Влияние термокапиллярного эффекта на скорость

Конвективные течения…, 2011
ВЛИЯНИЕ ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОГО
ЭФФЕКТА НА СКОРОСТЬ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФРОНТА ТОНКОГО
СЛОЯ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ ПОЛЯРНОЙ
ЖИДКОСТИ
В.Ю. ГОРДЕЕВА, А.В. ЛЮШНИН
Пермский государственный педагогический университет,
614990, Пермь, Сибирская, 24
В работе рассматривается динамика процесса испарения
тонкого слоя полярной жидкости со свободной поверхностью, расположенной на твердой подложке. На свободной
границе жидкость-пар имеет место термокапиллярная неустойчивость. Химический потенциал тонкого слоя жидкости
является немонотонной функцией и складывается из взаимодействия ван-дер-ваальсовой силы и силы двойного электрического слоя. Изучается влияние эффекта Марангони на
скорость фронта испаряющейся жидкости.
Ключевые слова: межфазная поверхность, тонкий слой, химический
потенциал, термокапиллярная неустойчивость.
ВВЕДЕНИЕ
Макроскопические тонкие жидкие пленки, порядка 10–100 ангстрем, играют важную роль в таких областях природы, как биофизика, физика, химия, а также находят свое применение в различных
технологических приложениях [1–3].
Поскольку жидкость и окружающий газ разделены деформируемой межфазной поверхностью, в их слоях может появляться волновое движение; волны могут перемещаться, динамика волнового
движения может изменяться, а при некоторых условиях могут возникнуть и квазипериодические или хаотические структуры. В таких
пленках могут возникать разрывы, при которых появляются расширяющиеся отверстия пальцеобразной формы [4].
 Гордеева В.Ю., Люшнин А.В., 2011
Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на
При испарении тонкого слоя полярной жидкости (например, воды) при некотором значении толщины первоначально плоская поверхность становится неустойчивой, и появляются две характерные
толщины тонкого слоя жидкости h1 и h2 , ( h2 > h1 ) [5], рис. 1. В
дальнейшем, при испарении, область с меньшей толщиной будет
расти, а контактная линия профиля может становиться неустойчивой и приобретать пальцеобразную форму.
dg
dh
h1
h2
h
Рис. 1. Зависимость химического потенциала от толщины слоя h для
полярной жидкости. Пунктирными линиями определены два устойчивых значения толщины слоя
Характерной особенностью полярных жидкостей является присутствие как длиннодействующих ван-дер-ваальсовых, межмолекулярных сил, так и короткодействующих полярных сил, которые
ассоциируются с двойным электрическим слоем. Благодаря такому
взаимодействию химический потенциал жидкости µ = dg / dh является немонотонной функцией. В этом случае тонкий слой поляризующейся жидкости при испарении может иметь два устойчивых
значения толщины слоя h1 и h2 , а также одно неустойчивое значение толщины слоя, расположенное между ними. Это состояние
представляет собой нестабильный фронт, благодаря динамике которого формируется пальцеобразная неустойчивость.
54
Конвективные течения…, 2011
Когда неравномерно нагретая жидкость имеет свободную границу и находится в силовом поле, на её движение существенно влияют зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и порождаемый ею термокапиллярный эффект [6]. Это
особенно проявляется в тонком слое жидкости, где термокапиллярная сила (эффект Марангони) может оказаться главным движущим
фактором.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается тонкий горизонтальный слой полярной жидкости (например, воды) толщиной h , заключенный между твердой
подложкой и паром соответствующей жидкости. Жидкость может
испаряться в парообразную среду. Твердая граница имеет температуру Θ0 , а температуру пара обозначим через Θ∞ , причем
Θ0 > Θ∞ . Предполагается, что имеет место линейная зависимость
коэффициента поверхностного натяжения от температуры
σ = σ 0 − ϑ (Θ − Θ0 ) , здесь ϑ – температурный коэффициент поверхностного натяжения.
Эволюция тонкого слоя испаряющейся жидкости описана в работах [2, 7] и выглядит следующим образом:
 h 2 ∇h 
∂h 1 ∂σ
=
Θ∞α th kth ∇ 
+
2 
dt 2 d Θ
 (kth + α th h ) 
+∇
(1.1)
h3  dg (h)
 ε  dg (h)

∇
− σ∇ 2 h  − 
− σ∇ 2 h − ρµν  ,
3η  dh
 ρ  dh

где η – вязкость жидкости, σ – коэффициент поверхностного натяжения границы жидкость-пар, ρ – плотность жидкости,
химический потенциал пара,
µv –
αth – коэффициент теплопередачи,
характеризующий скорость переноса тепла из жидкости в окружающий газ, kth – теплопроводность жидкости, ε – параметр, характеризующий интенсивность испарения (данный параметр может
быть вычислен из кинетической теории газа или получен экспериментальным путем).
55
Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на
Свободная энергия межмолекулярного взаимодействия жидкости, как функция толщины слоя, согласно [5] имеет следующий
вид:
g ( h) =
S LW d 02
d −h
+ S P exp 0
,
h2
l0
где S LW d 02 = − A / (12π ) , А – постоянная Хамакера, d0 – радиус молекулярного взаимодействия и l0 – дебаевская длина. Значение параметра S P определяется адсорбцией ионов из подложки в жидкость.
Для воды A < 0 и S P < 0 [2]. Проведем процесс обезразмеривания
в следующем виде: x → β x, t → ϕ t, h → δ h , где в качестве единиц
измерения выбираются следующие соотношения:
18µπ x02 h0
hσ 
β =  0 PN0  , ϕ =
,
A
S 
1/ 2

A
1/ 3

SP
d 
δ =
, S PN =
exp  0  .
PN 
S
6
l
π


0
 l0 
Тогда уравнение (1.1) в безразмерной форме будет выглядеть следующим образом:
 h 2 ∇h
∂ t h = MB∇ 
2
 (1 + Bh)

+

(1.2)

1

1

+∇  h3∇  3 − e − χ h − ∇ 2 h   − Ω  3 − e − χ h − ∇ 2 h − S  .
h

h


В уравнении (1.2) используются следующие безразмерные коэффициенты:
M =
α  A 
ϑΘ∞
, B = th 
 ,
kth  6π S PN 
2σ
Ω=
3ενσ  6ππ PN 


S PN  A 
1/ 3
56
2/3
, S=
ρµν
S PN
1/ 3
, χ=
1 A 

 ,
l0  6π S PN 
Конвективные течения…, 2011
где M > 0 и B > 0 являются безразмерными числами Марангони и
Био. Параметры Ω > 0 , χ > 0 характеризуют уровень испарения,
химический потенциал пара и дебаевскую длину, соответственно.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Уравнение (1.2) решалось численно с использованием пятиточечной конечно-разностной схемы методом Кранка-Николсена,
граничные условия предполагались одинаковыми hx = hxxx = 0 на
обоих концах отрезка, для которого проводились вычисления. В
работе [7] было показано, что при малых значениях параметра Ω
может существовать пальцеобразная неустойчивость, а с увеличением значения параметра испарения фронт движения стабилизируется. В работе рассматривается влияние термокапиллярного эффекта на динамику распространения тонкого слоя жидкости, как при
малых значениях параметра испарения, где существует область
неустойчивости, так и для больших значений безразмерного параметра испарения Ω . Решение уравнения (1.2) описывает распространение тонкого слоя жидкости в диапазоне значений двух равновесных значений толщины слоя h1 и h2 .
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
На рис. 2 показаны профили слоя жидкости при различных значениях числа Марангони M . Из-за осевой симметрии задачи расчеты проводились лишь для половины области. При малом значении M (рис. 2, а) фронт тонкого слоя жидкости имеет вздутие, с
увеличением числа Марангони эта выпуклость исчезает и профиль
становится монотонным (рис. 2, б). При дальнейшем увеличении
термокапиллярного эффекта происходит изменение значения h2 в
сторону уменьшения.
Численное решение уравнения (1.2), представленное на рис. 2, а
и б, показывает динамику движения фронта тонкого слоя жидкости
с постоянной скоростью, которая может быть вычислена непосредственно из компьютерных данных траектории движения профиля.
На рис. 3 представлена зависимость скорости распространения
тонкого слоя жидкости от величины испарения для различных значений безразмерного числа Марангони. С увеличением числа M
возрастает скорость движения фронта. При малых значениях термокапиллярного параметра M , как и в работе [7], при Ω → 0 скорость движения фронта также стремится к нулю. При больших зна57
Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на
чениях числа Марангони уменьшение испарения ведет к ненулевому значению скорости. Это объясняется тем, что термокапиллярный эффект сам может выступать в роли причины движения тонкого слоя жидкости.
7
7
6
6
5
5
h(x)
h(x)
4
4
3
3
2
2
0
200
400
600
x
800
0
200
400
600
x
800
б
а
Рис. 2. Профили распространения фронта при χ = 1.085, Ω = 0.07,
S = 0.003, B = 0.001 для M = 0.1 (а) и 25 (б). Штриховой линией обозначено начальное распределение
0.1
0.08
0.06
U
0.04
0.02
0
0
0.02
0.04
Ω
0.06
Рис. 3. Зависимость скорости распространения U от параметра Ω для
B = 0.001: для M = 0.1 (штриховая кривая) и 25 (сплошная)
58
Конвективные течения…, 2011
Заключение. Приведены профили движения фронта испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости. Определена зависимость
скорости движения фронта жидкости от параметра испарения для
различных значений числа M . Установлено, что наличие эффекта
Марангони приводит к увеличению скорости движения фронта испаряющейся жидкости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Kistler S.F. and Schweizer P. Liquid Film Coating-Scientific
Principles and Their Techological Implications. Kluwer, 1997.
476 p.
Oron A., Davis S.H., and Bankoff S.G. Long-scale evolution of thin
liquid films // Rev. Mod. Phys. 1997. Vol. 69. P. 931–980.
Sharma A., Khanna R. Pattern formation in unstable thin liquid
films // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 3463–3466.
Troian S.M., Herbolzheimer E., Safran S.A., and Joanny J.F.
Fingering instabilities of driven spreading films // Europhys. Lett.
1989. Vol. 10. P. 25–30.
Samid-Merzel N., Lipson S.G., and Tannhauser D.S. Pattern
formation in drying water films // Phys. Rev E. 1998. Vol. 57.
P. 2906–2913.
Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение
в тонком слое жидкости // Гидромеханика и процессы
переноса в невесомости. УНЦ АН СССР. 1983. C. 116–125.
Lyushnin A.V., Golovin A.A., and Pismen L.M. Fingering instability
of thin evaporation film // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 021602–
021608.
INFLUENCE OF THERMOCAPILLARY
EFFECT ON THE PROPAGATION
VELOCITY OF THE FRONT EVAPORATION
THIN FILM OF A POLAR LIDUID
V.Y. GORDEEVA, A.V. LYUSHNIN
Abstract. This paper considers the dynamics of the
evaporation process of a thin film of a polar liquid with a
59
Гордеева В.Ю., Люшнин А.В. Влияние термокапиллярного эффекта на
free surface, is located on a solid substrate. At the free
border of the liquid-vapor takes place thermocapillary
instability. The chemical potential of a thin liquid film is
non-monotonic function and the sum of the interaction of
van der Waals forces and the electric double layer. The
influence of Marangoni effect on the velocity front
evaporating liquid film, are studied.
Key words: the interphase surface, thin liquid film, chemical potential,
thermocapillary instability.
60