m ;
b 2  U  I  sin .
Ut   2  U n  cosnt   n .
(6)
По существу – a 0 представляет собой среднее
n 0
значение энергии на интервале времени, равном
Мгновенная мощность при этом будет:
периоду T , называемое активной мощностью.
mk i
Операция определения среднего значения мощноPt   Ut   It   2  I ma  cosm a t  
сти, как следует из (3), неизбежно приводит к исm  m a 0
ключению из анализа знакопеременных составляn k u
mk i
ющих мгновенной мощности.
  U n a  cosn a t   2  I mв  sin m b t  
В соответствии с терминологией, принятой в [7,
n  n a 0
m  m в 0
(7)
8, 9 ], получим:
n k u
mk i
Pt   P0  Pa t   Pb t ,
  U n в  sin n b t   2  I mв  sin m b t  
n  n в 0
m  m в 0
где P0  U  I  cos  - среднее значение активной
n

k
mk i
u
мощности (или активная мощность); Pa t  - знако  U n a  cosn a t   2  I ma  cosm a t  
переменная составляющая активной мощности
n  n a 0
m  m a 0
двойной частоты (косинусная составляющая мощn k u
ности); Pb t  - знакопеременная составляющая пе  U n в  sin n bt  P0  Pa t   Pb t  ,
ременной мощности двойной частоты (синусная
n  n a 0
составляющая мощности).
где Ima  Im  cos m;
Imb  Im  sin m;
Составляющие Pa и Pb - в сумме (геометричеUn a  Un  cosn ;
In b  Un  sin n ;
ской) дают результат:
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
93
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
Pk t   P0k  Pa k t   Pbk t  .
P0 - суммарное значение активной мощности
гармоник;
Pa t  - суммарное значение косинусных гар-
Баланс активной мощности. Энергопроцессы характерны тем, что активная мощность генерируется
или потребляется лишь в тех случаях, когда напряжение и ток имеют одинаковые частоты. При этом
справедливы известные соотношения для определения активной мощности:
моник мощности;
Pb t  - суммарное значение синусных гармоник мощности.
Определение упомянутых составляющих выполняется в соответствии с [8, 9].
Приведенный ранее анализ энергопроцессов
позволил определить общую зависимость для
мгновенной мощности в форме, обеспечивающей
выделение трех основных составляющих – постоянной (активной) мощности, знакопеременных активной и реактивной (косинусных и синусных):
Pt  
M0
 P0 
0
Ma
 Pk a 
k 1
P0 
k  2m
 Un t   Im t dt  Un  Im  cos m . (11)
0
mn
P02 ; P04 ; P06 .....P02m - постоянные составляющие
k 1
произведений гармоник напряжения и тока одной частоты (1; 2; 3 …. m=n).
Условимся именовать составляющие мощности,
полученные подобным образом, гармониками мощности канонического порядка. Как известно, в результате такой математической операции получается
постоянная составляющая P0i , а также знакопеременные косинусные и синусные составляющие. В
соответствии с этим имеем следующие уравнения
баланса мощностей канонического порядка:
(13)
Pkct   P0k  Pa kc t   Pbkc t  .
Индекс с здесь означает принадлежность к каноническим соствляющим.
Составляющие мощности канонического порядка
определяются для гармоник напряжения и тока порядка m, независимо от остальных:
P0kc  U m  I m  cosm ;
Pa kc t   Um  Im  cosm  cos2mt  ;
ik
 Pi t  .
Tm
здесь P00 - мощность гармоник нулевого порядка;
(8)
Здесь Мо, Ма, Мb – число соответствующих
компонент.
Полученный результат позволяет выполнить
интерпретацию закона сохранения в нескольких
формах, учитывающих разную степень соответствия математической интерпретации процессов
физическим процессам. Оправданность такого подхода очевидна из следующего. Постоянная составляющая мощности в правой и левой частях уравнения дает баланс мощностей на интервале анализа
процессов. Внутри этого интервала из-за переменных составляющих мощности вполне возможны
отличия мгновенного значения мощности от постоянного.
Общая или полная форма закона сохранения соответствует зависимости (8) и означает то, что
мгновенная мощность в любой точке анализируемого интервала равна сумме мгновенных значений
составляющих отдельных компонент:
Pt  
1
Tm
Здесь U n t  и I m t  - гармонические функции
соответствующего порядка.
В соответствии со сказанным:
P0  P00  P02  P0 4  ...  .P0m   P0k , (12)
Mb
 Pk b .
(10)
(14)
Pbkc t   Um  Im  sin m  sin(2mt ) .
(9)
i 0
Выделение мощности канонического порядка
принципиально в том отношении, что она определяется по составляющим из принципа суперпозиции
напряжений и токов одинаковых частот. При этом
полагается, что ток соответствующей частоты определяется только напряжением этой же частоты. Это в
полной мере соответствует реальным физическим
процессам и, естественно, полученные компоненты
могут быть использованы при решении целого ряда
практических задач.
Из полученных результатов следует, что только
гармоники мощности канонического порядка включают постоянную составляющую – активную мощность.
Ранее отмечено, что сигнал мощности является
результатом умножения напряжения на ток. Эта операция, кроме всего прочего, означает, что принцип
суперпозиции, справедливый при оценке составляющих тока при известных составляющих напряжения, в оценке составляющих мощности не действует.
Другими словами: мгновенная мощность элемента (объекта) равна сумме мгновенных мощностей всех гармоник мощности, полученных в результате умножения мгновенных значений напряжения Ut  и тока It  . При этом следует иметь в
виду, что количество гармоник мощности определяется гармоническим составом напряжения и тока
в результате умножения соответствующих аппроксимирующих рядов. Порядок гармоник мощности
зависит от частот гармонических составляющихнапряжения и тока:
k  mi  m u .
Баланс составляющих гармоник мгновенной
мощности. Каждая из компонент (в произведении
Un u и I mi ) включает, как указано ранее, три составляющие – среднее значение мощности P0 , знакопеременные составляющие косинусную и синусную. В соответствии с этим имеем:
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
94
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
Иными словами, уравнение для Pk c t  отражает
ники напряжения и тока, а также путем гармонического анализа зависимости мгновенной мощности во
времени:
ранее указанную сторону вопроса и не соответствует закону сохранения, так как не учитывает те составляющие мощности, которые получаются в результате умножения гармоник напряжения U n и
тока I m с разными частотами, т.е. при m  n . Получаемые при этом гармоники мощности имеют
частоты k s  m  n . Здесь гармоники мощности
канонического
порядка
имеют
частоты
k c  2m  2n , так как образуются при умножении
P0 
U n и I m с равными частотами.
Очевидно, что существует равенство k c  k s
при определенных сочетаниях m и n.
Условимся именовать те составляющие мощности, которые образуются в результате умножения
напряжения U n и тока I m с разными частотами,
составляющими производными. В соответствии с
известными положениями можно заключить, что
постоянная составляющая производных компонент
мощности равна нулю. Отсюда можно заключить,
что мгновенная мощность производных компонент
равна:
(15)
Pkst   Pa ks t   Pbks t  .
T
Pa k 
1
Pt   coskt   dt ;
T 0
Pb k 
1
Pt   sinkt   dt .
T 0
T
Здесь дополнительно подчеркнем ранее отмеченное. Анализ энергетических режимов с использованием указанного подхода путем предварительного
определения составляющих напряжения и тока является наиболее корректным. Использование интегральных методов определения составляющих мощности (включая использование преобразования Гилберта) менее информативно:

определение активной мощности путем интегрирования произведения Ut   It  дает суммарное значение активной мощности всех гармоник;

определение реактивной мощности через
преобразование Гилберта дает ошибочный результат.
Доказательство этого выполнено с использованием
разложения зависимостей Ut  и It  в ряд Фурье и
последующего интегрирования с учетом искусственного сдвига кривой гармоники тока относительно

гармоники напряжения на угол
.
2m
Анализ энергопроцессов в сложных электронных
и иных системах должен осуществляться с использованием их особенностей. Решение этого вопроса может быть выполнено в целом для любой структуры,
которую принципиально можно представить в виде
отдельных простейших элементов. Для каждого из
них в полной мере справедливы ранее сделанные замечания в отношении компонент мгновенной мощности.
Анализ мгновенной мощности, как в отдельном
элементе системы, осуществляется применительно и
к источнику питания электромеханической системы.
Метод может быть развит в соответствии с указанным ранее подходом для любого элемента системы,
включая механические связи с особенностями их
конструктивного выполнения и др.
Для источника питания выражение для мгновенной мощности имеет вид:
Pt   Ut   It  .
Для других элементов электротехнических
устройств зависимости для мгновенной мощности
будут иметь вид:

для линейного активного сопротивления:
Так как частоты переменных составляющих
гармоник мощности канонического порядка и производных могут совпадать, то оправдано говорить о
их суммарных значениях. Тогда полное уравнение
баланса приобретут вид:
Pk t   P0k  Pa ks t   Pa kc t   Pbks t   Pbkc t  , (16)
при k  2m  2n;
Pk t   Pa ks t   Pbks t   Pok ,
T
1
Pt dt;
T 0
(17)
при k  m  n  2m.
Отметим здесь, что переменные составляющие
мощности, получаемые путем умножения разночастотных компонент напряжения и тока, традиционно связываются с понятием мощности искажения.
Последнее, как следует из выполненного выше
анализа, диссипатирует по двум каналам. Часть
упомянутой мощности суммируется с переменными составляющими мгновенных значений мощности канонического порядка. Вклад в общее значение переменных составляющих от составляющих
мощности искажения зависит от уровней гармоник
напряжения и тока и может достигать существенных значений. Сказанное подтверждено опытными
и расчетными данными по составляющим гармоник
мощности, полученным с помощью устройства питания активно-индуктивной цепи от тиристорного
регулятора гармоник. Напряжение питания и ток
включает 1, 3, 5, 7 гармоники:
U(t )  U1 (t )  U 3 (t )  U 5 (t )  U 7 (t ) ;
I(t )  I1 (t )  I 3 (t )  I 5 (t )  I 7 (t ) .
Анализ выполнен в соответствии с двумя возможными вариантами определения составляющих
гармоник мощности: непосредственно через гармо-

PR t   R  I2 t  ;
для нелинейного активного сопротивления:
PR t t   Rt   I2 t  ;
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
95
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
PR i t   R i   I2 t  ;


мощности между источником и потребителем, между
элементами сложного потребителя и др. Важность
этого вопроса прежде всего в том, что исходные
уравнения, энергобаланс с имеющимися компонентами, могут быть использованы в качестве информации для целого ряда задач диагностического характера. В этом случае важны уравнения баланса по
всем имеющимся компонентам мгновенной мощности для всех элементов системы. Общее уравнение
энергобаланса в этом случае будет иметь вид:
(18)
Pи t   Pп t  ,
где индексами и и п обозначены мгновенные значения мощности источника и потребителя. Последний
в общем случае оправдано рассматривать в качестве
некоторой эквивалентной схемы замещения в эквивалентными активными и реактивными элементами.
Для иллюстрации сказанного воспользуемся известной схемой замещения асинхронного двигателя.
Эта схема замещения общеизвестна. При этом вопросы диагностики параметров машин переменного
тока, несмотря на огромное число публикаций, попрежнему являются актуальными.
Схема замещения фазы двигателя представлена
на рис. 1. При этом индуктивные сопротивления
приняты пропорциональными относительной частоте
 ; сопротивление контура намагничивания пропорционально относительной частоте в степени  :
для линейной индуктивности:
dit 
PL t   L  It  
;
dt
для нелинейной индуктивности:
d

PLt  t   It    Lt   It  ;
 dt

d

PLi t   It    Li   It  ;
 dt


для линейной ёмкости –
1
PC t    It    It dt ;
C

для нелинейной ёмкости –
1
PCt t   It   
 It dt ;
Ct 
1
PCi t   It   
 It dt .
Ci 
Следует отметить, что в любом случае мощность представляет произведение двух параметров,
каждый из которых может быть представлен в
форме сомножителей. По этой причине определение компонент составляющих мощности имеет общий характер, независимо от физических особенностей процессов, происходящих в элементе и
определяющих процесс преобразования энергии.
Соответствующим образом могут быть получены параметры мгновенной мощности любого элемента электромеханической системы, включая
люфты, конструкции, подвергающиеся деформации
(валы, крепления на фундаментах, подшипниковые
узлы, разного рода муфты и др.).
Выше были рассмотрены уравнения, описывающие мгновенную мощность источника питания, а
также различных пассивных элементов. Характерно
при этом, что структура уравнений баланса во всех
случаях одинакова. В соответствии с этим правомерна постановка вопроса о балансе мгновенной
x1
R1
R   R     ,
где
R  - сопротивление контура намагничива-
ния при частоте 50 Гц;
 - показатель степени, близкий к 1,6 - 2,0.
Простейшие математические преобразования
схемы замещения позволяют получить параметры
эквивалентной схемы:
z   R    j  x  .
R2
I1 t 
I 2 t 
v R 
I  t 
U t 
R  
x 2
x  
U t 
vx 
I1 t 
а)
б)
Рисунок 1 - Схема замещения фазы асинхронного двигателя (а), эквивалентная схема замещения (б)
Вещественная часть полного сопротивления:
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
96
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
R    R1 



2
  R 2 R 2     2R  X 22   2R 2X2
2
R 2    R   X 2  X  2
R  R 22

 

диагностики параметров электромеханической схемы с G неизвестными параметрами должно выполняться условие G  2N .
Формально нельзя утверждать, велико или мало
значение N , так как при значительном G вполне
доступно нужное значение N . Достоверность уравнений может вызывать сомнения по той причине,
что в конкретных условиях измерения параметров
энергетического режима ошибки при оценке гармоник высокого порядка могут достигать недопустимых величин, причем ошибки увеличиваются с порядком гармоник. Отметим, что применительно к
анализируемой схеме замещения число неизвестных
равно N  5 (сопротивление рассеяния статора x1 ;
(19)
Мнимая часть полного сопротивления:
x    X1 

 2 1R 2 X 2  R 22X  3X X 22  3X2 X 2
R
 
2
2
   R   X 2  X 
Так как Ut  
n 
 U n t , то
2
(20)
в соответствии с
n 0
принципом суперпозиции:
U t , n  
I  t   n
, а выражение для тока перz , n  
m 
вичной цепи:
n  U t , n  
.
I1 t    n
n 0 z , n  
сопротивление рассеяния ротора x 2 ; активное сопротивление статора R 1 ; сопротивление ротора
R 2 ; сопротивление контура намагничивания R  ),
количество анализируемых гармоник должно быть
N
равно G  , т.е. G  3.
2
Рассматриваемая задача диагностики может быть
осуществлена и традиционным путем: по известным
значениям I m и U n . С этой целью необходима система из G уравнений, определяющих полное сопротивление эквивалентной схемы замещения:

U
1 R
1   j  x 1 ;
I
1

U
n
 R  m   j  x  m  .
(21)
I
Принцип суперпозиции предполагает независимое определение гармоник тока первичной цепи при
известных составляющих входного напряжения, а
также значений сопротивлений для конкретных частот напряжения питания. В соответствии со сказанным, можно рассматривать и независимое энергетическое действие. Запишем выражения для составляющих мощности, эквивалентным напряжению и току с одинаковыми частотами ( m  n   ).
P0  Un  Im  cos m ;
n m
Pa   Un  Im  cos m  cosmt ;
m
Так как параметр G известен, то число уравнений вида (21) должно быть равно G . Следовательно, число анализируемых гармоник также должно
быть равно G  N  5 . Отсюда видно, что число
анализируемых гармоник почти в 2 раза больше,
чем в предыдущем случае. Рост числа анализируемых гармоник не может не отразиться на точности
получаемых результатов.
В соответствии со сделанными замечаниями,
уравнения энергобаланса в данной конкретной схеме можно представить так:
P01u  P01R  P01L  P01L  P01R  P01L  P01R ;
n m
Pb  Un  Im  sin m  sinmt .
n m
Очевидно, что приведенные зависимости относятся к составляющим канонического порядка. Таким образом, использование принципа суперпозиции позволяет определить составляющие мгновенной мощности канонического порядка, что, как отмечалось, лишь частично соответствует закону сохранения.
Как не трудно заметить, рассматриваемый случай соответствует такому питанию схемы замещения, когда сначала подается на вход напряжение с
частотой 1 , затем  2 и т.д., т.е. осуществляется
независимое питание от источника с разными частотами. Это коренным образом отличается от полигармонического питания, при котором на вход схемы подается сумма электрических сигналов с разными амплитудами и частотами.
При анализе вопросов, связанных с диагностикой
параметров электрооборудования, в случае доступности для анализа N гармоник напряжения и тока,
в качестве базовых могут использоваться 2 N независимых уравнений - N уравнений баланса активной мощности и N уравнений баланса реактивной
мощности. Здесь следует упомянуть, что в случае

1

2
2
P0 Mu  P0 MR  P0 ML  P0 ML  P0 MR 
1


(22)
 P0 ML  P0 MR ;
2
2
Pb1u  Pb1R  Pb1L  Pb1L  Pb1R  Pb1L  Pb1R ;

1

2
2
Pb Mu  Pb MR  Pb ML  Pb ML  Pb MR 
1


 Pb ML  Pb MR ;
2
2
где P01R ; P01L ; P01L ; P01R ; P01L ; P01R
1


2
2
,
- актив-
ная мощность первых гармоник элементов схемы
замещения;
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
97
ЕНЕРГЕТИКА ТА ЕНЕРГОРЕСУРСОЗБЕРЕЖЕННЯ
Pb1R ,.... Pb1R
2
стики при любом наборе тестируемых гармоник
напряжения.
Таким образом, следует отметить, что при полигармонических сигналах напряжения и тока можно
получить и использовать в практических целях следующие уравнения баланса составляющих мгновенной мощности:
 уравнения баланса активной мощности;
 уравнения баланса косинусных и синусных
составляющих канонического порядка;
 уравнения баланса суммарных значений канонических и неканонических (производных) составляющих соответствующего порядка;
 уравнения баланса неканонических составляющих соответствующего порядка.
- амплитудные значения реактив-
ной мощности первых гармоник напряжения и тока
элементов схемы замещения.
Приведенные выражения указывают на то, что
активная мощность соответствующих гармоник
напряжения и тока источника равна активной мощности всех элементов этого порядка, входящих в
схему замещения.
Выполненный анализ можно распространить и
на составляющие неканонического (производного)
порядка. При этом следует учитывать уравнения баланса активной мощности как для отдельно взятых
гармоник мощности, так и для их суммарных значений. Необходим учет переменных значений косинусных гармоник мощности в виду того, что из-за
неканонических косинусных гармоник мощности
ранее сделанное замечание о переменных составляющих активной мощности отдельных гармоник оказывается несоблюденным.
Другими словами, уравнения баланса мощностей
необходимо составлять для каждой из имеющихся
гармоник независимо. Общее число уравнений энергобаланса, обеспечивающих полную сходимость с
зависимостью мгновенной мощности во времени,
определится при известных следующих данных:

число гармоник мощности канонического
порядка – М1;

число гармоник неканонического порядка,
частоты которых не совпадают с частотами гармоник мощности канонического порядка - М2 .
Комплекс уравнений энергобаланса будет:
k M1
 P0kc

k 0
k M1
 Pa kc
 Pbkc
 Pa ks

 Pbks
k 1
q 1
k M1 q G
  Pbkcq ;
k 1

(23)
q 1
k  M 2 q G
  Pa ksq ;
k 1

q 0
  Pa kcq ;
k 1
k 1
k M 2
  P0q ;
k M1 q G

k 1
k M 2
k M1 q G
k 0
k 1
k M1
ЛИТЕРАТУРА
1. Маевский О.А. Энергетические показатели
вентильных преобразователей, М.: Энергия, 1975,
320 с.
2. Зиновьев Г.С. Определение результирующих энергетических показателей вентильных преобразователей // Силовые вентильные преобразователи, Новосибирск: НЭТИ, 1984, С. 89-100.
3. Тонкаль В.Е., Новосельцев А.В., Денисюк
С.П. и др. Баланс энергий в силовых цепях, Киев:
Наукова думка, 1992, 312 с.
4. A New Definition of Instaneous Active – Reactive Current and Power Based on Instaneous Spase Vectors on Polar Coordinates in Three-Phase Circuites, Aktira Nabal Toshihko Tanaka // IEEE Transactions on
Power Dilivery, Vol 11, No 3, 1996, Р. 1238-1244.
5. Comments on Active Power Flow and Energy
Accounts In Electrical Systems With Nonsinusoidal
Waveforms and Asymmetry Gzarnecki L // IEEE
Transaction on Power Divelery, Vol 11, No 3, 1996, Р.
1244-1250.
6. Родькин Д.И., Кожушок Г.Н. Особенности
использования метода энергодиагностики // Вестник
Харьковского политехнического
университета.
Проблемы автоматизированного электропривода.
Харьков: ХПУ, т.2, 2002, С. 526-531.
7. Родькин Д.И. Оценка составляющих мгновенной мощности полигармонических сигналов //
Электроинформ, Киев, 2003, № 3, С.13 – 15.
8. Родькин Д.И. Декомпозиция составляющих
мощности полигармонических сигналов // Электротехника, № 3, 2003. С. 34-37.
9. Родькин Д.Й., Бялобржеский А.В., Ломонос
А.И. Показатели энергопроцессов в сети с полигармоническим напряжением и током // Электротехника, 2004, № 6, С. 37 – 42.
q 1
k  M 2 q G
  Pbksq
k 1
.
q 1
Составление полного комплекса уравнений энергобаланса мгновенной мощности важно в том отношении, что с их помощью при минимуме числа тестируемых гармоник напряжения можно осуществить диагностику сложных электротехнических
систем.
Применительно к рассматриваемому примеру,
для диагностики достаточно иметь лишь по две гармоники напряжения и тока.
При этом следует иметь в виду то обстоятельство, что выделение всех составляющих гармоник
мощности позволяет осуществить операцию диагно-
Стаття надійшла 20.04.2006 р.
Вісник КДПУ. Випуск 4/2006 (39). Частина 1
98