Методическая разработка внеурочного занятия
реклама
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 16 г. Пятигорска Методическая разработка внеурочного занятия по теме: «Применение основ теории вероятностей и математической статистики для профилактики участия учеников в азартных играх, тотализаторах и в ставках на спортивные события» Учитель математики Поляков Илья Валерьевич Пятигорск 1 Цели мероприятия: развитие научного мировоззрения у учащихся путем связывания абстрактных математических формул и законов с реальными жизненными ситуациями, профилактика участия учащихся в азартных играх, пропаганда основ научного реализма. Одной из частей государственной итоговой аттестации (ГИА-9) по математике является блок «Реальная математика». Это тот случай, когда составители КИМ к этому экзамену отвечают на вопросы школьников «А как мне это пригодится в жизни?» Одно из заданий подразумевает под собой знания основ теории вероятностей, математической статистики и комбинаторики. И тут вновь возникает вопрос, как знание того, что вероятность выпадения решки двараза из трех бросков поможет в дальнейшей жизни? Основная сложность заключается в том, что учебники, написанные много лет назад и переиздававшиеся без серьезных изменений просто не успевают за современными требованиями выпускных экзаменов в частном и общей научной картины в целом. Так, в самых популярных учебных изданиях под авторством Ю. Н. Макарычева, С. М. Никольского, А. Г. Мордковича, Ш. А. Алимова и других, раздел, посвященный теории вероятностей стоит последним в списке тем девятого класса. Это при том, что основы этой теории отвечают на вопросы, почему при выполнении одного и того же опыта результаты отличаются, иногда значительно, почему в самый неподходящий момент чтолибо выходит из строя, почему всегда в одной и той же ситуации что-либо получалось, а сегодня все наоборот и многие, многие другие… Теория вероятностей играет одну из важнейших ролей в формировании научного мировоззрения ученика, объясняет, почему в научном и окружающем мире некоторые события можно предугадать, а некоторые порой просто фантастические, помогает прочувствовать уникальность некоторых редких явлений и понять, на что нужно рассчитывать, а чего ждать совсем не стоит. 2 Эта работа – попытка связать воедино теорию о частоте событий с точно определенными вероятностями с жизненной практикой, которая приходит к нам с кинофильмами и новостями о том, что кто-либо выиграл «Джек-пот» или в лотерею и больше никогда не будет работать. Эта работа – первая из серии математических классных часов по предупреждению участия учеников в азартных играх и тому подобных мероприятиях. Следующие работы описывают тотализаторы и доказывают, что участие в них убыточно; знакомят учеников с теорией игр, выигрышными и проигрышными стратегиями; показывают, как законы теории игр можно переложить на реальную жизнь и что при этом можно получить. Ниже прилагается сценарий мероприятия. Ведущим является учитель, докладчиками – ученики. 3 Ведущий: Добрый день, дорогие слушатели! Сегодня мы с помощью строгих математических законов, формул и правил убедимся в том, что в рулетку выиграть нельзя и что фраза «казино всегда в плюсе» имеет вполне доказанную почву. Сразу оговоримся, что во всех наших опытах принимается, что все участники играют честно, по правилам. Рулетка не наклонена, не примагничена, шарик на запрограммирован и ничего подобного и незаконного не происходит. Иными словами, перед нами чистый эксперимент, описываемый в теории игр и теории вероятностей. Итак, давайте послушаем первого докладчика. Он опишет нам некоторые правила и принципы расчета выигрышей в рулетку, правила которой немного изменены, но хорошо дают понять, как мы будем считать наши шансы на успех при других, более жизненных правилах игры. Докладчик 1: Спасибо! Для начала определим основные правила игры. Мы делаем ставку на какой-либо цвет – он может быть черным или красным. Ставка составляет один рубль. Если мы не угадали цвет, нашу ставку забирает банк. В том случае, если мы выбрали тот цвет, который выпал, банк возвращает нам наш рубль и дает еще один сверху как вознаграждение. Рулетка представляет собой 36 полей, 18 из которых черные, 18 красные. Попадание шарика на любое поле величина случайная и равномерно распределенная. Ставки не изменяются. Игра продолжается 1000 бросков шарика. С точки зрения «бухгалтерии»за выигрышную ставку мы получаем рубль, а за неверную – теряем рубль. С точки зрения теории вероятности картина следующая. Вероятность, что выпадет поле соответствующего цвета: 4 Так как вариантов больше нет, видим, что основная теорема теории вероятности о том, что сумма вероятностей всех событий равна единице, подтверждает правильность наших расчетов. Что эти формулы значат для нас как для игроков? Игра состоит из тысячи ставок, тысячи бросков шарика. Это число выбрано для того, чтобы можно было сказать, что в данном опыте вероятность и частота событий – одна и та же величина. Ведущий: Здесь надо пояснить, что то, насколько теоретическая вероятность далека от практики, зависит от числа опытов. Если бросить монету 4 раза, вряд ли выпадет ровно два орла и две решки. А вот если бросить ее 100 или даже 1000 раз, соотношение количества выпадений орла и решки будут отличаться минимально. Ведущий 1: Итак, при таких правилах игры из 1000 бросков мы проиграем 500 раз, что значит, потеряем 500 рублей и выиграем 500 раз, что значит, вернем проигрыш назад из банка. Итог такой игры – все при своих и смысла в ней особого нет. Ведущий 2: Но вот если мы изменит игровое поле так, чтобы появилось еще одно поле зеленого цвета, «Зеро», как это повлияет на нашу игру? Найдем вероятности выпадения черного, красного и зеленого полей: При таком наборе ячеек по результатам тысячи бросков выйдет следующее: 486 раз мы поставим на цвет и он выпадет (выигрыш); 486 раз мы поставим на цвет и выпадет противоположный цвет (проигрыш); 28 раз мы поставим на цвет и выпадет «Зеро» (проигрыш). Наш баланс по итогам игры: 5 Таким образом, независимо от того, на какой цвет мы ставим, какой тактики выбора поля придерживаемся, по результатам 1000 серий мы проиграем 28 рублей, которые соответственно выиграет банк. Ведущий 3: А что если еще изменить правила? Например в игре, которая очень популярна в казино США поля немного отличаются – там 2 поля «Зеро» вместо одного. Разберемся, почему практически все игорные дома перешли на эту, часто называемую, «американскую рулетку». (Предыдущая версия правил и поля часто называется «европейская рулетка»). Аналогичным образом найдем вероятности, равно частоты выпадения событий для каждого цвета: Видно, что вероятность угадывания цвета еще снизилось, что, при неизменных правилах определения выигрыша, уменьшает выгоду игры: Таким образом, введение всего одного дополнительно поля увеличивает выигрыш банка (проигрыш игрока) почти в два раза! Теперь остается только один вопрос – как они не догадались ввести еще несколько «Зеро», впрочем, этот вопрос выходит за рамки теории вероятностей. Ведущий: Спасибо докладчикам. Осталось лишь добавить, что эта теория очень близка к практике. И несерьезные проигрышиобъясняются только тем, что ставка составляла всего один рубль. Поднимите минимальную ставку до ста 6 рублей, и ваш проигрыш составит около пяти тысяч рублей! То есть, ставя сто рублей, вы в среднем каждый раз проигрываете пять рублей и выигрываете девяносто пять рублей. Но неужели за столько лет развития игр, математики и информационных технологий не появилось способа обойти эту статистику? Докладчик 4: Их огромное количество! Только вот дело в том, что все те, кто их использует плохо учили математику в школе. Всевозможные методы меняют лишь дисперсию случайной величины, когда самая главная величина, которая отвечает за нашу удачу – математическое ожидание – зависит только от соотношения полей разного цвета. Не от того, как они расположены, а от того, сколько их каждого цвета. Кстати говоря, расположение например всех красных подряд и всех черных подряд никак не отразится на нашей фортуне – мы проиграем ровно столько же. Разумеется, мы считаем, что крупье правильно бросает шарик и выпадение того или иного поля – случайная величина. При должной силе броска так оно и есть. Подробно можно рассмотреть один метод, который известен более 250 лет под названием «Метод Мартингейла». Правда сейчас мошенники в интернете выдают этот метод как «украденный хакерами с серверовЛас-Вегаса и/или ФБР(ФСБ)». Суть его заключается в следующем: Ставка делается на любой цвет. В случае выигрыша – забираем приз, в случае проигрыша – ставка удваивается. Данный алгоритм повторяется по выигрыша ставки. Например: Номер ставки 1 2 3 Баланс «счета» Поставили один рубль на красное. Выпало черное. Итог: - 1 рубль Поставили на красное 2 рубля. Выпало черное. Итог: -3 рубля Поставили на красное 4 рубля. Выпало черное. 7 Итог: - 7 рублей Поставили на красное 8 рублей. Выпало красное. 4 Вернули 8 рублей ставки и получили 8 рублей выигрыша. Итог: 8-7=1 рубль прибыли Таким образом выходит, что всегда удваиваемая ставка перекрывает все предыдущие (сумму членов геометрической прогрессии) плюс один рубль в прибыли. Только тут есть несколько подводных камней, которые не заметны сразу: 1. Математическое ожидание рулетки не равно нулю, следовательно соотношение выигрышей/проигрышей меньше единицы. Иначе говоря, игрок будет чаще терять, чем получать. 2. Через несколько неудачных серий для того, чтобы выиграть этот рубль нужно будет рисковать ставкой, которая в 64, 128 или даже в 256 раз больше потенциального выигрыша. 3. Обычно казино устанавливает предел ставки, что, учитывая быстрый экспоненциальный рост ставки, может привести к тому, что серия из 5-6 неудачных совпадений приведет к невозможности удвоить ставку, и, как следствию, разорению. Ведущий: Что тогда получается? На казино нельзя заработать? Докладчик 4: Можно. Только если Вы – владелец казино. Ведущий: А если серьезно, ведь мы все слышали истории о тех, кто выигрывал крупные суммы денег на рулетки. Или это обман? Докладчик 4: Нет. Но принцип прост – та крупная сумма, которую выиграл один проиграли большое количество игроков по 52 рубля. В любом случае, математика на стороне казино и оно всегда отдает меньше, чем получило. Вывод напрашивается сам собой – если хотите расстаться с некоторой суммой денег, кофейня или кинотеатр – более привлекательный выбор. И здесь и в 8 казино вы в любом случае оставите свои деньги. Только в одном месте вы получите приятные впечатления от фильма или пирожного, а в казино – горькое разочарование, которое приходит на смену иллюзии выигрыша. Ведущий аудитории: Есть ли у вас вопросы? (после ответов на вопросы слушателей) Докладчики 1-4, Ведущий (после ответов на вопросы): Мы ждем вас на следующих классных часах, посвященных таким темам, как «Можно ли выиграть на тотализаторе или на ставках на спорте?», «Как распознать игру, в которой выиграть невозможно?», «Как использовать математику для предсказания финансовых событий?» и многим другим.Спасибо за внимание! 9 Основные цели внеурочного мероприятия: Демонстрация того, что математика не только теория «О том как решать уравнения, которые не пригодятся в жизни», но и прикладная наука, законы которой с успехом можно применять в самых различных жизненных ситуациях. Профилактика участия в азартных играх путем простого математического обоснования того факта, что выигрыш в этих играх, к какой разновидности они бы не относились – всего лишь иллюзия. Демонстрация простоты вычислений, которые в начале кажутся невероятно сложными и запутанными. Рекомендуется, чтобы слушатели в момент показа всех вычислений и выкладок тоже использовали калькулятор и повторяли всё, что делали докладчики. Пропаганда математики как средства научного реализма, течения, согласно которому единственным надёжным средством достижения знания о мире является научное исследование, результат которого интерпретируется с помощью научных, в том числе математических, теорий. Подготовка аудитории к следующим внеурочным занятиям, посвященным т.н. тотализаторам и ставкам на игровые события и математическим играм, в которых игрок заведомо проигрывает, несмотря на его стратегию, знания, умения и навыки, например, некоторые игры с нулевой суммой; подогрев интереса к теме. Повышение математической грамотности, препятствующей, например, доверию мошенникам в интернете, описывающие «надёжные гарантированные» способы победы в азартных играх. Факторы, позволяющие увеличить эффективность внеурочного занятия: 10 и Докладчиками являются одновременно и учитель, и ученики. Два этих фактора решают одновременно две задачи – учитель выступает в роли эксперта, чьё наблюдение является подтверждение всех математических выкладок и справедливости всех выводов. Ученики-докладчики, являясь ровесниками слушателей, повышают уровень доверия к всей изложенной информации. Установлено, что подростки больше всего верят тому, что говорят не родители и другие взрослые, а своим сверстникам. Основная тема, вокруг которой построено мероприятие, связана с деньгами. Этот фактор подогревает интерес аудитории в течение всего данного занятия и последующих. Структура мероприятия построена как непринужденная беседа, в определенные моменты которой включается тот или иной докладчик. Это способствует возникновению целостной картины и всё занятие воспринимается как нечто целое, а не последовательность нескольких докладов. В ходе всего мероприятия используется одна, основная формула из теории вероятностей. Это приводит к тому, ее повторение способствует лучшему запоминанию. Это особенно важно, так как задание под номером 19 из ГИА-9 подразумевает под собой использование именно её. Построение по принципу «от простого к сложному» способствует пониманию изложенного материала даже теми учениками, которые не показывают высокие результаты на урочных занятиях. Вовлеченность аудитории, например, при совместном подсчете вероятностей и проигранных денег еще более повышает уровень доверия к вычислениям. Здесь работает идея «я сам посчитал на калькуляторе, значит обмана тут нет» вместо идеи «мне показали вычисления, но они выглядят неправдоподобными, наверное тут обман» Тот факт, что данное мероприятие только первое из серии подобных, привлекает внимание к последующим, подготавливает почву для 11 «реального» использования других формул, например, сложения и умножения вероятностей нескольких независимых событий, подогревает интерес к теме в общем и подталкивает к рассуждениям о том, как полученные на уроках знания можно еще использовать в повседневной жизни. Многие из описанных факторов работают на подсознательном уровне, что только повышает их эффективность и ценность. 12
