Когерентные состояния в теории спонтанного параметрического

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Физический факультет
Кафедра общей и теоретической физики
Умов Дмитрий Иванович
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПАНТАННОГО
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ
Магистерская диссертация по направлению 011200.68
«теоретическая и математическая физика
Допущена к защите ГАК
Заведующий кафедрой ОТФ,
профессор, кандидат физикоматематических наук
Бирюков Александр Александрович
________________________________________
Научный руководитель:
доктор физико-математических
наук, профессор
Горохов Александр Викторович
__________________________
«______» ____________________ 2013г.
«______» ____________________ 2013г.
САМАРА
2013 ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………………………………………………………..…….4
Глава 1. Процессы параметрического распада фотонов…………..………........6
1.1. Нелинейные эффекты в оптике…………….………………………….….6
1.2. Процессы параметрического распада фотонов……………….…………6
1.2.1. Параметрическая “вниз – конверсия…...……………………..……6
1.2.2. Решение уравнений движения…………….……………………..…8
1.2.3. Статистика фотонов………………………………….……………...9
1.2.4. Доказательство неклассического поведения……………………..13
1.2.5. Многомодовая теория возмущений процесса параметрического
распада…………………………………………………………….….15
1.2.6. Перепутанное квантовое состояние……………………...…….....18
1.2.7. Скорость “вниз – конверсии”……………………………………...20
1.2.8. Временной интервал между сигнальным и холостым
фотонами……………………………………………………………….....22
1.3. Генерация сжатого света……...……………………………………........27
1.3.1. Сжатие,
реализованное
на
практике:
вырожденная
параметрическая “вниз – конверсия”……………………………….27
1.3.2. Создание сжатого состояния при вырожденной параметрической
“вниз – конверсии”……………………………..………………..…...29
1.3.3. Широкополосный сжатый свет……………………………………31
Глава 2. Когерентные состояния в квантовой физике………………………...34
2.1. Теоретико-групповые когерентные состояния…………………………34
2.2. Когерентные состояния трехмерной группы Лоренца (SO(2,1) ≈
SU(1,1))……………………………………………………………………36
2.3. Уравнение Шредингера в представлении когерентных состояний......37
Глава 3. Расчет эффектов параметрической вниз - конверсии
в представлении КС………….……………………………………..……………40
3.1. Динамика вырожденного параметрического усилителя…………..…..40
2
3.2. Вырожденный параметрический усилитель, взаимодействующий с
квантованной лазерной модой……………………………..……….…...46
3.3. Генерация
пар
фотонов
без
вырождения
по
частоте
при
взаимодействии с квантованным лазерным полем…………………….50
3.4. Феноменологический учет потерь фотонов…………………..………..56
3.5. Квантовые кинетические уравнения и спонтанное параметрическое
рассеяние………………………………………………………………….57
3.6. Суперпозиции смеси и сжатие…………………..………………………57
Заключение……………………………………………………………………….61
Список использованной литературы..……………………………………....….62
3
ВВЕДЕНИЕ
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ
Настоящая выпускная работа посвящена приложениям теоретикогрупповых когерентных состояний к описанию нелинейных оптических
эффектов. При этом изучен очень важный в современной квантовой
информатике процесс параметрической вниз – конверсии, который был
предсказан и открыт физиками кафедры волновых процессов МГУ в 1966 г.
В работе показано, что в представлении
когерентных состояний можно
получить достаточно простые уравнения, позволяющие адекватно описывать
исследуемое явление.
Цель диссертационной работы
• Целью работы является исследование процесса параметрической вниз –
конверсии
с
использованием
теоретико-групповых
когерентных
состояний.
Для достижения этой цели в работе решаются следующие основные задачи:
• Вывод
уравнений для параметрической
“вниз – конверсии” в
представлении когерентных состояний трехмерной группы Лоренца в
том числе с учетом потерь фотонов.
• Расчет временных зависимостей чисел фотонов и параметров сжатия
для модели рождения пар скоррелированных фотонов в нелинейной
изотропной среде под воздействием лазерного поля для разных
параметров модели.
• Исследовать динамику сжатия для квантовых смесей и суперпозиций
когерентных состояний, соответствующих фотонным состояниям
разной четности.
Научная новизна
4
Научная новизна заключается в том, что….
Достоверность полученных результатов
Научная и практическая значимость результатов
На защиту выносятся следующие основные результаты:
Апробация работы
Публикации
Объем и структура диссертации
• в первой главе дан подробный обзор нелинейного эффекта
параметрическая “ вниз - конверсия ”;
• вторая глава посвящена изложению техники теоретико-групповых
когерентных состояний;
• в третьей главе, с использованием представления когерентных
состояний
выведены
описывающие
нелинейные
поведение
квазиклассические
квантовых
моделей,
и
уравнения,
выполнен
компьютерный анализ.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении показана актуальность настоящего исследования,
сформулированы цель работы, выбор объекта и методов исследования.
В первой главе на основе имеющихся литературных источников,
рассмотрено явление
Во второй главе,
5
их
В третей главе
В заключении сформулированы основные результаты работы.
6
ГЛАВА 1. ПРОЦЕССЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА ФОТОНОВ
1.1 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ОПТИКЕ
Нелинейная оптика получила свое начало в эксперименте, в котором
интенсивный луч красного света (длина волны 6943 Å) от рубинового лазера
падал на кристалл кварца, в результате чего создавался слабый луч голубого
света на длине волны 3472Å, соответствующей первой гармонике красного.
Развитие предмета нелинейной оптики в современную зрелую область науки
обусловлено, в основном, работой Бломбергена и его коллег. Далее мы
рассмотрим показательный пример нелинейной оптики - параметрическая
вниз-конверсия.
1.2 ПРОЦЕССЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА ФОТОНОВ
1.2.1 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ “ВНИЗ – КОНВЕРСИЯ”
Одним из примеров нелинейного взаимодействя может служить
процесс параметрической “вниз – конверсии” (down - conversion). Один
фотон, падающий на диэлектрик, имеющий
- нелинейность, распадается
на два новых фотона более низких частот (см. рис .1.).
Рис. 1. Процесс параметрической “вниз – конверсии” в нелинейном
кристалле NL с восприимчивостью
.H — волна накачки, С — сигнальная
волна, X — холостая волна
Исторически они получили название сигнальный фотон и холостой
(idler) фотон. Если два новых фотона не различимы, то можно описать
процесс гамильтонианом:
7
.
Однако, мы будем рассматривать несколько более общую ситуацию, в
которой падающие фотоны частоты
распадаются на два фотона более
низких частот, которые отличаются друг от друга либо направлениями, либо
величиной их волновых векторов k1, k2, либо тем и другим. В стационарном
случае мы всегда имеем:
,
где
известна как частота накачки параметрическрго процесса,
и
известны как сигнальная и холосстая частоты. Процесс спонтанной
параметрической “вниз – конверсии” в нелинейном кристалле был впервые
исследован теоретически Клышко [1] и экспериментально Бернхемом и
Вайнбергом [2], которые показали, что сигнальный и холостой фотоны
появляются "одновременно" в пределах времени разрешения детекторов и
действующей совместно электроники. Имеется значительное количество
литературы по теории параметрического усиления и вверх- и внизконверсии. Если выполняется условие фазового синхронизма, то волновые
векторы k0, k1, k2 фотона накачки, сигнального и холостого фотонов связаны
(1)
которое отражает закон сохранения импульса.
Гамильтониан для трехмодового параметрического процесса может
быть записан в следующем виде
.
Можно Легко доказать,
(2)
, и поэтому
является интегралом движения, что соответствует процессу деления одного
8
фотона накачки на один сигнальный и один холостой фотон. Разлагая в ряд
и используя уравнения движения Гейзенберга,
Тейлора
чтобы построить производную по времени, можно получить решения на
коротких временах для
. При этом за счет упрощения гамильтониана
проблема сводится к задаче, имеющей простое аналитическое решение.
1.2.2 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
Предположим, что падающее поле накачки является интенсивным и
что мода накачки
комплексной амплитуды
может быть рассмотрена классическим как поле
. Тогда гамильтониан (2) имеет только
две квантованные моды поля, соответствующие сигнальной 1 и холостой 2
модам; вклад от классической накачки больше не появляется. Однако
поскольку амплитуда накачки v0 теперь считается постоянной, мы должны
иметь в виду, что решение перестает быть верным, как только произойдет
заметный распад и, следовательно, заметное истощение поле накачки.
Поэтому ограничим наши вычисления случаем
. Из
гамильтониана
(3)
мы имеем
, поэтому
является интегралом
движения и
(4)
9
Это соотношение отражает тот факт, что сигнальный и холостой фотоны
всегда рождаются вместе. Уравнение движения Гейзенберга для
принимает вид
.
Удобно ввести медленно изменяющиеся комплексные амплитуды мод
Тогда
подчиняется простому уравнению движения
.
Если
, то мы имеем
( 5)
Дифференцируя второй раз и подставляя выражение для
из
второго уравнения в первое, мы получаем несвязанные уравнения при
действительном g
.
Общие решения этих уравнений легко могут быть получены, и при
подходящих граничных условиях они принимают вид
10
,
(6)
,
(7)
где
. Легко убедиться, что эти решения удовлетворяют
уравнению (4).
1.2.3 СТАТИСТИКА ФОТОНОВ
Для того, чтобы вычислить среднее значение величин, будем считать,
что начальное состояние и сигнальной, и холостой мод является вакуумным
состоянием
.
Поскольку
можно легко найти как моменты,
и
так и производящую функцию моментов чисел фотонов
для r - го момента
также
r
-
ым
. Из (6)
при нормальном упорядочении, который является
факториальным
моментом,
получаем
выражение
+r
r
(r )
(r )
n$1 (t ) = : n$1 (t ) : = 1,2 vac A1 (t ) A1 (t ) vac 1,2 =
+
= 1,2 vac [ A1 (0) ch( g | v0 | t ) + ieiθ A2 (0)]sh ( g | v0 | t )]r [ A1 (0) ch( g | v0 | t ) +
+
+ ieiθ A2 (0)]sh( g | v0 | t )]r vac
+r
1,2
=| (−ieiθ )r sh r ( g | v0 | t ) A2 (0) vac
= sh 2r ( g | v0 | t )1,2 vac (n$ 2 (0) + 1)(n$ 2 (0) + 2)...(n$ 2 (0) + r ) vac
1,2
|2 =
1,2
(8)
= r ! sh2r ( g | v0 | t )
следует из (7). При вычислении (8)
и тот же самый результат для
мы использовали теорему антинормального упорядочения.
.
Эти моменты типичны для фотонов, подчиняющихся распределению
вероятности Бозе - Эйнштейна, которое применимо к фотонам, испускаемым
источником в тепловом равновесии.
В частности, когда , r = 1, получаем
(9)
11
и, когда r = 2,
поэтому
2
2
(Δ n$1 (t )) 2 = : n$1 (t ) : − n$1 (t ) + n$1 (t ) = n$1 (t )[1 + n$1 (t )] = (Δ n$1 (t ))2
(10)
Из (9) видно, что среднее число вниз - конвертированных фотонов
растет квадратично со временем за счет спонтанной эмиссии до тех пор, пока
. Но как только
доминирует и
превышает единицу, вынужденная эмиссия
затем растет экспоненциально со временем. Однако
следует отметить еще раз, что предположение о постоянстве амплитуды
накачки
не может быть оправданным, как только
становится
достаточно большим. На практике, время взаимодействия t можно выбрать
равным времени распространения через нелинейную среду, которое обычно
очень короткое, так что в условиях стационарной накачки, как правило,
.
Для того, чтобы вычислить взаимную корреляцию
,
воспользуемся формулами (6) и (7).Находим, что
+
+
: n$1 (t ) n2 (t ) : = 1,2 vac A1 (t ) A2 (t ) A2 (t ) A1 (t ) vac 1,2 =
+
= A2 (0) ch( g | v0 | t ) − ieiθ A1 (0)]sh ( g | v0 | t )][ A1 (0) ch( g | v0 | t ) −
+
+
2
− ieiθ A2 (0)]sh( g | v0 | t )] vac 1,2 =|[−ieiθ ( A2 (0) + 1) ch ( g | v0 | t )]sh( g | v0 | t ) −
+
1
+
2
− ieiθ A (0) A (0)]sh 2 ( g | v0 | t )] vac
2
1,2
(11)
= ch 2 ( g | v0 | t ) + sh 2 ( g | v0 | t ) + sh 4 ( g | v0 | t ) =
= sh 2 ( g | v0 | t )[1 + 2sh 2 ( g | v0 | t )] = n$ j (t ) + 2 n$ j (t )
2
= n$ j (t ) + : n$ j (t ) : , ( j = 1, 2)
Взаимная корреляция флуктуаций чисел фотонов, вследствие этого,
задается соотношением
12
: Δ n$1 (t ) Δ n 2 (t ) : = : n$1 (t ) n 2 (t ) : − n$1 (t ) n$ 2 (t ) = n$ j (t ) (1 + n$ j (t ) )
Из
этого
результата
и
выражения
(10)
мы
получаем
(12)
для
нормированного коэффициента взаимной корреляции между числами
сигнальных и холостых фотонов формулу
(13)
Следовательно, сигнальный и холостой фотоны являются полностью
коррелированными, и при каждом увеличении числа сигнальных фотонов
число холостых фотонов увеличивается на такую же величину. Другой
подход к интерпретации того же самого результата возникает, если заметить
из (11), что когда
(14)
обе стороны этого выражения можно рассматривать
При
как вероятности. Величина
является мерой вероятности того, что
сигнальный или холостой фотон детектируется идеальным детектором, а
- мерой совместной вероятности детектирования обоих
фотонов. Выражение (14) отражает, следовательно, тот факт, что два вниз конвертированных фотона всегда создаются вместе, так как совместная
двухфотонная
вероятность
равна
однофотонной
вероятности.
Нет
необходимости говорить, что эта интерпретация неправомерна, когда
. Следует еще раз подчеркнуть, что на практике ситуация всегда
сложнее, так как возбуждается более двух мод поля, и поэтому необходимо
более общее многомодовое рассмотрение.
13
Рис.
2.
Результаты
зависимость между
измерений,
иллюстрирующие
обратную
и средним значением интенсивности света в
параметрической вниз - конверсии. Величина
интенсивности света и ордината пропорциональна
пропорциональна
. Непрерывная
кривая является прямой линией, проходящей через начало координат.
(Воспроизведено из Friberg, Hong and Mandel, 1985 a)
Стоит отметить, что если ввести нормированную корреляционную
функцию интенсивности, а именно,
то тогда, с учетом (12),
Таким образом,
должна быть обратно пропорциональна
интенсивности света, полученного в результате распада. Это заключение
было подтверждено экспериментально. На Рис. 2. показана линейная
зависимость между
, полученная из эксперимента.
1.2.4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКЛАССИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
14
Неклассическую природу вниз - конвертированного поля можно
продемонстрировать, используя соотношение (11) в следующем виде [3]:
Это соотношение может быть представлено с помощью теоремы
оптической эквивалентности для нормально упорядоченных операторов в
виде неравенства
(15)
Где f(v) есть диагональное представление матрицы плотности по
когерентным состояниям. Очевидно, что данное соотношение нарушает
неравенство Шварца
для классических полей, откуда следует, что вниз - конвертированный свет
не
имеет
классического
описания.
, когда
Действительно,
на
практике
, поэтому это нарушение очень
сильное. Более поздний эксперимент [4], в котором сравнивались скорости
совпадений
между сигнальным и холостым,
сигнальными и
между двумя
между двумя холостыми фотонами, привел, после
исключения второстепенных шумов, к заключению, что
превышает
примерно на 600 среднеквадратичных отклонений. Излишне
говорить, что не существует классических полей, с таким свойством, что
совместная вероятность фотодетектирования в двух различных точках
пространства, где средние величины интенсивностей равны, намного больше,
15
чем совместная вероятность двух детектирований в одной и той же точке.
Рис. 3. Измеренная вероятность р(n) детектирования n холостых
фотонов при условии обнаружения сигнального фотона (Hong and Mandel,
1989)
Явление спонтанной параметрической вниз - конверсии дает нам
состояние, очень приближенное к идеальному однофотонному состоянию,
которое можно использовать как зонд или как источник других процессов,
поскольку обнаружение сигнального фотона всегда означает наличие
родственного холостого фотона. На рис. 3. показаны результаты измерений
вероятности р(n) появления n холостых фотонов в определенном месте и
времени при условии обнаружения сигнального фотона в соответствующем
сопряженном месте в пределах определенного интервала времени. Очевидно,
что на каждый детектированный сигнальный фотон приходится один
холостой фотон.
1.2.5 МНОГОМОДОВАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРОЦЕССА
ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАСПАДА
Гамильтониан с двухмодового квантованного поля (2) описывает
некоторые характерные черты процесса вниз - конверсии, но этого
недостаточно во многих случаях, потому что «вниз-конвертированный» свет
может быть широкополосным и далеко немонохроматическим. Даже если
сумма по сигнальным и холостым частотам имеет вполне определенное
значение, каждый сигнальный фотон и каждый холостой фотон могут иметь
широкую полосу частот, так что фотон ведет себя скорее как короткий
волновой пакет, чем как монохроматическая волна.
Можно учесть эту возможность, разлагая по модам плоских волн каждый
полевой вектор и выражая гамильтониан взаимодействия
16
в виде [5]
+
+
1
V χ (2) (ω0 , ω ', ω '')((ε k*', s ' ))(ε k*'', s '' ) j ∫ ei ( k0 − k ' − k '') r ei (ω ' +ω ''−ω0 ) t a$ k ', s ' a$ k '', s '' d 3 r + э.с,
3 ∑ ∑ l lij
L k ', s ' k '', s ''
(16)
k
H I (t ) =
и
где
являются, соответственно, волновым вектором и частотой
монохроматической волны накачки, которая имеет векторную амплитуду V и
вновь рассматривается классически. Объемный интеграл должен быть взят
по активной области нелинейной среды. Для того, чтобы избежать
усложнений, связанных с преломлением на границе раздела диэлектрик воздух, можно выбрать нелинейную среду, внедренную в пассивный
линейный диэлектрик с тем же самым коэффициентом преломления.
Если
есть состояние поля в момент времени t=0, то состояние
в
более позднее время t определяется выражением
(17)
В частном случае, когда начальное состояние вниз - конвертированного света
является
вакуумным
состоянием
сигнального
и
холостого
фотонов
, то на временах t, коротких по сравнению со средним
интервалом
времени
между
последовательными
параметрическими
распадами, мы имеем, разлагая в ряд экспоненту,
ψ (t ) = vac
s
vac i + L−3
1
Vi χlij(2) (ω0 , ω ', ω '') (ε k*',s ' )i (ε k*'',s '' ) j *
∑
∑
ih [k ', s ']s [k '',s '']i
1
⎡ 1
⎤
⎢ sin 2 (k0 − k '− k '')m lm ⎥ i (ω0 −ω '−ω '')t /2 sin 2 (ω '+ ω ''− ω0 )t
k ', s '
*∏ ⎢
⎥e
1
1
m=1 ⎢
(k0 − k '− k '')m ⎥
(ω '+ ω ''− ω0 )
⎣ 2
⎦
2
3
s
k '', s '' i + ...
(18)
Мы считаем нелинейный диэлектрик параллелепипедом со сторонами l1,l2,l3,
центр которого находится в начале координат. Набор сигнальных и холостых
мод обозначаем как [k', s'] и [k'', s''], соответственно, и предполагаем, что они
не перекрываются.
17
Так как выражение для
является довольно сложным, упростим его в
нескольких отношениях. Предположим, что сигнальные и холостые волны
имеют одинаковую поляризацию, и что их направления хорошо определены
диафрагмами и т.п. Мы можем далее считать s', s'' и направления k', k''
фиксированными и суммировать только по сигнальным и холостым
частотам. Вместо (18) тогда имеем более простое соотношение
ψ (t ) = M vac
s
vac i +
ηV δω
∑∑φ (ω ', ω '')*
2π ω ' ω ''
1
sin (ω '+ ω ''− ω0 )t
ei (ω '+ω ''−ω0 )t /2 ω ' s ω '' i + ...
* 2
1
(ω '+ ω ''− ω0 )
2
(19)
Спектральная функция, которую мы выбираем симметричной по отношению
к w', w'', включает в себя частотную зависимость различных множителей под
знаком суммы в (19). Она имеет пик при
. Интервал между
модами может быть выбран стремящимся к нулю в конце вычисления, когда
суммы заменяются интегралами. Для удобства выбираем f (w', w'')
нормированной так, что
(20)
и описываем величину вклада от возмущения параметром
интенсивность накачки
. Если
выражается в единицах фотонов в секунду, то
является безразмерной величиной. Константа М в (19) очень близка к
единице, так как фотонные пары испускаются очень редко, хотя она не может
быть единицей. Из условия нормировки состояния
выражением (19), следует, что при dw Ø 0
18
заданного
так что модуль | М | должен быть немного меньше единицы. Сделаем
подстановку
и
рассмотрим
предельный
случай
стационарного состояния при больших t. Тогда
(21)
Теперь основные вклады в
- интеграл происходят от малых значений
таких что W''td1. Если
изменяющейся функцией от
,
является достаточно медленно
, то мы можем сделать приближение, заменяя
на
под интегралом. Интегрирования
по w' и W'' в этом случае разделяются, и можно записать
(22)
С помощью (20) мы затем получаем из (21) соотношение
.
Справедливость приближения (18), использованного нами, тогда зависит от
условия
(23)
На первый взгляд, кажется, что оно противоречит предположению о больших
временах, которое мы использовали при выводе (22). Однако условие (21)
требует лишь, чтобы t было коротким по сравнению со средним интервалом
времени между параметрическими распадами, а это время может быть на
несколько порядков больше любого времени корреляции, которое, в свою
очередь, должно быть меньше t.
1.2.6 ПЕРЕПУТАННОЕ КВАНТОВОЕ СОСТОЯНИЕ
19
Квантовое состояние (19), описывающее вниз - конвертированную
фотонную пару, обнаруживает некоторые интересные и контринтуитивные
черты. В противоположность вкладу вакуумного состояния
,
который позволяет вниз - конвертированным фотонам нести информацию о
фазе накачки, суммирование по частотам не позволяет представить состояние
(19) в виде произведения сигнального и холостого состояний. Говорят, что
сигнальный и холостой фотоны являются перепутанными (entangled) друг с
другом в частотной области.
Отсутствие факторизации имеет некоторые необычные последствия.
Предположим, что вблизи нелинейного кристалла мы помещаем фильтр на
пути сигнальных фотонов, который пропускает только частоту
. Это,
очевидно, является упрощением по отношению к реальным фильтрам, но
этого достаточно, чтобы проиллюстрировать главное, что мы хотим
подчеркнуть. Пусть
есть проекционный оператор, который
описывает действие фильтра. Тогда состояние возникающего вниз конвертированного поля может быть представлено матрицей плотности
,
где
задается выражением (19) и К есть нормировочный множитель.
Состояние одиночного холостого фотона, учитывая наличие фильтра,
получается вычислением следа от
, по подпространству состояний
сигнального фотона, или
.
В пределе больших времен находим с помощью приближения, что
(24)
20
Другими словами, следствием выбора частоты
сигнального фотона
перепутанной пары является то, что холостой фотон также имеет
определенную частоту, такую что две частоты составляют в сумме
. Если
бы мы выбрали фильтр, который пропускает частоты в определенной полосе
прозрачности, и который был бы представлен суммой по операторам
проектирования , возможно, с некоторыми весовыми функциями, то тогда
состояние соответствующего холостого поля задавалось бы суммой по
выражений, подобных тем, что присутствуют в правой части (24).
Следовательно, состояние холостого фотона определяется наблюдениями,
сделанными на сигнальном фотоне, хотя два фотона в момент измерения
могут быть так далеко друг от друга, что не могут взаимодействовать. Это
пример
курьезной
нелокальности,
являющейся
характерной
чертой
перепутанного квантового состояния. На первый взгляд, кажется, что
нарушается причинная связь и принцип относительности, хотя более
тщательное рассмотрение показывает, что это не так. Подобные аргументы
привели Эйнштейна, Подольского и Розена к выводу, что квантовая
механика, вероятно, неполна. Эффекты, описываемые (24), также уже
наблюдались, возможно, наиболее тщательно в экспериментах [17] и [18].
1.2.7 СКОРОСТЬ ВНИЗ – КОНВЕРСИИ
Теперь воспользуемся формализмом теории возмущений, чтобы
вычислить скорость вниз - конверсии. Пусть фотодетектор расположен на
пути сигнального пучка на расстоянии
, от нелинейной среды. Тогда
сигнальное поле на фотодетекторе во время t может быть представлено
разложением по модам
(25)
21
которое уже нормировано, так что
,
измеряется в единицах фотонов
есть оператор уничтожения фотона для сигнальной
в секунду. Член
моды частоты w. Средняя скорость
, с которой детектор регистрирует
сигнальные фотоны, определяется выражением
где
- квантовая эффективность детектора. С помощью (19), (25) эта
формула принимает вид
3
2
⎛ δω ⎞
i (ω ' +ω '')(t − rs )
φ (ω1 , ω2 )*
Rs = α s ⎜
∑∑∑∑
⎟ ηV ∑∑ e
⎝ 2π ⎠
ω ' ω ''
ω1 ω2 ω3 ω4
1
1
sin (ω1 + ω2 − ω0 )t sin (ω3 + ω4 − ω0 )
2
2
ei (ω3 +ω4 −ω1 −ω2 ) *
*φ (ω3 , ω4 )
1
1
(ω1 + ω2 − ω0 )
(ω3 + ω4 − ω0 )
2
2
+
ω a$ s (ω ')a$ s (ω '') ω ω .
* ω
i
2
s
1
3 s
4 i
Ненулевые вклады в сумму имеют место при
пределе
. В
получаем
(26)
где
(27)
Рассмотрим вновь предел больших времен и положим
, так
что
Когда t достаточно большое, основной вклад
малых
. Если
- интеграл происходит от
изменяется достаточно медленно с
22
, то
можно в хорошем приближении заменить выражением
. Более того, поскольку
и является оптической частотой,
интеграла на ‐¶.
можно заменить нижний предел
-интеграл тогда
приводит к хорошо известному разрывному интегралу Дирихле,
(28)
Следовательно, при условии, что
получаем для больших t
(29)
Последняя строка следует из (20). Так как
определяет скорость, с
которой фотоны накачки падают на нелинейную среду, очевидно, что
определяет долю падающих фотонов накачки, которые преобразовались в
пары «сигнальный фотон — холостой фотон».
1.2.8 ВРЕМЕННОЙ ИНТЕРВАЛ МЕЖДУ СИГНАЛЬНЫМ И
ХОЛОСТЫМ ФОТОНАМИ
Мы уже видели, что в процессе параметрической вниз - конверсии
сигнальный и холостой фотоны появляются вместе. Интересен вопрос о
масштабе времени
, внутри которого сигнальный и холостой фотоны
можно считать «одновременными». В работе [2] было экспериментально
обнаружено, что эти два фотона разделены не более чем несколькими
наносекундами. Однако авторы признали, что это полученное время
корреляции
,
вероятно,
определялось
временем
разрешения
их
фотодетектора, а не является присущим процессу вниз - конверсии. Хотя
более поздние измерения с более быстрыми детекторами и привели к более
низким значениям
[6], было обнаружено, что собственное время
корреляции, обратно пропорциональное ширине полосы Dw вниз конвертированного света, находится в пикосекундной или субпикосекундной
области. Это время настолько меньше времени разрешения детектора или
сопутствующей электроники, что могло оказаться ненаблюдаемым. Однако,
23
используя интерференционную технику, а не прямое детектирование, в
работе [7] удалось измерить
фотонов, полученных в результате распада.
Для того, чтобы понять принцип этого эксперимента, предположим,
что светоделитель BS (Рис. 4.) имеет два входа 1 и 2 и два выхода 3 и 4.
Предположим, что сигнальный фотон входит в отверстие 1, пройдя
расстояние
от параметрического преобразователя, и что сопряженный
холостой фотон входит в отверстие 2, пройдя расстояние
. Вычислим
совместную вероятность детектирования пары фотонов при совпадении в
выходных отверстиях 3 и 4. Поле в выходных отверстиях может быть
выражено в виде
(30)
где П,
J есть комплексные амплитудные коэффициенты отражения и
прохождения светоделителя. Плотность совместной вероятности того, что
фотон детектируется в отверстии 3 в момент t и другой фотон в отверстии 4 в
момент t+t, пропорциональна
(31)
где
определяется выражением (19). Здесь
, есть квантовые
эффективности детекторов в отверстиях 3 и 4, соответственно.
и
Теперь подставим выражения для
и вычислим
среднее при больших t, так же как это делалось при выводе (29). После
некоторого длинного, но простого расчета получаем в результате, что
(32)
Здесь
(33)
24
есть
фурье
-
образ
спектральной
функции
f,
которая
является
автокорреляционной функцией вниз - конвертированного света, и
g (t)ª G(t)/G(0)
(34) есть нормированная автокорреляция. Область значений t, в которой эта
функция существенно отлична от нуля имеет порядок 1/Dw, так что она
очень мала, когда tp1/Dw.
На практике обычно измеряют скорость совпадений отсчетов
,
которая является скоростью, с которой отсчеты регистрируются в отверстиях
3 и 4 в течение времени разрешения
детектора и электроники. Таким
образом,
(35)
Подставляя
в интеграл, интегрируя и учитывая, что
,
обычно, намного больше времени когерентности 1/Dw, так что пределы в
(35) можно заменить ±¶, приходим к формуле:
∞
⎧ 2
⎡
⎤ ⎪⎫
2
2⎪
2
Rs = α3α 4 ηV G(0) ⎨ J + П − ⎢ П *2 J 2 ∫ g * (τ 2 − τ1 + τ ) g (τ 2 −τ1 − τ )dτ + к.с.⎥ ⎬ (36)
−∞
⎣
⎦ ⎭⎪
⎩⎪
Рис. 4. Иллюстрирующий принцип определения временного интервала между
двумя фотонами с помощью интерференции в светоделителе BS
Обсудим вид
как функции от
в частном случае, когда
, а спектральная функция f гауссовская, так что
(37)
25
Тогда легко находим из (36), что
(38)
Эта скорость равна нулю, когда
увеличением
до значения
и возрастает, с
, когда
Другими словами, изменяя время задержки
.
между сигнальным и
холостым фотонами, и измеряя скорость двухфотонных совпадений на
выходе светоделителя, в зависимости от
, можно определить время
корреляции между двумя фотонами. Более того, так как измерение является
интерференционным, возможно измерение корреляционных времен 1/Dw в
субпикосекундной временной области, которые намного короче, чем времена
разрешения детекторов и считывающей электроники.
Рис. 5. Схема эксперимента по измерению временного интервала между
двумя фотонами с помощью интерференции в светоделитель (BS).KDP —
нелинейный кристалл дигидрофосфата калия, действующий как вниз конвертор, и PDP 11/23 — компьютер. (Из работы Hong, Chi and Mandel,
1987)
На рис. 5. показана схема эксперимента для измерения распределения
интервалов времени между сигнальным и холостым фотонами, созданными в
процессе параметрического распада. Два фотона падают на светоделитель BS
с противоположных сторон, в результате получаются два выходных луча с
вкладами от сигнального и холостого фотонов. Смешанные сигнальные и
холостые фотоны регистрируются детекторами D1 и D2 как раздельно, так и
в схеме совпадений. Интерференционные фильтры IF1 и IF2, помещенные
26
перед детекторами, имеют полосу пропускания окало 1013 Гц, что означает,
что фотоны, падающие на детекторы, должны рассматриваться, как волновые
пакеты с длительностью ~ 100 фс. Для того чтобы ввести дифференциальное
время задержки между сигнальным и холостым фотонами, светоделитель BS
слегка перемещается. Это укорачивает путь для одного фотона относительно
другого.
Рис. 6. Результаты измерений двухфотонных совпадений в зависимости от
дифференциального
времени
задержки
между
двумя
фотонами,
наложенные на теоретическую (сплошную) кривую.
На
Рис.
6.
показаны
результаты
измерений,
наложенные
на
теоретическую кривую, полученную из (36) или (38).Из распределения
совпадающих отсчетов следует, что два фотона имеют корреляционное
время~100 фс, что и следовало ожидать, учитывая полосы пропускания IF1 и
IF2. Заметим, что время разрешения, достигнутое в этом эксперименте, почти
в миллион раз короче, чем времена разрешения детекторов и электроники.
И, наконец, заманчиво узнать, существует ли интуитивно простой путь для
понимания этого эксперимента. Когда один фотон входит в 50 % : 50 % светоделитель в отверстие 1 и подобный фотон входит в отверстие 2,
деструктивная интерференция делает невозможным выход одного фотона в
отверстие 3 и другого в отверстие 4 (Рис. 4.). Вместо этого оба фотона
появляются вместе или в отверстии 3 или отверстии 4. Скорость совпадений,
27
следовательно, равна нулю для тождественных, одновременных фотонов.
Однако если один фотон задерживается относительно другого, так что два
волновых пакета больше не перекрываются полностью, деструктивная
интерференция действует не в полной мере. Скорость совпадений тогда
растет с задержкой до тех пор, пока она, для больших задержек, не станет
постоянной и независимой от времени задержки. Это соответствует
зависимости, показанной на Рис. 6..
1.3 ГЕНЕРАЦИЯ СЖАТОГО СВЕТА
1.3.1 СЖАТИЕ, РЕАЛИЗОВАННОЕ НА ПРАКТИКЕ: ВЫРОЖДЕННАЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ВНИЗ – КОНВЕРСИЯ
В общем случае сжатое состояние есть такое состояние, в котором
распределение
канонических
переменных по
фазовому пространству
искажено, «сжато», таким образом, что дисперсия одной канонической
переменной уменьшается ценой увеличения дисперсии другой переменной.
Теория показывает, что сжатие должно проявляться в громадном количестве
ситуаций, в которых свет взаимодействует с нелинейной средой. Примерами
являются резонансная флуоресценция, генерация гармоник, четырехволновое
смешение, параметрическое усиление и вниз - конверсия, оптическая
бистабильность. Сжатие было впервые продемонстрировано в лабораторных
условиях, в процессах четырехволнового смешения в пучках натрия.
Использованная в этом эксперименте аппаратура показана на рис. 7.а, а
экспериментальные результаты воспроизведены на рис. 7.б. Свет, выходящий
через SM2 из резонансной кюветы, смешивается светоделителем со светом от
локального осциллятора (лазера на красителях) и комбинированные лучи
падают на детекторы DA и DB. Измеряется разность между флуктуациями
двух фототоков, для того, чтобы погасить влияние шума локального
осциллятора. При изменении фазы ФLO локального осциллятора разность
флуктуаций
иногда
падает
на
несколько
28
процентов
ниже
уровня,
соответствующего полю закрытой кюветы (вакуумный уровень). Это
является признаком сжатого состояния.
Рис. 7.а - Схема аппаратуры, использованной в первой успешной
демонстрации сжатия.SM1 и SM2 - зеркала резонатора, используемого для
сжатия света, РМ1 и РМ2 - зеркала резонатора, используемого для накачки,
АО - устройство для сдвига частоты, BS1 и BS2 - светоделители, LO локальный осциллятор,
осциллятора
ФLO - устройство для сдвига фазы локального
(фазовращатель).
Разница
между
сигналами
от
двух
фотонных детекторов DA и DB подается на спектральный анализатор SA;
б — Наблюдаемый среднеквадратичный шум Vrms в зависимости от фазы
локального осциллятора. Тонкая горизонтальная линия представляет
результаты для случая, когда сжатый свет выключен.
Рис. 8. -
Распределение в фазовом пространстве, соответствующее
экспериментальным
среднеквадратичный
результатам,
шум,
показанным
наблюдаемый
29
в
на
рис.
7;
экспериментах
б
—
по
параметрической вниз - конверсии в зависимости от фазы локального
осциллятора.
Эффект намного большего сжатия наблюдался в процессе параметрической
вниз - конверсии. Результаты этого эксперимента приведены на рис 8. а и б,
на которых также показана зависимость среднеквадратичного шумового
напряжения от фазы локального осциллятора. Распределение в фазовом
пространстве, а слева от экспериментальной кривой б приведено для того,
чтобы продемонстрировать величину наблюдаемого эффекта сжатия по
эксцентриситету эллипса. Так как эффект очень сильный, мы кратко обсудим
теорию создания сжатого состояния в процессе вырожденной “внизконверсии”.
1.3.2 СОЗДАНИЕ СЖАТОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ВЫРОЖДЕННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ «ВНИЗ – КОНВЕРСИИ»
Рассмотрим процесс вырожденной параметрической вниз - конверсии,
в котором когерентный пучок света частоты
взаимодействует с
.
нелинейным кристаллом, чтобы создать свет на частоте субгармоники
В результате фотон с энергией
распадается на два фотона частоты
. Если падающее поле очень интенсивное, то оправданно считать
его классическим, хотя вниз - конвертированное поле должно быть
квантовым.
Самый простой гамильтониан, описывающий это взаимодействие, имеет вид
(39)
Где
есть комплексная амплитуда падающего светового луча, и g является
действительной
восприимчивости
константой
связи,
которая
среды.
Слагаемое,
зависит
описывающее
от
нелинейной
взаимодействие,
соответствует одновременному рождению или уничтожению двух фотонов
моды 1. Уравнение движения Гейзенберга для
30
тогда принимает вид
(40)
и оно имеет следующее общее решение:
(41)
что может быть подтверждено обратной подстановкой в дифференциальное
уравнение.
Можно использовать этот результат для вычисления любого интересующего
нас среднего в момент времени t, если допустить, что поле эволюционирует
.
из вакуумного состояния с
Таким образом, видно, что
, тогда как
2
+
v
1 v
a$1 (t ) = −i 0 sh(2 g | v0 | t ) ch(2 g | v0 | t ) e −2iω1t a$1 (0) a$1 (0) = − i 0 h(4 g | v0 | t )e −2iω1t ,
| v0 |
2 | v0 |
(42)
(43)
Если теперь построить эрмитов оператор
(44)
(который превращается в , когда b заменяется на b + p/2), то для дисперсии
величины
находим
и из выражений (42) и (43) следует
(45)
Если же мы выберем фазовый угол b так, чтобы 2b ‐ argv = p/2, то получим
, что меньше единицы для всех t > 0. Следовательно,
поле, которое появляется в результате вырожденной параметрической вниз конверсии, или расщепления частоты когерентного света, всегда сжатое, и
это сжатие может быть существенным.
31
1.3.3 ШИРОКОПОЛОСНЫЙ СЖАТЫЙ СВЕТ
До сих пор мы обсуждали сжатие в контексте одномодового поля. В
некоторых процессах, таких как невырожденная параметрическая вниз конверсия, легко создаются два фотона одновременно в двух сопряженных
модах, частоты которых просто связаны. Соответствующее состояние может
быть получено из вакуумного действием оператора двухмодового сжатия
(46)
Это действие может сопровождаться смещениями в каждой моде,
представляемыми операторами
В общем случае нам следует рассмотреть поле, имеющее непрерывный
спектр мод, часть из которых может проявлять сжатие, а другая часть нет.
Экспериментально можно сделать спектральный анализ фотоэлектрического
тока, вызванного гомодинированием или гетеродинированием, и измерить
флуктуации различных фурье-компонент, а не полного фотоэлектрического
сигнала в целом. Сжатие может иметь место только для некоторых
компонент Фурье, а для других нет, или для различных фурье-компонент в
разной степени.
Рис. 9. Схема эксперимента по гомодинированию для изучения спектральной
плотности флуктуаций поля. 1,2 – входные отверстия, 3 – светоделитель с
амплитудным
коэффициентом
прохождения
около
100%,
4
–
фотодетектор, 5 – спектроанализатор, 6 – устройство для сдвига фазы, 7локальный осциллятор.
32
Мы кратко проанализируем эту ситуацию. Для упрощения вычислений
рассмотрим
средней
поляризованное,
частоты
,
квазимонохроматическое
квантовое
положительно-частотная
часть
поле
которого,
. Начнем с разложения
представляется скалярным оператором поля
по дискретным, нормальным модам плоских волн в виде
(47)
где K есть объем квантования, l (w) является некоторым частотно зависящим
для электрического поля), и (k)
множителем (таким как
обозначает набор мод плоских волн, которыми ограничено наше внимание, и
на которые откликается детектор. На последней стадии вычислений мы
устремим K Ø ¶, в этом случае сумма переходит в интеграл по континууму.
С этого момента мы опускаем пространственную координату r, чтобы
и сопряженный ему
упростить обозначения. Член
операторами
уничтожения
и
рождения,
которые
являются
подчиняются
для
одинаковых времен коммутационному соотношению
(48)
Удобно использовать единицы измерений, в которых интенсивность света
выражается в фотонах в секунду. Тогда С также
выражается в фотонах в секунду.
Построим теперь два эрмитовых квадратурных оператора
, а
именно,
(49)
33
где b является пока произвольной величиной. Осциллирующие множители
, функциями, слабо зависящими
вводятся для того, чтобы сделать
в виде
от t. Это позволяет нам выразить полное поле
(50)
подчиняются для равных времен
Из (48) следует, что
коммутационному соотношению
(51)
которое показывает,
что они являются
канонически сопряженными
элементами, удовлетворяющими соотношению неопределенности
(52)
Легко показать, что в вакуумном состоянии
.
Поэтому состояние является сжатым состоянием, если для некоторого угла b
справедливо условие
(53)
и мы в дальнейшем будем ссылаться на это условие как на сжатие в полном
смысле, потому, что мы имеем дело с флуктуациями полного поля.
34
ГЛАВА 2 КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ
2.1 ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Обобщение глауберовских (осцилляторных) когерентных состояний на
случай произвольной динамической группы симметрии G было дано А.М.
Переломовым в 1972 г. [8]. См. также [9-11,21].
Рассмотрим неприводимое унитарное представление Tˆ ( g )
g ∈ G → Tˆ ( g ) Ψ (ξ ) = Ψ ( g −1ξ ) ,
(54)
где Ψ(ξ ) ∈ H , {ξ ∈ Μ} - однородное пространство с группой преобразований
G. Пусть Ψ 0 некоторый фиксированный вектор в H , и
Ψ g = Tˆ ( g ) Ψ 0 ,
Два таких вектора Ψ g и Ψ g
состояние, если
1
2
g ∈G .
(55)
описывают одно и то же физическое
iα
Ψ g1 = e Ψ g2 ,
e
iα
= 1,
(56)
Последнее соотношение может быть верно, только в том случае, когда
iα
Tˆ ( g 2−1 g1 ) Ψ 0 = e Ψ 0 .
(57)
Если H ⊂ G и для любого h ∈ H
iα ( h )
Tˆ ( h) = Ψ 0 = e
Ψ0 ,
(58)
то H будем называть стационарной подгруппой состояния Ψ 0 .
Ясно, что вектору Ψ g можно поставить во взаимно-однозначное
соответствие точку фактор - пространства Μ = H \ G .
Системой когерентных состояний типа ⎡⎣Tˆ ( g ), Ψ 0 ⎤⎦ называется система
{ Ψ g } , Ψ g = T ( g ) Ψ 0 , где g обегает всю группу G. Пусть H – стационарная
подгруппа состояния Ψ 0 . Тогда когерентное состояние Ψ g определяется
точкой x = x ( g ) фактор - пространства Μ = H \ G , соответствующий элементу
g.
35
Будем использовать обозначение
Ψg = e
iα ( g )
x , Ψ0 ≡ 0 .
(59)
Выпишем некоторые свойства когерентных состояний
x = eiα ( g )Tˆ ( g ) 0 .
(60)
Подействуем на состояние x оператором T ( g ' ) .
'
− iα ( g )
iβ ( g , g )
Tˆ ( g ' ) x = e
Tˆ ( g ' )Tˆ ( g ) 0 = e
x' ,
где
x' = g ' x
определяется законом действия G на
(61)
Μ = H \G .
Здесь
β ( g ' , g ) = α ( g ' g ) − α ( g ) , причем β ( g ' , g ) ≡ β ( g ' , x) .
Скалярное произведение двух когерентных состояний можно выразить
через среднее значение оператора представления в состоянии 0
i[α ( g1 ) −α ( g2 )]
x1 x2 = e
^
⋅ 0 T ( g1−1 g2 ) 0 .
Множество всех когерентных
«разложение единицы»):
∫
состояний
полно
(62)
(имеет
d μ ( x) x x = Iˆ ,
место
(63)
H \G
где d μ ( x) - инвариантная мера на фактор – пространстве H/G, т.е.
d μ ( gx ) = d μ ( x) , “нормированная” условием
∫
2
0 x d μ ( x) = 1 .
(64)
H /G
Произвольное состояние
состояниям x :
Ψ =
Ψ
∫
можно разложить по когерентным
d μ ( x)Ψ ( x) x ,
H \G
где Ψ( x) = x Ψ , тогда для нормы состояния Ψ получаем:
36
(65)
2
Ψ Ψ = ∫ d μ ( x) Ψ ( x) .
(66)
2.2. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ГРУППЫ
ЛОРЕНЦА (SO(2,1) ≈ SU(1,1))
Рассмотрим когерентные состояния для группы Гейзенберга - Вейля,
при помощи которой мы в дальнейшем будем описывать динамику моды.
Группа SU(1,1) имеет несколько серий унитарных неприводимых
представлений, и, соответственно, можно построить несколько систем
когерентных состояний для этой группы. Для нас в дальнейшем будут
представлять интерес
представления так
называемой положительной
дискретной серии T+k , причем которые можно реализовать с помощью
бозонных операторов рождения и уничтожения. Алгебра группы SU(1,1)
определена следующим образом: [ K0 , K± ] = ± K± , [ K− , K+ ] = 2K0
Инвариантный оператор
K 2 = K02 −
1
( K+ K− + K− K+ ) = k ( k −1) I ,
2
(67)
где I- единичный оператор
Принципиальным моментом в группе SU(1,1) является то, что она
неодносвязна, т.е. в группе SU(1,1) не всякий замкнутый путь может быть
стянутым в одну точку. Поэтому при рассмотрении подобных групп
переходят к рассмотрению их односвязных универсальных накрывающих,
получаемых «склеиванием» необходимого количества экземпляров исходных
групп, число которых определяется рангом фундаментальной группы π1 (G)
топологического пространства исходной группы Ли G. В нашем случае
π 1 ( SU (1,1)) изоморфна группе всех целых чисел Z, поэтому накрывающая
группа SU(1,1) содержит бесконечный центр Z и не является матричной
группой.
37
Когерентное состояние имеет вид:
ζ
(
= 1− ζ
2
)
k
exp (ζ K
+
)ψ
(
2
= 1− ζ
0
)∑
à (m + 2k )
ζ
m! Ã (2k )
k
m
где
m
k,k + m
,
(68)
- собственный вектор оператора K 0 . Фактор –
k ,k + m
пространство в данном случае является двумерным гиперболоидом, и ζ
допускает
соответствующую
угловую
параметризацию.
Разложение
единицы:
∫
ζ
существует для k >
ζ
2k − 1
π
d 2ζ
(1 − ζ )
2
2
= I
(69)
1
.
2
Вычисляя инвариантный оператор, можно установить, что для
реализации операторов K 0 , K ± через бозонные операторы рождения –
1
3
уничтожения возможны два значения k =
и k = .
4
4
2.3. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В ПРЕДСТАВЛЕНИИ
КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
Решим задачу о Параметрическом возбуждении квантового осциллятора,
используя систему КС для дискретной серии группы SU(1, 1). Интересующая
нас система — квантовый осциллятор с переменной частотой — описывается
уравнением Шрёдингера
(70)
где
. Выражая операторы координаты и импульса через
бозонные операторы рождения и уничтожения, получаем
38
Воспользовавшись выражением
перепишем
в виде
(71)
.
где
и
- генераторы представления
дискретной серии группы SU (1, 1) с k=1/4 и k=3/4.
Таким образом, наш гамильтониан линеен по генераторам алгебры Ли
группы SU (1, 1). Поэтому существует решение уравнения Шрёдингера вида
(72)
где
- когерентное состояние с k=1/4 или 3/4. Подставляя (72) в
уравнение Шрёдингера (70), аналогично тому, как это было сделано в
предыдущем разделе, получаем уравнения для величин и :
(73)
Заметим,
что плоскость
является
в данном случае плоскостью
Лобачевского и представляет фазовую плоскость для рассматриваемой
задачи. Первое из уравнений (73) описывает движение классической системы
(осциллятора) на фазовой плоскости. Квантовое состояние
точности
множителя
следует
,то
классическому движению.
он
в
точности
Что
равняется
при этом в
касается
площади
в
фазового
метрике
Лобачевского, заметаемой радиус-вектором при его движении. Оба эти
обстоятельства связаны с тем, что в данном случае «квазиклассическое
приближение» приводит к точному ответу.
39
Величина
, достаточно быстро стремится к определенным пределам при
. В этом случае существуют асимптотические состояния
и имеет смысл говорить о вероятности перехода
в состояние
Используя
из состояния
. Тогда
для
выражение
, получим окончательный ответ
.
при
40
ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ЭФФЕКТА ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ВНИЗ КОНВЕРСИИ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ КС
3.1 ДИНАМИКА ВЫРОЖДЕННОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
УСИЛИТЕЛЯ
Гамильтониан системы будет иметь вид:
,
где
(74)
- константа взаимодействия
Будем описывать сигнальную и холостую моды в полученном
осцилляторе.
В данной работе мы описываем динамику моды при помощи
когерентных состояний (КС) группы SU(1,1).
Такое описание справедливо, т.к. гамильтониан содержит в себе
операторы, образующие замкнутую алгебру группы SU(1,1), на которой
строятся используемые нами КС [12],[9]:
[ K 0 , K ± ] = ± K ± , [ K − , K + ] = 2 K0
(75)
где
1⎛
1⎞
1
1
K+ = a + a + , K− = aa, K0 = ⎜ a + a + ⎟.
2⎝
2⎠
2
2
(76)
Тогда гамильтониан (74) представится в виде:
(77)
Будем искать эволюцию соответствующих КС по следующей схеме:
1) найдем диагональный матричный элемент оператора Гамильтона в
представлении КС:
H = z H ( t ) z = H ( z , z ; t ),
где z обозначение для z комплексно сопряженного.
41
(78)
2) найдем решение дифференциального уравнения
z& = −
i
{ z, H ( z, z ; t )} ,
h
(79)
где символом { z , H } обозначена скобка Пуассона [8],[9]:
∂F ∂R
∂F ∂R
{F, R} = ∑gαβ ⎛⎜ α β − β α ⎞⎟ ,
h
∂z ∂z ∂z ∂z
i
⎝
α ,β
а величина
g αβ
⎠
(80)
вычисляется по формуле:
gαβ =
∂2 ln K ( z, z )
,
∂zα ∂z β
(81)
где:
K ( z, w) =
zw
z0 0w
.
(82)
- величина, в пространстве голоморфных функций, аналогичная δ-функции
Дирака.
Построим эволюцию системы с помощью КС группы SU(1,1)
Воспользуемся приведенной схемой для решения этой задачи в
представлении КС группы SU(1,1).
1) Найдем диагональный матричный элемент оператора Гамильтона в
представлении КС группы SU(1,1).
Запишем выражение для матричного элемента оператора Гамильтона
нашей системы:
(83)
Для нахождения явного вида зависимости матричного элемента от
параметров КС используем формулы для средних значений операторов
K 0 , K + , K − [9]:
K+ =
2 kz
2kκ (t ) zz ( 2 k + zz )
2 kz
1 + zz
, K0 = k
, K− =
, K+ K− =
.
2
1 − zz
1 − zz
1 − zz
(1 − zz )
42
(84)
Тогда после подстановки этих значений в матричный элемент оператора
Гамильтона получим:
(85)
2). Т.о. для КС группы SU(1,1) получим уравнение:
(86)
Подставим выражение для матричного элемента оператора Гамильтона из
(83):
(87)
Рассмотрим сжатие в представлении группы SU(1,1).
Т. к.
(88)
, то
где
,
(89)
то, воспользовавшись соотношениями (76), получим:
.
(90)
для КС группы SU(1,1), получим:
Поскольку
.
Нами
проведено
численное
решение
(91)
системы
комплексных
дифференциальных уравнений в пакете Mathematica 6.0.
На основании полученных численных решений для каждого случая мы
построили:
а)
график траектории КС на комплексной плоскости,
б) график зависимости среднего числа фотонов в моде от времени,
в)
график временной зависимости вероятности возбуждения n-го
уровня,
43
г)
график зависимости сжатия от времени.
При вычислении мы брали следующие значения констант:
(92)
Так как у группы SU(1,1) для одномодового осциллятора существует две
и при
унитарных представления: при
- соответственно четных и
нечетных состояний, мы получили численные решения уравнения отдельно
для четных и нечетных уровней.
Im Z 1
0.5
- 0.5
Re Z 1
0.5
- 0.5
Рис. 10. Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной
моды частотой n1
n1
15
15
10
10
5
5
5
10
15
t
20
5
10
15
20
t
Рис. 11б.
Рис. 11а.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (11б), с
параметрической генерации для четных (11а), с
уровней с частотой
44
W1 Ht L
W1 Ht L
0.035
0.035
0.030
0.030
0.025
0.025
0.020
0.020
0.015
0.015
0.010
0.010
0.005
0.005
5
10
15
t
20
5
10
Рис. 12а.
15
20
t
Рис. 12б.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (12а), с
уровней с частотой
(12б), с
VHt L
4
3
2
1
100
2 00
300
4 00
500
t
Рис. 13. Параметры сжатия для
Результаты расчета с учетом разбегания сигнального и холостого
фотонов (
, где
)
Im Z1
0.04
0.02
-0.04
-0.02
0.02
0.04
Re Z 1
- 0.02
- 0.04
Рис. 14. Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной
моды частотой
45
n1
n1
1.006
1.006
1.005
1.005
1.004
1.004
1.003
1.003
1.002
1.002
1.001
1.001
2
4
6
8
10
12
t
2
4
Рис. 15а.
6
8
10
t
12
Рис. 15б. Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (15б), с
параметрической генерации для четных (15а), с
уровней с частотой
W1 Ht L
W1 Ht L
0.0015
0.0015
0.0010
0.0010
0.0005
0.0005
2
4
6
8
10
12
t
2
Рис. 16а.
4
6
8
10
12
t
Рис. 16б. Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (16а), с
уровней с частотой
(16б), с
VHt L
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
20
40
60
Рис. 17. 46
80
100
t
Параметры сжатия для
, (17)
3.2 ВЫРОЖДЕННЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЙ С КВАНТОВАННОЙ ЛАЗЕРНОЙ МОДОЙ
Воспользовавшись изложенной выше методикой, из гамильтониана
(93)
получим уравнения движения
(94)
Результаты расчета для констант
w0 =1, w1 =0.5, g =0.5
w0 =1, w1 =0.5, g =0.5
Im Z
Im Z
0.04
4
2
-4
-2
0.02
2
Re Z
4
-0.04
- 0.02
0.02
0.04
Re Z
-2
-0.02
-4
-0.04
Рис. 18а.
Рис. 18б.
Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной моды
частотой (18а), и для фотонной моды частотой ,(18б)
47
n 0 Ht L
35
30
25
20
15
10
5
20
40
60
80
100
t
120
Рис. 19а. Среднее число квантов в фотонной моде частотой
рождаемой в процессе параметрической генерации
n1
,
n1
0.5
2.5
0.4
2.0
0.3
0.2
1.5
0.1
50
100
150
200
t
50
Рис. 19б.
100
150
200
t
Рис. 19в.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (19в), с
параметрической генерации для четных (19б), с
уровней с частотой
W0 Ht L
0.8
0.6
0.4
50
100
150
200
t
Рис. 20а. Распределение вероятности для квантов в фотонной моде,
частотой
48
W1 Ht L
W1 Ht L
1.0
0.035
0.030
0.9
0.025
0.8
0.020
0.7
0.015
0.010
0.6
0.005
10
20
30
40
50
t
10
Рис. 20б.
20
30
40
50
t
Рис. 20в.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (20б), с
уровней с частотой
(20в), с
VHt L
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
50
100
150
200
t
Рис. 21. Параметры сжатия для
Результаты расчета с учетом разбегания сигнального и холостого
фотонов (
, где
)
49
w0 =1, w1 =0.5, g =0.2
w0 =1, w1 =0.5, g =0.2
Im Z
-0.2
Im Z
0.2
0.010
0.1
0.005
-0.1
0.1
0.2
Re Z
- 0.010
-0.005
0.005
-0.1
-0.005
-0.2
-0.010
Рис. 22а.
0.010
Re Z
Рис. 22б.
Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной моды
рис.(22б)
частотой ,(22а), и для фотонной моды частотой
n 0 Ht L
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
5
10
15
20
t
Рис. 23а. Среднее число квантов в фотонной моде частотой
рождаемой в процессе параметрической генерации
,
n1
n1
0.0001008
1.0003
0.0001006
1.0003
0.0001004
1.0003
0.0001002
1.0003
5
10
15
20
t
Рис. 23б.
5
10
15
20
t
Рис. 23в.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (23в), с
параметрической генерации для четных (23б), с
уровней с частотой
50
W0 Ht L
0.94
0.92
0.90
0.88
5
10
15
t
20
Рис. 24а. Распределение вероятности для квантов в фотонной моде
частотой
W1 Ht L
W1 Ht L
0.999037
0.0001004
0.999036
0.999035
0.0001002
0.999034
0.0001000
0.999033
0.999032
5
10
15
20
t
0.0000998
5
Рис. 24б.
10
15
20
t
Рис. 24в.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (24б), с
уровней с частотой
(24в), с
VHt L
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
20
40
60
80
100
t
Рис. 25. Параметры сжатия для
3.3 ГЕНЕРАЦИЯ ПАР ФОТОНОВ БЕЗ ВЫРОЖДЕНИЯ ПО ЧАСТОТЕ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С КВАНТОВАННЫМ ЛАЗЕРНЫМ ПОЛЕМ
51
Поступая аналогичным образом, как и в предыдущем параграфе, из
гамильтониана
2
Hˆ = ∑ hωi aˆi+ aˆi + hg ( t )[aˆ0+ aˆ1aˆ2 + aˆ0 aˆ1+ aˆ2+ ],
(95)
i =0
получаем уравнения движения
dz0
= −i (ω0 z0 + g (t ) z1 z2 ) ,
dt
dz1 −i(1 − z1 z1 )2
=
(ω1z1 + g (t ) z0 z2 ) , (96)
k
dt
dz2 −i(1 − z2 z2 )2
=
(ω2 z2 + g (t ) z0 z1 ) ,
dt
k
где первое уравнение в системе, записано в представлении Глауберовских
КС, а два последующих, в представлении КС для группы SU(1,1). Выполнив
численный расчет, получили:
Im Z
-0.10
0.10
Im Z
0.010
0.05
0.005
-0.05
0.05
0.10
Re Z
-0.005
0.005
-0.05
-0.005
-0.10
-0.010
Рис. 26а.
-0.010
Рис.26б. 52
0.010
Re Z
Im Z
0.010
0.005
-0.010
-0.005
0.005
0.010
Re Z
-0.005
-0.010
Рис. 26в.
Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной моды
(26а),
(26б) и
(26в)
частотой
n 0 Ht L
0.01008
0.01006
0.01004
0.01002
5
10
15
20
25
30
t
, рождаемой
Рис. 27а. Среднее число квантов в фотонной моде частотой
в процессе параметрической генерации
n1
1.00030
n1
0.0001
1.00029
1.00028
0.000095
1.00027
0.00009
1.00026
1.00025
0.000085
5
10
15
20
25
30
t
1.00024
5
Рис. 27б.
10
15
20
25
30
t
Рис. 27в.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (27в), с
параметрической генерации для четных (27б), с
уровней с частотой
53
n2
1.00030
n2
0.0001
1.00029
0.000095
1.00028
1.00027
0.00009
1.00026
0.000085
1.00025
5
10
15
20
25
30
t
1.00024
5
Рис. 27г.
10
15
20
25
t
30
Рис. 27д.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (27д), с
параметрической генерации для четных (27г), с
уровней с частотой
W0 Ht L
0.9509
0.9508
0.9507
0.9506
5
10
15
20
25
30
t
Рис. 28а. Распределение вероятности для квантов в фотонной моде
частотой
W1 Ht L
0.0001
W1 Ht L
0.99925
0.000095
0.99920
0.00009
0.99915
0.000085
0.99910
5
10
15
20
25
30
Рис. 28б.
t
5
10
15
20
25
30
t
Рис. 28в.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (28б), с
(28в), с
уровней с частотой
54
W1 Ht L
0.0001
W1 Ht L
0.99925
0.000095
0.99920
0.00009
0.99915
0.000085
0.99910
5
10
15
20
25
30
5
t
Рис. 28г.
10
15
20
25
30
t
Рис. 28д.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (28г), с
уровней с частотой
(28д), с
Результаты расчета с учетом разбегания сигнального и холостого
, где
фотонов (
)
Im Z
-0.10
0.10
Im Z
0.010
0.05
0.005
- 0.05
0.05
0.10
Re Z
-0.010
-0.005
0.005
-0.05
-0.005
-0.10
-0.010
Рис. 29а.
Рис. 29б.
Im Z
0.010
0.005
-0.010
-0.005
0.005
-0.005
-0.010
55
0.010
Re Z
0.010
Re Z
Рис. 29в
Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной моды
(29а),
(29б) и
(29в)
частотой
n 0 Ht L
0.010010
0.010005
0.010000
5
10
15
20
t
Рис. 30а. Среднее число квантов в фотонной моде частотой
рождаемой в процессе параметрической генерации
,
n1
n1
1.00030
0.0001
1.00030
0.0000995
0.000099
1.00030
0.0000985
1.00029
0.000098
1.00029
0.0000975
5
10
15
20
t
5
Рис. 30б.
10
15
20
t
Рис. 30в.
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (30в), с
параметрической генерации для четных (30б), с
уровней с частотой
n2
n2
1.00030
0.0001
0.0000995
1.00030
0.000099
1.00030
0.0000985
1.00029
0.000098
1.00029
0.0000975
5
10
15
20
Рис. 30г.
t
5
Рис. 30д.
56
10
15
20
t
Среднее число квантов в фотонной моде, рождаемой в процессе
, и нечетных (30д), с
параметрической генерации для четных (30г), с
уровней с частотой
n2
1.00030
1.00030
1.00030
1.00029
1.00029
5
10
15
t
20
Рис. 31а. Распределение вероятности для квантов в фотонной моде
частотой
W1 Ht L
W1 Ht L
0.999065
0.0000995
0.999060
0.000099
0.999055
0.0000985
0.000098
0.999050
0.0000975
0.999045
0.000097
5
10
15
20
t
5
Рис. 31б.
10
15
20
t
Рис. 31в.
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (31б), с
уровней с частотой
(31в), с
W2 Ht L
W2 Ht L
0.999065
0.0000995
0.000099
0.999060
0.0000985
0.999055
0.000098
0.999050
0.0000975
0.999045
0.000097
5
10
15
20
Рис. 31г.
t
5
10
Рис. 31д.
57
15
20
t
Распределение вероятности для квантов в фотонной моде, рождаемой
, и нечетных
в процессе параметрической генерации для четных (31г), с
уровней с частотой
(31д), с
3.4 ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ УЧЕТ ПОТЕРЬ ФОТОНОВ
Расчеты, выполненные в предыдущих параграфах, не учитывали потери
фотонов, которые всегда присутствуют в среде за счет многих причин. В
данном параграфе выполнено моделирование СПР при феноменологическом
учете потерь путем добавления к частотам некоторых мнимых частей,
которые и будут приводить к поглощению.
Модифицированный гамильтониан СПР для модели вырожденного
параметрического усилителя, взаимодействующего с квантованной лазерной
модой, запишем в виде:
1
Hˆ = ∑ h(ωi − iγ i )aˆi+ aˆi + hg ( t ) [aˆ0+ aˆ12 + aˆ0 aˆ1+2 ],
i=0
где γ i - мнимая часть частоты, моделирующая потери.
Исходя из параграфа 3.1, получим уравнения движения вида:
dz0
dt
= −i ( (ω0 − iγ 0 ) z0 + 2 g (t ) kz1 / (1 − z1 z1 ) ) ,
dz1
dt
(
)
= −i 2(ω1 − iγ 1 ) z1 + g (t ) z0 z12 .
Выполнив численный расчет, получили:
58
w0 =1, w1 =0.5, g=2, g0 =0.1
Im Z1
Im Z0
w0 =1, w1 =0.5, g=2, g1 =0.01
0.10
6
4
0.05
2
-5
5
10
Re Z0
- 0.05
0.05
0.10
0.15
0.20
Re Z1
-2
- 0.05
-4
- 0.10
-6
-8
- 0.15
Рис. 32а.
Рис. 32б.
Траектории на фазовой комплексной плоскости для фотонной моды
(32а), (32б)
частотой
3.5 КВАНТОВЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СПОНТАННОЕ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Квантовый параметрический осциллятор является простой моделью,
позволяющей описать генерацию света с неклассическими свойствами.
Особенно интересной является возможность исследовать на этом примере
генерацию сжатых состояний, об исключительно важных применениях
которых в оптических системах связи отмечалось ранее. Чтобы показать, как
возникают в этой модели сжатые состояния, рассмотрим простой случай —
вырожденный параметрический усилитель, который задан гамильтонианом
1
ˆ ˆ 2iωt + aˆ + aˆ + e−2iωt )
Hˆ (t ) = ω0 (aˆ + aˆ + ) + g (aae
2
(97)
где ω ≈ ω0 = ω1 и второе слагаемое описывает процесс генерации второй
гармоники с параметром связи λ в среде с кубической нелинейностью. Поле
накачки на частоте ω предполагается классическим.
Оператор эволюции этой системы за малый интервал времени ∆t в
представлении взаимодействия имеет вид оператора Столера
59
⎛1
⎞
1
ˆˆ⎟
U(t + Δt , t ) ≈ exp ⎜ ξ aˆ + aˆ + − ξ aa
2
⎝2
⎠
(98)
ξ = −2ig Δt exp[−2i(ω − ω0 )t ] . Поэтому, если в момент времени t система
находилась в вакуумном состоянии, то в момент t +∆t она перейдет в сжатое
состояние.
В
условиях
реального
эксперимента
квантовая
система
всегда
взаимодействует с другой большой системой — термостатом, который
поглощает ее энергию, что приводит к возникновению шума, так как
термостат часть энергии возвращает системе.
Поведение
динамической
подсистемы
с
гамильтонианом
(97),
находящейся в "сжатом" термостате, подчиняется УФП [259, 260, 262]
−2i ω −ω t ⎛
∂Ρ
∂ ∂ 2 ⎞ 2i ω −ω t ⎛
∂ ∂2 ⎞
= {g[e ( 0 ) ⎜⎜ 2 z + 2 ⎟⎟ + e ( 0 ) ⎜⎜ 2 z + 2 ⎟⎟] +
∂t
∂z ∂z ⎠
⎝ ∂z ∂z ⎠
⎝
1
+ γ
2
⎡∂
∂
∂2 ⎤
ˆ
z +Ν
⎢ z+
⎥}P ≡ LP
z
z
z
z
∂
∂
∂
∂
⎣⎢
⎦⎥
(99)
Дифференциальный оператор L̂ уравнения Фоккера-Планка (99) является
линейной комбинацией операторов, образующих 7-мерную замкнутую
разрешимую подалгебру Ли группы Sp(4,R):
60
⎡ ∂2 ∂2 ⎤ ⎡ ∂2 ∂2 ⎤ ⎡ ∂2 ∂2 ⎤ ⎡ ∂
∂2 ⎤
=
=
=
=
,
,
,
,
z
⎢ 2
⎢ 2
⎥ ⎢ 2
⎥ ⎢
2⎥
2⎥
⎢⎣ ∂z ∂z ⎥⎦ ⎢⎣ ∂z ∂z∂z ⎥⎦ ⎢⎣ ∂z ∂z∂z ⎥⎦ ⎢⎣ ∂z ∂z ⎥⎦
⎡∂
∂2 ⎤ ⎡ ∂ ∂2 ⎤ ⎡ ∂ ∂2 ⎤ ⎡ ∂
∂ ⎤
= ⎢ z, 2 ⎥ = ⎢ z , 2 ⎥ = ⎢ z , 2 ⎥ = ⎢ z , z ⎥ = 0,
⎣⎢ ∂z ∂z ⎦⎥ ⎣⎢ ∂z ∂z ⎦⎥ ⎣⎢ ∂z ∂z ⎦⎥ ⎣ ∂z ∂z ⎦
⎡∂
∂2 ⎡ ∂
∂2 ⎤
∂2
∂2 ⎤
∂2 ⎡ ∂
∂2 ⎤
=
−
=
−
2
,
z,
,
=
−
z,
2
,
,
z
⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
2⎥
∂z∂z
∂z 2 ⎣⎢ ∂z ∂z∂z ⎦⎥
∂z 2 ⎢⎣ ∂z ∂z 2 ⎥⎦
⎢⎣ ∂z ∂z ⎥⎦
⎡∂
∂2 ⎤
∂2 ⎡ ∂ ∂2 ⎤
∂2 ⎡ ∂ ∂2 ⎤
∂2
, ⎢ z , 2 ⎥ = −2
, ⎢ z , 2 ⎥ = −2
,
⎢ z,
⎥=−
∂z∂z ⎣⎢ ∂z ∂z ⎦⎥
∂z∂z ⎣⎢ ∂z ∂z ⎦⎥
∂z∂z
⎣⎢ ∂z ∂z∂z ⎦⎥
⎡ ∂ ∂2 ⎤
∂2 ⎡ ∂ ∂2 ⎤
∂2 ⎡ ∂ ∂ ⎤
∂
=
−
=
−
z
,
,
z
,
, z , z⎥ = z ,
⎢
⎥
⎥
2 ⎢
2 ⎢
∂z
∂z ⎢⎣ ∂z ∂z∂z ⎥⎦
∂z ⎣ ∂z ∂z ⎦
⎢⎣ ∂z ∂z∂z ⎥⎦
⎡ ∂ ∂ ⎤
∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤
∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤
∂
⎢ z ∂z , ∂z z ⎥ = z ∂z , ⎢ z ∂z , ∂z z ⎥ = − z ∂z , ⎢ z ∂z , ∂z z ⎥ = − z ∂z ,
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡ ∂
∂⎤ ∂
∂
⎢ z ∂z , z ∂z ⎥ = ∂z z − ∂z z .
⎣
⎦
(100)
Решение уравнения (99) можно искать в виде
P ( t ) = Uˆ ( t , t0 ) P ( t0 )
(101)
где оператор эволюции Uˆ ( t , t0 ) удовлетворяет уравнению
∂Uˆ ( t , t0 )
ˆ ˆ , Uˆ ( t , t ) = Iˆ.
= LU
0
∂t
(102)
Его удобно представить в "распутанном виде"
⎡
∂2
∂2
∂2 ⎤
Uˆ ( t , t0 ) = exp ⎢ a ( t ) 2 + a ( t ) 2 + b ( t )
⎥×
∂z∂z ⎥⎦
∂z
∂z
⎢⎣
⎡
∂
∂
× exp ⎢ d ( t ) z + d ( t )
∂z
∂z
⎣
⎤
⎡
∂
∂⎤
z ⎥ exp ⎢ r ( t ) z + r ( t ) z ⎥
∂z
∂z ⎦
⎦
⎣
(103)
Подставляя (103) в (105) получаем систему из семи дифференциальных
уравнений первого порядка
2i ω −ω t
−2i ω −ω t
a& + 2ad& = ge ( 0 ) , a& + 2ad& = ge ( 0 ) ,
1
1
b& + ⎛⎜ d& + d& ⎞⎟ b = γ N , d& = d& = γ .
2
2
⎝
⎠
61
(104)
Начальные условия a(0) = a (0) = b(0) = d (0) = d (0) = 0 следуют из начального
условия для оператора эволюции Uˆ ( t , t0 ) = Iˆ и (5.26). Коэффициенты d , d
находятся тривиально:
1
d (t ) = d (t ) = γ t ,
2
(105)
В результате система (104) сводится к трем линейным зацепленным
уравнениям
−2i ω −ω t
2i ω −ω t
a& + γ a + 2 ge ( 0 ) b = ge ( 0 ) ,
2i ω −ω t
−2i ω −ω t
a& + γ a + 2 ge ( 0 ) b = ge ( 0 ) ,
(106)
−2i ω −ω t
2i ω −ω t
1
b& + γ b + 4 g ⎡⎢e ( 0 ) a + e ( 0 ) a ⎤⎥ = γ N .
⎣
⎦ 2
Если расстройка ω0 − ω равна нулю, то решение системы (106) легко
находится
1
4
1) g ≠ γ
(
a(t ) = γ 2 − 16 g 2
)
−1
{(γ g − γ gN ) (1 − e−γ t ch4 gt ) +
⎛1
⎞
+ ⎜ γ 2 N − 4 g 2 ⎟ e−γ t sh4 gt},
⎝4
⎠
(
b(t ) = γ 2 − 16 g 2
)
−1
⎛1
⎞
{⎜ γ 2 N − 8 g 2 ⎟ (1 − e−γ t ch4 gt ) +
⎝2
⎠
+ ( 4γ g − 2γ gN ) e−γ t sh4 gt},
1
4
2) g = γ
1⎡ 1
⎤
a(t ) = ⎢⎛⎜ N + ⎞⎟ (1 − e −2γ t ) + ⎛⎜ − N ⎞⎟ γ t ⎥ ,
4 ⎣⎝ 4
4⎠
⎝2 2 ⎠ ⎦
1
1
1
1 1
b(t ) = ⎡⎢ ( N + 1) (1 − e −2γ t ) + ( N − 1) γ t ⎤⎥ .
4 ⎣2
⎦
В общем случае система уравнений (106) легко решается численными
методами. Поскольку уравнение (99) является параболическим, его решение
можно записать как
P ( z, z , t ) = ∫ K ( z, z , t | z ', z ',0 ) P0 ( z ', z ')d 2 z ',
62
(107)
Где
P0 ( z ', z ')
-
символ начальной
матрицы плотности
ρˆ (0) , а
K ( z, z , t | z ', z ',0 ) пропагатор уравнения (99).
С другой стороны, пропагатор является матричным элементом оператора
эволюции УФП и в соответствии с формулой (103) для ρˆ (0) = z0 z0 и
P0 ( z ', z ') = δ ( z '− z0 ) δ ( z '− z0 ) приводится к виду
(
K z, z , t | z0 , z,0
) =(α
2
−β
)
2 −1
2 ⎤
⎡
⎢ α f +β f ⎥
exp ⎢ −
,
2
2 2⎥
−
α
β
⎢⎣
⎥⎦
(
)
(108)
где
2
2
1
a
⎛1 ⎞
α = b + ⎜ b ⎟ − α , β = − , f = z − z0 e − d .
α
2
⎝2 ⎠
Если ω = ω0 , то
−γ t
f = z − z0e 2 ch2 gt − z0e
−γ t
2
sh2 gt.
Из формулы (108) видно, что пропагатор имеет вид гауссова пакета на
комплексной плоскости, причем в случае нулевой расстройки ( ω = ω0 ) все
его параметры известны в аналитическом виде. Анализ выражения (108) при
ω = ω0
показывает, что центр пакета движется либо к центру плоскости,
если λ<1/4γ ("зона устойчивости", параметрические осцилляции затухают),
либо уходит на бесконечность, если λ>1/4γ ("зона резонанса", усиление
параметрических осцилляций в системе). Параметру λ = 1/4γ соответствует
граница зон устойчивости и резонанса. Центр пакета здесь также уходит на
бесконечность. Важно отметить, что пакет имеет разную ширину в
зависимости от направления движения от его центра (т.е. сечение пакета
представляет собой в общем случае эллипс, полуоси которого изменяются с
течением времени, а не круг, как в случае релаксации обычного
осциллятора). Последнее является проявлением генерации в системе сжатых
состояний. Влияние сжатия термостата проявляется, в частности, в том, что
63
сжатие (т.е. деформация пакета) усиливается ( в том числе и ниже порога
появления параметрических осцилляций λ = 1/4γ), если фазу комплексного
параметра S выбрать равной π,3π и т.д. С этой точки зрения использование
термостата,
обладающего
сжатыми
флуктуациями,
представляется
перспективным.
3.6 СУПЕРПОЗИЦИИ СМЕСИ И СЖАТИЕ
До сих пор мы исследовали динамику поведения во времени когерентных
состояний, которые являются частным случаем квантово-механических
чистых
состояний.
В
условиях
реального
эксперимента
подобное
рассмотрение является слишком ограниченным.
Хорошо известно, что наиболее общие состояния в квантовой теории
описываются с помощью матрицы плотности ρ̂ .
Для чистого состояния Ψ матрица плотности имеет вид проектора
ρ̂ = Ψ Ψ ,
тогда как смесь состояний задается как
ρˆ = ∑ cn Ψ n Ψ n ,
n
Коэффициенты
состояния Ψ n
| cn |2 определяют
∑| c
n
|2 =1.
n
вероятность
реализации
чистого
. В этом параграфе мы изучим различие в поведении суперпозиций и
смесей когерентных состояний, соответствующих разным представлениям
группы Лоренца и для вырожденного параметрического усилителя.
Оказалось, что среднее число фотонов не различает статистическую смесь и
чистую суперпозицию таких когерентных состояний. Сжатие же ведет себя
по-разному в этих двух случаях.
Действительно, рассмотрим два типа начальных состояний:
1) чистую суперпозицию вида
Ψ = c1 z1/ 4 + c2 z3/ 4
и статистической смеси
64
(109)
ρˆ = | c1 |2 z1/ 4 z1/ 4 + | c2 |2 z3/ 4 z3/ 4
(110)
с одинаковыми коэффициентами c1 и c2 . Через z1/ 4 и z3/ 4 здесь обозначены
КС вида (68) для разных инвариантных параметров k (1/4 и 3/4). Легко видеть, что в случае как (109), так и (110) зависимость среднего
числа фотонов в моде определяется выражением
n(t ) = | c1 |2 n1/ 4 (t ) + | c2 |2 n3/ 4 (t ) . В то же время поведение сжатия во времени различает эти начальные
состояния. Объяснение этому факту легко найти, если вспомнить, что
состояния с k = 1/4 отвечают четным фотонным состояниям, а с k=3/4 –
нечетным состояниям. Оператор числа фотонов является четным, а
квадратурный оператор X̂ 1 не имеет определенной четности и в результате
включает ненулевые матричные элементы между состояниями разной
четности.
Xˆ 1 = | c1 |2 z1/ 4 Xˆ 1 z1/4 + | c2 |2 z3/ 4 Xˆ 1 z3/4 + c1*c2 z1/4 Xˆ 1 z3/ 4 + c2*c1 z3/ 4 Xˆ 1 z1/4 =
=| c1 |2 z1/4 Xˆ 1 z1/ 4 + | c2 |2 z3/4 Xˆ 1 z3/ 4 + 2 Re(c1c2* z3/ 4 Xˆ 1 z1/4 )
где X̂1 имеет вид (89).
Вычислим
матричный
вида: z3/4 Xˆ 1 z1/4 .
элемент
Воспользовавшись
соотношением вида (68), получим:
(
1 + z1/4
2
z3/4 Xˆ 1 z1/ 4 =
1 − z3/ 4
4
) (1 − z )
3/ 4
2 1/ 2
1/4
(1 − z ) (1 − w )
z|w =
2 k
Исходя из соотношения
3/ 4
z3/4 | z1/ 4
3/ 4
2 k
(1 − z w)
2k
, получим выражения для
матричного элемента:
1 + z1/ 4
z3/4 Xˆ 1 z1/ 4 =
4
(
1 − z3/ 4
) (
2 3/ 2
1 − z1/ 4
(1 − z3/4 z1/4 )
3/2
)
2 1/ 4
.
Тогда квадратурная величина для суперпозиционного начального состояния
будет иметь вид:
65
1 + z1/ 4 + z1/ 4 + z1/4 z1/4 3
1 + z3/ 4 + z3/4 + z3/4 z3/4 ⎞
1⎛1
V ≡ VS = ⎜ | C1 |2
+ | C 2 |2
⎟−
4⎝4
1 − z1/ 4 z1/ 4
4
1 − z3/ 4 z3/ 4
⎠
2 3/2
2 1/4 ⎞
⎛
1
z
1
z
−
−
3/
4
1/4
1
z
+
⎜
⎟
1/ 4
− 2 Re ⎜ C1C2
3/ 2
⎟,
4
1
−
z
z
(
)
3/ 4 1/ 4
⎜
⎟
⎝
⎠
(
) (
)
(111)
для смеси КС:
V ≡ VM =
1 + z3/4 + z3/ 4 + z3/ 4 z3/ 4 ⎞
1⎛1
3
2 1 + z1/4 + z1/ 4 + z1/ 4 z1/ 4
+ | C2 |2
⎜ | C1 |
⎟
4⎝4
1 − z1/4 z1/4
4
1 − z3/ 4 z3/4
⎠
Результаты численного моделирования:
Xn0 \
Xn1
80
0.13
60
0.12
40
0.11
20
0.10
5
10
15
20
25
30
t
Рис. 33а.
1 ê4
(112)
\
1
2
3
4
5
t
Рис. 33б.
Среднее число квантов в фотонной моде частотой
, рождаемой в
процессе параметрической генерации (33а), и частотой
(33б)
Из графиков (33а, 33б) видно, что временное поведение средних чисел
фотонов, с учетом потерь, исправляет их, устраняя нефизичность их
поведения.
Параметры сжатия для смешенного начального состояния (сплошная
кривая), для суперпозиционного состояния (пунктирная кривая):
66
VHtL
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
2
4
6
8
10
t
Рис. 34.
Параметры сжатия
Временное поведение параметров сжатия, как видно из графика (34),
зависит от того, в каком начальном состоянии приготовлена параметрическая
мода – в чистом суперпозиционном или в смешанном.
Этот факт было бы интересно проверить экспериментально. Главная
трудность при этом состоит в трудности приготовления нужных начальных
состояний.
Следует отметить, что различие, заметно проявляются при больших
значениях поля накачки.
67
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании проведенного исследования можно сделать следующие
выводы:
• впервые выведены уравнения, описывающие динамику фотонной моды
в модели вырожденного параметрического усилителя для группы
SU(1,1) – квантово-механической группы Лоренца;
• теоретически рассчитана временная эволюция среднего числа фотонов
и параметров сжатия. Расчеты были проведены в приближении
классичности моды накачки и неизменности ее интенсивности.
Учитывалось разбегание сигнального и холостого фотонов, которое
неизбежно есть в силу пространственного синхронизма этих мод.
Расчеты свидетельствуют о генерации сжатия в параметрической моде
и ее поддержании с течением времени;
• учет поглощения фотонов исправляет
зависимостей
средних
чисел
фотонов
поведение рассчитанных
и
сжатия
и
устраняет
нефизичность их поведения;
• поведение во времени сжатия в отличие от среднего числа фотонов
зависит от того, в каком начальном состоянии приготовлена
параметрическая мода – в чистом суперпозиционном или в смешанном.
.
68
ЛИТЕРАТУРА
1. Клышко, Д. Н. Рассеяние света в среде с нелинейной поляризуемостью
ЖЭТФ, т.55, c. 1006 (1968)
2. Burnham, D.C. and Weinberg, D. L. Observation of Simultaneity in
Parametric Production of Optical Photon PairsPhys. Rev. Lett. 25, 84 (1970)
3. Graham, R. General Correlation identity for parametric processes. Phys.
Rev. Lett. 52, 117 (1984)
4. Zou, X. Y., Wang, L. J. and Mandel, L. Opt. Commun. 84, 351 (1991a)
5. Ou, Z. Y., Wang, L. J. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. A 40, 1428 (1989)
6. Friberg, S. and Mandel, L. Production of squeezed states by combination of
parametric down-conversion and harmonic generation Opt. Commun. 48,
439 (1984)
7. Ou, Z. Y., Hong, C. K. and Mandel, L. J. Opt. Soc. Am. B 4,1574 (1984)
8. Горохов, А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.
2//Куйбышев: Изд. КуГУ,1979.
9. Горохов, А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики. Ч.
3//Куйбышев: Изд. КуГУ,1983.
10.Л. Мандель, Э.Вольф, Оптическая когерентность и квантовая оптика:
Пер. с англ./Под ред. В. В. Самарцева – М.: Наука. Физматлит, 2000. –
896 с., - ISBN 5 -9221 – 0073 – 4
11.Бурлаков А.В., Кулик С.П., Рытиков Г.О., Чехова М.В., Генерация
бифотонного
света
в
поляризационно-частотных
белловских
состояниях, ЖЭТФ, 2002, т.122, с.738
12.Переломов,
А.М.
Обобщенные
когерентные
состояния
и
их
применения//М.: Наука,1977.
13.Шляйх В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве: пер. с англ.
под ред. В.П. Яковлева. – М.:ФИЗМАТЛИТ. - 2005. -760 с. – ISBN 59221-0540-Х.
69
14.Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика: пер. с англ. под ред.
В.В. Самарцева. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. -512 с. – ISBN 5-9221-03989.
15.Горохов, А.В. Методы теории групп в задачах квантовой физики Ч.
1//Горохов–Куйбышев: Изд. КуГУ,1977.
16.Г.Х.Китаева, А.Н.Пенин. Спонтанное параметрическое рассеяние
света. Письма в ЖЭТФ, т.82, вып.6, с.388-394 (2005).
17.Zou, X. Y., Wang, L. J. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 67, 318 (1991b)
18.Rarity, J. G. and Tapster, P. R. Phys. Rev. Lett.64, 2495 (1990)
19.Kwiat, P.G., Steinberg, A. M.
and Chiao, R. Y. in Foundations of
Mechanics, eds. T. D. Black, M. M. Nieto, H. S. Pilloff, M. O. Scully and R.
M. Sinclair (World Scientific, Singapore), p. 193 (1992)
20.Klimov, A.B., Chumakov S.M. A Group-Theoretical Approach to Quantum
Optics, 2009. Wiley-VCH Verlag Gmbh & Co.
70