Документ 259359

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Шармин В.Г.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 01.03.01 – «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ».
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Шармин В.Г. Аналитическая геометрия. Учебно-методический комплекс. Рабочая
программа для студентов направления 01.03.01 – «Математика», профиль подготовки
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ», форма обучения – очная.
Тюмень, 2014, 51 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом
рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: «Аналитическая
геометрия» [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru,
свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Шармин В.Г., 2014.
3
1. Пояснительная записка
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Целями освоения дисциплины (модуля) "Аналитическая геометрия" являются:
формирование математической культуры студента, начальная подготовка в области
алгебраического анализа простейших геометрических объектов, овладение классическим
математическим аппаратом для дальнейшего использования в приложениях.
Задачи изучения дисциплины:
1. Формирование у студентов представлений об аналитической геометрии, как одной
из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и
методы.
2. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и
использования метода координат и векторного метода при решении теоретических
и прикладных задач.
3. Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для дальнейшего
самообразования в области современной математики.
1.1.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Аналитическая геометрия входит в базовую часть цикла Б1. Для ее успешного
изучения достаточно знаний и умений, приобретенных в средней школе.
Освоение аналитической геометрии является основанием для успешного освоения
как дальнейших базовых курсов – математического анализа, алгебры, дифференциальной
геометрии и топологии, теоретической механики; приобретенные знания также могут
помочь в научно-исследовательской работе.
Разделы дисциплины и междисциплинарные
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
3.
4.
связи
с
Таблица 1.
обеспечиваемыми
Наименование обеспе- Темы дисциплины необходимые для изучения
чиваемых
(последую- обеспечиваемых (последующих) дисциплин
щих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
1.1 2.1 2.2
3.1
1.1 1.2
2.1
3.1
Математический анализ
+
+
+
+
+
+
Алгебра
++
+
+
+
+
+
Дифференциальная
+
+
+
+
+
+
+
+
геометрия и топология
Теоретическая механика +
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа,
комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии,
дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной
математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и
случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1);
способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного результата (ПК-3).
4
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
Знать основные понятия аналитической геометрии, определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, в том числе в компьютерном
моделировании геометрических объектов и явлений.
Уметь решать задачи вычислительного и теоретического характера в области геометрии
трехмерного евклидова (аффинного) пространства и проективной плоскости, доказывать
утверждения.
Владеть математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами
исследования геометрических объектов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – первый и второй. Форма промежуточной аттестации экзамен - первый
и второй семестры. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252
академических часа, из них 156,3 часа, выделенных на контактную работу с
преподавателем, 95,7 часа, выделенных на самостоятельную работу.
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
Всего часов
156,3
144
72
72
12,3
95,7
252
7
Таблица 2.
Семестры
1
2
79,65
76,65
72
72
36
36
36
36
7,65
46,35
экзамен
126
3,5
4,65
49,35
экзамен
126
3,5
5
3. Тематический план
1 семестр
Таблица 3.
Тема
1
2
Модуль 1
1.1. Векторная
алгебра.
Всего*
Модуль 2
2.1. Координаты на
плоскости и в
пространстве.
2.2. Преобразование
координат,
векторное
и
смешанное
произведение
векторов.
Всего*
Модуль 3
3.1. Прямая
на
плоскости.
Прямая
и
плоскость
в
пространстве.
Всего*
Итого
(часов,
баллов)*
Из них
в
интерактивной
форме
недели семестра
№
3
1-4
Виды учебной работы и Итого В том
самостоятельная работа, в час. часов числе
по
в интеме
теракЛекци Семинар- Самостоятиви
ские
тельная
ной
(пракработа*
форме
тические)
занятия
4
5
6
7
8
Итого
количество
баллов
9
8
8
11
27
6
0-30
8
8
11
27
6
0-30
5-7
6
6
8
20
3
0-10
811
8
8
11
27
3
0-20
1218
14
14
19
47
6
0-30
1418
14
14
24
52
6
0-40
14
36
14
36
24
54
52
126
6
18
0-40
0 – 100
8
10
18
* - учетом иных видов работ
6
2 семестр
Таблица 4.
Тема
1
1.
2.
1.
1.
2
Модуль 1
Эллипс,
парабола,
гипербола
Линии
и
поверхности
второго
порядка.
Всего*
Модуль 2
Аффинные
и
изометрические
преобразования.
Всего*
Модуль 3
Проективная
плоскость.
Всего*
Итого
(часов,
баллов)*
Из
них
в
интерактивной
форме
Итого
часов
по
теме
В том
числе
в интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
3
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекц Семинарии
ские
Самостоя(практельная
тические) работа*
занятия
4
5
6
7
8
9
1-5
10
10
14
34
4
0-35
6-9
8
8
11
27
4
0-35
18
18
25
61
8
0-70
12
12
16
40
6
0-20
12
12
16
40
6
0-20
6
6
13
25
4
0-10
6
36
6
36
13
54
25
126
4
18
0-10
0 – 100
8
10
недели семестра
№
1015
1618
18
* - учетом иных видов работ
7
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 семестр
Таблица 5.
№ темы
коллоквиумы
Модуль
1
1.1
Устный опрос
ответ на
собеседование
семинаре
Письменные работы
контрольная тест
работа
Итого количество баллов
0-8
0-6
0-4
0-6
0-6
0-30
Всего
Модуль
2
2.1
0-8
0-6
0-4
0-6
0-6
0-30
0-4
0-2
0-2
0-2
0-10
2.2
Всего
Модуль
3
3.1
0-8
0-12
0-4
0-6
0-4
0-6
0-4
0-6
0-20
0-30
Всего
Итого
0-20
0-8
0-4
0-20
0-8
0-40
0-8
0-20
0-4
0-8
0-20
0-32
0-8
020
0-40
0 – 100
2 семестр
№ темы
коллоквиумы
Устный опрос
ответ на собеседование
семинаре
Письменные работы
тест
контрольная
работа
Таблица 6.
Итого количество баллов
Модуль
1
1.1
0-10
0-4
0-2
0-15
0-4
0-35
1.2
0-10
0-4
0-2
0-15
0-4
0-35
Всего
Модуль
2
2.1
0-20
0-8
0-4
0-30
0-8
0-70
0-8
0-6
0-6
0-20
Всего
Модуль
3
3.1
0-8
0-6
0-6
0-20
0-5
0-5
0-10
Всего
0-5
0-33
0-5
0-19
0-10
0 – 100
Итого
0-4
0-30
014
8
5. Содержание дисциплины.
1 семестр
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Понятие вектора.
Сложение векторов. Умножение вектора на число. Линейная
зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базис и координаты
вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
Модуль 2.
2.1.Координаты на плоскости и в пространстве.
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном
отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Угол и
направленный угол (на плоскости) между векторами. Скалярное произведение векторов.
Ортонормированные базисы и реперы. Полярные координаты на плоскости. Сферические
и цилиндрические координаты в пространстве.
2.2 Преобразование координат, векторное и смешанное произведение векторов.
Преобразование аффинных координат точки. Ортогональные матрицы. Преобразование
прямоугольных координат точки. Ориентации плоскости и пространства. Векторное и
смешанное произведение векторов. Площади и объемы.
Модуль 3.
3.1.Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.
Каноническое и параметрическое уравнение прямой. Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Полуплоскость.
Общее уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение
двух и трех плоскостей. Угол между плоскостями. Канонические уравнения прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми в
пространстве. Общее уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой
и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
2 семестр
Модуль 1
1.1.Эллипс, парабола, гипербола.
Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Исследование свойств кривых
второго порядка по их каноническим уравнениям. Директриальное свойство. Уравнение
эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
1.2.Линии и поверхности второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка. Центр линии второго порядка.
Касательная к линии второго порядка. Диаметры линий второго порядка. Сопряженные
направления. Главные направления. Главные диаметры. Приведение линии второго
порядка к каноническому виду и построение ее точек. Классификация линий второго
порядка.
Поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности вращения.
Цилиндрические и конические поверхности. Конические сечения. Эллипсоид.
Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей второго
порядка.
Модуль 2.
2.1. Аффинные и изометрические преобразования.
Отображение и преобразование множеств. Группа преобразований множества и ее
подгруппы. Движения плоскости. Классификация движений плоскости. Группа движений
плоскости и ее подгруппы. Преобразования подобия. Группа подобия и ее подгруппы.
Аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.
Эрлангенская программа Ф.Клейна.
9
Модуль 3.
3.1.Проективная плоскость.
Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты на проективной плоскости.
Уравнение прямой в однородных координатах. Инцидентность. Двойственность. Теорема
Дезарга. Проективные системы координат. Проективные преобразования. Линии второго
порядка в однородных координатах. Проективная и проективно-аффинная классификация
линий второго порядка.
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Занятие 1. Линейные операции над векторами.
Занятие 2. Координаты вектора.
Занятие 3. Скалярное произведение и его приложение.
Занятие 4. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии.
Модуль 2.
2.1.Координаты на плоскости и в пространстве.
Занятие 5. Координаты точки на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
2.2 Преобразование координат, векторное и смешанное произведение векторов.
Занятие 6. Преобразование координат на плоскости.
Занятие 7. Векторное и смешанное произведение и их приложения.
Занятие 8 Векторное и смешанное произведение и их приложения.
Занятие 9. Координаты точки в пространстве.
Занятие 10. Коллоквиум №1.
Занятие 11. Контрольная работа №1.
Модуль 3.
3.1.Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве.
Занятие 12. Прямая на плоскости.
Занятие 13. Прямая на плоскости.
Занятие 14. Контрольная работа №2.
Занятие 15. Плоскость в пространстве.
Занятие 16. Прямая в пространстве.
Занятие 17. Прямая и плоскость в пространстве.
Занятие 18. Контрольная работа №3.
2 семестр
Модуль 1.
1.1.Эллипс, парабола, гипербола.
Занятие 1. Эллипс.
Занятие 2. Гипербола.
Занятие 3. Приведение линии второго порядка к каноническому виду.
1.2.Линии и поверхности второго порядка.
Занятие 4. Общая теория линий второго порядка.
Занятие 5. Контрольная работа №1.
Занятие 6. Метод сечений.
Занятие 7. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
Занятие 8. Контрольная работа №2.
Занятие 9. Коллоквиум №2.
Модуль 2.
10
2.1. Аффинные и изометрические преобразования.
Занятие 10. Движения плоскости.
Занятие 11. Композиция движений.
Занятие 12. Преобразования подобия и аффинные преобразования.
Занятие 13. Движения в пространстве.
Занятие 14. Приложения движений к решению задач элементарной математики.
Занятие 15. Коллоквиум №3.
Модуль 3.
3.1.Проективная плоскость.
Занятие 16. Расширенная прямая и плоскость.
Занятие 17. Линии второго порядка на проективной плоскости.
Занятие 18. Коллоквиум №4.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
ТЕМА 1. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
Примерное содержание: История введения вектора в математику. Различные трактовки
вектора в школьных учебниках. Сущность векторного метода. Планиметрические задачи
по геометрии, алгебре, физике, тригонометрии, решаемые векторным методом.
Планиметрические теоремы, которые можно доказать векторным методом.
ТЕМА 2. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В СТЕРЕОМЕТРИИ
Примерное содержание: Сущность векторного метода решения задач и доказательства
теорем. Стереометрические задачи и теоремы, которые можно решить и доказать
векторным методом (Подобрать аффинные и метрические задачи).
ТЕМА 3. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ
Примерное содержание: Исторические сведения. Сущность координатного метода.
Различные системы координат в математике, астрономии, в жизни. Задачи по геометрии,
алгебре, физике, астрономии, решаемые координатным методом. Подобрать 2-3 задачи,
которые можно решить различными методами (координатным, векторным,
синтетическим).
ТЕМА 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ДРУГИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ В МАТЕМАТИКЕ,
ПРИРОДЕ, ТЕХНИКЕ
Примерное содержание: Исторические сведения о линиях второго порядка.
Канонические уравнения. Замечательные свойства. Задачи практического содержания на
применение этих линий. Лемниската, циклоида, кардиоида и др. замечательные кривые.
ТЕМА 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
Примерное содержание: Анализ школьных учебников по данной теме. Способы задания
прямой и исследование взаимного расположения прямых, типичные задачи.
Геометрические преобразования плоскости и их применение к построению графиков
функций и уравнений.
ТЕМА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Примерное содержание: Движения, подобия, аффинные преобразования плоскости
(конструктивное и аналитическое задание). Задачи на все виды преобразований
(конструктивные и аналитические). (Подобрать задачи на доказательство, построения).
ТЕМА 7. СИММЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ И ПРИРОДЕ
11
Примерное содержание: Виды геометрий на плоскости и в пространстве и их свойства.
Конструктивное и аналитическое задание симметрий. Группы симметрий геометрических
фигур. Задачи. Симметрия в искусстве, природе, архитектуре.
ТЕМА 8.ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Примерное содержание: Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линий
2-го порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка. Уравнения касательных.
Оптические свойства и их исследование в оптике, технике, астрономии.
ТЕМА 9. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, КАК ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
Примерное содержание: Некоторые сведения из истории математики о линиях второго
порядка. Сущность закона Кеплера для движения небесных тел. Вывод уравнения
траекторий движения планет.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
1 семестр
Таблица 7.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Векторная
алгебра.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Решение
задач;
выполнение
самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение
курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
2.1. Координаты на Решение
задач;
плоскости и в выполнение
пространстве.
самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Выполнение
курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
Не- Объем
деля часов*
семестра
Чтение
1-4
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
Чтение
5-7
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
Колво
баллов
11
0-30
11
0-30
8
0-10
12
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
2.2. Преобразование Решение
задач;
координат,
выполнение
векторное
и самостоятельных и
смешанное
контрольных работ.
произведение
Домашние задания.
векторов.
Выполнение
курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
3.1. Прямая
на Решение
задач;
плоскости.
выполнение
Прямая
и самостоятельных и
плоскость
в контрольных работ.
пространстве.
Домашние задания.
Выполнение
курсовой работы.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*
сложности.
Чтение
8-11
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
Чтение
14-18
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
11
0-20
19
0-30
24
0-40
24
54
0-40
0100
* - учетом иных видов работ
13
2 семестр
Таблица 8.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Эллипс,
парабола,
гипербола
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Не- Объем
деля часов*
семестра
Колво
баллов
Решение
задач;
выполнение
самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Чтение
1-5
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
14
0-35
Линии
и Решение
задач;
поверхности
выполнение
второго порядка. самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 1*:
Модуль 2
2.1. Аффинные
и Решение
задач;
изометрические выполнение
преобразования. самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
Чтение
6-9
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
11
0-35
25
0-70
16
0-20
1.2
Чтение
10-15
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
14
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 2*:
Модуль 3
3.1. Проективная
Решение
задач;
плоскость.
выполнение
самостоятельных и
контрольных работ.
Домашние задания.
Подготовка ко всем
видам контрольных
испытаний, в том
числе к текущему
контролю
успеваемости
(в
течение семестра),
промежуточной
аттестации
(по
окончании
семестра).
Всего по модулю 3*:
ИТОГО*
повышенной
сложности.
Чтение
16-18
дополнительной
литературы;
Знакомство
с
содержанием
электронных
источников.
Решение задач
повышенной
сложности.
16
0-20
13
0-10
13
54
0-10
0100
* - учетом иных видов работ
15
ОПК-1
ПК-3

+
+
+
+
Дисциплина относится к базовой части
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
геометрия
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Уравнения в частных производных
Функциональный анализ *
+
Теория вероятностей *
геометрия
и
4 семестр
Комплексный анализ *
Дифференциальная
топология *
Математический анализ *
Математическая логика *
и
3 семестр
Дифференциальные уравнения *
Дифференциальная
топология *
Объектно-ориентированное
программирование
Дифференциальные уравнения *
2 семестр
Дискретная математика *
Математический анализ*
Алгебра *
Математический анализ *
1 семестр
Алгебра *
Аналитическая геометрия *
Циклы,
дисциплины
(модули) учебного плана
ОП бакалавриата
Математический анализ *
Алгебра *
Индекс
компетенции
Аналитическая геометрия
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
(модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
Таблица 9.
Б.1. Дисциплины (модули)
5 семестр
+
Индекс
компетенции
ОПК-1
ПК-3

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
и
гармонический
Теория обобщенных функций
Теоретическая механика
Методы оптимизации
алгебры
6 семестр
Банаховы
анализ
Физика
Численные методы *
Случайные процессы *
Функции с ограниченной вариацией
Непрерывные группы
Уравнения в частных производных
Численные методы *
Функциональный анализ *
Теоретическая механика *
Комплексный анализ
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП бакалавра
Б.1. Дисциплины (модули)
7 семестр
+
+
Дисциплина относится к базовой части
17
ОПК-1
ПК-3

+
+
+
+
Выпускная квалификационная работа
Преддипломная практика
Учебная практика
Р-адический анализ
Индекс
компетенции
Пространства Соболева
Вариационное исчисление

Б.1. Дисциплины (модули) Б.2. Практика / Б.3.
Циклы, дисциплины
НИР
ГИА
(модули)
учебного 8 семестр
плана
ОП
бакалавриата
+
+
Дисциплина относится к базовой части
18
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 10.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.) повышенный
76-90 баллов
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основные
понятия
и
утверждения
:
ОПК-1
Умеет:
Знает:
основные
понятия
и
утверждения, а
также методы
доказательства
стандартных
утверждений
решать Умеет:
Виды занятий
(лекции,
семинарские,
практические,
( лабораторные)
Знает: основные Лекции,
понятия
и практические
утверждения,
а занятия
также
методы
доказательства
утверждений:
решать
задачи
вычислительног
о
и
теоретического
характера
аналитической
геометрии
трехмерного
евклидова
(аффинного)
пространства и
проективной
плоскости,
доказывать
утверждения
Умеет:
простейшие
задачи
вычислительног
о
и
теоретического
характера
аналитической
геометрии
трехмерного
евклидова
(аффинного)
пространства и
проективной
плоскости
решать
стандартные
задачи
вычислитель
ного
и
теоретическо
го характера
аналитическо
й геометрии
трехмерного
евклидова
(аффинного)
пространства
и
проективной
плоскости,
доказывать
стандартные
утверждения
Владеет:
Владеет:
Владеет:
математическим
аппаратом
аналитической
геометрии,
аналитическими
методами
исследования
геометрических
объектов
в
простейших
случаях
математическ
им аппаратом
аналитическо
й геометрии,
аналитически
ми методами
исследования
геометрическ
их объектов в
стандартных
случаях
математическим
аппаратом
аналитической
геометрии,
аналитическими
методами
исследования
геометрических
объектов
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты
и
др.)
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы
, домашние
задания.
Знает:
основные
утверждения
аналитической
геометрии
Умеет:
сформулирова
ть результат,
доказывать
основные
утверждения
аналитической
геометрии,
получать
следствия из
них
Владеет:
методами
доказательств
стандартных
утверждений
ПК-3
Знает:
простейшие
утверждения
аналитической
геометрии
Умеет:
доказывать
простейшие
утверждения
Владеет:
методами
доказательств
простейших
утверждений
Знает:
теоремы Лекции,
аналитической
практические
геометрии
занятия
Умеет:
сформулировать
результат,
доказывать
утверждения
аналитической
геометрии,
получать
следствия из них
Тестовые
задания,
контрольные
работы,
коллоквиумы
, домашние
задания.
Владеет:
методами
доказательств
утверждений
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольные работы.
Первый семестр
Контрольная работа № 1.
1. Дана четырехугольная
пирамида
SABCD,
параллелограмм. Найдите координаты вектора
2. Векторы

a
и
b образуют
a  3b 3a  b .
угол


6
в
SD
основании
которой
лежит
в базисе {SA, SB, SC}.
. Зная, что
a  1и b  2 ,
вычислить
2
3. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси
ординат.
Контрольная работа № 2.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой
системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
20
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
Контрольная работа № 3.
Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат.
Найти:
1.
Уравнения грани АВС.
2.
Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
3.
Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
4.
Объем тетраэдра.
5.
Площадь грани АВС.
6.
Двугранный угол при ребре СВ.
7.
Длину высоты, опущенной из вершины D.
8.
Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
9.
Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
10.
Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
Второй семестр
Контрольная работа № 1.
1. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной в
декартовой системе координат xOy
 : A * x 2  2B * x * y  C * y 2  2D * x  2E * y  F  0
.
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат.
Построить чертеж.
2. Составить уравнение эллипса, проходящего через две данные точки. Найти его
фокусы, эксцентриситет, директрисы. Сделать чертеж.
Контрольная работа № 2.
1. Исследовать уравнение поверхности второго порядка методом сечений.
2. Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида x 2  y 2  4 * z ,
параллельные плоскости x  y  z  1  0.
Найти величину угла между этими
прямолинейными образующими.
Темы коллоквиумов.
1.
Векторная алгебра. Координаты на плоскости и в пространстве.
2.
Линии и поверхности второго порядка.
3.
Преобразования плоскости.
4.
Элементы проективной геометрии.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (КОЛЛОКВИУМУ)
Первый семестр
1.
Сложение векторов и его свойства.
2.
Умножение вектора на число и его свойства.
3.
Линейная зависимость и независимость векторов.
4.
Координаты вектора относительно данного базиса. Операции над векторами,
заданными своими координатами.
5.
Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном
отношении.
21
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Прямоугольная система координат. Расстояние между двумя точками.
Правая и левая системы координат.
Полярные координаты на плоскости.
Преобразование аффинной системы координат на плоскости.
Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости.
Определение скалярного произведения векторов и его свойства.
Вычисление скалярного произведения. Длина вектора. Угол между
векторами. Ортогональные векторы.
Каноническое и параметрические уравнения прямой.
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Взаимное расположение двух прямых.
Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.
Преобразование аффинной системы координат в пространстве.
Преобразование прямоугольной системы координат в пространстве.
Векторное произведение и его свойства.
Вычисление векторного произведения. Площадь параллелограмма.
Смешанное произведение и его свойства.
Вычисление смешанного произведения. Объем параллелепипеда.
Общее уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Взаимное расположение двух и трех плоскостей.
Угол между плоскостями.
Канонические уравнения прямой.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Угол между прямыми в пространстве.
Общее уравнение прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и
плоскостью.
Второй семестр
1. Каноническое уравнение эллипса. Свойства эллипса.
2. Каноническое уравнение гиперболы. Свойства гиперболы.
3. Каноническое уравнение параболы. Свойства параболы.
4. Директриальное свойство линий второго порядка.
5. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
6. Центр линии второго порядка.
7. Касательная к линии второго порядка.
8. Диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
9. Главные направления. Главные диаметры.
10. Классификация линий второго порядка.
11. Отображение и преобразование множеств. Группа преобразований множества и ее
подгруппы.
12. Движения плоскости. Классификация движений плоскости.
13. Группа движений плоскости и ее подгруппы.
14. Преобразования подобия. Группа подобия и ее подгруппы.
15. Аффинные преобразования. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы.
16. Поверхности вращения.
17. Цилиндрические и конические поверхности.
18. Эллипсоид и его свойства.
19. Гиперболоиды и их свойства.
20. Параболоиды и их свойства.
21. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
22
22. Классификация поверхностей второго порядка.
23. Пополненная плоскость и связка.
24. Однородные координаты.
25. Линии второго порядка в однородных координатах.
26. Проективные системы координат.
27. Группа проективных преобразований.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на
семинарах).
Коллоквиумы;
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Экзамен (письменно-устная форма).
Экзамены оцениваются по системе:
неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной)
систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы, сдачи коллоквиумов и
результатов тестирования. Эта оценка характеризует уровень сформированности
практических умений и навыков, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины.
Соответствующие умения и навыки, а также критерии их оценивания приведены в
таблице 9.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок
выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых
представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых соответствует
уровню задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует
уровень знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины.
Соответствующие знания и критерии их оценивания приведены в таблице 9.
11.Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии
проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при
самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного
обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные
информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие
активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое
23
занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными
материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Буров, А.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Электронный ресурс]:
учебное пособие / А.Н. Буров, Э.Г. Соснина. - Новосибирск: НГТУ, 2012. - 186 с.Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228751 (дата обращения:
14.10.2014).
2. Остыловский, А.Н. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]: учебное пособие
/ А.Н. Остыловский. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2011. - 92 с.
– Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=229150 (дата обращения:
14.10.2014).
3. Углирж, Ю.Г. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия [Электронный ресурс]:
учебное пособие / Ю.Г. Углирж. - Омск: Омский государственный университет, 2013.
- 148 с. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=238212 (дата
обращения: 14.10.2014).
12.2 Дополнительная литература:
1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве [Электронный ресурс] :
учебное пособие: учебное пособие/ сост. Л. В. Львова ; Алтайская гос. пед. акад.. Барнаул:
[б.
и.],
2012.
212
с.
Режим
доступа:
http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/645022/ (дата обращения: 14.10.2014).
2. Геометрия: сборник индивидуальных контрольных заданий по аналитической
геометрии: дидактические материалы для самоконтроля, текущего контроля знаний
и промежуточной аттестации : учебно-методический комплекс/ Л. В. Абдубакова [и
др.] ; отв. ред. В. Н. Кутрунов; Тюм. гос. ун-т, Ин-т математики и компьютерных
наук. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2014. - 64 с.
3. Клетеник, Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии/ Д. В. Клетеник ; ред.
Н. В. Ефимов. - 17-е изд., стер. - Санкт-Петербург: Профессия, 2009. - 200 с.
4. Львова, Л. В.. Геометрия [Электронный ресурс] : преобразования и построения :
учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов / Л. В. Львова: преобразования
и построения : учебное пособие для мат. специальностей пед. вузов/ Л. В. Львова ;
Алтайская гос. пед. акад.. - Барнаул: АлтГПА, 2012. - 174 с.: ил. - Библиогр.: с. 171. Загл. из текста. - Режим доступа: http://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/644953/
(дата обращения: 14.10.2014).
5. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие/ Л.
А. Беклемишева [и др.] ; ред. Д. В. Беклемишев. - 3-е изд., испр. - Санкт-Петербург:
Лань, 2008. - 496 с.
6. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: учеб. пособие для
студ. ун-тов, обуч. по спец. "Математика" и "Прикл. математика"/ Моск. гос. ун-т
24
им. М. В. Ломоносова; ред. Ю. М. Смирнов. - 2-е изд., перераб. и доп.. - Москва:
Логос, 2005. - 376 с.
7. Сборник задач по геометрии: учебное пособие для вузов по направлению 050100
"Педагогическое образование"/ С. А. Франгулов [и др.]. - 2-е изд., доп. - СанктПетербург: Лань, 2014. - 256 с.
8. Цубербиллер, О.H. Задачи и упражнения по аналитической геометрии/ О. H.
Цубербиллер. - 33-е изд., стер.- Санкт-Петербург: Лань, 2007. - 336 с.
9. Баврин, И. И. Аналитическая геометрия: учеб. для студ. вузов, обуч. по напр.
"Естественнонауч. образование" и спец. "Математика", "Физика", "Химия",
"Биология", "География"/ И. И. Баврин. - Москва: Высшая школа, 2005. - 85 с.
10. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия: учеб. для студентов физ. спец. и спец.
"Прикл. мат."/ В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. - 7-е изд., стер. - Москва: Физматлит, 2009.
- 234 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Федеральный портал «Российское образование»: http://www.edu.ru /.
2. Федеральное хранилище «Единая коллекция цифровых образовательных
ресурсов»: http://school-collection.edu.ru /.
3. Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU: http://elibrary.ru /.
4. http://www.wolframalpha.com/.
5. www.math.ru - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для
школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.
6. www.exponenta.ru - образовательный математический сайт.
7. www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим курсам.
8. www.geometry.ru – материалы по элементарной геометрии.
9. www.xplusy.isnet.ru - математика для студентов.
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
1. Microsoft Word.
2. Microsoft Excel.
3. Microsoft PowerPoint.
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
25
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Методические указания к выполнению контрольных работ.
Ниже приведены образцы решения некоторых типичных задач для подготовки к
контрольным работам, а также задания для самостоятельного решения.
ЗАДАЧА 1. Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно стороне AB.
3. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
4. Периметр треугольника ABC.
5. Углы треугольника ABC.
6. Длину высоты СН.
7. Уравнение медианы АМ.
8. Уравнение высоты СН.
9. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
10. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
11. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
12. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
ВАРИАНТЫ.
1. А(-5,2); В(5,7); С(1,-1).
26. А(-5,8); В(5,13); С(1,5).
2. А(-1,11); В(14,6); С(2,2).
27. А(1,7); В(16,2); С(4,-2).
3. А(4,0); В(-6,-5); С(-2,3).
28. А(9,-5); В(-1,-10); С(3,-2).
4. А(4,-8); В(-11,-3); С(1,1).
29. А(4,-10); В(-11,-5); С(1,-1).
5. А(-11,-10); В(13,17); С(1,1).
30. А(-13,13); В(11,20); С(-1,4).
6. А(-6,5); В(4,10); С(0,2).
31. А(1,4); В(11,9); С(7,1).
7. А(-3,11); В(12,6); С(0,5).
32. А(2,8); В(17,3); С(5,-1).
8. А(2,-3); В(-10,-8); С(-6,0).
33. А(0,-7); В(-10,-12); С(-6,-4).
9. А(4,-2); В(-11,3); С(1,7).
34. А(2,-8); В(-13,-3); С(-1,1).
10. А(-10,9); В(14,6); С(2,0).
35. А(-11,14); В(13,21); С(1,5).
11. А(-3,3); В(7,8); С(3,0).
36. А(-8,6); В(2,11); С(-2,3).
12. А(-1,9); В(14,4); С(2,0).
37. А(3,9); В(18,4); С(6,0).
13. А(10,-4); В(0,-9); С(4,-1).
38. А(5,-1); В(-5,-6); С(-1,2).
14. А(-1,-7); В(-16,0); С(-4,2).
39. А(3,-7); В(-12,-2); С(0,2).
15. А(-12,11); В(12,18); С(0,3).
40. А(-5,10); В(19,17); С(7,1).
16. А(2,9); В(12,14); С(8,6).
41. А(2,5); В(12,10); С(8,2).
17. А(0,16); В(15,5); С(3,1).
42. А(-2,4); В(13,-1); С(1,-5).
18. А(1,-2); В(-9,-7); С(-5,1).
43. А(8,-3); В(-2,-8); С(2,0).
19. А(0,-6); В(-15,-1); С(-3,3).
44. А(5,-9); В(-10,-4); С(2,-3).
20. А(-9,9); В(15,16); С(3,0).
45. А(-14,12); В(10,19); С(-2,3).
21. А(-7,7); В(3,12); С(-1,4).
46. А(-2,2); В(8,7); С(4,-1).
22. А(-2,12); В(13,7); С(1,3).
47. А(-2,10); В(13,5); С(1,1).
23. А(7,-6); В(-3,11); С(1,-3).
48. А(6,-1); В(-4,-6); С(0,2).
24. А(1,-5); В(-14,0); С(-2,4).
49. А(3,-9); В(-12,-4); С(0,0).
25. А(-4,15); В(20,22); С(8,6).
50. А(-4,11); В(20,18); С(8,2).
26
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1.
Пусть А(-3,10); В(2,13); С(8,-2).
y
B
P
H
A
K
M
j
O
i
x
C
1. Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС. Для этого используем
уравнение прямой, проходящей через две точки А(x0,y0) и В(x1.y1):
x  x0
y  y0

.
x1  x 0 y1  y 0
В нашем случае оно примет вид:
x  3 y  10

2  3 13  10
или
3 x  5 y  59  0.
Аналогично находятся уравнения остальных сторон треугольника АВС:
АС: 12 x  11y  74  0,
ВС: 15 x  6 y  108  0.
27
2. Составим уравнение прямой d, проходящей через вершину С параллельно
прямой АВ. Поскольку прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные.
Уравнение искомой прямой можно составить, как уравнение прямой, проходящей через

данную точку C(x0,y0) перпендикулярно данному вектору N ( А, В) :
A( x  x 0 )  B( y  y 0 )  0.

В нашем случае С(8,-2) и N (3,5). Имеем:
3( x  8)  5( y  2)  0,
или
3 x  5 y  34  0.
3.Прямая l : Ax  By  C  0, лежащая на плоскости, разбивает ее на две
полуплоскости с границей l, которые задаются неравенствами:
Ax  By  C  0 или Ax  By  C  0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данная полуплоскость
достаточно в левую часть уравнения прямой l подставить координаты любой точки,
принадлежащей этой полуплоскости, и определить знак полученного числового
выражения.
В рассматриваемом случае, треугольник АВС лежит по отношению к прямой АВ в
той полуплоскости, которой принадлежит точка С. Найдем неравенство, задающее эту
полуплоскость. Для этого в левую часть уравнения прямой АВ подставим координаты
точки С:
3  8  5  (2)  59  93  0.
Таким образом, искомая полуплоскость задается неравенством:
3 x  5 y  59  0.
Аналогично получим неравенства, задающие две другие полуплоскости:
12 x  11y  74  0 и 15 x  6 y  108  0.
4. Длина отрезка с концами А(x0,y0) и В(x1.y1) вычисляется по формуле:
AB  ( x1  x 0 ) 2  ( y1  y 0 ) 2 .
Тогда
AB  (2  3) 2  (13  10) 2  34 .
Аналогично AC  265иBC  261.
Таким образом, периметр треугольника АВС равен


34  265  261 лин. ед.


5. Косинус угла между векторами a ( a1 , a 2 ) и b (b1 , b2 ) находится по формуле:
cos  
a1b1  a 2 b2
a12

a 22

b12
 b22
.
Найдем косинус угла ВАС. Так как вектор с началом в точке А и концом в точке В
имеет координаты (5,3), а вектор с началом в точке А и концом в точке С имеет
координаты (11,-12), то получим:
28
cos BAC 
5  11  3  (12)

19
.
34  625
9010
Аналогично вычисляя, получим:
246
15
и cos ACB 
.
cos АВС 
69165
8874
6. Для нахождения длины высоты СН воспользуемся формулой, с помощью
которой вычисляется расстояние от точки C ( x 0 , y 0 ) до прямой l : Ax  By  C  0 :

Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
Итак, для рассматриваемой задачи:
3  8  5  (2)  59
93
CH 

.
9  25
34
7. Найдем уравнение медианы АМ. Для этого сначала вычислим координаты точки
М, а потом составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Точка М делит
отрезок ВС пополам, поэтому ее координаты равны:
x
y B  y C 11
x B  xC 8  2
 .

5 и y 
2
2
2
2
Тогда уравнение прямой АМ имеет вид:
x  3 y  10

5  3 11
 10
2
или
9 x  16 y  133  0.
8. Прямая, проходящая через точку C ( x 0 , y 0 ) и имеющая угловой коэффициент k,
задается уравнением:
y  y 0  k ( x  x 0 ).
Прямые СН и АВ перпендикулярны, поэтому их угловые коэффициенты
удовлетворяют условию kCH  k AB  1 , а так как угловой коэффициент прямой АВ равен
3
5
, то угловой коэффициент прямой СН равен ( ) . Запишем уравнение прямой СН:
5
3
5
y  2   ( x  8)
3
или
5 x  3 y  34  0.
29
9. Прямая ВК проходит через точки В и К. Координаты точки В известны. Чтобы
найти координаты точки К достаточно решить систему уравнений, составленную из
уравнений прямых АМ и СН:
9 x  16 y  133  0
,

5 x  3 y  34  0
145 359
,
).
53 53
решением которой является К (
Теперь можно записать уравнение прямой ВК, так как известны координаты двух
точек, через которые она проходит.
10. Точка Р – точка пересечения биссектрисы внутреннего угла С со стороной АВ.
Основание биссектрисы внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону
на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Тогда точка Р делит
сторону АВ в отношении
x

x A  x B

1 
АС
265

. Найдем координаты точки Р
ВС
261
265
261 2  265  3  261

265
261  265
1
261
3 2
и
y
y A  y B

1 
265
261 13  265  10  261

.
265
261  265
1
261
10  13 
Далее остается записать уравнение прямой, проходящей через точки С и Р:
x 8
y2

.
2  265  3  261
13  265  10  261
8
2
261  265
261  265
Упрощая последнее уравнение, получим:
x(5  265  12  29 )  y (2  265  11  29 )  36  265  74  29  0.
11. Прямая A1B1 симметрична прямой АВ относительно точки С. Тогда точка С
является серединой отрезков АА1 и ВВ1.
30
B
A1
C
A
B1
Координаты точек А, В и С известны. По формулам для вычисления координат точки, делящей отрезок пополам, найдем координаты точек A1 и B1.
A1(19, -6) и В1(14, -17).
Далее можно записать уравнение прямой, проходящей через две точки.
12. Точка С1, симметричная точке С, принадлежит прямой СН, и точка Н является
серединой отрезка СС1.
C
B
H
A
C1
Поэтому найдем координаты точки Н, как точки пересечения прямых СН и АВ:
3x  5 y  59  0
,

5 x  3 y  34  0
Решив последнюю систему уравнений, получим, что Н (
 7 397
,
).
34 34
Найдем координаты точки С1:
x  2*(
7
143
397
431
)8
2
.
и y  2*
34
17
34
17
ЗАДАЧА 2. Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат. Найти:
1. Уравнения граней тетраэдра.
2. Уравнение плоскости, проходящей через вершину A параллельно грани BCD.
3. Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
4. Систему неравенств, задающую внутреннюю область тетраэдра.
5. Уравнение ребра СВ.
6. Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
31
7. Объем тетраэдра.
8. Площадь грани АВС.
9. Угол АВС.
10. Двугранный угол при ребре СВ.
11. Длину высоты, опущенной из вершины D.
12. Уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярной ребру
АВ.
13. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
14. Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
15. Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
точки
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
x
3
9
8
7
4
8
7
7
8
9
8
5
5
7
9
8
6
5
9
9
4
9
5
3
9
9
9
3
6
7
7
5
7
5
3
0
6
y
-10
9
-10
3
-7
3
-5
5
-8
5
-10
-6
-7
9
8
-9
8
8
9
-6
7
-9
8
-6
9
-9
9
-8
7
-7
-7
-2
4
6
-5
2
6
z
4
4
7
7
8
4
3
8
8
5
6
2
5
7
6
5
3
9
8
6
9
3
1
7
8
6
6
7
8
4
0
0
8
4
3
2
3
точки
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
x
5
2
6
8
5
8
5
9
7
3
3
8
9
8
4
6
5
7
4
9
1
8
2
8
7
4
5
9
5
6
6
8
9
8
9
3
2
y
6
6
3
5
8
1
7
6
8
8
9
8
8
9
9
9
8
9
8
8
9
6
3
8
3
6
6
8
9
8
2
9
6
5
6
6
9
z
-1
3
-8
3
-1
5
-4
5
-10
6
-10
-9
-7
5
4
-7
6
9
9
-5
1
-5
9
-8
8
-6
5
-8
6
-9
-4
-3
6
3
-8
6
4
32
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
9
6
3
7
3
3
8
8
6
9
8
9
8
8
8
8
9
1
3
6
9
8
2
8
7
8
2
7
8
6
9
8
6
4
8
6
7
4
8
9
5
9
5
8
7
9
6
5
6
4
9
9
5
7
4
2
-9
9
-6
6
-7
3
-10
6
-9
-7
-5
8
9
-5
9
5
7
9
7
-6
7
-7
9
-4
6
-9
4
-5
-4
-6
3
8
-8
7
7
9
5
-3
9
-7
5
-7
3
-10
3
-8
-5
-2
4
4
-9
1
9
9
7
9
9
6
4
9
7
4
6
5
8
3
7
9
7
5
6
3
6
2
9
7
9
1
8
3
6
9
9
5
8
4
6
1
8
9
9
8
7
3
8
4
7
6
5
9
5
7
7
8
7
4
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
D
C
4
4
5
7
6
8
6
7
7
8
1
7
2
7
8
4
7
8
3
9
6
4
4
8
0
8
4
3
9
6
7
9
9
8
9
8
7
7
7
6
6
8
6
7
7
8
9
8
5
9
5
4
6
7
5
7
4
7
7
6
6
1
9
5
6
6
5
3
3
9
8
5
9
3
4
7
6
5
6
7
8
8
5
5
5
6
9
5
5
4
7
1
5
3
2
6
4
6
6
7
3
7
5
8
2
4
5
4
5
8
-5
9
-8
9
-5
9
-10
2
-4
-4
-4
9
7
-5
8
3
6
5
7
-6
9
-8
3
-4
2
-9
7
-10
-10
-5
7
7
-8
8
7
8
7
-10
2
-4
9
-3
9
-7
8
-6
-4
-7
7
7
-7
8
33
47
48
49
50
B
A
B
A
B
A
B
A
B
9
8
3
7
4
4
8
9
6
6
9
9
5
-10
5
-6
9
-2
9
4
9
9
3
9
8
2
4
D
C
D
C
D
C
D
C
D
7
7
8
4
2
7
4
9
7
8
6
4
6
8
9
4
3
1
4
5
5
7
-7
6
-7
6
-9
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 2.
Выполним чертеж.
z
D
B
k
i
x
j
y
O
A
C
Пусть А(1, 3, -5); В(2,-2, 4); С(5, 6, -8); D(-4, 2, 7).
1. Уравнение плоскости, проходящей через точки A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,
C ( x 3 , y 3 , z 3 ) имеет вид:
34
x  x1
y  y1
z  z1
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1
x 3  x1
y 3  y1  0.
z 3  z1
Составим уравнение плоскости АВС:
x 1 2 1
5 1
y  3  2  3 6  3  0.
z 5 45 85
Вычисляя определитель, получим
 12 x  39 y  23z  10  0.
Аналогично получим уравнения других граней тетраэдра
ACD: 3x  3 y  z  11  0;
ABD: 51x  57 y  26 z  92  0;
BCD: 24 x  21y  20 z  86  0.
2. Поскольку искомая плоскость и плоскость BCD параллельны, то их нормальные
векторы можно считать совпадающими. Уравнение плоскости, проходящей через точку

Р ( x 0 , y 0 , z 0 ) и перпендикулярной вектору n ( А, В, С ) , имеет вид:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0.
В нашем случае имеем:
24( x  1)  21( y  3)  20( z  5)  0
или
24 x  21y  20 z  13  0.
3. Уравнение плоскости, проходящей через точку А( x 0 , y 0 , z 0 ) и параллельной


векторам a ( a1 , а 2 , а 3 ) и b (b1 , b2 .b3 ) , имеет вид:
x  x0
y  y0
z  z0
a1
a2
a3
b1
b2  0.
b3
Искомая плоскость проходит через точку. А(1, 3, -5) и параллельна векторам
AB(1,5,9) и CD(9,4,15). Запишем уравнение этой плоскости
35
x 1 1  9
y  3  5  4  0.
z  5 9 15
или
39 x  96 y  49 z  82  0.
4. Плоскость  : Ax  By  Cz  D  0 разбивает пространство на два полупространства с границей α, которые задаются неравенствами:
Ax  By  Cz  D  0 или Ax  By  Cz  D  0.
Для того чтобы определить, каким из неравенств задается данное
полупространство, достаточно в левую часть уравнения плоскости α подставить
координаты любой точки, принадлежащей этому полупространству, и определить знак
полученного числового выражения.
В рассматриваемом случае, тетраэдр АВСD лежит по отношению к плоскости АВС
в том полупространстве, которому принадлежит точка D. Найдем неравенство, задающее
это полупространство. Для этого в левую часть уравнения плоскости АВС подставим
координаты точки D:
 12  (4)  39  2  23 * 7  10  297  0.
Таким образом, искомое полупространство задается неравенством:
 12 x  39 y  23z  10  0.
Аналогично получим неравенства, задающие три других полупространства:
3x  3 y  z  11  0,51x  57 y  26 z  92  0,
24 x  21y  20 z  86  0.
5. Составим уравнения ребра СВ. Для этого используем уравнения прямой,
проходящей через две точки A( x1 , y1 , z1 ) и B ( x 2 , y 2 , z 2 ) :
x  x1
y  y1
z  z1


.
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
В нашем случае они примут вид:
y6
x5
z 8


25 26 48
или
x5 y 6 z 8


.
3
8
12
6. Уравнения прямой, проходящей через точку
A( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей

направляющий вектор a (a1 , а 2 , а 3 ) , записываются следующим образом:
x  x0 y  y 0 z  z 0


.
а1
а2
а3
36
Искомая прямая проходит через точку А, координаты которой даны, и ее
CB(3,8,12). Тогда ее уравнениями
направляющим вектором может служить вектор
являются
x 1 y  3 z  5


.
3
8
12
7. Объем тетраэдра ABCD
xB  x A
1
V  yB  y A
6
zB  z A
xC  x A
yC  y A
zC  z A
xD  x A
yD  y A .
zD  z A
В нашем случае
2 1
5 1  4 1
1
99
V  23 63
23  .
6
2
45 85 75
8. Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения
векторов АВ и АС . Если A( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) , C ( x 3 , y 3 , z 3 ) , то формула для
нахождения площади треугольника имеет вид:
y  y1
1
S ( 2
y 3  y1
2
z 2  z1
z 3  z1
2
x  x1
 2
x 3  x1
z 2  z1
z 3  z1
2
2
x  x1
 2
x 3  x1
y 2  y1
).
y 3  y1
Так как АВ (1, -5, 9), АС (4, 3, -3) , то
2
2
2
2 1 4  5
2 1  2  3
1 23 45
S (


)
63 85
5 1  8  5
5 1 6  3
2

1
2194  23,42.
2


9. Косинус угла между векторами a ( a1 , a 2 , а 3 ) и b (b1 , b2 , b3 ) находится по
формуле:
cos  
a1b1  a 2 b2  a3b3
a12  a 22  a32  b12  b22  b32
.
Найдем косинус угла АВС. Так как ВА (-1, 5, -9), ВС (3, 8, -12) , то
cos АВС 
(1)  3  5  8  (9)  (12)
(1)  5  (9)  3  8  (12)
2
2
2
2
2
2

145
23219
.
37
10. Двугранный угол при ребре CВ – это угол между плоскостями АВС и ВСD,
который равен углу между нормальными векторами этих плоскостей. Нормальный вектор
плоскости АВС имеет координаты (-12, 39, 23), а плоскости ВСD – (24, 21,20). По
формуле для нахождения косинуса угла (см. предыдущий пункт) получим:
cos  
(12)  24  39  21  23  20
(12) 2  39 2  232  (24 2  212  20 2

991
3108898
.
11. Объем тетраэдра равен
1
V  S ABC  hD .
3
Так как объем тетраэдра и площадь грани АВС известны, то длина высоты, опущенной на
эту грань равна
3 V
3  49,5
hD 

 6,3407.
S ABC
23,42
12.
Уравнение
плоскости,
проходящей

перпендикулярно вектору n ( A, B, C ) , имеет вид:
через
точку
D( x 0 , y 0 , z 0 )
и
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z 0 )  0.
Координаты точки D известны, координаты вектора АВ равны (1,-5, 9). Тогда
уравнение искомой плоскости
1  ( x  4)  5  ( y  2)  9  ( z  7)  0
или
x  5 y  9 z  49  0.
13. Высота DH тетраэдра, опущенная из точки D, перпендикулярна плоскости АВС,
т.е. направляющий вектор прямой DH является нормальным вектором плоскости АВС. Он
имеет координаты (-12, 39, 23). Воспользовавшись уравнениями прямой из пункта 6,
запишем уравнения прямой DH
x4 y2 z7


.
 12
39
23
14. Для нахождения основания высоты достаточно решить систему уравнений,
состоящую из уравнений прямой DH и плоскости АВС.
Предварительно запишем уравнения прямой DH в параметрической форме
 x  4  12t

 y  2  39t .
 z  7  23t

Составим систему уравнений
38
 x  4  12t
 y  2  39t

.

z

7

23
t

 12 x  39 y  23z  10  0
Решив эту систему, получим
t
 297
 2606
 7195
8527
,x
,y
,z 
.
2194
1097
2194
2194
Таким образом, точка Н имеет координаты (
 2606  7195 8527
,
,
).
1097
2194 2194
15. Если точка Р симметрична точке D относительно плоскости АВС, то точка Н
является серединой отрезка DР. Тогда координаты точки Р можно найти с помощью
формул для нахождения координат точки, делящей отрезок пополам
xP  2xH  xD , y P  2 y H  y D , z P  2 z H  z D .
Вычисляя по этим формулам, получим, что точка Р имеет координаты Р(
 824  9389 848
,
,
).
1097 1097 1097
ЗАДАЧА 3. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной
в декартовой системе координат xOy
 : Ax 2  2 Bx * y  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0 .
(1)
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат. Построить чертеж.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A
5
9
23
4
5
34
9
2
1
29
40
9
9
9
9
25
16
9
5
B
4
-3
36
-2
-3
12
-12
6
1
72
18
-12
-12
-6
-3
18
-12
-6
2
C
5
1
2
1
5
41
16
-7
1
71
25
16
16
4
1
40
9
4
2
D
3
2
-8
2
1
-7
4
4
4
-20
-4
-10
15
1
-3
-17
-44
5
-16
E
-2
-5
2
6
-5
2
2
-7
-9
15
-7
55
-20
-2
-9
-58
33
-8
-28
F
5
4
2
-5
3
2
-3
2
2
-50
1
-50
-25
4
-90
89
121
12
80
39
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5
1
-1
4
9
8
1
6
4
2
1
9
0
4
5
0
4
4
4
1
71
25
16
16
4
1
40
9
4
2
0
6
-2
-6
-6
-2
3
-2
-4
-2
2
-6
12
4
-6
3
6
-2
-4
2
1
72
18
-12
-12
-6
-3
18
-12
-6
2
6
0
4
4
9
6
0
1
0
1
5
-4
16
-6
9
5
5
1
10
1
1
29
40
9
9
9
9
25
16
9
5
5
-11
2
0,5
-1
8
-13
-5
2
-3
-3
6
-115
-2,5
-10
-3
-6
-1,5
-4
8
-9
15
-7
55
-20
-2
-9
-58
33
-8
-28
-6
-6
1,5
1
1,5
-4
-6
-3
-3
1,5
-4
4
55
2,5
15
-5
-11
2
-22
4
4
-20
-4
-10
15
1
-3
-17
-44
5
-16
-11
-19
-7
-2
-2
-2
11
25
4
-4
-1
5
-475
-2
16
-3
-19
-7
-5
15
2
-50
1
-50
-25
4
-90
89
121
12
80
-19
ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 3.
Пусть
 : x 2  8 xy  7 y 2  6 x  6 y  9  0 .
(2)
Имеем
Вариант
0
A
1
B
-4
C
7
D
3
E
-3
F
9
Повернем систему координат xOy вокруг точки О на угол α. Получим новую
систему координат x′Oy′. Формулы преобразования координат имеют вид:
x  x  cos   y  sin  ,
.
y  x  sin   y  cos  .
(3)
Подставив формулы (3) в уравнение (1), получим уравнение линии γ в системе
координат x′Oy′:
 : Ax 2  2 B x * y  C y 2  2 D x  2 E y  F   0 ,
(4)
где
40
A  A cos 2   2 B cos  sin   C sin 2  ,
B    A sin  cos   B cos 2   B sin 2   C sin  cos  ,
C   A cos 2   2 B sin  cos   C cos 2  ,
D   D cos   E sin  ,
E    D sin   E cos  ,
F   F.
(5)
Если В  0 , то найдем угол α так, чтобы В   0 , то есть
 A sin  cos   B cos 2   B sin 2   C sin  cos   0
(6)
Btg 2  (C  A)tg  B  0.
(7)
или
Для рассматриваемого случая получим
(4)tg 2  6tg  (4)  0.
(8)
Корни уравнения (8) равны tg 1 
1
, tg 2  2.
2
Не ограничивая общности, рассмотрим положительный корень, а также будем
считать, что угол α находится в первой четверти. По данному значению тангенса найдем
синус и косинус угла α по формулам:
sin  
tg

1
2

1
и
1
5
1  tg 
1
4
1
1
2
.
cos 


2
1
5
1  tg 
1
4
2
(9)
Подставив значения A, B, C, D, E, F, а также синуса и косинуса в формулы (5),
найдем уравнение линии (2) в системе координат x′Oy′.
3
A  1, B   0, C   9, D  
5
, E  
9
5
, F   9.
(10)
Таким образом, получаем
 :  x 2  9 y  2  2
3
5
* x  2
9
5
* y  9  0 .
(11)
В уравнении (11) сгруппируем члены с x′ и y′ и дополним выражения в скобках до
полного квадрата
41
 ( x 2  2
3
9
1
1 9 9
x  )  9  ( y  2  2
y  )    9  0
5
5 5 5
5
5
или
 ( x 
3
5
) 2  9  ( y 
1
5
)2  9  0 .
(12)
Перейдем от системы координат x′Oy′ к системе координат XO′Y, осуществив
параллельный перенос начала координат по формулам
x  X 
3
, y  Y 
5
1
5
.
(13)
Тогда в системе координат XO′Y линия (2) будет иметь уравнение
 X 2  9 Y 2  9  0
(14)
или
X2 Y2

 1.
9
1
(15)
Итак, мы получили каноническое уравнение гиперболы. Чтобы записать формулы
преобразования координат достаточно в формулы (3) подставить формулы (13) и значения
синуса и косинуса угла α из формул (9). В результате получим:
x
y
2
5
1
X 
1
5
2
 Y  1,
(16)
X 
 Y  1.
5
5
Из формул (16) определим координаты новых базисных векторов и нового начала
координат в «старой» системе координат xOy:
 2 1

1 2
O (1,1) , i ( , ) и j (
, ).
5 5
5 5
(17)
Выполним чертеж.
42
y'
10
Y
y
X
5
f1( x)
x'
О'
f2( x)
f3( x)
f4( x)
10
5
0
5
x 10
f5( x)
f6( x)
5
10
x
Примерный вариант итоговых тестовых заданий:
СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ТЕСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Тематическая структура
Линии второго порядка
Асимптотические направления
Асимптоты гиперболы
Действительная полуось гиперболы
Каноническое уравнение линии второго порядка
Мнимая полуось гиперболы
Фокальное расстояние эллипса
Фокальный параметр параболы
Центр линии второго порядка
Эксцентриситет
Плоскость и прямая в пространстве
Взаимное расположение двух плоскостей
Взаимное расположение двух прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости
Канонические уравнения прямой
43
Принадлежность точки плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Угол между прямыми
Поверхности второго порядка
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Свойства поверхностей второго порядка
Сечения поверхностей второго порядка
Преобразования плоскости
Инварианты группы преобразований
Классификация движений
Произведение преобразований
Прямая на плоскости
Пересечение прямой с осями координат
Прямая в полярной системе координат
Расположение прямой относительно системы координат
Расстояние от точки до прямой
Угловой коэффициент прямой
Угол между прямыми
Условие перпендикулярности прямых
Система координат в пространстве
Сечения шара и сферы
Координаты точки в пространстве
Точка, равноудаленная от двух данных
Уравнение поверхности
Система координат на плоскости
Деление отрезка в данном отношении
Площадь ромба
Связь декартовых и полярных координат
Уравнение линии
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Вычисление векторного произведения
Вычисление скалярного произведения
Объем параллелепипеда
Свойства векторного произведения
Условие перпендикулярности векторов
Элементы векторной алгебра на плоскости и в пространстве
Длина вектора
Единичный вектор
Коллинеарные векторы
Координаты линейной комбинации векторов
Содержание тестовых материалов
Линии второго порядка
1. Асимптотические направления
Не имеют асимптотических направлений ...
x2  0
x2 y
 1
6 18
44
x2 y2
 0
17 10
x2 y2


1
25 16
2. Асимптоты гиперболы
Расположить гиперболы в порядке возрастания угла, образованного ее асимптотами и
содержащего ось Ох
x2 y2
 
1
25 16
x2 y2
  1
4 9
x2 y2

 1
4 16
3. Действительная полуось гиперболы
Действительная полуось гиперболы
x2 y2
  1 равна …
25 16
Правильные варианты ответа: 5;
4. Канонические уравнения линий второго порядка
Соответствие между названиями линий и их каноническими уравнениями
Эллипс
x2 y
6

18
1
x 2  16 y
Парабола
Пара действительных пересекающихся прямых
5. Мнимая ось гиперболы
Мнимая полуось гиперболы 
x2 y2

 1 равна …
25 49
Правильные варианты ответа: 5;
6. Фокусы эллипса
Расположить эллипсы в порядке убывания фокального расстояния
x2 y
 1
6 18
x2 y
 1
16 8
x2 y
 1
42 8
7. Фокальный параметр параболы
45
Расположить параболы в порядке возрастания их фокального параметра
y 2  10x
x2  6 y
x 2  12 y
8. Центр линии
К центральным кривым относятся ...
y2  3  0
x2  6 y
x2 y2
 0
17 10
x2 y2


1
25 16
9. Эксцентриситет
Расположить в порядке возрастания эксцентриситета
x2 y
 1
6 18
x2 y2
 
 1
25 16
x2  6 y
Плоскость и прямая в пространстве
10. Взаимное расположение двух плоскостей
Плоскости 4x + 6y -8z +2 = 0 и 6x - y +9z -8 = 0 ...
пересекаются, но не перпендикулярны
пересекаются и перпендикулярны
совпадают
параллельны
11. Взаимное расположение двух прямых
Прямая
x  5 y z  3 и ось Оу …
 
1
2
5
совпадают
скрещиваются
пересекаются, но не перпендикулярны
параллельны
пересекаются и перпендикулярны
12. Параллельность прямых и плоскостей
Соответствие между плоскостью и параллельной ей прямой
6x + 3y + 4z -7 = 0
x4 y
1
x + y -z +8 = 0

2

z
3
x4 y
z
 
5
2 3
46
6x + 3 y +z -8 = 0
13. Канонические уравнения прямой
Соответствие между параметрами, задающими прямую, и ее уравнениями
Точка (0,0,2) и вектор (1,2,3)
x y z2
1
Точка (0,-2,0) и вектор (1,-1,-3)

2

3
x y2
z


1
1
3
x y z 9
 
1 2
3
14.. Принадлежность точки плоскости
Плоскости 4x - 7y + 5z -140 = 0 принадлежит точка ...
(35,0,0)
(20,0,0)
(28,0,0)
(0,0,0).
15. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки (-4,3,3) до плоскости 5x  8 y  11z  3 11  0 равно …
6
0,2
0,1
5,9
4,4
16. Угол между прямыми
Расположить прямые в порядке убывания угла, образованного этими прямыми с вектором
(3,0,-1)
x y2
z


1
1
3
x4 y
z
 
5
2 3
x y z2
 
1 2
3
Поверхности второго порядка
17. Канонические уравнения
47
Соответствие между названиями поверхностей второго порядка и их каноническими
уравнениями
Гиперболический параболоид
z2 y2
17
Двуполостный гиперболоид

14
 2 x
x2 y2 z 2
 

1
17 14 23
Однополостный гиперболоид
18. Прямолинейные образующие
Прямолинейных образующих НЕТ у ...
гиперболического цилиндра
однополостного гиперболоида
гиперболического параболоида
двуполостного гиперболоида
19. Центр поверхности
Единственный центр имеют (ет) поверхности (ть) ...
z2 y2

 2 x
17 14
x2 y2 z 2


 1
17 14 23
x2 y2 z 2
 
1
17 14 23
y 2  18x
20. Вершины поверхности
Ровно две вершины имеет поверхность ...
z2 y2
  2x
17 14
x2 y2 z 2


 1
17 14 23
x2 y2 z 2
 

1
17 14 23
x2 y2 z 2
 
1
17 14 23
21. Оси поверхности
НЕ менее трех осей симметрии имеют (ет) ...
48
эллипсоид
однополостный гиперболоид
эллиптический параболоид
гиперболический параболоид
22. . Сечения поверхности
Сечением поверхности
x2 z 2
  2 y плоскостью y  4 является …
6 3
мнимый эллипс
эллипс
гипербола
парабола
пара пересекающихся прямых
Преобразования плоскости
23. Инварианты преобразований
При аффинных преобразованиях плоскости сохраняется ...
длина отрезка
свойство "быть прямой"
величина угла
простое отношение трех точек
скалярное произведение векторов
24. Классификация движений
Параллельный перенос есть движение ... рода.
Правильные варианты ответа: первого; первый; 1;
25. Произведение преобразований
Произведение двух параллельных переносов есть ...
параллельный перенос
поворот
осевая симметрия
скользящая симметрия
Прямая на плоскости
26. Площадь треугольника
Площадь треугольника, отсекаемого прямой 5x - 6y +60 = 0, равна ...
Правильные варианты ответа: 60;
27. Прямая в полярной системе координат
Расстояние между точками пересечения линий   10 и   cos   8 равно
8
6
16
12
28. Расположение прямой относительно системы координат
Прямая 3x - 7y = 0 ...
проходит через начало координат
параллельна оси абсцисс
49
параллельна оси ординат
совпадает с осью абсцисс
совпадает с осью ординат
29. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки А(5,-2) до прямой 3x + 4y - 2 = 0 равно ...
1
0,4
4
2,8
4,6
30. Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой 4x + 2y -6 = 0 равен ...
Правильные варианты ответа: -2;
31. Углы падения и отражения
Луч света, направленный по прямой y = x - 5, отражается от оси Ох. Ордината точки
пересечения отраженного луча с осью Оy равна ...
32. Условие перпендикулярности
Прямые 4x + 5y +6 = 0 и аx + 8y = 0 перпендикулярны при а равном...
18
10
-10
-18
4
Система координат в пространстве
33. Координаты точки в пространстве
Сумма расстояний от точки А(3,-2,-4) до оси Оу и плоскости хОz равна ...
Правильные варианты ответа: 7;
34. Точка, равноудаленная от двух данных
Сумма координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек А(-4,-4,2) и В(1,-5,4), равна ...
-3
3
1
-1
5
35. Уравнение поверхности
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве
уравнением
x  y  0 , является …
пустое множество
плоскость
две полуплоскости
полуплоскость
50
Система координат на плоскости
36. Деление отрезка пополам
Сумма координат точки, делящий отрезок с концами А(-8,3) и В(8,-3), равна ...
Правильные варианты ответа: 0;
37. Площадь ромба
Сторона ромба равна 5  37 , две его противоположные вершины имеют
координаты. А(4,9) и. С(-2,1). Площадь ромба равна …
Правильные варианты ответа: 300
38. Уравнение линии
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат
2
2
плоскости уравнением x  y  2 , является …
гипербола
окружность
пара мнимых параллельных прямых
точка
пара действительных параллельных прямых
на
Векторное скалярное и смешанное произведение
39. Вычисление векторного произведения
Сумма координат векторного произведения векторов (0,-3,4) и (8,2,0) равна ...
Правильные варианты ответа: 48;
40. Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение векторов (-1,-1,2) и (4,5,-9) равно ...
Правильные варианты ответа: -27;
41. Вычисление объема параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах (-5,-3,-8), (3,-2,-4) и (0,-1,0), равен ...
Правильные варианты ответа: 44;
Элементы векторной алгебра на плоскости и в пространстве
42. Длина вектора
Квадрат длины вектора с координатами (3,-4,2) равен ...
Правильные варианты ответа: 29;
43. Единичный вектор
Произведение координат единичного вектора, противоположно направленного с вектором
(-2,-3), равно ...
2/13
-2/13
1/13
-6/13
6/13
44. Коллинеарные векторы
Векторы


a(3,5,  ) и b (12,20,16)
коллинеарны при  равном …
51
4
-3
-4
2
45. Линейная комбинация




Сумма координат линейной комбинации  4a  6b векторов a (5,2,-6) и b (4,3,-8) равна …
Правильные варианты ответа: -10;
52