Задачи для самостоятельной работы студентов 1

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
для студентов-бакалавров 1-го курса МО и ИиИКТ ПО по объединенному курсу
“Механика и молекулярная физика”
Лектор проф. П. М. Меднис
1
Задача 1. Для движения частицы в плоскости xy, заданного вектором r = t2i + 2t3j, определить: проекции r на
орты i и j, аналитический вид траектории y= f(x) и направление ее движения, вектор и модуль скорость
движения частицы, зависимость пройденного ею пути от времени. Вычислить указанные величины в
моменты времени t = 0,1,2 c.
Задача 2. То же для движения частицы в плоскости xy, заданного вектором r = t соs t i + t sin t j.
Задача 3. То же для движения частицы в плоскости xy, заданного вектором r = t i + t 2 j.
Задача 4. То же для движения частицы в плоскости xy, заданного вектором r = соs 2t i + sin 2t j.
Задача 5 . Частица, находящаяся при t = 0 в начале координат, движется со скоростью V = sin t i + 2 соs t j.
Найти радиус-вектор положения частицы, определить траекторию и направление движения частицы.
Вычислить пройденный путь через 1 секунду после начала движения.
Задача 6 . Для пространственных движений: а) r = t2i + 2t2j + 3 t2 k, б) r = sin t i + cos t j + k, построить
траектории и указать направления движений частицы. Определить скорости, пройденные пути, а также
характеристики проекций движения, соответственно, в плоскостях x = 0, y = 0, z = 0.
2
Задача 1. Тело с высоты 10 м брошено вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Определить время
падения и скорость тела внизу.
Задача 2. Мяч, брошенный вертикально вверх, через 1с оказался на высоте 3 м, а через некоторое время  на
высоте 1,5 м. Найти начальную скорость мяча и время . Найти также максимальную высоту подъема мяча и
общее время его движения от броска до возвращения вниз.
Задача 3. Ядро вылетело из пушки, стоящей на поверхности Земли, с начальной скоростью V0 = 20i + 15j
(м/c) и ударилось о стену крепости на высоте 6 м над поверхностью Земли. На каком расстоянии от пушки
находилась стена? Какую скорость имело ядро в момент удара его о стену?
Задача 4. Тело брошено под углом 450 к поверхности Земли с начальной скоростью 50 м/c с башни высотой
20 м. Определить угол и место падения тела.
Задача 5. Найти закон изменения скорости лыжника при скатывании его с горы, угол наклона которой к
горизонтальной поверхности равен 450 .
Задача 6. Якорь электромотора, вращавшийся с угловой частотой 0 = 50 рад/с, после выключения тока стал
вращаться равно замедленно и остановился, сделав 200 оборотов. Найти угловое ускорение якоря  и время,
через которое скорость якоря станет равной нулю.
Задача 7. Автомобиль движется равноускоренно по окружности радиуса 50 м и за время, равное 20с,
проходит путь 100 м. Найти тангенциальное и нормальное ускорения автомобиля, если его начальная
скорость равнялась нулю.
3
Задача 1. Движение частицы задано уравнением  = а(t – bt2), где а и b – положительные константы.
Сколько оборотов сделает частица, двигаясь по окружности, до смены направления вращения? Определить
угловые и линейные скорости и ускорения частицы в точках поворота.
Задача 2. Во время выстрела из винтовки пуля, двигаясь в канале ствола, делает один полный оборот.
Какова угловая скорость вращения пули, если в момент вылета из ствола длиной l = 2м ее линейная
скорость V =860 м/c ?
Задача 3. Под каким углом к дороге летит самолет, если пассажир поезда, движущегося со скоростью 70
км/час, видит его летящим перпендикулярно дороге. Скорость самолета 300 км/час.
Задача 4. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды скоростью V = 0,3 м/с, перпендикулярно к
ее параллельным берегам. Ширина реки b = 63 м. Скорость течения воды u изменяется по параболическому
закону

( x - b/2) 2
u  u 0 1  4
2
b


 м / c ,

где х – расстояние от берега, константа u0 = 3 м/c. Найти величину сноса s лодки по течению от пункта ее
отправления до места причала на противоположном берегу.
1
Задача 5. В вагоне, движущемся прямолинейно и горизонтально с ускорением, а = 5 м/c2, подвешено на
нити небольшое тело массы m = 0,1 кг. Найти силу натяжения нити Т и угол отклонения  нити от
вертикали.
Задача 6. Горизонтально расположенный диск вращается с угловой скоростью 20 рад/мин. Найти
максимальный коэффициент трения тела о диск, если оно удерживается на расстоянии r = 0,2 м от оси
вращения, проходящей через центр диска.
Задача 7. Материальная точка движется по наклонной плоскости с линейным ускорением а, под действием
четырех сил: силы тяжести mg, силы трения Fтр, силы реакции опоры N и силы тяги F. Выразить величину
силы тяги через параметры задачи и угол наклона плоскости к горизонту .
4
Задача 1. Чему равен коэффициент трения колес автомобиля о дорогу, если при скорости автомобиля 10 м/с
тормозной путь равен 8 м?
Задача2. Через неподвижный блок перекинута тонкая нерастяжимая нить, на которой подвешены два груза
массами m1 и m2. Какой путь пройдет каждый из грузов за 1 с? Считать, что блок вращается без трения .
Массой блока пренебречь.
Задача 3. Определить период обращения конического маятника, если его длина 50 см, а угол, образуемый
нитью с вертикалью, равен 600 .
Задача 4. По горизонтальному участку дороги едет велосипедист, описывая дугу радиусом 10 м. Под каким
к горизонту наклонен велосипедист, если его скорость 6 м/c?
Задача 5. Маленькая шайба массы m , находящаяся в верхней точке поверхности большого шара, начинает
соскальзывать с него с начальной скоростью v0 . Найти зависимость силы реакции опоры N от угла  и угол
отрыва шайбы от поверхности шара  0. Трением пренебречь.
Задача 6. На горизонтальном столе лежат два тела, которые могут скользить по столу без трения. Тела
связаны невесомой нерастяжимой нитью. Такая же нить, переброшенная через невесомый блок, связывает
тело 2 с грузом массы m = 0,5 кг. Масса тел 1 и 2 равны М = 1 кг. Считая, что блок вращается без трения, а
нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел, натяжение нити F12 , связывающей тела 1 и 2,
натяжение нити F2 на участке от тела 2 до блока, натяжение нити F3 на участке от блока до груза m.
5
Задача 1. Найти работу, совершаемую при подъеме груза массой m = 10 кг по наклонной плоскости с углом
наклона  =450 на расстояние s = 2 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения k = 0,1.
Задача 2. Парашютист массой 70 кг совершает затяжной прыжок и через 14 с имеет скорость 60 м/с. Считая
движение парашютиста равноускоренным, найти работу по преодолению сопротивления воздуха.
Задача 3. С какой скоростью необходимо толкнуть математический маятник, чтобы он из равновесного
состояния отклонился на 600, если длина маятника равна 1 м?
Задача 4. Какую работу необходимо произвести, чтобы телеграфный столб массой 200 кг, к вершине
которого прикреплена крестовина массой 30 кг, перевести из горизонтального положения в вертикальное?
Задача 5. По гладкому желобу с высоты h без трения скользит маленькое тело, которое вначале толкнули,
сообщив ему скорость v0. При какой минимальной высоте, тело, не отрываясь от желоба, опишет замкнутую
петлю, если радиус окружности R? Чему равна сила давления N тела на желоб в верхней точке А?
Задача 6. Небольшое тело массы m скользит с горки произвольной формы с высоты h с постоянной
скоростью v0. Найти работу силы трения.
Задача 7. Доказать, что работа любой силы, перпендикулярной перемещению, равна нулю.
Задача 8. Исследовать преобразование видов энергии в процессе колебаний математического маятника.
Задача 9. То же для пружинного маятника.
6
Задача 1. Найти общую мощность, развиваемую моторами электропоезда, который состоит из n = 6 вагонов
массой по 4 т, если он в течении времени t =10 с от начала движения приобрел скорость V = 10 м/с.
Коэффициент трения принять равным 0,2.
2
Задача 2. На тонкой нити длиной 0,5 м подвешен пружинный пистолет так, что ствол расположен
горизонтально. На какой угол отклонится нить после выстрела, если пуля массой m = 20 г при вылете из
ствола имеет скорость V = 10 м/с ? Масса пистолета М = 200 г.
Задача 3. Пуля массой m ударяется о баллистический маятник массой М и застревает в нем. Какая доля
кинетической энергии пули перейдет в теплоту?
Задача 4. Шарик массой m, движущийся горизонтально, ударяется о поверхность призмы массой М так, что
отскакивает вертикально вверх на высоту h. Считая удар абсолютно упругим, определить скорость,
полученную призмой в результате удара. Трением призмы пренебречь.
Задача 5. Какое количество энергии потратилось на деформацию двух столкнувшихся шаров массами m1 =
m2 = 4 кг, если они двигались навстречу друг другу со скоростями V1 = 3 м/с и V2 = 8 м/с, а удар был прямой
неупругим?
Задача 6. На какую высоту необходимо запустить искусственный спутник Земли, чтобы с Земли он казался
неподвижным, а его орбита была круговой и лежала в плоскости экватора? Радиус Земли R = 6.37 Mм, а
период суточного вращения Т = 24 ч.
Задача 7. Определить скорость движения Луны вокруг Земли, считая, что Луна движется по круговой
орбите. Принять массу Земли МЗ = 5,961024 кг, а расстояние между Луной и Землей R = 384,4 Mм.
7
Задача 1. Якорь электромотора, вращавшийся с угловой частотой 0 = 50 рад/с, после выключения тока стал
вращаться равно замедленно и остановился, сделав 200 оборотов. Считая якорь цилиндром радиуса R = 15
см и массой m = 10 кг, найти угловое ускорение якоря  и время, через которое скорость якоря станет
равной нулю. Определить также начальный момент импульса якоря и момент сил трения, действовавший на
якорь.
Задача 2. Оценить средний момент сил, необходимый для раскручивания колеса радиуса R = 0,5 м и массой
m = 5 кг до угловой скорости  = 20 рад/с за время 1 с.
Задача 3. Через диск радиуса R = 10 см и массой m = 2 кг, укрепленный на неподвижной оси, вокруг
которой диск вращается без трения, перекинута тонкая нерастяжимая нить, на которой подвешены два груза
массами m1 = 2 кг и m2 = 3 кг. Какой путь пройдет каждый из грузов за 1 с, если считать, что скольжение
между диском и нитью отсутствует? Вычислить также угловую скорость вращения диска и его момент
импульса в конце первой секунды движения.
Задача 4. Через блок перекинут шнур, на одном конце которого находится лестница с человеком, а на
’
другом конце – уравновешивающий груз массы М. Человек, масса которого m, совершает перемещение r
вверх относительно лестницы и останавливается. Пренебрегая массами блока и шнура, найти перемещение
центра масс этой системы.
Задача 5. Потенциальная энергия частицы имеет вид
x
U a
y
,
z
где а – константа. Найти: а) вектор силы, действующий на частицу, б) работу, совершаемую над частицей
силами поля при переходе частицы из точки с координатами (1.1,1) в точку с координатами (2,2,3).
Задача 6. Водометный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью u
относительно катера назад. Масса катера М = 1000 кг. Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и
равна dm/dt = 10 кг/c. Пренебрегая сопротивлением движению катера со стороны воды, определить: а)
скорость катера v спустя время t = 1 мин после начала движения, б) какой предельной скорости vмах может
достичь катер.
Задача 7. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот.
Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращательный момент сил М = 0,17 Нм. Масса ведра с
водой m = 13,2 кг. Масса ворота mв = 43,1 кг, радиус ворота r = 12,8 см. Расстояние от края сруба до
поверхности воды в колодце h = 7 м. Определить: а) по какому закону изменяется со временем угловая
скорость вращения ворота, б) натяжение веревки во время опускания ведра, в) через сколько времени ведро
коснется воды в колодце, г) какую скорость будет иметь ведро в конце падения , д) какую работу совершают
силы трения за время падения ведра. Ворот считать сплошным однородным цилиндром.

y
8
Задача 1. Однородный сплошной цилиндр радиуса R и массы m скатывается без скольжения с наклонной
плоскости, образующей угол  с горизонтом. Найти линейное ускорение центра масс, угловое ускорение
цилиндра, а также силу сцепления цилиндра с плоскостью.
Задача 2. На горизонтальной плоскости лежит катушка массой m и радиусами торцов R. На катушку
намотана невесомая и нерастяжимая нить, причем радиус внешнего слоя намотки равен r. Коэффициент
трения между катушкой и поверхностью равен . За нить тянут с силой F. При каком условии качение будет
3
происходить без скольжения? Определить условия, при которых катушка будет катиться, и в каком
направлении.
Задача 3. Однородный цилиндр находится на горизонтальной доске. Коэффициент трения между ними
равен .. Доске задали некоторое ускорение, скажем, а - в горизонтальном направлении и перпендикулярно
оси цилиндра. Найти: 1) ускорение оси цилиндра ас в отсутствие скольжения; 2) предельное значение
ускорения апр , при котором скольжение еще отсутствует.
Задача 4. Решить Задачу 2. на стр. 159 книги П.М. Медниса “Механика”.
Задача 5. Решить Задачу 3. на стр. 159 книги П.М. Медниса “Механика”.
Задача 6. Решить Задачу 30. на стр. 167 книги П.М. Медниса “Механика”.
9
Решить задачи, приведенные на стр. 193-194 книги П.М. Медниса “Механика”.
10
Задача 1. В сосуд с ртутью и водой брошен стальной шарик. Какая часть объема шарика будет находиться в
воде?
Задача 2. Тело, движущееся вертикально вниз со скоростью 1 м/с, попадает в воду и за 0,5 с проходит путь
1,2 м. Пренебрегая трением, определить плотность этого тела.
Задача 3. В широком цилиндрическом сосуде, наполненном водой до уровня 75 см, имеются два отверстия,
через которые бьют струи воды. Нижнее отверстие находится на высоте 25 см. На какой высоте находится
верхнее отверстие, если обе струи пересекают горизонтальную плоскость, расположенную на уровне дна
сосуда в одной точке?
Задача 4. По трубе сечением S = 4 см2 , изогнутой под прямым углом, течет вода. С какой силой вода
действует на трубу, если через сечение трубы ежесекундно проходит Q = 2 кг воды?
Задача 5. Какую силу необходимо приложить к поршню горизонтально расположенной спринцовки, чтобы
вытекающая из нее струя воды имела скорость v = 10м/c? Радиус поршня R =2 см. Трением пренебречь.
Задача 6. Через поперечное сечение горизонтально расположенной трубы переменного сечения ежеминутно
проходит 2 м3 воды. Определить разность уровней воды в манометрических трубках в местах сечений
диаметрами 0,3 и 0,1 м.
Задача 7. Какую мощность развивает сердце человека, если при каждом биении левый желудочек,
сокращаясь, выталкивает в аорту около m =70 г крови под давлением р =26 кПа, а за t = 1мин происходит
приблизительно n = 75 сокращений желудочка? Плотность крови  = 1,05 т/м3 .
11
Задача 1. Резиновый шнур растянут так, что его длина увеличилась в два раза. Каков диаметр растянутого
шнура, если до растяжения он был 1 см, а коэффициент Пуассона для резины  = 0,5?
Задача 2. Определить относительное изменение объема стальной проволоки диаметром 2 мм при
растяжении ее силой 1 кН. Коэффициент Пуассона  = 0,3.
Задача 3. Определить относительное удлинение медного стержня, если при его растяжении затрачена работа
0,12 Дж. Длина стержня 2 м; площадь его поперечного сечения 1 мм2.
Задача 4. Чему равна плотность упругой энергии растянутого стального стержня, если относительное
удлинение 0,001?
Задача 5. Два вагона массами m = 20 т, двигавшиеся навстречу друг другу со скоростями V = 2 м/c,
сталкиваются. Определить сжатие пружины буферов вагонов, если под действием силы F = 40 кН пружина
сжимается на x0 = 1 cм. Считать, что сжатие пружины пропорционально силе.
Задача 6. На какую высоту поднимается камень массой m = 30 г, выпущенный вертикально вверх из рогатки
резиновый жгут которой сечением S = 0,2 см2 и длиной l = 30 см был растянут на величину l = 20см ?
Сопротивление воздуха не учитывать. Модуль Юнга для резины Е = 7,8 Мпа.
Задача 7. При какой длине подвешенная вертикально стальная проволока начинает рваться под действием
собственного веса? Предел прочности стали рm = 0,69 ГПа.
12
Задача 1. На каком расстоянии от источника колебаний с периодом 103 с в момент времени t = Т/2
смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения
колебаний 340 м/c.
Задача 2. Определить скорость распространения волн в озере, если период качания лодки, находящейся на
поверхности воды, 4 с, а расстояние между ближайшими гребнями волн 6 м.
4
Задача 3. Найти скорость распространения ультразвука в железе, если модуль Юнга для железа 20 ГПа, а
плотность, 7,8 т/м3 .
Задача 4. Определить скорость звука в воде, если известно, что модуль всестороннего сжатия воды 1,98
ГПа.
Задача 5. Определить частоту основного тона открытой трубы длиной 1 м, которая заполнена воздухом.
Задача 6. Определить частоту основного тона закрытой с одного конца трубы длиной 10 см, которая
заполнена воздухом.
Задача 7. Уровень громкости шума самолета на расстоянии 5 м равен 120 дБ, а тихого разговора на том же
расстоянии – 40 дБ. Определить отношение интенсивностей и абсолютные значения интенсивностей этих
звуков.
Задача 8. Два электропоезда идут навстречу друг другу со скоростями V1 = 30 м/c и V2 = 10 м/c. Первый поезд
дает свисток, высота тона которого соответствует частоте
 = 500 Гц. Определить частоту,
воспринимаемую пассажиром второго электропоезда перед встечей и после встречи поездов. Чему были бы
равны соответствующие частоты, если бы пассажир находился на первом электропоезде, а сигнал давал
второй?
13
Тема: Моль – мера количества вещества. Задачи из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и
термодинамика, стр. 19, пп 1.7.
14
Тема: Законы газового состояния. Задачи из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и термодинамика,
стр. 35, пп 2.7.
15
Тема: Элементы молекулярно-кинетической теории. Задачи из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и
термодинамика, стр. 53, пп 3.5.
16
Тема: Элементы термодинамики. Задачи из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и термодинамика,
стр. 90, пп 5.6.
17
Тема: Элементы термодинамики. Задачи № 3, 4, 5 и 6 из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и
термодинамика, стр. 90, пп 5.6.
18
Тема: Фaзовые переходы. Задачи № 1, 3, 4 и 5 из книги П.М. Медниса Молекулярная физика и
термодинамика, стр. 141, пп 9.6.
5