Лекция 3 Модель жидкой капли. 1. О ядерных моделях Свойство

Лекция 3
Модель жидкой капли.
1. О ядерных моделях
Свойство насыщения ядерных сил, вытекающее, в свою очередь, из их
короткодействия и отталкивания на малых расстояниях, делает ядро похожим
на жидкость. Силы, связывающие молекулы жидкости, тоже насыщаются, а
энергия испарения линейно увеличивается с увеличением массы. На этой
основе был создан способ описания ядра в модели жидкой капли, который
был предложен в 1935 году Вайцзеккером.
Можно ли решить задачу без моделей, строго? Ядро- совокупность нуклонов,
каждый из которых сохраняет свою структуру и свойства. Масса нуклона
≈940 Мэв/с2, а для перевода нуклона в первое возбужденное состояние нужна
энергия ≈300 Мэв. В то же время средняя кинетическая энергия нуклона в
ядре ‹ TN ›≈ 20Мэв. Очевидно, что средняя кинетическая энергия нуклона
много меньше энергии покоя нуклона ≈940 Мэв. Это означает, что правомерно использовать нерелятивистскую квантовую теорию, т.е. уравнение
Шредингера для системы А частиц в ядре.
HΨ = EΨ,
(1)
Где гамильтониан H = ∑ T  +∑∑ V   , где Т  - оператор кинетической
энергии нуклона; V   - потенциал взаимодействия нуклонов  и  (парный потенциал). V   - близок к потенциалу элементарного нуклоннуклонного (NN) взаимодействия. Последний уточняется в физике высоких
энергий (физике частиц), а на долю теории ядра остается решение задачи
многих тел.
Трудности решения уравнения Шредингера (1) для ядра:
1) NN- взаимодействие до конца не изучено;
2) проблема А сильно взаимодействующих тел строго не решена для А› 4.
Последнюю и главную трудность можно обойти, используя для упрощения
модели ядра, в которых уже задаются (угадываются) некоторые наиболее
существенные его свойства. Одна из первых и простейших моделей ядрамодель жидкой капли, откуда и следует формула Вайцзеккера для энергий
связи ядер.
2.Полуэмпирическая формула Вайцзеккера.
Удельная энергия связи , это энергия связи рассчитанная на один нуклон


E св . Хорошо известна зависимость удельной энергии связи от массового
A
числа A : удельная энергия связи для всех ядер, за исключением самых легких
(до A  10 ), почти постоянная величина и равна в среднем примерно 8 МэВ.
Если удельная энергия связи является константой, то сама энергия связи
пропорциональна числу нуклонов в ядре:
E св    A , 
 const.
Этот факт определенно свидетельствует о том, что ядерные силы являются короткодействующими – их радиус действия порядка размеров самих
нуклонов в ядре. Отсюда следует, что ядерные силы способны насыщаться.
Насыщение означает, что каждый нуклон в ядре взаимодействует только с
несколькими соседними нуклонами. В этом отношении ядерные силы
аналогичны химическим силам, обуславливающим валентность химических
элементов. Насыщением ядерных сил объясняется, почему энергия связи в
грубом приближении пропорциональна массовому числу A . Действительно,
если бы каждый нуклон взаимодействовал со всеми другими нуклонами ядра,
то
энергия
E св 
связи
была
бы
пропорциональна
A!
2
~ A A 1  ~ A . Но этого нет – энергия связи пропорцио2! A  2! !
нальна первой степени А. Отсюда ε~ const.
Вытекающее из постоянства удельной энергии связи свойство насыщения ядерных сил приводит к мысли об аналогии между ядерным веществом
и жидкостью: силы, связывающие молекулы жидкости, также обладают
способностью насыщаться, а энергия испарения жидкости линейно зависит от
ее массы, подобно тому, как энергия связи ядра линейно связана с его массой.
Это дает основание рассматривать атомное ядро как каплю несжимаемой
жидкости.
Основные
положения
капельной
модели
ядра
были
сформулированы Вайцзеккером. Им была впервые получена эмпирическая
формула для расчета энергии связи ядра, состоящая из нескольких слагаемых.
Первый член в формуле констатирует, что для бесконечной ядерной материи,
не имеющей поверхности,
Eсв
была бы пропорциональна
член объемной энергией и обозначим
E об  a об А
A
. Назовем этот
, но ядро имеет
поверхность. Нуклоны, находящиеся на поверхности, связаны меньше, чем
нуклоны в глубине ядра, и чем больше поверхность, тем меньше должна быть
энергия связи. Поэтому необходимо ввести в формулу для энергии связи
слагаемое, которое называют поверхностной энергией
E пов ,
пропор-
циональное поверхности ядра. Поверхностная энергия входит в формулу со
знаком минус. Так как поверхностная энергия пропорциональна поверхности,
т.е. квадрату радиуса ядра, а радиус ядра пропорционален
поверхностную энергию записывают в виде
E пов  а пов  А
2
A
1
3,
то
3.
Далее надо учесть то обстоятельство, что ядерная “жидкость” имеет
заряд
Z
. Этот заряд обусловлен протонами ядра, которые испытывают
кулоновское отталкивание и, следовательно, ослабляют ядерные силы
притяжения. Именно этими силами объясняется небольшое уменьшение
удельной энергии связи для тяжелых ядер. Кулоновская энергия является
составной частью энергии связи со знаком минус. Для равномерного
2 2
e
R
3
распределения заряда, как известно, электрическая энергия равна  Z
5
.
Кулоновские силы – дальнодействующие, и поэтому кулоновская энергия
пропорциональна
E кул  а кул 
1
3.
Z А
2
числу
взаимодействующих
пар,
то
есть
Согласно модели ядра как жидкой капли, энергия связи
ядра должна была бы содержать три составляющих. Опытные данные,
накопленные в ходе изучения свойств ядер, указывают на наличие еще двух
слагаемых в формуле для энергии.
Опыт показал, что ядра, состоящие из одинакового числа нейтронов и
протонов
N  Z  ,
обладают большей устойчивостью, большей энергией
связи, чем с разными. Отклонение от равенства
N Z
в любую сторону
ведет к уменьшению энергии связи. Этот должно быть учтено в формуле для
энергии. Член, учитывающий такое уменьшение энергии, получил название
энергии симметрии. Он берется в следующем виде:
E сим  a сим
N
Z

2
A
А  2Z 
2
 a сим
A
и вводится в формулу со знаком минус.
Последнее слагаемое в формуле для энергии связи связано со следующим. Ядра с четным
A
можно разделить на две группы: четно-четные ядра
с четным числом нейтронов и протонов и нечетно-нечетные ядра с нечетным
числом, как нейтронов, так и протонов. Опыт показывает, что четно-четные
ядра имеют систематически большую энергию связи, нежели нечетные, в то
время как ядра нечетно-нечетные имеют меньшую энергию связи. Особенно
четко это наблюдается в области легких ядер. Такая особенность в поведении
удельной энергии связи отражается в формуле для энергии связи добавкой
члена, имеющего вид  


 


 0


 
A
3
4,
где
 для четно  ченых ядер
 для нечетных ядер
 для нечетно  нечетных ядер
В том обстоятельстве, что энергия связи оказывается систематически
большей для ядер, содержащих четное число нейтронов и протонов, проявляется эффект парного взаимодействия между частицами одного типа. Этот
эффект получил название спаривания одинаковых нуклонов в ядре. При спаривании, как показывают измерения ядерных масс, энергия связи возрастает
приблизительно на 1 МэВ. Эта дополнительная энергия называется энергией
спаривания.
Итак,
в окончательном виде энергия связи ядра может быть
представлена формулой:
A  2Z 
2
E св  a об А  a пов А
2
3
2
1
a кул Z А
3
a сим
A
3
  А
4
(2)
Эта формула получила название полуэмпирической формулы Вайцзеккера.
Коэффициенты в формуле подбираются так, чтобы получилось наилучшее
согласие с опытом. В настоящее время приняты следующие значения:
aоб  15.65

МэВ,
aпов 
17,2 МэВ,
a кул 
0,72 МэВ,
aсим 
23,7 МэВ,
 34 МэВ.
Формула Вайцзеккера для энергии связи в большинстве случаев
справедлива с точностью до нескольких МэВ и чрезвычайно полезна при
выяснении всех существенных общих свойств ядер. Однако некоторые детали
не отражаются этой формулой должным образом. Сюда относятся, например,
особая устойчивость “магических” ядер и флуктуации энергии спаривания.
ГЛАВНОЕ В ЭТОЙ ЛЕКЦИИ
Ядро –система связанных нуклонов. Чтобы его разделить на составные
нуклоны, нужно затратить некую минимальную энергию, называемую
энергией связи ядра Есв. Удобно иметь дело с так называемой удельной
энергией связи ε - энергией связи на один нуклон. Для массового числа
А>20 удельная энергия ε ≈ 8 Мэв. Для разрыва химической связи
(электромагнитные силы) нужна энергия в 106 раз меньше. С точки зрения
запасов энергии 1г ядерного топлива соответствует примерно 1т химического
топлива.
В теории атомного ядра используются различные модельные представления о
структуре ядер. Наиболее известными являются капельная и оболочечная
модели ядра.
Если отвлечься от быстрого изменения удельной энергии в легчайших ядрах и
медленного в тяжелых, можно считать, что в первом приближении удельная
энергия связи для большинства ядер остается постоянной. Поэтому энергия
связи большинства ядер приближенно пропорциональна числу нуклонов:
Есв≈ α А (объемная энергия), где α- коэффициент пропорциональности. Для
получения более точной формулы нужно учесть ряд факторов: наличие у ядра
поверхности, кулоновское взаимодействие протонов и ограничения,
связанные с квантовой симметрией системы нуклонов. В результате вместо
формулы , дающей вклад в ядерную энергию связи только его объемной
энергии, возникает более сложная формула, содержащая поправки на
поверхностную энергию, кулоновскую энергию и энергию симметрии
(полуэмпирическая формула Вайцзеккера)
A  2Z 
2
2
E св  a об А  a пов А 3  a кул Z
2
1
А
3
a сим
A
3
  А
4
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер
определяется только различием энергий кулоновского отталкивания в этих
ядрах, вычислить радиусы зеркальных ядер 23 Na , 23Mg .
 23

E св  Na   186,56 МэВ ,
 23

E св  Mg   181,72 МэВ


Решение. Кулоновская энергия равномерно заряженного шара радиуса
R
определяется соотношением
Z
3Z
E кул  5
1
e
2
R
Обозначим заряд ядра 23 Na
как
Z
,а ядра 23Mg
как
Z
 1 . Тогда
разность энергий связи будет
 E св  E св
A , Z  E A , Z
св

1
6Z e

5 R
2
откуда
2
R
6Z e
.

5  Е св
Преобразуем последнюю формулу используя выражение для постоянной
тонкой структуры
2
1
e
   c  137
.
5 Zc е
 

6  E св с
2
R
Учитывая, что с  197 МэВ  Фм , получим
R
6 11 1,44 МэВ  Фм
5  4,84 МэВ
На основе эмпирической зависимости
R


 3,9 Фм
R  1,23  A
1
3
получаем
23
Mg  R Na   123  23 3  3,5 Фм
23
1
Задача 2. Из сравнений энергии связи зеркальных ядер 11 B и 11C
оценить величину
r0
в формуле
1
R  r03 A
.
Решение. Для равномерно заряженной сферы разность энергий связи
ядер
2
2
2
1
 E св  6Ze , R  6Ze , r 0 A 3  6c  e ,
 E св c
5R
5E св
r0 
6197 МэВ  Фм
2,76 МэВ 1372,22
Задача 3. Ядро 27 Si в результате


 1.4 Фм
распада переходит в “зеркаль-
ное” ядро 27 Al . Максимальная энергия позитронов 3, 48 МэВ. Оценить
радиус этих ядер.
Решение.
 E св  6Ze
5R
2
, где Z – атомный номер ядра
27
Al
,
2
6Ze .
R 
5E св
Максимальная энергия спектра позитронов при


распаде
Q  E св  A, Z  1  E св  A, Z   mn  m p   me 
 E св  A, Z  1  E св  A, Z   1.8 МэВ 
  E св  1.8 МэВ

2
R  5 Q 16.Ze
8 МэВ


6 13 1.44 МэВ  Фм
53.48  1.8 МэВ
 4,3 Фм .
Задача 4. Используя формулу Вайцзеккера, получить соотношение для
вычисления энергии спонтанного деления на два осколка и рассчитать
энергию симметричного деления ядра 238U .
Решение. Энергия деления ядра на два одинаковых осколка
Q  mисх  2mоск   2W оск  W исх , где mисх и mоск
- массы исходного
ядра и каждого из осколков, а W исх и W оск - их энергии связи. Формула
Вайцзеккера для энергии связи ядра содержит пять членов. Последний член
вследствие его малости рассматривать не будем. Поскольку при делении ядра
на два одинаковых осколка
Aоск  Aисх 2
Z оск  Z исх 2 , то энергия
и
деления ядра будет зависеть только от второго и третьего членов формулы –
поверхностной и кулоновской энергии
пов
кул
пов
кул
 W исх
 2W оск
 2W оск
Q  W исх
Поверхностная энергия осколков
2W
пов
оск
2
3
оск
 2a пов  А


 2a пов  Аисх 
 2 
2
3
1
 2 
 2
2
3
2
a пов  Аисх3 
1
пов
пов
 2 3 W исх
 1.26W исх
Кулоновская энергия осколков
2W
Q
 0,37W
кул
оск
2
кул
кул
2
3W
 2а кул Z оск

2
исх  0,63W исх
1
Аисх3
кул
исх  0,26
W
пов
исх  0,37
2
2
Z  0,26
3  180
а кул исх
a
А
исх
пов
1
Аисх3
МэВ