Глава 20. Интерференция света

Тольяттинский государственный университет
Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина С.Н.
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 8
ОПТИКА
Тольятти 2007
Содержание
Глава 20. Интерференция света .......................................................................................................................................3
§19. Природа света. Корпускулярно-волновой дуализм..........................................................................................3
§20. Явление интерференции .....................................................................................................................................4
Условия максимума и минимума при интерференции.......................................................................................5
§21. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников ........................................................6
§22. Интерференция света в тонких пленках............................................................................................................9
Кольца Ньютона...................................................................................................................................................12
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................13
Глава 21. Дифракция света.............................................................................................................................................14
§23. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля .............................................................................................14
§24. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света.......................................................................14
§25. Дифракция Френеля на круглом отверстии ....................................................................................................17
§26. Дифракция Фраунгофера на одной щели ........................................................................................................18
§27. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке ..................................................................................19
§28. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Бреггов ........................................................20
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................23
§29. Разрешающая способность оптических приборов..........................................................................................23
§30. Голография.........................................................................................................................................................25
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................27
Глава 22. Поляризация света..........................................................................................................................................27
§31. Естественный и поляризованный свет ............................................................................................................27
§32. Закон Брюстера..................................................................................................................................................30
§33. Двойное лучепреломление ...............................................................................................................................31
Вопросы для повторения.....................................................................................................................................32
2
Глава 20. Интерференция света
§19. Природа света. Корпускулярно-волновой дуализм
К началу 18 века существовало две точки зрения (два противоположных подхода) к
объяснению природы света:
1) корпускулярная теория Ньютона,
2) волновая теория Гюйгенса.
1) Согласно корпускулярной теории – свет представляет собой поток частиц (корпускул),
испускаемых светящимися телами и летящим по прямолинейным траекториям. Движение
световых частиц Ньютон подчинял законам механики. В пользу корпускулярной теории
говорят явления: прямолинейного распространения света, законы геометрической оптики. Так,
отражение света получалось аналогично отражению упругого шарика при ударе о плоскость,
где также соблюдается закон равенства углов падения и отражения.
Согласно корпускулярной теории Ньютона:
sin α V
= = n,
(19.1)
cos β c
по Ньютону V>c.
2) Согласно волновой теории Гюйгенса – свет представляет собой упругую волну,
распространяющуюся в особой среде – эфире, который заполняет все мировое пространство,
пронизывает все тела и обладает механическими свойствами – упругостью и плотностью.
Волновая теория основывается на принципе Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит
волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового
фронта в следующий момент времени. Принцип Гюйгенса позволяет анализировать
распространение волны и вывести законы отражения и преломления света. Волновая теория
объясняла явление дифракции (отклонение света от прямолинейного распространения.) и
интерференции (наложение волн).
Итак, обе эти теории объясняли прямолинейное распространение света, законы отражения и
преломления, но приходили к разным выводам. 18 век стал веком борьбы этих теорий.
В 1851 году Физо определил скорость света в вакууме и в воде и получил, что с>V,
корпускулярная теория была отвергнута, а волновая восторжествовала, хотя не могла объяснить
явления фотоэффекта, давления света и законов теплового излучения чёрных тел.
Все затруднения и противоречия были преодолены в 1900 году благодаря смелой гипотезе
немецкого физика Макса Планка. Он предположил, что излучение и поглощение света
происходит не непрерывно, а дискретно, т.е. определёнными порциями (квантами), эту
гипотезу поддержал затем в1905 г. Эйнштейн, энергия которых определяется частотой ν :
ε = hν ,
(19.2)
где h = 6.62 ⋅ 10 −34 - постоянная Планка.
Итак, свет распространяется в виде потока световых квантов - фотонов, энергия которых
определяются формулой (19.2), а масса:
ε = hν ;
hν = m ф c 2 ⇒
hν
h
=
.
(19.3)
2
c
λc
Квантовые представления о свете хорошо согласуются с законами излучения и поглощения
света, законами взаимодействия света с веществом. Явления интерференции, дифракции и
поляризации хорошо объясняются на основе волновых представлений.
тф =
3
Всё многообразие изученных свойств и законов распространения света. Его взаимодействия
с веществом показывают, что свет имеет сложную природу.
В 20-е годы 20-го века была создана квантовая механика, в рамках которой удалось
объединить корпускулярные и волновые явления.
Свет – достаточно сложный объект, в одних случаях проявляется его волновые свойства в
других корпускулярные (на расстояние l > λ -проявляются волновые свойства, а на расстояние
l < λ -корпускулярные), он единство дискретности и непрерывности.
Итак, свет обладает корпускулярно - волновым дуализмом и световые явления можно
разделить на две группы: волновые и корпускулярные.
§20. Явление интерференции
Интерференцию света можно объяснить, рассматривая интерференцию волн (т.е. наложение
волн).
Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т.е. согласованное
протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.
Этому условию удовлетворяют монохроматические волны, т.е. неограниченные в
пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты.
Ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, следовательно,
волны, излучаемые, любыми независимыми источниками света, всегда не когерентны.
Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь, друг на друга,
возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направления:
x1 = A1 cos(ω t − ϕ1 )
.
(20.1)
x2 = A2 cos(ω t − ϕ 2 )
Под величиной x понимают напряженность электрического E или магнитного H полей
волны. Векторы E и H колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Напряженности электрического и магнитного полей подчиняются принципу суперпозиции.
Амплитуда результирующего колебания в данной точке:
A 2 = A12 + A 22 + 2A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) .
(20.2)
Т.к. волны когерентны, то cos(ϕ 2 − ϕ1 ) имеет постоянное во времени (но свое для каждой
точки пространства) значение, поэтому введём интенсивность результирующей волны так:
Интенсивность света I- это скалярная величина, модуль которой есть среднее значение по
времени плотности потока энергии, переносимой волной в данной точке пространства.
Численно величина интенсивности пропорциональна квадрату амплитуды
(20.3)
I ~ A2 ,
2
2
где А = nЕ m, a Em – амплитуда напряженности электрического поля.
Интенсивность результирующая при наложении двух когерентных волн определяется
соотношением (20.4):
I = I 1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) ,
(20.4)
где (. ϕ1 − ϕ2 ) – разность начальных фаз складываемых волн.
В точках пространства, где cos(ϕ2 − ϕ1 ) > 0 , интенсивность:
I > I1 + I 2 ,
(20.5)
т.е. максимальна, а в точках пространства где cos(ϕ 2 − ϕ1 ) <0, интенсивность:
I < I1 + I 2 ,
4
(20.6)
т.е. минимальна.
Следовательно, при наложении двух (или нескольких) когерентных световых волн
происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних
местах возникает max, а в других min интенсивности. Это явление называется интерференцией
света.
Условия максимума и минимума при интерференции
Как можно создать условия, необходимые для возникновения интерференции световых
волн? Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны,
излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических
путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференционная картина.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О. В этой
точке фаза волны равна. ω t
Первая волна распространяется в среде с коэффициентом преломления n1 и проходит в этой
среде геометрический путь S1 .
Вторая волна распространяется в среде с коэффициентом преломления n2 и проходит в
данной среде путь S 2 .
υ1 =
c
,
n1
(20.7)
υ2 =
c
,
n1
(20.8)
где υ1 и υ 2 – фазовые скорости первой и второй волн.
Пусть эти две волны накладываются друг на друга в точке М, тогда первая волна в точке М
S
возбудит колебание А1соsω (t − 1 ) ; вторая волна в точке М тоже возбудит колебание
υ1
А2 соsω (t −
S2
υ2
).
Найдем разность фаз колебаний, накладываемых в точке М:
δ = ω(
S2
υ2
−
S1
υ1
)=
2π
λ
( S 2 n 2 − S1 n1 ) ⇒
2π
λ0
( L2 − L1 ) =
2πΔ
λ0
,
(20.9)
Формула (20.9) определяет связь между разностью фаз колебаний – δ и разностью хода Δ .
Мы учли что
ω 2πν 2π
,
=
=
(20.10)
λ0
c
c
где λ0 – длина волны в вакууме.
Геометрической разностью хода двух волн будем называть величину, равную длин путей,
пройденных волнами:
Δ = S 2 2 − S1 .
(20.11)
Произведение геометрической длины пути S световой волны на коэффициент преломления
n будем называть оптической длиной пути L:
L = nS .
(20.12)
Разность двух оптических длин будем называть оптической разностью хода. Она равна:
Δ = L2 − L1 .
(20.13)
5
Оптическая разность хода равна разности оптических длин пути, которые проходит каждая
из волн.
Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме
Δ max = ±2mλ0 / 2 ,
(20.14)
где m = 0,1,2,3,... , то разность фаз равна:
δ = ±2mπ ,
(20.15)
и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе.
Следовательно, (20.14) – является условием интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода:
λ
Δ min = ± (2m + 1) 0 ,
(20.16)
2
где m = 0,1,2,3,... , то
δ = ±(2т + 1)π ,
(20.17)
и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами будут происходить в противофазе.
Следовательно, (20.16) является условием интерференционного минимума.
§21. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников
Для осуществления интерференции света необходимо получить когерентные световые
пучки, для чего применяются различные приемы. До появления лазеров во всех приборах для
наблюдения интерференции света когерентные пучки получали разделением и последующем
сведением световых лучей, исходящих из одного и того же источника. Практически это можно
осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
Основными способами получения когерентных волн от некогерентных источников
являются: 1. Деление фронта волны; 2. Деление амплитуды волны; 3. Бипризма Френеля;
4. Щели Юнга.
6
Рис. 21.1
Рис. 21.2
4. Щели Юнга.
Расчет интерференционной картины можно провести, используя две узкие параллельные
щели, расположенные достаточно близко друг к другу (рис. 21.3).
l >> d
U1
э
S1
А
В
S2
d
X
d/2
Δ
d/2
О
С
U2
A
Рис.21.3. Расчёт интерференционной картины от двух когерентных источников
7
Щели U1 и U 2 находятся на расстоянии d друг от друга и являются когерентными
источниками света. Интерференция наблюдается в произвольной т.А экрана, параллельного
обеим целям и расположенного от них на расстоянии l , причем l >> d . Начало отсчета выбрано
в т.О, симметричной, относительно щелей.
Поделим d пополам и проведем из полученной точки перпендикуляр на экран.
Пусть луч 1 проходит путь S1 . Пусть луч 2 проходит путь S 2 .
d
d
d
; AВ = x − ; АС = x +
2
2
2
Из прямоугольного ∆АВU1 найдем S1 по теореме Пифагора:
Пусть АО = х ; ОВ = ОС =
S = (U 1 B ) + ( AB )
2
1
2
2
2
d⎞
⎛
⇒ S = A +⎜x− ⎟ .
2⎠
⎝
2
1
2
(21.1)
Из ΔАСU2 аналогично найдем S 2 :
2
d⎞
⎛
S = A +⎜x + ⎟ .
2⎠
⎝
2
2
2
(21.2)
4
Интенсивность в любой точке А экрана, лежащей на расстоянии x от т. О, определяется
оптической разностью хода:
Δ = S 2 − S1 .
(21.3)
Тогда S 22 − S12 = 2 xd или Δ = S 2 − S1 =
2 xd
.
(S 2 + S 1 )
Из условия, что l >> d следует, что S1 + S 2 ≈ 2l , поэтому
Δ=
2 xd xd
.
=
2l ;
l
(21.4)
Подставив найденное значение Δ в условия max и min интерференции, получим, что max
xd
интенсивности будет наблюдаться в случае, если: Δ = ± mλ0 , у нас Δ =
, то
l
mλ0 l
xd
= ± mλ0 ⇒ x max = ±
,
(21.5)
l
d
где m = 0,1,2,3,...
Если m = 0 , то наблюдается нулевой или главный max, проходит через т.О, Вверх и вниз от
него на равных расстояниях друг от друга располагаются max (и min) первого ( m = 1), второго
( m = 2 ) порядков и т.д.
xd
λ
Минимум интенсивности будет наблюдаться в случае, если: Δ = ±(2m + 1) 0 , у нас Δ =
,
2
l
то
λl
xmin = ±(m + 1 2) 0 ,
(21.6)
d
где m = 0,1,2,3,...
Расстояние между двумя соседними max (или min), будем называть шириной
интерференционной полосы.
Итак, ширина интерференционной полосы равна:
λl
Δx = 0 ,
d
8
(21.7)
Δx не зависит от порядка интерференции (величины m) и является постоянной для данных l, d
и λ0 .
Вид интерференционной картины, создаваемой на экране двумя когерентными
источниками, представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг
другу.
Описанная картина, справедлива лишь при освещении монохроматическим светом
( λ0 = const ). Если использовать белый свет, представляющий собой непрерывный набор длин
волн от 0,39 мкм (фиолетовая граница спектра) до 0,75 мкм (красная граница спектра), то
интерференционные максимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (21.5),
смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 max всех
длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться белая полоса.
Для получения когерентных источников используются: щели Юнга, бипризма Френеля и
зеркала Френеля.
§22. Интерференция света в тонких пленках
В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки
на воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах). Эти явления возникают в результате
интерференции света, отраженного, двумя поверхностями пленки.
Пусть на прозрачную плоскопараллельную пленку с показателем преломления n2 и
толщиной d под углом i падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим 1
луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на 2: частично отразится от верхней
поверхности пленки, а частично преломится.
Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух ( n1 = 1 ), а частично
отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча из-за малой
интенсивности рассматривать не будем) и преломится, выходя в воздух под углом
Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны.
Р
Л
1
i
A
i
n1=1
n 2 > n1
d
2
i
K
O
r
r
B
n2
r
n1=1
C
Рис.22.1. Интерференция в тонких плёнках
9
i
.
Если на пути параллельных лучей 1 и 2 поставить собирающую линзу Л, то они сойдутся в
одной из точек Р-фокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная
картина, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.
Из т. В опустим перпендикуляр на луч 1. Обозначим точку А. Первый луч, в среде 1, идет
как бы из точки А; а второй – как бы из точки В. Оптическая разность хода лучей:
λ ⎞
⎛
Δ = L2 − L1 = n2 (OC + CB ) − n1 ⎜ OA ± 0 ⎟ ,
2⎠
⎝
(22.1)
т.к. n1 = 1 , то
.
(22.2)
При отражении луча 1 от среды оптически более плотной происходит потеря половины
длины волны.
λ
Если
, то потеря полуволны произойдет в точке О, и член 0 будет иметь знак “–” ;
2
λ
если же n2 < n1 , то потеря полуволны произойдет в точке С и 0 будет иметь знак “+”.
2
ОК
;
;
Из рисунка
= sin r
ОС
d
; OB = 2 ⋅ OK = 2d ⋅ tg r
OC = CB =
cos r
OA
⇒
= sin i .
(22.3)
OB
Учитывая закон преломления (закон Снеллиуса)
sin i n2
= ,
(22.4)
sin r n1
получим:
(n1 = 1) ⇒ sin i = n2 ⋅ sin r .
2d ⋅ n2 ⋅ sin r sin r 2d ⋅ n2 ⋅ sin 2 r
=
.
cos r
cos r
Подставляя все выкладки в (22.2) и преобразовав это выражение, получим:
λ
Δ = 2d n 2 − sin 2 i ± 0 .
2
λ
Для нашего случая n2 > n1 , cследовательно член 0 берется со знаком “+”:
2
OA = OB sin i = 2d ⋅ tgr sin i =
Δ = 2d n 2 − sin 2 i +
λ0
.
2
В точке Р на экране будет максимум, если Δ = ± mλ0 , и будет минимум, если
λ
Δ = ± (2m + 1) 0 , т.е.
2
λ
2d n 2 − sin 2 i + 0 = mλ0 ; (m = 0,1,2...) .
2
– условие max интенсивности света при интерференции;
10
(22.5)
(22.6)
(22.7)
(22.8)
(22.9)
λ0
= (2m + 1)
λ0
; (m = 0,1,2...) .
(22.10)
2
2
– условие min интенсивности света при интерференции.
Доказано, что интерференция в тонких пленках наблюдается только, если удвоенная
толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.
Обычно рассматриваются две интерференционные картины: полосы равного наклона и
полосы равной толщины.
Полосами равного наклона называются интерференционные полосы, возникающие в
результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под
одинаковыми углами.
В результате на экране возникает система чередующихся светлых и темных круговых полос
с общим центром.
Полосы равной толщины – это интерференционные полосы, возникающие в
результате интерференции от мест одинаковой толщины.
Пример: пластинка в виде клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы
равной толщины, локализуются на верхней поверхности клина.
2d n 2 − sin 2 i +
Рис. 22.1
11
Рис. 22.2
Кольца Ньютона
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они
наблюдаются при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельных
стеклянных пластин и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны.
R
R-d
r
d
Рис. 22.3
Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность линзы и частично
отражается от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора между линзой и пластиной.
При наложении отраженных лучей возникают полосы равной толщины, при нормальном
падении света имеющие вид концентрических окружностей.
В отраженном свете оптическая разность хода (с учетом потери полуволны при отражении),
согласно формуле (22.10):
λ
Δ = 2d n 2 − sin 2 i ± 0 .
2
При условии, что показатель преломления воздуха n = 1; i = 0, имеем:
Δ = 2d +
λ0
2
,
(22.11)
где d – ширина зазора. Из рисунка следует что:
R 2 = (R − d ) + r 2 ,
2
12
(22.12)
где R - радиус кривизны линзы, r - радиус кривизны окружности, всем точкам которой
соответствует одинаковый зазор d . Учитывая, что d-мало, получим:
R 2 = R 2 − 2 Rd + d 2 + r 2 .
(22.13)
Слагаемым d 2 пренебрегаем, а
d =
r2
,
2R
(22.14)
следовательно:
2r2
λ
λ
r2
(22.15)
+ 0 =
+ 0 .
R
2R
2
2
Приравняв (22.15) к условиям max или min, получим выражения для радиусов m-го светлого
и m-го темного кольца соответственно:
Δ =
⎧Δ max = ± mλ0
⎪
λ0 .
⎨
⎪⎩Δ min = ± (2m + 1) 2
(22.16)
λ
λ ⎞
r 2 λ0
r2
⎛
+
= m λ0 ⇒
= m λ 0 − 0 ⇒ r 2 = R ⎜ m λ 0 − 0 ⎟ вынесем за скобки
В выражении
R
R
2
2
2 ⎠
⎝
2
λ0 ⇒ r = λ0 R(m − 1 2) ⇒
(
rm = Rλ0 m − 1
2
),
(22.17)
определяет радиус m-го светлого кольца.
Теперь найдем радиус m-го темного кольца:
λ
λ λ
r 2 λ0
r2
+
= (2m + 1) 0 ⇒
= (2m + 1) 0 − 0
2
2
2
2
R
R
r 2 2λ0 m 2
r 2 λ0
=
⋅ (2m + 1 − 1) ;
=
; r = λ0 mR ⇒
2
R
R
2
rm* = mRλ0 ,
(22.17)
определяет радиус m-го темного кольца.
Измеряя радиусы соответствующих колец, можно (зная R -кривизны линзы) найти λ0 и
наоборот, по известной λ0 найти R линзы.
Система светлых и темных полос получается только при освещении монохроматическим
светом.
При наблюдении в белом свете получается совокупность смещенных друг относительно
друга полос, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.
Все рассуждения были проведены для отраженного света. Интерференцию можно
наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потеря полуволны.
Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на
λ0
2 , т.е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в
проходящим и наоборот.
Вопросы для повторения
1. Что собой представляет свет согласно корпускулярной теории?
2. Что собой представляет свет согласно волновой теории?
13
3. На чём основывается волновая теория?
4. Как читается принцип Гюйгенса?
5. Что такое свет?
6. Какие волны называются когерентными?
7. В чем заключается основная идея теории Планка?
8. Что такое геометрическая и оптическая длины пути?
9. Можно ли наблюдать явление интерференции от двух электроламп?
10. Что такое полосы равной толщины и равного наклона?
Глава 21. Дифракция света
§23. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля
Дифракцией называется огибание волнами препятствий, или любое отклонение
распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Благодаря
дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия,
проникать через небольшие отверстия в экранах. Например, звук хорошо слышен за углом
дома, т.е. звуковая волна огибает дом.
Благодаря дифракции волны могут попадать в области геометрической тени, огибать
препятствия, проникать через небольшие отверстия в экранах.
Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса:
каждая точка, до которой доходит волна, является источником вторичных волн, а
огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.
огибающая вторичных волн
Рис. 23.1
Пусть плоская волна падает нормально на отверстие в непрозрачном экране.
Фронт волны заходит в область геометрической тени.
Принцип Гюйгенса решает задачу о направлении распространения волнового фронта, но не
затрагивает вопроса об амплитуде и об интенсивности волн, распространяющихся по разным
направлениям.
Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей об интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса–Френеля:
световая волна, возбуждаемая каким-либо источником, может быть представлена как
результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых фиктивными источниками.
Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой
поверхности, охватывающей источник.
§24. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света
14
Рассмотрев взаимную интерференцию вторичных волн, Френель ответил на вопрос о
прямолинейном распространении света, применив прием, получивший название – метод зон
Френеля.
Рис. 24.1
Найдем амплитуду световой волны в произвольной точке М, если волна распространяется из
точечного источника S в однородной среде.
Заменим действие источника S (согласно принципу Гюйгенса – Френеля) действием
вспомогательных источников, расположенных на вспомогатель-ной поверхности Ф (Ф – фронт
волны).
Разобьем волновую поверхность (как Френель) на кольцевые зоны такого размера, чтобы
расстояние от краев зоны до точки М отличались на λ/2.
Р1М –Р0М = Р2М –Р1М = Р3М – Р2М =…= λ/2
Такое разбитие фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М
сферы радиусами: b + (λ/2) ; b + 2(λ/2) ; b + 3(λ/2) и т.д.
В точке М колебания от соседних зон Френеля приходят в противофазе, поэтому
результирующая амплитуда в точке М:
А = А1 – А2 + А3 – А4 + …,
(24.1)
где А1, А2, А3, … – амплитуды колебаний, возбуждаемые 1, 2, 3, … зонами
15
Рис. 24.2
Оценим амплитуды колебаний зон Френеля. Для этого найдем их площади.
Пусть внешняя граница m-той зоны выделяет на волновой поверхности сферический
сегмент высотой hm и радиусом rm. Обозначим площадь сегмента σm. Тогда площадь m-той зоны
Френеля равна: Δσm = σm – σm-1.
Из рисунка (24.2) видно:
rm2 = a 2 − (a − hm ) 2 = (b + m λ 2) 2 − (b + hm ) 2 .
(24.2)
Т.к. а>>λ и b>>λ, то
hm =
bmλ
.
2(a + b)
(24.3)
2πabmλ πabmλ
.
=
2( a + b )
a+b
(24.4)
Площадь сферического сегмента:
σ m = 2πahm =
σ m − σ m −1 ==
πabλ
a+b
.
(24.5)
(24.5) не зависит от m.
Т.е. при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.
Построение зон Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на
равные зоны.
Френель предположил, что чем больше угол φm (между n и направлением на точку М), то
действие зон Френеля постепенно убывает от центральной (точка Р0) к периферическим, А1 >
A2 > A3 > … > Аn , следовательно и I1 > I2 > … > In. Общее число зон Френеля велико, тогда
можно считать, что
A + Am+1
Am = m−1
.
(24.6)
2
Тогда
16
А = А1/2 + (А1/2 – А2 + А3/2) + (А3/2 – А4 + А5/2) ± Аm/2
||
||
|
0
0
ничтожно мала
A1
.
(24.7)
2
Амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М определяется как бы
действием половины центральной зоны Френеля.
Если теперь hm << a , при не слишком больших m, то rm2= 2ahm →
A=
ab
mλ – радиус m зоны Френеля
a+b
N – число зон Френеля – N =8·105.
Если a=b=10 см, λ=0,5 мкм , то r1=0,15 мм. Свет распространяется внутри очень узкого
канала вдоль SM – прямолинейно.
rm=
§25. Дифракция Френеля на круглом отверстии
Дифракция Френеля – это наблюдение дифракции сферических волн на конечном
расстоянии от препятствия, вызвавшего дифракцию.
Рис. 25.1
Рассмотрим дифракцию на круглом отверстии (рис. 25.1):
От источника S распространяется сферическая волна и встречает на своем пути экран с
круглым отверстием. Картину наблюдаем в точке Р, лежащей на прямой, соединяющей S с
центром отверстия. Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии
b. Разобьем открытую часть волновой поверхности ВП на зоны Френеля. Вид дифракционной
картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием.
Амплитуда результирующих колебаний в точке Р, возбуждаемая всеми зонами:
Арез.= А1/2 ± Аm/2 ,
знак « + » соответствует нечетным m, « – » – четным m.
Если m нечетная, то Арез. в точке Р будет больше, чем при свободном распространении
волны, а если m – четное, то – меньше.
Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке Р амплитуда А=А1, т.е. вдвое
больше, чем в отсутствии непрозрачного экрана с отверстием, а интенсивность света больше в 4
раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то интенсивность в точке Р равна нулю.
Дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки Р имеет вид
чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке Р (если m – четное, то в точке
Р темное кольцо, если m – нечетное, то в точке Р кольцо светлое).
17
Максимальная интенсивность убывает с расстояния от центра. Если отверстие освещается
белым светом, то кольца окрашены. Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от
его диаметра. Если d велико, то Аm<<А1 и Арез.=А1/2; никакой дифракционной картины не
наблюдается, свет распространяется, как и в отсутствии отверстия, прямолинейно.
§26. Дифракция Фраунгофера на одной щели
Дифракция плоских световых волн носит название дифракции Фраунгофера (или
дифракция в параллельных лучах).
Ее можно наблюдать, если источник света и точка наблюдения бесконечно удалена от
препятствия, вызвавшего дифракцию. Для наблюдения дифракции Фраунгофера необходимо
точечный источник света поместить в фокусе собирающей первой линзы, а дифракционную
картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за
препятствием.
Рис. 26.1
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной цели (длина щели >> ширины
щели).
MN = a ; MF ⊥ ND
Δ = NF = a sinφ
Разобьем ширину щели а на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру щели.
Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была λ/2.
2а
Всего на ширине щели уместится зон: N = а =
λ
λ
2
В плоскости щели (свет ⊥ падает на щель) все точки волнового фронта колеблются в одной
фазе. От каждой пары соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна
нулю. Если число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, четное, т.е.
a sinφ = ± 2m λ (m=1, 2, 3…), то в точке В наблюдается дифракционный минимум (полная
2
18
темнота). Если число зон Френеля нечетное, т.е.: a sinφ = ± (2m+1) λ
(m=1, 2, 3…), тогда в
2
точке В экрана наблюдается дифракционный максимум, который соответствует действию
одной нескомпенсированной зоны Френеля. В направлении φ=0 щель действует как одна зона
Френеля, в точке В0 – центр дифракционного максимума.
Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции,
называется дифракционным спектром:
J1 : J2 : J3 = 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083.
§27. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
Дифракционная решетка (одномерная) – устройство, представляющее систему
параллельных щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине
непрозрачными промежутками.
При рассмотрении дифракции Фраунгофера на щели мы получили, что распределение
интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Значит
смещение щели параллельно самой себе влево или вправо не изменяет дифракционной картины.
Если вместо одной щели перейти ко многим (дифракционная решетка), то дифракционные
картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковы.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной индукции
волн, идущих от всех щелей.
В дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных
дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.
Рис.27.1. Дифракция на дифракционной решётке
Рассмотрим дифракционную решетку. Пусть у нее две щели: MN и CD.
CD = MN = a – ширина каждой щели
DK = NC = b – ширина непрозрачных участков между щелями
d = a + b .
(27.1)
Постоянной (периодом) дифракционной решетки называется величина, равная сумме
прозрачного и непрозрачного участков.
Пусть на решетку падает плоская монохроматическая волна нормально к плоскости
решетки. Щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, и разности хода лучей,
идущих от двух соседних щелей будут для данного направления φ одинакова:
Δ = CF = (a + b) sin ϕ = d sin ϕ .
(27.2)
19
В тех направлениях, в которых ни одна из щелей не распространяет свет, он не будет
распространяться и при 2 (N) щелях.
Главные min интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием:
a sin ϕ = ±2m λ 2 ,
(27.3)
(m=1, 2, 3…).
Вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в
некоторых направлениях они будут гасить друг друга, - возникают дополнительные min. Они
будут наблюдаться в тех направлениях, которые соответствуют разности хода: λ/2; 3λ/2 …
d sin ϕ = ±2(m + 1) λ 2 .
(27.4)
(m=0, 1, 2…) – условие дополнительного min
Действие одной щели будет усиливать действие другой, если:
d sin ϕ = ±2m λ 2 = ± mλ ,
(27.5)
(m=0, 1, 2…) - условие главного max
Полная дифракционная картина (две щели) определяется условием:
главные min
a sinφ = λ, 2λ, 3λ…
дополнительные min
d sinφ = λ/2, 3λ/2, 5λ/2…
главные max
a sinφ = 0, λ, 2λ, 3λ…
Между двумя главными max располагается один дополнительный min.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условия имеют вид:
главный min:
a sin ϕ = ± mλ ,
(27.6)
(m=1, 2, 3…).
дополнительный min:
d sin ϕ = ± m' λ N ,
(27.7)
(m’=1, 2,…N-1, N+1, 2N-1, 2N+1)
m’ может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N (ибо при этих значениях
условие (27.7) переходит в условие (27.6).
Если у решетки N щелей, то между двумя главными max располагается (N-1)
дополнительных min, разделенных вторичными max, создающими слабый фон.
Чем больше щелей, тем большее количество световой энергии пройдет через решетку,
тем больше min образуется между соседними главными max, и более интенсивными будут
max.
§28. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа-Бреггов
Для наблюдения дифракционной картины необходимо чтобы период решетки был того же
порядка, что и длина волны падающего излучения. Дифракционная картина наблюдается на
одномерной плоской решетке, двухмерной решетке (штрихи нанесены во взаимно
перпендикулярных направлениях в одной и той же плоскости) и на пространственных решетках
(трёхмерная решетка).
Трехмерная (пространственная) решетка - это пространственное образование, в
которых элементы структуры подобны по форме, имеют геометрически правильное и
периодически повторяющееся расположение, а также постоянная решетки должна быть
соизмерима с длиной волны электромагнитного излучения. Пространственные решетки
должны иметь периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям.
20
В качестве трехмерной пространственной решетки можно взять кристаллические тела, так
как в них неоднородности (атомы, молекулы, ионы) регулярно повторяются в трёх
направлениях. Дифракция света может происходить и в мутных средах.
Мутными средами будем называть среды с явно выраженными оптическими
неоднородностями, т.е. среды, в которых взвешено множество очень мелких частиц
однородных веществ.
Примерами мутных сред являются аэрозоли (облака, дым, туман, эмульсии, коллоидные
растворы). Свет, проходя через мутную среду, дифрагирует от беспорядочно расположенных
микронеоднородностей, давая равномерное распределение интенсивностей по всем
направлениям, не создавая какой-либо определенной картины. Происходит так называемое
рассеяние света в мутной среде. Это явление можно наблюдать, например, когда узкий пучок
солнечных лучей, проходя через запылённый воздух, рассеивается на пылинках и становится
видимым.
Слабое рассеяние света наблюдается и в чистых средах, не содержащих посторонних
частиц. Рассеяние света в чистых средах, обусловленное флуктуациями плотности, анизотропии
или концентрации, называется молекулярным рассеянием.
Молекулярным рассеянием объясняется голубой цвет неба. Согласно закону Д. Рэлея.
Интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны,
поэтому голубые и синие лучи рассеиваются сильнее, чем желтые и красные, обусловливая тем
самым голубой цвет неба. А свет, прошедший через значительную толщину атмосферы,
оказывается обогащённым более длинноволновой частью спектра и поэтому при закате и
восходе Солнце кажется красным. Флуктуации плотности и интенсивность рассеяния света
возрастают с увеличением температуры, поэтому в ясный летний день цвет неба кажется более
насыщенным по сравнению с ясным зимним днём.
Для наблюдения дифракционной картины необходимо, чтобы постоянная решетки была
того же порядка, что и длина волны падающего излучения. Кристаллы, являясь трёхмерными
пространственными решётками, имеют постоянную дифракционной решетки порядка 10-10 м и,
следовательно непригодны для наблюдения дифракции в видимом свете (λ≈5·10-7 м). Немецкий
физик М. Лауэ предложил использовать для рентгеновского излучения (λ≈10-12- 10-8 м)
кристаллы в качестве дифракционных решёток.
Простой метод расчёта дифракции рентгеновского излучения от кристаллической решётки
предложен независимо друг от друга Г.В. Вульфом и английскими физиками Г. и Л. Брэггами
(отец и сын). Они предположили, что дифракция рентгеновского излучения является
результатом его отражения от системы параллельных кристаллографических плоскостей
кристаллической решётки.
Кристаллографическими плоскостями называются плоскости, в которых лежат узлы
(атомы) кристаллической решетки.
Углом скольжения θ называется угол между направлением падающих лучей и
кристаллографической плоскостью.
Представим кристалл в виде совокупности параллельных кристаллографических
плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пусть пучок параллельных
монохроматических рентгеновских лучей падает на кристалл под углом скольжения θ и
возбуждает атомы кристаллической решётки, которые становятся источниками когерентных
вторичных волн 1’и 2’, и интерферируют между собой. Максимум интенсивности наблюдается
в тех направлениях, в которых все отражения атомными плоскостями волны будут находиться в
одинаковой фазе.
21
1
1
2
2
θ
d
Δx
d
Рис.28.1 Дифракция на трёхмерной решётке
x
= sin θ ,
d
Δ = 2 x = 2d sin θ ,
(28.1)
Δ = 2d sin θ = ±2m λ 2 .
(28.2)
Дифракционный максимум наблюдается при разности хода между двумя лучами,
отраженными от двух кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн λ.
Формула (28.2) называется формулой Вульфа-Бреггов и определяет максимум
дифракционной картины рентгеновского излучения на пространственной кристаллической
решетке.
При произвольном падении монохроматического рентгеновского излучения на кристаллы
дифракция не возникает. Чтобы её наблюдать необходимо, поворачивая кристаллы, найти угол
скольжения.
Формула Вульфа-Брэггов используется при решении двух задач:
1. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей известной длины волны на кристаллической
структуре неизвестного строения, измерив угол скольжения и порядок дифракции света m ,
можно найти d , т.е. определить структуру вещества. Этот метод носит название
рентгеноструктурный анализ. Если мы будем рассматривать дифракцию элементарных
частиц, то и для дифракции частиц (электронов или нейтронов, например) формула (28.2) будет
также справедлива. Методы исследования структуры вещества, основанные на дифракции
электронов и нейтронов, называются соответственно электронографией и нейтронографией.
2. Наблюдая дифракцию рентгеновских лучей неизвестной длины волны на
кристаллической структуре известного строения, замерив угол скольжения Θ и m, найдем
длину волны. Этот метод лежит в основе рентгеновской спектроскопии.
П р и м е р 1 : На щель шириной a=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света с
λ =0,6 мкм. Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине,
проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью. Экран отстоит на 1
м от линзы:
L
ϕ
–1
l
Решение:
22
1
asin ϕ = ± k λ , k=1
l=2 λ tg ϕ , т.к. ϕ мало, то tg ϕ ≅ sin ϕ
l=2 λ (k λ /a)=2·1(1·6·10-7/1·10-4)=12·10-3=12мм.
Ответ: l =1,2 см.
Для самостоятельной работы:
Задача 1: Вычислить радиус пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта λ =5·10-7м,
если b=1м.
Ответ: r5=1,58мм
Задача 2: Дифракционная решетка содержит n=200 штрихов на 1мм. На решетку падает
нормально свет с λ =0,6 мкм. Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка. Ответ:
m=8.
Вопросы для повторения
1.
2.
3.
4.
Почему дифракция звуковых волн более очевидна, чем дифракция световых волн?
Чем Френель дополнил принцип Гюйгенса?
Что позволяет объяснить принцип Гюйгенса-Френеля?
Возникнут ли изменения в дифракционной картине при дифракции Френеля на круглом
отверстии при замене монохроматичного света на белый?
5. В чем отличие дифракции Френеля от дифракции Фраунгофера?
6. Когда наблюдаются: 1) дифракции Френеля; 2) дифракции Фраунгофера?
7. Каковы условия наблюдения дифракции?
8. Отличается ли дифракция на щели при освещении её монохроматическим и белым
светом?
9. Как влияют на дифракцию Фраунгофера увеличение: 1) длины волны; 2) увеличение
ширины щели?
10. Что произойдёт с дифракционной картиной при увеличении общего числа щелей
решетки с постоянным периодом решётки (d)?
11. Почему дифракционная решётка разлагает белый свет в спектр?
12. Как определить наибольший порядок спектра дифракционной решётки?
13. Каков механизм рассеяния в мутных средах?
14. Как объяснить голубой цвет неба?
15. Почему при восходе и закате Солнце кажется красным?
16. Будет ли наблюдаться на кристаллах дифракция видимого света?
17. Будет ли наблюдаться на кристаллах дифракция рентгеновского излучения?
§29. Разрешающая способность оптических приборов
Используя даже идеальную оптическую систему (в которой отсутствуют дефекты и
аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника,
что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в
монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т.е. точечный
источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного темными и
светлыми кольцами.
Критерий Рэлея: изображение двух близлежащих одинаковых точечных источников или
двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми
23
симметричными контурами разрешимы (разделимы для восприятия), если центральный
максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым
минимумом дифракционной картины от другого
J0
0,8 J0
λ1 λ2
λ1 λ2
а)
б)
Рис. 29.1
При выполнении критерия Рэлея интенсивость «провала» между максимумами – 80% от
Jmax.
Если кртинрий Рэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 29.1 б).
Разрешающей способностью (разрешающей силой) объектива называется величина:
1
R=
,
(29.1)
δϕ
где R – разрешающая способность объектива;
δφ – наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще
разрешаются.
S1
φ
S2
Рис. 29.2
φ≥1,22 λ
D
,
где λ – длина волны, D – диаметр объектива.
δ ϕ = 1.22
λ
D
,
(29.2)
D
.
(29.3)
1.22λ
Следовательно, разрешающая способность объектива зависит от его диаметра и длины
световой волны.
Для увеличения разрешающей способности приборов нужно либо увеличить диаметр
объектива, либо уменьшить λ.
Для наблюдения более мелких предметов используют ультрафиолетовое излучение, а
изображение наблюдается на флуоресцирующем экране или фиксируется на фотопластине.
Потоки электронов при определенных энергиях обладают примерно такой длиной волны как
рентгеновское излучение, и электронный микроскоп имеет высокую разрешающую
способность (W электронов до 30–100 кэВ, при вакууме 0,1 мПа).
R=
24
П р и м е р . Диаметр зрачка глаза при нормальном освещении равен приблизительно 2 мм.
Рассчитаем минимальное угловое расстояние между точками, при котором глаз воспринимает
их ещё раздельно:
Δφ= 1.22 (0,55 ·10-3 мм/2 мм)= 0,305·-3 рад≈1′
Таким образом, минимальное угловое расстояние равно угловой минуте. Любопытно, что
расстояние между соседними светочувствительными элементами сетчатки глаза соответствует
именно этому угловому расстоянию.
Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину,
равную:
R=
λ
,
δλ
(29.4)
где δλ – абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних спектральных
линий, при которой эти линии регистрируются отдельно.
Разрешающая способность дифракционной решетки.
Пусть максимум m-го порядка для длины волны λ2 наблюдается под углом φ, тогда:
sin ϕ = mλ 2 ,
(29.5)
При переходе от максимума к минимуму разность хода меняется на λ/N, где N – число
щелей решетки. Тогда минимум волны с λ1 будет наблюдаться под углом φmin и он
удовлетворяет условию:
d sinφmin = mλ1 + λ1/N.
Согласно критерию Рэлея, φ=φmin ,
тогда:
mλ2 = mλ1 + λ1/N => m(λ1 – λ2) = λ1/N => λ2 – λ1 = δλ ; mδλ = λ1/N => λ1/δλ = mN
Rдиф.реш. = m N ,
(29.6)
Для современной дифракционной решетки R~2·105.
§30. Голография
Голография (от греческого полная запись) – особый способ записи и последующего
восстановления волнового поля, основанный на регистрации интерференционной картины. Она
обязана своим возникновением законам волновой оптики – законам интерференции и
дифракции.
Этот принципиально новый способ фиксирования и воспроизведения пространственного
изображения предметов изобретен английским физиком Д. Габором (1900 – 1979 г.) в 1947 г.
(Нобелевская премия 1971 г.). Экспериментальное воплощение и дальнейшая разработка этого
способа (Ю. Н. Денисюк в 1962 г. и американские физики Э. Лейт и Ю. Упатниекс в 1963 г.)
стали возможны после появления в 1960 г. источников света высокой степени когерентности –
лазеров.
Основные принципы голографии – регистрация и восстановление информации о
предмете.
Для регистрации и восстановления волн необходимо уметь регистрировать и
восстанавливать амплитуду и фазу идущей от предмета волны. Помня, что J ~ Aм2 и А
определяется как амплитудами, так и разностью фаз интерферирующих волн.
Поэтому в голографии кроме волны, идущей от предмета (предметная волна), используют
когерентную с ней волну, идущую от источника (опорную волну).
Идея голографии состоит в том, что фотографируется распределение интенсивности в
интерференционной картине, которая возникает при суперпозиции волнового поля объекта и
25
когерентной ему опорной волны известной фазы. Затем при дифракции света на
зарегистрированном распределении почернений в фотослое восстанавливается волновое поле
объекта и допускает изучение этого поля в отсутствие объекта.
Рис. 30.1
Рассмотрим принципиальную схему (рис. 30.1):
Лазерный пучок делится на две части: одна его часть отражается зеркалом на фотопластину
(опорная волна), а вторая попадает на фотопластину, отразившись от предмета (предметная
волна). Они когерентны, и при наложении друг на друга отражают на фотопластине
интерференционную картину.
После проявления фотопластины получается голограмма – зарегистрированная на
фотопластине интерференционная картина, образованная при наложении опорной и
предметной волн.
Рис. 30.2
Для восстановления изображения голограмма помещается в то же самое положение, где она
находилась до регистрации (рис. 30.2). Ее освещают опорным пучком того же лазера, а вторая
часть лазерного пучка перекрывается диафрагмой.
26
В результате дифракции света на интерференционной структуре голограммы
восстанавливается копия предметной волны, образующая объемное мнимое изображение
предмета, расположенное в том месте, где предмет находился при голографировании.
Восстанавливается еще и действительное изображение предмета, имеющее рельеф, обратный
рельефу предмета. (Наблюдение ведется справа от голограммы.)
Голограмму можно расколоть на несколько пучков, но даже малая часть голограммы
восстанавливает полное изображение предмета. Уменьшение размеров голограммы приводит к
ухудшению изображения, т.к. голограмма служит для опорного пучка дифракционной
решеткой, а при уменьшении числа штрихов дифракционной решетки ее разрешающая
способность уменьшается.
Применение голографии разнообразно, наиболее важными являются запись и хранение
информации. На пластину размером 32×32 мм можно записать 1024 голограммы, площадь
каждой ~ 1 мм2.
Вопросы для повторения
1. Какие практические применения имеет формула Вульфа-Брэггов?
2. Что определяет критерий Рэлея?
3. Каковы принципиальные пути повышения разрешающей способности оптических
приборов?
4. От чего зависит разрешающая способность объектива, дифракционной решётки?
5. Каковы возможные применения голографии?
6. Когда два точечных источника разрешимы по Рэлею?
Глава 22. Поляризация света
§31. Естественный и поляризованный свет
Следствием теории Максвелла является поперечность световых волн: векторы
напряжёностей электрического E и магнитного H полей волны взаимно перпендикулярны и
колеблются перпендикулярно вектору скорости υ распространения волны.
Поэтому для описания закономерностей поляризации света достаточно знать поведение
лишь одного из векторов. Обычно все рассуждения ведутся относительно светового вектора –
вектора напряженности E электрического поля.
Свет представляет собой суммарное электромагнитное излучение множества атомов. Атомы
же излучают волны не зависимо друг от друга, поэтому световая волна, излучаемая телом, в
целом характеризуется всевозможными равновероятными колебаниями светового вектора: (луч
перпендикулярен плоскости рисунка).
Рис.31.1
Свет со всевозможными равновероятными ориентациями вектора E (и следовательно
вектора H ) называется естественным.
Свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом
упорядочены, называется поляризованным.
27
Так, если в результате каких-либо внешних воздействий появляется преимущественное (но
не исключительное) направление колебаний вектора E , то мы имеем дело с частично
поляризованным светом.
Рис.31.2
Свет в котором вектор E (и следовательно вектор H ) колеблется только в одном
направлении перпендикулярно лучу, называется плоскополяризованным (линейно
поляризованным).
Рис.31.3
Плоскость, проходящая через направление колебаний светового вектора плоско
поляризованной волны и направление распространения этой волны, называется плоскостью
поляризации.
Для характеристики поляризованного света вводится величина
I − I min
P = max
,
(31.1)
I max + I min
называемая степенью поляризации, где Imax и Imin – соответственно максимальная и
минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.
Для естественного света Imax= Imin и P=0, для плоскополяризованного Imin=0 и P=1.
Естественный свет можно преобразовать в плоскополяризованный используя так
называемые поляризаторы.
Поляризаторы – это устройства пропускающие колебания только определенного
направления.
(В качестве поляризаторов могут быть использованы кристаллы.)
Рассмотрим классический опыт с турмалином:
О'
Плоскополяризованный свет
О'
В'
В
А
А'
Т1
О
Т2
Естественный свет
О
Рис.31.4
28
Направим естественный свет перпендикулярно пластине турмалина Т1, вырезанной
параллельно так называемой оптической оси ОО′. Вращая кристалл вокруг направления луча,
никаких изменений интенсивности прошедшего через турмалин света не наблюдаем.
Если на пути луча поставить вторую пластину турмалина Т2 и вращать ее вокруг
направления луча, то интенсивность света, прошедшего через пластинки, меняется в
зависимости от угла α между оптическими осями кристаллов по закону Малюса (французский
физик):
I = I 0 cos 2 α ,
(31.2)
где I0 – интенсивность света, вышедшего из поляризатора.
I – интенсивность света, вышедшего из анализатора.
Пластина Т1 преобразующая естественный свет в плоскополяризованный, является
поляризатором.
Пластина Т2, служащая для анализа степени поляризации света, называется анализатором.
Обе пластинки Т1 и Т2 совершенно одинаковы (их можно поменять местами.)
Из закона Малюса следует, что интенсивность прошедшего через пластинки света изменятся
от минимума (полное гашение света) при α=π/2 (оптические оси пластин перпендикулярны как
на рисунке 1) до максимума α=0 (оптические оси пластинок параллельны).
Рис.31.5
Однако из рисунка 31.5 следует, что амплитуда вектора E световых колебаний, прошедших
через пластинку Т2 будут меньше амплитуды световых колебаний вектора E 0 , падающих на
пластину Т2:
E = E0 cos 2 α .
(31.3)
А так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды I∼ А2, то и получается
выражение (7.1).
Если пропустить естественный свет через два поляризатора, главные плоскости которых
образуют угол α, то из первого выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого:
1
I 0 = I ест ,
(31.4)
2
Из второго, согласно закону Малюса:
I = I 0 cos 2 α ,
(31.5)
выйдет свет интенсивностью:
I=
1
I ест cos 2 α .
2
29
(31.6)
И так мы нашли интенсивность света, прошедшего через два поляризатора.
Отсюда:
1
I max = I ест ,
2
(если поляризаторы параллельны), и Imin=0 (поляризаторы скрещены.).
(31.7)
§32. Закон Брюстера
Если естественный свет падает на границу раздела двух диэлектриков ( например воздуха и
стекло), то часть его отражается, а часть преломляется и распространяется во второй среде.
Установим на пути отраженного и преломленного лучей анализатор (например турмалин),
убеждаемся в том, что отраженный и преломленный лучи частично поляризованы: при
поворачивании анализатора вокруг лучей интенсивность света периодически усиливается и
ослабевает (полного гашения не наблюдается).
Дальнейшие исследования показали (рис. 32.1), что в отраженном луче преобладают
колебания, перпендикулярные плоскости падения (обозначены точками), в преломленном –
колебания, параллельные плоскости падения (изображены стрелками).
Рис. 32.1
Степень поляризации (степень выделения световых волн с определенной ориентацией
электрического (и магнитного) вектора) зависит от угла падения лучей и показателя
преломления.
Шотландский физик Д. Брюстер установил закон, согласно которому при угле падения iB
(угол Брюстера), определяемого соотношениями:
tg iB = n21 ,
(32.1)
отраженный луч является плоскополяризованным (содержит только колебания,
перпендикулярные плоскости падения). Преломленный же луч при угле падения iB
поляризуется максимально, но не полностью. (n21 – показатель преломления второй среды
относительно первой).
Если свет падает на границу раздела под углом Брюстера, то отраженный и преломленные
лучи взаимно перпендикулярны. Покажем это:
sin iB
,
n21 =
sin i2
(где i2 –угол преломления).
30
tg iB =
sin iB
,
cos iB
так как
tg iB = n21
приравняем правые части равенств:
sin iB sin iB
=
⇒ cos iB = sin i2
sin i2 cos iB
Следовательно:
iB + i2 = π 2 ,
iB ' = iB – закон отражения, следовательно:
i B ' + i2 = π 2
Итак, мы показали, что отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.
Закон Брюстера звучит так:
тангенс угла, при котором отраженный свет полностью поляризован в плоскости
падения, равен относительному показателю преломления.
§33. Двойное лучепреломление
Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической системы) обладают способностью
двойного лучепреломления, т.е. раздваивания каждого падающего на них светового пучка. Это
явление, впервые обнаружено датским ученым Э. Бартолином в 1669 году для исландского
шпата и объясняется особенностями распространения света в анизотропных средах и
непосредственно вытекает из уравнений Максвелла.
Если на толстый кристалл исландского шпата направить узкий пучок света, то из кристалла
выйдут два пространственно разделенных луча, параллельных друг другу и падающему лучу:
(А)
Рис.33.1
Даже в том случае, когда первичный пучок падает на кристалл нормально, преломленный
пучок разделится на два; причем один из них является продолжением первичного (А), а второй
отклонится (Б). Нужно отметить, что в кристалле исландского шпата имеется единственное
направление, вдоль которого двойное лучепреломление не наблюдается.
Направление в оптически анизотропном кристалле, вдоль которого свет
распространяется, не испытывая двойного лучепреломления, называется оптической осью
кристалла.
31
Плоскость, проходящая через направление луча света и оптическую ось кристалла,
называется главной плоскостью или главным сечением кристалла.
Кристаллы в зависимости от тела их симметрии бывают одноосные и двуосные, т.е. имеют
одну или две оптические оси (к первым относится исландский шпат).
В одноосном кристалле один из лучей, образующихся при двойном лучепреломлении,
подчиняется обычному закону преломления, поэтому его называют обыкновенным лучом,
обозначается через “O”; второй луч называется необыкновенным и не подчиняется закону
преломления – обозначается “е“. (В двуосных кристаллах оба преломленных луча ведут
оптически необыкновенно).
Итак, обыкновенные лучи распространяются в кристалле по всем направлениям с
c
c
, а необыкновенные – с разной скоростью υ e =
.
одинаковой скоростью υ 0 =
n0
ne
Для луча распространяющегося вдоль оптической оси, nо=ne; υ 0 = υ e , т.е. вдоль оптической
оси существует только одна скорость распространения света. Различие υ 0 и υ e для всех
направлений, кроме направления оптической оси, и обуславливает явление двойного
лучепреломления света в одноосных кристаллах.
В одноосном кристалле обыкновенные и необыкновенные волны - линейно поляризованы.
Обыкновенный луч линейно поляризован перпендикулярно плоскости чертежа ( на рисунке
изображено точками – •••••), а необыкновенный – линейно поляризован в плоскости чертежа (
).
на рисунке изображено –
Вопросы для повторения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Какой свет называется естественным?
Какой свет называется поляризованным?
Какой свет называется плоскополяризованым?
Какой свет называется эллиптически поляризованным?
Как практически отличить плоскополяризованный свет от естественного?
Как изменяется интенсивность света за поляризаторм при его вращении вокруг пучка
естественного света?
7. Чем замечателен угол Брюстера?
8. Как ориентированы два поляризатора, если естественный свет пропускается через два
поляризатора и интенсивность уменьшилась вдвое?
9. Что называется оптической осью кристалла?
10. Какая плоскость кристалла называется главным сечением?
11. Какой луч называется обыкновенным?
12. Какой луч называется необыкновенным?
13. Чем обусловлено двойное лучепреломление в оптически анизотропном одноосном
кристалле?
14. Чем отличаются двухосные кристаллы от одноосных?
15. Докажите, что при выполнении закона Брюстера отражённый и преломлённый лучи
взаимно перпендикулярны.
32