Document 2599532

общественные идеалы, родительские советы, предрасположенность сверстников к определённым видам деятельности, сведения,
почерпнутые из книг и иных средств коммуникации. Процесс этот до конца непредсказуем. Поэтому-то у одного и того же
индивида может возникнуть как мечта о профессии пилота скоростного самолёта или карьере астронома, так и меча о работе
спасателя.
Превращение потребности в мечту происходит под действием быстропротекающей интенсивной эмоции, а создаваемый
благодаря этому психический образ – один из тех, которые кардинально отличают человека от всего его окружения.
Литература
1. Акимов А. В. Долгосрочные перспективы роста численности населения мира.// Историческая психология и социология
истории. – 2010. – Том 3. – № 2. – С. 5-24.
2. Бакулина М., Скворцова Я. Прогнозирование методом сценариев. 2012. [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://iupr.ru/domains_data/files/zurnal_osnovnoy_5/Bakulina%20M.%20S.%20Skvorcova%20Ya.%20A..pdf
3. Глазунов Ю.Т. Эмоциональное переживание в системе целеполагания человека. // Вестник Мурманского государственного
технического университета. – 2011. – Том 14. – № 1. – С. 126-140.
4. Глазунов Ю.Т. Моделирование целеполагания / Ю.Т. Глазунов. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2012, – 216 с.
5. Глазунов Ю.Т. Программирование регионального развития / Ю.Т. Глазунов. – Апатиты: изд. Российская Академия Наук.
Кольский научный центр, 2008. – 264 с.
Заславский Ю.М.
C.н.с., д.ф.-м.н. Институт прикладной физики Российской академии наук, Россия, 603950, Нижний Новгород, Ульянова ул.,
д.46
О ПРОФИЛЕ КАПЛИ ЖИДКОСТИ В КОНТАКТЕ С ПОДЛОЖКОЙ
Аннотация
Проведено теоретическое исследование формы профиля капли жидкости в случаях растекания по твердой ровной
смачиваемой подложке и для капли, свисающей с подложки вниз. Граница газ-жидкость рассматривается в условиях равновесия
сил поверхностного натяжения и сил гравитации. Проанализирована зависимость радиуса растекания жидкой капли от величины
краевого угла для обоих случаев верхнего и нижнего расположения капли.
Ключевые слова: профиль разреза, капля жидкости, поверхностное натяжение, краевой угол, твердая подложка
Zaslavsky Yu.M.
Leader scientist, doctor of p.-m.s., Institute of applied physics Russian academy of science, Russia, 603950, Nizhny Novgorod,
Ul’yanov Str., 46.
ON THE PROFILE OF A LIQUID DROP IN TOUCH WITH THE SUBSTRATE
Abstract
Vertical cross sections of a liquid drop spread over a rigid flat wettable substrate and the drop hanging from the substrate are studied
theoretically. The gas-liquid boundary analyzed in equilibrium of the surface tension forces and the gravity forces is analyzed. The radius of
spreading of a liquid drop as a function of the contact angle is considered for both cases of the upper and lower location of the drop.
Keywords: section profile, liquid drop, surface tension, contact angle, rigid substrate
Известно, что жидкость, растекшаяся по идеально ровной горизонтальной твердой смачиваемой подложке, собирается в
капли, которые сохраняют устойчивую форму. Линия границы (профиль) вертикального разреза капли жидкости, удерживающейся
в равновесии на идеально гладкой подложке, привлекает внимание исследователей, поскольку информация о форме профиля имеет
важное практическое применение [1-5]. В [6] выполнен расчет профиля капли, находящейся в равновесии под действием
центробежных сил и сил поверхностного натяжения, когда подложка и капля вращаются вокруг оси симметрии. Там, в частности,
показано, что форма капли без вращения, т.е. при действии только сил поверхностного натяжения, представляет собой
сферический сегмент.
Теоретический и практический интерес представляет также анализ формы огибающей поверхности капли при отсутствии
вращения. Предполагается осесимметричная модель и рассматриваются два случая – капля, растекшаяся поверх твердой ровной
горизонтальной подложки, и капля, свисающая с нижней стороны подложки вниз, в которых имеет место равновесие под
действием сил тяжести и сил смачивания. В данной статье строится профиль вертикального разреза капли, анализируется
зависимость радиуса растекания от величины контактного угла, при этом используется подход, аналогичный предложенному в [6].
Результаты работы могут использоваться в обосновании модели протекания жидкости сквозь вертикальное капиллярное отверстие
с последующим срывом капли вниз, анализ которой представлен в работе [7], посвященной расчету периода цикличности
капиллярного течения. Рассмотрение начнем со случая нижнего расположения, т.е. со случая капли, висящей под подложкой.
В работе [6] показано, что давление внутри капли, имеющей осесимметричную форму, обусловленное поверхностным
натяжением на границе жидкость-пар, описывается выражением
p
Z 
1  Z 2 3 2
,
(1)
где  – коэффициент поверхностного натяжения на границе жидкость-пар,
2
z  Z (r )
Z   dZ dr Z   d Z dr
высота огибающей – линии профиля
2
вертикального разреза капли, как функции радиуса,
,
.
Записывая условие равновесного состояния капли в поле тяжести, в пренебрежении противодавлением со стороны газовой
фазы и под действием сил натяжения, нетрудно показать справедливость уравнения:
 dZ 2 


Z 
dZ 

p0  gZ  

1  Z 2  21  Z 2 3 2 ,
(2)
интегрируя которое, можно придти к соотношению
27
p0 Z 
gZ 2

 const. 
2
1  Z 2
.
(3)
gh 2
const.    p0 h 
2 . Аналогичное
При z  h (где h – полная высота капли) имеет место Z   0 , откуда
Z   ctg 0 , что позволяет получить выражение для постоянной составляющей давления
условие при z  0 записывается как
 (1  sin  0 ) gh
p0 

h
2 ,
(4)

где 0 – контактный угол, являющийся вторым из двух параметров (наряду с константой  ), характеризующим область
пересечения трех фаз – подложка-жидкость-пар в «тройной» точке.
Раскрывая в (3) корень и интегрируя, приходим к выражению для
r , как функции высоты z :
dZ
2
r
2 1
g ( Z 2  h 2 ) 

  p0 ( Z  h) 

2


.
(5)
p
  r h и   z h , получаем формулу, на основе
Подставляя в (5) выражение 0 из (4) и переходя к безразмерным
которой проводится расчет требуемой функции профиля вертикального разреза
Z h

d
1

0
gh 2
gh 2 

2
1

(


1
)(
1

sin


)

(


1
)


0
2
2 

2
1
.
(6)
Интеграл в (6) сводится к табличному, но ввиду громоздкости результата, расчет профиля и его анализ выполнены численным
способом с применением стандартных функций, реализованных в пакете Mathcad. Из расчетных формул (5), (6) следует, что вместо
координат
r, z
могут использоваться отношения координат к максимальной высоте капли, при этом независимыми параметрами
2




gh
2 . При графическом построении необходимо строить Z h , как функцию от
0
задачи являются величины
и
r h , вычитая текущие значения  из максимального значения этой величины. Легко также видеть, что переход от
аргумента
g  g
рассматриваемого случая капли, свисающей вниз, к случаю верхнего расположения капли, производится сменой знака
   .
или заменой
z h , как функции r h , для нижнего расположения капли (свисающей
На рис. 1 а представлены профили капли в виде
   6 (кривая 1),  0   4
вниз, ввиду чего ордината также откладывается вниз), при значениях контактного угла 0
 0   3 (кривая 3), 0   2 .75 (кривая 4) и при   gh 2 2  0.7 . Последняя из представленных –
 2 .75 , при котором кривая профиля устойчиво
кривая 4 соответствует предельному значению контактного угла
рассчитывается, а радиус растекания минимален. Максимальное значение радиуса растекания в единицах h (кривая 1) достигает ~
0.8. Характерно наличие перегиба в профиле приблизительно на половинной его высоте относительно максимальной высоты h .
(кривая 2),
Можно предположить, что на указанном месте формируется область перетяжки у «набухающей» капли при увеличении ее массы,
например, за счет конденсации влаги из соседней паровой фазы. Вероятно, разрыв в профиле и срыв капли вниз, т.е. потеря
устойчивости формы, также произойдет в указанной области. Однако такое заключение может быть сделано только на основе
решения динамической задачи, хотя на предварительном этапе картина статической равновесной конфигурации также может
рассматриваться как пролегомен к анализу динамики.
На рис.1 б представлены аналогичные профили капли, соответствующие верхнему ее расположению, т.е. сверху на подложке,
при тех же значениях угла смачивания
0   6
(кривая 1),
0   4
(кривая 2),
0   3
(кривая 3), но при
2
  gh 2   0.7 .
Здесь имеет место монотонный спад высоты профиля вплоть до нулевого значения с ростом
радиуса и достижения им своего максимума – радиуса растекания. Величина радиуса растекания, измеренная в относительных
единицах h достигает
28
а
r h
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.25
zh
1
2
3
4
0.5
0.75
1
б
rh
0
0.4
0.8
1.2
1.6
1
0.75
1
2
3
z h 0.5
0.25
0
Рис.1.а – Профиль вертикального разреза капли, свисающей с подложки вниз.
Значения контактного угла:
Параметр
1   0   6 , 2   0   4 , 3   0   3 , 4   0   2 .75 .
  gh 2 2  0.7 .
б – Профиль капли, растекшейся по подложке сверху:
1  0   6 , 2  0   4 ,
3   0   3 . Параметр   gh 2 2   0.7 .
теперь ~ 1.6, хотя масштабная единица в этом случае может оказаться другой. Если свести к равным значениям не
максимальные высоты капель (как это дается на рис.1 а, б для свисающей вниз капли и для лежащей на подложке), а радиусы
растекания, то нетрудно заключить, что максимальная высота капли, растекшейся по подложке сверху, меньше в 2 раза, чем у
капли, свисающей вниз.
Сравнение профилей вертикального разреза капель жидкости на подложке и свисающей с подложки вниз показывает
принципиальное различие их вида и в количественных значениях таких параметров как высота капли и радиус растекания.
Полученные результаты анализа профиля капли, находящейся в контакте с подложкой в условиях равновесия сил гравитации
и сил поверхностного натяжения, могут найти применение при проведении фармацевтических исследований, при производстве
продуктов питания, а также при выполнении работ, требующих сравнение результатов для обычных условий с теми, которые
предполагают отсутствие силы земного тяготения.
Литература
1. П.Ж. Де Жен (P. G. De Gennes) Смачивание: Статика и динамика / Успехи физических наук 1987, т.151, вып.4, С. 619-681.
2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
3. А.В. Лыков Тепломассообмен (Справочник). М.: Энергия, 1978.
4. В.Н. Николаевский Геомеханика и флюидодинамика с приложениями к проблемам нефтяных и газовых пластов. М.:
Недра, 1996.
5. Ш.Г. Гиматудинов, А.И. Ширковский Физика нефтяного и газового пласта. М.: Альянс, 2005. 309с. (Учебник для ВУЗов
изд. 4-е перепечатано с 3-го 1982.)
6. П.В. Лебедев-Степанов, Т.А. Карабут, Н.А.Чернышев, С.А. Рыбак Исследование формы и устойчивости капли жидкости
на вращающейся подложке. //Акуст. ж. 2011. 57, №3, с.323-328
7. Ю.М. Заславский, В.Ю. Заславский К оценке периода вытекания капель жидкости из капиллярного отверстия // Вестник
ННГУ (Математическое моделирование. Оптимальное управление) 2012. №5-2, с.90-92
29