Под общей редакцией доктора технических наук В.К. Панкрушина

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»
В.А. Середович, В.К. Панкрушин, Ю.И. Кузнецов,
Б.Т. Мазуров, В.Ф. Ловягин
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО
КОМПЛЕКСНЫМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
И ГЕОФИЗИЧЕСКИМ НАБЛЮДЕНИЯМ
Под общей редакцией доктора технических наук
В.К. Панкрушина
Новосибирск
СГГА
2004
УДК 528.44:681.3.06
528.21/22
521.282+521.91+521.93
528.2/3: 551.24+528.481:622.1
С 26
Рецензент
Доктор физико-математических наук, профессор
Института вычислительной математики и математической геофизики
Сибирского отделения РАН
Г.М. Цибульчик
Середович В.А.
С 26
Идентификация движений и напряженно-деформированного
состояния самоорганизующихся геодинамических систем по комплексным
геодезическим и геофизическим наблюдениям: Монография / В.А. Середович,
В.К. Панкрушин, Ю.И. Кузнецов, Б.Т. Мазуров, В.Ф. Ловягин; Под общ. ред.
В.К. Панкрушина; СГГА. – Новосибирск, 2004. – 356 с.
В монографии изложены теория и приложения разработанных авторами методов
математического моделирования и идентификации сложных самоорганизующихся
природных и технических геодинамических систем (ГДС), в частности, их напряженнодеформи-рованного состояния (НДС) по пространственно-временным рядам комплексных
геодезических и геофизических наблюдений. Дан подход к решению основной обратной
задачи динамической физической геодезии.
Разработана парадигма – система ключевых физических категорий, понятий,
принципов, подходов теории математического моделирования и идентификации
самоорганизующихся ГДС. Исследована связь между временным и пространственным
масштабами ГДС. Выполнены разработки по математическому и программному
обеспечению моделирования систем колебаний, построению моделей фрактальных ГДС в
комплексной
области, распознаванию детерминированного хаоса, структурной
идентификации
в
рамках
непараметрического
подхода,
проектированию
геоинформационного банка данных по ГДС и проектированию трасс сложных инженерных
сооружений. Показана роль статической и динамической геодезии в формировании научной
картины мира, в создании единой науки о Земле – геономии, развитии приоритетных
направлений и разработке критических технологий.
Разработки авторов опираются на современные междисциплинарные теории и методы:
системно-структурного подхода, параметрической и непараметрической идентификации
систем, самоорганизации, синергетики, фракталов, динамического хаоса.
По спутниковым наблюдениям в Горном Алтае в период 2001 – 2002 гг., т. е. до
катастрофического землетрясения 27 сентября 2003 г., выполнена параметрическая
идентификация напряженно-деформированного состояния земной коры.
Для геодезистов, геофизиков, геологов и геоморфологов – исследователей
геодинамических процессов, явлений, НДС, движений и деформаций горных массивов и
инженерных сооружений, для аспирантов, магистров, бакалавров и студентов
соответствующих специальностей.
ISBN 5-87693-132-2
© ГОУ ВПО «Сибирская государственная
геодезическая академия» (СГГА), 2004
© Середович В.А., Панкрушин В.К., Кузнецов Ю.И.,
Мазуров Б.Т., Ловягин В.Ф., 2004
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................................................................................... 8
Глава 1.
Введение......................................................................................... 10
1.1. Проблема математического моделирования и идентификации
геодинамических систем .................................................................... 10
1.2. Нелинейная геодинамика и нелинейная динамическая физическая
геодезия: фрактальный подход к моделированию и исследованию
самоорганизующихся объектов и информационных систем
геодезии ................................................................................................ 13
1.3. Структура и содержание разделов монографии ............................... 17
Глава 2.
Идентификация геодинамических систем и решение основной
обратной задачи физической геодезии по пространственно-временным
рядам комплексных геодезических и геофизических наблюдений ..... 25
2.1. Постановка проблемы идентификации геодинамических систем
«Физическая поверхность и внешнее гравитационное поле Земли»
............................................................................................................... 25
2.2. Парадигма теории математического моделирования и
идентификации геодинамических систем ........................................ 29
2.3. Подходы к математическому моделированию закономерностей
движений геодинамических систем .................................................. 42
2.3.1. Построение моделей и идентификация систем с физической
точки зрения .................................................................................. 42
2.3.2. Построение эмпирических моделей, аппроксимирующих
экспериментальные наблюдения о зависимости параметров
состояния от влияющих на них факторов .................................. 45
2.3.3. Моделирование и идентификация систем на основе
комбинирования двух предыдущих подходов............................ 46
2.3.4. Выбор математического аппарата ............................................... 48
2.4. Три основных типа математических моделей динамических систем
............................................................................................................... 50
2.5. Представления динамических систем математическими моделями
типа «вход – состояние – выход»....................................................... 51
2.6. Концептуальная математическая модель геодинамической системы
«Физическая поверхность и внешнее гравитационное поле Земли»
с пространством состояний ................................................................ 54
2.6.1. Арифметизация (паспортизация) пространства-времени при
моделировании геодинамических систем .................................. 54
2.6.2. Внешнее гравитационное поле Земли во времени .................... 56
2.6.3. Расширенный вектор определяемых параметров состояния
геодинамической системы «Физическая поверхность и внешнее
гравитационное поле Земли» ....................................................... 57
2.6.4. Уравнения состояния геодинамической системы «Физическая
поверхность и внешнее гравитационное поле Земли» ............. 58
2.6.5. Заданные параметры (коэффициенты) модели геодинамической
системы .......................................................................................... 60
Детерминированные и стохастические воздействия внешней
среды .............................................................................................. 61
2.6.7. Метрическое пространство геодинамической системы ............ 63
2.7. Основные обратные задачи статической и динамической
физической геодезии ........................................................................... 64
2.7.1. Основная обратная задача статической физической геодезии . 65
2.7.2. Постановка основной обратной задачи динамической
физической геодезии в пространстве состояний ....................... 67
Выводы ............................................................................................................... 71
Глава 3.
Идентификация напряженно-деформированного состояния
локальных геодинамических систем по пространственно-временным
рядам комплексных геодезических и геофизических наблюдений ..... 74
3.1. Актуальность задачи идентификации напряженнодеформированного состояния геодинамических систем ................ 74
3.2. Теоретические и математические основы расчета напряженнодеформированного состояния ............................................................ 76
3.3. Метод конечных элементов как математический аппарат расчета
НДС ...................................................................................................... 79
3.4. Алгоритм определения параметров НДС ГДС по расчетным
значениям перемещений..................................................................... 84
3.5. Математический аппарат решения задачи идентификации НДС
ГДС по пространственно-временным рядам разнородных
комплексных геодезических и геофизических наблюдений........... 86
3.6. Вычислительный эксперимент идентификации НДС локальной
ГДС ....................................................................................................... 93
3.6.1. Моделирование НДС локальной ГДС и системы геодезических
наблюдений .................................................................................... 93
3.6.2. Обработка наблюдений 1-й эпохи ............................................... 96
3.6.3. Обработка наблюдений 2-й эпохи ............................................... 97
3.6.4. Определение и оценивание точности параметров НДС
локальной ГДС по значениям перемещений, полученным в
результате рекуррентной математической обработки
геодезических наблюдений во времени ...................................... 98
3.6.5. Визуализация результатов идентификации НДС локальной ГДС
....................................................................................................... 100
3.7. Идентификация НДС региональной ГДС (район Горного Алтая) 100
Выводы ............................................................................................................. 105
Глава 4.
Непараметрический подход к структурной идентификации
линейных и нелинейных геодинамических систем методами
кластерного анализа ................................................................................ 107
4.1. Структурная идентификация геодинамических систем с позиций
системного подхода и системного анализа..................................... 107
4.2. Метод структурной идентификации ГДС на основе кластерного
анализа................................................................................................ 109
4.3. Критерии, определяющие структурную модель разбиения на блоки
............................................................................................................. 112
2.6.6.
Структурные модели ГДС и соответствующие им наборы
признаков ........................................................................................... 116
4.4.1. Набор признаков при кластеризации для модели
поступательного движения жестких блоков ............................ 116
4.4.2. Набор признаков при кластеризации для модели
поступательного и вращательного движения жестких блоков
....................................................................................................... 117
4.4.3. Набор признаков при кластеризации для модели локальнооднородного деформирования ................................................... 121
4.4.4. Набор признаков при кластеризации для нелинейных моделей
вертикальных движений геодинамических объектов ............. 122
4.4.5. Набор признаков при кластеризации для совместной обработки
разнородных явлений-предвестников землетрясений и
вулканизма ................................................................................... 123
4.4.6. Примеры структурной идентификации ГДС методом
кластерного анализа.................................................................... 124
Глава 5.
Колебательные системы ............................................................. 133
5.1. Аппроксимационный блок ............................................................... 133
5.1.1. Свободные колебания ................................................................. 133
5.1.2. Вынужденные колебания ........................................................... 138
5.1.3. Вязкое трение .............................................................................. 140
5.2. Генератор алгоритмов ALTROS ....................................................... 141
5.2.1. Алгоритмы ................................................................................... 143
5.2.2. Структура комплекса программ .............................................. 153
Глава 6.
Фрактальный подход к моделированию и идентификации
геодинамических систем ........................................................................ 160
6.1. Моделирование и идентификация фрактальных
самоорганизующихся систем квазистатической и динамической
геодезии .............................................................................................. 160
6.2. Инвариантность масштабов пространства и времени ................... 165
6.2.1. Подобие и степенные законы: связь пространственного и
временного масштабов в аспекте системной относительности
фрактального подхода к математическому моделированию
геодинамических систем ............................................................ 165
6.2.2. Законы природы в аспекте инвариантности масштабов
пространства и времени ............................................................. 170
6.3. Алгоритмы построения множества Жулиа ..................................... 172
6.4. Моделирование склоновых вертикальных и
горизонтальныхдвижений ГДС в комплексной области ............... 175
6.5. Распознавание (идентификация) детерминированного хаоса по
фрактальной корреляционной размерности геодинамических
процессов ........................................................................................... 178
6.5.1. Случайные функции (случайные процессы) и случайные поля.
Структурные и корреляционные функции ............................... 178
6.5.2. Детерминированный хаос. Фрактальная корреляционная
размерность ................................................................................. 185
4.4.
6.6. Фракталы и рекуррентность ............................................................. 188
Глава 7.
Методология оптимального проектирования трасс сложных
инженерных сооружений с позиций системно-структурного и
объектно-ориентированного подходов .................................................. 192
7.1. Иерархическая система процесса проектирования оптимальных
трасс инженерных сооружений ....................................................... 192
7.2. Методологическое обеспечение проектирования трасс инженерных
сооружений с позиций системно-структурного и объектноориентированного подходов ............................................................ 199
Глава 8.
Геоинформационный банк данных для исследования сложных
самоорганизующихся систем геодезии ................................................. 207
8.1. Актуальность создания геоинформационного банка данных ....... 207
8.2. Концептуальное проектирование банка данных ............................ 210
8.3. Инфологическая модель банка данных ........................................... 212
8.4. Разработка структуры модельных слоев банка данных для ГИС
исследования и учета техногенной нагрузки на территорию ....... 214
Глава 9.
Роль геодезии в формировании научной картины мира, в
создании единой науки о земле – геономии, развитии приоритетных
направлений и разработке критических технологий ........................... 218
9.1. Роль геодезии в формировании научной картины мира ................ 218
9.2. Роль геодезии в создании единой науки о Земле – геономии ....... 220
9.3. Роль геодезии в приоритетных направлениях развития науки и
техники и в разработке критических технологий .......................... 221
Приложение 1. Матрица жесткости прямоугольного конечного элемента 223
Матрица жесткости треугольного конечного элемента ............................... 223
Приложение 2 .................................................................................................. 224
Приложение 3 .................................................................................................. 226
Приложение 4 .................................................................................................. 227
Приложение 5 .................................................................................................. 228
Приложение 6 .................................................................................................. 229
Приложение 7 .................................................................................................. 230
Приложение 8 .................................................................................................. 231
Приложение 9 .................................................................................................. 232
Приложение 10 ................................................................................................ 233
Приложение 11................................................................................................. 236
Приложение 12 ................................................................................................ 237
Приложение 13 ................................................................................................ 238
Приложение 14 ................................................................................................ 239
Приложение 15 ................................................................................................ 240
Приложение 16 ................................................................................................ 241
Приложение 17 ................................................................................................ 242
Приложение 18 ................................................................................................ 243
Список литературы.......................................................................................... 249
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей монографии отражены результаты исследований и разработок
по госбюджетной теме «Исследование сложных самоорганизующихся объектов
и информационных систем геодезии». Научный руководитель указанной темы –
профессор, кандидат технических наук В.А. Середович, ответственный
исполнитель – профессор, доктор технических наук В.К. Панкрушин. Работа
выполнена
в
научно-производственной
лаборатории
Сибирской
государственной геодезической академии «Автоматизированные системы
научных исследований (АСНИ) в геодезии и управлении» (зав. лабораторией
В.А. Середович, научный руководитель В.К. Панкрушин).
Исследования по указанной теме соответствуют приоритетному
направлению развития науки, технологий и техники Российской Федерации:
экология и рациональное природопользование, а также следующим
критическим технологиям РФ: мониторинг окружающей среды, снижение риска
и уменьшение последствий природных и техногенных катастроф,
компьютерное моделирование.
Предметом
исследований
в
данной
монографии
являются
самоорганизующиеся сложные природные и технические системы (объекты,
процессы, явления), а также отражающие их информационные системы
геодезии и геофизики. Указанные системы рассматриваются как системы с
распределенными параметрами, т. е. как системы, изменяющиеся не только во
времени, но и в пространстве. Исследование таких систем выполняется с
позиций теорий, понятий и методов ряда современных, общенаучных,
интегральных дисциплин: системного подхода и системного анализа,
самоорганизации
(синергетики),
фракталов,
динамического
и
детерминированного
хаоса,
кластерного
анализа,
математического
моделирования и идентификации (распознавания образов) геодинамических
систем по пространственно-временным рядам разнородных комплексных
геодезических и геофизических наблюдений, рекуррентной оптимальной
фильтрации таких наблюдений, современной информационной технологии, в
частности, геоинформационной технологии. Разумеется, что при этом в
качестве основы нами используются теории и методы физической геодезии,
геофизики и других наук о строении и эволюции Земли. Прежде всего
используются методы решения задач: определения в пространстве и времени
физической поверхности и гравитационного поля Земли; основной обратной
задачи динамической физической геодезии; задач актуальной проблемы наук о
Земле – «Геодинамика». Изложение сопровождается числовыми примерами
идентификации ГДС, выполненными по модельным и натурным изменениям.
Используя натурные спутниковые наблюдения в Горном Алтае в период 2000 –
2002 годов, т. е. до катастрофического землетрясения 27 сентября 2003 года,
была
выполнена
параметрическая
идентификация
напряженнодеформированного состояния земной коры.
Авторами первой главы «Введение» являются В.К. Панкрушин и
В.А. Середович. Вторая глава «Идентификация геодинамических систем и
подход к решению основной обратной задачи физической геодезии по
пространственно-временным
рядам
комплексных
геодезических
и
геофизических наблюдений» написана В.К. Панкрушиным. Авторами третьей
главы «Идентификация напряженно-деформированного состояния локальных
геодинамических систем по пространственно-временным рядам комплексных
геодезических и геофизических наблюдений» являются Б.Т. Мазуров,
В.К. Панкрушин, В.А. Середович. Автор четвертой главы «Непараметрический
подход к структурной идентификации линейных и
нелинейных
геодинамических систем методами кластерного анализа» – Б.Т. Мазуров. Автор
пятой главы «Колебательные системы» – Ю.И. Кузнецов. В шестой главе
«Фрактальный подход к моделированию и идентификации геодинамических
систем» авторы раздела 6.1 «Моделирование и идентификация фрактальных
самоорганизующихся систем квазистатической и динамической геодезии» –
Ю.И. Кузнецов, В.К. Панкрушин, В.А. Середович; раздела 6.2 «Подобие и
степенные законы: связь между пространственным и временным масштабами в
аспекте системной относительности фрактального подхода к математическому
моделированию геодинамических систем» – Ю.И. Кузнецов и В.К. Панкрушин;
раздела 6.3 «Алгоритмы построения множества Жулиа» – Ю.И. Кузнецов;
разделов 6.4 «Моделирование склоновых вертикальных и горизонтальных
движений ГДС в комплексной области» и 6.5 «Распознавание (идентификация)
детерминированного хаоса по фрактальной корреляционной размерности
геодинамических процессов» – В.К. Панкрушин; раздела 6.6 «Фракталы и
рекуррентность» – Ю.И. Кузнецов. Седьмая глава «Методология
проектирования трасс инженерных сооружений с позиций системноструктурного
и
объектно-ориентированного
подходов»
написана
В.Ф. Ловягиным, В.К. Панкрушиным, В.А. Середовичем. Автор восьмой главы
«Геоинформационный
банк
данных
для
исследования
сложных
самоорганизующихся систем» – В.А. Середович. Авторы девятой главы «Роль
геодезии в формировании научной картины мира, в создании единой науки о
Земле – геономии, развитии приоритетных направлений и разработке
критических технологий» – В.К. Панкрушин и В.А. Середович.
Авторы выражают искреннюю благодарность ректору Сибирской
государственной геодезической академии профессору Ивану Васильевичу
Лесных за постоянную поддержку в работе над настоящей монографией.
Авторы
искренне
признательны
профессору
Новосибирского
архитектурно-строительного университета А.А. Крамаренко за его
консультацию по теории и методам напряженно-деформационного состояния
инженерных сооружений.
В.К. Панкрушин, В.А. Середович
Природа формулирует свои законы
на языке математики.
Галилео Галилей
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Проблема математического моделирования и идентификации
геодинамических систем
Актуальными проблемами целого ряда наук о Земле (геологии, геофизики,
геоморфологии, океанологии, геодезии и др.) являются проблемы
«Геодинамика» и «Современные движения земной коры» (СДЗК). Исторически
вначале возникла проблема СДЗК [Герасимов, Буланже, Мещеряков (1963),
Буланже, Мещеряков (1969)]; Первый Международный симпозиум по СДЗК
состоялся в 1962 году в Лейпциге. Но в аспекте иерархии систем [Месарович,
Мако, Такахара (1973)] проблема «Геодинамика» представляет собой более
высокий уровень; она включает в себя исследование как динамики Земли в
целом и ее отдельных регионов, так и СДЗК [Артюшков (1979), Сорохтин
(1979), Кукал (1987)].
Под геодинамикой понимают науку о процессах развития твердой Земли.
При этом исследуются две стороны геодинамических процессов: 1) физикохимические преобразования; 2) механические (в широком смысле) движения и
деформации, включающие, в частности, изменение во времени
гравитационного поля Земли. Эти две стороны тесно взаимосвязаны – первая
может быть причиной второй и наоборот. Например, деформации вызывают
изменения напряженного состояния недр (горных пород) Земли, что
интегрируется в напряженно-деформируемое состояние земной коры.
Решение задач проблем «Геодинамика» и СДЗК относится к
фундаментальным исследованиям и имеет как научное, так и практическое
значение для наук о Земле и народного хозяйства. Научное значение
заключается в познании строения и эволюции Земли, пространственновременной структуры физической поверхности Земли, ее физических полей
(гравитационного, магнитного, электрического и др.) и геосфер (литосферы,
гидросферы, атмосферы и др.). Практическое значение заключается, в
частности, в решении задач прогноза как медленных движений физической
поверхности Земли, так и быстрых, катастрофических (землетрясений,
извержений вулканов и др.); поиска полезных ископаемых, решения задач
проектирования и эксплуатации крупных инженерных сооружений и
уникальных физических систем; задач проектирования, построения и
использования геодезических и гравиметрических сетей.
Геодинамические исследования имеют большое значение в аспекте
экологической информации о состоянии нашей планеты и ее отдельных
регионов, обеспечения жизнедеятельности и устойчивого развития
окружающей среды.
В конце двадцатого века была поставлена проблема чрезвычайно высокого
уровня – проблема изучения космической организованности и динамики
«биосферы и общества как единой системы, которая включает верхний слой
суши, гидросферу (прежде всего океан), атмосферу, биоту и, конечно, человека
с его общественными структурами» [Моисеев (1987)]. Фундаментом для
постановки указанной проблемы послужила биосферно-ноосферная концепция
В.И. Вернадского (1977, 1978), в частности, ее космический аспект; развитию
исследований в данном направлении посвящены следующие работы [Шипунов
(1980), Косыгин (1995), Шугрин (1999)]. Одной из основных задач
рассматриваемой проблемы является моделирование крупномасштабных
экологических ситуаций.
Очевидно, эта проблема по иерархии систем находится на самом высоком
уровне – над уровнями проблем «Геодинамика» и СДЗК. В соответствии с
теорией иерархических многоуровневых систем [Месарович, Мако, Такахари
(1973)], особенность иерархичности как закономерности состоит в том, что
закономерность целостности выступает на каждом уровне иерархии. При этом
объединение в иерархическую систему приводит к появлению новых свойств,
отсутствующих в каждой подсистеме в изолированном состоянии. Решение
задач на верхних уровнях выполняется с учетом информации, поступающей по
обратной связи от нижних уровней. Решения на нижних уровнях должны
выполняться с учетом требований, свойств и целей верхних уровней иерархии.
Наблюдения за геодинамическими объектами (процессами, явлениями)
ведутся методами геологии, геофизики, геоморфологии, геохимии, геодезии в
широком
смысле
(т.е.
охватывающей
геодезическую
астрономию,
геодезическую гравиметрию, физическую геодезию, космическую геодезию,
фототеодолитные, аэрофото- и космические съемки) и других наук.
Учитывая появление актуальных проблем наук о Земле: СДЗК и
«Геодинамика», – М.С. Молоденский (1958) ввѐл понятия статической,
кинематической и динамической геодезии. При этом он обратил внимание на
необходимость различать собственно вертикальные смещения точек земной
поверхности и смещения уровенных поверхностей, горизонтальные смещения
этих точек и изменения направления отвеса во времени. Л.П. Пеллинен (1978)
основной научной задачей геодезии назвал «… определения фигуры и внешнего
гравитационного поля Земли и их изменений во времени».
Как известно, наряду с теоретическими и экспериментальными
исследованиями, к современным методам познания мира относится метод
моделирования. В работе [Полищук (1992)] обращается внимание на новый
подход к проведению научных исследований систем с природными
компонентами, основанный на новой роли модели: «… модель должна быть не
только средством хранения знаний об объекте исследований, но и (что более
важно) инструментом проведения научных исследований, что и превращает
математическое моделирование в самостоятельное направление научных
исследований». Математическое моделирование геодинамических объектов
опирается, прежде всего, на данные о строении, составе и физических
свойствах недр Земли. Кроме того, при моделировании следует учитывать, что
Земля, совместно с геосферами (литосферой, атмосферой, гидросферой и др.),
ее геофизическими полями (гравитационным, магнитным и др.) и внешними
возмущающими воздействиями, в частности, воздействиями космического
характера, представляет собой единую сложную природную систему [Сорохтин
(1979), Шипунов (1980), Шугрин (1999)]. В соответствии с работой [Полищук
(1992)], наблюдения за геодинамическими объектами следует отнести к
сложным системам с природными компонентами. Поэтому решение задач
проблемы геодинамики необходимо выполнять с позиций теории сложных
динамических систем и системного анализа.
Структура и параметры геодинамических процессов, как правило,
недоступны для непосредственного измерения и могут оцениваться только
косвенно – по результатам наблюдений в пространстве и времени некоторых
величин, являющихся функционалами таких параметров. Это обстоятельство
приводит к проблеме идентификации динамических систем (объектов,
процессов, явлений) в широком смысле, заключающейся не только в
оценивании параметров, но и в определении пространственно-временной
структуры модели системы. Структура определяет упорядоченность в
пространстве и времени элементов объекта (системы); при этом элементами
могут являться процессы, а также свойства и отношения. Идентификация
должна выполняться в процессе совместного решения обратных (в общем
случае некорректно поставленных) задач оптимальной фильтрации результатов
наблюдений и их интерпретации в форме математических моделей
закономерностей поведения (состояния) системы. «Взаимосвязанность этих
двух задач – статистической обработки и интерпретации – является одной из
сложнейших и мучительных задач проблемы автоматизации обработки,
интерпретации и моделирования эксперимента» [Жуковский (1986)].
Изложению вопросов теории и методов идентификации посвящено
большое число работ, как отечественных, так и зарубежных авторов. В
соответствии с работой [Льюнг (1991)], «формирование моделей на основе
результатов наблюдений и исследование их свойств – вот, по существу,
основное содержание науки. Модели («гипотезы», «законы природы»,
«парадигмы» и т. п.) могут быть более или менее формализованными, но все
обладают той главной особенностью, что связывают наблюдения в некую
общую картину. Решение задачи построения математических моделей
динамических систем по данным наблюдений за их поведением составляет
предмет теории идентификации, которая тем самым становится элементом
общей научной методологии»; при этом понятия «система» и «модель»
рассматриваются как парные категории.
Идентификация систем является одним из основных разделов, одной из
основных задач современной теории и техники управления [Деруссо, Рой,
Клоуз (1970), Калман, Фалб, Арбиб (1971), Эйкхофф (1975, 1983), Леондес
(1980), Сейдж, Уайт (1982), Цыпкин (1984)].
В настоящей монографии большое внимание уделено проблеме
математического моделирования и идентификации геодинамических систем
(ГДС). ГДС или геодинамические объекты, процессы, явления имеют
масштабы: глобальный (планетарный), региональный и локальный. В
локальные ГДС могут включаться в качестве подсистем объекты: инженерной
геодинамики, состоящие, в свою очередь, из двух динамических подсистем –
геолого-геофизическая среда и деформируемое инженерное сооружение;
горные массивы, находящиеся под воздействием тектонических и техногенных
процессов (в частности, выработки полезных ископаемых с образованием
пустот); технологическое оборудование; механические системы; физические
установки; радиотехнические комплексы; эталонные устройства контроля и
качества измерительной техники метрологии и другие динамические объекты.
Разработка методов математического моделирования и идентификации
ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» невозможна без развития теории динамической физической
геодезии. В более широкой постановке, очевидно, можно говорить о
необходимости развития и теории динамической геофизики (в частности,
динамической гравиметрии). Очевидно, что проблема «Геодинамика» в смысле
использования при ее решении комплекса наук о Земле близка к понятию
геономии в ее динамическом аспекте.
Известно, что в науках о Земле появились такие новые разделы, как
«математическая геофизика», «вычислительная геофизика», «вычислительная
сейсмология» и т. п. Заметим, что в состав СО РАН входит Институт
вычислительной математики и математической геофизики.
Вычислительная составляющая всегда была значительной в теории и
методах геодезии. Поэтому в аспекте проблемы геодинамики есть основания
говорить о необходимости развития теории и методов как вычислительной
геодинамики, так и вычислительной динамической физической геодезии.
Учитывая такое понятие, как «информационная теория идентификации систем»
[Цыпкин (1984)], очевидно, можно говорить об информатизации геодинамики и
динамической
физической
геодезии,
о
создании
динамических
геоинформационных систем (ДГИС) [Панкрушин, Ви, Гиниятов и др. (1997)].
В качестве основных научных концепций и методологий, как
междисциплинарного характера, так и наук о Земле, в настоящей работе
принимаются системно-структурный подход и системный
анализ,
математическая
теория
и
математические
методы
исследования
детерминированных и стохастических динамических систем, концептуальные
положения и понятия теории нелинейных динамических систем (объектов,
явлений, процессов), в частности, самоорганизации, фракталов, связи между
рекуррентностью и фракталами, степенных законов, детерминированного
хаоса, комплексных динамических систем [Кроновер (2000), Пайтген, Рихтер
(1993), Шредер (2001), Шустер (1988)], концепция и методология объектноориентированного проектирования [Буч (1992)].
1.2. Нелинейная геодинамика и нелинейная динамическая физическая
геодезия: фрактальный подход к моделированию и исследованию
самоорганизующихся объектов и информационных систем геодезии
Объектом исследований в данной монографии являются сложные
самоорганизующиеся природные системы и отражающие их информационные
системы геодезии. Исследование природных, технических и других систем
выполняется с позиций теорий и методов сложных систем и самоорганизации
этих систем.
«Самоорганизация»
является
актуальной
междисциплинарной,
общенаучной и интеграционной проблемой. При этом исследуется
самоорганизация в природе, технике, обществе, философии, экономике,
политологии, науке, образовании и культуре [Дмитриенко, Разумовский (1998)].
К самоорганизующимся системам относятся, в частности, системы
информационных процессов, мониторинга, экологического прогноза,
технологии, в частности, информационные технологии. Самоорганизация
(синергетика)
происходит
в
результате
спонтанного,
совместного,
коллективного действия подсистем, образующих систему. Концепция
самоорганизации влияет как на решение прикладных задач, так и на
формирование современной научной картины мира. Фундаментальным
свойством природных объектов является фрактальность. Теория и методы
самоорганизации, синергетики, фракталов и хаоса позволяют исследовать
тонкую структуру сложных нелинейных самоорганизующихся систем
(объектов, процессов, явлений) хаотической динамики, детерминированного
хаоса. В частности, эти методы позволяют исследовать устойчивость
динамических развивающихся систем.
Нам представляется, что состояние решений научно-технической
проблемы исследования сложных по своей природе объектов и
информационных систем геодезии отстает от уровня современной науки как с
позиций теорий и методов нелинейной динамики, самоорганизации,
синергетики, хаоса и фракталов, так и с позиций относительно давно уже
развиваемых методов теорий систем и системного анализа, математического
моделирования и идентификации систем в пространстве состояний. Таким
образом, математическое моделирование, идентификация и исследование
самоорганизации сложных природных и технических систем, наблюдаемых
методами геодезии и геофизики в пространстве и времени, является актуальной
проблемой. Поэтому большое внимание в монографии уделено разработке
теории и методов математического моделирования поведения в пространстве и
времени сложных самоорганизующихся систем с природными компонентами,
наблюдаемых геодезическими и геофизическими методами, и вычислительным
экспериментам с использованием построенных моделей.
Современное состояние решений научно-технической проблемы
исследования сложных по своей природе объектов и информационных систем
геодезии отстает от уровня современной науки как в такой новой области
исследования
нелинейной
динамики,
какими
являются
теории
самоорганизации, синергетики и фракталов, так и в относительно давно уже
развиваемой области теорий систем и системного анализа, математического
моделирования и идентификации в пространстве состояний.
Поэтому исследование самоорганизации сложных объектов, наблюдаемых
методами геодезии в пространстве и времени, является актуальной проблемой.
Исследование самоорганизующихся сложных систем (к которым относятся, в
частности, геодинамические системы и промышленно-хозяйственные системы с
природными компонентами) имеет большое значение в аспекте экологической
информации о состоянии нашей планеты и ее отдельных регионов, степени
техногенной нагрузки, обеспечения жизнедеятельности и устойчивого развития
окружающей среды.
Актуальность
разработки
теории
и
методов
математического
моделирования
поведения
в
пространстве
и
времени
сложных
самоорганизующихся систем с природными компонентами (в частности,
геодинамических систем), наблюдаемых геодезическими методами, имеет
следующее обоснование.
Как известно, наряду с теоретическими и экспериментальными
исследованиями, к современным методам познания мира относится метод
математического моделирования. В работе [Полищук (1992)] обращается
внимание на новый подход к проведению научных исследований систем с
природными компонентами, основанный на новой роли модели: «… модель
должна быть не только средством хранения знаний об объекте исследований,
но и (что более важно) инструментом проведения научных исследований, что
и превращает математическое моделирование в самостоятельное направление
научных исследований».
Территории ряда регионов Сибири в настоящее время испытывают
большую техногенную нагрузку. Техногенная нагрузка отражает степень
техногенного освоения окружающей природной среды (ОПС) человеком и
уровень ее загрязнения продуктами его жизнедеятельности. В результате,
природно-территориальные комплексы (ПТК) подвергаются необратимым
изменениям
экологического,
природно-ресурсного,
территориального
характера. На смену ПТК приходят техногенные природно-территориальные
комплексы (ТПТК): города, промышленные зоны, участки добычи полезных
ископаемых.
Учет и исследование техногенного фактора в формировании современного
мира является актуальной задачей, так как служит информационной основой
для ведения экологического мониторинга.
Развитие геоинформатики и геоинформационных технологий дало мощный
инструмент для управления территориями, в частности, в производстве,
потреблении, инвестировании и развитии региональных образований. Однако,
для эффективного использования ГИС необходима разработка современных
методов анализа геоинформационных данных с помощью новейших
программных продуктов, а также сравнительный анализ самих ГИС в целях
решения конкретных производственных задач.
Перспективным при разработке геоинформационных технологий является
использование ГИС GeoMedia для создания банка данных по учету техногенной
нагрузки на территории нефтегазокомплексов в аспекте обеспечения
информационной поддержки принятия управленческих решений, проведения
экологического мониторинга и информационной основы, прогнозного
моделирования развития территории.
Математическое моделирование геодинамических объектов опирается,
прежде всего, на данные о строении, составе и физических свойствах недр
Земли. Кроме того, при моделировании следует учитывать, что Земля,
совместно с геосферами (литосферой, атмосферой, гидросферой и др.), ее
геофизическими полями (гравитационным, магнитным и др.) и внешними
возмущающими воздействиями, в частности, воздействиями космического
характера, представляет собой единую сложную самоорганизующуюся
природную систему [Сорохтин (1979), Шипунов (1980), Шугрин (1999)]. В
соответствии с работой [Сорохтин (1979)], наблюдения за геодинамическими
объектами следует отнести к сложным системам с природными компонентами.
Поэтому решение задач проблемы геодинамики необходимо выполнять с
позиций теорий сложных динамических систем, системного анализа и
самоорганизации.
Построение математической модели является необходимым этапом
создания информационной технологии исследования любых систем (объектов,
процессов, явлений); по рассматриваемой в данной монографии проблеме –
создания
информационной
технологии
исследования
сложных
самоорганизующихся систем геодезии.
Для достижения указанной цели необходимо решение следующих
основных задач:
разработка теории и методов математического моделирования сложных
самоорганизующихся систем с природными компонентами в пространстве
состояний, наблюдаемых во времени комплексом геодезических и
геофизических методов;
обоснование фрактального подхода к моделированию и исследованию
сложных самоорганизующихся систем;
разработка типовых (элементарных) фрактальных геодинамических
моделей в комплексной области вертикальных и горизонтальных движений, в
частности, на склонах земной поверхности;
разработка метода распознавания детерминированного хаоса на фоне
случайного процесса;
разработка алгоритмического обеспечения итерационного процесса для
получения множества Жюлиа на основе математической модели
геодинамической системы в комплексной области;
вычислительный эксперимент по типовым геодинамическим моделям;
разработка алгоритмов и программ для решения прямых и обратных
линейных задач при моделировании и идентификации колебательных
динамических систем с конечным числом степеней свободы в пространстве
состояний;
построение концептуальной модели банка данных исследования
сложных динамических самоорганизующихся объектов геодезии.
Предмет, цели и задачи данного исследования приводят к необходимости
использования теоретических положений и методов ряда наук и общенаучных,
интегральных дисциплин, проблем, подходов:
актуальных проблем наук о Земле (геологии, геофизики, геодезии,
геоморфологии и др.) «Геодинамика» и «Современные движения земной коры»;
математического моделирования, параметрической и структурной
идентификации (распознавания образов) сложных самоорганизующихся систем
(объектов, процессов, явлений) по многомерным пространственно-временным
рядам разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений;
оптимальной рекуррентной фильтрации пространственно-временных
рядов результатов разнородных комплексных геодезических и геофизических
наблюдений;
использования набора базовых нелинейных моделей (из базы знаний);
самоорганизации, синергетики и фракталов;
положений системно-структурного и объектно-ориентированного
подходов к исследованиям;
линейной, нелинейной и хаотической динамики.
1.3. Структура и содержание разделов монографии
В главе 2 «Идентификация геодинамических систем и подход к решению
основной обратной задачи физической геодезии по пространственновременным рядам комплексных геодезических и геофизических наблюдений»
даны постановка и подходы к решению проблемы математического
моделирования и идентификации геодинамических систем «Физическая
поверхность Земли (ФПЗ) и внешнее гравитационное поле Земли (ВГПЗ)» с
пространством состояний.
В главе выполнена разработка основных теоретических положений и
методов математического моделирования сложных самоорганизующихся систем
с природными компонентами в пространстве состояний по разнородным
комплексным геодезическим и геофизическим наблюдениям во времени.
Указанная разработка выполнена в аспекте решения проблемы идентификации
геодинамических систем по пространственно-временным рядам разнородных
комплексных геодезических и геофизических наблюдений. В этом аспекте
разработана концептуальная математическая модель в пространстве состояний
и структурная блок-схема идентификационного эксперимента, включающая, в
частности, блок с базой знаний и банком данных.
В этом разделе даны параметрические методы решения задач
математического моделирования и идентификации с пространством состояний
по многомерным пространственно-временным рядам результатов разнородных
комплексных наземных и спутниковых геодезических и геофизических
наблюдений. В геофизические наблюдения, в частности, входят:
гравиметрические и гравиинерциальные (вариаций силы тяжести или вторых
производных потенциала силы тяжести, наклономерные), магнитометрические,
деформаций (деформографами) и напряжений (тензометрами) земной коры,
уровнемерные и др.
Во второй главе дан раздел 2.2 «Парадигма теории математического
моделирования и идентификации геодинамических систем». Приведены
элементы принятой системы парадигмы: основных (ключевых) категорий,
понятий, принципов, концептуальных положений и подходов, определяющих
основания и характер как разрабатываемой во второй главе теории
математического моделирования и идентификации (физической интерпретации)
геодинамических систем (объектов, процессов, явлений) по пространственновременным рядам наблюдений, так и разработок в последующих главах
монографии. В элементы системы парадигмы включены, в частности,
следующие.
К основным (ключевым) категориям отнесены три физических категории:
пространство-время, геофизические поля (гравитационное, электромагнитное
и др.), тела.
ГДС являются системами с распределенными параметрами, т. е. с
параметрами, которые зависят как от времени t, так и от пространственных
координат X(x, y, z) пунктов наблюдений. В соответствии с этим, результаты
наблюдений и параметры ГДС рассматриваются как многомерные
пространственно-временные ряды.
Структура открытой ГДС с детерминированными и стохастическими
воздействиями внешней среды состоит из двух основных взаимосвязанных
подсистем одного уровня иерархии – физической поверхности Земли (ФПЗ) и
внешнего гравитационного поля Земли (ВГПЗ).
С
целью
описания
пространственно-временного
многообразия
физического пространства и упорядочения событий на первом шаге
математического моделирования должна быть выполнена арифметизация
(паспортизация)
единого
четырехмерного
пространства-времени.
В
соответствии с работой [Блохинцев (1971)], арифметизация реальных
геодинамических процессов в пространстве-времени требует обращения к
физике, к материальным процессам. Таким образом, при математическом
моделировании ГДС неопределенные операции с пустотой на основе только
положений геометрии исключаются. Заметим, что форма записи событий при
арифметизации пространства-времени определила специфику строчных
индексов величин в наших уравнениях состояния геодинамических систем и
рекуррентного алгоритма фильтра Калмана – Бьюси.
Интерпретация разнородных комплексных геодезических и геофизических
наблюдений выполняется обычно в условиях неполной априорной информации
о тектонофизических свойствах исследуемого объекта и внешних
возмущающих воздействиях. Поэтому идентификация ГДС должна
выполняться в широком смысле – не только как определение оценок параметров
системы, но и принятие решения по выбору адекватной (из альтернативных,
конкурирующих моделей) модели пространственно-временной структуры
закономерности эволюции исследуемой ГДС.
На основе предложенных концептуальных положений в главе 2
разработана концептуальная дискретная стохастическая нелинейная модель
ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» с пространством состояний, параметры которой должны
определяться в результате параметрической идентификации. Указанная модель
строится в виде системы двух нелинейных уравнений состояния.
Первое уравнение состояний моделирует в рекуррентной форме
закономерности движений геодинамического объекта в широком смысле
(движений и деформаций ФПЗ и изменений во времени параметров ВГПЗ),
возмущаемых
внешними
детерминированными
и
стохастическими
воздействиями. В состав расширенного вектора параметров состояния могут
входить: координаты пунктов сети наблюдений в дискретные моменты времени
(эпохи) t = 1, 2, …; потенциал силы тяжести (представленный как сумма
нормального и возмущающего потенциала) или, при построении
конечномерных моделей, основные трансформанты возмущающего потенциала
в тех же пунктах и в те же эпохи наблюдений; параметры движений ФПЗ,
параметры деформаций и напряжений, параметры изменений во времени ВГПЗ.
При фрактальном подходе к моделированию нелинейных ГДС в расширенный
вектор параметров состояний вводится величина в комплексной области.
Второе уравнение состояний моделирует результаты разнородных
комплексных наземных и спутниковых геодезических и гравиметрических
наблюдений в форме пространственно-временных функционалов на потенциале
силы тяжести; в структуру этого уравнения входят и ошибки наблюдений.
В основе ключевых понятий, концептуальных положений, концептуальной
модели, принципов и подходов в проблеме моделирования и идентификации
ГДС лежат теории и методы как наук о Земле (геологии, геофизики, теории
фигуры Земли, физической геодезии и др.), так и ряда современных
междисциплинарных наук. К последним относятся следующие методы:
системно-структурного подхода и системного анализа, распознавания образов,
математического моделирования и идентификации сложных динамических
систем, адаптивной математической обработки (фильтрации) и интерпретации
многомерных временных рядов результатов наблюдений, оценивания
параметров систем, оптимизации, принятия решений и управления, принципов
симметрии (инвариантности), подходов к исследованию самоорганизующихся
систем, в частности, фрактального подхода и моделирования динамических
систем в комплексной области.
На основе разработанной концепции моделирования и идентификации
геодинамических систем «Физическая поверхность и внешнее гравитационное
поле Земли» с пространством состояний предложен подход к решению
основной обратной задачи динамической физической геодезии.
Специфика предложенного подхода к постановке основной обратной
задачи динамической физической задачи заключается в том, что краевые
условия будут даны на поверхности одношагового (на одну эпоху наблюдений)
прогнозного теллуроида для возмущающего потенциала в пространстве
состояний. Такая постановка обратной линеаризованной задачи является
развитием и обобщением в аспекте моделирования геодинамических систем
«ФПЗ и ВГПЗ» обратной задачи Молоденского определения фигуры реальной
Земли.
При решении основной обратной задачи динамической физической
геодезии составляются два линеаризованных уравнения состояний ГДС,
моделирующих соответственно закономерности движений ГДС и систему
разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений в
пространстве и времени. ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» относятся к сложным системам.
Как правило, сложность обусловливает неполноту априорной информации о
структуре систем, о закономерностях происходящих процессов. Для
преодоления этой трудности моделирование ГДС в форме двух уравнений
состояний и их совместное решение следует выполнять в процессе
рекуррентной структурной и параметрической идентификации по многомерным
пространственно-временным рядам результатов разнородных комплексных
астрономо-геодезических и гравиметрических наблюдений.
В третьей главе излагаются методические, теоретические, математические,
алгоритмические
основы
компьютерной
технологии
идентификации
движений и напряженно-деформированного состояния геодинамических систем
по пространственно-временным рядам комплексных геодезических и
геофизических наблюдений. Приведены необходимые сведения из теории
упругости, метода конечных элементов.
Предлагаемая методология, математическое и алгоритмическое обеспечение
идентификации (в широком смысле) движений и напряженно-деформированного
состояния геодинамических систем по пространственно-временным рядам
комплексных геодезических и геофизических наблюдений позволяют по
натурным наблюдениям оценивать особенности поведения геодинамических
систем, связанные с деформациями и напряжениями не только в двумерном, но
и трехмерном пространстве. Результатом математической обработки
наблюдений являются как оценки смещений точек ГДС, так и оценки
параметров текущего и одношагового прогноза, характеризующих НДС ГДС с
оценкой точности определяемых параметров. Поля деформаций и напряжений
визуализируются на компьютере в удобном для анализа экспертом виде.
Кроме того, описывается вычислительный эксперимент идентификации
НДС локальной ГДС по модельным геодезическим наблюдениям во времени.
Этапы эксперимента и его результаты представлены в приложениях. Приведен
пример компьютерной визуализации полей деформации и полей напряжения
смоделированной ГДС.
Изложение сопровождается числовыми примерами идентификации ГДС,
выполненными по натурным измерениям. По спутниковым наблюдениям в
Горном Алтае в период 2000-2002 годов, т. е. до катастрофического
землетрясения 27 сентября 2003 года, выполнена параметрическая
идентификация напряженно-деформированного состояния земной коры.
Данная ГДС территориально охватывает структурные элементы Горного
Алтая и его предгорий в пределах Российской Федерации. Результаты натурных
экспериментов
обрабатывались
с
учетом
нелинейного
характера
геодинамических процессов и явлений. Полученные параметры поля
деформаций и поля напряжений с последующей компьютерной визуализацией
этих полей позволили дать в монографии качественно новую информацию о
геодинамических процессах в районе Горного Алтая, актуальную в связи с
происшедшим землетрясением 27 сентября 2003 года.
В четвертой главе разработан один из методов непараметрического подхода
к структурной идентификации геодинамических систем.
При обработке многомерных пространственно-временных рядов
геодезических наблюдений за сложными геодинамическими объектами
необходимо учитывать существование широкого класса моделей-претендентов
для определения адекватной математической модели геодинамического объекта.
Выполнена разработка аппарата для генерирования моделей-претендентов на
основе одного из методов распознавания образов – иерархической
агломеративной (объединяющей) кластер-процедуры.
При этом в главе предложены критерии, определяющие адекватную
структурную модель разбиения на блоки: критерий «топографической
близости», учитывающий близость кластеризуемых объектов в реальном
пространстве, и критерий, основанный на анализе функции минимального
межкластерного расстояния. Данные критерии используются совместно.
Предложены различные наборы признаков и меры близости
кластеризуемых геодинамических объектов, соответствующие наиболее
используемым в настоящее время типам структурных моделей геодинамических
объектов (поступательное движение, поступательное и вращательное движения
жестких блоков, локально-однородная деформация, нелинейные модели).
Предложенный метод непараметрической структурной идентификации
ГДС может быть использован:
для выявления закономерностей поведения объекта и формирования
или опровержения гипотез, объясняющих его динамику;
для включения в список моделей-претендентов на выбор адекватной
математической модели после параметрической идентификации;
для
совместного
учета
различных
явлений-предвестников
землетрясений и вулканизма;
для целей проектирования и корректировки системы геодезических
наблюдений за геодинамическими объектами.
Описание алгоритма структурной идентификации сопровождается
числовым примером по обработке смоделированных горизонтальных смещений
земной поверхности.
Пятая глава «Колебательные системы» посвящена развитию теории
колебаний в аспекте математического обеспечения решения задачи
моделирования колебательных движений геодинамических систем (объектов,
процессов, явлений).
В главе дается следующая предпосылка характера разработок в аспекте
исследования геодинамических систем. Вековые движения земной поверхности
являются отражением глобальных свойств в коре и мантии. С механической
точки зрения, они представляют собой необратимые деформации вследствие
вязкопластического течения горных масс. Достаточно быстрые процессы,
связанные, например, с подготовкой землетрясений и их последствиями,
накладываются на фоновые движения в виде возмущений, основу которых
составляют упругие деформации. Известно, что после сильнейших
землетрясений наблюдались собственные колебания Земли с периодом до
одного часа. Отдельные слабые землетрясения и землетрясения умеренных
магнитуд вызывают при благоприятных условиях колебания локальной системы
блоков в районе эпицентра продолжительностью до десятков минут.
Подобного рода процессы можно моделировать с помощью линейной
колебательной системы с конечным числом степеней свободы Но линейные
колебательные
системы
с
конечным
числом
степеней
свободы
непосредственным образом связаны с алгебраической структурой, включающей
ганкелеву матрицу, якобиеву матрицу и систему ортогональных многочленов.
Поэтому программы для исследования различных аспектов, характерных для
колебательной системы, в третьей главе включают аппроксимационный,
алгебраический и интерпретационный блоки.
С целью программного обеспечения вычислительных экспериментов при
исследовании колебательных систем в главе дан комплект программ ALTROS,
который содержит в общей сложности 43 процедуры. Он может выполнять
задачи интерполяции, вычисления квадратур, решения систем линейных
алгебраических уравнений прямым методом (если это целесообразно),
обращения и факторизации матриц специального вида и т. д. Для этого
используются различные алгоритмы вандермондовой структуры.
В шестой главе разрабатывается метод исследования нелинейных
геодинамических систем (объектов, процессов, явлений) с учетом свойств их
фрактальности, т. е. подобия части целому. При этом в соответствии с
концептуальными положениями работ [Шустер (1988), Пайтген, Рихтер (1993),
Шредер (2001), Панкрушин (2002)] развивается фрактальный подход к
моделированию и идентификации в пространстве состояний таких систем.
На основе понятий о подобии, степенных законах и однородных функциях
показана связь между пространственным и временным масштабами в аспекте
системной относительности фрактального подхода к математическому
моделированию геодинамических систем.
Алгоритмическое обеспечение итерационного процесса для получения
множества Жюлиа разработано с использованием фрактального подхода
[Пайтген, Рихтер (1993), Шредер (2001)]. Данный алгоритм тестирован на
решении классического уравнения Z = Z2 + C в комплексной области: Z, C C.
Построена типовая (элементарная) фрактальная геодинамическая модель в
комплексной области вертикальных и горизонтальных движений на склонах
земной поверхности, в частности, на склонах вулканов, береговых обрывов,
терриконов, насыпей и т. п. Указанная фрактальная модель и разработанный
алгоритм построения множества Жюлиа системы двух нелинейных уравнений с
двумя неизвестными представляют интерес в аспекте их использования для
исследования устойчивости эволюции указанных склоновых объектов [Томпсон
(1985), Панкрушин (1997)].
Далее дан метод распознавания (идентификации) детерминированного
хаоса по фрактальной корреляционной размерности геодинамических
процессов. При этом в качестве исходных данных для получения фрактальной
корреляционной размерности предложено использовать эмпирические
корреляционные функции и структурные функции Колмогорова.
Теоретические положения главы 6 и разделов 6.1, 6.3 и 6.6 приводят к
выводу, что фрактальность имеет два аспекта. С одной стороны, это изучение
дробной размерности пространственных фигур, которая и дала название
«фрактальность». С другой стороны, фрактальность – это принцип «часть
подобна целому». И этот аспект фрактальности является более важным для
изучения динамических систем. Познавательную ценность имеют модель
Дерева (речные бассейны, горные цепи, трещины в земной коре, другие
динамические системы) и модель Ореха (Солнечная система, Земля).
Именно второй аспект имеет мощную «математическую поддержку».
Концепция фрактальности в Природе дополняется в главе 6 концепцией
фрактальности в математике. В основе этого дополнения лежит не только
эвристический принцип «математика является адекватным языком описания
Природы», но и строгие теоремы. При этом выделяются три необходимых
предпосылки возникновения свойства фрактальности в алгебраических
структурах: рекуррентность, делимость и наличие совокупности тождеств.
Всеми этими свойствами одновременно обладает так называемая ганкелева
алгебраическая структура, включающая матрицы специального типа и
ортогональные многочлены. Особая ценность этой структуры состоит в том, что
она непосредственно связана с колебательными системами с конечным числом
степеней свободы. При этом ганкелева структура предоставляет новые
возможности для создания моделей колебательных систем [Кузнецов (2002)].
В этой связи важную роль играет разработка алгоритмов и программ для
решения прямых и обратных линейных задач при моделировании и
идентификации колебательных динамических систем с конечным числом
степеней свободы в пространстве состояний.
Разработано математическое, алгоритмическое и программное обеспечение
для решения прямых и обратных линейных задач при моделировании и
идентификации колебательных динамических систем с конечным числом
степеней свободы. Уже на этом этапе установленная связь фрактальности с
колебательными системами с конечным числом степеней свободы открывает
новые возможности исследования процессов самоорганизации материи.
В седьмой главе дана «Методология проектирования трасс инженерных
сооружений с позиций системно-структурного и объектно-ориентированного
подходов».
Решения задач исследования и проектирования сложных технических
систем (инженерных сооружений) взаимосвязаны. Очевидно, решения тех и
других задач должны иметь общую методологическую основу исследования
сложных самоорганизующихся систем, включающую системно-структурный,
объектно-ориентированный и другие подходы, изложенные в предыдущих
главах и в работе [Панкрушин (2002)]. Поэтому в нашу монографию включена
настоящая глава по методологии исследования и проектирования сложных
инженерных сооружений, в частности, сооружений линейного типа (линий
электропередачи и связи, нефте- и газопроводов, авто- и железных дорог и т. п.)
[Ловягин, Панкрушин, Середович (2001), Середович, Панкрушин (2001), (2002),
Ловягин, Панкрушин (2001)].
В восьмой главе разработана технологическая схема создания банка
данных по учету техногенной нагрузки на территории нефтегазовых
комплексов.
На этапе «сбора данных» выполняются натурные наблюдения объектов
ТПТК. Данные, полученные в результате проведения полевых работ,
передаются и обрабатываются в ГИС GeoMedia. Готовой продукцией на этапе
«структуризации и локализации данных» является цифровая модель ситуации.
Данные о ТПТК представлены послойно, в соответствии с разработанной
графической и семантической базой объектов. Основными слоями для
отображения пространственных данных являются: геодезические пункты,
инженерные
коммуникации,
промышленные
объекты,
гидрография,
растительность, грунты, элементы орографии. Второй этап завершается
передачей данных в систему управления базами данных (СУБД) Access. На
этапе «накопления и хранения» происходит накопление и хранение информации
о ТПТК в СУБД. Вся информация хранится в двух пользовательских форматах
(*.mdb – пользовательский формат Access и *.gws – пользовательский формат
GeoMedia). Такая организация данных позволяет оперативно работать как с
графической базой данных объектов, так и с семантической. Возможность
создания одновременно нескольких баз данных (хранилищ информации)
позволяет организовать геоинформационный банк данных по ТПТК.
В девятой главе показана роль геодезии в формировании научной картины
мира, в создании единой науки о Земле – геономии, развитии приоритетных
направлений и разработке критических технологий.
Настоящая глава в аспекте ее названия в определенной степени играет роль
заключения по монографии. Как и в предыдущих разделах, геодезия здесь
понимается в широком смысле – как одна из наук о Земле, включающая, кроме
собственно геодезии в узком смысле, физическую (или теоретическую)
геодезию, теорию фигуры Земли, геодезическую астрономию, геодезическую
гравиметрию, космическую геодезию, картографию, аэрофотосъемку,
космическую съемку, геодезические информационные системы (ГИС) и
технологии. Очевидно, что к области геодезии в широком смысле можно
отнести и инженерную геодезию, когда в последней учитывается
гравитационное поле Земли или когда она используется в инженерной геологии,
в частности, при решении задач инженерной геодинамики. В главе развиваются
положения работы [Панкрушин, Середович (2003)].
В.К. Панкрушин
ГЛАВА 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И
РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОЙ
ГЕОДЕЗИИ ПО ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ
КОМПЛЕКСНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ГЕОФИЗИЧЕСКИХ
НАБЛЮДЕНИЙ
2.1. Постановка проблемы идентификации геодинамических систем
«Физическая поверхность и внешнее гравитационное поле Земли»
«Современные движения земной коры» (СДЗК) и «Геодинамика» являются
актуальными проблемами целого ряда наук о Земле – геологии (общей и
инженерной),
геотектоники,
геофизики,
геоморфологии,
геодезии,
маркшейдерии, океанологии, метеорологии, климатологии и др. При этом
методами геодезии в широком смысле (включающей в себя геодезическую
астрономию, гравиметрию, космическую геодезию, аэро- и космические съемки
и т. п.) получают основные количественные данные о движениях и
деформациях физической поверхности Земли (ФПЗ) и изменениях во времени
внешнего гравитационного поля Земли (ВГПЗ).
Одной из основных задач проблем геодинамики и СДЗК является познание
закономерностей движений и деформаций изучаемых глобальных,
региональных и локальных геодинамических систем (объектов, процессов,
явлений). В локальные геодинамические системы могут включаться в качестве
подсистем движения и деформации горных массивов, инженерных сооружений,
технологического оборудования, механических систем, физических установок и
т. п. [Панкрушин, Васильев (1985а), Васильев, Панкрушин (1987), Панкрушин,
Середович, Дубровский (2001)]. Движения здесь понимаются в широком
смысле – как изменения во времени не только геометрических, но и физических
параметров, в частности, координат точек земной (физической) поверхности,
фигур, площадей и объемов геодинамических объектов, параметров
геофизических полей (гравитационного, электромагнитного, напряжений и
деформаций), параметров плотности, упругости, вязкости, чисел Лява и др.
Геодинамические
параметры,
как
правило,
недоступны
для
непосредственного измерения и могут оцениваться только косвенно по
результатам наблюдений в пространстве и во времени некоторых величин
(например,
расстояний,
направлений,
превышений),
являющихся
функционалами этих параметров.
В системном аспекте задача описания объекта по наблюдениям
(интерпретация наблюдений) относится к идентификации систем [Сейдж, Уайт
(1982), Эйкхоф (1975, 1983), Войтенков (1989), Льюнг (1991)]. В работе
[Гренандер (1979, 1981, 1983)] эта задача относится к распознаванию образов,
их анализу и синтезу. В работе [Буч (1992)] эта задача рассматривается в
аспекте объектно-ориентированного проектирования (идентификация классов и
объектов, идентификация их семантики, идентификация связей между ними).
В зависимости от полноты априорной информации о структуре динамики
объекта, идентификацию выполняют в узком или широком смыслах.
Идентификация в узком смысле (или параметрическая идентификация) состоит
в оценивании параметров модели объекта, когда структура математической
модели задана по априорной информации. Задача идентификации в широком
смысле (распознавания образов) встает тогда, когда априорная информация о
структуре динамического объекта (процесса) отсутствует или очень бедна. В
этом случае идентификация заключается не только в оценивании параметров
модели объекта, но и в установлении структуры адекватной математической
модели
поведения
динамической
системы.
Структура
определяет
упорядоченность в пространстве и времени элементов системы (объекта,
процесса, явления), их свойств и отношений. Таким образом, проблема
идентификации систем включает в себя задачу задания или построения их
математических моделей.
Оценивание параметров динамических систем по результатам
многомерных временных рядов наблюдений в аспекте идентификации [Kalman,
Bucy (1961), Калман, Фалб, Арбиб (1971), Хеннан (1974), Сейдж, Мелс (1976),
Леондес (1980)] относится к обратным задачам, которые в общем случае входят
в класс некорректных, по Ж. Адамару, задач математической физики [Тихонов,
Арсенин (1979), Лаврентьев, Романов, Шишатский (1980), Тихонов, Большаков,
Нейман (1980)].
Решения обратных задач могут и не иметь физических аналогов, то есть
одно
лишь
требование
сопоставимости
возможных
решений
с
экспериментальными наблюдениями не может служить критерием нахождения
физически интерпретируемого решения. Но несоответствие результатов
измерений достаточно высокой точности структуре априорной модели является
достаточным основанием, чтобы ее отвергнуть.
Идентификация выполняется в процессе решения задачи оптимальной
математической обработки (фильтрации) и интерпретации результатов
наблюдений в форме математических моделей закономерностей поведения
системы. Решение всегда выполняется с позиции определенной методологии и
на основе адекватного задаче математического аппарата.
Геодинамические объекты и геодезические построения, создаваемые для
их изучения, относятся к сложным системам с природными компонентами
[Полищук (1992)]. «В ответ на потребности изучения сложных систем
возникла дисциплина «системный анализ»... [Моисеев (1981)]. Системный
анализ опирается на построение математических моделей объекта и включает в
себя операции по сравнению и выбору альтернативы (адекватной или сильной
модели) [Виллемс (1989)].
По А.Н. Тихонову (1982), «в основе математической обработки результатов
наблюдений лежит понятие математической модели». Итогом полной
математической обработки является построение адекватной модели изучаемого
объекта, определение его физических характеристик в результате решения
обратной задачи математической физики по данным измерений. При этом
подчеркивается, что постановка обратной задачи без учета ошибок измерений
является несостоятельной; класс моделей и индивидуальная модель из
принятого класса должны быть сопоставимы с результатами наблюдений.
Обзор и сравнительный анализ методов определения и прогнозирования
параметров и движений ФПЗ по геодезическим наблюдениям дан в работах
[Васильев, Панкрушин (1987, 1988)]. В настоящей работе в параметры ГДС
включаются не только параметры движений ФПЗ, но и параметры изменений во
времени ВГПЗ; в соответствии с этим, идентификация выполняется по
многомерным пространственно-временным рядам результатов разнородных
комплексных геодезических и гравиметрических наблюдений [Панкрушин
(1991, 1992, 1993, 1994, 1999а, 1999б, 2000, 2002)].
Обратим внимание на высказывание известного ученого в области
интерпретации результатов эксперимента Е.Л. Жуковского (1986):
«Взаимосвязанность этих двух задач – статистической обработки и
интерпретации – является одной из сложнейших и мучительных задач
проблемы автоматизации обработки, интерпретации и моделирования
эксперимента».
Таким образом, познание закономерностей движений геодинамических
систем ГДС «Физическая поверхность Земли (ФПЗ) и внешнее гравитационное
поле Земли (ВГПЗ)» является одной из основных проблем в рамках науки о
геодинамике. Знание закономерностей движений необходимо и в рамках
собственно геодезии – для решения задачи редуцирования во времени
результатов астрономо-геодезических и гравиметрических измерений на
выбранную эпоху при уравнивании геодезических сетей.
Дальнейший прогресс в исследованиях по актуальным проблемам наук о
Земле «Современные движения земной коры (СДЗК)» и «Геодинамика»
связывается с поиском совместного анализа геодезической и геологогеофизической информации, с широким использованием спутниковых систем
определения пространственных координат и аэрокосмической съемки, с
созданием автоматизированных информационных систем [Кафтан, Серебрякова
(1990)].
Как и в других науках, в науках о Земле все большее значение приобретают
методологические проблемы обработки и интерпретации наблюдений
(идентификации) в форме математических моделей изучаемых объектов
(систем, процессов) [Страхов (1989), Садовский, Писаренко (1989), Васильев,
Панкрушин (1987, 1988)]. К важным методологическим проблемам
современной геодинамики в работе [Маслов (1991)] относится «необходимость
развития «проверяемых» тектонофизических моделей, т. е. таких, которые
связывали бы наблюдаемые и измеряемые геофизические величины с теми,
которые непосредственному измерению не поддаются».
В.Н. Страхов (1989) считает, что периодизация, по Д. Гильберту, развития
математики на периоды: наивный, формальный и критический – справедлива
для всех наук, в том числе и для таких «малых», как теория интерпретации
гравитационных и магнитных аномалий. В соответствии с тем смыслом,
который В.Н. Страхов вкладывает в периоды развития, эти периоды можно
отнести и к развитию теории и методики интерпретации геодезических и
геофизических наблюдений во времени за СДЗК и геодинамическими
процессами. Это хорошо прослеживается, в частности, по работам [Кафтан,
Серебрякова (1990), Васильев, Панкрушин (1987, 1988)]; при этом
разграничение периодов по годам может быть выполнено довольно условно, так
как хронологически они в той или иной степени перекрываются.
В первом периоде (30 – 60-е годы XX столетия) повторные результаты
наблюдений за СДЗК интерпретировались в основном в виде смещений точек
земной поверхности, в форме моделей скоростей равномерного движения;
влияние математики в этот период было несущественным. Во втором периоде
(70-е годы) начали использоваться разнообразные математические методы
интерпретации, но при этом не уделялось внимание вопросам адекватности
построенных моделей движений и устойчивости решений.
Основные черты современного (третьего, критического) периода
интерпретации наблюдений за геодинамикой, который начался в 80-е годы,
следующие. Как и при интерпретации гравитационных и магнитных аномалий
[Страхов (1989) и др.], прежде всего, это понимание сложного
интерференционного характера изучаемых геодинамических процессов и
скудной информации об их механизме; необходимости комплексирования
разнородных геодезических, геофизических и геоморфологических методов
наблюдений; проблемы устойчивости в решении некорректных обратных задач,
к которым относится задача интерпретации результатов наблюдений; различия
между этапом построения интерпретационной модели и этапом ее
использования, являющегося этапом собственно интерпретации; важности
понятия
математического
моделирования,
конструктивной
роли
общеметодологических позиций, осознание разрыва между теорией и
практикой интерпретации.
К этому следует добавить осознание того, что «имеет место высокая
пространственная и временная организация лика планеты» [Маслов (1991)] и,
как следствие, – важности использования системного подхода и системного
анализа; осознание важности выбора адекватного рассматриваемой проблеме
математического аппарата теории динамических систем и многомерных
временных рядов; осознание необходимости доказательства адекватности
(эквивалентности) построенной интерпретационной модели, выполнения
условий наблюдаемости и идентифицируемости изучаемой системы
[Красовский (1987)], возможной смены организации системы, чередования
периодов адаптации и точек бифуркации в развитии системы [Моисеев (1987),
Томпсон (1985), Дмитриенко, Разумовский (1998), Бакай, Сигов (1996)],
необходимости создания автоматизированных систем научных исследований.
Как известно, теория М.С. Молоденского изучения внешнего
гравитационного поля и фигуры Земли обеспечивает принципиальную
возможность нахождения двух функций:
(2.1)
ФПЗ ФПЗ( X ); W W ( X ),
где ФПЗ – физическая поверхность Земли в общеземной геодезической
декартовой системе координат Х = (х, у, z);
W – внешний относительно ФПЗ потенциал ускорения силы тяжести.
В целом системы отсчета координат и гравитации задаются параметрами
планетарной геоцентрической геодезической системы координат (ПГГСК) и
соответствующей ей планетарной геоцентрической гравитационной модели
ПГГМ [Машимов (1991)]. Для определения параметров X, W и некоторых
постоянных параметров модели Земли С выполняются астрономогеодезические, гравиметрические и спутниковые наблюдения Y, результаты
таких наблюдений являются функционалами вида
(2.2)
Y f ( X ,W , C ).
Функции (2.1), (2.2) и их совместное определение относятся к области
трехмерной (по числу пространственных координат) классической (статической
или квазистатической) физической геодезии.
Строгой совместной обработке разнородных наблюдений в статической
физической геодезии посвящен целый ряд работ. В частности, в оригинальной
работе [Нейман, Салин (1985)] отмечается глубокая связь между уравниванием
геодезических сетей и основополагающими разработками М.С. Молоденского
(1950). Л.П. Пеллинен (1978) основной научной задачей геодезии назвал
«…определения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли и их
изменений во времени».
Вводя четвертую координату – время t, переходим к четырехмерной
динамической физической геодезии, в которой вместо (2.1) мы должны
оперировать функциями в следующем виде:
ФПЗ ФПЗ( X , t ); W W ( X , t ) .
При этом системы отсчета координат и гравитации являются
пространственно-временными по отношению к движениям. Движение здесь
понимается в широком смысле – как изменение во времени не только
геометрических, но и физических параметров. Очевидно, что геодезические
функционалы (2.2) должны быть расширены с учетом введения координаты
времени t и возникающих при этом параметров движений и деформаций.
Учитывая появление актуальных проблем наук о Земле «Современные
движения земной коры» и «Геодинамика», М.С. Молоденский (1958) ввѐл
понятия статической, кинематической и динамической геодезии. При этом он
обратил внимание на необходимость различать собственно вертикальные
смещения точек земной поверхности и смещения уровенных поверхностей,
горизонтальные смещения этих точек и изменения направления отвеса во
времени.
Совместное определение параметров движений земной коры и временных
изменений гравитационного поля уже несколько десятилетий является
актуальной задачей геодезии и геофизики. Обзор исследований и разработок в
этом направлении за период 1976 – 1989 годов дан в работе [Кафтан,
Серебрякова (1990)].
2.2. Парадигма теории математического моделирования и
идентификации геодинамических систем
В философии [Энциклопедический словарь (1955)] «Парадигма (гр.
paradeigma – пример, образец) – 1) Строго научная теория, воплощенная в
системе понятий, выражающих существенные черты действительности. 2)
Исходная концептуальная схема, модель постановки проблемы и ее решения,
методов исследования, господствующих в течение определенного периода в
научном сообществе». В физике под парадигмой понимают систему понятий,
категорий, принципов, концепций и законов, определяющих основания и
характер теории [Владимиров (1996)]. В настоящей главе мы используем как
первое, так и второе определение парадигмы. Ниже приведены элементы
принятой нами системы «парадигма»: основных (ключевых) категорий,
понятий, принципов, концептуальных положений, подходов, определяющих
основания и характер разрабатываемой нами теории математического
моделирования
и
идентификации
(физической
интерпретации)
геодинамических систем (объектов, процессов, явлений) по пространственновременным рядам разнородных комплексных геодезических и геофизических
наблюдений.
1. К ключевым категориям относятся три физических категории:
пространство-время, геофизические поля (гравитационное, электромагнитное,
напряженно-деформированного состояния и др.), тела (массы, частицы).
На трех ключевых метафизических физических категориях: пространствовремя, поля переносчиков взаимодействий и тела (массы, частицы),
принимаемых за орты, строится куб физического мироздания, что соответствует
триалистической физической парадигме. Взгляды на физическую реальность с
позиций или в рамках совокупности каких-либо двух категорий из трех
указанных выше ключевых категорий относятся к дуалистическим парадигмам
[Владимиров
(1996)].
Заметим,
что
рассматриваемые
парадигмы
миропонимания имеют отношение как к макромиру, так и к микромиру. Основы
трех дуалистических парадигм и триалистической парадигмы миропонимания
были заложены в метафизике XVII века работами четырех основных школ
классической физики: Р. Декарта, Г. Лейбница, Х. Гюйгенса и И. Ньютона.
Взгляд с позиций такой пары категорий, как пространство-время и поля
переносчиков взаимодействий, соответствует дуалистической парадигме
геометрического миропонимания. Парадигме геометрического миропонимания
соответствует дуалистическая метафизика Р. Декарта. Взгляд с позиций пары –
пространство-время и тела (массы, частицы) – к дуалистической парадигме
реляционного миропонимания. Дуалистическая метафизика Г. Лейбница
соответствует реляционному миропониманию. Взгляд с позиции пары –
частицы (тела) и поля переносчиков взаимодействий – относится к
дуалистической парадигме физического миропонимания. Основы физического
миропонимания были заложены в метафизике Ч. Гюйгенса.
Триалистическая парадигма миропонимания в метафизике И. Ньютона
обобщила в себе достижения физических школ Р. Декарта, Г. Лейбница и Х.
Гюйгенса. «Второй
закон Ньютона


ma
F
имеет глубокое метафизическое звучание – его можно считать символом
триалистической парадигмы, так как им связываются характеристики именно
трех физических (метафизических) категорий: пространства и времени


(ускорение a ), частиц (масса m ) и полей переносчиков взаимодействий (сила F ).
Анализ отдельных слагаемых во втором законе Ньютона показал, что они
имеют смысл лишь в неразрывной связи друг с другом» [Владимиров (1996)]. К
теории математического моделирования и идентификации геодинамических
систем «Физическая поверхность и геофизические поля Земли» и к теории
динамической физической геодезии прежде всего имеют отношения две первых
из указанных дуалистических парадигм – геометрического миропонимания и
реляционного миропонимания, а также триалистическая парадигма
миропонимания.
Как известно, целесообразность использования геометрии в качестве
математической модели для описания физики основана на сопоставлениях трех
примитивов
(исходных,
не
определяемых
элементарных
понятий,
подчиняющихся системе аксиом) геометрии трем физическим категориям.
Имеются в виду следующие сопоставления (соответствия) трех примитивов
геометрии и трех физических категорий:
1. точка (трактуемая как точка-событие) – категория частиц (тел);
2. интервал (метрика, расстояние) – категория полей переносчиков
взаимодействий;
3. топологические множества – категория пространства-времени.
Обосновывая в физике первое сопоставление, замечают, что в событиях
обязательно участвует какая-либо частица (тело); обосновывая второе
сопоставление, обращают внимание на описание гравитационного
взаимодействия через компоненты метрического тензора. Например,
метрический тензор трехмерного евклидова пространства входит в уравнение
Лапласа для скалярного гравитационного потенциала с источником.
Согласно так называемой реляционной концепции пространства и времени,
пространство и время описывают лишь отношения между материальными
объектами (событиями) и не имеют права на самостоятельное существование
при отсутствии материальных объектов (событий) [Владимиров (1996)]. В
работе [Панкрушин (2002)] аппроксимация гравитационного поля в
пространстве-времени аномалиеобразующими телами (масконами) выполнена
в определенной степени в рамках реляционного миропонимания.
Последующий переход в этой работе от оценок аномальных масс к оценкам
параметров гравитационного поля, очевидно, может рассматриваться как
переход в рамки геометрического миропонимания.
Развитием реляционного миропонимания является теория физических
структур и бинарной геометрофизики [Кулаков (1968), Кулаков, Владимиров,
Карнаухов (1991)]. Указанная теория носит монистический характер. В ее
основе нет трех ключевых физических категорий: классического пространствавремени, полей переносчиков взаимодействий, частиц (тел); она опирается
только на одну категорию – категорию физической структуры. В разделе 2.3.1
мы коснемся своеобразия этой теории (бинарных физических структур) на
известном примере таких понятий, как масса и сила (во втором законе
Ньютона) и фундаментальная симметрия, имеющих отношение к анализу
тонкой структуры геодинамических процессов.
В работе [Вигнер (1971)] обращается внимание на «соотношение между
тремя категориями, играющими фундаментальную роль во всех естественных
науках: явлениями, служащими сырьем для второй категории – законов
природы, законами природы и принципами симметрии. Что касается
последних, то я склонен отстаивать тезис о том, что для них сырьем служат
законы природы». Принципы симметрии (или инвариантности) подразделяются
на геометрические и динамические. Все это имеет отношение, в частности, к
принципам симметрии (инвариантности) ньютоновской механики, уравнения
которой используются при математическом моделировании геодинамических
процессов.
К
ключевым
принципам
относится,
прежде
всего,
принцип
относительности. В соответствии с этим принципом, например, понятие
системы отсчета принципиально отличается от понятия системы координат; в
одной и той же системе отсчета могут быть приняты разные системы координат.
Принцип относительности имеет место в зависимости временного и
пространственного масштабов. К ключевым подходам относятся также
структурно-системный,
информационный,
фрактальный,
подходы
к
математическому моделированию и др.
К ключевым понятиям относятся такие понятия, как физическая
поверхность Земли, гравитационное поле Земли, сложная система,
геодинамическая система (объект, процесс, явление), вектор состояния,
пространство, время, пространство-время, пространство состояний, фазовое
пространство, идентификация систем, многомерные пространственновременные ряды, самоорганизация, синергетика, фракталы, бифуркация,
динамический хаос, детерминированный хаос, случайные функции,
корреляционные функции и др. Заметим, что некоторые понятия (например,
гравитационное поле, пространство-время) относятся к ключевым категориям.
Эйнштейн,
рассматривая
взгляды
Декарта,
отождествлявшего
пространство с субстанцией, писал: «Декарт был не так далек от истины, когда
полагал, что существование пустого пространства должно быть исключено. Эта
точка зрения действительно казалась абсурдной до тех пор, пока физическую
реальность видели исключительно в весомых телах. Потребовалась идея поля,
чтобы показать истинную сущность идеи Декарта: не существует пространство,
«свободное от поля» [Энштейн (1966)].
К вышесказанному добавим, что при формировании предпосылок любой
разрабатываемой теории имеет место взаимная обусловленность трех ключевых
факторов: математического аппарата (логической стороны), физического
осмысления и эксперимента. Интересно, что в известном выступлении Германа
Минковского в 1908 году на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и
врачей о пространстве и времени имеют место все три указанные ключевые
факторы. Г. Минковский заявил: «Милостивые господа! Воззрения на
пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на
экспериментально-физической основе. В этом их сила. Их тенденция
радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе должны
обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен
сохранить самостоятельность» [Минковский (1973)].
2. Геодинамика является наукой о силе и движении, которые
обуславливают эволюцию Земли. Геодинамические объекты (процессы,
явления)
рассматриваются
как
сложные
открытые
нелинейные
геодинамические системы (ГДС) – глобальные (планетарные), региональные и
локальные. При этом они организованы как иерархические многоуровневые
системы [Месарович, Мако, Такахари (1973), Панкрушин (1985)].
В локальные ГДС могут включаться объекты: инженерной геодинамики,
состоящие из двух подсистем – инженерные сооружения и геологогеофизическая среда; горные массивы, находящиеся под воздействием
тектонических и техногенных процессов (выработка полезных ископаемых и
горных пород с образованием пустот под земной поверхностью);
технологическое оборудование; механические системы; физические установки;
радиотехнические комплексы, эталонные устройства контроля и качества
измерительной техники (т. е. устройств в области метрологии) и др.
Структура ГДС (объекта) состоит из двух основных взаимосвязанных
подсистем одного уровня иерархии – физической поверхности Земли (ФПЗ) и
внешнего гравитационного поля Земли (ВГПЗ) во времени. В более общей
постановке ГДС могут включать в себя пространственно-временные
неоднородности геосфер – литосферы, атмосферы, гидросферы, а также
геофизических полей (имеющих некоторую связь с гравитационным полем) –
электромагнитного и напряженно-деформированного состояния [Панкрушин
(2002)].
В моделях геодинамических объектов и систем наблюдений должны
учитываться как детерминированные, так и стохастические воздействия
(возмущения) внешней среды.
ГДС являются системами с распределенными параметрами, то есть с
параметрами, зависящими как от времени t, так и от пространственных
координат X(x, y, z). В соответствии с этим, результаты наблюдений и
параметры геодинамических систем рассматриваются как многомерные
пространственно-временные ряды.
Следует учитывать, что наблюдения за ГДС выполняются в
гравитационном поле, параметры которого в точках ФПЗ изменяются во
времени как вследствие движений и деформаций ФПЗ, так и собственных
движений уровенных поверхностей потенциала силы тяжести и изменений
положений отвесных линий, обусловленных перераспределением масс, лунносолнечными приливами и другими факторами.
3. Процесс моделирования и идентификации ГДС по результатам
разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений
относится к классу сложных систем с природными компонентами. Таким
системам присущи следующие характерные свойства [Полищук (1992)]:
отсутствие общих теорий, позволяющих определять свойства
компонентов и в целом общих систем;
необходимость проведения исследований методами разных наук и, как
следствие, – разнотипность информации, которую необходимо использовать
при проектировании;
неполнота априорной информации об объекте (априорная
неопределенность);
невозможность проводить активные эксперименты;
многомерность системы (объекта), то есть большое число параметров;
иерархичность многоуровневой структуры системы;
пространственная неоднородность и временная нестационарность
параметров системы;
динамичность системы (объекта);
контринтуитивность поведения системы, то есть реакции на
воздействие окружающей среды могут происходить иным образом, чем это
ожидается интуитивно.
4. Задача идентификации ГДС по результатам разнородных комплексных
геодезических и геофизических наблюдений относится к обратным задачам
математической физики, которые в общем случае являются некорректными
[Тихонов, Арсенин (1979), Лаврентьев, Романов, Шишатский (1980)]. В
частности, в работе [Лаврентьев, Романов, Шишатский (1980)] показано, что
задача интерпретации данных гравиметрических измерений приводит к
некорректной задаче Коши для уравнения Лапласа.
Так как интерпретация разнородных комплексных геодезических и
геофизических наблюдений выполняется в условиях неполной априорной
информации о тектонофизических свойствах исследуемого объекта и внешних
возмущающих воздействиях, идентификация ГДС рассматривается в широком
смысле – как определение не только оценок параметров, но и адекватной
пространственно-временной структуры модели ГДС.
При изучении геодинамики и нефтегазоносных территорий актуальной
является проблема разработки системы интерпретации минимально
необходимого комплекса сопряженных разнородных данных: геодезических
наземных и спутниковых методов; наземных, подземных и спутниковых
геофизических методов; методов аэрокосмического дистанционного глубинного
зондирования.
5. Моделирование ГДС выполняется в пространстве состояний (фазовом
пространстве) с заданным (или определенным в результате идентификации)
эволюционным оператором F(X, t) теории динамических систем и управления
[Неймарк, Коган, Савельев (1985), Красовский (1987)].
6. На первом шаге моделирования должна быть выполнена так
называемая в физике арифметизация (паспортизация) пространства-времени.
Целью этой операции является описание пространственно-временного
многообразия физического пространства и упорядочение событий по числу
необходимых координат. При этом должна быть выполнена арифметизация не
точек пространства-времени «самих по себе», а арифметизация реальных
событий, т. е. неопределенные операции с пустотой на основе только положений
геометрии исключаются. Следовательно, арифметизация реальных процессов в
пространстве-времени требует обращения к физике, к материальным процессам
[Блохинцев (1971)].
7. При построении альтернативных моделей закономерностей движений
и деформаций ГДС, наряду с моделями неоднородностей (блоков)
геофизической среды [Садовский, Писаренко (1989), Панкрушин (1992),
Панкрушин, Васильев (1985б)], используются интегро-дифференциальные
операторы и модели тел теории сплошных сред – Кельвина, Максвелла, Фойхта
и их комбинации, [Магницкий (1965), Каратаев, Панкрушин, Щеглов (1967),
Панкрушин (1972), Панкрушин (2002)], модели поля напряжений-деформаций
[Ландау, Лифшиц (1988), Соболев, Пономарев (2003)]. Для пространственновременной аппроксимации аномального гравитационного поля рационально
использовать понятия аномалиеобразующих тел (АОТ) [Данилов (1996)],
точечных аномальных масс и масконов (mass concentration) [Бровар (1983),
Мещеряков (1991)].
8. Оптимальную обработку результатов наблюдений и оценивание
параметров движений и деформаций ФПЗ и изменений во времени ВГПЗ
модели ГДС необходимо вести совместно. В случае декомпозиции решения этой
задачи следует выполнять операцию по обновлению и адаптации модели
[Панкрушин, Тетерин (1983), Васильев, Гиниятов, Панкрушин (1984),
Панкрушин, Гиниятов (1988)].
Важным вопросом при проектировании автоматизированной системы
обработки и интерпретации наблюдений является выбор устойчивого метода
решения задачи. Известно, что в общем случае традиционный МНК не является
устойчивым [Тихонов (1982), Тихонов, Большаков, Нейман (1980), Яненко,
Преображенский, Разумовский (1986)]. Кроме того, метод решения должен быть
рациональным с точки зрения реализации вычислений на ЭВМ; как известно,
рекуррентная форма алгоритма является в этом отношении наиболее
эффективной.
Рекуррентные алгоритмы получили широкое распространение и потому,
что они не требуют знания градиента средних потерь (как критерия
оптимальности решения задачи параметрической идентификации), а
используют текущую информацию, которая содержится в результатах
наблюдений [Цыпкин (1984)]. В частности, адекватным математическим
аппаратом в этом отношении является рекуррентный адаптивный алгоритм
фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ) [Kalman, Bucy (1961), Калман, Фалб, Арбиб
(1971), Сейдж, Мелс (1976), Леондес (1980), Льюнг (1991)].
Рекуррентный алгоритм фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ) является
адекватным математическим аппаратом для решения задачи идентификации в
широком смысле ГДС с пространством состояний [Сейдж, Мелс (1976),
Леондес (1980), Панкрушин (1994)]. Алгоритм ФКБ дает несмещенные оценки
параметров; при этом он обладает регуляризирующим характером получаемых
по нему оценок параметров состояний, что очень важно при решении обратных
некорректных задач [Васильев, Васильева (1982)].
Адаптивный ФКБ с использованием последовательного симплексного
метода позволяет выполнять настройку геодинамической модели ГДС
[Васильев, Панкрушин (1986), Панкрушин (1994), Панкрушин (2002)].
В алгоритм обработки и интерпретации наблюдений необходимо включать
операцию по выбору адекватной модели объекта на основе статистических
критериев согласованности модели с результатами наблюдений, в частности, на
основе F-критерия [Васильев (1985), Васильев, Панкрушин (1987), Панкрушин,
Васильев (1985б)]. Заметим, что при этом адекватность модели определяется
лишь в относительном смысле, т. е. одна модель лучше другой в смысле
некоторого критерия.
9. В настоящей работе используется методология системного подхода или
системно-структурного подхода [Новик (1963)], системного анализа и
системного синтеза. При этом центральными понятиями являются понятия
«система» и «модель», которые рассматриваются как парные категории.
Системно-структурный подход обусловливает включение в структуру
системы не только пространственных, но и временных отношений ее
геометрических и геофизических элементов, включение как детерминированных,
так и стохастических возмущающих воздействий внешней среды на
геодинамический объект и на систему наблюдений.
Конструктивная реализация системного подхода базируется на теории и
методах системного анализа, основой которого является построение
альтернативных математических моделей, выбор из них адекватной в
функциональном смысле отражения системы и целевое управление объектом и
системой наблюдений за ним [Клиланд, Кинг (1974), Леондес (1980), Моисеев
(1981), Сейдж, Уайт (1982), Виллемс (1989), Фрадков (1990)]. Системный
синтез, как известно, позволяет из множества переменных параметров выделить
именно те, на основе которых можно принимать решения.
Системно-структурный подход в нашей работе заключается прежде всего в
том, что как подсистемы единой сложной геодинамической системы «ФПЗ и
ВГПЗ» рассматриваются в аспекте решения задач проблемы моделирования и
идентификации следующие блоки:
1) собственно геодинамическая система (объект, процесс, явление) «ФПЗ
и ВГПЗ»;
2) система разнородных комплексных наземных и спутниковых
геодезических и геофизических наблюдений в пространстве и времени;
3) блок автоматизированной обработки результатов наблюдений и их
интерпретации (моделирования и идентификации геодинамического объекта);
4) блок априорной информации (банки данных, базы знаний);
5) блок принятия решений и управления (проектирования и
корректирования системы разнородных комплексных наблюдений в
пространстве и времени и их математической обработки, управления
динамическим объектом, в частности, объектом инженерной геодинамики).
Как исходная концептуальная схема, как модель постановки проблемы и ее
решения, на рис. 2.1 приведена структурная блок-схема идентификационного
эксперимента при исследовании геодинамических систем с использованием
адаптивного рекуррентного фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ) [Панкрушин
(2002)].
Система наблюдений, обработки и интерпретации
ε(X,t)
(X,t)
X̂ R ( X ,t )
(X,t)
X̂ R ( X ,t / t 1 )
Y(X,W,t)
Геодинамический
объект
Сеть
пунктов
наблюдений
Наблюдения
(приборы,
методы)
XR(X,t)
Адаптация
и управление
(анализ, принятие
решений)
Обработка и
интерпретация
наблюдений
Априорная
информация
(банки данных,
базы знаний)
K Xˆ R ( X , t )
K Xˆ R ( X , t / t 1)
Рис. 2.1. Структурная блок-схема идентификационного эксперимента при
исследовании геодинамических систем с использованием адаптивного
рекуррентного фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ)
На рис. 2.1. Θ ( X , t ) и
( X , t ) – векторы соответственно
детерминированных и стохастических воздействий внешней среды на объект
(процесс); X R ( X , t ) – расширенный вектор параметров модели ГДС,
оптимальную оценку которого необходимо определить (идентифицировать) по
пространственно-временным рядам результатов комплексных геодезических и
геофизических наблюдений Y ( X , t ) , содержащих ошибки (шумы) ( X , t ) .
Алгоритм ФКБ позволяет определять оптимальные в смысле критерия
минимума обобщенной дисперсии текущие оценки расширенного вектора
параметров состояния ГДС Xˆ R ( X , t ) , а также одношаговые прогнозные
фоновые оценки (условное математическое ожидание) этого вектора
F ( X , t ){ X R ( X , t 1), C ( X , t ), ( X , t )}
Xˆ RF ( X , t / t 1)
с
K XR ( X , t )
соответствующими
ковариационными
матрицами
и
K XR ( X , t / t 1) . Здесь F ( X , t ) – эволюционный оператор ГДС; строчный
индекс t / t 1 обозначает одношаговый прогноз на эпоху t по всем
наблюдениям до эпохи t 1 включительно.
В соответствии с приведенной блок-схемой (рис. 2.1), выполняется
синтезирование алгоритмов построения математических моделей ГДС в
пространстве состояний, параметрической идентификации (оптимального
оценивания параметров) и структурной идентификации, адаптации и
управления. При этом прежде всего решаются вопросы принципиальной
возможности
реализации
указанных
операций
для
построенных
альтернативных моделей закономерностей конкретной исследуемой ГДС и
модели системы наблюдений. Решения принимаются на основе исследования
таких свойств систем, как наблюдаемость, идентифицируемость,
адаптируемость и управляемость [Калман (1971), Красовский (1978), Воронов
(1979), Сейдж, Уайт (1982), Уидроу, Стирнз (1989), Фрадков (1990)].
В аспекте информационной технологии конечным продуктом решения
рассматриваемой
проблемы
является
создание
динамических
геоинформационных систем (ДГИС) [Панкрушин, Нгуен Данг Ви и др. (1997),
Панкрушин (1997)]. При этом разработки моделей состояний объектов и
уравнений наблюдений, алгоритмов их обработки и интерпретации,
выполненные для ядра ДГИС, применимы и для обычных пространственных
ГИС (как частный случай, когда время t = const).
Такой аспект задачи позволяет обосновать концепцию общности
методологических и теоретических основ решения задач в пространстве
состояний для ДГИС и систем оптимального управления как пространственновременной структурой и функционированием сложных объектов (земельных,
территориальных,
разработки
полезных
ископаемых,
социальноэкономических, геоэкологических и др.) по выходным данным ДГИС об этих
объектах, так и самими ДГИС.
10. Актуальной междисциплинарной, общенаучной и интегративной
проблемой является проблема «самоорганизации» [Пригожин, Стенгерс (1986),
Моисеев (1987), Дмитриенко, Разумовский (1998), Томпсон (1985)] При этом
исследуется самоорганизация в природе, технике, обществе, философии,
экономике, политологии, образовании и культуре. К самоорганизующимся
относятся, в частности, системы информационных процессов, мониторинга,
экологического прогноза, технологии, включая информационные технологии.
Самоорганизация происходит в результате спонтанного, совместного,
коллективного действия подсистем, образующих систему.
В области геодезии в комплексе с другими науками о Земле (геологией,
геофизикой, геоморфологией) к самоорганизующимся сложным системам
(объектам, явлениям, процессам) относятся нелинейные геосистемы
(глобальные, региональные, локальные) – «Физическая поверхность и
геофизические поля Земли», изучаемые как в статике (нелинейные
геоквазистатические системы), так и в динамике – нелинейные
геодинамические системы. Нелинейная геодинамика развивается уже более
десяти лет [Гамбурцев (1994)].
Для проблемы геодинамики представляют интерес следующие положения
синергетики – «нелинейной науки» о самоорганизующихся системах [Хакен
(1981), Пригожин (1984), Разумовский, Хазов (1998)]: открытость систем;
нелинейность, обусловленная как нелинейностью поведения системы, так и
нелинейностью параметров геолого-геофизической среды; самоорганизация и
самодостраивание структуры системы; эволюционирование неравновесных,
неустойчивых структур; неоднозначность (ветвление) путей эволюции систем
через точки бифуркации; возможность катастроф в результате малых случайных
воздействий; порядок через флуктуации; концепция конечного, небольшого
числа параметров порядка («ключевых переменных»), которые подчиняют все
остальные степени свободы и определяют поведение системы. Представляют
интерес в аспекте моделирования и идентификации положения синергетики о
различии сложного и случайного движений [Бакай, Сигов (1996)]. «Проблема
идентификации динамических объектов – одна из центральных проблем
кибернетики» [Цыпкин (1984)].
О.С. Разумовский, М.Ю. Хазов (1998) рассматривают синергетику как
современный этап развития идей кибернетики и системных исследований. Но
если для кибернетики стержневыми понятиями являются понятия
«информация» и «информационный подход», то для синергетики главными
являются вопросы об организации и самоорганизации объекта.
Отмечается следующее различие между кибернетикой и общей теорией
систем с одной стороны и синергетикой – с другой. Первые изучают в основном
процессы поддержания равновесия (гомеостаза) посредством обратной связи.
Синергетика исследует возможные направления дальнейшей эволюции системы
(объекта) в точках ветвления решений (точках бифуркации); при этом
обращается внимание на существенную конструктивную роль случайных
вариаций (флуктуаций).
Авторы работы [Разумовский, Хазов (1998)] обращают внимание на
важное (в частности, для нашей проблемы идентификации геодинамических
систем с относительно небольшими флуктуациями движений) обстоятельство:
«Если флуктуация недостаточно велика, то система вернется к прежней
равновесной структуре, «скатится» на тот же самый аттрактор, как говорят
математики. Стало быть, процессы гомеостатического характера охватываются
синергетикой как один из частных случаев в сфере ее исследования».
11. На основе проявляющейся в геометрии троичности (примитивов и
блоков аксиом) и совокупности с другими ее проявлениями в физике
формулируется принцип фрактальности, который заключается в том, что
каждая выделенная из целого физическая категория (часть) в каком-то смысле
подобна целому. Таким образом, в триалистической парадигме каждая из
физических категорий может представляться тремя составными частями,
которые соответствуют трем категориям.
Перспективным для решения проблемы идентификации ГДС является
использование положений и понятий теории фракталов, степенных законов,
динамического и детерминированного хаоса [Пайтген, Рихтер (1993), Шредер
(2001), Шустер (1988)] к моделированию и исследованию геодинамических
процессов, в частности, склонов земной поверхности, вулканов и техногенных
образований – терриконов, насыпей и т. п. [Панкрушин (1997), Литвин, Лялин,
Пивен (1998)].
Фрактальный подход связывается с моделированием и идентификацией
нелинейных комплексных динамических систем; в нашей работе – с
моделированием комплексных ГДС «Физическая поверхность и внешнее
гравитационное поле Земли» с пространством состояний. В этом случае в
структуру модели нелинейной комплексной ГДС мы включаем величины в
комплексной области или комплексные многочлены с последующим
использованием множеств Жюлиа и Мандельброта [Пайтген, Рихтер (1993)].
При исследовании тонкой структуры динамических процессов эффективным
является использование понятий детерминированного хаоса и фрактальной
корреляционной размерности [Шустер (1988)].
Хаос является внутренним свойством нелинейной динамической системы,
и не только систем с большим числом степеней свободы (как еще недавно было
принято считать) [Аршинов, Буданов (2002), Глейк (2001)]. Хаос вызывает
катастрофу или кризис. При исследовании тонкой структуры катастрофы
(кризиса) выделяют три этапа: 1) погружение в хаос, 2) бытие в хаосе, 3) выход
из хаоса – самоорганизация. Понятие хаоса связано с понятием бифуркаций
теории катастроф. В точке бифуркации состояние системы из неустойчивого
скачком переходит на новую устойчивую ветвь (траекторию).
На определенном этапе развития дерева бифуркаций (этапа возникновения
так называемого странного аттрактора) наступает стадия динамического хаоса.
Эта стадия несет в себе такое богатство возможных структур, отслеживание
траекторий которых становится очень сложным или невозможным. Поэтому с
целью исследования таких структур используется математический аппарат
статического описания: вероятностное распределение, корреляционные
функции, энтропия Колмогорова.
Использование для анализа тонкой структуры скоростей вертикальных
современных движений земной коры (СДЗК) распределения длин полуволн,
корреляционных функций и связанных с ними структурных функций
Колмогорова было предложено и показано в наших работах [Панкрушин (1972а,
1972б, 2002)]. Энтропия Колмогорова K является показателем того, насколько
быстро увеличивается во времени расстояние между точками аттрактора
динамической системы при задании точности ее состояния в виде
относительной ошибки. Характерное время 1
K является интервалом времени
возможного прогноза состояния системы или, по работе [Соболев, Пономарев
(2003)], «временем детерминированного поведения динамической системы».
Таким образом, энтропия Колмогорова является характеристикой быстроты
увеличения неопределенности прогнозирования поведения системы.
В режимах так называемых невычислимых систем траектории заполняют
геометрические объекты фрактальной природы. Многообразия таких объектов
задаются не алгебраическими уравнениями, а итерационной процедурой.
Фракталы являются типичными стохастическими структурами на странных
аттракторах. Они допускают статистическую интерпретацию и вместе с тем
имеют аналитическое происхождение и сколь угодно богатую геометрическую
структуру на любом масштабе, для которой характерен принцип самоподобия.
При уменьшении масштабов аэрокосмической съемки и, следовательно,
увеличении степени генерализации скачкообразное уменьшение фрактальной
размерности изображений ландшафта будет служить индикатором перехода к
идентификации геолого-геофизических структур более глубинных уровней
иерархии системы дистанционного зондирования.
Понятия самоорганизации, синергетики, фракталов, динамического и
детерминированного хаоса влияют на формирование современной научной
картины мира.
В соответствии с парадигмой синергетики и самоорганизации [Аршинов,
Буданов (2002)], чрезвычайно большая сложность геодинамических систем
(объектов, процессов, явлений) обусловлена не столько сложным устройством
этих систем, не числом их степеней свободы и даже не внешними
стохастическими воздействиями, а начальными условиями движения и
неустойчивостью.
Методы теории нелинейной динамики, динамического хаоса позволяют
устанавливать для нелинейных систем число переменных, необходимых для
описания этих систем, для организации их мониторинга, и число переменных,
необходимых для прогнозирования. Числа таких переменных имеют порядок не
более десяти.
Положения теории нелинейной динамики и использование степенных
законов (зависимостей, распределений) позволили существенно продвинуться
в решении проблемы управления рисками и прогноза редких катастрофических
событий [Малинецкий, Курдюмов (2002)]. Заметим, что такие сложные
геодинамические системы, как разломы земной коры, изучаемые в аспекте
землетрясений, моделируются известным степенным законом Рихтера –
Гутенберга.
Рекуррентный (итерационный) характер оценивания расширенного
вектора параметров состояния ГДС Xˆ R ( X , t ) и его ковариационной матрицы
Kˆ XR ( X , t ) по алгоритму фильтра Калмана – Бьюси [Панкрушин (2002)],
влияние заданных начальных оценок (условий) состояния системы, влияние
стохастических воздействий внешней среды на геодинамический объект и на
систему наблюдений дают основания для применения следующих подходов к
исследованиям тонкой структуры геодинамических процессов.
Во-первых, подхода с позиций теории случайных функций и случайных
полей; во-вторых, учитывая связь итераций с фрактальностью, подхода с
позиций теории фракталов, в частности, с позиций анализа поведения
фрактальной корреляционной размерности D2 . В соответствии с теорией
мультифракталов и детерминированного хаоса, имеется связь парной
корреляционной функции с фрактальной корреляционной размерностью объекта
[Божокин, Паршин (2001)].
В соответствии с первым подходом, выполняется анализ поведения ГДС во
времени и в пространстве с помощью корреляционных функций или
взаимосвязанных с ними структурных функций Колмогорова [Панкрушин
(2002)]. В соответствии со вторым подходом, вычисляется фрактальная
корреляционная размерность D2 либо непосредственно по эмпирическим
пространственно-временным рядам оценок параметров движений ГДС (через
корреляционный интеграл), либо по корреляционным и структурным функциям
этих рядов (учитывая связь этих функций с D2 . Анализ последовательности
оценок фрактальной корреляционной размерности позволяет отличать
(идентифицировать)
детерминированный
хаос,
порожденный
неким
детерминированным процессом, от случайного шума [Шустер (1988), Шредер
(2001)].
12. При идентификации (распознавании образов) сложных систем
используются как параметрический, так и непараметрический подходы
[Гренандер (1979, 1981, 1983), Льюнг (1991), Воронин, Черемисина (2003),
Панкрушин (2002), Панкрушин, Мазуров (1991), Соболев, Пономарев (2003),
Медведев (1986, 2003)]. К непараметрическому подходу относятся, в частности,
такие анализы, как корреляционный, частотный, гармонический анализ Фурье,
фликкер-шумовая спектроскопия, вейвлет-анализ, кластерный анализ.
2.3. Подходы к математическому моделированию закономерностей
движений геодинамических систем
При математическом моделировании структуры геодинамической системы
в пространстве состояний могут быть использованы следующие подходы,
входящие в арсенал параметрических методов идентификации сложных систем и
интерпретации экспериментов [Льюнг (1991), Моисеев (1981), Айламазян,
Стась (1989), Васильев, Панкрушин (1987, 1988)].
2.3.1. Построение моделей и идентификация систем с физической точки
зрения
Построение моделей и идентификация систем с физической точки зрения
основывается на непосредственном анализе физических процессов, на знании
их механизма, на использовании законов физики, в частности, сохранения
момента импульса, энергии, симметрии (инвариантности) и др.
В работе [Тамразян (1988)] перераспределение момента количества
движений обусловливает изменение скорости вращения Земли. Построенная на
основе такого подхода механико-математическая модель структуры системы
будет теоретической. После определения с некоторой точностью оценок
параметров этой модели по результатам наблюдений она будет являться
полуэмпирической [Айламазян, Стась (1989)].
В соответствии с указанным подходом, строятся модели напряженнодеформированного
состояния
геодинамических
объектов
[Каратаев,
Панкрушин, Щеглов (1967)], модели изменений во времени гравитационного
поля, обусловленных приливными явлениями [Цубои (1982)], движениями
полюсов [Heck, Malzer (1986)], оттоком магмы из очага вулкана [Ефимов,
Демин (1979)], изменениями атмосферного давления, уровней и объемов
водохранилищ.
Для рассматриваемого подхода механико-математического моделирования
важны следующие положения, изложенные в работе лауреата Нобелевской
премии Е. Вигнера [Вигнер (1971)]. «Мир очень сложен, человеческий разум
явно не в состоянии полностью постичь его. Именно поэтому человек придумал
искусственный прием – в сложной природе мира винить то, что принято
называть случайным, – и таким образом смог выделить область, которую можно
описать с помощью простых закономерностей. Сложности получили название
начальных условий, а то, что абстрагировано от случайного, – законов природы.
Законы природы обладают структурой, называемой нами принципами
инвариантности. …Законы природы не могли бы существовать без принципов
инвариантности. …Если бы корреляции между событиями менялись день ото
дня и были бы различными для разных точек пространства, то открыть законы
природы было бы невозможно.
Таким образом, инвариантность законов природы относительно сдвигов
в пространстве и времени служит почти необходимой предпосылкой того, что
мы можем открывать корреляции между событиями, т. е. законы природы.
Элементы поведения, не определяемые законами природы, называются
начальными условиями. Вместе с законами природы начальные условия
определяют поведение настолько, насколько его можно определить; любое
сужение допустимых границ поведения всегда можно рассматривать как
наложение дополнительных начальных условий.
Именно в четком разделении законов природы и начальных условий и
состоит удивительное открытие ньютоновского века. Первые обладают
немыслимой точностью, о вторых практически ничего не известно…
Именно переход с одной ступени на другую, более высокую – от явлений
к законам природы, от законов природы к симметрии, или принципам
инвариантности, – представляет собой то, что я называю иерархией нашего
знания об окружающем мире».
Далее Е. Вигнер обращает внимание на то, что принципы инвариантности
подразделяются на старые, надежно установленные, геометрические принципы
и новые – динамические. «Геометрические принципы инвариантности, хотя
они и наделяют структурой законы природы, формулируются в терминах
самих явлений. Так, надлежащая формулировка инвариантности относительно
сдвигов во времени гласит: корреляции между событиями зависят только от
промежутков времени, разделяющих события, но не от момента времени,
когда происходит первое событие. …Новые же, динамические, принципы
инвариантности формулируются в терминах законов природы. Они скорее
относятся к тем или иным типам взаимодействия, чем к какой бы то ни было
корреляции между событиями».
Как мы уже отмечали в предыдущем разделе, для анализа тонкой
структуры геодинамических процессов представляет интерес новый взгляд на
второй закон Ньютона с позиций реляционной концепции и теории бинарной
физической структуры Ю.И. Кулакова [Кулаков (1968), Кулаков, Владимиров,
Карнаухов (1991), Кузнецов (2002)].
Как уже отмечалось в разделе 2.2, в соответствии с триалистической
парадигмой миропонимания, второй закон Ньютона записывается в следующей
форме:


ma F ,


где m – масса; a – вектор ускорения; F – вектор силы.
Второй закон Ньютона может быть записан в другой, реляционной форме,
которая будет содержать только отношения между телами и ускорителями
(силами). Переход к реляционной форме выполняется следующим образом.
Ограничиваются одномерным случаем и для некоторого тела с номером i ,
которое ускоряется под действием силы F , записывают второй закон Ньютона
в скалярной форме:
mi i
F .
Выбирая две произвольные массы mi и mk и две произвольные силы F и
F , записывают для всех комбинаций из этих двух масс и сил четыре уравнения
Ньютона:
mi i
F ; mk k
F ;
mi i
F ; mk k
F .
Из этих четырех уравнений следует реляционная запись алгебраического
соотношения:
i
k
i
0
k
i
i
k
k
0,
которая представляет второй закон Ньютона в реляционной форме.
Здесь величины с соответствующими парными индексами представляют
собой числа-отношения между элементами (точками) i и , k и
и т. д. Ю.И.
Кулаковым были сформулированы законы в форме алгебраических
соотношений, связывающих друг с другом указанные выше числа-отношения
[Кулаков (1968), Кулаков, Владимиров, Карнаухов (1991)]. Так как полученное
выше алгебраическое соотношение справедливо для любого набора из двух масс
mi и mk и любого набора из двух сил (ускорителей) F и F , оно обладает
фундаментальной симметрией и понимается как закон бинарной физической
структуры. Рангом этого закона считают совокупность из двух чисел, т. е. 2,2.
Очевидно, здесь имеет место принцип динамической инвариантности
(симметрии).
Из приведенной реляционной записи алгебраического соотношения
(второго закона Ньютона в реляционной форме), рассматриваемого как
первичный закон, можно вернуться к скалярной форме второго закона Ньютона,
представив парное отношение i в следующем виде:
(i ) (i ) ,
i
где
ψ (i )
1
;
mi
( )
F
i
F
.
mi
В этих выражениях ψ (i ) – некоторый параметр (характеристика),
сопоставленный с каждым элементом первого множества, т. е. с телами; ( ) –
некоторый параметр, сопоставленный с каждым элементом второго множества
(силами). Учитывая приведенные обозначения, возвращаемся к скалярной
форме второго закона Ньютона:
i
F
.
mi
Реляционный подход Кулакова проясняет смысл понятий массы и силы. С
позиции теории бинарных структур, понятия массы и силы имеют характер
лишь параметров или своеобразных координат элементов двух множеств.
Пониманию значения теории физических структур Ю.И. Кулакова
помогает следующее высказывание Нобелевского лауреата, академика
И.Е. Тамма: «В рамках теории физических структур по-новому осмысливается
проблема единства мира, – у современных ученых еще силен искус решения
этой проблемы в субстанциалистическом духе. Однако не исчерпал ли себя
этот подход? С точки зрения теории физических структур, более
перспективно искать не исходную «первоматерию», а исходные
«первоструктуры», такая переформулировка проблемы единства мира
представляется нам несравненно более преимущественной и в логическом, и в
естественно-научном отношении …в рамках теории физических структур
интереснейшая проблема (единства мира) решается со всей полнотой, ибо
здесь осуществляется переход от уровня уравнений к уровню
фундаментальных структур; лежащие в их основе отношения могут
изоморфно проявляться на разных уровнях организации материи» [Кулаков,
Владимиров, Карнаухов (1991)].
2.3.2. Построение эмпирических моделей, аппроксимирующих
экспериментальные наблюдения о зависимости параметров
состояния от влияющих на них факторов
Необходимость в этом подходе обусловлена отсутствием сведений о
внутреннем механизме сложной системы и, следовательно, невозможностью
построить в настоящее время теоретическую модель. Методологической
основой такого построения является функциональный подход или метод
«черного ящика» в кибернетике.
Таким образом, при построении математической модели с позиций
«черного ящика» или функционального подхода, без знания физической
природы и механизма процесса из параметрического класса моделей
выбирается адекватная модель, интерпретирующая результаты наблюдений
наилучшим образом. Хотя при таком подходе модель может и не иметь
физического смысла, тем не менее она позволяет прогнозировать состояние
объекта [Резников (1982)]. Указанный подход широко используется при
идентификации систем в широком смысле (когда физика процесса неизвестна)
для решения задач оптимальной фильтрации наблюдений, прогнозирования
состояния и управления динамическими объектами [Дэвис (1984)]. Однако в
чистом виде метод «черного ящика» при моделировании конкретных объектов
практически не применяется. С «ничего», как отмечается в работе [Эйкхофф
(1975)], идентификация не начинается; для выполнения идентификации
используется априорная информация о структуре объекта по крайней мере в
форме частичного понимания функционирования объекта и апостериорная
информация в форме некоторых предварительных результатов обработки
измерений. Заметим, что в ряде случаев состав наблюдений может быть
неполным для определения координат во времени, например, когда выполнены
измерения только направлений (азимутов).
К функциональному подходу относят и построение моделей на основе
так
называемых
«характеризационных
результатов»
математической
статистики, в частности, модели авторегрессии в теории временных рядов
[Хеннан (1974), Виллемс (1989), Льюнг (1991) и др.]. Например, в работе
[Васильев, Панкрушин (1988)] в качестве возмущающего воздействия,
обусловливающего
опосредованно
через
состояние
атмосферы
квазипериодические вариации современных движений земной коры,
рассматриваются долговременные вариации среднегодовой солнечной
активности. Последние моделируются уравнениями авторегрессии второго
порядка.
В соответствии с концепцией М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко (1989),
геофизическая среда (отождествляемая с геодинамической средой)
моделируется на качественном уровне как открытая нелинейная иерархическая
система взаимодействующих отдельностей – блоков (неоднородностей).
Указанной системе присущи самоорганизация, колебательный автомодельный
характер, неустойчивость, случайность, большая роль флуктуационных
процессов. В работе этих авторов отмечается, что математической модели для
описания такой системы нет и нет возможности описать ее методами
классической физики в силу присущей системе сложности. В работе [Кейлис –
Борок (1989)] обращается внимание на необходимость и трудность поиска
эмпирических закономерностей динамики литосферы, как основы будущих
теоретических моделей.
Учитывая вышеизложенное, для очень сложных геодинамических систем
более эффективным является второй подход – идентификация в широком
смысле с перебором на ЭВМ альтернативных (конкурирующих)
математических моделей и выбором из них адекватной по некоторому
статическому критерию, например, F-критерию.
2.3.3. Моделирование и идентификация систем на основе
комбинирования двух предыдущих подходов
В ряде случаев, в частности, при неполном составе наблюдений во
времени, для решения рассматриваемой задачи целесообразно комбинировать
два предыдущих подхода.
Как уже отмечалось выше, в чистом виде принцип «черного ящика» не
применяется. Всегда используется априорная информация о структуре системы,
частичное понимание механизма процесса и предварительный анализ
результатов наблюдений, т. е. апостериорная информация [Льюнг (1991)]. При
моделировании геодинамических систем используется априорная информация
наук о Земле (геологии, геофизики, геоморфологии и др.). В работе [Айламазян,
Стась (1989)] обращается на то, что резкой границы между теоретическими,
эмпирическими и полуэмпирическими моделями нет.
Кроме параметрических, используются и непараметрические методы
моделирования и идентификации динамических систем. Последние не
используют явно конечномерного вектора параметров при моделировании
системы передаточной функцией от входных величин к выходным. При этом
применяются способы анализа реакции на ступенчатое воздействие,
корреляционный анализ, частотный анализ, гармонический анализ Фурье,
спектральный анализ [Льюнг (1991)]. Между параметрическими и
непараметрическими методами существует связь.
В арсенал методов идентификации входят и методы кластерного анализа и
комитетов. Последний рассчитан на случай размытых задач, когда имеет место
противоречивость модели, несовместность системы ограничений. По существу,
математическому моделированию предшествует классификация [Айламазян,
Стась (1989)].
Концепция М.А. Садовского, В.Ф. Писаренко (1989) геофизической среды
как открытой нелинейной иерархической системы отдельностей (блоков,
неоднородностей), во-первых, согласуется с концепцией фрактальности блоков и
линеаментности земной коры. Во-вторых, не исключает относительных
перемещений и вращений как отдельных блоков, так и групп блоков, а также
деформацию отдельных блоков и их групп. В работе [Годунов, Роменский
(1998)]: «Деформациями называются такие движения среды и связанные с
ними отображения, при которых меняются расстояния между
материальными точками». Деформации, как известно, вызывают напряжения
среды. Направленность движений, вращений, деформаций и напряжений,
очевидно, может иметь как определенную тенденцию, так и менять знак, то есть
носить флуктуационный характер или, учитывая нелинейность геофизической
среды, характер динамического хаоса.
В качестве примера третьего подхода (в котором комбинируются два
предыдущих) с неполным составом наблюдений во времени приведем работу
[Есиков, Панкрушин (1969)], где выполнена интерпретация результатов
двукратных
наблюдений
астрономических
азимутов
пяти
линий,
расположенных в южной части Сибирской платформы. Уменьшение азимутов
всех линий порядка нескольких секунд при повторных определениях через 23 –
25 лет (в интервале 1940 – 1965 годов) интерпретируется разворотом региона
против часовой стрелки с одновременным горизонтальным смещением блоков
земной коры. В указанной работе показано, что эта интерпретация согласуется с
характером полей напряжений земной коры и данными о неотектонических
движениях рассматриваемого региона.
В работе К.В. Боголепова и выдающегося ученого в области наук о Земле
академика А.Л. Яншина (1970) подтверждаются по геолого-геофизическим
данным выводы авторов работы [Есиков, Панкрушин (1969)] о горизонтальном
смещении Сибирской платформы с тенденцией поворота ее против часовой
стрелки. Заметим, что в приведенной выше работе М.А. Садовского, В.Ф.
Писаренко (1989) о нелинейности геофизической среды обращается внимание
на актуальность изучения «поворотных движений блоков». Адекватным задаче
моделирования вращения геодинамических систем (и, в частности, вращения
систем координат) является математический аппарат, представленный в работе
[Годунов, Михайлова (1998)].
2.3.4. Выбор математического аппарата
Для реализации вышеизложенных подходов необходим адекватный
математический аппарат. В работе [Панкрушин (1971)] было предложено
моделирование современных движений земной коры выполнять в форме
дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения для
рассматриваемых здесь геодинамических систем с распределенными
параметрами имеют следующий общий вид:
t
F{ X R ( X , t )}
[ F{ X R ( X , t )}, ( X , t ), ( X , t )] ,
(2.3)
где F{ X R ( X , t )} – функция, задающая состояние системы;
{*} – интегро-дифференциальный оператор, который моделирует
пространственно-временные свойства системы;
X R ( X , t ) – расширенный вектор параметров состояний ГДС;
X, t и
X, t – соответственно, детерминированные (известные) и
стохастические воздействия внешней среды. Заметим, что к такому классу
моделей относятся, в частности, уравнения движений сплошных сред
[Панкрушин (1972)].
Модели этого класса довольно сложны для вычислительной
реализуемости. Для преодоления трудностей аналитического решения
дифференциальных уравнений следует использовать путь численного решения,
основанный на методе конечных разностей, разностных схем (уравнений) и
рекуррентных уравнений. Кроме того, рационально раздельно строить модели
временных (в виде дифференциальных уравнений) и пространственных (в виде
полиномов) закономерностей движений, соединяя затем их в общую модель
пространственно-временных закономерностей [Панкрушин, Васильев (1985)].
Динамические процессы широкого класса систем могут моделироваться
дифференциальными уравнениями второго порядка:
a2 x a1 x a0 x b , x dx / dt.
(2.4)
В зависимости от вида параметров (коэффициентов) этого уравнения, оно
может описывать либо апериодическое, либо колебательное звено второго
порядка с затухающими или растущими колебаниями. Параметрами a могут
быть, в частности, динамическая вязкость, модули упругости и плотности
объекта [Васильев, Панкрушин (1983, 1987, 1988), Маслов (1991)].
Автоколебания моделируются уравнениями Ван дер Поля
x 2 (1 ax 2 ) x w 2 x 0,
(2.5)
где
– параметр возбуждения, характеризующий подкачку энергии в
систему от внешнего источника; при a 0 и малом амплитуда автоколебаний
равна 1 / 2a при частоте w .
Решение в рекуррентной форме с импульсной переходной функцией
дифференциальных уравнений и будет интерпретационной моделью временных
закономерностей [Панкрушин, Васильев (1985а, 1985б)].
Для моделирования пространственных закономерностей распределения
максимальных значений параметров движений и деформаций (входящих в
расширенный вектор параметров состояний X R ( X , t ) ) используется
следующее полиномиальное представление:
X D max ( X )
eT F ( x , y , z ) ,
(2.6)
где e – матрица параметров модели;
F ( x, y, z ) (1, x, y, x 2 ,...)T
– полиномиальная система функций,
обеспечивающая необходимую точность описания пространственного
распределения деформаций.
При линейной форме (2.6) по геодезическим наблюдениям может быть
определен тензор относительных перемещений, который, в свою очередь,
позволяет выделить симметричный тензор (для определения чистой
деформации) и кососимметричный тензор (для определения параметров
вращательного движения).
В пространстве состояний зависимость между входными величинами,
воздействиями на систему и выходными величинами записывается в виде
дифференциальных или разностных уравнений первого порядка, что делается
посредством вспомогательного вектора состояния.
Дифференциальными уравнениями моделируются векторные поля
скоростей движений. Так, при моделировании полей в плоскости (х, у) могут
быть использованы следующие типовые системы дифференциальных
уравнений с элементарными выражениями для решений [Баутин, Леонтович
(1990)]:
а)
dx
dt
y ax;
dy
dt
x ay.
Решение систем при начальных координатах ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид:
x
e a(t
t0 )
[x 0 cos(t
t0 )
y
e a(t
t0 )
[x 0 sin(t
t0 )
y0 sin(t
y 0 cos(t
t0 )] ;
t 0 )].
Траектории этой системы являются логарифмическими спиралями;
б) при a 0 имеем частный случай предыдущей системы. Решение этой
системы имеет вид
x x 0 cos(t t 0 ) y 0 sin(t t 0 );
y x 0 sin(t t 0 ) y 0 cos(t t 0 ).
Траекториями такой системы являются концентрические окружности с
центром в точке ( x 0 , y 0 ) ;
dx
dy
x;
y.
в)
dt
dt
Решение системы имеет вид
x
x0 e
t ( t t0 )
;
y
y0 e ( t
t0 )
.
Аналитический интеграл системы выражается уравнением
ху = С.
Интегральными кривыми поля скоростей при С 0 являются гиперболы, а
при С = 0 – координатные оси x 0 , y 0.
2.4. Три основных типа математических моделей динамических систем
Строгие понятия и определения состояния и проблемы представления
систем (объектов, процессов) математическими моделями с пространством
состояний приведены в работах [Калман, Фалб, Арбиб (1971), Виллемс (1989)].
В соответствии с указанной литературой, ниже приводятся основные типы
моделей и некоторые положения по их построению.
Математические модели динамических систем
имеют следующие три
типа (в зависимости от решаемых задач) [Виллемс (1989)]:
а) авторегрессивные модели (в форме уравнений авторегрессии) для
описания временных рядов наблюдений Y, являющихся выходами
динамической системы . В уравнении авторегрессии переменные (элементы
множества Y) связаны между собой рекурсивным соотношением;
б) модели типа «вход – выход» динамической системы , где входом
являются внешние детерминированные воздействия
на систему, а выходом –
наблюдаемые величины (выходные функции) Y, как реакции на вход. Входное
воздействие – это то, что является причиной, что не зависит от модели и
определяется только внешней средой, с которой система взаимодействует.
Выход зависит от входа, модели системы (передаточной функции отображения
в Y) и от начальных условий (предыстории объекта);
в) модели типа «вход – состояние – выход» или модели с пространством
состояний (с внутренним поведением системы). Структура этого типа моделей
будет показана несколько ниже.
Отметим некоторые свойства двух последних типов моделей динамических
систем в аспекте решения вопроса их выбора. При использовании модели типа
«вход – выход» одного знания текущего значения входных воздействий
может оказаться недостаточном для предсказания выходных величин Y. Это
обусловлено тем, что в общем случае значения выходных величин
динамической системы зависят как от текущих значений входных величин, так
и от предыстории этих воздействий. Таким образом, значения выходных
величин динамической системы зависят от ее состояния.
В работе [Калман, Фалб, Арбиб (1971)] следующим неформальным образом
определяется текущее состояние динамической системы. Это такая часть
настоящего и прошлого системы, которая необходима для определения
настоящих и будущих значений выходных величин. Состояние динамической
системы рассматривается как ее внутренняя характеристика, которая в
настоящий момент определяет не только текущие значения выходных величин,
но и оказывает влияние на ее будущее. И далее в указанной работе говорится о
том, что состояние можно рассматривать как своего рода хранилище
информации, или запоминающее устройство, или накопитель прецедентов. При
этом требуется, чтобы множество внутренних состояний динамической
системы было достаточно полным, отражающим всю информацию о
предыстории системы, необходимой для предсказания влияния прошлого на
будущее.
2.5. Представления динамических систем математическими моделями
типа «вход – состояние – выход»
В классической теории физики «… состояние характеризуется положением
и скоростью частиц. Задание этих параметров эквивалентно заданию
соответствующих точек в обычном трехмерном пространстве» [Вигнер (1971)].
Пространство состояний (фазовое пространство) понимается как модель
Пуанкаре, которая исходит из представления множества возможных состояний
[Деруссо, Рой, Клоуз (1970), Калман, Фалб, Арбиб (1971), Неймарк, Коган,
Савельев (1985), Виллемс (1989)]. Перемещение в фазовом пространстве
отражает изменение состояния системы из любого начального, описываемое
некоторой траекторией.
Таким образом, с динамической системой связано некоторое пространство
состояний, для которого задан эволюционный оператор F. Оператор F
однозначно определяет разбиение пространства состояний на фазовые
траектории, что создает так называемый фазовый портрет динамической
системы. Построенная с этих позиций геометризованная (по А. Пуанкаре)
модель геодинамической системы определяется пространством состояний и
эволюционным оператором. Оператор F задается в форме дифференциальных
уравнений в обычных или частных производных, а также в виде аналитических
или логических формул.
Рассматривая понятие и проблему представления объекта адекватной
моделью с состоянием по временным рядам в аспекте идентификации
динамических систем, Я. Виллемс (1989) пишет: «Вероятно, понятие
состояния является наиболее существенным в теории динамических систем.
Кроме большого методологического значения, состояние чрезвычайно важно с
практической точки зрения, например в физике, теории принятия решений,
обработке сигналов и т. п.».
Детерминированную динамическую систему d в самом общем виде
можно моделировать заданием следующей восьмерки множеств [Калман, Фалб,
Арбиб (1971)]
(T , X ,
,Y ,
, Y , F, f ,),
(2.7)
d
где T – множество моментов времени (эпох) наблюдений (при этом t есть
некоторое упорядоченное подмножество вещественных чисел, что задает
направление времени);
X – множество параметров состояний системы;
Y – множество наблюдаемых значений выходных величин системы;
– множество известных (наблюдаемых) входных детерминированных
возмущающих воздействий внешней среды на систему d в целом, то есть как
на объект (процесс, явление), так и на подсистему наблюдений Y;
– множество допустимых входных детерминированных воздействий
внешней среды
;
Y – множество допустимых значений наблюдаемых величин Y.
Для динамической системы d существует переходная функция состояния
(эволюционный оператор) F . Значениями этой функции являются состояния в
моменты времени t T :
x ( t ) F ( t 0, t ){x ( t 0 ), ( t 0 , t )}
(2.8)
при условии, что в начальный момент времени t0 T система была в
начальном состоянии x ( t 0 ) X и на нее влияло входное воздействие
( t 0 , t ) на отрезке времени { ( t 0 , t ) , t t 0 }.
Переходную функцию F называют движением системы, траекторией,
решением (например, решением обыкновенного дифференциального
уравнения). Система может быть названа «динамической» тогда и только тогда,
когда она обладает свойством, отраженным в уравнении (2.8). Знание состояния
x ( t 0 ) и входных воздействий
( t 0 , t ) на отрезке времени ( t 0 , t ) должно
быть необходимым и достаточным условием, которое позволяет определять
состояние x (t ) по (2.8) каждый раз, когда t 0 t .
Приведенное
математическое
понятие
динамической
системы
соответствует понятию «причинной» системы в том смысле, что прошлое
влияет на будущее и служит для описания потока причинно-следственных
связей из прошлого в будущее [Калман, Фалб, Арбиб (1971)].
Для динамической системы d задается выходное отображение (выходной
вектор) в виде некоторой функции f . Значениями функции f являются
выходные величины:
(2.9)
Y
f (X , )
Y.
Пару ( x , t ) , где t T и x
X , называют событием системы d , а
произведение множеств (T X ) – пространством событий или фазовым
пространством, пространством состояний. Вышеизложенное подтверждает
ранее приведенное высказывание Я. Виллемса (1989), что понятие системы
является наиболее существенным в теории динамических систем, имеет
большое методологическое значение и чрезвычайно важно в практическом
отношении при решении таких задач, как обработка результатов наблюдений
(сигналов) и принятия решений.
В работе [Виллемс (1989)] дается следующее определение системы с
пространством состояний. Система с пространством состояний есть четверка
(2.10)
{T , Z , X , B},
где T R – множество моментов времени;
Z – алфавит внешних сигналов;
X – пространство состояний;
B ( Z X )T – внутреннее поведение.
При этом предполагается, что B удовлетворяет аксиоме состояния,
имеющей следующий вид:
{( z k , x ) B, k 1,2, t 0 T , x1 ( t 0 ) x2 ( t 0 )} {( z1 , x1 ) t^0 ( z 2 , x 2 ) B} .
(2.11)
Из аксиомы состояния следует, что любая траектория, которая приходит в
некоторое состояние, совместима с любой другой траекторией, выходящей из
этого же самого состояния. То есть, для заданного в данный момент состояния,
прошлое и будущее условно независимы и данное состояние «расщепляет»
прошлое и будущее поведения системы .
Обратим внимание на важное обстоятельство. Множество X в (2.7)
образует вектор состояний системы, если можно найти такие две однозначные
функции F и f , которые позволяют получить два так называемых уравнения
состояний (2.8) и (2.9). Эту пару уравнений называют также моделью
динамической системы в пространстве состояний [Калман, Фалб, Арбиб (1971)]
или с пространством состояний [Виллемс (1989)].
В общем случае исследователь (аналитик) может наблюдать две величины –
входы (t ) и выходы системы Y (t ) , то есть последовательность пар величин
L( t ) { ( t ),Y ( t )}. Входные величины есть воздействия внешней среды;
иногда они могут для некоторых систем подаваться исследователем как
управляющие воздействия при эксперименте; выходные величины он лишь
пассивно наблюдает. Воздействовать на выходы Y (t ) исследователь может
лишь опосредованно, когда представляется возможность подачи им
предшествующих по времени входных воздействий. Системы, которые не
имеют наблюдаемых входов {L( t ) Y ( t )}, называются автономными.
Множество допустимых воздействий
в (2.7) представляет собой
непустое множество (число элементов
не равно нулю); это так называемое
условие нетривиальности. В том случае, когда
содержит лишь один
элемент, динамическая система называется свободной. Единственным
воздействием на свободную систему является сама окружающая среда.
Примером свободной системы является описание солнечной системы
уравнениями небесной механики. Единственная сила, действующая на эту
систему, есть сила гравитации, которая зависит лишь от положения планет,
определяющих состояние системы [Калман, Фалб, Арбиб (1971)]. В работе
[Панкрушин, Васильев (1985б)] приведен пример моделирования свободной
динамической системы, когда внешнее воздействие имеет скачкообразный
характер. При упрощении модели системы в качестве
может быть
использовано множество {0}, то есть нуль-векторное пространство. В этом
случае мы имеем широко используемые кинематические модели.
Существует следующая классификация динамических систем.
Динамическая система называется стационарной (постоянной), если ее
основные соотношения (структура) не меняются во времени. Различают
динамические системы с непрерывным временем и дискретным временем; для
первых время Т совпадает сомножеством вещественных чисел, а для вторых –
сомножеством целых чисел. При математическом моделировании на цифровых
вычислительных машинах от моделей систем с непрерывным временем
переходят к моделям с дискретным временем. Существуют линейные и
нелинейные динамические системы; последние при определенных допущениях
могут быть линеаризованы в окрестностях приближенных оценок параметров.
Динамические системы могут быть бесконечномерными и конечномерными.
Переход от бесконечномерных моделей к конечномерным вызывается
необходимостью вычислительной реализуемости решения задач. Динамические
системы подразделяются на системы с сосредоточенными параметрами,
являющимися функциями только времени t, и на системы с распределенными
параметрами, являющимися функциями не только времени t, но и
пространственных координат. Кроме того, как уже отмечалось, могут
рассматриваться автономные и свободные системы.
2.6. Концептуальная математическая модель геодинамической системы
«Физическая поверхность и внешнее гравитационное поле Земли» с
пространством состояний
В настоящем разделе решается задача построения концептуальной
дискретной стохастической нелинейной математической модели с
пространством состояний геодинамической системы «Физическая поверхность
Земли и внешнее гравитационное поле Земли» (ГДС «ФПЗ и ВГПЗ»).
Рассматриваемая динамическая система
относится к классу систем с
распределенными параметрами X ( X , t ) и представлена пунктами
комплексных геодезических и геофизических наблюдений в гравитационном
пространстве ( X ,W ) и времени t на физической поверхности Земли
Pi ( X i , Wi , t ) ФПЗ( X ,W , t )
.
Здесь
декартовы
X X ( x, y , z )
прямоугольные координаты в геоцентрической или топоцентрической системах;
W – потенциал ускорения силы тяжести.
Дискретность в пространстве указывается индексом i 1, 2, ..., N ;
дискретное время представляет собой упорядоченную последовательность
моментов времени (эпох) наблюдений t 0 , t1 ,..., t k 1 , t k ,... или t = 0, t = 1, ..., t = k
- 1, t = k ..., где k – множество целых чисел. Интервалы между эпохами
наблюдений определяются как следующие разности моментов времени
наблюдений:
t ( k 1, k ) {t ( k ) t ( k 1)}.
2.6.1. Арифметизация (паспортизация) пространства-времени при
моделировании геодинамических систем
Как
известно,
физическое
пространство
при
описании
его
пространственно-временного многообразия и упорядочения событий является
по числу необходимых координат элементарного события P четырехмерным:
три координаты x1 x , x2 y , x3 z – пространственные, четвертая
координата x4 t – временная.
На первом шаге такого описания (как в макромире, так и в микромире)
выполняется так называемая в физике арифметизация (паспортизация)
пространства-времени [Блохинцев (1971)].
Под
элементарным
событием
в
P ( x1 , x2 , x3 , x4 ) P ( x , y , z , t )
физическом пространстве понимается такое событие, которому может быть
приписана только одна определенная совокупность координат (чисел) ( xi ) ,
i 1, 2, 3, 4 , т. е. должно быть выполнено требование однозначного
соответствия точек пространства-времени P координатам ( xi ) . Термины
«элементарное событие P » и «точка P » являются эквивалентными. Но при
этом подчеркивается, что должна быть выполнена арифметизация не точек
пространства-времени «самих по себе», а арифметизация реальных событий, т.
е. неопределенные операции с пустотой на основе только положений геометрии
исключаются.
Способ арифметизации точек пространства-времени должен быть основан
на реальных процессах. Точке (как элементарному событию) должны быть
присущи такие индивидуальные признаки, которые были бы характерны для
происходящего там события. При этом должны быть указаны физические
методы, позволяющие осуществлять арифметизацию и определять
индивидуальные признаки. Таким образом, арифметизация реальных процессов
в пространстве-времени невозможна без обращения к физике, к материальным
процессам.
Например, при арифметизации пространства геодинамических систем
индивидуальными признаками могут быть характеристики геофизических полей
(гравитационного, электромагнитного и др.) и скорости (вариации) их
изменений в пространстве-времени [Панкрушин (2003)]. Точка (как элементарное
событие)
может
быть
обозначена
следующим
образом:
P{ X ,W ( X ), t} P{ X (t ),W ( X , t )} , где X ( x, y, z ) – пространственные
координаты; W ( X , t ) – потенциал поля силы тяжести Земли (вместо которого
при переходе к конечномерной модели используются его основные
трансформанты – аномалии силы тяжести, аномалии высот, компоненты
уклонений отвесных линий). С целью сокращения числа определяемых
параметров может быть использован подход аппроксимации в пространстве и
времени внешнего гравитационного поля аномалиеобразующими телами,
масконами, точечными массами [Панкрушин (2002)]. Заметим, что динамика
как физической поверхности Земли, так и внешнего гравитационного поля
обусловлена теми или иными физическими, материальными процессами.
Поэтому мы не можем ограничиться при описании геодинамических систем
только геометрическими операциями.
Изложенные выше положения по арифметизации пространства-времени
являются в последующих разделах основой специфических для нашей работы
обозначений
таких
величин
при
математическом
моделировании
геодинамических систем в пространстве состояний, как векторы состояния,
пространственно-временные ряды результатов разнородных комплексных
наблюдений в динамическом гравитационном поле Земли и т. п.
2.6.2. Внешнее гравитационное поле Земли во времени
При построении математических моделей геодинамических систем одним
из исходных является концептуальное положение о том, что наблюдения за
геодинамическими процессами выполняются в гравитационном поле
(гравитационном пространстве) Земли X G ( X ,W ) и во времени (в эпохи) t
[Владимиров, Мицкевич, Хорски (1984)]. При этом X E k , W
( ) , где E k
– k-мерное евклидово пространство;
( ) – гильбертово пространство
[Нейман (1979), Бывшев, Буй Куанг Чунг (1986)].
При моделировании разнородных комплексных геодезических и
гравиметрических наблюдений в пространстве и времени нами будут
использованы и расширены в динамическом аспекте понятия матрицы Гессе
для потенциала силы тяжести [Нейман (1979)] или тензора потенциала силы
тяжести [Машимов (1991)] и градиента силы тяжести.
Матрица Гессе потенциала силы тяжести в пространстве и времени,
элементами которой являются вторые производные по ортогональным осям
координат x, y , z , запишем в следующем виде:
W xx ( X , t ) W xy ( X , t ) W xz ( X , t )
W yx ( X , t ) W yy ( X , t ) Wyz( X , t ) ,
W {P ( X , t )}
Wzx( X , t ) Wzy ( X , t ) Wzz ( X , t )
где W yx ( X , t ) Wxy ( X , t ) ;
Wzy( X , t ) Wyz( X , t ) ;
Wzx( X , t ) Wxz ( X , t ) .
(2.12)
В соответствии с работой [Цубои (1982)], шесть вторых производных
потенциала распределяются по трем группам:
а) Wxx ( X , t ),Wxy ( X , t ),Wxz ( X , t ) ;
б) Wzx ( X , t ),W yz ( X , t ) ;
в) Wzz ( X , t ) .
В группе «а» три вторые производные характеризуют кривизны уровенной
поверхности; в группе «б» две вторые производные являются компонентами
горизонтального градиента ускорения силы тяжести g и, следовательно,
характеризуют изменение g в направлениях осей x и y ; вторая производная в
пункте «в» характеризует изменение g по оси z , то есть является
вертикальным градиентом силы тяжести.
Максимальный градиент в плоскости горизонта и его направление
определяются по формулам:
Wsz ( X , t )
2
W xz2 ( X , t ) W yz
( X ,t) ;
(2.13)
s ( X ,t)
arctg
W yz ( X , t )
.
Wxz ( X , t )
(2.14)
Полный градиент силы тяжести
2
W xz2 ( X , t ) W yz
( X , t ) Wzz2 ( X , t )
gradg( X , t )
(2.15)
находится в вертикальной плоскости по астрономическому азимуту
s ( X , t ) и не совпадает с осью z на угол
( X ,t)
arctg
Wsz ( X , t )
.
Wzz ( X , t )
(2.16)
Пять вторых производных, которые входят в группы «а» и «б», называются
вариациями силы тяжести. Вариометрами могут измеряться четыре
независимые величины: W ( X , t ),Wxy ( X , t ),Wxz ( X , t ),W yz ( X , t ) , где
(2.17)
W ( X , t ) W yy ( X , t ) Wxx ( X , t ) .
2.6.3. Расширенный вектор определяемых параметров состояния
геодинамической системы «Физическая поверхность и внешнее
гравитационное поле Земли»
В соответствии с положениями арифметизации пространства-времени,
изложенными в разделе 2.6.1, мы должны расширить вектор состояния, не
ограничиваясь только координатами в обычном трехмерном пространстве и
скоростями движения точек. При моделировании геодинамической системы
«ФПЗ и ВГПЗ» из множеств параметров состояний X в (2.7) выделим
следующие множества (векторы параметров состояний), которые необходимо
будет
определить
в
процессе
параметрической
идентификации
геодинамической системы:
X i {Pi ( t )} – вектор координат пунктов Pi (t ) сети наблюдений в
дискретные моменты времени (эпохи) t 1,2,... , i 1,2,..., N ;
Wi {Pi ( X , t )} – вектор внешнего потенциала силы тяжести в тех же
пунктах или, при задании нормального потенциала U i {Pi ( X , t )} , вектор
возмущающего потенциала Ti {Pi ( X , t )};
X D ( X , t ) – вектор параметров движений в широком смысле (изменений
как геометрических, так и физических параметров).
Из перечисленных выше векторов формируется так называемый
расширенный вектор определяемых параметров состояний ГДС «ФПЗ и ВГПЗ»:
T
(2.18)
X R ( X , t ) [ X iT {Pi ( t )},WiT {Pi ( X , t )}, X D
( X , t )]T X
или, при задании нормального потенциала U i {Pi ( X , t )}, –
T
T
X R ( X , t ) [ X iT {Pi ( t )},TiT {Pi ( X , t )}, X D
( X , t )] ,
(2.19)
где верхний индекс T – символ транспонирования.
Входящий в (2.18), (2.19) вектор X D ( X ,t ) формируется в следующем виде:
X D ( X ,t)
T
T
T
{X D
( ФПЗ ) , X D ( ВГПЗ ) ( X , t )} ,
(2.20)
где
X D (ФПЗ) ( X , t ) – вектор параметров движений и деформаций
физической поверхности Земли или, в общем случае, вектор параметров
напряжений;
X D ( ВГПЗ ) – вектор параметров изменений (вариаций) во времени
внешнего гравитационного поля Земли.
Для построения конечномерных моделей с пространством состояний
переходим от возмущающего потенциала Ti { Pi ( X ,t )} к его основным
трансформантам в пространстве и времени:
qi {Pi ( X , t )} [ g iT {Pi ( X , t )}, iT {Pi ( X , t )}, iT {Pi ( X , t )}, iT {Pi ( X , t )}]T ,
(2.21)
где g,
– соответственно, аномалии силы тяжести, компоненты
уклонения отвесной линии, аномалии высот.
2.6.4. Уравнения состояния геодинамической системы «Физическая
поверхность и внешнее гравитационное поле Земли»
Концептуальная дискретная стохастическая нелинейная модель ГДС «ФПЗ
и ВГПЗ» с пространством состояний строится в виде двух уравнений
состояний; такая математическая модель относится к типу «вход – состояние –
выход» [Виллемс (1989)].
Первое нелинейное уравнение состояния, моделирующее закономерности
движений в широком смысле (траектории) ГДС, запишем в следующей
векторно-разностной форме:
X R( X ,t )
T
F ( X , t ){ X R ( X , t
T
T
1 ), С ( X , t ), I ( X , t ),
T
T
( X , t )}
(2.22)
( X , t ) ( X , t ).
В (2.22) F ( X , t ) – эволюционный оператор ГДС; С ( X , t ) – вектор
заданных параметров (коэффициентов) модели; I ( X , t ) – величина в
комплексной области (при моделировании комплексных ГДС с позиций
( X , t ) – векторы, соответственно,
( X ,t) и
фрактального подхода);
детерминированных и стохастических воздействий внешней среды на объект
(процесс), при этом ( X , t )
в (2.7);
( X , t ) – матрица, отражающая
влияние на объект внешних стохастических воздействий. Заметим, что в
соответствии с выражением (2.7)
{ X RT ( X , t ), С Е ( X , t )}T X ( X , t ) ;
( X ,t)
.
На языке функционального анализа F является функционалом –
отображением множеств, входящих в правую часть уравнения (2.22), во
множество X R ( X , t ) . На языке вариационного исчисления F является
функционалом и в том смысле, что величины в правой части (2.22) являются
функциями.
Второе нелинейное уравнение состояний, моделирующее результаты
разнородных комплексных наблюдений в пространстве и времени (множество
выходных величин ГДС), представляющих собой геодезические функционалы
на потенциале силы тяжести W, запишем в следующем виде:
Y ( X ,W , t , ) f ( X , t ){ X RT ( X , t ), CYT ( X , t ), YT ( X , t )}T
Y ( X ,W , t , ),
(2.23)
где
Y ( X , t ) – вектор внешних детерминированных воздействий на
систему наблюдений;
C ( X , t ) – заданные коэффициенты системы наблюдений;
Y ( X ,W , t , ) – в общем случае, коррелированная последовательность
случайных ошибок наблюдений с ковариационной матрицей
K ( X , t, ) KY ( X , t, ) .
В уравнении (2.23) – моменты времени наблюдений «внутри» эпохи t;
при наземных геодезических наблюдениях это может быть время года и время
суток, в космической геодезии – моменты наблюдений ИСЗ. Здесь мы имеем
дело с характерными разными масштабами времени, с понятиями глобального и
локального времени, иерархии масштабов времени, с различием между
временем, с одной стороны, и ритмами и часами – с другой [Костюк (1991)].
Время и его «течение» (в нашей задаче это эпохи t) соотносятся с эволюцией
ГДС, часами же устанавливаются объективные размеры временных отрезков .
Корреляция ошибок наблюдений может быть как «внутри» каждой из
эпох t = 1, 2, … (например, между ошибками нивелирования секции в ходах
левом и правом, прямом и обратном), так и между ошибками наблюдений
разных эпох.
Включение вектора координат X X ( x, y , z ) в качестве аргумента в
функционал (2.23) указывает на то, что ряды наблюдений являются не только
временными, но и пространственными; при этом на каждом пункте сети
наблюдений может производиться измерение нескольких величин (выходных
сигналов ГДС). Поэтому Y ( X ,W , t , ) представляют собой многомерные
пространственно-временные ряды наблюдений.
Указанные ряды формируются из разнородных комплексных геодезических
и геофизических наблюдений, отражающих пространственно-временную
структуру ФПЗ и ВГПЗ. Наблюдения могут выполняться методами
геодезической астрономии, астрометрии, наземной и спутниковой геодезии,
геофизики и др. К ним, в частности, относятся методы наблюдений:
астрономических координат и азимутов, горизонтальных направлений,
наклонных дальностей, зенитных расстояний, геометрического, водного и
гидростатического нивелирования, створных наблюдений, обратных отвесов,
ускорений силы тяжести, вариаций силы тяжести (вторых производных
потенциала), наклонов, деформаций и напряжений земной коры, параметров
геомагнитного поля.
Влияние потенциала силы тяжести Земли W {P( X , t )} на результаты
астрономо-геодезических и геофизических наблюдений Y {P( X ,W , t )}

выражается через состояние вектора ускорения силы тяжести g{P( X ,W , t )} и
его вариации (вторые производные потенциала силы тяжести). При этом
своеобразным передаточным звеном служит уровень в геодезических
приборах, устройство в нивелире с самоустанавливающейся визирной осью,
горизонтальный маятник в наклономере, обратный отвес и соответствующие
устройства в гравиинерциальных приборах [Любушин, Манакин, Попов
(1989)].
2.6.5. Заданные параметры (коэффициенты) модели геодинамической
системы
Состав вектора заданных параметров (коэффициентов) модели С ( X , t ) в
(2.22) может быть следующим:
(2.24)
С ( X , t ) {C T , C T ( X ), С T ( t ), С T ( X , t )}T X ,
где С – вектор стационарных в пространстве и времени параметров;
C ( X ) – вектор стационарных во времени, но изменяющихся в
пространстве параметров;
C (t ) – вектор стационарных в пространстве, но изменяющихся во времени
параметров;
C ( X , t ) – вектор нестационарных как в пространстве, так и во времени
заданных параметров (коэффициентов).
Если пренебрегать такими геодинамическими явлениями, как
неравномерность скорости вращения Земли, перемещения ее оси вращения и
центра масс, то к вектору С могут быть отнесены фундаментальные
геодезические параметры Земли [Баранов, Бойко, Краснорылов и др. (1986),
Машимов (1991)]; в противном случае они должны быть отнесены к С(t). В
состав вектора С может быть включен и такой параметр Нормальной Земли, как
нормальный потенциал силы тяжести на поверхности эллипсоида, что и
позволяет вместо реального потенциала силы тяжести Wi{Pi(X,t)} вводить при
этом в расширенный вектор параметров XR(X,t) (2.19) возмущающий потенциал
Ti{Pi(X,t)}. Некоторые физические величины, характеризующие свойства
геофизической среды и элементов инженерных сооружений (плотность,
упругость, вязкость, жесткость и др.), в зависимости от постановки задачи
моделирования и идентификации, могут быть отнесены к коэффициентам С,
либо к С(Х), либо к С(Х,t). Таким образом, в составляющих вектора С (X,t)
могут быть различные комбинации X = const, X const, t = const, t const.
Наконец, заметим, что в зависимости от постановки задачи, некоторые
параметры ГДС могут включаться в коэффициенты C(X, t), либо в вектор
XR(X, t) (2.18), как определяемые в результате обработки параметры, либо в
число настраиваемых параметров способом сочетания последовательного
симплекс-метода и адаптивного ФКБ [Васильев, Панкрушин (1986)].
В составляющие векторов С(t) и С в уравнениях состояний (2.22) и (или)
(2.23) могут входить: параметры Нормальной Земли, в частности, такая
фундаментальная физическая постоянная, как гравитационная, параметры
прецессии и нутации, координаты мгновенного полюса, числа Лява и Шиды,
модули упругости и вязкости объекта, координаты исходных (взаимно-
стабильных) пунктов, аэродинамический коэффициент сопротивления,
плотность атмосферы, показатель преломления воздуха, скорость света,
структурная постоянная турбулентности воздуха, скорость и направление ветра,
температура, давление, влажность воздуха и т.п. [Полищук (1992), Машимов
(1990), Баранов, Бойко, Краснорылов (1986), Урмаев (1989), Исмаил-Заде
(1991)].
2.6.6. Детерминированные и стохастические воздействия внешней
среды
Рассмотрим в тектонофизическом аспекте внешние воздействия на
геодинамическую систему (объект, процесс, явление) в уравнении (2.22). Они
являются воздействиями внешней среды, ее природными или техногенными
факторами. Та часть внешних воздействий, которая наблюдается, относится к
детерминированным воздействиям ( X , t ) , ненаблюдаемая часть относится к
стохастическим воздействиям (шумам объекта (X, t)).
К природным (физическим) могут быть отнесены следующие факторы:
поверхностные силы, определяемые как тектонические напряжения, объемные
силы притяжения Луны, Солнца и других объектов Вселенной
(приливообразующие силы).
К рассматриваемым факторам относятся следующие: прецессия, нутация,
движение полюсов и вариации угловой скорости Земли; объемные силы со
стороны Земли, атмосферы, водоемов и морских приливов (гравитационного
характера), вызывающие, в частности, склоновые движения, деформации
земной поверхности над пустотами, прогибы и наклоны земной коры; силы,
обусловленные давлением магмы очагов вулканов перед извержением
[Ефимов, Демин (1979)]; внутренние силы, обусловленные неравномерностью,
например, таких необратимых физико-химических процессов, как
пластические деформации, образование разрывов, фазовые переходы [Юнга
(1990)]. К природным факторам внешних воздействий относятся такие
источники энергии, как аккреция (нанос, отложение) вещества, энергия
вращения Земли, солнечная радиация, энергия сейсмических волн, эндогенная
активность и механизмы глобальных тектонических процессов (конвекции,
гравитационного сползания плит, твердых приливов) [Маслов (1991)]. К
природным факторам относятся и различные термогидродинамические и
физико-химические аномалии [Султанходжаев (1990)].
В работе [Сидоров, Кузьмин (1989)] сделан вывод, что наблюдаемые
аномальные короткопериодические изменения современных движений земной
коры (СДЗК) обусловлены флуктуациями параметров геофизической среды зон
разломов (упругих модулей, коэффициентов трения и др.).
К факторам, вызывающим повышенную геодинамическую активность,
относят короткоживущие подкоровые локальные возмущения (КПЛВ)
[Бородзич, Галинский, Яницкий (1988)]. При этом флуктуации потоков
вещества через основания каналов в мантии вызывают малые вариации силы
тяжести, которые могут регистрироваться лишь по данным наблюдений за
аномальным состоянием атмосферы.
В этом аспекте представляет интерес написанная с позиций системного
подхода и системного анализа оригинальная книга С.М. Шугрина (1999). В
предисловии автор пишет: «Центральная проблема теории, которой посвящена
данная книга, – это проблема слабых, но организующих воздействий. Слабый,
но информационно значимый сигнал при определенных условиях включает
механизм каскадного усиления и, в конечном счете, направляет и приводит в
действие гораздо более мощные потоки энергии. Складывается новое видение
Земли и биосферы как системно организованных объектов, организованных
прежде всего космическими воздействиями». И далее С.М. Шугрин пишет: «За
последние 15 – 20 лет произошел существенный сдвиг в наших представлениях
о богатстве и сложности солнечно-земных связей. Можно считать уже
твердо установленным, что в принципе солнечная деятельность влияет на все
основные процессы, протекающие в геосфере, хотя точная научная
формулировка законов этого влияния – дело будущего. Пока можно сказать,
что это воздействие не столько «энергетическое», сколько «информационное»
и связано прямо или косвенно с перестройкой процессов переноса и
трансформации основного потока солнечной энергии (который в коротких
циклах мало меняется по абсолютной величине), а также внутренних потоков
в геосфере, независимо от их происхождения. Солнце тотально воздействует
на все земные процессы и в некоторых отношениях синхронизирует их; это
может приводить к установлению «резонансных» отношений между
различными земными процессами, так что один их них может резко
усилиться за счет другого». Заметим, что с такого рода воздействиями могут
быть построены математические модели типа авторегрессивных [Виллемс
(1989)].
Имеются данные [Асада, Исибаси, Матсуда и др. (1984), Мудрецова,
Веселов (1990)] о воздействии на СДЗК изменений во времени геомагнитного
поля,
геоэлектрических
токов
или
геоэлектрического
потенциала,
электропроводности и электромагнитного излучения. При этом изменения
магнитных свойств горных пород могут быть обусловлены изменениями
напряжений в земной коре. Таким образом, поле деформаций связано с
напряжениями не только непосредственно, но и опосредованно через изменения
магнитных свойств горных пород.
В работах [Мѐрнер (1986а, 1986б)] отмечается корреляция между
вариациями гравитационного и геомагнитного полей в аспекте причинноследственной цепочки в геологической летописи: движение литосферных плит,
эвстатическое изменение уровня океана, изменение поверхности раздела ядра и
мантии, изменение магнитного поля и соответственно изменение
гравитационного поля геоидного происхождения.
В работе [Федорова, Шапиро (1990)] по данным обсерваторских
наблюдений сообщается о динамике векового хода геомагнитного поля и связи
его резких изменений с динамикой магнитосферы, периодами максимумов
солнечной активности, изменений скорости вращения Земли и силы тяжести. В
этой работе, отмечая, что вопрос о природе скачков в ходе динамики
геомагнитного поля является открытым, высказано предположение о внешнем
источнике обнаружения вариаций векового хода геомагнитного поля.
В статье [Тамразян (1988)] сделан вывод, что «разного рода цикличность
космического генезиса обусловливает всю иерархию циклического строения
осадочных толщ, тектонических и вообще геологических процессов, перерывы
и размывы на поверхности Земли, усиление и ослабление темпов перемещения
ее блоков по поверхности планеты (дрейф континентов)».
Часть компонентов расширенного вектора параметров состояний
геодинамической системы X R ( X ,t ) , когда они априорно известны и не будут
уточняться, могут переходить в вектор детерминированных воздействий на
систему ( X ,t ) . Это, в частности, относится к параметрам геофизических
полей и факторам, вызывающим их изменения. С учетом этого в работе
[Васильев, Панкрушин (1988)] дан подход к решению задачи построения
моделей (типа авторегрессионых) квазипериодических современных движений
земной коры, обусловленных вариациями солнечной активности.
Целый ряд факторов, обусловливающих компоненты вектора
(ротационный режим Земли, лунно-солнечные приливы, извержение вулканов,
появление и изменение уровня водохранилищ, изменение атмосферного
давления, откачка нефти и газа, КПЛВ и др.), могут вызывать как изменения
положения физической поверхности, так и уровенных поверхностей и
направлений отвеса. Поэтому вектор
входит в оба уравнения состояний,
моделирующих закономерности движений ГДС (2.22) и пространственновременные ряды разнородных комплексных наблюдений (2.23). Очевидно, что
могут строиться такие модели, в которых для уравнения (2.22) в качестве
принимается множество {0}, а для уравнения (2.23) вводят в вектор
компоненты, влияющие на результаты наблюдений. Определение конкретного
вида уравнений (2.22) и (2.23) и будет задачей структурной идентификации, а
оценивание параметров этих уравнений – задачей параметрической
идентификации.
2.6.7. Метрическое пространство геодинамической системы
При решении задач в пространстве состояний определяемые параметры
рассматриваются как множества. Для возможности задания операторов связи
между любыми его элементами в пространстве состояний, преобразования
одних векторов в другие при решении задач оптимизации исследования
устойчивости и др. должны быть заданы соотношения, характеризующие
«близость» между элементами. Таким образом, множество параметров должно
представлять метрическое пространство, в котором задано расстояние (норма)
между каждыми двумя элементами [Красовский (1987)].
Метрическое пространство в расширенном векторе параметров
состояний X R ( X , t ) задается расстоянием (нормой) для координат пунктов
X ( t ) {x( t ), y ( t ), z ( t )} и, соответственно, нормой для потенциала W ( X , t ) .
В векторе X R ( X , t ) параметры X (t ) и W ( X , t ) являются элементами
своеобразного «базового» («топографического») метрического пространства.
Остальные параметры, включающие характеристики движений ФПЗ,
напряженно-деформированного состояния, изменений во времени ВГПЗ,
составляют субпространства, связанные с базовым метрическим пространством
и являющиеся по существу сечениями базового метрического пространства X(t),
W ( X , t ) . Множества внешних возмущающих воздействий также являются
субпространствами или сечениями базового метрического пространства.
Заметим, что иногда координаты X (t ) могут быть заданными (входя в
вектор заданных параметров (коэффициентов) С ( X , t ) ) и, следовательно, не
включаются в определяемый вектор расширенных параметров X R ( X , t ) ,
например, при определении напряженно-деформируемого состояния земной
коры по смещениям точек [Васильев (1989)]. Но и в этом случае определяемые
параметры (смещения и др.), включаемые в X R ( X , t ) , представляются
(аппроксимируются) функциями координат X (t ) , то есть являются сечениями
базового метрического пространства.
Таким образом, уравнения вида (2.22) и (2.23), рассматриваемые в
совокупности, являются уравнениями состояний или описанием динамической
системы моделью типа «вход – состояние – выход». При этом ( X , t ) и
( X , t ) – вход, причина, свободные переменные; X R ( X , t ) – состояние,
память, дополнительные переменные (которые необходимо оценить в процессе
рекуррентной идентификации); Y ( X , t ) – выходы или реакции, то есть
переменные, зависимые от модели, входа и начальных условий (предыстории
объекта).
Модели этого типа проявляют свойства как причинности, так и памяти. В
общем случае модель (2.22) относится к имитационным моделям, так как она
строится в условиях неполной информации о сложной геодинамической
системе и описывает процесс функционирования объекта; при построении
модели (2.23) используются теоретические знания, поэтому она относится к
аналитическим моделям. Все величины и операторы, входящие в уравнения
состояний (2.22), (2.23), должны соответствовать общей системе отсчета
координат, гравитации и времени.
2.7. Основные обратные задачи статической и динамической
физической геодезии
В монографии [Панкрушин (2002)] дан метод математического
моделирования многомерных пространственно-временных рядов разнородных
комплексных геодезических и гравиметрических наблюдений в форме
линеаризованных уравнений с краевыми условиями на одношаговом
прогнозном теллуроиде с нормальным потенциалом силы тяжести. Метод
рассматривается в аспекте проблемы математического моделирования и
идентификации геодинамических систем (ГДС) «Физическая поверхность
Земли (ФПЗ) и внешнее гравитационное поле Земли (ВГПЗ)» с пространством
состояний. Очевидно, что в математическом отношении идентификация
указанных ГДС является, по существу, основной обратной (граничной) задачей
динамической физической геодезии с пространством состояний.
Как уже отмечалось, М.С. Молоденский (1958) ввѐл понятия статической,
кинематической и динамической геодезии; при этом он обратил внимание на
необходимость различать собственно вертикальные смещения точек земной
поверхности и смещения уровенных поверхностей, горизонтальные смещения
этих точек и изменения направления отвеса во времени.
В работе [Мориц (1983)] вводится понятие «классической физической
геодезии, поскольку в ней фигура Земли и ее гравитационное поле
рассматриваются независимо от времени». Очевидно, что такую геодезию, по
классификации М.С. Молоденского, можно отнести к статической (трехмерной
– по числу пространственных координат) физической геодезии.
Л.П. Пеллинен (1978) основной научной задачей геодезии назвал
«определения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли и их изменений
во времени». Такое определение, по существу, относится к области
динамической или четырехмерной (по числу координат – трех
пространственных и четвертой –времени) физической геодезии.
В настоящем разделе рассматриваются основные обратные или граничные
задачи как статической, так и динамической физической геодезии.
2.7.1. Основная обратная задача статической физической геодезии
Как известно, теория М.С. Молоденского [Молоденский (1950),
Молоденский, Еремеев, Юркина (1960)] изучения фигуры и внешнего
гравитационного поля Земли обеспечивает в рамках статической геодезии
принципиальную возможность нахождения в единой системе координат
X ( x, y, z ) на заданную эпоху t Э двух функций:
ФПЗ ФПЗ( X ) ; W W ( X ),
где ФПЗ – физическая поверхность Земли;
W – внешний относительно ФПЗ потенциал силы тяжести.
В целом системы отсчета координат и гравитации задаются параметрами
планетарной геоцентрической геодезической системы координат (ПГГСК) и
соответствующей ей планетарной геоцентрической гравитационной модели
(ПГГМ) [Машимов (1991)].
Определение физической поверхности Земли и ее внешнего потенциала
силы тяжести по данным наблюдений на ФПЗ, то есть на искомой границе,
относится к основной обратной задаче геодезии или к геодезической краевой
задаче [Молоденский (1950), Молоденский, Еремеев, Юркина (1960), Бровар,
Магницкий, Шимбирев (1961), Шимбирев (1975), Нейман (1979), Пеллинен,
Нейман (1980), Мориц (1983), Данилов (1996)].
Задача Молоденского определения ФПЗ и ее внешнего потенциала силы
тяжести формулируется следующим образом.
При условии, что Земля вращается с постоянной угловой скоростью вокруг
неизменной оси вращения, ФПЗ( X ) и внешний потенциал силы тяжести W ( X )
определяются в общей системе пространственных координат по наблюдениям
в точках P( X ) ФПЗ( X ) следующих величин:
1) приращений потенциала силы тяжести W0 { P0 ( X 0 )} W { P( X )}
относительно некоторого выбранного начального пункта P0 ( X 0 ) ФПЗ(X);
2) приращений ускорения силы тяжести g 0 { P0 ( X 0 )} g{ P( X )}
относительно начального пункта P0 ( X 0 ) ;
3) астрономических координат – широты { P( X )} и долготы { P( X )} .
При условии, что дополнительно известны постоянные – масса Земли и
потенциал W0 { P0 ( X 0 )} , решение задачи будет единственным. Указанные
постоянные могут быть заменены результатами непосредственных измерений
значений ускорений силы тяжести g{ P( X )} [Данилов (1996)].
Для решения основной обратной задачи классической (статической)
геодезии определения параметров системы «ФПЗ и ВГПЗ» задается
Нормальная Земля и вводится в качестве приближения к ФПЗ поверхность
теллуроида.
Решением этой задачи в линеаризованной постановке будет нахождение по
результатам измерений на ФПЗ для пунктов геодезической сети Pi ( X i ) ,
i 1, 2, ..., N вектора параметров модели статической системы « ФПЗ и ВГПЗ »
X R ( P ) [ X iT ( Pi ), QiT {Pi ( X i )}]T ,
где X i ( Pi ) – вектор параметров ФПЗ в виде пространственных координат
пунктов Pi ;
Qi {Pi ( X i )} – вектор параметров ВГПЗ в той же системе координат;
верхний индекс T – символ транспонирования.
При использовании астрономической системы координат
параметров модели системы « ФПЗ и ВГПЗ » имеет следующий вид:
X R ( Pi ) [
где
долготы;
i ( Pi )
T
i
( Pi ),
и
T
i
вектор
( Pi ),{W0 ( P0 ) Wi ( Pi )}T , TxT ( Pi ),T yT ( Pi ),TzT ( Pi )]T
i ( Pi )
– соответственно, астрономические широты и
{W0 ( P0 ) Wi ( Pi )} – приращения потенциала силы тяжести в пунктах Pi
относительно некоторого начального пункта P0 ФПЗ ;
Tx ( Pi ),T y ( Pi ),Tz ( Pi ) – производные возмущающего потенциала Ti ( Pi )
в тех же пунктах Pi по направлениям осей координат.
При использовании геодезической системы координат эквивалентным
вышеприведенному вектору X R ( Pi ) будет следующий вид вектора параметров
модели статической системы « ФПЗ и ВГПЗ »:
X R ( Pi ) [ BiT ( Pi ), LTi ( Pi ),{H i ( Pi )}T , iT ( Pi ), iT ( Pi ), iT ( Pi )]T ,
где Bi ( Pi ), Li ( Pi ) , H i ( Pi ) – соответственно, геодезические широты,
геодезические долготы и нормальные высоты в пунктах Pi ;
, i ( Pi ) , i ( Pi ) – соответственно, аномалии высот (высоты
квазигеоида) и уклонения отвеса в плоскостях меридиана и первого вертикала в
тех же пунктах Pi сети наблюдений.
Для определения параметров системы «ФПЗ и ВГПЗ» выполняются
астрономо-геодезические, гравиметрические и спутниковые наблюдения. В
дискретной постановке
X i Pi
{xi ( Pi ), yi ( Pi ), zi ( Pi )},Wi { X i ( Pi )}, i 1, 2,..., N
астрономические, гравиметрические и геодезические измерения на пункте
Pi ( X i ) ФПЗ( X ) представляют собой функционалы на потенциале силы
тяжести Wi {Pi ( X i )} , в параметры которого входят координаты пункта Pi и,
возможно, координаты смежных пунктов Pj ; i , j 1, 2,..., N . Такой
функционал запишем в следующем виде:
y k ,i ( X ,W ) y k ,i [ X ( Pi , Pj ),Wi {Pi ( X i )}] .
Всю совокупность разнородных комплексных наблюдений мы обозначаем
Y ( X ,W ) ; эта совокупность будет представлять собой многомерные
пространственные ряды. Как отмечается в работе [Данилов (1996)], носителем
информации для решения рассматриваемой задачи является ФПЗ, подлежащая
определению, то есть заранее неизвестная. Поэтому в ряде случаев мы будем
использовать
для
пунктов
наблюдений
обозначение
вида
i ( Pi )
P( X ,W ) ФПЗ( X ,W ).
При раздельном уравнивании геодезических и гравиметрических
наблюдений в векторе параметров статической системы «ФПЗ и ВГПЗ»
X R ( Pi ) первые три составляющие определяются в результате обработки
геодезических наблюдений в плановых и высотных сетях (или в
пространственных сетях), а вторые три – в результате решения
линеаризованной задачи Молоденского определения ФПЗ и ВГПЗ с краевым
условием на поверхности теллуроида для возмущающего потенциала T {P( X )}
. При совместной обработке разнородных комплексных геодезических и
гравиметрических наблюдений, представленных функционалами Y ( X ,W ) ,
геодезические наблюдения (направлений, превышений и т.п.) вносят свой вклад
в оценки основных трансформант возмущающего потенциала [Нейман, Салин
(1985)].
2.7.2. Постановка основной обратной задачи динамической физической
геодезии в пространстве состояний
Физическая поверхность Земли в пространстве и времени ФПЗ ( X , t ) и
внешний потенциал силы тяжести в пространстве и времени W ( X , t ) (или
другие параметры внешнего гравитационного поля Земли) определяются в
единой, например, декартовой системе координат X ( x, y, z ) в дискретные
1, 2 ,..., если Земля (как твердое тело)
моменты времени (эпохи) t
вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неизменной оси,
проходящей через центр ее масс. Мы будем полагать, что эти условия
выполняются в результате учета соответствующих редукционных поправок
[Heck, Malzer (1986), Мориц, Мюллер (1992)].
Исходными данными являются:
1) приращения потенциала силы тяжести в пунктах сети наблюдений
Pi ( X i ,t ) ФПЗ( X ,t ), i 1, 2,..., N относительно некоторой начальной точки
P0 ( X 0 , t Э ) на выбранную эпоху t Э
Wi {Pi ( X i , t )} W0 {P0 ( X 0 , t )} Wi {Pi ( X i , t Э )};
при этом будет использоваться разложение
W {P( X , t )} U {P( X , t )} T {P( X , t )},
где U {P( X , t )} и T {P( X , t )} – соответственно, нормальный и
возмущающий потенциалы в пространстве X ( x, y, z ) и времени t ;
2) значения величины силы тяжести g i {Pi ( X i , t )} ;
3) астрономические координаты – широты i {Pi ( X i ,Wi , t )} и долготы
i {Pi ( X i ,Wi , t )}.
Pi ( X i , t ) выполнены наблюдения
Кроме
того,
на
пунктах
астрономических азимутов и геодезические измерения (направлений, зенитных
расстояний, наклонных дальностей, превышений и т. п.). Таким образом,
носителем информации является ФПЗ ( X , t ) в пространстве и времени.
В соответствии с теорией уравнений математической физики [Арсенин
(1984), Владимиров, Жаринов (2000)], для решения задачи описания
геодинамической системы, как физического процесса, необходимо, кроме
самого уравнения, моделирующего закономерность процесса, задавать
дополнительные условия: начальное состояние процесса – начальные условия
и режим на границе исследуемой области, в которой идет процесс, то есть
граничные условия. Указанные дополнительные условия называются
краевыми начальными и граничными условиями. Соответственно такие задачи
называются краевыми задачами.
Учитывая вышеизложенное, математическую постановку основной
обратной задачи динамической физической геодезии мы даем в соответствии с
полной постановкой краевых задач:
составление системы уравнений, которым удовлетворяет искомая
система функций, описывающих исследуемое явление (процесс, объект);
задание дополнительных (краевых) условий, которые должны
обеспечить существование и единственность решения задачи.
В монографиях [Нейман (1979), Данилов (1996)] задача Молоденского
определения фигуры реальной Земли относится к обратной задаче потенциала
с данными на искомой границе (то есть носителем информации является
поверхность Земли). Существенную роль при этом играет геодезическая
краевая задача, краевая поверхность. Заметим, что в соответствии с полной
постановкой обратной задачи, включающей краевые условия, выполнена работа
[Нейман, Салин (1985)].
В работе [Каратаев, Панкрушин, Щеглов (1967)], насколько нам известно,
впервые были поставлены прямая и обратная задачи теории временных
возмущений гравитационного и магнитного полей и движений земной
поверхности. Обратная задача заключалась в определении по заданным
(наблюденным) временным вариациям гравитационного (магнитного) полей
функции плотности (намагниченности) среды, формы ее поверхности и
характера распределения внешних нагрузок на поверхности аномального тела.
Для построения моделей закономерностей поведения ГДС по результатам
геодезических и геофизических наблюдений, наряду с уравнениями движений
жестких блоков, находят применение дифференциальные реологические
уравнения. Последние описывают связь тензора деформаций и тензора
напряжений для реологических тел (Максвелла, Кельвина – Фойхта, упругого
тела Гука и их комбинаций), которыми может быть аппроксимирована
рассматриваемая сплошная среда. Кроме того, при построении моделей ГДС
могут быть использованы уравнения процессов накопления и извержения
магмы очагов вулканов, вызывающих изменения как напряженнодеформированного состояния, так и изменений во времени ВГПЗ [Ефимов,
Демин (1979), Федотов (1984)].
При решении дифференциальных уравнений, описывающих напряженнодеформированное состояние, в работе [Каратаев, Панкрушин, Щеглов (1967)]
вводятся краевые (граничные или поверхностные) условия, которые
устанавливают связь между тензором напряжений на границе тела и внешними
силами, действующими на наружной поверхности.
В работе [Heck (1987)] определение изменений во времени фигуры и
гравитационного поля планеты рассматривается как краевая задача теории
потенциала; решение выполняется в виде разложения потенциала по
сферическим функциям. Мы к краевой задаче или основной обратной задаче
динамической физической геодезии относим определение оценок в целом
ˆ
описанного выше расширенного вектора параметров состояний X R ( X , t ) ГДС
«ФПЗ и ВГПЗ».
Специфика нашего подхода к постановке основной обратной задачи
динамической физической задачи заключается в том, что краевые условия будут
даны на поверхности одношагового (на одну эпоху наблюдений) прогнозного
теллуроида для возмущающего потенциала T { P( X ,t )} в пространстве
состояний. Такая постановка обратной линеаризованной задачи является
развитием и обобщением в аспекте моделирования геодинамических систем
«ФПЗ и ВГПЗ» обратной задачи Молоденского определения фигуры реальной
Земли. Очевидно, что к специфике нашего подхода относятся все положения
парадигмы теории моделирования и идентификации ГДС в разделе 2.2.
При решении основной обратной задачи динамической физической
геодезии составляются два линеаризованных уравнения состояний ГДС,
моделирующих соответственно закономерности движений ГДС и систему
разнородных комплексных геодезических и геофизических наблюдений в
пространстве и времени [Панкрушин (2002)]. ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» относятся к
сложным системам. Как правило, сложность обусловливает неполноту
априорной информации о структуре систем, о закономерностях происходящих
процессов. Для преодоления этой трудности моделирование в форме двух
уравнений состояний и их совместное решение следует выполнять в процессе
рекуррентной структурной и параметрической идентификации ГДС «ФПЗ и
ВГПЗ» по многомерным пространственно-временным рядам результатов
разнородных комплексных астрономо-геодезических и гравиметрических
наблюдений.
Требуется найти по алгоритму адаптивного рекуррентного фильтра
Калмана – Бьюси (ФКБ) оптимальные текущие оценки расширенного вектора
параметров состояний ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» X̂ R ( X ,t ) , а также одношаговые
прогнозные фоновые оценки этого вектора параметров X̂ RF ( X̂ F ,t ) с
соответствующими ковариационными матрицами K ( X̂ R ,t ) и K ( X̂ RF ,t ) .
Формирование расширенного вектора параметров состояний описано в разделе
2.6, алгоритм адаптивного рекуррентного ФКБ дан в монографии [Панкрушин
(2002)]. Заметим, что дополнительные или начальные условия решения
обратной задачи задаются и при рекуррентной обработке наблюдений по
алгоритму ФКБ, как начальные оценки определяемых параметров.
ВЫВОДЫ
Во второй главе поставлена проблема математического моделирования и
идентификации открытых сложных самоорганизующихся геодинамических
систем (ГДС) «Физическая поверхность Земли (ФПЗ) и внешнее
гравитационное поле Земли (ВГПЗ)». Дано методологическое и теоретическое
обеспечение решения задач этой проблемы.
Разработана система, элементами которой являются ключевые категории,
понятия, принципы, концептуальные положения и подходы. В совокупности эти
элементы определяют парадигму, т. е. основания и характер как
разрабатываемой в настоящей главе теории математического моделирования и
идентификации (физической интерпретации) геодинамических систем
(объектов, процессов, явлений) по пространственно-временным рядам
наблюдений, так и разработок, выполненных в последующих главах.
К ключевым категориям отнесены три физических категории:
пространство-время, геофизические поля (прежде всего, гравитационное) и
тела. Аналогично тому, как это принято в физике, три сочетания по две
физических категории соответствуют трем миропониманиям физической
реальности (в нашем случае, геодинамической). Пара категорий –
пространство-время и геофизические поля – обусловливает геометрическое
миропонимание; пара – тела и геофизические поля – обусловливает физическое
миропонимание; пара – пространство-время и тела – обусловливает так
называемое реляционное миропонимание.
В основе понятий, концептуальных положений, концептуальной модели,
принципов и подходов при решении задач проблемы моделирования и
идентификации ГДС лежат теории и методы как наук о Земле (физической
геодезии, теории фигуры Земли, геофизики, геологии, геоморфологии и др.),
так и ряда современных междисциплинарных наук. К последним относятся
следующие методы: системно-структурного подхода и системного анализа,
распознавания образов, математического моделирования и идентификации
сложных динамических систем, адаптивной математической обработки
(фильтрации) и интерпретации многомерных временных рядов результатов
наблюдений, оценивания параметров систем, оптимизации, принятия решений
и управления, принципы симметрии (инвариантности), подходы к
исследованию нелинейных динамических систем с позиций теории
самоорганизации,
синергетики,
фракталов,
динамического
и
детерминированного хаоса.
В главе разработаны концептуальные блок-схема идентификационного
эксперимента при исследовании ГДС по результатам пространственновременных наблюдений и концептуальная дискретная стохастическая
нелинейная модель открытых ГДС «ФПЗ и ВГПЗ» типа «вход – состояние –
выход». С целью описания пространственно-временного многообразия
физического пространства и упорядочения событий на первом шаге
математического моделирования выполняется арифметизация (паспортизация)
пространства-времени.
Математическая модель ГДС строится в виде системы двух нелинейных
уравнений состояния. Первое уравнение состояний моделирует в рекуррентной
форме закономерности движений и вариаций ГДС «ФПЗ и ВГПЗ»,
возмущаемых детерминированными и стохастическими воздействиями
внешней среды. Второе уравнение состояний моделирует результаты
пространственно-временных рядов наблюдений с учетом их ошибок.
Совместное решение этих двух уравнений предлагается решать по алгоритму
адаптивного рекуррентного фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ).
Моделирование ГДС системой таких двух уравнений состояния и выбор
в качестве адекватного математического аппарата рекуррентного ФКБ
позволили выполнить математическую формализацию и дать решение задачи
М.С. Молоденского (1958) разделения собственно движений ФПЗ и вариаций во
времени ВГПЗ (смещений уровенных поверхностей потенциала силы тяжести и
изменений положений отвесных линий во времени) [Панкрушин (2002)].
Идентификации глобальных, региональных и локальных открытых
геодинамических систем (объектов, процессов, явлений) с распределенными
параметрами выполняется по многомерным пространственно-временным рядам
разнородных комплексных наземных и спутниковых геодезических (в широком
смысле, включающих, в частности, аэрокосмические съемки) и геофизических
наблюдений. В локальные геодинамические системы (ГДС) могут включаться в
качестве подсистем объекты инженерной геодинамики, горные массивы под
воздействием тектонических и техногенных процессов, инженерные
сооружения, технологическое оборудование и другие динамические объекты.
Идентификация ГДС рассматривается в широком смысле – как выполнение
не только параметрической идентификации (оценивания параметров), но и
структурной идентификации. Последняя заключается в принятии решения с
позиций системного анализа по выбору из выдвигаемых альтернативных
моделей адекватной модели закономерностей движений ФПЗ и изменений во
времени ВГПЗ с идентификацией при этом и взаимно стабильных, устойчивых
во времени пунктов сети наблюдений.
Необходимость идентификации в широком смысле обусловлена
неполнотой априорной геолого-геофизической информации о структуре
закономерностей движений сложных ГДС. Неполнота априорной информации,
как степень нашего незнания физического механизма геодинамических
процессов, и делает идентификацию ГДС проблемой, т. е. переводит
идентификацию из категории задачи (вопроса) в категорию проблемы.
В процедуру структурной идентификации входит формирование
совокупности определяемых параметров и коэффициентов модели ГДС,
определение совокупности составных частей модели и связей между ними. В
процессе структурной идентификации ГДС выполняются преобразования
структуры модели с целью снижения ее размерности (агрегирования модели),
т. е. с целью построения адекватной модели при минимальном числе
определяемых параметров.
Примерами агрегирования модели ГДС и, как следствие, снижения
размерности задачи вычислительной реализуемости параметрической
идентификации являются: переход от большого числа определяемых
параметров в виде основных трансформант возмущающего потенциала к
небольшому числу параметров в виде масконов (аномалиеобразующих тел,
точечных аномальных масс); выделение из определяемого расширенного
вектора параметров состояния части параметров и включение их в
настраиваемые параметры последовательным симплексным методом,
встроенным в алгоритм адаптивной рекуррентной обработки и интерпретации
результатов наблюдений; использование методов декомпозиции задач большой
размерности [Панкрушин (2002)].
В главе предложен подход к решению основной обратной задачи
динамической физической геодезии. Постановку и решение этой задачи
предлагается выполнять как развитие положений классической (статической)
физической геодезии по определению фигуры и внешнего гравитационного
поля Земли в аспекте математической теории и методов моделирования
сложных самоорганизующихся динамических систем с пространством
состояний и их структурной и параметрической идентификации. При этом,
учитывая, что для обратных задач задаются дополнительные начальные
(граничные) условия, очевидно, необходимо выполнение исследований
неустойчивости
решений
с
позиций
теории
динамического
и
детерминированного хаоса, указанных в разделе 2.2. «Парадигма теории
математического моделирования и идентификации геодинамических систем».
Б.Т. Мазуров, В.К. Панкрушин, В.А. Середович
ГЛАВА 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ КОМПЛЕКСНЫХ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ И ГЕОФИЗИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ
3.1. Актуальность задачи идентификации напряженнодеформированного состояния геодинамических систем
Как уже отмечалось во второй главе, геодинамические объекты (процессы,
явления) рассматриваются как сложные иерархические открытые (в общем
случае,
нелинейные)
геодинамические
системы
(ГДС) – глобальные
(планетарные), региональные и локальные; в последние могут включаться
объекты инженерной геодинамики, состоящие из двух подсистем – инженерные
сооружения и геофизическая среда.
Важные результаты и открытия ряда наук о Земле, полученные в последние
десятилетия [Геодинамика и напряженное состояние недр Земли (1999, 2001)],
свидетельствуют о большой роли нелинейности в поведении геодинамических
систем. Для решения ряда задач нелинейной геомеханики, геофизики,
сейсмологии большое распространение получили модели механики сплошных
сред в рамках динамической или статической теории упругости. В частности,
это является основой существующих систем мониторинга природных и
техногенных катастроф, а также используется при создании систем
наблюдений и компьютерной обработки результатов лабораторных и натурных
наблюдений. «Именно с изучением нелинейных физических и геомеханических
процессов связаны большие перспективы наук о Земле…» [Курленя, Опарин
(1999а, б)]. Этими же авторами приведен перечень проблем нелинейной
геомеханики, среди которых отдельно отметим «создание опытных
геомеханических полигонов, изучение связей между глобальными
геодинамическими процессами и техногенными катастрофами, измерение и
контроль полей напряжений и деформаций в верхней оболочке Земли, создание
геоинформационных систем горной механики».
Данные проблемы отражают необходимость в комплексном подходе к
исследованию природных и техногенных геодинамических систем различного
масштабного уровня на экспериментальной основе – «как постановочном и
ограничивающем начале для теоретических исследований» [Опарин (2001)].
Это, в частности, относится и к проблеме математического моделирования и
идентификации напряженно-деформированного состояния (НДС) ГДС (см.
гл. 2).
В нашей постановке проблема математического моделирования и
идентификации НДС ГДС решается по пространственно-временным рядам
разнородных
комплексных
геодезических
и
геолого-геофизических
наблюдений.
Например, НДС земной коры может быть определено по количественным
оценкам скорости тектонических смещений по геодезическим данным; по
непосредственным измерениям в массивах горных пород (такие измерения
производятся по методу разгрузки напряжений в кернах, выбуренных в
рудниках, шахтах и туннелях, и по методу гидроразрыва в скважинах на
глубине до нескольких километров); по геологическим данным о формировании
неотектонических структур сжатия (складки, надвиги), растяжения (рифты,
сбросовые структуры) и различных разломов, в частности, сдвигов. Эти три
подхода позволяют оценить НДС в верхней части земной коры. Их дополняет
четвертый подход исследований, который позволяет охарактеризовать
напряжения в более глубоких частях земной коры и в верхней мантии
[Добрецов, Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин А.А. (2001), Соболев, Пономарев
(2003)]. Он состоит в обобщении геофизических данных – сейсмологических
(которые дают возможность определить ориентировку осей наибольших и
наименьших сжимающих напряжений и характер смещения в очаге
землетрясений путем изучения особенностей распространения сейсмических
волн) и гравиметрических (основанных на геодинамической интерпретации
сведений о величине и ориентировке сопряженных зон положительных и
отрицательных аномалий силы тяжести). Такие нарушения возникают в
основном под действием тектонического сжатия и позволяют количественно
определить величину действующих в коре напряжений [Балакина, Введенская,
Голубева (1972), Григорьев, Осокина (1979)]. Использование методов
определения параметров движений, деформаций, напряжений по натурным
наблюдениям позволяет повысить адекватность аналитических моделей и
точность оценивания параметров НДС ГДС.
Параметры геодинамической системы (координаты и отметки пунктов,
параметры движений, деформаций и напряжений) во многих случаях
недоступны для непосредственного измерения и могут определяться косвенным
путем по результатам наблюдений некоторых других величин (направления,
длины линий, зенитные расстояния, превышения и другие). Это приводит к
проблеме физической интерпретации результатов непосредственных наблюдений
или к проблеме идентификации систем. Принципиальным моментом является
то, что интерпретация не должна отрываться от обработки (уравнивания или
фильтрации) наблюдений, не должна нарушаться закономерность целостности
систем наблюдений, их обработки и интерпретации.
Таким образом, актуальным является решение задачи разработки
методического и алгоритмического обеспечения информационной технологии
идентификации
(в
широком
смысле)
движений и НДС
ГДС
по
пространственно-временным
рядам
комплексных
геодезических
и
геофизических наблюдений. Идентификация в широком смысле включает
структурную идентификацию (определение закономерности поведения ГДС) и
параметрическую (оценивание параметров ГДС). Высокие требования к
точности, полноте и достоверности определения параметров движений и
деформаций естественных и техногенных ГДС, возможность принятия решения
о характере поведения ГДС в процессе исследования вызывают необходимость
разработки оперативных и оптимальных методов математической обработки и
интерпретации пространственно-временных рядов комплексных геодезических
и геофизических наблюдений.
Это основные предпосылки создания компьютерной информационной
технологии идентификации НДС ГДС. Разрабатываемая нами в настоящее
время геоинформационная технология включает автоматизацию процесса
геодинамических исследований, обеспечение оптимального решения задач
определения закономерностей движений, текущих и прогнозных оценок НДС
ГДС, компьютерную визуализацию различных геодинамических полей, включая
прежде всего визуализацию полей деформаций и напряжений. Далее
описывается основа нашей технологии: теоретическое, математическое и
алгоритмическое обеспечение идентификации (в широком смысле)
движений и напряженно-деформированного состояния геодинамических систем
по пространственно-временным рядам комплексных геодезических и
геофизических наблюдений.
3.2. Теоретические и математические основы расчета напряженнодеформированного состояния
Приведем здесь теоретические и математические основы, которые будут
необходимы нам при решении задач по определению НДС в нашей постановке.
В настоящее время как в России, так и за рубежом, при решении многих
задач геомеханики, геофизики, сейсмологии используются модели механики
сплошных сред [Теркот, Шуберт (1985)] в рамках теории упругости [Демидов
(1979)]. Теория упругости – теоретическая основа расчѐтов на прочность,
деформируемость и устойчивость. Объектами исследования методами теории
упругости являются, в частности, горные массивы, плотины, геологические
структуры, находящиеся под действием эндогенных и экзогенных сил,
температурных полей и других воздействий. В результате расчѐтов методами
теории упругости определяются допустимые нагрузки, при которых в
рассчитываемом объекте не возникают напряжения или перемещения, опасные
в смысле потери данным объектом устойчивости.
Теорию упругости подразделяют на классическую, линейную и
нелинейную. Более общий характер имеет нелинейная теория упругости.
Физические законы упругости материалов, надѐжно проверенные
экспериментально и имеющие место для большинства материалов, по крайней
мере при малых (а иногда и очень больших) деформациях, отражают взаимно
однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями
напряжений
и деформаций . В этом физические законы упругости
отличаются от законов пластичности, в которых напряжения зависят от
процесса изменения деформаций (при одних и тех же деформациях,
достигнутых путѐм различных процессов, напряжения различны).
Например, согласно физическим законам упругости при растяжении
цилиндрического образца длины l, радиуса r, с площадью поперечного сечения
S имеет место пропорциональность между растягивающей силой F,
продольным удлинением образца l и поперечным удлинением r. Эта
пропорциональность выражается равенствами: 1 E 1 , 2
1 , где
l
S
1
F – нормальное напряжение в поперечном сечении; 1
l –
относительное удлинение образца,
r
r – относительное изменение
поперечного размера; Е – модуль Юнга (модуль продольной упругости); –
коэффициент Пуассона.
Напряжение в любой точке тела характеризуется шестью величинами –
компонентами напряжений: нормальными напряжениями xx , yy , zz и
касательными напряжениями xy , yz , zx . При этом xy
yx и т. д.
Деформация в любой точке тела также характеризуется шестью величинами –
компонентами деформаций: относительными удлинениями xx , yy , zz и
сдвигами xy , yz , zx . При этом xy
yx и т. д.
Основным физическим законом теории упругости является обобщѐнный
закон Гука, согласно которому нормальные напряжения линейно зависят от
деформаций. Для изотропных материалов эти уравнения имеют вид:
xx
3
xy
2
2
xy ,
1 (
3
где
xx ,
3
yy
2
yz
xx
yy
2
yz ,
zz )
2
zx
yy ,
2
zz
3
2
zz ,
(3.1)
zx ,
– средняя (гидростатическая) деформация;
и – постоянные Ламе (величины, характеризующие упругие свойства
изотропного материала). Значения этих параметров для различных материалов
известны.
Математическая задача теории упругости при равновесии состоит в том,
чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и граничные условия,
определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и
деформаций, а также компоненты u x , u y , uz вектора перемещения каждой
частицы тела в виде функций от декартовых прямоугольных координат x, у, z
точек тела. Исходными для решения этой задачи являются следующие
дифференциальные уравнения равновесия:
xx
x
yx
x
zx
xy
y
yy
xz
z
yz
y
z
zy
zz
Fx
0,
Fy
0,
(3.2)
Fz 0,
x
y
z
где – плотность материала; Fx , Fy , Fz – проекции на координатные оси
действующей на каждую частицу тела массовой силы F (например, силы
тяжести).
К трѐм уравнениям равновесия (3.2) присоединяются 6 равенств (3.1) в
случае изотропного тела и ещѐ 6 равенств вида:
xx
ux
,
x
uy
,
y
yy
uz
,
z
zz
(3.3)
uy
uy
ux
uz
ux
uz
2 xy
, 2 yz
, 2 xz
,
y
x
z
y
z
x
устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и
перемещений.
Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные
поверхностные силы (например, силы контактного взаимодействия), проекции
которых, отнесѐнные к единице площади, равны Fx , Fy , Fz , а для части S2 этой
поверхности заданы перемещения еѐ точек u x , u y , uz , граничные условия
имеют вид:
xx cos( n , x )
xy cos( n , y )
xz cos( n , z ) Fx ,
yx
cos( n, x )
yy
cos( n , y )
yz
cos( n, z )
Fy ,
(3.4)
cos( n, x )
zy cos( n , y )
zz cos( n , z ) Fz ,
на части граничной поверхности тела S1 .
И для части граничной поверхности тела S 2 граничные условия имеют
zx
вид:
ux
x,
uy
y,
uz
z.
(3.5)
В уравнениях (3.4) cos(n, x), cos(n, y), cos(n, z) – косинусы углов,
соответственно, между нормалью к поверхности n и координатными осями x, y,
z. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на
границе S1 трѐм равенствам (3.4), а вторые – что искомые перемещения должны
удовлетворять на границе S 2 равенствам (3.5). В частном случае может быть
0 (часть поверхности S 2 жестко закреплена). Например, в
x
y
z
задаче о равновесии плотины массовой силой считается сила тяжести,
поверхность S 2 подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S1
действуют такие силы, как напор воды, давление различных надстроек,
транспортных средств и т. д.
В динамических задачах теории упругости искомые величины являются
функциями координат и времени. Исходными для математического решения
динамических задач являются дифференциальные уравнения движения Коши,
отличающиеся от уравнений (3.2) тем, что правые части вместо нуля содержат
2
2
uy
ux
инерционные члены:
для первого уравнения,
для второго
2
2
t
t
2
ux
уравнения и
для третьего уравнения системы (3.2) [Демидов (1979)].
2
t
К этим исходным уравнениям движения должны также присоединяться
уравнения (3.1), (3.3) и, кроме граничных условий (3.4), (3.5), ещѐ задаваться
начальные условия, определяющие, например, распределение перемещений и
скоростей частиц тела в начальный момент времени. К динамическим задачам
теории упругости относятся задачи о распространении упругих волн
(сейсмические волны и их воздействие на конструкции и сооружения, волны,
возникающие при взрывах и ударах, термоупругие волны), задачи о колебаниях
конструкций и сооружений, в которых могут определяться формы колебаний и
их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во
времени, резонансные режимы, динамические напряжения, методы
возбуждения и гашения колебаний.
При решении плоских задач теории упругости принимается, что один из
компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух
координат – u x u x ( x, y ), u y u y ( x, y ), u z 0 . При таком допущении часть
уравнений в системах (3.1) – (3.5) исчезнет, а оставшиеся в них уравнения будут
соответственно упрощены.
3.3. Метод конечных элементов как математический аппарат расчета
НДС
В общем случае решение задач теории упругости трудно осуществимо
аналитически.
Для решения уравнений (3.1) – (3.5) в последнее время интенсивно
разрабатываются численные методы решения, примером которых является
метод конечных элементов [Оден (1976)].
Для выполнения расчѐта исследуемой системы устанавливают ее
расчѐтную схему (модель). С этой целью из реальной системы мысленно
удаляют элементы, воспринимающие только местные нагрузки и практически
не участвующие в работе системы в целом, и получают идеализированную,
упрощѐнную схему (как бы скелет) системы.
При составлении расчетных схем нагрузку, приложенную к небольшим
участкам поверхности, заменяют сосредоточенной силой, т. е. силой,
приложенной к некоторой точке поверхности. Саму континуальную систему
разделяют на так называемые конечные элементы (КЭ), которые соединяются
между собой жѐсткими или упругими связями. При расчѐте систем с
разделением их на конечные элементы применяется как метод сил, так и метод
перемещений, причѐм, если выбор метода при расчѐте традиционными
способами связывался с количеством совместно решаемых уравнений, то с
появлением ЭВМ предпочтение, как правило, отдаѐтся методу перемещений,
позволяющему проще определять коэффициенты при неизвестных [Варвак,
Бузун, Городецкий и др. (1981)].
Основное понятие метода конечных элементов, применяемого к
структурным исследованиям деформации и напряжений, заключается в том, что
непрерывное
поле
деформируемой
системы
(объекта)
заменяется
совокупностью индивидуальных малых компонент конечных размеров, которые
соприкасаются только в узловых точках компонент.
Для двумерных динамических систем наиболее часто применяют
треугольные или прямоугольные КЭ. Соответственно моделью двумерных
систем будет двумерная расчетная схема, т. е. все характеристики двумерной
расчетной схемы для системы зависят от двух координат (рис. 3.1).
y
F1
F2
i
j
r
F3
l
k
x
0
Рис. 3.1. Расчетная схема системы
КЭ соединены в общих точках – узлах. Узел расчетной схемы может быть
общим для нескольких КЭ системы . Выделенный КЭ r имеет форму
прямоугольника, вершины которого совпадают с узлами i, j, k, l.
Каждому отдельному КЭ системы придаются по две связи в каждом узле
(рис. 3.2, а).
а
б
в
Рис. 3.2. Связи (а), перемещения (б), реакции (в) в узлах прямоугольного КЭ
В узле i вследствие его перемещений u xi и u yi (рис. 3.2, б) возникают
реакции в дополнительных связях Rix и Riy (рис. 3.2, в), выраженные
следующими уравнениями:
Rix k11u xi k12u yi k13u x j k14u y j k15u xk k16u y k k17u xl k18u y l
,
Riy k 21u xi k 22u yi k 23u x j k 24u y j k 25u xk k 26u y k k 27u xl k 28u y l
(3.6)
где k ij – коэффициенты жесткости. Физический смысл этих
коэффициентов понимается как усилие в узле i, возникающее от единичного
перемещения по направлению, которое определено индексом j, если все
остальные перемещения равны нулю [Варвак, Бузун, Городецкий и др. (1981)].
Для узлов j, k, l реакции в дополнительных связях могут быть записаны
аналогично (3.6).
Представим выражения для всех четырех узлов i, j, k, l (восемь
компонентов узловых сил) КЭ r в матричной форме:
Rr K rU r ,
(3.7)
где вектор узловых реакций (сил) КЭ r
Rix
Rr
Riy
,
(3.8)
.....
Rly
матрица коэффициентов жесткости КЭ r
k11 k12 k13 k14 k15 k16 k17 k18
k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 k 27 k 28
Kr
,
... ...
...
...
...
...
...
...
k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88
вектор перемещений узлов КЭ r
(3.9)
u xi
Ur
u yi
....
u yl
.
(3.10)
Определение значений коэффициентов матрицы жесткости (3.9)
прямоугольного КЭ начинают с задания вида аппроксимирующих функций
перемещений по области КЭ. Это могут быть полиномы из четырех членов:
u x ( x, y )
1
2x
3y
4 xy ;
(3.11)
u y ( x, y )
5
6x
7y
8 xy .
Система уравнений перемещений для четырех узлов i, j, k, l с известными
координатами x i , y i , x j , y j , x k , y k , x l , y l и известными или измеренными
перемещениями uxi , u yi , ux j , u y j , uxk , u y k , uxl , u yl будет состоять из 4 пар
линейных уравнений вида (3.11). Из решения этой системы из восьми
уравнений однозначно находятся коэффициенты 1 , 2 ,..., 8 . Это позволяет
найти конкретный вид координатных функций u x ( x , y ), u y ( x , y ) в (3.11). Как
только узловые смещения для каждого элемента определены, напряжения
соответствующего КЭ в отсутствии начальных деформаций рассчитываются
следующим образом:
LU i ,
(3.12)
i
где
0
x
L
0
y
.
(3.13)
y
x
Связь между напряжениями и деформациями, учитывая свойства
материала, можно определить в соответствии с законом Гука следующим
образом:
D i,
(3.14)
i
где
D
–
матрица
адаптационной
способности
(упругости),
соответствующая свойствам материала. Для случая плоского напряженного
состояния, матрица D определяется выражением
D
1
E
2
1
0
0
1
0 0
.
2
Затем можно получить коэффициенты
напряженного состояния они вычисляются так:
ab
kij
h
( D i )T
(3.15)
1
j dxdy ,
жесткости.
Для
плоского
(3.16)
00
где h – толщина пластины; a, b – размеры прямоугольного КЭ; i – (i = 1, 2, …,
8) – вектор деформаций (3.12) по области КЭ в случае, когда узловое
перемещение под номером i равно единице, а все остальные степени свободы
равны нулю; j – (j = 1, 2, …, 8) – вектор деформаций (3.12) по области КЭ в
случае, когда узловое перемещение под номером j равно единице, а все
остальные степени свободы равны нулю.
Аналогично может быть выполнен расчет коэффициентов матрицы
жесткости треугольного КЭ. Аппроксимирующие функции перемещений по
области треугольного КЭ имеют вид:
u x ( x, y )
1
2x
3 y;
(3.17)
u y ( x, y )
4
5x
6 y.
Соответственно размерность матрицы жесткости треугольного КЭ будет 6
6.
Удобные для практического применения формулы для вычисления
коэффициентов матриц жесткости прямоугольных и треугольных КЭ приведены в
работе [Варвак, Бузун, Городецкий (1981)].
Когда матрицы жесткости для всех КЭ деформируемого тела будут
рассчитаны, общая матрица жесткости области определяется суперпозицией
матриц жесткости всех КЭ:
K
nr
TrT K r Tr ,
(3.18)
r 1
где
0... 0 1 0... 0 0 0... 0
0... 0 0 1... 0 0 0... 0
0... 0 0 0... 0 0 0... 0 .
(3.19)
Tr
... ... ... ... ... ... ... ...
0... 0 0 0... 1 0 0... 0
0... 0 0 0... 0 1 0... 0
В выражениях (3.18), (3.19): n r – количество компонент; n – количество
узловых точек; Tr – матрица, которая преобразовывает матрицу жесткости КЭ r
в соответствующую этому КЭ часть в общей матрице. Tr имеет размерность
8 2 n для прямоугольного КЭ и 6 2 n для треугольного КЭ. Компоненты
Tr – нулевые, если не соблюдается тождество в ( 2i 1, 2ni 1) и ( 2i , 2ni )
позициях с ni , (i 1, 2, 3,4) . Для прямоугольного КЭ ni , (i 1, 2, 3,4) являются
нумерацией четырех узлов, а для треугольного КЭ ni , (i 1, 2, 3) являются
нумерацией трех узлов.
Например, для прямоугольных элементов расчетной схемы системы (см.
рис. 3.1) матрица Tr имеет размерность 8 28 , а для треугольных элементов
6 28 . Общая матрица жесткости K будет иметь размерность 28 28 . В ее
формировании участвуют 10 локальных матриц жесткости прямоугольных КЭ и
4 локальные матрицы жесткости треугольных КЭ.
Узловые компоненты внешней нагрузки F на поверхность системы
и
уравнения равновесия узловых сил будут связаны как линейные алгебраические
уравнения относительно перемещений узлов расчетной схемы – U :
F K U.
(3.20)
В уравнении (3.20) F – вектор-столбец узловых нагрузок, к которым
сведены местные нагрузки, распределенные по области системы
Fx1
F
Fy1
,
(3.21)
.....
Fy n
K – матрица жесткости для всей системы
k ( u x1 , u x1 ) k ( u x1 , u y1 ), ... , k ( u x1 , u y n )
k ( u y1 , u x1 ) k ( u y1 , u y1 ), ... , k ( u y1 , u y n )
K
.........
.........
...
,
.........
(3.22)
k ( u y n , u x1 ) k ( u y n , u y1 ), ... , k ( u y n , u y n )
U – вектор перемещений n узлов расчетной схемы по области системы
u x1
u y1
U
.....
u yn
.
(3.23)
После вычисления обратной матрицы K Ω1 находим решение системы
линейных уравнений (3.20):
U K 1F .
(3.24)
3.4. Алгоритм определения параметров НДС ГДС по расчетным
значениям перемещений
Разбиваем всю поверхность ГДС на треугольные КЭ (рис. 3.3).
y, uy
i ( xi , yi , u xi , u yi )
F1
F2
r
i
k ( xk , y k , u x k , u y k )
j( x j , y j , u x j , u y j )
r
F3
k
j
x, ux
Рис. 3.3. Разбиение поверхности ГДС на треугольные КЭ
Для каждого КЭ может быть записана своя модель локально-однородной
деформации для плоского объекта. Координаты вершин i, j, k треугольного КЭ r
известны – xi , yi , x j , y j , xk , yk . Вектор перемещений узлов U рассчитан по
(3.24). Для всех трех вершин закон деформирования одинаков. Поэтому можно
записать:
u xi
e10 e11 x i e12 y i ,
u yi
e20
e21 x i
e22 y i ,
ux j
e10
e11 x j
e12 y j ,
uy j
e20
e21 x j
e22 y j ,
u xk
e10
e11 x k
e12 y k ,
(3.25)
u yk
e20 e21 x k e22 y k .
Система (3.25) состоит из 6 линейных уравнений с 6 неизвестными
коэффициентами линейной модели перемещений:
e e10 e11 e12 e20 e21 e22 T .
(3.26)
Из решения системы (3.25) эти коэффициенты определяются однозначно:
1
e11
(( u xi u x j )( yi y k ) ( u xi u xk )( yi y j )),
2S r
1
e12
(( u xi u x j )( xi x k ) ( u xi u xk )( xi x j )),
2S r
(3.27)
1
e21
(( u yi u y j )( yi y k ) ( u yi u yk )( yi y j )),
2S r
1
e12
(( u yi u y j )( xi x k ) ( u yi u yk )( xi x j )),
2S r
e10 u xi e11 xi e12 y i ,
(3.28)
e20 u yi e21 xi e22 y i ,
где S r – площадь треугольного КЭ r:
1
(3.29)
Sr
(( x1 x 2 )( y1 y 3 ) ( x1 x 3 )( y1 y 2 )).
2
Однако нужно помнить, что значения коэффициентов e10 ,e20 , отвечающих
за параллельный перенос КЭ, будут зависеть от выбранной системы координат.
При расчете напряженно-деформированного состояния эти коэффициенты
участия не принимают. Важны другие 4 коэффициента, которые обычно
записывают в виде квадратной матрицы – тензора деформации:
e11 e12
.
(3.30)
T
e21 e22
В тензоре T выделим симметричную часть T , отражающую чистую
деформацию КЭ r, и кососимметричную часть T , отражающую вращение КЭ r
как абсолютно твердого тела:
T T T ,
(3.31)
e12 e21
e11
2
T
,
(3.32)
e21 e12
e22
2
e12 e21
0
2
T
.
(3.33)
e21 e12
0
2
Компоненты тензора деформаций T выделим в отдельный вектор:
e xx
e yy
e xy
T
,
(3.34)
где
xx
e11 ,
yy
e22 ,
xy
e12
e21
2
.
(3.35)
Затем выполним расчет параметров, характеризующих напряженное
состояние объекта. Параметры, характеризующие напряженное состояние
объекта, определяются на основе модели теории упругости [Демидов (1979)].
Тензор напряжений в отдельном треугольном элементе r вычислим в
соответствии с формулами закона Гука (3.1) и формулами Коши (3.2) по
формуле (3.14) с учетом (3.15):
D .
(3.36)
Для оценки НДС остальных КЭ области
вычисления повторяют с
координатами и смещениями узловых точек, соответствующих каждому
конкретному КЭ.
3.5. Математический аппарат решения задачи идентификации НДС ГДС
по пространственно-временным рядам разнородных комплексных
геодезических и геофизических наблюдений
Идентификация
напряженно-деформированного
состояния
геодинамических
систем
является
частной
задачей
исследования
геодинамических систем по натурным наблюдениям. Функциональную схему
решения этой задачи в результате обработки и интерпретации многомерных
временных рядов комплексных разнородных геодезических и геофизических
наблюдений можно представить рис. 3.4.
Идентификация НДС ГДС является обратной задачей, требующей для
получения корректного решения учета ошибок наблюдений. Часто при решении
подобных задач исследователи допускают методологические ошибки:
ограниченный класс моделей движений и деформаций, недооценка роли
пространственной или временной составляющих модели, отсутствие строгих
критериев выбора адекватной модели, неоптимальное сочетание процедур
оценивания и прогнозирования, в частности, неполное использование
информации об ошибках при переходе от уравнивания сети к оцениванию
параметров модели и прогнозированию.
Внешнее воздействие
ДИНАМИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ (ПРОЦЕСС, ЯВЛЕНИЕ)
НДС ГЕОДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
СИСТЕМА НАБЛЮДЕНИЙ
ГИПОТЕЗЫ СОСТОЯНИЯ
ОБЪЕКТА
Геодезическая сеть
Плоская деформация
Измерения
Геодезические
Геофизические
Плоское напряженное
состояние
ОБРАБОТКА И
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
СТРУКТУРЫ ОБЪЕКТА
Предварительная
обработка и
интерпретация
Физическая и
математическая
модель объекта
Оценивание параметров
НДС объекта,
оценка точности
Альтернативные
модели
Выбор адекватной
модели объекта
Прогнозирование
параметров состояния
ПРИНЯТИЕ
РЕШЕНИЯ
ПРИНЯТИЕ
РЕШЕНИЯ
Рис. 3.4. Функциональная схема решения задачи идентификации НДС ГДС
Итогом математической обработки при идентификации является
построение адекватной модели изучаемого объекта и оценивание его
физических характеристик в результате решения обратной задачи по
результатам измерений. В основе моделирования общей системы комплексных
геодезических и геофизических измерений напряженно-деформированного
состояния ГДС в пространстве и времени лежат следующие положения
[Панкрушин (2002)]:
1) структура ГДС состоит из двух основных подсистем одного уровня
иерархии – физической поверхности Земли (ФПЗ) и гравитационного поля
Земли (ГПЗ). В более общей постановке ГДС могут включать в себя
пространственно-временные неоднородности геосфер – литосферы, атмосферы,
гидросферы, а также геофизических полей, взаимосвязанных с гравитационным
полем, – электромагнитного и напряженно-деформированного состояния;
2) ГДС являются системами с распределенными параметрами, то есть с
параметрами, зависящими от пространственных координат X X(x, y, z) и от
времени t. В соответствии с этим, результаты наблюдений рассматриваются как
многомерные
пространственно-временные ряды,
для
обработки
и
интерпретации которых используется математический аппарат рекуррентной
идентификации динамических систем, в частности, фильтр Калмана – Бьюси
(ФКБ);
3) как правило, интерпретация наблюдений выполняется в условиях
неполной априорной информации о геофизической среде и внешних
возмущающих воздействиях. Поэтому идентификация ГДС рассматривается в
широком смысле – как определение не только оценок параметров, но и
адекватной из альтернативных пространственно-временных структур модели
ГДС;
4) моделирование ГДС выполняется в пространстве состояний, фазовом
пространстве с заданным (или идентифицируемом) в нем эволюционном
операторе F ( X ,t ) теории динамических систем и управления. При построении
альтернативных моделей закономерностей движений и деформаций ГДС,
наряду с моделями неоднородностей (блоков) геофизической среды
[Садовский, Писаренко (1989)], используются интегро-дифференциальные
операторы и модели тел теории сплошных сред.
Структурная схема идентификации (в широком смысле) движений и
напряженно-деформированного состояния геодинамических систем по
пространственно-временным рядам геодезических и геофизических наблюдений
представлена на рис. 3.5 (конкретизация рис. 2.1 из гл. 2).
(X,t)
(X,t)
Система наблюдений, обработки и интерпретации
ε(X,t)
Геодинамическая
система ( X , t )
(движения
и НДС)
Сеть пунктов
наблюдений P
X̂ R ( X ,t )
X̂ R ( X ,t / t 1 )
Y(X,W,t)
Наблюдения (геодезические
и геофизические методы,
приборы, методики)
Обработка и
интерпретация
наблюдений
XR(X,t)
Адаптация и
управление (анализ,
принятие решений)
Априорная
информация
(банки данных,
базы знаний)
K Xˆ ( X , t )
R
K Xˆ ( X , t / t 1)
R
Рис. 3.5. Структурная схема идентификации НДС ГДС по пространственновременным рядам комплексных геодезических и геофизических наблюдений
Концептуальная модель ГДС строится в виде двух уравнений состояний
[Панкрушин (2002)]. При этом ГДС ( X ,t ) представлена дискретными
пунктами геодезических и геофизических наблюдений.
Первое нелинейное уравнение состояний, моделирующее закономерности
движений в широком смысле (траектории) ГДС, запишем в следующей
векторно-разностной форме:
X R ( X , t ) F ( X , t ){ X RT ( X , t 1), С ΣT ( X , t ), I T ( X , t ), ΘT ( X , t )}T ΒΨ ( X,t )Ψ ( X,t ).
(3.37)
В (3.37) F ( X , t ) – эволюционный оператор ГДС; С Σ ( X , t ) – вектор
заданных параметров (коэффициентов) модели; I ( X , t ) – величина в комплексной
области (при моделировании комплексных ГДС с позиций фрактального подхода);
Θ( X , t ) и Ψ ( X , t ) – векторы, соответственно, детерминированных и
стохастических воздействий внешней среды на объект (процесс); ΒΨ ( X , t ) –
матрица, отражающая влияние на объект внешних стохастических воздействий;
верхний
индекс T
–
символ
транспонирования.
Заметим,
что
{ X RT ( X , t ), С ΣT ( X , t )}T X ( X , t ) ; Θ ( X , t ) Θ Σ , где Θ Σ – множество
известных (наблюдаемых) входных детерминированных возмущающих
воздействий внешней среды на детерминированную динамическую систему Σ d
в целом, то есть как на объект (процесс, явление), так и на подсистему
наблюдений Y.
Входящий в (3.37) расширенный вектор определяемых параметров
состояний ГДС формируется в виде
T
X R ( X , t ) [ X iT {Pi ( t )},WiT {Pi ( X , t )}, X D
( X , t )]T
X ,
или, при задании нормального потенциала U i {Pi ( X , t )} , –
T
T
X R ( X , t ) [ X iT {Pi ( t )}, TiT {Pi ( X , t )}, X D
( X , t )] .
Здесь W – потенциал силы тяжести, T W U – возмущающий потенциал.
Вектор параметров движений ГДС X D ( X , t ) формируется в виде
T
T
T
X D ( X ,t) {X D
( ФПЗ ) ( X , t ), X D ( ГПЗ ) ( X , t )} ,
где X D( ФПЗ ) ( X , t ) – вектор параметров движений и деформаций
физической поверхности или, в общем случае для сплошной среды, вектор
напряженно-деформированного состояния земной коры (горной породы);
X D ( ГПЗ ) ( X , t ) – вектор изменений (вариаций) гравитационного поля.
Второе нелинейное уравнение состояний, моделирующее результаты
разнородных комплексных наблюдений в пространстве и времени (множество
выходных величин ГДС), представляющих собой геодезические функционалы
на потенциале силы тяжести W, запишем в следующем виде:
Y ( X ,W , t ) f ( X , t ){ X RT ( X , t ), CYT ( X , t ), YT ( X , t )}T
Y ( X ,W , t ),
(3.38)
где Y ( X , t ) – вектор внешних детерминированных воздействий на
систему наблюдений; C ( X , t ) – известные коэффициенты системы наблюдений;
Y ( X ,W , t ) – в общем случае, коррелированная последовательность случайных
ошибок наблюдений с ковариационной матрицей K ( X , t ) KY ( X , t ) .
Включение вектора координат X X ( x, y, z ) в качестве аргумента в
функционал (3.38) указывает на то, что ряды наблюдений являются не только
временными, но и пространственными; при этом на каждом пункте сети
наблюдений может производиться измерение нескольких величин (выходных
сигналов ГДС).
Включение в расширенный вектор параметров состояний X R ( X , t ) (3.37)
потенциала
силы
тяжести
обусловливает
построение
W ( X ,t )
бесконечномерных
моделей
геодинамических
систем,
описываемых
уравнениями состояния (3.37) и (3.38). Бесконечномерность моделей вызывает
необходимость
их
аппроксимации
конечномерными
моделями
и,
соответственно, усложнение вычислительной реализуемости решения задачи. С
целью построения конечномерных моделей ГДС в пространстве состояний мы с
помощью основных операторов физической геодезии переходим от
возмущающего потенциала Т к его основным трансформантам: аномалии
высоты
, смешанной аномалии силы тяжести
g и компонентам
гравиметрического уклонения отвеса , [Панкрушин (2002)].
Многомерные пространственно-временные ряды наблюдений Y ( X ,W , t )
формируются из разнородных комплексных геодезических и геофизических
наблюдений, отражающих пространственно-временную структуру НДС ГДС.
Наблюдения могут выполняться методами геодезической астрономии,
астрометрии, наземной и спутниковой геодезии, геофизики и др. К ним, в
частности, относятся методы наблюдений: горизонтальных направлений,
геометрического, водного и гидростатического нивелирования, створных
наблюдений, обратных отвесов, ускорений силы тяжести, вариаций силы
тяжести (вторых производных потенциала), параметров геомагнитного поля,
наклонов, деформаций и напряжений земной коры (метод разгрузки,
ультразвуковой, сейсмотомографический методы, метод гидроразрыва).
Заметим, что параметры НДС могут быть непосредственно измерены,
например, методами, изложенными в работах [Влох, Сашурин (1970), Курленя,
Опарин (1999а)]. При непосредственном измерении напряжений в массивах
горных пород, в сборных и монолитных конструкциях из железобетонных и
других материалов подземных коммуникаций городов, крепи метрополитенов,
водо- или канализационных коллекторов, плотин гидроэлектростанций,
инженерных сооружений и т. п. используются скважинные фотоупругие
датчики (СФД) напряжений. Датчики замонолитчиваются в пробуренных в
«теле» конструкций скважинах. Для повышения эффективности и
объективности контроля напряжений в локальных геодинамических системах
целесообразно использовать два устройства оптических картин СФД,
предложенных в работе [Лесных, Устюгов, Ушаков (2003)].
В работе [Панкрушин (2002)] для решения задач структурной и
параметрической идентификации ГДС используется адаптивный рекуррентный
алгоритм фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ). Уравнения состояний (3.37) и (3.38)
линеаризуются с целью их оптимального решения по рекуррентному алгоритму
линейного фильтра Калмана – Бьюси (ФКБ) [Леондес (1980)].
Алгоритм ФКБ позволяет определять оптимальные в смысле критерия
min trK X R ( X , t ) (минимума обобщенной дисперсии) текущие оценки
расширенного вектора параметров состояний Xˆ R ( X , t ) , а также
одношаговые прогнозные фоновые оценки (условное математическое
ожидание) этого вектора
Xˆ RF ( X , t / t 1) F ( X , t ){ X R ( X , t 1), C ( X , t ), ( X , t )} (3.39)
с соответствующими ковариационными матрицами
K X R ( X , t ), K X R ( X , t / t 1) .
Здесь строчный индекс t / t 1 обозначает одношаговый прогноз на эпоху t
по всем наблюдениям до эпохи t 1 включительно.
Текущие и одношаговые прогнозные фоновые оценки вектора параметров
связаны уравнением:
Xˆ R ( X , t ) Xˆ RF ( Xˆ F , t / t 1)
X RB ( Xˆ F , t / t 1) ,
(3.40)
где X B ( ) – вариации или аномалии Xˆ R ( X , t ) на фоне Xˆ F ( ) .
R
R
В дальнейшем для сокращения записи уравнений будем использовать
обозначения работы [Леондес (1980)]. Так, для величин, полученных по данным
только какой-либо одной эпохи t , примем обозначения с индексом «t»
(например, Y ( X ,W , t ) ). Для прогнозных фоновых оценок величин, полученных
на эпоху t по наблюдениям до эпохи t 1 включительно, будем использовать
«t »
индекс
,
то
есть
примем
обозначения
вида
Xˆ FR( Xˆ F , t ) Xˆ FR( Xˆ F , t / t 1) . Для оценок, которые будут получены в
результате рекуррентной фильтрации наблюдений всех эпох 1.2 ... t – 1, t,
используем индекс «t » , то есть примем обозначения вида Xˆ R ( X , t ) .
Рекуррентный алгоритм ФКБ совместного решения систем уравнений
состояний (3.37) и (3.38) после их линеаризации при таких обозначениях (для
простоты записи опустим все аргументы, кроме t , t , t ) имеет следующий вид
[Шмидт (1980)]:
X̂ R ( t ) X̂ R ( t ) G( t ) Y ( t );
F XFR X̂ R ( t 1 );
X̂ R ( t )
Y ( t ) Y ( t ) Ŷ F ( t );
G( t )
K
Y
K X R ( t ) AT ( t )K V 1 ( t );
(t )
A( t )K X R ( t ) AT ( t ) K Y ( t );
K X R ( t ) Ф( t , t 1 )K X R ( t 1 )Ф T ( t , t 1 )
K XR ( t )
(3.41)
( t )K ( t )
T
( t );
[ E G( t ) A( t )] K X R ( t ),
где Y ( t ) Y ( t ) fXˆ RF ( t ) Y ( t ) Yˆ F ( t ) – невязки наблюдений или
аномалии геодезических функционалов Y (t ) в пространстве состояний;
K Y (t ) , K X R (t ) и K X R (t ) – ковариационные матрицы оценок,
соответственно, вектора невязок наблюдений, прогнозного расширенного
вектора параметров состояний и текущего расширенного вектора параметров
состояний; Ф и А – переходные матрицы, полученные при линеаризации,
соответственно, (3.37) и (3.38); E – единичная матрица.
Использование алгоритма ФКБ для рекуррентной обработки результатов
наблюдений в виде пространственно-временных моделей состояния снимает
такие ограничения на систему наблюдений, как равновременность циклов
наблюдений и неизменность конструкции сети пунктов наблюдений.
Рекуррентный характер ФКБ делает его оперативным и удобным
математическим аппаратом при создании автоматизированных систем
обработки и интерпретации результатов наблюдений с использованием
современных вычислительных средств, в нашем случае, при создании
информационной технологии идентификации НДС ГДС. Алгоритм ФКБ,
являясь динамической системой, обеспечивает накопление информации о
динамике объекта, и как следствие этого, повышает точность оценивания
параметров состояния.
Отметим, что при последовательной обработке наблюдений нескольких
эпох оценивание { ˆ ( )}2 выполняется с использованием всех измерений до
последней эпохи включительно по рекуррентной формуле, позволяющей в ходе
обработки накапливать информацию:
( t )}2
( t 1) {Vˆ ( t / t 1)}T {Q X R ( t / t 1)} 1Vˆ ( t / t 1)
2 {
{
( t )}
,
(t )
(3.42)
где
(t )
( t 1) ( t ) ,
(t ) и
(t 1) – числа степеней свободы,
равные общему числу избыточных измерений, соответственно, до эпох t и t 1
включительно; (t ) – число избыточных измерений эпохи t .
3.6. Вычислительный эксперимент идентификации НДС локальной ГДС
3.6.1. Моделирование НДС локальной ГДС и системы геодезических
наблюдений
Нами был выполнен вычислительный эксперимент идентификации по
геодезическим наблюдениям во времени параметров НДС локальной ГДС
(плоское напряженное состояние) с оценкой их точности. Моделью локальной
ГДС была плоская пластина в форме прямоугольной трапеции с основанием 28
метров, высотой 32 метра и толщиной 1 метр, которая подвергается силовому
воздействию в точках 3, 6 и 10 (рис. 3.6).
Такой моделью может быть описана, например, плотина [Себешев,
Чаплинский, Канышев (1989)]. Направление векторов сил составляет 90 градусов
к боковой стороне и лежит в плоскости пластины. Значения сил:
F3 0.3067 МН, F6 0.64 МН, F10 1.28 МН. Основание пластины (точки 15 –
20) считается жестко закрепленным (граничное условие). Упругие свойства
материала при малых деформациях выражены через модуль Юнга:
E 0.2 1011 Па, коэффициент Пуассона:
0.293. При моделировании ГДС
была введена трещина в пластине в ее средней части. Штриховыми линиями на
рисунке иллюстрируется (в утрированном масштабе) деформация пластины
после приложенных сил F3 , F6 , F10 .
1
2
F3
3
4
5
F6
6
7
8
9
F10
10
11
12
13
15
16
17
18
14
19
20
Рис. 3.6. Модель ГДС – плоская пластина
Для моделирования теоретических смещений узлов вся поверхность
пластины была разбита на 10 прямоугольных конечных элементов размерами
5.6 м (вдоль оси x) и 8 м (вдоль оси y) и 4 треугольных конечных элемента
(катеты 8 и 5.6 м) (рис. 3.7). С 1 по 10 – прямоугольные КЭ, с 11 по 14 –
треугольные КЭ.
Для вычисления коэффициентов матриц жесткости использовали формулы,
описанные в [Варвак, Бузун, Городецкий (1981)], являющиеся следствием
формул (3.11) – (3.17). Вычисленные матрицы жесткости представлены в прил.
1.
Общая матрица жесткости K
определяется суперпозицией матриц
жесткости для всех компонент согласно (3.18) – (3.19). Но так как мы
предположили при моделировании НДС данной ГДС наличие трещины (см. рис.
3.6), при составлении общей матрицы жесткости всей ГДС не были учтены
матрицы жесткости прямоугольных конечных элементов под номерами 4 и 5.
Именно эти КЭ перекрывают зону трещины, поэтому не могут быть включены
в континуальную область ГДС. Значения коэффициентов общей матрицы
жесткости K приведены в прил. 2.
1
11
2
3
12
4
5
6
13
7
8
9
10
14
Рис. 3.7. Разбиение ГДС на прямоугольные и треугольные конечные элементы
После нахождения обратной матрицы к K были рассчитаны согласно
(3.24) модельные смещения узловых точек (прил. 3).
В соответствии со вторым уравнением состояния – уравнением
наблюдений (3.38) – была смоделирована сеть геодезических наблюдений (рис.
3.8). Моделирование пространственно-временных рядов геодезических
наблюдений заключалось в моделировании 2 эпох (циклов) наблюдений длин
линий между узловыми точками ГДС. Число измеренных длин линий в каждой
из эпох наблюдений (1-й и 2-й) равно 38. Общее число измерений – 76. Затем по
координатам пунктов 1-й эпохи (до действия приложенных сил F3 , F6 , F10 ) и
координатам пунктов 2-й эпохи (после действия приложенных сил) были
определены «идеальные» длины линий. Исказив их псевдослучайными
нормальнораспределенными ошибками, получили смоделированные результаты
измерений. Для генерирования псевдослучайных ошибок измерений
использовалась встроенная функция СЛЧИС() электронных таблиц Excel.
Нормальнораспределенные псевдослучайные числа получены как сумма 12
псевдослучайных равномернораспределенных чисел функции СЛЧИС() после
их линейного преобразования согласно ожидаемых значений математического
ожидания и среднеквадратического отклонения нормальнораспределенных
чисел. Основанием для такого способа получения нормальнораспределенных
псевдослучайных чисел является центральная предельная теорема теории
вероятностей [Чистяков (1982)]. Значения смоделированных длин линий для
обеих эпох приведены в прил. 4.
Средняя квадратическая ошибка модельных результатов измерений длин
линий принята ms 0.5 мм.
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
20
25
x
Рис. 3.8. Сеть геодезических наблюдений
3.6.2. Обработка наблюдений 1-й эпохи
Начальную оценку Xˆ ( t 0) вектора состояния (координаты пунктов
прямоугольной системы координат в соответствии с рис. 3.8)
(3.43)
X ( t 0) [ x1 ( t 0) y1 ( t 0) ... ... x14 ( t 0) y14 ( t 0)]T
и ковариационную матрицу этой оценки K Xˆ ( t 0 ) получим по 28
необходимым измерениям 1-й эпохи Yl (t 1), (l 1, 2, ..., 28) , где l – номер
измерения внутри эпохи. Для этого воспользуемся формулами линейной
засечки и известным в теории погрешности подходом для априорной оценки
точности функции измеренных величин. Эти значения приведены в прил. 5, 6.
Оценка вектора состояния Xˆ ( t 1) выполняется путем обработки
оставшихся избыточных измерений 1-й эпохи (l 29, 30, ..., 38) по алгоритму
ФКБ. Используемая в алгоритме переходная матрица Ф ( t , t 1) , получаемая
после линеаризации (3.37), при обработке наблюдений 1-й эпохи имеет вид
Ф ( t 1, t 0 ) E , где E – единичная матрица размерностью 28 28 .
Компоненты вектор-функции f { X R ( t )} в (3.38) без учета внешних
детерминированных воздействий Y ( X ,t ) имеют вид:
yl Sij ( X , t )
( x j xi ) 2 ( y j y i ) 2 ,
(3.44)
где Sij ( X , t ) – измеренная длина линии между точками i и j с координатами
xi ( t ), yi ( t ), x j ( t ), y j ( t ) соответственно.
После линеаризации (3.44) имеем параметрическое уравнение измеренных
длин линий, редуцированных на плоскость
S ij ( X , t )
cij xi ( t ) d ij yi ( t ) cij x j ( t ) d ij y j ( t ) .
(3.45)
Коэффициенты линеаризованной функции (3.45) вычисляются в
соответствии с формулами:
cij сos ij (t ) ;
d ij sin ij (t ),
(3.46)
где ij (t ) – дирекционный угол линии между точками i и j.
В результате обработки по алгоритму ФКБ имеем оценку вектора
состояния на первую эпоху наблюдений Xˆ ( t 1) и ковариационную матрицу
оценки K Xˆ ( t 1) (прил. 7, 8). Оценка дисперсии единицы веса, полученная по
невязкам наблюдений, составила ˆ ( t 1) 0.502 мм.
3.6.3. Обработка наблюдений 2-й эпохи
При отсутствии априорной информации о характере движения пунктов
между эпохами наблюдений выполняем обработку наблюдений 2-й эпохи в
предположении, что определяемые пункты произвольным образом
перемещаются на интервале времени ( t 1 ) – ( t 2 ). В этом случае для точек
пластины 1, 2, …, 14 справедливо выражение
xi ( t 2) xi ( t 1) u x i ( t 2);
,
(3.47)
yi ( t 2) yi ( t 1) u y i ( t 2)
где u x i , u y i – перемещения пунктов по осям абсцисс и ординат;
i 1, 2, ..., 14 .
Формулы (3.47) определяют вид эволюционного оператора ГДС F ( X , t ) в
первом уравнении состояний (3.37): F ( X , t ) E , где E – единичная матрица.
Вводим расширенный вектор состояния X R ( t ) [ X ( t )T U ( t )T ]T , в
котором вектор перемещений определяемых пунктов имеет вид
U ( t ) [u x1 ( t 2) u y1 ( t 2) ... ... u x14 ( t 2) u y14 ( t 2)]T . (3.48)
Так как априорная информация о характере перемещений пунктов
отсутствует, то начальное приближение к вектору U (t 1) можно принять
2 7
10 E . Таким образом,
равным нулю с ковариационной матрицей KU ( t 1)
перед обработкой наблюдений второй эпохи имеем расширенный вектор
состояния и его ковариационную матрицу в виде
K Xˆ ( t 1)
0
Xˆ ( t 1) , K ( t 1)
Xˆ R ( t 1)
.
(3.49)
ˆ
2 7
XR
0
0
10 E
Для обработки наблюдений второй эпохи Yl (t 2), (l 1,2,..., 38) применяем
( t 2, t 1) X R ( t 1) . При
алгоритм ФКБ с моделью объекта X R ( t 2)
формировании переходной матрицы ( t 2, t 1) учтем (3.47), поэтому
E E .
( t 2, t 1)
0 E
По алгоритму ФКБ получаем оценку вектора Xˆ R ( t 2) . В прил. 9 даны
значения оценок координат, смещений и их среднеквадратических ошибок.
Ковариационная матрица ошибок оценивания имеет вид
K Xˆ ( t 2) K XˆUˆ ( t 2)
K Xˆ R ( t 2)
.
(3.50)
K XˆUˆ ( t 2) KUˆ ( t 2)
Значения коэффициентов этой матрицы приведены в прил. 10 (табл. 1, 2, 3).
Оценка дисперсии единицы веса по совокупности измерений двух эпох
(по 56 необходимым и 20 избыточным измерениям) равна ˆ ( t 2) 0.495 мм.
3.6.4. Определение и оценивание точности параметров НДС локальной
ГДС по значениям перемещений, полученным в результате
рекуррентной математической обработки геодезических
наблюдений во времени
Вычисление значений параметров НДС в рамках модели плоской
локально-однородной деформации возможно однозначно по трем точкам с
известными координатами и смещениями. Разбиваем всю поверхность ГДС на
треугольные конечные элементы (КЭ) (рис. 3.9). Общее число КЭ равно 24. В
прил. 11 указаны номера точек, являющихся вершинами каждого треугольного
конечного элемента в соответствии с рис. 3.9.
1
2
2
1
3
4
3
5
4
7
7
10
9
8
12
11
10
14
18
15
12
19
16
9
13
11
17
16
8
6
6
15
5
13
23
21
20
17
14
22
18
24
19
20
Рис. 3.9. Разбиение ГДС на треугольные КЭ
В нашей задаче расширенный вектор параметров Xˆ R ( t 2) включает
оценки перемещений 14 узлов разбиения на КЭ – Uˆ ( t 2) . Точки с 15 по 20
предполагаются в нашей модели жесткозакрепленными (граничное условие).
Соответственно, вектора их смещений имеют нулевые компоненты и не входят,
таким образом, в число определяемых параметров.
Выбирая из Xˆ R ( t 2) соответствующие вершинам каждого КЭ r оценки
координат и смещений, определяем оценки коэффициентов линейной модели
перемещений в пределах каждого конечного элемента
,
eˆ( r ) eˆ10 ( r ) eˆ11 ( r ) eˆ12 ( r ) eˆ20 ( r ) eˆ21 ( r ) eˆ22 ( r ) T
(r = 1, 2, …, 24).
По этим оценкам коэффициентов находим оценки компонентов вектора
деформации:
ˆ(r )
ˆ xx ( r ) ˆ yy ( r ) ˆ xy ( r ) T ,
(3.51)
где ˆ xx ( r )
eˆ11 ( r ) ; ˆ yy ( r )
eˆ22 ( r ) ; ˆ xy ( r )
eˆ12 ( r )
eˆ21 ( r )
2
.
Ковариационную матрицу оценки вектора деформаций
ˆ(r )
ˆ xx ( r ) ˆ yy ( r ) ˆ xy ( r ) T
получаем с учетом функциональной зависимости компонентов этого
вектора от оценок вектора перемещений треугольного КЭ r с вершинами i, j,
k: ˆ ( r ) F ( r ) (Uˆ r ( t 2)) .
Ковариационная матрица K ˆ ( r ) ( t 2) оценки вектора деформаций
находится как
K ˆ ( r ) (t
2)
f
( r ) KUˆ r
(t
2) f T( r ) ,
(3.52)
где KUˆ r ( t
2) – ковариационная матрица оценки вектора смещений
треугольного КЭ – Uˆ r ( t 2) , элементы которой выбираются из общей
матрицы (3.51). Элементы матрицы f ( r ) являются частными производными
функции ˆ ( r ) F (Uˆ r ( t 2)) по компонентам вектора Uˆ r ( t 2) .
(r)
Параметры, характеризующие плоское напряженное состояние объекта,
определяются на основе модели теории упругости. Вектор напряжений
ˆ ( r ) ˆ xx ( r ) ˆ yy ( r ) ˆ xy ( r ) T в отдельном треугольном элементе r вычислим в
соответствии с формулой закона Гука (3.36).
Для получения ковариационной матрицы оценки компонентов вектора
напряжений конечного элемента r используем ковариационную матрицу (3.52) и
функциональную зависимость (3.36):
K ˆ ( r ) (t
2)
DK ˆ ( r ) ( t
2) DT ,
(3.53)
где D – матрица адаптационной способности (3.15).
Для смоделированных ГДС (см. рис. 3.6) и смоделированной системы
наблюдений в сети (см. рис. 3.8) по результатам 2 эпох наблюдений для каждого
КЭ были получены оценки элементов вектора деформаций ˆ ( r ) (прил. 12) и
оценки вектора напряжений ˆ ( r ) (прил. 13). Оценки ˆ ( r ) находятся в
интервале от
4.91 10
порядка 1.2 10
4
4
до 1.64 10
3
и характеризуются точностью
. Оценки ˆ ( r ) находятся в интервале от
1.60 10 7 до
5.07 107 Па. Точность их определения составляет в среднем 6 10 6 Па. В
прил. 14 приведены в качестве примера точностные характеристики вектора
деформаций ˆ ( r ) и вектора напряжений ˆ ( r ) для конечных элементов с
номерами 1 и 14.
Заметим, что приведенный в 3.6.2 – 3.6.4 алгоритм решения задачи
идентификации НДС ГДС с оценкой точности параметров НДС может быть
расширен для аналогичной задачи в трехмерном пространстве.
3.6.5. Визуализация результатов идентификации НДС локальной ГДС
Разрабатываемая нами технология позволяет представить результаты
идентификации НДС ГДС в удобном для анализа экспертом виде –
визуализировать с помощью компьютера и соответствующих компьютерных
программ. Например, для смоделированной ГДС после идентификации по ФКБ,
визуализация НДС может включать изображения полей деформаций (см. рис. 1
прил. 18) и полей напряжений (см. рис. 2 прил. 18) по оценкам компонентов
тензоров ˆ и ˆ для каждого КЭ принятого нами варианта разбиения (см. рис.
3.9).
Заметим, что полученные изображения полей деформаций и напряжений
(см. рис. 1, 2 прил. 18) позволяют приблизительно определить введенную в
модель ГДС трещину (см. рис. 3.6), ее расположение, протяженность и степень
раскрытия берегов. Это является важным результатом, позволяющим точнее
узнать структуру ГДС, а значит, и сделать более надежным прогноз состояния
ГДС.
3.7. Идентификация НДС региональной ГДС (район Горного Алтая)
В соответствии с работой [Тимофеев, Запреева, Ардюков (2003)], итогом
наблюдений Алтайской GPS-сети являются значения скоростей горизонтальных
движений 18 GPS-станций, территориально охватывающих структурные
элементы Горного Алтая и его предгорий в пределах Российской Федерации
(см. рис. 3 прил. 18). За базовую постоянную станцию была принята станция
NVSK (г. Новосибирск).
Точностные характеристики скоростей движений ограничены значениями
их ошибок (прил. 15). Это привело к замене полнокомпонентной
ковариационной матрицы типа (3.50) на диагональную матрицу ошибок
оценивания скоростей KVˆ . Так как при идентификации НДС исходными
данными являются смещения Û узлов расчетной схемы, мы сделали их расчет
по оценкам скоростей Vˆ за период длительностью t 2 года согласно
гипотезе равномерного и прямолинейного движения станций в этот период
времени:
(3.54)
Uˆ Vˆ t .
Далее идентификация НДС Горного Алтая выполнялась аналогично
описанной выше идентификации смоделированной локальной ГДС (п. 3.6.4,
3.6.5).
Площадь, занимаемая ГДС Горного Алтая, была разделена на 22
треугольных конечных элемента (рис. 3.10).
При выборе варианта разделения на КЭ старались избегать треугольников
с очень острыми углами. Поэтому, в частности, не был включен в обработку
треугольник SEMI-KAIT-KAYT.
Согласно (3.27) – (3.29), (3.35), были вычислены компоненты вектора
деформации ˆ (прил. 16). По геологической карте данного региона нами было
определено, что основным породами являются песчаники и известняки. Поэтому
при вычислении параметров, характеризующих напряженное состояние объекта,
были приняты средние значения модуля Юнга E 0.6 1011 Па и коэффициента
0.25 для песчаников и известняков [Теркот, Шуберт (1985)]. Эти
Пуассона
значения нам понадобились для вычисления матрицы D (3.15),
характеризующей упругие свойства материала. Затем, в соответствии с
формулами закона Гука (3.1), были определены значения компонентов вектора
напряжений
для каждого треугольного конечного элемента ГДС Горный
Алтай (прил. 17).
NVSK
KRUT
2
3
ELTS
1
4
ANUI
6
TUNZ
5
ARTB
9
SOLO
8
7
SEMI
USTK
10
11
13
12
14
15
CHIK
16
KAIT
BALY
17 18 19
22
KURA
KAYT
YAZU
ULAG
20
21
CHAG
UKOK
Рис. 3.10. Разбиение геодинамического объекта «Горный Алтай» на
треугольные конечные элементы
Оценки ˆ характеризуются точностью порядка от 4 10
10
до 2 10
8
.
Точность определения ˆ находится в интервале от 1 10 2 до 2 103 Па.
Для ГДС Горный Алтай НДС представлено полями деформаций (см. рис. 5
прил. 18) и полями напряжений (см. рис. 6 прил. 18) по оценкам компонентов
векторов ˆ и ˆ для каждого КЭ принятого нами варианта разбиения (рис. 3.10).
Использовалась та же технология визуализации, что и в п. 3.6.5.
В работе [Тимофеев, Запреева, Ардюков (2003)] анализ результатов
обработки GPS-определений включает описание горизонтальных движений в
районе Горного Алтая. В частности, говорится о широтных смещениях в
центральной части региона, движениях на северо-запад в южной части.
Заметим, что такой метод описания горизонтальных движений, несмотря
на его широкое распространение, имеет существенные недостатки. Во-первых,
неинвариантность – при выборе в качестве стабильного любого другого пункта
сети (не NVSK) будет получена другая картина векторов горизонтальных
движений. Во-вторых, описание движений с помощью векторов не позволяет
анализировать деформационные процессы на территории исследуемого
геодинамического объекта.
Наш подход этих недостатков не имеет. Результаты натурных
экспериментов
обрабатывались
с
учетом
нелинейного
характера
геодинамических процессов и явлений. Полученные нами поля деформаций и
поля напряжений с последующей их визуализацией дают качественно новую
информацию о геодинамических процессах в районе Горного Алтая.
Так, например, на рис. 6 прил. 18 заметны аномальные напряжения в южной
части ГДС Горный Алтай. Именно в этом районе на глубине около 16 км
находился эпицентр Алтайского землетрясения 27 сентября 2003 года. На рис. 3.11
показаны эпицентры главного толчка и последующих за ним на протяжении
нескольких недель афтершоков в пределах южных конечных элементов в
соответствии с рис. 3.10. Данные о координатах эпицентров взяты из сайта
www.usgs.gov.
BALY
CHIK
YAZU
ULAG
KURA
KAYT
CHAG
9/27/03
UKOK
Рис. 3.11. Эпицентры землетрясения 27.09.03 и афтершоков (27.09.03 –
17.10.03) Горного Алтая. Большая звезда – главный толчок (27.09.03, магнитуда
– 7.3), малые звезды – афтершоки
Приведем также карту вертикальных движений ГДС Горный Алтай (см.
рис. 4 прил. 18), построенную нами по результатам GPS-наблюдений
[Тимофеев, Запреева, Ардюков (2003)]. Район землетрясения 27 сентября 2003
года на этой карте совпадает с аномальными вертикальными движениями. Эти
данные получены в результате наблюдений в эпохи 2000, 2001, 2002 годов.
Поднятие пункта KURA со скоростью 6.42 мм/год и опускание относительно
близкого к нему пункта ULAG со скоростью 4.66 мм/год дополняет картину
напряжений земной коры (см. рис. 6 прил. 18) в смысле предвестника места
катастрофического корового землетрясения. Это очередной факт того, что
большой градиент скорости вертикальных движений и аномальность
напряжений (см. рис. 6 прил. 18) являются важными признаками для прогноза
сейсмических событий.
Заметим, что более точный прогноз места, а возможно, и мощности
землетрясения, мог бы быть получен при усилении системы наблюдений за
ГДС. Это, например:
1) добавление в сеть наблюдений пунктов более южных областей Алтая
(Монгольский Алтай);
2) уплотнение сети в районе Северо-Чуйского и Южно-Чуйского хребтов
Горного Алтая;
3) увеличение частоты наблюдений.
ВЫВОДЫ
В третьей главе изложены методические, теоретические, математические,
алгоритмические основы компьютерной технологии идентификации движений
и напряженно-деформированного состояния геодинамических систем по
пространственно-временным
рядам
комплексных
геодезических
и
геофизических наблюдений.
Геодинамические явления в основном имеют нелинейный характер. Для их
описания используют модели механики сплошных сред в рамках динамической
или статической теории упругости. Учитывая нелинейный характер движений
и НДС ГДС, в работе используется метод конечных элементов. При
моделировании и исследовании НДС земной коры эффективно также
использование фрактального подхода (6 гл.) [Соболев, Пономарев (2003)],
учитывающего нелинейный характер НДС. При этом, в частности, вычисляется
фрактальная корреляционная размерность.
Предлагаемая методология, математическое и алгоритмическое
обеспечение идентификации (в широком смысле) движений и напряженнодеформированного состояния геодинамических систем по пространственновременным рядам комплексных геодезических и геофизических наблюдений
позволяют по натурным наблюдениям оценивать особенности поведения
геодинамических систем, связанные с неоднородностью полей деформаций и
напряжений не только в двумерном, но и в трехмерном пространстве.
Результатом математической обработки наблюдений являются как оценки
смещений точек ГДС, так и оценки параметров текущего и одношагового
прогноза, характеризующих НДС ГДС с оценкой точности определяемых
параметров в виде ковариационных матриц (см. рис. 3.5). Поля деформаций и
напряжений визуализируются на компьютере в удобном для анализа экспертом
виде.
Описывается вычислительный эксперимент идентификации НДС
локальной ГДС по модельным геодезическим наблюдениям во времени. Этапы
эксперимента и его результаты представлены в приложениях. Приведен
пример компьютерной визуализации полей деформации и полей напряжения
смоделированной ГДС.
Изложение сопровождается числовыми примерами идентификации
движений и НДС ГДС, выполненными по натурным измерениям. По
спутниковым наблюдениям в Горном Алтае в период 2000 – 2002 годов, т. е. до
катастрофического землетрясения 27 сентября 2003 года, выполнена
параметрическая идентификация напряженно-деформированного состояния
земной коры. Данная ГДС территориально охватывает структурные элементы
Горного Алтая и его предгорий в пределах Российской Федерации. Результаты
натурных экспериментов обрабатывались с учетом нелинейного характера
геодинамических процессов и явлений. Полученные параметры поля
деформаций и поля напряжений с последующей компьютерной визуализацией
этих полей позволили получить качественно новую информацию о
геодинамических процессах в районе Горного Алтая. Очевидно, что такая
информация может быть использована как для сейсмического районирования,
так и для решения задачи прогноза землетрясений и для снижения риска и
последствий природных и техногенных катастроф.
Результаты выполненных в третьей главе исследований свидетельствуют
о большой роли геодезических методов наблюдений как за медленными, так и за
быстрыми (катастрофическими) движениями земной коры.
Б.Т. Мазуров
ГЛАВА 4. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К СТРУКТУРНОЙ
ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ
ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ КЛАСТЕРНОГО
АНАЛИЗА
4.1. Структурная идентификация геодинамических систем с позиций
системного подхода и системного анализа
Конструктивная реализация системного подхода базируется на теории и
методах системного анализа, основой которого является построение
альтернативных математических моделей. В теории системного анализа часто
используется объектный подход к анализу и синтезу модели [Перегудов,
Тарасенко (1989)]: выделение подсистем путѐм поэлементного деления
объектов на более мелкие. Это рекомендуется в том случае, когда объект имеет
количественно сложную структуру, но состоит из относительно небольших по
сложности подсистем (первичных объектов). Целесообразно выделять группы
сходных по свойствам первичных объектов и анализировать наиболее типичные
характеристики каждой группы.
Исследование систем при их растущей сложности возможно выполнять в
аспекте объектно-ориентированного проектирования (идентификация классов и
объектов, идентификация их семантики, идентификация связей между ними)
[Буч (1992)]. Далее, в главе 7 этот подход применен к решению проблемы
оптимизации трасс инженерных сооружений.
Объектно-ориентированный подход базируется на том, что сложные
системы необходимо проектировать как совокупность взаимодействующих
друг с другом объектов, рассматривая каждый объект как экземпляр
определенного класса, причем классы при этом образуют иерархию.
Проектирование объектно-ориентированной системы (ООС) предполагает
эволюционный путь развития системы на базе небольших подсистем; создание
такой ООС, которая основывается на объектах (объектах окружающей среды,
принадлежащих проблемной области), является результатом применения
объектно-ориентированной декомпозиции. От того, насколько правильно будет
разделена ООС на подсистемы, зависит эффективность отладки (настройки)
каждой из этих систем и в какой степени конечный продукт функционирования
системы будет свободен от ошибок. Таким образом, ООС рассматривается как
упорядоченная совокупность объектов на различных иерархических уровнях,
которые в процессе взаимодействия друг с другом обеспечивают
функционирование системы как единого целого.
Построение математической модели, как правило, опирается на систему
гипотез, отражающих понимание исследователем изучаемого объекта. Важным
является не просто описать объект, а выделить наиболее существенные его
черты, представляющие интерес для решения поставленной задачи.
Будем исходить из того, что вербальная модель ГДС опирается на модель
блочно-иерархического строения земной коры [Садовский, Писаренко (1989)]
и заключается в следующем: наблюдаемые движения земной коры есть
следствие движения отдельных блоков, различных по величине. Размеры блоков
горной породы подчиняются иерархической последовательности, описываемой
законом геометрической прогрессии. Установлено также, что эти блоки
разделены прослойками из более измельченной породы. В свою очередь,
каждый блок испытывает деформацию – изменяет объѐм и форму. Описание
этих изменений основывается на понятиях и представлениях механики
сплошной среды и заключается в нахождении параметров модели локальнооднородного деформирования земной коры (см. гл. 3). Модель линейного поля
перемещений и деформаций для двумерного случая представлена уравнением
вида (3.25).
В зависимости от цели исследований и состава измерений, из (3.25) можно
получить различные частные модели для описания поведения ГДС.
Если допускается гипотеза движения жестких блоков, то симметричная
часть тензора деформации (3.30), отражающая чистую деформацию (3.32),
принимается нулевой:
e12 e21
e11
2
T
0.
(4.1)
e21 e12
e22
2
Предполагая отсутствие вращения, кососимметричную часть тензора
деформации (3.30), отражающую вращение блока как абсолютно твердого тела
(3.33), принимаем нулевой:
e12 e21
0
2
T
0.
(4.2)
e21 e12
0
2
Если нулевыми являются оба тензора T и T , то имеем случай
поступательного движения без вращения и деформации.
Методы оценивания параметров математической модели геодинамической
системы и оценивания их точности и достоверности решают задачу
параметрической идентификации, когда структура модели задана по априорной
информации. Если же априорная информация отсутствует или требует
объективной проверки формальными математическими методами, то возникает
задача идентификации в широком смысле (структурная идентификация, гл. 2). В
нашем случае структурная идентификация выполняет разбиение всей ГДС на
подсистемы (блоки) и определение принадлежности пунктов системы
наблюдений (в частности, геодезических) тому или иному блоку ГДС.
При решении задачи структурной и параметрической идентификации ГДС
возникает необходимость в генерировании широкого класса моделейпретендентов, которые бы отражали структурированность (блочность и
иерархичность).
4.2. Метод структурной идентификации ГДС на основе кластерного
анализа
Структурная идентификация движений и деформаций блоков ГДС может
быть осуществлена методами распознавания образов, в частности, методами
кластер-анализа [Мазуров (1993)] или на основе комбинации методов
кластерного анализа, комитетов и фильтра Калмана – Бьюси [Панкрушин,
Мазуров (1991)]. Главное предназначение кластер-анализа заключается в поиске
существующих структур [Дюран, Одел (1977)], даже если число кластеров
(блоков) не определено заранее. В этом коренное отличие кластер-анализа от
методов распознавания образов с учителем, в частности, от дискриминантного
анализа, который приписывает объекты к уже существующим группам, а не
создает новые группы. Одним из самых используемых алгоритмов кластеранализа является иерархическая агломеративная (объединяющая) кластерпроцедура. С ее помощью можно выполнить тонкий структурный анализ
совокупности кластеризуемых объектов и при помощи некоторых критериев
определять наиболее оптимальные варианты разбиений на однородные
кластеры.
Иерархическая агломеративная кластер-процедура представляет собой
пошаговый алгоритм, при котором на каждом шаге происходит объединение
множества объектов, подлежащих классификации, в непересекающиеся
кластеры, при этом каждое последующее объединение относится к кластерам,
полученным на предыдущем шаге.
Перемещающиеся со временем блоки земной поверхности традиционно
описываются векторами скоростей смещения. Более общий случай
предполагает расширение вектора параметров модели включением векторов
ускорений. К числу признаков, описывающих геодинамическую систему,
относятся также компоненты тензора деформаций (3.34), тензора напряжений
(3.36) и/или вычисленные по ним инвариантные характеристики.
Остановившись первоначально на модели равномерного перемещения
(линейная ГДС), рассмотрим алгоритм структурной идентификации,
основанный на иерархическом агломеративном кластерном методе.
Пусть на территории исследуемой ГДС имеется сеть, состоящая из N
геодезических пунктов Pi , i 1,2,..., N . Каждому i-му пункту соответствует

u xi u y i T . Оценки скоростей могут
вектор горизонтальных смещений U i
быть определены из математической обработки повторных геодезических
наблюдений с учетом модели произвольного смещения пунктов.
Введѐм некоторую метрику ( Pi , Pj ) , определяющую меру несходства
между величиной и направлением движения пары пунктов Pi и Pj . В качестве
признаков кластеризуемых объектов выберем компоненты вектора смещений
u x и u y . Исходя из физической природы объекта и учитывая однородность
признаков u x и u y , примем в качестве метрики Евклидово расстояние:
( Pi , Pj )
(u x j
u xi ) 2
(u y j
u yi ) 2 .
(4.3)
Геометрически (4.3) можно интерпретировать как расстояние между
концами векторов смещений точек Pi и Pj (рис. 4.1).
ux
Pi
( Pi , P j )

Ui
Pj

Uj
uy
Рис. 4.1. Евклидово расстояние между пунктами Pi и Pj в пространстве
признаков u x и u y
При конструировании различных кластер-процедур возникает также
понятие расстояния не между отдельными объектами, а между целыми
группами объектов. Наиболее часто используется пять функций таких
межкластерных расстояний [Дюран, Одел (1977)]:
1) расстояние между группой S i с числом объектов N i и группой S j с
числом объектов N j равно расстоянию между ближайшими объектами из этих
групп (стратегия «ближайшего соседа»):
min
( Pk , Pm ) ,
(4.4)
1 ( Si , S j )
Pk Si , Pm S j
где Pk , Pm – k-й и m-й объекты ( k 1, 2, ..., N i ; m 1, 2, ..., N j );
– знак принадлежности;
2) расстояние между группой S i и группой S j равно расстоянию между
их математическими ожиданиями («центроидная» стратегия):
(4.5)
P (i ), P ( j ) ,
2 ( Si , S j )
где P (i ), P ( j ) – векторы математического ожидания для группы S i и
группы S j соответственно;
3) расстояние между группами равно расстоянию между их самыми
дальними объектами (стратегия «дальнего соседа»):
max
( Pk , Pm ) ;
(4.6)
3 ( Si , S j )
Pk Si , Pm S j
4) расстояние между группами равно среднему арифметическому
всевозможных попарных расстояний между объектами рассматриваемых групп
(стратегия «группового среднего»):
1
( Pk , Pm ) ;
(4.7)
N i N j Pk Si Pm S j
5) межгрупповое
расстояние
определяется
как
увеличение
внутригрупповой суммы квадратов (суммы квадратов расстояний от
соответствующих центров) при объединении (метод Уорда).
В работе [Дюран, Одел (1977)] описана формула, которая позволяет
представить стратегию группировки в общем виде для любого иерархического
агломеративного метода:
S ( m, q), S i
( Si , S m )
( Si , S q )
(Sm , Sq )
( Si , S m )
( Si , S q ) ,
(4.8)
где параметры
определяют тип стратегии объединения,
, , ,
S ( m, q), Si – расстояние от вновь образованного кластера S ( m, q) до
кластера S i . Значения параметров
для различных стратегий
, , ,
объединения представим в виде табл. 4.1.
4 ( Si , S j )
Таблица 4.1. Значения параметров
№ п/п
Стратегия объединения
1
Ближнего соседа
,
, ,
0.5
0.5
2
Центроидная
Ni
Nk
Nj
Nk
3
Дальнего соседа
0.5
0.5
4
Группового среднего
5
Уорда
Ni
Nk
N h Ni
Nh Nk
– число объектов в
для различных стратегий
объединения
0
-0.5
0
0
0.5
Nj
0
0
Nk
Nh N j
Nh
0
Nh Nk
Nh Nk
необъединяемых кластерах, а
В табл. 4.1 N h
N k Ni N j .
Стратегия «ближнего соседа» является сжимающей пространство
стратегией, стратегии «группового среднего» и «центроидная» являются
сохраняющими метрику пространства, а «дальнего соседа» и по методу Уорда –
растягивающими пространство. Эти различия вызывают, как следствие,
неодинаковые варианты разбиения на кластеры. Заметим, что это не является
минусом кластерного метода, так как использование нескольких
конкурирующих гипотез является обязательным условием при идентификации
систем (см. гл. 2).
Общий алгоритм иерархической агломеративной кластер-процедуры в
задаче выделения блоков ГДС будет иметь следующий вид:
1. Все объекты считаются отдельными кластерами.
2. Два самых близких кластера (в смысле принятой метрики)
объединяются в один.
3. Пересчитываются межклассовые расстояния (формула (4.8)).
4. Переход к пункту 2.
Для горизонтальных перемещений N геодезических пунктов с векторами

u xi u y i T , ( i 1, 2, ..., N ) вышеописанная иерархическая
смещений U i
кластер-процедура будет выглядеть следующим образом:
1. Каждый геодезический пункт Pi будем считать принадлежащим
одному отдельному кластеру (блоку) S i . Число таких кластеров будет равно
числу пунктов N.
2. По формуле (4.3) вычисляем всевозможные межкластерные расстояния
( Si , S j ) . Представим вычисленные ( Si , S j ) в виде квадратной матрицы R:
0
( S1 , S 2 ) ...
( S1 , S N )
( S 2 , S1 )
0
...
( S2 , S N ) .
(4.9)
R
...
...
...
...
( S N , S1 )
( S N , S 2 ) ...
0
Матрица (4.9) является симметричной, поэтому достаточно работать
только с верхним или нижним треугольником без главной диагонали,
содержащей всегда только нули. Это следует из следующих свойств метрики:
1) ( Si , Si ) 0 ;
( Si , S j )
( S j , Si ) .
2)
Найдем минимальное межкластерное расстояние. Пусть это будет
( S k , S m ) . Следовательно, в пространстве признаков u x и u y кластеры S k и
S m (в нашем случае это блоки земной поверхности с геодезическими пунктами
Pk и Pm ) наиболее близки из всевозможных пар кластеров в смысле принятой
метрики (4.3). Эти два самых близких кластера объединяются в один.
3. Размерность матрицы уменьшается на единицу (удаляются m-я строка
и m-й столбец, а элементы k-й строки и k-го столбца пересчитываются по
формуле (4.8) с коэффициентами , , , , соответствующими какой-либо
стратегии объединения (см. табл. 4.1)).
4. Переход к пункту 2.
4.3. Критерии, определяющие структурную модель разбиения на блоки
Очевидно, что за N-1 шагов описанная в предыдущем разделе процедура
объединит все пункты сети в один блок-кластер. Следовательно, должен быть
некоторый критерий или ансамбль критериев, определяющий разбиение,
наиболее адекватное исходным данным, применяемым стратегии объединения и
метрике.
Существует несколько различных критериев, тем или иным образом
решающих задачу определения оптимального разбиения в общем случае или
для некоторых конкретных приложений кластер-анализа [Александров, Горский
(1983), Дюран, Одел (1977)].
Учитывая специфику проблемы идентификации геодинамических
объектов, рассмотрим два критерия, которые должны использоваться
совместно:
1. Критерий «топографической близости» (предлагается автором
[Мазуров (1993)]).
Необходимость этого критерия покажем на следующем примере. Пусть
имеется 9 геодезических пунктов с известными векторами горизонтальных
смещений (рис. 4.2).
Если использовать описанную выше кластер-процедуру, то мы получим в
итоге два кластера-блока. Один будет включать в себя пункты 1, 2, 3, 7, 8, 9, а
другой – пункты 4, 5 и 6. Наличие разбиения на три блока: А(1, 2, 3), В(4, 5, 6) и
С(7, 8, 9) – не будет выявлено. Это произойдет по причине того, что
признаковое пространство построено только на основе компонентов вектора
горизонтальных движений.
A
B
C
6
3
9
2
1
5
4
8
7
Рис. 4.2. Горизонтальные движения геодезических пунктов, принадлежащих
трем блокам А, В и С
Поэтому при выполнении пункта 2 кластер-процедуры необходимо учесть
плановую («топографическую») близость объединяемых кластеров. Это
предлагается осуществлять следующим образом.
Дополнительно к матрице R формируется матрица Rt межкластерных
расстояний в пространстве топографических координат x, y геодезических
пунктов:
0
t ( S1 , S 2 ) ...
t ( S1 , S N )
0
...
t ( S 2 , S1 )
t ( S2 , S N ) .
Rt
(4.10)
...
...
...
...
0
t ( S N , S1 )
t ( S N , S 2 ) ...
Каждый элемент матрицы Rt находится как простое Евклидово
( x j xi ) 2 ( y j yi ) 2 , где xi , yi , x j , y j
расстояние:
t ( Si , S j )
топографические координаты пунктов Pi и Pj соответственно.
–
Далее при выполнении агломеративной последовательной кластерпроцедуры на каждом этапе объединения, наряду с пересчѐтом элементов
матрицы межкластерных расстояний R, пересчитываются элементы матрицы
Rt по формуле (4.8) с коэффициентами , , , для стратегии «ближнего
соседа» (см. табл. 4.1). Если для найденного очередного минимального
межкластерного расстояния ( S k , S m ) соответствующее «топографическое»
расстояние t ( S k , S m ) больше некоторой наперед заданной величины t min ,
то эти два кластера объединить нельзя (по причине удалѐнности в
топографическом признаковом пространстве).
Выбор пороговой величины t min необходимо делать с учѐтом плотности
размещения пунктов на данном участке местности, например, как удвоенное
среднее расстояние между соседними пунктами. При этом нужно помнить, что
в общем случае для разных t min могут получаться различные структуры
моделей.
При использовании этого критерия блоки А и С (см. рис. 4.2) уже не будут
отнесены к одному блоку, несмотря на близость векторов смещений.
2. Критерий, основанный на анализе функции минимальных
межкластерных расстояний [Александров, Горский (1983)].
Введем дискретную функцию f min ( g ) – минимальное межкластерное
расстояние, соответствующее шагу объединения:
f min ( g )
(4.11)
g ( Sk , Sm ) ,
где g – номер шага объединения.
Эта функция будет монотонно возрастать (рис. 4.3), поскольку каждый раз
происходит объединение ближайших кластеров, расстояние между которыми на
данном шаге наименьшее. Если на (q + 1)-м шаге объединения межкластерное
расстояние резко возрастает, значит, были объединены кластеры, далеко
лежащие друг от друга. Следовательно, можно сделать вывод, что на шаге q
имелась наиболее правдоподобная классификация.
f min ( g )
f min (q 1)
f min (q)
0
1
2
q
q+1
g
Рис. 4.3. Функция f min ( g ) – минимальное межкластерное расстояние,
соответствующее шагу объединения
Аналогичный результат можно получить, используя функцию приращения
межкластерных расстояний, которая является разностным аналогом первой
производной функции минимальных межкластерных расстояний f min ( g ) . Еѐ
глобальный максимум соответствует шагу, на котором произошло
насильственное объединение естественных групп (блоков), а значит, наиболее
вероятная классификация имеет место на предыдущем шаге.
В дополнение к приведенным выше критериям может применяться также
критерий, учитывающий статистический характер геодезических данных,
используемых в качестве признаков объектов кластеризации.
Так как геодезические измерения отягощены ошибками, попарные
расстояния в (4.3) будут также иметь некоторую ошибку m . Приближенно ее
можно вычислить как среднюю квадратическую ошибку функции от
определенных с ошибками аргументов. Если величина межкластерного
расстояния больше некоторого порогового значения, например, если
( Si , S j ) 3m ,
(4.12)
то можно предполагать с вероятностью 0.997, что различие между
кластерами есть следствие не только шумов наблюдений, но и различного
характера движений и деформаций на разных участках исследуемого района.
Полученная на шаге, соответствующем условию (4.12), структура
пространственно-временной модели ГДС может быть включена в список
моделей-претендентов.
Для различных наборов признаков, стратегий объединения могут
находиться разные структуры пространственно-временной модели ГДС.
Последующая за этим параметрическая идентификация позволит выбрать из
этих моделей-претендентов адекватную результатам измерений модель ГДС
(см. гл. 2).
Если в рамках ограничения (4.12) структура не выявляется, то это не
является неудачной кластеризацией, а говорит о гомогенности, однородности
кластеризуемых объектов, об отсутствии явного разделения на блоки с
различной динамикой. Это тоже пространственно-временная модель движений
и деформаций, претендующая на роль адекватной результатам измерений.
Таким образом, определение адекватной структурной модели разбиения на
блоки для геодинамических объектов должно опираться на соответствующие
критерии. В качестве таковых предлагается использовать «критерий
топографической близости» и критерий, основанный на анализе функции
минимального межкластерного расстояния.
4.4. Структурные модели ГДС и соответствующие им наборы признаков
Узловым моментом структурной идентификации методами кластерного
анализа является выбор конкретного вида метрики (меры близости), от которого
решающим образом зависит окончательное разбиение на классы. Исходя из
физической и статистической природы объектов и из содержания решаемой
задачи, наиболее подходит в качестве метрики для пары объектов
геодинамической природы простое (4.3) или взвешенное Евклидово расстояние.
Взвешенное Евклидово расстояние отличается от простого возможностью
учесть веса признаков. Для примера, рассмотренного в п. 4.1, взвешенное
расстояние будет:
( Pi , Pj )
p x (u x j
u xi ) 2
p y (u y j
u yi ) 2 ,
(4.13)
где p x , p y – веса признаков u x и u y .
Набор признаков и их вид может быть различным в зависимости от того,
какие свойства исследуемой области предполагается изучать, т. е. от
конкретного вида математической модели.
Приведем наборы признаков для некоторых возможных при
идентификации ГДС типов структурных математических моделей.
4.4.1. Набор признаков при кластеризации для модели поступательного
движения жестких блоков
В случае поступательного движения жестких блоков логично выбрать в
качестве объектов кластеризации пункты геодезической сети Pi и Pj , а в
качестве признаков – компоненты вектора смещения u x , u y , u z или вектора
скорости поступательного движения v x , v y , v z . Значения смещений и
скоростей могут быть определены из математической обработки многомерных
пространственно-временных рядов геодезических наблюдений с учѐтом модели
произвольного смещения пунктов, которая принимается как предварительная,
начальная модель геодинамического объекта.
Модель произвольного смещения пункта Pi может быть записана
следующим образом:
xi ( t
2)
xi ( t
1)
u xi ;
yi ( t
2)
yi ( t
1)
u yi ;
(4.14)
zi ( t 2) zi ( t 1) u z i .
Мера близости (метрика по типу взвешенного Евклидова расстояния) для
модели вида (4.14) будет:
( Pi , Pj )
p x (u x j
u xi ) 2
p y (u y j
u yi ) 2
u z i ) 2 , (4.15)
p z (u z j
где p x , p y , p z – веса признаков u x , u y и u z .
Модель произвольного смещения может быть также записана через
компоненты вектора скоростей v x , v y , v z :
xi ( t
yi ( t
2)
2)
xi ( t 1) v x t ;
yi ( t 1) v y t ;
(4.16)
zi ( t 2) zi ( t 1) v z t ,
где t ( t 2) ( t 1) .
В этом случае мера близости для пунктов геодезической сети Pi и Pj будет
вычисляться следующим образом:
( Pi , Pj )
px (vx j
v xi ) 2
p y (v y j
v yi ) 2
pz (vz j
v zi ) 2 ,
(4.17)
или в более компактной записи:
( Pi , Pj )
pk ( vk j
k x, y, z
vk i ) 2 ,
(4.18)
где p k – вес k -го признака.
4.4.2. Набор признаков при кластеризации для модели поступательного
и вращательного движения жестких блоков
Если ведѐтся поиск модели ГДС, предполагая отсутствие какой-либо
деформации, то симметричная часть тензора деформации, отражающая чистую
деформацию, принимается нулевой, т. е.:
e12 e21 e13 e31
e11
2
2
e21 e12
e23 e32
(4.19)
T
e22
0.
2
2
e31 e13 e32 e23
e33
2
2
Здесь и далее e11 , e12 , ..., e33 – коэффициенты линейно-однородной
модели деформаций, являющиеся компонентами тензора деформации (случай
трехмерного пространства).
В этом случае модель ГДС принимает вид:
xk ( t 2)
xk ( t 1)
xk ( t 1)
e10
y k ( t 2)
y k ( t 1)
e20
T y k ( t 1) .
(4.20)
e30
z k ( t 2)
z k ( t 1)
z k ( t 1)
В (4.20) e10 , e20 , e30 – составляющие параллельного переноса вдоль осей
x , y , z ; T – тензор вращения:
e12 e21 e13 e31
0
2
2
e21 e12
e23 e32
.
(4.21)
T
0
2
2
e31 e13 e32 e23
0
2
2
Формула (4.20) описывает разложение перемещения на поступательное и
вращательное. Известно, что данное разложение неоднозначно и может быть
проведено бесконечным числом способов, но угол поворота во всех случаях
будет один и тот же.
Поэтому при определении параметров модели (4.20) априорно выбирается
некоторая закреплѐнная в пространстве ось вращения. Обычно в качестве
точки, через которую она проходит, принимают центр тяжести геометрической
фигуры (симплекса в k-мерном пространстве). Следовательно, определение
меры близости, которая учитывала бы и поступательное, и вращательное
движения, в принципе невозможно. Нельзя причислить к одному блоку точки,
которые совершают круговые движения вокруг различных осей, пусть даже и с
одной угловой скоростью.
Могут представлять интерес только два частных случая, когда либо
определено поступательное движение, либо закреплена ось вращения в
пространстве, а это может быть сделано только априорно.
Кинематическую модель, отражающую движение жѐстких блоков,
аналогичную по сути (4.20), можно представить
 в векторном виде:





ri ( t ) ri ( t 0 ) V
( ri ( t ) r ) ,
(4.22)


где ri ( t ), ri ( t0 ) – радиусы-векторы i-точки в принятой пространственной
t t0 –
системе координат в начальный t 0 и текущий t моменты времени;

промежуток времени; V – вектор скорости
поступательного движения блока;

– угловая скорость вращения блока;
– единичный вектор, определяющий

ориентацию оси вращения; r – радиус-вектор любой точки, расположенной
на оси вращения.
Найдем меры близости для двух частных случаев априорного задания
части параметров математической модели (4.22).
1-й случай: априорно известна некоторая точка, принадлежащая оси
вращения.
Пусть априорно известны координаты точки на оси вращения, т. е. задан

вектор r .


В этом случае компоненты вектора скорости V ,
и можно найти по

величинам смещения двух соседних пунктов сети. Для нахождения
и
воспользуемся понятием ротора векторного поля [Корн Г., Корн Т. (1984)].

Из (4.22) имеем вариант формулы векторного поля r ( x, y , z , t ) при
как функцию от координат:
const , описывающий вектор перемещения
 



r ( x, y, z , t ) V
( ri ( x , y , z ) r ) .
(4.23)
Определим ротор данного векторного поля:



i
j
k

( ry ) 
( rz )
rot r
i
x
y
z
y
z
rx
ry
rz
( ry )
( rz )
( rz ) 
( rx ) 
(4.24)
j
k.
z
x
x
y
Вид функций rx , ry , rz получим после преобразования (4.23) в систему
из трѐх уравнений. После выполнения операции векторного умножения имеем:
rx V x
(z z ) y ( y y ) z ;
ry
Vy
(x
x )
z
(z
z )
x
;
rz
Vz
(y
y )
x
(x
x )
y
.
zj
xj
zi

j
(4.25)

В (4.21) V x ,V y ,Vz , x , y , z , x , y , z – компоненты векторов V ,



r и , соответственно. Компоненты вектора скорости V поступательного
движения постоянны для любой точки пространства. Тогда, согласно (4.24) с
учетом (4.25), получим выражение для ротора векторного поля (4.23):





rot r 2 k x i 2 k y j 2 k z k
2
.
(4.26)
Поле смещений (4.23) определено дискретно – в пунктах геодезической
сети. Поэтому, по известным координатам пунктов в два различных момента
времени t 0 и t t0
можно определить приближенный, разностный аналог
ротора векторного поля для каждой пары соседних пунктов Pi и Pj .
Если понимать частные производные в (4.24), как отношение разности
приращений координат двух точек к разности их координат, то разностный
аналог ротора запишется:

zj
zi
yj
yi 
rot r ( Pi , P j )
i
y j yi
z j zi
xj
zj
xi
zi
xi
yj
xj
yi
xi
xj
yj
xi
yi

k.
(4.27)

Из (4.27) с учѐтом (4.26) легко получить разностный аналог
и . Длина


вектора rot r равна 2 , а его отношение к своей длине – вектор
единичной длины.


При известных
,
, r и
компоненты Vx , V y , Vz находятся из
решения системы (4.25).

Составляющие векторов V и

на практике могут ощутимо отличаться


по абсолютной величине: порядка (10 2 100 ) для V и (10 6 10 4 ) для
.
Поэтому для использования в качестве признаков кластеризуемых объектов их
нужно либо пронормировать, либо учесть это обстоятельство при подборе весов
признаков. Иначе существует опасность того, что один из признаков
«перетянет» при кластерном анализе. Подбор весов нужно решать экспертным
путем в зависимости от цели исследования.
В трѐхмерном случае каждый объект кластеризации (пара соседних точек)


характеризуется шестью признаками – составляющими векторов V и
.
Поэтому может быть полезным при структурной идентификации кластерным
методом сократить их число без существенного увеличения ошибки
распознавания. Это можно выполнить, например, методом главных компонент
(разложение Карунена – Лоэва) [Экслейн, Рэлcтон, Уилф (1986)].
Для двухмерного случая (горизонтальные движения) число признаков

( 0,0, )T, и мера близости будет
будет равно трѐм: V x , V y и , так как
следующая:
Г
( Pi , Pj )
p x (V x j
Vxi ) 2
p y (V y j
V yi ) 2
p (
j
i)
2
.
(4.28)
Заметим, что в (4.24), когда хотя бы одна пара соответствующих координат
пунктов Pi и Pj равна между собой, возможно нахождение только одной
компоненты ротора векторного поля (из-за невозможности деления на ноль).
Для вертикальных движений признаками будут Vz ,
y , а мера
x ,
близости:
В ( Pi , Pj )
p z (Vz j
Vz i ) 2
p [(
xj
xi
)2
(
yj
yi
)2 ]
.
(4.29)
2-й случай:
априорно известен вектор скорости поступательного

движения V .
Определим меру близости для случая вращения жесткого тела в

горизонтальной плоскости. В этом случае
( 0, 0, ) T.

Пусть априорно известен вектор V . Формулу (4.22) перепишем в
следующем виде:






ri ( t ) ri ( t0 ) V
( ri ( t ) r ) .
(4.30)

Будем искать r (t ) для точки оси вращения, причем принадлежит


горизонтальной плоскости, содержащей ri (t ) . Тогда векторы
,






r
ri ( t ) ri ( t0 ) V и ri ( t ) r будут взаимноперпендикулярны
(рис. 4.4).
z

0

ri (t )
x

r
Ω

ri ( t )
i
y

r

r
Рис. 4.4. Вращение жесткого тела в горизонтальной плоскости

Это позволяет из (4.26) получить выражение для r :






;
ri ( t ) r
( ri ( t ) ri ( t0 ) V )






.
(4.31)
r
ri ( t ) ( ri ( t ) ri ( t0 ) V )

Вектор
находится в соответствии с (4.27):
T

yj
yi
xj
xi
0, 0,
.
(4.32)
x j xi
y j yi
Таким образом, для каждой пары соседних точек с известными векторами
смещений в горизонтальной плоскости может быть найден набор из трѐх
признаков x , y и .
Соответствующая мера близости будет:
( Pi , Pj )
p x , y [( x
j
x
i
)2
(y
j
y
i
)2 ]
p (
j
i)
2
,
(4.33)
где Pi и Pj – i-я и j-я пары соседних точек, а не отдельные точки; p x , y –
вес признаков, в качестве которых используются координаты центра вращения;
p – вес признака, которым является угловая скорость вращения.
4.4.3. Набор признаков при кластеризации для модели локальнооднородного деформирования
Для модели (3.25) линейного поля перемещений и деформаций невозможно
в общем случае определить признаки для формировании метрики типа (4.14),
которые отражали бы поступательное, вращательное движения и деформацию
совместно. Поэтому необходимо либо пользоваться некоторой априорной
информацией (см. п. 4.4.2), либо выполнять распознавание по признакам
объекта, инвариантным относительно системы координат. Для моделей ГДС
вида (3.25) такими признаками являются основные инварианты тензора второго
ранга, либо их линейные комбинации.
В работе [Есиков (1979)] эти величины для пространственной модели
сведены в таблицу (табл. 4.2).
Для всех трѐх случаев движений, приведѐнных в табл. 4.2, имеем три
признака, которые после проведения нормирующего преобразования или
назначения весов используются при вычислении метрики – взвешенного
Евклидова расстояния. Тем самым определяется мера близости для организации
кластерной (таксономической) процедуры. Однако нужно помнить, что
полученные таким образом кластеры (блоки) будут однородны только в смысле
деформации (чистой и сдвиговой). Учесть вращение и поступательное
движение невозможно изначально (см. п. 4.4.2), и поэтому любые попытки
решить эту задачу без априорного задания некоторых параметров не могут
иметь успеха.
Таблица 4.2. Основные инварианты тензора второго ранга либо их
линейные комбинации
Данные о
современных
движениях
Линейный
симметрич
Квадратный
ного
симметричного тензора
тензора
1
e31
4
Вертикальные (по
e33
профилю)
Вертикальные (по
e33
площади)
Горизонтальные
e11
2e33
e22
e11e22
1 2
(e
4 31
1
( e12
4
2
e33
)
e21 ) 2
Квадратичный (девиатора)
1
( e31
4
e33 )
1 2
(e
4 31
2
e32
1
[( e11 e22 ) 2
4
2
e33
)
( e12
e21 ) 2 ]
4.4.4. Набор признаков при кластеризации для нелинейных моделей
вертикальных движений геодинамических объектов
При наличии большого числа наблюдений за вертикальными движениями
геодинамических объектов, выполненных в разное время (более двух эпох),
есть возможность описывать вертикальные смещения каждого репера (марки) с
помощью нелинейных (в том числе полиномиальных) моделей. Это могут быть
решения дифференциального уравнения первого порядка, описывающие
временную модель нормированных смещений, нелинейные расширенные
пространственно-временные модели состояния объекта, комбинации степенных
полиномов и априорно известных базисных функций, чисто полиномиальные
модели.
В этих случаях мы предлагаем в качестве признаков, по которым должна
проводиться структурная идентификация методами кластерного анализа,
использовать коэффициенты при нелинейных функциях. Значения этих
коэффициентов могут быть определены после предварительной математической
обработки результатов измерений.
Пример. Пусть отметка j-го репера (марки) в момент времени t
описывается полиномом вида:
Hj
H 0j
H 'j ( t
t0 )
H 'j' ( t
t0 ) 2 ,
(4.34)
где H 0j – высота репера (марки) в начальный момент времени t 0 ; H 'j , H 'j' –
скорость и ускорение вертикального движения репера.
Тогда признаками для объединения i-го и j-го реперов (марок) будут
являться скорости и ускорения H ' , H ' ' . Мера близости будет вычисляться по
формуле:
H
( Pi , Pj )
p H ' ( H 'j
H i' ) 2
p H '' ( H 'j'
H i' ' ) 2 ,
(4.35)
где p H ' , p H '' – веса признаков H ' , H ' ' .
4.4.5. Набор признаков при кластеризации для совместной обработки
разнородных явлений-предвестников землетрясений и вулканизма
Общепризнано [Рикитаке (1979), Кафтан, Серебрякова (1990), Машимов
(1995), Панкрушин (2002), Соболев, Пономарев (2003)], что для достоверного
анализа сейсмичности и вулканизма необходимо объединение усилий
геодезистов, геофизиков, сейсмологов, геохимиков и многих других
специалистов, которые определяют предвестники землетрясений различными
методами и инструментами.
К основным явлениям-предвестникам относятся следующие [Рикитаке
(1979)]: деформации и напряжения земной поверхности, наклоны и
деформации, форшоки, микросейсмичность, геомагнетизм, земные токи,
содержание радона, вариации силы тяжести.
Выполненные с достаточной плотностью и частотой, данные наблюдения
описывают дискретно соответствующее поле. Каждое поле содержит некоторую
информацию об одном и том же объекте – приповерхностном слое Земли.
Методы теории распознавания образов могут учесть в совокупности
объективную информацию, заложенную в этих полях.
Кластерный анализ, как один из методов теории распознавания образов,
позволяет четко выделять интервалы, для которых характерна однородная (в
смысле используемых признаков) динамика. Разумное использование этого
метода для оценки степени сейсмичности исследуемого района земной
поверхности может реально повысить достоверность прогнозных результатов.
Одно из главных достоинств кластерного анализа заключается в том, что
возможен совместный учет разнородных экспериментальных данных,
отражающих один и тот же геодинамический объект или процесс. Например, в
работе [Соболев, Пономарев (2003)] определялась кластеризация аномалий в
сейсмическом режиме перед землетрясениями. Учитывались такие признаки,
как местоположение гипоцентров землетрясений, разница во времени их
появления и энергия.
Нам представляется, что при анализе сейсмичности перечень признаков
может быть расширен. Результаты каждого вида наблюдений за предвестниками
(деформации и напряжения земной поверхности, наклоны и деформации,
форшоки, микросейсмичность, геомагнетизм, земные токи, содержание радона,
вариации силы тяжести и др.) могут быть использованы как признаки для
многомерной классификации методами кластерного анализа. Но при этом
появляется проблема выбора весов признаков при формировании меры близости
и проблема учета коррелированности разнородных явлений-предвестников.
Единого рецепта здесь нет – как правило, это должно решаться субъективно, но
с обязательным учетом накопленной ранее информации о данном конкретном
геодинамическом объекте. Веса признаков должны соответствовать значимости
данного предвестника, некоторому предполагаемому значению вероятности
землетрясения при его прогнозе данным видом наблюдений. Для более полного
анализа можно также рекомендовать выполнять структурную обработку для
различных комбинаций признаков и для различных моделей весов этих
признаков.
4.4.6. Примеры структурной идентификации ГДС методом кластерного
анализа
Изложенный выше метод структурной идентификации неоднократно
проверялся на реальных и модельных данных.
Например, была выполнена обработка реальных данных (нивелирование I
класса 1985 – 91 гг.) о вертикальных движениях на Тункинском и Зейском
геодинамических полигонах (ГДП). В качестве признака для каждого репера
принималось значение вертикального смещения
dH i H i ( t 2) H i ( t 1) ,
где H i ( t 1), H i ( t 2) – отметки i-го репера в эпохи наблюдений
t 1, t 2 .
По результатам этих исследований были сделаны предположения о
наличии мобильных блоков на этих ГДП. Например, на Зейском ГДП выделены
три блока, разделенные разломами, проходящими по реке Громакан и ее
притоку. Среднее значение смещений на юго-западном участке составляет
около 1 см. Опускание северо-западного участка (-2.5 см) может быть вызвано
давлением масс воды на ложе водохранилища. Причем, участок,
непосредственно прилегающий к водохранилищу, испытывает опускание
порядка -4.5 см.
Проверка метода структурной идентификации с использованием
кластерного анализа выполнялась также для смоделированных горизонтальных
движений земной коры. В качестве объектов, для которых проводилась
кластеризация, принимались геодезические пункты. В качестве признаков
использовались составляющие смещения пунктов вдоль осей координат.
Мы посчитали уместным привести здесь числовой пример анализа
блочности по смоделированным горизонтальным движениям 9 геодезических
пунктов (рис. 4.5).
x
6
3
9
2
5
8
4
1
7
y
Рис. 4.5. Геодезические пункты и их векторы горизонтальных смещений в
условной прямоугольной системе координат
Для учета топографической близости при кластеризации достаточно,
чтобы координаты x и y были известны с точностью до ста метров. Значения
этих координат (в км) и значения компонентов смещений u x и u y (в см)
приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3. Смоделированные значения координат (в км) и значения
компонентов смещений (в см)
№ пункта
x (км)
y (км)
u y (см)
u x (см)
1
10.0
10.0
1.9
1.9
2
14.1
10.9
2.1
1.8
3
18.3
9.5
2.1
1.9
4
5
10.1
14.2
14.2
14.8
2.2
2.1
-2.0
-2.1
6
18.2
14.3
2.0
-2.2
7
10.1
18.1
1.8
2.2
8
14.2
18.7
1.9
2.3
9
18.2
18.0
2.1
2.2
Шаг 1: Согласно описанному в разделе 4.2 алгоритму, изначально каждый
геодезический пункт Pi будем считать принадлежащим одному отдельному
кластеру (блоку) S i . Число таких кластеров будет равно числу пунктов N = 9.
По формуле (4.3) вычисляем всевозможные межкластерные расстояния
( Si , S j ) в пространстве признаков u x и u y . Представим вычисленные ( Si , S j )
в виде квадратной матрицы R, элементы которой приведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на первом шаге кластеризации (в см)
0.00
0.22
0.20
3.91
4.00
4.10
0.32
0.40
0.36
0.22
0.00
0.10
3.80
3.90
4.00
0.50
0.54
0.40
0.20
0.10
0.00
3.90
4.00
4.10
0.42
0.45
0.30
3.91
3.80
3.90
0.00
0.14
0.28
4.22
4.31
4.20
4.00
3.90
4.00
0.14
0.00
0.14
4.31
4.40
4.30
4.10
4.00
4.10
0.28
0.14
0.00
4.40
4.50
4.40
0.32
0.50
0.42
4.22
4.31
4.40
0.00
0.14
0.30
0.40
0.54
0.45
4.31
4.40
4.50
0.14
0.00
0.22
0.36
0.40
0.30
4.20
4.30
4.40
0.30
0.22
0.00
Первая строка таблицы содержит значения расстояний в пространстве
признаков (смещений координат) между пунктом с номером 1 и пунктами с
номерами от 1 до 9. На рис. 4.6 показано расположение пунктов в пространстве
признаков (смещений координат). Отрезки прямых иллюстрируют расстояния
между пунктом с номером 1 и остальными пунктами в принятом пространстве
признаков u x и u y .
Вторая строка таблицы соответственно содержит значения расстояний
между пунктом с номером 2 и пунктами с номерами от 1 до 9. И так далее для
оставшихся строк. Нулевые значения на главной диагонали отражают свойство
Евклидовой метрики, согласно которому расстояние от объекта до самого себя
( Si , Si ) 0 .
равно нулю:
ux
2
3
4
5
6
9
1
7
8
uy
Рис. 4.6. Расположение пунктов в пространстве признаков u x и u y
Чтобы учесть плановую («топографическую») близость объединяемых
кластеров, сформируем матрицу Rt межкластерных расстояний в пространстве
топографических координат x, y геодезических пунктов. Используем для этого
формулу (4.10). Элементы матрицы Rt приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
топографических координат на первом шаге кластеризации (в км)
0.00
4.20
8.32
4.20
6.38
9.26
8.10
9.66
11.46
4.20
0.00
4.43
5.19
3.90
5.33
8.24
7.80
8.20
8.32
4.43
0.00
9.45
6.70
4.80
11.88
10.07
8.50
4.20
5.19
9.45
0.00
4.14
8.10
3.90
6.09
8.95
6.38
3.90
6.70
4.14
0.00
4.03
5.26
3.90
5.12
9.26
5.33
4.80
8.10
4.03
0.00
8.95
5.95
3.70
8.10
8.24
11.88
3.90
5.26
8.95
0.00
4.14
8.10
9.66
7.80
10.07
6.09
3.90
5.95
4.14
0.00
4.06
11.46
8.20
8.50
8.95
5.12
3.70
8.10
4.06
0.00
Полужирным подчеркнутым шрифтом в табл. 4.5 выделено значение
расстояния между пунктами 2 и 3 в пространстве топографических координат.
Согласно критерию топографической близости (см. раздел 4.3), это расстояние
должно быть меньше некоторой пороговой величины t min . Значение t min
выбираем с учетом плотности размещения пунктов. Пусть t min 7.5 км. В
этом случае выделенное в табл. 4.5 расстояние меньше выбранной нами
величины t min . Следовательно, пункты 2 и 3 могут быть объединены в один
кластер (2, 3).
Теперь мы имеем уже не 9 кластеров, как перед началом кластеризации, а
8:
S1 , S ( 2,3) , S 4 , S 5 , S 6 , S 7 , S 8 , S 9 .
В круглых скобках обозначены номера объединенных в один кластер S ( 2,3)
объектов (пунктов) S 2 и S3 .
Для теперь уже 8 кластеров необходимо также определить всевозможные
межкластерные расстояния. Не задействованные в объединении на 1-м шаге
объекты сохранят между собой те же значения расстояний в принятой метрике.
А вот расстояния между ними и вновь образованным кластером S ( 2,3)
необходимо пересчитывать в соответствии с принятой стратегией группировки.
Выберем, например, стратегию «группового среднего» (4.7). Согласно этой
стратегии, расстояние между группами равно среднему арифметическому
всевозможных попарных расстояний между объектами рассматриваемых групп.
Используя формулу (4.8) с соответствующими данной стратегии
коэффициентами
(табл. 4.1), пересчитаем межкластерные
, , ,
расстояния между теперь уже восемью кластерами, один из которых обозначен
нами как S ( 2,3) :
( S1 , S ( 2,3) ), ( S 4 , S ( 2,3) ), ( S5 , S ( 2,3) ), ( S 6 , S ( 2,3) ), ( S 7 , S ( 2,3) ), ( S8 , S ( 2,3) ), ( S 9 , S ( 2,3) )
Теперь матрица межкластерных расстояний будет иметь размерность 8 8
и ее элементы поместим здесь в виде табл. 4.6. Номера строк и столбцов
матрицы соответствуют кластерам:
S1 , S ( 2,3) , S 4 , S 5 , S 6 , S 7 , S 8 , S 9 .
Таблица 4.6. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на втором шаге кластеризации (в см)
0.00
0.21
3.91
4.00
4.10
0.32
0.40
0.36
0.21
0.00
3.85
3.95
4.05
0.46
0.49
0.35
3.91
3.85
0.00
0.14
0.28
4.22
4.31
4.20
4.00
3.95
0.14
0.00
0.14
4.31
4.40
4.30
4.10
4.05
0.28
0.14
0.00
4.40
4.50
4.40
0.32
0.46
4.22
4.31
4.40
0.00
0.14
0.30
0.40
0.49
4.31
4.40
4.50
0.14
0.00
0.22
0.36
0.35
4.20
4.30
4.40
0.30
0.22
0.00
Параллельно этому действию и в соответствии с номерами объединенных
объектов сократим размерность матрицы Rt , хранящей информацию о
топографической близости объединяемых объектов. Но в этом объединении
будем использовать только стратегию объединения «ближнего соседа» (4.4). Эта
стратегия «сжимает» пространство и, как следствие, создает ленточные
кластеры. В нашем случае это ленточные кластеры в топографическом
пространстве x, y. Элементы преобразованной после первого шага
кластеризации матрицы Rt представлены в табл. 4.7.
Таблица 4.7. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
топографических координат на втором шаге кластеризации (в км)
0.00
4.20
4.20
6.38
9.26
8.10
9.66
11.46
4.20
0.00
5.19
3.90
4.80
8.24
7.80
8.20
4.20
5.19
0.00
4.14
8.10
3.90
6.09
8.95
6.38
3.90
4.14
0.00
4.03
5.26
3.90
5.12
9.26
4.80
8.10
4.03
0.00
8.95
5.95
3.70
8.10
8.24
3.90
5.26
8.95
0.00
4.14
8.10
9.66
7.80
6.09
3.90
5.95
4.14
0.00
4.06
11.46
8.20
8.95
5.12
3.70
8.10
4.06
0.00
Далее продолжаем объединение в кластеры аналогично. При этом
обязательно учитываем критерий топографической близости, описанный выше.
Шаг 2: Минимальное межкластерное расстояние в табл. 4.6 (выделено
полужирным подчеркнутым шрифтом) говорит о близости объектов-кластеров с
номерами 4 и 5. В топографическом пространстве (см. табл. 4.7) расстояние
7.5 км . Согласно критерию
между ними меньше, чем
t min
топографической близости, их можно объединить в один кластер.
Шаг 3: После объединения объектов с номерами 4 и 5 элементы матрицы
межкластерных расстояний размещены в табл. 4.8. Теперь матрица
межкластерных расстояний будет иметь размерность 7 7. Номера строк и
столбцов матрицы соответствуют кластерам
S1 , S ( 2,3) , S ( 4,5) , S 6 , S 7 , S 8 , S 9 .
Таблица 4.8. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на третьем шаге кластеризации (в см)
0.00
0.21
3.91
4.00
4.10
0.32
0.40
0.36
0.21
0.00
3.85
3.95
4.05
0.46
0.49
0.35
3.91
3.85
0.00
0.14
0.28
4.22
4.31
4.20
4.00
4.10
3.95
4.05
0.14
0.28
0.00
0.14
0.14
0.00
4.31
4.40
4.40
4.50
4.30
4.40
0.32
0.46
4.22
4.31
4.40
0.00
0.30
0.40
0.49
4.31
4.40
4.50
0.36
0.35
4.20
4.30
4.40
0.14
0.30
0.14
0.00
0.22
0.00
0.22
Минимальное межкластерное расстояние в табл. 4.8 говорит о близости
объектов-кластеров с номерами 7 и 8. Аналогичную табл. 4.7 таблицу для шага
3 не приводим, просто оговариваясь, что и в случае близости кластеров с
номерами 7 и 8 также соблюдается критерий топографической близости.
Шаг 4: Имеем после шага 3 шесть кластеров: S1 , S( 2,3) , S( 4,5) , S6 , S( 7,8 ) , S9 .
Элементы соответствующей матрицы межкластерных расстояний размещены в
табл. 4.9.
Таблица 4.9. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на четвертом шаге кластеризации (в см)
0.00
0.20
3.96
4.10
0.36
0.36
0.20
0.00
3.90
4.00
0.44
0.30
3.96
3.90
0.00
0.21
4.31
4.25
4.10
4.00
0.21
0.00
4.45
4.40
0.36
0.44
4.31
4.45
0.00
0.26
0.36
0.30
4.25
4.40
0.26
0.00
Минимальное межкластерное расстояние в табл. 4.9 говорит о близости
объектов-кластеров S1 и S ( 2,3) . Критерий топографической близости был
выдержан,
поэтому
после
4-го
шага
имеем
5
кластеров:
S (1, 2,3) , S ( 4,5) , S 6 , S ( 7,8 ) , S 9 .
Шаг 5: Элементы матрицы межкластерных расстояний для шага 5
размещены в табл. 4.10.
Таблица 4.10. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на пятом шаге кластеризации (в см)
0.00
3.92
4.03
0.41
0.32
3.92
0.00
0.21
4.31
4.25
4.03
0.21
0.00
4.45
4.40
0.41
4.31
4.45
0.00
0.26
0.32
4.25
4.40
0.26
0.00
Объединяются кластеры S ( 4,5) и S 6 . Критерий топографической близости
был выдержан, поэтому после 5-го шага имеем 4 кластера: S (1, 2,3) , S ( 4,5,6 ) , S ( 7,8 ) , S 9 .
Шаг 6: Элементы матрицы межкластерных расстояний для шага 6
размещены в табл. 4.11.
Таблица 4.11. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на шестом шаге кластеризации (в см)
0.00
3.96
0.32
0.28
3.96
0.00
4.36
4.30
0.32
4.36
0.00
0.26
0.28
4.30
0.26
0.00
Объединяются кластеры S ( 7,8 ) и S 9 . Критерий топографической близости
был выдержан, поэтому после 6-го шага имеем 3 кластера: S (1, 2,3) , S ( 4,5,6 ) , S ( 7,8,9 ) .
Шаг 7: Элементы матрицы межкластерных расстояний для шага 7
размещены в табл. 4.12.
Таблица 4.12. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
признаков (смещений координат) на шестом шаге кластеризации (в см)
0.00
3.96
0.31
3.96
0.00
4.34
0.31
4.34
0.00
По примеру предыдущих шагов алгоритма необходимо объединять
кластеры S (1, 2,3) и S ( 7,8,9 ) . Но в этом случае по критерию топографической
близости этого сделать нельзя. Приведем элементы матрицы Rt , полученной на
7-м шаге (табл. 4.13).
Таблица 4.13. Всевозможные межкластерные расстояния в пространстве
топографических координат на седьмом шаге кластеризации (в км)
0.00
3.90
7.80
3.90
0.00
3.70
7.80
3.70
0.00
Выделенное в табл. 4.13 значение 7.80 км – это расстояние между
кластерами S (1, 2,3) и S ( 7,8,9 ) в пространстве топографических координат x, y.
Это значение превышает пороговую величину t min 7.5 км. Следовательно,
эти кластеры в один не объединяются.
Пропуская объединение этой пары, ищем следующую пару, наиболее
близкую между собой в пространстве признаков. Значение 3.96 в табл. 4.12
соответствует расстоянию между кластерами S (1, 2,3) и S ( 4,5,6 ) в пространстве
признаков (смещений координат). Расстояние между кластерами S (1, 2,3) и S ( 4,5,6 )
в пространстве топографических координат x, y имеет значение 3.90 км.
Критерий топографической близости выдержан. Выполним формально этот шаг
алгоритма и объединим кластеры S (1, 2,3) и S ( 4,5,6 ) .
Шаг 8: После объединения имеем два кластера S (1, 2,3, 4,5,6 ) и S ( 7,8,9 ) ,
расстояние между которыми в пространстве признаков будет равно
( S (1, 2,3, 4,5,6 ) , S ( 7,8,9 ) ) 2.32 см .
После объединения все объекты сольются в один кластер, и работа
кластер-процедуры будет завершена.
Но теперь мы задействуем критерий, основанный на анализе функции
минимальных межкластерных расстояний (4.11).
Запишем в виде таблицы минимальные межкластерные расстояния
f min ( g ) , соответствующие каждому шагу кластер-процедуры g (табл. 4.14):
Таблица 4.14. Минимальные межкластерные расстояния, как функция от
номера шага
g
1
2
3
4
5
6
7
8
f min ( g )
0.10
0.14
0.14
0.20
0.21
0.26
0.31
2.32
Представим эту табличную функцию в виде диаграммы (рис. 4.7). На
горизонтальной оси отмечены шаги объединения.
fmin(g)
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
g
9
Рис. 4.7. Минимальные межкластерные расстояния, как функция от номера
шага
Эта функция будет «медленно» монотонно возрастать до 6-го шага
включительно. На седьмом шаге объединения межкластерное расстояние резко
возрастает. Это следствие того, что критерий топографической близости не
позволил нам объединить кластеры S (1, 2,3) и S ( 7,8,9 ) . А межкластерное
расстояние на 7-м шаге резко возросло. Это означает, что объединенные
кластеры S (1, 2,3) и S ( 4,5,6 ) далеко лежат друг от друга в пространстве признаков
(смещений координат). Отвергаем это «насильственное» объединение, как не
удовлетворяющее критерию, основанному на анализе функции минимальных
межкластерных расстояний (4.11).
Следовательно, оставляем окончательным вариантом разделения тот,
который соответствует шагу 6 и удовлетворяет обоим критериям (раздел 4.3).
Это три кластера: S (1, 2,3) , S ( 4,5,6 ) , S ( 7,8,9 ) . Именно этот вариант изображен
на рис. 4.2.
Данный пример иллюстрирует работу кластерного метода при структурной
идентификации ГДС в рамках непараметрического подхода. Являясь элементом
технологии идентификации сложных геодинамических систем с природными
компонентами, данный подход позволяет генерировать модели-претенденты в
рамках различных типов структурных моделей ГДС. При этом возможен
совместный учет характеристик различных полей, содержащих информацию о
ГДС.
Ю.И. Кузнецов
ГЛАВА 5. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
В главе 2 был затронут вопрос о математическом моделировании
колебаний физической поверхности Земли. Настоящая глава посвящена
развитию теории колебаний в аспекте математического обеспечения решения
задачи моделирования колебательных движений геодинамических систем
(объектов, процессов, явлений).
5.1. Аппроксимационный блок
5.1.1. Свободные колебания
Известно (см., например, [Медведев (1986)]), что вековые движения земной
поверхности являются отражением глобальных свойств в коре и мантии. С
механической точки зрения, они представляют собой необратимые деформации
вследствие вязко-пластического течения горных масс. Достаточно быстрые
процессы, связанные, например, с подготовкой землетрясений и его
последствиями, накладываются на фоновые движения в виде возмущений,
основу которых составляют упругие деформации. Известно, что после
сильнейших землетрясений наблюдались собственные колебания Земли с
периодом до одного часа. Отдельные слабые землетрясения и землетрясения
умеренных магнитуд вызывают при благоприятных условиях колебания
локальной системы блоков в районе эпицентра продолжительностью до
десятков минут.
Подобного рода процессы можно моделировать с помощью линейной
колебательной системы с конечным числом степеней свободы [Медведев
(1986)] (см. п. 5.1.3). Но линейные колебательные системы с конечным числом
степеней свободы непосредственным образом связаны с алгебраической
структурой, включающей ганкелеву матрицу, якобиеву матрицу и систему
ортогональных многочленов. Поэтому программы для исследования различных
аспектов,
характерных для колебательной системы, должны включать
аппроксимационный, алгебраический и интерпретационный блоки.
В механике Гамильтона – Лиувилля n связанных между собой тел (или
система с n степенями свободы) совершают свободные колебания в отсутствие
внешних сил. Системе сопоставляется функция Гамильтона
( Dz, z )
2
Tz , z
,
2
(5.1)
dz
– вектор
dt
обобщенных импульсов. Первое слагаемое функции Гамильтона, называемое
инерцией системы, выражает кинетическую энергию системы, второе
слагаемое, называемое жесткостью, – потенциальную. Колебания совершаются
в соответствии с уравнением Лагранжа
d H
H
0 , i 1(1) n .
dt z
zi
где z
z1 ,, z n
T
– вектор обобщенных координат; z
Все n тел движутся с одинаковой частотой p и в одинаковой фазе .
z y k , t в виде
Представим отклонение от положения равновесия z k
z k sin( pt
)u ( y k ) , k 1 1 n .
Для натянутой нити с n бусинками массы mi , закрепленными в
yi 1 yi друг от друга (и от
состоянии равновесия на расстоянии li
концов, причем y 0 , y n – левый и правый концы нити), функция Гамильтона
имеет следующее выражение:
H
1 n
mi z i2
2i 1
где
D
1 n
zi
2 i 0 li
diaq m1 ,..., mn
1
zi
D1
,
2
1
Dz, z
2
diaq
матрицы порядка n и n 1 соответственно;
нити; – матрица порядка n 1 n :
1
D1 z , z ,
2
– диагональные
,...,
l0
ln
– характеристика натяжения
1
1
1 
1 

1
1
.
1
n 1
Величины 1 и n 1 характеризуют условия закрепления нити на левом и
правом концах соответственно. Возможны следующие варианты закрепления:
а) 1 1 , n 1 1 ;
б) 1 1 , n 1 0 ;
в) 1 0 , n 1 1 ;
г) 1 0 , n 1 0 .
Если i 1 , то конец закреплен, если i 0 , то конец свободный.
Обозначим
~
T
S
D1 .
Тогда функцию Гамильтона можно представить в виде
1
1
H
q , q
Sq, q ,
2
2
где
1 ~ 1
S D 2SD 2 ;
1
q D 2z ,
~
причем S , S – симметричные якобиевы матрицы порядка n , и для S
справедливо представление
S OXO T , O T O I ,
используя которое, находим
1
1
H
r, r
Xr , r ,
2
2
причем r O T q . Теперь на основании (5.1) можно записать
r Xr 0
и затем
 Sq 0;
q
~
Dz S z 0 .
~
Матрица S имеет вид:
1
l0
l1
l1

~
S
l1
l1
0

ln
l2
2
ln
2
ln
1
m1 l0

S
li
1
l1
mi 1mi
2

0
l1
1
2
0
l2


ln
ln
1
ln
1
1
m1m2

1
mi li 1

,
1
n 1
1
ln
0
2

1
li
mn 1mn
li
1
2
mi mi
1
1

1
2
.
(5.2)
n 1
ln 1
mn ln 1
ln
Проведенные преобразования позволяют задачу на свободные колебания
линейной системы свести к собственной проблеме для симметричной
якобиевой матрицы S . Выясним, что представляют собой свободные колебания,
т. е. движения системы при отсутствии внешних сил. Запишем уравнение (5.2) в
компонентном виде
mi zi
zi zi 1
zi zi 1
0, i 1 1 n ,
li
li 1
и, подставив сюда выражение (5.2), получим новую систему
p 2 mi ui
ui ui 1
ui ui 1 0 , i 1 1 n ,
li
li 1
относительно ui u yi . Если теперь снова перейти к векторной форме,
получим
~
S U p 2 DU ,
(5.3)
где U
T
. Нетривиальное решение этой однородной системы
~
существует тогда и только тогда, когда выполнено условие S p 2 D 0 , т. е.
u1 ,, un
когда p 2 является собственным числом матрицы S . Из этого следует, что
собственные числа матрицы S не могут быть отрицательными. Это
действительно так, и, чтобы произвести соответствующую оценку, докажем
вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть якобиева матрица A
b1 a1
c2 b2 
A
,
 
an 1
cn
bn
где ci 1 , ai 0 , i 1 1 n 1 , имеет собственные числа xi , i 1 1 n ,
упорядоченные по возрастанию, т. е. xi xi 1 , i 1 1 n 1 . Тогда
справедливы неравенства
xn m a x ci bi ai ,
(5.4)
i
x1
m i n bi
i
ci
если положить c1
ai ,
an
(5.5)
0.
Доказательство. Пусть v v1 ,, vn T – собственный вектор матрицы A ,
так что
ci vi 1 bi vi ai vi 1 xvi , i 1 1 n ,
где x – соответствующее собственное число. Если x xn , то по теореме
Штурма vi 0 , i 1 1 n , и пусть vl vi , i l . Учитывая, что ci 1ai 0 ,
получим неравенство
v
v
xn bl cl l 1 al l 1 cl al ,
vl
vl
или
xn cl bl al .
Из этого неравенства следует (5.4). Если x x1 , то vi vi 1 0 , i 1 1 n 1 , и
vi , i
выбрав l так, что vl
l , находим снова
v
v
bl x1 cl l 1 al l 1 cl al
vl
vl
или
xl bl cl al .
Тем более выполняется (5.5).
Следующее утверждение имеет отношение к спектру матрицы S ,
определенной в (5.2).
Теорема 1. Собственные числа матрицы S неотрицательны и
удовлетворяют неравенствам
0 x1 xi xi 1 , i 2 1 n 1 ,
0.
причем x1 0 тогда и только тогда, когда 1
n 1
~
Доказательство. Матрицы S и DS подобны и имеют одинаковые
diag 1 , , n ,
собственные числа. Определим диагональную матрицу
такую, что
элементы:
b1
bi
bn
где
1
i
i 1
1
. Тогда матрица A
~
DS
будет иметь следующие
1m1
a1 ;
l0
ci ai , i 2 1 n 1 ;
n 1mn
cn ,
ln
mi 1
mi
, ci 1
.
li
li
На основании (5.5) находим
ai
x1
m i n bi
ci
i
ai
mi n
i
1m1
l0
n 1mn
, 0,
ln
0.
1,,1 T удовлетворяет
~
~
равенству DS e 0 , т. е. является собственным вектором матрицы S . Если
1 0 ,
n 1 1 , то по сравнению с предыдущим изменился только
mn
xi ~
x1 , если ~
xi –
коэффициент
, из чего следует, что xi ~
ln
~
0 . Если n 1 0 , 1 1 , то,
собственные числа матрицы DS при 1
n 1
изменив нумерацию i , i
n i 1 , придем к тому же выводу. Случай
1
n 1 1 в сравнении с предыдущим случаем также подпадает под уже
рассмотренную схему.
На основании доказанной теоремы утверждаем, что все собственные
Если
частоты
1
n 1
1
pj
xj2
0 , то x1
0 , ибо вектор e
колебательной
системы
вещественны
и
различны.
Собственной частоте p j соответствует обобщенный собственный вектор
T
~
u j u1 j ,, un j
матрицы S , удовлетворяющий уравнению (5.3), которое
запишем в виде
~
S u j x j Du j , j 1 1 n ,
~
(5.6)
S U DUX , U T DU I ,
причем U – матрица, столбцами которой являются U j , j 1 N . Вектор
u j называется амплитудной функцией, или модой, и задает направление, в
котором совершается собственное колебание с собственной частотой p j ,
j 1 1 n . Любая линейная комбинация собственных колебаний (называемых
также гармоническими) есть свободное колебание. Колебание с собственной
частотой p1
1
x1
2
называется
основным тоном, а с частотой p j
1
xj2 ,
j 2 1 n , j 1 -м обертоном. В обозначениях (5.2) уравнение (5.6) примет
вид:
SV
VX , V T V
I.
(5.7)
Теорема 2. Частоты собственных (гармонических) колебаний все
различны между собой, при этом: 1) амплитудный вектор основного тона
имеет все координаты одинакового знака, 2) амплитудный вектор k -го
обертона, k 1 1 n 1 , имеет точно k узлов (т. е. k перемен знака).
Доказательство. Снова рассмотрим преобразование подобия с матрицей
1
S
diag 1 , , n
,
является
1 i 1 . Матрица A
i
симметричной якобиевой матрицей с положительными элементами
наддиагонали. К ней применима теорема Штурма. Так как собственные числа
матрицы S (следовательно, и A ) имеют упорядоченность x j x j 1 , то j -й
собственный вектор v j матрицы A имеет n j перемен знака. Это значит, что
n j пар соседних компонент (из n 1 имеющихся пар) состоит из
компонент разных знаков, а n 1 пара состоит из компонент одинакового
знака. Умножение вектора v j на приводит к тому, что в каждой паре обе
1
vj j 1
компоненты умножатся на разные знаки. Поэтому в векторе D 2u j
пара будет содержать компоненты разного знака, а n j – одинакового. Таким
1
образом, число узлов (или перемен знака) в векторе D 2U равно j 1 . Так как
1
u j отличаются только
mi
0 , то компоненты векторов D 2 u j
и
положительными множителями, не влияющими на число перемен знака.
Следствие. Частоты собственных колебаний увеличиваются при
увеличении
n 1
.
ln
Отметим, что из теоремы 1 следует, что матрица S является положительно
определенной (возможно, полуопределенной). Это следует из следующего
известного утверждения.
Теорема 3. Для того, чтобы симметричная матрица была положительно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были
положительны. Для того, чтобы симметричная матрица была положительно
полуопределенной, необходимо и достаточно, чтобы среди ее собственных
чисел не было отрицательных, но были нулевые.
Замечание. Из (5.6) следует, что свободные колебания описываются так
~
называемым пучком квадратичных форм S , D , который будем называть
Гамильтоновой формой. В свою очередь, система (5.7) описывается ординарной
формой S , I .
5.1.2. Вынужденные колебания
Если присутствуют внешние силы, то уравнения Лагранжа принимают
иную форму. Рассмотрим случай пульсирующей внешней силы с частотой
и
амплитудным вектором Q (здесь Q – вектор). Тогда вместо (5.2) следует
рассматривать уравнение
~
Dz S x Q sin t
,
(5.8)
где – фаза вынуждающей силы. Частное решение этого уравнения есть
z t
sin t
,
причем
1
~
2
S
D Q.
~
Из (5.8) следует, что S DUXU T D U T XU 1 , D U T U 1 , поэтому
2
U X
Пусть r
1
UTQ .
I
UTQ
2
U X
, тогда
rj
Uj;
2
2
n
1
UT
I
T
r1 ,, rn
pj
j 1
n
Q
DUr
r j DU j .
j 1
Теперь может быть записано общее решение уравнения (5.8)
rj
n
z(t )
A j cos p j t
B j sin p j t
p 2j
j 1
n
sin
2
t
Uj
jU j
j 1
(5.9)
с константами A j , B j , подлежащими определению. Зададим начальные
значения
z 0 z0 ;
.
z 0 z1 .
В этом случае
n
n
A jU j
z0
sin
j 1
n
p j B jU j
z1
j
2
j 1 pj
n
p cos
j 1
j 1
2
Uj;
j
p 2j
2
Uj
или
Ua
UX
z0
1
2b
sin
z1
U X
cos
2
U X
I
1
r;
2
I
1
r,
где a A1 , , An T , b B1 , , Bn T . Остановимся на случае, когда
частота пульсирующих сил совпадает с одной из частот p l . Здесь могут
представиться два случая:
0. Формула (5.9) теряет смысл, ибо слагаемое, соответствующее
а) rl
частоте pl
, обращается в бесконечность. Чтобы получить правильную
форму колебаний, заметим, что имеют место компонентные равенства
 j p 2 j r j sin t
, j 1 1 n.
(5.10)
При
p0 решение (5.8) дается не равенством (5.9), а следующим:
rlt
Al cos p l t
Bl sin p l t
cos p l
.
1 t
2 pl
В этом случае амплитуда неограниченно возрастает (явление резонанса);
б) r j 0 . В формуле (5.9) отсутствует слагаемое при j l , поэтому
резонанса нет (явление квазирезонанса). Никакой модификации (5.9) не
требуется.
5.1.3. Вязкое трение
В реальном мире свободные колебания существуют только краткий миг
(как в случае музыкальных инструментов). Но свободные колебания есть
присущее системе свойство, проявляющееся во всех ситуациях.
Мы видели это на примере вынужденных колебаний. Можно сказать, что
резонанс является главным инструментом динамической системы для перевода
своей подсистемы в новое состояние: подсистема будет разрушена, если не
сможет этого сделать. Причем переход в новое состояние осуществляется
нелинейным образом.
Практически важный случай представляет система с вязким трением,
которая на сей раз описывается уравнением:
~
Dz 2bz S z 0
с коэффициентом затухания b . Такая система для случая n 3 и D E
была успешно применена при описании землетрясения [Медведев (1986)] с
помощью модели [Садовский (1982)] одномерной колебательной системы.
В общем случае, используя собственную проблему (5.3), вектор Z
разложим в ряд Фурье
n
Z t
uj t U j
j 1
~
по собственным векторам U j матрицы S . Тогда для коэффициентов Фурье
u j t получим нестационарную систему уравнений
 j 2bu j
Du
p 2j u j 0 .
Решение ее находится подстановкой
uj
pj
jt
,
причем для определения
j
служит уравнение
2
j
2b j p 2j 0.
Отсюда находится j :
b
b 2 p 2j .
И в этом случае внутренние свойства колебательной системы, т. е. ее
собственная проблема, оказываются наиважнейшими.
Для эффективного решения собственной проблемы якобиевой матрицы
нами создан генератор алгоритмов ALTROS.
j
5.2. Генератор алгоритмов ALTROS
Цель – генерирование алгоритмов для вычисления различных элементов
вандермондовой и ганкелевой структур.
Обращение CALL ALTROS (Np, Npd, A, G, B, X, C, P, H, D, N)
Замечание. Якобиева матрица может быть представлена в следующей
ai 1 , bi , ai , или J
форме:
Tr
ci , bi , ai , или S
1, bi , g j .
Справедливы соотношения DTrD 1 J , D diag 1, 1 ,, 1
c2
c 2 c n ,
gi ci 1ai , i 1 1 n 1 . Матрицы Tr , S , J представлены массивами (C, B,
A), (B, A), (B, G) соответственно.
Аргументы:
N – порядок матрицы H (и J, P);
X – массив узлов ортогональности, X(I), I = 1(1)N; или узлов
интерполяции Коши;
C – массив весов ортогональности, C(I), I = 1(1)N, или поддиагональ
якобиевой
матрицы Tr ; или неизвестный вектор в SLAE; или узлы
интерполяции Коши;
G – поддиагональ якобиевой матрицы J, G(I), I = 1(1)N; или вектор
значений функции; коэффициенты многочлена числителя;
A – наддиагональ якобиевой матрицы S, A(I), I = 1(1)N; или вектор
правой части в SLAE; или значение функции от X в интерполяции Коши;
B – диагональ якобиевой матрицы, B(I), I = 1(1)N; или значения
функции от C в интерполяции Коши;
H – массив моментов, H(I), I = 1(1)2N 1;
D – диагональная матрица D(I), I = 1(1)N; или коэффициенты
многочлена знаменателя;
P – (n*n)-матрица: P(I, J), I = 1(1)J содержит строку коэффициентов
многочлена степени J 1; или P(I, J), J = 1(1)N содержит элементы I-го
собственного вектора S; или треугольное разложение матрицы Вандермонда
(без единичной диагонали); или матрица Левнера;
Np – указатель операции:
а) Np = 1 – Построение матрицы J:
Npd = 1: ввод: H(2n - 1); вывод: A(),B(),D(),P(,);
Npd = 2: ввод: A(), B() (см. комментарий VOSJP); вывод: A(),B();
Npd = 3: ввод: xi, ci (X(), C()); вывод: A(),B();
б) Np = 2 – Построение матрицы P:
Npd = 1: ввод: H(2n - 1); вывод: G(n),B(n),D(),P(,);
Npd = 2: J (ввод: B(), G()); вывод: P(,);
Npd = 3: xi , ci (ввод: X(), C()); вывод: A(),B(), P(,);
в) Np = 3 – Построение of xi , ci по S;
ввод: A(), B(); вывод: X(),C(),P(,);
г) Np = 4 – Решение SLAE (A вводится):
Npd = 1: Hc = a (ввод: H; вывод: C);
Npd = 2: Jc = a (ввод: B, G; вывод: C);
Npd = 3: VA = a (ввод: X; вывод: A);
Npd = 4: VTA = a (ввод: X; вывод: A);
д) Np = 5 – Обращение матрицы:
Npd = 1: ввод: V (X); вывод: P(,);
Npd = 2: ввод: J (B, A); вывод: P;
е) Np = 6 – Факторизация матрицы:
Npd = 1: H-1 (ввод: H; вывод: B, G, D, P(,));
Npd = 2: V-1 (ввод: X; вывод: P(,));
ж) Np = 7 – интерполяция
Npd = 1: Лагранжа (ввод: X, G, H(1); вывод: H(2));
Npd = 2: Ньютона (ввод: X, G, H(1); вывод: H(2));
Npd = 3: Коши (ввод: узлы X, C и соответствующие значения функции A, B;
вывод: коэффициенты многочленов числителя G() и знаменателя D() по
убыванию степеней (см (5.43), (5.42) для q(x), w(x)));
Npd = 4: Коши (ввод: узлы X, C и соответствующие значения функций A, B,
узел интерполяции H(1); вывод: коэффициенты многочленов числителя G()
и знаменателя D() по убыванию степеней, значение функции H(2) в узле
интерполяции H(1));
з) Np = 8 – Квадратура функции g(x) на интервале [A(1), A(2)]:
Npd = 1: Ньютона – Котеса (ввод: H, X, G; вывод: H(1));
Npd = 2: Гаусса (ввод: H, G; вывод: A(N));
Npd = 3: Радо (ввод: H, G; вывод: A(N));
Npd = 4: Лобатто (ввод: H, G; вывод: A(N));
и) Np = 9 – Собственная проблема S (ввод: A, B; вывод: X, P): метод
Штурма;
T 1 ; вывод: A,
к) Np = 10 – Гамильтонова форма (ввод: A, B, 0 A N
B, D);
л) Np = 11 – Сопряженная система Штурма:
Npd = 1: сопряженная система и дополнительная матрица ((ввод: A, B;
вывод: A, B, X, C – дополнительной матрицы в соответствии с (5.38), (5.39)),
a = 1, b = 0);
Npd = 2: проверка условий дополнительности (вывод: строки текста).
Замечание. Подпрограмма ALTROS записывает в файл ALTR
вычисленные значения, а также некоторые контрольные данные:
а) Np = 3 и Np = 10:
1) строка 'The error of Spur = ' mEp;
2) строка 'It is not Jacobi matrix', если ci 1ai 0 ;
3) строка 'The complex roots', если матрица не является якобиевой;
4) строка 'The multiple roots', если матрица не является якобиевой;
б) Np = 7:
строка 'N is too great';
в) Np = 11:
1) строка 'The condition a(I) < 0 is vialated',
,
,
mEp , , ,
строка 'The absolut error
mEp ;
Np = 12:
строка 'The matrix is not the complementary one';
строка 'The complementary matrix is obtained'.
2)
г)
1)
2)
5.2.1. Алгоритмы
Тройственная алгебраическая структура есть совокупность алгебраических
объектов, связанных взаимно однозначными отношениями. Наиболее широко в
ALTROS представлены алгоритмы вандермондовой и ганкелевой структур.
Вандермондова структура. В этой структуре [Ильин, Кузнецов (1986)],
Kuznetsov (1997)] главным объектом является матрица Вандермонда. В нее
входят:
а) матрица Вандермонда
1 x1  x1n 1
 x 2n

n
 xn
1 x2
 
1 xn
V
i 1 T
n
eei
i 1X
T
V=
1
;
(5.11)
1
,
1,,1 , X
diag x1 ,, xn ,
где e
б) узловые многочлены, чьи корни есть x1 ,, x n , k
k
k
x
x
x
i 1
k
j
i
xj
x
i
(5.12)
x / x xj ;
n 1
n
11 n;
i 1
k
x
ck , k i x i , k
xi
11 :
i,n j 1x
j
.
(5.13)
j 0
Например, определитель Вандермонда:
n
|V|=
k 1
xk .
k 2
Если
1,n 1
и
V
1



1, 0
2, 0

x1 , 
n
diag
1
1
1
n ,n 1

n ,0
xn
.
Последняя
enT V
2,n 1
e 1.
Многочлены
, то
(5.14)
строка
матрицы
есть
e
1,,1 T ,
следовательно,
x
, i 11 n,
(5.15)
i xi
называются
фундаментальными
многочленами
Лагранжа.
Их
определяющее свойство, li xi
i , j , i , j 1 1 n , обеспечивает им линейную
независимость. Элементы i -го столбца обратной матрицы Вандермонда есть
li x
коэффициенты
многочлена
.
Представим
так
называемый
интерполяционный многочлен в форме Лагранжа:
i
li x
n
n i
x
f i li x ,
i 1
где f i – числа и n 1 x j = f i , j 1 1 n , т. е. интерполяционный
многочлен принимает заданные значения f i в узлах x j (например, значения
функции f x j ).
Введем вектор
n
x j 1e j .
v x
i 1
Тогда форма
f ,V T v x
n 1 x
или
V 1 f ,v x
(5.16)
n 1 x
есть коэффициентное представление интерполяционного многочлена.
Справедливы тождество
xk
n
xik li x
kn
n
x ,
i 1
k
0 1 n , и равенства
n
fi
f i li xi
i 1
где f i , j 1 1 n , есть числа.
Интерполяционный многочлен n 1 x может быть представлен в форме
Ньютона, если вектор f в (5.16) заменить разделенными разностями порядка k :
f 1 ,, f k 1 , f k 1
f 1 ,, f k
f 1 ,, f k 1
;
(5.17)
xk 1 xk
f1
f1
(рекуррентное определение). Другое представление:
k 1
fi
f1 ,, f k 1
, k 1 1 n 1,
k 1
xi
i 1 i
также имеет место.
Теорема 4. Треугольное разложение матрицы Вандермонда может
быть представлено в форме:
V T W,
tij , W
wij , i, j
где T
матрицы соответственно и
i
wij
q
i
j i
1
l
t ji
i 1
xlj
1
i
xl
l
1 1 n , есть нижняя и верхняя треугольные
,
xj ,
с соотношениями
wij
wi
xi wi , j 1 , j i , i
1, j 1
x1j 1 , j 1 1 n , wij
Кроме того, для матриц
0, j
w1 j
V
1
W 1T 1 ,
T
1
1
tij , W
21n,
i
i
(5.18)
wij , i, j
11 n ,
имеют место формулы
1
t jl
, l 11 j ,
j
xl
l
wij
cj
0.
(5.19)
, i 11 j .
(5.20)
Представим уравнение (5.18) для интерполяционного многочлена в
1, j i
f1 ,  , f n
векторной форме. Если f
то можно получить из (5.19):
Z T 1f ,
Pn
1
x
W 1Z , v x
Z ,W
T
T
и Z
z1 ,  , z n
T
f1 ,  , f k ,
, zk
v x ,
n
Pn
1
x
zk
x ,
k 1
k 1
т. е. форму Ньютона интерполяционного многочлена. Для вычисления z k
подходит рекуррентное определение (5.17).
Интерполяционный многочлен можно выразить в коэффициентной форме:
n 1
Pn
1
a j 1x j
x
a, v x .
j 0
Если a
a1 , a 2 ,  , a n
T
, а f есть вектор значений Pn
1
x
в узлах
x1 ,  , x n то
Va
f .
(5.21)
Для решения системы (5.21) с матрицей Вандермонда можно, например,
воспользоваться представлением (5.14) или (5.19) обратной матрицы.
Следующий метод, однако, является лучшим.
f1 , , f k . Тогда
Лемма 2. Пусть z k
j
Pn
x
1
j
x Pn
j
j 1
x
zk
x , j
k 1
1 1 n,
k 1
где
n j 1
Pn
j
j 1
ak j 1 x k
x
f1 , , f j , Pn
1
x
k 0
и коэффициенты ak j 1 , k
01n
1 , определяются соотношениями
j
n j 1
a k j 1 xik
f1 ,  , f j , f i , i
j
11 n .
k 0
Тождество
Pn j j 1 x
Pn j j 1 x j
x j Pn j j
x
1
x
обеспечивает эффективный алгоритм решения системы с матрицей
T
z1 , , z n
Вандермонда. Так, если вектор Z
найден, то коэффициенты
многочлена Pn 1 x
Кузнецов (1994)]:
a1n
a0 j
1
zn ,
1
zj 1,
ak j 1
a k j 11
an j j
a n j j1 1 ,
j
n
определяются алгоритмом [Golub, Van Loan (1996),
2
x j 1a k j 11 , k
01n
j
2,
10
j 1
(значения a0
введены как вспомогательные).
Представляет интерес и другая проблема с матрицей Вандермонда:
V TC M ,
T
где вектор весов C c1 , , cn неизвестен, а известен вектор моментов
M
T
m1 ,  , mn . В этом случае справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Справедливы соотношения
n
x ij 1c jk
mi kk ,
j k 1
k
01n
1, i
11 n
k
причем значения c j
Кузнецов (1994)]:
cnn
1
c jk
1
mnn 1 ,
c jk x j
k,
определяются рекуррентно [Golub, Van Loan (1996),
xk , j
n
1k
1,
n
ckk
1
m kk
1
c jk
1
, k
n
1
1 1,
j k 1
c j0 , j 1 1 n ,
cj
после того, как значения mkk 1 ,
ml 0
ml , l 1 1 n ,
ml k
ml k
1
xk ml k1 1 , l
k 1 1 n , k 1 1 n 1,
вычислены.
Ганкелева структура. Ганкелева структура [Кобельков, Носков, Поспелов
(1994), Kuznetsov (1995), Кузнецов (1997), Kuznetsov (1997), Кузнецов (2000б),
Кузнецов (2001), Сердюкова (1992)] определяется положительно определенной
ганкелевой матрицей H . С ней связано большое количество соотношений. Так
H R T DR V T CV ,
где D diag d1 , , d n , R rij , i , j 1 1 n , – верхняя единичная
треугольная матрица,
di
H i H i 1 , rij
Hi i , j Hi ,
V – матрица Вандермонда (5.11), C diag c1 ,  ,cn , R k 1 JR k ,
k 1 1 n 1,
b1 g1
1 b2 
J
,
(5.22)
  gn 1
1
bn
k
dk
gi .
1
i 1
Есть и другая форма этого представления:
(5.23)
HP RT D .
p ij , i , j
Здесь k -й столбец матрицы P
представляет коэффициенты ортогонального многочлена
k 1
Pk
1
x
i 0
pik
1 i
x ,k
01n
1, P
R
1
1 1 n,
с единицей при старшей степени (в ганкелевой структуре Pk x обозначает
не интерполяционный, а ортогональный многочлен). Справедливы соотношения
ортогональности
VP T CVP D
(5.24)
или
n
ci Pl
1
i 1
и
P0 x
1,
xi Pk
1
xi
kl d k
, k ,l
11 n,
P1 x x b1 ,
Pk x
x bk Pk 1 x g k 1Pk 2 x , k 2 1 n .
(5.25)
Корни многочлена Pn x , xi , i 1 1 n , есть собственные числа матрицы J :
VPJ XVP ,
X diag x1 , , xn , а ее собственные векторы выражаются через
значения многочленов Pk x j .
Определенные в (5.25) многочлены имеют свойства Штурма: число
перемен знака W x в последовательности P0 x , , Pn x уменьшается с
монотонным ростом x таким образом, что W xi
1 W xi
, – как
угодно малое число. Так как многочлены (5.25) вычисляются с точностью до
множителя, можно взять Pn x 1 вместо P0 x 1 . Получается SLAE с
якобиевой матрицей и правой частью, равной ek .
Решение системы TJ X F ,
b1 a1
c 2 b2 
TJ
,
  an 1
cn
bn
x1 , , xn T , F
f1 , , f n T , находится следующим образом:
где X
xn vn ,
x k uk x k 1 v k , k n 1 1 1 ,
ak
uk
, u0 0 ,
bk ck uk 1
f k ck v k 1
vk
, v0 0 , k 1 1 n .
bk ck u k 1
Если u k
, то следующий элемент в столбце становится ведущим.
Собственные числа xi являются узлами ортогональности. Веса
ортогональности определяются соотношениями:
1
ci
.
d n Pn 1 xi i xi
Элементы матрицы J связаны соотношениями
b j p jj 12 p jj 1 , j 1 1 n ,
dj 1
, j 1 1 n 1.
dj
В другой задаче даны значения xi , ci , i
элементы матрицы S
b1 a1
a1 b2

S
,
  an 1
an 1
bn
gi
1 1 n , и требуется найти
(5.26)
которая связана с многочленами qk x ,k 0 1 n 1 a0 0 ,a n
q0 1 , k 1 1 n ,
a k qk x
x bk qk 1 x ak 1qk 2 x .
(5.27)
Условия ортогональности в этом случае имеют вид:
1 :
n
ci qk xi ql xi
kl ,
k
1 1 n.
(5.28)
i 1
Тогда (из (5.27) и (5.28))
n
bk
ci xi qk2
i 1
xi , k
1
1 1 n,
(5.29)
1
n
ak
ci xi
bk qk
1
xi
ak 1qk
2
xi
2
2
, k
1 1 n 1.
i 1
После очередного вычисления bk ,ak ,k 1 1 n 1 находим значения
qk x j , j 1 1 n , k 1 1 n 1 ,
(5.30)
q k xi
xi bk qk 1 xi
a k 1q k 2 x j a k .
Наконец, по формуле (5.29) вычисляется bn . Узлы xi есть корни
многочлена qn x , как следует из (5.30).
Этот алгоритм [Сердюкова (1992)] устойчив при n 50 .
Построение матрицы J по ганкелевой матрице также возможно
[Кобельков, Носков, Поспелов (1994)]. Из (5.23) и (5.25) следует:
k
hk
j 0
k
hk
j 0
p k1
p kj
k
jpj
k
j 1p j
pkk
1
k 1
pj 1
dk
1,
0,
0 , p kk
1,
bk p kj
gk
1
k 2
,
1p j
j
0 1 k 1.
Коэффициенты многочленов P0 x и P1 x
следовательно, d1 ,d 2 , g1 . Поэтому находим:
bk
k 1
dk
k 2
dk
известны изначально, и,
,
1
где
l
hl
l
j 0
l
j 1p j
,l
k
1, k .
После этого вычисляются коэффициенты многочлена Pk x и d k 1 . Так
как g k d k 1 d k , то рекурсия продолжается.
Теперь рассмотрим [Кузнецов (2000а)] обобщенную собственную проблему
S H U DUX
(5.31)
для гамильтоновой формы S H положительно (неотрицательно)
определенной якобиевой матрицы, где
SH
1
1
1
2



(5.32)
n 1
n 1
X
n
D diag m1 , ,mn
с
условиями
.
Здесь
i
i 1
i
diag x1 , , xn , а U есть соответствующая фундаментальная матрица.
Преобразование (5.26) с ai 0 в (5.31, 5.32)
S H D1 2 SD1 2
есть преобразование конгруэнтности.
ai mi 1 mi 0 , i
В обозначениях i
0
b1
n
0 , bn
m1
mn
справедливы соотношения:
b1
,
i
i
ai2 1
bi
, i
,
11 n,
0
2 1 n 1,
i 1
0
an2
bn
1
.
n 1
Отсюда
gn
hn
gn
hn
1
1
(5.33)
и
hn
gn
gn
b1 ,
,
g0
hn 1
1 , g1
gk
h0
bk g k 1 a k2 1 g k
0 , h1 1 ,
(5.34)
1
2,
k
2 1 n,
hk bk hk 1 a k2 1hk 2 , k 2 1 n .
Выбор (или из соотношений (5.33), (5.34)) может быть произвольным
в 0 , g n hn (или в интервале 0 , g n g n 1 ). Когда выбор сделан, можно найти
i и затем mi ,
i
mi
mi
2
j
,
aj
mn ,
m1 , n
причем 0
i
i mi mi 1 , i 2 1 n 1 ,
i
i 1
i, i 11 n.
Значение m1 должно быть задано.
1
j 1
Для симметричной якобиевой матрицы S (5.26) с условиями a k 0 ,
k 1 1 n 1 , с собственными числами
xn xn 1  x2 x1
(5.35)
и системой многочленов qk x (5.27), можно поставить проблему
сопряженной системы Штурма. В последовательности
q1 xi , ,qn xi
(5.36)
с упорядочиванием (5.35) имеется i 1 перемена знаков. Определим
[Кузнецов (1994), Кузнецов (1999)] многочлены qiy y соотношениями
i ql xi
, i, l 1 1 n,
(5.37)
qiy y l
1ql x1
где
2
i
ci – веса ортогональности многочленов qk x ,
i
0.
Теорема 5. Многочлены qiy x порядка i 1 ортогональны с весами
cly
cly
y 2
,
l
c1ql2
n
x1 ,
на узлах y l , l
cly
1,
(5.38)
l 1
1 1 n.
Лемма 5. Многочлены qiy x , i 1 1 n имеют степень i 1 , если и
только если выполняются соотношения:
y
i ,n l qi
y
i 1 i y i qi
n
xk
x1
0, l
k 1 1 n, k
1 1 n 1,
(5.39)
или
k q x
k
yl y j
ql x k
i k
,
(5.40)
ql x1
yj
i 1 qi x1
j 1 , j 1 yi
l k 1 1 n , k 1 1 n 1.
Теорема 6. При упорядочении (5.35) узлы y l , где
q x
yl
a 2 l 2
b , a 0, l 1 1 n
(5.41)
1ql x1
упорядочены аналогично, т. е.
y n y n 1  y 2 y1 .
Теорема 7. Фундаментальная матрица O матрицы S есть левая
фундаментальная матрица S c :
SO OX , OS c YO .
Многочлен x
n x связан с невырожденной ганкелевой матрицей H
x1 , , xn .
своими попарно различными корнями xi , i 1 1 n . Пусть X
Рассмотрим множества Y , Z попарно различных узлов yi , zi ,i 1 1 n , с
условиями
w yi
0 , w zi
0, i 1 1 n.
Наряду с
x
n
z
x
n
x
x ,
x
i
x
i
x
рассмотрим также многочлены
x , n x , i x , iy x , iz x
с условиями
x
x j 0 , n y y j 0 , nz z j 0 , j 1 1 n ,
n
и т. п.
Матрицы Вандермонда V x V , V y , V z и
x
,
y,
z ,
x
, y , z соответствуют множествам X ,Y , Z соответственно.
n
y
y
diag 1 y y1 , , n y y n ,
Например,
V y
y
y .
Таким образом, матрица Левнера L
T
L
y H z
имеет вид
s1 t1
s1 t n

y1 z1
y1 z n
L


,
sn t1
sn t n

y n z1
yn zn
где
q yj
q zj
si
, tj
,
w yj
w zj
q x есть многочлен степени n 1 . Многочлены q x , w x
n x
взаимно просты.
Пусть заданы множества yi ,si , zi ,ti , i 1 1 n . В интерполяции Коши
si , r zi ti ,
дробно рациональная функция r x q x w x такая, что r yi
i 1 1 n может быть вычислена, как, например, предлагается в следующей
теореме.
Теорема 8 (М. Фидлер). Пусть матрица Левнера L не вырождена и –
вещественное число, такое, что
s1 t1
s1 t n
y

x
1
y1 z1
y1 z n
1 sn t1
sn t n
y
w x

x ,
(5.42)
n
L yn z1
yn zn
y
t1
 tn
x
n
q x
s1
y1
1 sn
L yn
t1
t1
z1
t1
z1



s1 tn
y1 z n
sn t n
yn z n
tn
y
x
y
x ,
y
x
s1
1
sn
n
n
(5.43)
yi ,w zi не обращаются в нуль. Тогда q x w x есть
и величины
дробно рациональная функция r x интерполяции Коши. Кроме того,
многочлены q x , w x взаимно просты, w x
n x . Степень многочлена
q x не выше n .
5.2.2. Структура комплекса программ
С
Comment - Np = 1 (The construction of J)
С Npd =1
on H
С Npd = 2
on P
С Npd = 3
on xi, ci
Comment - Np = 2 (The construction of P)
С Npd =1
on H
С Npd =2
on J
С Npd = 3
on xi, ci
Comment - Np = 3 (The construction of x^ q on J)
Comment - Np = 4 (The solving of SLAE)
С Npd =1
Hx = f
С Npd = 2
Jx = f
С Npd = 3
Vx = f
С Npd = 4
VTx = f
Comment - Np = 5 (The inversion of the matrix)
С Npd = 1
V
С Npd = 2
J
Comment - Np = 6 (The factorization of the matrix)
С Npd = 1
H-1
С Npd = 2
V-1
Comment - Np = 7 (The interpolation of)
С Npd =1
Lagrange
С Npd = 2
Newton
С Npd = 3
Caushy
Comment - Np = 8 (The quadratures of)
С Npd = 1
Newton - Kotes
С Npd = 2
Gauss
С Npd = 3
Radaux
С Npd = 4
Lobatto
Comment - Np = 9 (The function on the moments)
Comment - Np = 10 (Eigenvalue of J; Sturm method)
Comment - Np =11 (Hamilton form of J)
Comment - Np = 12 (The conjugate Sturm system)
С Npd = 1
The conjugate system and the complementary
matrix
С
Npd = 2
The checking of conditions
goto( 100,200,300,400) ,K
100:
С
Comment - The construction
С
goto(150,160,170),Np
150:
goto(15,16,17),Npd
15:
С
Comment - Np = 1
Comment - Npd = 1 (The construction of J on H)
С
call VOSJH(A,B,D,H,P,N)
16:
С
Comment - Npd = 2 (The construction of J on P)
С
call VOSJP(A,B,N)
17:
С
Comment - Npd = 3 (The construction of J on au,
С
call VOSJXC(A,B,X,C,N,Z)
160:
С
Comment - Np = 2
Comment - The construction of P
С goto(26,27,28), Npd
26:
С
Comment - Npd = I (The construction of P on H)
С
call VOSPH(G,B,H,D,P,N)
27:
С
Comment - Npd = 2 (The construction of P on J)
С
call VOSPJ(B,G,N,P)
28:
С
Comment - Npd = 3 (The construction of P on x±,
С
call VOSPXC(X,C,A,B,N,P)
170:
С
Comment - Np = 3 (The construction of Xi, c^ on S)
С
Call VALJAK(A,B,X,C,P,N,Y,B2,B3,Xl,Bl,Vl,Cl,MZ)
200:
С
Comment - The solving, inversion, factorization
С
goto(250,260,270), ATp - 3
250:
С
Comment - Np - 4
Comment - The solving
С
goto(35,36,37), Npd
35: С
Comment - Npd = 1 (The solving of SLAB He = a)
С
call VOSPH(G,B,H,D,P,N)
call REURHANK{P,D,A,C,N)
36:
С
Comment - Npd = 2 (The solving of SLAE Jc=a)
С
call APROV(G,B,A,C,N,WL)
37:
С
Comment - Npd = 3 (The solving of SLAE Vc = a (V*1 =e))
С
call RAZN(A,X,N)
call NEWTON(A,X,N)
38:
С
Comment - Npd = 4 (The solving of SLAE VTc = a(V*1 =e))
С
call LAGRAN(A,X,N)
260:
С
Comment - Np = 5
Comment - The inversion of
С
goto(45,46),Npd
45:
С
Comment - Npd = 1 (Vandermond matrix with the first column = e)
С
call PSIV(X,P,N)
46:
С
Comment - Npd = 2 (Jacobi matrix)
С
call OBJAK(B,A,N,H,D,G,X,P,W)
270:
С
Comment - Np = 6
Comment - The factorization of matrix
С
goto(55,56,57), Npd
55:
С
Comment - Npd = 1 (H-1 (Bezout matrix))
С
call VOSPH(G,B,H,D,P,N)
56:
С
Comment - Npd = 2 (inverse Vandermonde matrix with V*1 =e
С
call VANW m1 (X,V,P,N)
call VANT m1 (X,V,P,N)
Comment - The diagonal of P(,) is new
300:
С
Comment - The interpolation, quadratures
С
goto(350,360), Np - 6
350:
Comment - Np = 7
Comment - The interpolation of
С
Goto (65,66,67,68), Npd
65:
С
Comment - Npd = 1 (Lagrange)
С
H(2) =FUNLAG(G,X,H(1),N)
66:
С
Comment - Npd — 2 (Newton)
С
H(2) =FUNNEW(G,X,H(1),N)
67:
С
Comment - Npd — 3 (Caushy)
С
CALL LEVNER(A,B,X,C,P,N)
CALL FIDLER (G,D,X,C,A,B,H,Bl,P,MZ,N,0d0)
69:
С
Comment - Npd = 4 (Caushy)
С
H(2)=COSHY(G,D,X,C,A,B,H,B1,P,MZ,N)
360:
С
Comment - Np = 8
Comment - The quadrature
С
Goto (75,76,77,78), Npd
75:
С
Comment - Npd = 1 (Newton-Kotes)
С
С H(1) =NEWKOT(G,X,H,N)
76:
Comment - Npd = 2 (Gauss)
С
I=0
Al = A(l)
A2 = A(2)
A1-GAUSS(G,X,B,A,N,A1,A2,I,H,D,C,B1,P,V1,C1)
A(N) = Al
77:
С
Comment - Npd = 3 (Radaux)
С
I=1
A1 = A(1)
A2 = A(2)
A1 = GAUSS(G,X,B,A,N,A1,A2,I,H,D,C,B1,P,V1,C1)
A(N) = Al
78:
С
Comment - Npd – 4 (Lobatto)
С
I=2
A1 = A(1)
A2 = A(2)
A1 = GAUSS(G,X ,B,A,N,Al,A2,I,H,r>,C,Bl,P,Vl,Cl)
A(N) = A1
400:
С
Comment - Inner properties
С
goto(450,460,470),Np – 8
450:
C
Comment - Np = 10 Comment - Eigenvalue of S
C
goto(85,85),Npd
85:
C
Comment - Npd = I (Sturm method)
C
call VALJAK(A,B,X,C,P,N,Y,B2,B3,X1,B1,V1,C1,MZ)
86:
C
Comment - Npd – 2 (The escalator method)
C
C call ESCAL(B,A,N,N+1,CH,X,V1,C1)
460:
C
Comment - Np = 11 (Hamilton form)
C
C call HAMIL(A,B,D,T,N) 470:
C
Comment - Np = 12 Comment - The conjugate Sturm system
C
goto(95,96), Npd
95:
C
Comment - Npd = 1 (The conjugate system and the complementary matrix)
C
callCONJUG(B,A,X,C,P,N,Y,B2,B3,Xl,Bl,Vl,Cl,MZ)
96:
C
Comment - Npd – 2 (The checking of conditions)
C
call CONTROL (P,Y,X,N)
Комментарий. Комплект программ ALTROS содержит в общей сложности
43 процедуры. Он может выполнять задачи интерполяции, вычисления квадратур, решения систем линейных алгебраических уравнения прямым методом
(если это целесообразно), обращение и факторизацию матриц специального
вида и т. д. Для этого используются различные алгоритмы вандермондовой
структуры.
Но основная его задача – использование алгоритмов ганкелевой структуры
в качестве алгебраического блока решения прямых и обратных задач на
колебательные системы. В 2002 году доклад «Фрактальность и рекуррентность»
был прочитан на двух международных конференциях, проходивших в
Новосибирске: «Вычислительная математика и математическое моделирование»
и «Плохо обусловленные и обратные задачи». В докладе обосновывалась
мысль, что колебания следует рассматривать как предфрактальность.
Полный пакет по колебательным системам должен содержать три блока: 1)
блок аппроксимации, 2) алгебраический блок и 3) блок интерпретации.
Наиболее ответственным и значительным по объему является алгебраический
блок, описанный в данной главе.
ГЛАВА 6. ФРАКТАЛЬНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ И
ИДЕНТИФИКАЦИИ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Ю.И. Кузнецов, В.К. Панкрушин, В.А. Середович
6.1. Моделирование и идентификация фрактальных
самоорганизующихся систем квазистатической и динамической
геодезии
Актуальной междисциплинарной, общенаучной и интеграционной
проблемой является проблема «самоорганизации»; при этом исследуется
самоорганизация в природе, технике, обществе, философии, экономике,
политологии, науке, образовании и культуре [Макаров (1996), Дмитриенко,
Разумовский (1998)]. К самоорганизующимся системам относятся, в частности,
системы информационных процессов, мониторинга, экологического прогноза,
технологии, включая информационные технологии. Самоорганизация
происходит в результате спонтанного, совместного, коллективного действия
подсистем, образующих систему. Фрактальность является фундаментальным
свойством природных объектов. Концепция самоорганизации влияет как на
решение прикладных задач, так и на формирование современной научной
картины мира.
В данной главе разрабатывается метод исследования нелинейных
геодинамических систем (объектов, процессов, явлений) с учетом свойств их
фрактальности, т. е. подобия части целому. При этом в соответствии с
концептуальными положениями работ [Шустер (1988), Пайтген, Рихтер (1993),
Шредер (2001)] развивается фрактальный подход к моделированию и
идентификации в пространстве состояний нелинейных комплексных
геодинамических систем (ГДС) «Физическая поверхность и внешнее
гравитационное поле Земли» [Панкрушин (2002)] и других систем геодезии
[Середович, Панкрушин, Кузнецов, Дубровский (2002), (2003)].
Изучению новых возможностей, которые предоставляют фракталы, в
самых разных областях естествознания посвящена обширная литература. Таким
образом, то, что мир фрактален, уже не требует доказательств. Вопрос в том,
как применить свойства фрактальности в данной конкретной области
исследований, в частности, в таких науках о Земле, как геодезия, картография,
аэрофотосъемка, геофизика и др.
В книге по картографии [Берлянт, Мусин, Собчук (1998)] высказывается
мысль, что, внедряя метод анализа линий с помощью фракталов, картографы
в ближайшее время соберут огромный фактический материал по структуре и
организации географического пространства. И тогда появится возможность
автоматизированного восстановления потерянной информации на картах
крупных масштабов. В определенном смысле можно сказать, что фрактальная
структура рельефов есть фотографический снимок тех геодинамических
процессов, которые происходили миллионы лет назад [Шустер (1988)].
Отмечается и тот факт [Turcotte (1986)], что естественные блоки в земной
коре образуют некоторую упорядоченную иерархию преимущественных
размеров; при этом статистические распределения размеров в пределах каждого
из уровней схожи между собой. Разломно-блоковая делимость литосферы
является закономерным выражением ее деструкции. Она происходит
упорядоченно, и система блоков образует закономерно изменяющийся
иерархический ряд. Статистическое распределение всей совокупности блоков
по размерам закономерно и предсказуемо.
Структурная организация блоков оценивается по основным ведущим
показателям: по соотношению между числом элементов множества (блоков) N
и их средним поперечным размером.
Теперь рассмотрим, как образуется множество, называемое самоподобным
фракталом [Пайтген, Рихтер (1993)]. Разделим отрезок прямой на n равных
частей. Тогда каждую часть можно считать копией всего отрезка, уменьшенной
в 1 раз. Очевидно, что r и n связаны соотношением n r 1 . Если квадрат
r
1
разбить на n равных квадратов (с площадью в 2 раз меньше площади
r
2
1 . Если куб разбить на n
исходного), то соотношение запишется как n r
1
равных кубов (с объемом в 3 раз меньше объема исходного), то соотношение
r
примет следующий вид: n r 3 1 . Заметим, что размерность объекта, будь то
одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как
степень r в соотношении между n , числом равных подобъектов, и
коэффициентом подобия r . А именно:
n r d = 1.
(6.1)
Построенные нами множества обладают целой размерностью. Если мы
проведем построение, при котором показатель d не является целым (например,
(6.1)), т. е. такое, где при делении исходного множества на n непересекающихся
подмножеств, полученных масштабированием оригинала с коэффициентом r ,
значение r не будет выражаться целым числом. Полученное нами множество
называется самоподобным фракталом, а величину d называют фрактальной
(дробной) размерностью подобия.
Выражение для d через n и r находится логарифмированием обеих частей
(6.1):
log N
d
.
(6.2)
1
log
r
Таким образом, мы видим, что блоковая делимость литосферы обладает
свойством фрактальности, а системы блоков и линеаментов являются
фрактальными самоподобными множествами. Уже на начальном этапе изучения
строения земной коры проявляется фундаментальное свойство живой природы –
самоорганизация. Рассмотрение земной коры, как сложенной по определенным
законам, в определенных количественных отношениях и пропорциях природной
системы позволит точно определить ее строение, свойства, а также поможет
создать реалистичную модель этой системы с возможностью прогноза ее
поведения в будущем.
Одной из основных проблем задач геодинамики и современных движений
земной коры является познание закономерностей движений и деформаций
изучаемых глобальных, региональных и локальных геодинамических систем
(объектов, процессов, явлений) [Шерман (1996)].
При статистической обработке данных о конфигурации и расположении
тектонически активных областей на разных этапах развития Земли установлена
закономерность: всегда во всех геотектонических циклах складывались
структуры двух взаимно перпендикулярных направлений – меридионального и
широтного – и двух диагональных к ним. На разных этапах преобладающим
направлением выступает то одно, то другое, но максимумы, отвечающие этим
двум взаимно перпендикулярным системам, отмечаются всегда. Такая
устойчивость наследования геотектонического процесса имеет определенную
причину и диктуется определенными условиями, в которых развивается наша
планета.
Следует заметить, что такая упорядоченная закономерность размещения
основных форм рельефа не согласуется с концепцией тектоники плит, так как
она предусматривает большие горизонтальные перемещения континентальных
массивов и неоднократные повороты материков и их частей.
Упорядоченность рельефа Земли, как предположение, возникает в
результате самоорганизации системы под влиянием как космических факторов
(неравномерность ее движения по орбите, вращение вокруг своей оси и другие
движения Земли, как космического тела), так и внутриземных факторов.
Например, в картографии достаточно, по крайней мере, на начальном этапе
исследований, использовать такую известную характеристику, как фрактальная
размерность, определение которой требует знания только пространственных
координат контуров рельефа в разных масштабах. В геодезии, геофизике и
других науках о Земле интерес представляют закономерности движений и
деформаций ГДС; при их исследовании перспективным является применение
мультифрактальной геометрии и обобщенной фрактальной размерности.
Системно-структурный подход в нашей работе заключается, прежде всего,
в том, что как подсистемы единой сложной самоорганизующейся
геодинамической системы «Физическая поверхность Земли (ФПЗ) и внешнее
гравитационное поле Земли (ВГПЗ)» рассматриваются следующие блоки:
собственно геодинамическая система (объект, процесс, явление) «ФПЗ и
ВГПЗ»; система разнородных комплексных наземных и спутниковых
геодезических и геофизических наблюдений в пространстве и времени; блок
автоматизированной обработки результатов наблюдений и их интерпретации
(моделирования и идентификации геодинамического объекта); блок банка
(базы) данных; блок управления (проектирования и корректирования системы
разнородных комплексных наблюдений в пространстве и времени, управления
динамическим объектом, в частности, объектом инженерной геодинамики)
[Панкрушин (2002)].
Системный подход обусловливает включение в структуру системы не
только пространственных, но и временных отношений ее геометрических и
геофизических элементов, включение как детерминированных, так и
стохастических возмущающих воздействий на геодинамический объект и на
систему наблюдений. Конструктивная реализация системного подхода
базируется на теории и методах системного анализа, основой которого является
построение альтернативных математических моделей, выбор из них адекватной
в функциональном смысле отражения системы и целевое управление объектом
и системой наблюдений за ним.
Использование положений синергетики – «нелинейной науки» о
самоорганизующихся
системах:
открытость
систем;
нелинейность,
обусловленная как нелинейностью поведения системы, так и нелинейностью
параметров
геолого-геофизической
среды;
самоорганизация
и
самодостраивание структуры системы; эволюционирование неравновесных,
неустойчивых структур; неоднозначность (ветвление) путей эволюции систем
через точки бифуркации; возможность катастроф в результате малых случайных
воздействий; порядок через флуктуации.
Перспективным для решения проблем исследования статических и
динамических самоорганизующихся систем геодезии является использование
математического аппарата фрактальной и мультифрактальной геометрии, в
частности, обобщенной фрактальной размерности при исследовании блоковой и
линеаментной структуры земной коры [Turcotte (1986), Кац (1986), Шерман
(1996)], при анализе пространственно-временных рядов наблюдений и
параметров ГДС и при решении других задач. Основными источниками
самоподобия (в математическом отношении) являются степенные законы и
итерация; с понятием итерации связано и другое понятие – рекурсия [Шредер
(2001)].
В математическом плане основные усилия в исследовании фрактальности
направлены на определение и изучение фрактальной размерности [Пайтген,
Рихтер (1993), Шустер (1988)]. Однако, средства математического
моделирования динамических процессов, фрактальных по природе, требуют
переосмысления. Не случайно при анализе фракталов используются, как
правило, рекуррентные процессы. Это, в частности, объясняется тем, что
свойством фрактальности обладают натуральные числа. Например, треугольник
Паскаля, если его элементы заменить остатками от деления на простое число p
, оказывается фракталом с фрактальной размерностью
l 1 log
dl 1
p 1
2
,
log ( p l 1 1)
где l характеризует линейный размер вершины треугольника Паскаля.
Асимптотический коэффициент фрактальности
log p 1 log p log 2
da
,
log p
при стремлении p к бесконечности, стремится к 2.
Таким образом, при исчезновении делимости фрактальная размерность
стремится к евклидовой размерности.
Анализируя особенности треугольника Паскаля, обеспечивающие ему
свойства фрактальности, мы должны выделить следующие три особенности:
рекуррентность построения его элементов;
свойство делимости;
наличие комбинаторных тождеств, связывающих множества этих
элементов в кластеры.
В математическом анализе имеются структуры, обладающие подобными
свойствами. Это системы многочленов разного свойства. Они строятся
рекуррентно, обладают свойством делимости и непосредственно связаны с
матрицами, которые порождают всевозможные тождества для миноров.
Свойства фрактальности связаны с золотой пропорцией [Коробко, Очинский
(1957), Васютинский (1990), Кузнецов (2002)].
Данное рассуждение показывает, что изначально задачу следует ставить на
дискретном множестве точек, используя рекуррентные соотношения.
Необходимо также отметить, что фрактальность, в известной степени,
является следствием модели дерева. В дереве присутствует самоподобие. Но
ветви не только подобны, но и гармонично распределены. С гармоничностью
треугольника Паскаля связана последовательность Фибоначчи u n , которая
связана с элементами треугольника Паскаля соотношением
n/ 2
j 0
n
j
j
un ,
где [n/2] означает целую часть числа n/2. Числам Фибоначчи наиболее
естественным образом сопоставляются многочлены, ортогональные на
конечном множестве точек.
Земная кора обнаруживает свойства фрактальности, которые отмечены во
многих работах, например [Turcotte (1986), Буч (1992)]; плиты, блоки,
трещиноватость – все это свойственно литосфере. Описать эту фрактальность,
используя элементы треугольника Паскаля, едва ли возможно. Нужны другие
алгебраические структуры, сохраняющие, однако, вышеперечисленные
особенности.
На
наш
взгляд,
перспективным
в
исследовании
процессов
самоорганизации является алгебраическая структура, включающая систему
многочленов, ортогональных на конечном множестве точек, а также ганкелевы
и якобиевы матрицы [Кузнецов (1994), Кузнецов (2001, 2002)]. Эта структура
связана с колебательной системой конечного числа степеней свободы,
подчиняющейся законам, определяемым алгеброй этой структуры [Кузнецов
(2000)]. Особо подчеркнем, что данная структура, несмотря на
абстрактность, хорошо интерпретируется и допускает как прямые, так и
обратные постановки задач.
Для описания двумерной горизонтальной структуры плит или блоков в
качестве одной из моделей может быть использована математическая модель
«пружинной сетки», в основе которой лежат одномерные модели. Особый
интерес представляет алгоритм построения осциллятора, являющегося
управляющим для исследуемой колебательной системы; обе системы образуют
единое целое. Математическое обоснование данного алгоритма дано одним из
авторов [Кузнецов (1999, 2002)].
В соответствии с теорией мультифракталов, имеется связь парной
корреляционной функции с фрактальной корреляционной размерностью
объекта [Макаров (1996), Пайтген, Рихтер (1993), Шустер (1988), Шредер
(2001)]. Вычисление этой размерности, входящей в группу обобщенной
фрактальной размерности, по экспериментальным пространственно-временным
рядам параметров ГДС (непосредственно наблюдаемых или получаемых в
результате идентификации) позволяет отличать детерминированный хаос,
порожденный неким детерминированным процессом, от случайного шума.
Такой корреляционный анализ, очевидно, можно отнести к непараметрическим
методам идентификации систем [Льюнг (1991)].
Моделирование и исследование самоорганизующихся систем геодезии,
ГДС, пространственных и пространственно-временных ГИС требует создания
соответствующих базы знаний и банка данных.
В работе [Mandelbrot (1977)] приведен фронтиспис из библии Moralisee,
написанной между 1220 и 1250 годами на восточно-шампанском диалекте
французского языка. Теперь эта библия хранится в Австрийской национальной
библиотеке в Вене (codex 2554). На рис. 7 прил. 18 мы приводим указанный
фронтиспис по книге [Mandelbrot (1977)].
На фронтисписе дано изображение Творца с циркулем каменщика,
создающего Мир. Пояснительная надпись к фронтиспису гласит «ICI CRIE
DEX CIEL ET TERRE SOLEIL ET LUNE ET TOZ ELEMENZ» (здесь Бог создает
Небо, Землю, Луну и все элементы).
Интерпретируя этот фронтиспис как модель Вселенной с кругами, волнами
и колебаниями (флуктуациями) в аспекте фрактальной геометрии природы,
автор книги [Mandelbrot (1977)] сопроводил его надписью на английском языке
«Here god creates circles, waves, and fractals» (здесь Бог создает круги, волны и
фракталы).
Ю.И. Кузнецов, В.К. Панкрушин
6.2. Инвариантность масштабов пространства и времени
6.2.1. Подобие и степенные законы: связь пространственного и
временного масштабов в аспекте системной относительности
фрактального подхода к математическому моделированию
геодинамических систем
Связь пространственных и временных масштабов есть проявление
свойства природных систем, называемого фрактальностью, а точнее –
самоподобием. Фактически мы имеем дело с тиражированием образца: во
времени, в пространстве, в законах, которые проявляются в движении.
Фрактальность в Природе выступает в разных проявлениях. Особенно важную
роль играет подобие части целому. Причем речь идет не только о
пространственных структурах, но также и о временных процессах [Кроновер
(2000)]. Под системной относительностью мы понимаем масштабную
инвариантность некоторых процессов в пространстве и времени [Кузнецов,
Панкрушин (2003а, 2003б)].
Приведем примеры зависимости масштабов пространства и времени.
Третий закон Кеплера, называемый кубо-квадратным, явно устанавливает связь
пространственных и временных масштабов [Матвеев (1976)]:
T2 4 2
(6.3)
сonst .
a 3 GM
Здесь T – время обращения различных планет; a – большие полуоси их
эллипсов; M – масса Солнца; G – гравитационная постоянная.
Еще одним примером являются уравнения диффузии и теплопроводности.
Рассматривая их как следствие случайных блужданий частиц [Хакен (1980)],
приходят к уравнению
u( x ,t
t ) u( x ,t )
( x )2 u( x
x ,t ) 2u( x ,t ) u( x
x ,t )
K
,
t
t
( x )2
(6.4)
в котором u( x ,t ) есть концентрация блуждающих частиц в точке x в
момент времени t , которая отстоит на расстоянии x от соседних точек. В
момент времени t
t из точки x в точку x
x мигрирует K -я часть всех
частиц точки x .
Мы не знаем, как соотносятся величины t и x , но величина t
должна быть достаточно большой, чтобы блуждающие частицы (а скорость их
блуждания конечна) успели преодолеть расстояние x. Но t не может быть и
слишком большим, так как иначе ансамбль частиц будет находиться вне
движения, чего не наблюдается в природе.
Уравнение (6.4) используют для получения дифференциального уравнения
параболического типа
2
u
u
,
t
x2
налагая тем самым на достаточно малые x и t условие
( x )2
K
,
t
где
– вещественное число – коэффициент вязкости. Только при этом
соотношении локальных пространственно-временных масштабов уравнение
(6.4) можно преобразовать к дифференциальному уравнению. На практике
математическая модель диффузии строится с помощью аппроксимации
дифференциального уравнения разностным уравнением, т. е. в порядке,
противоположном приведенному выше. Тогда аппроксимация уравнением (6.4)
будет корректным только при соблюдении условия Куранта:
t
1 ,
2
2
( x)
хорошо известного вычислителям. Для уравнений гиперболического типа
условие Куранта имеет вид
v t
x
1,
где v – скорость потока.
Рассматриваемые
уравнения
описывают
необратимый
процесс,
характерный для природных явлений. Заметим, что уравнения колебаний
описывают идеальный процесс, в котором необратимости нет, и для него нет
пространственно-временной взаимосвязи.
Вычислителям известна так называемая «счетная вязкость», которая
появляется при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными
уравнениями. В практике вычислительной математики с эффектом счетной
вязкости приходится считаться, в частности, при аппроксимации
дифференциальных уравнений, моделирующих уравнения состояний
геодинамических систем, разностными (рекуррентными) уравнениями
[Панкрушин (2002)]. Заметим, что потери информации являются необратимым
процессом и, следовательно, могут моделироваться уравнением типа (6.4).
Подобие и степенные законы в теории фракталов. Подобие и степенные
законы играют в теории фракталов большую роль [Шредер (2001)]. Очевидно, они
должны играть большую роль и при построении пространственно-временных
механико-математических моделей самоорганизующихся геодинамических
систем (объектов, процессов, явлений). Подобие наилучшим образом
описывается однородными функциями типа (6.6). С их помощью мы обратим
внимание на соотношение и взаимозависимость пространственного и
временного масштабов в рамках классической механики с позиций понятий
подобия и степенных законов в теории фракталов.
В соответствии с общими теоремами динамики в теоретической механике
[Матвеев (1976)], основной мерой движения системы материальных точек в
пространстве-времени является кинетическая энергия, и мерой действия сил на
протяжении траекторий движения точек системы является работа сил. Понятие
потенциальной энергии связано с понятием работы силы в потенциальном
силовом поле. Как известно, категории пространства, времени, материи и
движения взаимосвязаны и представляют единую систему.
Так, радиус Земли R , как естественный масштаб для земного шара,
выражается через массу Земли M и ее среднюю плотность [Шредер (2001)]:
R
3 M
4
При M
1
3
.
6 1024 кг и
(6.5)
6 103 кг
получаем радиус Земли R 6000 км.
м3
В уравнение (6.5) входят величины (категории) пространства и материи. В
законе Кеплера (6.1) присутствуют величины (категории) пространства,
времени и материи.
dv
F,
dt
где m – масса рассматриваемой точки, v – скорость ее движения, определяемая
как производная перемещения по времени t , F – компонента действующей
силы вдоль перемещения точки, кинетическая энергия материальной точки и
системы материальных точек описываются, соответственно, уравнениями:
В соответствии с уравнением движения материальной точки, m
1 n
1
mi vi2 .
mv 2 ; T
2i 1
2
Наконец, изменение кинетической энергии материальной точки при ее
перемещении между двумя положениями r 1 и r 2 определяется следующим
уравнением:
r2
1 2
1
2
mv
mv
Fdr,
2 r 2 2 r1 r 1
T
где правая часть представляет собой совершенную силой работу.
Сделаем замечание. Кинематические, кинетические и динамические
понятия и величины, в частности, кинетическая и потенциальная энергии,
определяются на фиксированный момент времени t [Матвеев (1976)]. При
решении задач в рамках классической механики потенциальная энергия
U {( r 1 , r 2 , ..., rm ), t } некоторой физической системы есть функция положения в
пространстве,
т. е.
функция
пространственных
координат
r j r j ( x , y , z ), j 1, 2 , ..., m , и явно не зависит от времени.
Однако само потенциальное поле может претерпевать изменение во
времени. Считая природные процессы консервативными, в выражении
потенциальной энергии будем опускать индекс t . Тогда для однородной
функции степени k , представляющей потенциальную энергию U , запишем в
соответствии с работой [Шредер (2001)] следующее соотношение:
k
U ( rj )
U ( r j ).
(6.6)
При изменении пространственных координат в
раз и времени в
раз
скорости изменятся в
раз. Так как кинетическая энергия пропорциональна
квадрату скорости (и явно не зависит от t ), она изменяется по следующему
закону:
2
T( r, t )
T( r, t ).
(6.7)
Закон сохранения энергии является и законом ее превращения, так как он
описывает взаимопревращение кинетической и потенциальной энергий
[Матвеев (1976)]. По закону сохранения механической энергии приращение
кинетической энергии на некотором участке траектории системы в
потенциальном силовом поле равно уменьшению потенциальной энергии на
том же участке. Отсюда, учитывая уравнения (6.6) и (6.7), имеем
k
2
2
или
1 k2
.
(6.8)
Тогда, во-первых, лагранжиан системы умножается на постоянный
k
коэффициент
и, следовательно, уравнения движения остаются
неизменными. Другими словами – траектории материальных точек сохраняют
подобие исходным траекториям, изменяются только масштабы [Ландау,
1 k
2
Лившиц (1988), Шредер (2001)]. Во-вторых, из соотношения
следует, что временной масштаб и пространственный масштаб в классической
механике взаимосвязаны.
Заметим, что имеется следующее соотношение между средней
потенциальной энергией U (представляемой однородной функцией степени k )
и средней кинетической энергией T (как однородной квадратичной функцией
от скоростей) для ограниченных движений [Шредер (2001)] 2T kU . Из
этого уравнения следует, что только при k 2 имеем равенство T U .
Последнее равенство справедливо для линейного осциллятора (примером
которого является маятник).
С изложенных позиций в работе [Шредер (2001)] рассматривается
потенциальная энергия линейного осциллятора, описываемая однородной
квадратичной функцией. Так как для квадратичной функции, в соответствии с
выражением (6.6), показатель степени k
2 , из соотношения
1 k2
0
получаем
. Таким образом, для линейного осциллятора все значения
времени, в частности, период колебания, остаются постоянными, его частота не
зависит от амплитуды или энергии осциллятора. Например, для маятника
период колебания не зависит от длины маятника.
При исследовании геодинамических систем широко используются типовые
модели деформации упругих тел, подчиняющейся закону Гука [Панкрушин
(2002)]. Уравнение потенциальной энергии упругой деформации может быть
представлено в следующем виде: U
2
– жесткость тела;
–
2 , где
величина деформации. В общем случае модель геодинамической системы
может быть построена в виде упругой конструкции из набора блоков земной
коры и пружин (или при моделировании инженерной конструкции из набора
плит, стержней и пружин). Потенциальная энергия таких систем является
однородной квадратичной формой пространственных координат точки,
отсчитываемых от положения ее при недеформируемом состоянии системы.
Здесь мы обращаем внимание на то, что для потенциальной энергии упругой
0
деформации показатель степени k 2 и, следовательно,
= 1 (т. е., как и
для линейного осциллятора).
Таким образом, если мы захотим, не меняя масштаба времени, т. е. полагая
1 , изменить пространственный масштаб, то это можно будет сделать только
при показателе степени k 2 .
М. Шредер [Шредер (2001)] приводит следующий пример физической
системы, подтверждающий правильность соотношения (6.8). Потенциальная
энергия тяготения обратно пропорциональна расстоянию, т. е. показатель
степени в уравнении (6.6) k
1 . Тогда, в соответствии с выражением (6.8),
3
3
или 2
. Очевидно, что последнее выражение является лишь
другой формой записи третьего закона Кеплера (6.3).
2
6.2.2. Законы природы в аспекте инвариантности масштабов
пространства и времени
Дж. К. Максвелл в своей известной работе «Об электричестве и
магнетизме» (1873), считая гравитационную постоянную G безразмерной
величиной и приравняв два выражения для силы
M M
Mg G 1 2 2 ,
r
получил следующую размерность для массы:
[ M ] [ L3T 2 ] (при [G ] [ L0T 0 ] ),
где L – длина (расстояние); T – период времени.
Таким образом, масса, по Максвеллу, оказалась пространственно-временной величиной, и ее размерность определяется объемом [ L3 ] с угловым
ускорением [T 2 ] . Заметим, что обозначения в виде квадратных скобок
введены Максвеллом.
В работе [Бартини, Кузнецов (1974)] развивается так называемая LT -система Бартини – Кузнецова. Любая физическая величина в этой системе
представляется «брутто-формулой» следующего вида:
[ LRT S ] ,
где R и S – целые положительные и (или) отрицательные числа.
При S 0 имеем выражения для системы мер пространства [ LRT 0 ]
[ LR 1] [ LR ] : [ L1 ] – длина; [ L2 ] – площадь; [ L3 ] – объем; [ L4 ] – тор; [ L5 ] –
гипертор R-го порядка (в данной записи – 5-го порядка).
При R 0 имеем выражения для системы мер времени [ L0T S ] [1T S ]
[T S ] .
Если S
0 , получаем пространственные меры времени: [T 1 ] – период;
[T 2 ] – поверхность времени; [T 3 ] – объем времени.
Если S
0 , получаем частотные меры времени: [T
1
] – частота; [T
2
]–
угловое ускорение; [T 3 ] – гиперчастота S -порядка (в приведенной записи – 3го порядка).
В LT -системе Бартини – Кузнецова на основе равенств LRT S const
могут быть в стандартной (канонической) форме записаны законы природы
[Бартини, Кузнецов (1974)].
Третий закон Кеплера (который мы записывали выше в кубоквадратичной форме через величины и ) в LT-системе имеет следующий
вид: [ L3T 2 ] const .
Второй закон Кеплера: «Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце,
описывает («заметает») за равные промежутки времени равные площади» –
записывается в следующем виде: [ L2T 1 ] const .
Закон сохранения количества движения или Закон сохранения импульса
(Ньютон) – [ L4T 3 ] const .
Закон всемирного тяготения (Ньютона) – [ L4T
4
]
const.
Закон сохранения момента количества движения (Лаплас) – [ L5T
Закон сохранения энергии (Р. Майер) – [ L5T
4
]
3
]
const.
const.
Закон сохранения мощности (Лагранж, Максвелл) – [ L5T 5 ] const.
В работе [Бартини, Кузнецов (1974)] приведена система пространственновременных величин в форме матрицы размерности 10 10 комбинаций [ LRT S ] ,
соответствующих пересечениям столбцов LR ( R
и строк T S ( S
6,
5,
4,
3,
3,
2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )
2, 1, 0, 1, 2, 3 ). Авторами дан алгоритм
TS
связей пространственных и временных мер. При взаимодействии LR
формируются симметрично инверсные инварианты («осевые» инварианты)
[ LK T K ] с одинаковой размерностью, но разными знаками. Указанные
инварианты различаются по скоростям и располагаются на оси симметрии
матрицы по уровням в порядке возрастания скоростей:
уровень 1 – [ L1T 1 ] [V 1 ] скорость;
уровень 2 – [ L2T
2
]
[V 2 ] разность потенциалов;
уровень 3 – [ L3T
3
]
[V 3 ] ток;
уровень 4 – [ L4T
4
]
[V 4 ] сила;
уровень 5 – [ L5T 5 ] [V 5 ] мощность.
Переход от одного осевого инварианта к другому с возрастающими
скоростными качествами выполняется по «двухтактному» алгоритму. На первом
такте формируется компонента направляющего вектора в пространстве
(применяя оператор

), на втором – формируется компонента направляющего
вектора во времени (применяя оператор
). Указанные компоненты
t
определяют направляющий вектор скорости на каждом уровне оси симметрии.
В соответствии с работой [Бартини, Кузнецов (1974)], эмпирически
подтвержденное утверждение о том, что величина [ LRT S ] для некоторых
динамических объектов (процессов) остается инвариантом, не зависящим от
выбранной системы координат, говорит о выходе на закон природы.
Приведенные положения о связи пространственного и временного
масштабов, очевидно, имеют непосредственное отношение к проблеме
математического
моделирования
закономерностей
движений
геодинамических систем.
Ю.И. Кузнецов
6.3. Алгоритмы построения множества Жулиа
Разработан алгоритм построения множества Жюлиа системы двух
нелинейных уравнений с двумя неизвестными
x f ( x, y ),
y g ( x, y ).
(6.9)
Решение системы (2.3) методом последовательных приближений
(6.10)
xn 1 f ( xn , yn ),
yn 1 g ( xn , yn ),
при фиксированных начальных значениях x0, y0 имеет один из трех
исходов:
а) процесс сходится к конечному решению;
б) процесс сходится к бесконечному решению;
в) процесс не сходится.
В случае а) точка (x0, y0) принадлежит множеству Жюлиа, (x0, y0) J; в
случае б) точка (x0, y0) не принадлежит множеству Жюлиа; в случае в) точка
(x0, y0) принадлежит границе множества Жюлиа, (x0, y0) J.
Разработанный алгоритм включает дискретизацию плоскости (x, y) и выбор
начального приближения итерационного процесса (6.10) в виде
(6.11)
x0 , y0 kl
a khx , b lh y ,
причем целые числа k, l принадлежат интервалам [-Nx, Nx], [-Ny, Ny]
соответственно. Величины Hx = 2Nxhx , Hy = 2Nyhy суть некоторые априорные
оценки линейных размеров области Жюлиа, а точка (a, b) является
предполагаемым центром этой области.
Функция IT(x0, y0) аргумента (x0, y0) принимает значения +1, -1, 0,
соответственно, в случаях а), б), в) алгоритма (6.10), (6.11). В качестве точки (x0,
y0) берется последовательно одна из точек множества (6.11). Варьируя k, l в
допустимой области при достаточно малых hx , hy , находим точки (x0, y0), для
которых
IT(x0, y0) = 0,
(6.12)
т. е. границу множества Жюлиа.
Разработанный алгоритм тестирован на решении классического уравнения
Z = Z 2 + C в комплексной области: Z, C C. Он может быть применен для
анализа областей устойчивости процессов [Пайтген, Рихтер (1993)], в
частности, геодинамических процессов типа обрушения склонов [Панкрушин
(1997), Литвин, Лялин, Пивен (1998)].
Опишем алгоритм подробно. Если нет информации о точке (a, b), то в
качестве таковой возьмем начало координатной системы: a = 0, b = 0. Подобным
же образом предполагаемые размеры области, если нет информации, выберем
равными: Hx = 1000, Hy = 1000. Однако вдоль осей x и y возможна проверка,
которую можно описать следующим алгоритмом.
for j = 1001 to 1000*k
y0 = 0
x0 = a + j
if (IT(x0,y0) = 1) Hx = j end if
x0 = a – j
if (IT(x0,y0) =1) Hx = j end if
x0 = 0
y0 = b + j
if (IT(x0,y0) = 1) Hy = j end if
y0 = b – j
if (IT(x0,y0) =1) Hy = j end if
end for
Множитель k не меньше 1. Для начала работы алгоритма необходимо
задать шаги hx , hy , которые определены соотношением (6.11). Зададим,
например,
Nx = 10*Hx, Ny = 10*Hy,
то есть
hx = Hx/Nx,
hy = Hy/Ny,
после чего обращаемся к алгоритму «заполнения экрана»:
for i = -Nx to Nx
x0 = a+i*hx
for j = -Ny to Ny
y0 = b+j*hy
E(i,j) = IT(x0,y0)
end for
end for
Процедура-функция IT устроена следующим образом:
functuon IT(x0,y0)
x1 = f(x0,y0)
y1 = g(x0,y0)
for I = 1 to 20
x0 = x1
y0 = y1
x1 = f(x0,y0)
y1 = g(x0,y0)
end for
if (|x1-x0| + |y1-y0|<eps) IT = 1
if (|x1-x0| + |y1-y0|>eps) IT = -1
end function
Следующий пример задания функций (6.10)
function f(x0,y0)
f = x0 * x0 – y0 * y0
end function
function g(x0,y0)
g = 2 * x0 * y0
end function
использован в тесте (6.7).
Например, если нам известно текущее состояние системы (xn, yn), то,
определяя ее удаленность от границы, можно классифицировать системы по
степени устойчивости.
Для односвязной области граница в точке
a + jhx
абсциссы
определяется ординатами granU(a + jh x) и granL(a + jh x). Поэтому расстояние
Δ точки (a + jhx, b + lhy) от ближайшей границы есть минимум двух величин:
ΔU = granU(a + jh_x) – (b + lh_y),
ΔL = (b + lhy) - granL(a + lhy),
т. е.
Δ = min(ΔU, ΔL).
На практике удобнее пользоваться относительной удаленностью r от
границы:
R = Δ/(ΔU + ΔL).
Наконец опишем алгоритм нахождения границ односвязной области.
for j = -Nx to Nx
M=0
l=0
while M = 0
l=l+1
if (E(j,l) < 1) then
granU(a + jhx) = l
M=1
end if
if (M = 1) выход из while end if
end while
K=0
l=0
while K = 0
l=l+1
if (E(j,-l) <1) then
granL(a + jhx) = l
K=1
end if
if (K = 1) выход из while end if
end while
end for
Если модель признана адекватной, а начальные условия располагаются
вблизи границы Жюлиа, скорее всего, модель описывает динамическую систему
вблизи точки бифуркации. Впрочем, вопрос этот требует дополнительного
исследования. Алгоритм тестирован на итерационном решении классического
уравнения
2
Z=Z +C
(6.13)
в комплексной области: Z, C C. Так как Z = x + iy, где i – мнимое число,
то в уравнениях (6.10) следует воспользоваться функциями (6.13).
В.К. Панкрушин
6.4. Моделирование склоновых вертикальных и
горизонтальныхдвижений ГДС в комплексной области
В разделе 2.6.3 в нелинейное уравнение состояний (2.22), моделирующее в
самом общем виде закономерности движений геодинамических систем (ГДС),
включена величина в комплексной области I ( X ,t ) . В настоящем разделе
разовьем с позиций фрактального подхода идею моделирования в комплексной
области самоорганизующихся геодинамических систем [Пайтген, Рихтер
(1993), Панкрушин (1997, 2002, 2003б)].
Вначале на основе теории функции комплексной переменной запишем ряд
уравнений, которые могут быть использованы при моделировании систем как
статической, так и динамической геодезии.
Пусть переменной является комплексное число
c x iy ,
(6.14)
где x – его вещественная часть; y – мнимая часть i 2
1.
Функцию комплексного переменного запишем в следующем виде:
F ( c ) a( x , y ) ib( x , y ) .
(6.15)
Например, для функции комплексного переменного
F (c) c 2
действительная и мнимая части определяются выражениями
a ( x , y ) x 2 y 2 , b( x, y ) 2 xy .
(6.16)
Для показательной функции комплексной переменной e z , которая
используется в теории потенциала силы тяжести, сфероидической геодезии и
может быть использована при моделировании вертикальных движений (осадок)
земной поверхности и инженерных сооружений, имеем в обозначениях (6.15):
a ( x , y ) e x cos y , b( x , y ) e x sin y .
(6.17)
Для функции комплексной переменной c 1 , которая может быть
использована при моделировании динамики потенциала силы тяжести W ,
имеем
x
y
a ( x, y )
b
(
x
,
y
)
,
.
(6.18)
2
x
y2
x2 y2
И для функции комплексной переменной c 2 , которая может быть
использована при моделировании динамики силы тяжести g , имеем
a ( x, y )
x2
2
y2
2 2
, b( x , y )
2 xy
2
2 2
.
(6.19)
(x
y )
(x
y )
Феноменологическая механико-математическая модель движения массы по
склону. Различные природные и техногенные перемещения масс, очевидно,
можно отнести к классу геодинамических систем «Физическая поверхность
Земли (ФПЗ) и внешнее гравитационное поле Земли (ВГПЗ)». Действительно,
такие процессы вызывают изменения во времени как ФПЗ, так и ВГПЗ.
Примером таких перемещений масс являются широко распространенные
оползни на склонах.
Движение некоторой массы M вниз по склону, когда он близок к
наклонной плоскости, феноменологически можно описать в физическом
аспекте следующей механико-математической фрикционной моделью
[Шейдеггер (1981)]:
Mz Mg sin
F,
где z – координата вдоль склона; z – ускорение движения вдоль склона
(наклонной плоскости); g – ускорение силы тяжести;
– угол наклона
плоскости; F – сила трения.
При «сухом» трении сила F пропорциональна нормальному давлению:
F f Mg cos ,
где f – коэффициент трения.
При «вязком» трении сила трения пропорциональна скорости z и при
«турбулентном» трении – пропорциональна величине z2 . Коэффициент трения
может определяться и как переменная величина по наблюденным значениям
ускорения z из решения уравнения
z g sin
f g cos .
Ряд физических моделей склоновых движений приведен в работе [Шустер
(1988)]. В частности, в указанной работе приводится модель скольжения блока
по поверхности, отличной от наклонной плоскости, а также модель скольжения
и опрокидывания блока.
Дадим пример построения с использованием комплексных чисел и их
функций модели процессов формирования профилей вулканов, склонов,
терриконов и т. п. Вначале запишем следующее выражение для изменения
высоты H точки P с координатами X ( x , y ) в дискретные моменты времени
(эпохи) t (без учета стохастических воздействий)
(6.20)
H {P( X , t 1)} H {P( X , t 1)} H {P( X , t )} .
Модель сползания точки земной поверхности по склону представим в
следующем виде:
(6.21)
H {P( X , t 1)}
rx , y {P( X , t 1)} tg ,
где rx , y {P ( X , t 1)} – проекция вектора смещения точки по склону
P ( X , t ) P ( X , t 1) на горизонтальную плоскость x, y ;
r x, y
x 2 {P ( X , t 1), P ( X , t )}
y 2 {P ( X , t 1), P ( X , t )}
( x{P ( X , t 1)} x{P ( X , t )}) 2 ( y{P ( X , t 1)} y{P ( X , t )}) 2 . (6.22)
Здесь x и y – составляющие горизонтального смещения точки P по
осям координат x и y, вызванного экзогенными факторами (в частности,
сползанием точки по склону).
Используем для моделирования величины rx , y {P ( X , t 1)} квадратичную
функцию Жюлиа [Пайтген, Рихтер (1993), Шустер, Кризек (1981)]
rx , y {P ( X , t 1)} F ( rx , y {P ( X , t )}) rx , y 2 {P ( X , t )} c .
(6.23)
В (6.23)
c x iy R( c ) im( c ) ,
(6.24)
где c – комплексное число; R(c ) – его вещественная часть; m(c ) – мнимая
часть; i
1.
Заметим, что в уравнении (6.23) rx , y {P ( X , t )} является комплексной
величиной. При выполнении итераций начальное значение этой величины
обычно принимается равным нулю.
Обратим внимание на следующее. Если для вычисления изменений высот
H {P( X , t 1)} использовать выражение
H {P ( X , t 1)}
rx , y {P ( X , t 1)}tg ,
где rx , y {P ( X , t 1)} – комплексная величина, то результаты вычислений
будут те же самые, что и по формуле (6.21), в которой rx , y {P ( X , t 1)} –
модуль радиуса-вектора. При таком формальном использовании для
вычислений
комплексной
плоскости
значения,
соответствующие
H {P( X , t 1)} , будут являться проекциями комплексной величины

rx , y {P ( X , t 1)} (являющейся вектором) на некоторое направление,
расположенное под углом относительно этого вектора.
Заметим, что в работе [Пайтген, Рихтер (1993)] модели в комплексной
области вида (6.23) называются моделями комплексных динамических систем.
В модели (6.23) мы полагаем, что действие эндогенных факторов
отражается в первом квадратичном члене, а действие экзогенных факторов (в
частности, сползание точки P по склону) отражается во втором члене, т. е. в
комплексном числе c (6.24).
В соответствии с теорией функции комплексного переменного,
приведенная квадратичная функция (6.23) может быть представлена системой
двух вещественных уравнений
x{P ( X , t 1)} x 2 {P ( X , t )} y 2 {P ( X , t )} R( c ) ,
y{P( X , t 1)} 2 x{P( X , t )} y{P( X , t )} m( c ) .
(6.25)
В соответствии с последними двумя уравнениями, точка P(t ) на
комплексной плоскости с координатами x{P( X , t )}, y{P( X , t )} переходит в
точку P(t 1) с координатами x{P( X , t 1)}, y{P( X , t 1)}. Заметим, что запись
уравнения (6.23) соответствует полярной системе координат, а уравнения (6.25)
являются результатом перехода от полярной системы координат к декартовой
прямоугольной системе координат.
Построенная в соответствии с фрактальным подходом, модель
комплексной динамической системы может быть использована для
исследования устойчивости системы – процессов формирования профилей
вулканов, склонов, терриконов и т. п. [Пайтген, Рихтер (1993), Панкрушин
(1997), Литвин, Лялин, Пивен (1998)]. Устойчивость системы будет зависеть от
крутизны склона (угла наклона
или изменения радиуса высоты объекта
[Литвин, Лялин, Пивен (1998)]).
Дальнейшее развитие моделирования комплексных динамических систем,
т. е. моделирования в комплексной области, должно, очевидно, идти в
направлении использования математического аппарата гиперкомплексных
чисел, таких гиперкомплексных систем, как кватернионы («четверные» числа) и
октавы [Кантор, Солодовников (1973), Кузнецов (2002)]. По аналогии с
комплексными числами, кватернион записывается следующим образом:
q a bi cj dk ,
где a , b, c, d – произвольные действительные числа, а i , j , k – некоторые
1 , j2
1 , ij k ,
1 , j2
символы, которые по определению равны: i 2
ji
k , jk i , kj
i , ki j , ik
j.
В соответствии с исследованиями Дуади и Хаббарда [Doudy, Hubbard
(1985), Пайнген, Рихтер (1993), Шредер (2001)] связное множество Жюлиа
содержит те начальные состояния, которые притягиваются к предельному
циклу. Следовательно, фрактальный подход может быть применен к
исследованию устойчивости процессов различной природы, которые можно
описать в виде систем двух нелинейных уравнений (дифференциальных или
разностных).
Например, как отмечается в работах [Томпсон (1985), Панкрушин (1997),
Литвин, Лялин, Пивен (1998)], динамику изменения высоты (или объема) y(t)
ряда природных объектов можно описать системой двух разностных уравнений,
правая часть которых представляет нелинейность квадратичного типа:
yn 1 yn (1 xn ),
xn 1 xn (1
)
при x0 = 0, y0 = 0, причем xn x ( t n ) – радиус основания, yn y ( t n ) –
скорость приращения радиуса основания.
В частности, этот подход может быть применен для анализа областей
устойчивости формирования профилей терриконов, вулканов, береговых
склонов, эволюции береговых линий. Есть основания полагать, что такой
анализ может быть основанием для экспертной оценки различных
геодинамических моделей.
В.К. Панкрушин
6.5. Распознавание (идентификация) детерминированного хаоса по
фрактальной корреляционной размерности геодинамических
процессов
6.5.1. Случайные функции (случайные процессы) и случайные поля.
Структурные и корреляционные функции
В последние годы в теориях нелинейной динамики и фракталов появились
такие понятия, как детерминированный хаос и хаотическая динамика [Шустер
(1988)].
Приведем следующее концептуальное положение авторов работы [Бакай,
Сигов (1996)]: «Допустим, мы наблюдаем за изменениями некоторой величины
и не улавливаем никакой закономерности в этих изменениях. Это дает повод
судить о движении как о непредсказуемом или случайном. При более
осторожном отношении к выводам можно придерживаться в этом случае и
другого мнения: «Возможно, изменения величины подчиняются какому-либо
закону, однако, мы не можем сразу это обнаружить и эти сложные изменения
кажутся случайными». Как различить сложное движение и случайное? Для
этого надо уметь обнаруживать закономерности в изменениях величины , и
средством обнаружения является корреляционный анализ, позволяющий
установить взаимосвязь (если она существует) между значениями величины
в различные моменты времени».
В соответствии со структурной блок-схемой идентификационного
эксперимента (см. рис. 2.1), мы получаем на выходе текущие оценки
расширенного вектора параметров состояния геодинамической системы (ГДС)
Xˆ R ( X , t ) с ковариационной матрицей K XR ( X , t ) . Оценки параметров Xˆ R ( X , t ) ,
в которых находят отражение характер шумов (внешних возмущающих
воздействий на объект и систему наблюдений), вид оператора эволюции
динамического процесса и начальные оценки параметров состояния, можно
рассматривать как с позиций теории случайных функций (случайных
процессов) и случайных полей [Панкрушин (2002)], так и с позиций теории
динамического хаоса. Обоснование статистического описания нелинейных
геодинамических систем было дано во второй главе в разделе 2.2 «Парадигма
теории математического моделирования и идентификации».
Случайной функцией (случайным процессом) X ( t ) называют функцию,
значения которой являются случайными величинами при каждом значении
некоторого неслучайного аргумента t . Здесь через X обозначены любые
параметры динамической системы, например, скорости современных движений
земной коры [Панкрушин (2002)], в качестве аргумента случайной функции
может выступать любая физическая величина, например, время, расстояние или
координаты. Таким образом, понятие случайной функции является обобщением
понятия случайной величины.
По своей сущности случайную функцию нельзя однозначно описать
амплитудой, частотой и фазой, не указывая закон распределения этих
параметров. Полной характеристикой случайной функции является n-мерный
закон распределения случайной функции. Под этим понимается совместный
закон распределения значений случайной функции x( t1 ), x( t 2 ), ..., x( t n ) в n
произвольно взятых моментах времени t1 , t 2 , ..., t n . Такой закон
характеризуется n-мерной плотностью вероятности.
Вследствие громоздкости этих характеристик при исследовании законов
распределения случайных процессов часто ограничиваются одномерными или
двумерными законами распределения. Причем для нормально распределенных
и для марковских случайных процессов (в последних x ( t n ) зависит лишь от
x ( t n 1 ) ) двумерный закон распределения является исчерпывающей
характеристикой.
В практических исследованиях конкретных случайных процессов
используют обычно более простые и имеющие инженерно-физический смысл
вероятностные характеристики: математическое ожидание, дисперсию,
корреляционные, спектральные и структурные функции.
Математическое ожидание m x случайной функции X ( t ) является
начальным моментом первого порядка
mx ( t )
x(t )
M [ x ( t )]
x p ( x, t ) dx,
где черта сверху есть символ осреднения;
М – символ математического ожидания;
p ( x , t ) – вес.
Дисперсия Dx ( t ) случайной функции
моментом второго порядка
2
x (t )
Dx (t )
где
x (t )
x ( t )]2 }
M {[ x ( t )
(6.26)
X ( t ) является центральным
[ x(t )
x ( t )]2 p ( x, t )dx, (6.27)
– среднеквадратическое отклонение случайного процесса;
функция x ( t ) x ( t ) x o ( t ) является центрированным случайным процессом.
Корреляционная функция K x ( t1 , t 2 ) случайной функции X (t ) также
является центральным моментом второго порядка или корреляционным
моментом
K x ( t 1 ,t 2 )
M {[ x( t1 ) x( t1 ) ][ x( t 2 ) x( t 2 ) ]}
[ x( t1 ) x( t1 ) ][ x( t 2 ) x( t 2 ) ] p( x1 , x2 ,t1 ,t 2 )dx1 dx2 .
Очевидно, что при t1
K x ( t ,t )
t2
(6.28)
t
D x ( t ).
mx ( t ), Dx ( t ), K x ( t1 , t 2 )
Характеристики
являются
результатом
усреднения различных функций случайных процессов с весом, который равен
их закону распределения, и представляют собой неслучайные функции.
Корреляционная функция определяется двумерным законом распределения
и характеризует степень зависимости между значениями случайного процесса
x ( t1 ) и x ( t 2 ) . Эта функция отражает степень частоты колебаний случайного
процесса и, следовательно, описывает внутреннюю структуру этого процесса.
Случайный процесс характеризуют также нормированной корреляционной
функцией k x ( t1 , t 2 ) , которая является коэффициентом корреляции при
различных значениях аргумента
K x ( t1 , t 2 )
k x ( t1 , t 2 )
.
(6.29)
K x ( t1 , t1 ) K x ( t 2 , t 2 )
Если случайная функция имеет постоянное математическое ожидание
( m x ( t ) const ) и постоянную дисперсию ( D x ( t ) const ) , еѐ корреляционная
функция зависит лишь от разности аргументов
K x ( t1 ,t 2 ) K x ( t 2 t1 ) K x ( ),
(6.30)
то такую случайную функцию называют стационарной в широком смысле.
Автокорреляционная функция связана со спектральной плотностью S x (w )
стационарного случайного процесса преобразованием Фурье
S x ( w )e jw dw;,
Kx( )
Sx( w )
1
2
K x ( )e
jw
d .
(6.31)
(6.32)
Между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса
существует следующее соотношение:
Dx
Kx(0 )
1
2
S x ( w )dw.
(6.33)
Структурные функции. В научно-технической литературе хорошо
разработаны методы корреляционного анализа стационарных случайных
процессов, анализ же нестационарных случайных процессов остается довольно
сложной проблемой. Поэтому для описания природных процессов более общего
характера, чем стационарные, нашли широкое применение так называемые
структурные функции, предложенные А.Н. Колмогоровым [Колмогоров (1941а,
1941б)].
Структурная функция статистически однородного случайного поля
определяется как математическое ожидание квадрата разности значений поля в
двух переменных точках P1 и P2 (при этом математическое ожидание M
является функцией радиус-вектора r , соединяющего эти точки)
B f ( r ) M { F ( P 2 ) F ( P1 )}2 .
(6.34)
При изучении временной изменчивости какого-либо элемента вместо r
фигурирует время t .
Пусть X ( t ) – нестационарный процесс со стационарными первыми
приращениями. Среднее значение такого процесса будет зависеть от времени t .
Величина
(t ) X (t ) X (t )
(6.35)
также будет случайным процессом со стационарными приращениями, и его
корреляционная функция, несмотря на то, что (t ) 0 , может зависеть от
аргумента t .
Образуем разность
(t
t)
(t ) ,
(6.36)
t (t )
где t – некоторое фиксированное значение.
Величина
t (t ) представляет собой стационарный случайный процесс,
корреляционная функция которого K ( ) не зависит от t .
Структурная функция случайного процесса X (t ) определяется уравнением
B x ( t1 , t 2 ) M [ ( t 2 )
( t1 )]2 .
(6.37)
Но корреляционная функция K ( ) процесса
t (t ) не зависит от
времени t , а зависит лишь от
и t при условии, что B x ( t1 , t 2 ) зависит
только от . Поэтому вместо (6.37) можно записать:
Bx ( ) M [ (t
)
( t )] 2
(6.38)
или
Bx ( ) M {[ x ( t
) x ( t )] M [ x ( t
) x ( t )]}2 .
(6.39)
Очевидно, что структурная функция B x ( ) будет характеризовать
интенсивность тех флуктуаций случайного процесса X (t ) , периоды которых
меньше или сравнимы с интервалом .
Для стационарных случайных процессов между структурной и
корреляционной функциями существует следующая связь:
B x ( ) 2[ K x ( 0 ) K x ( )] 2[ x2 K x ( )].
(6.40)
При
, K x ( ) 0, следовательно,
Bx ( )
2 x2 ;
1
Bx ( )
2
Kx ( )
(6.41)
1
Bx ( ) ;
(6.42)
2
Bx ( )
kx ( )
1
,
(6.43)
2 x2
x
где k x ( ) – нормированная корреляционная функция.
Обращение к теории и методам случайных функций и случайных полей
при исследовании геодинамических систем (объектов, процессов, явлений), в
частности, современных движений земной коры (СДЗК) вызывается
следующими соображениями.
Как и любой динамический процесс, геодинамические процессы
протекают под действием случайных возмущений, которые изменяются в
пространстве и времени и не могут быть заранее определены однозначно. На
ГДС
воздействует
целый
ряд
тектонофизических,
геофизических,
гидрометеорологических, космических, техногенных и других факторов,
являющихся случайными.
Формальный аппарат теории случайных функций целесообразно
использовать и как конструктивный рабочий прием для описания СДЗК и
оптимальных статистических решений ряда задач. Такой прием обосновывается
тем, что вариации геофизических элементов могут рассматриваться как
случайные функции вследствие сложности и трудности их детального изучения
(параллель между случайностью и сложностью функции) и вследствие того, что
при формировании интегральных элементов физико-географической среды (к
которой можно отнести и параметры СДЗК) вариации геофизических элементов
выступают в роли шумов [Бойчук, Марченко (1968)].
Kx ( )
Случайные поля. Случайные функции нескольких переменных называют
случайными полями. Например, можно рассматривать случайное поле,
являющееся случайной функцией координат
f ( u1 , u 2 , u3 ) f ( r ),
где r – вектор, определяющий пространственное положение точки.
Можно рассматривать пространственно-временное случайное поле,
представляющее случайную функцию координат и времени f ( r , t ) . Таким
образом, понятие случайного поля является обобщением понятия случайной
функции.
Как и для случайной функции, для случайного поля могут быть
определены среднее значение f (r ) функции f (r ) , корреляционная функция
K f ( r 1, r 2 ) M {[ f ( r 1) f ( r 1)][ f ( r 2 ) f ( r 2 )]}
и структурная функция
B f ( r 1, r 2 ) M {[ f ( r 1) f ( r 1)][ f ( r 2 ) f ( r 2 )]}2 .
Случайное поле будет называться однородным при условии f ( r ) const и
K f ( r 1, r 2 ) K f ( r 1 r 0 , r 2 r 0 )
или
K f ( r 1, r 2 ) K f ( r 1 r 2 ).
Корреляционная функция однородного поля не меняется при
одновременном переносе пары точек r 1 и r 2 на одно и то же значение и в
одном и том же направлении.
Однородное случайное поле будет изотропным, если корреляционная
функция K f (r ) зависит только от расстояния r
r.
Очевидно, что поля СДЗК только в грубом приближении можно считать
однородными и изотропными. Более правдоподобным будет рассматривать их
как локально однородные и изотропные.
Для локально однородного случайного поля функции распределения
случайной величины f ( r 1) f ( r 2 ) инвариантны относительно одновременного
переноса пары точек r 1 и r 2 . Поэтому для такого поля среднее значение
f ( r 1)
есть
f ( r 2 ) и структурная функция зависят только от разности r 1`
r 2 . То
B( r 1 r , r 1) B( r ).
Для однородного случайного поля выполняется соотношение
B ( r ) 2[ K ( 0 ) K ( r )]
и для однородного и изотропного поля –
B( r ) 2[ K (0) K ( r )].
Понятие локально однородного поля является обобщением понятия
случайного процесса со стационарными приращениями.
Для локально однородного и изотропного случайного поля функция
распределения случайной величины f ( r 1) f ( r 2 ) не меняется при любых
вращениях и зеркальных отражениях вектора r 1` r 2 . Структурная функция
такого поля зависит только от абсолютной разности r 1` r 2 R . То есть
B( r ) B( R).
На структурную функцию любого случайного поля оказывают влияние
только те неоднородности, масштабы которых меньше или равны r 1` r 2 . На
корреляционную же функцию локально однородного и изотропного поля
оказывают влияние неоднородности всех масштабов. И, следовательно, эта
функция будет зависеть не только от разностей r 1` r 2 , но и от каждого
аргумента r 1 и r 2 в отдельности. В заключение заметим, что определение
вероятностных
характеристик
внутренней
структуры
параметров
геодинамических процессов необходимо для оптимальной фильтрации и
оптимального восстановления сигналов о движениях.
Как уже отмечалось в предыдущих главах, современные движения земной
коры подвержены пространственно-временным вариациям и связаны с
изменениями в пространстве и времени целого ряда геофизических элементов.
Учитывая это, распространим на геодинамические процессы понятия о фоне и
вариации элементов физико-географической среды, используемые [Гандин
(1963)] в метеорологии и развиваемые в геофизике [Бойчук, Марченко (1968),
Любушин, Манакин, Попов (1989)].
Обозначим через
нерегулярно изменяющиеся в
f1 , f 2 , ..., f k
пространстве и времени элементы среды, которые влияют на формирование
некоторого другого интегрального элемента. Тогда выражение для последнего
может быть записано следующим образом [Бойчук, Марченко (1968)]:
( X ,t)
{ f1 , f 2 , ..., f k ; P ( X , t )}dX dt ,
t
где
– ограниченный функционал, имеющий ограниченные производные
по f1 , f 2 , ..., f k внутри области интегрирования;
t – временной интервал интегрирования;
– область трехмерного пространства;
X ( x, y, z ) – декартовы прямоугольные координаты;
P ( X , t ) – точки пространства во времени.
Функция времени и пространства для любого элемента геофизической
среды довольно сложна. Поэтому для обобщенного описания статистической
структуры полей геодинамических систем целесообразно использовать понятие
f {P ( X , t )} , которая в точке P ( X , t )
так называемой фоновой функции f
является средней величиной из значений параметра (элемента) в окрестностях
данной точки.
Разность между действительным и фоновым значениями параметра
f {P( X , t )} в каждой точке пространственно-временной области будет
вариацией параметра f ' , определяемой уравнением:
f'
f '{P ( X , t )}
f {P ( X , t )}
f {P ( X , t )} .
Принимая во внимание трудности детального изучения интегральных
параметров фоновых функций и вариаций параметров геодинамических
процессов, а также наличие стохастической составляющей в этих параметрах,
будем рассматривать величины f , f ' , f как случайные функции.
В работе [Панкрушин (2002)] применен корреляционный анализ как
средство обнаружения закономерностей малых изменений параметров
геодинамических систем (современных движений земной коры (СДЗК) и
уникальных технических динамических систем) не только во времени t, но и в
пространстве-времени ( X , t ) {( x, y, z ), t} . При этом использовались
корреляционные (автокорреляционные) и структурные функции случайных
процессов (случайных функций) и случайных полей [Панкрушин (2002)].
Между корреляционными и структурными функциями, как уже отмечалось
выше, имеется связь.
6.5.2. Детерминированный хаос. Фрактальная корреляционная
размерность
Очевидно, что оценки параметров Xˆ R ( X , t ) можно рассматривать и с
позиций теории детерминированного хаоса [Шустер (1988)].
Новым
методом,
позволяющим
отличать
(распознавать
или
идентифицировать) детерминированный хаос от случайных шумов, является
определение и анализ оценок фрактальной корреляционной размерности
[Шредер (2001)].
В соответствии с понятием обобщенных фрактальных размерностей
теории мультифракталов, имеется связь парной корреляционной функции с
фрактальной корреляционной размерностью объекта [Божокин, Паршин (2001),
Данилов (2001)]. Вычисление этой размерности по эмпирическим временным
рядам (или другим рядам последовательностей) параметров динамической
системы позволяет отличать детерминированный хаос, порожденный неким
детерминированным процессом (детерминированным оператором эволюции
динамической системы и начальными данными), от случайного шума [Шредер
(2001), Данилов (2001), Анищенко (2001)].
В отличие от топологической размерности (в частности, евклидова
пространства), которая принимает целочисленные значения – 1, 2, 3,
фрактальная размерность вводится для характеристики негладких кривых,
изъявленных или шероховатых поверхностей. При этом рассматривается
компактное, т. е. замкнутое и ограниченное множество. Для такого множества,
по лемме Гейне – Бореля, существует конечный набор сфер радиуса
,
конечное подпокрытие [Данилов (2001)]. Этот набор сфер такой, что каждый
элемент множества, не обязательно совпадая с центром сферы, принадлежит, по
крайней мере, одной из сфер.
Образами динамического хаоса в фазовом пространстве системы являются
хаотические аттракторы, которые в общем случае имеют нецелую (дробную)
метрическую размерность. При исследовании фрактального объекта
(множества) рассматривается покрытие аттрактора ячейками одинакового
размера .
Приведем
основные
уравнения,
относящиеся
к
фрактальной
корреляционной размерности [Grassberger, Procaccia (1983), Медведев (1986)].
Для обобщенной фрактальной корреляционной размерности D2
справедливо следующее выражение:
N( )
log
D2
lim
0
i 1
pi2
log
,
(6.44)
где
– размер ячейки (сферы, куба или отрезка);
N ( ) – количество ячеек покрытия области (аттрактора) динамического
процесса;
pi2 – вероятность того, что две точки разделены расстоянием, которое
меньше, чем .
Величина
N( )
i 1
pi2
C( )
(6.45)
– корреляционная сумма или парный корреляционный интеграл. Эта
величина интерпретируется и как автокорреляционная функция [Данилов
(2001), Божокин, Паршин (2001)].
Для статистической оценки указанной корреляционной суммы есть
эффективный алгоритм Грассбергера – Прокаччиа [Шейдеггер (1981)].
Сущность этого алгоритма состоит в следующем.
Получают каким-либо способом набор оценок векторов состояния
Xˆ i , i 1, 2, ..., M ,
где i – шаги последовательной итерации. Этот набор оценок векторов
состояния можно затем использовать для статистического оценивания
корреляционного интеграла (корреляционной суммы) C ( ) , задавшись при
этом некоторым малым значением . Выражение для такого оценивания имеет
следующий вид:
N( )
M
1
2
pi C ( )
(
Xˆ i Xˆ j ) C M ( ) ,
lim
M
(
M
1
)
M
i, j 1
i 1
(6.46)
где – ступенчатая функция Хевисайда, (x ) 1 , если x 0 и (x ) 0 ,
если x  0 ; X i X j – норма, в частности, евклидова норма. Для сокращения
вычислений целесообразно использовать нормы, отличные от евклидовой,
например, X i
M
Xi .
i 1
Уравнение (6.46) может быть представлено и в следующем виде [Божокин,
Паршин (2001)]:
N( )
pi2 C ( r )
1
(
rn rm ) , (6.47)
N ( N 1) / 2 n , m
В (6.47) суммирование производится по всем парам точек фрактального
множества с радиус-векторами rn и rm; число пар N (N 1) / 2 .
Спектральная плотность мощности динамического процесса x(t )
вследствие апериодической «шумоподобной» структуры его хаотической
реализации вычисляется как преобразование Фурье от интенсивности процесса
и представляет собой непрерывную функцию частоты S ( ) . В качестве
характеристик (диагностических критериев) при анализе такого динамического
процесса могут быть использованы: вид функции частоты S ( ) и ее свойства,
наличие четко выраженных максимумов на характерных частотах, диапазон
частот, который включает основную энергию колебаний. Эти характеристики
использованы, в частности, в работе [Медведев (1986)] при моделировании и
исследовании колебаний земной коры.
Спектр мощности S ( ) , по теореме Винера – Хинчина, связан через
преобразование Фурье с автокорреляционной функцией процесса x(t ) (4.32).
При этом автокорреляционная функция, в соответствии с (4.31), (4.32), будет
иметь вид спадающей по времени
(или по расстоянию r ) функции. Для
аппроксимированной автокорреляционной функции C (r ) характерна степенная
закономерность
1
,
(6.48)
C(r )
rk
где k – некоторый показатель степени.
Как показано в работе [Божокин, Паршин (2001)], показатель степени k и
фрактальная корреляционная размерность связаны следующим соотношением:
k d D 2,
(6.49)
где d – евклидова размерность пространства.
Мы предлагаем по эмпирическим автокорреляционным или связанным с
ними структурным функциям (которые, в частности, определены в нашей
работе [Панкрушин (2002)]) для скоростей вертикальных движений земной
коры после их аппроксимации степенной закономерностью вида (6.48)
определять фрактальную корреляционную размерность D2 по формуле
D2 d k .
(6.50)
Анализ последовательности статистических оценок фрактальной
корреляционной размерности D2 , полученных по формуле (6.50), дает
возможность
решать
задачу
по
распознаванию
(идентификации)
детерминированного хаоса, т. е. отличать его от случайного шума. Такое
решение позволяет исследовать тонкую структуру геодинамических процессов,
в частности, определять отмеченные в работе [Панкрушин (2002)] характерные
особенности современных движений земной коры различных регионов и
идентифицировать различные этапы движений – перед землетрясением, вскоре
после землетрясений и возвращение в устойчивое состояние.
i 1
lim
N
Ю.И. Кузнецов
6.6. Фракталы и рекуррентность
Фракталы в Природе повсеместны:
модель Дерева: речные бассейны, горные цепи, трещины в земной
коре, другие динамические системы;
модель Ореха: Солнечная система, Земля;
принцип: часть подобна целому.
Об этом было известно давно. В настоящее время активно исследуется
фрактальная размерность.
Но имеют ли фракталы математический эквивалент? Да. Имеются
математические структуры, обладающие свойством фрактальности, что
отмечено еще в работе [Бондаренко (1990)]. Это – Треугольник Паскаля с
элементами
n!
n
C nm
,
m
m! n m !
обладающими свойствами:
а) рекуррентности:
n
n
n
m 1
m
m 1 ;
б) тождества, например:
k 1
k i 1
2k 1
k 1
k i
2k 2
i
k
k 1
i 1
k
k 1
k 1
k i
i 1
k
в) делимости:
k
i
k
2
1
2k
k
;
k
Cnm
j
pj j ;
г) периодичности:
C nm c nm K p c nm
cnm
k
i
(mod
p ),
p,
cnm 1 cnm cnm 1
mod
p ,
где p – простое число.
Покажем, что делимость совершенно необходима для фрактальности. Пусть
Tnp означает треугольник с вершиной в нулевой строке и основанием – в n-й
строке.
M n L dn l ;
n
pl
1;
l log
dl
p 1
2
l
log p
.
1
Асимптотическая фрактальная размерность:
log( p 1) log p log 2
da
.
lim d l
log p
l
При р = 2
d a совпадает с асимптотической фрактальной размерностью салфетки
Серпинского
d a = d s = log3/ log 2 = 1.58...
При p = 3
1
da 1
1.63
ds
При p
da
2,
и дробная (фрактальная) размерность исчезает, уступая место обычной
(евклидовой).
Существуют и другие математические структуры со свойствами а), б), в), г).
Это – ганкелевы структуры, описанные в работе [Кузнецов (2001)]. Они имеют
следующие представления:
а) положительно определенная ганкелева матрица Н,
h0
h1 
hn 1
h1
h2 
hn
H
,

 

hn 1 hn  h2 n 2
n
hk
ci x ik ,
k
0(1) 2n
2;
i 1
P T HP
P
D
D,
p00
p10

p0n
1
0

0
p11

0



p1n 1 ,

pnn 11
diag( d1 ,, d n ),
di
Hi / Hi 1 ;
б) система многочленов Pk ( x ), k
k
Pk ( x )
i 0
pik x i ,
k
0(1)n 1,
0(1)n 1,
ортогональных на конечном множестве точек x i с весами ci ,
n
ci Pl
1 ( xi
) Pk
1 ( xi
)
dk
kl ,
k,l
1(1)n;
i 1
в) якобиева матрица Т
b1 g1
1 b2 
T
  gn 1
1
bn
с элементами
bj
p jj
1
2
p jj
dj 1
,
dj
P 0 ( x ) 1,
gj
P 1( x )
x
j
1,
j
1(1) n,
1(1) n 1,
b 1,
P k ( x ) ( x b k ) P k 1( x ) g k 1 P k
P0 ( x i )
P0 ( x i )
T P1 ( x i )
x i P1 ( x i ) ,


Pn 1 ( x i )
Pn 1 ( x i )
Свойства:
а) рекуррентность:
P0 ( x ) 1,
P1 ( x )
x
xi( k
i
k
2(1) n,
1(1) n.
b1 ,
Pk ( x ) ( x bk ) Pk 1 ( x )
б) тождества, например:
P T HP D;
в) делимость:
Pk ( xi( k ) ) 0,
i 1(1) k ,
xi( k )
2 ( x ),
1)
xi( k1) ,
gk
1 Pk 2 ( x ),
k
2(1) n;
i 1(1) k 1,
xi xi(n ) ;
г) волны, связанные с ганкелевой структурой [Кузнецов (2000)]:
Ганкелева
ст рукт ура
Колебат ельная
сист ем а
Для x1 0 значения x i есть частоты колебательной системы, и (Po(xi), ... ,
Pn-1(xi))T – соответствующие амплитудные векторы, а матрица Т определяет
гамильтонову форму. В этом случае (одномерном) прямые и обратные проблемы
взаимосвязаны.
Таким образом, свойства треугольника Паскаля, обеспечивающие его
фрактальность, присущи и ганкелевой структуре и связанным с ней семейством
колебательных систем.
Эти свойства (а – г) назовем предфрактальностью. В этом смысле
Круг предшествует волнам;
волны предшествуют фракталам.
Но в ганкелевой структуре имеются совершенно новые возможности.
Например, пусть Т Т = Т и определим многочлены
i Pl ( xi )
Qi ( yl )
,
i , l 1(1) n ,
1Pl ( x1 )
где
yl
2
i
ci . Тогда
i Pl ( x i )
,
1 Pl ( x1 )
l
1(1) n ,
и из
TQ QX
следует
T d Q T = Q T Y.
Мы видим, что один и тот же набор чисел генерирует две колебательные
системы [Кузнецов (1999)], сопряженные друг с другом.
Рассмотрение этого раздела показывает, что ганкелева структура
предфрактальна, и сверх того, предоставляет новые возможности для
постановки задач.
В.Ф. Ловягин, В.К. Панкрушин, В.А. Середович
ГЛАВА 7. МЕТОДОЛОГИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ТРАСС СЛОЖНЫХ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ С ПОЗИЦИЙ
СИСТЕМНО-СТРУКТУРНОГО И ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО
ПОДХОДОВ
Решения задач исследования и проектирования сложных технических
систем (инженерных сооружений) взаимосвязаны. Очевидно, решения тех и
других задач должны иметь общую методологическую основу исследования
сложных самоорганизующихся систем, включающую системно-структурный,
объектно-ориентированный и другие подходы, изложенные в предыдущих
главах и в работе [Панкрушин (2002)]. Поэтому в нашу монографию включена
настоящая глава по методологии исследования и проектирования сложных
инженерных сооружений, в частности, сооружений линейного типа (линий
электропередачи и связи, нефте- и газопроводов, авто- и железных дорог и т. п.)
[Ловягин, Панкрушин, Середович (2001), Середович, Панкрушин (2001), (2002),
Ловягин, Панкрушин (2001)].
7.1. Иерархическая система процесса проектирования оптимальных
трасс инженерных сооружений
Процесс проектирования представляется в виде иерархической системы. В
еѐ подсистемах (уровнях и блоках) присутствуют такие основные операции, как
изобретательство, инженерный анализ, оптимизация и принятие решений
[Диксон (1969)].
Одной из основных задач инженерной геодезии является создание
геодезических построений для обеспечения проектирования, строительства и
эксплуатации промышленных инженерных сооружений. При этом в единой
системе координат должны быть определены на земной поверхности или
вынесены в натуру положения точек и направления осей в соответствии с
пространственной или пространственно-временной структурой инженерного
сооружения.
Традиционно при инженерных изысканиях и проектировании трасс
сооружений линейного типа большая роль в определении оптимального
пространственного положения сооружения принадлежит геодезистам.
Результаты геодезических работ в значительной степени предопределяют
эффективность проектных работ, строительства и эксплуатации будущего
сооружения.
Приходится констатировать, что в традиционной технологии инженерных
изысканий и проектирования указанного типа инженерных сооружений имеет
место противоречивая ситуация, когда трасса выносится в натуру до процесса
определения мест установки опор линий электропередачи (ВЛ) или площадок
нефтеперекачивающих станций в нефтепроводах. Это искусственно
ограничивает область проектирования, так как не позволяет рассматривать всѐ
многообразие возможных проектных вариантов, что, в конечном счете, ведет к
неоправданному расходу различных ресурсов т. е. к неоптимальному решению
задачи. Причиной тому является раздельная, т. е. не системная, организация
производственного процесса, осуществляющего технологическую формулу
«сбор, обработка информации о местности – камеральная разработка трассы –
вынос в натуру оси сооружения – проектирование». Цена такого разделения
труда между процессами инженерных изысканий и проектированием, в
частности, в электросетевом строительстве приводит, по некоторым
источникам, к омертвлению капитала до 15% от общих капитальных затрат.
Таким образом, для предотвращения негативных явлений в использовании
различных ресурсов при проектировании и строительстве, актуальной является
проблема осуществления многовариантного моделирования и оптимизации
компоновочных решений по размещению проектируемого объекта на местности
по критерию минимизации затрат на его строительство.
Традиционная технология слишком упрощена и, вследствие этого, не
оптимальна для условий непрерывно возрастающей сложности искусственной
среды, и если эффективность традиционных методов размещения на местности
проектируемого объекта в основном зависит от интуиции и прошлого опыта
проектировщика, то теперь картина резко изменилась [Данилов (1996)]: «на
передний план выдвинулась задача теоретического обоснования и
планирования, моделирования программы эксперимента, начиная от
формулировки задачи и кончая процедурой интерпретации ожидаемых
опытных данных». Наступившая эра геоинформационных технологий
позволяет эффективно влиять на процесс принятия решения путем
оперативного создания аналоговых, электронных и цифровых карт местности в
нужном месте и в нужный момент и удобном для потребителя масштабе.
Соответствие геоинформационных технологий современным требованиям
автоматизированного проектирования (АП) заключается в том, что создаваемая
геоинформационная среда позволяет в интерактивном режиме проектировать в
вариантах компоновку элементов будущего сооружения и осуществлять их
привязку к местности, где намечено строительство, т. е. позволяет вести
многовариантное проектирование в пределах пространства управляемых
параметров.
Такая концепция проектирования инженерных сооружений линейного типа
связана с реализацией формулы «сбор, обработка и интерпретация информации
о среде – проектирование – оптимизация решений – вынос трассы в натуру».
Это вызывает принципиальное разделение технологических потоков в
традиционных производственных процессах собственно проектирования и
инженерных изысканий с эффективным качественным изменением существа
задач указанных процессов.
Решение указанных задач определяет методологическую проблему,
связанную с разработкой технологического процесса, – получение оптимальной
трассы в виде множества координат точек, идентифицируемых в трехмерном
пространстве, а впоследствии и в пространстве и времени таких управляемых
параметров, как длина и направление трассы, отвечающих оптимальному
варианту размещения на местности каждого отдельно взятого элемента и в
целом проектируемого сооружения.
«Задача проектирования формулируется следующим образом: разработать
при некоторых ограничениях, обусловленных способом решения, элемент,
систему или процесс, обеспечивающие оптимальное выполнение поставленной
задачи при некоторых ограничениях, налагаемых на решение» [Диксон (1969)].
Слова «при некоторых ограничениях» встречаются в этом определении дважды
и имеют целью подчеркнуть, что при решении инженерной задачи имеют место
ограничения двух видов. Одна группа ограничений относится к методу решения
задачи и охватывает такие вопросы, как наличие знаний, сроки,
производственные мощности (типовые конструкции опор и фундаментов,
диаметров труб и т. д.). Другая группа ограничений относится к самому
решению задачи и связана с действием таких факторов, как естественные
(физические) ограничения, издержки методов решения.
На рис. 7.1 приведена принципиальная блок-схема процесса инженерного
проектирования, которая синтезирована по работам [Диксон (1969), Полищук,
Татарников, Шишкин (1989), Полищук, Хон (1989), Полищук (1992)].
Первым блоком является изучение и уяснение цели проектирования или
задачи. Заметим, что определение задачи должно сводиться к конкретному
объекту, позволяющему выразить полученное решение через величины,
которые можно затем вычислить или измерить [Диксон (1969)]. Для нашей
задачи проектирования трассы ВЛ этот первый этап заключается в следующем.
Основные методы исследования и анализа
Априорная
информация
(база знаний)
Система наблюдений, обработки и интерпретации
информации об объектах ОС
Уяснение цели
Выбор пути
решения
Оформление
идеи
Научноинженерный
анализ
Определение
задачи
Конкретизация решения
(технология)
Теоретические
исследования
Экспер
тные
Математическое
моделирование
Экспериментальные
исследования
Аналит
ические
Натурный
эксперимен
т
Компьютерный эксперимент
Вычислитель
Вычислительный
ный
эксперимент
эксперимент
Имитацион
Имитационное
ное
моделирование
моделирова
ние
Оптимизация
Рис. 7.1. Блок-схема процесса инженерно-исследовательского проектирования
Абстрагируясь от возможных принципиально новых физических процессов
передачи электроэнергии на расстояние, в данной работе будем
ориентироваться на традиционный процесс передачи электроэнергии по
проводам, что связано со строительством линии электропередачи. При
строительстве составляющие суммы капитальных затрат определяются, с одной
стороны, принимаемыми при проектировании основными параметрами
сооружения, с другой – совокупностью исходных данных, которые можно
рассматривать как условия задачи проектирования. Основные параметры
(напряжение, материал опор, сечение проводов и тип фундаментов)
определяются специальными расчетами до начала конкретного проектирования,
в то время как природные и искусственные объекты местности
рассматриваются как ограничения, налагаемые на проектируемую ВЛ в части
их пересечения, сближения или параллельного следования с указанными
объектами. При этом величина линейного параметра трассы (L) объективно
рассматривается как главный фактор, влияющий на сумму капитальных затрат
(З), и этому параметру в традиционной технологии обоснования трассы
отводится роль критерия в процессе принятия решения. Однако исследования
[Яненко, Преображенский, Разумовский (1986)] показали, что самая короткая
трасса зачастую оказывается не самой экономически эффективной.
Присущее трассе ВЛ свойство практически неограниченного ветвления
дерева вариантов формирует пространственную область поиска оптимального
варианта с размерами [Ловягин (1995)]
A L0 0 ,75L0 (км2),
(7.1)
где L0 – «воздушная прямая», соединяющая начальную и конечную точки
трассы. Получение исходной информации на такую территорию требует
настолько больших затрат различных ресурсов, что ставит под сомнение
решение задачи оптимизации вообще.
В производственных условиях проблема оптимизации трассы ВЛ решается
с использованием технологии, предусматривающей вынос в натуру оси ВЛ по
одному из намеченных на топографической карте двух-трех вариантов, которые
соответствуют техническим условиям на расположение трасс, а рекомендуемый
к строительству вариант должен отвечать принятому критерию минимальной
длины трассы Lopt min Li .
При этом, в силу ограниченных возможностей рассматриваемой
технологии, не учитывается такой важный компонент проекта, как расстановка
промежуточных опор между угловыми точками трассы. Это приводит к тому,
что, как показывают исследования, 66% всех пролетов действующих системных
ВЛ 220-500 кВ имеют запас вертикальных габаритов проводов от 1 до 2,5 м и
больше [Ловягин (1996)]. В подавляющем большинстве случаев это
непосредственно связано с принятой технологией определения мест установки
опор, когда проектирование ведется по заранее заданным отдельным прямым от
угла поворота до угла поворота трассы, что не позволяет запроектировать
кратное число пролетов.
Если учесть, что среднестатистическое количество прямых на 100 км
трассы составляет 20 – 25 шт., то это ведет к установке такого же количества
«лишних» опор на 100 км трассы. Поэтому практика выноса трассы ВЛ в натуру в
процессе инженерных изысканий до разработки проекта самого инженерного
сооружения создает проблему неоправданного расхода ресурсов, в частности,
капитальных затрат при строительстве ВЛ. Этот традиционный путь решения
поставленной проблемы даже при условии осуществления сквозной
автоматизации процесса сбора и обработки исходной информации не имеет
перспективы, так как не нацелен на конечный результат – минимизацию
капитальных затрат на новое строительство.
Второй альтернативный путь решения задачи оптимизации трасс ВЛ, в
отличие от традиционной технологии, связан с пониманием необходимости
нацеливания результатов инженерных изысканий на конечный результат.
Поэтому в настоящей работе предпринята попытка рассмотреть с позиций
теории систем и системного анализа этой актуальной задачи инженерной
геодезии, дать методологические принципы и конструктивные решения задачи
определения по результатам наблюдений пространственно-экономическую
структуру трассы линии электропередачи в форме ее математической модели
изменения состояния (связывающей координаты точек в экономической среде,
параметры движения и внешние воздействия). Поставленная задача относится к
классу поисковых задач, где целевую функцию невозможно выразить в явном
виде, поэтому решение поставленной проблемно ориентированной задачи,
связанной с оптимизацией трасс линейных сооружений (ВЛ и др.), требует
индивидуального подхода.
Определяя технологический процесс оптимизации трассы ВЛ как
системный, мы исходим из того, что термин «система» означает целостное
образование,
состоящее
из
взаимосвязанных
(взаимодействующих)
компонентов (элементов, частей) и обладающее свойствами, которые не
сводятся к свойствам этих компонентов и не выводятся из них (целостность,
единство, иерархичность и т. д.). А выполнение работы с позиций системного
анализа всегда имеет в виду дать методологию исследований, выделить этапы
исследований и разработать методику выполнения этих этапов в конкретных
условиях [Панкрушин (1985), Панкрушин (1990)]. Системный анализ включает
в себя построение альтернативных моделей объекта и выбор альтернативы, а
также выбор адекватной модели по критерию, в частности, по F-критерию.
Ось линейного инженерного сооружения должна быть вынесена в натуру
по данным проекта, разработанного на многовариантной основе с
использованием соответствующей информационной базы об объектах
природной и искусственной среды на район строительства. Эта среда
рассматривается как геоинформационная система с динамической базой
данных, соединенных с множеством моделей, в том числе ЦММ,
реализованных на ЭВМ с преобразованием этих данных в пространственную
информацию в целях синтеза вариантов расстановки опор и их оптимизации по
критерию минимизации капитальных затрат. Но, учитывая широкие пределы
ограничения пространства управляемых параметров (длина принятой к
проектированию трассы может достигать без малого полуторной длины L0
[Ловягин (1996)]), процесс сбора, обработки и интерпретации информации о
местности выливается в решение сложной проблемы, обеспечивающий
многовариантную компоновку инженерного сооружения на местности.
Решение этой проблемы рассматривается в работе [Ловягин (1995)], где для
преодоления трудностей проблемы многокритериальной оптимизации с ее
колоссальной размерностью эта сложная задача интерпретируется, во-первых,
как трехуровневая иерархическая система, позволяющая во много раз
уменьшить размерность системы и тем самым на каждом уровне
оптимизировать объемы получения необходимой информации для
формирования ЦММ со своей структурой и параметрами как инструмента для
синтеза вариантов. Во-вторых, полный перебор возможных вариантов
состояния исследуемой системы заменяется упорядоченным (направленным)
перебором с использованием метода динамического программирования
несравненно меньшего количества вариантов, каждый из которых формируется
путем сравнительно небольших преобразований предыдущего варианта и
превосходит его по принятому критерию оптимальности.
На рис. 7.2 и 7.3 показаны иерархические уровни и графическая
интерпретация процесса оптимизации трассы ВЛ.
Начальная точка
трассы
С
L0
Д
B
Е
Конечная точка
трассы
Рис. 7.2. Графическая интерпретация оптимизации трассы
Все трассы
А
С
Е
...
B
Д
...
...
...
1-й уровень
Перспективные
зоны (ПЗ)
...
2-й уровень
Трассировочные
полосы (ТП)
3-й уровень
Трасса (Т)
Рис. 7.3. Иерархические уровни процесса оптимизации
Для анализа состояния данной динамической стационарной системы, где
состояние системы по времени не различимо, зато отмечается в пространстве,
должны отображаться свойства объекта или процесса и проявляться они
должны через конкретные величины. Так, для трасс ВЛ главными свойствами
являются протяженность (L) и величина капитальных или приведенных затрат
(З) на сооружение объекта, а ее базой – пространство и физическая среда. При
этом внешняя среда оказывает на систему то или иное воздействие.
В данном случае элементы среды рассматриваются как факторы
экономической эффективности инженерного сооружения. Полученная база
применима ко всем свойствам системы и может быть наблюдаема с
однозначным определением свойств системы. Таким образом, параметрами
проектируемой системы являются дискретные величины: длина трассы и
капитальные затраты на сооружение ВЛ. Разные наблюдения одной и той же
переменной различаются по значению параметров, что позволяет наблюдать
состояние системы на каждом уровне в виде той или иной математической
детерминированной модели (ММ), т. е. моделей, параметры которых
однозначно определимы и идеализируют объект, отвлекаясь от второстепенных
признаков и скрытых связей с другими объектами.
Построение модели объекта с детерминированными воздействиями
позволяет использовать при математической обработке данные, полученные не
только геодезическими методами, но и методами, характеризующими ОС в
геологическом, геофизическом и других аспектах. В результате мы получаем
наиболее полный эффект от комплексности геодезических и других наблюдений
– опять же как эффект закономерности, целостности системы в виде
повышенной информативности и точности системы. При этом важным
аспектом является характеристика устойчивых связей и способов
взаимодействия элементов системы, определяющих ее целостность, строение и
основы ее организации, т. е. структуру системы.
7.2. Методологическое обеспечение проектирования трасс инженерных
сооружений с позиций системно-структурного и объектноориентированного подходов
В качестве методологической основы решения рассматриваемой
комплексной проблемы ряда технических наук, в которых большую роль играет
геодезия, принимаем следующие концептуальные положения.
Система геодезических, геофизических и других наблюдений, их
обработки, интерпретации и принятия решений является системой с
распределенными природными компонентами. Природными компонентами
(объектами) являются как физическая поверхность Земли, так и геофизическая
среда (гидросфера, атмосфера, гравитационное поле и т. п.). Сложность
системы с природными компонентами определяется сложностью проблемы;
сложностью управления процессом разработки; сложностью обеспечения
гибкости конечного информационного продукта и сложностью описания
отдельных подсистем.
Во второй главе настоящей монографии, в разделе 2.2 были перечислены
характерные особенности сложных систем с природными компонентами
[Полищук (1992), Панкрушин (2002)]. Для решения задач проектирования
сложных технических систем (инженерных сооружений) с природными
компонентами имеют большое значение следующие характерные особенности:
1) многомерность системы (объекта), то есть большое число параметров;
2) иерархичность многоуровневой структуры проектируемой системы;
3) неполнота априорной информации об объекте (априорная
неопределенность);
4) необходимость проведения полевых наблюдений и исследований
методами разных наук и, как следствие, – разнотипность информации, которую
необходимо использовать при проектировании;
5) невозможность во многих случаях проводить активные эксперименты
с объектом проектирования и с окружающей средой (природными
компонентами);
6) пространственная неоднородность и временная нестационарность
параметров природных компонентов (геолого-геофизической среды);
7) динамичность природных компонентов и самой проектируемой
технической системы;
8) необходимость
учета
детерминированных
и
стохастических
воздействий в пространстве и во времени, как на геолого-геофизическую среду,
так и непосредственно на техническую систему;
9) контринтуитивность поведения системы, то есть реакции на
воздействие окружающей среды могут происходить иным образом, чем это
ожидается интуитивно;
10) возможность детерминированного хаоса и появления риска
катастрофических аварий (см. раздел 2.2 второй главы);
11) отсутствие общих теорий, позволяющих определять свойства
компонентов и в целом технической системы с природными компонентами.
Эти характерные особенности сложных систем с природными
компонентами обусловливают большую сложность решения проблемы
оптимизационного проектирования технических систем, в частности, трасс
линейных инженерных сооружений.
При проектировании трасс инженерных сооружений, очевидно,
необходимо предусмотреть влияние на такие сооружения геодинамических
процессов как локальных, так и региональных. В связи с этим математические
модели проектируемых трасс и геолого-геофизической среды, а также систем
разнородных комплексных наблюдений и их обработки рационально строить в
пространстве состояний (см. вторую главу и работу [Панкрушин (2002)]).
Из существующих методов, которые направлены на решение растущей
сложности систем (метод структурного проектирования или метод организации
потоков данных и т. д.) метод объектно-ориентированного проектирования
(ООП) наиболее полно отвечает решению проблемы оптимизации трасс
инженерных сооружений [Буч (1992)]. В основе объектно-ориентированного
подхода лежит представление о том, что сложные системы необходимо
проектировать как совокупность взаимодействующих друг с другом объектов,
рассматривая каждый объект как экземпляр определенного класса, причем
классы при этом образуют иерархию. Проектирование объектноориентированной системы (ООС) предполагает эволюционный путь развития
системы на базе небольших подсистем. Создание такой модели ООС, которая
основывается на объектах (объектах окружающей среды), принадлежащих
проблемной области, и сформулировано как результат применения объектноориентированной декомпозиции. От того, насколько правильно будет разделена
ООС на подсистемы, зависит эффективность отладки (настройки) каждой из
этих систем и в какой степени конечный продукт функционирования системы
будет свободен от ошибок. Таким образом, ООС рассматривается как
упорядоченная совокупность объектов на различных иерархических уровнях,
которые в процессе взаимодействия друг с другом обеспечивают
функционирование системы как единого целого.
Методологической базой ООП является системно-структурный подход
(ССП), основные положения и концепции которого заключаются в следующем
[Полищук, Хон (1989), Полищук, Татарников, Шишкин (1989), Новик (1975)]. В
ССП главными понятиями являются «система и структура», «система и
модель», рассматриваемые как парные категории. Выделяя оперативно-целевой
аспект ССП, система имеет быть определена как некоторый фрагмент
объективной реальности, выполненный исследователем для достижения
определенной цели, при этом выделяемый фрагмент является объектом
системы, т. е. учитывается структурно-функциональный аспект системы.
ССП включает в себя субъективный элемент – человека. Таким образом,
«вход» ССП к решению системных задач включает в себя и субъективный
фактор, связанный с так называемым целеполаганием (например, с уяснением
цели оптимального проектирования трассы конкретного линейного сооружения
[Ловягин, Панкрушин (2001)]). Но результат на «выходе» ССП основывается на
трех объективных методах теоретических исследований, математического
моделирования и экспериментальных исследований [Новик (1975), Буч (1992)].
Морфологическая
сторона
структурного
аспекта
связана
с
характеристиками строения системы, а организационная – со способами
взаимодействия объектов системы. Представление структуры объекта в форме
графов приводит к рассмотрению иерархических многоуровневых систем.
Таким образом, на языке математики, структура системы – это задание
отношения на множестве элементов системы, удовлетворяющих некоторому
набору аксиом. Системы, для которых имеется возможность описания их
структуры, называются структурированными.
Принципиально важным моментом является то, что моделирование
состояния динамической системы выполняется в пространстве состояний
теории динамических систем и управления. При этом концептуальная модель
такой системы строится в виде многоуровневой иерархической структуры и в
общем виде описывается (моделируется) заданием следующих множеств и
функций [Панкрушин (2002)]:
( Т , X ,U , ,Y , , F , f ),
(7.2)
где Т – множество моментов времени (при этом Т есть некоторое
упорядоченное подмножество вещественных чисел, что задает направление
времени); X – множество параметров состояния системы; U – множество
мгновенных
значений
выходных
детерминированных
воздействий
(возмущений) на систему (U рассматривается как измеряемая величина или как
управление системой);
– множество допустимых выходных воздействий U; Y
– множество мгновенных входных величин системы (значение Y измеряется
системой наблюдения за объектом);
– множество допустимых значений
выходных величин Y .
Для системы
существует переходная функция F, значениями которой
является состояние системы в момент времени t T
x ( t ) F {t , x ( t 0 ); u ( t 0 , t )} T ,
(7.3)
при условии, что в начальный момент времени t0 T система была в
начальном состоянии x ( t 0 ) X , и на нее действует входное воздействие
u( t 0 , t ) на отрезке времени ( t 0 , t ) ; t t0 .
Для задано выходное отображение (выходной вектор) в виде некоторой
функции f. Значениями этой функции являются выходные величины
(7.4)
y ( t ) f {t , x( t )}
.
В общем случае исследователь может наблюдать две величины – вход u(t )
и выход y (t ) , т. е. последовательность пар величин N ( t ) {u( t ), y ( t )}. Входные
величины есть воздействие внешней среды, в том числе величин, связанных с
проектированием инженерного сооружения, и могут подаваться исследователем
как управляющие воздействия при эксперименте. Выходные величины
исследователь лишь пассивно наблюдает. Выходы y (t ) исследователь может
использовать для управления системой на основе соответствующих критериев
(см. рис. 2.1).
Для исследуемой динамической системы запишем состояние системы в
виде следующих двух уравнений:
x ( t ) F { x ( t 0 ); u ( t 0 )};
(7.5)
y ( t 0 , t ) y ( t ) f { x ( t 0 ); u ( t 0 , t )},
где F и f – некоторые однозначные функции.
В соответствии с уравнениями (7.5), выход системы y на интервале ( t 0 , t )
является некоторой однозначной функцией входного взаимодействия на этом
интервале времени и параметра х в начале интервала. Параметр состояния в
конце интервала является однозначной функцией тех же аргументов. Систему,
описанную уравнениями состояния, называют динамической системой .
Из начального состояния x(t ) T при воздействии на систему входных
параметров на интервале ( t 0 , t ) последняя переходит в новое состояние,
статическое состояние которой описывается следующим выражением:
F{ X ( xi )} f S {C ( ci ), K ( k i ), P ( pi )} .
(7.6)
В соответствии с уравнениями (7.5), выход системы y на интервале ( t 0 , t )
является некоторой однозначной функцией входного взаимодействия на этом
линейном интервале и параметра Х в начале интервала. Параметр состояния в
конце линейного интервала является однозначной функцией тех же аргументов.
Систему, описанную уравнениями состояния, называют динамической системой
.
Из начального состояния x ( t ) t при воздействии на систему входных
параметров и ( t 0 , t ) последняя переходит в новое состояние. В общем виде
множество входных параметров можно ограничить через множество
параметров окружающей среды (С), множества параметров проектирования (Р)
и множества параметров, относящихся к конструкции самого сооружения (К),
как показано на рис. 7.4.
При различных сочетаниях, как самих пересекающихся множеств правой
части равенства, так и непересекающихся между собой составляющих их
элементов, определяется степень влияния на функцию входного-выходного
отображения.
C={ci}
K={ki}
X={xi}
P={pi}
Рис. 7.4. Системные компоненты окружающей среды процесса синтеза объектов
трассы (Х)
Отсюда возникает задача формализации связей и селективный их отбор для
формирования модели процесса оптимизации трасс ВЛ (L).
Состояние системы оценивается глобальным критерием через
капитальные затраты (З), поэтому функция цели выражается через число З,
которое принимает разные значения в зависимости от вида функции X ( t )
параметров состояния системы X = (х1, х2, …хn), функции Y ( t ) параметров
управления этой системой G
( g1 , g 2 , ...g m ) , функции С ( t ) параметров
объектов окружающей среды С
( с1 , с 2 , ...с z ) , функции K ( t ) конструктивно-
строительных параметров К
( к1 , к 2 , ...к q ) и функции Р( t ) параметров
проектирования P ( p1 , p 2 , ... p t ) при интегрировании на отрезке [0, T] по
независимому параметру T.
T
З
(7.7)
0 F ( X ( t ), G ( t ), C ( t ), K ( t ), P ( t )) dt .
По интервальной по длине трассы t кусочно-постоянной аппроксимации
изучаемого процесса, когда отрезок [0, T] делится на T = {1, 2, …T} интервалов
длиной t 1 (например, один километр), вместо выражения (7.7) запишем
З
T
Ft ( X t , Gt , Ct , K t , Pt ),
t
1, 2, ...T .
(7.8)
t 1
Здесь X t , Y t , Ct , K t , Pt , Ft принимают дискретные постоянные
значения на каждом отрезке t 1, 2 , ...T и изменяются скачками на стыках
соседних линейных интервалов.
Для того, чтобы некоторая трасса могла рассматриваться как возможное
решение задачи трассирования, необходимо получить не только еѐ
геометрическое описание в виде совокупности трехмерных координат оси
трассы, но и описание геологических, гидрологических, метеорологических,
геофизических и других условий местности района строительства с учетом
конструктивно-строительных особенностей сооружения объекта, что
определяет этот процесс как геоинформационный [Ловягин (1997)].
В большинстве задач проектирования при отсутствии аналитически
заданной целевой функции F(X) проверить ее на выпуклость или вогнутость,
как правило, невозможно, поэтому для решения задачи оптимального
проектирования трассы используют методы поисковой оптимизации,
основанной на исследовании малой окрестности оптимальной точки в
допустимой области решений.
Процесс принятия решений при оптимальном проектировании
характеризуется наличием цели (критериев оптимальности) и альтернативных
вариантов проектируемого объекта с учетом окружающих факторов
проектирования. В этом аспекте справедливо замечание [Буч (1992)], что ни
один из предложенных до сих пор методов не является столь законченным, и
при решении любой задачи проектирования необходимо определение сочетания
логики ПЯ («прозрачный ящик») и интуиции ЧЯ («черный ящик») и в общем
виде невозможно это установить. Но общим для них является стремление
добиться большего контроля над процессом проектирования или иначе,
стремление «объективировать» процесс проектирования и таким образом дать
другим специалистам возможность следить за происходящими событиями и
участвовать в них.
Важнейшим достоинством методов «ПЯ» является то, что они позволяют
автоматизировать, а, следовательно, и ускорить детально и многократно
повторяющиеся операции. Если же их использовать для создания
действительно новых вариантов, исчезнет гибкость, необходимая для
исследования неопределенной задачи и циклических петель.
Решение оптимизационной задачи означает отыскание на каждом уровне
иерархии оптимальной альтернативы. При проектировании трасс используют
информацию о детерминированных событиях, поэтому эту группу информации
принято считать как детерминированную частично неопределенную. Частичная
неопределенность означает, что эта информация ставит в соответствие данному
состоянию события не точку, а некоторую область определения в пространстве
состояний. По мере детализации информации при переходе от высшего
иерархического уровня состояния системы к низшим уровням указанная
область стремится к максимальному сокращению. Поэтому на высших уровнях
состояние системы может идентифицироваться как некая «перспективная зона»
или «трассировочная полоса», где с высокой степенью вероятности
прогнозируется искомая трасса [Ловягин, Панкрушин (2001), Ловягин (1997)].
Поэтому, для преодоления трудностей проблемы многокритериальной
оптимизации с еѐ колоссальной размерностью, эта сложная задача, во-первых,
интерпретируется как трехуровневая иерархическая система, позволяющая во
много раз уменьшить размерность системы и тем самым на каждом уровне
оптимизировать объемы получения необходимой информации для
формирования ЦММ со своей структурой и параметрами как инструмента для
синтеза вариантов; во-вторых, полный перебор возможных вариантов состояния
исследуемой системы заменяется упорядоченным (направленным) перебором с
использованием метода динамического программирования несравненно
меньшего количества вариантов, каждый из которых формируется путем
сравнительно небольших преобразований предыдущего варианта и превосходит
его по принятому критерию оптимальности.
Для выяснения адекватности реальным условиям модели проектируемого
объекта или для решения задачи структурной идентификации используется
критерий относительной погрешности получаемого решения по сравнению с
реальным. Необходимо отметить, что построение модели с детерминированным
воздействием позволяет использовать при математической обработке данные
полученные не геодезическими методами (геологическими, гидрологическими
и др.). В результате получается наиболее полный эффект от комплексности
геодезических и других наблюдений – опять же как эффект закономерности
целостности системы в виде повышенной информативности и точности
системы.
В этом плане необходимо отметить, что получение трехмерной ЦММ,
отвечающей соответствующим точностным критериям величин выходных
параметров на третьем иерархическом уровне, позволяет вести проектную
расстановку опор по модели местности в пределах ТП в интерактивном режиме.
Очевидно, что наличие трехмерной ЦММ принципиально изменяет
традиционную технологию определения мест установки опор ВЛ, позволяя
использовать технологию многовариантной расстановки опор по всей ширине
трассировочной полосы, осуществляя управление процессом через выбранный
квалиметрический критерий.
Таким образом, использование системного и объектно-ориентированных
подходов в процессе оптимизации трасс ВЛ позволяет преодолеть основное
противоречие традиционной технологии линейных инженерных изысканий с
реализацией технологической формулы «сбор и обработка информации о
местности – проектирование трассы – оптимизация – разработка проекта –
вынос трассы в натуру» с непосредственной увязкой качества изыскательских
работ с экономической эффективностью инженерного сооружения.
Нарушение изложенных системных принципов при реализации задачи
определения по геодезическим и другим наблюдениям пространственной
структуры трассы инженерного сооружения ведет к потерям информативности,
точности и к прямым потерям экономического характера при сооружении
инженерного объекта.
В.А. Середович
ГЛАВА 8. ГЕОИНФОРМАЦИОННЫЙ БАНК ДАННЫХ ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ СЛОЖНЫХ САМООРГАНИЗУЮЩИХСЯ СИСТЕМ
ГЕОДЕЗИИ
8.1. Актуальность создания геоинформационного банка данных
Территория ряда регионов Сибири в настоящее время испытывает
серьезную техногенную нагрузку. Все меньше остается земель, не вовлеченных
в хозяйственный оборот. Природно-территориальные комплексы (ПТК)
необратимо трансформируются под действием техногенных сил. На смену ПТК
приходят техногенные природно-территориальные комплексы (ТПТК).
Реакцией природной среды на деятельность человека служит увеличение числа
техногенных катастроф. Примером являются техногенно-индуцированные
геодинамические события (сейсмические события, просадки, провалы, разломы
земной поверхности), связанные с разработкой месторождений углеводородов.
Постановка проблемы моделирования и идентификации сложных
самоорганизующихся систем, в частности, ТПТК, по результатам разнородных
комплексных геодезических, геофизических и других наблюдений дана в работе
[Панкрушин (2002)]. В общем виде решение этой проблемы представлено на
рис. 2.1.
Актуальность работы состоит в том, что в настоящее время остро стоит
вопрос об экологическом благополучии ряда регионов Сибири. Это связано,
прежде всего, с тем, что все промышленное производство, а также добыча
полезных ископаемых в большинстве случаев тяготеет к крупным населенным
пунктам. По оценкам специалистов, средний показатель экологического
состояния городов Сибири равен 3.9, что характеризует его как напряженное
(по пятибалльной шкале оценки).
Одним из основных показателей, характеризующих экологическое
состояние природно-территориальных комплексов, является величина
техногенной нагрузки на территорию. Техногенная нагрузка отражает степень
техногенного освоения окружающей природной среды (ОПС) человеком и
уровень ее загрязнения продуктами его жизнедеятельности. При оценке
величины техногенной нагрузки и ее максимального значения следует
учитывать, что разные ПТК имеют совершенно разную устойчивость к
техногенному воздействию, а также, что сама структура ПТК во многом
определяет виды и масштабы этих воздействий. Техногенная нагрузка
складывается не только из величины первичного отрицательного воздействия на
ОПС, но и из ответной реакции среды, т. е. негативных изменений в состоянии
ОПС.
На начальном этапе работ необходимо создание базы знаний, а также
геоинформационного банка динамических данных для накопления информации
о ТПТК. В базу знаний необходимо вносить типовые модели, построенные при
ранее проводимых исследованиях. Данный этап работ отражается в
структурной блок-схеме идентификационного эксперимента при исследовании
геодинамических систем, которая представлена на рис. 1.1.
Техногенная нагрузка не может бесконечно увеличиваться. У каждого ПТК
есть свой индивидуальный ресурс приспособляемости к антропогенному
давлению. Если нагрузка на территорию больше предельно-допустимого
значения, происходят часто не обратимые изменения, влекущие за собой вывод
данных земель из хозяйственного оборота с их последующей консервацией.
Такой прогноз неблагоприятен как в экологическом плане, так и в
экономическом. Потеря части продуктивных земель – это, в первую очередь,
снижение налоговых поступлений в бюджет, а также увеличение расходов на
восстановительные мелиоративные мероприятия.
Определить значение предельно-допустимой техногенной нагрузки на
территорию – основная задача современного хозяйствующего человека.
Учитывая современный высокий уровень развития компьютерных технологий,
большую практическую пользу может оказать создание компьютерного,
геоинформационного банка динамических данных по техногенным природнотерриториальным комплексам.
Для этого должны быть решены следующие задачи:
обобщение и систематизация информации о территориях,
испытывающих техногенную нагрузку;
наглядное представление пространственно-временной информации о
техногенной нагрузке на территорию;
моделирование и идентификация сложных самоорганизующихся
природных объектов по результатам разнородных комплексных наблюдений;
расчет предельно-допустимой техногенной нагрузки на территорию;
прогноз экологической ситуации в будущем;
возможность предсказания природных и техногенных катастроф;
исследование сложных самоорганизующихся природных объектов с
позиции фрактального подхода.
Взаимосвязь фракталов с данной задачей очевидна вследствие следующих
положений: естественный мир фрактален, природным объектам свойственно
подобие части целому, мир состоит из множества компонентов, формирование
которых происходило по рекурсивной схеме. Очень многие природные объекты,
процессы, явления описываются с помощью функции комплексной переменной.
Дробная размерность фракталов отражает тот факт, что некоторые части
пространства для них являются запрещенными уже самим алгоритмом
построения фрактальной фигуры; фактически при развитии фрактального
самокопирования происходит сжатие информации о пространственных
координатах объекта. В этом состоит связь фракталов с процессами
самоорганизации: структуры первого поколения служат зародышем структур
второго и так далее, то есть отдельные части системы служат матрицей,
мультиплицируемой на следующих уровнях. Процессы самоорганизации
порождают самоподобные фрактальные структуры.
В создаваемом геоинформационном банке динамических данных должна
накапливаться и информация, характеризующая фрактальные свойства ТПТК.
Например, фрактальная размерность природного объекта может быть
использована для понимания сущности процесса, приводящего к образованию
его фрактальной структуры, прогнозного моделирования.
Авторами реализована следующая технологическая схема создания банка
данных по учету техногенной нагрузки на территорию нефтегазового
комплекса, представленная на рис. 8.1.
Рис. 8.1. Технологическая схема создания банка данных по учету техногенной
нагрузки на территорию нефтегазового комплекса
На этапе «сбора данных» выполняются натурные наблюдения объектов
ТПТК. Данные, полученные в результате проведения полевых работ,
передаются и обрабатываются в ГИС GeoMedia. Готовой продукцией на этапе
«структуризации и локализации данных» является цифровая модель ситуации.
Данные о ТПТК представлены послойно, в соответствии с разработанной
графической и семантической базой объектов. Основными слоями для
отображения пространственных данных являются: геодезические пункты,
инженерные
коммуникации,
промышленные
объекты,
гидрография,
растительность, грунты, элементы орографии. Второй этап завершается
передачей данных в систему управления базами данных (СУБД) Access. На
этапе накопления и хранения происходит накопление и хранение информации о
ТПТК в СУБД. Вся информация хранится в двух пользовательских форматах
(*.mdb – пользовательский формат Access и *.gws – пользовательский формат
GeoMedia). Такая организация данных позволяет оперативно работать как с
графической базой данных объектов, так и с семантической. Возможность
создания одновременно нескольких баз данных (хранилищ информации)
позволяет организовать геоинформационный банк данных по ТПТК.
Информация в проектируемом БД представлена в следующих видах:
а) графическая информация – цифровые модели природных и
техногенных объектов на территории месторождения, карты, ортофотопланы,
выкопировки карт с изображением кустовых нефтяных площадок, участков
коммуникаций и т. п.;
б) семантическая информация – информация, которая отображает
состояние объекта на текущий момент времени, – это таблицы данных с
основными характеристиками объектов, хранящихся в БД;
в) архивная информация – информация, которая «морально устарела» и
составляет архив БД. Данная информация служит для анализа изменения
ситуации и прогнозного моделирования;
г) производная информация – информация, полученная на основе анализа
и обработки вышеперечисленных видов информации. Производная информация
составляет базу знаний проектируемой БД. В базе знаний находятся:
прогнозные модели, алгоритмы и программы для вычислений по созданным
моделям, результаты вычислительных экспериментов. Текстовые материалы,
представляющие собой описание цели, задач, методов проводимых
исследований, а также полученные конкретные результаты, пополняют базу
знаний БД.
8.2. Концептуальное проектирование банка данных
Основными концептуальными положениями по созданию банка данных
для исследования влияния техногенной нагрузки на поведение сложных
самоорганизующихся систем с природными компонентами являются
следующие [Егоров (1997), Середович, Дубровский, Козорез (2002), Середович,
Дубровский (2003), Середович, Дубровский, Березовская, Ескевич (2003)]:
а) ТПТК рассматриваются как сложные открытые нелинейные
геодинамические системы (ГДС) – глобальные (планетарные), региональные и
локальные. При этом они организованы как иерархические многоуровневые
самоорганизующиеся системы;
б) изучение динамики ТПТК на основе пространственно-временных
рядов наблюдений;
в) фрактальность природного мира, подобие части целому, рекурсивная
схема формирования ПТК;
г) необходимость создания геоинформационного банка динамических
данных в аспекте проектирования динамической геоинформационной системы
(ДГИС).
Структурная блок-схема геоинформационного банка динамических данных
показана на рис. 8.2.
Г
еои
н
ф
орм
ац
и
он
н
ы
й
бан
к
ди
н
ам
и
чески
хдан
н
ы
х
А
Б
Д
Ба
а
з
С
У
Б
Д
Г
(И
С
)
д ина
ми ч е
к их д а
с
н н ых
С
ловарьдан
н
ы
х
В
ы
чи
сли
тельн
ая О
бслуж
и
ваю
щ
и
й
си
стем
а
п
ерсон
ал
О
п
ерац
и
он
н
ая
си
стем
а
Т
ехн
и
чески
е
средства
Рис. 8.2. Структурная блок-схема геоинформационного банка динамических
данных
Создание банка данных начинается с проектирования базы данных (БД).
Проектирование выполняется на основе объектно-ориентированного анализа,
в который включается анализ структуры подлежащих хранению данных, способ
их сбора и анализ требований к организации доступа к БД, выбираемых
технических средств.
В блоке «База динамических данных» накапливается вся информация об
объекте исследования. Следует отметить, что, наряду с чисто техногенными
факторами в формировании ТПТК, важнейшую, а порой и определяющую роль
играет структура первичных, ненарушенных ПТК, а также их естественная
динамика. ПТК влияют на формирование ТПТК двояко: с одной стороны,
разные ПТК имеют совершенно разную устойчивость к техногенному
воздействию, а с другой – сама структура ПТК во многом определяет виды и
масштабы этих воздействий. Из множества компонентов, слагающих ПТК,
исследуются те, которые оказывают максимальное влияние на техногенное
освоение или оказываются наиболее изменяемыми под воздействием
антропогенной нагрузки. К таким компонентам относятся: геоморфологическое
строение, современные геоморфологические процессы, грунты, почвы,
растительный покров, наличие и распространение пород многолетней
мерзлоты, гидрографическое строение, особенно состояние и динамика
озерных систем и степень геодинамической активности территории.
Результатом проведенного объектно-ориентированного анализа является
концептуальная модель базы динамических данных. Концептуальная модель
определяет словарь данных, информационные объекты, элементы данных
[Середович, Панкрушин, Кузнецов, Холопов (2002), Полищук, Хон (1989)].
Идентификация ТПТК проводится через систему точек (пунктов) на
физической поверхности Земли, на которых выполняется комплекс
разнородных пространственно-временных наблюдений. Предметной областью
создаваемой базы динамических данных будет являться система (сеть)
комплексных разнородных наземных и спутниковых геодезических,
геофизических, геологических, геоморфологических, гидрографических,
метеорологических, экологических и других наблюдений в пространстве и
времени. Для такой предметной области в словарь входят следующие термины:
пункт, репер, точка, координаты (пространственные или плановые),
высоты;
параметры гравитационного поля – вектор ускорения силы тяжести
(модуль силы тяжести, компоненты уклонения отвесной линии, аномалии высот);
параметры движений и деформаций геофизических полей, в частности,
гравитационного;
слагающие породы, грунты, зоны промерзания, подземные воды,
мощность земной коры;
высота современного рельефа, тип рельефа, глубина расчленения
современного рельефа, изостатические аномалии, глубина залегания
консолидированного фундамента, амплитуда и контрастность неотектонических
движений, амплитуда и контрастность современных движений земной коры,
ведущий геоморфологический процесс, эндогенная активность земной коры,
экзогенные процессы;
водные объекты, сезонные и краткопериодические колебания водного
режима, стационарные водные объекты;
изменение температуры, влажности, давления, метеорологические
характеристики и коэффициенты, определяющие условия рассеивания
загрязняющих веществ в атмосфере, литосфере, гидросфере;
экологическая безопасность, предельно-допустимые концентрации
вредных веществ, техногенная нагрузка;
пространственно-временной фактор (временной аспект, эволюционный
аспект, сравнительный аспект [Агафонов, Ананьев, Белоусов (1994)]),
продолжительность наблюдений, временные интервалы.
В нашей предметной области к информационным объектам относятся
такие величины и понятия, как пункт (следует учесть, что пункты могут быть:
геодезические, геофизические, геоморфологические, метеорологические и т. д.),
репер, точка, направление, сторона, пространственно-временной фактор.
Атрибутами информационного объекта в БД являются его название и другие
возможные идентификаторы. Например, пункт геодезической сети наблюдений,
кроме названия, имеет координаты, высоту, параметры гравитационного поля;
пространственно-временной фактор, кроме конкретного значения времени
наблюдения, имеет интервалы дискретности (прерывистости), определенную
продолжительность наблюдений. В зависимости от объекта наблюдений, будет
выбираться и временной интервал, в течение которого рассматривается его
генезис.
8.3. Инфологическая модель банка данных
Взаимосвязи и отношения между данными представляют собой
инфологическую модель банка данных [Середович, Панкрушин, Кузнецов,
Дубровский (2002), Полищук, Хон (1989)]. Прежде всего, это отношение один к
одному между объектом и его атрибутами, а также между атрибутами объекта.
В отличие от этого отношения между информационными объектами, в нашей
предметной области представляют отношение одного ко многим. Например,
пункт геодезической сети может иметь взаимосвязи с несколькими
ориентированными направлениями и сторонами (длинами). Пространственновременной фактор может быть связан с различными пунктами наблюдений.
В соответствии с построенной концептуальной моделью, пункты системы
(сети) наблюдений и пространственно-временной фактор играют центральную
роль среди информационных объектов предметной области. Каждый из них
является уникальным по имени и описывающим его атрибутам. По
отношению к другим информационным объектам пункты наблюдений и
пространственно-временной фактор играют определяющую роль в том смысле,
что другие информационные объекты не существуют самостоятельно без них.
На рис. 8.3 показана инфологическая модель БД техногенной нагрузки на
территорию нефтекомплекса.
Рис. 8.3. Инфологическая модель БД техногенной нагрузки на территорию
нефтегазового комплекса
В качестве исходной информации планируется использовать материалы
полевого дешифрирования по данным дистанционных многозональных КС и
АФС, а также имеющимся цифровым картам. При создании банка данных будут
использоваться составленные ранее «Карты инженерно-геологического
районирования», «Карты глубины первого от поверхности водоносного
горизонта», «Карты распространения многолетнемерзлых пород», «Карты
динамически напряженных зон», а также результаты проводимых ранее
опытно-методических и опытно-экспериментальных и практических работ.
Система управления базой динамических данных (СУБД) должна отвечать
следующим требованиям: возможность создания неограниченных по объему
баз данных об объектах исследования; динамическое структурирование
информации в БД; хранение и использование в БД временных рядов
наблюдений за объектами исследования; сохранение тенденции следования
объектов во времени (динамики объектов) [Агафонов, Ананьев, Белоусов
(1994)]; организация сложно-структурированных запросов пользователя; обмен
информацией между БД; создание тематических карт; механизм импортаэкспорта данных. Система должна представлять единый механизм ввода,
проверки корректности, а также хранения данных из разнородных источников;
ввода запросов, анализа, отображения пространственной информации;
выполнения сложных аналитических процедур; управления территориями и
прогнозного моделирования.
В результате проведенного отбора выделена ГИС GeoMedia компании
Intergraph Corporation, удовлетворяющая поставленным требованиям.
8.4. Разработка структуры модельных слоев банка данных для ГИС
исследования и учета техногенной нагрузки на территорию
Одной из негативных особенностей имеющейся в настоящее время
цифровой топографической информации по ТПТК Сибири является отсутствие
однотипного семантического и графического представления пространственных
данных на цифровых топографических картах (ЦТК) и, прежде всего,
обязательных стандартов по производству ЦТК. Действующие в настоящее
время классификатор топографической информации [Гуляев (1989),
Классификатор топографической информации (1986)] и условные знаки для
различных
масштабов
(например,
[Классификатор
топографической
информации (1986)]) полностью определяют информацию, наносимую на
цифровые карты и планы различных масштабов, ее графическое представление,
но не содержат требований к послойному представлению информации,
семантическому описанию информации, форматам цифровой информации.
Госгисцентр РФ разработал проекты стандартов для ЦТК: «Общие
требования», «Правила цифрового описания картографической информации.
Общие требования», «Система классификации и кодирования цифровой
картографической информации. Общие требования», «Требования к качеству
цифровых топографических карт», «Формы представления», «Формат обмена.
Общие требования». Однако данные документы не охватывают всего спектра
вопросов, касающихся выработки стандартов представления данных.
В аспекте решения данной проблемы следует отметить, что в 1998 году
ГУГКиК и МЧС Украины утвердили «Нормативы по созданию электронных
карт местности масштабов 1 : 1 000 000, 1 : 500 000 и 1 : 200 000». «Основной
целью их введения является унификация информационной структуры данных
для нужд создания геоинформационных систем государственного или
ведомственного уровней и создание правовой основы государственного
контроля за достоверностью, качеством и наполнением электронных
картографических материалов, подобно тому, как это делается с бумажными
картматериалами» [Условные знаки для топографических планов (1989)]. Вся
информация классифицируется на базовую и тематическую (дополнительную).
Представление в цифровом виде базовой информации регламентируется
специальным классификатором, а разработка структуры любого слоя
тематической информации – специальными правилами.
Такой подход к созданию ЦТК обеспечивает преемственность цифровых
данных и их универсальность. Именно эта цель ставилась при разработке
структуры модельных слоев банка данных для ГИС исследования и учета
техногенной нагрузки на территорию Сибирского региона. Создаваемый банк
данных должен аккумулировать информацию без ее специальной переработки.
Предмет, цели и задачи данной работы предполагают использование
следующих теоретических положений и методов: методов системного и
классификационного анализа; методов моделирования и идентификации
нелинейных динамических систем; основных положений геоинформатики и
геоинформационных технологий. Также использована концепция создания
динамического банка геоинформационных данных для исследования сложных
самоорганизующихся систем с природными компонентами [Середович,
Дубровский, Козориз (2002)].
Первым шагом классификационного анализа является разделение всей
предметной области создаваемого банка данных на несколько относительно
мало связанных между собой подобластей.
В этой связи предлагается информацию о ТПТК разделить на две
подобласти: антропогенная среда (среда жизни и деятельности человека) и
природная среда (природно-территориальные комплексы).
Внутри каждой подобласти концептуальные связи между элементами, из
которых они состоят, сильные, они реализуют логические отношения типа
«род – вид», «целое – часть». А связи между подобластями являются
ассоциативными (слабыми), что обусловлено различием в происхождении
выделенных подобластей.
Следующим шагом анализа является декомпозиция каждой предметной
подобласти, направленная на вычленение слагающих еѐ компонентов (частей,
подсистем) и видов (подклассов), связанных соответствующими отношениями
«целое – часть» и «род – вид» с объектами соседних уровней иерархии. При
этом декомпозиция проводится по схеме «от общего к частному».
Декомпозиция осуществляет:
а) выделение элементов предметной подобласти (процессов, объектов и
явлений), существенных с точки зрения целей проектируемого банка данных:
элементы плановой и высотной основы; рельеф; гидрография и
гидротехнические сооружения; населенные пункты; промышленные,
сельскохозяйственные и социально-культурные объекты; дорожная сеть и
дорожные сооружения; растительный покров и грунты;
б) вычленение элементов, свойства которых могут быть описаны с
помощью данных, полученных на этапе сбора, систематизации и обработки
информации о природно-территориальных комплексах: геодинамическая
активность территории; фрактальные свойства территории; агроклиматические
характеристики; показатели уровня загрязнения ОПС.
Следует отметить, что декомпозиция осуществляется по существенным
(с точки зрения поставленных целей) признакам. Поэтому декомпозиция
предметной области проводится в направлении вычленения только тех
структурных элементов, которые способны оказывать максимальное влияние на
предметную область.
Таким образом, в результате получается иерархическая система, состоящая
из подсистем различных уровней. Эти подсистемы состоят из элементов
предметной подобласти – датологической модели данных, представляющей
выявленные путем декомпозиции родо-видовые отношения (иерархия классов)
и отношения «целое – часть» (иерархия частей) между отдельными
подэлементами. На рис. 8.4 показан фрагмент декомпозиции предметной
области ТПТК.
Рис. 8.4. Структура предметной области банка данных
На самом нижнем уровне иерархической модели создаваемого банка
данных находятся модельные слои, которые будут использоваться при
проектировании динамической геоинформационной системы (ДГИС).
Модельным слоем является совокупность однотипных пространственных
объектов, относящихся к одной группе объектов (классу объектов) в пределах
некоторой территории и в системе координат, общих для набора слоев,
составляющих определенную нами предметную область.
Выделенные модельные слои заключают в себе: пространственную
информацию о ТПТК; пояснительную (описательную) информацию, которая в
большей степени дублирует атрибутивную (семантическую) часть
пространственных объектов; производную информацию, полученную в
результате прогнозного моделирования и анализа ситуации.
Выполненное
концептуальное
проектирование,
построенная
инфологическая модель банка данных и разработанные модельные слои
используются при создании пилотного проекта банка данных для ГИС по учету
техногенной нагрузки на территорию. Пилотный проект планируется
выполнить на территорию нефтепромыслового района ОАО «Сибнефть-ННГ» с
использованием ГИС GeoMedia.
В.Н. Панкрушин, В.А. Середович
ГЛАВА 9. РОЛЬ ГЕОДЕЗИИ В ФОРМИРОВАНИИ НАУЧНОЙ КАРТИНЫ
МИРА, В СОЗДАНИИ ЕДИНОЙ НАУКИ О ЗЕМЛЕ – ГЕОНОМИИ,
РАЗВИТИИ ПРИОРИТЕТНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ И РАЗРАБОТКЕ
КРИТИЧЕСКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
Настоящая глава в аспекте ее названия в определенной степени играет роль
заключения по монографии. Как и в предыдущих разделах, геодезия здесь
понимается в широком смысле, – как одна из наук о Земле, включающая, кроме
собственно геодезии в узком смысле, физическую (или теоретическую)
геодезию, теорию фигуры Земли, геодезическую астрономию, геодезическую
гравиметрию, космическую геодезию, картографию, аэрофотосъемку,
космическую съемку, геодезические информационные системы (ГИС) и
технологии. Очевидно, что в область геодезии в широком смысле можно
отнести и инженерную геодезию, когда в последней учитывается
гравитационное поле Земли или когда она используется в инженерной геологии,
в частности, при решении задач инженерной геодинамики. В главе развиваются
положения работы [Панкрушин, Середович (2003)].
9.1. Роль геодезии в формировании научной картины мира
Как известно, основной научной задачей геодезии является определение
фигуры и внешнего гравитационного поля Земли и их изменений во времени
[Пеллинен (1978)]. Подтверждения большого мировоззренческого значения
решения этой задачи содержатся в высказываниях ученых не из области
геодезии.
В наследии великого натуралиста-мыслителя, последнего энциклопедиста
нашего века академика В.И. Вернадского есть очерки по истории современного
научного мировоззрения в форме двенадцати лекций [Вернадский (1988а)].
Седьмую лекцию «Открытие формы и размеров Земли. – Постепенное
проникновение научного взгляда...» В.И. Вернадский начинает следующими
словами: «Первым по времени, крупным основным фундаментом современного
научного мировоззрения является выяснение формы и размеров земного шара».
Интересна в этом отношении и предыдущая, шестая, лекция, посвященная,
казалось бы, совершенно другой теме: «Распространение книгопечатания ...
Значение этого открытия для роста и победы научного мировоззрения...».
Подчеркивая в конце этой лекции роль книгопечатания, В.И. Вернадский писал,
что этот фактор «... не дал исчезнуть появившимся к этому времени зачаткам
нового научного мировоззрения. Оно проявилось раньше всего в изменении
воззрений на форму, размеры и положение земного шара, а, следовательно, и
человека в мировом порядке». Приведенные слова из этих двух лекций В.И.
Вернадского было бы полезно, по нашему мнению, включать в предисловия
учебников по геодезии.
Первые вопросы темы девятой лекции В.И. Вернадского следующие:
«Магнитная стрелка. – Астролябия. – Состояние картографии к эпохе
открытий...». В этой лекции к важным вехам формирования научной картины
мира В.И. Вернадский относит выработку основных приемов ориентировки на
местности. Он пишет, по существу, об основных задачах геодезии: «... надо
было уметь точно определять направление, по которому находится искомое
место, расстояние... надо было уметь выражать взаимное расположение разных
точек земного шара... При этом имеем дело не с плоскостью, а с
распределением точек на шаровой поверхности... надо было находить широты и
долготы».
Десятая лекция В.И. Вернадского опять же затрагивает те аспекты
формирования научной картины мира, которые имеют отношение к астрономогеодезии. К теме этой лекции относятся вопросы, казалось бы, очень далекие от
научных исследований В.И. Вернадского в области естествознания: «Состояние
астрономии и математики к середине XV столетия... великие математики...». Он
обращает внимание на большую роль в создании фундамента науки ученогоматематика, астронома Региомонтана, который, наряду с теоретическими
исследованиями, начал одним из первых «экспериментальную, наблюдательную
работу». В.И. Вернадский писал: «Основы этого фундамента, всего
современного научного мышления – улучшение приборов, методов вычислений,
точная проверка теории, проверка вычислений и измерений природных
явлений, – заложил Региомонтан...». Очевидно, что все это имеет отношение
как к методологии науки геодезии, так и к геодезическому образованию.
В геодезическом аспекте представляет интерес и книга В.И. Вернадского
«Труды по истории науки в России» [Вернадский (1988б)], в которой четвертая
глава называется «Выяснение формы Азии и составление географической карты
России».
Заметим, что В.И. Вернадский уделял внимание и непосредственно
организации картографирования страны. В 1916 году он выступил на общем
собрании академии наук с докладом «Об организации топографической съемки
России». Этому моменту в деятельности В.И. Вернадского посвящена
интересная работа [Берлянт, Полевцев (1988)].
Увеличилась роль в формировании научной картины мира современной
геодезии, особенно таких ее разделов, как космическая геодезия и
аэрокосмические съемки. При формировании картины мира большое значение
имеют ключевые физические категории: пространство-время, поля переносчиков
взаимодействий, тела (частицы). Эти физические категории имеют самое
непосредственное отношение к геодезии и другим наукам о Земле. Таким
образом, в мировоззренческом отношении роль геодезии возрастает по мере
развития теории и методов динамической (четырехмерной) физической геодезии
[Панкрушин (2002)].
В 60-х годах XX века в геологии произошла научная революция – переход
мобилистской гипотезы дрейфа континентов А. Вегенера в новую теорию
тектоники литосферных плит [Хаин (1979)]. Возникли актуальные проблемы
ряда наук о Земле (геологии, геофизики, океанологии, географии,
геоморфологии, геодезии) – «Современные движения земной коры (СДЗК)» и
«Геодинамика»; таким образом, появились новые аспекты в построении общей
теории развития Земли.
В фундаментальной работе академика Ю.А. Косыгина «Человек. Земля.
Вселенная» [Косыгин (1995)], имеющей большое обобщающее теоретическое
и мировоззренческое значение, рассматриваются соотношения времени и
пространства, глубинные поверхностные и наружные геосферы, а также
техносфера, социосфера и ноосфера (по В.И. Вернадскому), связанные в
единую динамическую систему. Ю.А. Косыгин отмечает, что каждая из
перечисленных геосфер, а также множество других сфер (газосфера,
геогрависфера, геотермосфера, биосфера), которые могут быть выделены на
нашей планете, обладают гравитационной природой, сферической формой и
часто содержат элементы слоистости. Очевидно, что для изучения таких сфер
требуется геодезическая информация о фигуре Земли, внешнем
гравитационном поле, пространственно-временном положении этих сфер.
Представляет интерес оценка роли геодезии в решении указанной
проблемы представителями других наук о Земле. Так, в фундаментальном
труде «Океанология» [Сорохтин (1979)] в разделе «Методы решения
геодинамических задач и построение общей теории развития Земли»
известный ученый В.Е. Хаин пишет: «В настоящее время геологи располагают
значительным и разнообразным арсеналом методов для выяснения механизма
геодинамических процессов, которые относятся к различным наукам о Земле –
геодезии, геофизике, геохимии и собственно геологии. Геодезические или,
точнее, астрономо-геодезические методы являются основными при изучении
современных тектонических движений и деформаций».
Для формирования картины мира имеют большое значение такие новые
междисциплинарные, интеграционные науки, понятия и подходы, как
«самоорганизация», «синергетика», «фрактальность», «динамический хаос»,
«детерминированный хаос» природных и технических систем. Так как методы
геодезии могут быть использованы при исследовании сложных
самоорганизующихся геодинамических систем, роль геодезии возрастает еще
больше в синергетическом и фрактальном аспектах формирования картины
мира.
9.2. Роль геодезии в создании единой науки о Земле – геономии
Земля является объектом для целого ряда наук о Земле, у которых разные
предметы (аспекты) изучения Земли как планеты. В соответствии с работой
[Косыгин (1995)], «главными элементами предмета наук о Земле как системы
научных знаний являются отрасли – науки о каждом из основных классов
субординированных и координированных естественных объектов. Предмет
наук о Земле... содержит как знание о закономерностях природных объектов, так и
методы их изучения». Геодезия решением одной из основных своих задач –
определением пространственного положения компонент Земли (точек, тел,
контуров) – присутствует во всех науках о Земле и определенным образом
связывает их в общую систему.
С древнейших времен развиваются идеи о создании единой науки о Земле.
В работе [Круть (1975)] подробно излагаются «геономические представления
Аристотеля». В 1904 году Н.Я. Грот всеобщее (географическое) землеведение
назвал геономией [Косыгин (1995)]. Большой вклад в развитие одной из
компонент геономии «Общей теории Земли» внес И.В. Круть [Круть (1975),
Круть (1995)]. В соответствии с современной методологией научных
исследований сложных систем другими взаимосвязанными компонентами
(методами) геономии, наряду с теорией, очевидно, следует считать
математическое моделирование и экспериментирование. Все три метода
научных исследований (теоретический, моделирование и экспериментальный)
используются при выполнении компьютерного эксперимента, состоящего, в
свою
очередь,
из
блоков
вычислительного,
имитационного
и
идентификационного экспериментов.
В.И. Вернадский (1988в) одним из первых обратил внимание на
необходимость создания основы наук о Земле в целом. Развивая идеи В.И.
Вернадского, И.В. Круть пишет: «В условиях усложняющегося взаимодействия
природы и общества... центральное положение в современном естествознании
должны занять науки о Земле, причем не в виде нынешнего конгломерата
дисциплин, а в интегральном синтезе – в образе единой науки о Земле,
объединяющей географию, геологию, геохимию, планетологию, экологию и
др.» [Круть (1975)]. Геономия, понимаемая как комплексная наука о Земле и ее
компонентах, охватывает все отрасли знания о нашей планете, являясь в то же
время не их суммой, а обобщенной, единой системой. «Подсистемами наук о
Земле
являются
частные
геолого-географические,
геофизические,
геодезические и экологические теории, т. е. теории отдельных совокупностей
естественных тел, их отношений и свойств. Различные аспекты геономических
исследований в той или иной мере сочетаются друг с другом и практически не
выступают в чистом виде» [Круть (1975)].
9.3. Роль геодезии в приоритетных направлениях развития науки и
техники и в разработке критических технологий
Роль геодезии в фундаментальных исследованиях в определенной степени
следует из содержания предыдущих разделов. Известна главная роль геодезии
в решении задачи наук о Земле – определении фигуры и внешнего
гравитационного поля Земли. Эта задача относится к основной обратной
(граничной) задаче физической геодезии.
Как уже отмечалось, геодезии принадлежит большая роль в решении такой
актуальной проблемы комплекса наук о Земле, как «Геодинамика».
Геодезические методы используются при исследовании напряженного
состояния земной коры [Хаин (1979)], при решении проблемы «Нефть и газ»,
проблемы «Геоинформатика».
Участие геодезии при решении целого ряда проблем фундаментальных наук
не ограничивается только представлением количественных результатов
наблюдений в пространстве и времени. Теория и методы динамической
(четырехмерной) физической геодезии позволяют выполнить математическое
моделирование и идентификацию геодинамических систем «Физическая
поверхность и гравитационное поле Земли» по результатам пространственно-
временных рядов разнородных комплексных наземных и спутниковых
геодезических и геофизических наблюдений [Панкрушин (2002)].
В настоящее время к приоритетным фундаментальным исследованиям
относятся темы: «Геология окружающей среды (экологическая геология).
Ресурсы, динамика и охрана подземных вод. Ресурсы пресных подземных
вод». В связи с этим обратим внимание на следующее. Изучение в аспекте
проблемы геодинамики изменений геоида [Мернер (1986а), Мернер (1986б)]
представляет интерес и в аспекте вышеназванных тем. «Понижение геоида под
континентами означает понижение зеркала грунтовых вод и, следовательно,
вызывает засуху и другие локальные изменения среды» [Мернер (1986б)].
В упоминавшейся выше работе А.Ю. Ретеюма [Ретеюм (1988)] не только
выполнены разработки по общей теории геосистем, но и рассматриваются
изменения окружающей среды, вызванные технологическими процессами, то
есть техногенными или антропогенными факторами. К таким изменениям А.Ю.
Ретеюм относит, в частности, деформации и смещения пород при подземной
добыче угля. Подобные смещения и деформации, обусловленные выработкой
полезных ископаемых (угля, нефти, газа и т. п.), наблюдаются в пространстве и
времени методами геодезии и геофизики. По результатам интерпретации этих
наблюдений принимаются решения по управлению динамическим объектом и
разрабатываются меры по предотвращению катастрофических процессов.
В аспекте приоритетных исследований по «Геоинформатике», используя
теорию и методы динамической (четырехмерной) физической геодезии,
разрабатываются как пространственные геоинформационные системы (ГИС),
так и пространственно-временные или динамические геоинформационные
системы (ДГИС) [Панкрушин, Нгуен Данг Ви, Гиниятов и др.(1997)],
подклассом которых можно считать динамические информационные системы
кадастра [Панкрушин (1997)]. Продуктом ДГИС являются не только
пространственно-временные параметры координированных естественных
объектов, но и модели закономерностей движений или состояний этих объектов.
Указанные ДГИС, обеспеченные разработанными в пространственновременном аспекте геоинформационными технологиями, становятся методом
мониторинга окружающей среды, в частности, экологической геологии,
ресурсов полезных ископаемых, динамики подземных вод, земельных ресурсов
и др.
В подобном же аспекте ДГИС и динамические геоинформационные
технологии могут быть использованы при разработке критических технологий
федерального
уровня
по
разделу
«Экология
и
рациональное
природопользование» по темам: «Технология мониторинга природнотехногенной сферы», «Технологии прогнозирования развития кинематических,
экосистемных, горно-геологических и ресурсных изменений», «Снижение риска
и уменьшение последствий природных и техногенных катастроф».
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
0.6263
0.1736
- 0.4805
- 0.0347
- 0.3132
- 0.1736
0.1673
0.0347
0.1736
0.4577
0.0347
-0.0688
-0.1736
-0.2288
-0.0347
-0.1601
-0.4805
0.0347
0.6263
-0.1736
0.1673
-0.0347
-0.3132
0.1736
-0.0347
-0.0688
-0.1736
0.4577
0.0347
-0.1601
0.1736
-0.2288
-0.3132
-0.1736
0.1673
0.0347
0.6263
0.1736
-0.4805
-0.0347
-0.1736
-0.2288
-0.0347
-0.1601
0.1736
0.4577
0.0347
-0.0688
0.1673
-0.0347
-0.3132
0.1736
-0.4805
0.0347
0.6263
-0.1736
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ ТРЕУГОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
0.9343 0.3629 - 0.7975 - 0.1954 - 0.1368 - 0.1675
0.3629 0.6699 - 0.1675 - 0.2791 - 0.1954 - 0.3908
- 0.7975 - 0.1675 0.7975
0
0
0.1675
- 0.1954 - 0.2791
0
0.2791
0.1954
0
- 0.1368 - 0.1954
0
0.1954 0.1368
0
- 0.1675 - 0.3908
0.1675
0
0
0.3908
0.0347
-0.1601
0.1736
-0.2288
-0.0347
-0.0688
-0.1736
0.4577
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица 1. Общая матрица жесткости (столбцы с 1 по 14)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1
0.626
-0.174
-0.480
0.035
0.167
-0.035
-0.313
0.174
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
2
-0.174
0.458
-0.035
-0.069
0.035
-0.160
0.174
-0.229
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
3
-0.480
-0.035
0.763
0.174
-0.313
-0.174
0.031
-0.161
0.000
0.195
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
4
0.035
-0.069
0.174
0.848
-0.174
-0.229
-0.202
-0.551
0.167
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
5
0.167
0.035
-0.313
-0.174
1.253
0.000
-0.961
0.000
0.000
0.000
0.167
-0.035
-0.313
0.174
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
6
-0.035
-0.160
-0.174
-0.229
0.000
0.915
0.000
-0.138
0.000
0.000
0.035
-0.160
0.174
-0.229
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
7
-0.313
0.174
0.031
-0.202
-0.961
0.000
2.813
0.189
-1.278
-0.161
-0.313
-0.174
0.335
0.000
-0.313
0.174
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
8
0.174
-0.229
-0.161
-0.551
0.000
-0.138
0.189
2.043
-0.202
-0.348
-0.174
-0.229
0.000
-0.320
0.174
-0.229
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
9
0.000
0.000
0.000
0.167
0.000
0.000
-1.278
-0.202
1.561
0.174
0.000
0.000
-0.313
-0.174
0.031
-0.161
0.000
0.195
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
10
0.000
0.000
0.195
0.000
0.000
0.000
-0.161
-0.348
0.174
1.128
0.000
0.000
-0.174
-0.229
-0.202
-0.551
0.167
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
11
0.000
0.000
0.000
0.000
0.167
0.035
-0.313
-0.174
0.000
0.000
0.626
0.174
-0.480
-0.035
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
12
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.035
-0.160
-0.174
-0.229
0.000
0.000
0.174
0.458
0.035
-0.069
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
13
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.313
0.174
0.335
0.000
-0.313
-0.174
-0.480
0.035
1.253
0.000
-0.480
-0.035
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
14
0.000
0.000
0.000
0.000
0.174
-0.229
0.000
-0.320
-0.174
-0.229
-0.035
-0.069
0.000
0.915
0.035
-0.069
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Таблица 2. Общая матрица жесткости (столбцы с 15 по 28)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
15
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.313
0.174
0.031
-0.202
0.000
0.000
-0.480
0.035
2.187
0.016
-1.278
-0.161
0.000
0.000
0.000
0.000
0.167
-0.035
-0.313
0.174
0.000
0.000
16
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.174
-0.229
-0.161
-0.551
0.000
0.000
-0.035
-0.069
0.016
1.585
-0.202
-0.348
0.000
0.000
0.000
0.000
0.035
-0.160
0.174
-0.229
0.000
0.000
17
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.167
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.278
-0.202
1.561
0.174
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.313
-0.174
0.031
-0.161
0.000
0.195
18
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.195
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.161
-0.348
0.174
1.128
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.174
-0.229
-0.202
-0.551
0.167
0.000
19
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.626
-0.174
-0.480
0.035
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
20
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.174
0.458
-0.035
-0.069
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
21
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.480
-0.035
1.253
0.000
-0.480
0.035
0.000
0.000
0.000
0.000
22
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.035
-0.069
0.000
0.915
-0.035
-0.069
0.000
0.000
0.000
0.000
23
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.167
0.035
-0.313
-0.174
0.000
0.000
-0.480
-0.035
1.879
0.174
-0.961
0.000
0.000
0.000
24
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.035
-0.160
-0.174
-0.229
0.000
0.000
0.035
-0.069
0.174
1.373
0.000
-0.138
0.000
0.000
25
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.313
0.174
0.031
-0.202
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.961
0.000
2.813
0.536
-1.278
-0.230
26
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.174
-0.229
-0.161
-0.551
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.138
0.536
2.043
-0.133
-0.348
27
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.167
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-1.278
-0.133
1.561
-0.174
28
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.195
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.230
-0.348
-0.174
1.128
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица. Координаты пунктов и их теоретические смещения, рассчитанные по
методу конечных элементов
Координаты пунктов (м)
№ пункта
x
Смещения теоретические (мм)
y
ux
uy
1
0
32
15.3768
25.3464
2
5.6
32
9.6192
25.4157
3
0
24
15.2825
17.1823
4
5.6
24
9.6480
17.0741
5
11.2
24
3.6363
17.0219
6
0
16
14.9547
9.9143
7
5.6
16
9.5336
8.7798
8
11.2
16
3.3218
7.6226
9
16.8
16
-1.6880
6.8993
10
0
8
1.8319
4.3258
11
5.6
8
0.0998
2.3200
12
11.2
8
0.8456
1.6513
13
16.8
8
-0.6283
1.7218
14
22.4
8
-0.8152
1.4471
15
0
0
0
0
16
5.6
0
0
0
17
11.2
0
0
0
18
16.8
0
0
0
19
22.4
0
0
0
20
28
0
0
0
Примечание: пункты 15 – 20 считаются жестко закрепленными.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица. Смоделированные измерения (длины линий Sij в метрах между
пунктами i и j)
Смоделированные измерения 1-й эпохи
Sij
№ изм.
i–j
1
15 – 10
7.99996
2
15 – 6
16.00016
3
15 – 3
23.99980
4
15 – 1
31.99981
5
16 – 11
7.99934
6
16 – 7
16.00008
7
16 – 4
24.00022
8
16 – 2
32.00019
9
17 – 12
8.00076
10
17 – 8
16.00010
11
17 – 5
24.00030
12
18 – 13
7.99954
13
18 – 9
16.00004
14
19 – 14
7.99982
15
20 – 14
9.76487
16
20 – 9
19.53044
17
20 – 5
29.29630
18
20 – 2
39.06083
19
16 – 10
9.76558
20
17 – 11
9.76535
21
17 – 6
19.53015
22
18 – 12
9.76491
23
18 – 7
19.53067
24
18 – 3
29.29497
25
19 – 13
9.76517
26
19 – 8
19.53010
27
19 – 4
29.29627
28
19 – 1
39.06127
10 – 11
5.60060
29
10
–
12
11.20043
30
10 – 13
16.80105
31
10 – 14
22.40035
32
6–7
5.59993
33
6–8
11.19942
34
6–9
16.79942
35
3–4
5.59884
36
3–5
11.19896
37
1–2
5.60079
38
Смоделированные измерения 2-й эпохи
Sij
№ изм.
i–j
1
15 – 10
8.00185
2
15 – 6
16.01521
3
15 – 3
24.01557
4
15 – 1
32.01599
5
16 – 11
7.99971
6
16 – 7
16.01005
7
16 – 4
24.00974
8
16 – 2
32.00925
9
17 – 12
8.00166
10
17 – 8
16.00337
11
17 – 5
24.00377
12
18 – 13
7.99966
13
18 – 9
15.99826
14
19 – 14
7.99973
15
20 – 14
9.76385
16
20 – 9
19.52477
17
20 – 5
29.28822
18
20 – 2
39.05351
19
16 – 10
9.76338
20
17 – 11
9.76344
21
17 – 6
19.53717
22
18 – 12
9.76479
23
18 – 7
19.53353
24
18 – 3
29.29865
25
19 – 13
9.76377
26
19 – 8
19.52727
27
19 – 4
29.29352
28
19 – 1
39.05824
10 – 11
5.59797
29
10
–
12
11.19736
30
10 – 13
16.79738
31
10 – 14
22.39729
32
6–7
5.59876
33
6–8
11.19819
34
6–9
16.79695
35
3–4
5.60053
36
3–5
11.19957
37
1–2
5.59931
38
Примечание: полужирным шрифтом выделены номера измерений,
выбранных как избыточные при последующей математической обработке.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Таблица. Координаты мобильных пунктов, вычисленные по 28 необходимым
измерениям 1-й эпохи (в метрах)
№ пункта
x
y
1
-0.00079
31.99981
2
5.60053
32.00019
3
0.00105
23.99980
4
5.59939
24.00022
5
11.19943
24.00030
6
0.00082
16.00016
7
5.59981
16.00008
8
11.20082
16.00010
9
16.80013
16.00004
10
-0.00065
7.99996
11
5.59888
7.99934
12
11.20168
8.00076
13
16.79947
7.99954
14
22.40040
7.99982
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Таблица. Ковариационная матрица начальной оценки вектора координат пунктов, полученных по 28 необходимым
измерениям 1-й эпохи
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.25
Примечание: недиагональные элементы близки к нулю, так как измеренные длины линий в нашем примере
параллельны осям координат x и y (частный случай).
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Таблица. Координаты мобильных пунктов, вычисленные после обработки всех
38 измерений 1-й эпохи (в метрах)
№ пункта
x
y
1
-0.00061
31.99981
2
5.60036
32.00019
3
0.00078
23.99980
4
5.59950
24.00022
5
11.19959
24.00030
6
0.00073
16.00016
7
5.60023
16.00008
8
11.20048
16.00010
9
16.80014
16.00004
10
-0.00055
7.99996
11
5.59947
7.99934
12
11.20078
8.00076
13
16.79998
7.99954
14
22.40010
7.99982
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
Таблица. Ковариационная матрица оценки вектора координат пунктов, вычисленная после обработки всех 38 измерений
1-й эпохи
0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.33 0 0.17 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.17 0 0.33 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0 0.12 0 0.12 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.12 0 0.31 0 0.06 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.12 0 0.06 0 0.31 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.20 0 0.10 0 0.10 0 0.10 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.10 0 0.30 0 0.05 0 0.05 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.10 0 0.05 0 0.30 0 0.05 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.10 0 0.05 0 0.05 0 0.30 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.17 0 0.08 0 0.08 0 0.08 0 0.08
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.08 0 0.29 0 0.04 0 0.04 0 0.04
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.08 0 0.04 0 0.29 0 0.04 0 0.04
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.08 0 0.04 0 0.04 0 0.29 0 0.04
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.25 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0.08 0 0.04 0 0.04 0 0.04 0 0.29
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
Таблица. Значения оценок координат, смещений и их среднеквадратических ошибок по результатам обработки 2 эпох
наблюдений
№ пункта
x(м)
mx (мм)
y (м)
my (мм)
ux (мм)
mux (мм)
uy (мм)
m u y (мм)
1
0.02741
0.82
32.01598
0.78
28.11
0.72
16.07
0.59
2
5.62645
0.82
32.00924
0.78
26.01
0.72
9.17
0.59
3
0.01755
0.69
24.01556
0.78
16.61
0.63
12.62
0.59
4
5.61803
0.75
24.00973
0.78
18.42
0.71
11.22
0.59
5
11.21783
0.75
24.00377
0.78
18.51
0.71
4.91
0.59
6
0.01055
0.60
16.01521
0.78
9.63
0.57
9.63
0.59
7
5.60930
0.70
16.01005
0.78
8.97
0.71
11.76
0.59
8
11.20961
0.70
16.00337
0.78
9.47
0.71
4.96
0.59
9
16.80760
0.70
15.99826
0.78
7.41
0.71
0.15
0.59
10
0.00542
0.54
8.00185
0.78
6.16
0.52
3.02
0.59
11
5.60298
0.67
7.99971
0.78
3.41
0.71
0.64
0.59
12
11.20285
0.67
8.00166
0.78
2.20
0.71
-0.07
0.59
13
16.80237
0.67
7.99966
0.78
2.27
0.71
-0.29
0.59
14
22.40230
0.67
7.99973
0.78
2.10
0.71
-0.12
0.59
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
Таблица 1. Ковариационная матрица K Xˆ (t 2) оценки вектора координат пунктов, вычисленная после обработки
измерений 1-й и 2-й эпох
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.68
0.00
0.53
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.53
0.00
0.68
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.47
0.00
0.37
0.00
0.37
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.37
0.00
0.56
0.00
0.28
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.37
0.00
0.28
0.00
0.56
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.36
0.00
0.28
0.00
0.28
0.00
0.28
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.28
0.00
0.49
0.00
0.22
0.00
0.22
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.28
0.00
0.22
0.00
0.49
0.00
0.22
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.28
0.00
0.22
0.00
0.22
0.00
0.49
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.29
0.00
0.23
0.00
0.23
0.00
0.23
0.00
0.23
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.23
0.00
0.45
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.23
0.00
0.18
0.00
0.45
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.23
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.45
0.00
0.18
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.60
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.23
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.18
0.00
0.45
Таблица 2. Ковариационная матрица KUˆ (t 2) оценки вектора смещений пунктов, вычисленная после обработки
измерений 1-й и 2-й эпох
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.51
0.00
0.19
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.19
0.00
0.51
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.40
0.00
0.15
0.00
0.15
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.15
0.00
0.51
0.00
0.04
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.15
0.00
0.04
0.00
0.51
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.32
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.50
0.00
0.04
0.00
0.04
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.04
0.00
0.50
0.00
0.04
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.04
0.00
0.04
0.00
0.50
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.27
0.00
0.11
0.00
0.11
0.00
0.11
0.00
0.11
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
0.00
0.50
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
0.00
0.03
0.00
0.50
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.50
0.00
0.03
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.11
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.03
0.00
0.50
Таблица 3. Подблок K XˆUˆ (t 2) ковариационной матрицы K Xˆ R (t 2) оценки вектора координат пунктов и их смещений,
вычисленной после обработки измерений 1-й и 2-й эпох
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.40
0.00
0.31
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.31
0.00
0.40
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.28
0.00
0.21
0.00
0.21
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.21
0.00
0.33
0.00
0.17
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.21
0.00
0.17
0.00
0.33
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.21
0.00
0.16
0.00
0.16
0.00
0.16
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.16
0.00
0.29
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.16
0.00
0.13
0.00
0.29
0.00
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.16
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.29
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.17
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.13
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.26
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.10
0.00
0.26
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.26
0.00
0.10
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.13
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.10
0.00
0.26
ПРИЛОЖЕНИЕ 11
Таблица. Номера треугольных конечных элементов и соответствующие им
номера вершин
№ треугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
i
1
1
2
3
4
3
4
5
6
7
8
6
7
8
9
10
11
12
13
10
11
12
13
14
j
4
3
4
7
8
6
7
8
11
12
13
10
11
12
13
16
17
18
19
15
16
17
18
19
k
2
4
5
4
5
7
8
9
7
8
9
11
12
13
14
11
12
13
14
16
17
18
19
20
ПРИЛОЖЕНИЕ 12
Таблица. Компоненты симметричного тензора чистой деформации T ,
вычисленные для каждого треугольного конечного элемента
№ треугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
xx
e11
-3.764E-04
3.237E-04
1.686E-05
3.237E-04
1.686E-05
-1.179E-04
8.942E-05
-3.669E-04
-1.179E-04
8.942E-05
-3.669E-04
-4.909E-04
-2.168E-04
1.224E-05
-2.973E-05
-4.909E-04
-2.168E-04
1.224E-05
-2.973E-05
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
0.000E+00
yy
e22
-5.733E-05
5.137E-05
-5.733E-05
-5.711E-05
2.496E-05
8.861E-05
-5.711E-05
2.496E-05
1.199E-03
2.967E-04
-2.380E-04
1.645E-03
1.199E-03
2.967E-04
-2.380E-04
4.621E-05
1.117E-04
1.511E-05
-1.136E-05
2.362E-04
4.621E-05
1.117E-04
1.511E-05
-1.136E-05
e12
xy
-1.616E-04
1.611E-04
-6.495E-05
3.248E-05
2.608E-05
-1.800E-05
-7.141E-06
1.143E-04
-1.070E-04
-1.435E-04
-1.293E-04
8.091E-05
3.940E-04
3.853E-04
3.027E-04
7.762E-05
1.842E-04
7.269E-05
1.124E-04
3.851E-04
2.133E-04
1.374E-04
1.417E-04
1.313E-04
e21
2
ПРИЛОЖЕНИЕ 13
Таблица. Компоненты вектора напряжений r , вычисленные для каждого
треугольного конечного элемента
№ треугольника
xx
yy
xy
1
-1.302E+07
-5.047E+06
-2.020E+06
2
1.122E+07
4.410E+06
2.013E+06
3
8.413E+04
-1.770E+06
-8.119E+05
4
1.031E+07
7.940E+05
4.059E+05
5
7.699E+05
9.726E+05
3.260E+05
6
-3.191E+06
1.971E+06
-2.250E+05
7
2.505E+06
-1.158E+06
-8.926E+04
8
-1.202E+07
-2.226E+06
1.429E+06
9
6.064E+06
3.899E+07
-1.337E+06
10
5.453E+06
1.063E+07
-1.794E+06
11
-1.421E+07
-1.099E+07
-1.617E+06
12
-2.656E+06
5.074E+07
1.011E+06
13
2.767E+06
3.817E+07
4.925E+06
14
2.880E+06
9.992E+06
4.816E+06
15
-2.975E+06
-8.182E+06
3.784E+06
16
-1.598E+07
-2.551E+06
9.703E+05
17
-6.294E+06
1.918E+06
2.303E+06
18
5.340E+05
6.058E+05
9.086E+05
19
-1.086E+06
-6.265E+05
1.405E+06
20
1.968E+06
7.872E+06
4.814E+06
21
3.851E+05
1.540E+06
2.666E+06
22
9.312E+05
3.725E+06
1.718E+06
23
1.260E+05
5.038E+05
1.771E+06
24
-9.469E+04
-3.788E+05
1.641E+06
ПРИЛОЖЕНИЕ 14
Точность оценивания параметров деформации и напряжения для конечных
элементов с номерами 1 и 14
1
2
1
3
4
5
6
7
8
9
14
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Рис. КЭ с номерами 1 и 14
Таблица. Точность оценивания параметров НДС
Параметр НДС
ГДС
КЭ № 1 (вершины 1, 2, 4)
Оценка
Точность
КЭ № 14 (вершины 8, 12, 13)
Оценка
Точность
xx
-3.764E-04
1.499E-04
1.224E-05
1.500E-04
yy
-5.733E-05
1.050E-04
2.967E-04
1.050E-04
xy
-1.616E-04
9.8011E-05
3.853E-04
9.762E-05
(Па)
-1.302E+07
6.0761E+06
2.880E+06
5.808E+06
yy (Па)
-5.047E+06
3.8078E+06
9.992E+06
3.782E+06
xy (Па)
-2.020E+06
1.2251E+06
4.816E+06
1.220E+06
xx
ПРИЛОЖЕНИЕ 15
Таблица. Значения координат станций GPS-сети, их смещений за 2 года и среднеквадратических ошибок смещений
Название станции
x(м)
ux(мм)
y(м)
uy(мм)
mu x (мм)
mu y (мм)
NVSK
595
-114
0.00
0.00
0.00
0.00
YAZU
122
273
-0.10
4.18
0.85
1.02
CHAG
64
245
3.14
2.76
0.97
1.08
UKOK
8
234
21.32
17.10
1.73
1.94
BALY
135
213
-0.96
4.22
1.07
1.24
KURA
84
207
-0.50
-0.96
0.89
1.03
ULAG
112
189
-0.08
1.20
1.76
2.08
ARTB
257
158
-7.38
-3.20
1.89
2.06
TUNZ
280
101
-9.82
2.50
1.99
2.07
CHIK
128
93
0.20
2.00
0.88
1.05
ELTS
419
83
-0.34
3.76
1.21
1.20
SEMI
169
44
-0.14
1.72
0.86
1.10
KAYT
73
33
-3.18
19.26
1.56
1.91
KAIT
73
31
-0.70
1.80
0.88
1.03
USTK
161
-16
0.44
-2.28
0.89
1.02
ANUI
319
-16
-8.40
-1.46
1.98
1.94
SOLO
246
-40
2.26
-0.26
1.78
1.74
KRUT
497
-249
-2.66
9.42
1.58
1.47
Примечание: прямоугольные координаты даны в условной системе координат.
ПРИЛОЖЕНИЕ 16
Таблица. Компоненты симметричного тензора чистой деформации T , вычисленные для каждого треугольного
конечного элемента ГДС Горный Алтай
№
треугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Станции – вершины треугольных
конечных элементов
KRUT
SOLO
ANUI
KRUT
ANUI
NVSK
NVSK
ANUI
ELTS
ANUI
TUNZ
ELTS
ANUI
SOLO
TUNZ
ELTS
TUNZ
ARTB
SOLO
USTK
SEMI
SOLO
SEMI
TUNZ
TUNZ
SEMI
ARTB
SEMI
CHIK
ARTB
CHIK
ULAG
ARTB
ULAG
BALY
ARTB
BALY
YAZU
ARTB
USTK
KAIT
SEMI
SEMI
KAYT
CHIK
CHIK
KAYT
KURA
CHIK
KURA
ULAG
ULAG
KURA
BALY
BALY
KURA
YAZU
KAYT
UKOK
KURA
KURA
UKOK
CHAG
KURA
CHAG
YAZU
xx
e11
-1.08E-07
-1.93E-09
3.73E-08
1.07E-08
-5.39E-08
7.61E-08
-1.21E-08
-7.32E-08
5.33E-09
-2.99E-08
-1.18E-08
9.10E-09
3.18E-09
-1.06E-08
3.05E-08
1.24E-08
-5.01E-10
-3.19E-08
1.19E-08
3.31E-08
-6.42E-08
5.26E-08
yy
e22
-6.89E-10
-1.54E-08
1.77E-08
1.42E-08
-2.50E-08
-4.50E-09
4.11E-08
-3.46E-09
4.85E-08
-3.05E-08
-3.35E-08
-2.76E-09
-6.77E-08
-9.65E-09
-1.67E-07
-1.99E-07
7.93E-08
9.78E-08
9.94E-08
-2.74E-07
-2.49E-07
-1.80E-08
e12
xy
-7.85E-08
-1.43E-08
3.93E-08
5.41E-08
-5.12E-08
-1.21E-08
3.94E-08
-1.46E-08
-8.52E-08
-3.19E-08
-3.35E-08
4.04E-08
-3.32E-08
3.74E-08
-5.30E-08
-2.82E-08
9.71E-09
1.44E-08
5.09E-09
-1.87E-07
-1.71E-07
2.64E-09
e21
2
ПРИЛОЖЕНИЕ 17
Таблица. Компоненты вектора напряжений
№ треугольника
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
, вычисленные для каждого треугольного конечного элемента ГДС
Горный Алтай
Станции – вершины треугольных
конечных элементов
KRUT
SOLO
ANUI
KRUT
ANUI
NVSK
NVSK
ANUI
ELTS
ANUI
TUNZ
ELTS
ANUI
SOLO
TUNZ
ELTS
TUNZ
ARTB
SOLO
USTK
SEMI
SOLO
SEMI
TUNZ
TUNZ
SEMI
ARTB
SEMI
CHIK
ARTB
CHIK
ULAG
ARTB
ULAG
BALY
ARTB
BALY
YAZU
ARTB
USTK
KAIT
SEMI
SEMI
KAYT
CHIK
CHIK
KAYT
KURA
CHIK
KURA
ULAG
ULAG
KURA
BALY
BALY
KURA
YAZU
KAYT
UKOK
KURA
KURA
UKOK
CHAG
KURA
CHAG
YAZU
xx
yy
xy
-7.80E+03
-5.07E+02
3.11E+03
1.11E+03
-4.48E+03
5.37E+03
1.13E+02
-5.36E+03
1.55E+03
-2.89E+03
-1.65E+03
5.89E+02
-1.40E+03
-9.96E+02
-1.81E+03
-3.89E+03
1.87E+03
4.93E+01
3.24E+03
-4.19E+03
-1.06E+04
3.35E+03
-2.65E+03
-1.15E+03
2.17E+03
1.28E+03
-3.10E+03
1.50E+03
2.67E+03
-2.01E+03
3.62E+03
-2.91E+03
-2.69E+03
1.93E+01
-4.80E+03
-9.50E+02
-1.13E+04
-1.40E+04
5.70E+03
6.27E+03
7.44E+03
-1.89E+04
-1.95E+04
-3.55E+01
-1.88E+03
-3.42E+02
9.42E+02
1.30E+03
-1.23E+03
-2.91E+02
9.45E+02
-3.49E+02
-2.04E+03
-7.66E+02
-8.05E+02
9.69E+02
-7.97E+02
8.98E+02
-1.27E+03
-6.76E+02
2.33E+02
3.46E+02
1.22E+02
-4.49E+03
-4.10E+03
6.33E+01
ПРИЛОЖЕНИЕ 18
3.0E-004
2.0E-004
1.0E-004
0.0E+000
-1.0E-004
-2.0E-004
-3.0E-004
-4.0E-004
-5.0E-004
-6.0E-004
-7.0E-004
1.0E-004
0.0E+000
-1.0E-004
-2.0E-004
-3.0E-004
-4.0E-004
Рис. 1. Поля деформаций ГДС (слева направо –
Па
6.0E-004
5.0E-004
4.0E-004
3.0E-004
2.0E-004
1.0E-004
0.0E+000
-1.0E-004
-2.0E-004
-3.0E-004
-4.0E-004
2.0E-004
Па
xx ,
yy ,
xy )
Па
1.5E+007
1.0E+007
5.0E+006
0.0E+000
-5.0E+006
-1.0E+007
-1.5E+007
-2.0E+007
-2.5E+007
4.5E+007
4.0E+007
3.5E+007
3.0E+007
2.5E+007
2.0E+007
1.5E+007
1.0E+007
5.0E+006
0.0E+000
-5.0E+006
-1.0E+007
-1.5E+007
Рис. 2. Поля напряжений ГДС (слева направо –
xx ,
8.0E+006
6.0E+006
4.0E+006
2.0E+006
0.0E+000
-2.0E+006
-4.0E+006
yy ,
xy )
ULAG
KURA
Рис. 3. Схема расположения станций Алтайской GPS-сети
(составлена авторами данной монографии). Черными
сплошными линиями показано разбиение ГДС на
треугольные конечные элементы
Рис. 4. Карта вертикальных движений ГДС Горный Алтай
1E-007
1E-007
8E-008
5E-008
6E-008
0
4E-008
-5E-008
2E-008
-1E-007
-5E-008
0
-1.5E-007
-1E-007
-2E-008
-2E-007
-4E-008
-2.5E-007
-6E-008
-3E-007
-8E-008
-3.5E-007
-1E-007
-4E-007
1E-007
5E-008
0
-1.5E-007
-2E-007
-2.5E-007
-3E-007
Рис. 5. Поля деформаций ГДС Горный Алтай (слева направо –
xx ,
yy ,
xy )
6000
120000
0
4000
100000
-20000
2000
80000
0
-40000
-2000
-60000
60000
40000
-4000
-80000
20000
-6000
-100000
-8000
-10000
0
-120000
Па
-20000
Па
Рис. 6. Поля напряжений ГДС Горный Алтай (слева направо –
Па
xx ,
yy ,
xy )
Рис. 7. Фронтиспис из библии Moralisee [Mandelbrot (1977)]
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агафонов Б.П., Ананьев Г.С., Белоусов В.М. и др. Время и возраст
рельефа. – Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма, 1994.
2. Айламазян А.К., Стась Е.В. Информатика и теория развития. – М.:
Наука, 1989.
3. Александров В.В., Горский Н.Д. Алгоритмы и программы структурного
метода обработки данных. – Л.: Наука, 1983. – С. 208.
4. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции
соровского профессора. – М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2001.
5. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.
– М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.
6. Артюшков Е.В. Геодинамика. – М.: Наука, 1979.
7. Аршинов В.И., Буданов В.Г. Когнитивные основания синергетики.
Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.:
Прогресс-Традиция, 2002. – С. 67 – 108.
8. Асада Т., Исибаси К., Матсуда Т. и др. Методы прогноза землетрясений.
Их применение в Японии / Под ред. Т. Асада. – М.: Недра, 1984.
9. Бакай А.С., Сигов Ю.С. Многоликая турбулентность. Новое в
синергетике. Загадки мира неравновесных структур. – М.: Наука, 1996.
10. Балакина Л.М., Введенская А.В., Голубева Н.В. и др. Поле упругих
напряжений Земли и механизм очагов землетрясений. – М.: Наука, 1972. – 192 с.
11. Баранов В.Н., Бойко Е.Г., Краснорылов И.И. Космическая геодезия. –
М.: Недра, 1986.
12. Бартини Р., Кузнецов П. Г. Множественность геометрий и
множественность физик. – Брянск, 1974.
13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного
исследования динамических систем на плоскости. – 2-е изд., доп. – М.: Наука,
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.
14. Берлянт А.М., Мусин О.Р., Собчук Т.В. Картографическая
генерализация и теория фракталов. – М.: МГУ, Ин-т геоэкологии РАН, 1998.
15. Берлянт А.М., Полевцев В.В. В.И. Вернадский и проблемы геодезии и
картографии // Геодезия и картография. – 1988. – № 5. – С. 49 – 53.
16. Блохинцев И.Д. Пространство и время в микромире. – М.: Наука, Глав.
ред. физ.-мат. лит. – 1971.
17. Боголепов К.В., Яншин А.Л. К современным представлениям об
образовании впадин байкальского типа // Геология и геофизика. – 1970. – № 5. –
С. 18 – 24.
18. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. – Ижевск:
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
19. Бойчук В.В., Марченко А.С. Фон и вариации элементов физикогеографической среды. – М.: Наука, 1968.
20. Большое трещинное Толбачинское извержение (1975 – 1976 гг.,
Камчатка). Отв. редактор С.А.Федотов. – М.: Наука, 1984.
21. Бондаренко Б.Ф. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их
фракталы, графы и приложения. – Ташкент: ФАН, 1990.
22. Бородзич Э.В., Галинский А.М., Яницкий И.Н. Перспективы развития
прогностических исследований // Прогноз землетрясений (Душанбе). – 1988. –
№ 10. – С. 268 – 285.
23. Бровар В.В. Гравитационное поле в задачах инженерной геодезии. – М.:
Недра, 1983.
24. Бровар В.В., Магницкий В.А., Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. –
М.: Геодезиздат, 1961.
25. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами
применения. – М.: Конкорд, 1992.
26. Бывшев В.А., Буй Куанг Чунг. К методике линеаризации геодезических
функционалов // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1986. – № 4. – С. 25 –
33.
27. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий А.С., Пискунов В.Г., Толокнов
Ю.Н. Метод конечных элементов / Под ред. П.М. Варвака. – Киев: Вища школа,
Головное издательство, 1981. – 176 с.
28. Васильев Е.А. Обработка и интерпретация геодезических наблюдений с
использованием моделей теории упругости. Математическая обработка и
интерпретация многомерных временных рядов геодезических наблюдений //
Межвуз. сб. – Новосибирск: НИИГАиК, 1989. – С. 50 – 57.
29. Васильев Е.А, Панкрушин В.К. Обзор и анализ методологических
положений способов определения и прогнозирования движений и деформаций
по геодезическим наблюдениям // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. –
1987. – № 6. – С. 45 – 53.
30. Васильев Е.А. Рекуррентный алгоритм уравнивания в задаче анализа
устойчивости геодезической основы. Геодезия и фотограмметрия в горном деле
// Межвуз. науч. темат. сб. – Свердловск: СГИ, 1985. – С. 3 – 8.
31. Васильев Е.А., Васильева Л.А. Рекуррентные алгоритмы фильтрации в
задаче уравнивания геодезических измерений. Вопросы атомной науки и
техники. Сер. «Проектирование и строительство». – НИИатоминформ, 1982,
вып. 2(12). – С. 63 – 68.
32. Васильев Е.А., Гиниятов И.А., Панкрушин В.К. Декомпозиция задач
большой размерности обработки и интерпретации многомерных временных
рядов геодезических наблюдений за движениями и деформациями. –
Системные исследования в геодезии // Межвуз. сб. – Новосибирск: НИИГАиК,
1984. – С. 24 – 35.
33. Васильев Е.А., Панкрушин В.К. Настройка динамической модели
симплексным методом при прогнозировании движений по геодезическим
наблюдениям адаптивным фильтром Калмана – Бьюси // Изв. вузов. Геодезия и
аэрофотосъемка. – 1986. – № 1. – С. 5 – 13.
34. Васильев Е.А., Панкрушин В.К. Исследование и сравнительный анализ
методов определения и прогнозирования параметров движений и деформаций
по геодезическим наблюдениям // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. –
1988. – № 1. – С. 3 – 11.
35. Васютинский Н. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.
36. Вернадский В.И. Труды по всеобщей истории науки. – 2-е изд. - М.:
Наука, 1988а.
37. Вернадский В.И. Труды по истории науки в России. – М.: Наука, 1988б.
38. Вернадский В.И. Философские мысли натуралиста. – М.: Наука, 1988в.
39. Вигнер Е. Этюды о симметрии. – М.: Мир, 1971.
40. Виллемс Я.К. От временного ряда к линейной системе. Теория систем.
Математические методы и моделирование // Сб. статей. – М.: Мир, 1989. – С. 8
– 191.
41. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. –
М.: Физ.-мат. литература, 2000.
42. Владимиров Ю.С., Мицкевич Н.В., Хорски Я. Пространство, время,
гравитация. – М.: Наука, 1984.
43. Владимиров Ю.С. Фундаментальная физика, философия и религия. –
Кострома: Изд-во МИИЦАОСТ, 1996.
44. Влох Н.П., Сашурин А.Д. Измерение напряжений в массивах крепких
горных пород. – М.: Недра, 1970.
45. Войтенков И.Н. Методы и средства дифференциального оценивания и
идентификации моделей. – Киев: Наукова думка, 1989.
46. Воронин Ю.А.,Черемисина Е.Н. О теории распознавания. Труды
международной конференции «Математические методы в геофизике». Ч. II. –
Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. – С. 635 – 640.
47. Гамбурцев А.Г. Нелинейные эффекты в современной геодинамике.
Нелинейная геодинамика. – М.: Наука, 1994. – С. 136 – 144.
48. Гандин Л.С. Объективный анализ метеорологических полей. – Л.:
Гидрометеоиздат, 1963.
49. Геодинамика и напряженное состояние недр Земли. Труды
международной конференции. – Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения
РАН, 1999. – 511 с.
50. Геодинамика и напряженное состояние недр Земли. Труды
международной конференции. – Новосибирск: Изд-во: Институт горного дела
СО РАН, 2001. – 425 с.
51. Глейк Дж. Хаос: Создание новой науки / Пер. с англ. М. Нахмансона, Е.
Барашковой. – СПб.: Амфора, 2001. – 398 с.
52. Годунов С.К., Михайлова Т.Ю. Представления группы вращений и
сферические функции. – Новосибирск: Научная книга, 1998.
53. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и
законы сохранения. – Новосибирск: Научная книга, 1998.
54. Гравиразведка: Справочник геофизика / Под ред. Е.А. Мудрецовой, К.Е.
Веселова. – М.: Недра, 1990.
55. Гренандер У. Лекции по теории образов. Т. 1. Синтез образов. – М.:
Мир, 1979.
56. Гренандер У. Лекции по теории образов. Т. 2. Анализ образов. – М.:
Мир, 1981.
57. Гренандер У. Лекции по теории образов. Т. 3. Регулярные структуры. –
М.: Мир, 1983.
58. Гуляев А.И. Временные ряды в динамических базах данных. – М.: Радио
и связь, 1989. – 128 с.
59. Данилов В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах
потенциала гравитационной разведки и теории фигуры Земли. – М.: Наука,
1996.
60. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное
введение. М.: Постмаркет, 2001.
61. Демидов С.П. Теория упругости. – М.: Высш. шк., 1979.
62. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории
управления (для инженеров). – М.: Наука, 1970.
63. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и
принятие решений. – М.: Мир, 1969.
64. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин А.А. Глубинная
геодинамика, 2-е изд., дополненное и переработанное. – Новосибирск: Изд-во
СО РАН, филиал «Гео», 2001.
65. Дэвис М.Х.Ф. Линейное оценивание и стохастическое управление. –
М.: Наука, 1984.
66. Дюран Б., Одел П. Кластерный анализ. – М.: Статистика, 1977.
67. Егоров Д.Г. Информационные меры для анализа геологических
самоорганизующихся систем / Отв. ред. Горяинов П.М.; Рос. ак. наук. Кол. науч.
центр. Геол. ин-т. – СПб.: Наука, 1997. – 64 с.
68. Есиков Н.П., Панкрушин В.К. Современные горизонтальные движения
Западного Прибайкалья и некоторые вопросы их изучения // Проблемы
четвертичной геологии Сибири. К 8 Конгрессу INQUA. Париж, 1969 г. – Наука,
1969. – С. 112 – 121.
69. Есиков Н.П. Тектонофизические аспекты анализа современных
движений земной поверхности. – Новосибирск: Наука, 1979.
70. Ефимов
А.Б.,
Демин
С.С.
Исследование
напряженнодеформированного состояния вблизи магматического очага // Вулканология и
сейсмология. – 1979. – № 1. – С. 16 – 27.
71. Жуковский Е.Л. Статистическая регуляризация обратных некорректно
поставленных задач обработки и интерпретации результатов эксперимента //
Методы
математического
моделирования,
автоматизации
обработки
наблюдений и их применение. – М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. – С. 47-72.
72. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного
анализа. – Новосибирск: Наука, 1986.
73. Исмаил-Заде А.Т. Гравитационная неустойчивость и распространение
тектонических волн в двухслойной модели верхней мантии Земли // Современные
методы интерпретации сейсмологических данных. Вычислительная сейсмология,
вып. 24. – М.: Наука, 1991. – С. 218 – 226.
74. Исследование
сложных
самоорганизующихся
объектов
и
информационных систем геодезии. Состояние вопроса задач геодезии с позиции
концепции и методологии самоорганизации (синергетики) сложных систем //
Отчет по НИР (промежуточный). Руководитель Середович В.А. ответственный
исполнитель Панкрушин В.К. № ГР 012001.15981. – Новосибирск, 2001.
75. Исследование
сложных
самоорганизующихся
объектов
и
информационных систем геодезии. Разработка методов математического
моделирования сложных самоорганизующихся систем с природными
компонентами, наблюдаемых во времени геодезическими методами // Отчет по
НИР (промежуточный). Руководитель Середович В.А. № ГР 012001.15981. –
Новосибирск, 2002.
76. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.
– М.: Мир, 1971.
77. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа.М.: Наука,
Глав. ред. физ.-мат. лит., 1973.
78. Каратаев Г.И., Панкрушин В.К., Щеглов В.И. Вопросы теории
временных возмущений гравитационного и магнитного полей и движений
земной поверхности в связи с современными тектонофизическими процессами
в Земле // Региональные геофизические исследования в Сибири. – Новосибирск:
Наука, Сибирское отделение, 1967. – С. 194 – 215.
79. Кафтан В.И., Серебрякова Л.Н. Современные движения земной коры //
Геодезия и аэросъемка. Т. 28 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). –
М.: 1990.
80. Кац Я.Г., Полетаев А.И., Румянцева Э.Ф. Основы линеаментной
тектоники. – М.: Недра, 1986.
81. Кейлис-Борок В.И. Динамика литосферы и прогнозирование
сейсмической опасности // Комплексные исследования по физике Земли. – М.:
Наука, 1989. – С. 9 – 26.
82. Классификатор
топографической
информации
(Информация,
отображаемая на картах и планах масштабов 1 : 500, 1 : 1 000, 1 : 2 000, 1 : 5
000, 1 : 10 000). – М.: ГУГК СССР, 1986.
83. Клиланд Д., Кинг В. Системный анализ и целевое управление. – М.:
Советское радио, 1974.
84. Кобельков Г.М., Носков Ю.В., Поспелов В.В. К теории ортогональных
многочленов, Sib. J. Num. Anal. – 1994.
85. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой
вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР, Т. 30. –
1941а. – № 4. – С. 299 – 304.
86. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально изотропной
турбулентности // ДАН СССР. Т. 32. – 1941б. – № 1. – С. 19 – 22.
87. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и
инженеров. – М.: Наука, 1984. – 831 с.
88. Коробко В.И., Очинский В.В. Циклические процессы развития
природных систем и золотая пропорция/ Циклы природы и общества. –
Ставрополь, вып. 3 – 4, 1957.
89. Костюк В.Н. Системное пространство-время // Системные
исследования. Методологические проблемы: Ежегодник 1989 – 1990. – М.:
Наука, 1991. – С. 238 – 250.
90. Косыгин Ю.А. Человек. Земля. Вселенная. – М.: Наука, 1995 (Серия
«Наука. Мировоззрение. Жизнь»).
91. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы
теории: Учеб. пособие по спец. 01.02 «Прикладная математика» / Пер. с англ.
Кренкеля Г.Э. и др. – М.: Постмаркет, 2000. – 350 с.
92. Круть И.В. Введение в общую теорию Земли. Уровни организации
геосистем. Послесловие Б.С. Соколова и С.В. Мейена. – М.: Мысль, 1975.
93. Круть И.В. Развитие общенаучных оснований геологии: Историкотеоретические очерки. – М.: Наука, 1995.
94. Кузнецов Ю.И. Элементы анализа на конечном множестве точек. –
Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1994.
95. Кузнецов Ю.И. Дополнение якобиевой матрицы. – СибЖВМ, Т. 2, №
2, 1999. – С. 161 – 170.
96. Кузнецов Ю.И. Гамильтонова форма якобиевых матриц. – СибЖВМ, Т.
3, № 2, 2000а. – С. 159 – 164.
97. Кузнецов Ю.И. Матрично-многочленная структура в Rn. – Труды
международной конф. «Выч. матем. и мат. модел.», Т. 1, ИВМ РАН. – М.: 2000б.
– С. 67 – 78.
98. Кузнецов Ю.И. Матрично-многочленная структура в конечномерном
линейном векторном пространстве. – Сиб. Мат. Журнал, Т. 42, № 4, 2001. – С.
815 – 824.
99. Кузнецов Ю.И. Связь матриц и многочленов. – Тезисы доклада на
международной алгебраической конференции памяти Д.К. Фаддеева, СПб,
Россия, 1997, с. 76 – 79.
100. Кузнецов Ю.И. Естествознание и математика: Учеб. пособие. –
Новосибирск: 2002.
101. Кузнецов Ю.И., Панкрушин В.К. Связь между пространственным и
временным масштабами в аспекте системной относительности фрактального
подхода к математическому моделированию геодинамических систем.
Современные проблемы геодезии и оптики: Сб. материалов LIII
международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА. 11-21 марта
2003 г. Ч. I / СГГА. – Новосибирск, 2003а. – С. 51 – 56.
102. Кузнецов Ю.И., Панкрушин В.К. Инвариантность масштабов
пространства
и
времени.
Труды
Международной
конференции
«Математические методы в геофизике». Ч. I. – Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО
РАН, 2003б. – С. 21 – 26.
103. Кукал З. Скорость геологических процессов. – М.: Мири, 1987.
104. Кулаков Ю.И. Элементы теории физических структур (Дополнение
Г.Г. Михайличенко). – Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1968.
105. Кулаков Ю.А., Владимиров Ю.С., Карнаухов А.В. Введение в
теорию физических структур и бинарную геометрофизику. – М.: Изд-во
«Архимед», 1991.
106. Курленя М.В., Опарин В.Н. Скважинные геофизические методы
диагностики и контроля напряженно-деформированного состояния массивов
горных пород. – Новосибирск: Наука, 1999а.
107. Курленя М.В., Опарин В.Н. Современные проблемы нелинейной
геомеханики. Геодинамика и напряженное состояние недр Земли. Труды
международной конференции. – Новосибирск: Изд-во Сибирского отделения
РАН, 1999б, С. 5 – 20.
108. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные
задачи математической физики и анализа. – М.: Наука, 1980.
109. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 1. Механика.
Изд. 4-е, испр. – М.: Наука, 1988.
110. Лесных И.В., Устюгов М.Б., Ушаков О.К. Устройство оптического
контроля напряжений в скважинных фотоупругих датчиках // Вестник СГГА. –
Вып. 8. – Новосибирск, 2003. – С. 143 – 147.
111. Литвин А.И., Лялин Ю.В., Пивен И.Г. Фрактальный подход к
самоорганизации природных процессов. Самоорганизация в природе. Вып. 2.
Проблемы самоорганизации в природе и обществе. Т. 1 / Под ред. В.А.
Дмитриенко, О.С. Разумовского: Материалы семинара «Поиск связи между
разными способами построения систем». – Томск: Изд-во Томского ун-та, 1998.
– С. 146 – 150.
112. Ловягин В.Ф. Вопросы разработки САПР трасс инженерных
сооружений линейного типа // Геодезия и картография, 1995. – № 7. – С. 38 – 41.
113. Ловягин В.Ф. Обоснование параметров области поиска трасс
сооружений линейного типа при автоматизированном проектировании //
Вестник СГГА. – Вып. 1. – Новосибирск, 1996. – С. 41 – 47.
114. Ловягин В.Ф. Методы параметрической оптимизации в САПР трасс
линий электропередачи // Геодезия и картография. – 1997. – № 9. – С. 54 – 56.
115. Ловягин В.Ф., Панкрушин В.К. Иерархическая система процесса
проектирования оптимальных трасс инженерных сооружений // Вестник СГГА. –
Вып. 6. – Новосибирск, 2001. – С. 45 – 51.
116. Ловягин В.Ф., Панкрушин В.К., Середович В.А. Методологическое
обеспечение проектирования трасс инженерных сооружений с позиций
системно-структурного и объектно-ориентированного подходов // Вестник
СГГА. – Вып. 6. – Новосибирск, 2001. – С. 52 – 60.
117. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. – М.:
Наука, 1991.
118. Любушин А.А., Манакин А.Б., Попов Е.И. Гравиинерциальные
исследования и изучение фоновых геофизических процессов // Комплексные
исследования по физике Земли. – М.: Наука, 1989. – С. 221 – 237.
119. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. – М.: Недра,
1965.
120. Мазуров Б.Т. Структурная идентификация движений мобильных
блоков с помощью последовательной кластер-процедуры // Математическая
обработка результатов геодезических наблюдений: Межвуз. сб. научн. тр. /
НИИГАиК. – Новосибирск, 1993. – С. 75 – 81.
121. Максвелл Дж. Трактат об электричестве и магнетизме. – М.: Мир,
1989.
122. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Синергетика, прогноз и
управление риском. Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в
науке и искусстве. – М.: Прогресс – Традиция, 2002. – С. 378 – 405.
123. Маслов Л.А. Геодинамика Тихоокеанского сегмента Земли. – М.:
Наука, 1991.
124. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высш.
шк., 1976.
125. Машимов М.М. Согласование геодезических и геофизических
параметров Земли на эпоху для решения геодинамических задач // Изв. вузов.
Геодезия и аэрофотосъемка. – 1990. – № 4. – С. 30 – 37.
126. Машимов М.М. Геодезия. Теоретическая геодезия: Справ. пособие.
– М.: Недра, 1991.
127. Машимов М.М. Геодинамика: современные проблемы и
перспективы // Геодезия и картография. – 1995. – № 10. – С. 20 – 30.
128. Медведев Н.И. Модель колебаний блоков земной коры после
землетрясения // Геология и геофизика. – 1986. – № 4. – С. 76 – 84.
129. Медведев Н.И. Колебания системы блоков земной коры после
землетрясения на примере одномерной периодической структуры сплошной
среды. Труды Международной конференции «Математические методы в
геофизике». Ч. I. – Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. – С. 171 – 175.
130. Мернер Н.А. Обмеление моря, засухи и вымирание млекопитающих
// Катастрофы и история Земли: Новый униформизм / Под. ред. У. Берггрена и
Дж. Ван Кауверинга. – М.: Мир, 1986а. – С. 388 – 393.
131. Мернер Н.А. Эвстазия, изменение геоида и взаимодействия многих
геофизических факторов // Катастрофы и история Земли: Новый униформизм /
Под. ред. У. Берггрена и Дж. Ван Кауверинга. – М.: Мир, 1986б. – С. 394 – 412.
132. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических
многоуровенных систем. – М.: Мир, 1973.
133. Мещеряков Г.А. Задачи теории потенциала и обобщенная Земля. –
М.: Наука, 1991.
134. Минковский Г. Пространство и время. // Сб. «Принцип
относительности». – М.: Атомиздат, 1973.
135. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.:
Наука, 1981.
136. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. – М.: Наука, 1987.
137. Молоденский М.С. Изучение фигуры физической поверхности
Земли геометрическим (астрономо-геодезическим) методом // Труды
ЦНИИГАиК, вып. 75. Исследования по геодезической гравиметрии. – М.:
Геодезиздат, 1950. – С. 3 – 10.
138. Молоденский М.С. Современные задачи изучения фигуры Земли //
Геодезия и картография. – 1958. – № 7. – С. 3 – 5.
139. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения
внешнего гравитационного поля и фигуры Земли // Труды ЦНИИГАиК, вып.
131, 1960.
140. Мориц Г. Современная физическая геодезия. – М.: Недра, 1983.
141. Мориц Г., Мюллер А. Вращение Земли: Теория и наблюдения / Под
ред. Я.С. Яцкива. – Киев: Наукова думка, 1992.
142. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии. – М.:
Недра, 1979.
143. Нейман Ю.М., Салин Н.В. О совместном уравнивании
геодезических и гравиметрических измерений в трехмерном пространстве // Изв.
вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1985. – № 6. – С. 3 – 12.
144. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.К. Динамические модели
теории управления. – М.: Наука, 1985.
145. Новик И.Б. Кибернетика и проблемы познания взаимосвязи
природных явлений и преобразования природы // Взаимодействие наук при
изучении Земли. – М.: Изд-во АН СССР, 1963.
146. Новик И.Б. Вопросы стиля мышления в естествознании. – М.:
Политиздат, 1975. – 240 с.
147. Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур. Отв.
редактор И.М. Макаров – М.: Наука, 1996.
148. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных
сред. – М.: Мир, 1976.
149. Океанология. Геофизика океана. Т. 2. Геодинамика. Отв. ред. О.Г.
Сорохтин. – М.: Наука, 1979.
150. Опарин В.Н. Сибирская школа геомехаников академика М.В.
Курлени: основные достижения и перспективы развития. Геодинамика и
напряженное состояние недр Земли. Труды международной конференции. –
Новосибирск: Изд-во Института горного дела СО РАН, 2001. – С. 7 – 18.
151. Оползни. Исследование и укрепление / Под ред. Р. Шустера, Р.
Кризека. – М.: Мир, 1981.
152. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы
комплексных динамических систем. – М.: Мир, 1993.
153. Панкрушин В.К. К теории динамической геодезии // Труды
НИИГАиК. – Т. 24. – 1971. – С. 75 – 86.
154. Панкрушин В.К. Кибернетический подход к исследованиям
современных движений земной коры // Современные движения земной коры на
геодинамических полигонах. – Ташкент: Фан, 1972а. – С. 126 – 131.
155. Панкрушин В.К. Основные вопросы и некоторые результаты
исследований динамических систем наблюдений современных движений
земной коры // Труды НИИГАиК, Т. 27, 1972б. – С. 133 – 142.
156. Панкрушин В.К., Тетерин Г.Н. Проектирование сложных систем. –
Новосибирск: НИИГАиК, 1983.
157. Панкрушин В.К. Системные принципы геодезии // Изв. вузов.
Геодезия и аэрофотосъемка. – 1985. – № 3. – С. 34 – 41.
158. Панкрушин В.К., Васильев Е. А. Прогнозирование по
геодезическим наблюдениям движений и деформаций систем с
распределенными параметрами на основе пространственно-временных моделей
состояния и адаптивного фильтра Калмана – Бьюси // Изв. вузов. Геодезия и
аэрофотосъемка. – 1985а. – № 5. – С. 11 – 17.
159. Панкрушин В.К., Васильев Е.А. Оперативная обработка и
интерпретация многомерных временных рядов геодезических наблюдений
современных движений земной коры // Вулканология и сейсмология. – 1985б. –
№ 6. – С. 80 – 90.
160. Панкрушин В.К., Гиниятов И.А. Оценивание параметров движения
и деформаций земной коры по методу наименьших квадратов в форме процесса
адаптации и обновления модели объекта. Изучение Земли как планеты
методами геофизики, геодезии и астрономии: Труды 2 Орловской конференции /
АН УССР. Гл. астроном. обсерватория; Редкол.: Яцкив Я.С. (отв. ред.) и др. –
Киев: Наукова думка, 1988. – С. 247 – 250.
161. Панкрушин В.К. Проблемы автоматизированной и структурной
идентификации динамических систем по результатам комплексных
пространственно-временных рядов геодезических и геофизических наблюдений
// Математическая обработка и интерпретация многомерных временных рядов
геодезических наблюдений, Межвуз. сб. научных трудов / Под ред. В.К.
Панкрушина. – Новосибирск, НИИГАиК. – 1990. – С. 5 – 38.
162. Панкрушин В.К., Мазуров Б.Т. Моделирование геодинамических
систем на основе комбинации методов кластерного анализа, комитетов и
фильтра Калмана – Бьюси // Тез. докл. XII Межведомственного совещания по
изучению современных движений земной коры на геодинамических полигонах.
– Ташкент, 1991.
163. Панкрушин В.К. Моделирование геодинамической системы «Земная
поверхность и гравитационное поле Земли» по результатам пространственновременных рядов разнородных наблюдений // Изв. вузов. Геодезия и
аэрофотосъемка. – 1991. – № 4. – С. 54 – 68.
164. Панкрушин В.К. Проблема идентификации геодинамических
систем «Физическая поверхность и гравитационное поле Земли» по
комплексным астрономо-геодезическим и геофизическим пространственновременным рядам наблюдений // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1992.
– № 2. – С. 77 – 92.
165. Панкрушин В.К. Линеаризованные уравнения астрономогеодезических, геофизических и спутниковых наблюдений во времени при
моделировании геодинамических систем «Физическая поверхность и
гравитационное поле Земли» // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1993. –
№ 1 – 2. – С. 82 – 104.
166. Панкрушин
В.К.
Алгоритмы
адаптивной
рекуррентной
идентификации и управления при моделировании геодинамических систем
«Физическая поверхность и гравитационное поле Земли» // Изв. вузов. Геодезия
и аэрофотосъемка. – 1994. – № 2 – 3. – С. 82 – 97.
167. Панкрушин В.К. Геодинамические аспекты кадастра // Вестник
СГГА. – Вып. 2. – Новосибирск, 1997. – С. 11 – 21.
168. Панкрушин В.К., Нгуен Данг Ви, Гиниятов И.А. и др.
Динамические геоинформационные системы: Материалы международной
конференции Интеркарто 3. ГИС для устойчивого развития окружающей среды.
– Новосибирск: Россия, 1997. – С. 261 – 271.
169. Панкрушин В.К. Совместная обработка и интерпретация
геодезических и гравиметрических наблюдений в динамической и статической
геодезии на основе моделирования состояний неоднородностей (масконов)
геофизической среды // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1999а. – № 3.
– С. 26 – 43.
170. Панкрушин В.К. Математическое обеспечение совместной
обработки и интерпретации разнородных комплексных наблюдений
нивелирных превышений и силы тяжести при моделировании геодинамических
систем с пространством состояний // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. –
1999б. – № 6. – С. 41 – 62.
171. Панкрушин В.К. Параметрические уравнения с краевыми
условиями разнородных комплексных астрономических, гравиметрических и
геодезических наблюдений во времени за геодинамическими системами с
пространством состояний // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 2000. – №
6. – С. 100 – 121.
172. Панкрушин
В.К,
Середович
В.А.,
Дубровский
А.В.
Метрологические устройства как самоорганизующиеся геодинамические
подсистемы с пространством состояний. Проблемы метрологического
обеспечения топографо-геодезического производства и землеустроительных
работ. Науч.-техн. конф., 17 – 21 декабря 2001 года. Материалы конф. /
Новосибирск: СГГА, 2001. – 92 с.
173. Панкрушин В.К. Математическое моделирование и идентификация
геодинамических систем. – Новосибирск: СГГА, 2002.
174. Панкрушин В.К. Математическое моделирование геодинамических
систем в комплексной области. Современные проблемы геодезии и оптики: Сб.
материалов LIII международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию
СГГА. 11 – 21 марта 2003 г. Ч. 2 / СГГА. – Новосибирск, 2003. – С. 265-269.
175. Панкрушин В.К. Арифметизация пространства-времени в
концептуальных положениях математического моделирования и идентификации
геодинамических систем. Современные проблемы геодезии и оптики: Сб.
материалов LIII международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА.
11-21 марта 2003 г. Ч. 2 / СГГА. – Новосибирск, 2003. – С. 262 – 265.
176. Панкрушин В.К., Середович В.А. Роль геодезии в формировании
научной картины мира, в создании единой науки о Земле – геономии, развитии
приоритетных направлений и разработке критических технологий.
Современные проблемы геодезии и оптики: Сб. материалов LIII международной
науч.-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА. 11 – 21 марта 2003 г. Ч. I / СГГА.
– Новосибирск, 2003. – С. 19 – 24.
177. Панкрушин В.К., Середович В.А., Кузнецов Ю.И., Дубровский А.В.
Фрактальный подход к исследованию самоорганизующихся геодинамических
систем. Материалы 5-й Всероссийской научно-практической конференции
«Геоинформатика в нефтегазовой и горной отраслях» размещены на компактдиске «ГеоДиск 2002» № 2(8).
178. Панкрушин В.К., Середович В.А., Кузнецов Ю.И., Дубровский А.В.
Моделирование и идентификация фрактальных самоорганизующихся объектов
квазистатической и динамической геодезии // Вестник СГГА. – Вып. 8. –
Новосибирск, 2003. – С. 24 – 30.
179. Панкрушин В.К., Середович В.А., Кузнецов Ю.И., Дубровский А.В.
Проектирование банка данных при исследовании
самоорганизующихся
объектов квазистатической и динамической геодезии // Вестник СГГА. – Вып. 8.
– Новосибирск, 2003. – С. 30-36.
180. Панкрушин В.К., Середович В.А. Роль геодезии в формировании
научной картины мира, в создании единой науки о Земле – геономии, развитии
приоритетных направлений и разработке критических технологий.
Современные проблемы геодезии и оптики: Сб. материалов LIII
международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА. 11 – 21 марта
2003 г. Ч. I / СГГА. – Новосибирск, 2003. – С. 19 – 24.
181. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия). – М.:
Недра, 1978.
182. Пеллинен Л.П., Нейман Ю.М. Итоги науки и техники. Серия
«Геодезия и аэросъемка», Т. 18. Физическая геодезия. – М.: ВИНИТИ, 1980.
183. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ:
Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1989. – 367 с.
184. Полищук Ю.М. Концептуальное моделирование в задачах
мониторинга окружающей среды // Системы экоинформатики; проблемы,
решения, перспективы. – Томск: ТНЦ СО АН СССР, 1989. – С. 4 – 17.
185. Полищук Ю.М., Татарников В.А., Шишкин Н.А. Особенности
построения природно-социо-экономических моделей для геоинформационных
систем //Системы экоинформатики: проблемы, решения, перспективы. – Томск:
ТНЦ СО АН СССР, 1989. – С. 95 – 159.
186. Полищук Ю.М., Хон В.Б. Теория автоматизированных банков
информации: Учеб. пособие для вузов по спец. «Автоматизированные системы
обраб. информации и упр.». – М.: Высш. шк., 1989. – 184 с.
187. Полищук Ю.М. Имитационно-лингвистическое моделирование
систем с природными компонентами. – Новосибирск: Наука, 1992.
188. Поля напряжений и деформаций в литосфере / Под ред. А.С.
Григорьева, Д.Н. Осокиной. – М.: Наука, 1979. – 256 с.
189. Пригожин И. От существующего к возникающему. – М.: Мир, 1984.
190. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог
человека с природой. – М.: Прогресс, 1986.
191. Проблемы современных движений земной коры. Третий
Международный симпозиум, Ленинград, СССР, 1968 г. Отв. редакторы Ю.Д.
Буланже, Ю.А. Мещеряков. – М.: 1969.
192. Разработка методов математического моделирования сложных
самоорганизующихся систем с природными компонентами наблюдаемых во
времени геодезическими методами // Отчет о НИР (промежуточный). –
Руководитель Середович В.А. – № ГР 012001.15981. – Новосибирск, 2002. –
165 с.
193. Разумовский О.С., Хазов М.Ю. Синергетика. Самоорганизация в
природе. Вып. 2. Проблемы самоорганизации в природе и обществе. Т. 1 / Под
ред. В.А. Дмитриенко, О.С. Разумовского: Материалы семинара «Поиск связи
между разными способами построения систем». – Томск: Изд-во Томского унта, 1998. – С. 117 – 132.
194. Резников А.П. Предсказание естественных процессов обучающейся
системой. – Новосибирск: Наука, 1982.
195. Ретеюм А.Ю. Земные миры. – М.: Мысль, 1988.
196. Рикитаке Т. Предсказание землетрясений. – М.: Мир, 1979.
197. Садовский М. А. и др. О свойстве дискретности горных пород. –
Изв. АН СССР, Физика Земли, 1982, № 12.
198. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Дискретные иерархические
модели геофизической среды // Комплексные исследования по физике Земли. –
М.: Наука, 1989. – С. 68 – 87.
199. Садовский М. И. Избранные труды. Геофизика и физика взрывов. –
М.: Наука, 1999.
200. Самоорганизация в природе. Вып. 2. Проблемы самоорганизации в
природе и обществе. Т. 1 / Под ред. В.А. Дмитриенко, О.С. Разумовского:
Материалы семинара «Поиск связи между разными способами построения
систем». – Томск: Изд-во Томского ун-та, 1998.
201. Себешев В.Г., Чаплинский И.А., Канышев Ю.И. Метод конечных
элементов в расчетах сложных строительных конструкций: Учеб. пособие. –
Новосибирск, НИСИ, 1989.
202. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и
управлении. – М.: Связь, 1976.
203. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. – М.:
Радио и связь, 1982.
204. Сердюкова
С.И.
Обратная
задача
для
симметричных
трехдиагональных матриц. – Дубна, 1992. – Препринт ОИЯИ.
205. Середович В.А., Дубровский А.В. Использование ГИС GeoMedia
для создания банка данных по учету техногенной нагрузки на территорию
ТПТК. Современные проблемы геодезии и оптики: Сб. материалов LIII
международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию СГГА. 11 – 21 марта
2003 г. Ч. III / СГГА. – Новосибирск, 2003. – С. 335 – 339.
206. Середович В.А., Дубровский А.В., Березовская Е.А., Ескевич Ю.Н.
Опыт создания цифровой топографической карты м-ба 1 : 5000 на территорию
месторождения нефти и газа. Современные проблемы геодезии и оптики: Сб.
материалов LIII международной науч.-техн. конф., посвященной 70-летию
СГГА. 11 – 21 марта 2003 г. Ч. I / СГГА. – Новосибирск, 2003. – 87 с.
207. Середович
В.А.,
Дубровский
А.В.,
Козорез
М.Д.
Геоинформационный банк динамических данных для исследования и учета
влияния техногенной нагрузки на территорию ряда регионов Сибири.
Материалы
5-й
Всероссийской
научно-практической
конференции
«Геоинформатика в нефтегазовой и горной отраслях» размещены на компактдиске «ГеоДиск 2002» № 2(8).
208. Середович В.А., Панкрушин В.К., Кузнецов Ю.И., Дубровский А.В.
Динамические геоинформационные системы: моделирование и идентификация
самоорганизующихся природно-технических геодинамических систем. Методы
дистанционного зондирования и ГИС-технологии для оценки состояния
окружающей среды, инвентаризации земель и объектов недвижимости.
Регистрация прав недвижимости имущества и сделок по нему. 6-я
Международная науч. конф., Испания 11-18 мая 2002 г. Тезисы докладов. – М.:
МИИГАиК, 2002. – С. 23 – 29.
209. Середович В.А., Панкрушин В.К., Кузнецов Ю.И., Дубровский А.В.
Математическое моделирование и идентификация самоорганизующихся систем
по пространственно временным комплексным геодезическим и геофизическим
наблюдениям. Современные проблемы геодезии и оптики: Сб. материалов LIII
международной науч.-технической конф., посвященной 70-летию СГГА. 11-21
марта 2003 г. Ч. I / СГГА. – Новосибирск, 2003. – С. 44 – 50.
210. Середович
В.А.,
Дубровский
А.В.,
Козориз
М.Д.
Геоинформационный банк динамических данных для исследования и учета
влияния техногенной нагрузки на территорию ряда регионов Сибири. Тезисы
докладов
5-й
Всероссийской
научно-практической
конференции
«Геоинформатика в нефтегазовой и горной отраслях». – М.: ГИС-Ассоциация,
2002. – С. 55 – 56.
211. Сидоров В.А., Кузьмин Ю.О. Современные движения земной коры
осадочных бассейнов. – М.: МГК при Президиуме АН СССР, 1989.
212. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники.
– М.: Наука, 2003.
213. Современные движения земной коры / Отв. редакторы И.П.
Герасимов, Ю.Д. Буланже, Ю.А. Мещеряков. – М: Изд-во АН СССР, 1963.
214. Состояние вопроса задач геодезии с позиции концепции и
методологии самоорганизации (синергетики) сложных систем // Отчет о НИР
(промежуточный). – Руководитель Середович В.А. – № ГР 012001.15981. –
Новосибирск. – 2002. – 81 с.
215. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.
Красовского. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
216. Статистические методы для ЭВМ/Под ред. К. Экслейна, Э.
Рэлстона, Г.С. Уилфа: Пер. с англ. / Под ред. М.Б. Малютова. – М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1986. – 464 с.
217. Страхов В.Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и
магнитных аномалий // Комплексные исследования по физике Земли. – М.:
Наука, 1989. – С. 68 – 87.
218. Султанходжаев А.И. и др. Принципы выявления приоритетных
направлений в геологических науках. – Ташкент: Фан, 1990.
219. Тамразян Г.П. Геологическая цикличность – отражение
космического бытия Земли // Теоретические и методологические вопросы
седиментационной цикличности и нефтегазоносности. – Новосибирск, 1988. –
С. 19 – 30.
220. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика: Геологические приложения
физики сплошных сред. Ч. 2; Пер. с англ. – Мир, 1985. – 360 с.
221. Тимофеев В.Ю., Запреева Е.А., Ардюков Д.Г. Мониторинг
современных горизонтальных движений Алтая // Современные проблемы
геодезии и оптики: Сборник материалов LIII международной науч.-техн. конф.
СГГА. Ч. III. – Новосибирск: СГГА, 2003. – С. 217 – 219.
222. Тихонов А.Н. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. –
М.: Наука, 1979.
223. Тихонов А.Н. Математическая физика и автоматизация обработки
наблюдений // Современные проблемы математической физики и
вычислительной математики. – М.: Наука, 1982. – С. 292 – 301.
224. Тихонов А.Н„ Большаков В.Д., Нейман Ю.М. Некорректные задачи
геодезии // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. – 1980. – № 1. – С. 45 – 52.
225. Томпсон Дж. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. – М.:
Мир, 1985.
226. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. – М.: Радио и
связь, 1989.
227. Урмаев М.С. Космическая фотограмметрия. – М.: Недра, 1989.
228. Условные знаки для топографических планов масштабов 1 : 5 000,
1 : 2 000, 1 : 1 000, 1 : 500. – М.: Недра, 1989.
229. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991.
230. Федорова Н.В., Шапиро В.А. Тонкая структура Европейского
фокуса векторного хода в 1977 – 1987 гг. и возможный скачок поля вековой
вариации в текущем солнечном цикле // Геомагнетизм и аэрономия. – 1990. – Т.
30. – № 6. – С. 1041.
231. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах
/ Под ред. К.Т. Леондеса. – М.: Мир, 1980.
232. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. - М.:
Наука, 1990.
233. Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980.
234. Хаин В.Е. Основные проблемы современной геологии (Геология на
пороге 21 века). – М.: Наука, 1994.
235. Хаин В.И. Геодинамические процессы. Эволюция взглядов и
современные представления // Океанология. Геофизика океана. Т. 2.
Геодинамика. Отв. ред. О.Г. Сорохтин. – М.: Наука, 1979.
236. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. – М.: Мир, 1974.
237. Цветков В.Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. – М.: РАН, Ин-т
теорет. и экспер. биофизики, 1999.
238. Цубои Т. Гравитационное поле Земли. – М.: Мир, 1982.
239. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. – М.:
Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984.
240. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы, 1982. – 256 с.
241. Шейдеггер А.Е. Физические аспекты природных катастроф. – М.:
Недра, 1981.
242. Шерман С.И.
Разломно-блоковая делимость литосферы:
закономерности структурной организации и тектонической активности.
Геодинамика и эволюция Земли, 1996. – С. 74 – 77.
243. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. – М.: Недра, 1975.
244. Шипунов Ф.Я. Организованность биосферы. – М.: Наука, 1980.
245. Шмидт Дж. Линейные и нелинейные методы фильтрации //
Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред.
К.Т. Леондеса. – М.: Мир, 1980. – С. 49 – 73.
246. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. – М.: Ижевск, 2001.
247. Шугрин С.М. Космическая организованность биосферы и
ноосферы. – Новосибирск: Сиб. Предприятие РАН «Наука», 1999.
248. Шустер Г. Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1988.
249. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир,
1975.
250. Эйкхофф П.И. др. Современные методы идентификации систем /
Под ред. П. Эйкхоффа. – М.: Мир, 1983.
251. Энштейн А. Относительность и проблема пространства. Собрание
научных трудов. Т. 2. – М.: Наука, 1966.
252. Энциклопедический словарь. – М.: Гос. научн. изд-во «Большая
советская энциклопедия», 1955.
253. Юнга С.Л. Методы и результаты изучения сейсмо-тектонических
деформаций. – М.: Наука, 1990.
254. Яненко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С.
Методологические проблемы математической физики. – Новосибирск: Наука,
1986.
255. Douady A., Hubbard J.H. On the dynamics of polynomial-like mappings.
// Ann. Sci Ecole Normale Sup. 4e Serie. 1985. T. 18. P. 287 – 126.
256. Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix computations. – Bultimore and
London: The J. Hopkins University Press, 1996.
257. Grassberger P., Procaccia I. Characterization of strange attractors. //
Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 346 – 349.
258. Grundlagen der GeoßInformationsszsteme/Ralf Bill; Dieter Fritsch. –
Karlsruhe: Wichmann, 1991.
259. Heck B. Time-dependent geodetic boundary value problems. Figure and
dynamique Earth, Moon and Planets: Proc. Int. Symp.: Prague, Sept. 15-20, 1986. Pt. 1 –
Prague, 1987. – P. 195 – 225.
260. Heck B., Malzer H. On some problems connected with the determination
of recent vertical crustal movemens fro repeated levellings and gravitymeasurments
tectonophysics, 130 (1986). – P. 299 – 305.
261. International Conference «Ill – Posed and Inverse Problems» dedicated
to Prof. M.M. Lavrent’ev on the occasion of his 70 th anniversary (August 5-9, 2002,
Novosibirsk, Russia): Fractalness and recursiveness. Yu. I. Kuznetsov. – Novosibirsk,
Sobolev Institute of Mathematics, 2002. – P. 101.
262. Kalman R.Е., Bucy R.S. New Results in Linear Filtering and Predicnon
Theory. – Trans. ASME, ser D, J.Basic Engineering, Vol. 83, 1961. – P. 95 – 108.
263. Kuznetsov Yu.I. The complementary Jacobi matrix. – Proceeding of the
internal conference «AMCA - 95», Novosibirsk, Russia, 1995, Р. 422 – 427.
264. Kuznetsov Yu.I. The new analitic tools of the space R(n). – Proceeding of
9-th Int.Conf. Computational modelling and computing in physics D5, 11-97-112, JINR,
DUBNA 1997, Р. 203 – 209.
265. Mandelbrot Benoit B. The fractal geometry of nature. Internazional
Business Machines Tomas J. Watson Research Center. San Francisco: W.H. Freeman
and Company, 1977.
266. Turcotte D.L. A fractal model for crastal deformanion. Tectonophysics,
132, 1986. – P. 261 – 269.