учебно-методические материалы[(1)] - САНКТ

ИВЭСЭП
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ
СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика
в экономике
Санкт-Петербург
2011
ББК 22.1
М-34
М-34 Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический
комплекс. /Авт.-сост.: Л.Н. Бережной, А.Ю. Вальков – СПб.: СПбИВЭСЭП,
2011. – 30с.
Утвержден на заседании кафедры математических и естественнонаучных
дисциплин, протокол № 5 от 19.01.2011 г.
Утвержден и рекомендован к печати Научно-методическим Советом,
протокол № 5 от 20.01.2011 г.
Авторы -составители :
кандидат пед. наук, доцент Л.Н. Бережной.
доктор физ.-мат. наук, проф. А.Ю. Вальков
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры статистической физики
Санкт-Петербургского государственного университета В.П. Романов.
Ответственная за выпуск
Н.А. Фролова
© Л.Н. Бережной, А.Ю. Вальков,
2011
© СПбИВЭСЭП, 2011.
2
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящий учебно-методический комплекс по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» соответствует требованиям к обязательному минимуму содержания основных образовательных программ по
направлению подготовки дипломированных специалистов по специальности: 080801 (351400) – Прикладная информатика в экономике, основанным на государственном образовательном стандарте высшего профессионального образования.
Современный уровень требований, предъявляемых к математической
подготовке экономиста-информатика, связан со степенью развития экономической теории и информационных технологий. В настоящее время для
понимания результатов большинства экономических исследований, которые существенно используют методы математической экономики, эконометрики и статистики, требуется хорошее знание целого ряда областей математики. В частности — теории вероятностей и математической статистики.
Методическое обеспечение данного может быть осуществлено с помощью курсов высшей математики, теории вероятностей и математической статистики и математической экономики, а также задачников и справочников, приведенных в разделе УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ(1).
Аудиторные часы, отведенные на изучение курса теории вероятности и
математической статистики, делятся между лекционными и практическими занятиями в отношении 1:2. Практические занятия предусматривают
самостоятельное решение задач студентами под контролем и при поддержке преподавателя на семинарах, а также выполнение домашних заданий. В целях проверки степени усвоения материала проводятся две контрольные работы.
Оперативный контроль. Оперативный контроль проводится с целью
определения качества усвоения учебного материала. Наиболее эффективным является его проведение в виде тестов и самостоятельных работ.
Итоговый контроль. Для контроля усвоения данной дисциплины
учебным планом предусмотрен экзамен.
(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
3
ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА
Теория вероятностей и математическая статистика:
Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные
понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство случайные
события; частота и вероятность; основные формулы для вычисления
вероятностей; случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин; Особая роль нормального
распределения: центральная предельная теорема. нормальный закон
распределения; Модели законов распределения вероятностей, наиболее
употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие.
Цепи Маркова и их использование в моделировании социальноэкономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция
и регрессия.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина предназначена для:
 изучения студентами математического аппарата, необходимого для
глубокого усвоения общенаучных, общефилософских, экономических, социологических и специальных дисциплин;
 выработки у студентов умения проводить строгий логический и количественный анализ социально-экономических задач на базе математических моделей;
 формирования у студентов необходимой математической культуры
и научного мировоззрения для исследования и решения задач в социально-экономических системах.
Развитие математической культуры должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке, выработку представления о роли и месте математики в современной
цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математические
понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.
4
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
 о месте и роли теории вероятности в современном мире, мировой
культуре и истории; об истории развития математической мысли;
о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и доказательств;
 об основных структурах современной математики, об их взаимосвязи с реальным миром;
 перспективах развития приложений математики и математического моделирования в социально-экономической сфере и проникновении математических методов в гуманитарные науки.
знать и уметь использовать:
 основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
 основные определения и понятия, теоремы и правила теории вероятностей и математической статистики с практическим применением;
 логику доказательства важнейших теорем, лежащих в основе
изучаемых математических методов.
Для выработки у современных специалистов по управлению социально-экономическими системами с высшим образованием необходимой математической культуры УМК предусматривает реализацию следующих
основных задач:
1. достижение достаточно высокого уровня фундаментальной математической подготовки;
2. сбалансированное и взаимосвязанное изучение общей математики и
ее приложений к экономическим процессам;
3. ориентация на обучение и выработку у студентов умения строить и
использовать математические модели для описания и прогнозирования различных явлений, осуществлять их качественный и количественный анализ на базе различных средств информационного обеспечения.
УМК содержит основные математические сведения, которые подлежат
изучению всеми студентами.
5
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
№
Тема
Лекции
(час)
Практические
занятия (час)
1.
2.
Введение в предмет.
Понятие о случайных событиях и их вероятностях.
Условная вероятность.
Схема независимых испытаний.
Дискретные случайные величины
Непрерывные случайные величины.
Векторные случайные величины
Выборочный метод. Точечные оценки.
Основные типы распределений, используемых в
статистике.
Интервальное оценивание.
Проверка статистических гипотез.
Регрессионные модели.
Элементы теории принятия статистических решений.
Всего
1
1
0
4
1
1
1
2
1
2
1
2
2
4
3
2
2
2
1
2
2
2
3
4
4
4
18
36
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ.
1. Теория вероятностей.
Тема 1. Введение в предмет.
Введение. Предмет и методология. Статистика. Принятие решений в
условиях неопределенности. Разделы статистики и схема статистического
исследования.
Тема 2. Понятие о случайных событиях и их вероятностях.
Основные свойства вероятности. Классический, геометрический и статистический подходы к вероятности. Трудности в этих подходах. Пространство элементарных событий. Алгебра случайных событий. Аксиоматическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
Тема 3. Условная вероятность.
Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимость случайных событий. Формула полной вероятности. Теорема
Байеса.
Тема 4. Схема независимых испытаний.
Независимые испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Задача о приемке большой партии товара. Формула
Пуассона. Закон больших чисел в форме Бернулли.
Тема 5. Дискретные случайные величины.
Понятие случайной величины. Свойства случайных величин. Закон
распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математические модели на основе
дискретных случайных величин: задачи теории страхования, организации
лотерей, определение количества товарных запасов в условиях неопределенности. Неравенство и теорема Чебышева. Вероятностный смысл статистического ожидания и дисперсии. Примеры дискретных вероятностных
моделей: биноминальное распределение и распределение Пуассона.
Тема 6. Непрерывные случайные величины.
Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной
величины. Числовые характеристики случайных величин. Общие свойства
числовых характеристик. Нормированные и центрированные случайные
7
величины. Непрерывные вероятностные модели: равномерное и нормальное распределения.
Тема 7. Векторные случайные величины.
Дискретные и непрерывные векторные случайные величины. Совместное распределение вероятностей. Независимость векторных случайных
величин. Ковариация и корреляция случайных величин. Коэффициент
корреляции и его свойства.
2. Математическая статистика
Тема 8. Выборочный метод. Точечные оценки.
Задачи статистического исследования. Выборочный метод. Точечные
оценки для числовых характеристик случайной величины.
Тема 9. Основные типы распределений, используемых в статистике.
Стандартизованное нормальное распределение,  2  распределение, t 
распределение Стьюдента, F-распределение Фишера,   распределение.
Тема 10. Интервальное оценивание.
Понятие доверительного интервала для оцениваемого параметра. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
Тема 11. Проверка статистических гипотез.
Понятие статистической гипотезы. Критерии значимости и согласия.
Уровень значимости и мощность критерия. Проверка гипотезы об однородности дисперсий. Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины.
Тема 12. Регрессионные модели.
Линейная статистическая модель с двумя переменными. Оценки методом наименьших квадратов. Дисперсионный анализ в регрессии. Прогнозирование. Понятие об общей линейной модели.
Тема 13. Элементы теории принятия статистических решений.
Классические и байесовские методы в статистике. Оценка биноминального параметра p . Понятие о байесовском подходе в теории принятия
решений. Метод наибольшего правдоподобия. Метод Монте-Карло.
8
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
Тема 2. Понятие о случайных событиях и их вероятностях.
Тема 3. Условная вероятность.
Тема 4. Схема независимых испытаний.
Тема 5. Дискретные случайные величины.
Тема 6. Непрерывные случайные величины.
Тема 7. Векторные случайные величины.
Тема 8. Выборочный метод. Точечные оценки.
Тема 9. Основные типы распределений, используемых в статистике.
Тема 10. Интервальное оценивание.
Тема 11. Проверка статистических гипотез.
Тема 12. Регрессионные модели.
Тема 13. Элементы теории принятия статистических решений.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Классическое определение вероятности. Примеры. Геометрический и
статистический подходы к вероятности.
Пространство элементарных событий. Алгебра случайных событий.
Основные свойства вероятности. Несовместные события.
Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей.
Независимость случайных событий.
Формула полной вероятности.
Теорема Байеса.
Независимые испытания. Формула Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа. Задача о приемке большой партии товара.
Формула Пуассона.
Понятие случайной величины. Свойства случайных величин. Закон
распределения дискретной случайной величины.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Примеры дискретных вероятностных моделей: биноминальное распределение и распределение Пуассона.
Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Нормированные и центрированные случайные величины.
9
16. Равномерное распределение.
17. Нормальное (гауссово) распределение. Нормальная (гауссова) кривая.
18. Дискретные и непрерывные векторные случайные величины. Совместное распределение вероятностей.
19. Независимость векторных случайных величин.
20. Ковариация и корреляция случайных величин. Коэффициент корреляции и его свойства.
21. Задачи статистического исследования. Выборочный метод.
22. Точечные оценки для числовых характеристик случайной величины.
23. Понятие доверительного интервала для оцениваемого параметра. Построение доверительных интервалов для параметров нормального
распределения.
24. Понятие статистической гипотезы. Критерии значимости и согласия.
Уровень значимости и мощность критерия.
25. Проверка гипотезы об однородности дисперсий. Критерий Пирсона.
26. Проверка гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины.
27. Линейная статистическая модель с двумя переменными. Оценки методом наименьших квадратов.
28. Дисперсионный анализ в регрессии. Прогнозирование. Понятие об
общей линейной модели.
29. Классические и байесовские методы в статистике. Оценка биноминального параметра p .
30. Метод наибольшего правдоподобия.
31. Метод Монте-Карло.
А) ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое случайное событие, связанное с опытом? Приведите примеры. Имеет ли смысл сумма (произведение) событий относящихся к
разным опытам?
Что такое «перестановка из n элементов»? Чему равно число различных перестановок? Укажите вывод данной формулы.
Выведите формулу полной вероятности. Приведите пример.
Что такое схема Бернулли? Какими числами задается схема Бернулли? Выведите вероятность наступления k успехов в серии из n испытаний в схеме Бернулли. Приведите пример.
В чем состоит схема Бернулли? Приведите пример. Какими приближенными формулами и в каких случаях пользуются при большом
числе испытаний?
Укажите выражение для функции Лапласа. Докажите нечетность этой
функции. Чему равно значение функции Лапласа (12) ?
10
Какое распределение называется биномиальным? Почему? Укажите
математическое ожидание и дисперсию для биномиального распределения (с доказательством).
8. Каков смысл параметра  в пуассоновском законе распределения?
Укажите вывод математического ожидания для случайной величины,
распределенной по закону Пуассона.
9. Как определяется и что характеризует коэффициент корреляции
 ( X , Y ) ? Чему равен  ( X , Y ), при условии независимости случайных
величин X ,Y ?
10. Можно ли построить пару случайных величин таких, что
D( X )  D(Y )  1 и Cov( X , Y )  2 ? Ответ обоснуйте.
11. Что называется геометрическим распределением с параметром p ?
Выведите формулу для вычисления математического ожидания и
укажите формулу для дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону.
12. Каковы основные свойства функции распределения? Как найти вероятности P(a  X  b) и P(a  X  b), если известна функция распределеX?
ния
случайной
величины
Объясните
равенства
7.
lim x F ( x)  1, lim x F ( x)  0.
13. В чем состоит вероятностный смысл параметра m для распределения
с плотностью f ( x) 
1
 2
e
 ( xm2)
2
2
? Докажите. Приведите несколько гра-
фиков функции f (x) для различных значений параметра m.
14. Перечислите основные свойства функции плотности вероятности.
Укажите ее связь с функцией распределения. Чем объясняется название плотность вероятности?
15. Перечислите основные свойства математического ожидания. Докажите, что если график плотности вероятности f (x) случайной величины
X симметричен относительно прямой x  a и M ( X ) существует, то
M ( X )  a.
16. Сформулируйте понятие точечной оценки параметров генеральной
совокупности. Укажите и приведите примеры несмещенной, эффективной и состоятельной оценок.
17. Как вводятся основные характеристики одномерной статистической
совокупности (выборки): среднее, дисперсия, центральные моменты
высших порядков, асимметрия, эксцесс? Какие из приведенных характеристик остаются инвариантными относительно сдвигов и сжатий-растяжений?
18. Укажите доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормальной генеральной совокупности с известной дисперсией  2 . Что можно сказать о вероятности, с которой данный интер-
11
19.
20.
21.
22.
вал накрывает a, если генеральная совокупность распределена не по
нормальному закону?
Сформулируйте определение статистической гипотезы. Какие гипотезы называют параметрическими и непараметрическими? Верно ли
утверждение, что критерий  2 Пирсона применим для проверки непараметрических гипотез? Ответ обоснуйте.
Докажите неравенство Чебышёва. Что такое общее «правило 3 »?
Сформулируйте и докажите теорему Чебышёва (закон больших чисел). В чем состоит смысл теоремы?
Сформулируйте и докажите теорему Бернулли. В чем состоит смысл
утверждения теоремы?
Б) ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ И КОНТРОЛЬНЫМ
РАБОТАМ
1. Дано: P( A)  0,95; P( B)  0,98; P(C )  0,83. Найдите наименьшую возможную вероятность события ABC.
2. В партии из N  15 деталей имеется m  8 стандартных. Наудачу отобраны s  7 деталей. Найдите вероятность P того, что среди отобранных ровно p  5 стандартных.
3. Случайные величины X , Y независимы и равномерно распределены на
отрезках: X  на 0,6, Y  на 0,2. Найти вероятность P( X  Y ).
4. На отрезке AB длины 120 наудачу поставлена точка X . Найти вероятность p того, что больший из отрезков AX и XB имеет длину более, чем 100.
5. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы
которых 20 и 80 соответственно. Найти вероятность p того, что точка,
брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.
6. Два лица X и Y договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Если первым приходит X , то он ждет Y в течение 10 минут. Если первым
приходит Y , то он ждет X в течение 5 минут. Найти вероятность того,
что встреча состоится.
7. Независимые случайные величины X , Y , Z принимают только целые
значения: X  от 0 до 5 с вероятностью 16 , Y  от 0 до 7 с вероятностью
1
1
8 , Z  от 0 до 10 с вероятностью 11 . Найти вероятность P ( X  Y  Z  6).
8. В ящике содержатся n1  5 деталей, изготовленных на заводе 1, n 2  6
деталей – на заводе 2 и n3  7 деталей – на заводе 3. Вероятность изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны
12
p1  0,01; p2  0,09 и p3  0,05. Найдите вероятность P того, что извлечен-
ная наудачу деталь окажется качественной.
9. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает 15% деталей, со 2-го и 3-го по 20% и 65%, соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно 0,2%; 0,6% и 0,15%. Найти вероятность того, что поступившая на
сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что
она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что
она оказалась бракованной.
10. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p  0,98. Сделано n  5 выстрелов. Найдите вероятность P того, что в цель попали
менее трех раз.
11. Вероятность попадания стрелком в цель равна p  161 . Сделано n  256
выстрелов. Определите наивероятнейшее число M попаданий в цель.
12. Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадет 6 раз
число очков, отличное от 6. Какова вероятность, что будет произведено
8 бросков?
13. Независимые дискретные случайные величины X 1 , X 2 ,, X 29 принимают только значения 2 и 7. Найти наиболее вероятное значение суммы
S  X 1  X 2    X 29 , если P( X i  7)  111 .
14. Вероятность выпуска бракованного изделия равна p  0,16. Найдите вероятность P ого, что среди n  103 выпущенных изделий ровно k  86
изделий без брака.
15. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на
одном веретене в течение 1 минуты равна 0,001. Найдите вероятность
P того, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем на 2
веретенах.
16. Распределение случайной величины X задано таблицей:
Значения
5
9
11 13
17
Вероятности
0,2 0,15 0,3 0,15
0,2
Найти математическое ожидание m  M ( X ), среднее квадратичное отклонение    X и вероятность P(| X  m |  ).
17. Для независимых случайных величин X 1 , X 2 ,, X 6 известно, что их математические ожидания M ( X i )  1, дисперсии D( X i )  1, i  1,,6. Найти
дисперсию произведения D( X 1  X 2    X 6 ).
18. Независимые случайные величины X 1 , X 2 ,, X 90 могут принимать только значения 0 и 1. При этом P( X i  0)  0,1; i  1,,90. Найти математическое ожидание M [ X1  X 2    X 90 2 ].
13
19. Случайные величины X 1 , X 2 ,, X 5 могут принимать только значения 0 и
1. При этом P( X i  0)  0,7; i  1,,5. Найти математическое ожидание


M 3 X1  X 2  X 5 .
20. Случайные
0
и
1.
X ,Y
величины
принимают
только
значения
D ( X  Y ),
Найти
дисперсию
если
вероятности
P( X  1)  P(Y  1)  0,4, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,3.
X
M ( X )  1,
21. Для
случайной
величины
известно,
что
M (| X |)  6, D(| X |)  20. Найти дисперсию D( X ).
22. Пусть U и V независимые случайные величины, такие что
D(U )  D(V )  1. Найдите Cov( X , Y ), где X  2U  V , Y  3U  2V .
23. Найдите Cov( X 1  X 2 , X 3  X 4 ), если Cov( X i , X j )  i  j.
24. Производится 5120 независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 9 монет. Пусть X – число испытаний, в
которых выпало 2 герба. Найти математическое ожидание M ( X ).
25. Производится 11 независимых испытаний с вероятностью успеха 0,7 в
каждом испытании. Пусть X – число успехов в испытаниях с номерами
1,2,,8, Y – число успехов в испытаниях с номерами 6,7,,11. Найти
дисперсию D ( X  2Y ).
26. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается
15 палаток и 15 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по
одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак.
Найти среднее время реализации данного намерения (время измеряется
в неделях).
27. Для пуассоновской случайной величины X отношение PP((XX109))  8. Найти
математическое ожидание M ( X ).
28. Случайные величины X , Y распределены по геометрическому закону.
Найти дисперсию D ( X  Y ), если их математические ожидания равны
10, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,9.
29. Случайные величины X , Y распределены по закону Пуассона. Найти
M [( X  Y ) 2 ], если их математические ожидания равны 30, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,4.
30. Независимые случайные величины X 1 , X 2 ,, X 6 распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным 9.
Найти M [( X 1  X 2    X 6 ) 2 ].
31. Случайная величина X  0 имеет плотность распределения f (x ). Найти
плотность распределения случайной величины Y  X 2 .
32. Случайная величина X имеет распределение Коши с плотностью
f ( x)    x652 25 ,  x  . Найти плотность распределения случайной величины Y 
1
X
.
14
33. Случайная
величина
9e , åñëè x  0;
f ( x)  
.
 0, åñëè x  0
9 x
имеет
X
Найти
плотность
распределения
распределение случайной величины
Y  [ X ], где [ X ] – обозначает целую часть X .
34. Распределение случайной величины X задано плотностью вероятности
f (x ). Найти плотность вероятности случайной величины Y  3  5 X .
35. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [6,3].
Найти вероятность P( X1 2  3).
36. Случайные величины X , Y независимы и равномерно распределены на
отрезке [9, 12]. Найти математическое ожидание M [30( X  Y ) 2 ].
37. Случайная величина X распределена по показательному закону. Найти
вероятность P(7  X  28), если M ( X )  ln72 .
38. Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид
 0, x  6
f ( x)   C
. Найти константу
2 , x  6
x
C и вероятность
P ( X  7).
39. Для нормальной случайной величины X с математическим ожиданием
M ( X )  14 и дисперсией D( X )  16 найти вероятность P ( X  9,2).
40. Для нормальной случайной величины X известно, что математическое
ожидание M ( X )  55,9 и вероятность P( X  55)  0,38209. Найти дисперсию D( X ).
41. Найти значение x для стандартной случайной величины Z , если известно, что P(2  Z  1)  P(1  Z  x).
42. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин X , Y , Z ,U равны 1. Найти вероятность P( X  Y  Z  U  1).
43. Независимые нормальные случайные величины X1 , X 2 ,, X 4 имеют
одинаковые параметры: M ( X i )  3, D( X i )   2, i  1,,4. Для случайной величины S  X1  X 2    X 4 найти вероятность P(| S  12 | 85  ).
44. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию по данному распределению частот:
2
5
7 10
xi
ni
4
1
4
4
45. Игральную кость бросили 9 раз. При этом 1 очко выпало 2 раза, 2 очка
– 1 раз, 3 очка – 1 раз, 4 очка – 2 раза, 5 очков – 1 раз, 6 очков – 2 раза.
Найти эмпирическую функцию распределения числа очков, выпавших
при бросании игральной кости.
46. Случайная величина X – число появлений события в опыте из 4 испытаний – распределена по биномиальному закону. По выборочным данным
0
1
2
3
xi
15
ni
5
2
1
1
(здесь ni – число опытов, в которых событие наблюдалось xi раз) получить точечную оценку p неизвестного параметра p биномиального
распределения.
47. По выборке x1  1, x2  3, x3  2, x4  3, x5  1найти точечную оценку p параметра p геометрического распределения P( X  k )  (1  p) k 1 p, где X –
случайная величина, число испытаний, проведенных до появления события; p – вероятность появления события в одном испытании.
48. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого
равна 0, а случайные ошибки распределены нормально со среднеквадратичным отклонением   15 м. Сколько независимых измерений n
требуется сделать, чтобы определить глубину с ошибкой, не превышающей h  5 м с доверительной вероятностью   0,9.
49. Найти минимальный объем выборки n, при котором с надежностью
0,966 точность оценки математического ожидания a нормальной генеральной совокупности по выборочному среднему равна   0,5. При
этом известно, что генеральное среднеквадратичное отклонение   4.
50. Из нормальной генеральной совокупности X извлечена выборка
2
5
7 10
xi
ni
4
1
4
4
Оценить с надежностью 0,99 математическое ожидание M ( X ) при помощи доверительного интервала.
51. Из N  2450 ящиков облицовочной плитки проверено k  10%. Среди
них оказалось m  34% ящиков с плиткой первого сорта. Каковы доверительные границы, в которых с вероятностью   0,996 заключена
доля ящиков с плиткой первого сорта?
52. По двум независимым выборкам, объемы которых n1  9 и n2  16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y , найдены исправленные выборочные дисперсии s x2  102,06 и s y2  37,5. При
  0,01
уровне
значимости
проверить нулевую гипотезу
H 0 : D( X )  D(Y ) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1 : D( X )  D(Y ).
53. По двум независимым выборкам, объемы которых n  40 и l  50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: mx  390 и m y  420. Генеральные дисперсии известны: D( X )  720 и D(Y )  900. Требуется при уровне значимости
  0,01 проверить нулевую гипотезу H 0 : M ( X )  M (Y ) при конкурирующей гипотезе H1 : M ( X )  M (Y ).
16
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ (1)
УЧЕБНИКИ
Основные
1.
2.
3.
Турецкий В.Я. Математика и информатика. — 3-е изд., испр. и доп.
— М.: Инфра-М, 2005 (Серия «Высшее образование»).
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и её применения в
экономическом образовании, Учебник. — М.: Дело, 2003.
Колемаев А.А., Математическая экономика (Учебник) 3-е изд,
(ГРИФ), М: ЮНИТИ -ДАНА, 2005, 399с.
Дополнительные
4. Гмурман В.С. Теория вероятности и математическая статистика. — М.:
Высшая школа, 2000.
Вспомогательная
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Высшая математика для экономистов. /Под ред. Н.Ш.Крамера. — М.:
— М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И., Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. I,II — СПб., 1997.
Шипачев В.С. Высшая математика — М.:, Высшая школа, 1990.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа — М.: Наука,
1969.
Математика в экономике. Под редакцией Кремера Н.Ш. — М., Финстатинформ; 1999.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов –
Москва, ИНФРА-М, 1997.
Крыльский Х. Математика для экономистов — М.: Статистика, 1970.
Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика. — М., ИНФРА-М, 1999.
Джонстон Дж. Экономические методы. — М.: Статистика, 1980.
Сирл С., Игосман У. Математика для экономистов. — М.: Статистика,
1974.
ЗАДАЧНИКИ
Основные
15. Гмурман В. Е., Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике, изд. 10-е, М: Высш. Школа,
2005, 480с.
(1)
Основные учебники и задачники имеются в необходимом количестве в библиотеке института.
17
Вспомогательная
16. Севастьянов В.Н., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. — М.: Наука, 1990.
17. Сборник задач по математике. Теория вероятностей и математическая
статистика. /Под ред. А.В.Ефимова. — М.: Наука, 1990.
СПРАВОЧНИКИ.
Вспомогательная
18. Справочник по математике для экономистов. /Под ред. В.И.Ермакова.
— М.: Высшая школа, 1987.
19. Венецкий И.Г., Венецкий В.И. Основные математико-статистические
понятия и формулы в экономическом анализе: Справочник. — М.:
Высшая школа, 1979.
20. Arrow K., Intriligator M. Handbook of Mathematical Economy. V.1,2 —
Amsterdam, 1981.
18
ГЛОССАРИЙ
A
АКСИОМА – исходное положение, принимаемое без доказательства при
дедуктивном построении теории.
Б
БИНОМ. Двучлен — сумма (или разность) двух одночленов.
БИНОМ НЬЮТОНА. Формула, выражающая произвольную натуральную
степень бинома в виде многочлена, расположенного по степеn
ням одного из членов бинома: (a  b) n   Cnk a k b nk , где C nk —
k 1
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ.
БИНОМИНАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ. Величина Cnk 
n!
. Число
k!(n  k )!
сочетаний из n по k — число вариантов, которыми можно выбрать k предметов из n предметов, когда порядок расположения
n
предметов не играет роли. Обозначается также   .
k
 
БИНОМИНАЛЬНЫЙ
ЗАКОН
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ.
См.
В
ВЕРОЯТНОСТЬ. Количественная мера возможности наступления случайного события A в результате испытаний при заданной совокупности условий. Число, заключённое между нулём и единицей.
Обозначается обычно P(A).
ВЕРОЯТНОСТЬ доверительная. Вероятность, оценивающая достоверность характеристик, полученных на основе выборочных
наблюдений.
ВЕРОЯТНОСТЬ условная. Вероятность события А, вычисленная при
условии осуществления другого события В; обозначается обычно Р(А|В) или PB(A).
ВЫБОРКА (Выборочная совокупность). Выборочная совокупность часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для
изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной
совокупности.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ. См. СРЕДНЕЕ выборочное.
19
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ. Среднее арифметическое квадрата отклонения полученных значений измеряемой величины от их среднего выборочного. Обозначается обычно D (или D выб, Dn).
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ, ИСПРАВЛЕННАЯ. Несмещенная оценка
для дисперсии генеральной совокупности. Вычисляется из выборочной дисперсии по формуле nD выб /(n – 1), где n – число
измерений. Обозначается обычно D испр, Dn-1.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ. Корень квадратный из ВЫБОРОЧНОЙ
ДИСПЕРСИИ. Обозначается обычно σ (или σвыб , σn).
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ исправленное (несмещенное). Корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии. Обозначается
обычно σисп , σn-1.
ВЫВОД. 1.Процесс получения какого-либо результата, проведённый в соответствии с указанными правилами. 2. Результат этого процесса.
ВЫВОД логический. 1. Содержательное рассуждение, позволяющее от исходных допущений (посылок) перейти к новым
утверждениям (заключениям), логически вытекающим из исходных. 2. Результат этого рассуждения.
ВЫВОД формальный. Последовательность формул, каждая из
которых либо является аксиомой или принятым допущением,
либо получается из предыдущих с помощью правил вывода.
ВЫРАЖЕНИЕ. Формула или её часть.
ВЫРАЖЕНИЕ алгебраическое. Запись в определённом порядке
ряда алгебраических действий над совокупностью величин.
ВЫРАЖЕНИЕ подкоренное. Выражение, стоящее под знаком
радикала (т.е. под знаком корня n-ой степени).
ВЫРАЖЕНИЕ подынтегральное. Выражение, состоящее из
подынтегральной функции и дифференциала (дифференциалов),
стоящих под знаком интеграла.
ВЫРАЖЕНИЕ дробно-рациональное. Отношение двух целых
выражений.
ВЫРАЖЕНИЕ иррациональное. Алгебраическое выражение, содержащее иррациональность.
ВЫРАЖЕНИЕ целое. Многочлен от нескольких переменных.
ВЫЧИСЛЕНИЕ. Получение численного результата некоторым алгоритмом из исходных данных.
20
Г
ГАУССОВО
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
См.
НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ состоит из всех объектов, которые
подлежат статистическому изучению.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Распределение вероятностей
дискретной случайной величины, при котором она принимает
значения k = 1,2, … с вероятностью P(k )  pq k 1 , где p – параметр
распределения, 0  p  1 , q  1  p . Для геометрического распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ
M(X) = 1/p, D(X) = q/p2. Применяется в задачах, где интересуются первым появлением успеха (неудачи) в неограниченной (на
практике — достаточно длинной) серии одинаковых независимых испытаний.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Пусть в урне N шаров, из них М белых, а остальные (N - М) — черные. Вероятность того, что при извлечении из урны n шаров m из них окажутся белыми (а (n-m) — черными) равна P( X  m) 
гипергеометрического
ОЖИДАНИЕ
D( X )  n
распределения
и
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ДИСПЕРСИЯ
M  M 
n
1  1   . При
N 1 
N  N 
n/ N  
CMm C NnmM
. Для
C Nn
M (X )  n
M
,
N
это распределение
стремится к распределению Бернулли с p  M / N .
ГИПОТЕЗА статистическая. Гипотеза о вероятностных закономерностях, которым подчиняется рассматриваемое случайное явление.
Д
ДВУЧЛЕН. См. БИНОМ..
ДЕДУКЦИЯ. Общее название логических методов, позволяющее выводить новое утверждение из некоторых исходных утверждений,
пользуясь определенными правилами вывода.
ДИСКРЕТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Функция, ставящая в соответствие каждому значению дискретной случайной
величины вероятность того, что величина принимает это значение.
ДИСПЕРСИЯ. Характеристика случайной величины, определяемая как
математическое ожидание квадрата отклонения случайной ве-
21
личины от её математического ожидания. Обозначается D(x)
(или Dx, Dx).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Способ обоснования истинности того или иного
суждения, основанный на выведении его из аксиом.
ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ. Событие, которое наверняка произойдет
при осуществлении данного эксперимента. Часто обозначается
U или Ω . Его вероятность P(U) = 1.
З
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ в теории вероятностей утверждает, что
СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ большого числа случайных
слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы
сильно каждая СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. не отклонялась от
своего среднего значения, при суммировании эти отклонения
«взаимно гасятся», так что СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ к
постоянной величине.
И
ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА. Доверительный интервал
(интервал со случайными границами), в котором с заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр.
ИСПРАВЛЕННОЕ ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ. См. ВЫБОРОЧНОЕ
СРЕДНЕЕ
КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ)
ОТКЛОНЕНИЕ.
К
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Пусть имеется N
равновозможных, попарно несовместных исходов. И пусть M из
них благоприятствуют событию A: Тогда ВЕРОЯТНОСТЬЮ события A называется величина P(A) = M/N.
КОМБИНАТОРИКА. Раздел математики, в котором изучается вопрос о
том сколько различных комбинаций подчиненных тем или
иным условиям можно составить из конечного числа различных
элементов. Комбинации, отличающиеся друг от друга составом
элементов, или их порядком называются соединениями. Различают три вида соединений: РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ,
СОЧЕТАНИЯ.
КОРРЕЛЯЦИЯ. Статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой до-
22
пустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой
корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.
КОЭФФИЦИЕНТ ВАРИАЦИИ случайной величины X с положительным
математическим ожиданием M(X) — число V(X) = σ(X)/M(X), где
σ(X) — СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ случайной
величины X.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ. Число, показывающее степень вероятностной (статистической) связи между двумя случайными величинами
X
и
Y.
Вычисляется
по
формуле
rX ,Y 
M ( XY )  M ( X )M (Y )
, где M - математическое ожидание. D D( X ) D(Y )
дисперсия. Всегда  1  rX ,Y  1 . Чем ближе rX2 ,Y к 1, тем теснее
связь величин X и Y, чем ближе rX ,Y к нулю, тем связь менее выражена.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ для проверки гипотезы о согласованности выборочного распределения с
теоретическим генеральным распределением.
М
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных
для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какойлибо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками
Во многих своих разделах математическая статистика опирается
на ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый
объем выборки для получения результатов требуемой точности
при выборочном обследовании).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. По своему смыслу — среднее значение случайной величины.
Сумма произведений случайной величины на их вероятности —
для дискретного распределения случайной величины.
Интеграл от произведения случайной величины на функцию
плотности вероятности — для непрерывного распределения
случайной величины.
23
МЕДИАНА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Для произвольной случайной
величины X — это такое число Q, что P( X  Q)  1 / 2 и
P( X  Q)  1 / 2
Для
непрерывной
случайной
величины
P( X  Q)  P( X  Q)  1 / 2 . Если распределение случайной величины симметрично, как, например, в случае нормального распределения, то медиана совпадает с математическим ожиданием.
МОДА НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ — такое значение х,
в котором ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ f (x) достигает своего
локального максимума. Мода есть «центр сгущения» случайной
величины в смысле наиболее часто встречающихся значений случайной величины. Распределение с одной модой называется унимодальным, а распределение с несколькими модами - мультимодальным. Для симметричного унимодального распределения мода совпадает с математическим ожиданием, а следовательно, и с
медианой.
МОМЕНТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. k-м моментом случайной величины X, называется число M ( X k ) , где M – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ. В частности – первый момент это просто
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ (среднее значение) X.
Н
НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ. Событие, которое никогда не происходит
при осуществлении данного эксперимента. Часто обозначается
V . Его вероятность P(V) = 0.
НЕСОВМЕСТНЫЕ (НЕСОВМЕСТИМЫЕ) СОБЫТИЯ. События A и B
несовместны, если они вместе произойти не могут. (Их произведение AB есть невозможное событие).
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. События A и B независимы, если информация о том, что одно из них произошло, не влияет на вероятность другого события.
НЕЗАВИСИМОСТЬ В СОВОКУПНОСТИ События A1 , A2 ,…, An независимы в совокупности, если информация о том, что некоторое
количество из них произошло, не влияет на вероятность
остальных событий.
НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Случайные величины
называют независимыми, если их совместная функция распределения (плотность распределения) может быть представлена в
виде произведения одномерных функций распределения (плотностей распределения)
НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.— Плотность
вероятности непрерывной случайной величины.
24
НЕСМЕЩЕННОЕ ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
(КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ исправленное . См.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ.
НОРМАЛЬНОЕ (ГАУССОВО) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Распределение вероятностей непрерывной случайной величины с плотностью
f ( x)  exp[ ( x  a) 2 / 2 2 ] / 2  , где a,  — параметры распределения. Для нормального распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) = a, D(X) = σ2, а
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ имеет вид
 xa
F ( x)  
 , где  y  
  
1
2
y
e

x2
2
dx — так называемый интеграл

вероятности.
Соответствует
формальному
пределу
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЕРНУЛЛИ при n   . Применяется очень
широко, поскольку, в силу ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПРЕДЕЛЬНЫХ
ТЕОРЕМ, нормальное распределение — наиболее часто встречающееся на практике распределение.
П
ПЕРЕСТАНОВКИ. Соединения, составленные из одних и тех же n элементов, которые отличаются друг от друга только их порядком
размещения. Обозначается Pn . Число перестановок Pn  n!.
ПЛОТНОСТЬ вероятности (дифференциальная функция распределения). Производная (интегральной) функции распределения случайной величины.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА АКСИОМ. Система аксиом, определяющая математический объект однозначно с точностью до изоморфизма.
ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ. Множество событий, которые попарно
несовместны, а их объединение (сумма) является достоверным
событием.
ПОСТУЛАТ – аксиома или правило вывода.
ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ СОБЫТИЕ к данному событию A — событие, которое происходит только в том случае, если не происходит
данное событие A. Обозначается обычно A или A' .
Р
РАВНОМЕРНОЕ распределение. Распределение вероятностей непрерывной случайной ВЕЛИЧИНЫ с плотностью вероятности
f ( x)  1 /(b  a) на отрезке [a, b], и равный 0 вне его. Для равномерного распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и
25
(b  a) 2
, а ИНТЕГРАЛЬНАЯ
12
ïðè
xb
 1
x a
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ F ( x)  
ïðè x  [a; b] .
b

a

ïðè
xa
 0
ДИСПЕРСИЯ M ( x) 
ab
,
2
D( x) 
РАЗМЕЩЕНИЯ. Соединения, составленные из n различных элементов по
m элементам, которые отличаются друг от друга либо составом
элементов, либо их порядком. Обозначается Anm . Число размещений Anm 
n!
.
(n  m)!
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ вероятностей. Закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕРНУЛЛИ. Распределение вероятностей дискретной случайной величины, при котором она принимает значения
k = 0,1,2, … ,n с вероятностью P(k )  Cnk p k q nk , где p – параметр
распределения, 0  p  1 , q  1  p Cnk — БИНОМИНАЛЬНЫЙ
КОЭФФИЦИЕНТ.
Для
распределения
Бернулли
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) = np,
D(X) = npq. Применяется в задачах, где производится фиксированное число одинаковых независимых испытаний и интересуются появлением определенного числа успехов.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. Распределение вероятностей дискретной случайной величины, при котором она принимает значения
k = 0,1,2, … ,n с вероятностью P(k ,  )  (k / k!)e , где λ > 0 – параметр
распределения.
Для
распределения
Пуассона
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ M(X) =
D(X)=
λ.
Соответствует
пределу
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
БЕРНУЛЛИ при p  0 , n   при условии, что np   . Применяется в задачах, где производится очень большое число одинаковых независимых испытаний, а вероятность успеха в каждом
отдельном испытании очень мала.
С
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ (в теории вероятностей) - событие, которое
может при осуществлении данных условий (т. е. при данном
испытании) как произойти, так и не произойти, и для которого
имеется определенная вероятность его наступления.
СОЧЕТАНИЯ. Соединения, составленные из n различных элементов по m
элементам, которые отличаются друг от друга хотя бы одним
C nm .
элементом.
Обозначается
Совпадает
с
26
БИНОМИНАЛЬНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ. Число сочетаний
Cnm 
n!
.
m!(n  m)!
СРЕДНЕЕ взвешенное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , равная
p1a1  p2 a2  ...  pn an
, где числа pi называются
p1  p2  ...  pn
весами чисел ai .
СРЕДНЕЕ выборочное. Среднее арифметическое от полученных значений измеряемой величины.
СРЕДНЕЕ квадратичное. Числовая характеристика совокупности чисел
a1 , a2 ,, an , определяемая формулой
a12  a22    an2
.
n
СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ (КВАДРАТИЧЕСКОЕ) ОТКЛОНЕНИЕ.
Корень квадратный из дисперсии. Обозначается обычно σ .
СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ. См. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
ОТКЛОНЕНИЕ.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ Однозначно определенное правило,
руководствуясь которым проверяемую гипотезу о свойствах
генеральной совокупности отклоняют или принимают.
СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ. См. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
БЕРНУЛЛИ.
Т
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции
над ними.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА. Числовая функция результатов
наблюдений, значение которой ближе всего к неизвестному
параметру генеральной совокупности.
У
УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ. Описывает связь условной средней одной
случайной величины Y от соответствующих значений другой
величины X. В случае линейной связи уравнение линейной реY Y
X X
 rX ,Y
, где X , Y — ВЫБОРОЧНЫЕ
 (Y )
 (X )
X и Y, а  ( X ),  (Y ) — СТАНДАРТНЫЕ
грессии имеет вид:
СРЕДНИЕ от
ОТКЛОНЕНИЯ X и Y,
КОРРЕЛЯЦИИ между X и Y.
27
а
rX ,Y —
КОЭФФИЦИЕНТ
Ф
ФАКТОРИАЛ. Функция, определенная на множестве натуральных чисел.
(Название происходит от латинского factor- «сомножитель»).
1 2  3    n n  1
1
n0

Обозначается n! По определению n! 
ФУНКЦИЯ
распределения
(дифференциальная).
См.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ФУНКЦИЯ распределения (интегральная). Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х принимает значение, не
превышающее х.
Ц
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ — класс теорем в теории
вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества
слабо зависимых случайных величин имеет распределение
близкое к НОРМАЛЬНОМУ. Так как многие случайные величины в приложениях являются суммами нескольких случайных
факторов, центральные пределы теоремы обосновывают популярность нормального распределения.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. k-м центральным моментом случайной величины X, называется число
M (( X  M ( X )) k ) , где M – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. В
частности, первый центральный момент тождественно равен
нулю, а второй центральный момент — это ДИСПЕРСИЯ случайной величины.
Э
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ (ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины
с плотностью вероятности f ( x)  ex при x ≥ 0, f(x)=0 при x < 0,
где λ – параметр распределения. Для экспоненциального распределения МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ и ДИСПЕРСИЯ
M(X) = np, D(X) = npq.
28
СОДЕРЖАНИЕ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ........................................................................ 3
Выписка из государственного образовательного стандарта ....................... 4
Цели и задачи дисциплины ............................................................................. 4
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................ 6
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ..................................................................................... 7
Содержание лекционных занятий. ................................................................. 7
Содержание практических занятий. ............................................................... 9
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. ..................................................... 9
а) вопросы для подготовки к экзамену ........................................................ 10
б) задачи для подготовки к экзамену и контрольным работам ................. 12
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ................................................ 17
Учебники ......................................................................................................... 17
Задачники ........................................................................................................ 17
Справочники. .................................................................................................. 18
ГЛОССАРИЙ ..................................................................................................... 19
СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................. 29
29
1
СПбИВЭСЭП
Санкт-Петербург, Литейный пр., 42
Подписано к печати __.__.2006 г. Тираж ____ экз.
Ризограф о-ва «Знание»
1
30