6.4. тело переменной массы

6.4. Движение тел с переменной массой [14]
Всё началось в Древнем Китае. В 682 г. н.э. китайский алхимик Сунн Сымяо [15] впервые
описал горючую смесь, состоящую из селитры, серы и опилок. По сути это было описание пороха, который успешно использовался при организации фейерверков. В 808 г. другой китайский химик Цинь Сюйцзы предложил опилки заменять древесным углем, что, по мнению автора, повышало эффективность полёта развлекательных «ракет». Известно, что принцип реактивного движения использовался за долго до упомянутых описаний, естественно, без каких бы то
ни было теоретических интерпретаций. В Китае до VI в. н.э. существовали специализированные мастерские по производству пороховых ракет. Полёт бамбуковых цилиндров с горючей
смесью, с позиций современных представлений можно представить как движение тела с переменной массой. На рис. 6.21 приведены примеры некоторых движущихся объектов, масса которых изменяется в процессе движения.
Рис. 6.21. Движение тел с переменной массой
Эта разновидность движения, распространённая в живой природе, заинтересовала механиков-теоретиков относительно недавно, при попытках описания реактивных принципов движения. Эти принципы используются кальмарами, осьминогами, каракатицами, наутилусами и ещё
целым рядом подводных обитателей.
Когда в классической механике говорят о переменной массе, то подразумевают, что изменение массы происходит не как следствие движения, а как процесс, обеспечивающий это движение. При рассмотрении движения объектов со скоростями соизмеримыми со скоростью света
(с ≅ 3⋅108 м/с), например, в теории относительности, полагается, что масса находится в зависимости от скорости, причём изменения массы происходят не за счёт притока или оттока вещества. Далее будут рассматриваться движения, происходящие со скоростями значительно меньшими скорости света. Изменение массы в виде потерь и приобретений происходит за счёт изменения во времени количества вещества.
Получим на основе второго закона Ньютона уравнение движения материальной точки с переменной массой, используя в качестве модели реактивный принцип движения, например − ракету. В ракетном двигателе обеспечиваются условия выброса с большой скоростью продуктов
сгорания топлива в направлении противоположном движению аппарата. На основании третьего
закона Ньютона к ракете будет приложена сила, противоположная силе, возникающей при истечении из сопла продуктов сгорания топлива − высокоскоростного газового потока. Ракета,
при этом будет получать ускорение. Во многих случаях реактивного движения ракету можно
рассматривать как замкнутую материальную систему, импульс которой не изменяется во времени. Эта концепция и положена в основу дальнейших рассуждений. Следует заметить, что
131
такая постановка вопроса не совсем корректна, потому что главный вектор внешних сил, приложенный к ракете или к реактивному самолёту не эквивалентен нулю. На эти аппараты действуют силы гравитации и силы сопротивления. Однако для выяснения принципиальных принципов реактивного движения этим можно поступиться.
Рассмотрим в качестве примера горизонтально летящий реактивный самолёт (рис. 6.22),
обладающий массой m(t), которая изменяется во времени за счёт сгорания топлива.
В произвольный момент времени
r
t самолёт имел скорость v , а его имr
r
пульс был равен p 0 = mv . Через
бесконечно малый промежуток времени dt Мааса и скорость самолёта
r
получают приращения dm и dv ,
причём масса имеет отрицательный
знак, т.к. связана со сгоранием некоРис. 6.22. Реактивное движение
торого количества топлива. Импульс
самолёта через время dt представится следующим образом
r
r r
p1 = (m + dm )(v + dv ) .
(6.16)
Для записи уравнения закона сохранения импульса к уравнению (6.16) необходимо добавить импульс газов, образовавшихся за время dt
r
r
(6.17)
p 2 = dm g v g .
Из суммарного импульса самолёта и газов, при записи уравнения закона изменения импульса системы самолёт − газы необходимо вычесть начальный импульс самолёта в момент времени t
r
(m + dm )(vr + dvr ) + dm g vr g − mvr = Fdt .
(6.18)
При раскрытии скобок в уравнении (6.18) следует иметь в виду, что произведение dm⋅dv
представляет собой бесконечно малую величину высшего порядка, ей можно пренебречь. Следуя далее принципу сохранения массы, можно записать
(6.19)
dm + dm g = 0 .
Это обстоятельство позволяет исключить из уравнения массу газов dmg, с другой стороны веr
v r
личина v отн = v g − v представляет собой относительную скорость истечения газов. С учётом
этих предпосылок уравнение (6.18) перепишется в более простом виде
r
dv r dm r
m
= v отн
+F.
dt
dt
(6.20)
Полученное уравнение совпадает с известной формой записи второго закона Ньютона,
r
правда, здесь имеет место масса, зависящая от времени. Кроме того, к внешней силе F добавляется ещё одна величина, имеющая размерность силы, имеющая смысл реактивной силы тяги,
т.е. силы с которой газы действуют на самолёт. Уравнение (6.20) впервые было получено Иваном Васильевичем Мещерским, профессором Ленинградского политехнического института в
r
1902 г. Применим к уравнению Мещерского закон сохранения импульса, полагая F = 0
r r
mdv = v отнdm .
(6.21)
В проекции на направление движения самолёта уравнению(6.21) можно придать скалярную
форму
dv
v
= − отн .
dm
m
(6.22)
Дифференциальное уравнение (6.22) легко интегрируемо в предположении постоянства
скорости истечения газов, в этом случае легко делятся переменные
v = -vотн ∫
dm
= − v отн ln m + C .
m
(6.23)
Постоянную интегрирования С определим, используя начальные условия: предположим,
что при старте самолёта его масса m0, а скорость равна нулю
0 = − vотн ln m 0 + C ,
(6.24)
132
откуда
C = v отнlnm0 .
(6.25)
Подставим далее значение постоянной интегрирования С в уравнение (6.23)
v = -vотн lnm + v отн lnm 0 , ⇒ v = v отн ln
m0
,
m
(6.26)
или
m0
v
.
= exp
m
v отн
(6.27)
Уравнение (6.27) впервые предложил Константин Эдуардович Циолковский и использовал
его для вычисления необходимого запаса топлива для сообщения ракетам необходимой скорости. Если ракете необходимо сообщить первую космическую скорость v1 ≅ 8 км/с, то при истечении газов со скоростью v⋅отн = 1 км/с отношение масс в уравнении Циолковского m0/m ≅ 2980,
т.е. вся масса ракеты, практически приходится на топливо.
В современных ракетных технологиях относительная скорость истечения газов не превосходит величины vотн ≤ 5 км/с, что делает ракеты на химическом топливе совершенно не пригодными для путешествий к звёздам, если предполагать ещё и возвращение экипажа.
Уравнение Циолковского позволяет получить величину скорости, максимально достижимую ракетой
v max = − v отн
m0 −m т
∫
m0
dm
m0
= v отн ln
,
m
m0 − m т
(6.28)
где m0 − стартовая масса ракеты, mт − масса топлива.
Пример № 22. Определите силу тяги воздушно-реактивного двигателя самолета, летящего
со скоростью v. Массовый расход топлива и поступающего в двигатель воздуха равен μ1 и μ2
соответственно. Скорость продуктов сгорания относительно самолета на выходе из двигателя
равна u.
1. Определим относительную скорость поступающего в камеру сгорания воздуха
v1 = u − v .
(1)
2. Самолёт описанного в условии типа имеет реактивный принцип движения, для него справедлива теорема об изменении импульса, т.к. систему «окислитель – топливо − самолёт» можно
считать замкнутой. Все внешние силы перпендикулярны направлению полёта, поэтому
FΔt = μ 2 Δt (u − v ) + μ1Δtu ,
(2)
откуда
F = μ 2 (u − v ) + μ1u .
(3)
Пример № 23. Водометный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления воды
движению катера F = kv2. Скорость выбрасываемой воды относительно катера u. Определите
установившуюся скорость катера, если сечение потока захваченной двигателем воды S, плотность воды ρ.
1. Чтобы катеру с водомётным движителем перемещаться с постоянной скоростью необходимо, чтобы импульс силы сопротивления был равен импульсу выбрасываемой жидкости
FΔt = mf v ,
(1)
где mf – масса жидкости, перемещаемая водомётом за время Δt.
2. Определим эту массу:
mf = ρs(u − v )Δt .
(2)
3. Подставим значение массы mf и силы сопротивления в уравнение (1)
kv 2 = ρsuv − ρsv 2 ,
откуда
133
v=
ρsu
.
ρs + k
(3)
Пример № 24. Ракета, масса которой в начальный момент времени m0 = 1500 кг запущена
вертикально вверх. Определите ускорение ракеты через 5 с полёта, если скорость расхода горючего μ = 100 кг/с, а относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 200 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.
1. В данном случае целесообразно использовать закон сохранения импульса, записанный в
форме уравнения Мещерского для тел с переменной массой
k =n
(m − μt )a = ∑ Fke − μu ,
(1)
k =1
где ΣFe – равнодействующая внешних сил, приложенных к ракете. Поскольку по условию задачи сопротивление отсутствует, то внешней является только сила тяжести, т.е.
1
∑ F = (m − μt )g .
e
k
0
(2)
2. Подставляя уравнение (2) в уравнение (1) и разрешая полученное равенство относительно
ускорения, получим
a=−
м
μu
+ g ≅ −10 2 ≅ g .
m − μt
c
(3)
Пример № 25. Используя данные о ракете предыдущей задачи, определить скорость ракеты
через τ = 10 с после её вертикального старта. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1. Используя уравнение (3) предыдущей задачи, с учётом направления скорости вертикально вверх, можно прийти к следующему дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными
a=
dv
μu
μu
=
− g , dv =
dt − gdt .
dt m − μt
m − μt
(1)
2. Проинтегрируем уравнение (1) при изменении времени от 0 до τ
τ
τ
dt
m
м
− g ∫ dt = u ln
− gτ ≅ 120 .
m − μt
m − μτ
c
0
0
v = μu ∫
(2)
Пример № 26. На судне массой m = 200 т установлен водомётный движитель, выбрасывающий ежесекундно μ = 200 кг/с воды с относительной скоростью u = 5 м/с. Определите скорость судна через τ = 5 мин после старта без начальной скорости. Сопротивление воды движению судна не учитывать.
1. Работа водомётного движителя без учёта сопротивления основывается на взаимодействии
внутренних сил. Закон сохранения импульса системы «движущаяся вода – судно» для этого
способа реактивного движения запишется следующим образом
mv = m(v + dv) + (v + u )μdt ,
(1)
где (v + dv ) − изменение скорости судна за время dt, (v + u ) − абсолютная скорость воды в
проточной части движителя, μ⋅dt – масса жидкости протекающей через сечение насадка за время dt.
2. Разделив в уравнении (1) переменные, получим
mv = mv + mdv + (v + u ) μdt ,
134
dv
μ
= − dt ,
(v + u ) m
(2)
проинтегрируем его
v
∫
0
τ
dv
μ
= − ∫ dt ,
(v + u ) m 0
(3)
откуда, после интегрирования приходим к уравнению для скорости катера
⎡
м
⎛ μ ⎞⎤
v = − u ⎢1 − exp⎜ − t ⎟⎥ ≅ 1,3 .
c
⎝ m ⎠⎦
⎣
(4)
Пример № 27. Определите скорость ракеты в момент полного выгорания топлива, если начальная масса ракеты m0 = 100 кг, масса заряда mз = 50 кг, относительная скорость выхода продуктов сгорания u = 800 м/с. Сопротивление воздуха и ускорение силы тяжести не учитывать.
1. Запишем уравнение закона сохранения импульса для материальной точки переменной
массы
mv = (m − dm)(v + dv ) + dm(u + v ) ,
(1)
где m – текущая масса ракеты, dm – изменение массы ракеты за бесконечно малое время dt, dv
– изменение скорости ракеты за время dt, (u + v) – абсолютная скорость продуктов сгорания.
2. Преобразуем уравнение (1) к виду, удобному к разделению переменных и последующему
интегрированию
mv = mv − vdm − dmdv + mdv + dmu + dmv ,
mdv + dmu − vdm = 0 , ⇒
dv
dm
=
.
u−v m
(2)
3. Проинтегрируем уравнение (2) с учётом того, что скорость меняется от 0 до v, а масса от
m0 до m
v
m
dv
dm
m
m
∫0 u − v = m∫ m , ⇒ v = u ln m0 = u ln m0 −0m з ≅ 555 м/с.
0
135
(3)