ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 251, 253 ГРУПП. ЧЕТВЁРТЫЙ СЕМЕСТР... 1. Определения, простейшие свойства и примеры евклидовых и... 2. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами, неравенство...

ВОПРОСЫ ЭКЗАМЕНА ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 251, 253 ГРУПП. ЧЕТВЁРТЫЙ СЕМЕСТР 2014/2015гг
1. Определения, простейшие свойства и примеры евклидовых и унитарных пространств.
2. Неравенство Коши-Буняковского. Длина вектора, угол между векторами, неравенство треугольника.
3. Матрица Грама базиса, вычисление скалярного произведения в координатах. Изменение матрицы
Грама при замене базиса.
4. Изоморфизм унитарных (евклидовых) пространств, связь с матрицей Грама. Матрица Грама как матрица
квадратичной формы, задание скалярного произведения при помощи матрицы Грама.
5. Ортогональная и ортонормированная системы векторов, их свойства (в частности, линейная
независимость).
6. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
7. Существование ортонормированного базиса в любом евклидовом или унитарном пространстве,
дополнение ортонормированной системы до ортонормированного базиса. Изоморфизмы евклидовых,
унитарных пространств.
8. Унитарные и ортогональные матрицы как матрицы перехода.
9. Ортогональное дополнение. Простейшие свойства (6 свойств). Базис и размерность ортогонального
дополнения. Разложение пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального
дополнения.
10. Функционалы, сопряжённое векторное пространство, построение базиса в нём. Матрица перехода
между сопряжёнными базисами.
11. Ядро функционала, его свойства.
12. Канонический изоморфизм пространства и его второго сопряжённого пространства. Описание
сопряжённого пространства для евклидова пространства.
13. Сопряженное линейное отображение: эквивалентность двух определений для унитарных и
евклидовых пространств, существование и единственность, Матрица сопряжённого линейного
отображения в ортонормированных базисах.
14. Свойства (4) сопряженных линейных отображений.
15. Нормальные, самосопряжённые, кососимметрические, ортогональные, унитарные операторы, их
матрицы в ортонормированных базисах.
16. Свойства нормальных операторов (в частности, инвариантность ортогонального дополнения,
собственные вектора).
17. Канонический вид матрицы нормального оператора в унитарном пространстве, следствия.
18. Канонический вид матрицы самосопряжённого оператора в евклидовом или унитарном пространстве.
Приведение к диагональному виду вещественной квадратичной формы при помощи ортогонального
преобразования переменных.
19. Свойства кососимметрических и унитарных операторов.
20. Канонический вид матрицы нормального оператора в евклидовом пространстве.
21. Канонический вид матрицы ортогонального оператора. Теорема Эйлера о вращениях трёхмерного
пространства.
22. Квадратичная форма, связанная с самосопряжённым оператором. Положительные и положительно
определённые операторы, их собственные числа.
23. Положительные и положительно определённые операторы, их собственные числа.
24. Существование и единственность квадратного корня в классе положительных операторов.
25. Теорема о полярном разложении и следствие из неё. Случай совпадения двух полярных разложений
(без доказательства).
26. Канонический вид матрицы линейного отображения двух евклидовых (унитарных) пространств.
27. Ортогональная проекция как самосопряжённый идемпотентный оператор.
28. Объём параллелепипеда в евклидовом пространстве. Следствие о связи с матрицей перехода.
29. Одинаково ориентированные (сохраняющие ориентацию) базисы. Геометрический смысл знака
определителя матрицы перехода.
Упражнения:
1. Придумать другое (не через непосредственное возведение в квадрат) доказательство неравенства
треугольника.
2. Из сохранения скалярного произведения линейным отображением следует его инъективность.
3. Размерность сопряжённого пространства бесконечномерного пространства больше размерности
исходного пространства.
4. Связь между матрицей сопряженного линейного отображения (в сопряженных базисах) и матрицей
линейного отображения для случая произвольных векторных пространств.
5. Доказать свойства сопряженного линейного отображения непосредственно по определению.
6. Доказать, что сопряженное линейное отображение сюръективно (инъективно) тогда и только тогда,
когда исходное линейное отображение инъективно (сюръективно).
7. Доказать единственность второго вида полярного разложения (в произведение ортогонального и
положительно определённого операторов).
8. Доказать, что два полярных разложения совпадают тогда и только тогда, когда оператор нормален.
9. Когда от одного базиса можно непрерывной деформацией перейти к другому?