Определение истинного азимута по наблюдению Солнца
реклама
Томский государственный архитектурно-строительный университет Определение истинного азимута по наблюдению Солнца и звѐзд Методические указания Томск 2010 Истинные азимуты линий местности необходимо знать для правильной ориентировки геодезических сетей, для контроля угловых измерений и ориентирования висячих и замкнутых теодолитных ходов. Для трассы автомобильной дороги, проложенной на основе разомкнутого теодолитного хода, важно знать истинные азимуты еѐ начального и конечного направлений. Очень часто при фотогеодезических и картографических работах встречаются случаи, когда бывает необходимо и достаточно определить направление истинного меридиана с точностью до 1…2′ . Заметим, что вообще определение направления меридиана приводится к определению азимута А какого-нибудь достаточно удалѐнного земного предмета. Истинный (астрономический) азимут определяют с помощью астрономических наблюдений Солнца и звѐзд, фиксируя их положение и моменты времени относительно точки наблюдения. 1. Небесная сфера Сфера произвольного радиуса с центром, помещенным в произвольной точке пространства (скажем, в любой точке поверхности Земли), называется небесной сферой. Прямая 𝑍𝑂𝑍 ′ , проходящая через центр небесной сферы и параллельная или совпадающая с направлением нити отвеса в данной точке Земли, называется отвесной или вертикальной линией (см. рис. 1). Отвесная линия пересекает поверхность небесной сферы в двух точках: в зените (Z) – над головой наблюдателя и в прямо противоположной точке – надире (𝑍′ ). Большой круг небесной сферы (SWNE), плоскость которого перпендикулярна к отвесной линии, называется математическим, или истинным горизонтом. Математический горизонт делит поверхность небесной сферы на две половины: видимую для наблюдателя, с зенитом Z, и невидимую, с надиром 𝑍′ . 2 Рис. 1 Малый круг небесной сферы (𝑎𝜎𝑎), параллельный математическому горизонту и проходящий через светило 𝜎, называется альмукантаратом светила. Большой круг небесной сферы 𝑍𝜎𝑍′ , проходящей через зенит, светило 𝜎 и надир, называется кругом высоты, вертикальным кругом, или просто вертикалом светила. Диаметр 𝜌𝑂𝜌 ′ (рис. 2), вокруг которого происходит кажущееся вращение небесной сферы, называется осью мира. Ось мира пересекается с поверхностью небесной сферы в двух точках: в северном полюсе мира 𝜌 и южном полюсе мира 𝜌 ′ . Северный полюс мира тот, со стороны которого кажущееся вращение небесной сферы происходит по часовой стрелке, если смотреть на сферу снаружи. 3 Рис. 2 Большой круг небесной сферы 𝐴𝑊𝐴′𝐸, плоскость которого перпендикулярна к оси мира, называется небесным экватором. Небесный экватор делит поверхность небесной сферы на два полушария: северное, с северным полюсом мира 𝜌, и южное, с южном полюсом мира 𝜌 ′ . Малый круг небесной сферы (𝑏𝜎𝑏), параллельный небесному экватору и проходящий через светило 𝜎, называется небесной параллелью, или суточной параллелью светила. Большой полукруг небесной сферы 𝜌𝜎𝜌 ′ , проходящий через полюсы мира и светило 𝜎, называется часовым кругом, или кругом склонения светила. Небесный экватор пересекается с математическим горизонтом в двух точках: в точке востока E и в точке запада W. 4 Большой круг небесной сферы 𝑆𝐴𝑍𝜌𝑁𝐴′𝑍′𝜌′, плоскость которого проходит через отвесную линию и ось мира, называется небесным меридианом. Небесный меридиан делит поверхность небесной сферы на два полушария: восточное с точкой востока E и западное с точкой запада W. Небесный меридиан пересекается с математическим горизонтом в двух точках: в точке севера N и в точке юга S. Точкой севера называется та, которая ближе к северному полюсу мира, точкой юга – ближняя к южному полюсу мира. Небесный меридиан пересекается с небесным экватором в двух точках: в верхней точке экватора A, которая ближе к зениту Z, и в нижней точке экватора 𝐴′, которая ближе к надиру 𝑍′. Плоскости небесного меридиана и математического горизонта пересекаются по прямой 𝑁𝑂𝑆, которая называется полуденной линией. Большой круг небесной сферы, плоскость которого наклонена к плоскости небесного экватора под углом 𝜀, называется эклиптикой. Угол 𝜀 для середины 2010 года равен 23ᵒ26′ 16′′ . 49. Две точки небесной сферы, отстоящие на 90° от всех точек эклиптики, называются северным полюсом эклиптики (в северном полушарии) и южным полюсом эклиптики (в южном полушарии). На рис. 2 эклиптика не показана. По эклиптике происходит видимое годичное движение Солнца на фоне звѐзд в направлении, обратном суточному вращению небесной сферы. Эклиптика пересекается с небесным экватором в двух точках: в точке весеннего равноденствия и в точке осеннего равноденствия . Точка весеннего равноденствия та, в которой Солнце пересекает небесный экватор, переходя из южного полушария небесной сферы в северное. В точке осеннего равноденствия Солнце переходит из северного полушария в южное. Точки эклиптики, отстоящие от равноденственных на 90°, называются: точкой летнего солнцестояния (в северном полушарии) и точкой зимнего солнцестояния (в южном полушарии). 5 2. Системы небесных координат В астрономии, в геодезической астрономии наиболее употребительны две системы небесных координат: горизонтальная система координат и экваториальная система (первая и вторая). Горизонтальная система. Угловое расстояние по вертикальному кругу 𝐶𝜎 (рис. 1) от математического горизонта до светила, или центральный угол 𝐶𝑂𝜎, называется высотой светила над горизонтом. Высота обозначается буквой h и отсчитывается от 0 до +90° к зениту (светило находится в видимой части небесной сферы) и от 0 до −90° к надиру (светило находится в невидимой части небесной сферы). Угловое расстояние по вертикальному кругу 𝑍𝜎 от зенита до светила, или центральный угол 𝑍𝑂𝜎, называется зенитным расстоянием светила. Зенитные расстояния обозначаются буквой z и отсчитываются от 0 до 180° к надиру. Светила, находящиеся в видимой части небесной сферы, имеют 𝑧 < 90°, а в невидимой части 𝑧 > 90°. Между зенитным расстоянием светила и его высотой всегда справедливо соотношение 𝑧 + = 90°. (1) Светила, находящиеся на одном альмукантарате, имеют одинаковые высоты и одинаковые зенитные расстояния. Угловое расстояние по математическому горизонту SC от точки юга S до вертикального круга, проходящего через светило, или центральный угол SOC, называется (астрономическим) азимутом светила. Азимуты обозначаются буквой “A” или “a” и отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы, т.е. в сторону запада от 0 до 360°. Иногда азимуты отсчитываются от 0 до 180° к западу (западные азимуты), и от 0 до −180° к востоку (восточные азимуты). Светила, находящиеся на одном вертикальном круге, имеют одинаковые азимуты. В геодезии азимуты отсчитываются от точки N (точка севера) либо от 0 до 360° в сторону востока, либо от 0 до 180° восточные и от 0 до −180° 6 западные азимуты. Так отсчитываемые азимуты называются геодезическими, в отличие от астрономических азимутов, отсчитываемых от точки юга. Между геодезическим азимутом a и астрономическим A существует простое соотношение a = 𝐴 ± 180°. (2) Знак “плюс” берѐтся для 𝐴 < 180°, или для отрицательных (восточных) A, “минус” – для 𝐴 > 180°, или положительных (западных) A. Первая экваториальная система Угловое расстояние по часовому кругу 𝐶𝜎 (см. рис. 2) от небесного экватора до светила, или центральный угол 𝐶𝑂𝜎, называется склонением светила. Склонение обозначается буквой 𝛿 и отсчитывается от 0 до +90° к северному полюсу мира (светило находится в северном полушарии) и от 0 до −90° к южному полюсу (светило находится в южном полушарии). Угловое расстояние по часовому кругу 𝜌𝜎, от северного полюса мира до светила, или центральный угол 𝜌𝑂𝜎, называется полярным расстоянием светила. Полярные расстояния обозначаются буквой p и отсчитываются от 0 до 180° к южному полюсу мира. Светила, находящиеся в северном полушарии, имеют 𝑝 < 90° , а в южном полушарии 𝑝 > 90°. Между полярным расстоянием и склонением одного и того же светила справедливо соотношение 𝑝 + 𝛿 = 90° (3) Светила, находящиеся на одной суточной параллели, имеют одинаковое склонение и одинаковое полярное расстояние. Угловое расстояние по небесному экватору AC от верхней точки экватора до часового круга, проходящего через светило, или центральный угол AOC, называется часовым углом светила. Часовые углы обозначаются буквой t и отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы от 0 до 360° (в градусной мере) или от 0 до 24 (в часовой мере). Иногда часовые углы отсчитываются от 0 до +180° (от 0 до 12 ) к западу (западные часовые углы) и от 0 до −180° (от 0 до −12 ) к востоку (восточные часовые углы). Светила, находящиеся на одном часовом круге, имеют одинаковый часовой угол. 7 Вторая экваториальная система Угловое расстояние по небесному экватору 𝛾𝐶 (рис. 2) от точки весеннего равноденствия до часового круга светила, или центральный угол 𝛾𝑂𝐶, называется прямым восхождением светила. Прямые восхождения обозначаются буквой 𝛼 и отсчитываются в направлении, противоположном суточному вращению небесной сферы от 0 до 360° (в градусной мере) или от 0 до 24 (в часовой мере). Светила, находящиеся на одном часовом круге, имеют одинаковое прямое восхождение. Итак, для того чтобы зафиксировать положение светила на небесной сфере в какой-то момент времени достаточно задать две координаты (в какой-либо системе сферических координат). 3. Измерение времени В астрономии, в космической геодезии время выполняет две функции: показывает угол поворота земной системы координат относительно небесной, что необходимо при переходах из одной системы координат в другую; выступает в качестве независимой переменной в уравнениях движения естественных и искусственных небесных тел. В соответствии с решаемыми задачами, применяются два типа систем времени: астрономические и атомные системы времени. Астрономические системы времени связаны с суточным вращением Земли. Вращение Земли не является равномерным. Еѐ скорость показывает периодические изменения, и долгосрочные дрейфы порядка секунды за год. В противоположность им, системы атомного времени имеют строго равномерную шкалу. Их постоянство во времени характеризуется точностью порядка микросекунды за год, то есть более чем на шесть порядков выше, чем в системах астрономического времени. Однако когда требуется наивысшая точность результатов, системы атомного времени становятся недостаточными из-за того, что в них не учитываются эффекты общей и специальной теории относительности, имеющие, как правило, периодический характер. В таких случаях применяется динамическое время. Динамическое время является независимой переменной в уравнениях движения тел в гравитационном поле в соответствии с общей теорией относительности (ОТО). 8 Международное атомное время TAI было введено в июле 1955 г. в качестве основного временного стандарта. До атомного времени наилучшим приближением к постоянному времени было эфемеридное время ET, которое использовало наилучшую теорию вращения Земли для удаления всех известных изменений в скорости вращения. Использование эфемеридного времени продолжалось до 1984 г. До этого времени оно было независимой временной переменной для планетарных эфемерид. Атомная секунда определена как 9192631770 колебаний невозмущенных переходов между двумя энергетическими уровнями цезия 133. Это число было выбрано для того, чтобы приблизить величину фундаментальной единицы времени в Международной системе научных единиц SI к средней секунде астрономических систем времени. Связь между атомным временем TAI и всемирным временем UT1 производится либо через разность UT1−ATI, либо через всемирное координированное время UTC, для которого также сообщается разность шкал UT1−UTC. Всемирное координированное время UTC по своей природе является атомным. Оно используется для передач сигналов точного времени (в нашей стране через радиостанции Государственной службы времени и частоты ГСВЧ). Но величина разности UT1−UTC по определению времени UTC не должна быть более 0,9 секунды. В случае приближения еѐ к этому значению шкалу UTC корректируют на 1 секунду. Поэтому шкала времени UTC является ступенчато-равномерной. В свою очередь всемирное время UT1 определяют на обсерваториях Международной службы вращения Земли (МСВЗ) по результатам лазерной локации Луны и геодезических спутников, наблюдениям спутников навигационной системы NAVSTAR (GPS) и наблюдениям внегалактических радиоисточников на радиоинтерферометрах со сверхдлинными базами. Коррекция шкалы UTC на величину ±1 секунду проводится Международным бюро мер и весов (BIPM, ранее Международным бюро времени BIH) по рекомендации Международной службы вращения Земли. Коррекцию выполняют по мере надобности либо в полдень после последней секунды полугодия 30 июня или в конце 31 декабря и осуществляют одновременно всеми пользователями, воспроизводящими и использующими шкалу UTC. В Астрономическом ежегоднике (АЕ), издающемся в нашей стране в печатном и электронном виде на каждый год, эфемериды например, Солнца 9 приводятся по аргументу “земное время ТТ”. Земное время ТТ является современной шкалой времени, заменившей вышедшее из употребления эфемеридное время. Земное время ТТ было введено Международным астрономическим союзом как координатное время, согласующееся с теорией относительности для наблюдения на поверхности Земли. Шкалы времени ТТ (и предшествовавшая ему шкала Барицентрического динамического времени TDB) определены так, что их неравномерность имеет периодический характер только из-за орбитального движения Земли по отношению к барицентру Солнечной системы. Для большинства практических целей время ТТ можно вычислить по формуле: ТТ ≃ 𝑈𝑇𝐶 + 66𝑠 (для 2009 г.) (4) В астрономии основной единицей меры времени являются сутки. Сутками называется промежуток времени, в течение которого Земля делает один полный оборот вокруг своей оси относительно какой-нибудь точки на небе. Сутки делятся на 24 часа, час (. ) – на 60 минут, минута (.𝑚 ) – на 60 секунд, секунда (.𝑠 ) – на десятые, сотые и т.д. доли. Продолжительность суток зависит от того, относительно какой точки определяется период вращения Земли. В астрономии за точки, определяющие продолжительность суток, принимаются: 1) точка весеннего равноденствия, 2) Солнце (“истинное Солнце”), 3) среднее экваториальное солнце. а) Звездные сутки; звѐздное время. Промежуток времени между двумя последовательными одноимѐнными кульминациями точки весеннего равноденствия на одном и том же земном (географическом) меридиане называется звѐздными сутками. За начало звѐздных суток на данном меридиане принимается момент верхней кульминации точки весеннего равноденствия. Время, протекшее от момента верхней кульминации точки весеннего равноденствия до любого другого еѐ положения, выраженное в долях звѐздных суток (в звѐздных часах, минутах, секундах и т.д.), называется звѐздным временем. 10 Звѐздное время s на данном меридиане в любой момент численно равно часовому углу точки весеннего равноденствия 𝑡𝛾 , выраженному в часовой мере, т.е. 𝑠 = 𝑡𝛾 (5) Звѐздное время равно также сумме часового угла t любого светила и прямого восхождения 𝛼 этого же светила, т.е. 𝑠 = 𝑡+𝛼 (6) В момент верхней кульминации светила t=0 и звѐздное время 𝑠 = 𝛼. (7) б) Истинные солнечные сутки; истинное солнечное время. Промежуток времени между двумя последовательными одноименными кульминациями центра видимого диска Солнца на одном и том же земном (географическом) меридиане называется истинными солнечными сутками. За начало истинных солнечных суток на данном меридиане принимается момент нижней кульминации истинного Солнца (истинная полночь). Время, протекшее от момента нижней кульминации истинного Солнца до любого другого его положения, выраженное в долях истинных солнечных суток (т.е. в истинных солнечных часах, минутах, секундах и т.д.), называется истинным солнечным временем. Истинное солнечное время 𝑚ʘ на данном меридиане в любой момент численно равно часовому углу истинного солнца 𝑡ʘ , выраженному в часовой мере, плюс 12 , т.е. 𝑚ʘ = 𝑡ʘ + 12 . (8) Вследствие того, что истинное Солнце движется не по экватору, а по эклиптике и с переменной скоростью, истинное солнечное время неравномерно, а продолжительность истинных солнечных суток не является постоянной величиной в течение года: зимой она больше, чем летом (суточное движение Солнца и годичное перемещение Солнца на фоне звѐзд является отражением вращения Земли вокруг своей оси и годичного обращения Земли вокруг Солнца). 11 в) Средние солнечные сутки; среднее солнечное время. Для получения равномерного времени (равномерной системы измерения времени) ввели фиктивное солнце таким образом, что равномерное движение (фиктивного) среднего экваториального солнца (по экватору) при условии равномерного суточного вращения небесной сферы (Земли) обеспечивает равномерное возрастание его часового угла. Средними солнечными сутками называется промежуток времени между двумя последовательными одноимѐнными кульминациями среднего экваториального Солнца. Средние солнечные сутки делятся на 24 средних солнечных часа, час делится на 60 минут, минута – на 60 средних секунд. Средние сутки и подразделение их на часы, минуты и секунды называются средними солнечными единицами измерения времени. Среднее солнечное время m на данном меридиане в любой момент численно равно часовому углу среднего экваториального солнца 𝑡ср, выраженному в часовой мере, плюс 12 , т.е. 𝑚 = 𝑡ср + 12 . (9) г) Уравнение времени. Определить среднее время непосредственно из наблюдений нельзя, так как среднего экваториального солнца в действительности нет. Среднее время можно вычислить по заданному звѐздному или истинному солнечному времени. Для преобразования истинного солнечного времени в среднее, а также для обратного преобразования пользуются величиной, называемой уравнением времени. Разность часовых углов среднего экваториального солнца 𝑡ср и истинного Солнца 𝑡ʘ называется уравнением времени 𝜂. 𝜂 = 𝑡ср − 𝑡ʘ (10) Следует иметь в виду, что некоторые астрономические календари и справочники дают 𝜂 = 𝑡ʘ − 𝑡ср, т.е. уравнение времени в них имеет противоположный знак. Если на каком-нибудь меридиане истинное солнечное время равно 𝑚ʘ , то среднее солнечное время m на этом же меридиане определяется по формуле 𝑚 = 𝑚ʘ + 𝜂 (11) 12 Отсюда можно получить истинное солнечное время, если известно среднее солнечное время. В астрономических ежегодниках даются значения уравнения времени в полдень на меридиане Гринвича для каждого дня. д) Относительная продолжительность средних солнечных и звѐздных суток. Тропический год – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями среднего солнца через точку весеннего равноденствия. В тропическом году содержится 365,2422 средних солнечных суток и 366,2422 звѐздных суток. Следовательно, 365,2422 ср. солн. суток =366,2422 звѐздн. суток. Тогда 1 ср. солн. сутки = 1 звѐздн. сутки= 366,2422 365,2422 365,2422 366,2422 = 1,002738 звѐздн. суток, = 0,997270 ср. солн. суток. Коэффициент k=1,002738 служит для перевода промежутков среднего солнечного времени в часы, минуты, секунды и т.д. звѐздного времени, а коэффициент 𝑘 ′ = 0,997270 - для перевода промежутков звѐздного времени в часы, минуты, секунды и т.д. среднего солнечного времени. Легко подсчитать, что за каждые средние солнечные сутки звѐздное время уходит вперед приблизительно на 3𝑚 56𝑠 . Для облегчения вычислений составлены подробные таблицы (приводимые в астрономических ежегодниках и справочниках), по которым любой промежуток времени, выраженный в одних единицах, можно выразить в других единицах. е) Связь среднего солнечного времени со звѐздным временем. 1. Пусть m есть среднее солнечное время в некоторый момент соответствующей календарной даты на каком-нибудь меридиане с восточной долготой от Гринвича λ. Требуется вычислить (местное) звѐздное время s в этот же момент, на этом же меридиане. Эта задача решается по формуле 𝑠 = 𝑆0 + 𝑚 + 𝜇𝑚 − 𝜇𝜆, (12) 13 где 𝑆0 - звѐздное время на меридиане Гринвича в 𝑜 всемирного времени соответствующей календарной даты (можно вычислить по соответствующим формулам или взять из Астрономического Ежегодника); 𝜇=0,002737909351=k−1; - коэффициент, с помощью которого вычисляется поправка к местному среднему солнечному времени m, чтобы перевести его в звѐздное время (поправка 𝜇𝑚 находится по таблицам или может быть вычислена; см. Приложение I); 𝜇𝜆 - поправка за долготу точки наблюдения; долготы к востоку от Гринвича считаются положительными. Находится аналогично поправке 𝜇𝑚. 2. Пусть s есть (местное) звѐздное время в некоторый момент соответствующей календарной даты на каком-нибудь меридиане с восточной долготой от Гринвича λ. Требуется вычислить среднее солнечное время (местное) m в этот же момент, на этом же меридиане. В этом случае m может быть вычислено по формуле 𝑚 = 𝑠 − 𝑆0 − 𝜈 𝑠 − 𝑆0 + 𝜈𝜆; ν=0,002730433665=1−k′. (13) 4. Системы счѐта времени а) Местное время. Звѐздное время s, истинное солнечное 𝑚ʘ и среднее солнечное время m какого-нибудь меридиана называются местным звѐздным, местным истинным солнечным и местным средним солнечным временем этого меридиана. Точки лежащие на одном географическом меридиане в один и тот же момент имеют одинаковое местное время. Разность местных времѐн двух меридианов в один и тот же момент численно равна разности долгот этих меридианов, выраженных в часовой мере, т.е. 𝑠1 − 𝑠2 = 𝜆1 − 𝜆2 𝑚ʘ1 − 𝑚ʘ2 = 𝜆1 − 𝜆2 𝑚1 − 𝑚2 = 𝜆1 − 𝜆2 (14) б) Всемирное время. Местное среднее солнечное время гринвичского меридиана называется всемирным или мировым временем 𝑇0 (введенное выше для всемирного времени обозначение UT1 заменим, для краткости, на 𝑇0 ). Местное среднее солнечное время какого-либо пункта на Земле определяется по формуле 14 𝑚 = 𝑇0 + 𝜆 , (15) Здесь 𝜆 - географическая долгота пункта, выраженная в часовой мере и считаемая положительной к востоку от Гринвича. в) Поясное время. Поясным временем 𝑇п какого-либо пункта называется местное среднее солнечное время основного географического меридиана того часового пояса, в котором расположен данный пункт. Часовыми поясами называют 24 участка вдоль меридианов от северного полюса Земли до южного, ширина которых примерно равна 15° и на которые условно разделена вся поверхность Земли. Основными меридианами часовых поясов называются географические меридианы, проходящие приблизительно по середине часовых поясов и отстоящие точно на 15° по долготе друг от друга. Границы между часовыми поясами не проходят точно по меридианам, а согласуются с государственными, административно-экономическими и естественными границами и могут быть при необходимости изменены. Часовые пояса занумерованы от 0 до 23, в направлении к востоку. Нулевой 1 часовой пояс ограничен меридианами, отстоящими от гринвичского на 7 ° к 2 западу и востоку. Гринвичский меридиан является средним (центральным, основным) меридианом нулевого часового пояса. Средний меридиан первого часового пояса удалѐн от гринвичского на 15° = 1 к востоку, а восточная 1 1 2 2 граница этого пояса (меридиан) имеет долготу 7 ° + 15° = 22 ° = 1 , 5. Разность поясных времѐн двух пунктов, расположенных в разных часовых поясах, является всегда целым числом часов, равным разности номеров их часовых поясов, т.е. 𝑇п2 − 𝑇п1 = 𝑁2 − 𝑁1 , (16) где 𝑁1 и 𝑁2 – номера часовых поясов Отсюда поясное время какого-либо пункта с восточной долготой 𝜆 𝑇п = 𝑇0 + 𝑁 𝑇п = 𝑚 + 𝑁 − 𝜆 (17) г) Декретное время. В 1930 году по Декрету Советского правительства стрелки часов были переведены на всей территории СССР на один час вперѐд. Это время называется декретным временем, 𝑇д. Следовательно 15 𝑇д = 𝑇п + 1 , 𝑇д = 𝑇0 + 𝑁 + 1 , 𝑇д = 𝑚 + 𝑁 − 𝜆 + 1 . (18) Декретное время 2-го часового пояса, к которому отнесена Москва и Московская область, называется московским временем, оно на 3 впереди всемирного. Поясное (декретное) время удобно тем, что разность времѐн в различных государствах, областях, пунктах и т.д. (в какой либо момент) равна целому числу часов, тогда как минуты, секунды и их доли всюду одни и те же. Наряду с этим в каждом пункте(даже вблизи границы часового пояса) оно сравнительно мало отличается от местного среднего солнечного времени. Начиная с 1981 г. в целях “экономии топливно-энергетических ресурсов” в нашей стране введено летнее время, которое, с некоторыми перерывами, действует до сих пор. При этом стрелки часов в 2 часа ночи последнего воскресенья марта переводятся на 1 вперед, а в 3 ночи последнего воскресенья октября на 1 назад. Это ”летнее время” вводится во многих странах мира. Томская область и г. Томск (который находится в 6-ом часовом поясе) живут в последние годы по времени 5-го часового пояса (как и г. Новосибирск, с которым у жителей Томской области существуют обширные деловые и транспортные связи). В Томской области перевод стрелок часов на 1 назад (этот перевод можно воспринимать как отмену декретного часа или как переход в соседний западный часовой пояс) осуществлѐн по просьбам трудящихся в 3 ночи с 30 апреля на 1 мая 2002 года. Таким образом, Тл = 𝑇0 + 7 , 𝑇з = 𝑇0 + 6 . В настоящее время (конец 2009 года) в стране ведется дискуссия об уменьшении числа часовых поясов, отмене декретного часа и целесообразности перехода на летнее время. 5. Определение азимута земного предмета по измеренным зенитным расстояниям Солнца. Как уже отмечалось, будем ориентироваться на точность в определении астрономического (геодезического) азимута в 1′ … 2′. Для достижения такой точности при астрономических наблюдениях небесных светил (Солнца, планет, звѐзд) можно использовать 30′′-теодолит (или более точный), например, 4Т3ОП, дающий прямое изображение. В случае ночных 16 наблюдений звѐзд необходимо обеспечить подсветку сетки нитей зрительной трубы теодолита и поля зрения отсчетного микроскопа. Представим себе на небесной сфере положение истинного Солнца ʘ, полюса мира 𝜌 и зенита Z точки наблюдения в некоторый момент. Эти три точки образуют на небесной сфере так называемый параллактический треугольник 𝜌𝑍ʘ, который изобразим отдельно на рисунке 3: Рис. 3 Рис. 4 Положение Солнца вполне будет определено на небесной сфере, если в параллактическом треугольнике 𝜌𝑍ʘ будет известно: - полярное расстояние зенита 𝜌𝑍 = 90ᵒ − φ, где φ - астрономическая широта точки наблюдения; - зенитное расстояние Солнца 𝑍ʘ = 𝑧; - полярное расстояние Солнца 𝜌ʘ = 90ᵒ − 𝛿, где 𝛿 - склонение Солнца. На рисунке 3 показан геодезический азимут “a”, отсчитываемый от северного направления меридиана (см. раздел 2 и формулу (2)). Используя соответствующую формулу сферической тригонометрии запишем формулу, связывающую интересующие нас величины cos 90ᵒ − 𝛿 = cos 90ᵒ − 𝜑 cos 𝑧 + sin 90ᵒ − 𝜑 sin 𝑧 cos 𝑎, откуда cos 𝑎 = sin 𝛿 −sin 𝜑 cos 𝑧 cos 𝜑 sin 𝑧 (19) 17 Четверть, в которой находится азимут, легко определяется. При заходе Солнца “a” лежит в третьей и четвѐртой четверти, а при восходе Солнца – в первой и второй. Чтобы определить по формуле (19) азимут “a” Солнца, необходимо знать следующие величины: z – измеряется во время наблюдений (с фиксацией момента времени); 𝛿 – находится интерполяцией из Астрономического ежегодника на соответствующий год; 𝜑 -можно снять с крупномасштабной карты; широту и долготу точки наблюдения возможно в настоящее время определить, используя GPS – приѐмник класса картографии и ГИС c точностью определения координат 1…5 м. Вычислив “a”, легко определить геодезический азимут направления на земной предмет, если был измерен угол между направлением на центр Солнца и направлением на земной предмет, по формуле (см. рис. 4): 𝑎з.п. = 𝑎 + 𝑄 (20) Итак, при наблюдении Солнца необходимо, зафиксировав момент времени, измерить горизонтальный угол Q между направлениями на центр Солнца и на земной предмет. Кроме того, пользуясь отсчѐтами вертикального круга, необходимо измерить зенитное расстояние z центра Солнца. Далее, используя формулы (19),(20), вычислить азимут земного предмета. Вместо вычисления азимута по формуле (20) часто предпочитают поступать так. Обозначают отсчѐты при наведении на земной предмет буквой N, а при наведении на Солнце – буквой M. Если из отсчѐта М вычесть азимут Солнца “a”, то мы получим тот отсчѐт, который был бы, если бы трубу направили вдоль меридиана на север. Эту разность M-a называют местом севера и обозначают буквой 𝑀0 . Место севера определяется по формуле (рис. 4): 𝑀0 = 𝑀 ∓ 𝑎 (21) Зная место севера, азимут земного предмета определяют по формуле: 𝑎з.п. = 𝑁 − 𝑀0 (22) 18 Наивыгоднейшие условия определения азимута по Солнцу. Не прибегая к дифференцированию основной формулы (см. формулу, предшествующую (19)), воспользуемся сразу выводами и рекомендациями, взятыми из учебников по практической астрономии. При одних и тех же ошибках 𝑑𝜑 и 𝑑𝛿 наименьшее значение ошибки в азимуте “a” получится при часовом угле 𝑡 = ±6 . Следовательно, наивыгоднейшим моментом наблюдения азимута по Солнцу в смысле влияния 𝑑𝜑 и 𝑑𝛿 будет момент около 6 или 18 местного среднего времени. Влияние же ошибки 𝑑𝑧 в зенитном расстоянии не будет наименьшим при 𝑡 = ±6 . Наивыгоднейшим промежутком времени наблюдения Солнца для определения азимута по измеренным зенитным расстояниям следует считать промежуток времени между восходом (или заходом) Солнца и прохождением его через первый вертикал. Ввиду больших колебаний рефракции у горизонта наблюдения нельзя проводить при самом восходе или заходе Солнца. Впрочем, при приближенных определениях требование наивыгоднейших условий можно соблюдать лишь приблизительно, так что приближенное определение азимута по Солнцу может выполнятся при любом положении Солнца на своей суточной параллели. Организация наблюдений. Теодолит, которым предполагается определить азимут по Солнцу, должен быть тщательно поверен. Коллимационную ошибку необходимо свести до минимума. В процессе наблюдений следить за горизонтальностью оси вращения зрительной трубы. Лучше всего проводить наблюдения Солнца бригадой из нескольких человек. Удобнее всего изображение Солнца наблюдать на небольшом жестком экране, помещѐнном на некоторое расстояние от окуляра зрительной трубы, который держит с упора один из ассистентов наблюдателя. В качестве упора можно использовать другой штатив, нивелирную рейку и т.д. Для защиты экрана от прямых солнечных лучей (для повышения контраста изображения) на объективную часть зрительной трубы надевается небольшой картонный экранчик. Выведение изображения Солнца на экран осуществляется перемещением трубы теодолита по двум направлениям, но ни в коем случае нельзя “ловить” Солнце глазом, глядя в окуляр зрительной трубы! 19 До начала наблюдений трубу необходимо фокусировать по достаточно удалѐнному предмету, теодолит центрируется над данной точкой, на которой необходимо определить азимут земного предмета (Миры). Программа наблюдений состоит в следующем: I. Первый полуприѐм: круг лево. 1. Наведение на земной предмет (Миру), отсчеты по горизонтальному кругу 2. Наведение на Солнце; фиксация времени по часам, отсчѐты по горизонтальному и вертикальному кругу (2 наведения). II. Второй полуприѐм: круг право. 1. Наблюдение Солнца с теми же отсчѐтами 2. Наблюдение Миры. Таких приѐмов производят 3. Так как размеры Солнца велики (диаметр около 30′), то точное наведение креста сетки нитей на центр Солнца не представляется возможным. Поэтому при наблюдении Солнца следует придерживаться определѐнных правил, например, в одном положении горизонтальная нить должна касаться верхнего края диска, а вертикальная – правого края диска Солнца, а при другом положении наоборот. Перемещение Солнца в поле зрения трубы прямого изображения представлено на рисунке 5. Рис. 5 Порядок наблюдения Солнца должен быть такой, чтобы оно в каждом полуприѐме наблюдалось бы в диаметрально-противоположных четвертях. В 20 момент наведения необходимо, чтобы горизонтальная и вертикальная нити (если бисектор, то продолжение одинарной вертикальной нити) касались бы краѐв диска Солнца. Достичь этого можно следующим образом. Направляют трубу при круге лево на Солнце (рис. 5, левый рисунок; вид в трубе теодолита при прямом изображении) и устанавливают его изображение так, чтобы правый край диска не доходил бы до вертикальной нити, а вращая микрометренным винтом зрительную трубу по высоте (зенитному расстоянию), удерживают всѐ время верхний край диска касательным к горизонтальной нити. Вследствие своего движения изображение диска Солнца касается правым краем вертикальной нити. В этот момент останавливают вращение микрометренного винта по высоте и делают отсчѐт по часам (до секунды), обращая внимание прежде всего на секундную стрелку. При использовании секундомера включают секундомер, который вскоре привязывают к часам. Затем производят отсчеты по горизонтальному и вертикальному кругу. Далее наблюдают касание нижнего и левого краѐв диска Солнца. Таким же образом наблюдают Солнце при круге право. При таком способе наблюдений средние из отсчѐтов горизонтального и вертикального кругов будут соответствовать положению центра Солнца в средний момент по часам. В процессе наблюдений необходимо контролировать по цилиндрическому уровню отвесное положение оси вращения теодолита. Обработка наблюдений. Рассмотрим конкретный пример определения азимута земного предмета (Миры) по измеренным зенитным расстояниям Солнца. Сделаем следующие замечания. Из Астрономического ежегодника интерполяцией на момент наблюдения находим экваториальные координаты Солнца. Эти координаты геоцентрические, т.е. такие, как если бы наблюдатель наблюдал Солнце из центра Земли. Наблюдения производятся с поверхности Земли, и поскольку Солнце является достаточно близким космическим светилом, его координаты (топоцентрические) будут отличаться от геоцентрических вследствие параллактического смещения. Экваториальный горизонтальный параллакс Солнца оставляет округленно 8".8, т.е. достаточно мал. В дальнейших расчѐтах параллакс Солнца не учитывался, т.е. использовались геоцентрические координаты, взятые из Астрономического ежегодника. Географические координаты точки наблюдения (широта и долгота) были определены GPS- приѐмником GARMIN с точностью 5…6 м. 21 Атмосферная рефракция приподнимает светило над горизонтом. Вследствие этого, чтобы получить неискаженное зенитное расстояние надо к наблюдѐнному зенитному расстоянию прибавить величину рефракции. Рефракция может быть найдена по таблицам (зная приземное значение температуры и давления), см. Приложение II. Таблица 1 Журнал определения азимута по зенитному расстоянию (высоте) Солнца Пункт наблюдения: точка на дамбе р. Томи. Земной предмет (Мира): трегопункт на западном берегу р. Томь. Дата: 27 июля 2009 г. Теодолит: 4Т30П №37248 МО=0. 𝜑 = +56ᵒ28′19′′ 𝜆 = 84ᵒ56′ 09′′ = 5 39𝑚 44𝑠 . 6 Объект наблюдения Летнее время Tл Погода: ясно, тихо, видимость хорошая Температура: +25ᵒ. 5 … + 24ᵒ. 5 Давление: 742.5 мм рт. ст. Отсчѐт по Отсчѐт по горизонталь- вертикальному кругу ному кругу Примечание Круг лево (КЛ) Мира Мира 0ᵒ00′ 19 28𝑚 50𝑠 346ᵒ30′ 15ᵒ21′ 19 32𝑚 13𝑠 346ᵒ39′ 15ᵒ24′ 0ᵒ00′ 22 Круг право (КП) Мира КЛ 180ᵒ00′ 19 43𝑚 30𝑠 19 47𝑚 36𝑠 169ᵒ27′ 169ᵒ44′ −13ᵒ23′ −13ᵒ21′ 𝑇л = 180ᵒ00′ 2 = = 19 30𝑚 31𝑠 . 5 N=0ᵒ00′ 𝑀= Мира 19 28𝑚 50𝑠 +19 32𝑚 13𝑠 346ᵒ30 ′ +346 ᵒ39′ 2 = 346ᵒ34′ . 5 Q=360ᵒ00′ − 346ᵒ34′ . 5 = =13ᵒ25′ . 5 ′ = 15ᵒ21′ +15ᵒ24′ 2 = 15ᵒ22′ . 5 𝑧 ′ = 90° − ′ = 74ᵒ37′ . 5; 𝜌 = 3′ 12′′ (рефракция) 𝑧 = 𝑧 ′ + 𝜌 = 74ᵒ40′ . 7 КП 𝑇л = 19 43𝑚 30𝑠 +19 47𝑚 36𝑠 2 = = 19 45𝑚 33𝑠 N=180ᵒ00′ 𝑀= 169ᵒ27 ′ +169ᵒ44′ 2 = 169ᵒ35′ . 5 Q=180ᵒ00′ − 169ᵒ35′ . 5 = =10ᵒ24′ . 5 ′ = 13ᵒ23 ′ +13ᵒ21′ 2 = 13ᵒ22′ 𝑧 ′ = 90° − ′ = 76ᵒ38′ ; 𝜌 = 3′ 42′′ (рефракция) 𝑧 = 𝑧 ′ + 𝜌 = 76ᵒ41′ 42′′ = = 76ᵒ41′ . 7 Дальнейшие вычисления производят в специальной ведомости (таблица 2) 23 Таблица 2. Ведомость вычисления азимута земного предмета по зенитному расстоянию (высоте) Солнца. Номер действия Обозначени я величин Значения указанных величин Примечания КЛ 1 𝑇л 19 30𝑚 31𝑠 . 5 2 ТТ 12 31𝑚 38𝑠 3 𝛼ʘ 8 27𝑚 49𝑠 . 2 Из Астрономического ежегодника на 2009 г. 4 𝛿ʘ +19ᵒ06′ 34′′ 5 z 74ᵒ40.′ 7 из таблицы 1 6 𝜑 56ᵒ28′ 19′′ из таблицы 1 7 cos 𝛼 0.20104779 по формуле (19) 8 aʘ 281ᵒ35′ 54′′ Из (7); 4-ая четверть 9 M 346ᵒ34′ 30′′ из таблицы 1 10 𝑀0 64ᵒ58′ 36′′ 𝑀0 = 𝑀 − 𝑎 11 N 0ᵒ00′ из таблицы 1 12 aз.п. 295ᵒ01′ 24′′ Земное время ТТ=UTC+66𝑠 ; UTC=𝑇л − 7 по аргументу ТТ (𝛼ʘ здесь, в этом способе не используется). aз.п. = 𝑁 − 𝑀0 ; - геодезический азимут Миры КП 1 𝑇л 19 45𝑚 33𝑠 2 ТТ 12 46𝑚 39𝑠 3 𝛼ʘ 8 27𝑚 51𝑠 . 7 Из Астрономического ежегодника на 2009 г. 4 𝛿ʘ +19ᵒ06′ 26′′ 5 𝑧 76ᵒ41′ 42′′ Земное время ТТ = 𝑈𝑇𝐶 + 66𝑠 ; 𝑈𝑇𝐶 = 𝑇л − 7 по аргументу ТТ (𝛼ʘ здесь не используется). из таблицы 1 24 6 𝜑 56ᵒ28′ 19′′ 7 𝑐𝑜𝑠 a 0.25207103 по формуле (19) 8 aʘ 284ᵒ36′ 00′′ из (7); 4 − ая четверть 9 𝑀 169ᵒ35′ 30′′ из таблицы 1 10 𝑀0 244ᵒ59′ 30′′ 𝑀0 = 𝑀 − aʘ 11 𝑁 180ᵒ00′ из таблицы 1 12 𝑎з.п. 295ᵒ00′ 30′′ из таблицы 1 𝑎з.п. = 𝑁 − 𝑀0 ; - геодезический азимут Миры Как следует из таблицы 2 различие в азимутах Миры, при измерениях двумя полуприѐмами, составило 0′ . 9. В ночное и сумеречное время можно наблюдать по вышеприведѐнной программе какую-либо яркую звезду вблизи I-ого вертикала. 6. Определение азимута по часовому углу светила (Солнца или звезды). Вернѐмся к рисунку 3. Если при наблюдении светила в момент прохождения звезды или Солнца через вертикальную нить произвести отсчѐт T по часам, взять отсчѐт по горизонтальному кругу на светило и на Миру (чтобы вычислить затем горизонтальный угол между светилом и Мирой), то можно будет вычислить азимут Миры. Для этого потребуется вычислить часовой угол светила на момент наблюдения, знать склонение светила и географические координаты пункта наблюдения. Считаем, как и прежде, что наши часы идут по среднему солнечному времени; поправка часов введена в наблюденные моменты. Выведем основные формулы для определения азимута Миры по часовому углу светила. Из параллактического треугольника 𝜌𝑍ʘ (рис. 3), применяя формулу синусов и формулу пяти элементов, будем иметь: sin 𝑧 sin 𝑎 = sin 90ᵒ − 𝛿 sin(360ᵒ − 𝑡) , (23) sin 𝑧 cos 𝑎 = sin(90 ᵒ − 𝜑) cos 90ᵒ − 𝛿 − cos 90ᵒ − 𝜑 sin 90ᵒ − 𝛿 cos(360ᵒ − 𝑡) откуда, после преобразований, имеем: 𝑡𝑔 𝑎 = −ctg 𝛿 sec 𝜑 sin 𝑡 1−ctg 𝛿 tg 𝜑 cos 𝑡 (24) 25 или ctg 𝑎 = sin 𝜑 ctg 𝑡 − cos 𝜑 tg 𝛿 cosec 𝑡 (25) Как и прежде, азимут светила “а” – геодезический азимут, отсчитываемый от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки. Формулы (24) и (25) есть рабочие формулы для решения задачи. Здесь, как и в предыдущем способе, 𝜑 и λ определяются либо по крупномасштабной карте либо с помощью GPS-приѐмника, склонение 𝛿 берѐтся из звѐздного каталога или Астрономического ежегодника. Часовой угол t следует определить по показанию часов. Вычисление часового угла Солнца Для случая наблюдения Солнца (но не звезды) часовой угол истинного Солнца можно рассчитать двумя способами. Способ I. Пусть известен момент наблюдения Солнца по декретному времени соответствующего часового пояса. По второй формуле (18) найдѐм всемирное время 𝑇0 : 𝑇0 = 𝑇д − 1 − 𝑁 . Зная долготу пункта наблюдения по формуле (15) найдѐм среднее солнечное время момента наблюдения. В отличие от формулы (10) в Астрономическом ежегоднике (откуда и следует выбирать интересующие нас исходные данные на год наблюдения) уравнение времени 𝜂 приводится на 𝑂 𝑇𝑇 каждых суток в виде: 𝜂 = 𝑡ʘ − 𝑡ср. + 12 (26) Приводится также часовое изменение уравнения времени (обозначим его через 𝛿𝜂). Уравнение времени на момент наблюдения по TT вычислим так; 𝜂 = 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) , (27) где 𝜂мл - значение уравнения времени на начало суток по ТТ; ТТ вычисляется для 2009 г. по формуле (4). Строгое интерполирование 𝜂 из АЕ осуществляется согласно Приложению III. 26 Окончательно, используя (27), (26): 𝑡ʘ = 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) + Т0 + 𝜆 (28) Способ II. В этом способе часовой угол истинного Солнца можно вычислить по формуле (6): 𝑡ʘ = 𝑠 − 𝛼ʘ Местное звѐздное время s вычисляется по формуле (12); 𝛼ʘ можно найти интерполяцией из Астрономического ежегодника на момент наблюдения по ТТ. Местное среднее солнечное время момента наблюдения m, входящее в s, вычисляется по формуле (15). Момент наблюдения (декретное время наблюдения) должен быть исправлен за поправку часов. Наивыгоднейшие условия определения азимута При определении азимута по часовому углу Солнца наивыгоднейшие условия наблюдения те же, что и при определении азимута по измеренному зенитному расстоянию. В отличие от Солнца, звезды для наблюдения можно выбирать в любой части небосвода. Из анализа дифференциальной формулы определения азимута по часовому углу светила (звезды) вытекает, что влияние неточного значения широты тем меньше, чем ближе азимут к 0ᵒ или 180°; влияние же неточного значения поправки часов и неточного отсчѐта часов тем меньше, чем больше склонение светила. Так как склонение Полярной звезды близко к 90°, а еѐ азимут в широтах до 65° не выходит из пределов ±2°, то Полярная (𝛼𝑈𝑀𝑖) лучше всего удовлетворяет указанным условиям. При своѐм видимом суточном движении Полярная звезда описывает около полюса мира малый круг. То положение Полярной, когда еѐ азимут наибольший, называется еѐ элонгацией. Очевидно, что в момент элонгации Полярной параллактический угол q (рис. 3) равен 90°. Поэтому при наблюдении Полярной вблизи еѐ элонгации вывод азимута не будет зависеть от неточного знания поправки часов и ошибки в определении по часам момента наблюдения. Вот почему при точных определениях азимута нужно стремиться наблюдения Полярной проводить в моменты еѐ элонгации. Эти моменты легко определяются по Астрономическому ежегоднику. 27 Организация наблюдений При наблюдении Солнца порядок действий остаѐтся тот же, какой указан в разделе 5 (организации наблюдений), с тем отличием, что наблюдатель обращает особое внимание на соприкосновение края диска Солнца с вертикальной нитью. То или иное соприкосновение обозначается в журнале наблюдений значками: ʘ| и |ʘ. Моменты соприкосновения диска фиксируются по часам. Отсчѐты по вертикальному кругу вообще говоря не фиксируются. При наблюдении звезды порядок работ остаѐтся в основном тот же, но так как звѐзды диска не имеют, то наблюдатель просто наводит вертикальную нить на звезду или даѐт звезде пройти через вертикальную нить вблизи креста сетки нитей, отмечает время по часам и берѐт отсчѐт по горизонтальному кругу. Так как наблюдения проводятся ночью, то нужна подсветка кругов, отсчѐтного микроскопа, сетки нитей а также часов и журнала наблюдений. Кроме того должна быть подсвечена Мира (земной предмет). Так как Полярная звезда бывает видна до захода Солнца, то при соответствующей организации наблюдений можно обойтись без осветительных средств. В наших широтах Полярная наблюдается на большой высоте над горизонтом. Поэтому при еѐ наблюдении необходимо использовать призменные насадки на зрительную трубу и отсчѐтный микроскоп. Вместо Полярной звезды можно подобрать какую-либо другую, достаточно яркую звезду и наблюдать еѐ вблизи первого вертикала. Обработка наблюдений Приводим пример определения азимута земного предмета по часовому углу Солнца 28 Таблица 3. Журнал определения азимута Миры по часовому углу Солнца. Пункт наблюдения: точка на дамбе р. Томи Земной предмет (Мира): трегопункт на западном берегу р. Томь. Дата: 27 июля 2009 г. Теодолит: 4Т30П №37248 МО=0. 𝜑 = +56ᵒ28′19′′ 𝜆 = 84ᵒ56′ 09′′ = 5 39𝑚 44𝑠 . 6 Погода: ясно, тихо, видимость хорошая Температура: +24ᵒ. 5 … + 23ᵒ. 8 Давление: 742.5 мм рт. ст. Наблюдѐнные моменты исправлены за поправку часов Объект наблюдения Летнее время Tл Примечание Отсчѐт по горизонтальному кругу Круг лево (КЛ) Мира 0ᵒ00′ 19 55𝑚 06𝑠 351ᵒ45′ 19 57𝑚 47𝑠 351ᵒ45′ Мира 0ᵒ00′ Круг право (КП) 29 Мира КЛ 180ᵒ00′ 20 13𝑚 21𝑠 20 16𝑚 02𝑠 175ᵒ25′ 175ᵒ25′ Tл = 19h 55 m 06 s +19h 57 m 47 s 2 = 19h 56m 26s . 5 N=0ᵒ00′ M = 351ᵒ45′ Q=360ᵒ00′ − 351ᵒ45′ =8ᵒ15′ КП Мира 180ᵒ00′ 𝑇л = 20 13𝑚 21𝑠 +20 16𝑚 02𝑠 2 = 2014𝑚 41𝑠 . 5 N=180ᵒ00′ 𝑀 = 175ᵒ25′ Q=180ᵒ00′ − 175ᵒ25′ = 4ᵒ35′ Таблица 4 Ведомость вычисления азимута земного предмета (Миры) по часовому углу Солнца Примечание: часовой угол Солнца вычислен двумя способами – через уравнение времени и через местное звѐздное время момента наблюдения. Номер действия Обозначения величин Значения указанных величин Примечания КЛ 1 Тл 19 56𝑚 26𝑠 . 5 2 ТТ 12 57𝑚 32𝑠 . 5 Земное время ТТ = 𝑈𝑇𝐶 + 66𝑠 ; 𝑈𝑇𝐶 = Тл − 7 3 (ТТ) 12. 959026 I. способ определения 𝑡ʘ 4 𝜂мл 11 53𝑚 28𝑠 . 229 Из Астрономического ежегодника (АЕ 2009 г.) 5 𝛿𝜂 +0𝑠 . 0209 часовое изменение 𝜂; из АЕ 2009. 6 𝛿𝜂(ТТ) +0𝑠 . 2708 30 7 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) 11 53𝑚 28𝑠 . 500 8 Т0 12 56𝑚 26𝑠 . 5 9 λ 5 39𝑚 44𝑠 . 6 10 𝑡ʘ 6 29𝑚 39𝑠 . 60 Т0 = 𝑈𝑇𝐶 = Тл − 7 𝑡ʘ = 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) + Т0 + 𝜆 II.способ определения 𝑡ʘ 11 ТТ 12 57𝑚 32𝑠 . 5 12 𝛼ʘ 8 27𝑚 53𝑠 . 46 𝛿ʘ +19ᵒ06′ 19.′′ 8 13 𝑆0 20 19𝑚 14𝑠 . 25 из АЕ 14 𝑚 18 36𝑚 11𝑠 . 10 𝑚 = Тл − 7 + 𝜆 15 𝜇𝑚 3𝑚 03𝑠 . 36 поправка; выбирается из таблиц 16 −𝜇𝜆 −55𝑠 . 81 поправка; выбирается из таблиц 17 𝑠 14 57𝑚 32𝑠 . 90 местное звѐздное время; по формуле(12) 18 𝑡ʘ 6 29𝑚 39𝑠 . 44 𝑡ʘ = 𝑠 − 𝛼ʘ 19 ctg 𝛼ʘ -0.301419 по формуле (25); 4-я четверть 20 𝛼ʘ 286ᵒ46′ 26′′ 21 𝑄 8ᵒ15′ 22 𝛼з.п. 295ᵒ01′ 26′′ интерполяцией из АЕ 𝛼з.п. = 𝛼ʘ + 𝑄; - геодезический азимут Миры КП 1 Тл 20 14𝑚 41𝑠 . 5 2 ТТ 13 15𝑚 47𝑠 . 5 3 (ТТ) 13. 263192 ТТ = 𝑈𝑇𝐶 + 66𝑠 ; 𝑈𝑇𝐶 = Тл − 7 I. способ определения 𝑡ʘ 4 𝜂мл 11 53𝑚 28𝑠 . 229 Из Астрономического ежегодника (АЕ 2009 г.) 5 𝛿𝜂 +0𝑠 . 0209 часовое изменение 𝜂; из АЕ 2009. 6 𝛿𝜂(ТТ) +0𝑠 . 2772 31 7 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) 11 53𝑚 28𝑠 . 51 8 Т0 13 14𝑚 41𝑠 . 5 9 λ 5 39𝑚 44𝑠 . 6 10 𝑡ʘ 6 47𝑚 54𝑠 . 61 Т0 = 𝑈𝑇𝐶 = Тл − 7 𝑡ʘ = 𝜂мл + 𝛿𝜂(ТТ) + Т0 + 𝜆 II.способ определения 𝑡ʘ 11 ТТ 13 15𝑚 47𝑠 . 5 12 𝛼ʘ 8 27𝑚 56𝑠 . 45 𝛿ʘ +19ᵒ06′ 09.′′ 5 13 𝑆0 20 19𝑚 14𝑠 . 25 из АЕ 14 𝑚 18 54𝑚 26𝑠 . 10 𝑚 = Тл − 7 + 𝜆 15 𝜇𝑚 3𝑚 06𝑠 . 36 16 −𝜇𝜆 −55𝑠 . 81 17 𝑠 15 15𝑚 50𝑠 . 90 по формуле(12) 18 𝑡ʘ 6 47𝑚 54𝑠 . 45 𝑡ʘ = 𝑠 − 𝛼ʘ 19 ctg 𝛼ʘ -0.37239077 по формуле (25); 4-я четверть 20 aʘ 290ᵒ25′ 30′′ 21 𝑄 4ᵒ35′ 22 aз.п. 295ᵒ00′ 30′′ интерполяцией из АЕ aз.п. = aʘ + 𝑄; - геодезический азимут Миры 32 Таблица 5. Журнал определения азимута Миры по наблюдениям звѐзд Пункт наблюдения: г. Томск, пл. Кирова, клумба Мира: точка на рекламной аббревиатуре ТЭТЗ Дата: 13-14 июля 2007 г. Теодолит: 3Т2КА №18471 𝜑 = +56ᵒ27′ 59.′′ 0 𝜆 = 5 39𝑚 55𝑠 . 55 Погода: ясно, безветренно 𝑡 = +20ᵒ … + 17ᵒ 𝑝 =745 мм рт. ст. Наблюдѐнные моменты исправлены за поправку часов Объект наблюдения Летнее время Tл Примечание Отсчѐт по горизонтальному кругу КП Мира 180ᵒ00′ 08′′ 𝛼𝐵𝑜𝑜 0 49𝑚 48𝑠 260ᵒ26′ 52′′ КЛ Мира 𝛼𝐵𝑜𝑜 0ᵒ00′ 16′′ 0 55𝑚 12𝑠 81ᵒ36′ 47′′ КЛ Мира 𝛾𝑃𝑒𝑔 0ᵒ00′ 15′′ 1 03𝑚 52𝑠 269ᵒ15′ 22′′ КП Мира 𝛾𝑃𝑒𝑔 αBoo 180ᵒ00′ 06′′ 1 13𝑚 55𝑠 91ᵒ23′ 25′′ КП: Q𝑎 = 260ᵒ26′ 52′′ − 180ᵒ00′ 08′′ = 80ᵒ26′ 44′′ КЛ: Q𝑎 = 81ᵒ36′ 47′′ − 0ᵒ00′ 16′′ = 81ᵒ36′ 31′′ КЛ: Qγ = 360ᵒ − 269ᵒ15′ 22′′ − 0ᵒ00′ 15′′ = 90ᵒ44′ 53′′ 𝛾𝑃𝑒𝑔 КП: Q′γ = 360ᵒ + 91ᵒ23′ 25′′ − 180ᵒ00′ 06′′ = 271ᵒ23′ 19′′ Qγ = 360ᵒ − 271ᵒ23′ 19′′ = 88ᵒ36′ 41′′ 33 Таблица 6 Ведомость вычисления азимута земного предмета по часовому углу звѐзд Номер Обозначения действия величин Значения указанных величин 𝛼𝐵𝑜𝑜 (КП) Примечания 𝑧∗ ≃ 63° 1 Tл 0 49𝑚 48𝑠 2 𝑚 23 29𝑚 43𝑠 . 55 𝑚 = Tл − 7 + 𝜆; 𝜆 – из табл. 5 3 𝑆0 19 21𝑚 59𝑠 . 95 Из Астрономического ежегодника на 2007 г. 4 𝜇𝑚 3𝑚 51𝑠 . 58 из таблиц 5 −𝜇𝜆 −55𝑠 . 84 из таблиц 6 𝑠 18 54𝑚 39𝑠 . 2 местное звѐздное время; по формуле (12) 7 𝛼∗ 14 16𝑚 01𝑠 . 2 из АЕ 2007 𝛿∗ +19ᵒ08′ 39′′ 8 𝑡 4 38𝑚 38𝑠 . 0 𝑡 = 𝑠 − 𝛼∗ 9 𝑐𝑡𝑔 𝑎 0.10450656 III. четв.; по формуле (25) 10 𝑎 264ᵒ02′ 02′′ азимут звезды 11 𝑄𝛼 80ᵒ26′ 44′′ 12 𝑎Мира 183ᵒ35′ 18′′ 𝑎Мира = 𝑎 − 𝑄𝛼 𝛼𝐵𝑜𝑜 (КЛ) 13 Tл 0 55𝑚 12𝑠 14 𝑚 23 35𝑚 07𝑠 . 55 𝑚 = Tл − 7 + 𝜆; 𝜆 – из табл. 5 15 𝑆0 19 21𝑚 59𝑠 . 95 Из Астрономического ежегодника на 2007 г. 16 𝑠 19 00𝑚 04𝑠 . 1 по формуле (12); по аналогии с (1)-(6) 17 𝑡 4 44𝑚 02𝑠 . 9 𝑡 = 𝑠 − 𝛼∗ 18 𝑐𝑡𝑔 𝑎 0.08401482 III. четв.; по формуле (25) 19 𝑎 265ᵒ11′ 51′′ азимут звезды 20 𝑄𝛼 81ᵒ36′ 31′′ из табл. 5 34 21 𝑎Мира 183ᵒ35′ 20′′ 𝛾𝑃𝑒𝑔 (КЛ) 𝑎Мира = 𝑎 − 𝑄𝛼 𝑧∗ ≃ 69° 1 Tл 1 03𝑚 52𝑠 2 𝑚 23 43𝑚 47𝑠 . 55 3 𝑆0 19 21𝑚 59𝑠 . 95 4 𝑠 19 08𝑚 45𝑠 . 6 5 𝛼∗ 0 13𝑚 38𝑠 . 1 𝛿∗ +15ᵒ13′ 32′′ 6 𝑡 18 55𝑚 07𝑠 . 5 7 𝑐𝑡𝑔 𝑎 -0.04964109 II. четв. 8 𝑎 92ᵒ50′ 31′′ азимут звезды 9 𝑄𝛾 90ᵒ44′ 53′′ см. рисунок в табл. 5 10 𝑎Мира 183ᵒ35′ 24′′ 𝑎Мира = 𝑎 + 𝑄𝛾 𝛾𝑃𝑒𝑔 (КП) 11 Tл 1 13𝑚 55𝑠 12 𝑚 23 53𝑚 50𝑠 . 55 13 𝑆0 19 21𝑚 59𝑠 . 95 14 𝑠 19 18𝑚 50𝑠 . 2 15 𝑡 19 05𝑚 12𝑠 . 1 16 𝑐𝑡𝑔 𝑎 -0.08710423 17 𝑎 94ᵒ58′ 41′′ 18 𝑄𝛾 88ᵒ36′ 41′′ см. рисунок в табл. 5 19 𝑎Мира 183ᵒ35′ 22′′ 𝑎Мира = 𝑎 + 𝑄𝛾 II. четв. Если сделать усреднение по 4-м определениям азимута табл. 6, то будем иметь: 𝑎Мира = 183ᵒ35′ 21′′ ± 2′′ . 6 35 7. Определение азимута по часовому углу Полярной. В предыдущем разделе было отмечено, что для получения максимальной точности в определении азимута выгодно наблюдать близполюсную звезду. Полярная звезда для этой цели подходит лучше всего. Формулы для вычисления азимута по часовому углу Полярной Для вычисления азимута по часовому углу Полярной можно использовать точные формулы (24) и (25). Однако, можно использовать и более простые формулы. Обратимся к рис. 3. В параллактическом треугольнике 𝜌𝑍ʘ (теперь вместо светила ʘ будем представлять Полярную) проведем дугу большого круга ʘ𝐶 перпендикулярно меридиану точки наблюдения. Получим два сферических прямоугольных треугольника 𝜌𝐶ʘ и 𝑍𝐶ʘ. Введѐм обозначения: 𝜌𝐶 = 𝑥; ʘ𝐶 = 𝑦; 𝜌ʘ = ∆= 90° − 𝛿. (29) Ввиду малости x и ∆ придѐм к приближенным выражениям 𝑥 = ∆ ∙ cos 𝑡 𝑦 = −∆ ∙ sin 𝑡 (30) Применяя правило Модюи к сферическому прямоугольному треугольнику 𝑍𝐶ʘ придем к формуле −𝑡𝑔 𝑎 = 𝑡𝑔 𝑦 ∙ sec (𝜑 + 𝑥) (31) Ограничиваясь первыми членами разложения в ряд 𝑡𝑔 𝑎 и 𝑡𝑔 𝑦, окончательно будем иметь: −𝑎′′ = 𝑦′′ ∙ sec(𝜑 + 𝑥) (32) Формулы (30) и (32) дают возможность вычислить азимут Полярной, если известно склонение Полярной, известна широта места наблюдения и вычислен часовой угол звезды. Знак геодезического азимута будет определяться знаком “y”. По геодезическому азимуту Полярная может находится либо в первой, либо в четвертой четверти. Если часовой угол Полярной t заключен между 12 и 24 (0 ), то она находится в восточной стороне неба, sin 𝑡 и “y” имеют знак минус, а геодезический азимут положителен. Если t заключен в интервале 0 … 12 , то “a” отрицателен, т.е. звезда находится в западной части небосвода. 36 Для оперативного определения азимута Полярной в Астрономическом ежегоднике на соответствующий год приводится “Таблица высот и азимутов Полярной”. Для нахождения азимута необходимо знать местное звѐздное время s и широту точки наблюдения 𝜑. Измерив в какой-то момент времени горизонтальный угол между Полярной и земным предметом и определив по таблице азимут Полярной, можно рассчитать азимут земного предмета. Другие способы определения азимута земного предмета с использованием наблюдений Полярной. Наибольшее затруднение при определении азимута направления по часовому углу светила для лиц, незнакомых с астрономией, заключается именно в выводе часового угла светила. Чтобы избежать этой трудности, проф. Ф.Н. Красовский в 1924 г. предложил способ определения азимута земного предмета из измерения только горизонтального угла между Полярной и вспомогательной звездой. Сущность способа состоит в том, что, зная горизонтальный угол между Полярной и какой-либо другой звездой, можно вычислить часовой угол Полярной, а затем азимут Полярной. Данные проф. Красовским формулы довольно сложны и требуют применения нескольких последовательных приближений (итераций). Этот способ получил широкое применение и прочно вошѐл в практику астрономо-геодезических наблюдений с тех пор, как доц. В.И. Виноградов в 1928 г. предложил и составил таблицы, упрощающие нахождение азимута Полярной по измеренному горизонтальному углу. С этого времени различными авторами почти ежегодно вычислялись таблицы для определения азимута по способу проф. Красовского. В 1930 году известный военный геодезист Д.Я. Рассадин предложил способ точного определения азимута земного предмета из наблюдений вспомогательной звезды и Полярной без помощи хронометра (точных часов, ход и поправка которых контролируется специально организованными наблюдениями). В 1933 году профессор Томского государственного университета Н.Н. Горячев составил таблицы азимутов Полярной с поправками на эпоху в 30 лет (1933-1963 гг.). Эти таблицы дают азимуты Полярной по наблюдению лишь одной звезды Мицар (𝜁1 𝑈𝑀𝑎) на 15-е число месяцев май – октябрь для горизонтальных углов, следующих через 1°, и для широт через 2° в пределах от 𝜑 = 34° до 𝜑 = 64°. Следует отметить, что употребление этих таблиц 37 довольно сложно и расчѐт азимута требует почти столько же времени, сколько и непосредственное вычисление. 8. Ход часов. Передача поправки на другой момент. В заключение опишем процедуру определения поправки часов, используемых для фиксации моментов наблюдений, и учѐта поправки и хода часов на интересующий нас момент. Поправку часов в настоящее время можно определить из приѐма секундных сигналов радиостанций ГСВЧ, например, РВМ, на частотах 4,996, 9,996 и 14,996 Мгц. Надо быть осторожным при сверке своих часов с циферблатом часов на экране телевизора: из-за запаздывания телевизионного сигнала в аппаратуре трансляции показания стрелки часов на экране телевизора могут быть ошибочными на несколько секунд. Для того чтобы знать поправку часов в любой момент Т, недостаточно определить еѐ в какой-нибудь данный момент Т1 . Поправка часов есть величина переменная, меняющаяся, вообще говоря, непрерывно. Для точного определения времени необходимо не только найти поправку часов, но и держать под контролем и принимать во внимание их ход, т.е. изменение их поправки с течением времени. Пусть нам известны: поправка часов 𝑢1 для момента Т1 и поправка часов 𝑢2 для момента Т2 . Тогда разность этих поправок, которую обозначим 𝜔, и будет ходом наших часов за весь промежуток времени от Т1 до Т2 , т.е. 𝜔 = 𝑢2 − 𝑢1 (33) Обычно, однако, под ходом часов подразумевают изменение поправки в единицу времени. Так, можно говорить о суточном ходе часов, часовом ходе, десятиминутном ходе и т.п. Очевидно, суточный ход часов 𝜔 найдѐтся по формуле: 𝜔= 𝑢 2 −𝑢 1 Т2 −Т1 , (34) где разность Т2 − Т1 выражена в сутках и долях суток. 38 При этом, конечно, делается допущение, что ход часов за промежуток времени от Т1 до Т2 остаѐтся постоянным. В сущности говоря, по формуле (34) определяется не истинный ход часов, а лишь их средний суточный ход за данный промежуток времени. То же самое можно повторить о часовом и десятиминутном ходах, которые определяются по той же формуле (34), но разность Т2 − Т1 выражается соответственно в часах или десятках минут. Зная поправку часов 𝑢1 в момент Т1 и их ход 𝜔, можно найти поправку и в любой момент Т. Полагая изменение поправки пропорциональным времени, легко найдѐм, что 𝑢 = 𝑢1 + 𝜔(Т − Т1 ), (35) где 𝜔 определяется формулой (34), а разность (Т − Т1 ) выражается в таких же единицах, как и разность (Т2 − Т1 ) при вычислении 𝜔 по указанной формуле. Операция, выраженная формулой (35), называется перенесением или передачей поправки на другой момент. Если момент Т лежит между моментами Т1 и Т2 , то это будет интерполирование поправки; если Т лежит вне этого промежутка, то это будет экстраполирование, основывающееся уже на допущении, что ход часов сохраняет свою величину не только в этом промежутке, но и вне его. На практике стараются экстраполирования избегать, а прибегают к нему лишь в самых крайних случаях. Пример. Даны две поправки часов: (1) 𝑢1 = −51𝑠 . 4 в момент Тл = 10 15𝑚 20𝑠 (р/станция РВМ), 27.07.09; (2) 𝑢2 = −50𝑠 . 2 в момент Тл = 12 11𝑚 20𝑠 (−//−//−//−//−), 28.07.09. Найти часовой ход часов 𝜔 за данный промежуток времени и подсчитать поправку часов “u” на момент Тл = 22 55𝑚 17𝑠 , 27.07.09. Решение. 𝜔 = −50 𝑠 .2−(−51𝑠 .4) 28 𝑑 12 11𝑚 20 𝑠 −27 𝑑 10 15 𝑚 20 𝑠 = +1𝑠 .2 25 56 𝑚 00 𝑠 = +1𝑠 .2 25 .933 = 0𝑠 . 0463/час 𝑢 = −51𝑠 . 4 + 0𝑠 . 0463/час(22 55𝑚 17𝑠 − 10 15𝑚 20𝑠 ) = = −51𝑠 . 4 + 0𝑠 . 0463/час × 12 . 6658 = −51𝑠 . 4 + 0𝑠 . 59 = −50𝑠 . 8 39 Приложение I. Таблица 7 Поправка для перевода промежутков среднего времени в промежутки звѐздного (Поправка прибавляется к соответствующим промежуткам среднего времени) Сред . вр. Поправка Сред. вр. Поправка Сред. вр. Поправка Сред. вр. Поправка Сред. вр. Поправка h m s m s m s s s s s 1 0 09,856 1 0,161 31 5,093 1 0,003 31 0,085 2 0 19,713 2 0,329 32 5,257 2 0,005 32 0,088 3 0 29,569 3 0,493 33 5,421 3 0,008 33 0,090 4 0 39,426 4 0,657 34 5,585 4 0,011 34 0,093 5 0 49,282 5 0,821 35 5,750 5 0,014 35 0,096 6 0 56,139 6 0,986 36 5,914 6 0,016 36 0,099 7 1 08,995 7 1,150 37 6,078 7 0,019 37 0,101 8 1 18,852 8 1,314 38 6,242 8 0,022 38 0,104 9 1 28,708 9 1,478 39 6,407 9 0,025 39 0,107 10 1 38,565 10 1,643 40 6,571 10 0,027 40 0,110 11 1 48,421 11 1,807 41 6,735 11 0,030 41 0,112 12 1 58,278 12 1,971 42 6,900 12 0,033 42 0,115 13 2 08,134 13 2,136 43 7,064 13 0,036 43 0,118 14 2 17,991 14 2,300 44 7,228 14 0,038 44 0,120 15 2 27,847 15 2,464 45 7,392 15 0,041 45 0,123 16 2 37,704 16 2,628 46 7,557 16 0,044 46 0,126 40 17 2 47,560 17 2,793 47 7,721 17 0,047 47 0,129 18 2 57,417 18 2,957 48 7,885 18 0,049 48 0,131 19 3 06,273 19 3,121 49 8,049 19 0,052 49 0,134 20 3 17,129 20 3,285 50 8,214 20 0,055 50 0,137 21 3 26,986 21 3,450 51 8,378 21 0,057 51 0,140 22 3 36,842 22 3,614 52 8,542 22 0,060 52 0,142 23 3 46,699 23 3,778 53 8,707 23 0,063 53 0,145 24 3 56,555 24 3,943 54 8,871 24 0,066 54 0,148 25 4,107 55 9,035 25 0,068 55 0,151 26 4,241 56 9,199 26 0,071 56 0,153 27 4,435 57 9,364 27 0,074 57 0,156 28 4,600 58 9,528 28 0,077 58 0,159 29 4,764 59 9,692 29 0,079 59 0,162 30 4,928 60 9,856 30 0,082 60 0,164 41 Таблица 8 Поправки для перевода промежутков звѐздного времени в промежутки среднего. Поправки вычитаются из соответствующих промежутков звѐздного времени. Окончательная поправка есть сумма поправок к табличным значениям. Например, для промежутка в 4 32𝑚 15𝑠 звѐздного времени поправка равняется 39𝑠 . 318 + 5𝑠 . 242 + 0𝑠 . 041 = 44𝑠 . 601. Звѐзд- Поправка ное Звѐзд- ПоЗвѐзд- ПоЗвѐзд- Поное прав- ное прав- ное правка ка ка Звѐздное Поправка h m s m s s s s 1 0 09,830 1 0,164 31 5,079 1 0,003 31 0,085 2 0 19,659 2 0,328 32 5,242 2 0,005 32 0,087 3 0 29,489 3 0,491 33 5,406 3 0,008 33 0,090 4 0 39,318 4 0,655 34 5,570 4 0,011 34 0,093 5 0 49,148 5 0,819 35 5,734 5 0,014 35 0,096 6 0 58,977 6 0,983 36 5,898 6 0,016 36 0,098 7 1 08,807 7 1,147 37 6,062 7 0,019 37 0,101 8 1 18,636 8 1,311 38 6,225 8 0,022 38 0,104 9 1 28,466 9 1,474 39 6,389 9 0,025 39 0,107 10 1 38,296 10 1,638 40 6,553 10 0,027 40 0,109 11 1 48,125 11 1,802 41 6,717 11 0,030 41 0,112 12 1 57,955 12 1,966 42 6,881 12 0,033 42 0,115 13 2 07,784 13 2,130 43 7,045 13 0,036 43 0,117 14 2 17,614 14 2,294 44 7,208 14 0,038 44 0,120 15 2 27,443 15 2,457 45 7,372 15 0,041 45 0,123 m s s 42 16 2 37,273 16 2,621 46 7,536 16 0,044 46 0,126 17 2 47,102 17 2,785 47 7,700 17 0,046 47 0,128 18 2 56,932 18 2,949 48 7,864 18 0,049 48 0,131 19 3 06,762 19 3,113 49 8,027 19 0,052 49 0,134 20 3 16,591 20 3,277 50 8,191 20 0,055 50 0,137 21 3 26,421 21 3,440 51 8,355 21 0,057 51 0,139 22 3 36,250 22 3,604 52 8,519 22 0,060 52 0,142 23 3 46,080 23 3,768 53 8,683 23 0,064 53 0,145 24 3 55,910 24 3,932 54 8,847 24 0,066 54 0,147 25 4,096 55 9,010 25 0,068 55 0,150 26 4,259 56 9,174 26 0,071 56 0,153 27 4,423 57 9,338 27 0,074 57 0,156 28 4,587 58 9,502 28 0,076 58 0,158 29 4,751 59 9,666 29 0,079 59 0,161 30 4,915 60 9,830 30 0,082 60 0,164 43 Приложение II Таблица 9 Средняя рефракция (при температуре +10 °С и барометрическом давлении 760 мм рт. ст. =1013 гПа (гектопаскалей). Поправки за температуру и давление см. ниже). z R z 0° 0′00′′ 35° 1 1 R 0′41′′ z 68° 0′ R z 2′23′′ 79° 0′ R 4′51′′ z 85° 0′ R 9′52′′ 36 42 20 26 20 5 00 10 10 8 2 2 37 44 40 28 40 9 20 10 26 3 3 38 45 69 0 30 80 0 5 19 30 10 45 4 4 39 47 20 33 10 5 24 40 11 4 5 0 05 40 0 49 40 36 20 5 29 50 11 24 6 6 41 51 70 2 38 30 5 35 86 0 11 45 7 7 42 52 20 41 40 5 41 10 12 7 8 8 43 54 40 44 50 5 46 20 12 30 9 9 44 56 71 0 47 81 0 5 52 30 12 55 10 0 10 45 0 58 20 50 10 5 59 40 13 22 11 11 46 1 00 40 53 20 6 5 50 13 51 12 12 47 2 72 0 2 57 30 6 12 87 0 14 22 13 13 48 5 20 3 0 40 6 19 10 14 55 14 14 49 7 40 4 50 6 26 20 15 31 15 0 16 50 9 73 0 8 82 0 6 33 30 16 9 16 17 51 12 20 12 10 6 41 40 16 49 17 18 52 14 40 16 20 6 49 50 17 32 1 44 18 19 53 17 74 0 3 20 30 6 57 88 0 18 18 19 20 54 20 20 24 40 7 5 10 19 8 21 55 1 23 40 29 50 7 14 20 20 2 21 22 56 26 75 0 33 83 0 7 24 30 21 1 22 24 57 29 20 38 10 7 33 40 22 7 23 25 58 33 40 43 20 7 43 50 23 19 24 26 59 37 76 0 3 49 30 7 54 89 0 24 37 27 60 1 41 20 54 40 8 5 10 26 3 26 28 61 45 40 4 0 50 8 16 20 27 36 27 30 62 49 77 0 4 6 84 0 8 28 30 29 18 28 31 63 54 20 13 10 8 40 40 31 9 29 32 64 1 59 40 19 20 8 53 50 33 11 4 27 30 9 90 0 35 24 20 25 30 0 0 34 65,0 2 4 78 0 31 35 65,5 7 20 34 40 9 21 32 36 66,0 10 40 42 50 9 36 33 38 66,5 13 34 39 67,0 16 67,5 20 35 0 0 7 41 68,0 2 23 45 Таблица 10 Поправки к средней рефракции за температуру Т и барометрическое давление B Т 740 мм 987 гПа 730 мм 973 гПа 720 мм 960 гПа -15° − − − − 0 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 10 0 0 0 0 1 2 20 0 0 0 1 1 3 3 30 0 0 1 1 2 3 4 4 40 0 1 2 2 3 2 3 4 4 45 0 1 2 3 4 1 3 4 5 5 50 0 1 2 3 4 0 2 3 4 6 6 55 0 1 2 4 5 2 0 2 4 5 7 8 60 0 1 3 4 5 5 2 0 2 4 6 8 10 65 0 2 3 5 6 9 6 3 0 3 5 8 10 12 70 0 2 4 6 8 12 9 6 3 0 3 5 8 10 13 71 0 2 4 6 8 13 10 6 4 0 3 6 9 11 14 72 0 2 5 7 9 -10° -5° 0° +5° +10° +15° +20° +25° +30° 760 мм 1013 гПа -20° 750 мм 1007 гПа B +35° z z − − − − − 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 0° 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 2 2 1 1 0 1 1 2 4 3 2 1 0 1 2 5 5 3 2 1 0 1 8 6 5 4 3 1 0 55 10 8 6 4 3 2 60 12 10 7 5 4 65 15 12 10 7 70 19 15 12 71 20 16 72 21 17 + + + + + + 0° 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 0′′ 10 1 1 1 1 0 20 3 2 2 1 30 4 3 3 40 6 4 45 7 50 46 73 23 18 14 11 7 4 0 4 6 9 12 15 73 0 3 5 7 9 74 24 19 15 12 7 4 0 4 7 10 13 16 74 0 3 5 8 10 75 26 20 16 13 8 4 0 4 7 11 14 17 75 0 3 6 8 11 76 28 22 17 14 8 4 0 4 8 12 15 18 76 0 3 6 9 12 77 30 24 19 15 9 4 0 4 8 13 16 20 77 0 4 6 9 13 78 33 26 21 16 10 5 0 5 9 14 18 22 78 0 4 7 10 14 79 36 29 23 17 11 5 0 5 10 15 20 24 79 0 4 8 11 15 80 40 32 25 19 12 6 0 6 11 16 22 27 80 0 4 8 12 17 + + + + + + − − − − − + + + + 770 мм 1027 гПа 780 мм 1040 гПа 790 мм 1053 гПа 800 мм 1067 гПа z -20° -15° -10° -5° 0° +5° +10° +15° +20° Т Пример 𝑧 = 76°23′ ; Т = +22°. 7 𝐶; 𝐵 = 745,2 м = 994 гПа +25° +30° +35° B 760 мм 1013 гПа z Средняя рефракция…….…..3′ 55′′ Поправка за T………………...−10 Поправка за B………………….−5 Рефракция…………………. 3′ 40′′ 47 Приложение III Интерполирование с часовыми изменениями. В Астрономическом ежегоднике для таких величин как склонение Солнца и уравнение времени даются часовые изменения 𝑣, представляющие собой первые производные от соответствующих функций, отнесенные к одному часу, как единице меры. Пусть требуется определить численное значение функции 𝑦 = 𝑓(𝑡), для которой в таблице АЕ даны, не только еѐ частные значения через равные промежутки 𝜔 в аргументе, но и еѐ часовые изменения. Найдѐм в таблице такие смежные значения аргумента 𝑡0 и 𝑡1 , между которыми заключено 𝑡. Если 𝑡 = 𝑡0 + , то, разложив функцию 𝑓(𝑡) в ряд Тейлора по степеням h и ограничившись членами второго порядка малости, получим: 𝑦 = 𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑡0 + = 𝑓 𝑡0 + 𝑓 ′ 𝑡0 + 2 2 𝑓′′ 𝑡0 ; (36) здесь, согласно помещенной ниже таблице, 𝑓 ′ 𝑡0 = 𝑣0 , (37) а вторая производная при наличии небольшого приращения может быть определена как отношение приращения первой производной к приращению еѐ аргумента: 𝑓 ′′ 𝑡0 = 𝑓 ′ 𝑡 0 + −𝑓 ′ 𝑡 0 ; (38) Приняв = 𝜔, будем иметь: 𝑓 ′′ 𝑡0 = 𝑓 ′ 𝑡 0 +𝜔 −𝑓 ′ 𝑡 0 𝜔 = 𝑣1 −𝑣0 𝜔 (39) 48 𝑡 . . . 𝑦 . . . 𝑓 𝑡0 − 𝜔 𝑓 𝑡0 𝑓 𝑡0 + 𝜔 . . . 𝑡−1 𝑡0 𝑡1 . . . 𝑣 . . . 𝑣−1 = 𝑓 ′ 𝑡0 − 𝜔 𝑣0 = 𝑓 ′ 𝑡0 𝑣1 = 𝑓 ′ 𝑡0 + 𝜔 . . . Так как в АЕ в таблицах “Солнце” склонения и уравнения времени даны через сутки, то, следовательно, 𝜔 = 24 , а поэтому искомое численное значение величины y по (36), (37) и (39) будет: 𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑡0 + = 𝑓 𝑡0 + 𝑣0 + 2 𝑣1 − 𝑣0 ; 48 или 𝑓 𝑡0 + = 𝑓 𝑡0 + 𝑣0 + обозначим: 𝑣 = 𝑣0 + 48 48 𝑣1 − 𝑣0 ; (40) 𝑣1 − 𝑣0 , (41) которое представляет собой часовое изменение, полученное линейным интерполированием для середины интервала h. Если обозначить 𝑣1 − 𝑣0 = 𝐷, то формулы (40) и (41) могут быть представлены в следующем окончательном виде: 𝑓 𝑡0 + = 𝑓 𝑡0 + 𝑣 𝑣 = 𝑣0 + 𝐷 48 𝐷 = 𝑣1 − 𝑣0 (42) Если аргумент h окажется отрицательным, тогда интерполирование надо производить вверх по таблице по формулам: 𝑓 𝑡0 − = 𝑓 𝑡0 − 𝑣 𝑣 = 𝑣0 − 𝐷−1 48 𝐷−1 = 𝑣0 − 𝑣−1 , (43) пользуясь которыми следует вводить h абсолютной величиной. 49 Интерполирование с часовыми изменениями обеспечивает ту же точность, как и интерполирование со вторыми разностями. Пример. Определить склонение Солнца в момент ТТ = 12 57𝑚 32𝑠 . 5 27 июля 2009 года. Из АЕ: ТТ арг. h 12 57𝑚 32𝑠 . 5 12 . 959 Дата 𝛿 𝑣 27,07 +19ᵒ13′ 38′′ . 82 −33′′ . 876 → 𝑣0 28,07 +18ᵒ59′ 56′′ . 34 −34′′ . 622 → 𝑣1 Интерполирование вниз по формулам (42): 𝛿ʘ = 𝛿0 + 𝑣, 𝑣 = 𝑣0 + 𝐷, 48 𝐷 = 𝑣1 − 𝑣0 . 𝑣1 −34′′ . 662 − 𝛿0 + 19ᵒ13′ 38′′ . 82 + 𝑣0 −33′′ . 876 𝑣 − 7′ 21′′ . 75 𝐷 −0,786 𝛿ʘ +19ᵒ06′ 17′′ . 07 𝐷 48 −0,212 𝑣 −34,088 50 Дополнение Определение азимута земного предмета из наблюдений звѐзд в разных вертикалах и на разных зенитных расстояниях. Аналитическое обоснование различных способов определения широты, времени (долготы) и азимута направления на земной предмет (направление меридиана в пункте наблюдения) базируется на известных уравнениях связи между измеряемыми и определяемыми величинами cos 𝑧 = sin 𝜑 sin 𝛿 + cos 𝜑 cos 𝛿 cos 𝑡, (1) ctg 𝐴 = sinφ ctg 𝑡 − cos 𝜑 tg 𝛿 cosec 𝑡, (2) в которых 𝑡 = 𝑠 − 𝛼 = 𝑇н + 𝑢 − 𝛼, 𝑧 = 𝐿 − 𝑀𝑧 + 𝜌 = 𝑀𝑧 − 𝑅 + 𝜌, 𝐴 = 𝑎 − 𝑄. Здесь 𝑇н - момент наблюдения, 𝑢 - поправка часов, L,R – отсчеты по вертикальному кругу инструмента соответственно при “круге лево” и при “круге право”, 𝜌 - рефлакция, 𝑀𝑧 - место зенита, 𝑎 - искомый азимут направления на местный предмет, 𝑄 - измеренный горизонтальный угол между светилом и местным предметом. Остальные обозначения общеизвестны. Уравнение поправок этого способа имеет вид ∆𝑎′ + 𝑏𝑖 𝑥 + 𝑐𝑖 𝑦 + 𝑙𝑖 = 𝑣𝑖′ , с весом 𝑝𝑖 = sin2 𝑧𝑖 , (3) 𝑙𝑖 = 𝑎0 − 𝐴′𝑜𝑖 + 𝛿𝐴𝑖 (4) − 𝑄𝑖 . Условный азимут направления на местный предмет 𝑎′ = 𝑎0 + ∆𝑎′ ; коэффициенты 𝑏𝑖 = −𝑠𝑖𝑛 𝐴𝑖 𝑐𝑡𝑔 𝑧𝑖 , 51 𝑐𝑖 = cos 𝐴𝑖 𝑐𝑡𝑔 𝑧𝑖 ; (5) 𝐴′𝑜𝑖 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑡𝑔(sin 𝜑0 ctg 𝑡𝑜𝑖 − cos 𝜑0 tg 𝛿𝑖 cosec 𝑡𝑜𝑖 ) – предварительное (условное) значение азимута светила [см. (2)]; 𝛿𝐴𝑖 = 0.′′ 32 cos 𝜑 0 cos 𝐴 𝑜𝑖 sin 𝑧 𝑖 – (6) поправка азимута светила за влияние суточной аберрации, а также веса уравнений рассчитываются и участвуют в дальнейших вычислениях с условными координатами пункта наблюдения 𝜑0 , 𝜆0 (отсюда вычисляемые величины получили штриховые индексы). Условные координаты 𝜑0 , 𝜆0 можно снять с крупномасштабной карты или определить с помощью GPS – приѐмника. По уравненным значениям поправки к предварительному значению азимута направления на местный предмет (∆𝑎′ ), условной составляющей уклонения отвесной линии в меридиане (x) и условной составляющей уклонения отвесной линии в первом вертикале (y) можно найти астрономические координаты пункта и астрономический азимут направления на миру (местный предмет) по следующим формулам: 𝜑 = 𝜑0 + 𝑥, 𝜆 = 𝜆0 + ∆𝜆, 𝑎 = 𝑎0 + ∆𝑎, где ∆𝜆 = 𝑦 15 (7) sec 𝜑, ∆𝑎 = ∆𝑎′ + 15∆𝜆 sin 𝜑 = ∆𝑎′ + 𝑦 tg 𝜑. Наблюдения. Обработка результатов наблюдений. Наблюдения звѐзд проведены в ночь 13-14.07.2007 с пункта, расположенного в пределах городской черты (г. Томск). Теодолит на штативе 3Т2КА №18471. Звѐзды наблюдались при двух кругах, достаточно равномерно во всех азимутах, в диапазоне 57ᵒ ÷ 77ᵒ по z. Время прохождения звезды через вертикальную нить (вблизи центра поля зрения) фиксировалось по часам с точностью ~ 0.𝑠 5. Поправка часов введена в наблюденные моменты и они округлены до целых секунд. Для уверенного отождествления наблюдавшейся звезды (при наличии достаточно сильной и переменной по азимуту городской засветки) брались отсчѐты по вертикальному кругу. В дальнейшем в вычислениях использовались вычисленные зенитные расстояния. Непосредственно наблюдения звѐзд заняли 4 часа 20 минут. Метеоусловия: 52 ветра нет, 𝑡 ≃ +28ᵒ ÷ +17ᵒ 𝐶, 𝑝 = 745 мм рт. ст. Основная масса наблюдений произведена при температуре +20ᵒ ÷ +17ᵒ 𝐶. Основные результаты вошедших в обработку наблюдений сведены в таблицу 1. Таблица 1 13 − 14.07.2007 г. Томск 𝜑0 = +56ᵒ 27′ 59.′′ 0 𝜆0 = 5 39𝑚 55.𝑠 553 Теодолит 3Т2КА №18471 𝑀𝑍 = −1′ 58′′ Летнее время наблюдения (Тл ) Местное звѐздное время (𝑆 ′ ) Вычисленный азимут звезды (𝐴′0 ) Вычисленное зенитное расстояние (𝑧выч ) Азимут Миры (𝑎′ ) 1 2 3 4 5 6 7 1 𝛽𝐴𝑞𝑙 22 52𝑚 40𝑠 16 57𝑚 12.𝑠 0 307ᵒ 05′ 09.′′ 5 61.ᵒ 055426 3ᵒ 35′ 31.′′ 6 2 𝛼𝑃𝑒𝑟 23 24𝑚 12𝑠 17 28𝑚 49.𝑠 2 200ᵒ 35′ 44.′′ 0 70.ᵒ 587266 3ᵒ 35′ 12.′′ 2 3 𝛼𝐴𝑢𝑟 23 34𝑚 44𝑠 17 39𝑚 22.𝑠 9 183ᵒ 56′ 18.′′ 8 77.ᵒ 422648 3ᵒ 35′ 32.′′ 8 4 𝛼𝐴𝑢𝑟 23 47𝑚 04𝑠 17 51𝑚 44.𝑠 9 186ᵒ 08′ 02.′′ 0 77.ᵒ 272717 3ᵒ 35′ 24.′′ 0 5 𝜼𝐴𝑞𝑙 0 28𝑚 52𝑠 18 33𝑚 39.𝑠 8 336ᵒ 22′ 06.′′ 2 57.ᵒ 685236 3ᵒ 35′ 14.′′ 2 6 𝜼𝐴𝑞𝑙 0 35𝑚 28𝑠 18 40𝑚 16.𝑠 9 338ᵒ 17′ 05.′′ 2 57.ᵒ 33289 3ᵒ 35′ 11.′′ 2 7 𝛼𝐵𝑜𝑜 0 49𝑚 48𝑠 18 54𝑚 39.𝑠 2 84ᵒ 02′ 02.′′ 1 62.ᵒ 949555 3ᵒ 35′ 18.′′ 1 8 𝛼𝐵𝑜𝑜 0 55𝑚 12𝑠 19 00𝑚 04.𝑠 1 85ᵒ 11′ 51.′′ 4 63.ᵒ 694091 3ᵒ 35′ 18.′′ 4 9 𝛾𝑃𝑒𝑔 1 03𝑚 52𝑠 19 08𝑚 45.𝑠 6 272ᵒ 50′ 30.′′ 4 69.ᵒ 763989 3ᵒ 35′ 23.′′ 4 10 𝛾𝑃𝑒𝑔 1 13𝑚 55𝑠 19 18𝑚 50.𝑠 2 274ᵒ 58′ 40.′′ 8 68.ᵒ 375671 3ᵒ 35′ 21.′′ 8 11 ⍬𝘜𝑀𝑎 1 24𝑚 51𝑠 19 29𝑚 48.𝑠 0 160ᵒ 02′ 25.′′ 9 68.ᵒ 930527 3ᵒ 35′ 18.′′ 9 12 ⍬𝘜𝑀𝑎 1 32𝑚 26𝑠 19 37𝑚 24.𝑠 2 161ᵒ 14′ 48.′′ 9 69.ᵒ 278592 3ᵒ 35′ 20.′′ 9 13 𝛼𝐴𝑟𝑖 1 47𝑚 36𝑠 19 52𝑚 36.𝑠 7 253ᵒ 32′ 56.′′ 7 72.ᵒ 587353 3ᵒ 35′ 13.′′ 7 14 𝛼𝐴𝑟𝑖 1 55𝑚 17𝑠 20 00𝑚 19.𝑠 0 255ᵒ 03′ 42.′′ 0 71.ᵒ 562951 3ᵒ 35′ 25.′′ 9 15 𝛼𝐵𝑜𝑜 2 04𝑚 39𝑠 20 09𝑚 42.𝑠 5 99ᵒ 35′ 09.′′ 0 73.ᵒ 277757 3ᵒ 35′ 10.′′ 1 16 𝛼𝐵𝑜𝑜 2 10𝑚 12𝑠 20 15𝑚 16.𝑠 4 100ᵒ 42′ 21.′′ 0 74.ᵒ 034289 3ᵒ 35′ 23.′′ 0 Номер наблюдения Звезда 53 17 𝜈𝑂ɲ 2 16𝑚 34𝑠 20 21𝑚 39.𝑠 5 36ᵒ 55′ 57.′′ 6 72.ᵒ 457398 3ᵒ 35′ 30.′′ 6 18 𝜈𝑂ɲ 2 23𝑚 36𝑠 20 28𝑚 42.𝑠 6 38ᵒ 38′ 28.′′ 0 73.ᵒ 054126 3ᵒ 35′ 14.′′ 9 19 𝛼𝐴𝑢𝑟 2 40𝑚 32𝑠 20 45𝑚 41.𝑠 4 216ᵒ 03′ 25.′′ 9 68.ᵒ 650849 3ᵒ 35′ 14.′′ 8 20 𝛼𝐴𝑢𝑟 2 46𝑚 43𝑠 20 51𝑚 53.𝑠 4 217ᵒ 04′ 36.′′ 7 68.ᵒ 140731 3ᵒ 35′ 21.′′ 7 21 ⍬𝘜𝑀𝑎 3 05𝑚 52𝑠 21 11𝑚 05.𝑠 6 154ᵒ 42′ 07.′′ 3 64.ᵒ 942015 3ᵒ 35′ 21.′′ 3 22 ⍬𝘜𝑀𝑎 3 11𝑚 01𝑠 21 16𝑚 15.𝑠 4 155ᵒ 28′ 40.′′ 0 65.ᵒ 242403 3ᵒ 35′ 12.′′ 0 Видимые координаты наблюдавшихся звѐзд брались из Астрономического ежегодника (АЕ) на год наблюдения. Поправка азимута светила за влияние суточной аберрации (для наблюдавшихся звѐзд она по модулю меньше 0.′′ 2) не учитывалась. При вычислении свободных членов 𝑙𝑖 (см. уравнение поправок (3)), необходимо принять предварительное значение азимута земного предмета 𝑎0 . В качестве такового принято среднее арифметическое из значений 7-ого столбца таблицы 1, округленное до 10′′ (𝑎0 = 3ᵒ 35′ 20′′ ). 𝑙𝑖 = 𝑎𝑜 − 𝐴′𝑜𝑖 + 𝑄𝑖 = 𝑎𝑜 − 𝑎′ . (8) В таблице 2 приведены коэффициенты уравнений поправок (условных уравнений), а также веса уравнений. Таблица 2 a b (− sin 𝐴 𝑐𝑡𝑔 𝑧) c (cos 𝐴 𝑐𝑡𝑔 𝑧) l (𝑎𝑜 − 𝑎′ ) p (sin2 𝑧) 1 2 3 4 5 1 0.4412 0.3335 -11.6 0.766 1 0.1240 -0.3299 +7.8 0.890 1 0.0153 -0.2226 -12.8 0.953 1 0.0241 -0.2246 -4.0 0.951 1 0.2536 0.5795 +5.8 0.714 1 0.2372 0.5957 +8.8 0.709 54 1 -0.5079 0.0531 +1.9 0.793 1 -0.4926 0.0414 +1.6 0.804 1 0.3682 0.0183 -3.4 0.880 1 0.3949 0.0344 -1.8 0.864 1 -0.1315 -0.3621 +1.1 0.871 1 -0.1216 -0.3582 -0.9 0.875 1 0.3008 -0.0888 +6.3 0.910 1 0.3221 -0.0859 -5.9 0.900 1 -0.2962 -0.0500 +9.9 0.917 1 -0.2811 -0.0531 -3.0 0.924 1 -0.1899 0.2527 -10.6 0.909 1 -0.1903 0.2380 +5.1 0.915 1 0.2301 -0.3160 +5.2 0.867 1 0.2419 -0.3201 -1.7 0.861 1 -0.1998 -0.4227 -1.3 0.821 1 -0.1914 -0.4196 +8.0 0.825 В общем случае для определения азимута земного предмета с условными координатами пункта 𝜑0 и 𝜆0 будем иметь n уравнений поправок вида (3), по числу наблюденных светил в произвольных азимутах и на произвольных зенитных расстояниях. Система нормальных уравнений, соответствующая n уравнениям поправок, имеет вид 𝑝 ∆𝑎′ + 𝑝𝑏 𝑥 + 𝑝𝑐 𝑦 + 𝑝𝑙 = 0; 𝑝𝑏 ∆𝑎′ + 𝑝𝑏𝑏 𝑥 + 𝑝𝑏𝑐 𝑦 + 𝑝𝑏𝑙 = 0; 𝑝𝑐 ∆𝑎′ + 𝑝𝑏𝑐 𝑥 + 𝑝𝑐𝑐 𝑦 + 𝑝𝑐𝑙 = 0. (9) 55 Численные значения неизвестных определяются на основании следующих стандартных формул: ∆𝑎′ = ∆𝑎 ′ ∆ ,𝑥= ∆𝑥 ∆ , 𝑦= ∆𝑦 ∆ , (10) где ∆ - определитель системы нормальных уравнений (составленный из коэффициентов при неизвестных), ∆𝑎 ′ , ∆𝑥 , ∆𝑦 – определители, полученные путѐм замены в определителе ∆ коэффициентов при соответствующем неизвестном свободными членами нормальных уравнений, взятыми с обратными знаками. Оценка точности производится по известным формулам способа наименьших квадратов: средняя квадратическая ошибка единицы веса 𝜇= [𝑝𝑣 2 ] 𝑛−3 ; (11) средние квадратические ошибки уравненных значений неизвестных 𝑚𝑎 ′ = ± 𝜇 𝑝𝑎 ′ ; 𝑚𝑥 = ± 𝜇 𝑝𝑥 𝜇 ; 𝑚𝑦 = ± 𝑝𝑦 . (12) При решении системы нормальных уравнений с помощью определителей значение [𝑝𝑣 2 ] находится по формуле [𝑝𝑣 2 ] = 𝑝𝑙𝑙 + 𝑝𝑙 ∆𝑎′ + 𝑝𝑏𝑙 𝑥 + 𝑝𝑐𝑙 𝑦 (13) и контролируется путѐм вычисления 𝑣 и [𝑝𝑣 2 ] из уравнений поправок. Веса уравненных значений определяемых величин находятся по стандартным формулам 𝑝𝑎 ′ = ∆ ∆11 , 𝑝𝑥 = ∆ ∆22 , 𝑝𝑦 = ∆ ∆33 , (14) где ∆11 , ∆22 , ∆33 - алгебраические дополнения, вычисляемые для квадратичных элементов определителя ∆: ∆11 = [𝑝𝑏𝑏] [𝑝𝑏𝑐] [𝑝𝑏𝑐] [𝑝] , ∆22 = [𝑝𝑐𝑐] [𝑝𝑐] [𝑝𝑐] [𝑝] , ∆33 = [𝑝𝑐𝑐] [𝑝𝑏] [𝑝𝑏] . [𝑝𝑏𝑏] (15) Средние квадратические ошибки определяемых величин (см. (12)), как и их веса, не зависят от широты пункта. 56 Средние квадратические ошибки определения астрономических координат и астрономического азимута на основании (7) будут 𝑚𝜑 = 𝑚𝑥 , 𝑚𝜆 = 1 15 𝑚𝑦 sec 𝜑 , 𝑚𝑎2 = 𝑚𝑎2 ′ + 𝑚𝑦2 𝑡𝑔2 𝜑. Из третьей формулы (16) следует, что ошибка астрономического азимута возрастает с увеличением широты. (16) определения Используя данные таблицы 2, в соответствии с (9), приходим к системе нормальных уравнений 18,919∆𝑎′ + 0,2518768𝑥 − 1,1837056𝑦 + 1,1887 = 0, 0,2518768∆𝑎′ + 1,4854518𝑥 + 0,2314762𝑦 − 5,2732506 = 0, −1,1837056∆𝑎′ + 0,2314762𝑥 + 1,5953585𝑦 − 0,5653477 = 0. (17) Решение системы уравнений (17) даѐт: ∆𝑎′ = −0,12747148, 𝑥 = 3,6127452, 𝑦 = −0,26439542. (18) 𝑚𝑎 ′ = 1,5134888, 𝑚𝑥 = 5,3351052, 𝑚𝑦 = 5,265922. (19) Далее: 𝜇 = 6,4063896; В соответствии с (7) и (16) будем иметь: 𝑎 = 3ᵒ 35′ 19.′′ 47; 𝜑 = +56ᵒ 28′ 02.′′ 61; 𝜆 = 5 39𝑚 55.𝑠 521; 𝑚𝑎 = ±8.′′ 09; 𝑚𝜑 = ±5.′′ 34; 𝑚𝜆 = ±0.𝑠 636. (20) Итак, азимут земного предмета (и, следовательно, направление меридиана в точке наблюдения) при его определении по наблюдениям звѐзд, может быть найден со средней квадратической ошибкой порядка ±5′′ ÷ ±10′′ , даже при использовании сравнительно простых наблюдательных средств. 57 Содержание Небесная сфера……………………………………………………………..2 Системы небесных координат…………………………………………….6 Измерение времени………………………………………………………...8 Системы счѐта времени…………………………………………………..14 Определение азимута земного предмета по измеренным зенитным расстояниям Солнца………………………………………………………16 6. Определение азимута по часовому углу светила (Солнца или звезды)……………………………………………………………………..25 7. Определение азимута по часовому углу Полярной…………………….36 8. Ход часов. Передача поправки на другой момент……………………...38 Приложение I. Поправка для перевода промежутков среднего времени в промежутки звѐздного………………………….…………….40 Поправки для перевода промежутков звѐздного времени в промежутки среднего………………………………………………..……42 Приложение II. Средняя рефракция……………………………………..44 Поправки к средней рефракции за температуру T и барометрическое давление B…………………………………………………………………46 Приложение III. Интерполирование с часовыми изменениями……….48 Дополнение. Определение азимута земного предмета из наблюдений звѐзд в разных вертикалах и на разных зенитных расстояниях……….51 1. 2. 3. 4. 5. 58