Измерения на местности

Районная конференция-фестиваль творчества обучающихся
Секция Математика
Измерение на местности
Николаева Алена
Ковалинская основная общеобразовательная школа, 9 класс
Руководитель:
Николаева Ираида Михайловна,
учитель математики Ковалинской ООШ
Урмарского района
Пос. Урмары, 2010
Первые основы геометрии должны быть заложены не в школьной
комнате, а на вольном воздухе. Покажите ребенку, как измеряется
площадь луга, обратите его внимание на высоту колокольни, на
длину тени, отбрасываемой ею, на соответствующее положение
Солнца, - и он гораздо быстрее, правильнее и притом с большим
интересом усвоит математические соотношения, чем когда
понятия измерения угла, а то и какой либо тригонометрической
функции внедряются в его голову с помощью слов и чертежа на
доске.
Альберт Эйнштейн.
Введение.
В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул:
«Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это
восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия!
Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры
квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная
цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая
культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных
специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. Важно, что геометрия
есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из
древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по настоящему развиться
культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из
практических, но и из духовных потребностей человека. Геометрия, да и математика в целом
представляет собой очень действенное средство для нравственного воспитания человека. В
романе «Война и мир», характеризуя старшего князя Болконского Николая, Л.Н.Толстой пишет:
«Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть
только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и,
чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и
распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях».
Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке.
При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета,
наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными нам теоремами; при
изготовлении технических чертежей — выполнять геометрические построения.
Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы
видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного
взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит
внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и
делать выводы.
Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо, видимо,
знал геометрию. В рассказе “Обряд дома Месгрейвов” он описал, как Шерлоку Холмсу нужно
было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева
ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: “… я связал вместе два удилища, что дало
мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я
воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов.
Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов
отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в
девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать”.
Треугольник — это простейшая фигура: три стороны и три вершины. Математики его
называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Трехмерным
симплексом называют треугольную пирамиду. Именно в силу своей простоты треугольник явился
основой многих практических измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей
земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют
свойства треугольников. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались
следующим приемом. Веревку делили узлами на 12 равных частей и концы связывали. Затем
веревку растягивали на земле так, чтобы получился треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений.
Угол треугольника, противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. В связи с
указанным способом построения прямого угла, треугольник со сторонами 3, 4,5 иногда
называют египетским. В Древней Греции изучение свойств треугольника велось очень активно.
Пифагор открыл свою теорему. Герон Александрийский находит формулу, выдающую площадь
треугольника через его стороны; становится известным, что биссектрисы, как меридианы и
высоты, пересекаются в одной точке.
Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV—XVI веках. Вот одна
красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон
треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их
пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность получила название «окружности
девяти точек». Ее центр оказался в середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот с
центром описанной окружности (см. рис.1 в приложении).
Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой. Ему
приписывают такую красивую теорему: «Если на сторонах треугольника во внешнюю сторону
построить равносторонние треугольники (см. рис.2 в приложении), то их центры будут вершинами
равностороннего треугольника». Этот треугольник называется внешним треугольником
Наполеона. Аналогично стоится и внутренний треугольник Наполеона. Огромное количество
работ по геометрии треугольника, проведенное в XV—XIX веках, создало впечатление, что о
треугольнике уже известно все. Тем удивительнее было открытие, сделанное американским
математиком Ф. Морли. Он доказал, что если в треугольнике провести через вершины лучи,
делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис углов ( см. рис.3 в
приложении) являются вершинами равностороннего треугольника. Инженеры любят
треугольник за его «жесткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить
шарнирно, то его невозможно
изменить,
в отличие от четырехугольников
и
многоугольников с большим числом сторон, где такое соединение допускает изменение формы
многоугольника.
Взгляните на металлические фермы мостов - составляющие их балки образуют треугольники.
Но устойчивы они потому, что через точки всегда проходит плоскость.. Свойства треугольника,
теоремы о них применяются в практической жизни человека.
“Природа говорит языком математики. Буквы этого языка - круги,
треугольники и иные математические фигуры.
Галилей.
Актуальность выбранной темы.
Треугольник… Знакомый нам с детства, и начиная с 7 класса, с уроков геометрии,
геометрическая фигура, таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский
треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Знакомые нам фигуры
квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция состоят из двух треугольников, если
провести одну диагональ и из четырех треугольников, если провести две диагонали.
Треугольник — это фигура, которая нравится мне больше, чем остальные геометрические
фигуры. Я люблю эту фигуру потому, что с помощью треугольника можно решать много задач
практического содержания, и она первая фигура, с которой я встретилась в лесу. Однажды
летом, когда мне было шесть лет мы с дедушкой и с братом пошли в лес. Долго гуляли по лесу,
сели отдыхать под высокой сосной. Посидели, послушали сказки, которые сам дедушка
сочинял. Когда засобирались домой, дедушка говорит: «Не хотите ли вы узнать, высоту этой
сосны?». Мы переглянулись, брату не хотелось подниматься на эту высокую сосну, а я
испугалась за брата, вдруг упадет. Дедушка засмеялся и объяснил, что подниматься не нужно, а
надо немного помочь ему. Так с помощью тени сосны и моей тени, мы измерили высоту сосны.
Я помню, что она была очень высока. Выше меня почти в 4- 5 раз. Такой способ измерения,
когда человек определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, являлся в
моих глазах чем-то вроде маленького чуда. Лишь позднее, когда меня посвятили в начатки
геометрии, поняла, до чего просто выполняются такого рода чудеса. Существует множество
различных способов производить подобные измерения. Заинтересовавшись этой темой, я
начала исследовать способы практических применений, где используются свойства, теоремы о
треугольниках. Решение задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение
расстояния до недоступной точки, позволил увидеть масштаб применения геометрии в жизни
человека. Чем не актуальна эта тема, если без каких - либо инструментов, можно измерить
высоту столба, пирамиды, колокольни, дерева, ширину реки, озера, оврага, длину острова,
глубину пруда и т.д. Ле Корбюзье принадлежит высказывание «Окружающий нас мир – это
мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия».
Цель исследовательской работы:
Применение знаний тем: “Пропорция”, “Равнобедренный треугольник”, “Прямоугольный
треугольник”, «Подобие треугольника», «Решение треугольников» для измерений на местности,
связать теорию с практикой и с окружающим нас миром.
Задачи:
1. Провести литературный обзор по теме.
2. Провести опрос людей, которым близка эта тема.
3. Показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире.
4. Показать умение проводить измерительные работы на местности.
Проблема заключается в исследовании измерений на местности.
Методы исследования: знакомство и обработка литературных материалов, данных из
Интернета, встреча с учащимися школы, жителями села и города.
Объекты и предметы исследования: школа, дерево, столб, овраг, памятник.
Экспериментальная база. Успешному проведению исследовательской работы
содействовало занятие в кружке «Геометрия вокруг нас» и уроки геометрии, географии,
физики.
Апробация основных выводов работы осуществлена на уроках геометрии, на занятиях
кружка.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования результатов
исследования на уроках геометрии, в повседневной жизни.
Основные результаты работы заключаются в следующем:
1.Сбор теоретических информаций;
2.Сбор информаций из жизни мудрых людей;
3. Измерение некоторых предметов, которые
окружают нас.
4. Проверка гипотез.
Характеристика источников: источниками служили энциклопедии, Интернет,
исторические книги по математике, учебники геометрии, географии, астрономии, физики,
журналы и газеты по математике.
Гипотезы 1.Длина шага человека равна половине его роста.
2. Высоту столба, дерева можно измерить только при помощи тени.
3. Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их применения в
жизни.
Краткий литературный обзор: Измерением на местности познакомилась на уроках геометрии
и географии. Дополнительно узнала из книги Я.И.Перельман «Занимательная геометрия»,
журнала «Математика в школе» и газеты «Математика», энциклопедического словаря юного
математика под редакцией Б.В.Гнеденко. Некоторые данные взяла из журнала «Читаем, учимся,
играем». Многие сведения взяла из Интернета.
Степень изученности: Я заинтересовалась этой темой летом, когда мне было шесть лет мы с
дедушкой и с братом пошли в лес. Долго гуляли по лесу, сели отдыхать под высокой сосной.
Посидели, послушали сказки, которые сам дедушка сочинял. Когда засобирались домой,
дедушка говорит: «Не хотите ли вы узнать, высоту этой сосны?». Мы переглянулись, брату не
хотелось подниматься на эту высокую сосну, а я испугалась за брата, вдруг упадет. Дедушка
засмеялся и объяснил, что подниматься не нужно, а надо немного помочь ему. Так с помощью
тени сосны и моей тени, мы измерили высоту сосны. Такой способ измерения, когда человек
определяет высоту дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, являлся в моих глазах чемто вроде маленького чуда. Лишь позднее, когда меня посвятили в начатки геометрии, поняла, до
чего просто выполняются такого рода чудеса. Существует множество различных способов
производить подобные измерения. Заинтересовавшись этой темой, я начала исследовать способы
практических применений, где используются свойства, теоремы о треугольниках. Решение
задач на измерение ширины реки, высоты предмета и определение расстояния до недоступной
точки, позволил увидеть масштаб применения геометрии в жизни человека. Из Интернета тоже
я получила много интересного об измерении на местности, например, «метод завала», который я
не нашла в литературах.
Личный вклад: Для того, чтобы измерение на местности связать с жизнью стала беседовать
учениками, которые писали исследовательские работы, оформляли альбомы о фронтовиках,
участниках Великой Отечественной войны, с людьми у которых профессии были связаны с
природой, с родным краем, с мудрыми людьми. От них я получила ценные информации.
Например, как измеряется ширина реки с помощью козырька, высота дерева или столба по
разным способам, глубина реки, построение моста, определение расстояния по линейным
размерам. Сама с Алексеем Терентьевым проверяла гипотезы, измеряя длину шага, высоту
дерева, столба, здания школы, памятника, ширины оврага.
Содержание исследовательской работы:
Содержание исследовательской работы «Измерение на местности» с одной стороны
раскрывает способы измерения на местности с Фалеса до наших дней, с другой стороны
связывает с жизнью, с практическим применением.
ЧастьI
1.Высота пирамиды по способу Фалеса.
Сообщается самый легкий способ измерения высоты пирамиды – определение с помощью тени.
2. Измерение высоты площадки Дальнего Вида по способу Жюля Верна.
( «Таинственный остров»)
Сообщается способ измерения высоты с помощью шеста и отвеса.
3. Определение высоты предмета.
Рассматриваются разные способы измерения высоты: с помощью вращающейся планки, с
помощью тени, с помощью зеркала, с помощью чертёжного прямоугольного треугольника, с
помощью чертёжного прямоугольного равнобедренного треугольника, измерение высоты
дерева при помощи шеста, метод завала.
4. Определение расстояния до недоступной точки.
Рассматривается нахождение расстояния от пункта А до недоступного пункта В,
измерение
расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (рекой), измерение расстояния
между точками А и В, разделёнными препятствием (озером).
5. Определение ширины водоемов.
Рассматриваются способы: травинки, прямого угла, подобных треугольников.
6. Геометрия звездного неба
Рассматривается определение широты своего «таинственного острова», герои романа
пользовались красивым созвездием южного неба.
ЧастьII
Примеры из жизни мудрых людей
1. Случай во время Великой Отечественной войны «Измерение ширины реки».
Рассматривается измерение ширины реки для переправы во время войны.
2. Измерения лесника Никитина Николая Николаевича
Рассматривается измерение высоты дерева, не срубив ее и когда нельзя подойти к дереву
вплотную.
3. Измерения охотоведа Юрия Ивановича Ланин
Рассматривается измерение высоты дерева по луже и определение любого предмета глазомером.
4. Определение глубины колодца строителем А.В. Таратиным.
Рассматривается определение глубины колодца с помощью шесту.
5. Еще один случай во время Великой Отечественной войны «Построение моста»
Рассматривается измерение ширины реки для построение моста во время войны разведчиком
Степаном Ильичом Сергеевым.
6. Определение на местности расстояний по линейным размерам предметов заслуженным
учителем физики В.Г.Гавриловым.
Рассматривается определение высоты, длины и ширины на местности по линейным размерам
предметов, у которых известны размеры.
ЧастьIII
Практическая часть- личные исследования.
1. Измерения голыми руками.
Рассматривается, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук
равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно
позволяет пользоваться нашими «живыми метрами».
2. Искусство мерить шагами.
Проходя 10м, и посчитав количество шагов, мы сделаем вывод, что на самом деле длина шага
человека равна половине его роста, считая до уровня глаз.
3. Измерение столба в школьном дворе.
Измерив, тень Алексея и столба, зная рост Алексея, находим высоту столба.
4. Измерение березы, которую посадил мой отец Николаев Сергей Михайлович
( с помощью зеркала)
Для измерения высоты дерева измеряем: расстояние от глаз до макушки, расстояние от меня до
зеркала, расстояние от зеркала до березы и, зная мой рост до глаз, найдем высоту березы.
5. Измерение школьного здания( с помощью шеста)
Для измерения высоты школьного здания измеряем: длину шеста, рост Алексея, расстояние от
шеста до здания школы, находим высоту здания.
6. Измерение ширину оврага, через которое мы ходим в школу.
Для измерения ширины оврага, откуда мы ходим в школу, измеряем: MA=8м; AK=5м; KB=5м;
МN – ширина оврага. Чтобы найти ширину оврага рассмотрим подобные треугольники и
находим ширину оврага.
6. Измерение высоты памятника ( с помощью линейки)
Для измерения высоты памятника измеряем: расстояние от глаза до линейки, расстояние от
памятника до меня, длину на линейке, найдем высота памятника.
.
Тезисы к исследовательской работе
Тема исследовательской работы «Измерение на местности».
Автор: Николаева Алена, ученица 9 класса МОУ "Ковалинская ООШ"
Руководитель: Николаева Ираида Михайловна, учительница математики
МОУ "Ковалинская ООШ"
Цель этой темы заключается в исследовании связи геометрии с окружающим нас миром.
Для достижения этой цели рассматриваются задачи:
1. Провести литературный обзор по теме.
2. Провести опрос людей, которым близка эта тема.
3. Показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире.
Тему я считаю актуальной, так как в этой исследовательской работе рассматривается, как без
каких - либо инструментов, можно измерить высоту столба, пирамиды, колокольни, дерева,
ширину реки, озера, оврага, длину острова, глубину пруда и т.д. Рассматривается связь с
геометрии с окружающим нас миром. Ле Корбюзье принадлежит высказывание «Окружающий
нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг –
геометрия».
Объектом и предметом исследования является здание школы, дерево, столб, овраг, памятник, а
методом исследования является знакомство и обработка литературных материалов, данных из
Интернета, встреча с учащимися школы, жителями села и города.
В ходе проведения исследовательской работы я пришла к выводам:
1.Длина шага человека равна половине его роста.
2. Высоту столба, дерева можно измерить только при помощи тени.
3. Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их применения в
жизни.
ЧастьI
Основная теоретическая часть.
1.Высота пирамиды по способу Фалеса
Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за
шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался его тенью.
Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его
росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ее тени. Это,
пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.
Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать
некоторые геометрические свойства треугольника, - именно следующие два:
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны,
лежащие против равных углов треугольника, равны между собою (открыл сам Фалес).
2. Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.
Вооруженный этими знаниями Фалес вправе был заключить, что, его собственная тень равна
его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого,
следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить
равнобедренный треугольник.
Этим простым способом очень удобно воспользоваться. Но в наших широтах не так легко,
как в Египте, подстеречь нужный для этого момент. Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и
тени бывают, равны высоте отбрасывающих предметов лишь в околополуденные часы летних
месяцев.
Можно возразить, неужели без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько
раз и тень его длиннее?
Конечно, нет. Здесь нужно применить признак подобия треугольников по двум углам.
Изменим способ Фалеса: в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины
не была. Измерив свою тень или тень какого – либо шеста, вычисляем:
АВ:ав= ВС::вс,
т.е высота дерева во столько же раз больше собственной высоты, во сколько раз тень дерева
длиннее вашей тени. (см. рис.4 в приложении),
2. Измерение высоты площадки Дальнего Вида по способу Жюля Верна.
( «Таинственный остров»)
Возьмем шест футов 12 длиною. Приготовим отвес: камень, привязанный концу веревки. Не
доходя до гранитной стены фунтов 500, воткнем шест фута на два в песок, прочно укрепив с
помощью отвеса. Отходя от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на
одной прямой линии видеть и край шеста, и край гребня. Эту точку отметим колышком.
Построив два подобных прямоугольных треугольника, найдем искомую длину. У меньшего
треугольника одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до
основания шеста; гипотенуза – луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная
стена, высоту которой хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены;
гипотенуза – луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольник.
(см. рис.5 в приложении),
3. Определение высоты предмета.
1) С помощью вращающейся планки.
Предположим, что нам нужно определить высоту какого – нибудь предмета, например высоту
столба А1С1. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся
планкой и направим планку на верхнюю точку С 1 столба. Отметим на поверхности земли точку
В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники
А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников ( угол А1 = углу А = 90о,
угол В – общий). Из подобия треугольников следует:
А1С1 АВ1
АС  ВА1

откудаА1С1 
АС
АВ
ВА
Измерив расстояния ВА1 и ВА (расстояние от точки В до основания столба и расстояние до
шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем
высоту А1С1 столба. (см. рис.6 в приложении)
2) С помощью тени.
Измерение следует проводить в солнечную погоду. Измерим длину тени дерева и длину тени
человека. Построим два прямоугольных треугольника, они подобны. Используя подобие
треугольников, составим пропорцию (отношение соответственных сторон), из которой и найдём
высоту дерева. Таким образом, можно определить высоту дерева, используя построение
прямоугольных треугольников в выбранном масштабе. (см. рис.7 в приложении)
3) С помощью зеркала.
Для определения высоты предмета можно использовать зеркало, расположенное на земле
горизонтально. Луч света, отражаясь от зеркала, попадает в глаз человека. Используя подобие
треугольников можно найти высоту предмета, зная рост человека (до глаз), расстояние от глаз до
макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала, расстояние от зеркала до
предмета (учитывая, что угол падения луча равен углу отражения). (см. рис.8 в приложении)
4) С помощью чертёжного прямоугольного треугольника.
На уровне глаз расположим прямоугольный треугольник, направив один катет горизонтально
поверхности земли, другой катет, направив на предмет, высоту которого измеряем. Отходим от
предмета на такое расстояние, чтобы второй катет “прикрыл” дерево. Если треугольник ещё и
равнобедренный, то высота предмета равна расстоянию от человека до основания предмета
(прибавив рост человека). Если треугольник не равнобедренный, то используется снова подобие
треугольников, измеряя катеты треугольника и расстояние от человека до предмета
(используется и построение прямоугольных треугольников в выбранном масштабе). Если
треугольник имеет угол в 300, то используется свойство прямоугольного треугольника: против
угла в 300 лежит катет вдвое меньше гипотенузы.
5) С помощью чертёжного прямоугольного равнобедренного треугольника.
Вполне можно обойтись при измерении высоты и без помощи теней. Мы можем
воспользоваться свойством равнобедренного прямоугольного треугольника, обратившись к
услугам весьма простого прибора, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На
дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три
точки- вершины равнобедренного прямоугольного треугольника – и в них втыкают торчком по
булавке. Пусть у вас нет под рукой чертежного треугольника для построения прямого угла, нет и
циркуля для откладывания равных сторон. Перегибаем тогда любой лоскут бумаги один раз, а
затем поперек первого сгиба еще раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получаем
прямой угол. Та же бумажка пригодится и вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния.
Прибор может быть целиком изготовлен в бивуачной обстановке. Обращение с ним не сложнее
изготовления. Отойдя от измеряемого дерева, держим прибор так, чтобы один из катетов
треугольника был направлен отвесно, для чего можем пользоваться ниточкой с грузиком,
привязанной к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, найдем такое место
A, из которого, глядя на булавки a и с, увидим, что они покрывают верхушку C дерева: это
значит, что продолжение гипотенузы ac проходит через точку C. Тогда, очевидно расстояние aB
равно CB, так как  = 45° .Следовательно, измерив, расстояние aB (или, на ровном месте,
одинаковое с ним расстояние AD) и прибавив BD, т. е. возвышение aA глаза над землей,
получим искомую высоту дерева. (см. рис.9 в приложении)
6) Предположим, что требуется определить высоту АН какого – то предмета.
Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основания Н предмета и
измерим  АВН. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту
предмета: АН = НВ tg  АВН. Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на
прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определенном
расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ:  АВН =  ,  АСВ =  ,  ВАС =
 –  . Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС; по теореме синусов
АВ
BC
BC  sin 
находим АВ:

 AB 
sin  sin(    )
sin(    )
Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета:
АН = АВ sin  . Тогда AH 
BC  sin   sin 
sin(    )
(см. рис.10 в приложении)
7).Измерение высоты дерева при помощи шеста
Высоту деревьев можно определить при помощи шеста. Этот способ состоит в
следующем.
Запасшись шестом выше своего роста, воткнем его в землю отвесно на некотором
расстоянии от измеряемого дерева. Отойдем от шеста назад, по продолжению Dd до того
места А, с которого, глядя на вершину дерева, мы увидим на одной линии с ней
верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрим по направлению
горизонтальной прямой aC, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и
ствол. Попросим помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено.
Остаётся только на основании подобия треугольников abc и aBC вычислить ВС из
пропорции ВС : bc = aC : ас. Значит,
Расстояния bc, aC легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно
прибавить расстояние CD (которое также измеряется непосредственно), чтобы узнать
искомую высоту дерева. (см. рис.11 в приложении)
8). Метод завала
Нужен прямой шест длиной около метра. Встать на такое место, откуда сможем, хорошо
видеть как комель, так и верхушку дерева. Если бы дерево завалили на самом деле, мы должны
видеть его верхушку с места своего расположения. Удаление от дерева сначала может быть 2030 метров. Попросим товарища пойти к стволу дерева и вытянуть руку под прямым углом.
Держать шест в вытянутой руке в прямом положении. Переместится, не двигая шеей, на такое
расстояние, чтобы дерево казалось такой же длины, как и шест. В этом случае верхушка дерева
должна совпадать с верхней частью шеста, а комель соответствовать большому пальцу руки,
находящейся в нижней части шеста. Во время перемещения постоянно держать шест в прямом
положении, а руку прямо. В качестве другого варианта можно, не меняя места расположения,
переместить руку по шесту, т.е. поменять длину. "Завалить" дерево. Продолжая держать руку
прямой, повернуть шест так, чтобы нижняя часть шеста (которую мы держим) оставалась бы все
время на месте, т.е. совпадала с комлем, а верхняя часть шеста (которая соответствует верхушке)
как бы упала на землю под прямым углом. Если не видно место предполагаемого падения
верхушки, изменить место расположения. Попросить товарища перейти от ствола к месту
верхушки "заваленного" дерева. Когда найдем это место, попросите товарища измерить шагами
длину "заваленного" дерева.
Возможные ошибки :
Руку важно держать прямой весь период измерения. Изгибая руку, мы получим неправильный
результат. Если будем двигать шеей во время измерения, результат будет плохой. "Заваливать"
дерево перпендикулярно. Товарищ тоже должен перемещаться перпендикулярно по отношению
к линии дерева и вашего расположения. (см. рис.12 в приложении)
4. Определение расстояния до недоступной точки.
1). Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта
В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем
с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листке бумаги строим какой – нибудь
треугольник А1В1С1, у которого  А1 =  А,  С! =  С и измеряем длины сторон А1В1 и А1С1
этого треугольника. Так как треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1, то
А В  АС
АВ
АС

 АВ  1 1
А1 В1 А1С1
А1С1
Для удобства вычислений удобно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы
А1С1
1

АС 1000
(см. рис.13 в приложении)
2). Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (рекой).
Выберем на берегу реки две доступные точки А и В, расстояние между которыми может
быть измерено. Из точки А видны и точка В и точка С, взятая на противоположном берегу.
Измерим расстояние АВ, с помощью астролябии измеряем углы А и В,
 АСВ = 1800 – (  А +  В). Зная одну сторону треугольника и все углы, по теореме синусов
находим искомое расстояние.
АС = АВ
sin B
sin C
(см. рис.14 в приложении)
3). Измерение расстояния между точками А и В, разделёнными препятствием (озером).
Точки А и В доступны. Выбираем третью точку С, из которой видны точки А и В и могут быть
непосредственны измерены расстояния до них. Получается треугольник, у которого даны
 АСВ (измеряется с помощью астролябии) и стороны АС и ВС. На основании этих данных по
теореме косинусов можно определить величину стороны АВ – искомое расстояние.
АВ 2  АС 2  ВС  2  АС  ВС  cos C (см. рис.15 в приложении)
5. Определение ширины водоемов.
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Более цветка над водой,
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?
(Перевод В.И. Лебедева)
1. Подойдем как можно ближе к воде и заметим на противоположном берегу два каких-либо
предмета, расположенных у самой кромки воды. Затем нужно взять травинку (палочку, бечевку)
и, держа ее горизонтально за концы обеими вытянутыми руками, закрыть один глаз. Глядя
поверх травинки, надо закрыть ею промежуток между замеченными ориентирами. После этого
следует отметить точку, в которой мы находимся, сложить травинку пополам и отойти от
водоема под прямым углом до другой точки, из которой расстояние между ориентирами
закроется укороченной травинкой. Расстояние от этой точки до реки, где мы производили
измерение в первый раз, и будет равно ширине водоема. (см. рис.16 в приложении)
2. Подойдем к воде, засечем на противоположном берегу какой-либо ясно видимый предмет А,
расположенный у самой кромки воды, и отметим точку своего стояния камнем или колышком Б.
Затем нужно пройти вдоль берега по линии, перпендикулярной к направлению между А и Б,
ровно 30 шагов, воткнуть палку В, отсчитать еще 30 шагов и сделать новую заметку Г. После
этого, повернувшись спиной к берегу, нужно идти от заметки Г до точки Д, пока палка не
окажется на одной линии с предметом за рекой (Л). Расстояние ГД и будет равно ширине
водоема. (см. рис.17 в приложении)
3. Станем на берегу реки в точке А против заметного предмета (камень, дерево) на
противоположном берегу (точка В). Затем сделать под прямым углом вдоль берега
определённое количество шагов (например, 20) и воткнуть палочку (точка О). От этой точки
отсчитать столько же шагов (точка С) и идти под прямым углом к линии АС до точки Д, которая
с точкой О и В будет на одной прямой. Таким образом, ширина реки АВ = СД. Этим способом
можно также определить расстояние от всякого недоступного предмета.
(см. рис.18 в приложении)
4. Ширину реки можно определить и так: рассматривая два подобных треугольника АВС и
АВ1С1. Точка А выбрана на берегу реки, В1 и С у кромки поверхности воды, ВВ1 – ширина реки,
измеряя при этом АС, АС1, АВ1
.
АС1 АВ1
АС  АВ1

, отсюдаАВ 
иВВ1  АВ  АВ1
АС
АВ
АС1
6. Геометрия звездного неба
Стихотворение “Из века в век”.
Из века в век идет человек,
Из века в век переходит земля.
Моря переходят из века в век,
Озера, реки, леса и поля.
Из века в век - солнце над Землей,
Из года в год луна по ночам,
И звезды в небе - надо мной,
И ночью пути освещают нам.
И хочется мне сохранить этот мир –
Пусть все переходит из века в век!
Ведь жизнь – божий дар!
Жизнь – пышный пир,
И пусть же “пирует” на нем человек!
Аня Кротова. г. Абаза.
Единственная точка звездного купола в нашем северном полушарии, которая сохраняет
неподвижность, - та, куда упирается мысленное продолжение земной оси. Этот северный «полюс
мира» приходится невдалеке от яркой звезды на конце хвоста Малой Медведицы — Полярной
звезды. Найдя ее на нашем северном небе, мы тем самым найдем и положение северного полюса
мира. Отыскать же ее нетрудно, если найти сначала положение всем известного созвездия
Большой Медведицы: проведите прямую линию через ее крайние звезды, как показано на
рисунке, и, продолжив ее на расстояние, примерно равное длине всего созвездия, мы наткнемся
на Полярную.
Это одна из тех точек на небесной сфере, которые понадобятся нам для определения
географической широты. Вторая — так называемый «зенит» — есть точка, находящаяся
на небе отвесно над вашей головой. Другими словами: зенит есть точка на небе, куда
упирается мысленное продолжение того радиуса Земли, который проведен к занимаемому
вами
месту.
Градусное
расстояние по небесной дуге между вашим зенитом и
Полярной звездой есть в то же время градусное расстояние вашего места от земного
полюса. Если зенит отстоит от Полярной на 30°, то мы отдалены от земного полюса на 30°, а
значит, отстоим от экватора на 60°; иначе говоря, находимся на 60-й параллели.
Следовательно, чтобы найти широту какого-либо места надо лишь измерить в градусах (и его
долях) «зенитное расстояние» Полярной звезды: после этого останется вычесть эту величину из
90°—и широта определена. Практически можно поступать иначе. Так как дуга между зенитом и
горизонтом содержит 90°, то, вычитая зенита расстояние Полярной звезды из 90°, мы получаем
в остатке не что иное, как длину небесной дуги от Полярной до горизонта; иначе говоря, мы
получаем «высоту» Полярной звезды над горизонтом. Поэтому географическая широта какоголибо места равна высоте Полярной звезды над горизонтом этого места.
Теперь понятно, что нужно сделать для определения широты. Дождавшись ясной ночи,
отыщем на небе Полярную звезду и измеряем ее угловую высоту над горизонтом; результат
сразу даст нам искомую широту места. Если хотим быть точным, мы должны принять в расчет,
что Полярная звезда не строго совпадает с полюсом мира, а отстоит от него на 1°. Поэтому
Полярная звезда не остается совершенно неподвижной, она описывает около неподвижного
небесного полюса маленький кружок, располагаясь то выше его, то ниже, то справа, то слева —
на 1,25°. Определив высоту Полярной звезды в самом высоком и в самом низком ее положении
(астроном сказал бы: в моменты ее верхней и нижней «кульминаций»), мы берем среднее из
обоих измерений. Это и есть истинная высота полюса, а следовательно, и искомая широта места.
Но если так, то незачем избирать непременно Полярную звезду: можно остановиться на любой
незаходящей звезде и, измерив ее высоту в обоих крайних положениях над горизонтом, взять
среднюю из этих измерений. В результате получится высота полюса над горизонтом, т. е широта
места. Но при этом необходимо уметь улавливать моменты наивысшего и наинизшего
положения избранной звезды, что усложняет дело; да и не всегда удается это наблюдать в
течение одной ночи. Вот почему для первых приближенных измерений лучше работать с
Полярной звездой, пренебрегая небольшим удалением ее от полюса.
До сих пор мы воображали себя находящимися в северном полушарии. Как поступили бы вы,
очутившись в южном полушарии? Точно так же, с той лишь разницей, что здесь надо определять
высоту не северного, а южного полюса мира. Близ этого полюса, к сожалению, нет яркой звезды
вроде Полярной в нашем полушарии. Знаменитый Южный Крест сияет довольно далеко от
южного полюса, и если мы желаем воспользоваться звездами этого созвездия для определения
широты, то придется брать среднее из двух измерений — при наивысшем и наинизшем положении звезды. Герои романа Жюля Верна, при определении широты своего «таинственного
острова», пользовались именно этим красивым созвездием южного неба.
(см. рис.19 в приложении)
ЧастьII
Примеры из жизни мудрых людей (Опрос людей, которые работали на природе)
Мне стало очень интересно, а что же знают об измерении на местности мудрые люди, которых
я знаю. Стала расспрашивать.
1). Случай во время Великой Отечественной войны «Измерение ширины реки».
Вот этот случай рассказала мне моя соседка, а её отец был одним из лучших математиков в
классе, когда учился в школе. Был участником Великой Отечественной войны.
Его отделению было приказано измерить ширину реки, через которую предстояло
организовать переправу.…Подобравшись к кустарнику вблизи реки, отделение залегло, а он
вместе с другим солдатом выдвинулся ближе к реке, откуда был хорошо виден занятый
фашистами берег. В таких условиях измерить ширину реки нужно было и на глаз. Но они
поступили следующим образом: встали лицом к реке и надвинули фуражку на глаза так, чтобы
нижний обрез козырька точно совпал с линией противоположного берега. Козырек можно
заменить ладонью руки или записной книжкой, плотно приложенной ребром ко лбу. Затем, не
изменяя положения головы, надо повернуться направо или налево, или даже назад ( в ту
сторону где поровнее площадка, доступная для измерения расстояния) и заметить самую
длинную точку, видимую из под козырька. Расстояние до этой точки и будет примерно равно
ширине реки.
Этим способом они и воспользовались. Затем вместе они ползком добрались до этой точки,
измеряя расстояние шнуром.
(см. рис.20 в приложении)
2). Измерения лесника Никитина Николая Николаевича
а).Измерение высоты дерева
Рассказ Николая Николаевича:
«Втыкаем в землю на некотором расстоянии от дерева планку. Место для нее выбирают так, чтобы,
лежа за ней, (рост - 1,7 м) видеть верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой планки.
Расстояние от основания дерева до планки измерялось с помощью рулетки (СН = 9 м), высота
планки была известна заранее (А 1 С=1,5м), а вот расстояние С В и измерять не пришлось (СВ =
1,7 м).
1,5
1,7
1,5  10,7
, значит АН 

 9,44( м) -высота дерева».
1,7
АН !,7  9
Если проверить с точки зрения геометрии, т.е использовать подобие треугольников,
получается:
ВНА. Значит,
АНВ  А1НВ  90 °,  В - общий угол для треугольников ВСА 1 и
треугольники ВСА 1 и ВНА – подобны. Т.е
СА1
СВ

, где ВН=СН+СВ. По этому признаку подобия решается эта задача.
АН
ВН
АН- высота дерева.
(см. рис.21 в приложении)
в).Измерение высоты дерева
Рассказ Николая Николаевича:
«Случается так, что неудобно подойти вплотную к основанию измеряемого дерева. Тогда
поступали так: был придуман простейший прибор из двух планок. Две планки АВ и СД
1
скрепляются под прямым углом так, чтобы АВ=ВС, а ВД= АВ. Вот и весь прибор. (см. рис в
2
приложении) Чтобы измерить им высоту, держат его в руках, направив планку СД вертикально
(для чего при ней имеется отвес – шнурок с грузиком), и становятся последовательно в двух
местах: сначала в точке А, где располагают прибор концом с вверх, а затем в точке А', подальше,
где прибор держат вверх концом d. Точка А' избирается так, чтобы, глядя из а на конец с, видеть
его на одной прямой с верхушкой дерева. Точку А' отыскивают так, чтобы, глядя из а' на точку d',
видеть ее совпадающей с В. В отыскании этих двух точек А и А' заключается все измерение,
потому что искомая высота дерева ВС равна расстоянию А А'» (см рис в приложении)
Если рассмотреть этот случай, то равенство вытекает из того, что аС=ВС, а'С=2ВС. Значит,
а'С'- аС=ВС.
«Через годы появились высотомеры лесоводов, которым мы пользовались в последние годы
работы»- объяснил нам Николай Николаевич.
«Этим прибором тоже можно определить высоту дерева, к которому нельзя подойти. Поступают
следующим образом: Надо направить прибор на вершину В дерева с двух точек Аи А'. Пусть в А
мы определили, что ВС=0,9АС, а в точке А' определили, что ВС= 0,4 А'С.
ВС
ВС
ВС ВС 25
Тогда АС=
; А'С'=
, значит, АА'= А'С-АС=
= ВС.
0,9
0,4
0,9 0,4 18
25
18
Получили, АА'= ВС., или ВС= А'А.
18
25
3).Измерения охотоведа Юрия Ивановича Ланин
а).В условиях путешествий очень важно уметь без помощи приборов определять расстояния и
размеры предметов. Способность человека оценивать на глаз без помощи приборов, расстояния
до окружающих его предметов и размеры предметов называется глазомером. Это
индивидуальная особенность человека, но ее можно развить путем постоянных и терпеливых
упражнений. Глазомерное определение расстояний производится различными способами.
В условиях путешествий возникает необходимость в измерении расстояния до недоступных
предметов.
Например, на противоположном берегу реки человек идет параллельно берегу слева направо.
Вытянув руку по направлению движения пешехода, смотрим одним правым глазом на конец
пальца, ожидая, когда человек заслонится им. В тот же момент закроем правый глаз и откроем
левый - человек словно отскочит назад. Считаем, сколько шагов сделает пешеход, прежде чем
снова поравняется с нашим пальцем.
Расстояние от нас до человека на другом берегу реки определяется из пропорции:
Д Л
ПЛ

Д
П Г
Г
Пример. Расстояние между зрачками глаз Г = 6 см, от конца вытянутой руки до глаза Л = 60 см.
Пешеход прошел расстояние П, равное 18 шагам; в среднем шаг равен 75 см. Подставляя эти
величины в формулу, получаем :
18  60
 180шагов , значит180  0,75  135 м. (см. рис.22 в приложении)
6
в). Измерение по луже.
Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц.
Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и
становятся около нее так, чтобы она помещалась между нами и предметом. После этого находят
точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета.
Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше нас, во сколько расстояние от
него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до нас( расстояния можно мерить шагами).
Д
(см. рис.23 в приложении)
4). Определение глубины колодца строителем А.В. Таратиным.
Определить глубину колодца можно с помощью шеста. Требуется найти глубину х колодца по
известной длине Н шеста и ширине d колодца, а также отрезку L, отсекаемому лучом зрения
наблюдателя на границе колодца.
Значит, х 
Н d
H (d  l )
 , то получается
. Это получается из подобия треугольников. Так как
l
х
l
та величина, который нам предложил строитель Александр Витальевич.
.
(см. рис.24 в приложении)
5). Еще один случай во время Великой Отечественной войны «Построение моста»
Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны, где служил
прадедушка Александровой Кристины, Степан Ильич Сергеев. Подразделению разведчика
Сергеева было приказано построить мост через реку. На противоположном берегу засели
фашисты. Для разведки места постройки моста выделили разведывательную группу во главе с
Сергеевым.… В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных
деревьев и посчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки.
Высоту деревьев определяли при помощи шеста.
6). Определение на местности расстояний по линейным размерам предметов заслуженным
учителем физики В.Г.Гавриловым.
Определение расстояний по линейным размерам предметов заключается в следующем. С
помощью линейки, расположенной на расстоянии 50 см от глаза, измеряют в миллиметрах
высоту (ширину) наблюдаемого предмета. Затем действительную высоту (ширину) предмета в
сантиметрах делят на измеренную по линейке в миллиметрах, результат умножают на
постоянное число 5 и получают искомую высоту предмета в метрах.
Например, телеграфный столб высотой 6 м закрывает на линейке отрезок 10 мм.
Следовательно, расстояние до него:
:
Точность определения расстояний по линейным величинам составляет 5-10% длины
измеряемого расстояния.
(см. рис.25 в приложении)
ЧастьIII
Практическая часть- личные исследования.
1. Измерения голыми руками.
«Измерь самого себя – и ты станешь настоящим геометром!» - воскликнул средневековый
философ Марсилио Фичино.
Конечно, измерить самого себя и стать настоящим геометром очень трудно. Не всякому удается
сделать это за всю жизнь, но если говорить о чем-то более простом, то с уверенностью можно
сказать, что каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось чтолибо измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка и многое другое. Но не всегда в
путешествии мы имеем сантиметровую ленту. Хорошо бы каждому из нас обзавестись «живым
метром», чтобы в случае нужды пользоваться им для измерений.
Полезно также помнить, что у большинства людей расстояние между концами расставленных
рук равно росту – правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да
Винчи: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами».
2. Искусство мерить шагами.
Очутившись на шоссе, мы можем выполнить ряд интересных геометрических упражнений.
Прежде всего, воспользуемся шоссе, чтобы измерить длину своего шага и скорость ходьбы. Это
даст возможность измерять расстояния шагами – навык, который приобретается довольно легко
после недолгих упражнений. Главное здесь- приучить себя делать шаги всегда одинаковой
длины. На шоссе через каждые 100 м установлен белый столб, пройдя такой 100-метровый
промежуток своим обычным шагом и сосчитав число шагов, вы легко найдете среднюю длину
своего шага. Отметим любопытное соотношение, обнаруженное многократными измерениями:
средняя длина шага взрослого человека равна примерно половине его роста, считая до уровня
глаз. Если, например, рост человека до уровня глаз 1,4 м, то длина его шага – около 70 см
Проверим это утверждение:
На улице зима, потому длину шага мы измерили в школьном коридоре. Отмерили расстояние
10м и шагами прошлись 3 раза. Получили в среднем у меня 13 шагов, а у Алексея 12. Нашли
10 м
10 м
 0,83 м;
 0,77 м . Посмотрев на таблицу и диаграмму
длину шага у Алексея и свою:
12
13
(см таблица 1 и диаграмма1 в приложении) можно сделать вывод, что на самом деле длина шага
человека равна половине его роста, считая до уровня глаз с точностью  0,03м.
Правильность первой гипотезы доказана.
3. Измерение столба в школьном дворе.
Для измерения высоты столба измеряем:
тень столба-13м;
тень Алексея - 2,3м;
рост Алексея – 1,68м.
теньстолба  ростАлексея
13  1,68

 9,5 м .
Чтобы найти высоту столба
теньАлексея
2,3
Вывод: Высота столба должна быть 9-9,5 м. Этот расчет получился у нас точный.
Посоветовались с техником по техническим документациям из Урмарской подстанции Гурьевой
Татьяной Михайловной
4. Измерение березы, которую посадил мой отец Николаев Сергей Михайлович( с помощью
зеркала)
Для измерения высоты дерева измеряем:
Мой рост до глаз ( m)– 1,47м;
Расстояние от глаз до макушки (n) – 10 см;
Расстояние от меня до зеркала (c ) – 1м;
Расстояние от зеркала до березы (k) – 9 м;
Высота березы – l.
(m  n)  k 1,37  9

 12 м.
Чтобы найти высоту березы: l 
c
1
5. Измерение школьного здания( с помощью шеста)
Для измерения высоты школьного здания измеряем:
Длина шеста (m) – 1м;
Рост Алексея (n)– 1,67м;
Расстояние от шеста до здания школы (b) – 13,5м;
Высота здания – l.
m  (n  b) 1  (1,67  13,5)
Чтобы найти высоту школьного здания: l 

 9 м.
n
1,67
Вывод: Я думаю, что этот ответ точный. Узнала, поговорив с бывшим директором нашей школы
Николаем Михайловичем Софроновым. Он сказал, что высота всего здания 11м и нужно вычесть
2м (крыша). А мы измеряли здание без крыши.
6.
Измерение ширины оврага, через которое мы ходим в школу.
Для измерения ширины оврага, откуда мы ходим в школу, измеряем:
MA=8м;
AK=5м;
KB=5м;
МN – ширина оврага. Чтобы найти ширину оврага рассмотрим подобные треугольники.
МА KA
MA  BA 8  10

 AN 

 16 м
Получаем:
NA BA
KA
5
Значит, MN=16-8=8м.





Вывод: Этот ответ тоже с небольшой погрешностью. Провела общественный опрос о ширине
оврага. Вычисляя глазомером, Софронов В.А, Софронов Н.М, Артюков Ю.И, Артюкова В.Г –
учителя и работники нашей школы, ответили 15-17м. А у нас получилось среднее
арифметическое этих чисел.
7. Измерение высоты памятника ( с помощью линейки)
Для измерения высоты памятника измеряем:
Расстояние от глаза до линейки(m) – 0,5м;
Расстояние от памятника до меня (n)- 65 м;
Длина линейки(a) – 0,25м
Высота памятника(l)
Чтобы найти высоту памятника:
l
n
mn
0,5  65
 l 
l 
m a
a
0,25
.
Заключение
Практические работы на местности обогатили меня новыми знаниями о природе родного
края, развили интерес к его изучению, расширили знания по географии, геометрии. Знания,
полученные при выполнении исследовательской работы, остаются в моей памяти надолго,
развивая навыки научно-исследовательской работы
Были исследованы различные способы измерения высоты деревьев, столбов, ширины рек,
озер, оврагов. Полученные знания достаточно легко применяются на практике. По проблеме
исследования был проведен эксперимент.
Эксперимент проходил в три этапа:
1 этап – теоретический. Находила исторические данные и общие данные практического
направления по теме «Использование и измерений на местности при изучении некоторых тем
школьного курса геометрии».
2 этап – поисковый. Здесь я искала людей, у которых работа была связана моей темой и случаи
измерения на природе из жизни мудрых людей.
3 этап – практический. Здесь была проведена экспериментальная проверка знаний, полученных
в ходе теоретического и поискового этапов.
На третьем этапе эксперимента проводилась проверка гипотез.
В ходе проведения исследовательской работы я пришла к выводам:
1.Длина шага человека равна половине его роста.
2. Высоту столба, дерева можно измерить не только при помощи тени.
3. Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их применения в
жизни.
Таким образом, эксперимент подтвердил выдвинутые гипотезы: длина шага человека равна
половине его роста и если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их
применения в жизни, гипотеза о том, что высоту столба, дерева можно измерить только при
помощи тени не подтвердился. Высоту столба, дерева можно измерить по разным способам: по
луже, по зеркалу, используя шест, планку и так далее.
В ходе исследовательской деятельности повысился у меня интерес к геометрии. Дальнейшие
мои задачи продолжить эту тему, рассматривая задачи: измерение глубины реки, озера, оврага,
нахождение нижней высоты облаков. Хотела бы продолжить личные исследования по теме:
«Геометрия в звездном небе».
Используемая литература:
В.Н.Руденко. Геометрия Просвещение 2001
Л.С.Атанасян. Геметрия. Просвещение 2009
Научно- практический и методический журнал. Математика в школе.№ 2 Издательство
«Школьная пресса»
Газета. Математика. Издательский дом «Первое сентября»
Я.И.Перельман. Занимательная геометрия.
А.В.Волошинов. Пифагор. Просвещение 1993
А.П.Савин и др.Я познаю мир. Москва АСТ.2000
Б.В.Гнеденко и др. Энциклопедический словарь юного математика. Москва «Педагогика»1985
Г.И.Глейзер. История математики в школе.Просвещение.1985.