Задачи по теме Подпространство, его базис и размерность

Подпространство, его базис и размерность.
Пусть L – линейное пространство над полем P и A – подмножество из L. Если A само
составляет линейное пространство над полем P относительно тех же операций, что и L, то
A называют подпространством пространства L.
Согласно определению линейного пространства, чтобы A было подпространством
надо проверить выполнимость в A операций:
1) a, b  A : a  b  A ;
2) (a  A)(k  P) : ka  A ;
и проверить, что операции в A подчинены восьми аксиомам. Однако последнее будет
излишним (в силу того, что эти аксиомы выполняются в L) т.е. справедлива следующая
Теорема. Пусть L линейное пространство над полем P и A  L . Множество A тогда и
только тогда является подпространством L, когда выполняются следующие требования:
1. a, b  A : a  b  A ;
2. (a  A)(k  P) : ka  A .
Утверждение. Если L – n-мерное линейное пространство и A его подпространство, то A
также конечномерное линейное пространство и его размерность не превосходит n.
Пример 1. Является ли подпространством пространства векторов-отрезков V2 множество
S всех векторов плоскости, каждый из которых лежит на одной из
осей координат 0x или 0y?
Решение: Пусть a  ОХ , b ОY и a  0 , b  0 . Тогда
a  b  S . Следовательно, S не является подпространством V2 .
Пример 2. Является ли линейным подпространством линейного
пространства V2 векторов-отрезков плоскости множество S всех
векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной
прямой l этой плоскости?
Решение.
Если вектор а  S умножить на действительное число
y
k, то получим вектор k  а , также принадлежащий S.
Если а и b – два вектора из S, то a  b  S (по правилу
l
сложения векторов на прямой). Следовательно, S
b
является подпространством V2 .
Пример 3. Является ли линейным подпространством
линейного пространства V2 множество A всех векторов
а
плоскости, концы которых лежат на данной прямой l,
x (предположить, что начало любого вектора совпадает с
0
началом координат)?
Решение.
y
В случае, когда прямая l не
проходит через начало
координат
множество
А
линейным
подпространством
пространства
V2
не
l
является, т.к. а  b  l .
В случае, когда прямая l
проходит через начало
а +b
координат,
множество
А
является
линейным
b
подпространством
пространства
V2,
т.к.
а
любого вектора а  А на
а  b  l и при умножении
x
действительное число α из
поля Р получим  а  l .
0
Таким образом, требования линейного пространства для множества А выполнены.
Пример 4. Пусть дана система векторов a1 ,..., ak из линейного пространства L над полем
P. Доказать, что множество всевозможных линейных комбинаций t1a1  ...  t k ak с
коэффициентами t1 ,..., t k из P является подпространством L (это подпространство A
называют подпространством, порожденным системой векторов a1 ,..., ak или линейной
оболочкой
этой
системы
векторов,
A  L(a1 ,..., ak ) ).
Решение. Действительно, так как
и
обозначают
так:
A  a1 ,..., ak

или

A  t1a1  ...  t k ak , ti  P, i  1, k , то для любых
элементов x, y  A имеем: x  r1a1  ...  rk ak , y  s1a1  ...  sk ak , где ri , si  P , i  1, k .
Тогда x  y  (r1 a1  ...  rk a k )  (s1 a1  ...  s k a)  r1  s1 a1  ...  rk  s k a k
Так как ri , si  P , то ri  si  P , поэтому x  y  a1 ,..., ak .
Проверим выполнимость второго условия теоремы. Если x – любой вектор из A и t –
любое число из P, то tx  t (r1a1  ...  rk ak )  (tr1 )a1  ...  (trk )ak . Поскольку t  P и
ri  P , i  1, k , то tri  P , i  1, k , поэтому tx  a1 ,..., ak . Таким образом, согласно
теореме, множество A – подпространство линейного пространства L.
Для конечномерных линейных пространств справедливо и обратное утверждение.
Теорема. Всякое подпространство А линейного пространства L над полем P является
линейной оболочкой некоторой системы векторов.
При решении задачи нахождения базиса и размерности линейной оболочки
используют следующую теорему.
Теорема. Базис линейной оболочки a1 ,...,ak совпадает с базисом системы векторов
a1 ,..., ak . Размерность линейной оболочки
векторов a1 ,..., ak .
a1 ,...,ak
совпадает с рангом системы
Пример 4. Найти базис и размерность подпространства S  a1 , a2 , a3 , a4
линейного
пространства Р3[x], если a1  1  x , a2  1  x , a3  1  x  x 3 , a4  2  x3 .
Решение. Известно, что векторы и их координатные строки (столбцы) обладают
одинаковыми свойствами (в отношении линейной зависимости). Составляем матрицу
1 1

A=  1  1
0 0

0 0

1
1
0
1
2

0  из координатных столбцов векторов
0

1 
a1 , a2 , a3 , a4 в базисе 1, x, x2 , x 3 .
Найдем ранг матрицы A.
1
1
2
0
0
1
1 1
1 1
 2  0 . M 4  А  0 .
M2 
 1  1  2  0 . М3= 1  1 0  1  (1)33
1 1
1 1
Следовательно, ранг r(A)=3. Итак, ранг системы векторов a1 , a2 , a3 , a4 равен 3. Значит,
размерность подпространства S равна 3, а его базис состоит из трех векторов a1 , a 2 , a4
(т.к. в базисный минор M 3 входят координаты только этих векторов).
Пример 5. Доказать, что множество H векторов арифметического пространства A n , у
которых первая и последняя координаты равны 0, составляет линейное подпространство.
Найти его базис и размерность.
Решение. Пусть x, y  H .
и
x  ( 0 , x2 , ..., xn 1 , 0 ) ,
y  ( 0 , y 2 , ..., y n 1 , 0 )
x  y  ( 0 , x2  y 2 , ..., xn 1  y n 1 , 0 ) . Следовательно, x  y  H для любых x, y  H .
Тогда
Если x  H , k  P , то kx  k (0, x2 ,..., xn1 ,0)  (0, kx2 ,..., kxn1 ,0)  H . Таким
образом, согласно теореме о линейном подпространстве, множество H является линейным
подпространством пространства A n . Найдем базис H. Рассмотрим следующие векторы из
H: a2  ( 0, 1, 0, ..., 0 ) , a3  ( 0 , 0 , 1, ..., 0 ) , an 1  ( 0 , 0 , 0 , ..., 1, 0 ) . Эта система векторов
линейно независима. Действительно, пусть k 2 a2  ...  k n1an1  0 .
Тогда k 2( 0 , 1, ..., 0 )  k 3( 0 , 0 , 1, ..., 0 )  ...  k n 1( 0 , 0 , .., 1, 0 ) 
 ( 0 , k 2 , ..., 0 )  ( 0 , 0 , k 3 , ..., 0 )  ...  ( 0 , 0 , .., k n 1 , 0 ) 
 ( 0 , k 2 , k 3 , ..., k n 1 , 0 )  0  ( 0 , 0 , ..., 0 ) и k 2  ...  k n 1  0 .
Можно убедиться, что система a2 ,..., an1 , x линейно зависима при любом векторе x
из H. Этим доказано, что a2 , ..., an 1 максимальная линейно независимая система
векторов подпространства H, т.е. a2 , ..., an 1 – базис в H и dimH=n -2.