Лекция 2-4. Волны в упругой среде

C
om
pa
ny
C
on
fid
en
tia
ВОЛНЫ
l
Лекция 2-4
l
en
tia
Распространение волн в упругой среде
C
om
pa
ny
C
продольные волны: частицы среды
колеблются вдоль направления
распространения волны (жидкость, газ,
твердое тело).
on
fid
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды
возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами
это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой
скоростью v.
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они
лишь совершают колебания около своих положений равновесия.
поперечные волны: частицы среды
колеблются в направлениях,
перпендикулярных к направлению
распространения волны (твердое тело).
l
en
tia
Поперечные волны
t=0
fid
Частица 1 начала смешаться из
положения равновесия вверх,
увлекая за собой следующие
частицы.
t = T/2
C
частица
1
достигает
крайнего
верхнего положения; одновременно
начинает смещаться из положения
равновесия частица 2.
on
t = T/4
t=T
om
pa
ny
первая
частица
будет
проходить
положение равновесия, двигаясь в
направлении сверху вниз, вторая
частица достигает крайнего верхнего положения, а третья частица начинает смещаться
вверх из положения равновесия.
C
Первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии
движения, как и в начальный момент. Волна пройдет путь uT и достигнет частицы 5.
l
en
tia
Продольные волны
on
C
ny
При прохождении
продольной волны в среде
создаются чередующиеся
сгущения и разрежения
частиц, перемещающиеся
в направлении
распространения волны со
скоростью v.
fid
Проводятся аналогичные
рассуждения с заменой
смещений вверх и вниз
смещениями вправо и
влево.
lv = u
C
l = uT
om
pa
Различные частицы среды колеблются со сдвигом по фазе.
Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние l = uT , колеблются
одинаковым образом (говорят - в фазе одинаковой фазе).
.
Расстояние
между ближайшими частицами колеблющимися в одинаковой фвзе,
называется длиной волны
.
l
en
tia
Волновой фронт
В реальных средах колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х,
а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме.
fid
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t,
называется фронтом волны (или волновым фронтом).
on
Фронт волны представляет собой поверхность, которая отделяет часть
пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой
колебания еще не возникли.
ny
C
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется
волновой поверхностью. На ней все параметры волновых возмущений
одинаковы.
Волновая поверхность
Волновой фронт
Является огибающей пространства,
охваченного волновым процессом
Волновых поверхностей существует
бесконечное множество
Волновой фронт в каждый момент
времени только один.
Волновые
поверхности
неподвижными
Волновой
фронт
перемещается.
C
om
pa
Можно провести через любую точку
пространства, охваченного волновым
процессом.
остаются
все
Форма волновой поверхности определяется формой источника.
время
l
en
tia
Уравнение плоской волны
Уравнением волны называется выражение, которое дает
колеблющейся точки, как функцию ее координат х, у, z и времени t:
fid
x = x ( x, y , z ; t )
смещение,
on
Пусть колебания носят гармонический характер. Найдем вид функции ξ в
случае волны с плоским волновым фронтом - плоской волны.
Плоские волновые поверхности будут перпендикулярны к оси x. Поскольку все
точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть
только от х и t:
C
x = x ( x; t )
ny
Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0, имеют
гармонический вид
om
pa
x ( 0, t ) = a cos wt
Найдем
вид
колебания
частиц
в
плоскости,
соответствующей произвольному значению х.
C
Необходимое время для переноса возмущения в это место:
x
t=
u
Ось х совпадает с
направлением
распространения
волны.
l
en
tia
Колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать на время
колебаний частиц в плоскости х = 0:
t
от
æ xö
x ( x, t ) = a cos w ( t - t ) = a cos w ç t - ÷
è uø
fid
Это и есть уравнение плоской волны:
on
æ xö
x = a cos w ç t - ÷
è uø
связь между временем (t) и тем местом (х), в
котором
зафиксированное
значение
фазы
осуществляется в данный момент.
ny
æ xö
w ç t - ÷ = const
è uø
C
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении:
om
pa
Найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы.
1
dt - dx = 0
u
C
æ xö
x = a cos w ç t - ÷
è uø
u >0
Волна бежит направо
dx
u=
dt
Это фазовая скорость
æ xö
x = a cos w ç t + ÷
è uø
Волна бежит налево
u <0
l
(
en
tia
Уравнению плоской волны можно придается симметричный относительно x и t
вид:
Для этого вводится волновое число k.
x = a cos wt - kx
)
Между волновым числом k, круговой частотой ω и фазовой скоростью волны v
имеется соотношение
получаем
on
l = uT
2p
k=
l
om
pa
ny
C
Учитывая
fid
w
u=
k
C
Перемещение волнового фронта направо:
C
om
pa
ny
C
on
fid
en
tia
l
l
en
tia
Уравнение сферической волны
Если фаза колебаний источника равна
wt
fid
Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако
если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника,
значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным.
on
то точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой
C
æ rö
w çt - ÷
è uø
ny
Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается
средой, не остается постоянной - она убывает с расстоянием от источника по
закону 1/г.
om
pa
Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид
C
a
æ xö
x = cos w ç t - ÷
r
è uø
или
a
x = cos (wt - kr )
r
C
om
pa
ny
C
on
fid
en
tia
l
en
tia
l
Уравнение плоской волны, распространяющейся в
произвольном направлении
Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся
образующем с осями координат х, у, z углы a , b и g .
направлении,
fid
Пусть колебания в плоскости, проходящей через
начало координат, имеют вид
в
on
x0 = a cos wt
C
Возьмем волновую поверхность (плоскость),
отстоящую от начала координат на расстоянии /.
ny
æ lö
x = a cos w ç t - ÷
è uø
Выразим
/
через
радиус-вектор
рассматриваемой поверхности:
r
n
om
pa
rr
nr = r cos j = l
точек
вектор нормали
rr
rr
w nr ö
æ
x = a cos ç wt ÷ = a cos wt - kr
u ø
è
r
r
k = kn
C
Вектор
- единичный
г
(
- волновой вектор.
)
Его модуль – волновое число к
l
en
tia
Перейдем от радиуса-вектора точки к ее координатам х, у, z:
rr
kr = k x x + k y y + k z z
Тогда уравнение плоской волны принимает вид
)
on
(
fid
rr
x = a cos wt - kr = a cos (wt - k x x - k y y - k z z )
Здесь компоненты волнового вектора:
2p
kx =
cos a
l
2p
kz =
cos g
l
ny
C
2p
ky =
cos b
l
om
pa
Уравнение плоской волны обычно пишут в виде:
x = ae
C
Здесь подразумевается,
выражения.
что
rr
i wt - kr
(
берется
)
только
вещественная
часть
этого