Методы расчета устойчивости капиллярных волн на

Министерство образования Российской Федерации
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
С. О. Ширяева
А. И. Григорьев
Н. В. Воронина
Методы расчета
устойчивости капиллярных волн
на поверхности заряженной струи
Учебное пособие
Ярославль 2011
УДК 532:533.6:534.1
ББК 253.313
Ш 64
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2010/2011 года
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Коромыслов;
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ярославского государственного технического университета
Ширяева, С. О. Методы расчета устойчивости капиллярных
волн на поверхности заряженной струи : учебное пособие
Ш 64
/ С. О. Ширяева, А. И. Григорьев, Н. В. Воронина; Яросл. гос. ун-т
им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 212 с.
ISBN 978-5-8397-0827-3
Разбираются аналитические методы расчета линейной и нелинейной неустойчивости капиллярных волн на поверхности цилиндрических струй идеальных и вязких жидкостей, приводящих к
дроблению струй на отдельные капли.
При издании учебного пособия авторы пользовались
поддержкой гранта губернатора Ярославской области, гранта
Рособразования № РНП 2.1.1/3776 и грантов РФФИ № 09-01-00084
и № 09-08-00148.
УДК 532:533.6:534.1
ББК 253.313
ISBN 978-5-8397-0827-3
 Ярославский государственный
университет им. П. Г. Демидова, 2011
2
1. Введение. Ретроспектива исследований устойчивости и спонтанного капиллярного распада заряженных струй В самых различных академических, технических и технологических приложениях приходится сталкиваться с сильно заряженной свободной поверхностью жидкости или границей раздела
несмешивающихся сред, которые можно моделировать несжимаемыми жидкостями. Когда отрицательное электростатическое
давление на свободную поверхность жидкости (или границу
раздела несмешивающихся сред), возмущенную капиллярным
волновым движением теплового происхождения, превысит локальное значение давления капиллярных сил, с поверхности жидкости выбрасывается заряженная струйка жидкости, распадающаяся полидисперсным образом на отдельные капли [1–5]. Весь
феномен носит название спонтанного электродиспергирования
жидкости в противовес вынужденному капиллярному распаду
струй, ориентированному на получение потоков монодисперсных
заряженных капель [6].
Капиллярные волны теплового происхождения генерируются
тепловым движением молекул жидкости и имеют амплитуды
~  T  , где  – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура жидкости,  – коэффициент поверхностного натяжения;
для большинства жидкостей амплитуды не превышают одной
десятой нанометра. Такие волны в задачах гидродинамики
обычно именуются волнами бесконечно малой амплитуды.
Под электростатическим полем будет пониматься электрическое поле, являющееся решением уравнения Пуассона (или
Лапласа), изменяющееся во времени со скоростью, много меньшей скорости распространения электромагнитной волны. Электрические поля, возникающие вблизи заряженной поверхности
жидкости, возмущенной капиллярным волновым движением,
изменяются во времени со скоростями, не превышающими скорости звука в жидкости, а потому эффектами запаздывания
можно пренебрегать и считать их в проводимом рассмотрении
электростатическими.
3
С феноменом спонтанного электродиспергирования жидкости приходится сталкиваться в точном приборостроении при
анализе физических закономерностей функционирования жидкометаллических источников ионов [7–10] и масс-спектрометров
для анализа нелетучих, органических и термически нестабильных
веществ [11, 12]; при распыливании горючего, ядохимикатов,
лакокрасочных материалов [13–15]; в устройствах для получения
порошков тугоплавких металлов [16]; в жидкометаллической
эпитаксии и литографии [16]; ионных коллоидных реактивных
двигателях [14, 15]; при получении капель жидкого водорода для
установок термоядерного синтеза [18]; при исследовании физических механизмов инициирования разряда молнии [19–22], зажигания огней св. Эльма [23, 24], электрических явлений в воронке
смерча [25].
В связи с многочисленными приложениями феномена электродиспергирования жидкости, разнообразием установок, физикохимических свойств рабочих жидкостей и экспериментально
выделенных режимов, количество публикаций с описаниями
феноменологии явления измеряется тысячами. Но теоретическое
осмысление всего многообразия экспериментальных данных пока
не завершено в силу нелинейности и сложности феномена, а
также «рыхлости» экспериментального материала. Говоря о
«рыхлости», мы имеем в виду то обстоятельство, что экспериментальные результаты, полученные на различных установках, не
всегда согласуются друг с другом; описания проведенных экспериментов весьма редко сопровождаются контролем физико-химических свойств рабочих жидкостей и погрешностями измерений.
Результаты теоретических исследований, выполненных в различных техниках, идеализированных моделях и порядках приближений, оставляют ощутимые пробелы в системе представлений о
физических механизмах электродиспергирования жидкости.
В связи со сказанным в настоящем анализе будет сделана
попытка обобщения накопленных к настоящему времени
теоретических представлений об обсуждаемом феномене.
1. Классические представления о капиллярном распаде
струй. Хорошо известно [26–28], что любая изолированная система стремится занять положение с минимальной потенциальной
4
энергией. Поэтому фиксированный объем жидкости, ограниченный свободной поверхностью с формой, отличной от сферической, подверженной действию сил поверхностного натяжения, в
отсутствие внешних силовых полей будет стремиться принять
сферическую форму, т. е. форму с минимальной площадью свободной поверхности, обеспечивающую минимальность потенциальной энергии капиллярных сил. Сказанное относится и к
цилиндрической струе жидкости, которая будет неустойчива по
отношению к разбиению на капли, в чем несложно убедиться из
простых рассуждений.
Идеальная несжимаемая жидкость. Пусть имеется участок
бесконечной струи радиуса R0 , длины L идеальной несжимаемой
жидкости с коэффициентом поверхностного натяжения  . Зададимся вопросом, для какого соотношения между R0 и L переход
под действием сил поверхностного натяжения от цилиндрической
струи к совокупности сферических капель будет энергетически
выгоден. Для этого сравним потенциальную энергию U cyl
капиллярных сил боковой поверхности цилиндра длиной L с потенциальной энергией U sph капиллярных сил поверхности N одинаковых сферических капель, на которые предположительно может
распасться рассматриваемый участок струи. Приравнивая объем
цилиндра объему N сферических капель, получим радиус одной
капли: r  3 3R02 L 4 N . Найдем теперь отношение потенциальной
энергии капиллярных сил поверхности N сферических капель U sph
к потенциальной энергии капиллярных сил боковой поверхности
участка струи U cyl длиной L :
U sph

U cyl  3 9 R0 N 2 L . Потребуем,
чтобы это отношение было меньше единицы, и получим условие
самопроизвольного разбиения участка струи на N отдельных
капель в виде 9 R0 N 2 L  1. Полагая N  1 , найдем, что при L  4.5  R0
цилиндрической струе энергетически выгодно разбиваться на
отдельные капли с радиусами r  3R0 3 8 . Сказанное означает, что
цилиндрическая струя неустойчива по отношению к волнам с
длиной   4.5  R0 . По отношению же к синусоидальным возмущениям поверхности с длинами волн  , меньшими чем 4.5  R0 ,
5
струя оказывается устойчивой. Следует отметить, что спектр волн с
длинами, удовлетворяющими условию   4.5  R0 , бесконечен, но
инкременты нарастания неустойчивости волн с различными
длинами будут различны, и реальный распад струи на капли
определится волной с максимальной величиной инкремента
неустойчивости. Строгий анализ на основе принципа наименьшего
действия [26, 27] показывает, что незаряженная струя дробится на
капли с несколько большими радиусами, чем получено выше в
качественных рассуждениях, а именно r  3R0 3 4 .
Первое строгое аналитическое исследование устойчивости
цилиндрической струи идеальной несжимаемой жидкости по
отношению к поверхностным капиллярным цилиндрическим осесимметриным волнам бесконечно малой (тепловой) амплитуды
выполнено в конце позапрошлого века Рэлеем [26]. Рассматривая
амплитуды цилиндрических капиллярных осесимметричных волн
бесконечно малой амплитуды в качестве нормальных (главных)
координат колебательной системы с бесконечно большим количеством степеней свободы, он составил функцию Лагранжа
колебательной системы и выписал систему независимых уравнений Лагранжа для различных волновых чисел. Анализ полученной системы уравнений Лагранжа позволил исследовать
устойчивость струи по отношению к капиллярным волнам различной длины. Поскольку использованный Рэлеем подход
впоследствии неоднократно применялся к исследованию устойчивости струй при различных усложняющих факторах,
обозначим кратко его основные этапы.
Пусть в отсутствие поля силы тяжести имеется бесконечно
протяженный прямой круговой цилиндрический столб (струя)
жидкости плотностью  радиуса R0 . Примем, что свободная поверхность струи деформирована осесимметричной капиллярной
волной с волновым числом k бесконечно малой амплитуды a0 (t ) .
Изменение потенциальной энергии капиллярных сил U , приходящееся на единицу длины, из-за деформации невозмущенной
поверхности струи будет иметь вид
U 
 a02
2 R0
6
 x  1;
2
(1)
x  kR0 –
здесь и ниже безразмерное волновое число.
Кинетическая энергия волнового движения жидкости в единице
длины струи запишется в виде:
2
1
J (ix )  a0 

T   R02 0
 ;
2
ix  J 0 (ix )  t 
(2)
где J 0 (ix) – функция Бесселя, а J 0 (ix ) первая производная от
функции Бесселя; i – мнимая единица. Функция Лагранжа легко
выписывается: L  T  U , также как и уравнение Лагранжа для
отыскания временной зависимости амплитуды волны на поверхности струи:
 2a0
t 2

 ix  J 0 (ix ) 2
 x  1 a0  0.
 R03 J 0 (ix)


С математической точки зрения полученное уравнение является
уравнением с постоянными коэффициентами и, следовательно,
имеет решения экспоненциального типа с показателем экспоненты, определяющимся знаком и величиной коэффициента при
a0 . В области устойчивости x  1 амплитуда a0 изменяется периодически a0 ~ exp(i t ) , а частота волны связана с волновым числом
дисперсионным уравнением
2 
 ix  J 0 (ix ) 2
 x 1 .
 R03 J 0 (ix )


В диапазоне длин волн x  1 решения уравнения Лагранжа
имеют экспоненциально нарастающий со временем либо экспоненциально убывающий вид, т. е. a0 ~ exp( t ) , где  – вещественное. Тогда
2 
 ix  J 0 (ix)
2
1
.


x
 R03 J 0 (ix )


В приближении x 2  1 Рэлей разложил правую часть полученного соотношения по степеням x 2 , приравнял нулю производную от полученного разложения по x и получил, ограничиваясь
7
первыми тремя слагаемыми разложения, квадратичное по x 2
алгебраическое уравнение. Найдя положительный корень этого
уравнения, Рэлей выяснил, что максимальное значение инкремент неустойчивости достигает при x 2  0.4858 . Это условие соответствует длине волны   9.016  R0 . Волны с указанной длиной
имеют максимальный инкремент неустойчивости и определяют
закономерности дробления струи на отдельные капли.
Обращает на себя внимание тот факт, что условие x  1
разделяет движения жидкости в струе на периодические при x  1
и апериодические при x  1. Сам распад струи на капли происходит за счет экспоненциального роста со временем амплитуды
апериодических движений.
Влияние вязкости жидкости. В последующих теоретических
работах Рэлея [29], Бассета [30] и Вебера [31] было исследовано
влияние вязкости жидкости на условия разбиения струи на капли.
Выяснилось, что вязкость жидкости, не влияя на ширину диапазона длин неустойчивых волн, играет стабилизирующую роль в
феномене распада струи на капли, увеличивая длину волны,
обладающей максимальным инкрементом, снижая величины
инкрементов неустойчивых волн и увеличивая длину нераспавшейся части струи. Последняя характеристика феномена распада
струи на капли обусловлена реалиями проведения экспериментов
со струями, которые под действием некоторого давления вытекают из отверстий (например, из капилляров) с некой скоростью
V . Характерное время отделения капли от струи  определится
1
величиной  ~ max
. За это время торец струи (место отрыва
1
капли) удаляется от среза капилляра на расстояние L ~ V max
.
Величина L и определяет нераспавшуюся часть струи.
Для идеальной жидкости зависимости от времени поля
скоростей течения жидкости, поля давлений и формы струи в
области устойчивости были чисто периодическими: ~ exp(it ) ,
где  – вещественная частота. Для вязкой жидкости частота
становится комплексной: s    i , где  - декремент затухания
обусловленного влиянием вязкого трения. Проведенные исследования показали, что исперсионное уравнение, связывающее комплексную частоту s волн на поверхности цилиндрической струи
8
вязкой несжимаемой жидкости с коэффициентом кинематической
вязкости  и волновым числом k имеет вид [32]
2
2
  x2
2 k 2 s 
2kq I1  x 
2 I1  x  q  k
s 
I1  lR0  
1 x
;
 I1  x   2
3
2
2
I0  x  
I
x


k  q 2 I1  x 
R
q
k


0

0

2

где q 2  k 2   s   ; I n  x   i n I n  ix  – модифицированные функции
Бесселя. При x 2  1 появляются чисто вещественные решения
этого дисперсионного уравнения, одно определяет декремент
затухания  , а другое – инкремент  неустойчивости волны.
Выражение для инкремента имеет максимум при определенном
волновом числе kmax , положение которого определяется условием
обращения в нуль производной от  по волновому числу
Влияние вязкости на закономерности распада струи на капли
удобно проанализировать в пределе длинных волн, когда длина
волны много больше радиуса струи, т. е. когда выполняются
условия: x  kR0  1, qR0  1 . В этом случае дисперсионное
уравнение принимает более простой вид:
 x2
s  2 k s 
1 x2 ,
3
 R0
2

2

а его решения легко выписываются:
2
s   k 
 k 
2 2
 x2

1 x2 .
3
 R0


Отсюда легко найти, что величина инкремента неустойчивости
достигает своего максимального значения при
kmax  1  R0
  R0 2   2 R02 .
Величина инкремента неустойчивости определится выражением


max   8  R03 1   2   R0 .
9
Если вязкость жидкости велика так, что выполняется условие
 R0  2  1, то для k max и max получим соответственно
kmax  0.5  4   2  R03 ,
max   6 R0 .
Характерное время распада струи определится соотношением
1
  max
 6 R0  . Длина нераспавшейся части струи определится
выражением: L  V  6 R0  .
Влияние окружающей среды. В реальных условиях движущаяся со скоростью V струя окружена воздухом, который можно
моделировать несжимаемой жидкостью, когда V много меньше
скорости звука. Очевидно, что граничные условия на поверхности струи, окруженной внешней средой, будут отличаться от
граничных условий на поверхности струи в вакууме. Моделируя
в простейшей ситуации жидкость движущейся струи и неподвижную окружающую среду идеальными несжимаемыми жидкостями, при V  0 на границе раздела сред будем иметь тангенциальный скачок поля скоростей, т. е. получим аналог ситуации,
приводящей к реализации неустойчивости Кельвина – Гельмгольца [33]. В отличие от капиллярной неустойчивости струи,
имеющей, как отмечалось выше, апериодический характер, т. е.
временная зависимость решения записывается в виде ~ exp(t ) ,
неустойчивость Кельвина – Гельмгольца соответствует экспоненциальному росту со временем амплитуды неустойчивой волны
~ exp(t )  cos(t ) , т. е. является колебательной. Из общефизических
соображений очевидно, что в указанных условиях наличие
внешней для струи среды будет приводить к ее дестабилизации,
что и было обнаружено Рэлеем и Бассетом в [30, 34]. Впоследствии эта проблема детально исследовалась при различных
усложняющих предположениях (см., например, обзор [35] и
указанную там литературу), но в настоящем рассмотрении, посвященном заряженным струям, не будем на нем останавливаться, поскольку тема в общем случае достаточно сложна и
связана со взаимодействием неустойчивостей различных типов –
апериодической и колебательной.
10
2. Капиллярные осесимметричные волны и распад струй
в радиальном электрическом поле. Еще на заре исследования
электрических явлений Вильям Гилберт заметил, что капля воды
на сухой подложке приобретает коническую (вершиной вверх)
форму, если над ней на небольшом расстоянии поместить наэлектризованный кусок янтаря [36]. Как было показано уже в наше время [37, 38], при этом на свободной поверхности капельки
появляется индуцированный электрический заряд и она деформируется к вытянутому сфероиду. На вершине сфероида за счет
суперпозиции высоких мод осцилляций капли формируется
эмитирующий выступ, названный «конусом Тейлора», с вершины
которого выбрасывается тоненькая струйка воды, распадающаяся
на отдельные капельки. По-видимому, первые наблюдения эмиссии струек жидкости, распадающихся на отдельные капельки,
при электризации свободной поверхности жидкости связаны с
работами одного из первых исследователей электрических явлений аббата Ж. Ноле. В середине XIX века он заметил, что если
человека поместить на изолирующую подставку и подвергнуть
электризации (с помощью созданного О. Герике прообраза
электрофорной машины), то из ранок и порезов на коже человека
начинают бить очень тонкие струйки крови, распадающиеся на
отдельные капли [39].
В конце XIX века Рэлей создал строгую теорию капиллярного распада струй, обобщившей итоги экспериментов Савара,
Магнуса, Плато, Бидона [26, 27, 40] и, в частности, провел эксперименты по исследованию влияния электризации на закономерности капиллярного распада струи на капли [41]. Он обратил
внимание на то, что, если к струе, вытекающей из некого отверстия и распадающейся на некотором расстоянии L от отверстия
на капли, поднести слегка наэлектризованное тело, распад струи
на капли прекращается, т. е. увеличивается длина нераспавшейся
части струи L . Качественный комментарий к этому феномену,
сводящийся к электростатическому притяжению цепочки зарождающихся на струе капель, предложен в работе [42, с. 238–242].
Если же подносимое к струе тело сильно наэлектризовано, то
длина не распавшейся части струи сокращается, а каплеобразование идет с большей скоростью. Суть феномена дестабилизации
11
струи под влиянием сильной электризации можно понять из
нижеследующих рассуждений, высказанных Бассетом [30].
Пусть имеется бесконечная цилиндрическая струя идеальной
несжимаемой электропроводной жидкости кругового сечения
радиуса R0 , окруженная соосным цилиндрическим электродом
радиуса R*  R0 . Примем, что между струей и внешним электродом поддерживается постоянная разность потенциалов, вследствие чего на невозмущенной капиллярным волновым движением
свободной поверхности струи однородно распределен электрический заряд с плотностью  так, что   2 R0  – заряд, приходящийся на единицу длины струи. Поправка к потенциальной энергии электрического поля в окрестности свободной поверхности
струи, появляющаяся вследствие искажения ее исходной цилиндрической поверхности осесимметричным капиллярным волновым
движением теплового происхождения запишется в виде
U  
 2 a02
[1 
2
2 R0
x  K1( x)
];
K0 ( x )
где K n ( kR0 ) – модифицированные функции Бесселя второго рода
(функции Макдональда). Подставляя это выражение в функцию
Лагранжа, определенную на основе потенциальной энергии капиллярных сил (1) и кинетической энергии волнового движения в
струе (2), легко выписать уравнение Лагранжа для отдельных
волн и, отыскивая в области x 2  1 решения ~ exp(it ) , получить
дисперсионное уравнение задачи:
2 
x  I1( x )
;
D( k ,0) 
I 0 ( x)
  2
x  1  w  H ( k ,0)   D ( k ,0);
3

 R0
x  K1( x )
;
H ( k ,0)  1 
K0 ( x)
2
.
w
 R0
В диапазоне длин волн x  1, решения уравнения Лагранжа имеют
экспоненциально нарастающий либо экспоненциально убывающий со временем вид, т. е. a0 ~ exp( t ) где  – вещественное.
Тогда
12
2  
  2
x  1  w  H ( k ,0)   D ( k ,0).
3

 R0
(3)
Дисперсионное уравнение такого вида с точностью до множителя R0 4 при w , ошибочно появившегося в расчетах, было
получено еще Бассетом [30] (учитывавшим также вязкость
жидкости и наличие внешней среды). Тейлор [36] исправил
ошибку Бассета и записал дисперсионное уравнение в виде (3).
Следует отметить, что за два года до появления работы
Тейлора [36] вышла статья [43], где исследовалась устойчивость
заряженной струи и была исправлена ошибка в дисперсионном
уравнении, допущенная Бассетом, но совершены свои ошибки,
одна из которых была исправлена в работе [44], а другая,
связанная с размерностью (в обеих цитированных выше работах
дисперсионные уравнения содержат выражения вида ln r , где r –
размерная величина), перекочевала из [43] и в работу [44].
В [45] предпринята попытка записать дисперсионное уравнение для произвольной моды (с произвольным значением азимутального параметра волны m ) идеальной несжимаемой электропроводной струи для конечного радиуса R* внешнего цилиндрического соосного со струей электрода. Однако полученное
дисперсионное уравнение в асимптотике R*   , x  1 приводит к
ошибочному результату: устойчивость осесимметричной волны (
m  0 ) не зависит от наличия заряда на струе.
В [46] исследование устойчивости и распада наэлектризованных капиллярных струй проводилось численным методом и
путем экспериментальных измерений. Теоретически и в экспериментах показано, что с увеличением заряда на струе размеры
капель, образующихся при ее распаде, уменьшаются. При описании решения для электрического потенциала в окрестности струи
в [46] допускается та же небрежность в применении операции
логарифмирования к размерному расстоянию r , что и в работах
[43, 44].
Из теоретических построений Бассета [30] следовало, что
влияние электризации струи зависит от знака слагаемого
w  H ( k ,0), учитывающего вклад электрического поля в потенциальную энергию струи в дисперсионном уравнении. Бассет
13
выяснил, что при x  0.6 (более точные вычисления [47] дают
x  0.595 ) вклад электрического поля в полную потенциальную
энергию струи противоположен по знаку вкладу капиллярных
сил. Следовательно, наличие на струе электрического заряд приводит к стабилизации струи относительно виртуальных волновых
возмущений из диапазона волновых чисел 0  k  0.595  R01 в
смысле снижения величин инкрементов неустойчивости волн из
указанного диапазона волновых чисел. Это можно видеть из
рис. 1а [47], иллюстрирующего ход зависимостей инкремента от
волнового числа, обезразмеренного на R0 , при различных значениях параметра w , характеризующего давление электрического
поля на свободную поверхность струи, в окрестности точки
k  0.595 , где функция H (k ,0) меняет знак. Из рис. 1а видно, что
при x  0.595 (левее точки пересечения кривых на рис.1а), т. е. для
длинных капиллярных волн, с ростом w величина инкремента
снижается. О стабилизирующем влиянии на волну с k  0
электрического заряда на объемно заряженной струе говорилось
также в теоретической работе [48]. Для значений волновых чисел
x  0.595 инкременты неустойчивости быстро растут с увеличением поверхностной плотности заряда на струе (с увеличением
w ), также как и kmax – волновое число волны, обладающей
максимальной величиной инкремента неустойчивости.

0.6
0.4
0.2
0.75 1.25 1.5 1.75 k
Рис. 1a. Зависимости величины безразмерного инкремента
осесимметричных волн ( m  0 ) от безразмерного волнового числа k ,
рассчитанные при значении безразмерного коэффициента
14
кинематической вязкости   0.002 для значений параметра w равных:
0 (самая тонкая кривая), 0.5, 1 и 2 (самая толстая кривая), расположенные
в порядке возрастания безразмерного параметра w
h
8
w
10
4
8
0
6
1
4
2
2
3
k
Рис. 1b. Зависимость инкрементов осесимметричных волн
от безразмерного волнового числа k безразмерного параметра w
Как можно видеть из (3) (см. [47]), наличие заряда на струе
приводит к расширению диапазона длин устойчивых волн в область волн, более длинных по сравнению с волнами в незаряженной струе. В соответствии с анализом Рэлея на незаряженной
струе граница между устойчивыми и неустойчивыми волнами
определяется условием x 2  1. Согласно же результатам Бассета
на заряженной струе граница между устойчивыми и неустойчивыми волнами определяется условием x 2  1  w  H ( k ,0) . При
x  0.595 слагаемое w  H ( k ,0), отрицательно и, следовательно,
положение границы между устойчивыми волнами и неустойчивыми смещается в область больших волновых чисел или более
коротких волн. Внутри диапазона волновых чисел, определенных
неравенствами 0.595  x  1  w  H (k ,0) , электрический заряд на
струе увеличивает инкременты неустойчивости. Это можно видеть из рис. 1b, на котором приведена зависимость инкрементов
15
осесимметричных волн для различных волновых чисел k , обезразмеренных на R0 , и значений безразмерного параметра w .
Видно также, что появление на струе электрического заряда
приводит к расширению диапазона неустойчивых волн в область
больших значений волновых чисел.
Увеличение с ростом поверхностной плотности заряда  (с
ростом параметра w ) величин инкрементов неустойчивых волн
на поверхности струи в общем случае полностью согласуется с
дестабилизирующей ролью электрического заряда. Так, например, для заряженных капель увеличение собственного заряда
приводит к увеличению их равновесных деформаций во внешних
силовых полях: в поле аэродинамических [49, 50], гравитационных [51, 52] и инерционных [52–54] сил. Появление электрического заряда на поверхности претерпевающей капиллярную
осесимметричную (варикозную) неустойчивость струи увеличит
как величины текущих деформаций, так и величины сил,
приводящих к разбиению струи на капли.
Из рис. 1b видно, что при достаточно больших значениях
параметра w (при достаточно больших зарядах, приходящихся на
единицу струи  ) самые длинные волны становятся устойчивыми. Иными словами, достаточно большие заряды на струе стабилизируют струю относительно длинноволновых возмущений.
С формальной точки зрения из (3) видно, что в области x  0.595 ,
где функция H (k ,0) положительна, при достаточно больших w
становятся
устойчивыми
наиболее
длинные
волны,
удовлетворяющие условию
x 2  w  H ( k ,0)  1.
(4)
Согласно [47] при k  0 максимальное значение функции
H (k ,0)  1. Это означает, что при w  1 в окрестности точки k  0
появляется область устойчивых волн с волновыми числами,
удовлетворяющими соотношению (4). С ростом параметра w
размеры этой области увеличиваются. Иначе говоря, появляется
левая по k граница области неустойчивости. Само геометрическое место точек на плоскости k , w , в котором цилиндрические
16
волны на поверхности заряженной струи неустойчивы по отношению к дроблению на капли, определится системой неравенств:
w  1:
0  x  w  H ( k ,0)  1;
w  1:
w  H ( k ,0)  1  x  w  H ( k ,0)  1.
В области реализации неустойчивости капиллярные и
электростатические силы, действующие на свободную поверхность струи, всегда осесимметричны и приводят к росту амплитуды виртуальной волны с максимальной при заданных условиях
величиной инкремента. В таких условиях струя дробится на
капли c размерами, уменьшающимися с ростом поверхностной
плотности заряда на струе  (с ростом параметра w ), поскольку
согласно рис. 1а-b с увеличением  длина волны, обладающей
максимальной величиной инкремента    max , уменьшается. Это
согласуется с данными экспериментов [47, 55–60].
В зависимости от величины поверхностной плотности заряда
на струе  (величины параметра w ) соотношение между осесимметричными капиллярными и электростатическими силами
меняется, и в соответствии с данными экспериментов [47, 56–58]
можно выделить несколько режимов распада струи на капли.
Неустойчивость, реализующуюся в отсутствии электрического
заряда на струе (при w  0 ), естественно назвать капиллярной. При
малых плотностях поверхностного заряда на струе  (согласно
(3) при  
1  x 
2
4  H  k , m  ), когда капиллярные силы преоб-
ладают над электрическими:
1  x   w  H  k ,0 
2
неустойчивость
следует именовать капиллярно-электростатической. При большой поверхностной плотности заряда, когда в приведенных соотношениях
выполняются
противоположные
неравенства,
неустойчивость
будем
называть
электростатическикапиллярной.
О возможности выделения различных областей на плоскости
k , w , в которых роли капиллярных и электростатических сил для
волн с m  0 различны, говорилось и в теоретической работе [48].
Однако проведенный в [48] полукачественный
анализ
17
устойчивости волн с m  0 на поверхности объемно заряженной
струи не вполне корректен и вывод работы [48] о существовании
определенного диапазона величин зарядов, приходящихся на
единицу длины струи, в котором осесимметричные волны любых
длин на струе устойчивы, представляется ошибочным.
3. Капиллярные неосесимметричные волны и распад
струй в радиальном электрическом поле. При исследовании
осцилляций и устойчивости заряженных струй специальный
интерес представляет изучение неосесимметричных волн на
струе, описываемых функциями вида более общего вида по сравнению с осесимметричными, а именно ~ exp  im  exp  ikz  exp  st  ,
где  – азимутальный угол; m – азимутальное число, отличное от
нуля. Осесимметричная волна в таком представлении соответствует ситуации m  0 (в нижеследующем изложении волны с
различными азимутальными числами m будем называть модами).
Интерес к неосесимметричным волнам объясняется тем, что для
незаряженной струи в отсутствие внешних силовых воздействий
такие волны всегда устойчивы независимо от длины волны. Они
могут стать неустойчивыми только при отличной от нуля
поверхностной плотности заряда на струе.
Еще в конце позапрошлого века Рэлей в пределе весьма
длинных волн k 2 a 2  1 исследовал устойчивость однородно
заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной
жидкости по отношению к виртуальным волновым возмущениям
с различными азимутальными числами m [1]. Полагая, что
временная эволюция волновой деформации струи описывается
законом ~ exp(it ) , он получил дисперсионное уравнение для m -й
моды бесконечно длинной волны на заряженной поверхности
струи в виде
m2 

m( m  1) ( m  1)  2 w.
 a3
(5)
Из анализа этого дисперсионного уравнения следует, что
наличие поверхностного заряда приводит к снижению устойчивости струи по отношению к неосесимметричным возмущениям
поверхности. В самом деле, при 2 w  ( m  1) квадрат частоты
18
становится отрицательным и все моды m , удовлетворяющие
этому условию, претерпевают неустойчивость.
Тейлор [36] экспериментально и теоретически исследовал
изгибную неустойчивость струи для произвольной длины волны,
связанную с возбуждением моды с m  1 . Он отталкивался от
известного по экспериментальным исследованиям [36] факта, что
при достаточно большой плотности заряда на струе ее конец
начинает совершать хлыстообразное движение, распадаясь при
этом на отдельные капельки. Тейлор записал форму струи в виде
r  R0  ζ  cos( kx )  cos()  exp(i t ) и получил дисперсионное уравнение для изгибной неустойчивости струи идеальной несжимаемой
заряженной электропроводной струи:
2  
 x  I1 ( x )
ρR03 I1( x )
{x 2  w[1 
x  K1 ( x )
]};
K1( x )
(6)
где штрих у модифицированных функций Бесселя означает производную по аргументу. Из полученного дисперсионного уравнения следовало, что мода с m  1 неустойчива при любых значениях поверхностного заряда, поскольку выражение, стоящее в
квадратных скобках, всегда отрицательно. Приравнивая нулю
выражение, стоящее в фигурных скобках, можно получить положение правой границы диапазона волновых чисел, соответствующих неустойчивым изгибным волнам при заданном w .
В работе [48] предпринята попытка исследования влияния
вязкости и электрического поля на устойчивость неосесимметричных волн произвольных длин на поверхности объемно
заряженных струй и подтвержден вывод работы [1] о наличии
порогов по w для начала реализации неустойчивости неосесимметричных волн с различными азимутальными числами m  2 ,
хотя сами пороги определены неверно. Более информативна и
содержательна работа [61], в которой исследовано влияние
вязкости и электрического поля на устойчивость неосесимметричных волн произвольных длин на поверхности заряженных
струй идеально электропроводной жидкости. В [61] выведены
дисперсионные уравнения для струи с произвольной вязкостью и
для ситуации весьма большой вязкости. Показано, что в ситуации
большой вязкости инкремент неустойчивости изгибной моды с
19
m  1 может превышать инкремент неустойчивости осесиммет-
ричной моды (см. также [47, 62]) и делается вывод, что вязкость
сильнее подавляет неустойчивость осесимметричной моды по
сравнению с неосесимметричными модами с m  1 . Критические
условия реализации длинных волн m-й моды имеют вид w  (m  1)
. При больших напряженностях электрического поля у
поверхности струи инкремент неустойчивости моды с m  2 , так
же как и инкремент изгибной моды с m  1 , может превышать
таковой для осесимметричной моды. Говорится, что для ситуации
большой вязкости максимальным инкрементом неустойчивости
из осесимметричных волн обладают бесконечно длинные волны
( k  0 ), что приводит к разрыву струи на большие куски.
В [62] обсуждаемая задача решена в рамках метода прямого
решения линеаризованного уравнения Навье – Стокса путем разделения поля скоростей течения жидкости на потенциальную и
вихревую части, как это подробно описано в [32]. Дисперсионное
уравнение для произвольной моды m имеет громоздкий вид, и
приводить его полностью в данном рассмотрении нецелесообразно, а потому ограничимся его асимптотическим представлением в пределе малой вязкости v, которое в безразмерных
переменных, где R0      1 , имеет вид [62]
S 2  2 S   F  k , m   f  k , m, w   D  k , m   (2 );

(7)

F  k , m  k 2  m2  D  k , m ; D  k , m   m  k  I m1  k  I m  k  ;
f  k , m, w   1  m2  k 2  w  H  k , m  ; H  k , m   1  m  k  K m1  k  K m  k  .
Несложно видеть, что при   0 и m  1 (7) приводится к (6).
Решения дисперсионного уравнения (7) легко выписываются:
S1,2    F  k , m   2  F 2  k , m   f  k , m, w   D  k , m  .
(8)
В пределе малой вязкости (  1 ), когда, собственно, и справедливо уравнение (7), в (8) согласно формальным требованиям
теории возмущений следует опустить слагаемые под корнем ~  2 ,
однако решения, записанные таким образом, будут не вполне
20
корректны в ситуации, когда слагаемые в подкоренном выражении в (8) имеют один порядок малости:
f  k , m, w  ~ 2 F 2  k , m  D  k , m  .
Это обстоятельство актуально при анализе критических
условий реализации неустойчивости волн на заряженной
поверхности струи, поскольку независимо от вязкости жидкости
они определяются требованием обращения в нуль функции
f  k , m, w  , т. к. D  k , m для любых m и k положительно. Иными
словами, в проводимом анализе важны именно малые значения
функции f  m, w, k  , а потому для характеристики инкрементов
неустойчивости целесообразно использовать соотношение (8).
При 0  f  k , m, w   2 F 2  k , m  D  k , m  решения (8) вещественные, причем одно положительно, а другое отрицательно. Вещественное отрицательное решение дает декремент апериодического
затухания виртуальной деформации, а вещественное положительное решение определяет инкремент неустойчивости цилиндрической волны, имеющий вид
  x, m     F  x, m   2  F 2  k , m   f  k , m, w   D  k , m  .
(9)
Знак множителя f  k , m, w  в существенной степени определяется функцией H  k , m  , график которой для пяти первых значений параметра m приведен на рис. 2. Принимая во внимание то
обстоятельство, что произведение w  H  k , m  определяет вклад
электрического поля в величину множителя f  k , m, w  , несложно
видеть, что стабилизирующую роль ( H  k , m   0 ) заряд на струе
играет только для осесимметричной волны ( m  0 ) при k  0.595 .
Для значений k  0.595 и m  0 , а также при любых k и m  0 заряд
на струе играет дестабилизирующую роль, т. к. H  k , m   0 .
21
H
2
w
2
4
6
k6
4
4
6
2
8
2
Рис. 2. Зависимость величины
коэффициента H  H ( k , m) для
первых пяти мод, расположенных
в порядке возрастания номеров
(толщины линий):
самая тонкая линия соответствует
m  0 , самая толстая – m  4
4
k
Рис. 3. Зависимости w  w(k ) ,
определяющие правые и нижние
границы области неустойчивости
первых пяти азимутальных мод,
расположенные в порядке возрастания
номеров (толщины линий):
самая тонкая линия соответствует
m  0 , самая толстая – m  4
Условие f  k , m, w   0 позволяет определить диапазоны
значений волновых чисел, в которых волны с заданными
значениями m и w на цилиндрической поверхности струи
неустойчивы. Это проиллюстрировано на рис. 3, где приведены
зависимости w  w(k ) , определяющие положения правых границ
диапазонов волновых чисел неустойчивых волн k  k* от
величины параметра w для первых пяти значений азимутального
параметра – от m  0 до m  4 , – рассчитанные по соотношению
f  k , m, w   0 .
(10)
Неустойчивым состояниям волн с заданным значением азимутального числа m отвечает множество точек k , w , расположенных выше (и левее для m  0 ) соответствующей кривой. Внутри диапазонов неустойчивости физическая картина реализации
самой неустойчивости определяется волнами с максимальными
значениями инкремента.
Волновое число волны с максимальным значением инкремента k  k max найдется из условия [32]:
22
 d (k , m)
dk   0.
(11)
Отыскивая из (11) kmax и подставляя его в (10), можно найти
значение параметра w  wmax , т. е. то значение поверхностной
плотности электрического заряда, при котором инкремент неустойчивости волны с k  k max максимален. На рис. 4a приведены
найденные подобным образом зависимости wmax  wmax ( kmax ) . Для
всех мод, кроме моды с m  2 , кривые зависимости
wmax  wmax ( k max ) на плоскости k , w лежат выше зависимостей
w  w( k ) , рассчитанных по (10) и приведенных на рис. 3. Для
моды с m  2 кривые wmax  wmax ( kmax ) и w  w(k ) , приведенные на
рис. 4b, пересекаются в точке, являющейся решением системы
(10)–(11). Неустойчивым состояниям заряженной поверхности
жидкости соответствуют точки кривой wmax  wmax ( kmax ) , лежащие
выше точки пересечения с кривой w  w( x) , определенной
соотношением (10).
w
6
4
2
1
2
3
k
Рис. 4a. Зависимости wmax  wmax ( k max ) , связывающие значения wmax и kmax ,
соответствующие максимальным значениям инкремента для волн
с заданными азимутальными числами m и расположенные в порядке
возрастания номеров мод (толщины линий): самая тонкая линия
соответствует m  0 , самая толстая – m  4
23
w
3.5
3
2.5
0.25
0.5
0.75
1
1.25
k
Рис. 4b. Зависимость w  w(k ) для волны с m  2 , полученная по (10),
определяющая правую и нижнюю границы области неустойчивости
(толстая линия), и зависимость wmax  wmax ( k max ) для m  2 ,
построенная по (10)–(11) (тонкая линия)
Подставляя kmax и wmax в (9) можно найти величину самого
инкремента, соответствующего волне, наиболее быстро растущей
со временем. Описанная процедура отыскания экстремальных
значений kmax и wmax подобна процедуре поиска критических
условий реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля – неустойчивости капиллярно-гравитационных волн на плоской заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости [63].
Волновое число наиболее неустойчивой волны, а также и величину инкремента ее неустойчивости можно найти и из графиков зависимости величин инкрементов от волнового числа. На рис. 5a-b
приведены зависимости величин инкрементов неустойчивости
 (k , m) мод m  1;2 от волнового числа x при различных значениях
параметра w , построенные по (9) при w  0 .
24

1
0.75
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
k
Рис. 5а. Зависимости величины безразмерного инкремента моды с m  1
от безразмерного волнового числа k , при   0.002 и значениях параметра
w равных: 0.5 (самая тонкая кривая), 1, 2 и 2.5 (самая толстая кривая),
расположенные в порядке возрастания w
На рис. 5a приведены зависимости величины  (k , m) – инкремента неустойчивости моды с m  1 от волнового числа x, построенные по (9) при различных w  0 . Несложно видеть, что
величина инкремента неустойчивости  (k , m) и волнового числа x
волны, соответствующей его максимальному значению, с ростом
w увеличивается от нулевых значений. Возбуждение моды с m  1
приводит к изгибу и закручиванию оси струи, которая в
линейном приближении по амплитуде волны  описывается
винтовой линией с шагом x 1 :
r ( z , , t )    cos( k  z  m      t ) ;
m  1,
а также к появлению зависимости поля скоростей течения
жидкости в струе от азимутального угла  [47, 62].
25
γ
0.35
0.25
0.15
0.05
0.6
0.7
0.8
0.9
k
Рис.5 b. Зависимости величины безразмерного инкремента моды с m  2 от
безразмерного волнового числа k при   0.002 и значениях параметра w ,
равных 2.905 (самая тонкая кривая), 2.91 и 2.95 (самая толстая кривая).
Неосесимметричные волны с m  2 и произвольными волновыми числами на поверхности струи при w  2.904 устойчивы.
При w  2.904 претерпевает неустойчивость волна с волновым
числом x  0.789 . Зависимости величины  – инкремента неустойчивости моды с m  2 – от волнового числа k при различных значениях параметра w , построенные по (9) при w  2.9 , проиллюстрированы рис. 5b. Реализация неустойчивости моды с m  2
приводит к эллиптической деформации поперечного сечения
струи и ее скручиванию относительно оси z . Ориентация осей
эллипса в поперечном сечении струи зависит от времени и
продольной координаты [47, 64, 65]. Сама струя при этом имеет
вид эллиптического цилиндра, скрученного вокруг оси.
Критические условия реализации электростатической
неустойчивости мод с m  3 и m  4 , согласно рис. 4а, имеют вид
w  4, k  0 и w  5.7, k  0 соответственно. Анализ зависимости величин инкрементов неустойчивости мод с m  3 и m  4 от волнового числа x показывает, что волнам с x  0 соответствуют
отличные от нуля инкременты.
Дисперсионное уравнение, получающееся в асимптотике
большой вязкости, остается громоздким (см. [61, 62]), и приводить его не будем. Отметим лишь результаты расчета по нему
(см. [62]) для осесимметричной m  0 и изгибной m  1 мод в
26
ситуации, когда безразмерная вязкость струи велика:   3 ,
проиллюстрированные рис. 6а-b. Из приведенных рисунков видно, что в полном соответствии с результатами [61] инкремент
неустойчивости изгибной моды в несколько раз превышает
таковой для осесимметричной моды, а вот волновое число волны
осесимметричной моды с максимальным инкрементом в
несколько раз больше волнового числа изгибной моды с
максимальным инкрементом. Сказанное объясняет, почему для
тонких струй в экспериментах [2, 3, 5, 36, 57, 58, 66, 67]
нераспавшаяся часть струи велика, сама струя изогнута (ее конец
совершает «хлыстообразное» движение), а характерные
линейные размеры отрывающихся капелек малы. Роль вязкости
увеличивается с уменьшением радиуса струи, поскольку
обезразмеривание коэффициента кинематической вязкости 
ведется на  R0  и, следовательно, чем меньше радиус струи,
тем меньше масштаб измерения вязкости для нее и тем сильнее
влияние диссипации на закономерности распада струи.
4. Общие закономерности реализации электростатической неустойчивости заряженной поверхности жидкости.
Электростатическая неустойчивость боковой поверхности
струи. При достаточно большой напряженности электростатического поля E0 у граничащей с вакуумом плоской свободной
поверхности электропроводной жидкости при выполнении соотношения [4,63]: E02 8  g  1 претерпевает неустойчивость


волна с волновым числом k   g   1  , где     g –
капиллярная постоянная жидкости и амплитуда волны начинает
расти со временем по экспоненциальному закону. Такая
неустойчивость называется неустойчивостью Тонкса – Френкеля
[4, 63]. При ее реализации на поверхности жидкости возникают
эмиссионные выступы – конусы Тейлора [68], с вершин которых
выбрасываются заряженные струйки, распадающиеся на отдельные капли. Квадрат плотности электрического заряда  на свободной поверхности на пороге реализации неустойчивости Тонкса – Френкеля определится соотношением  2   2  .
27
Сферическая капля радиуса R0 несжимаемой электропроводной жидкости, несущая заряд Q , в вакууме претерпевает электростатическую неустойчивость при выполнении соотношения [1]:
Q 2 16 R03  1. При этом становится неустойчивой основная


мода капиллярных осцилляций капли с n  2 , соответствующая
деформации сферической капли к форме вытянутого сфероида.
Возбуждение осцилляций с n  0 , соответствующих радиальным
центрально симметричным осцилляциям сферической капли, в
несжимаемой жидкости невозможно. Также невозможно в системе координат, связанной с центром масс капли, возбуждение
моды с n  1, соответствующей смещению капли как целого [1].
При реализации неустойчивости моды с n  2 капля вытягивается
в сфероид, поверхностная плотность электрического заряда на ее
вершинах при этом увеличивается, что приводит к реализации
неустойчивости более высоких мод осцилляций капли, чем
основная [69]. В результате суперпозиции амплитуд всех
неустойчивых мод на вершинах капли образуются эмитирующие
выступы, с вершин которых начинается сброс избыточного
заряда [70]. Квадрат поверхностной плотности заряда на капле на
пороге реализации электростатической неустойчивости удовлетворяет условию  2  2   2 R0  .
Видно, что для реализации электростатической неустойчивости сильно заряженной капли квадрат плотности электрического
заряда на ее поверхности в два раза больше, чем для реализации
электростатической неустойчивости плоской поверхности жидкости. Причиной такого положения дел является действие капиллярных сил, сжимающих каплю и оказывающих на ее невозмущенную поверхность давление 2 R0 , тогда как на плоской невозмущенной волновым движением свободной поверхности жидкости
такое давление отсутствует. Из соображений симметрии можно
предположить, что для реализации электростатической неустойчивости боковой поверхности цилиндрической струи радиуса R
квадрат поверхностной плотности электрического заряда на ней
должен лежать внутри интервала значений ограниченных соответствующими значениями для капли и плоской поверхности, т. е. в
диапазоне  2 R0    2  2   2 R0  . Это условие согласуется с
28
критическим условием реализации неустойчивости неосесимметричной моды струи с m  2 при k  0.789 : w  4 2 R0   2.904; откуда
следует соотношение для квадрата поверхностной плотности электрического заряда  2  1.45   2 R0  . (Качественно сходные рассуждения положены в основу исследования устойчивости заряженной
струи по отношению к расщеплению на две при возбуждении
неустойчивости моды с m  2 в [69], но авторы ограничились
приравниванием капиллярного и электростатического давлений на
поверхности невозмущенной струи и пришли к критерию
реализации неустойчивости  2  1.5   2 R0  ).
Как только выполнится условие  2  1.45   2 R0  для моды с
m  2 , амплитуда волны с k  0.789 на свободной поверхности
струи начнет увеличиваться и, согласно сказанному выше,
поперечное сечение струи станет деформироваться в эллипс.
Ориентация осей эллипса при фиксированном z будет зависеть
от времени t , а при фиксированном t – от координаты z , определяющей положение поперечного сечения струи вдоль оси. При
эллиптической деформации сечения струи поверхностная плотность электрического заряда в окрестности вершин эллипса будет
увеличиваться по сравнению с ее значением на цилиндрической
струе. Когда  2 достигнет величины  2  4 , претерпит неустойчивость мода с m  3 ; когда  2 достигнет величины  2  5.7 , претерпит неустойчивость мода с m  4 и т. д. По аналогии с заряженной каплей [70–72] можно ожидать, что эта последовательность возбуждения все более высоких мод будет реализовываться пока на боковой поверхности струи, на ребрах скрученного эллиптического цилиндра, не сформируются эмиссионные
выступы, с вершин которых будут выброшены тонкие струйки,
распадающиеся на отдельные заряженные капельки, как это и
отмечается в экспериментах [57, 58]. Тем не менее представляется, что описанная картина несколько идеалистична, а реальный
физический механизм реализации электростатической неустойчивости боковой поверхности струи связан с формированием
сложного рельефа на поверхности струи в результате нелинейного взаимодействия волн, определяющих начальную деформацию струи, как это описано, например, в [47, 64, 65].
29
5. Влияние электропроводности жидкости и эффекта релаксации электрического заряда. Исследование неустойчивости неосесимметричных волн на поверхности вязкой несжимаемой однородно объемно заряженной струи диэлектрической
жидкости с диэлектрической проницаемостью  d (в модели «вмороженного заряда») проведено в [73] методом прямого решения
линеаризованного уравнения Навье –Стокса [32, 63]. Математическая формулировка задачи отличается от такой же задачи для
идеально проводящей жидкости [62] необходимостью расчета
электрического поля внутри и вне струи и заменой граничного
условия постоянства потенциала на свободной поверхности струи
в [62] на условие равенства его значений внутри и вне струи на
границе раздела в [73]. Получающееся дисперсионное уравнение
в асимптотике малой вязкости в общем виде записывается как (7),
а все физические параметры, связанные с диэлектричностью
жидкости, сосредоточены в функции f  m, w, k  , имеющей теперь в
безразмерных переменных, в которых R0      1 , вид
f (k , m, w)  1  k 2  m 2 

2 d  ( d  1)[ H  k , m   1] ( d  1) D  k , m   2  .
w
 d  1 

1   d D k, m  H  k, m
 d 

Параметр w определяется через заряд, приходящийся на единицу длины струи, тем же выражением, что и раньше. При переходе от диэлектрической жидкости к идеально проводящей (при
 d   ) это выражение для f  k , m, w  сводится к определенному
выше (7) (см. [62]).
Для объемно заряженных струй диэлектрических жидкостей
[73] величины инкрементов неустойчивости неосесимметричных
мод снижаются по сравнению с идеально проводящей жидкостью и
при уменьшении диэлектрической проницаемости жидкости  d .
Эффект снижения инкрементов с уменьшением  d проявлется тем
сильнее, чем меньше азимутальное число m (чем меньше степень
несимметричности) и достигает максимума для осесимметричных
мод ( m  0 ). Это обстоятельство приводит к тому, что для диэлект30
рических жидкостей с малыми диэлектрическими проницаемостями (например, водорода, гелия и т. п.) инкременты неустойчивости
неосесимметричных мод могут при прочих равных условиях
заметно превышать величины инкремента неустойчивости осесимметричных мод, как это видно из рис. 6а-b (см. [73]), что существенно скажется на закономерностях дробления струи на капли.
k
4
3
0
2
1
1
w
2
4
6
8
10
Рис. 6а. Зависмость волнового числа волны, обладающей максимальным
инкрементом от зарядового параметра w для осесимметричной и изгибной волн.
Цифра у кривой совпадает со значением азимутального числа m
s
1.5
1
1
0.5
0
w
2
4
6
8
10
Рис. 6b. Зависмость максимального инкремента
от зарядового параметра w для осесимметричной и изгибной волн.
Цифра у кривой совпадает со значением азимутального числа m
Экспериментально и теоретически в рамках методики вынужденного капиллярного распада струй [6] распад поверхностно
заряженной струи диэлектрической жидкости изучался в [74].
Экспериментально обнаружено увеличение длины нераспавшей31
ся части струи при увеличении поверхностной плотности электрического заряда. В теоретической формулировке задачи авторы
[74] намеревались учесть эффект релаксации электрического
заряда. Однако в уравнении баланса поверхностной плотности
электрического заряда на свободной поверхности струи они
потеряли слагаемое, пропорциональное средней кривизне струи,
а потому результаты теоретического анализа [74] не вполне
корректны и могут содержать ошибки как количественного, так и
качественного характера. Здесь целесообразно отметить, что
попыток учета эффекта релаксации электрического заряда, содержащих указанную ошибку, в задачах расчета линейной устойчивости струй было много (см., например, [75–79]), на что указано
в [80], где уравнение баланса было строго выведено для произвольнойкриволинейной поверхности. Причина распространенности обсуждаемой ошибки в механическом переносе уравнения
баланса, выписанного для плоской поверхности и не содержащий
слагаемого, пропорционального средней кривизне невозмущенной поверхности жидкости, на криволинейную поверхность.
Отметим сразу, что в расчетах нелинейных волновых движений
на заряженной поверхности жидкости с реальной электропроводностью учет обсуждаемого слагаемого необходим и в случае
плоской равновесной поверхности жидкости [81].
Задача исследования устойчивости неосесимметричных волн
на заряженной струе вязкой жидкости с конечной электропроводностью на основе правильно выписанного уравнения баланса
заряда решена в [82] методом прямого решения линеаризованного уравнения Навье – Стокса [32, 62, 73]. От задач, решаемых в
модели идеально проводящей жидкости или идеально диэлектрической, задача расчета волнового движения на заряженной поверхности жидкости с конечной проводимостью отличается тем,
что локальное значение поверхностной плотности электрического заряда на струе, является функцией координат и времени.
Математическая формулировка задачи по сравнению с идеально
проводящей струей пополняется уравнением баланса поверхностной плотности заряда:
¶c
U
+ s ⋅ nFin +  S (cU + cbEt ⋅ τ) + c r = 0;
¶t
r
32
(12)
S º
¶
1 ¶
ej + e z ;
r ¶j
¶z
(
)
4pc = n ε dFin - Fex ;
здесь σ – удельная проводимость реальной жидкости; b – подвижность носителей заряда в жидкости; ej и e z – = орты осей
цилиндрической системы координат; n и τ – орты нормали и касательной к поверхности струи; F in и F ex – потенциалы электрического поля внутри и вне струи; U r -нормальная компонента
поля скоростей.
При записи уравнения баланса принято, что ее электрический
потенциал выравнивается вдоль ее свободной поверхности за
счет трех механизмов: 1) нормального к свободной поверхности
тока проводимости, приводящего к выравниванию потенциала за
характерное время максвелловской релаксации    d  ; 2) переноса носителей заряда касательными к поверхности течениями
жидкости, связанными с волновым движением в струе, выравнивающим потенциал поверхности за время поряка периода
волны; 3) направленного переноса ионов вдоль свободной поверхности струи касательной к поверхности компонентой напряженности электрического поля (Eτ) со скоростью движения
ионов по поверхности V , определяемой соотношением
V  b (E τ ) τ , где b – подвижность инов, принимаемая для нижеследующих оценок одинаковой для ионов разных знаков.
Дисперсионное уравнение задачи в общем случае имеет громоздкий вид и не может быть решено аналитически. В асимптотике маловязкой жидкости оно сводится к уравнению третьей
степени относительно комплексной частоты s , имеющему в
безразмерных переменных, в которых R0      1 , вид
A3 ( k , m) ⋅ S 3 + A2 (k , m) ⋅ S 2 + A1( k , m, w) ⋅ S + A0 ( k , m, w) = 0;
(13)
A0 ( k , m, w) = 4pd ( k , m) ⋅ D( k , m)[ w ⋅ H ( k , m) + b ( k , m) - w ];
A1(k , m, w) = 2 pw ⋅ h( k , m) ⋅ D( k , m) ( H ( k , m) -1) + a3 ⋅ b (k , m) ⋅ D( k , m) +
(
)
(
)
+ w ⋅ ( H ( m, k ) - 1) k 2 - m2 + 4p D ( m, k ) + 8pn ⋅ d ( k , m) k 2 + m2 - D ( m, k ) ;
33
(
)
A2 ( k , m) = 4pd + 2n ⋅ A3 ( k , m) k 2 + m2 - D ( k , m) ;
A3 ( k , m) = 4p ⋅[ H ( m, k ) - ε d ⋅ D( m, k ) -1];
(
)
d ( k , m) º c0 ⋅ b k 2 - m 2 - 4ps ⋅ D ( k , m); h( k , m) º 1- 4 pc0 ⋅ ε d ⋅ D ( k , m);
(
)
b ( k , m) º k 2 + m2 - 1 + 4pc02 .
где c0 – поверхностная плотность заряда на невозмущенной
струе. В пределе s  ¥, ε d  ¥ это дисперсионное уравнение
приводится к (7).
При анализе решений дисперсионного уравнения (13) выяснилось [82], что релаксационные движения жидкости в струе
имеют формально периодический характер, но декремент их
затухания весьма велик. Они приводят к дополнительному (по
сравнению с идеально электропроводной жидкостью) рассеиванию энергии в струе и к увеличению декрементов затухания и
снижению инкрементов неустойчивости. Влияние эффекта релаксации заряда наиболее заметно сказывается на капиллярных
движениях в струях слабопроводящих жидкостей.
6. Устойчивость струи в продольном электрическом поле.
В реальных установках для электродиспергирования жидкости,
применяющихся в разнообразных приложениях феномена, используется система электродов отличная от рассмотренной выше.
Электродиспергирование происходит в системе электродов типа
«игла-плоскость» [2, 5, 14, 39, 42, 57, 58, 66, 67] или «плоскостьигла-плоскость» [36, 42], когда продольная компонента электрического поля весьма велика. Тоже относится и к капле, выбрасывающей струи при реализации неустойчивости во внешнем
электростатическом поле [3]. В системе электродов типа «иглаплоскость» распадающаяся на капли струя жидкости выбрасывается под влиянием электрического поля между капилляром и
перпендикулярным к нему плоским противоэлектродом с вершины жидкого мениска на торце капилляра, по которому жидкость
подается в разрядную систему. В такой системе электродов
электрическое поле в окрестности струи реальной жидкости
ориентировано преимущественно вдоль струи, а не радиально
34
симметрично, как это принималось в п. 1–5. В этой связи встает
проблема исследования устойчивости и капиллярного распада
струй в продольном электрическом поле, которая рассматривалась в [69, 75, 79, 83–87].
В [83] в рамках энергетического подхода Рэлея [1, 26, 27, 29]
рассмотрена устойчивость осесиметричной волны на поверхности идеальной несжимаемой цилиндрической струи диэлектрической жидкости с диэлектрической проницаемостью  d(1) в продольном электростатическом поле E 0 и сделан вывод, что такое
поле увеличивает устойчивость струи. Дифференциальные уравнения (уравнения Лагранжа) для отыскания временной зависимости амплитуд a осесимметричных волн на струе согласно
[83] имеют вид

  
( d(2)   d(1) ) 2  x  I 0 ( x )  K 0 ( x )   x  I1 ( x ) 
2


 1  x  W (1)
 a;

 d I1 ( x ) K 0 ( x )   d(2) I 0 ( x ) K1 ( x )    I 0 ( x ) 
t 2   R03  



 2a


W  E02 R0 4 .
где  d(2) – диэлектрическая проницаемость окружающей среды. Из
этого уравнения, задаваясь видом искомого решения ~ exp(it )
или ~ exp(t ) в зависимости от знака множителя при амплитуде a
справа можно получить дисперсионное уравнение. Из полученного уравнения в [83] делается вывод, что короткие капиллярные
осесимметричные волны, для которых x  1, на струе динамически устойчивы независимо от наличия электрического поля.
Длинные капиллярные волны с x  1 будут приобретать устойчивость с ростом напряженности внешнего продольного электростатического поля. При заданном значении величины напряженности электрического поля левая граница диапазона волновых
чисел устойчивых волн ( x  1 в отсутствие электрического поля)
определится из соотношения
 (1) I1 ( x)  K 0 ( x)   (2)  I 0 ( x )  K1 ( x ) 
d
 d
 W.
(2)
(1) 2
2
( d   d ) (1  x )  x  I 0 ( x)  K 0 ( x )
35
С ростом напряженности поля эта граница смещается в область более малых волновых чисел (более длинных волн). Область же неустойчивых волн будет при этом сужаться, а величина
инкремента наиболее неустойчивой волны уменьшаться. Естественно ожидать, что для некоторой критической величины напряженности поля область неустойчивости исчезнет совсем. Тем не
менее можно показать, что в использованной в [83] модели
идеальной жидкости для как угодно большой величины напряженности поля существует область значений волновых чисел в
окрестности x  0 , в которой волны будут неустойчивы, хотя
инкременты неустойчивости и будут малы. На появление порогового для прекращения реализации неустойчивости осесимметричных волн на поверхности струи значения напряженности
электрического поля вроде бы можно рассчитывать при учете
реальной вязкости жидкости. С другой стороны известно, что в
нормальном к свободной заряженной поверхности электростатическом поле вязкость на критические условия реализации
апериодической неустойчивости не влияет, хотя и снижает величину инкремента неустойчивости. Это физически понятно:
вязкость жидкости снижает скорости относительного движения
элементарных объемов жидкости друг относительно друга, но не
препятствует возникновению самого движения: как угодно малой
силой, действующей в течение достаточно длительного интервала времени, жидкость или тело, погруженное в нее, можно
привести в движение. В этой связи заключение работы [84] о
возможности полного подавления неустойчивости капиллярных
волн на поверхности струи продольным электрическим полем
представляется ошибочным. Но общий вывод работы [83], что
продольное электрическое поле повышает устойчивость осесимметричных волн на поверхности струи диэлектрической жидкости, справедлив.
Саму неустойчивость осесимметричных волн следует именовать капиллярной, так как именно капиллярные силы приводят к
дроблению струи, а электрические силы мешают этому процессу.
Интересно, что заметное сужение диапазона волновых чисел,
в котором реализуется капиллярная неустойчивость, имеет место
при достаточно малых напряженностях внешнего поля. Диапазон
36
неустойчивости в отсутствие поля (при W  0 ) x  1, при  d(1)  80 и
 d(2)  1 снижается до x  0.82 уже при W  0.001 и до x  0.064 при
W  0.1 . Для сравнения отметим, что в нормальном к поверхности
струи электрическом поле параметр w   2  R0 , являющийся
аналогом W , начинает реально сказываться на ширине диапазона
неустойчивых волн и на величинах инкрементов лишь при
больших величинах, начинающихся с w ~ 1 (см. рис. 1а). По-видимому, именно этот эффект позволяет истолковать результаты
экспериментов Рэлея [26] и Френкеля [42] по стабилизации струй
при малой их электризации, поскольку электризация струй вызывалась внешним электрическим полем, имеющим большую продольную составляющую. Усиление диспергирования струй при
интенсивной электризации связано с усилением действия
нормальной компоненты внешнего электрического поля.
Условие (13) и основные выводы [83] относительно стабилизирующего влияния продольного электрического поля на осесимметричные волны на поверхности струи совпадают с полученными ранее в работе [85], где в рамках прямого решения линеаризованного уравнения Навье – Стокса для струи вязкой диэлектрической жидкости в продольном электростатическом поле в
вакууме получено более общее дисперсионное уравнение,
учитывающее вязкость жидкости:
  2ik  
2
2
I 0 ( x)

4k 2 2
2
 2i
  2ik  
qR0 I 0 (qR0 )  I1(qR0 ) 
k  I1 ( x )
R0
R0 I1 (qR0 )


( d(1)  1) 2  E02  k  I 0 ( x )  K 0 ( x )

2

1 x 
 0;
(1)


 R02
4  d I1( x ) K 0 ( x )  I 0 ( x ) K1 ( x )



q2  k 2  i  .

В [85] говорится о стабилизирующем влиянии вязкости жидкости, но конкретных численных оценок не проводится.
В [86] подтвержден вывод [83, 85] об увеличении устойчивости осесимметричных волн на поверхности струи диэлектрической жидкости в продольном электростатическом поле и
исследована устойчивость такой струи в периодическом во времени продольном электрическом поле. Как и следовало ожидать,
в последнем случае дифференциальное уравнение второго поряд37
ка, описывающее временную эволюцию мод капиллярных волн
под влиянием периодического электрического поля, является
уравнением Матье. В соответствии с теорией уравнения Матье
вопрос об устойчивости капиллярных волн той либо иной
частоты на поверхности струи зависит от частоты приложенного
продольного периодического электрического поля. Однако для
получения более строгих физических результатов необходимо
принять во внимание вязкость жидкости, учет которой приведет к
появлению порога по амплитудному значению величины
электрического поля, начиная с которой возможна периодическая
раскачка волн (см. [87]). В работе [87] устойчивость волн на
поверхности струи вязкой жидкости с реальной электропроводностью в продольном периодическом во времени электрическом поле рассматривается при одновременном учете тепло-,
массообмена с окружающей средой.
В [84] решается более общая задача – об устойчивости
осесимметричных волн на поверхности струи вязкой жидкости с
конечной электропроводностью в продольном электростатическом поле при наличии вязкой внешней среды, обладающей
отличной от нуля электропроводностью. Собственно говоря, в
этой работе делается попытка одновременно учесть наличие и
продольной и нормальной к поверхности струи компонент
электрического поля. Однако физическая модель формирования
электрического поля у поверхности струи очерчена весьма поверхностно, а реальный перенос заряда по струе не принимается
во внимание. Это делает весьма интересную по постановке работу не вполне корректной. Тем не менее в [84] подтверждается
вывод [83, 85–88] об увеличении устойчивости осесимметричных
волн в продольном электростатическом поле. В более поздней
работе [75] формулировка задачи устойчивости волн на поверхности струи реальной жидкости [84] несколько изменяется:
внешняя среда убирается, но учитывается эффект релаксации
заряда (как и в более поздних работах [76, 77]). Дисперсионное
уравнение, полученное в работе [75], выписывается для произвольной моды m, что позволяет автору исследовать и осесимметричные волны m  0 , и изгибные m  1 . К сожалению, уравнение
баланса заряда на поверхности струи выписывается не полно38
стью: опускается слагаемое, пропорциональное кривизне поверхности невозмущенной струи (см. предыдущий раздел, п. 5), что
делает полученные в [75] результаты не вполне корректными. Та
же ошибка делается и в основательных работах [76, 77].
В работах [79, 89] рассмотрена устойчивость первых трех
мод струи реальной вязкой жидкости с конечной электропроводностью в продольном электростатическом поле. Причем проявление неустойчивости моды с m  2 интерпретируется как расщепление струи на две. Экспериментально такой феномен зафиксирован [69, 79, 89] для полимерных веществ и является основой
для целого направления электродиспергирования жидкостей,
называемого электропрядением (electrospinning) [90]. Однако
теоретические модели феномена поперечного расщепления струй
не вполне четко очерчены. Так, в [69] в основу теоретической
модели положена идея распада заряженной струи электропроводной жидкости, когда давление электрического поля собственного
заряда на поверхность струи превысит давление капиллярных сил
под цилиндрической поверхностью струи. На самом деле, такой
порог существует, о чем говорилось в п. 4 настоящего обзора, но
при его достижении становится неустойчивой по отношению к
давлению электрического поля боковая поверхность струи, и
струя начинает деформироваться к фигуре типа скрученного
цилиндра эллиптического сечения. Чтобы можно было говорить о
расщеплении струи на две, необходимо прежде всего ограничить
рассмотрение бесконечно длинными волнами, как сделано в [91,
92]. Дальше необходимо обосновать подавление неустойчивости
мод с m  2 на ребрах скрученного эллиптического цилиндра,
чтобы не начался сброс поверхностного заряда путем эмиссии
дочерних сильно заряженных струек или капелек. Это можно
обосновать влиянием вязкости жидкости, наиболее сильно подавляющей неустойчивость высоких мод, как это сделано, например,
при анализе механизма сброса избыточного заряда сильно заряженной каплей [71, 93]. Так, в [71, 93] показано, что для очень
маленьких ( R ~ 0.1  m ) капелек, заряженных выше Рэлеевского
предела [1], вязкость жидкости подавляет неустойчивость высоких мод, тогда как амплитуда основной моды нарастает экспоненциально со временем и капля, в конце концов, может разде39
литься на две дочерние равных размеров. В теоретических моделях [69, 90, 91] вязкость жидкости во внимание не принималась, жидкости считались идеально проводящими, струи
поверхностно заряженными, и их распад на две рассматривался в
поле электрических сил, перпендикулярных поверхности струи, а
не в продольном поле, как в [79, 89]. В этой связи предложенные
в [69, 89] модели не вполне адекватны.
7. Исследование устойчивости волн на поверхности заряженной струи с формой, отличной от прямого кругового
цилиндра. В работах [79, 89] физическая и математическая модели работы [75] обобщаются для учета отличия формы струи от
цилиндрической. Реальная форма струи, вытягиваемой из капилляра внешним электрическим полем, не является прямым круговым цилиндром, что отмечалось и исследовалось в значительном
количестве работ [89, 94–98 ]. По мере удаления от места возникновения радиус струи уменьшается по закону R ~ z 1 4 . Это
приводит к тому, что влияние давления электрического поля и
вязкости жидкости в различных сечениях струи (на разных
расстояниях от торца капилляра) будут неодинаковы. Так, если
рассмотреть идеализацию идеально проводящей струи, то для
струи, поддерживаемой при постоянном потенциале, давление
электрического поля на ее поверхность при уменьшении радиуса
будет изменяться обратно пропорционально квадрату радиуса. В
итоге различные участки струи будут не эквивалентны по
отношению к реализации неустойчивости волн с различными
волновыми и азимутальными числами.
Экзотичность формы боковой поверхности струи, не совпадающей ни с одной из существующих координатных поверхностей,
исключает возможность записи дисперсионного уравнения для
всей струи. Как правило, выбирают участок струи с формой, мало
отличающейся от прямого кругового цилиндра, принимают, что
форма участка является цилиндрической, и для него выписывают
дисперсионное уравнение, которое и анализируют [89]. Такой
анализ, проведенный для различных участков струи, которые
можно заменять цилиндрическими струями разных радиусов,
позволяет получить информацию о закономерностях реализации
неустойчивости волн на различных частях струи. Но вместе с тем
40
существует более корректный регулярный асимптотический метод разложения невозмущенной капиллярным волновым движением свободной поверхности струи по отклонению от поверхности, совпадающей с одной из координатных поверхностей. В
близких по тематике задачах этот метод с успехом применяется
для исследования закономерностей реализации неустойчивости
сильно заряженных капель, равновесные формы которых в совокупности внешних силовых полей отличны от сферической [38,
51, 52, 70, 99–102].
В связи со сказанным в [47, 101] путем разложения невозмущенной границы струи по малому отклонению от формы прямого
кругового цилиндра решена модельная задача, позволяющая в
одном дисперсионном уравнении учесть влияние деформации
формы струи. Модельная задача, рассмотренная в [47, 101] сводится к следующему. На бесконечную однородно поверхностно
заряженную цилиндрическую струю электропроводной вязкой
несжимаемой жидкости наложено длинноволновое синусоидальное возмущение конечной амплитуды a , много меньшей радиуса
струи: a  sin  k*  z  , где  a R   1 , а длина волны *   2 k*   R .
Исследуется устойчивость волн произвольной симметрии с волновыми числами, много большими волнового числа модельной
синусоидальной деформации (см. рис. 7а-b) на участке струи
между максимумом и минимумом синусоиды, где синусоиду
можно аппроксимировать прямой линией. Уравнение свободной
поверхности струи запишется в виде
r  , z, t   R  a  sin  k* z     , z, t   r  z     , z , t  ;
  a  R;
где   , z, t  – возмущение, вызванное капиллярным волновым
движением теплового происхождения с амплитудой   T  .
Математическая формулировка задачи выписывается в линейном по a и  приближении с сохранением слагаемых, пропорциональных a,  и a   , как это делалось в [38, 51, 52, 70,
99–102] при исследовании осцилляций и устойчивости сфероидальных капель (сплюснутых и вытянутых) в сферической системе координат. Т. е. с формально матфизической точки зрения
речь идет об аналитическом асимптотическом методе анализа
41
устойчивости струи при наличии двух малых параметров,
различающихся порядками малости.
Получающееся в итоге последующего решения классическими методами дисперсионное уравнение имеет громоздкий вид,
поэтому выпишем его в линейном приближении по вязкости. В
безразмерных переменных, в которых R0      1, указанная
асимптотика дисперсионного уравнения для участка струи,
показанного на рис.7b, имеет вид
S 2  2 ( k , m, )  2S  1( k , m, )  0 ( k , m, w, )  0;
(14)

0 ( k , m, w, )  2 D( k , m)    2 1( k )   2   2 ( k )   f ( k , m, w)  2  2m2 



 2m  7 H (k , m)  2 H ( k , m)  H ( k , m) ;

 w 3  k 2  m2  1  H ( k , m)  H ( k* ,0)  1   2  H ( k , m)  H ( k , m)  1 




 2  3m2  0.5  w 5k 2  7m2  10  2k 2

2
2
1( k , m, )  2 1( k )    2 2 ( k )   2   3 ( k )  4ik  D ( k , m)  ;
2 ( k , m, )  2  2  D ( k , m)   2   1 ( k );   a  sin  k*  z  ;    ak*  cos  k*z  ;
(
)
g1( x ) º x 2 + m2 - D ( k , m); g 2 ( x ) º - x 2 - 3m 2 + x 2 + m 2 + 2 ⋅ D ( k , m);
(
)
(
) (
)
g 3 ( x ) º x 4 + 3 + 2 m 2 x 2 + m 2 11 + m 2 - 2 x 2 + 3m 2 + 3 D ( k , m).
Численные расчеты по (14), ориентированные на исследования зависимости инкрементов неустойчивости волн в области
неустойчивости и частот волн в области их устойчивости от
величины деформации формы струи, показывают, что изменение
деформации от a до –a для осесимметричной волны ( m  0 )
приводят к монотонному увеличению инкрементов неустойчивости и снижению частот волн. Положения максимумов инкрементов при этом смещаются в область более длинных волн и этот
эффект проявляется более отчетливо с ростом w. Амплитуда
изменения величин инкрементов измеряется десятками процентов от их значений при a  0 и растет с увеличением амплитуды
42
деформации a и параметра w. Ширина диапазона волновых чисел,
соответствующих неустойчивым волнам, при изменении деформации от a до –a уменьшается. Для изгибной моды ( m  1 ) в
отличие от осесимметричной моды ( m  0 ) величина инкремента
изменяется немонотонно, а все остальное, сказанное про
осесимметричную моду, остается в силе и для изгибной моды.
В качественном отношении большинство полученных в [47,
101] результатов предсказуемы из общефизических соображений
на основе результатов расчетов для струй, имеющих формы
прямого кругового цилиндра, но теперь зависимости величин
инкрементов и частот волн от величин деформации можно
исследовать в рамках одного дисперсионного уравнения.
8. Нелинейные волны на поверхности струи заряженной
идеальной несжимаемой жидкости. Первых два аналитических
теоретических анализа устойчивости осесимметричных волн конечной амплитуды на поверхности незаряженных цилиндрических струй идеальной несжимаемой жидкости появились практически одновременно [104–105] во второй половине прошлого
века. В обоих исследованиях использовался метод растянутых
координат, но в работе [104] он применялся ко времени и к
продольной координате, в [105] только ко времени. Основное
внимание уделялось возможному уточнению результатов линейной теории, а именно исследованию влияния конечности амплитуды волн на волновое число волны, обладающей максимальным
инкрементом неустойчивости, и на положение границы между
устойчивыми и неустойчивыми волнами (напомним, что в
линейной теории положение этой границы определялось соотношением k 2 R02  1 [26]). Выяснилось, что результаты расчетов зависят от вида начальных условий и что поправки квадратичны по
малому параметру, в качестве которого принималась амплитуда
начальной деформации. Сами же искомые поправки, полученные
в работах [104–105], различались между собой. В последующей
работе [106] было высказано предположение, что метод
растянутых координат не подходит для расчета нелинейных волн
на поверхности струи, предложено использовать метод разных
временных масштабов и получены результаты, отличные от
результатов работ [104–105]. Дальнейшие исследования выявили
43
еще одно приложение теории нелинейных волн на струе –
феномен сателлитообразования. В экспериментах (см., например,
обзор [107]) выяснилось, что струя редко распадается на капли
одинаковых размеров, определяемых волновым числом наиболее
неустойчивой волны. В реальности отделяющаяся от струи капля
связана со струей перемычкой, которая образует еще одну
маленькую капельку – сателлит. В рамках линейной теории этот
феномен непонятен, в нелинейных расчетах выясняется, что
вследствие нелинейности уравнений гидродинамики, кроме
волны с волновым числом k* , определяющей распад струи на
капли в рамках линейных представлений, на струе возникают и
волны с кратными волновыми числами j  k* , где j – целое число.
Реальный распад струи на капли определяется суперпозицией
всех существующих на струе волн, что и приводит к образованию
перетяжки и капель сателлитов. Впрочем, обзор первых экспериментальных и теоретических исследований нелинейных волн на
поверхности незаряженных цилиндрических струй идеальной
несжимаемой жидкости и их устойчивости можно найти в
обзорах [35, 107].
Теоретические аналитические исследования нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных цилиндрических струй
начались с работ [108, 109], в которых изучалась устойчивость
струи электропроводной жидкости в радиальном электростатическом поле. А точнее, исследовалось влияние электрического
поля на волновое число волны, обладающей максимальным
инкрементом неустойчивости, на положение границы между
устойчивыми и неустойчивыми волнами и на закономерности
образования капель сателлитов. В [108] решение с сохранением
нелинейных поправок третьего порядка малости искалось методом растянутых параметров в диапазоне волновых чисел, в
котором реализовывалась капиллярная неустойчивость. Было
найдено, что граница диапазона устойчивых волн зависит от
квадрата амплитуды начальной деформации и параметра w, к
которому чувствительны и размеры сателлитов. Очевидным
недостатком работы [108] является то, что не все используемые в
ней обозначения, в том числе и входящие в запись окончательного результата, пояснены в тексте.
44
В [109] методом многих пространственных и временных масштабов исследовалась устойчивость волнового пакета на поверхности заряженной струи, составленного из капиллярных волн, по
отношению к которым струя капиллярной неустойчивости не
претерпевает. Условие исчезновения секулярных слагаемых третьего порядка малости позволило выписать нелинейное эволюционное уравнение для амплитуд волн на поверхности струи,
имеющее вид нелинейного уравнения Шредингера. Выяснилось,
что волновой пакет модуляционно неустойчив. Выписано решение второго порядка малости для коротких периодических капиллярных волн на поверхности заряженной струи, в котором, однако, отсутствуют компоненты, описывающие нелинейное резонансное взаимодействие волн. Нелинейные поправки к частотам
волн не найдены.
Кроме того, имеются и работы, выполненные численными
методами [46, 110], посвященные исследованию влияния электрического поля на закономерности отрыва капель и образования
сателлитов при капиллярном распаде струи. На этих работах, однако, не будем останавливаться, ввиду стандартных ограничений
общности рассмотрений, проведенных численными методами.
Одновременно с работами [108, 109] начались систематические теоретические аналитические исследования нелинейных
осцилляций заряженных капель (см., например, обзоры [111, 112]
и указанную там литературу). В этих исследованиях были отработаны методы аналитического расчета и определены объекты
изучения нелинейной устойчивости заряженной поверхности
жидкости: внутренние нелинейные резонансы, нелинейные поправки к частотам и критическим условиям реализации
неустойчивости.
В [113–116] исследовались нелинейные волны на заряженной
поверхности струи идеальной электропроводной несжимаемой
жидкости. Главное различие между задачами исследования линейных и нелинейных волн проявляется в том, что, как правило,
целью линейных задач является вывод и анализ дисперсионного
уравнения, а нелинейные задачи по своему смыслу являются
эволюционными и решаются при наличии начальных условий.
Для задач о волнах на поверхности бесконечно протяженных
45
струй жидкости (равно как и для расчета нелинейных осцилляций
заряженных капель [111–113] и нелинейных волн на плоской
заряженной поверхности жидкости [114]) в качестве таких
условий обычно берут деформацию струи в начальный момент
времени и, например, распределение поля скоростей [108, 114–
118]. Иногда второе начальное условие формулируется на финальной стадии решения задачи, исходя из требования наименьшей громоздкости получаемого решения [47, 111, 112, 114–118].
Начальная деформация струи может задаваться в виде единичной
виртуальной волны [47, 115, 116, 118] и в виде волнового пакета
[117]. Вторая ситуация является более общей, и на ней следует
остановиться подробнее.
В [117] методом многих временных масштабов исследовались волны конечной амплитуды на поверхности струи идеальной электропроводной несжимаемой жидкости в ситуации, когда
начальная деформация формы струи определяется суперпозицией
нескольких в общем случае неосесимметричных волн. В качестве
малого параметра использовалось отношение амплитуды
начальной деформации к радиусу струи. Искомыми функциями
 ( , z, t ) ,
являлись: возмущение формы поверхности струи
потенциал поля скоростей течения жидкости в струе (r, , z, t ) и
потенциал электростатического поля вне струи (r, , z, t ) .
Форма струи для случая, когда ее начальная деформация
задана суперпозицией двух волн с волновыми числами k1  k ,
kl  l  k и с азимутальными числами m1 , ml , в безразмерных
переменных, в которых R0      1 , определяется выражением
r ( z , , t )  1     h1 cos( m1 ) cos(1 )  hl cos( ml ) cos(l )  
(15)

 0 .2 5  2    0 .5( h12  hl2 )  h12 a1( 2 ) cos(2 m1 )  hl2 a l( 2 ) cos(2 m l )  


(1)
(3) 
 h12  11
cos(2 m1 )   11
cos(2 ) 


 hl2  ll(1) cos(2 m l )   ll(3)  cos(2 l ) 


(3)
(3)

 h1hl  ( 1(1)
  l(1)
1 ) cos[( m1  ml ) ]  ( 1l   l 1 ) cos[( m1  ml ) ] cos(1  l ) 
 l
46

(4)
(4)

 h1hl  ( 1(2)
  l(2)
1 ) cos[( m1  ml ) ]  ( 1l   l 1 ) cos[( m1  ml ) ]  cos(1  l ) ;
 l

2
(1)
 nl
~ 1   m n ( k n )   m l  k l     (2m n  m l ) ( k n  k l )  ;


2
(2)
 nl
~ 1   m n ( k n )   m l  k l     (2m n  m l ) ( | k n  k l |)  , n  l ;






(3)
 nl
~ 1   m n ( k n )   ml  k l 



(4)
 nl
~ 1   m n ( k n )   ml  k l 


2

2
  (2m n  m l ) ( k n  k l )  ;

  (2mn  ml ) (| k n  k l |)  ,n  l ;

n  n  kn  z  mn  t ,
где hl – парциальный вклад l-й волны в начальную деформацию
формы струи; m  m (kn , mn ) – частота n-й волны с волновым
n
n
числом kn и азимутальным числом mn , являющаяся решением
дисперсионного уравнения (7) при   0 . Качественно схожую
структуру имеют и решения для потенциала поля скоростей течения жидкости в струе (r, , z, t ) и потенциала электростатического поля вне струи (r, , z, t ) .
На рис. 7 приведен внешний вид струи, рассчитанный по (15)
для ситуации, когда начальная форма определена суперпозицией
двух волн. Согласно (15) за счет нелинейного взаимодействия
волн, определяющих начальную деформацию струи, во втором
порядке малости возбуждаются волны как с удвоенными
волновыми и азимутальными числами, так и с волновыми и
азимутальными числами, получающимися в результате сложения
и вычитания волновых и азимутальных чисел. Из вида
( j)
при нелинейных поправках к форме струи,
коэффициентов  nq
~  2 , несложно видеть, что они имеют резонансный вид, т. е. при
определенных соотношениях между частотами волн стремятся к
бесконечности, что в теории нелинейных осцилляций и волн
соответствует проявлению резонансного обмена энергией между
волнами:
47
1
0
-1
-1
l 1
1
l 1
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ

21
2
0
1 0
33l 1
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
1Ђ
22
2l 1
Рис. 7. Внешний вид поверхности струи, рассчитанный по (12) при k1  1.25 ,
k1  3.75 , m1  m2  2 ,   0.25 ,   0.2

 m n ( k n )   ml  k l 

2
2
 (m
n  ml )
( k n  k l );
(16)
где mn (kn ) и ml (kl ) определяются дисперсионным уравнением
(7). Для частот ( mn  ml ) ( kn  kl ) дисперсионное уравнение (7)
принимает вид
(2mn  ml ) ( k n  kl ) 
 D( m
n  ml )
2
2
(| k n  kl |){( k n  kl )  ( mn  ml )  1  w[1  H ( m
n  ml )
(| k n  kl |)]}.
Из теории нелинейного взаимодействия волн известно, что
волны на поверхности жидкости могут эффективно обмениваться
энергией при квадратичной нелинейности, характерной для
гидродинамических задач, если их частоты  j и волновые

вектора k j удовлетворяют соотношениям [119]
1  2  3  0;
  
k1  k2  k3  0.
48
(17)
(18)
Таким образом, во взаимодействии должны участвовать, как
минимум, три волны, а само взаимодействие называется трехволновым. Если волны не удовлетворяют указанным соотношениям,
то эффект их взаимодействия имеет первый порядок малости по
безразмерной амплитуде волны [119]. Для волн на поверхности
струи, бегущих вдоль оси z , соотношение (18) примет скалярный
вид:
k1  k2  k3  0.
(19)
Сравнение (16) и (17) показывает, что если принять
1  mn ( kn );  2  ml ( kl );  3 ( mn  ml ) ( kn  kl ) , эти условия идентичны, а условие (19) выполняется автоматически при
k1  kn ; k2  kl ; k3  kn  kl . Поскольку частоты связаны с волновыми числами дисперсионным соотношением (7), то несложно
видеть, что в отсутствие электрического заряда на струе условие
(17) может выполниться только случайно. Для ситуации, когда
начальная деформация струи определяется одной волной [116],
этот вывод наглядно подтвержден расчетами по (7). Появление
дополнительной степени свободы, связанной с наличием заряда
на струе (с наличием параметра w), позволяющего изменять и
частоты, и волновые числа волн и не одинаково сказывающегося
на волнах с различными k и m, обеспечивает выполнение условий
(17) и (19) для многочисленных комбинаций волновых k и азимутальных m чисел. Ситуация качественно такая же, как и для
детально исследованной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, не имеющей резонансов в отсутствие
заряда, но приобретающая значительное их количество при
наличии заряда [120–124].
Если kn  kl и mn  ml , то реализуется случай вырожденного
нелинейного резонансного взаимодействия, характеризуемого
тем, что одна волна из спектра волн, определяющих начальную
деформацию, например, k1 , дважды взаимодействует с нелинейно
возбуждающейся волной, например k3 , передавая ей энергию. В
этом случае условия резонансного взаимодействия (17), (19)
перепишутся в виде
49
2 1  3;
2 k1  k3 .
Вырожденное резонансное взаимодействие является единственным реализующимся в ситуации, когда начальная деформация
струи определена одной волной. Если в резонансном взаимодействии принимают участие три различных волны – две входящие в
спектр волн, определяющих начальную деформацию, и одна из
волн, возбуждающаяся за счет нелинейности, то говорят о вторичном комбинационном резонансном взаимодействии. Когда
начальная деформация струи определена суперпозицией нескольких волн (волновым пакетом), то реализуется и вторичное
комбинационное резонансное взаимодействие и вырожденное.
1
0
2l
-1
-1
l
0
l
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ

3l
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
Ђ
3Ђ
Ђ
2
2
2
1
0
2
Рис. 8. Внешний вид поверхности струи
при k = 2, m = 2,   0.2 , w = 3.3296, t = 0.5 T
В [116] проанализирована ситуация, когда начальная деформация струи определяется одной в общем случае неосесимметричной волной (см. рис. 8), и исследованы закономерности
реализации вырожденного резонансного взаимодействия этой
волны с волной, появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики и имеющей вдвое большее волновое число.
Выяснилось, что положение резонансных ситуаций зависит от
величины волнового числа и электрического заряда, приходя50
щегося на единицу длины струи. Оказалось, что осесимметричная
волна ( m  0 ) может взаимодействовать с изгибной волной ( m  1 ).
При вырожденном нелинейном резонансном взаимодействии
волн на заряженной струе энергия всегда перекачивается от более
длинных волн к более коротким, независимо от симметрии
взаимодействующих волн. Из волны с m  1 , определяющей
начальную деформациюэнергия может перекачиваться как в
осесимметричную волну ( m  0 ) с вдвое большим волновым числом, так и в неосесимметричную ( m  2 ) также с вдвое большим
волновым числом. Вовлечение в нелинейное резонансное
взаимодействие мод с m  2 возможно лишь при значительных
плотностях поверхностного заряда на струе. Последнее условие
может выполниться для тонкого конца электропроводной струи,
выброшенной заряженной поверхностью жидкости, имеющей
постоянный потенциал поверхности и, следовательно, неоднородное распределение поверхностного заряда, плотность которого будет увеличиваться с уменьшением радиуса струи по мере
удаления от места ее зарождения [89, 94–98]. В итоге закономерности перераспределения энергии нелинейной волны за счет
нелинейного резонансного взаимодействия будут различны для
начального и конечного участков струи, что, в свою очередь,
приведет к различию условий дробления струи на разных ее
участках. При многомодовой начальной деформации общие
закономерности реализации нелинейного волнового движения на
струе остаются прежними, но, кроме вырожденных резонансов,
появляются и вторичные комбинационные. В комбинационных
резонансах возможен обмен энергией между длинными и короткими волнами в обоих направлениях (от коротких к длинным и
обратно), а также между волнами с различной симметрией
(различающимися значениями азимутальных чисел).
Из выражения (15) видно, что нелинейные осцилляции струи
происходят не в окрестности равновесной цилиндрической формы, а в окрестности струи с формой, зависящей от вида
начальной деформации:
r ( z ,  )  1  0.25
2
 1 (h2
 2 1
2
2 2
2 2


 hl )  h1 a1 cos(2 m1 )  hl a l cos(2 ml ) .
51
В [118] волны конечной амплитуды на поверхности электропроводной струи идеальной несжимаемой жидкости в ситуации,
когда начальная деформация струи определяется одной в общем
случае неосесимметричной волной, рассчитывались с сохранением слагаемых третьего порядка малости. В частности, для
формы струи найдено выражение, имеющее в безразмерных
переменных, в которых R0      1 , вид [118]
r ( , z, t )  1    cos(m )cos   2t  g (k ) m (k )  
(20)
0.25   2 0.5  ( a1 cos(2 m )  a2 ) cos(2 )  a3 cos(2 m )  
 ( 3 16) 1 cos(3m )   2 cos( m )  cos(3 )  3 cos(3m ) cos( );
a1 ~ 1  4m2 ( k )  22m (2 k )  ; a2 ~ 1  4m2 ( k )  02 (2 k )  ;






2
 j ~ 1 [ 2j  m j ( k j ) ];   km  z  m  t ;
 j  {3 m ( k j ),3 m ( k j ), m ( k j )}; k j  {3k ,3k , k }; m j  {3m, m,3m} .
Коэффициенты, входящие в это выражение, подробно не
выписываются ввиду их громоздкости, в них определены лишь
резонансные ситуации. Коэффициент, определяющий нелинейную поправку к частоте, также является резонансным и содержит
оба вырожденных резонанса, характерных для расчетов второго
порядка малости: 1 4m2 ( k )  22m (2 k )  ; и 1 4m2 ( k )  02 (2 k )  . Резонансы, появляющиеся в поправках третьего порядка малости,
являются четырехволновыми, т. е. в них участвуют четыре волны. В вырожденной форме они записываются, например, в виде
1 9m2 ( k )  32m (3k )  . В этом соотношении 3m (3k ) – частота волны,


в которую энергия перекачивается, а m ( k ) – частота волны,
определяющей форму начальной деформации, от которой
энергия отбирается в трехкратном взаимодействии.
В расчетах третьего порядка малости, кроме поправок третьего порядка малости к амплитудным значениям потенциала
поля скоростей волнового течения жидкости, электростати52
ческого потенциала и рельефу струи, мало сказывающихся на
общих закономерностях реализации волнового движения конечной амплитуды, наиболее интересным результатом является появление нелинейных поправок к частотам волн   2  g (k , w) . Наличие этих поправок приводит к изменению критических условий
(критической длины волны и величины поверхностной плотности
электрического заряда) реализации неустойчивости струи [56,
114, 118].
Как было показано выше (п. 3), условие реализации неустойчивости струи по отношению к действию сил поверхностного
натяжения и давлению электрического поля заключается в прохождении квадрата частоты через нуль в область отрицательных
значений. С учетом наличия нелинейной поправки к частоте в
третьем порядке малости это условие приводит к соотношению
2

2 g ( k , w) 
2
2



  m  2  g ( k , w)  0.
 m
m 

Несложно видеть, что влияние нелинейной поправки на ширину диапазона волновых чисел, в котором волны на струе
претерпевают капиллярную неустойчивость, волновое число наиболее неустойчивой волны kmax , критическое значение параметра
wmax и величину инкремента неустойчивости  max будет
различным при g (k , w)  0 и при g (k , w)  0 .
В работе [125] методом растянутых временных и пространственных координат в расчетах третьего порядка малости при
одноволновой неосесимметричной начальной деформации поверхности струи идеальной электропроводной жидкости были
исследованы закономерности разбиения струи на капли. Показано, что нелинейная деформация профиля волны конечной амплитуды приводит к уменьшению характерного времени разбиения струи на капли. Нелинейное резонансное взаимодействие
волн не исследовалось.
В работах [126, 127] рассмотрена устойчивость неосесимметричных волн конечной амплитуды на поверхности объемно
заряженной (модель «вмороженного» заряда) струи идеальной
диэлектрической несжимаемой жидкости. При сравнении с пара53
метрами нелинейных волн на поверхности заряженной струи
идеально проводящей жидкости выяснилось, что при равных
электрических зарядах, приходящихся на единицу длины струи,
характерстики волн (амплитуды нелинейных поправок, положения резонансов и т. п.) на поверхности объемно заряженной
струи диэлектрической жидкости с малыми диэлектрическими
проницаемостями могут существенно (на десятки процентов)
отличаться от таковых для струи идеально проводящей жидкости.
Следует также отметить, что все аналитические исследования
нелинейных осцилляций струй, как незаряженных, так и заряженных, проведены для модели идеальной жидкости, что существенно ограничивает возможность практического использования
полученных результатов. Поэтому представляется необходимым
проанализировать нелинейные осцилляции струи вязкой
жидкости.
9. Нелинейные волны на поверхности цилиндрической
струи заряженной вязкой электропроводной несжимаемой
жидкости. Строгий учет вязкости жидкости в задачах о нелинейных волнах на плоской [128] и цилиндрической [129] заряженной поверхности жидкости или о нелинейных осцилляциях
заряженных капель [130] и пузырьков [131] является достаточно
сложной задачей. Он стал возможен лишь в начале этого века с
появлением мощной компьютерной техники и разработкой
компьютерных пакетов аналитических вычислений. Тем не менее
учет вязкости жидкости в нелинейных расчетах устойчивости
струй проводился начиная с семидесятых годов прошлого века в
модели «тонкой струи» или квазиодномерной теории. В рамках
этой теории струя рассматривается как одномерный объект,
лишенный поперечных размеров, описываемый, однако, набором
интегральных характеристик: радиусом сечения струи, коэффициентом поверхностного натяжения, коэффициентом вязкости,
массовым расходом в сечении и т. п. [35, 60, 97, 107, 132, 133].
Поле скоростей волнового течения жидкости в струе при этом
считается однородным по сечению струи (не зависящим от расстояния до оси). В основе такого подхода лежат идеи, заимствованные из теории пограничного слоя и теории течения вязкой
жидкости в тонких слоях на твердом дне [32, 35]. Такое предполо54
жение выполняется для тонких струй, радиусы которых много
меньше длины наиболее неустойчивой волны, когда радиус струи
и скорость волнового течения медленно меняются вдоль продольной координаты. Обсуждаемая модель широко употребляется
для анализа закономерностей дробления на капли заряженных
струй (см., например, недавние работы [59, 60] и указанную там
литературу) и, в частности, для исследования изгибной неустойчивости струй [35], весьма часто наблюдаемой при электродиспергировании жидкости [36, 57, 58, 65, 66]. В исследовании электропрядения (electrospinning) [90, 134] квазиодномерные уравнения
являются основной математической моделью феномена. Следует
отметить, что в линейном по амплитуде волн приближении
квазиодномерная теория капиллярного распада струй начала
разрабатываться с середины шестидесятых годов прошлого века
[35, 107]. И тем не менее область применимости квазиодномерной
теории недостаточно широка. Так, она вряд ли применима к
представляющему большой практический интерес исследованию
распада струи на капли в весьма сильном радиальном
электрическом поле. Согласно сказанному в п. 2 и 3 с ростом
величины заряда, приходящегося на единицу длины струи, длина
волны, обладающей максимальным инкрементом, уменьшается и
требование малости радиуса струи по сравнению с длиной
наиболее неустойчивой волны уже не выполняется. Наложение на
струю продольного электрического поля согласно п. 6 и
экспериментальным данным [36, 57, 58, 65, 66] приводит к
увеличению длины нераспавшейся части струи, и в рамках
классических представлений (см. [26] и п. 1 настоящей работы)
должно приводить к разбиению струи на длинные куски, из
которых получаются крупные капли. Однако в экспериментах по
электродиспергированию жидкости отмечается (см. фотографии и
рисунки в [36, 57, 58, 65, 66]) , что струя дробится на капли с
радиусами, сравнимыми с радиусами струй. По всей видимости,
при наличии у поверхности струи и радиальной, и продольной
компонент электрического поля большой величины одновременно
реализуются несколько механизмов распада, характерных и для
радиального и для продольного электрических полей по отдельности. В таких условиях квазиодномерная теория также неприме55
нима. Кроме того, эта теория не позволяет корректно учесть
эффект релаксации электрического заряда на поверхности струи с
реальной электропроводностью, хотя и часто используется в указанном контексте [87–89]. Это видно, например, из рис. 9а-d, где
приведены зависимости от r и z радиальной и продольной
компонент поля скоростей осесимметричного волнового течения
жидкости в струе, рассчитанные в различные моменты времени
для незаряженной струи воды с безразмерным волновым числом
k  1.1 и безразмерным значением коэффициента кинематической
вязкости   0.01 . Из рис. 9а-d несложно видеть, что входящие в
гидродинамические граничные условия и уравнение баланса
электрического заряда на поверхности струи (12) характеристики
поля скоростей U r и U z не постоянны ни по радиальной, ни по
продольной координатам, а производные U r r , U z r и
U r z , U z z немалы и при достаточно больших временах от
начала процесса являются функциями точки. Впрочем, и само
исходное предположение о быстром установлении однородного
по радиусу распределения поля скоростей в струе выполняется
только при достаточно больших значениях безразмерной вязкости.
ur
1
0.5
0.5
ur
1
2
1
1
3
4
4
2
z

2
2
3
3
4
4
0.6
λ
3
1
0.2
1.5
r
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Рис. 9b. Зависимость от
Рис. 9a. Зависимость от координаты z
координаты r величины радиальвеличины радиальной компоненты
безразмерной скорости ur на
ной компоненты скорости ur при
свободной поверхности струи ( r  1 ) в z   4 в разные моменты времеразные моменты времени, измеренного
ни: 1) t  0 ; 2) t  T ; 3) t  5T ;
в периодах волны: 1) t  0 ; 2) t  T ;
рассчитанные при k  1.1 ; w  0 ;
3) t  5T ; рассчитанные при k  1.1 ;
  0.01
w  0 ;   0.01
56
uz
1
2
1
3
0.5
0.5

44

22
33 
44
z
λ
uz
1
1.4
2
1
0.6
3
1
0.2
1.5
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 9c. Зависимость от координаты z
Рис. 9d. Зависимость от коордивеличины продольной компоненты
наты r величины продольной
скорости u z на свободной поверхности (осевой) компоненты скорости u z
струи ( r  1 ) в разные моменты
при z  0;  в разные моменты
времени: 1) t  0 ; 2) t  T ; 3) t  5T ;
времени: 1) t  0 ; 2) t  T ;
рассчитанные при k  1.1 ; w  0 ;
3) t  5T ; рассчитанные при
  0.01
k  1.1 ; w  0 ;   0.01
Вопрос о применимости модели одномерной струи для расчета закономерностей распада заряженных струй в линейном по амплитуде волн приближении неоднократно обсуждался в научной
литературе (см., например, [136, 137]). Результаты аналитических
расчетов линейного приближения сравнивались с результатами
нелинейных численных расчетов для трехмерной струи вязкой
жидкости [136]. Были предложены модификации одномерного
приближения с постулированием заранее заданных закономерностей распределения поля скоростей по радиусу струи в широком
диапазоне изменения физико-химических характеристик жидкости [137]. Результаты проведенных оценок вселяют сдержанный
оптимизм (при условии принятия некоторых ограничений на
физико-химические характеристики жидкостей) по поводу возможности использования одномерных моделей для расчета
закономерностей электродиспергирования заряженных струй со
значительной вязкостью и указывают на заметные погрешности,
допускаемые в расчетах для маловязких жидкостей [137].
В связи со сказанным строгое аналитическое асимптотическое решение задачи расчета волн конечной амплитуды на поверхности толстой струи вязкой несжимаемой жидкости, выпол57
1
ненное в [129] методом прямого разложения по безразмерной
амплитуде волны, представляется своевременным.
Выражение для образующей формы поверхности струи
вязкой электропроводной несжимаемой жидкости, выписанное с
точностью до второго порядка малости в безразмерных
переменных, в которых R0      1 , согласно [129], имеет вид
2
2
r  z , t   1   k(1)  t  exp  i k0 z    2 2 k   t  exp  i 2k0 z   2   t  ; (21)


0
 0
 k(1)
0

 n
 t    a
exp
n 1
2 k   t  
2
0


n,m1

S k( n )
0
j 1
t ; 2

1   n  m


 t     a a exp  Sk0n   Sk0m  t  ;
2 n, m1
 



 n m 2 k0 , Sk( n)  Sk( m)

0
0
exp  Sk( n)  Sk( m) t  
 ( n)
2
0
 0

( m)
D 2 k0 , Sk( n)  Sk( m)
 S k 0  S k0
0
0


 

 n m 2 k0 , S2 k 



2

 j
S2 k  Sk( n)
0
0
 Sk( m)
0
j
0


  S   D  2 k , S 
 j
2 k0

2
S
0

S  S2 k0
j


 j   

exp S2 k t .
 0  


В приведенных выражениях  S D k0 , Sk(0n) – значение произ-
водной по переменной S от функции D  k , S  , определяющей вид
дисперсионного уравнения, вычисленное при k  k0 и S  S k0n  .
Каждое из дисперсионных уравнений D  k0 , S   0 и D  2 k0 , S   0
(по корням которых ведётся суммирование в выражениях для
 2  ) имеет по паре комплексно сопряжёнамплитуд k(1)0  t  и 2k
t 
0
ных корней, соответствующих затухающему колебанию поверхности струи и бесконечное количество вещественных отрицательных корней, описывающих апериодически затухающие её
движения. С ростом номера корня абсолютная величина вещественных корней быстро нарастает, т. е. движения, соответствующие этим корням, весьма быстро затухают и практически не
реализуемы. Поэтому при конкретных расчётах по выражениям
(21) в суммах достаточно ограничиться учётом конечного числа
58
слагаемых. Для расчёта амплитуд первого порядка k(1)0  t  существенным является только первый комплексный корень, учёт вещественных корней практически не изменяет вида этой функции.
Сходимость рядов в выражении для амплитуды второго порядка
 2
2k
 t  хуже: количество j необходимых для учёта членов прихо0
дится оценивать отдельно для различных наборов начальных
данных, но, как правило, оно лежит в пределах j  15 для
уравнения D  k0 , S   0 и j  5 для уравнения D  2 k0 , S   0 .
Увеличение поверхностной плотности заряда  (параметра
w ) приводит как к уменьшению частоты осцилляций, так и к
уменьшению декремента затухания. Расчеты показывают, что
(2)
амплитуды 2k  t  в течение примерно половины периода волны,
0
определяющей начальную деформацию, нарастают и лишь потом
гасятся вязкостью, причём при умеренных значениях безразмерной вязкости (  0.1 ) достигаемые максимальные амплитудные
значения превышают аналогичные значения, реализующиеся в
струе идеальной жидкости. Такая временная эволюция характерна для малых возмущений, накладываемых на основное течение
маловязкой жидкости, удовлетворяющее уравнению Навье –
Стокса, и является предметом исследования теории гидродинамической устойчивости [138]. Обнаруженный феномен интересен
тем, что связан не с возмущением, обусловленным внешними
силами, а проявляется как результат нелинейного взаимодействия
волны, определяющей начальную деформацию струи, с поправкой, появляющейся в асимптотических расчетах второго порядка
малости.
10. Численное моделирование капиллярного распада
струй. На обсуждении теоретических работ по осцилляциям и
дроблению струй, выполненных численными методами, не будем
останавливаться детально, поскольку они обладают стандартными для численных методов ограничениями общности проведенных рассмотрений. Отметим лишь, что такие работы ведутся как
при расчетах линейных задач, осложненных внешними воздействиями, так и при расчетах нелинейных волн на поверхности
струй (см., например, [6, 28, 35, 46, 107, 119, 139–148]).
59
11. Экспериментальные исследования феномена капиллярного распада наэлектризованных струй. В связи с многообразием практических технических и технологических приложений феномена электродиспергирования жидкости количество
экспериментальных исследований капиллярного распада наэлектризованных струй весьма велико. В выше упомянутых статьях
описания экспериментальных исследований обсуждаемого феномена можно найти, например, в [2, 3, 5–8, 13–17, 35, 36, 39, 40,
57–60, 66, 67, 96].
Одним из наиболее очевидных выводов, к которому приводит
даже поверхностное знакомство с проведенными экспериментами, является вывод о высокой чувствительности обсуждаемого
феномена к физическим свойствам рабочей жидкости, особенностям экспериментальной установки и таким характеристикам
процесса, как давление жидкости в капилляре, из которого вытягивается струя и потенциал. В зависимости от величины и соотношения этих параметров выделяются около десятка режимов феномена электродиспергирования жидкости, сильно различающихся
как внешним видом, так и характеристиками формирующегося
капельного аэрозоля (спектрами размеров, зарядов и удельных
зарядов капель), приведенных на основе наблюдаемой феноменологии в систему в работах [47, 56–58, 159–161].
Несмотря на значительное число экспериментальных работ,
для большинства из них характерны отсутствие системности в исследовании влияния физико-химических характеристик жидкости
на процесс распыления, а также случайность в выборе оборудования и объекта изучения – рабочей жидкости (как правило, используется та жидкость, которая имеется под руками, либо то вещество и те параметры установки, с которыми связан конкретный
практический интерес). Естественно, выделяются два направления экспериментальных работ [149, 57, 149–159]:
1. Изучение физических закономерностей распыления какойлибо одной жидкости в зависимости от внешних характеристик
процесса: потенциала, подаваемого на капилляр, объемного расхода жидкости (или гидростатического давления жидкости в
капилляре), вида электродов (металлический или стеклянный
капилляр со смачиваемыми или несмачиваемыми стенками;
60
различной конфигурации противоэлектродов, располагающихся
на различных расстояниях от капилляра и т. п.). При этом авторы
обычно ограничиваются сообщением названия используемой
жидкости (или смеси жидкостей), не затрудняя себя измерением
основных физико-химических характеристик [[149, 57, 149–159];
2. Исследование влияния на процесс распыления какого-либо
одного из свойств рабочей жидкости (обычно проводимости)
[149, 151, 152]. В этих случаях эксперимент проводится с целым
набором жидкостей, подобранных таким образом, чтобы интересующее свойство изменялось в достаточно широком диапазоне
значений. Основным недостатком работ такого типа является
отсутствие контроля над изменением других физико-химических
свойств используемых жидкостей. Хотя интуитивно ясно, что
авторы должны бы стремиться к тому, чтобы все неконтролируемые в данном эксперименте свойства жидкостей изменялись
очень слабо, однако, это, как правило, не оговаривается и не приводятся даже приблизительные значения основных физических
характеристик жидкостей (по-видимому, малоинтересных, с
точки зрения авторов).
Перечисленные выше недостатки экспериментальных работ
препятствуют формированию единого взгляда на явление электрогидродинамического диспергирования жидкости и созданию
единой классификации его разнообразных режимов. Многие из
авторов заново выделяют наблюдающиеся в проводимом ими
эксперименте режимы электродиспергирования, приводя описательную их характеристику и пользуясь собственной терминологией для их обозначения. Сопоставить же результаты различных
работ, как указывалось выше, невозможно из-за недостатка
информации об условиях проведения эксперимента.
Наиболее детально описанные экспериментальные исследования закономерностей электродиспергирования жидкости при
распаде заряженных струй, выполненные в последний десяток
лет, содержащие и сравнения с теоретическими данными, ориентированы в основном на один режим электродиспергирования из
десятка: «конусно-струйный» (cone-jet). В этом режиме длинная
устойчивая струя выбрасывается из вершины «конуса Тейлора»
(см., например, [57, 60, 162–166]) и вышеупомянутые теорети61
ческие модели распада заряженных струй наиболее адекватно
применимы для сравнения с результатами экспериментов, выполненных для этого режима, так что построение общей строгой
теоретической классификации экспериментально наблюдаемых
режимов электродиспергирования жидкости – дело не самого
ближайшего будущего.
2. Линейные осцилляции и капиллярный распад заряженных жидких струй Проблема корректного теоретического аналитического исследования устойчивости бесконечного цилиндрического столба
жидкости под действием капиллярных сил впервые была сформулирована и решена Рэлеем. В своих работах он опирался на
результаты экспериментальных исследований Савара, Магнуса,
Плато, Бидона. В их экспериментах была детально изучена феноменология распада струи. В частности, было показано, что длина
нераспадающейся ее части зависит от вида начального возмущения. Было установлено, что струя жидкости, подверженная
синусоидальному осесимметричному возмущению с длиной волны, превышающей длину окружности, ограничивающей сечение
струи, неустойчива по отношению к этому возмущению, сама же
неустойчивость возникает в результате действия капиллярных
сил, а виртуально возникшее возмущение нарастает с течением
времени.
В самом деле, из общефизических соображений следует, что
любая замкнутая механическая система стремится занять положение с минимальной потенциальной энергией. Если рассмотреть
виртуально созданный жидкий цилиндр радиуса R и длины L , то
его потенциальная энергия в отсутствие внешних силовых полей
будет равна его площади 2 R 2  2 RL , умноженной на коэффициент поверхностного натяжения  . Объем этого цилиндра равен
 R 2 L , радиус же r равновеликой сферы r  3 3R 2 L 4 , а энергия сил
поверхностного натяжения этой сферы – 4  3R 2 L 4  . Беря
отношение энергии сил поверхностного натяжения сферы к энер23
62
гии сил поверхностного натяжения исходного цилиндра, несложно убедиться, что во всех возможных диапазонах изменения R и L

4 R 9 RL2 16

13
2 R  R  L 
9 RL2 2

 0.8  1.
 R  L
3
Сказанное означает, что исходный виртуальный цилиндр,
будучи предоставлен действию сил поверхностного натяжения,
стремясь к положению с минимальной потенциальной энергией,
под их действием свернется в сферическую каплю.
Рассмотрим теперь участок длины L жидкой бесконечной
струи радиуса R и посмотрим, для какого соотношения между R
и L переход под действием сил поверхностного натяжения от
цилиндрической струи к совокупности сферических капель будет
энергетически выгоден. Для этого сравним потенциальную энергию сил поверхностного натяжения боковой поверхности
цилиндра с длиной L с потенциальной энергией сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель, на которые
предположительно может распасться цилиндр. Приравнивая
объем цилиндра объему N сферических капель, определим
радиус одной капли:
r  3 3R 2 L 4 N .
Найдем теперь отношение потенциальной энергии сил поверхностного натяжения поверхности N сферических капель к потенциальной энергии сил поверхностного натяжения боковой
поверхности участка струи длиной L :

N 4 R 9 RL2 16 N 2
2 RL

13
3
9 RN
.
2L
Потребуем теперь, чтобы это отношение было меньше единицы,
и получим условие самопроизвольного разбиения струи на N
отдельных капель в виде
9 RN
 1.
2L
63
(1)
Очевидно, что это условие тем лучше будет выполняться, чем
меньше N . Полагая N  1 , найдем, что при L  4.5  R цилиндрической струе энергетически выгодно разбиваться на отдельные
капли с радиусами r  1.5 R. Сказанное означает, что цилиндрическая струя неустойчива по отношению к волнам с длиной
  4.5  R . По отношению же к синусоидальным возмущениям
поверхности с длинами волн  , меньшими чем 4.5  R , струя
оказывается устойчивой. Следует отметить, что спектр волн с
длинами, удовлетворяющими условию   4.5  R , бесконечен, но
инкременты нарастания неустойчивости волн с различными длинами будут различны, и реальный распад струи на капли определится волной с максимальной величиной инкремента неустойчивости. Но в рамках проведенного качественного рассмотрения
найти длину волны с максимальным инкрементом не представляется возможным.
Еще в конце позапрошлого века в корректных аналитических
расчетах (см. нижеследующие разделы настоящей главы) Рэлей
получил соотношение, связывающее скорость роста амплитуды
волнового возмущения и его длину волны. Время от момента
возникновения синусоидального возмущения до момента распада
струи на капли, вычисленное при помощи теории Рэлея, хорошо
согласовывалось с результатами опытов. В рамках линейного по
амплитуде возмущения теоретического анализа удалось выяснить, что коротковолновые возмущения (kR>>1) на струе жидкости устойчивы и могут распространяться вдоль струи в виде
капиллярных волн. Однако они быстро затухают под действием
имеющейся в реальных условиях вязкости жидкости. Длинноволновые же возмущения (kR<1) неустойчивы, и при всех длинах
волн, удовлетворяющих условию kR<1, реализуется капиллярная
неустойчивость струи, сопровождающаяся разбиением последней
на капли. Максимальным инкрементом обладают волны с длиной
*  9R . Выяснилось, что вязкость оказывает стабилизирующее
действие на распад струи, а вязкая диссипация внутри струи и
вязкое трение на ее поверхности приводят к изменению профиля
скорости и возрастанию времени релаксации.
Тем не менее сложившиеся на основе линейной теории
представления об осцилляциях, развитии капиллярной неустой64
чивости и распаде струи, несмотря на успешное объяснение
многих экспериментальных фактов, не являются исчерпывающими и должны быть обобщены с учетом внутренних течений в
струе, эффектов релаксации вязкости, заряда и коэффициента
поверхностного натяжения, а также с учетом реальной нелинейности феномена (см. следующую главу). Кроме того, среди необходимых обобщений следует указать и на полуограниченность
реальных струй. Для истолкования расхождений теории и экспериментальных данных было предложено несколько гипотез: динамическое воздействие окружающего воздуха на осесимметричные возмущения струи, увеличивающие давление в сужениях
и уменьшение – на выпуклостях струи, что приводит к более
быстрому росту возмущений; влияние вязкости окружающего
воздуха; изменение механизма распада струи – переход от осесимметричных возмущений к изгибным (изгибается ось струи);
переход к турбулентному режиму течения в струе; влияние
релаксации начального профиля скорости в струе.
Еще на заре исследования электрических явлений Вильям
Гилберт заметил, что капля воды на сухой подложке приобретает
коническую (вершиной вверх) форму, если над ней на небольшом
расстоянии поместить наэлектризованный кусок янтаря. Как
было показано уже в наше время, при этом на свободной поверхности капельки появляется индуцированный электрический заряд
и капля претерпевает неустойчивость: она деформируется к
вытянутому сфероиду, на ее вершине формируется эмитирующий
выступ, названный «конусом Тейлора», с вершины которого выбрасывается тоненькая струйка воды, распадающаяся на отдельные капельки. По-видимому, первые наблюдения эмиссии струек
жидкости, распадающихся на отдельные капельки, при электризации свободной поверхности жидкости, связаны с работами одного из первых исследователей электрических явлений аббата
Ж. Нолле в середине XVIII века: он заметил, что если человека
поместить на изолирующую подставку и подвергнуть электризации (с помощью созданного О. Герике прообраза электрофорной
машины), то из ранок и порезов на коже человека начинают бить
очень тонкие струйки крови, распадающиеся на отдельные капли.
65
Систематические исследования феномена электризации менисков жидкости на торце капилляра (по которому жидкость
подается в разрядную систему), сопровождающегося выбросом
заряженных струй, распадающихся на отдельные капли, начались
лишь в начале ХХ века и связаны с именем Дж. Зелени, который
детально исследовал закономерности эмиссии капель и струй
жидкости при электризации ее свободной поверхности. В связи с
многообразием академических, технических и технологических
приложений феномена электродиспергирования жидкости эксперименты были продолжены. При этом было обнаружено около
десятка различных режимов электродиспергирования жидкости,
приведенных в систему в работах. Но для проводимого рассмотрения важно, что во всех этих работах имел место выброс с
заряженной поверхности жидкости заряженных же струй последней, распадающихся на отдельные капли. Следует отметить,
что в последние двадцать лет регулярно проводятся международные симпозиумы по электродиспергированию жидкости, собирающие сотни докладов, посвященных этому феномену. И хотя
подавляющее большинство докладываемых работ носят экспериментальный характер и посвящены в основном особенностям
электродиспергирования конкретных жидкостей в конкретных
установках и устройствах, тем не менее общее количество публикаций по обсуждаемой теме исчисляется тысячами, и насущной
проблемой является построение общей теории электродиспергирования (дробления заряженной струи на капли) с учетом
реальных физико-химических характеристик жидкостей и многообразия релаксационных эффектов.
В настоящей главе будут рассмотрены основные идеи и методы расчета осцилляций и устойчивости струй жидкости в линейном приближении – от использования Лангражева подхода
для расчета линейных осцилляций цилиндрических незаряженных струй идеальной электропроводной жидкости до расчета в
рамках метода операторной скаляризации осцилляций и устойчивости заряженных струй вязкой жидкости с конечной проводимостью, виртуальная форма которых отлична от цилиндрической.
66
2.1. Линейные осцилляции и распад незаряженной цилиндрической струи идеальной жидкости Широкий класс явлений, не только интересных самих по себе,
но и проливающих свет на другие еще более темные явления,
получает объяснение в связи с изменениями, которые претерпевает цилиндрическое жидкое тело, равновесная цилиндрическая
форма которого медленно деформирована и затем предоставлена
восстанавливающему действию сил поверхностного натяжения.
Такой цилиндр образуется при истечении жидкости под давлением сквозь круглое отверстие, по крайней мере, в случае, когда
можно пренебречь силой тяжести; при этом поведение струи,
изученное экспериментально Саваром, Магнусом, Плато и другими, практически независимо от общего движения вперед всех ее
частей.
Начнем исследование с теории бесконечного жидкого цилиндра, рассматриваемого как систему, находящуюся в равновесии
под действием силы капиллярности. Большинство экспериментальных результатов легко будет связать с решением этой
механической задачи.
В цилиндрических координатах r, , z , уравнение слегка возмущенной поверхности можно написать в виде
r  a0  h ( , z ),
(1)
где h( , z ) – величина, малая по сравнению с радиусом a0 . По теореме Фурье произвольная функция может быть разложена в ряд,
состоящий из членов вида am  cos m  cos kz , и каждый из этих
членов можно рассматривать независимо от других. Каждый косинус можно заменить синусом; суммирование распространяется
на все положительные значения k и на все целые положительные
значения m , включая нуль.
Величина a0 не остается абсолютно постоянной во время движения; ее значение должно определяться условием неизменности
заключенного в цилиндре объема V . Для поверхности
r  a0  am (t )  cos m  cos kz ,
67
(2)
находим
V
1
r 2 d  dz 

2
1


z   a02   am2  ;
4


таким образом, если обозначить через а радиус сечения
невозмущенного цилиндра, то
1
a 2  a02  am2 ,
4
откуда приближенно
 1 am2 
a0  a  1 
.
2 
8
a


(3)
Это соотношение хорошо удовлетворяется при m =1, 2, 3, . ..
При m  0 формула (2) дает вместо (3)
 1 a02 
a0  a  1 
.
2 
 4a 
(4)
Потенциальная энергия системы в любой конфигурации, создаваемая силой капиллярности, просто пропорциональна площади
поверхности. В выражении (2) площадь поверхность S струи
S  
2
2
2

1 2 2
1
 r   1 r 
2 2 am 
1    
,
  r  d  dz  z  2 a0   k ama   m k
a
4
4
 z   r  


так что в силу (3), обозначая через s поверхность, соответствующую в среднем единице длины, найдем
1
am2
2 2
2
s  2 a    k a  m  1 .
4
a
(5)
Следовательно, потенциальная энергия U , связанная с силой
капиллярности, определенная на единицу длины из равновесной
конфигурации, есть
68
1
a2 
U      k 2 a 2  m 2  1 m  .
a 
4
(6)
где  обозначает коэффициент поверхностного натяжения.
В выражении (6) предполагается, что ни k , ни m не равны нулю.
Если k  0 , то нужно удвоить (6), чтобы получить потенциальную
энергию, соответствующую
r  a0  am  cos m ,
(7)
а если m  0 , то нужно положить
1
a02 
2 2
U      k a  1  .
a
2
(8)
в соответствии с
r  a0  a0  cos kz.
(9)
Из соотношения (6) следует, что когда m  1 или какому-нибудь
большему целому числу, то U имеет положительное значение,
что показывает: при всех смещениях такого рода начальное положение равновесия является устойчивым. Для случая смещений,
симметричных относительно оси ( m  0 ), из (8) мы видим, что
равновесие устойчиво или неустойчиво в зависимости от того,
будет ли ka больше или меньше единицы, т. е. в зависимости от
того, будет ли длина волны (   2 a ) симметричной деформации
меньше или больше окружности цилиндра, – положение, впервые
установленное Плато. Иными словами, струя устойчива по отношению к коротковолновым деформациям с длинами волн,
удовлетворяющими условию   2 a . По отношению к длинноволновым деформациям (   2 a ) струя неустойчива.
Если выражение (2) для r включает несколько членов с различными значениями m и k и с произвольной заменой косинусов
на синусы, то выражение для U находится путем простого сложения выражений, соответствующих отдельным компонентам, и
содержит только квадраты величин am (но не произведения их).
69
Теперь нам нужно получить аналитическое выражение для
кинетической энергии движения жидкости, вызванное движением поверхности струи. Поскольку жидкость предполагается невязкой, существует потенциал скоростей  , который удовлетворяет уравнению Лапласа в силу несжимаемости жидкости:
1     1  2  2
 

 0,
r

r r  r  r 2  2 z 2
или, если для получения соответствия с (2) мы предположим, что
переменная часть пропорциональна cos m  cos kz , то
1      m 2
2
r
k


   0.

 
r r  r   r 2

(10)
Решение уравнения (10) при условии, что нет притока и
оттока жидкости вдоль оси симметрии, имеет вид
   m  J m (ikr )  cos m  cos kz.
(11)
где J m (ikr ) – функция Бесселя. Постоянную  m следует определить из условия, что радиальная скорость  r при r  a совпадает со скоростью, предполагаемой в выражении (2) dr dt
(кинематическое граничное условие). В итоге получим
ik   m  J m (ika ) 
a m
.
t
(12)
Если плотность массовой жидкости обозначить  , то кинетическая энергия движения в силу теоремы Грина

    2     2     2 

 dS ,
        dV  

n
 x   y   x  
равна
1

1


a
d

dz
 z  ika  J m (ika)  J m (ika)   m2 ,




n
2
4
70
так что если обозначить через T кинетическую энергию движения жидкости, приходящуюся на единицу длины, то в силу (12)
2
1
J m (ika )  am 
T   a 2

 .
4
ika  J m (ika )  t 
(13)
При m  0 вместо (13) следует принять
2
J 0 (ika )  a0 
1
T   a 2

 .
ika  J 0 (ika )  t 
2
(14)
Наиболее общее значение T получается из частных значений,
определяемых выражениями (13) и (14), простым сложением.
Поскольку выражения для U и T содержат только квадраты, а не
произведения величин, то отсюда следует, что движения, выражаемые соотношением (2), происходят совершенно независимо
друг от друга, пока величина начальной деформации цилиндрической струи в целом мала.
Имея аналитическое выражение для кинетической энергии T
(13) и потенциальной энергии U системы (6), можно выписать
функцию Лагранжа L  T  U  и уравнение Лагранжа для отдельных волн, которые согласно сказанному выше независимы:
 2 am
 ika  J m (ika )
 3
  m2  k 2 a 2  1 am  0,
2
t
 a J m (ika )
(15)
что без всяких изменений применимо и к случаю m  0 . Таким
образом, если am изменяется пропорционально cos( t   ) , то
2 
 ika  J m (ika )
  m2  k 2 a 2  1 ,
3
a
J m (ika )
(16)
определяет частоту колебаний в случаях устойчивости.
Если m  0 , а ka  1 , то решение меняет свой вид. Если предположить, что a0 изменяется со временем пропорционально
exp(  t ) , то
71
2 
 ika  J 0 (ika )
 1  k 2 a 2  .
3
J 0 (ika )
a
(17)
Когда m больше единицы, то условия обычно таковы, что
движение приближенно происходит только в двух измерениях.
Тогда мы можем с успехом предположить в (16), что ka мало по
сравнению с единицей. Таким путем получим
 2  m( m 2  1  k 2 a 2 )
 
k 2a 2 

1
,
 a 3  2m( m  1) 
(18)
или, если совершенно пренебречь ka , то получим двумерную
формулу
 2  m(m2  1)

.
 a3
(19)
При m  1 нет восстанавливающей силы при чисто двумерном
смещении. При m  1, выражая длину волны в длинах окружности цилиндра, получим   2 a m и в (19) при бесконечно
больших m и a найдем
  2 
   
  
3
2
(20)
в согласии с теорией капиллярных волн на плоской поверхности.
Аналогичное заключение можно вывести, рассматривая волны, длина которых измеряется по оси. Так, если   2 k и a   ,
то (16) приводится к (20) в силу соотношения
i  J m (ika )
 1.
z  J (ika )
m
lim
Рассматривая выражение (17) как уравнение относительно  ,
получим, что оно при положительной правой части имеет два
решения разных знаков, одно из них – со знаком минус –
определяет декремент затухания волнового движения в струе, а
второе – положительное – инкремент нарастания неустойчивости.
Рэлей в приближении k 2 a 2  1 разложил правую часть (17) по
степеням k 2a 2 , приравнял нулю производную по аргументу ka от
72
полученного разложения, вывел, ограничиваясь первыми тремя
слагаемыми разложения, алгебраическое уравнение для
отыскания k 2a 2 , соответствующего максимальному инкременту:
0.98928  2.25  k 2 a 2  (7 16)k 4 a 4  0.
Найдя положительный корень этого уравнения, Рэлей получил, что максимальное значение инкремент неустойчивости достигает при k 2 a 2  0.4858 . Это условие соответствует длине волны
  9.016  a Волны с указанной длиной волны имеют максимальный инкремент неустойчивости и определяют закономерности
дробления струи на отдельные капли. Плато на основе анализа
экспериментов Савара получил соотношение   8.76  a .
2.2. Линейные осесимметричные осцилляции и распад незаряженной цилиндрической струи вязкой жидкости 1. Первые теоретические исследования влияния вязкости
жидкости на условия разбиения струи на капли выполнены Рэлеем [26]. Более детально этот вопрос был исследован Бассетом
[30] и Вебером [31]. В нижеследующем изложении мы воспроизведем решение задачи об осцилляциях и устойчивости струи
вязкой жидкости, приведенное в [32].
2. Пусть в вакууме цилиндрическая струя радиуса R жидкости с массовой плотностью  , кинематической вязкостью  и
коэффициентом поверхностного натяжения  движется вдоль оси

симметрии со скоростью U 0 , выходя из цилиндрического сопла.
Будем исследовать цилиндрические волны, бегущие по такой
струе и закономерности распада ее на капли, имея в виду, что
основными характеристиками процесса распада струи является
длина ее сплошной части и размер образующихся капель. Длина
сплошной части определяет дальность полета струи и характер ее
разбиения. Все рассмотрение проведем в цилиндрической систе
ме координат, орт nz которой совпадает с осью симметрии

цилиндра и U 0 .
73
Ограничимся рассмотрением осесимметричных возмущений, при которых движение жидкости вокруг оси симметрии
отсутствует, т. е. при которых проекция поля скоростей течения

жидкости на орт n цилиндрической системы координат равна
нулю: U  0 . При симметричных волнах сечение струи остается
круговым, претерпевая лишь сжатия и расширения.
Уравнение поверхности струи запишем в виде
F  , z, t   r  , z, t   R0    , z, t   0,
где R0 – радиус цилиндрической поверхности струи,  , z,t  –
возмущение поверхности струи, вызванное капиллярными волнами тепловой природы (всегда существующими в жидкости) с
амплитудой   T  (  – постоянная Больцмана; T – абсолютная
температура). Для любых жидкостей амплитуда таких волн,
возбуждаемых тепловым движением молекул, есть величина
порядка ангстрема, поэтому для струй любых реальных радиусов
будет выполняться соотношение    , z , t  R0   1 .
Математическая формулировка задачи состоит из уравнения
Навье – Стокса и уравнение неразрывности:




U
1
 U  U   p    U ;
t




divU  0;
с граничными условиями на поверхности струи:
кинематическим:
r  R0   :
dF
 0;
dt
и динамическими для нормальной и касательной компонент
тензора напряжений:
r  R0   :
 rr   p ;
 rr   p  2
 rz  0;
U r
;
r
 U z U r 
 rz   

.
z 
 r
74
Учтем также, что поле скоростей на оси струи должно быть
конечно.
Зададимся целью исследовать устойчивость осесимметричных волн в такой струе в линейном по отношению   R0 
приближении, когда в уравнении Навье-Стокса конвективным
слагаемым U   U можно пренебречь, поскольку поле
скоростей, порождаемое волновым движением теплового
происхождения, имеет тот же порядок малости, что и амплитуды
волн. В линейном приближении граничные условия можно
отнести к невозмущенной цилиндрической поверхности струи:
r  R0 , а давление капиллярных сил p записать в виде

2
 2 
 
2  

  R0 2  2  .
p 
z
 
R0 R02 
Линеаризованное уравнение Навье – Стокса и уравнение неразрывности в соответствии с симметрией задачи выпишем в
цилиндрических координатах:
  2U

U r
 1 
1 p

  2r  
 r  U r    ,
t
r  r r
 r

 z
(1)
  2U z 1   U z  
U z
1 p

  2 
r
 ,
t
r  
r r 
 z
 z
(2)
U z 1 

 r  U r   0.
r r
z
(3)
Система граничных условий, отнесенная к поверхности r  R0
, примет вид

 Ur,
t
U r 
 p  2
 2
r
R0
2

U z U r
 2 
2  
  R0 z 2   2   0, r  z  0. (4)


Проекции поля скоростей движения жидкости внутри струи
на орты цилиндрических координат представим в виде
U r  U r0  u1 ,
75
(5)
U z  U z0  u2 ,
(6)
где величины, отмеченные индексом нуль, идентичны с
соответствующими величинами в идеальной жидкости.
Гидродинамическое давление p , связанное с движением
жидкости, должно быть таким же, как и в идеальной жидкости,
т. к. наличие вязкости влияет на частоту волн, а не на давление в
жидкости.
Скорость в идеальной жидкости связана с потенциалом
скорости  соотношениями, которые в цилиндрических
координатах имеют вид
U r0 

,
r
 

,
z
(7)
1      2
 0.
r

r r  r  z 2
8)
U z0 
Гидродинамическое давление p определится согласно представлениям о волновом движении в идеальной жидкости соотношением
p  

.
t
(9)
Из уравнения непрерывности следует, что u1 и u 2 связаны
между собой соотношением
u2 1 

 r  u1   0.
z r r
Из этого уравнения вытекает, что u1 и u 2 можно выразить

через скалярную функцию  ( r , t ) , называемую функцией тока, в
виде
u1  
1 
,
r z
u2 
1 
.
r r
(10)
Подставляя выражения для компонент скорости в (1) и (2) и
учитывая выражения для u1 и u 2 , получаем
76
U r0 1  
  1 
1 p 0
U0
1    2


 U r0   2r  
r 

2
t
r  r r
r z  t
 r
r
r z   z

 ,

U z0 1  
  1   
1 p 0
1    2
0


  U z  
r 
 .

2
r  r r  
 z
r r  z
t
r z t
Поскольку
U r0 
U  2    0,
r
r
0
r

U    0,
z
0
z
U z0  2
1 p 0


,
t
zt
 z
находим, что функция  должна удовлетворять уравнению
 2 1   2 1 



.
r 2 r r z 2  t
(11)
Поскольку нас интересуют волновые движения жидкости,
будем искать решение уравнений для  и  в виде периодических функций по z и экспоненциальных по t :
    r   exp(ikz   t ),
(12)
    r   exp(ikz   t ).
(13)
Подставляя (12)–(13) в (8) и (11), находим
 2 1 

 k 2  0,
2
r
r r
 2  1   2  

  k     0.
r 2 r r 

(14)
(15)
Решением уравнения (14) является функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента J 0  ikr  (модифицированная
функция Бесселя нулевого порядка I 0  kr  ):
  C1  I 0  kr  .
Решение уравнения (15) будем искать в виде
77
(16)
  r   r  y  r .
Тогда для y ( r ) получим уравнение
y 
y  2 1 
  l  2  y  0,
r 
r 
l2  k2 

.

(17)
(18)
Решением уравнения (17), остающимся конечным на оси
струи, является модифицированная функция Бесселя первого
порядка:
y  C2  I1  lr  ,
1
i
где I1  lr   J1  ilr  .
Окончательно получим
  C1  I 0  kr   exp(ikz   t ),
(19)
  C2  r  I1  lr   exp(ikz   t ).
(20)
Распределение скоростей и давления находим из  и  по
формулам
U r  ik iC1 I 0  kr   C2 I1  lr    exp(ikz   t ),
(21)


 I  lr  l
 I1  lr     exp(ikz   t ),
U z  k iC1 I 0  kr   C2  1
k
 kr


(22)
p    C1  I 0  kr   exp(ikz   t ).
(23)
В выражения (21)–(23) входят три неизвестные величины:
амплитудные коэффициенты C1 и C 2 и комплексная частота  .
Из динамического граничного условия для касательных компонент тензора напряжений находим связь между C1 и C2 :
78
C1  C2
I1  lR0   l 2  k 2 
2ik 2 I1  kR0 
.
(24)
Из кинематического граничного условия найдем
  z , t    U r r  R dt  
0
ik
iC  I  kR   C2  I1  lR0    exp(ikz   t ).
 1 1 0
Подставляя это значение   z, t  в динамическое граничное
условие для нормальных компонент тензора напряжений с учетом (24), получаем дисперсионное уравнение, связывающее
частоту  с волновым числом k :
2
2
  k2
2 k 2 
2kl I1  kR0 
2 2 I1  kR0  l  k
 
I1  lR0   
1  k R0  I  kR  l 2  k 2
 I1  kR0   2 2

I 0  kR0  
k  l I1  lR0 
R
0
0
0

2
(25)
Это дисперсионное уравнение в общем случае весьма сложно, так как l зависит от  , и не может быть решено аналитически. Ограничимся рассмотрением предельных случаев маловязкой и очень вязкой жидкости. Если вязкость достаточно мала, так
что в интересующей области длин волн имеет место неравенство

 k 2

или
l  k . ,
(26)
то при l  k линейный член в дисперсионном уравнении (25)
мал и может быть опущен. Тогда (25) приобретает простой вид:
2 
I  kR0 
k
1  k 2 R02  1
.
2 
 R0
I 0  kR02 
(27)
Частота  имеет мнимое значение для волн, длина которых
мала по сравнению с радиусом струи R0 , когда kR0  1.
В пределе, при kR0  1 , имеем по известной формуле
теории функции Бесселя
In  x  ~
79
ex
,
2 x
I1  kR0   I 0  kR0  
exp(kR0 )
.
2 kR0
Вводя частоту  , равную   i , находим
   k3  ;
это совпадает с частотой капиллярных волн на плоской поверхности маловязкой жидкости. Коротковолновые возмущения
kR0  1 на струе жидкости устойчивы и могут распространяться
вдоль струи в виде капиллярных волн. Однако следует учесть,
что коротковолновые возмущения быстро затухают под действием имеющейся в реальных условиях вязкости. Более интересным является случай длинных волн, для которых выполнено
неравенство
kR0 
2 R0

 1.
(28)
Для таких волн величина  имеет вещественное положительное значение. Положительным значениям  отвечает неограниченное возрастание во времени амплитуды волн. В теории турбулентности показано, что экспоненциальное возрастание амплитуды волновых движений означает появление в жидкости незатухающих пульсаций. Масштаб этих пульсаций порядка длины
волны незатухающих волновых движений. Наличие турбулентных пульсаций в жидкости со свободной поверхностью приводит
к разрыву поверхности и выбросу жидкости. В случае жидкой
цилиндрической струи экспоненциальное возрастание во времени
амплитуды волны приводит к неустойчивости ее поверхности и
распаду струи на капли. Поверхность струи неустойчива по отношению ко всем волнам, длина которых удовлетворяет неравенству (28). Однако выражение (27) при kR0  1 имеет максимум
при определенной длине волны. Положение этого максимума
определяется условием
I   kR0   I 0  kR0   I 0  kR0   I1  kR0 
I1  kR0 
 2
2 2
0 1


1
k
R
2kR0 .


0
k
I 02  kR0 
I 0  kR0 
80
Численное решение последнего уравнения показывает, что
точка максимума отвечает значению волнового числа k , равному
k max 
2
1
 0.70  ,
9.02  R0
R0
или длине волны max  9.02  R0 . Эта формула была впервые получена Рэлеем. Значение  в максимуме может быть найдено без
труда путем подстановки числовых значений функций Бесселя:
 max  0,12   R03 .
Волны с k  k max обладают наибольшей неустойчивостью по
сравнению со всеми другими волнами, волновое число которых
удовлетворяет неравенству (28). Максимум функции  2 k  имеет
достаточно резко выраженный характер. Поскольку рост амплитуды во времени происходит по экспоненциальному закону
exp( t ) , решающее значение для распада струи имеет рост амплитуды волны, длина которой  имеет значение, отвечающее максимуму  .
За время

1
 max
 8.46  R03 
амплитуда возрастает в e раз. Распад струи происходит на капли,
размер которых связан с длиной волны, обладающей максимальным инкрементом max , соотношением r  3R0 3 4 , т. е. примерно
в два раза превышает радиус струи. Основной интерес представляет длина неразбившейся части струи. Если пренебречь изменением скорости U 0 струи в процессе ее полета, что можно сделать
при небольших значениях длины неразбившейся части струи, то
эту длину можно найти по формуле L  U 0   8,46U 0  R03  .
Влияние вязкости на закономерности распада струи рассмотрим в пределе длинных волн, когда длина волны много больше
радиуса струи, т. е. когда выполняются условия kR0  1, lR0  1 . В
этом случае дисперсионное уравнение (25) с учетом того, что
I 0 ( kR0 )  1,
I1 ( kR0 )  0.5  kR0 ,
I1 ( lR0 )  0.5  lR0 ,
81
I1( kR0 )  I1(lR0 )  0.5,
принимает вид
 k2
1  k 2 R02  ,
  2 k  

 R0
2
2
а его решения легко выписываются:
 k 2  
2
   k 2 
 k2
1  k 2 R02  .

 R0
Отсюда легко найти, что величина инкремента неустойчивости
достигает своего максимального значения при
kmax


 R0
  R0
 2 R02 
2


1 2
.
При этом величина инкремента неустойчивости определится
выражением
 max
 8 R03
.

1   2   R0
Если вязкость жидкости велика так, что выполняется условие
 R0  2  1,
то для kmax и max получим соответственно:
kmax

 R0 
 6 R0

2 

1 2
 0.5 4

,
 2  R03
 max 

.
6 R0
Характерное время распада струи определится соотношением

1
 max

6 R0

.
Длина волны с максимальным инкрементом и длина сплошной
части струи определятся простыми соотношениями:
1
L  U 0   max
.
max  2 k max ,
82
2.3. Линейные неосесимметричные осцилляции и распад заряженной цилиндрической струи В 1882 году Рэлей в пределе k 2 a 2  1 исследовал влияние на
устойчивость струи идеальной несжимаемой электропроводной
жидкости электрического заряда, однородно распределенного по
невозмущенной цилиндрической поверхности струи с поверхностной плотностью  [1]. По аналогии с ранее решенной задачей об исследовании осцилляций и устойчивости незаряженной
струи, приведенной в разделе 2.1, Рэлей выписал выражение для
изменения потенциальной энергии сил поверхностного натяжения, связанного с волновой деформацией струи, приходящейся на
единицу длины (см. формулу (6) в разделе 2.1):
1
am2
2
U     m  1 ,
4
a
и для кинетической энергии волнового движения жидкости в
объеме жидкости, приходящейся на единицу длины струи (см.
формулу (13) в разделе 2.1):
2
1
J m (ika )  am 
T   a 2

 ,
4
ika  J m (ika )  t 
и добавил к ним выражение для приходящейся на единицу длины
струи добавки к потенциальной энергии поверхностного заряда,
связанной с волновой деформацией струи:
Uq  
2
2
 m  1
am2
;
a2

2 aL
,
L
где  – заряд, приходящийся на единицу длины струи. Составив
функцию Лагранжа T  U   U q , выписав уравнение Лагранжа и
приняв, что временная эволюция волновой деформации струи
описывается законом ~ exp(it ) , Рэлей получил дисперсионное
уравнение в виде
83

  3 m( m  1)  ( m  1)  2w  ,
a
2
2
w
.
 a
Из анализа дисперсионного уравнения следует, что наличие
поверхностного заряда приводит к снижению устойчивости струи
по отношению к неосесимметричным возмущениям поверхности.
В самом деле, при 2 w  ( m  1) квадрат частоты становится
отрицательным и все моды m , удовлетворяющие этому условию,
претерпевают неустойчивость.
В 1894 году влияние электрического заряда на устойчивость
струи более детально изучил Бассет [30] (он также исследовал
влияние на устойчивость струи вязкости жидкости и наличия
окружающей среды). Исследуя варикозную неустойчивость
заряженной струи, имеющей форму r  a    cos(kx)  exp(it ) , (т. е.
осесимметричной струи с m  0 ), он выписал дисперсионное
уравнение для осцилляций основной моды поверхностно заряженной струи маловязкой жидкости с произвольной длиной
волны (с волновым числом k) в виде
2 
 ka  I1 ( ka )
w
ka  K1 ( ka )
2 2
{(1

k
a
)

[1

]}.
4
K 0 ( ka )
 a 3 I 0 ( ka )
Бассет указал, что наличие заряда на струе приводит к ее
стабилизации в смысле расширения диапазона длин устойчивых
волн в область волн, более длинных по сравнению с волнами в
незаряженной струе (он также указал, что малая вязкость и наличие окружающей среды повышают устойчивость струи). В соответствии с анализом Рэлея на незаряженной струе неустойчивы
волны с волновыми числами k > a 1 (см. раздел 2.1), согласно же
результатам Бассета на заряженной струе неустойчивы волны с
меньшими волновыми числами, удовлетворяющими условию
k 2 a 2  {1 
w
ka  K1 ( ka )
[1 
]}, или с большими длинами волн. Выяс4
K 0 ( ka )
нилось также, что длина нераспавшейся части струи за срезом
сопла, из которого вылетает струя, с ростом поверхностной
плотности заряда увеличивается.
Тейлор [36] исправил в выражении, полученном Бассетом,
численный коэффициент при квадрате заряда, приходящегося на
84
единицу длины струи, ошибку в размерности и получил дисперсионное уравнение в виде
2 
 ka  I1 ( ka )
ka  K1 ( ka )
2 2
{(1

k
a
)

w
[1

]};
K 0 ( ka )
 a 3 I 0 ( ka )
w
2
.
 a
Кроме того, Тейлор в [36] попутно исследовал и изгибную
неустойчивость струи, отталкиваясь от известного по экспериментальным исследованиям факта, согласно которому при достаточно большой плотности заряда на струе ее конец начинает совершать хлыстообразное движение, распадаясь при этом на
отдельные капельки. Тейлор выписал форму струи в виде
r  a  ζ  cos(kx)  cos()  exp(it ) , где φ – азимутальный угол, и получил
дисперсионное уравнение для изгибной неустойчивости струи:
2  
 ka  I1( ka )
ρa
3
I1 ( ka )
{k 2 a 2  w[1 
ka  K1( ka )
]}.
K1 ( ka )
Условие нейтрального равновесия струи по отношению к изгибной неустойчивости отсюда получается в виде
w
ka  K1 ( ka )
.
K 0 ( ka )
Еще один вопрос представляет интерес в контексте проводимого исследования. Основным отличием изучаемого нами спонтанного распада заряженных струй от вынужденного монодисперсного распада является полидисперсность получаемых капель
и наличие “хлыстообразного” движения конца распадающейся
струи. Совершенно очевидна связь “хлыстообразного” движения
конца струи с возбуждением в ней неосесимметричных волн.
В нижеследующих рассуждениях будут исследованы методом операторной скаляризации осцилляции [167] и устойчивость
неосимметричных волн в заряженных струях как идеально
проводящих и объемно заряженных диэлектрических жидкостях,
так и в струях жидкости с реальной проводимостью.
85
2.3.1. Линейные неосесимметричные осцилляции
заряженной цилиндрической струи вязкой
электропроводной жидкости
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную, движущуюся вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U 0 цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости с
массовой плотностью  , кинематической вязкостью  и коэффициентом поверхностного натяжения  , поддерживаемую при
постоянном электрическом потенциале  . Будем считать, что
жидкость является идеально проводящей и электрический заряд
распределен по цилиндрической в отсутствие возмущений
поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью
заряда  . Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то
для упрощения задачи перейдем в инерциальную систему
координат, движущуюся вместе со струей с такой же скоростью
U 0 . Очевидно, что в такой системе отсчета поле скоростей течения жидкости в струе U  r,t  полностью определяется возможными (имеющими, например, тепловую природу) капиллярными
осцилляциями ее поверхности и является величиной такого же
порядка малости, что и амплитуда колебаний. Будем исследовать
условия реализации неустойчивости капиллярных колебаний
поверхности струи.
Расчеты проведем в цилиндрической системе координат r, , z
, орт n z которой ориентирован вдоль оси симметрии струи.
Уравнение поверхности струи, возмущенной капиллярным
волновым движением, запишем в виде
r  , z , t   R    , z , t  ,
  R .
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и
электростатики (в предположении, что скорость движения
жидкости много меньше релятивистской):
dU
1
  P    U ,
dt

U  0 ,
86
  0 ,
условий ограниченности:
r  0:
U ,
r  :
  0 ;
гидродинамических
граничных
условий
поверхности струи: кинематического
r  R  :

на
свободной

 U  r   R    , z , t     0 ,
t
и динамического для его касательных
r  R  :
U 
r

1 U r 1
 U   0;
r  r
U z U r

 0;
r
z
и нормальной
r  R  :
 P  r, t   P0  2
U r
 Pq  P  0 ,
r
компонент, а также условия эквипотенциальности поверхности
струи
   .
Здесь U r , U  , U z – компоненты поля скоростей в цилиндрической
системе координат; P  r, t  – гидродинамическое давление; P0 –
атмосферное давлении; Pq – давление электрического поля; P –
давление сил поверхностного натяжения;   r,t  – электростатический потенциал.
В нулевом приближении по  R получим неподвижный
цилиндрический столб жидкости, а также известные выражения
для лапласовского давления под свободной цилиндрической
поверхностью жидкости и давления электрического поля на
поверхность равномерно заряженного бесконечного цилиндра
фиксированного радиуса.
87
2. Линеаризация задачи. В линейном приближении по  R ,
если за всеми физическими величинами оставить прежние
обозначения, обсуждаемая задача в безразмерных переменных, в
которых R      1, запишется в виде
r  , z , t   1    , z , t  ,
  R ,
U
1
  P    U ,
t

(1)
(2)
U  0 ,
(3)
  0 ,
(4)
r  0:
U ,
(5)
r  :
  0 ;
(6)

 Ur  0 ,
t
(7)
r  1:

U 
r

U r
 U  0 ,

U z U r

 0,
r
z
 p  2
U r
 pq  p  0 ,
r
  4   0 .
(8)
(9)
(10)
(11)
В уравнениях (1) – (11)  , p , pq , p – вызванные капиллярными колебаниями поверхности добавки первого порядка малости по  к электрическому потенциалу, гидродинамическому
давлению, давлению электрических сил и сил поверхностного
натяжения соответственно.
Раскладывая по малой величине  известные аналитические
выражения для лапласовского давления P  divn (где n – орт нор88
мали к поверхности (1)) и давление электрического поля Pq  2 2
(см. Приложение), для входящих в (10) величин первого порядка
малости p и p несложно получить следующие соотношения:

 2  2  
p      2  2  ,

z 

pq  4 2  

.
r
(12)
(13)
3. Скаляризация линейной задачи. Систему уравнений (2),
(3) будем решать методом операторной скаляризации [167],
раскладывая поле скоростей U  r,t  на сумму трех ортогональных
векторных полей при помощи векторных дифференциальных
i :
операторов N
3
 i   r, t 
U  r, t    N
i
 i  1,2,3 ,
(14)
i 1
удовлетворяющих условиям ортогональности:
 j N  0 , (при i  j ; i, j  1, 2,3 )
N
i
(15)
и условиям коммутативности с оператором Лапласа
i  N
 i .
N
(16)
В выражениях (14)–(15) i  r, t  – неизвестные скалярные

 j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам
функции; N
j.
N
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой сим i удобно выбрать в виде
метрией, то операторы N
 2    e ,
1   , N
N
z
 3       e  .
N
z
89
Поле скоростей U  r,t  в цилиндрической системе координат
будет иметь следующие компоненты, выраженные через скалярные функции i  r, t  :
1 1  2  23
Ur 
,


r r  z
U 
1 1  2 1  23
,


r r z
r 
1  1   3  1  23 
Uz 

.
r

z  r r  r  r 2 2 
(17)
Подставляя разложение (14) в систему (2)–(3) и используя
свойство операторов (15)–(16), получим систему скалярных
уравнений
1  0 ,
i 
1  i
 0,
 t
p
 i  2,3 ,
1
.
t
(18)
(19)
Используя (12), (13), (17), (19), граничные условия (7)–(10)
преобразуем в граничные условия для известных функций  i и  :
r  1:
  1 1  2  23 



  0,
t  t
r  zr 
2
2
  1
 2  3
    2  2   2 

2 
 1    2 

2
 3   0 ,

2 
  r
r
z  r
 
  r

  1  1   3  1  23     1 1  2  23 




 0,
  
r

r  z  r r  r  r 2 2   z  r r  z2 
1
  1 1  2  23 
 
 2  2 
2
 2 


  

  4   0
  0.
t
r  r r  zr 
r  2 z 2 
(20)
90
Поскольку функции  ,  и  i описывают малые отклонения
от равновесного состояния, то для того чтобы проследить
эволюцию этих отклонений во времени, примем, что временная
зависимость всех малых величин определяется экспонентой
, , i  exp  st  ,
где s – комплексная частота.
4. Вывод дисперсионного уравнения. Учитывая это, решения уравнений (4) и (18) в цилиндрической системе координат,
удовлетворяющие условиям ограниченности (5), (6), будем
искать в виде разложений по волнам, бегущим вдоль оси OZ :

1 (r , t ) 
 
 C
1
m
 I m  kr   exp  im   exp  ikz   exp  st  dk ,
0 m 0



 i ( r , t )    Cmi I m  lr   exp  im   exp  ikz   exp  st ,
 i  2,3
(21)
0 m 0

(r , t ) 
 
 C K
4
m
m
 kr  exp  im  exp  ikz  exp  st  dk .
(22)
0 m0
В виде аналогичного разложения представим и функцию
  z, , t 
  z , , t  
 
 D
m
exp  im  exp  ikz  exp  st  dk .
(23)
0 m 0
В (21)–(23) k – волновое число; l 2  k 2  s  ; m – азимутальные числа, т. е. целые числа, характеризующие неосесимметричность решений; I m  x  , K m  x  – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода [198]; Ci , где i  1,2,3,4 , и D –
коэффициенты разложений, зависящие от m и k .
Используя условие эквипотенциальности поверхности струи
(11), учитывая решения (22)–(23) и свойства ортонормированности функций exp  im и exp  ikz 
91
2
 exp i  m  m  d  
1
2
m1 ,m2
,
0
2
 exp i  k  k  z dz    k  k  ,
1
2
1
(24)
2
0
где  m1 ,m2 – дельта-символ Кронекера,  k1  k2  – дельта-функция
Дирака, несложно получить связь коэффициентов Cm4 и Dm :
Cm4 
4
Dm .
Km  k 
(25)
Подставляя решения (21)–(22) с учетом (23) и (25) в граничные условия (20) и используя соотношения (24), получим систему
уравнений относительно неизвестных коэффициентов Dm и Cmi
 i  1, 2,3 :
1
Dm s  Cm
kI m  k   Cm2 imI m  l   Cm3 iklI m  l   0 ,


1
Cm
2im  kI m  k   I m  k    Cm2 lI m  l   m2 I m  l   l 2 I m  l  
Cm3 2mk  kI m  l   lI m  l    0 ,
1
Cm
2ik 2 I m  k   Cm2 mkI m  l  




C m3 l 3 I m  l   l 2 I m  l   l k 2  m 2  1 I m  l   2m 2 I m  l   0 ,


 kK   k   2
2
1
2



Dm 4 2  1  m
k
m
1
  Cm sI m  k   2k I m  k  

Km  k  




C m2 2im  lI m  l   I m  l    C m3 2ikl 2 I m  l   0 .

(26)
Штрихами обозначены производные функций Бесселя m-го
порядка по их аргументу, которые могут быть выражены через
функции Бесселя m-го и  m  1 -го порядков с помощью следующих рекуррентных соотношений:
92
I m  x   I m 1  x  
m
m
I m  x   I m 1  x   I m  x  ,
x
x
m  m  1 

1
I m  x    I m 1  x    1 
 Im  x  ,
2
x
x


 m2  2 
m  1  m  m  2 

I m  x    1 
I
x



1 
 Im  x  ,
m

1
2
2

x
x
x




K m  x  
m
K m  x   K m 1  x  .
x
Напомним, что система однородных линейных уравнений
(26) имеет нетривиальное решение только в случае, если ее определитель равен нулю det  aij   0 , где элементы aij определяются
соотношениями:
a11  s ,
a21  a31  0 ,

K  k  
a41  k 2  m 2  1  4 2 1  m  k m 1
,
K m  k  

a12    kI m 1  k   mI m  k   ,
a22  2im  kI m1  k    m  1 I m  k   ,
a32  2ik  kI m1  k   mI m  k   ,


a42   s  2 k 2  m  m  1  I m  k   2kI m1  k  ,




a13  imI m  l  , a23  2lI m 1  l   l 2  2m  m  1 I m  l  ,
a33  mkI m  l  , a43  2im  lI m 1  l    m  1 I m  l   ,
a14  ik  lI m 1  l   mI m  l   ,
a24  2mk  lI m 1  l    m  1 I m  l   ,
93


a34   l 2  k 2  lI m 1  l   mI m  l   ,


a44  2ik l 2  m  m  1  I m  l   lI m1  l  .
(27)
Раскрывая определитель четвертого порядка с элементами
(27), получим дисперсионное уравнение, связывающее частоты s
неосесимметричных колебаний поверхности струи с волновым
числом k ,
 




s2 m l 2 l 2  k 2  2m  m  1 l 2   Fm  l   l 2  k 2 l 2  4m  2l 2m2  











2 l 2  k 2 Fm2  l   2 s  ml 2 l 2  k 2 k 2  m  m  1 




 Fm  l   l 2 k 2 l 2  k 2  l 2 m  m  1 l 2  2m  m  1 




l 2k 2m  3m  1  4k 2m k 2  m m2  1  


 




2  k 2 l 2  k 2  m m 2  1 l 2  k 2  Fm2  l  







 Fm  k  2l 2 l 2k 2  m2 m2  1  l 2m l 2  k 2  4m  5 


 Fm  l  l 4  5l 2 k 2  4m m 2  1 l 2  k 2  






2 m 2  1 l 2  k 2 Fm2  l   f  m, w , k  







 m l 2 m l 2  k 2  Fm  l  l l 2 l 2  k 2  2m l 2  2k 2  








2 l 2  k 2 Fm2  l   Fm  k  m l 2 l 2  k 2  2ml 2  








 l 2  k 2 l 2  4m Fm  l   2 l 2  k 2 Fm2  l  ;
94
Fm  x   x
I m1  x 
;
Im  x 


kK  k   
f  m, w, k   1  m 2  k 2  w 1  m  m 1
 ;
K
k


m

 

2
w  4  ;   2,

2
(28)
где  – электрический заряд, приходящийся на единицу длины
струи.
6. Анализ дисперсионного уравнения и обсуждение результатов. Анализ уравнения (28) в общем случае достаточно
проблематичен и возможен только численным способом.
Дисперсионное уравнение для случая осесимметричных
колебаний заряженной струи несложно получить из (28),
положив m  0 :


2l
l2  k2



s  2k s 1  F0  k  2

 l  k 2 F0  l  k 2 l 2  k 2


2
2




 2
2
   l  k F0  k  f  0, w, k  .
 l 2  k 2

При w  0 это выражение совпадает с дисперсионным
уравнением для незаряженной струи вязкой жидкости. Для струи
маловязкой жидкости, когда выполняется условие l  k ,
уравнение (28) приводится к более простому виду:


s 2  2s k 2  m  m  1  Fm  k   f  m, w, k   m  Fm  k   .
(29)
При малой вязкости линейное по s слагаемое в уравнении
(29) также можно опустить:
s 2  f  m, w , k   m  Fm  k   .
(30)
При f  0 соотношение (30) определяет инкремент неустойчивости цилиндрической волны s  f   m  Fm  k   . Приравнивая к
нулю первую производную от инкремента по волновому числу,
можно найти волновое число капиллярной волны с максимальным значением инкремента и, подставив его в (6.30), получить
величину самого инкремента. На рис. 1 приведены результаты
95
подобных расчетов в виде зависимостей s  s  w  , k  k  w  для
первых пяти значений азимутального числа m .
Из рис. 1а видно, что величины инкрементов осесимметричной моды ( m  0 ) и неосесимметричных мод ( m  1,2,3,4 ), заметно
различающиеся при малых значениях w , при достаточно больших
значениях поверхностной плотности заряда  (при больших
значениях параметра w ) становятся примерно равными. Согласно
рис. 1b в такой ситуации волновые числа неосесимметричных
волн заметно превышают волновое число осесимметричной
волны. Сказанное означает, что при одном и том же значении
электрического потенциала струи создаются оптимальные
условия для реализации неустойчивости одновременно осесимметричных и неосесимметричных мод колебаний поверхности,
различающихся волновыми числами наиболее неустойчивых
волн. Таким образом, струя станет дробиться на капли различных
размеров и будет неустойчива по отношению к закручиванию
вокруг своей оси (по отношению к реализации «хлыстообразного», согласно терминологии [66]), движения, наблюдавшегося
во многих экспериментах.
В более общей ситуации, когда линейным по s слагаемым в
(29) пренебрегать нельзя, положительный корень уравнения (29),
соответствующий инкременту неустойчивости, запишется в виде

s  G  m, k   2G2  m, k   f  m, w, k   m  Fm  k  


G  m, k   k 2  m  m  1  Fm  k  .
96

12
;
(31)
Рис. 1. Заввисимостьь от w велличины беезразмерн
Р
ного инкрремента (аа)
и волновоого числаа (б) наиболее неусстойчивой
й волны п
при   0 :
цифры
ы у кривы
ых – значеения азим
мутальногго парамеетра m
Несложноо видетьь, что крритическкие услоовия реаллизации неусН
тойчи
ивости сттруи в используе
и
емом пр
риближен
нии от вязкости не зависятт. В самоом деле, критичееские уссловия реализаци
ии неусттойчивости
и струи невязкой
н
жидкоссти опред
деляютсяя, соглассно (30), условием f  0 , при
п выпоолнении обратно
ого нераавенстваа s стано
овится
мнимым, чтоо соответтствует периоди
ическомуу во вреемени иззменению амплитуд
а
ды волн
н. Из (31)) видно, что услловие пояявления положителльных решений уравнен
ния (29) (опредееляющихх инкрем
менты
неусттойчивоссти) такж
же имеет вид f  0 . Влиян
ние вязккости в даанном
случаае сводиттся к уменьшени
ию велич
чин инкррементовв и сниж
жению
значен
ний воллновых чисел,
ч
сооответстввующихх наиболее неусттойчи97
вым волнам.
в
Однако степень этого вл
лияния различна
р
а в разли
ичных
диапаазонах зн
начений волновы
ых чисел и для раазличныхх m.
Ри
ис. 2. Те же
ж зависим
мости, что и на рисс. 1, рассч
читанныее при   0.1
В предсттавляющ
щем интеерес (в контекст
к
те сказан
нного вы
ыше о
закон
номерносстях раззвития неустой
н
чивости
и волн п
при бол
льших
значеениях пооверхносстного зааряда) диапазон
не величи
ин безраазмерных волновы
в
ых чисел k  4  6 и безразмерны
ых инкреементов неустойчи
ивости f  5  100 (рис. 1a-b)
1
вли
ияние вяязкости (при   1 ) на
разви
ивающую
юся неусстойчивоость буд
дет слабым. Оноо проявл
ляется
в сни
ижении величин
н инкрем
ментов и волноовых чи
исел наи
иболее
неусттойчивыхх волн примерн
п
но на 20
0%. Это видно из рис. 2, где
привеедены реезультатты расчеетов дляя  =0.1 в виде зависим
мостей
s  s  w  , k  k  w  дл
ля перввых пятти знач
чений аазимутал
льного
числаа m. Данн
ные рис. 2 свидеетельстввуют о тоом, что уучет вязккости,
98
хотя бы и малой, дает преимущество развитию неустойчивости
неосесимметричных волн.
Чтобы исследовать влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи в ситуации   1, проанализируем
асимптотику дисперсионного уравнения (28), когда l  k или
k 2   s   . В таком приближении получим

s 2 6 Fm2  2 H  m, k  k 3  k 2  m  m  4    m 3k 2  2m  m  1  




 Fm  4k 2  8 H  m, k  k 3  m  3m  8    2 s 2 Fm3 m 2  1 


2
 Fm k 4  H  m, k  k 5  4k 2m  m  1  3m2  m  1   3Fm2 k 2  2m m2  1  






2k  m 2  m  1  H  m, k  k k 4  2k 2 m  m  1  m 2  m  1 3  m   






 f  m, w , k   Fm2 2 Fm  k 2  2 Fm  m k 2  3Fm 



 m 2 2 H  m, k  k 3  k 2  3Fm   8 Fm  2 k 2 m 2  m  1  0 ;

H  m, k   k 2  Fm2  k   (2m  1) Fm  k  k 2 .
(32)
Результаты численного расчета по уравнению (32) зависимостей величин инкремента и волнового числа наиболее неустойчивой волны от параметра w при   3 по уравнению (32) приведены на рис. 3. Видно, что при использовании в расчетах большой вязкости величина инкремента неосесимметричной волны с
m  1 существенно превышает инкремент осесимметричной волны, однако абсолютные значения величин инкрементов в обоих
случаях снижаются по сравнению с величинами инкрементов для
маловязких струй.
Интересно отметить, что при m  0 в области малых значений
волновых чисел ( k  0.7 ) величина инкремента немного снижается
при увеличении w от нуля до w  1.6 . Этот эффект связан с
немонотонностью при 0  w  1.6 зависимости f  f  k , w в
уравнениях (29)–(31) (рис. 4).
99
Ри
ис. 3. Те же
ж зависи
имости, чтто и на ри
ис. 1, расссчитанные при   3
Рис. 4. Зави
исимость f  f ( m, k , w) от w и k , расссчитаннаая при m  0
100
В контексте проведенного исследования коническая струя,
поддерживаемая при постоянном электростатическом потенциале, характеризуется различной поверхностной плотностью
заряда на струе в различных ее поперечных сечениях: меньших
при больших радиусах струи и больших у тонкого ее конца.
Сказанное означает, что в одной и той же струе при различных
значениях координаты z могут реализоваться неустойчивости
различных волн с отличающимися значениями азимутального
параметра m . Так, распад тонкого конца струи на капли будет
происходить при определяющем влиянии неосесимметричных
волн, а разрыв струи в сечении с большим радиусом, когда
поверхностный заряд мал, – за счет неустойчивости осесимметричной моды. Обсуждавшееся выше влияние вязкости в
сечениях с большим и малыми радиусами струи также будет
различным: безразмерная вязкость    0   R 1 2 будет больше на
узком конце струи и меньше – на широком.
Итак, в спонтанном капиллярном распаде заряженных (поддерживаемых при постоянном электростатическом потенциале)
струй на капли важную роль в формировании спектра распределения образующихся капель по размерам играет неустойчивость неосесимметричных волн. Инкременты неустойчивости
неосесимметричных волн в маловязких струях при больших
значениях поверхностной плотности заряда сравниваются с
инкрементом неустойчивости осесимметричной волны, а в
сильно вязких струях существенно его превышают.
Приложение. Вычислим давление электрического поля на
заряженную поверхность цилиндрической струи вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости. Будем считать, что электрический ток по струе не течет, напряженность электростатического поля внутри проводника равна нулю и заряд струи, вызванный ее электризацией, равномерно распределен по ее поверхности с плотностью  . Учтем, что в приближении идеально проводящей жидкости заряд по поверхности струи при ее капиллярных колебаниях перераспределяетсяс бесконечно большей
скоростью, мгновенно следуя за колебаниями поверхности и
обеспечивая ее эквипотенциальность в любой момент времени. В
связи со сказанным, зависимость от времени потенциал 
101
электрического поля струи полностью определяется изменениями
во времени формы поверхности струи, а зависимость потенциала
 от пространственных переменных может быть найдена из
уравнения Лапласа (поскольку гидродинамические скорости
много меньше скорости света).
Давление электростатического поля на поверхность заряженной проводящей струи Pq определяется известным выражением:
Pq
2
 


,
8
где потенциал электрического поля вне капли  является
решением краевой задачи
  0 ,
r 1  :
   ,
r  :
  0 .
Представим потенциал  в виде разложения
  0   ,
где  0 – потенциал электрического поля вблизи невозмущенной
поверхности струи;  – добавка к потенциалу, вызванная возмущением поверхности   z, , t  , имеющая первый порядок малости
по  .
Разделяя сформулированную задачу по порядкам малости,
получим в нулевом приближении по 
 0  0 ,
 0   ,
r  1:
r  :
 0  0 ,
а в первом порядке
  0 ,
102
 0

,
r
r 1  :
r  :
  0 .
Учтем также, что напряженность электрического поля на
поверхности струи имеет только нормальную компоненту:
r  1:
E0  n  4 ,
E0  τ  0 ,
где n и τ – орты нормали и касательной к поверхности струи.
В нулевом порядке малости напряженность электрического
поля вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
имеет вид
E0   0 
4r
.
r2
Выражение для потенциала  в цилиндрической системе координат, удовлетворяющее условию ограниченности при r   , и
выражение для искажения цилиндрической формы струи   , z, t 
запишем в виде разложений по волнам, бегущим вдоль оси OZ
(вдоль оси симметрии струи):
  r , , z , t  
 
 C
4
m
 K m  kr  exp  im  exp  ikz  exp  st  dr ,
0 m 0
  , z , t  
 
 D
m
exp  im  exp  ikz  exp  st  dk ,
0 m 0
где m – целые числа; k – волновое число; K m  kr  – модифицированные функции Бесселя второго рода; Cm4 и Dm – коэффициенты
разложения, зависящие от k и m .
На поверхности струи для функции  имеем
r  1:
  4  .
Отсюда легко получить связь коэффициентов Cm4 и Dm :
103
Cm4 
4
Dm .
Km  k 
При выводе этого соотношения была учтена линейная независимость функций exp  im при разных m и функции exp  ikz 
при различных значениях волнового числа k .
Искажение равновесной цилиндрической поверхности струи
волновым движением   z, , t  вызывает изменение давления Pq .
Поскольку возмущение  мало, то Pq может быть разложено в
ряд по  и представлено в виде
Pq
r 1



1
 0  
8

1 
0
 
8 

2

2

r 1
 2 0

1 
0
 
8 

2


 2     0 

 r 1


 0   2     0  .
r
 r 1




Используя выражение для напряженности электрического
поля у поверхности невозмущенной цилиндрической струи для
линейной по  добавки к давлению электрического поля,
которую обозначим p    , получим выражение
pq     4  
r  1:

.
r
Подставляя вместо функций  и  их интегральные представления, получим окончательное выражение для давления электрического поля, связанного с возмущением формы поверхности
струи
pq      w


K k  
Dm  1  k m
 exp i  kz  m  exp  st  ;
K
k


m


m 0

104
w  4 2 .
2.3.2. Линейные неосесимметричные осцилляции
объемно заряженной цилиндрической струи
вязкой диэлектрической жидкости
1. Постановка задачи. Пусть дана бесконечная, движущаяся
вдоль оси симметрии с постоянной скоростью U0 цилиндрическая струя вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью
 , кинематической вязкостью  , диэлектрической проницаемостью ε и коэффициентом поверхностного натяжения  , имеющая
радиус R. В рамках модели "вмороженного" заряда примем, что
заряд распределен равномерно с объемной плотностью  .
Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для
упрощения задачи перейдем в инерциальную систему координат,
движущуюся вместе со струей с такой же скоростью U0 . Очевидно, что в такой системе отсчета поле скоростей течения жидкости
в струе U  r,t  полностью определяется возможными (имеющими,
например, тепловую природу) капиллярными осцилляциями ее
поверхности и является величиной такого же порядка малости,
что и амплитуда колебаний. Будем искать критические условия
реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности
такой струи.
Все расчеты проведем в цилиндрической системе координат
с осью OZ, совпадающей с осью симметрии струи, орт n z которой направлен вдоль вектора скорости U0 . Уравнение поверхности струи, возмущенной капиллярным волновым движением, запишем в виде
F  r, , z, t   r   R    , z, t    0,
где R – радиус равновесной поверхности струи,   , z, t  – возмущение поверхности струи, вызванное ее капиллярными колебаниями.
Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных осцилляций струи состоит из уравнений гидродинамики и
электростатики (в предположении, что скорость движения
жидкости много меньше релятивистской):
105
U
1
  U  U   p    U,
t

divU  0.
На поверхности струи должны выполняться:
кинематическое граничное условие:
dF
dt
r  R:
 0,
F 0
динамические граничные условия для касательной:
  n  U  n   U  0
r  R:
и нормальной компонент тензора напряжений:
r  R:
  P  Pатм   2 n n  U  P  PE  0
При r  0 решение U должно быть ограничено, то есть
r  0:
U  ,
 и n – единичные вектора касательной и нормали к возмущенной поверхности струи; Pатм – давление атмосферы; U  r, t  , P  r, t 
– поле скоростей и поле давлений внутри струи; P – давление
сил поверхностного натяжения; Pq – давление электростатического поля на поверхность струи, которое вычисляется из
краевой задачи для электрических потенциалов внутри  in и вне
 ex струи соответственно:
 in  4
r  R  :
r  0:

,

 ex  0 ,
 in  ex

,

n
n
  ,
in
ex
r :
 in  0 ,
 ex  0 .
Отметим, что в модели диэлектрической струи заряд "вморожен" в жидкость и на поверхности нет свободных зарядов.
Поэтому зависимость электрического потенциала  от времени
106
полностью определяется изменением во времени формы поверхности струи, а зависимость от пространственных переменных
потенциалов внутри  in и вне струи  ex может быть найдена из
решения выписанной электростатической задачи (см. Приложение).
Сформулированная задача отличается от подробно разобранной в предыдущем разделе только задачей расчета давления
электрического поля на свободную поверхность струи, решение
которой приводится в Приложении, а потому опустим
промежуточные выкладки и выпишем сразу дисперсионное
уравнение.
2. Дисперсионное уравнение в безразмерных переменных, в
которых R      1, запишется в виде
a11
det aij 
a11  s ,
a12
a13
a14
a21 a22
a23
a24
a31
a32
a33
a34
a41 a42
a43
a44
a21  a31  0 ,
 0;
a41  k 2  m 2  1 
 1


  1
   1  2    1 m    1 Fm  k    1  2 m  2 Dm  k   
 ,
2 w 

  1 m   Fm  k   Dm  k 
 2



a42   s  2  k 2  m  m  1   I m  k   2 kI m1  k  ,
a13  imI m  l  ,
a33   mkI m  l  ,
a23  2lI m1  l    l 2  2m  m  1  I m  l  ,
a43  2 im  lI m1  l    m  1 I m  l   ,
a14  ik  lI m1  l   mI m  l   , a24  2im  lI m1  l    m  1 I m  l   ,
a34    l 2  k 2   lI m1  l   mI m  l   , a44  2 ik  l 2  m  m  1  I m  l   lI m1  l   ,
w   2 ;
Fm  k   k  I m1  k  I m  k  ;
107
Dm  k   k  K m1  k  K m  k  .
Расписывая определитель, перепишем дисперсионное уравнение, связывающее частоты волн на поверхности струи s с их
волновыми числами k , в виде

s 2 m  l 2  l 2  k 2   2m  m  1 l 2  

 Fm  l  l 2  l 2  k 2   4m  l 2  k 2   2l 2 m2   2  l 2  k 2  Fm2  l  
2 s  ml 2  l 2  k 2   k 2  m  m  1  
 Fm  l  l 2k 2  l 2  k 2   l 2 m  m  1  l 2  2m  m  1   l 2 k 2 m  3m  1 




4k 2 m k 2  m  m 2  1   2  l 2  k 2  k 2  m  m 2  1 Fm2  l  

 

 Fm  k  2l 2 l 2 k 2  m 2  m 2  1  l 2 m  l 2  k 2  4m  5   
+ l 4  5k 2l 2  4mk 2  m 2  1  l 2 5k 2  4m  m 2  1   Fm  l  

2  m 2  1 l 2  k 2  Fm2  l    f ( m, k , w ) 

 m  l 2 m  l 2  k 2   l 2  l 2  k 2   2m  l 2  2k 2   Fm  l   2  l 2  k 2  Fm  l   


 Fm  k  m  l 2  l 2  k 2   2 ml 2    l 2  k 2  l 2  4m  Fm  l   2  l 2  k 2  Fm2  l  .
(1)
f ( m, k , w )  1  k 2  m2 
{2     1 [m  Fm  k ]} 2  (  1)[m  Dm  k ] 
w
  1 

 
  1 m   Fm  k   Dm  k 

Анализ уравнения (1) в общем случае достаточно проблематичен и может быть проделан только численными методами. В
пределе    и   2  , где  – плотность поверхностного заряда
цилидрической струи электропроводной жидкости, приходим к
дисперсионному уравнению для неосесимметричных колебаний
заряженной струи вязкой электропроводящей жидкости, полученному в предыдущем разделе (при таком переходе предполагается
108
неизменным заряд, приходящийся на единицу длины струи:
  2   ).
Из (1), положив m  0 , несложно получить дисперсионное
уравнение для осесимметричных колебаний заряженной струи:


2kl
l 2  k 2 
 
s  2 s k 1  F0  k   2

  l  k 2  F0  l  k 2  l 2  k 2   



2
k
2

[2    1 F0  k ][2  (  1) D0  k ]  
l2  k2
w
2
1
(

1)




F
k
k

 .
1 



l2  k2
F
k
D
k




0
0

 

При   0 ( w  0 ) это выражение совпадает с дисперсионным уравнением для незаряженной струи вязкой жидкости [73].
3. При больших значениях аргумента цилиндрических
функций k , l  1 (случай коротких волн) можно использовать
асимптотические представления для функций Бесселя первого и
второго рода [168] (с сохранением слагаемых ~ z 1 ):
I m  z   e  2 z 
z
1 2
 4m 2  1 
,
1 
8z 

I m1  z   e  2 z 
1 2
z
 4  m  12  1 
 ,
 1 
8
z


12
12
2
 4  m  12  1 
    4m  1 
z   
K m  z   e   1 
 ,
 , K m1  z   e   1 
8z 
8z
 2z  
 2z  

z
тогда
K m1  z 
2m  1
 1
,
2z
Km  z 
I m1  z 
2m  1
 1
.
2z
Im  z 
Подставляя эти разложения в выражения (1), получим
дисперсионное уравнение для больших значений аргумента:

s 2 1  2m2  2k 2  l 2  2l  1   l 2  k 2   2l  1 l  1



2 1


 s  2k 2   2k  1  l 2  k 2   2l  1  4k 2l 2   l 2  k 2   2l  1
109

1

 m2  4m2  l 2  2l  1  k 2  2k  1   8k 4  l 2  4l 3  2l 2  12l  5 

2k 2  4l 2  4l 2  5  k 2 12l 3  10l 2  4l  5  kl 2  2l  1 
2

  l 2  k 2   2l  1 l  1


2 1
  1  k 2  m2  w (  1) 

 

 4    1 2k  1   4    1 2k  1    
 
2  2     1 2k  1 
 
2
2
1 l2  k2

2 l  2l  1  k  2k  1
.
 2
2

1

2
k
m


2
2
2
2
2

l
k

2

1

1
l
k
l
l







4. Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется условие l  k , уравнение (1) приводится к более простому виду:
s 2  2 s  k 2  m  m  1  Fm  k    f  m, k   m  Fm  k   .
(2)
В пределе идеальной жидкости   0  уравнение (2) сводится к виду
s 2  f  m, k   m  Fm  k   .
(3)
Несложно видеть из (3), что при f  0 величина s вещественна и имеет два корня. Один из корней отрицателен и определяет декремент затухания соответствующего движения жидкости,
а потому не представляет интереса в плане проводимого исследования, а второй положителен и определяет инкремент нарастания
неустойчивости цилиндрической волны s  f   m  Fm  k   . Приравнивая нулю первую производную от инкремента по волновому числу, можно найти волновое число капиллярной волны с
максимальным значением инкремента и, подставив его в дисперсионное уравнение (3), получить величину самого инкремента.
На рис. 1–4 приведены результаты подобных расчетов, проведенных с помощью программы аналитических расчетов "Математика" в виде зависимостей s  s  w  , k  k  w  для первых пяти
110
значеений ази
имутального чи
исла m при различны
р
ых знач
чениях
диэлеектричесской прооницаемоости .
И сравнения дан
Из
нных, приведен
нных на рис. 1 д
для    , на
рис. 2 – для   20 , и на рисс. 3–4, где
г пред
дставлены резул
льтаты
расчеета для жидкого
ж
водород
да с   1,241 , неесложно видеть,, что с
уменььшением
м величи
ины диэллектричееской прроницаем
мости жидкож
сти аб
бсолютн
ные знач
чения ин
нкременттов неусстойчивоости и волнов
вые числа
ч
нааиболее неустой
йчивых волн
в
сни
ижаютсяя. Кромее того,
облассть значеений парраметра w , в котторой рееализуетсся неусттойчивость, сдвигаается в область
о
больши
их значен
ний w , что особенно
нагляядно видно из срравненияя рис. 2, 3 и 4.
Рис. 1а
Рис. 1б
б
Рис. 1. Зависим
мости инккремента (а)
( и волн
нового чи
исла (б)
наиболее неуустойчивоой волны от зарядо
ового парраметра, ррассчитан
нные
п    для разлличных мод
при
м осцилл
ляций: m  0,1, 2,3, 4 . Значениее
аззимутальн
ного числла m увели
ичиваетсяя сверху вниз
в
(слевва направво)
Интересн
И
но, что при достаточно
о больш
ших знаачениях параметраа w велличины инкремеентов неустойчи
ивости неосеси
имметричны
ых мод сравни
иваются с инкр
рементам
ми осессимметри
ичной
моды
ы, а вели
ичины воолновыхх чисел наиболе
н
е неустоойчивых
х волн
снижааются по сравнеению с осесимм
метричноой. Это означаеет, что
на фи
инальной
й стадии
и реализации неу
устойчи
ивости, п
проявляю
ющейся в разбиени
р
ии струи
и на кап
пли, стру
уя будетт дробитться на капли
разны
ых размееров и длля получ
чения наа практи
ике потооков мон
нодисперсн
ных капеель след
дует созздавать осесимм
метричной модее преимущ
щественн
ные услоовия, наапример искуссттвенно уувеличиввая ее
111
ампли
итуду, как
к
это делаетсся при вынужд
денном капилляярном
распааде струй
й [6].
Р 2а
Рис.
Рис. 2б
б
Рис. 2. Зависим
мости инккремента (а)
( и волн
нового чи
исла (б)
наиболее неуустойчивоой волны от зарядо
ового парраметра, ррассчитан
нные
п   200 для разлличных мод
при
м осцил
лляций: m  0,1, 2,3, 4 . Значени
ие
аззимутальн
ного числла m увели
ичиваетсяя сверху вниз
в
(слевва направво)
В проанаализировванной ситуаци
ии объем
мно зарряженны
ых диэлекттрически
их струй
й инкрем
менты неустойч
н
чивости неосеси
имметричны
ых мод оказываю
о
ются даж
же вышее, чем осесиммеетричны
ых, что
особеенно нагглядно видно
в
изз рис. 3aa, 4a, гд
де привеедены реезультаты расчета инкрем
ментов нееустойчи
ивости для
д осессимметри
ичной
моды
ы (номерр на крривой совпадает с ном
мером м
моды) и для
следуующих четырех
ч
дке возраастания азимутаального числа
в поряд
m нееосесимметричн
ных моод для струи жидкогго водо
орода.
Интерресно, что
ч при низкой
н
д
диэлектр
рической
й прони
ицаемостти для
мод с m  2 областьь значен
ний парааметра w,
w при которых
х волновыее числа наиболеее неустоойчивых
х мод прринимаю
ют разум
мные с
точки
и зренияя практтики раззбиения струй на кап
пли знач
чения,
сущесственно сдвигается в сторону
у больш
ших величин w.
w Это
видноо из сраввнения областей
о
й значени
ий парам
метра w,, при котторых
реали
изуется неустойч
н
чивость поверхн
ности стрруи на ррис. 3a и 3b, а
такжее рис. 4aa и 4b. На
Н рис. 3bb и 4b су
уществууют парааллельны
ые оси
абсци
исс учасстки кри
ивых (п
практичеески сли
ивающи
иеся с осью),
о
соотвветствую
ющие неуустойчи
ивым вол
лнам с очень
о
маалыми волнов
выми
и числам
ми. Физи
ически это озн
начает неустойч
н
чивость очень
112
длинн
ных волн
н. В смы
ысле дробления струи
с
наа части ттакая неу
устойчивоссть при ее
е реали
изации приведет
п
т к разры
ыву струуи на бол
льшие
куски
и, а не на
н мелки
ие капли. Такая неустой
йчивостьь наблюд
далась
экспеериментаально в [3, 57] и ее следстви
с
ием явл
ляется
сущесственноее усложн
нение сп
пектра режимов
р
в электроостатичееского
диспеергироваания жид
дкости [447, 56–5
58].
Р 3а
Рис.
Рис. 3б
б
Рис. 3. Зависим
мости инккремента (а)
( и волн
нового чи
исла (б)
наиболее неуустойчивоой волны от зарядо
ового парраметра, ррассчитан
нные
при   1, 241 для
д разли
ичных мод
д осцилляяций: m  0,1, 2 .
мутальногго числа m на рис. 3а в праввой части увеличиввается
Значеение азим
сни
изу вверх,, а на рис.. 3б увели
ичиваетсяя сверху ввниз
Из рис. 3a
И
3 видноо, что длля струи
и жидкоого водоорода с малой
м
диэлеектричесской прооницаем
мостью (   1,2411 ) при m = 0 кривая
к
зависимости s  s  w  по мерре увели
ичения параметр
п
ра w сн
начала
снижаается доо нуля, затем в некото
ором ди
иапазонее значен
ний w
неусттойчивыхх решен
ний ураавнения (2) нетт, потом
м они снова
появлляются и общий
й вид заввисимоссти s  s  w  стан
новится таким
же, каак и на других
д
к
кривых.
Указанн
ный ход зависим
мости s  s  w  ,
с пояявлением
м миним
мума в области
о
w ранеее отмечаался в
малых w,
[33] при
п
болльших значения
з
ях вязко
ости (прри   3 ) и свяязан с
немон
нотонностью прри малыхх k и w хода фуункции f  k , m, w  , как
это ви
идно из рис. 5, где
г привведены результа
р
аты расчета зави
исимости f  f  k , m, w  для диэлекттрическо
ой струи
и с   1,241 при
и m=0.
На тоом же ри
исунке приведен
на плоско
ость f  0 , выдееленная более
частоой коорд
динатной
й сеткой. Если вспомнитть, что н
неустойч
чивым
113
состоояниям заряжен
нной стрруи соо
ответстввуют пооложител
льные
значеения фуункции f  k , m, w  , возвышающ
щиеся наа рис. 5над
плосккостью f  0 , то видн
но существован
ние геоометричееского
местаа точек при
п малы
ых k и w,
w в которых неуустойчиввые состтояния
отсуттствуют. Это обсстоятелььство и приводи
п
ит к изоб
браженн
ной на
рис. 3a
3 зависимости
и инкреемента неустой
йчивости
и осеси
имметричноой (m=0)) моды от
о величины пар
раметра w.
w
Р 4а
Рис.
Рис. 4б
б
2 4.
Рис. 4. То же, что на рис.
р 3, рассчитанноее для мод осцилляц
ций: m  2,3,
ние азимутального числа m в нижней
й части ри
исунков
Значен
у
увеличива
ается слевва направоо.
Рис. 5. Зависимо
З
сть f  f  k , m, w  , рассчитан
р
нная при   1, 241
п
ью f  0
для m  0 и перессечённая плоскость
114
Влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи качественно такое же, как и в исследованном в
предыдущем разделе случае поверхностно заряженной электропроводной струи: с ростом вязкости жидкости величины инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн снижаются. А потому на этом вопросе не будем
останавливаться отдельно.
Подводя итог сказанному выше, отметим, что для объемно
заряженных струй диэлектрических жидкостей величины инкрементов неустойчивости неосесимметричных мод снижаются при
уменьшении диэлектрической проницаемости жидкости, причем
этот эффект сказывается тем сильнее, чем меньше азимутальное
число m (чем меньше степень несимметричности). Это обстоятельство приводит к тому, что для диэлектрических жидкостей с
малыми диэлектрическими проницаемостями инкременты
неустойчивости неосесимметричных мод могут при прочих равных условиях превышать величины инкремента неустойчивости
осесимметричных мод, что существенно скажется на закономерностях дробления стуи на капли.
Приложение. Вычислим давление электрического поля на
поверхность заряженной диэлектрической струи вязкой
несжимаемой жидкости Pq ( , z, t ) , полагая, что потенциалы
электрического поля внутри  in и вне капли  ex являются
решением краевой задачи:
 in  4
r  1  :
r  0:

,

 ex  0 ,
 in  ex
,


n
n
  ,
in
ex
r :
 in  0 ,
 ex  0 .
Разделим потенциалы электрического поля внутри и вне
струи на две части – потенциал на невозмущенной поверхности
струи  0 и добавку к потенциалу  , вызванную возмущением
поверхности   , z, t  и имеющую тот же порядок малости.
115
in  in0   in ,
 ex   0ex   ex .
Подставляя эти разложения в краевую задачу, разобьем ее по
порядкам малости. Для этого предварительно распишем выражения для потенциалов и производных по нормали, входящие в
граничные условия на возмущенной поверхности струи, в
линейном по  приближении:

in
n
r 1
in
r 1
    
r 1
in
0
in
 in

in0
  0  
  in  ;
r

 r 1
 in0  in 
 in0  in 
 in0  2in0  in 









 .
2
n
n
r
r
r
r
r








 r 1 
 r 1 
 r 1
При этом учитывалось, что

 1    
 

,
n r r   z z
а также тот факт, что потенциал электрического поля в отсутствие возмущения поверхности струи  0 обладает осевой симметрией, поэтому
0  0

 0.

z
Разложения для  ex и  ex n производятся аналогично.
Используя полученные выражения, запишем краевую задачу
для отыскания невозмущенных потенциалов:
 in0  4
r  1:
r  0:

,  0ex  0 ,

 in0  ex
0
,
  , 

n
n
in
0
in0  0,
ex
0
,
r:
и для добавок первого порядка малости:
 in  0,
116
 ex  0 ,
 0ex  0,
r  1:
 in 
 in0
 0ex
   ex 
,
r
r
0in  0,
r  0:
  in  2 in0   ex  2 0ex
 
,


2
2
r
r
r
r







,
r:
0ex  0,
Решение нулевого порядка малости, т. е. электрическое поле
вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
определяется, выражением
 r 2
 
,

in
0
 0ex  

 2  ln r.

Решения уравнений Пуассона и Лапласа в цилиндрической
системе координат запишем в виде разложений по волнам,
бегущим вдоль оси OZ :
 
 
in
C
0 m0
 
 
ex
C
0 m0
2
m
1
m
 I m  kr   exp  im   exp  ikz   exp  st  dk ,
 K m  kr   exp  im   exp  ikz   exp  st  dk ,
(1)
где m – целые числа, k – волновое число, I m kr  и K m kr  –
модифицированные функции Бесселя первого рода и второго
рода, Cm1 и Cm2 – коэффициенты разложения, зависящие от k и m.
В виде аналогичного разложения представим и функцию
  , z , t  , описывающую возмущение равновесной поверхности
струи:
 
  , z , t   
G
0 m 0
m
 exp  im   exp  ikz   exp  st  dk ,
(2)
где D – зависящие от m и k – коэффициенты разложения.
Из граничных условий на невозмущенной поверхности струи
r  1 , несложно получить связь коэффициентов Gm и C 2 :
k  I m'  k 
2 
C  Gm
 2     1
Im  k 
Km  k  
2
m
117
k  I m'  k  k  K m'  k  


;.
Im  k 
Km  k  
(3)
При получении этого соотношения мы учли линейную
независимость функций exp  im  при разных m и функций
expikz  при различных значениях волнового числа k . Эти
свойства могут быть выражены в виде следующих интегральных
соотношений:
2
 exp i  m
1
 m2   d   m ,m ,
1
2
0
2
 exp i  k
1
 k2  z  dz    k1  k 2  ,
0
где  m1 , m2 – символ Кронекера,  k1  k2  – дельта-функция Дирака.
Чтобы рассчитать давление электрического поля на свободную поверхность струи [169]
2
2
  1   ex 
   ex 
in
Pq     
,

8  n  8   
с сохранением слагаемых первого порядка малости, запишем
Pq ( z , , t )
r 1
2
2

  1   ex    1   ex  
in
   

 
 




8

8


n





 r 1
ex
ex
ex 2
 ex 
   1   0





1


in
in
0



    0    

 



n
n
8

8










2



 r 1
ex 2

   1  0ex  ex




1
in
in
0
    0    

 




r
r
r
8

4




  1   0ex    1  0ex  ex 



 

8   
4   
 r 1
2
2
 in
in0
  1    0ex 
  1  0ex  ex
in 
    0  
  
 

r
4 r r

 r 1 8 r  r 
118
.
r 1
В полученном выражении для давления Pq ( z , , t ) слагаемыми

  ex
  0 
  
2
 0ex  ex
и 
в линейном по  приближении можно
 
пренебречь.
Выпишем отдельно давление электрического поля на невозмущенную поверхность диэлектрической заряженной струи Pq0 и
добавку к давлению электрического поля pq , вызванную малым
возмущением равновесной поверхности струи и имеющую
первый порядок малости по этому возмущению.
2

  1  0ex  
in
P ( z , , t )    0 
  ,


8  r  

 r1
0
q
   1    ex 2
 ex  0ex 
  1  0ex  ex 
0
 .
pq     
 
 



r
r
r
r
r
8

4








 r1 

 r1
В итоге, подставляя сюда найденные выражения для потенциалов  0ex , получим
pq 
2 2
r
 ex   1  ex 
  1 
1



,

 
2 
2


r
r
 2 r 


где функции   , z, t  и  ex  r, t  определяются соотношениями (1)(2) с учетом (3).
2.3.3. Линейные неосесимметричные осцилляции
заряженной цилиндрической струи вязкой жидкости
с конечной электропроводностью
Изучение осцилляций и устойчивости (капиллярного распада) заряженных струй жидкости представляет интерес в связи с
многочисленными приложениями в различных направлениях
техники и химической технологии, и потому эта тема неоднократно становилась предметом исследований, как экспериментальных, так и теоретических. Тем не менее некоторые аспекты
проблемы пока остаются неясными. Сказанное относится, в част119
ности, к изучению влияния конечности скорости выравнивания
электрического потенциала струи (эффекта релаксации заряда) на
закономерности реализации ее осцилляций и распада на капли.
Попытки исследования влияния эффекта релаксации электрического заряда на струе на ее устойчивость предпринимались неоднократно (см., например, [88, 101–105, 112]). Однако во всех
перечисленных работах уравнение баланса заряда на поверхности
струи выписывалось неверно на основе механического переноса
уравнения баланса вещества, выписанного для плоской поверхности (см., например, [113–114]), на цилиндрическую поверхность
невозмущенной струи. В итоге пропадало слагаемое, связанное
со средней кривизной поверхности струи, на что и указано в [96].
Сказанное делает актуальным проведение корректного аналитического учета влияния эффекта релаксации на закономерности
осцилляций заряженной струи вязкой жидкости. Из соображений
общности весь анализ проводится для неосесимметричных мод.
1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную цилиндрическую струю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости с массовой плотностью , кинематической вязкостью v и коэффициентом поверхностного натяжения γ , движущуюся вдоль оси

симметрии с постоянной скоростью U 0 . Будем считать, что жидкость имеет удельную проводимость σ и диэлектрическую проницаемость ε d , а электрический заряд по цилиндрической, в
отсутствие возмущений, поверхности струи распределен с постоянной поверхностной плотностью  0 . Характеристики окружающей среды: σ = 0 , ε d = 1 . Поскольку мы рассматриваем бесконечную струю, то для упрощения задачи перейдем в
инерциальную систему координат, движущуюся вместе со струей
с такой же скоростью U 0 . Очевидно, что в такой системе отсчета
 
поле скоростей течения жидкости в струе U (r , t ) полностью
определяется возможными (имеющими, например, тепловую
природу) капиллярными осцилляциями ее поверхности и при
обезразмеривании на R,  ,  является величиной того же порядка
малости, что и амплитуда тепловых осцилляций, которая принимается весьма малой по сравнению с радиусом R . Примем, что
при осцилляциях струи ее электрический потенциал выравни120
вается вдоль ее свободной поверхности за счет трех механизмов:
1) нормального к свободной поверхности тока проводимости,
приводящего к выравниванию потенциала за характерное время
максвелловской релаксации    d  ; 2) переноса носителей заряда (ионов обоих знаков) касательными к поверхности течениями
жидкости, связанными с волновым движением в струе, выравнивающего потенциал поверхности за время поряка периода волны;
3) направленного переноса ионов вдоль свободной поверхности
струи касательной к поверхности
компонентой напряженности
 
электрического поля ( E  ) со скоростью движения ионов по

  

поверхности V , определяемой соотношением V  b( E  ) , где b –
подвижность инов, принимаемая для нижеследующих оценок

одинаковой для ионов разных знаков,  – орт касательной к
поверхности струи. В итоге поверхностная плотность заряда c

оказывается функцией координат и времени c = c(r , t ) .
Будем исследовать закономерности реализации капиллярных
осцилляций струи и условия реализации неустойчивости ее
поверхности (в смысле дробления струи на отдельные капли).
Все расчеты проведем в цилиндрической системе координат

r ,  , z , орт ez которой совпадает по направлению с осью
симметрии струи. Тогда уравнение цилиндрической поверхности
струи, возмущенной тепловым капиллярным волновым
движением, запишется в виде
r  , z , t   R    , z , t  ;
x R,
где   , z, t  – возмущение поверхности струи, вызванное ее
осцилляциями.
Математическая формулировка задачи состоит из уравнений
гидродинамики и электростатики (полагаем, что скорость
движения жидкости много меньше релятивистской):


dU
1
  P   U ;

dt

divU = 0;
условий ограниченности:
121
DFex = 0;
DFin = 0;
r  0:

U < ¥,
r  ¥:
F ex  0;
F in < ¥;
гидродинамических граничных условий на свободной поверхности струи: кинематического
r = R+x:
¶x  é
- + U  ê r - ( R + x (f, z, t ))ùú = 0
ë
û
¶t
и динамического для касательных
æ ¶U f 1 ¶U r 1 ÷ö
ex
- Pintf - n çç
+
- U f ÷ = 0;
r = R + x : Ptf
çè ¶r
r ¶f r ø÷÷
æ ¶U z ¶U r ÷ö
in
ç
Pex
-P
n
+
÷ = 0;
ççè
tz
tz
¶r
¶z ÷ø
и нормальной
r = R+x:
U r

 P (r , t )  P0  2 
 Pγ  Pq  0;
r
компонент тензора напряжений.
Чтобы учесть эффект релаксации электрического заряда,
граничные условия необходимо дополнить уравнением баланса
электрического заряда на поверхности струи:



U
¶c
in
+ s ⋅ n F +  S  cU + cbEt ⋅ t + c r = 0;
r = R+x:
¶t
r
(
divS º
)
1 ¶ 
¶ 
ef + ez ;
r ¶f
¶z
условием непрерывности на свободной поверхности струи
нормальной компоненты вектора электрического смещения:

r = R+x:
4pc = n (ε dF in - F ex );
122
и условием равенства на поверхности струи потенциалов
электрического поля внутри и вне струи:
r = R+x:
Fin = Fex .
Вкладом в уравнение баланса заряда феномена диффузии заряда по поверхности струи, пропорционального градиенту поверхностной плотности заряда, пренебрегаем в силу его малости.

В выписанной математической формулировке задачи U r (r , t ) ,


U f ( r , t ) , U z (r , t ) – проекции поля скоростей на орты цилиндри 
ческой системы координат; n и  – орты нормали и касательной

к свободной поверхности струи (см. Приложение); P (r , t ) – гид
родинамическое давление; Pq (r , t ) – давление электрического

поля, Pγ ( r , t ) – давление сил поверхностного натяжения; P0 – по
стоянное давление внешней среды; F( r , t ) – электростатический


ε
потенциал; P t = d En ⋅ Et ; En (r , t ) и Et (r , t ) – нормальная и
4p
касательная компоненты вектора напряженности электрического
поля; верхние индексы “ex” и “in” характеризуют внешнее поле и
поле внутри струи соответственно.
Решение сформулированной задачи проведем в безразмерных
переменных, в которых R      1 , сохраняя за всеми
величинами их прежние обозначения.
2. Формулировка задачи первого порядка малости. Решение сформулированной задачи будем искать в линейном приближении по отношению амплитуды осцилляций к радиусу невозмущенной струи.
В нулевом приближении получим неподвижный (в движущейся системе координат) однородно поверхностно заряженный
цилиндрический столб жидкости; распределение электрического
поля в окрестности бесконечно протяженного однородно
поверхностно заряженного цилиндра, а также равновесный
перепад давлений на цилиндрической поверхности.
В линейном приближении по x математическая формулировка задачи примет вид
123
r (f, z , t ) = 1 + x (f, z , t );


¶U
= -p + nDU ;
¶t

divU = 0;
Dj ex = 0;

U < ¥,
r  0:
Djin = 0;
j in < ¥;
r  ¥:
j ex  0;
r = 1:
-
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
¶x
+ U r = 0;
¶t
(7)
é
æ ¶U
ö
¶x
¶j ex ¶x ¶j ex úù
¶U r
ê
+
- n çç f +
- U f ÷÷÷ = 0; (8)
4pc (1 - x ) - c0 (1 - x )
ê
÷ø
çè ¶r
¶f
¶f
¶f ¶r úû
¶f
ë
2
0
é
æ ¶U
¶x
¶j ex ¶x ¶j ex ùú
¶U r ö÷
ê
-4pc (1- x ) + c0 (1- x )
+
- n çç z +
÷÷ = 0;
çè ¶r
ê
ú
ø
z
z
r
z
¶z
¶
¶
¶
¶
ë
û
2
0
 p  2
U r
 pγ  pq  0;
r
æ ¶U
æ ¶E
¶c*
¶j in
¶U z ÷ö
¶E ö
+s
+ c0 çç f ÷÷ - c0 b ⋅ çç t - t ÷÷÷ + c0U r = 0;
çè ¶f
çè ¶f
¶t
¶r
¶z ÷ø
¶z ø
4pc* = x +
¶
ε dj in - j ex );
(
¶r
j ex - j in - 4pc0 x = 0.
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
В уравнениях (1)–(13) j ex , jin , c* , p , pq , pγ – вызванные капиллярными осцилляциями поверхности струи добавки первого
по x порядка малости к внешнему и внутреннему электрическим
потенциалам, поверхностной плотности электрического заряда,
124
гидродинамическому давлению, давлению электрических сил и
сил поверхностного натяжения соответственно.
Раскладывая по x аналитические выражения для лапласовского давления и давления электрического поля на поверхность
струи (см. Приложение), для входящих в (10) величин pq и pγ
несложно получить в первом порядке малости по x следующие
выражения:
æ
¶ 2 x ¶ 2 x ö÷
ç
pγ = -çx + 2 + 2 ÷÷;
çè
¶f
¶z ÷ø
(14)
 ex
pq  4    0
.
r
(15)
2
0
3. Описание процедуры скаляризации задачи. Задачу (1)–
(13) будем решать методом операторной скаляризации [167],

раскладывая поле скоростей U ( r , t ) на сумму трех ортогональных
векторных полей при помощи векторных дифференциальных


операторов N j :
3 

 

U ( r , t ) = å N j y j ( r , t );
( j = 1, 2, 3);
(16)
j=1
удовлетворяющих условиям ортогональности:
+




N j ⋅ N i = 0;
( i  j ; i, j = 1, 2, 3 )
(17)
и условиям коммутативности с оператором Лапласа:




D N i = N iD.
125
(18)

В выражениях (16)–(17) yi ( r , t ) – неизвестные скалярные
+


функции, N j – операторы, эрмитовосопряженные к операторам


N j.
Поскольку равновесная форма струи обладает осевой сим

метрией, то операторы N j удобно выбрать в виде


N 1 º ;



N 3 º ´(´ nz ).



N 2 º ´ nz ;
 
Поле скоростей U ( r , t ) в цилиндрической системе координат
будет иметь следующие компоненты, выраженные через скаляр
ные функции yi ( r , t ) :
¶y1 1 ¶y2 ¶ 2 y3
;
Ur =
+
+
r ¶f ¶z ¶ r
¶r
1 ¶y1 ¶y2 1 ¶ 2 y3
Uf =
;
+
r ¶f
r ¶z ¶f
¶r
¶y1 éê 1 ¶ æç ¶y3 ö÷ 1 ¶ 2y3 ùú
Uz =
.
÷+
çr
¶z êë r ¶r èç ¶r ø÷ r 2 ¶f 2 úû
(19)
Подставляя разложение (16) в уравнения (2)–(3) и используя
свойства операторов (17)–(18), получим систему скалярных
уравнений:
Dy1 = 0;
Dyi -
1 ¶yi
= 0;
n ¶t
p =-
¶y1
.
¶t
( i = 2; 3 )
(20)
(21)
Используя (14), (15), (19), (21), граничные условия:
кинематическое (7), динамические для касательных компонент
тензора напряжений (8)–(9), нормальной компоненты тензора
напряжений (10) и уравнения баланса заряда на свободной
поверхности струи (11)–(12) – преобразуем в граничные условия
для неизвестных функций yi , j ex , j in и x :
126
¶x çæ ¶y1 ¶y2 ¶ 2y3 ö÷
÷ = 0;
-ç
+
+
¶t çè ¶r
¶f ¶z¶r ÷÷ø
r = 1:
é
ìï ¶ æ ¶y
ö
¶x
¶jex ¶x ¶j ex ùú
ê
4pc (1- x ) - c0 (1- x )
+
- n ⋅ ïí2 çç 1 - y1 ÷÷÷ ç
ê
ïï
ø
¶f
¶f
¶f ¶r úû
î ¶f è ¶r
ë
2
0
æ ¶ 2 y2 ¶y2 ¶ 2 y2 ÷ö
ü
ö÷ï
¶ 2 æç ¶y3
ï
ç
÷
y
2
-ç 2 +
ý = 0;
ç
3÷
çè ¶r
ï
ø÷ï
¶r
¶z¶f èç ¶r
¶f 2 ø÷÷
þ
é
ìïï ¶ 2 æ
¶y ö
¶x
¶j ex ¶x ¶j ex ùú
ê
-4pc (1- x ) + c0 (1- x )
+
- n ⋅ í 2 çç2y3 - 3 ÷÷÷ +
ê
ïïî ¶f èç
¶z
¶z
¶z ¶r úû
¶r ø
ë
2
0
ü
ï
¶ 2 y3 ö÷ï
¶ æç ¶y1 ¶y2 ¶ 2 y3 ö÷ ¶ çæ
÷÷ + çy3 - r
÷
+ ç2
+
+
= 0;
2 ÷ý
÷
÷
ç
ç
ï
¶z è ¶r
¶f ¶z¶r ø ¶r è
¶r øï
þ
ì ¶y 1 ¶y
¶ 2 y3 ïüï
¶y1
¶ï
1
2
ï
+ 2n í
+
+
ý+
ï
r ¶f ¶z¶r ïþï
¶t
¶r îï ¶r
¶j ex æç
¶ 2 x ¶ 2 x ö÷
+4pc x + c0
- çx + 2 + 2 ÷÷ = 0;
çè
¶r
¶f
¶z ÷ø
2
0
æ ¶y ¶y
ù
¶ 2 y3 ÷ö 1 ¶ é
¶jin
¶
1
2
ç
÷÷ +
êx + (ε djin - j ex )ú +
+ c0 ç
+
+
s
úû
¶r
¶f ¶z¶r ø÷ 4p ¶t êë
¶r
èç ¶r
éæ ¶ 2
¶ 3y3 úù
¶ 2 ÷ö
¶ çæ ¶ 2 y3 ¶y2 ÷ö
in
ç
ê
÷÷ + 2 2 ú = 0.
+c0 êç 2 - 2 ÷÷(y1 - bj ) + çr
ç
çè ¶f
÷
¶
¶
¶
¶
r
r
z
f
¶
¶f ¶z úû
z
ø
è
ø÷
êë
(22)
Поскольку функции j ex , jin , x и yi описывают малые
отклонения от равновесного состояния, то для того чтобы
проследить их эволюцию во времени, примем, что временная
зависимость всех малых величин является экспоненциальной:
j ex , j in , x , yi ~ exp ( st ) ,
127
где s – комплексная частота.
Учитывая это, решения уравнений (20) и (4) в цилиндрической системе координат, удовлетворяющие условиям ограниченности (5), (6), будем искать в виде разложений по волнам,
бегущим вдоль оси OZ:
¥ ¥
y1 = ò
åC I
1 m
(kr ) exp (imf ) exp (ikz ) exp ( st ) dk ;
0 m= 0
¥ ¥
yi = ò
åC I
i m
(lr ) exp (imf) exp (ikz ) exp ( st ); (i = 2, 3) (23)
0 m=0
¥ ¥
j =ò
in
åB I
1 m
(kr ) exp (imf ) exp (ikz ) exp ( st ) dk ;
0 m= 0
¥ ¥
j =ò
ex
åB K
2
m
(kr ) exp (imf) exp (ikz ) exp ( st ) dk .
(24)
0 m= 0
В виде аналогичного разложения представим и функцию
x (f, z , t )
¥ ¥
x (f, z , t ) = ò
å D exp(imf)exp(ikz )exp(st )dk.
(25)
0 m=0
В (23)–(25) l 2  k 2  s /  , k и m – волновое и азимутальное
числа, I m ( x ) , K m ( x ) – модифицированные функции Бесселя
первого и второго рода, C i (i = 1, 2, 3 ) , B j ( j = 1, 2) , D – коэффициенты разложений, зависящие от m и k .
Используя условие равенства потенциалов внешнего и внутреннего электрических полей на поверхности струи (13), решения
(24)–(25) и учитывая ортонормированность функций expim  и
expikz 
128
2p
ò exp [i (m - m )f ] d f = d
1
2
m1 , m2
;
0
¥
ò exp[i(k - k ) z ] dz = d (k - k
1
2
1
2
);
(26)
-¥
где  m1 ,m2 – дельта-символ Кронекера,  k1  k2  – дельта-функция
Дирака, несложно получить связь коэффициентов B1 , B2 и D :
B1 = [ K m ( k ) B2 - 4pc0 D ] I m ( k ).
(27)
Подставляя решения (23), (24) с учетом (27) и разложение
(25) в граничные условия (22) и используя соотношения (26),
получим систему однородных уравнений относительно
неизвестных коэффициентов D , B2 и Ci (i = 1, 2, 3) :
-sD + k ⋅ I m¢ (k ) ⋅ C1 + i ⋅ m ⋅ I m (l ) ⋅ C2 + i ⋅ k ⋅ l ⋅ I m¢ (l ) ⋅ C3 = 0;
im 4pc02 D - imc0 K m ( k ) B2 - n 2imI m ( k ) (Gm ( k ) - 1)C1 +
+n I m (l ) (2 m 2 + l 2 - 2Gm (l )) C 2 + n 2 mkI m (l ) (Gm (l ) - 1) C3 = 0;
ik 4pc02 D - ik c0 K m ( k ) B2 + n 2ikI m ( k )Gm ( k )C1 -n mkI m (l )C 2 - n I m (l )Gm (l ) (k 2 + l 2 ) C3 = 0;
b D + c0 kKm¢ (k ) B2 + I m (k ) éê s + 2n (k 2 + m2 - Gm (l ))ùú C1 +
ë
û
+n 2imI m (l ) (Gm (l ) -1) C2 + n 2ikI m (l ) (l 2 + m 2 - Gm (l )) C3 = 0;
-1
c0 M mk
D - K m ( k )L mk B2 + c0 I m ( k ) (k 2 - m 2 + 4pGm ( k ))C1 -
-c0imI m (l ) (Gm ( k ) - 4p )C2 + c0ikI m (l ) (l 2 - m 2 + 4pGm (l ))C3 = 0;
(28)
129
-1
M mk = M mk ( s, s ,ε d , c0 , b) º c0 [ sg + 4pc0 d ] ;
g º 1 - 4pc0 ε d Gm (k );
d º c0b (k 2 - m 2 ) - 4psGm ( k );
f º H m (k ) - ε d Gm ( k );
b º (k 2 + m 2 - 1 + 4pc02 );
Lmk = Lmk ( s, s ,ε d , c0 , b) º sf + d ;
Gm ( x) º xI m¢ ( x) I m ( x);
H m ( x) º xK m¢ ( x) K m ( x).
Штрихами обозначены производные функций Бесселя по их
аргументу.
Для дальнейшего анализа решения удобнее будет рассматривать систему уравнений относительно коэффициентов B2 и Ci
(i = 1, 2, 3) , выразив коэффициент D из последнего уравнения
(28):
D = c0‐1 K m ( k )L mk M mk B2 - I m ( k ) (k 2 - m 2 + 4pGm ( k ) )M mk C1 +
+iI m (l )Mmk éê m (Gm (k ) - 4p) C2 - k (l 2 - m2 + 4pGm (l )) C3 ùú = 0. (29)
ë
û
Исключая из (28) с помощью (29) коэффициент D , получим
систему четырех однородных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных коэффициентов B2 и Ci (i = 1, 2, 3) .
Как известно, система однородных линейных уравнений имеет
нетривиальное решение только в случае, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. В
рассматриваемой ситуации получится определитель, элементы
которого aij определяются соотношениями:
a11 = -sLmk M mk ;
a12 = Gm ( k ) + sM mk (k 2 - m 2 + 4pGm ( k ));
a13 = im éë1 + sMmk (4p - Gm (l ))ùû ;
a14 = ik éêGm (l ) + sMmk (l 2 - m2 + 4pGm (l ))ùú ;
ë
û
130
a21 = -imw ((4p )-1 - L mk M mk );
a22 = -im éê 2n (Gm (k ) -1) + wM mk (k 2 - m2 + 4pGm (k ))ùú ;
ë
û
a23 = n (l 2 + 2 m 2 - 2Gm (l )) + wm 2 M mk (4p - Gm (l ));
a24 = mk éê 2n (Gm (l ) -1) + wMmk (l 2 - m2 + 4pGm (l ))ùú ;
ë
û
a31 = -ikw ((4p )-1 - L mk M mk );
a33 = -mk éën - wM mk (4p - Gm (l ))ùû ;
a32 = ik éê 2n Gm (k ) - wMmk (k 2 - m2 + 4pGm (k ))ùú ;
ë
û
a34 = -n (k 2 + l 2 ) Gm (l ) + wk 2 M mk (l 2 - m 2 + 4pGm (l ));
a41 = (4p )-1 wH m ( k ) + bL mk M mk ;
a42 = s + 2n (k 2 + m 2 - Gm ( k )) - bM mk (k 2 - m 2 + 4pGm ( k ));
a43 = im éë 2n (Gm (l ) -1) - bM mk (4p - Gm (l ))ùû ;
a44 = ik éê 2n (l 2 + m2 - Gm (l )) - b (l 2 - m2 + 4pGm (l )) Mmk ùú ; (30)
ë
û
где параметр w выражается через поверхностную плотность
заряда: w º 4pc02 .
4. Вывод дисперсионного уравнения. Приравнивая нулю
определитель четвертого порядка с элементами (30), получим
дисперсионное уравнение, связывающее частоты s неосесимметричных колебаний поверхности струи с волновым числом k :
det aij = 0.
(31)
Несложно осуществить предельный переход к случаю
идеально проводящей жидкости (s  ¥) , для которой
отсутствует явление релаксации заряда. При этом
131
M mk  0,
Lmk M mk  1 4p ,
при s  ¥,
и выражения (30) полностью совпадут с выведенными ранее, в
разделе 2.3.1, а дисперсионное уравнение примет вид, полученный в 2.3.1.
В общем случае дисперсионное уравнение (31) имеет громоздкий вид и весьма сложно (поскольку l зависит от s ) и не
может быть решено аналитически; его анализ доступен только
численными методами. Поэтому ограничимся рассмотрением
предельного случая маловязкой жидкости.
Для струи маловязкой жидкости, когда выполняется условие
l  k (при этом Gm (l ) » l ), дисперсионное уравнение (31)
приводится к более простому виду – уравнению третьей степени
относительно комплексной частоты s :
a3 s 3 + a2 s 2 + a1s + a0 = 0;
a3 = 4p f ;
(32)
a2 = 4p d + 2na3 (k 2 + m 2 - Gm ( k ) );
a1 = 2 p wgGm ( k ) H m ( k ) + a3b Gm ( k ) + wH m ( k ) (k 2 - m 2 + 4pGm ( k )) +
+8pn d (k 2 + m 2 - Gm ( k ));
a0 = 4p dGm ( k ) [ wH m ( k ) + b ].
Осуществляя предельный переход s  ¥, ε d  ¥ , предварительно поделив все коэффициенты на a3 :
s  ¥, ε d  ¥ :
a2 / a3  2n (k 2 + m 2 - Gm ( k ));
a1 / a3  Gm (k ) (b + wH m ( k ));
a0 / a3  0;
можно получить выражение для дисперсионного уравнения
идеально проводящей маловязкой жидкости, совпадающее с
полученным ранее:
s 2 + s ⋅ 2n (k 2 + m 2 - Gm ( k )) = -Gm ( k ) (b + wH m ( k )).
132
Приложение
1. Касательные и нормальный орты к возмущенной
свободной поверхности струи:


1 ¶x 
er ,
tf = ef +
r ¶f
 ¶x 

t z = -ez - er ,
¶z
  1 ¶x  ¶x 
n = er ef - ez .
r ¶f
¶z
2. Вывод выражения для давления электрического поля
на поверхность струи
Вычислим давление электрического поля на заряженную поверхность цилиндрической струи вязкой несжимаемой жидкости
с конечной удельной проводимостью σ и диэлектрической проницаемостью ε d , помещенную в окружающую среду с характеристиками σ = 0 , ε d = 1. Будем считать, что электрический заряд
распределен по цилиндрической, в отсутствие возмущений, поверхности струи с постоянной поверхностной плотностью æ0 .
Учтем, что в процессе осцилляций струи электрический заряд
перераспределяется по свободной поверхности жидкости с
характерным временем, сравнимым с периодом колебаний, так
что поверхностная плотность заряда æ оказывается функцией

времени и координат æ = æ ( r , t ) .
Давление электрического поля на поверхность заряженной
струи определяется известным выражением
1 é ex 2
( En ) - ε d ( Enin )2 + (ε d -1)( Etex )2 ùûú ;
ê
ë
8p


Enex = -( n F ex ); Enin = -( n Fin );
Pq =


( Etex ) 2 = (tf F ex ) 2 + (t z F ex ) 2 ,
где потенциал электрического поля внутри струи F in и внешний
потенциал F ex являются решением краевой задачи
DFin = 0;
DFex = 0;
133
r  0:
r  ¥:
F in < ¥;
F ex  0;
Fin = Fex .
r = R+x:
Представим потенциалы F in и F ex в виде разложения
Fin = Fin0 + j in ,
F ex = F 0ex + j ex ,
где F in0 , F ex
0 – потенциалы электрического поля вблизи невозмущенной поверхности струи, jin , j ex – добавки к соответствующим потенциалам, вызванные возмущением поверхности
x ( z , f, t ), имеющие первый порядок малости по x .
Разделяя сформулированную задачу по порядкам малости,
получим в нулевом приближении по x
DFin0 = 0;
r  0:
DF ex
0 = 0;
r  ¥:
F in0 < ¥;
F ex
0  0;
Fin0 = F 0ex ,
r = 1:
а в первом порядке
Djin = 0;
r  0:
r = 1:
j in < ¥;
Dj ex = 0;
r  ¥:
j ex  0;
¶Fin0
¶F0ex
ex
j +
x =j +
x.
¶r
¶r
in
В нулевом порядке малости напряженность электрического
поля вблизи невозмущенной цилиндрической поверхности струи
имеет вид



E0in = -Fin0 = 0,
E0ex = -F0ex = 4pc0 r r 2 .
134
Выражения для потенциалов j in и j ex в цилиндрической системе координат, удовлетворяющие соответствующим условиям
ограниченности, и выражение для искажения цилиндрической
формы струи  ( , z , t ) запишем в виде разложений по волнам,
бегущим вдоль оси OZ (вдоль оси симметрии струи):
¥ ¥
j =ò
in
å Bm1 I m (kr)exp(imf)exp(ikz)exp( st ) dk;
0 m=0
¥ ¥
j =ò
ex
å Bm2 Km (kr)exp(imf)exp(ikz)exp( st ) dk;
0 m=0
¥ ¥
x ( z , f, t ) = ò
å Dm exp(imf)exp(ikz )exp(st )dk ,
0 m=0
где k и m – волновое и азимутальное числа, I m ( x ) , K m ( x ) –
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода,
Bmj ( j = 1, 2) и Dm – коэффициенты разложений, зависящие
от m и k.
На поверхности струи для функций j in и j ex имеем
r = 1:
j ex - j in - 4pc0 x = 0.
Отсюда легко получить связь коэффициентов B1 , B2 и D :
B1 = [ K m ( k ) B2 - 4pc0 D ] I m ( k ).
При выводе этого соотношения была учтена линейная
независимость функций expim  при разных m и функций
expikz  при различных значениях волнового числа k .
Искажение равновесной цилиндрической поверхности струи
волновым движением x ( z , f, t ) вызывает изменение давления Pq .
Поскольку возмущение x мало, то Pq может быть разложено в
ряд по x . Учитывая, что величины ( Enin ) 2 и ( Etex ) 2 имеют второй
135
порядок малости, выражение для давления Pq в линейном
приближении может быть представлено в виде
Pq
»
r =1+x
2
1
F 0ex + j ex )
(
8p
»
»
r =1+x
1 æç
¶
ex 2
ex
ex
ex
ex ö
÷ .
)
2
2
x
j
(
F
+
(
F
)

(
F
)
+
(
)

(
F
0
0
0
0 )÷
ççè
÷ø
8p
¶r
r =1
Используя выражение для напряженности электрического
поля у поверхности невозмущенной цилиндрической струи для
линейной по x добавки к давлению электрического поля,
которую обозначим pæ (x ) , получим выражение
 ex
pq  4    0
.
r
r = 1:
2
0
Подставляя вместо функций x и j ex их интегральные представления, получим окончательное выражение для давления электрического поля, связанного с возмущением формы поверхности
струи:
¥ ¥
pq (x ) = -c0 ò
å(4pc D
0
m
+ kK m¢ (k ) Bm2 ) exp (imf) exp (ikz ) exp ( st ) dk .
0 m=0
2.3.4. Об устойчивости капиллярных волн на поверхности
заряженной струи, движущейся относительно среды
Введение. В большинстве практических применений феномена электродиспергирования жидкости присутствует среда с отличной от нуля плотностью. Однако специальных исследований,
посвященных влиянию среды на капиллярный распад струй,
выполнено весьма мало, хотя, исходя из общефизической формулировки проблемы, естественно ожидать реализации на поверхности струи идеальной несжимаемой жидкости, движущейся относительно идеальной несжимаемой среды, аналога неустойчивости Кельвина – Гельмгольца, что и определит феноменологию
распада струи на капли. В отличие от капиллярной неустойчи136
вости струи, имеющей апериодический характер, когда временная зависимость амплитуд определяется выражением: ~ exp( t ) ,
где  вещественно, неустойчивость Кельвина – Гельмгольца является колебательной, т. е. соответствует экспоненциальному росту
со временем амплитуды неустойчивой волны: ~ exp( t )  cos(t ) ,
где –  частота. В указанных условиях наличие внешней для
струи среды будет приводить к ее дестабилизации, что и было
предсказано Рэлеем и Бассетом в [29–30]. В этой связи
представляется актуальным исследовать особенности реализации
капиллярной неустойчивости заряженной струи, движущейся
относительно диэлектрической среды.
1. Математическая формулировка задачи. В связи со сказанным выше, рассмотрим задачу об исследовании устойчивости
капиллярных волн на однородно заряженной с поверхностной
плотностью заряда  цилиндрической поверхности идеально
проводящей несжимаемой струи идеальной жидкости радиуса R,
с коэффициентом межфазного натяжения σ и плотностью  2 ,
движущейся со скоростью U0 e z , где e z – орт продольной координаты, в идеальной несжимаемой диэлектрической среде, имеющей плотность 1 и диэлектрическую проницаемость, равную
единице. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета,
связанной с осью симметрии струи и движущейся со струёй со
скоростью U0 , в цилиндрических координатах, орт e z которой
совпадает по направлению с U0 и с осью симметрии невозмущенной капиллярным волновым движением цилиндрической
поверхности струи. Все рассмотрение проведем в безразмерных
переменных, в которых R   2    1, а поверхность раздела сред,
возмущенная капиллярным волновым движением, описывается
соотношением
F (r, z, , t )  r  1   ( z, , t )  0,
  1,
где  ( z, , t ) – малое возмущение цилиндрической поверхности
струи,  – азимутальный угол.
Полная математическая формулировка задачи имеет вид
div u1  0;
div u 2  0;
137
  0;
 t u1   u1  u1  
1

p1;
r  0:
u 2  0;
r  :
u1   U 0 ;
dF
 0,
dt
r  :
 t u2   u2  u2  p2 ;
nu1  nu 2 ;
  0;
p2  p1  pE  p  0;
  r,, t    s (t );
где u j  u j (r, t ) – поля скоростей течения жидкости в среде ( j  1)
и в струе ( j  2 ), генерируемые волнами на поверхности раздела
сред; p j  p j (r, t ) – гидродинамические давления в среде ( j  1) и
струе ( j  2 ); pE и p – давление электрических сил и давление
сил поверхностного натяжения на границе раздела сред соответственно;   (r, t ) - потенциал электростатического поля;  s (t ) –
потенциал поверхности струи; n – орт нормали к поверхности
струи;  – безразмерная плотность среды.
В качестве дополнительных условий примем: условие
постоянства объёма струи, приходящегося на одну длину волны
 (при одноволновой деформации границы раздела сред):
 dV  ;
V  0  r  1   ( z , , t ); 0    2 ; z0  z  z0   ;
V
и условие сохранения заряда на отрезке струи длиной  :
1
ndS  2 ;

4
S

S  r  1   ( z , , t ); 0    2 ; z0  z  z0  .
2. Скаляризация задачи. В силу идеальности и несжимаемости жидкостей, которыми моделируются капля и среда воспользуемся моделью потенциального волнового движения жидкостей, в рамках которой можно ввести потенциалы полей
скоростей  1(r, t ) и  2 (r, t ) :
u1   U 0   1;
u 2   2 .
138
Потенциалы  j (r, t ) , также как и (r, t ) , при этом будут
гармоническими функциями:
 1  0;
 2  0;
удовлетворяющими условиям ограниченности:
r  0:
 2  0;
r  :
1  0 /
Введение потенциалов скоростей позволяет проинтегрировать уравнения Эйлера и получить выражения для давлений в
обеих средах:
p1    t 1 

2
 U0   1 2   C1;
p2   t 2 
1
  2 2  C2 ;
2
где C j – константы интегрирования.
3. Линеаризация задачи. Поскольку потенциалы  j (r, t )
описывают ту часть поля скоростей, которая порождается
волновыми движениями поверхности раздела сред, примем, что в
безразмерном виде они являются величинами того же порядка
малости, что и возмущение границы раздела сред:
1   2   .
Потенциал электростатического поля в окрестности струи
представим в виде суперпозиции 0 – потенциала в окрестности
цилиндрической струи, являющегося величиной нулевого
порядка малости по  . , и поправки 1 , порождаемой волновой
деформацией цилиндрической поверхности струи, которая будет
величиной того же порядка малости, что и возмущение границы
раздела сред и гидродинамические потенциалы:
1   .
Указанные обстоятельства позволяют линеаризовать систему
уравнений и граничных условий, разложив исходную векторную
139
задачу на две скалярные задачи для величин нулевого и первого
порядков малости.
Задача нулевого порядка малости описывает стационарное
состояние системы:

0
p1    U 02  C1;
2
u1   U 0 ;
r  :
1

4
 
0
z0
0
r
p2(0)  p1(0) 
d dz  2 ;
r 1
 0  0;
0
0  s  ;
r  1:
 0  0;
2 z0  
0
p2   C2 ;
1
 0 2  1  0;
8
и имеет решение
u1   U 0 ;
u 2  0;
0
p1   p0 ;
 0  4 ln r;
0
p2   p0  2 2  1.
Здесь p j0  , где  j  1;2  , и 0 – гидродинамические давления в
обеих средах и электростатический потенциал в стационарном
состоянии; p0 – константа, равная гидростатическому давлению
во внешней среде.
Задача первого порядка запишется в виде
r  0:
 1  0;
 2  0;
 2  0;
r  :
 1 


 U0 ;
r
t
z
r  1:
1  0;
 1  0;
 r  0  1  0;
1  0;
 2 

;
r
t
1   0 
1
 t 2    t 1   U0  1 
   0 1      S  0;
r
8
4
2
2 z0  
 
0
z0
 d dz  0;
2 z0  
 
0
S 
z0
 0
 20
1 




 d dz  0;

2
r
r


r


1 2
r 2  2
140

2
z 2
.
Решение этой задачи ищем в виде элементарных бегущих
волн:
  , z, t     t  exp(ikz  im );
 1(r, t )  c  t  exp(ikz  im )  K m  kr  ;
 2 (r, t )  b  t  exp(ikz  im )  I m  kr  ;
1(r, t )  a  t  exp(ikz  im )  K m  kr  ;
(1)
где I m  kr  и K m  kr  – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, порядка m; m – азимутальный параметр.
Кинематическое граничное условие и условие эквипотенциальности поверхности струи позволяют выразить неизвестные
амплитуды a  t  , b  t  и c  t  в решениях для гидродинамических и
электростатического потенциалов через амплитуду   t  волн на
границе раздела сред:
b t  
 't 
 k 
k Im
; c t  
1
4
. (2)
 '  t     t  i kU 0  ; a (t )   (t )
 k 
k Km
Km  k 
Подставляя проекты решений (1) с учетом (2) в динамическое
граничное условие, получим дифференциальное уравнение
относительно неизвестной амплитуды   t  :
 m   ''  t   2i m   '  t    m    t   0;
 m  k    hm1  g m1 
 g m  hm
g m hm
(3)
 m  k ,U 0   k U 0 hm1;
;


 m  k ,  ,U0   1  m2  k 2  w 1  hm   We  k 2hm1 ;
hm  k  
 k 
k Km
Km  k 
 m
k K m 1  k 
Km  k 
w  4 2 ;

gm  k  
;
 k 
k Im
We  U 02 .
141
Im k 
 m
k I m 1  k 
Im k 
;
Решение уравнения (3) естественно искать в периодическом
виде:
 (t )  exp(ist ),
(4)
где s – частота капиллярных волн, в общем случае комплексная.
Подставим (4) в (3) и получим дисперсионное уравнение задачи:
s2 
2 m
m
s
m
 0.
m
Несложно видеть, что при U 0  0 это дисперсионное уравнение сводится к дисперсионному уравнению для капиллярных
волн на поверхности идеальной несжимаемой электропроводной
струи, неподвижной относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды, а при   0 – к дисперсионному уравнению
для струи в вакууме.
Решения дисперсионного уравнения имеют вид
2
  

s1,2  m   m   m ;
m
m
 m 
или
s1,2 
gm
k U 0 
  gm  hm 


2
 1  m2  k 2  w 1  h  h g  We  k 2 g 
m
m m
m
 g m k U 0 

.
 
 
g
h
g
h








m
m
m
m


(5)
При изменении физических параметров системы волны на
поверхности раздела сред будут сохранять устойчивость, пока
частоты s1,2 остаются вещественными, т. е. пока подкоренное
выражение в (5) положительно. Когда подкоренное выражение
станет отрицательным, у частот s1,2 появится мнимая часть и они
образуют пару комплексно сопряженных корней: s  Re s  Im s . При
этом амплитуда волны с отрицательной мнимой частью частоты,
пропорциональная exp i  Re s  i Im s  t   exp  Im s  t   exp i Re s  t  , бу142
дет экспоненциально со временем увеличивать свою амплитуду с
инкрементом:   Im s , что приведет к распаду струи на отдельные капли. Амплитуда волны с положительной мнимой частью
частоты будет экспоненциально во времени затухать.
Для удобства качественного анализа соотношения (5) на
рис. 1 и 2 для первых трёх значений азимутального числа m
приведены графики зависимостей hm  hm ( k ) и g m  g m ( k ) соответственно. Из (5) видно, что поскольку независимо от номера азимутального числа hm  0 , а g m  0 , то для ситуации жидкой струи в
газообразной среде (   0.001 g cm3 ) при любых разумных скоростях (U 0  1000 cm / s [56]) для волн с волновыми числами, представляющими интерес в плане капиллярно-электростатического
дробления струи ( k  1 ), второе слагаемое под радикалом в (5),
как правило, отрицательно и фактически определяет величину
инкремента неустойчивости.
Приравнивая в (5) подкоренное выражение нулю, получим
критическое условие перехода от устойчивых волн к
неустойчивым:



 k 2We   1  m2  k 2  w 1  hm 
 ghmm  k 2We  g1m    gm  hm   0.
hm
2
4
k
2
4
6
Рис. 1. Зависимости от безразмерного волнового числа
коэффициента hm  k  , построенные при различных значениях
азимутального числа: m  0; 1; 2 (сверху вниз)
143
(6)
gm
4
2
2
4
k
Рис. 2. Зависимости от безразмерного волнового числа
коэффициента gm  k  , построенные при различных значениях
азимутального числа: m  0; 1; 2 (снизу вверх)
Из (6) легко найти критическое для начала реализации
неустойчивости значение параметра We , пропорционального
квадрату скорости:


1  m2  k 2  w 1  hm   g m  hm

We  
.
k2
(7)
Здесь следует отметить, что безразмерный параметр We ,
будучи выражен через размерные переменные, имеет вид
We  1RU 02  , и, согласно экспериментальным данным [56], в


газообразной среде его величина ограничена сверху значением
We  1 .
Из (7) несложно видеть, что с увеличением  – поверхностной плотности электрического заряда на границе раздела
сред (параметра w), критическая для начала распада струи
величина скорости стационарного движения U 0 (параметра We )
снижается и при
1  m
w
2
 k2
 hm  1
144

(8)
обращается в нуль. При значении параметра w , определяемом
соотношением (8), реализуется электростатически-капиллярная
неустойчивость волны с азимутальным числом m [47].
Для отыскания волнового числа km наиболее неустойчивой
волны (волны, обладающей максимальным инкрементом  и
определяющей феноменологию разбиения струи на капли)
следует приравнять нулю    k , производную по волновому
числу k от инкремента неустойчивости




2 
1  m2  k 2  w 1  hm  hm g m  We  k 2 g m  
  g mk U 0 


   Im  
 



g
h
g
h






m
m
m
m






(9)
и разрешить получившееся уравнение (k )  0 относительно k. В
силу громоздкости уравнения, содержащего функции Бесселя
первого и второго родов и их производные, такая задача аналитически не разрешима, но её можно решить графически.
γ
0.75
0.5
0.25
0.5
1
1.5
k
Рис. 3а. Зависимости от безразмерного волнового числа
величины инкремента неустойчивости осесимметричных волн ( m  0 ),
построенные при   0.001 для различных значений безразмерного
параметра We : снизу вверх: We  0; 0.1; 0.5;1;1.5 ; при w  0
145
γ
γ
2
1
1
0.5
1
2
Рис. 3b. То же, что на рис. 3а
при w  1
1
2
3
Рис. 3с. То же, что на рис. 3а
при w  2
Из рис. 3a, на котором приведены графики зависимости величины инкремента осесимметричных волн ( m  0 ) на границе раздела сред от волнового числа k при нескольких фиксированных
значениях параметров We и w  0 , видно, что с увеличением
параметра We ширина области волновых чисел, соответствующих
неустойчивым волнам, расширяется, а величина волнового числа,
соответствующего волне с максимальным инкрементом, смещается в область больших значений волновых чисел. В самом деле,
для струи в вакууме (при We  0 ) капиллярную неустойчивость
претерпевают волны с волновыми числами k 2  1. При наличии
материальной внешней среды (We  0 ) в отсутствие электрического заряда ширина диапазона волновых чисел неустойчивых
осесимметричных волн расширяется до k 2  h0 /  h0  We  . Видно,
что чем больше We , тем шире зона неустойчивости. При наличии
на капле заряда при прочих равных условиях правая граница
зоны неустойчивости еще больше смещается в область больших
волновых чисел, так же как и волновое число волны с максимальным инкрементом (см. рис. 3b), а величины инкрементов
увеличиваются. При больших зарядах на струе, левая граница
зоны неустойчивости отрывается от начала координат и смещается вправо, в область больших значений волновых чисел (см.
рис. 3с). Такое поведение зон неустойчивости обязано сильному
влиянию электрического заряда (см. [47,170]), наиболее ярко
проявляющемуся в отсутствие относительного движения струи и
146
среды [170]. Согласно [170] зона капиллярной неустойчивости
струи в отсутствие электрического заряда определяется соотношением: k 2  1. По мере увеличения заряда зона капиллярной
неустойчивости целиком смещается в область больших значений
волновых чисел и расширяется согласно условию
k 2  1  w 1  h0  .
(10)
В (10) множитель 1  h0  положителен при малых значениях
волновых чисел (при k  0.595 , см. рис. 1) и отрицателен при
больших значениях (при k  0.595 ) [47]. Из (10) видно, что при
достаточно больших значениях заряда (параметра w ) и при
малых волновых числах (при k  0.595 ) правая часть (10), там где
w 1  h0   1 , становится отрицательной, что и будет соответствовать исчезновению неустойчивых решений, или, что то же самое,
смещению зоны неустойчивости в область больших величин
волновых чисел.
Несколько иная картина влияния относительного движения
капли и среды складывается для изгибной моды ( m  1 ). На
рис. 4a приведены зависимости инкрементов неустойчивости от
волновых чисел неосесимметричных волн с m  1 при нулевом
заряде на струе ( w  0 ). Видно, что с ростом скорости (с ростом
параметра We ) ширина зоны неустойчивости расширяется,
величины инкрементов увеличиваются, а положение волнового
числа, соответствующего волне с максимальным инкрементом,
смещается в область больших значений волновых чисел.
Интересно, что неустойчивость изгибной моды при w  0 имеет
пороговый по We (по скорости) характер и реализуется при We  1 .
В самом деле, для изгибной моды из (9) при w  0 несложно
получить критическое условие реализации неустойчивости в виде
We  h1 . А поскольку согласно рис. 1 при m  1 минимальное
значение h1 есть единица, то мы получаем аналитическое
подтверждение полученных расчетных данных.
147
γ
0.75
0.5
0.25
0.5
1
1.5
k
Рис. 4а. Зависимости от безразмерного волнового числа величины
инкремента неустойчивости осенесимметричных волн с m  1 (изгибных
волн), построенные при   0.001 для различных значений безразмерного
параметра We : снизу вверх: We  1.05;1.25;1.5; 2; 2.5 при w  0
γ
γ
0.75
1
0.5
0.5
0.25
0.5
1
1.5
Рис. 4b. То же, что на рис. 4а:
снизу вверх: We  0.001; 0.1; 0.5;1;1.5
при w  1
1
2
Рис. 4с. То же, что на рис. 4а:
снизу вверх: We  0.001; 0.1; 0.5;1;1.5
при w  2
При увеличении электрического заряда, приходящегося на
единицу длины струи (или на единицу площади поверхности
струи [47]), изгибная неустойчивость струи реализуется уже при
весьма маленьких значениях относительной скорости струи и
среды (параметра We ). Ширина области неустойчивости и
величина инкремента, так же как и волновое число волны,
обладающей максимальным инкрементом, увеличиваются с
ростом скорости (параметра We ), как это видно из рис. 4b–4c.
gm  k   m 
k  I m 1  k 
Im k 
hm  k   m 
;
148
k  K m 1  k 
Km k 
.
2.4. Об устойчивости объёмно заряженной струи диэлектрической жидкости, ускоренно движущейся в коллинеарном струе электрическом поле Введение. Представляет интерес исследование влияния на
капиллярную устойчивость струи однородного внешнего электростатического поля, коллинеарного оси симметрии невозмущенной цилиндрической струи, которое приводит к стабилизации
капиллярной неустойчивости струи (к сужению диапазона длин
волн, способных претерпевать капиллярную неустойчивость и к
уменьшению инкрементов этой неустойчивости). Известно, что в
отсутствие внешнего электрического поля и заряда на цилиндрической струе радиуса R капиллярную неустойчивость способны
претерпевать волны с волновыми числами k , лежащими в диапазоне 0  R  k  1 . Наличие на струе электрического заряда приводит к смещению этого диапазона от точки k  0 в сторону больших значений k . Продольное внешнее электростатическое поле
приводит к сужению диапазона 0  R  k  1 со стороны больших
значений k к точке k  0 . Естественно задаться вопросом: нельзя
ли подобрать такие значения напряженности поля и заряда,
приходящегося на единицу длины струи, при которых разбиение
струи на капли вообще не будет иметь место? Поскольку с ростом величины заряда, приходящегося на единицу длины струи,
длина нераспавшейся ее части уменьшается, а с увеличением
напряженности внешнего электростатического поля, коллинеарного оси струи, увеличивается, то проблема сводится к исследованию возможности получения струи с бесконечно большой
длиной ее нераспавшейся части.
В многочисленных устройствах и экспериментальных установках по электродиспергированию жидкость в разрядную систему подается по капилляру. Между ним и противоэлектродом
поддерживается некоторая разность потенциалов. В итоге в
реальной ситуации на струе, вытекающей из капилляра, имеется
электрический заряд, а сама она находится в электрическом поле
между капилляром и противоэлектродом, коллинеарная оси струи
компонента которого отлична от нуля. Таким образом, форму149
лировка задачи об устойчивости заряженной струи в продольном
электрическом поле является весьма актуальной.
1. Постановка задачи и её математическая формулировка. Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую струю
несжимаемой невязкой диэлектрической жидкости с диэлектрической проницаемостью  in , помещённую в электростатическое
поле напряжённости E0 , коллинеарное её оси. В рамках идеализированной модели «вмороженного» заряда примем, что струя
равномерно по объёму заряжена с объёмной плотностью
электрического заряда  . Примем также, что окружающее струю
пространство характеризуется диэлектрической проницаемостью
 ex и пренебрежимо малой массовой плотностью.
На единицу объёма заряженной жидкости со стороны электрического поля в направлении оси струи действует сила
 0
 0
FE   Ein, , где Ein, – продольная компонента вектора напряженности поля внутри струи в невозмущенном состоянии. Эта
сила заставляет жидкость двигаться с ускорением a   Ein0,  , где
 – массовая плотность жидкости. Введём связанную с ускоренно движущейся жидкостью цилиндрическую систему координат
{r ,  , z} , ось OZ которой совместим с осью струи и вдоль вектора
 0
Ein, . Поле скоростей на оси струи в такой системе координат в
равновесном состоянии равно нулю, однако сама система является неинерциальной и в уравнение движения жидкости
необходимо добавить объёмную силу инерции:
 0
Finertia    a    Ein,  r  0  .
В безразмерных переменных, в которых радиус струи R ,
плотность жидкости  и коэффициент поверхностного натяжения  выбраны в качестве основных масштабов ( R      1 ),
уравнение свободной поверхности струи, подверженной произвольным осцилляциям малой амплитуды, может быть записано в
виде
150
r  1      , z , t  ,
где  – безразмерная амплитуда колебаний (   1 ), а функция
  , z , t  описывает отклонение формы поверхности от цилинд-
рической (   , z , t   1).
Будем исследовать устойчивость осцилляций свободной поверхности струи в описанной системе. Математическая формулировка соответсвующей задачи имеет вид
 0
t u   u  u  Pin   Ein,  r  0  ;
divu  0 ;
E j   j ;
r  0:
in   4  in ;
 ex  0 ;
Pex  0 ;
j  in ; ex ;
0
in   Ein e z ;
u0 ;
ex   E0 e z ;
r :
r  1     , z , t  :
 t H  r , t   u  H  r , t   0 ,
H  r, t   r  1     , z , t   ;
Pin  Pex  PE  P ;
in   ex ;
 r dr d dz   
V
;
 in nin   ex nex ;
 0  r  1     , z , t  ; 


V  0    2 ;
.
z  z  z  

0
 0

(1.1)
В системе уравнений (1.1) использованы обозначения: in и
0
 ex – потенциалы электрического поля внутри и вне струи; Ein
– напряжённость электрического поля на оси струи в равновесном состоянии; τ и n – орты касательной и нормали к поверхности; Pin  Pin, real   in – эффективное давление внутри струи;
151
Pin , real – реальное распределение внутреннего гидродинамическо-
го давления;  in    in – потенциал сторонней электрической
силы; Pex , PE , P – давления на свободную поверхность соответственно: внешнее (по отношению к струе), электрического поля и
капиллярных сил:
PE    in 





1 
2
2
2
2
 in  in   2  nin    ex  ex   2  nex   ;

8 
P  div n .
Последнее в (1.1) дополнительное интегральное условие
означает сохранение при колебаниях поверхности объёма
произвольного участка струи с длиной, равной длине волны  .
Для удобства отыскания решения электрической части задачи представим напряжённость электрического поля E j , где
f
 ch 
j  in ; ex , в виде суперпозиции двух полей: E j  E j  E j ,
где первая компонента (полевая – field) определяется как
напряжённость электрического поля для незаряженной струи,
находящейся в продольном однородном поле E0 ; а вторая
компонента (зарядовая – charge) определяется как напряжённость
электрического поля объёмно заряженной струи. В итоге для
i 
i 
нахождения каждой из компонент E j   j
получим
отдельную краевую задачу:
f
 j  0 ;
ch
 ex   0 ;
r  0:
r :
j  in ; ex ;
ch
 in    4  in ;
f
0
in   Ein e z ;
 ex    E0 e z ;
 ch 
 in
 0;
ch
 ex   0
f
152
i
i 
 in   ex ;
r  1     , z , t  :
 in nin   ex nin ;
i
i
i   f ; ch .
(1.2)
Будем решать сформулированную задачу в рамках модели
потенциального течения методом асимптотического разложения
по малой амплитуде  , ограничиваясь первым порядком малости.
Представляя искомые величины в виде разложений по степеням
:
0
0
u  r, t       r, t      r, t   ( 2 ) ; Pi  Pi   pi  ( 2 ) ;
f
 f ,0 
f
 j  r, t    j  z     j  r, t   ( 2 ) ;
 ch 
 ch,0 
 j  r, t    j
 r     j ch  r, t   ( 2 ) ,
где  – гидродинамический потенциал; j  in ; ex ; i  in ; E ;  
, из гидродинамических уравнений системы (1.1) и
электростатической системы (1.2) получим краевые задачи
нулевого и первого порядков.
2. Равновесное состояние. Задача нулевого порядка описывает равновесное, невозмущённое состояние системы:
0
    0 ;
 0
Pin

1
0
0
 t      
2
Pex  0 ;
       
2
z
f ,0
 z , z  j   0 ,


1
ch,0
 r r  r  ex   0 ;
r
r  0:
0
    0 ;
0
in
r 0
z;
j  in ; ex ;


1
 ch,0 
 r r  r  in
  4  in ;
r
 f ,0 
0
in   Ein e z ;
153
 ch ,0 
 in
 0;
f ,0
ex    E0 e z ;
r :
i ,0
r  1 :  in    exi ,0  ,
i   f ; ch ;
 ex
ch ,0 
 in  r  in
ch ,0 
 0;
ch ,0
  ex  r  ex  ;
0
0
0
Pin  Pex  PE  P  ;
 0
 0
PE    in


1




 in ex    z ex0
8

0
f ,0
ch ,0
 j    j    j  ,

2


2
 ex
0 


 r ex  ; P 0   1 ;
 in

j  in ; ex
и позволяет определить потенциалы: гидродинамический и
электростатический, а также давление жидкости в струе:
0
   0 ;


 0
0
 ex    E0 z   2  ex  ln r ; in   E0 z    in  1  r 2 ;
 0
Pin  Pex  1 
 in   ex  
2



2

E02  ex 
    E0 z .
 in   ex  

8

(2.1)

Отметим, что решение уравнения Эйлера в выписанной
системе уравнений позволяет определить величину эффективного
0
давления Pin  . Чтобы получить реальное распределение давления
в струе с учётом действующих в объёме жидкости электрических
сил, необходимо учесть потенциал сторонней электрической
силы:
0
0
0
Pin , real
 Pin    in  
 Pex  1 
 in   ex  
8
2
2



2



2
ex
1 r2 .
E0 

 
 in   ex    in





3. Задача первого порядка малости записывается в виде
154
r  0:
  r , t   0 ;
pin  t  const ;
(3.1)
i 
 j  r, t   0 ;
j  in ; ex , i   f ; ch ;
(3.2)
  0 ;
i
in   0 ;
r :
 i   0 ; (3.3)
ex
t   r  0 ;
r  1:

 
(3.4)
pin  pE  p ;
(3.5)
i
i ,0
 i      i ,0  ;
in    r  in   ex
r ex
(3.6)
 

     

 ;

f
 f ,0 
 f      f ,0    ; (3.7)
 in  rin    z in
 z   ex  rex
z ex
z
 in
ch 
r in
 ch,0
  r , r in
ex
ch 
r ex
ch,0
  r , r  ex
(3.8)
z0   2
    z,  , t  d dz  0 ;
z0
(3.9)
0
p     ,    z , z ;
(3.10)

2    in   ex   2 
2 
 

pE     in 

  rex 
4





in
ex



 in 


2   ex 
 E0   zex 
1 
  z  ;



ex 
in 


(3.11)
f
ch
 j   j    j  , j  in ; ex .
Очевидно, что общее решение может быть построено в виде
суперпозиции
бегущих
по
поверхности
струи
волн,
характеризующихся длинами   2 k ( k – волновое число) и
осевой симметрией, определяющейся азимутальным числом m :
155
  , z , t  


   m  k  exp  i  k z  m  k  t  m    dk ;
m  
здесь  m  k  – парциальные амплитуды отдельных волн, определяемые
начальными
условиями;
частоты
m  k  –
соответствующих волн.
Для анализа устойчивости поверхности струи достаточно вывести дисперсионное уравнение задачи, ограничиваясь рассмотрением частного решения в виде одиночной волны. Поэтому примем, что функция, описывающая искажение равновесной цилиндрической поверхности струи, имеет вид
  , z , t    exp  i  k z  m t  m   .
(3.12)
Отметим, что условие (3.9) для такой волны выполняется
тождественно.
Решения для потенциалов будем искать в виде, аналогичном
(3.12):

  r , t    B  r  exp  i  k z  m t  m   ;
f 
f
 j   r , t    j Dj   r  exp  i  k z  m t  m   ; j  in ; ex ;
ch 
ch
 j   r , t    j C j   r  exp  i  k z  m t  m   ;
(3.13)
f
ch
здесь  ,  j и  j – константы, а B  r  , Dj   r  , C j   r  –
неизвестные функции радиальной координаты r , которые
определяются из уравнений (3.1), (3.2) с учётом условий
ограниченности (3.3):
f
B  r   Din
 r   Cin ch   r   I m  kr  ; Dex f   r   Cex ch   r   K m  kr  ;
где I m  kr  и K m  kr  – модифицированные функции Бесселя.
Система граничных условий (3.4), (3.6) – (3.8) позволяет выразить константы  ,  j ,  j через амплитуду волны  и, сум156
мируя «зарядовые» и «полевые» компоненты электростатических
потенциалов, записать решения в окончательном виде:
  r, t   

1
i E0 k   in   ex  

g
k


h
k




 in m

ex m
in  r, t  

2
 in
 I m  kr 
  in   ex  hm  k   2 in 
 Im  k 
2
 ex
  , z , t  ;

1
 i E0 k  in   ex  

g
k


h
k




 in m

ex m
ex  r, t  

i m I m  kr 
  , z , t  ;
gm  k  I m  k 
 K m  kr 
  in   ex  gm  k   2 ex 
 Km  k 
gm  k  
hm  k  
k I m  k 
Im  k 
k K m  k 
Km  k 
m
m
k I m 1  k 
Im  k 
  , z , t  ;
;
k K m 1  k 
Km  k 
,
где штрихом обозначено дифференцирование по аргументу.
Используя полученные решения и выражения (3.1), (3.10),
(3.11), несложно рассчитать давления pin , pE , p и из динамического граничного условия (3.5) получить дисперсионное
уравнение задачи:
m
m2  g m  k   k 2  m2  1  w FE   k ,  in ,  ex   W F m   k ,  in ,  ex   ; (3.14)

m
FE 

 in   ex 2 k 2
;
 k ,  in ,  ex  
 in gm  k    ex hm  k  
157
m
F   k ,  in ,  ex  
1
    2 g  k  h  k  
in gm  k   exhm  k   inex  in ex m m
 in   in  3 ex  g m  k    ex   ex  3 in  hm  k   4  in ex  ,

где параметры w  E02 4  и W    2 характеризуют давление
внешнего продольного электростатического поля и электростатического поля объёмного заряда соответственно.
4. Анализ полученных результатов. На рис. 1a-в представлены рассчитанные по (3.14) графики зависимости квадрата
частоты волны от волнового числа для трёх значений азимутального числа m  0,1, 2 . Согласно общей теории колебаний, при
заданных физических параметрах струи и внешней среды
неустойчивыми окажутся те волны на свободной поверхности,
для которых квадрат частоты отрицателен: m2  0 . Амплитуда
таких волн будет экспоненциально нарастать со временем, приводя к распаду струи на капли. Из выражения (3.14) следует, что
незаряженная струя в отсутствие электрического поля (W = 0,
w = 0) всегда неустойчива по отношению к длинным осесимметричным волнам ( m  0 ), с волновыми числами k  1 (поскольку
коэффициент g m  k  положителен для любых значений m и k). В
то же время осенесимметричные волны ( m  1 ) устойчивы.
ω 20
а
4
3
2
1
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k
0.1
Рис. 1а. Зависимости квадрата безразмерной частоты осесимметричной
( m  0 ) волны от безразмерного волнового числа, рассчитанные
при  in  20,  ex  1, W  0.1: линия 1 соответствует w  0 ;
2 – w  0.025 ; 3 – w  0.05 ; 4 – w  0.1
158
ω
б
2
10
1 10
4
3
2
1
1
0.00004
0.00008
k
1
Рис. 1б. Зависимости квадрата безразмерной частоты изгибной ( m  1 )
волны от безразмерного волнового числа, рассчитанные
при  in  20,  ex  1, W  0.1 : линия 1 соответствует w  0 ;
2 – w  0.002 ; 3 – w  0.005 ; 4 – w  0.02
в
ω 22
4
3
2 1
20
10
1
2
k
Рис. 1в. Те же зависимости, что на рис. 1б,
но для осенесимметричной волны с m  2
FEm
а
m 0
m 1
m 2
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
k
Рис. 2а. Зависимости коэффициента FE m   k ,  in ,  ex  от безразмерного
волнового числа: тонкие линии –  in  2 ; толстые –  in  80 .
Сплошные линии рассчитаны для m  0 ; штрихпунктирные для m  1;
короткопунктирные – для m  2
159
 mm
FFE
б
m 0
m 1
m 2
1
0.4
0.8
1.2
k
1
Рис. 2б. Зависимости коэффициента F m   k ,  in ,  ex  от безразмерного
волнового числа: тонкие линии –  in  2 ; толстые –  in  80 ; сплошные
рассчитаны для m  0 ; штрихпунктирые для m  1; короткопунктирные для
m2
Из вида правой части дисперсионного уравнения (3.14)
видно, что устойчивость различных волновых возмущений на
поверхности заряженной струи в продольном поле зависит как от
значений безразмерных параметров W и w (см. рис. 1), так и от
величин и знаков коэффициентов FE m   k ,  in ,  ex  и F m   k ,  in ,  ex  .
На рис. 2a-б представлены зависимости этих коэффициентов от
волнового числа k для разных значений диэлектрической проницаемости жидкости  in для первых трёх значений азимутального
числа m. Из рис. 2a видно, что продольное электростатическое
поле оказывает стабилизирующее влияние на поверхность струи
во всём диапазоне волновых чисел,поскольку при любых k
коэффициент FE m   k ,  in ,  ex  положителен. Согласно рис. 2б электростатический заряд на струе дестабилизирует осенесимметричные волновые возмущения ( m  1 ), т. к. коэффициент F m   k ,  in ,  ex 
отрицателен для m  1 при любых k . Влияние заряда на волновые
возмущения, обладающие осевой симметрией ( m  0 ), различно в
разных диапазонах изменения волновых чисел: при малых k , там
где F m  k ,  in ,  ex   0 , заряд стабилизирует струю, а при больших k,
там где F m   k ,  in ,  ex   0 , заряд дестабилизирует её.
160
В общем случае при w  0 и W  0 оценить возможность
стабилизации струи удобно, представив условие смены
устойчивости m2  0 в виде
wcr 
1
1  k 2  m2  W F  m  k ,  ,   . (4.1)
in ex 


 m

FE  k ,  in ,  ex 
wcr
а
wcr
б
1
1
0.1
10
2
0
0
3
0.5
1
1.5
2 k
2
3
0.5
1
1.5
2 k
0.1
10
Рис. 3. Зависимости от безразмерного волнового числа критического
для смены устойчивости осесимметричной ( m  0 ) волны параметра wcr ,
при  ex  1 и  in  2 (а),  in  20 (б): W  0,0.1,0.2 (линии 1-3).
При w  wcr для фиксированного m продольное электрическое поле будет стабилизировать волны с симметрией, определенной заданным значением азимутального параметра m . Учтем
то обстоятельство, что в большинстве приложений феномена
электродиспергирования струя окружена воздухом при атмосферном давлении, в котором при достаточно большой суммарной
напряженности электрического поля будут развиваться разрядные явления. Тогда условие (4.1) можно трактовать следующим образом: стабилизация волн с заданной симметрией на
поверхности струи внешним электростатическим полем
возможна, если реально достижимы значения напряжённости
поля, такие чтобы параметр w превышал wcr .
161
wcr
а
0.03
0
0.03
1
0.025
2
0.05
0.075
k
3
б
wcr
5
0.1
4
0
0.5
3
0.1
2
1
1.5
k
1
Рис. 4. Зависимости от безразмерного волнового числа критического
для смены устойчивости осенесимметричной с m  1 (а) и m  2 (б) волны
параметра wcr при  in  20;  ex  1 , для W  0, 0.1, 0.2 (линии 1–3) на рис. 4а и
W  3, 3.1, 3.14, 3.15, 3.2 (линии 1-5) на рис. 4б.
На рис. 3a-б приведены графики зависимости wcr от волнового числа k , из которых следует, что осесимметричные ( m  0 )
волны на поверхности незаряженной (W  0 ) струи невозможно
стабилизировать внешним полем: при k  0 величина wcr асимптотически стремится к бесконечности и, следовательно, при любых значениях напряжённости продольного поля в окрестности
точки k  0 сохраняется область неустойчивых волн. Если же
величина заряда на струе отлична от нуля (W  0 ), то теоретически полная стабилизация осесимметричных волн возможна.
Практическая её реализация зависит от того, насколько велика
необходимая для стабилизации струи напряжённость суммарного
электрического поля, существующего у поверхности струи, и не
превысит ли она величину, при которой на поверхности струи
зажжется коронный разряд. Разрядные явления в однородном
162
электростатическом поле начинаются при E  26 кВ см , в неоднородном электрическом поле с осевой симметрией на гладкой
поверхности цилиндрической струи, согласно эмпирической
формуле Пика, они начинаются при E  31  (1  0.308 R ) kV cm ,
где R измерено в сантиметрах. Численные оценки показывают,
что для струи радиусом 100 мкм при значении коэффициента
поверхностного натяжения   30 дин см пробойное значение
напряжённости поля соответствует значениям безразмерных
параметров wпр  Wпр  0.27 . Из рис. 3 видно, что предельное (максимальное) значение wcr сильно зависит от диэлектрической проницаемости жидкости, уменьшаясь с её ростом. И, например, при
значении  in  20 (рис. 3b) стабилизация осесимметричных возмущений во всём диапазоне волновых чисел достижима при допробойных значениях суммарной напряжённости электрического
поля.
На рис. 4а–b приведены зависимости, аналогичные изображённым на рис. 3, для значений азимутального числа m  1; 2,
соответствующих осенесимметричным возмущениям поверхности струи. Как было отмечено выше, электрический заряд на
струе играет дестабилизирующую роль для волн с такими симметриями. Так, из рис. 4а видно, что для заданной диэлектрической проницаемости жидкости существуют диапазоны значений
параметров w , W и волновых чисел k , в которых изгибные волны
( m  1) претерпевают неустойчивость (на рис. 4а это геометрическое место точек ниже изображенных кривых в области, где
wcr  0 , поскольку пунктирная кривая, так же как и толстая
сплошная, переходит в область неограниченно больших положительных значений). В окрестности начала координат имеется
область волновых чисел, в пределах которой волны неустойчивы,
но эта область очень мала и соответствует очень длинным
волнам. Например, при  in  20, W  0.2 параметр wcr достигает
значения  0.05 для волнового числа k  0.0001, что соответствует
волнам с длинами, превышающими радиус струи больше, чем в
60000 раз.
Для волновых возмущений поверхности струи с m  2
(рис. 4b) при допробойных значениях напряжённости суммарного
163
электрического поля наличие заряда на струе не приводит к неустойчивости: при малых W критические для начала реализации
разрядных явлений линии лежат ниже нуля и, следовательно, соответствующие волновые возмущения поверхности струи устойчивы даже при нулевом продольном поле. Развитие электростатической неустойчивости струи, связанное с возбуждением
волны с m  2 , имеет место только при больших значениях параметра W . Согласно данным теоретического расчета поверхность
цилиндрической заряженной струи идеально проводящей жидкости в отсутствие продольного электростатического поля претерпевает электростатическую неустойчивость при W  2.9 , при наличии разрядных процессов на поверхности струи, что и
подтверждается экспериментальными наблюдениями. Расчеты
показывают, что с уменьшением диэлектрической проницаемости
жидкости минимальное значение параметра W , при котором может реализоваться электростатическая неустойчивость поверхности струи, увеличивается. Наличие внешнего продольного электростатического поля, оказывающего стабилизирующее влияние
на волны на поверхности струи, приводит к еще большему
увеличению параметра W , при котором может реализоваться
электростатическая неустойчивость поверхности струи.
2.5. Расчет волновых движений на поверхности цилиндрической струи маловязкой жидкости в рамках теории пограничного слоя 1. Математическая формулировка и точное решение задачи. Рассмотрим задачу расчета периодических волновых движений свободной поверхности цилиндрической струи радиуса R
несжимаемой электропроводной жидкости с плотностью  ,
коэффициентом кинематической вязкости  и коэффициентом
поверхностного натяжения  . Пусть в окружающем пространстве с помощью коаксиальных электродов создаётся электрическое поле, нормальное к поверхности струи, вследствие чего
по невозмущенной волновым движением цилиндрической по-
164
верхности жидкости однородно распределён заряд с равновесной
плотностью  . Введём цилиндрическую систему координат, ось
Oz которой направим вдоль оси симметрии цилиндрической
струи, а начало координат примем движущимся вдоль оси с
постоянной скоростью, равной скорости струи. Поле скоростей
течения жидкости в такой системе будет определяться волновыми движениями свободной поверхности. Рассмотрение ограничим анализом осесимметричных волн. Весь анализ проведем в
безразмерных переменных, полагая три характерных физических
масштаба обезразмеривания равными единице: R      1 .

Тогда поле скоростей течения жидкости в струе u  r , z , t  , поле
давлений в жидкости p  r , z , t  будут иметь тот же порядок
величины, что и волновая деформация   z , t  цилиндрической
формы r  1 струи.
В линейном приближении по амплитуде волновых колебаний
функция   z , t  , которую будем считать малой по сравнению с

радиусом струи, поле скоростей u  r , z , t  и поле давлений
p  r , z , t  в жидкости определяются следующей задачей:
0  r  1:


 t u  p  u  0 ;
r  1:
r  1:

u  0;
   0;
(2)
 t   ur  0 ;
 r uz   z ur  0;
 p  2  r ur     r   4       zz   0;
  4   0;
r  0:
r :
ur  0;
(1)
uz  const ;
  0.
(3)
(4)
(5)
(6)
В выписанной системе уравнений r , z – цилиндрические координаты; t – время; t и  z – частные производные; u z и ur –
осевая и радиальная составляющие вектора скорости:
165
 






u (r , t )  uz (r , t )  ez  ur (r , t )  er ; p ( r , t ) и (r , t ) – добавки к равновесным значениям гидродинамического давления и электрического потенциала.
Решение гидродинамических уравнений (1) удобно искать
методом операторной скаляризации, представляя поле скоростей
p 
в виде суперпозиции его потенциальной u    r , t  и вихревой
c 
u    r , t  частей (иными словами, вводя гидродинамический по

тенциал   r , t  и функцию тока, определенную как r   r  r , t  ):


 
 p 
c 


u  r , t   u  r , t   u  r , t   N p   r , t   N c   r , t .
(7)


Векторные операторы N p и N c выделяют потенциальную и
вихревую составляющие поля скоростей соответственно,
удовлетворяют условиям ортогональности и условиям коммутативности с оператором Лапласа:

N p  ;
  
  


N p  N c f  r   N c  N p f  r   0;


N c       ez  ;




N i   f  r     N i f  r ;
 i  p, c  .
(8)

Верхний индекс " " означает эрмитово сопряжение; f  r  –
произвольная непрерывная скалярная функция координат.
Подстановка разложения (7) в систему (1), а также свойства
(8) позволяют легко перейти от исходных уравнений


гидродинамики относительно искомых функций u z  r , t  , ur  r , t 

и p  r , t  к эквивалентной системе трёх скалярных уравнений



относительно   r , t  ,   r , t  и p  r , t  [167]:
  0 ;
 t    0 ;
p   t .
(9)
Проекции вектора скорости согласно (7) и (8) определяются через


скалярные функции   r , t  и   r , t  следующими соотношениями:
166
1
p
c
uz  uz   uz    z   r  r  r  ;
r
ur  ur   ur    r   zr .
p
c
(10)
Решение сформулированной задачи в форме бегущей волны
известно [15] и может быть записано в виде
  z , t     exp  st  ikz    к.с.  ;



 s  2 k 2 I 0  kr   k I1  k   
  r ,t  


  
i 2 k  I 0  lr   l I1  l  


  r , t      
 exp  st  ikz    к.с. .
2
 p r ,t  
  s s  2 k  I 0  kr   k I1  k   
  


 r ,t  

4

K
kr
K
k




0
0


(11)


Для потенциальной и вихревой составляющих вектора поля
скоростей решение определяется выражениями:


 i s  2 k 2  I 0  kr  I1  k  
 uz p   r, t  
 exp  st  ikz    к.с.  ;
  p      
2
 u r ,t 
 s  2 k  I1  kr  I1  k  
 r





 uz c   r , t  
 i 2 k l  I 0  lr  I1  l  
 c      
 exp  st  ikz    к.с.  ; (12)
2
 u r ,t 


k
I
lr
I
l

2
1 
1  

 r

l  s   k2 .
(13)
В формулах (11)–(13)  – комплексная амплитуда поверхностной
волны; k – волновое число; I j  x  и K j  x  – модифицированные
функции Бесселя первого и второго рода j -го порядка; аббревиатура  к.с. означает слагаемые, комплексно сопряжённые к выписанным; s – комплексная частота, определяемая из дисперсионного уравнения:
167


s2  2 sG  k   2k 2 s  k 2 1  G  k  G  l     2  0;
(14)
 2  G  k   k 2  1  4 2 1  H  k   ;
G  x   x  I1  x  I 0  x  ;
H  x   x  K1  x  K 0  x  ;
здесь  2 – квадрат частоты волновых движений поверхности
струи идеальной жидкости, т. е.   lim s .
 0
В пределе малой вязкости дисперсионное уравнение можно
переписать в более простом виде с сохранением слагаемых,
линейных по  , выписать его решение и получить явный вид
параметра l :



l  1  i   2 .
s 2  s  2  2 k 2  G  k    2  0;

s  i    2k 2  G  k  ;
(15)
Асимптотическое (в пределе малой вязкости) решение всей
задачи получим, выражая в решениях (12) параметры s и l по
формулам (15):



p  r , t    i i  2 k 2  G  k  I 0  kr   k I1  k    exp  st  ikz  ;

 uz p   r , t  
   i G  k    I 0  kr  I1  k  
  p      
 exp  st  ikz    к.с.  ;
  i   G  k    I1  kr  I1  k  
 u r ,t 


 r

 uz c   r , t  
 i 1  i  k 2  I 0  lr  I1  l  
 c      
 exp  st  ikz    к.с.  .
2

 u r ,t 


2

k
I
lr
I
l




1
1


 r

(16)
Выражения (16) позволяют выяснить структуру аналитического решения для поля скоростей в приближении малой вязкости. Из (16) следует, что, во-первых, вихревая компонента скорости является малой добавкой к основной потенциальной составляющей; во-вторых, она существенно быстрее, чем потенци168
альная компонента, убывает с уменьшением координаты r (т. е.
по мере удаления от поверхности струи к ее оси). Действительно,
из асимптотического поведения модифицированных функций
Бесселя при больших и малых аргументах следует, что вихревая
составляющая скорости убывает по экспоненциальному закону
c
u    exp   l 1  r   , в то время как поперечная и продольная проекции потенциальной составляющей скорости убывают по стеp
пенным законам: ur   r ; u z p    2 k  1  k 2 r 2 4  . Такая структура поля скоростей характерна для теории пограничного слоя, и
можно полагать, что вихревая составляющая скорости существенна лишь в тонком слое вблизи свободной поверхности жидкости, в то время как в остальном объёме движение является
потенциальным.
2. Формулировка задачи в рамках представлений о пограничном слое. Сформулируем модельную задачу, исходя из выявленной выше структуры течения. Представление поля скоростей
в виде (7) позволяет решать задачу для потенциальной компоненты во всём объёме жидкости, а для вихревой – лишь в тонком
пограничном слое толщиной  (которую пока будем считать
неопределенной). В математической формулировке задачи (1)–(6)
изменения коснутся только условий ограниченности решения на
оси струи (5). Для точной задачи с учётом разложения (10) они
принимали вид r  0 :   0 ;   0 . В модельной задаче условие ограниченности решения на оси сохраняется для потенциальной компоненты поля скоростей, а для вихревой его составляющей потребуем обращения в нуль вихря на нижней границе по
граничного слоя: r  1   : rot u  c   0 . Учитывая (9), (10), это
условие несложно записать в терминах скалярной функции  :
c

rot u     r  e  0   r   0 .
Из уравнения (9) для функции  и решения (11) следует
  1    t   s  
169
и условие обращения в нуль ротора скорости на нижней границе
пограничного слоя принимает вид
r  1  :
 r  0 .
В результате уравнения (9) для модельной задачи дополнятся
следующими граничными условиями:
 t  ur   ur   0 ;
p
r  1:

 r u z   u z

p
 p  2  r ur   ur
r  0:
r  1  :
p
c
c
c
(17)
   u   u    0 ;
p
z
r
c
(18)
r
        4          0 ;
r
zz
(19)
  0;
(20)
 r  0 .
(21)

Электрический потенциал   r , t  вблизи поверхности струи
определяется из соотношений (2), (4), (6).
3. Решение модельной задачи. Решение сформулированной



задачи для неизвестных функций   z , t  ,   r , t  ,   r , t  ,   r , t 
ищется в виде бегущих волн:
   z, t     
   

f
r

r
,
t




  
  exp  st  ikz  .
(22)
  r , t    h  r  
   

g
r

r
t
,






 



Подставляя выражения для функций   r , t    r , t  , и   r , t  в
уравнения (2), (9) и учитывая соответственно условия (6), (20),
(21), получим следующие решения для искомых величин:
170


   z, t   

   
a  I 0  kr 

,
r
t


 exp  st  ikz  ; (23)
  
  r , t    b  I 0  lr  I1  l   K 0  lr  K1  l   

   

,
r
t

4
K
kr
K
k








0
1

 

  1  .
l  s   k2 ;
Используя (9)–(10), находим поля скоростей и давления:

p  r , t    s  a  I 0  kr   exp  st  ikz  ;
 i k  I 0  kr 
 uz p   r , t  
  p    a  



 ur  r , t  
 k I1   kr 

  exp  st  ikz  ;




 
exp  st  ikz  .


 l 2  I 0  lr  I1  l    K 0  lr  K1  l 
 uz c   r , t  
 c    b 
 u r ,t 

 r

 i k l  I1  lr  I1  l    K1  lr  K1  l 
(24)
Подставив решения (23)–(24) в граничные условия (17)–(19), получим систему трёх линейных алгебраических уравнений для
определения неизвестных констант  , a и b :

k  I1  k 
 s

0
2ik 2  I1  k 

  2 G  k  I  k   s  2 k 2  G  k 
0






2
2

l l  k  f1  l , 

2i kl  l f 2  l ,   f1  l ,   


ikl f1  l , 

   0 
 a    0  ;
   
 b   0
   
f1  l ,   I1  l  I1  l   K1  l  K1  l  ;
171
(25)
f 2  l ,   I 0  l  I1  l   K 0  l  K1  l  .
Чтобы система (25) имела нетривиальное решение, необходимо,
чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных  , a и b , обращался в нуль. Это требование позволяет
найти дисперсионное уравнение задачи:


s2  2  s G  k   2k 2 s  k 2 1  G  k   f  l ,     2  0; (26)
f  l ,  
 I 0  l   K1  l    K 0  l   I1  l  
f 2  l , 
.
 
l  f1  l ,  l  I1  l   K1  l    K1  l   I1  l  
Используя граничные условия (17)–(18), можно выразить
константы a и b через амплитуду волны  и записать решение
для полей скорости течения жидкости и давления в струе в виде:
I  kr 

p  r , t     s s  2 k 2 0
 exp  st  ikz  ;
k  I1  k 




 i s  2 k 2  I 0  kr  I1  k 
 uz p   r , t  
  p      
 u r ,t 
 s  2 k 2  I  kr  I  k 
 r
1
1





  exp  st  ikz  ;



 I 0  lr   K1  l   K 0  lr   I1  l  
2
i

kl


 uz c   r, t  



I
l
K
l

K
l
I
l











1
1
1
1




 c      
  exp  st  ikz 
 u r ,t 
 2 k 2  I1  lr   K1  l   K1  lr   I1  l  
 r


 I1  l   K1  l   K1  l   I1  l  

(27)
Переход к точному решению соответствует стремлению
толщины пограничного слоя к единице (к радиусу струи):   1.
Это соответствует стремлению параметра  к нулю. Учитывая,
что при стремлении аргумента к нулю модифицированные
функции Бесселя I n  x  ограничены, а K n  x    ; несложно по172
лучить, что lim f  l ,   1 G  l  , а предел выражений (26)–(27)
 0
совпадает с соответствующими выражениями точного решения
(12), (14).
В приближении малой, но не нулевой вязкости сохранение в
дисперсионном уравнении (26) линейных по  слагаемых позволяет легко привести его к виду (15) (здесь следует учесть, что при
  0 функция f  l ,  ведёт себя как  ). Таким образом, исследуемое движение в модельном приближении при малой вязкости
подчиняется дисперсионному уравнению, которое получается в
точном решении, т. е. s и l также определяются формулами (15).
4. Упрощение модельной задачи. Опираясь на характерные
свойства точного решения рассматриваемой задачи, можно упростить математическую формулировку модельной задачи (9), (10),
(17)–(21) без ущерба для вида решения в пределе малой вязкости.
Отметим следующие наиболее существенные свойства точного
решения:
течение состоит из двух составляющих: основной – потенциальной и добавочной – вихревой (сосредоточенной в пограничном слое);
вихревая часть течения является малой по сравнению с потенциальной и стремится к нулю при уменьшении вязкости
жидкости  ;
для потенциальной составляющей характерный линейный
масштаб изменения одинаков как в продольном, так и в перпендикулярном к поверхности направлениях и равен длине волны
 – характерному горизонтальному размеру поверхностного
возмущения;
характерный пространственный масштаб изменения вихревой компоненты течения в продольном направлении также равен
 , а в поперечном – существенно меньше и определяется
толщиной пограничного слоя    .
На основе вышеизложенного примем следующие правила
оценки производных от искомых величин по пространственным
переменным:
для потенциальной составляющей поля скоростей (т. е. для

p 
p 
функций uz   r , t  , ur   r , t  ,   r , t  ) дифференцирование по ко173
ординатам z и r формально сводится к появлению множителя
1  у соответствующей функции, например  z u z p   u z p   ;
c 
для вихревой составляющей (т. е. для функций uz   r , t  ,

c 
ur   r , t  ,   r , t  ) оператор  z переходит в 1  , а оператор  r – в
1  , например:  z u z   u z   , но  r u z   u z   .
В соответствии со сказанным выше, учитывая малость  по
сравнению с  , упрощение модельной задачи проведём, пренебрегая там, где это возможно, слагаемыми, имеющими величину
  2 2 .

В уравнении (9) для функции   r , t  можно пренебречь производными по координате z . Действительно, соотношение между
слагаемыми
в
операторе
Лапласа
показывает,
что
 zz   r  r  r  r    2  2 .
c
c
c
c
Уравнение неразрывности (1), записанное для каждой из компонент течения, потенциальной и вихревой, позволяет получить
оценки на соотношение между величинами проекций соответствующих компонент:
  p ,c 
1
p ,c
p ,c
u
0 
 r r ur    z uz  ;
r

ur   u z   V ;
p
p
ur

c
uz     .
c
(28)
где V – обозначает характерную скорость потенциального
течения.
Учитывая (28), из динамического граничного условия для касательной компоненты тензора напряжений (18) можно оценить
соотношение на поверхности струи между величинами проекций
на оси координат потенциальной и вихревой компонент течения.
Во-первых, несложно убедиться, что из двух «вихревых» слагаемых
уравнения
(18)
одним
можно
пренебречь:
c
c
c
c
 z ur   r uz    ur   uz    2  2 . Во-вторых, в силу соотношений
(10), очевидно, что «потенциальные» слагаемые равны между
p
p
собой:  r u z    r  z   z  r   z ur  . В результате граничное
174
условие (18) может быть записано в виде 2  z ur    r u z   0 . Отp
куда следует, что  r u z    z ur
c
u z
c
p
c
и с учётом (28) получаем оценки
ur
V  ;
c
V   2 2 .
(29)
Согласно (29) в кинематическом граничном условии (17)
следовало бы пренебречь последним слагаемым – вихревой
компонентой скорости. Однако в этом случае получающееся в
ходе решения упрощенной модельной задачи дисперсионное
уравнение в пределе малой вязкости   0 не совпадет с пределом малой вязкости точного дисперсионного уравнения (15).
Если же в кинематическом граничном условии (17) сохранить
вихревую компоненту скорости, несмотря на ее малость согласно
(29), то дисперсионные уравнения точной и упрощенной модельной задач совпадают. Исходя из приведенных соображений,
уравнение (17) оставим без изменений.
В динамическом граничном условии для нормальной компоненты тензора напряжений (19) оценим отношение «вязких»
слагаемых к Лапласовскому давлению. Из кинематического
условия (17) следует, что     V , т. е.   V  . Кроме того, воспользуемся тем, что согласно [171] для толщины пограничного
слоя, у свободной поверхности вязкой жидкости, используется
следующая оценка:     , откуда получим    2 . Тогда
отношение «вязких» слагаемых к «Лапласовским» в (19) будет
p
c
следующим:   r ur     2 2  ;   r ur     2 3  2 . Видно,
что вторым из оцениваемых слагаемых (вихревым) можно
пренебречь как имеющим более высокий порядок малости, чем
 2  2 при   0 .
Учитывая все описанные выше оценки, выпишем математическую формулировку упрощённой модельной задачи:
   0;
r  1:

 t   r  r  r   0;
r
 t  ur   ur   0;
p
c
175
p   t ;
2  z ur    r uz   0;
p
c
(30)
 p  2  r ur      r   4       zz   0;
p
r  0:
r  1  :
  0;
 r  0.

Поле электрического потенциала (r , t ) вблизи поверхности
струи определяется, как и прежде, из уравнений (2), (4), (6).
5. Решение упрощённой модельной задачи. Ход решения
упрощённой задачи аналогичен решению исходной модельной
задачи, однако объём вычислений уменьшается. Отметим, что
модельные изменения и последующие упрощения коснулись
только вихревой части течения, поэтому решения для потенциальной и электрической частей задачи останутся такими же, как и
в точной задаче и определятся формулами (11), (12). Решение

упрощенного уравнения для функции  (r , t ) (а следовательно, и
c 
c 
выражения для uz  (r , t ) и ur  (r , t ) ) имеет такой же вид, как и в
модельной задаче (см. (23), (24)), изменится лишь явный вид
параметра l  s  , а вместо системы уравнений (25) получим
следующую:

k  I1  k 
 s

0
2ik 2  I1  k 
 2
  G  k  I 0  k   s  2 k 2  G  k 





ikl  f1  l ,       0 
l 3  f1  l ,     a    0  .
    
  b  0
0

Приравнивание нулю определителя этой системы позволяет в
пределе малой вязкости получить дисперсионное уравнение в
виде


s 2  s 2 2 k 2  G  k    2  0.
Видно, что это уравнение совпадает со взятыми в пределе малой
вязкости дисперсионными уравнениями как точной, так и
модельной задач (см. (15)). В этом же приближении выражения
для комплексной частоты и параметра l определяются формулами
(15), а решение упрощённой модельной задачи имеет вид (27).
Таким образом, в приближении малой вязкости для модели176
рования течения в рамках теории пограничного слоя можно пользоваться упрощённой математической формулировкой задачи (30).
Выражая в (27) параметры s и l по формулам (15), получим
асимптотический (в пределе малой вязкости) вид решения,
несколько отличающийся от полученных в точном решении
выражений (16) для вихревой составляющей поля скоростей:
 uz c  (r, t ) 
 i 1  i  k 2  Fz(2)  r , l ,  
   

  exp  st  ikz  ; (31)
2
(2)

 u  c  (r, t ) 


2
,
,


k
F
r
l


r


 r

 I 0  lr  K1  l   K 0  lr  I1  l 
Fz(2)  r , l ,   
;
I
l
K
l

K
l
I
l


 1   1  

1  1
 I1  lr  K1  l   K1  lr  I1  l 
Fr(2)  r , l ,   
.
 I1  l  K1  l   K1  l  I1  l 
(32)
Сравнивая (31) с (16), легко видеть, что отличие приближенного решения (31) от точного (16) заключается лишь в множителях Fz(2)  r , D, L  и Fr(2)  r , D, L  , которые в точных решениях
имеют более простой вид:
Fz(1)  r , l   I 0  lr  I1  l  ;
Fr(1)  r , l   I1  lr  I1  l  .
(33)
6. Подбор толщины пограничного слоя. Исследуем, насколько хорошо соотношения (31) в зависимости от толщины
пограничного слоя  аппроксимируют вихревую составляющую
(16), полученную из точного решения. Аналогично тому, как это
делалось в [172], толщину пограничного слоя будем считать
определённой с точностью до постоянного множителя D
согласно следующим соотношениям:
  D  L ;
 L  2  ;
(34)
где  L – величина, предложенная для оценки толщины пограничного слоя Лонгет – Хиггинсом [171].
177
Введём новую координату x   r  1  , так чтобы при изменении r в диапазоне 1    r  1, координата x менялась в пределах 1  x  0 . Аргументы модифицированных функций Бесселя в сравниваемых решениях примут следующий вид:
l  1  i   L ;
l r  1  i  D x  1  L  ;
l   1  i 1  L  D  ;
а сами решения (31) и (16) будут отличаться только функциональными множителями, Fz(2)  x , D, L  , Fr(2)  x , D, L  в прибли-
женном решении и Fz(1)  x , D, L  , Fr(1)  x , D , L  в точном решении,
определяющими зависимость решений от радиальной переменной
x. Зададимся вопросом: при каком значении коэффициента D в
формуле (34) функции Fz(2)  x, D, L  , Fr(2)  x, D, L  из модельного
решения, определенные соотношениями (32), наилучшим образом
описывают соответствующие функции Fz(1)  x, D, L  , Fr(1)  x , D , L 
точного решения, определенные соотношениями (33)?
На рис. 1 показано, как изменяются реальные и мнимые
части сравниваемых функций (32)–(33) в диапазоне 1  x  0 при
значении коэффициента D  1 . Поведение функциональных
множителей Fz(2) и Fr(2) сильно отличается от аналогичных
множителей Fz(1) и Fr(1) , что свидетельствует о недостаточной
корректности формулы  L  2  , предложенной для оценки
толщины пограничного слоя в [9].
Re F
0.8
0.6
0.4
0.2
x
0.8

–0.8
0.6 –0.4
0.4 
0.2


–0.6
–0.2
Рис. 1а
178
0
x
–0.8

0.8
–0.6

0.6
–0.4

0.4
–0.2

0.2
Im F
–0.2

0.2
–0.4

0.4
–0.6

0.6
Рис. 1б
Рис. 1. Зависимости от безразмерной радиальной переменной х
в пределах пограничного слоя вещественной (а) и мнимой (b) частей
функциональных множителей: Fz(1) – сплошная линия, Fz(2) – точечная, Fr(1)
– пунктирная, Fr(2) – штрихпунктирная линия, рассчитанные
при D  1 , k  2 ,   0.01 ,   0.3 (W  1.1)
Отметим, что, в отличие от задачи о волнах на плоской поверхности [172], в случае цилиндрической геометрии исследуемые функции (32)–(33) зависят от параметра  L , а следовательно,
от таких физических характеристик задачи, как вязкость
жидкости  , волновое число k , поверхностная плотность заряда
 (см. выражение (14) для частоты  ). Выбор принятых для
расчёта значений безразмерных физических параметров k  2 ,
  0.01 ,   0.3 обусловлен следующими соображениями:
1. Значение безразмерной вязкости   0.01 соответствует
радиусу струи воды порядка десятых долей миллиметра, а струи
этилового спирта порядка миллиметра. Увеличение радиуса
соответствует уменьшению значения безразмерного параметра  ,
поэтому   0.01 примерно соответствует верхней границе области реальных значений данного параметра в области практических приложений;
2. Из выражения (14) для частоты  следует, что на
незаряженной поверхности струи идеальной жидкости устойчивы
только достаточно короткие волны с k  1 (что соответствует
179
  2 R ). Принятое для модельных расчётов значение k  2
достаточно близко к границе области устойчивости – границе
области применимости излагаемой теории;
3. Наличие электрического заряда на поверхности струи приводит к тому, что изначально устойчивая волна становится неустойчивой, если величина поверхностной плотности заряда превысит некоторое критическое значение  cr . Для k  2 это значение
равно  cr  0.4 [47], поэтому для расчётов принималась величина
плотности заряда из области устойчивости   0.3 . Заметим, что
в работах с заряженной свободной поверхностью жидкости для
оценки её устойчивости по отношению к напряжённости электрического поля часто используется безразмерный параметр
W  E 2 4 [47]. В случае идеально проводящей жидкости он связан с поверхностной плотностью заряда соотношением W  4 2 .
Значению  cr  0.4 соответствует критическое значение Wcr  2 , в
то время как принятое значение   0.3 соответствует значению
параметра, примерно равному половине критического: W  1.
На рис. 2 приведены те же зависимости, что и на рис. 1 для
D  4 . Увеличение D по сравнению с единицей улучшает
соответствие модельного и точного решений, и уже при D  4
разница между решениями заметна лишь в непосредственной
близости нижней границы пограничного слоя. Уменьшение
относительной погрешности аппроксимации продольной и
поперечной составляющей скорости с ростом параметра D
хорошо проиллюстрировано на рис. 3, где показана зависимость
от глубины x величин  z и  r , определяемых выражениями:
 z  Fz(1)  Fz(2)
Fz(1)
x 0
 r  Fr(1)  Fr(2)
;
180
Fr(1)
x 0
.
Re F
0.8
0.6
0.4
0.2
0



–0.2
x –0.8
0.8 –0.6
0.6 –0.4
0.4 
0.2
0
Рис. 2а
x
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2

0.8 
0.6 
0.4 
0.2
Im F
0
–0.2

0.1
–0.4

0.2
–0.6

0.3
Рис. 2б
Рис. 2. Те же зависимости, что и на рис. 1, рассчитанные при D  4

zz



0.3
0.2
0.1
x
–0.8

0.8
–0.6
–0.4
–0.2

0.6 
0.4 
0.2
Рис. 3а
181
0
0


r
z
0.3
0.2
0.1
x
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0.8 
0.6 
0.4 
0.2

0
0
Рис. 3б
Рис. 3. Зависимости от безразмерной радиальной переменной x
в пределах пограничного слоя относительной погрешности  z
аппроксимации точного выражения для продольной проекции скорости
течения жидкости приближенным выражением, рассчитанным в рамках
теории пограничного слоя – (а), и то же для радиальной компоненты
скорости  r – (b), полученные при k  2 ,   0.01 ,   0.3 (W  1.1)
для различных значений параметра D: сплошная линия – D  1 ;
пунктирная – D  2 ; точечная D  3 ; штрихпунктирная линия – D  4
При значении D  4 погрешность на нижней границе
пограничного слоя не превышает двух процентов для обеих
компонент вектора скорости. Дальнейшее увеличение параметра
D приведет к еще более значительному снижению погрешности,
но одновременно и к увеличению толщины пограничного слоя,
что не всегда желательно, а потому значение D  4 представляется оптимальным. Подводя итог сказанному выше, можно уверждать, что значение D  4 определяет ту толщину пограничного
слоя   D   L , глубже которой вихревое движение жидкости
можно не учитывать с контролируемой точностью.
Выпишем ротор поля скоростей волнового течения
маловязкой жидкости в струе:


   z ur    r uz
c
182
c
  n



Fz(2)  r , D, L  

3
(2)
 i   2 k  Fr  r , D, L   1  i  k 2 
  exp  st  ikz   n .
r


(35)
Несложно показать, что
Fz(2)
 l  Fr(2) .
r
(36)

Ω
4
2
–0.6
–0.4
–0.2

x –0.8
0.8 
0.6 
0.4 
0.2 0
Рис. 4. Зависимости от безразмерной радиальной переменной х в пределах
пограничного слоя ротора поля скоростей, рассчитанные D  4 , z  0 ,
k  2 ,   0.01 ,   0.3 (W  1.1) для различных моментов времени,
измеренного в долях T – периода волны: t  0 – сплошная линия, t  T 8 –
пунктирная, t  T 4 – точечная, t  T 2 – штрихпунктирная линия

/

0.4
0.2
0
1
2
3

4 
Рис. 5. Зависимости отношения толщины пограничного слоя
к длине волны от безразмерной длины волны, рассчитанные
при D  4 ,   0 (W  0) и различных значениях безразмерного
коэффициента кинематической вязкости жидкости:
  0.001 – сплошная линия;   0.005 – точечная;
  0.01 – пунктирная;   0.05 – штрихпунктирная линия
183
Подставим (36) в (35) и с учетом того, что при малой
вязкости l  (1  i )  2 , получим


   z ur    r uz
c
c
  n



 2 k   i  k 2  Fr(2)  r, D, L   exp  st  ikz   k.c.  n . ,



где n – орт угловой переменной цилиндрической системы координат, параллельный оси струи; аббревиатура k .c. означает –
«слагаемые комплексно сопряженные к выписанным». Именно
ротор поля скоростей определяет вихревое движение жидкости в
струе. Из рис. 4 видно, что в соответствии с рис. 2а на нижней
границе пограничного слоя ротор обращается в нуль, как это и
требовалось в модельной постановке задачи. Видно также, что
направления вращения вихрей в пограничном слое зависят как от
расстояния до поверхности струи, так и от времени.
7. Пределы применимости предлагаемой модификации
теории пограничного слоя. Увеличение волнового числа k , т. е.
уменьшение длины волны, улучшает качество аппроксимации
точного решения модельным в рамках теории пограничного слоя.
Увеличение параметра вязкости  , так же как и приближение к
критическому для реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости значению поверхностной плотности заряда,
приводит к выходу за пределы области применимости теории
пограничного слоя, и построенная теория перестаёт работать.
Действительно, упрощение модельной задачи основано на малости толщины пограничного слоя  по сравнению с характерным линейным продольным масштабом возмущения свободной
поверхности жидкости – длиной волны  . Учитывая выражения
(34), можно получить ограничение области регулярности принятых упрощений по величине безразмерного параметра вязкости:

1


D 2 L2

2
1 
184
4 2
  2 2.
2k D
Для принятых в расчётах значений k  2 ,   0.3 , D  4 правая
часть последнего соотношения составляет  0.4 и, следовательно,
верхняя граница параметра   0.04 , что и подтверждается расчётами.
На рис. 5 приведены зависимости отношения   от безразмерного волнового числа (обезразмеренного на радиус струи),
рассчитанные для незаряженной струи и различных значений
безразмерного коэффициента кинематической вязкости. Диапазон изменения безразмерного волнового числа  естественным
образом характеризуется неравенствами 0    2 , где верхний
предел определяется условием обращения в нуль частоты в
определении характерного масштаба пограничного слоя:
 L  2  , что соответствует проявлению капиллярной
неустойчивости цилиндрической струи, сопровождающейся ее
разбиением на отдельные капли под действием сил поверхностного натяжения. При   2 частота s из комплексной величины
становится чисто вещественной, что означает смену затухающего
периодического волнового движения поверхности струи для волн
из диапазона 0    2 на апериодическое с растущей во времени
амплитудой в диапазоне   2 (при этом квадрат мнимой части
комплексной частоты s переходит из области положительных
значений через нуль в область вещественных отрицательных значений, а положение такого перехода определяется условием
 2  0 ). Из выражения для  L видно, что при   0 толщина пограничного слоя неограниченно увеличивается. Это соответствует распространению вихревого движения на весь объем струи.
Из рис. 5 видно, что левые и правые концы кривых загибаются кверху, что означает ограниченную применимость теории
пограничного слоя в соответствующих диапазонах длин волн.
Левые концы кривых увеличиваются при   0 из-за того, что в
дроби   длина волны стоит в знаменателе. Если построить
чистые зависимости    ( ) , то при   0 они независимо от
величины коэффициента кинематической вязкости сходятся в
начале координат.
Иными словами, при   0 толщина пограничного слоя также стремится к нулю   0 , но несколько медленнее чем ~  .
185
Правые же концы кривых на рис. 5 увеличиваются при   2 за
счет стремления частоты волны при таком переходе к нулю и соответствующего неограниченного роста толщины пограничного
слоя.
Поскольку обезразмеривание коэффициента кинематической
вязкости проведено на  R  , то по заданному значению безразмерного коэффициента кинематической вязкости, например    *
, для конкретной жидкости можно найти минимальный радиус
струи, для которого еще можно использовать обсуждаемую
теорию пограничного слоя: Rmin    2   *2 . Так, полагая согласно рис. 5, что необходимую точность расчетов может обеспечить
безразмерный коэффициент кинематической вязкости    *  0.01,
для воды можно найти Rmin  150  m . При    *  0.05 для воды
можно найти Rmin  6  m .
Из сказанного выше и из рис. 5 следует, что предлагаемая
модификация теории пограничного слоя применима для расчетов
волновых течений жидкости в струе маловязкой жидкости в
диапазоне длин капиллярных волн, по отношению к которым
струя устойчива 0    2 , за исключением некоторых окрестностей (зависящих от величины безразмерного коэффициента
кинематической вязкости) границ диапазона. Наличие на струе
вязкой электропроводной жидкости электрического заряда
приводит к некоторому смещению правой границы диапазона
0    2 в сторону меньших значений длин волн, поскольку
электрический заряд на струе играет дестабилизирующую роль
для всех волн из обсуждаемого диапазона длин [47].
186
3. Нелинейные неосесимметричные волны на поверхности незаряженной диэлектрической струи в продольном электростатическом поле 1. Формулировка задачи. Рассмотрим бесконечную цилиндрическую струю радиуса R идеальной несжимаемой жидкости с
массовой плотностью  , диэлектрической проницаемостью  in и
коэффициентом поверхностного натяжения  , движущуюся со
скоростью U 0 коллинеарно оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности струи. Примем, что струя находится в
среде с очень малой плотностью ex  0 и с диэлектрической проницаемостью  ex . В струе и окружающем ее пространстве имеется продольное электрическое поле напряженностью E 0 , коллинеарное оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности струи. Для упрощения задачи перейдем в инерциальную
систему координат, движущуюся вместе со струей с такой же
скоростью U 0 . В указанной системе отсчета поле скоростей течения жидкости в струе U(r, t ) полностью определится капиллярными волнами, бегущими по ее поверхности. В безразмерной
записи (при R      1) амплитуда поля скоростей будет величиной того же порядка малости, что и амплитуда волн на поверхности струи, которая принимается много меньшей радиуса.
Будем исследовать закономерности реализации капиллярного
волнового движения конечной амплитуды на поверхности струи
в описанной физической системе. Расчеты проведем в цилиндрической системе координат r , z,  , орт n z которой совпадает по
направлению с U 0 . Тогда уравнение поверхности цилиндрической струи, возмущенной волновым движением, запишется в
виде
r  z , , t   R    z , , t  ;
 R  1,
  z, , t  – волновое возмущение цилиндрической поверхности
струи.
187
Математическая формулировка обсуждаемой задачи в рамках
модели потенциального течения состоит из уравнений
гидродинамики и электростатики (в предположении, что скорость
движения жидкости много меньше релятивистской):
U  0;
 in  0;
 ex  0;
(1)
 ex  ;
(2)
условий ограниченности
r 0:
U  ;
 in  ;
r :
гидродинамических
граничных
поверхности струи r  R   :
кинематического
условий
на
свободной
t        r   R   ( z, , t )    0;
(3)
динамического для нормальной компоненты тензора напряжений
 P  r, t   P0  P  Pe  0;
(4)
и граничных условий для электрического поля
r  R  :
 in  nin    ex  nex  ;
 τ in    τ  ex  ;
 τ z in    τ z ex  ;
В выписанной математической формулировке задачи
(5)
  r ,t 
–
2
потенциал поля скоростей; P  r, t     t        P0(in) – гид-

1
2

родинамическое давление; Pe  r, t  – давление электрического
поля; P  r, t    n – давление сил поверхностного натяжения;
P0 – постоянное давление внешней среды;   r,t  – электростатический потенциал; нижние индексы “ex” и “in” характеризуют
электростатическое поле вне и внутри струи, соответственно;
n, τ , τ z – орты нормали и касательных к свободной поверхности
струи (см. Приложение А).
188
Выписанную краевую задачу следует дополнить условием
сохранения объема участка струи, длина которого равна длине
волны 
0  r  R    z ,  , t  ;

V  0    2 ;
 z  z  z  .
0
 0
 r dr dz d dt   R ;
2
V
(6)
Кроме того, необходимо задать еще начальные условия, первое
из которых представляет собой начальную деформацию
невозмущенной цилиндрической поверхности струи:
 
r  z, ,0   R    (  )  0   exp  im    ( )  0   exp  im   exp  ikz   O  2 .


Здесь и далее не выписываются слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным. Для простоты нижеследующих расчетов
ограничимся рассмотрением случая, когда форма поперечного
сечения струи определяется одной гармоникой. Второе начальное
условие обычно выбирается на финальной стадии решения таким
образом, чтобы получающееся решение приняло наиболее
простой вид.
Для упрощения дальнейших расчетов перейдем к безразмерным переменным, полагая R      1 и сохраняя за всеми
величинами их прежние обозначения.
2. Метод решения. Решение сформулированной задачи будем искать в асимптотическом виде путем разложения по малому
параметру  , который имеет смысл безразмерной амплитуды
волны (отношение амплитуды волны к радиусу струи). Само
решение будем искать методом многих временных масштабов,
ограничиваясь точностью до второго порядка малости по 
включительно. Искомые функции   z, , t  ,  (r, t ), in (r, t ) и
ex (r, t ) представим в виде асимптотических разложений по
степеням  , полагая одновременно, что их эволюция во времени
определяется двумя временными масштабами – основным T0  t и
более медленным T1    t :
189
 
  z, , t      (1)  z, ,T0 ,T1    2   (2)  z, ,T0   O  3 ;
 
 (r, t )     (1)  r , z, ,T0 ,T1    2   (2)  r , z, , T0   O  3 ;
 
(0)
in (r, t )  in
 z     in(1)  r , z, ,T0 ,T1    2  in(2)  r , z, ,T0   O  3 ;
 
(1)
2
(2)
3
ex (r, t )  (0)
ex  z      ex  r , z , , T0 , T1      ex  r , z , , T0   O  ;
(7)
Учтем, что волны, распространяющиеся по поверхности
струи, бегут в положительном направлении оси ОZ и примем,
что форма свободной поверхности струи в произвольный момент
времени имеет вид:
r  1    ( ) T1   exp  im    ( ) T1   exp  im    exp  i   O   2  ; (8)
  m (k ) – частота волны начального возмущения с волновым
числом k и азимутальным числом m;   k  z    T0 ;  (  ) T1  –
неизвестные
амплитудные
комплекснозначные
функции,
зависящие от медленного времени T1 .
3. Описание процедуры отыскания решения. Подстановка
разложений (7) в уравнения (1) – (6), использование оператора
 t  T0    T1 для вычисления производной по времени и
разложение условий (3) – (6) в ряд Тейлора в окрестности невозмущенной цилиндрической поверхности r  1 с последующим
выделением и суммированием слагаемых при одинаковых
степенях  с приравниванием их нулю позволяют получить
задачи различных порядков малости.
3a. Задача нулевого порядка малости. В нулевом приближении по  имеем состояние, которому соответствует неподвижный (в движущейся системе координат) цилиндрический столб
жидкости. Равновесный перепад давлений и электрическое поле
внутри и вне невозмущенной струи определяются выражениями:


P0(in)  P0  1    in   ex  E02 8 ;
190
(0)
(0)
 in
  ex
  E0  z.
3b. Задача первого порядка малости. Математическая
формулировка задачи первого порядка малости имеет вид
r 0:
 (1)  0;
(1)
in
 0;
 (1)  const;
(1)
in
 const;
(1)
ex  0;
r :
(1)
ex  const;
T0  (1)   r (1)  0;
r  1:
T0  (1) 
 in   ex
(0)
(1)
 z  ex
  z  ex
  (1)   (1)   zz (1)  0;
4




(1)
(0)
(0)
(1)
 in  r  in
  z  in
  z (1)   ex  r  (1)
;
ex   z  ex   z
(1)
(1)
 z in
  z  ex
;
(1)
 in
   (1)
ex ;
z0   2

z0
(1)

  , z, t  d dt  0.
0
На основании (7) и (8) для профиля волны в первом порядке
малости  (1)  z , , T0 , T1  получим выражение
 (1)   (  ) T1   exp  im    ( ) T1   exp  im    exp  i  .
(9)
Явный вид функций  (  ) T1  может быть определен лишь в
следующем порядке малости. Видно, что  (1) в виде (9) удовлетворяет условию неизменности объема (6).
Принимая во внимание, что в первом порядке малости потен(1)
циал поля скоростей  (1) и электростатические потенциалы in
(1)
и (1)
кинематическим граничным
ex связаны с функцией 
условием и граничными условиями для электрического поля,
(1)
и (1)
будем искать выражения для  (1) , in
ex методом разделения
переменных, представив их в виде
 (1)  r,T0 ,T1   I m  kr   B(  ) T1  exp  im   B( ) T1  exp  im   exp  i  ;


191
(1)
in
 r,T0 ,T1   I m  kr  C () T1  exp  im   C () T1  exp  im  exp  i  ;
 (  ) T1  exp  im   D( ) T1  exp  im   exp  i  ;
 (1)
ex  r, T0 , T1   K m  kr   D

(10)
(1)
и (1)
где зависимость функций  (1) , in
ex от координаты r определяется из уравнений Лапласа и должна удовлетворять условиям
ограниченности. Подставляя (9) и (10) в граничные условия и
приравнивая коэффициенты при экспонентах с одинаковыми
показателями, получим
B (  ) (T1 ) 
g
i (  ) (T1)
ig (  ) (T1 )
; C (  ) (T1 ) 
;
 (k )
k  Im
I m (k )
 ( x)
 E0  ( in   ex )  k
x  Im
; Gm ( x) 
;
I m ( x)
 in  Gm (k )   ex  H m (k )
D (  ) (T1 ) 
ig (  ) (T1 )
;
K m (k )
H m ( x) 
 ( x)
x  Km
;
K m ( x)
I m ( x) и K m ( x) – модифицированные функции Бесселя первого и
второго рода; штрихами обозначены производные функций
Бесселя по их аргументу. В итоге выражения для решений
первого порядка малости принимают вид
 (1)  r, T0 , T1  
i I m  kr  (  )
 T1  exp  im    ( ) T1  exp  im   exp  i  ;

 k  
kI m
(1)
in
 r,T0 ,T1   ig
 (1)
ex  r , T0 , T1   ig
I m  kr  (  )
 T1  exp  im    ( ) T1  exp  im   exp  i  ;

Im  k  
K m  kr  (  )
 T1  exp  im    (  ) T1  exp  im   exp  i  .

Km k  
(11)
Динамическое граничное условие после подстановки в него
(9) и (11) позволяет отыскать дисперсионное уравнение задачи,
связывающее волновое число k и азимутальное число m с
частотой колебаний m (k ) :
192

m2 (k )  Gm (k )   k 2


k 2  ( in   ex ) 2
 m 1 w
;
 in  Gm (k )   ex  H m (k ) 
E02
w
.
4
2
(12)
3с. Задача второго порядка малости. Математическая
формулировка задачи второго порядка малости имеет вид
r 0:
(2)  0;
(2)
in
 0;
 (2)  const;
(2)
in
 const;
(2)
ex  0;
(2)
ex  const;
r :
r  1:
 r  (2)  T0  (2)  T1 (1)   (1) rr (1)   (1)  (1)   z (1) z  (1) ;
 in   ex
(0)
(2)
 z  ex
 z  ex
  (2)   (2)   zz (2)  T0  (2) 
4
1
 (  (1) )2  ( (1) ) 2  2 (1)  (1)  T1  (1) 
2
 (1)T0 ,r  (1)  0.5 ( r  (1) )2  (  (1) )2  ( z  (1) )2  


  
(1) 2
2
(1) 2
(1)
(1)
)  ( (1)
 in ex ( r ex
  z (0)
ex )  ( z ex )  2
ex   rz ex
8 

  
(1) 2
(0)
   1 ( z (1) )2 ;
)  ( z (0)
)2 ( z (1) )2  2 z (1) z ex
 1  ex  ( r ex
 r (1)
ex
ex

 2
  in 



(2)
(0)
(0)
(2)
 in r  in
  ex  r  (2)

ex   in  z  in   ex  z  ex  z




(1)
(1)
(1)
(1)
  in rr  in
  ex  rr  ex
 (1)   in  z in
  ex  z  ex
 z (1) 


(1)
(1)
  in  in
  ex  (1)
ex  ;




(2)
(1)
(1)
(2)
(1)
(1)
 z  in
  z  ex
   rz  in
  rz  ex
 (1)   r  in
  r  ex
 z (1) 
193


(0)
(0)
 1 2   z  in
  z  ex
( z (1) ) 2 ;
(2)
 in
   (2)
ex
(1)
  in
 (1)
  (1)
ex
(1)
(1)
    r in
   r
 r
  r  ex
 (1) ;

r
r 



z0   2
  
z0
0
(2)

 1 2  ( (1) )2  d dt  0.

Таким образом, во втором порядке малости по  имеем неоднородные уравнения для отыскания поправок второго порядка
(2)
малости  (2) ,  (2) , in
и (2)
ex . Правые части этих уравнений
играют роль функций неоднородности и выражаются через
решения нулевого и первого порядков малости. На основании
вида неоднородностей в рамках метода разделения переменных
аналитические выражения для поправок второго порядка малости
естественно искать в виде
()
( )
 (2)  r, t    A22
exp  i 2m   A22
exp  i 2m   A02   exp  i 2   A00 

 A11(  )expim   A11(  ) exp im   expi   A20 expi 2m ;
()
( )
 (2)  r, t   I 2m  2kr    B22
exp  i 2m   B22
exp  i 2m    exp  i 2  


 I 0 2kr   B02 expi 2   r 2 m B20 expi 2m   B00 t  
 I m kr   B11(  )exp im    B11(  ) exp  im   exp i ;
(2)
()
( )
in
exp  i 2m   C22
exp  i 2m    exp  i 2  
 r, t   I 2m  2kr   C22

 I 0 2kr   C02 expi 2   r 2 mC20 expi 2m   C00 t  
 I m kr   C11(  ) exp im    C11(  ) exp  im    exp i ;
()
 ()

(2)
ex  r, t   K 2 m  2kr    D22 exp  i 2m   D22 exp  i 2m    exp  i 2  
194
 K0 2kr   D02 expi 2   r 2 m D20 expi 2m   ln r  D00 
()
()
 K m  kr    D11
exp  im   D11
exp  im   exp  i  .


(13)
(2)
и (2)
Зависимость поправок к потенциалам  (2) , in
ex в (13)
от радиальной переменной r , так же как и в задаче первого
порядка малости, несложно получить из уравнений Лапласа с
учетом условий ограниченности. После подстановки выражений
(13) в граничные условия и приравнивания коэффициентов при
экспонентах с одинаковыми показателями получим систему
уравнений для отыскания Anl(  ) , Bnl(  ) , Cnl(  ) и Dnl(  ) , n, l  {0;2} .
Решая эту систему уравнений, находим зависимость Anl(  ) от
комплексных амплитуд  (  ) , а также дифференциальное
уравнение для отыскания  (  ) :
T1 (  )  0,

A00   |  (  ) |2  |  (  ) |2
()
A22
 a1  ( () )2 ;

2;
A02  a2  2 (  ) (  ) ;
( )
A11
 0;
A20  a3  2 (  )  (  ) ;
(14)
где черта обозначает комплексное сопряжение. Выражения для
коэффициентов a1 , a 2 и a3 приведены в «Приложении В». Из
уравнения (14) следует, что комплексные амплитуды  (  ) , а
следовательно, и величины Anl(  ) , Bnl(  ) , Cnl(  ) и Dnl(  ) не зависят от
временного масштаба T1 . Коэффициенты Bnl(  ) , Cnl(  ) и Dnl(  ) для
определения поправок второго порядка малости к потенциалу
поля скоростей и электростатическим потенциалам внутри и вне
струи соответственно можно найти, зная ai , в виде
()
B22
 ib1  ( (  ) )2 
i
 2a1  X1  ( () )2 ; B00 (t )  2b0 A00  T0 ;
2k  I 2 m (2k )
B02  ib2  2 (  ) ( ) 
i
 2 a2  X 2   2 ( ) ( ) ; B11()  B20  0;
2k  I 0 (2k )
195
()
C22
 ic1  ( (  ) )2  i
M  ex H 2 m (2k )  2 L1  4kE0 ( in   ex )a1 (  ) 2
( ) ;
2  I 2 m (2k )  f 2m (2k )
C02  ic2  2 (  ) ( )  i
M  ex H 0 (2k )  2 L2  4kE0 ( in   ex )a2 (  ) ( )
  ;
I 0 (2k )  f0 (2k )
()
C11
 C20  C00  0;
()
D22
 id1  ( (  ) ) 2  i
()
D11
 D20  D00  0;
M  inG2 m (2k )  2 L1  4kE0 ( in   ex )a1 (  ) 2
( ) ;
2  K 2m (2k )  f 2 m (2k )
D02  id 2  2 (  ) ( )  i
M  inG0 (2k )  2 L2  4kE0 ( in   ex )a2 (  ) ( )
  ;
K 0 (2k )  f0 (2k )
L1  g  f m (k )  2( in   ex )(k 2  m2 )  ;


M m (k )  2 g Gm (k )  H m (k );
L2  g  f m (k )  2( in   ex )k 2  ;


f m (k )   inGm (k )   ex H m (k ).
(15)
Все вновь введенные обозначения приведены в «Приложении В».
Окончательно форма свободной поверхности струи в произвольный момент времени с учетом выражений (8), (13) и (14)
будет описываться соотношением
r ( z ,  , t )  1    cos( m ) cos( kz  t ) 
0.25   2 0.5   a1 cos(2m )  a2  cos  2( kz  t )   a3 cos(2m );
(16)
а выражения для потенциалов электрического поля внутри и вне
струи, а также для гидродинамического потенциала, учитывая
выражения (15), примут вид:
 (r, t )  
  I m (kr )
 (k )
k  Im
cos( m )  sin( kz  t ) 
 0.25   2  b0 t  b1  I 2 m ( 2kr ) cos( 2m )  b2  I 0 ( 2kr )  sin 2( kz  t );
 in (r, t )   E0  z  
g  I m ( kr )
cos(m )  sin( kz  t ) 
I m (k )
196
 0.25   2 c1  I 2 m ( 2kr ) cos( 2m )  c2  I 0 ( 2kr )  sin 2( kz  t );
 ex (r , t )   E0  z  
g  K m ( kr )
cos( m )  sin( kz  t ) 
K m (k )
 0.25   2 d 1  K 2 m ( 2kr ) cos( 2m )  d 2  K0 ( 2kr )  sin 2( kz  t ).
(17)
Коэффициенты b j , d j и c j выражаются через a j соотношениями (15).
4. Обсуждение полученных результатов. Из (16) и выражений для амплитудных коэффициентов a1 и a2 (см. «Приложение В») в нелинейных поправках к форме струи видно, что они
имеют резонансный вид: при выполнении соотношения
22m (2k )  4m2 ( k ),
(18)
обращается в нуль знаменатель в коэффициенте a1 , а при выполнении соотношения
02 (2k )  4m2 ( k ),
(19)
обращается в нуль знаменатель в коэффициенте a2 . В теории нелинейных волн эти обстоятельства интерпретируются как наличие нелинейного вырожденного резонансного взаимодействия
между волнами первого прядка малости, определяющими начальную деформацию струи, и волнами, возбуждающимися за счет
нелинейности уравнений гидродинамики. Резонанс (18) реализуется при произвольном виде волны, определяющей начальную
деформацию, и соответствует возбуждению за счет нелинейного
взаимодействия волны с вдвое меньшей длиной и вдвое большим
азимутальным числом. Резонанс (19) реализуется, когда волна,
определяющая начальную деформацию, возбуждает за счет
нелинейного взаимодействия осесимметричную ( m  0 ) волну с
вдвое меньшей длиной.
Резонансный обмен энергией между двумя осесимметричными волнами разной длины (заданной в начальный момент времени с волновым числом k и волной с вдвое большим волновым
числом 2k, возбуждение которой происходит в результате нели197
нейного взаимодействия) на стадии дробления струи может привести к образованию «сателлитов» – капель с размерами, меньшими размеров капель, на которые разбивается струя при отсутствии возмущающих воздействий. Указанное взаимодействие
имеет место только при W≠0, причем с увеличением диэлектрической проницаемости жидкости резонансное взаимодействие
может иметь место при меньших значениях W.
Резонансный обмен энергией между модами с различной
симметрией согласно расчетам на основе соотношения (18)
реализуется аналогично взаимодействию волн с одинаковой симметрий. Так, расчеты по (18) показывают, что резонансная перекачка энергии из заданной в начальный момент времени неосесимметричной волны с m=1 и волновым числом k в неосесимметричную волну с m=2 и волновым числом 2k может реализоваться
только при W≠0. С увеличением диэлектрической проницаемости
струи резонансное взаимодействие реализуется при меньших
значениях W .
Из (19) видно, что возможно резонансное взаимодействие
между осесимметричной модой m=0 и заданными в начальный
момент времени произвольными неосесимметричными модами с
m≠0. На кривой f 0 (k ,W )  4m2 k   02 2k   0 реализуется резонансное взаимодействие между заданной в начальный момент времени неосесимметричной волной с m =1 и волновым числом k и
осесимметричной волной m=0 с волновым числом 2k. При таком
взаимодействии энергия перекачивается из неосесимметричной
моды c m=1 к осесимметричной моде с удвоенным волновым
числом. Такой резонансный обмен энергией может иметь место и
при отсутствии на струе электрического заряда (при W=0).
Влияние величины напряженности электрического поля на
закономерности реализации резонансного взаимодействия сводится к изменению положений резонансов (к изменению волновых чисел и азимутальных параметров взаимодействующих волн
при варьировании W).
Приложение А. Выражения для ортов нормали и касательных n, τ , τ z к свободной поверхности струи:
n  e r 1  (1/ 2r 2 )(   ) 2  (1/ 2)( z  ) 2   e z (   ) 


198
e (1/ r )(   )  O ( )3 ;
τ  er (1/ r )(   )  e 1  (1/ 2r 2 )(   )2   O( )3;


τ z  er ( z  )  e z 1  (1/ 2)( z  )2   e (1/ r )(   )( z  )  O( )3.


Приложение B. Выражения для коэффициентов a1 , a 2 и a3 :
a1  P1 Q1 ;
Q1  4m2 ( k )  22m ( 2k );
Q2  4m2 ( k )  02 ( 2k );
a 2  P2 Q2 ;
P1  Y1G2 m ( 2k )  2  X 1  w / 4  kG2 m ( 2k ) in   ex  in M  G2 m ( 2k )  2 L1 ;
P2  Y2G0 ( 2k )  2  X 2  w / 4  kG0 ( 2k ) in   ex  in M  G0 ( 2k )  2 L2 ;
a3  Y3 ( 1  4m2 );
b0  Y4  0.5;
X 1  m (k )  2(k 2  m2 )  Gm (k )  Gm (k );
X 2  m (k )  2k 2  Gm ( k )  Gm (k );
k 2  5 m 2  2 k 2  m 2  3Gm2 ( k ) (  in   ex )
Y1  1 


2kg 4w  H m ( k ) 
2
2Gm2 ( k )
8



 1   ex  in  k 4w  g  H m ( k )  g 2 k 2  m 2  H m2 ( k );
2
k 2  3m 2  2 k 2  m 2  3Gm2 ( k ) (  in   ex )
Y2  1 


2kg 4w  H m ( k ) 
2
2Gm2 ( k )
8



 1   ex  in  k 4w  g  H m ( k )  g 2 k 2  m 2  H m2 ( k );
2
k 2  5m 2  2 k 2  m 2  Gm2 ( k ) (  in   ex )
Y3  1 


2kg 4w  H m ( k ) 
2
2Gm2 ( k )
8



 1   ex  in  k 4w  g  H m ( k )  g 2 k 2  m 2  H m2 ( k );
2
199
Y4  1 
k 2  3m 2  2 k 2  m 2  Gm2 ( k ) (  in   ex )


2kg 4w  H m ( k ) 
2
2Gm2 ( k )
8


 1   ex  in  k 4 w  g  H m (k )

2


 g 2 k 2  m2  H m2 (k )  .

Заключение
Проведённый в данном пособии обзор современной литературы показывает, что большая часть современных публикаций,
посвящённых распаду заряженных струй, является описанием
экспериментальных работ. Тем не менее, существуют корректные
аналитические методы исследования этого явления. В пособии
продемонстрировано применение таких методов к решению
различных задач, связанных с капиллярным распадом струй.
Разобраны аналитические методы расчёта волн с произвольной
симметрией на поверхности бесконечных струй идеальной и
вязкой жидкости в линейном и нелинейном приближении при
наличии внешнего электрического поля и собственного
электрического заряда. Рассмотрены возможности разбиения
струй на капли.
200
Вопросы и задания
1. Сформулировать основные положения теории распада
незаряженной струи идеальной жидкости.
2. Охарактеризовать особенности теории распада незаряженной струи вязкой жидкости.
3. Проанализировать влияние заряда на осесимметричный
распад струи идеальной жидкости.
4. Охарактеризовать влияние внешнего продольного электрического поля на осесимметричный распад струи идеальной
жидкости.
5. Сформулировать особенности распада струи идеальной
жидкости при наличии внешней материальной среды.
6. Сформулировать
особенности
неосесимметричного
капиллярного распада струи идеальной жидкости.
7. Проанализировать влияние заряда на осесимметричный
распад струи вязкой жидкости.
8. Охарактеризовать влияние внешнего продольного электрического поля на осесимметричный распад струи вязкой
жидкости.
9. Сформулировать особенности распада струи вязкой
жидкости при наличии внешней материальной среды.
10. Проанализировать влияние конечной проводимости на
распад струи вязкой жидкости.
11. Рассчитать нелинейную поправку к частоте волн на
поверхности заряженной струи идеальной жидкости.
12. Проанализировать влияние нелинейности на критические
условия развития неустойчивости волновых возмущений
поверхности струи идеальной жидкости.
201
Список литературы 1. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) // Phil. Mag. 1882. V. 14. P. 184–186.
2. Zeleny J. Instability of electrified liquid surfaces // Phys. Rev. 1917.
V. 10, № 1. P. 1–6.
3. Macky W. A. Some investigations on the deformation and breaking
of water drops in strong electric fields // Pros. Roy. Soc., London, 1931.
V. 133, № A822. P. 565–587.
4. Tonks L. A. // Phys. Rev. 1935. V. 48. P. 562–568.
5. English W. N. Corona from water drop // Phys. Rev. 1948. V. 74,
№ 2. P. 179–189.
6. Монодиспергирование вещества: принципы и применение //
Е. В. Аметистов, В. В. Блаженков, А. К. Городов и др. / под ред.
В. А. Григорьева. М.: Энергоатомиздат, 1991. 336 с.
7. Wagner A., Holl T. M. // J. Vacoom Sci. Techn. 1981. V. 19, № 4.
P. 1186–1189.
8. Габович М. Д. // УФН. 1983. Т. 140, № 1. С. 137–151.
9. Григорьев А. И., Ширяева С. О. // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14,
№ 18. С. 1637–1640.
10. Гасанов И. С., Гурбанов И. И. // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34,
№ 12. С. 42–47.
11. Fenn J. B., Mann M., Meng C. K. et al. // Science. 1989. V. 246,
№ 4926. P. 6471.
12. Григорьев А. И., Морозов В. В., Ширяева С. О. // ЖТФ. 2002.
Т. 72, вып. 10. С. 33 – 40.
13. Коженков В. И., Фукс Н. А. // Успехи Химии. 1976. Т. 45,
№ 12. С. 2274–2284.
14. Bailey A. G. // Atomization and Spray Technology. 1986. V. 2.
P. 95–134.
15. Григорьев А. И., Ширяева С. О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 3.
С. 3–22.
16. Mahoney J. F., Taylor S., Perel J. // IEEE Trans. Ind. Appl. 1987.
V. 23, № 2. Р. 197–204.
17. D'Cruz C., Pourrezali K. // J. Appl.Phys. 1985. V. 58, № 7.
P.2724–2730.
18. Woosley J. P., Turnbull R. J., Kim K//IEEE Trans. Ind. Appl.
1982. V. 18, №. 3. P. 314–320.
18. Дьячук В. А., Мучник В. М. // ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 1.
С. 60–63.
202
20. Grigor’ev A. I., Shiryaeva S. O. // Physica Scripta. 1996. V. 54.
P. 660–666.
[21] Ширяева С. О., Григорьев А. И., Волкова М. В. // ЖТФ.
2003. Т. 73, вып. 11. С. 31–36.
22. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Волкова М. В. // ЖТФ. 2005.
Т. 75, вып. 7. С. 40–47.
23. Григорьев А. И., Синкевич О. А. // ЖТФ. 1984. Т. 54, вып. 7.
С. 1276–1283.
24. Grigor’ev A. I., Grigor’eva I. D., Shiryaeva S. O. // J. Sci. Explor.
1991. V. 5, № 2. P. 163–190.
25. Григорьев А. И., Синкевич О. А. // ЖТФ. 1986. Т. 56, вып. 10.
C. 1985–1987.
26. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) // Proc. of the London Math. Soc.
1878. V. 10. P. 4–13.
27. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 2. М.:
Гостехиздат, 1955. 475 c.
28. Eggers J. // Rev. Mod. Phys. 1997. V. 69, № 3. P. 865–929.
29. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) // Phil. Mag. 1892. V. 34, serie 5.
P. 145–154.
30. Basset A. B. // Amer. J. Math. 1894. V. 16. P. 93–110.
31. Weber C. // Z. Angew. Math. Mech. 1931. Bd. 11, H. 3. S. 136–
154.
32. Левич
В. Г. Физико-химическая
гидродинамика.
М.:
Физматгиз, 1959. 700 c.
33. Kelvin, Lord W. // Phil. Mag. 1871. V. 42. P. 368–374.
34. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) // Phil. Mag. 1892. V. 34, serie 5.
P. 177–180.
35. Ентов В. М., Ярин А. Л. // ВИНИТИ. Итоги науки и техники.
Сер. «Механика жидкости и газа». 1984. Т. 17. С. 112–197.
36. Taylor G. Electrically driven jet // Proc. Roy. Soc., London. 1969.
V. A313. P. 453–470.
37. Taylor G. Disintegration of water drop in an electric field // Proc.
Roy. Soc., London, 1964. V. A280. P. 383–397.
38. Григорьев А. И., Синкевич О. А. // Изв. АН СССР. МЖГ.
1985. № 6. С. 10–15.
39. Baily A. G. Electrostatic spraying of liquids // Phys. Bull. 1984.
V. 35, № 4. P. 146–148.
40. Savart F. // Annal. chimic. 1833. Ser. 2. Vol. 53, № 3. P. 337–386.
41. Strutt J. W. (Lord Rayleigh) // Pros. Roy. Soc., London, 1879.
V. 28. P. 406–409.
203
42. Френкель Я. И. На заре новой физики. Л.: Наука, 1970. 384 с.
43. Schneider J. M., Lindblad N. R., Hendrics C. D., Crowley J. M.
Stability of an electrified liquid jet // J. Appl. Phys. 1967. V. 38, № 5.
P. 2599–2605.
44. Neukermans A. // J. Appl. Phys. 1973. V. 44, № 10. P. 4769–
4770.
45. Назин С. С., Изотов А. Н., Шикин В. Б. // ДАН СССР. 1985.
Т. 283, № 1. С. 121–125.
46. Герценштейн С. Я., Мусабеков П. М., Рудницкий А. Я.,
Уразов Ш. Н. // ДАН СССР. 1989. Т. 306. № 5. С. 1073–1077.
47. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Волкова М. В. Спонтанный
капиллярный распад заряженных струй. Ярославль: ЯрГУ, 2007. 340
с.
48. Grossmann S., Muller A. // Z. Phys. B: Condensed Matter. 1984.
V. 57. P. 161–174.
49. Григорьев А. И. // ЖТФ. 2002. Т. 72, вып. 7. С. 41–45.
50. Григорьев А. И. // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып.18. С. 72–
77.
51. Ширяева С. О. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 10. С. 32–40 .
52. Ширяева С. О. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 11. С. 36–42.
53. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Мокшеев П. В. // ЖТФ. 2007.
Т. 77, вып. 4. С. 32–40.
54. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Мокшеев П. В. // ЖТФ. 2008.
Т. 78, вып. 3. С. 11–20.
55. Tomita Yu., Ishibashi Yu., Yokoyama T. // Bulletin of JSME.
1986. V. 29, № 257. P. 3737–3743.
56. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Святченко А. А.
Классификация
режимов
работы
электрогидродинамических
источников ионов: препринт ИМ РАН № 25. Ярославль, 1993. 118 с.
57. Cloupeau M., Prunet Foch B. // J. Electrostatics. 1990. V. 25.
P. 165184.
58. Jaworek A., Krupa A. // J. Aerosol Sci. 1999. V. 30. № 7.
P. 873893.
59. Lopez-Herera J. M., Ganan-Calvo A. M. // J. Fluid Mech. 2004.
V. 501. P. 303–326.
60. Ganan-Calvo A. M., Lopez-Herera J. M., P. Riesco-Chuera
// J. Fluid Mech. 2006. V. 566. P. 421–445.
61. Saville D. Stability of electrically charged viscous cylinders //
Phys. of Fluids. 1971. V. 14, № 6. P. 1095–1099.
204
62. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Левчук Т. В., Рыбакова М. В.
// ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 5–12.
63. Френкель Я. И. // ЖЭТФ. 1936. Т. 6, № 4. С. 348–350.
64. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Левчук Т. В. // ЖТФ. 2004.
Т. 74, вып. 8. С. 6–14.
65. Ширяева С. О., Воронина Н. В., Григорьев А. И. // ЖТФ. 2006.
Т. 76, вып. 9. С. 31–41.
66. Magarvey R., Outhouse L. Note on the break up of charged liquid
jet // J. Fluid Mech. 1962. V. 13, № 1. P. 151–157.
67. Huebner A., Chu H. Instability and breakup of charged liquid jets
// J. Fluid Mech. 1971. V. 49, № 2. P. 361–372.
68. Григорьев А. И., Ширяева С. О., Белоножко Д. Ф., Климов
А. В. // ЭОМ. 2004. № 4. С. 34–40.
69. Кириченко В. Н., Михайлова А. Д., Полевов В. Н., ПетряновСоколов И. В. // ДАН СССР. 1988. Т. 302, № 2. С. 284–287.
70. Григорьев А. И. // ЖТФ. 1986. Т. 56, вып. 7. С. 1272–1278.
71. Григорьев А. И., Ширяева С. О. // ЖТФ. 1991. Т. 61, вып. 3.
С. 19–28.
72. Григорьев А. И., Ширяева С. О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 3.
С. 3–22.
73. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Левчук Т. В. // ЖТФ. 2003.
Т. 73, вып. 11. С. 22–30.
74. Гиневский А. Ф., Мотин А. И. // ИФЖ. 1991. Т. 60, № 4.
С. 576–581.
75. Saville D. A. // J. Fluid Mech. 1971. V. 48, № 4. P. 815–827.
76. Mestel A. J. // J. Fluid Mech. 1994. Vol. 274. P. 93–113.
77. Mestel A. J. // J. Fluid Mech. 1996. Vol. 312, № 2. P. 311–326.
78. Шкадов В. Я., Шутов А. А. // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 2.
С. 29–40.
79. Shkadov V. Ya., Shutov A. A. // Fluid Dynamic Res. 2001. V. 28.
P. 23–39.
80. Белоножко Д. Ф., Григорьев А. И. // ЖТФ. 2004. Т. 74,
вып. 11. С. 22–28.
81. Белоножко Д. Ф., Ширяева С. О., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2005. Т. 75, вып. 2. С. 37–44.
82. Григорьев А. И., Воронина Н. В., Ширяева С. О. // ЖТФ. 2008.
Т. 78, вып. 2. С. 33–41.
83. Nayyar N. K., Murty G. S. // Proc. of the Phys. Soc. 1960. V. 75,
pt. 3, № 483. P. 369–373.
84. Saville D. A. // Phys. of Fluids. 1970. V. 13, № 12. P. 2987–2994.
205
85. Глонти Г. А. // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, № 5. С. 1328–1330.
86. Raco R. J. // AIAA Journal. 1968. V. 6, № 5. P. 979–980.
87. El-Sayed M. F., Mohamed A/A., Metwaly T. M. N. // Physica A:
Stat. Mech. and its Appl. 2007. V. 379. Issue 1. P. 59–80.
88. Elazab S. S. // Phys. Scripta. 1996. V. 54. P. 522–524.
89. Шутов А. А. // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 6. С. 52–67.
90. Feng J. J. // J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2003. V. 116.
P. 55–70.
91. Зубарев Н. М., Зубарева О. В. // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30,
вып. 1. С. 51–55.
92. Zubarev N. M., Zubareva O. V. // Phys. Rev. E. 2005. V. 71,
№ 016307. 6 с.
93. Григорьев А. И. // ЖТФ. 2001. Т. 71, вып. 10. С. 1–7.
94. Кириченко В. Н., Петрянов-Соколов И. В., Супрун Н. Н.,
Шутов А. А. // ДАН СССР. 1986. Т. 289, № 4. С. 817–820.
95. Кириченко В. Н., Супрун Н. Н., Петрянов-Соколов И. В.
// ДАН СССР. 1987. Т. 295, № 4. С. 553–555.
96. Turnbull R. // IEEE Trans. Ind. Appl. 1989. V. 25, № 4. P. 699–
704.
97. Ganan-Calvo A. M. // J. Fluid Mechanics. 1997. V. 335. P. 165–
188.
98. Шутов А. А., Захарьян А. А. // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 4. С. 12–
15.
99. Ширяева С. О. // ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып. 4. С. 20–27.
100. Григорьев А. И., Ширяева С. О. // ЖТФ.
1999. Т. 69,
вып. 7. C. 10–14.
101. Ширяева С. О. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 6. С. 44–54.
102. Ширяева С. О. // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 3. С. 93–95.
103. Григорьев А. И. // ЖТФ. 2008. Т. 78, вып. 2. С. 20–32.
104. Yuen M. // J. Fluid Mech. 1968. Vol. 33, part 1. P. 151–163.
105. Wang D. P. // J. Fluid Mech. 1968. Vol. 34, part 2. P. 299–313.
106. Nayfeh F. H. // Phys. Fluids. 1970. V. 13, № 4. Р. 841–847.
107. Bogy D. B. // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 207–228.
108. Malik S. K., Singh M. // Quart. Appl. Math. 1983. V. 41. № 3.
P. 273–287.
109. Kant R., Malik S. K. // Quart. Appl. Math. 1986. V. 43. № 4.
P. 407–419.
110. Горшков В. Н., Чабан М. Г. // ЖТФ. 1999. Т. 69, вып. 11.
С. 1–9.
206
111. Григорьев А. И., Ширяева С. О., Жаров А. Н., Коромыслов
В. А. // ЭОМ. 2005. № 3. С. 25–36.
112. Григорьев А. И., Ширяева С. О., Жаров А. Н., Коромыслов
В. А. // ЭОМ. 2005. № 4. С. 24–35.
113. Григорьев А. И., Жаров А. Н., Ширяева С. О. Нелинейные
капиллярные колебания заряженных уединенных капель. Ярославль:
ЯГТУ, 2006. 276 с.
114. Белоножко Д. Ф., Ширяева С. О., Григорьев А. И.
Нелинейные
волны
на
заряженной поверхности жидкости.
Ярославль: ЯрГУ, 2006. 288 с.
115. Ширяева С. О., Григорьев А. И., Левчук Т. В. // ЖТФ. 2004.
Т. 74, вып. 8. С. 6–14.
116. Григорьев А. И., Ширяева С. О., Егорова Е. В. // ЭОМ. 2005.
№ 1. С. 42–50.
117. Ширяева С. О., Воронина Н. В., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2006. Т. 76, вып. 9. С. 31–41.
118. Ширяева С. О., Воронина Н. В., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2007. Т. 77, вып. 2. С. 46–55.
119. Филипс О. М. Взаимодействие волн // Нелинейные волны.
М.: Мир, 1977. С. 197–220.
120. Tsamopolous J. A., Brown R. A. // J. Fluid Mech. 1983. V. 127.
P. 519–537.
121. Ширяева С. О. // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 173–184.
122. Ширяева С. О. // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 17. С. 28–
35.
123. Жаров А. Н., Ширяева С. О., Григорьев А. И. // ЖТФ. 2003.
Т. 73, вып. 12. С. 9–19.
124. Рыбакова М. В., Ширяева С. О., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2004. Т. 74, вып. 1. С. 24–31.
125. Doo-Sung Lee // The European Phys. J., Ser.B. 2003. V. 33.
P. 487–494.
126. Ширяева С. О., Воронина Н. В., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2008. Т. 78, вып. 6. С. 1–14.
127. Ширяева С. О., Воронина Н. В., Григорьев А. И. // ЖТФ.
2008. Т. 78, вып. 7. С. 21–29.
128. Белоножко Д. Ф., Григорьев А. И. // ЖТФ. 2003. Т. 73,
вып. 11. С. 37–45.
129. Ширяева С. О. // Изв. РАН. МЖГ. 2008. № 5. С. (в печати).
130. Жаров А. Н., Григорьев А. И., Ширяева С. О. // ЖТФ. 2005.
Т. 75, № 12. С. 33–46.
207
131.
Жаров
А. Н.,
Григорьев
А. И.
Аналитический
асимптотический расчет нелинейных осцилляций заряженного
пузырька в вязкой среде: препринт № 32. ИМИ РАН. Ярославль, 2005.
16 с.
132. Маркова М. П., Шкадов В. Я. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972.
№ 3. С. 30–37.
133. Новиков А. А. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 2. С. 179–
182.
134. HohmanM. M., Shin M., Rutledge G., Brenner M. P. // Phys.
Fluids. 2001. V. 13, № 8. Р. 2201–2220.
135. Garcia F. J., Castellanos A. // Conf. Rec. 1999 Annu. Meet. IEEE
Electr. Ins. Diel. Phenom. ISBN 0-7803-5414-1. 1999. P. 346–349.
136. Lopez-Herera J. M., Riesco-Chueca P., Ganan-Calvo A. M.
// Phys. Fluids. 2005. V. 17, № 034106. Р. 1–22.
137. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир,
1981. 640 с.
138. Владимиров В. В., Горшков В. Н. // ЖТФ. 1990. Т. 60, № 11.
C. 197–200.
139. Бухаров А. В., Гиневский А. Ф., Коновалов Н. А. // ИФЖ.
1991. Т. 60, № 4. С. 582–586.
140. Герценштейн С. Я., Мусабеков П. М., Рудницкий А. Я.,
Умаркулов К. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 2. С. 55–62.
141. Блаженков В. В., Гиневский А. Ф., Гунбин В. Ф., Дмитриев
А. С., Щеглов С. И. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. № 3. С. 54–60.
142. Горшков В. Н., Мозырский Д. В // ЖТФ. 1996. Т. 66, вып. 10.
С. 15–25
143. Huynh H., Ashgriz N., Mashayek F. // J. Fluid Mech. 1996.
V. 320. P. 185–210.
144. Чесноков Ю. Г. // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 8. С. 31–38.
145. Higuera F. J. // J. Fluid Mech. 2003. V. 484. P. 303–327.
146. Higuera F. J. // J. Fluid Mech. 2004. V. 513. P. 239–246.
147. Higuera F. J. // J. Fluid Mech. 2006. V. 558. P. 143–152.
148. Бураев Т. К., Верещагин И. П., Пашин Н. М. // Сильные
электрические поля в технологических процессах. М.: Энергия. 1979.
№ 3. С. 87–105.
149. Краснов Н. В., Мурадымов М. З., Шевченко С. И. // Научное
приборостроение. 1991. Т. 1. № 1. С. 42–51.
150. Drozin V. G. // J. Coll. Sci. 1955. V. 10, № 1. P. 158–164.
151. Бураев Т. К., Пашин Н. М. // Электричество. 1971. № 4.
С. 70–79.
208
152. Carson H. S., Hendrics C. D. // J. Coll. Sci. 1965. V. 6. P. 1072–
1075.
153. Коженков В. И., Кирш А. А., Фукс Н. А. // КЖ. 1974. Т. 36,
№ 6. С. 1168–1171.
154. Hendrics C. D., Carson H. S., Hogan J. J., Schneider J. M.
//AIAA Journal. 1964. V. 2, № 4.
155. Hayati I., Bailey A. I. Tadros Th. F. // J. Coll. Int. Sci. 1987.
V. 117, № 1. P. 205–221.
156. Hayati I., Bailey A. I. Tadros Th. F. // J. Coll. Int. Sci. 1987.
V. 117, № 1. P. 222–230.
157. Попов С. И., Петрянов И. В. // ДАН СССР. 1970. Т. 195,
№ 4. С. 893–895.
158. Pfeifer R. J. // Phys. Fluids. 1973. V. 16, № 3. P. 454–455.
159. Ширяева С. О., Григорьев А. И. // 1994. ЖТФ. Т. 64, вып. 3.
С. 13–25.
160. Belonozhko D. F., Shiryaeva S. O., Grigor’ev A. I. // Proceedings
of 17-th Annual Conference on Liquid Atomization and Spray System.
Zurich. Switzerland. 2–6 September 2001. ISBN 3-9522244-1-3.
161. Cloupeau M., Prunet Foch B. // J. Electrostatics. 1989. V. 24.
P. 135–159.
162. Fernandes de la Mora J., Loscertales I. G // J. Fluid Mech. 1994.
V. 260. P. 155–184.
163. Marginean I., Parvin L., Hefferman L., Vertes A.// Anal. Chem.
2004. V. 76. P. 4202–4207.
164. Fernandes de la Mora J. // Ann. Rev. Fluid Mech. 2007. V. 39.
P. 217–243.
165. Collins R. T., Jones J. J., Harris M. T., Basaran O. A. // Nature
Phys. 2008. V. 4, № 2. P. 149–154.
166. Ширяева С. О., Григорьев А. И. Скаляризация векторных
краевых задач гидродинамики. Ярославль: ЯрГУ, 2010. 180 с.
167. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным
функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.
168. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных
сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
169. Ширяева С. О., Григорьев А. И. // ЭОМ. 2009. № 5. С. 9–17.
170. Longuet-Higgins M. S. // Royal Soc. London. Trans. Ser. A.
1953. V. 245, № 903. P. 535–581.
171. Белоножко Д. Ф., Григорьев А. И. // ЖТФ. 2007. Т. 77,
вып. 8. С. 19–28.
209
Оглавление 1. Введение. Ретроспектива исследований устойчивости
и спонтанного капиллярного распада заряженных струй...... 3 2. Линейные осцилляции и капиллярный распад заряженных
жидких струй ........................................................................... 62 2.1. Линейные осцилляции и распад незаряженной
цилиндрической струи идеальной жидкости .................... 67 2.2. Линейные осесимметричные осцилляции и распад
незаряженной цилиндрической струи вязкой жидкости. 73 2.3. Линейные неосесимметричные осцилляции
и распад заряженной цилиндрической струи .................... 83 Приложение .................................................................................... 133 2.4. Об устойчивости объёмно заряженной струи
диэлектрической жидкости, ускоренно движущейся
в коллинеарном струе электрическом поле ..................... 149 2.5. Расчет волновых движений на поверхности
цилиндрической струи маловязкой жидкости
в рамках теории пограничного слоя ................................. 164 3. Нелинейные неосесимметричные волны на поверхности
незаряженной диэлектрической струи в продольном
электростатическом поле ...................................................... 187 Заключение ..................................................................................... 200 Вопросы и задания ......................................................................... 201 Список литературы......................................................................... 202 210
Учебное издание
Григорьев Александр Иванович
Ширяева Светлана Олеговна
Воронина Наталья Викторовна
Методы расчета
устойчивости капиллярных волн
на поверхности заряженной струи
Учебное пособие
Редактор, корректор Л. Н. Селиванова
Верстка И. Н. Иванова
Подписано в печать 25.07.11. Формат 6084 1/16.
Бум. офсетная. Гарнитура "Times New Roman".
Усл. печ. л. 12,32. Уч.-изд. л. 10,92.
Тираж 30 экз. Заказ
.
Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе
Ярославского государственного университета
им. П. Г. Демидова.
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова.
150000, Ярославль, ул. Советская, 14.
Отпечатано на ризографе.
ООО «КопиЦентр»
150000, Ярославль, ул. Первомайская, 37а, оф. 1
тел. (4852) 73-10-88.
211
212