Экзамен. Звездный интерферометр Майкельсона.

Экзамен. Звездный интерферометр Майкельсона. Измерение угловых
размеров звезд.
Свет далекой звезды падает на два зеркала, расположенных на довольно
большом расстоянии l друг от друга. Отраженные от зеркал лучи идут
навстречу друг другу и отражаются второй парой зеркал. После второй пары
зеркал лучи вновь идут параллельно, но на небольшом расстоянии друг от
друга таком, что их можно будет пропустить через одну линзу. До линзы лучи
проходят через узкополосные светофильтры. Светофильтры пропускают свет в
узкой полосе частот. После линзы лучи совмещаются на экране,
расположенном в фокальной плоскости линзы.
Свет далекой звезды идет почти параллельным пучком лучей. В таком
случае по законам геометрической оптики в фокальной плоскости линзы
должно получиться почти точечное изображение звезды. На самом деле
благодаря дифракционным эффектам радиус пятна изображения будет
λ
f , где D — диаметр диафрагмы,
D
ограничивающей каждый из интерферирующих лучей.
На экране в пределах пятна дифракционного изображения звезды будут
видны интерференционные полосы. Однако полосы будут наблюдаться только
в том случае, если расстояние l между первой парой зеркал будет меньше
многократно большим и примерно равен
λ
света далекой звезды, так как
γ
только в этом случае интерферирующие волны когерентны. Здесь γ — угловой
длины пространственной когерентности l⊥ =
размер звезды.
Вторым условием наблюдения интерференционной картины является
условие, что оптическая разность хода двух интерферирующих лучей меньше
c
, где δν
длины временной когерентности или когерентности вдоль луча l|| =
δν
— спектральная ширина источника света. Величину длины временной
когерентности удается сделать достаточно большой путем уменьшения δν —
частотной полосы пропускания светофильтров.
Если увеличивать расстояние l между первой парой зеркал, то видность
V интерференционной картины будет уменьшаться.
Раздвигая зеркала, можно найти такое расстояние l = l⊥ =
λ
между ними,
γ
при котором видность падает примерно вдвое. Таким образом, измеряют длину
пространственной когерентности l⊥ . Через длину пространственной
когерентности l⊥ находят угловой размер звезды:
γ=
λ
.
l⊥
Для ближайших к нам звезд длина пространственной когерентности —
величина порядка одного метра, для далеких звезд — гораздо больше.
Этим методом можно измерять угловые размеры только ближайших
звезд. Причина — влияние атмосферных потоков над прибором.
Из-за воздушных потоков изменяется плотность воздуха, его показатель
преломления, и оптическая длина пути в атмосфере Земли каждого из двух
интерферирующих лучей.
Другими словами в атмосфере над прибором возникает шумовой
оптический клин, который сдвигает нулевую полосу и вместе с ней —
остальные полосы интерференционной картины.
Полосы сдвигаются медленно, но света мало, и сигнал на фотопластинке
экрана приходится накапливать.
Влияние этих медленных сдвигов удается устранить способом,
изложенным в следующем вопросе.
Экзамен. Оптический аналог опыта Брауна-Твисса. Понятие об эффекте
группировки фотонов. Параметр вырождения света.
Факультативная вставка.
Браун и Твисс поставили опыт аналогичный тому, который мы
рассмотрим в этом вопросе, только они провели опыт в радиочастотном, а не в
оптическом, диапазоне.
Коротко обсудим опыт Брауна и Твисса.
Пусть I — сила тока в приемной антенне. Для радиоволн ток антенны
пропорционален напряженности поля радиоволн. Для сравнения заметим, что,
фототок приемника света в оптическом диапазоне всегда пропорционален
интенсивности света или квадрату напряженности поля.
Радиоволны от удаленного космического источника принимают две
антенны, расположенные на расстоянии l друг от друга. В опыте измеряется
зависимость некоторой величины A от l :
A≡
I12 ⋅ I 22
I12 ⋅ I 22
.
Если квадраты токов I12 и I 22 флуктуируют (шумят) независимо друг от
друга, то среднее от произведения равно произведению средних и,
следовательно, A = 1 . Если же квадраты токов I12 и I 22 двух антенн
одновременно возрастают и одновременно убывают, то A > 1 .
В опыте Брауна-Твисса определялось расстояние l = l⊥ , при котором
отличие величины A от единицы уменьшалось вдвое. Далее из величины
пространственной когерентности l⊥ определялся угловой размер γ =
λ
l⊥
источника радиоизлучения.
Конец факультативной вставки.
Рассмотрим оптический опыт аналогичный опыту Брауна-Твисса.
Свет далекой звезды проходит на приемники через узкополосные
светофильтры.
В качестве приемников света используются ФЭУ — фотоэлектронные
умножители.
Факультативная вставка.
Коротко обсудим устройство ФЭУ.
Фотоэлектронный умножитель представляет собой откачанную от
воздуха колбу с несколькими электродами.
Световой фотон падает на фотокатод, из которого фотон выбивает
электрон. Между катодом и ближайшим динодом приложено электрическое
напряжение, ускоряющее выбитый электрон. Из динода ускоренный электрон
выбивает десяток электронов, которые ускоряются напряжением к следующему
диноду. Каждый электрон выбивает десяток из следующего динода и т. д.
Электроны, вылетевшие из последнего динода, собираются на аноде и
прилипают к нему. В результате на аноде формируется лавина примерно из
миллиона электронов, которая создает импульс анодного тока отрицательной
полярности. Этот ток проходит через сопротивление нагрузки в цепи анода, на
котором при этом формируется отрицательный импульс напряжения. Импульс
напряжения усиливают, инвертируют и подают на один из входов логической
микросхемы "2И".
Конец факультативной вставки.
ФЭУ
регистрирует
отдельные
фотоны.
Импульсы
с
двух
фотоэлектронных умножителей поступают на два входа логической
микросхемы "2И". Сигнал на выходе схемы появляется только в том случае,
если импульсы на двух входах совпадают по времени.
Частотомер регистрирует число совпадений на протяжении заданного
промежутка времени.
На опыте регистрируется частота совпадений f , как функция расстояния
l между двумя ФЭУ.
Оказалось, что частота совпадений f уменьшается примерно вдвое при
изменении от нуля до бесконечности расстояния l между двумя приемниками
света.
Причина зависимости f от l состоит в том, что в один объем
когерентности пара фотонов попадает вдвое чаще, чем в разные объемы
когерентности. Это связано с эффектом группировки фотонов.
Факультативная вставка.
Все элементарные частицы делятся на два больших класса: бозоны и
фермионы.
Они различаются величиной спина или спинового квантового числа s , с
которым жестко связан момент импульса S вращения частицы вокруг
собственной оси S = s ( s + 1)ℏ .
У бозонов спин целый: s = 0, 1 или 2. Согласно современным теориям
спин элементарной частицы не может иметь значение больше двух единиц.
Бозонами могут быть не только элементарные частицы, но и целые атомы.
Примеры бозонов: фотон s = 1 , атом гелия s = 0 , куперовская пара электронов
s = 0.
1
3
или
. Примеры фермионов:
У фермионов спин полуцелый: s =
2
2
1
1
1
электрон s = , протон s = , нейтрон s = .
2
2
2
Два фермиона не могут быть в одном состоянии, никто не знает почему.
Два бозона, наоборот, предпочитают находиться в одном состоянии.
Конец факультативной вставки.
Эффект группировки фотонов состоит в том, что фотоны предпочитают
находиться в одном состоянии.
Этот эффект можно объяснить качественно.
Пусть есть три одинаково возможных состояния для двух бозонов.
Рассмотрим вероятность того, что две частицы находятся в одном
состоянии, все равно в каком.
Если бы бозоны не были тождественно неразличимы, то расположить два
шара в трех ящиках можно 9-ю вариантами. Благоприятных вариантов три,
когда два шара находятся в одном ящике все равно в каком.
3
Тогда p = — вероятность того, что два шара оказываются в одном
9
ящике все равно в каком.
Перестановка тождественных бозонов не изменяет состояния системы.
Поэтому для бозонов существует всего 6 вариантов расположения бозонов
вместо 9-и. Следовательно,
3
p = — вероятность того, что два бозона попадают в одно состояние все
6
равно в какое.
Рассмотрим теперь, что будет, если два бозона вбросить по очереди.
Первый бозон равновероятно попадет в любое из трех эквивалентных
состояний.
1
Второй бозон с вероятностью
попадает в то же состояние, в котором
2
оказался первый бозон, так как оба бозона должны оказаться в одном состоянии
3 1
с вероятностью p = = .
6 2
Тогда в каждое из двух оставшихся состояний вероятность попасть
1
второму бозону равна . Это необходимо, чтобы сумма вероятностей была
4
равна 1.
Получилось, что для второго бозона вероятность попасть в занятое
состояние вдвое больше, чем в каждое из свободных. Это и есть эффект
группировки.
Новые бозоны охотнее попадают в то состояние, в котором уже есть
бозоны.
На основе комбинаторики можно доказать, что вероятность pi попасть в
i -е состояние связана с числом бозонов ni, которое уже есть в i -м состоянии
соотношением:
pi ~ ( ni + 1) .
Разная вероятность попадания тождественных частиц в занятые и
свободные эквивалентные состояния приводит к изменению распределения по
энергиям, и оно становится отличным от распределения Больцмана для
нетождественных частиц.
1
ni =
— распределение Больцмана для нетождественных
 Ei − µ 
exp 

 k БT 
частиц,
1
ni =
—
распределение
Бозе-Эйнштейна
для
 Ei − µ 
exp 
 −1
k
T
 Б 
тождественных бозонов,
1
— распределение Ферми-Дирака для тождественных
 Ei − µ 
exp 
 +1
k
T
 Б 
фермионов.
Здесь ni — среднее число частиц в состоянии с энергией Ei при
термодинамическом равновесии и температуре T ; k Б — постоянная
Больцмана; µ — химический потенциал, который можно найти из условия
нормировки:
∑ ni = N , где N — общее число частиц.
ni =
i
Заметим, что в случае нулевой массы покоя бозонов, как это имеет место
для фотонов, оказывается, что
µ = 0.
Для бозонов величину ni называют еще параметром вырождения.
Для фотонов одно состояние — это объем когерентности (для резонатора
лазера — одна лазерная мода). То есть световое поле содержит в среднем ni
фотонов в каждом объеме когерентности.
Факультативная вставка.
При температуре источника света меньше 20000 градусов, параметр
вырождения света в видимом диапазоне меньше единицы.
Приемник света обычно в состоянии зарегистрировать только небольшую
часть фотонов, идущих в одном объеме когерентности. В таком случае
параметр вырождения фотоотсчетов приемника меньше параметра вырождения
света. Подробнее смотрите книгу Дж. Гудмена "Статистическая оптика":
http://optdesign.narod.ru/book/Goodman_StatOpt_rus.djvu
Конец факультативной вставки.
Для нелазерных источников света обычно параметр вырождения много
меньше единицы ni << 1 . Такой свет называют невырожденным.
Для лазерных источников света параметр вырождения много больше
единицы ni >> 1 , и такое состояние света называют вырожденным.
Вернемся теперь к интерпретации оптического аналога опыта БраунаТвисса.
Свет далекой звезды — это нелазерный, невырожденный свет с малым
параметром вырождения ni << 1 . В таком случае пренебрежем тройными
попаданиями фотонов в один объем когерентности. Будем считать, что в
объеме когерентности обычно ноль фотонов, редко — один фотон и очень
редко — два фотона. Вероятность попадания второго фотона в объем
когерентности, в котором уже есть один фотон, вдвое больше, чем в соседний
объем, в котором нет фотонов, из-за эффекта группировки фотонов.
Следовательно, когда оба приемника света находятся в пределах одного
объема когерентности, число совпадений фотонов, регистрируемых двумя
приемниками, примерно вдвое больше, чем когда приемники разнесены
настолько, что не попадают в один объем когерентности.
Этот способ измерения угловых размеров звезд γ =
λ
не зависит от
l⊥
шумов атмосферы, так как объем когерентности слабо деформируется этими
c
выбрана достаточно большой с
шумами, если длина когерентности l|| =
δν
помощью узкополосных ( δν мало) светофильтров.
Экзамен. Локализация интерференционной картины на примере
наблюдения интерференции с бипризмой Френеля.
Если на экране видна интерференционная картина, то она там и
локализована.
С помощью линзы можно наблюдать интерференционную картину,
локализованную в такой плоскости, в которую невозможно поставить экран.
Можно показать, что оптическая длина пути вдоль любого луча от
точечного источника света до его изображения в линзе одна и та же. Поэтому
световые волны, приходя в точку изображения разными путями, складываются
синфазно и дают большую суммарную амплитуду в точке изображения. Это же
свойство приводит к тому, что линза отображает интерференционную картину
по законам геометрической оптики.
И действительно, пусть в какую-то точку плоскости локализации
интерференционной картины, в которой нет экрана, приходят две волны в
одинаковой фазе. В этой точке, если туда поставить экран, будет середина
светлой интерференционной полосы. После этой точки два интерферирующих
луча расходятся, но любые лучи, выходящие из этой точки, обязаны собраться в
одну точку в сопряженной плоскости — плоскости изображения
интерференционной картины. В эту плоскость изображения поместим экран.
Оптические длины путей от точки в плоскости локализации до точки ее
изображения равны. Тогда синфазные волны в точке плоскости локализации
останутся синфазными и в точке изображения. Следовательно, светлая
интерференционная полоса в плоскости локализации отображается в светлую
же полосу в плоскости экрана. Темные полосы отображаются в темные.
--------Рассмотрим оптическую схему с бипризмой Френеля.
За бипризмой поместим линзу и экран. Каждая половина бипризмы
поворачивает свет на угол γ = ( n − 1) δ , где δ — малый угол в равнобедренном
треугольнике основания призмы. После бипризмы свет идет так, как будто это
свет от двух когерентных источников.
Плоскость локализации интерференционной картины, сопряженная
плоскости экрана, может находиться как после бипризмы, так и до нее. В
каждой возможной плоскости локализации интерференционной картины
изобразим зависимость интенсивности от вертикальной координаты.
Здесь 1, 2, 3, 4, 5 — различные возможные положения плоскости
локализации интерференционной картины. Для каждой плоскости локализации
положение экрана должно быть свое. На рисунке, чтобы его не загромождать,
изображено одно положение экрана.
В плоскостях 1 и 5 интерференции нет. Интерференция есть только там,
где преломленные бипризмой пучки лучей перекрываются.
Экзамен. Полосы равного наклона.
Рассмотрим отражение света от плоскопараллельной пластины,
например, стеклянной.
Будем рассматривать двухлучевую интерференцию волн отраженных от
двух граней пластины. Многолучевой интерференцией можно пренебречь, если
отражение от одной грани мало.
Можно рассматривать интерференционную картину, локализованную в
разных плоскостях. Два случая, один из которых рассматривается в этом
вопросе, представляют особый интерес.
Полосы равного наклона — это полосы, локализованные на
бесконечности.
Полосы, локализованные на бесконечности, можно наблюдать в
фокальной плоскости линзы. Если экран находится в фокальной плоскости
линзы, то лучи, попадающие в одну точку экрана, до экрана должны идти
параллельно друг другу.
Свет источника S падает под углом α1 на плоскопараллельную пластину
толщиной h и показателем преломления n . Угол преломления α 2
соответствует закону преломления Снеллиуса
sin (α1 ) = n ⋅ sin (α 2 ) .
Лучи отраженные верхней и нижней гранями пластины идут параллельно
друг другу на расстоянии a :
a = 2h ⋅ tg (α 2 ) ⋅ cos (α1 ) ,
здесь h ⋅ tg (α 2 ) — горизонтальное смещение луча при прохождении от
верхней до нижней грани пластины, то есть 2h ⋅ tg (α 2 ) — расстояние по
горизонтали между точкой входа луча в пластину и точкой выхода из пластины
после отражения от нижней грани.
Ширина d интерференционных полос на экране определяется величиной
угла γ , под которым лучи сходятся на экране:
λ
a
d=
— ширина полос, где γ = . Здесь f — фокусное расстояние
γ
f
линзы, a = 2h ⋅ tg (α 2 ) ⋅ cos (α1 ) .
Рассмотрим апертуру интерференции или угол между лучами,
выходящими из одной точки источника света, которые затем попадают в одну
точку экрана. В нашем случае экран находится в фокальной плоскости линзы,
тогда лучи, попадающие в одну точку экрана, до линзы были параллельны друг
другу. Тогда лучи были параллельны и до отражения от двух граней
плоскопараллельной пластины. Параллельные лучи, выходящие из одной точки
источника, просто совпадают друг с другом. То есть апертура интерференции
равна нулю β = 0 .
Полосы равного наклона можно наблюдать при любом размере источника
света:
λ
=∞.
β
Чтобы найти допустимую немонохроматичность источника света
λ2
δλ =
, нужно найти оптическую разность хода ∆ .
bmax =
∆
Пока нижний луч дважды проходит через пластину, преодолевая
nh
оптическую длину пути 2
, верхний луч проходит путь
cos (α 2 )
a ⋅ tg (α1 ) = 2h ⋅ tg (α 2 ) ⋅ sin (α1 ) от верхней грани пластины до пунктирной линии
перпендикулярной отраженным пластинкой лучам.
2h
nh
∆=2
− 2h ⋅ tg (α 2 ) ⋅ sin (α1 ) =
( n − sin (α 2 ) ⋅ sin (α1 ) ) =
cos (α 2 )
cos (α 2 )
2h
2nh
=
=>
1 − sin 2 (α 2 ) = 2nh ⋅ cos (α 2 )
n − sin (α 2 ) ⋅ n ⋅ sin (α 2 ) ) =
(
cos (α 2 )
cos (α 2 )
(
)
∆ = 2nh ⋅ cos (α 2 ) — оптическая разность хода интерферирующих лучей.
Тогда
δλ =
λ2
∆
=
λ2
2nh ⋅ cos (α 2 )
— допустимая немонохроматичность источника
света при наблюдении полос равного наклона. Здесь cos (α 2 ) может быть
выражен через угол падения α1 :
cos (α 2 ) = 1 − sin 2 (α 2 ) = 1 −
1
2
sin 2 (α1 ) .
n
В плоскости рисунка все лучи, исходящие от разных точек источника
света с одинаковым углом α1 падения на пластину, идут параллельно друг
другу и собираются линзой в одну точку экрана. Каждый из этих лучей,
отражаясь от пластины, формирует пару параллельных лучей с одной и той же
разностью хода ∆ . Если рассмотреть свет, который падает на пластину под
другим углом α1 , то он попадает в другую точку экрана. Каждому углу падения
α1 соответствует своя точка на экране и своя разность хода ∆ . Точки на экране
с одинаковой разностью хода ∆ и одинаковым углом наклона к платине
образуют полосы, например, с разностью хода кратной λ — светлые полосы,
поэтому интерференционные полосы на экране называются полосами равного
наклона.