история математического программирования в ссср

ÈÑÒÎÐÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß Â
ÑÑÑÐ: ÀÍÀËÈÇ ÔÅÍÎÌÅÍÀ
Á.Ò. Ïîëÿê
Èíñòèòóò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ, Ìîñêâà
e-mail: boris@ipu.rssi.ru
Àííîòàöèÿ. ß íå èñòîðèê; ïåðåä âàìè ëèøü âîñïîìèíàíèÿ ÷åëîâåêà, âîâëå÷åííîãî â ðàçâèòèå
òåîðèè è ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè â áûâøåì ÑÑÑÐ. ß ïîíèìàþ, ÷òî ìîÿ òî÷êà çðåíèÿ ìîæåò
áûòü î÷åíü ñóáúåêòèâíîé; îäíàêî ÿ ïîñòàðàþñü ïðåäñòàâèòü âîçìîæíî íàèáîëåå øèðîêóþ è
áåñïðèñòðàñòíóþ êàðòèíó.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ...
1. Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ
Ïîçâîëüòå ìíå íà÷àòü ñ îïèñàíèÿ îáùåé ñèòóàöèè â ìàòåìàòèêå è åñòåñòâåííûõ íàóêàõ â ÑÑÑÐ. Äëÿ ìîëîäîãî ÷èòàòåëÿ, êîòîðûé æèâåò òåïåðü â
ñîâåðøåííî äðóãèõ óñëîâèÿõ, ýòè çàìåòêè ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ, ïîñêîëüêó ñåãîäíÿ òðóäíî âîîáðàçèòü ñåáå äîâîëüíî ñïåöèôè÷åñêèå óñëîâèÿ æèçíè
â ñòðàíå â 1950-60å ãîäû. Öàðèëà êîììóíèñòè÷åñêàÿ òîòàëèòàðíàÿ ñèñòåìà,
íàñåëåíèå ïðåáûâàëî â áåäíîñòè, à ïðîìûøëåííîñòü â óïàäêå. Ïîïèðàëèñü
ïðàâà ÷åëîâåêà, íå ñîáëþäàëèñü îñíîâíûå ñâîáîäû, òàêèå êàê ñâîáîäà ñëîâà.
Ïðè ýòîì íåêîòîðûå îòðàñëè íàóêè (â òîì ÷èñëå ìàòåìàòèêà), ïðîöâåòàëè, è
äîñòèæåíèÿ â èññëåäîâàíèÿõ áûëè ñðàâíèìû èëè äàæå ïðåâîñõîäèëè óñïåõè
îñòàëüíîãî ìèðà.  ÷åì áûëè ïðè÷èíû òàêîãî ïðîãðåññà?
Âî-ïåðâûõ, èññëåäîâàíèÿ â òàêèõ îáëàñòÿõ êàê ôèçèêà è ìàòåìàòèêà ïîëüçîâàëèñü ìîùíîé ãîñóäàðñòâåííîé ïîääåðæêîé. Ãëàâíûì îáðàçîì ýòî îáúÿñíÿåòñÿ âîåííî-ïðîìûøëåííûìè ìîòèâàìè. Âëàñòü áûëà óáåæäåíà, ÷òî óñïåõ
â ïîëó÷åíèè àòîìíîé áîìáû, â ñîðåâíîâàíèè çà îñâîåíèå êîñìîñà è ò.ï. ìîæåò áûòü äîñòèãíóò òîëüêî ïðè óñëîâèè ðàçâèòèÿ îñíîâîïîëàãàþùèõ íàó÷íûõ äèñöèïëèí. Ïîýòîìó ïîëó÷àëè ïîääåðæêó ôóíäàìåíòàëüíûå, ðàâíî êàê
è ïðèêëàäíûå èññëåäîâàíèÿ. Îáû÷íî ìàòåìàòèêè è ôèçèêè íå èìåëè ïðîáëåì ñ ôèíàíñèðîâàíèåì ðàáîò. Ñóùåñòâîâàëî ìíîãî íàó÷íûõ èíñòèòóòîâ,
íå ñâÿçàííûõ ñ îáó÷åíèåì ñòóäåíòîâ, â êîòîðûõ ñîòðóäíèêè ìîãëè ñêîíöåíòðèðîâàòüñÿ íà ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ, ïî÷òè íå èìåÿ îãðàíè÷åíèé íà äëèòåëüíîñòü ðàáîò è ñòðîãèõ îáÿçàòåëüñòâ äîáèòüñÿ òîãî èëè èíîãî
1
ðåçóëüòàòà. Òàêàÿ ñâîáîäà òâîð÷åñêîãî ïîèñêà â êîìáèíàöèè ñ ãàðàíòèðîâàííûì ïðåáûâàíèåì â äîëæíîñòè äëÿ ó÷åíûõ âñåõ óðîâíåé, ïîðîé ïðèâîäèëè ê
âûäàþùèìñÿ äîñòèæåíèÿì.
Âî-âòîðûõ, â ÑÑÑÐ ñóùåñòâîâàëà õîðîøàÿ òðàäèöèÿ ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Çà÷àñòóþ óðîâåíü ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ñîâåòñêèõ øêîëàõ
áûë âûøå, ÷åì â øêîëàõ ÑØÀ. Áîëåå òîãî, äëÿ òàëàíòëèâûõ øêîëüíèêîâ
ñóùåñòâîâàëà ñïåöèàëüíàÿ ñèñòåìà ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ, êîòîðûå âåëè
ñòóäåíòû è ïðîôåññîðà óíèâåðñèòåòîâ. Êàæäûé ãîä ïðîâîäèëèñü îëèìïèàäû âñåâîçìîæíûõ óðîâíåé. ß ñ âîñòîðãîì âñïîìèíàþ îäèí òàêîé êðóæîê (â
Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì óíèâåðñèòåòå) è Ìîñêîâñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå
îëèìïèàäû. Îíè îïðåäåëèëè ìîå ïðîôåñèîíàëüíîå áóäóùåå. Ìàòåìàòè÷åñêèå
ôàêóëüòåòû íåêîòîðûõ óíèâåðñèòåòîâ áûëè â âûñøåé ñòåïåíè ïîðàçèòåëüíû.
Íàïðèìåð, êîíöåíòðàöèÿ âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ XX âåêà íà ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ â 1960õ ãîäàõ íå èìååò àíàëîãîâ â ìèðå: À. Êîëìîãîðîâ, È. Ãåëüôàíä, Ë. Ïîíòðÿãèí, Ï. Àëåêñàíäðîâ, À. Òèõîíîâ, Ë. Ëþñòåðíèê,
Â. Àðíîëüä, Þ. Ìàíèí, Ñ. Íîâèêîâ, ß. Ñèíàé, Ð. Äîáðóøèí è ìíîãèå äðóãèå. Ýòè ó÷åíûå ðóêîâîäèëè ïîñòîÿííûìè ñåìèíàðàìè, â êîòîðûõ ó÷àñòâîâàëè ìíîãèå ñòàðøåêóðñíèêè, ÷òî äàâàëî èì íåîáûêíîâåííóþ âîçìîæíîñòü
îáùàòüñÿ ñî ñòîëü ëåãåíäàðíûìè ôèãóðàìè, à òàêæå ðàíî âêëþ÷àòüñÿ â èññëåäîâàòåëüñêóþ ðàáîòó.
Â-òðåòüèõ, îáó÷åíèå â óíèâåðñèòåòàõ áûëî áåñïëàòíûì, è â ïðèíöèïå ñòóäåíò ñî ñêðîìíûìè ñðåäñòâàìè èç ïðîâèíöèàëüíîãî ãîðîäêà ïîñòóïàë ó÷èòüñÿ â ëó÷øèé, Ìîñêîâñêèé óíèâåðñèòåò, åñëè òîëüêî óñïåøíî ñäàâàë âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû. Ó÷åáíèêè è êíèãè áûëè ïðåäåëüíî äåøåâû è ïóáëèêîâàëèñü áîëüøèìè òèðàæàìè. Íàïðèìåð, öåíà íà ó÷åáíèê Ìàòåìàòè÷åñêîå
ïðîãðàììèðîâàíèå Â. Êàðìàíîâà áûëà 44 êîïåéêè (îêîëî 70 öåíòîâ), à òèðàæ òîëüêî îäíîãî èçäàíèÿ ñîñòàâëÿë 60 000 ýêçåìïëÿðîâ. Ïîïóëÿðíàÿ êíèãà
Â. Òèõîìèðîâà Ðàññêàçû î ìàêñèìóìàõ è ìèíèìóìàõ ñòîèëà 35 êîïååê ïðè
òèðàæå 160 000 ýêçåìïëÿðîâ [1, 2].
Åùå îäíà ïðè÷èíà: äëÿ ÷åñòîëþáèâûõ ìîëîäûõ ëþäåé áûëî íå òàê ìíîãî
âîçìîæíîñòåé ñäåëàòü êàðüåðó. Âñïîìíèòå, ÷òî íå áûëî òîãäà òàêèõ ïðîôåññèé êàê áèçíåñìåí, ìåíåäæåð, áàíêèð èëè ïðîãðàììèñò. Áûëî íåâîçìîæíî
ñòàòü ïîëèòèêîì, ñóäüåé èëè äèïëîìàòîì, íå áóäó÷è ÷ëåíîì Êîììóíèñòè÷åñêîé ïàðèè. Áîëåå òîãî, íå áûëî íàäåæäû ÷åñòíî çàíèìàòüñÿ èññëåäîâàíèÿìè â áîëüøèíñòâå ãóìàíèòàðíûõ íàóê, ïî÷òè âñå îíè áûëè ïîëèòèçèðîâàíû è
íàïîëíåíû ìàðêñèñòêîé òåðìèíîëîãèåé. Òàêèì îáðàçîì, êàðüåðà ìàòåìàòèêà
áûëà îäíîé èç íåìíîãèõ ñâîáîäíûõ îò èäåîëîãè÷åñêîãî äàâëåíèÿ.
Îäíàêî ó ýòîé èäèëëè÷åñêîé êàðòèíû áûëà è òåìíàÿ ñòîðîíà. Æåëåçíûé
2
çàíàâåñ - íå îäíà òîëüêî ìåòàôîðà, ýòî áûëî ðåàëüíîå ïðåïÿòñòâèå ê ìåæäóíàðîäíûì êîíòàêòàì. Àêàäåìèê Í.Í. Ëóçèí áûë ïîäâåðãíóò óíèçèòåëüíîé
òðàâëå ïîñëå ïóáëèêàöèè åãî ñòàòåé â çàïàäíûõ æóïíàëàõ â 1936 ã. [3]. Êîãäà
â êîíöå 1940õ ãã. ïðîôåññîð ß.Ç. Öûïêèí ïîëó÷èë ïèñüìî îò àìåðèêàíñêîãî
÷èòàòåëÿ åãî ñòàòüè, îí áûë âûçâàí â ÊÃÁ, áûëî óñòðîåíî äëèòåëüíîå ðàññëåäîâàíèå ïî ýòîìó ïîâîäó, è äåëî åäâà íå äîøëî äî àðåñòà. Êîíå÷íî, â 1950-60õ
ãã. ñèòóàöèÿ áûëà íå ñòîëü äðàìàòè÷íà, íî îñòàâàëîñü åùå ìíîãî òðóäíîñòåé.
Äàæå åñëè ó÷åíûé áûë ïðèãëàøåí äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíôåðåíöèè çà ðóáåæîì,
ñ ïîêðûòèåì âñåõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñõîäîâ, ýòî åùå íè÷åãî íå îçíà÷àëî.
Âî-ïåðâûõ, ñóùåñòâîâàë ÷åðíûé ñïèñîê ó÷åíûõ, êîòîðûõ íå âûïóñêàëè çà
ðóáåæ íè ïðè êàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ. Ïðè÷èíîé ìîãëà áûòü äèññèäåíòñêàÿ
äåÿòåëüíîñòü ó÷åíîãî (íàïðèìåð, åñëè îí ïîäïèñàë ïðîòåñò ïðîòèâ íàñèëüñòâåííîãî ïîìåùåíèÿ ìàòåìàòèêà À. Åñåíèíà-Âîëïèíà â ïñèõèàòðè÷åñêóþ
êëèíèêó; äåòàëè, êàñàþùèåñÿ ýòîãî ïèñüìà, èçëîæåíû â [4]), åãî íàöèîíàëüíîñòü, åãî íåñàíêöèîíèðîâàííûå êîíòàêòû ñ èíîñòðàíöàìè. Íî äàæå åñëè
ó÷åíûé íå ñîñòîÿë â ýòîì ñïèñêå, îí îáÿçàí áûë ïðîéòè äëèííóþ è óíèçèòåëüíóþ ïðîöåäóðó, è áåç âñÿêîé ãàðàíòèè óñïåõà. Îí äîëæåí áûë ïîëó÷èòü
ðåêîìåíäàöèþ îò ñâîåãî ìåñòíîãî êîìèòåòà ïàðòèè è îò ðåêòîðà óíèâåðñèòåòà
(õàðàêòåðèñòèêó), çàòåì êàíäèäàòóðà óòâåðæäàëîñü ñïåöèàëüíîé âûåçäíîé
êîìèññèåé ðåãèîíàëüíîãî êîìèòåòà ïàðòèè, çàòåì òðåáîâàëîñü ðàçðåøåíèå
ÊÃÁ, è íàêîíåö, îí äîëæåí áûë ïðîéòè ïðîâåðêó ÖÊ ÊÏÑÑ.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè, ïîçâîëüòå ìíå ðàññêàçàòü îäíó çàáàâíóþ èñòîðèþ, ñëó÷èâøóþñÿ
ñî ìíîé. ß áûë â ÷åðíîì ñïèñêå è íå èìåë øàíñîâ ïîåõàòü çà ðóáåæ. Îäíàêî
â 1970 ã. ß ñäåëàë ïîïûòêó. Ðå÷ü øëà î IX Ìåæäóíàðîäíîì ñèìïîçèóìå ïî
ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ â Áóäàïåøòå, ãäå ÿ áûë ïðèãëàøåí ñäåëàòü ïëåíàðíûé äîêëàä. Ìíå ïîâåçëî, è ÿ ïîëó÷èë ðàçðåøåíèå (âîçìîæíî, â
òîì ñëó÷àå ýòî áûëî ïðîùå, ïîòîìó ÷òî Âåíãðèÿ âõîäèëà â Âîñòî÷íûé áëîê).
Ê íåñ÷àñòüþ, ãóëÿÿ â ãîðàõ ïåðåä ïîåçäêîé, ÿ ñëîìàë íîãó. Îäíàêî æåëàíèå
ó÷àñòâîâàòü â ñèìïîçèóìå áûëî íàñòîëüêî ñèëüíûì, ÷òî ÿ áûë ãîòîâ åõàòü,
íåâçèðàÿ íà ïðîáëåìû ñî çäîðîâüåì. Èòàê, ÿ ïðèáûë äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíèõ èíñòðóêöèé è ïàñïîðòà. Îäíàêî áäèòåëüíûé ñîòðóäíèê âçãëÿíóë íà ìîè
êîñòûëè è ñêàçàë: Ïðåäîñòàâüòå ìíå ðàçðåøåíèå âðà÷à, ÷òî âû ìîæåòå åõàòü
çà ãðàíèöó. Õîðîøî, ÿ ïîëó÷èë òàêîå ðàçðåøåíèå è ïðèíåñ åãî áþðîêðàòó.
Íåò, ÿ âàì îòêàçûâàþ, - îáúÿâèë îí. Ïî÷åìó? - ïðîøåïòàë ÿ. Êàêîå âïå÷àòëåíèå âû ïðîèçâåäåòå íà èíîñòðàííûõ ó÷åíûõ? ×òî ñîâåòñêàÿ íàóêà ñòîèò
íà êîñòûëÿõ? È ÿ âûíóæäåí áûë îñòàòüñÿ â Ìîñêâå...
Îäíàêî âèçèòû çà ðóáåæ áûëè íå åäèíñòâåííîé ñòîðîíîé íàó÷íîé æèçíè,
êîòîðàÿ ñèëüíî çàâèñåëà îò ðåøåíèé ïðåäñòàâèòåëåé âëàñòè. Ïðîäâèæåíèå
3
â äîëæíîñòè, çàùèòû êàíäèäàòñêèõ è äîêòîðñêèõ äèññåðòàöèé, âûáîðû â
Àêàäåìèþ Íàóê, ïîëó÷åíèå ðàçëè÷íûõ íàãðàä âñå áûëî ïîä ïàðòèéíûì
êîíòðîëåì, è íå áûëî íèêàêîãî øàíñà äîáèòüñÿ óñïåõà áåç ñîîòâåòñòâóþùåãî îäîáðåíèÿ. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îòêàç â îäîáðåíèè îáúÿñíÿëñÿ íå ëè÷íûìè
è ïðîôåññèîíàëüíûìè êà÷åñòâàìè, à äàííûìè àíêåòû (ïðè ïîñòóïëåíèè íà
ðàáîòó êàæäûé äîëæåí áûë çàïîëíèòü äåòàëüíóþ ñòàíäàðòíóþ àíêåòó). Íàïðèìåð, çíàìåíèòûì ñòàë ïÿòûé ïóíêò àíêåòû, î íàöèîíàëüíîñòè. Åñëè âàì
âûïàëî íåñ÷àñòüå áûòü åâðååì, òî âàøà êàðüåðà áûëà ñóùåñòâåííî îãðàíè÷åíà. Êîíå÷íî, ÿ íå ìîãó îñâåòèòü ýòó âàæíóþ òåìó âî âñåõ äåòàëÿõ, çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè áîëüøå èíôîðìàöèè â [5-7]. È ìíîãèå áëåñòÿùèå ó÷åíûå, â ÷àñòíîñòè â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ,
áûëè âûíóæäåíû ýìèãðèðîâàòü èç-çà ýòèõ îñêîðáèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé.
Åùå îäíèì èñòî÷íèêîì òðóäíîñòåé äëÿ èññëåäîâàòåëåé áûëà ìàíèÿ ñåêðåòíîñòè. Íèêòî íå ìîã îïóáëèêîâàòü ñòàòüþ áåç ñïåöèàëüíîãî ðàçðåøåíèÿ,
ïîäòâåðæäàþùåãî, ÷òî ïóáëèêàöèÿ íå ïðîòèâîðå÷èò ìíîãî÷èñëåííûì îãðàíè÷åíèÿì, ñâÿçàííûì ñ áåçîïàñíîñòüþ. Âñå ïèñüìà çà ãðàíèöó (à òàêæå è
èç-çà ãðàíèöû) âñêðûâàëèñü, è èõ ñîäåðæèìîå ïðîâåðÿëîñü. Êàæäûé, êòî
îòïðàâëÿëñÿ íà ìåæäóíàðîäíóþ êîíôåðåíöèþ, äîëæåí áûë èìåòü ñïåöèàëüíîå ðàçðåøåíèå, è ïîëíûé òåêñò åãî äîêëàäà äîëæåí áûë áûòü óòâåðæäåí.
À ðàáîòà â çàêðûòîì èíñòèòóòå (÷òî ñëó÷àëîñü ñî ìíîãèìè ñïåöèàëèñòàìè â
îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ), ðàäèêàëüíî óñëîæíÿëà ñèòóàöèþ.
Ñïèñîê íåâçãîä ñîâåòñêîé íàóêè âûãëÿäèò ñëèøêîì äëèííûì... ×òîáû çàêîí÷èòü, ïîçâîëüòå ìíå óïîìÿíóòü ïîñëåäíþþ (íî, âîçìîæíî, íå íàèìåíüøóþ) òðóäíîñòü. Áîëüøèíñòâî îáëàñòåé íàóêè èìåëè ñòðîãóþ èåðàðõè÷åñêóþ
ñòðóêòóðó. Íåêèé áîëüøîé øåô äåðæàë â ñâîèõ ðóêàõ âñå âàæíûå ðåøåíèÿ
(ïîåçäêè çà ðóáåæ, âûáîðû, íàãðàäû, ïðîäâèæåíèÿ íà âûñîêèå äîëæíîñòè,
è ò.ä.). Íàïðèìåð, òàêèì ãëàâîé â îáëàñòè ÷èñëåííîãî àíàëèçà áûë àêàäåìèê
À.Í. Òèõîìèðîâ. Çà íèì ñëåäîâàëè ìåñòíûå øåôû, ïðèíèìàâøèå ðåøåíèÿ
íà ëîêàëüíîì óðîâíå (íàçíà÷åíèÿ íà äîëæíîñòè ñðåäíåãî óðîâíÿ, çàùèòû
êàíäèäàòñêèõ äèññåðòàöèé, è ò.ï.). Ê ñ÷àñòüþ, â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå áûëî òàêîé ñèëüíîé ìîíîïîëèçàöèè. Ìîæåò áûòü, îòñóòñòâèå åäèíîãî âñåâëàñòíîãî ëèäåðà ñäåëàëî ñîâåòñêîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå áîëåå êîíêóðåíòîñïîñîáíûì è ïðèâåëî ê çíà÷èòåëüíûì óñïåõàì â ýòîé îáëàñòè.
Èçëèøíå ãîâîðèòü, ÷òî âñå óïîìÿíóòûå îãðàíè÷åíèÿ è òðóäíîñòè èìåëè
ñâîþ äèíàìèêó. Ñèòóàöèÿ â 1940õ - ñåðåäèíå 1950õ ãã. áûëà íàèõóäøåé. Çëàÿ
âîëÿ ïðåäñòàâèòåëÿ âëàñòè ìîãëà ïðèâåñòè ó÷åíîãî â ÃÓËÀÃ. Ïåðèîä 19554
1970 ãã. áûë íàèìåíåå òÿãîñòíûì, ýòî áûë çîëîòîé âåê ñîâåòñêîé ìàòåìàòèêè [8], è â òîì ÷èñëå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ýòî áûëî
ëó÷øåå âðåìÿ. Ãîäû ñ 1970 ïî 1985 áûëè ïåðèîäîì çàñòîÿ â ïîëèòè÷åñêîé, ñîöèàëüíîé, ýêîíîìè÷åñêîé è íàó÷íîé æèçíè. Âñå íåâçãîäû, óïîìÿíóòûå ìíîþ
âûøå, èãðàëè âñå áîëåå è áîëåå çàìåòíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ñîâåòñêîé íàóêè è
ïðèâåëè åå, òàêèì îáðàçîì, ê äåãðàäàöèè.
Òåïåðü, ïîñëå ýòèõ ââîäíûõ çàìå÷àíèé, îðèåíòèðîâàííûõ íà çàïàäíîãî
èëè ìîëîäîãî ÷èòàòåëÿ (ðîññèéñêèå ÷èòàòåëè ìîåãî ïîêîëåíèÿ ñëèøêîì
õîðîøî çíàêîìû ñî âñåìè ýòèìè îñîáåííîñòÿìè ñîâåòñêîé íàó÷íîé æèçíè
è ìîãóò ìíîãîå äîáàâèòü ê ìîåìó îïèñàíèþ, ïîëüçóÿñü ñâîèì ñîáñòâåííûì
îïûòîì), ìû ìîæåì ïåðåéòè ê èñòîðè÷åñêîé ïåðñïåêòèâå ðàçâèòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ â ÑÑÑÐ. Êîðíè ýòîãî ðàçâèòèÿ ëåæàò â
ïðåäøåñòâóþùèõ ñòîëåòèÿõ, è ìû ìîæåì ïîâòîðèòü çà Íüþòîíîì: Ìû
ñòîèì íà ïëå÷àõ ãèãàíòîâ.
2. Ïðåäûñòîðèÿ
Ïåðâûé ó÷åíûé, çàíèìàâøèéñÿ îïòèìèçàöèåé â Ðîññèè, áûë èñòèííûé ãèãàíò.
Ëåîíàðä Ýéëåð, 1707-1783, æèë â Ðîññè â 1727-1741 è â 1766-1783 ãã. (â
öåëîì áîëåå 30 ëåò), è îïóáëèêîâàë îêîëî 850 ñòàòåé è êíèã. Åãî áèîãðàôèÿ
è îïèñàíèå åãî ðàáîò èçëîæåíû â [9]. Ýéëåð ïîíèìàë ðîëü çàäà÷ îïòèìèçàöèè; îí ïèñàë: ¾Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê çäàíèå âñåãî ìèðà ñîâåðøåííî
è âîçâåäåíî ïðåìóäðûì òâîðöîì, òî â ìèðå íå ïðîèñõîäèò íè÷åãî, â ÷åì
íå áûë áû âèäåí ñìûñë êàêîãî-íèáóäü ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà; ïîýòîìó
íåò íèêàêîãî ñîìíåíèÿ, ÷òî âñå ÿâëåíèÿ ìèðà ñ òàêèì æå óñïåõîì ìîæíî
îïðåäåëèòü èç ïðè÷èí êîíå÷íûõ ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà... ([10], Ïðèëîæåíèå 1). Îí âíåñ âàæíûé âêëàä â ðàçâèòèå ðàçëè÷íûõ
îáëàñòåé òåîðèè è ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè. Âî-ïåðâûõ, îí ïîëó÷èë íåîáõîäèìûå
è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè âûñøèõ ïîðÿäêîâ â çàäà÷å áåç îãðàíè÷åíèé. Âî-âòîðûõ, îí áûë îäíèì èç îñíîâàòåëåé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
 ýòîì íàïðàâëåíèè îí ïîëó÷èë íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ,
òàêèõ êàê íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà (íàçûâàåìîå òåïåðü óðàâíåíèåì
Ýéëåðà). Êðîìå òîãî, îí ïðåäëîæèë ïðèìåíÿòü äèñêðåòíûå àïïðîêñèìàöèè
ê ðåøåíèþ çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ïåðâûé ÷èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Íàêîíåö, Ýéëåð
ðàññìîòðåë èçîïåðèìåòðè÷åñêèå çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, òðàêòóÿ
èõ â î÷åíü øèðîêîì ñìûñëå, ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâîå èññëåäîâàíèå â
5
îáëàñòè îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè.  XIX âåêå íåôîðìàëüíûì ïðîäîëæàòåëåì ðàáîò Ýéëåðà ñòàë îäèí èç âûäàþùèõñÿ ðîññèéñêèõ ìàòåìàòèêîâ.
Ï.Ë. ×åáûøåâ, 1821-1894.  îáëàñòè îïòèìèçàöèè îí ââåë òî, ÷òî òåïåðü íàçûâàåòñÿ ×åáûøåâñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ.  ïðîñòåéøåé ôîðìå, ýòî çàäà÷à
min
max |a(t) −
x
t∈T
X
xi fi (t)|.
i
Ñåãîäíÿ ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ýòî ïðèìåð çàäà÷è âûïóêëîé íåãëàäêîé
îïòèìèçàöèè, à òî÷íåå, ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. ×åáûøåâ íàøåë àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äëÿ íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ (äëÿ a(t) = 1,
fi (t) = ti , T = [0, 1], ðåøåíèå - ïîëèíîì ×åáûøåâà) è äàë îáùóþ õàðàêòåðèñòèêó îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèè. Îí òàêæå èññëåäîâàë ìíîæåñòâî äðóãèõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè, âîçíèêøèõ ÷àñòüþ èç ïðàêòè÷åñêèõ íóæä (íàïðèìåð
ïîñòðîåíèå íàèìåíåå èñêàæåííîé ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòû, îïòèìàëüíûé ðàñêðîé, íàèëó÷øèé âûáîð ïàðàìåòðîâ ìåõàíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ äëÿ ÷åð÷åíèÿ
êðèâûõ). Êàê è Ýéëåð, ×åáûøåâ ïîíèìàë âàæíîñòü è ðàçíîîáðàçèå ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷.  ÷àñòíîñòè, îí óòâåðæäàë: "òà æå çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáùåé
äëÿ âñåé ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà: êàê ðàñïðåäåëèòü íàøè ðåñóðñû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëüøóþ âîçìîæíóþ ïðèáûëü? Ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òàê íàçûâàåìîé òåîðèè ìàêñèìàëüíûõ è ìèíèìàëüíûõ êîëè÷åñòâ. Ýòè çàäà÷è, ÿâëÿÿñü ÷èñòî ïðàêòè÷åñêèìè, èìåþò îñîáîå
çíà÷åíèé è äëÿ òåîðèè: âñå çàêîíû óïðàâëÿþùèå äâèæåíèåì âçâåøåííîãî è
íåâåñîìîãî âåùåñòâà, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷ òàêîãî ðîäà. Ìû íå äîëæíû
íå çàìåòèòü èõ ïëîäîòâîðíîãî âëèÿíèÿ íà ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê".
Èññëåäîâàíèÿ ×åáûøåâà â îáëàñòè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïðîäîëæèëè äâà
åãî âåëèêèõ ïîñëåäîâàòåëÿ.
À.À. Ìàðêîâ, 1856-1922, èçâåñòåí ñâîèìè ðàáîòàìè â îáëàñòè òåîðèè
÷èñåë è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé (Ìàðêîâñêèå öåïè, Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû). Â
òî æå âðåìÿ, îí âíåñ âêëàä è â ðàçâèòèå íåêîòîðûõ îáëàñòåé îïòèìèçàöèè.
Íàïðèìåð, îí ðàññìîòðåë òàê íàçûâàåìóþ ïðîáëåìó ìîìåíòîâ
min
0 ≤ f (t) ≤ L,
Z b
tn f (t)dt,
a
Z b
ti f (t)dt
a
= ci , i = 1, ..., n − 1.
Ýòî íåñòàíäàðòíàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè ñ èíòåãðàëüíûìè ôóíêöèîíàëàìè
öåëè è îãðàíè÷åíèé (íå ñîäåðæàùàÿ ïðîèçâîäíûõ, â îòëè÷èå îò çàäà÷è âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ). Îí òàêæå ÿâëÿåòñÿ àâòîðîì íåðàâåíñòâà Ìàðêîâà,
6
ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è:
max max |P 0 (x)|
P (x)∈Π a≤x≤b
|P (x)| ≤ M, a ≤ x ≤ b,
ãäå Π - ìíîæåñòâî âñåõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå áîëåå n.
Ô.Ì. Ëÿïóíîâ, 1857-1918. Íà ïåðâûé âçãëÿä, åãî ðàáîòû íå èìåëè îòíîøåíèÿ ê îïòèìèçàöèè. Íà ñàìîì äåëå ýòî íå ñîâñåì òàê. Ëÿïóíîâ ðàçðàáîòàë
òåîðèþ óñòîé÷èâîñòè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé; åå
ïðîñòåéøåå óòâåðæäåíèå ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: ðåøåíèå x(t) óðàâíåíèÿ
ẋ = f (x)
óñòîé÷èâî, åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ V (x) (ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà) òàêàÿ, ÷òî
(∇V (x), f (x)) < 0.
Ìû ìîæåì âçãëÿíóòü íà ýòî èíà÷å. Âûøåïðèâåäåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå ýòî íåïðåðûâíûé ïî âðåìåíè ìåòîä ìèíèìèçàöèè V (x). Òàêèì
îáðàçîì, ïåðåä íàìè ñèñòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíò äëÿ ïðîâåðêè ñõîäèìîñòè
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè.
3. Ïèîíåð
Ë.Â. Êàíòîðîâè÷, 1912-1986. Îí çàêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé Óíèâåðñè-
òåò â âîçðàñòå 18 ëåò è ñòàë ïðîôåññîðîì â 22 ãîäà, ñâîþ ïåðâóþ ðàáîòó îí
îïóáëèêîâàë, êîãäà åìó áûëî 16. Îí óäîñòîèëñÿ íåîáû÷íîé êîìáèíàöèè íàãðàä: Ñòàëèíñêàÿ ïðåìèÿ (1949 ã.), Ëåíèíñêàÿ ïðåìèÿ (1965 ã.) è Íîáåëåâñêàÿ
ïðåìèÿ (1975 ã.). Áèîãðàôè÷åñêèå äàííûå î Êàíòîðîâè÷å, âêëþ÷àÿ åãî àâòîáèîãðàôèþ Ìîé ïóòü â íàóêå , ìîæíî íàéòè â òîìå [13], îïóáëèêîâàííîì íà
àíãëèéñêîì ÿçûêå, à òàêæå â [14-16]. Êàíòîðîâè÷ âíåñ çíà÷èòåëüíûé âêëàä â
÷èñëåííûå îáëàñòè ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, îí ñòàë îäíèì èç îñíîâàòåëåé
÷èñëåííîãî àíàëèçà â íàøåé ñòðàíå, îí áûë îäíèì èç ïåðâûõ, êòî ïðèçíàë
èíôîðìàòèêó êàê íîâóþ âåòâü ìàòåìàòèêè. Îäíàêî äëÿ âñÿêîãî, êòî çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì, îí íåñîìíåííî îòåö íîâîé íàóêè
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò ñòàíäàðòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Èìåííî ñ åãî èìåíåì ñâÿçàíû ñëåäóþùèå òðè ïðîðûâà â îïòèìèçàöèè:
• ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå, 1939 ã.;
7
• îáùèå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè, 1940 ã.;
• òåõíèêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, 19391948 ãã.
Ðàññìîòðèì êðàòêî êàæäûé èç íèõ.
3.1. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå
 1939 ã. Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ îïóáëèêîâàë ìàëåíüêóþ êíèæêó (âñåãî 67 ñòðàíèö) [17], â êîòîðîé ðàññìàòðèâàëñÿ íîâûé òèï îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Ôîðìû çàïèñè ýòèõ çàäà÷ áûëè èíûìè, ÷åì ñòàíäàðòíàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ãîðàçäî ïîçæå, â [20] Êàíòîðîâè÷ óòâåðæäàåò, ÷òî ìîäåëü, ðàññìàòðèâàåìàÿ â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå, åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé åãî ìîäåëè; ýêâèâàëåíòíîñòü ðàçëè÷íûõ ôîðìóëèðîâîê çàäà÷è ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå âñåì áûëà ïîíÿòíà â òî âðåìÿ. Êíèãà ýòà ïîÿâèëàñü â
îòâåò íà âîïðîñû èíæåíåðîâ è ýêîíîìèñòîâ è íå áûëà îñíîâàíà íà ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèÿõ àâòîðà èëè äðóãèõ ìàòåìàòèêîâ. Â êíèãå ïðèâåäåíî
ìíîãî ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, à òàêæå èçëîæåíû èäåè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, îñíîâàííûõ íà äâîéñòâåííûõ ïåðåìåííûõ (íàçûâàåìûõ ðàçðåøàþùèìè
ìíîæèòåëÿìè).
Îäíàêî ðåâîëþöèîííàÿ êíèãà íå ïîëó÷èëà çàìåòíîãî îòêëèêà ñðåäè
ýêîíîìèñòîâ è ìàòåìàòèêîâ! Òîìó áûëî íåñêîëüêî ïðè÷èí. Âî-ïåðâûõ, ïðè
òîòàëèòàðíîé ñèñòåìå, ñóùåñòâîâàâøåé â Ñîâåòñêîì Ñîþçå, íå âîçíèêàëî
ñïðîñà íà ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïåðâîé ôðàçå èç
[20]: Ïëàíèðîâàíèå íàöèîíàëüíîé ýêîíîìèêè èëè åå îòäåëüíûõ îòðàñëåé
â ìàñøòàáå ãîñóäàðñòâà âîçìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷àñòíàÿ (êàïèòàëèñòè÷åñêàÿ) ñîáñòâåííîñòü íà ñðåäñòâà ïðîèçâîäñòâà áóäåò çàìåíåíà íà
íàðîäíóþ (ñîöèàëèñòè÷åñêóþ) ñîáñòâåííîñòü, ñîöèàëèñòè÷åñêàÿ ñèñòåìà
áûëà îñíîâàíà íà âîëþíòàðèñòñêèõ, àäìèíèñòðàòèâíûõ ìåòîäàõ. Èäåè âûñøåé ðàöèîíàëüíîñòè (òî åñòü òî, ÷òî âûãîäíî ëèäåðàì ñòðàíû â äàííûé
ìîìåíò) ïðåâàëèðîâàëè íàä çäðàâûì ñìûñëîì è ðàçóìíûìè ðàññóæäåíèÿìè
(ñì. ðàçäåë 5.1.7 íèæå). Âî-âòîðûõ, êíèãà íå áûëà íàïèñàíà êàê ìàòåìàòè÷åñêèé òåêñò, è ïîýòîìó ìàòåìàòèêè íå îáðàòèëè íà íåå âíèìàíèÿ. Ýòî áûë
ïðîñòî íàáîð ïðèìåðîâ, îáúÿñíåíèé òåðìèíîâ è íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé.
Ïåðâàÿ ñòðîãàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòüÿ ïî îáùåé çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ áûëà îïóáëèêîâàíà Êàíòîðîâè÷åì òîëüêî â 1957 ã. Åãî âòîðàÿ
êíèãà ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ [20] âûøëà â ñâåò â 1961 ã. Îíà
ñîäåðæàëà äâà ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿ (íàïèñàííûõ â ñîàâòîðñòâå ñ Ã.
Ðóáèíøòåéíîì), â êîòîðûõ äàâàëàñü ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è
8
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ïðèâîäèëèñü ÷èñëåííûå ìåòîäû åå ðåøåíèÿ;
îäíàêî îñíîâíîå óñèëèå áûëî íàïðàâëåíî íà îáåñïå÷åíèå ñîâìåñòèìîñòè
ñ ìàðêñèñòñêîé äîãìîé. Íàïðèìåð, äâîéñòâåííûå ïåðåìåííûå íàçûâàëèñü
îáúåêòèâíî îáóñëîâëåííûìè îöåíêàìè (î.î.î.), à íå öåíàìè.
3.2. Îáùèå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè
 [18] Êàíòîðîâè÷ ðàññìîòðåë ñàìóþ îáùóþ çàäà÷ó óñëîâíîé îïòèìèçàöèè
â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå:
min f (x).
x∈Q
Çäåñü f (x) äèôôåðåíöèðóåìûé ôóíêöèîíàë â òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X , Q ⊂ X ìíîæåñòâî, êîòîðîå äîïóñêàåò âûïóêëóþ êîíè÷åñêóþ
àïïðîêñèìàöèþ K â òî÷êå x∗ ∈ Q. Äëÿ òàêîé çàäà÷è Êàíòîðîâè÷ ïîëó÷èë
ñëåäóþùåå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.
Òåîðåìà. Åñëè x∗ - òî÷êà ìèíèìóìà, òî f 0 (x∗ ) ∈ K ∗ .
 ýòîé òåîðåìå f 0 (x) îáîçíà÷àåò ãðàäèåíò ôóíêöèè f (x), à K ∗ - êîíóñ,
ñîïðÿæåííûé ê K . Óäèâèòåëüíî, íî ýòà áëèñòàòåëüíàÿ ñòàòüÿ òàêæå íå
âñòðåòèëà îòêëèêà. Âîçìîæíî, ïîòîìó, ÷òî îíà îïåðåäèëà ñâîå âðåìÿ.
3.3. Òåõíèêà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà
Ïåðâàÿ ñòàòüÿ î ñõîäèìîñòè èòåðàòèâíîãî ìåòîäà ìèíèìèçàöèè êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà áûëà îïóáëèêîâàíà Êàíòîðîâè÷åì â 1939 ãîäó.
Ïîçäíåå (1944, 1945, 1947ãã.) îí ïðîäîëæèë ýòî èññëåäîâàíèå. Ðåçóëüòàòû
áûëè îáîáùåíû â áîëüøîé ñòàòüå [19], îïóáëèêîâàííîé â 1948 ã. â âåäóùåì
ñîâåòñêîì ìàòåìàòè÷åñêîì æóðíàëå Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. Ñðåäè
ìíîãèõ äðóãèõ ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ÷èñëåííûì àíàëèçîì, ñòàòüÿ ñîäåðæàëà äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè (è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè) ìåòîäà
íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà äëÿ êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà è ìåòîäà Íüþòîíà
äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïîìèìî ýòèõ ïðàêòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ,
ñòàòüÿ äåìîíñòðèðîâàëà óñïåøíîå ïðèìåíåíèå ïðèåìîâ ôóíêöèîíàëüíîãî
àíàëèçà ê çàäà÷àì îïòèìèçàöèè. Ýòà ðàáîòà óñòàíîâèëà âûñîêèé óðîâåíü
ñòàíäàðòîâ ê îáîñíîâàíèþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ â îïòèìèçàöèè.
9
4. Ïÿòèäåñÿòûå: ïîÿâëåíèå íîâîé íàóêè
Ê íà÷àëó 1950õ ãîäîâ â îáëàñòè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ïîÿâèëîñü íåñêîëüêî
íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé.
Íåñêîëüêî ðàáîò áûëè ïîñâÿùåíû ëèíåéíûì íåðàâåíñòâàì, ×åáûøåâñêèì
àïïðîêñèìàöèÿì íåñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñâÿçàííûì
âîïðîñàì. Ñ.Í. ×åðíèêîâ èññëåäîâàë òåîðèþ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ (ïðèíöèï ãðàíè÷íûõ ðåøåíèé, îïèñûâàþùèé âåðøèíû ìíîæåñòâà ðåøåíèé). Äâîå
óêðàèíñêèõ ó÷åíûõ, Å.ß. Ðåìåö è Ñ.È. Çóõîâèöêèé ïðåäëîæèëè êîíå÷íûå
ìåòîäû íàõîæäåíèÿ íàèëó÷øåé ×åáûøåâñêîé àïïðîêñèìàöèè; ôàêòè÷åñêè
ýòè ìåòîäû áûëè àëãîðèòìàìè, ïîäîáíûìè ñèìïëåêñ-ìåòîäó, äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ïðÿìûõ èëè äâîéñòâåííûõ). Ýòî èññëåäîâàíèå îáîáùåíî â ìîíîãðàôèÿõ [21-23], îïóáëèêîâàííûõ
ãîðàçäî ïîçæå, ÷åì îðèãèíàëüíûå ðàáîòû. Íàïðèìåð, ïåðâàÿ êíèãà (íà óêðàèíñêîì ÿçûêå) ïî ÷èñëåííûì ìåòîäàì ×åáûøåâñêèõ àïïðîêñèìàöèé áûëà
íàïèñàíà â 1935 ã.
 ýòî æå âðåìÿ, áëàãîäàðÿ íàó÷íûì øêîëàì Í.È. Àõèåçåðà è Ì.Ã. Êðåéíà, áûë äîñòèãíóò çíà÷èòåëüíûé ïðîãðåññ â èññëåäîâàíèè îïòèìèçàöèîííûõ
çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïðîáëåìîé ìîìåíòîâ Ìàðêîâà [24,25].
Îäíîâðåìåííî áûëè íà÷àòû èíòåíñèâíûå èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ã.Ø Ðóáèíøòåéí, áûâøèé ñòóäåíò Ë. Êàíòîðîâè÷à
îïóáëèêîâàë ïåðâóþ ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è èõ àíàëèç íà ðóññêîì ÿçûêå â 1955 [26].  Ñîâåòñêîì
Ñîþçå ñòàëè èçâåñòíû ðåçóëüòàòû çàïàäíûõ ó÷åíûõ (Äæ. Äàíöèãà, Õ. Êóíà,
À. Òàêêåðà, Ä. Ãåéëà è äð.) ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ. Âàæíóþ ðîëü
â ýòîì ïðîöåññå ñûãðàëè ïåðåâîäû îðèãèíàëüíûõ ðàáîò íà ðóññêèé ÿçûê,
ïåðâûì èç êîòîðûõ áûë ïåðåâîä [27]. Ïîÿâèëèñü ðóññêèå ó÷åáíèêè ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ è ñìåæíûì âîïðîñàì. Ïåðâûìè ïóáëèêàöèÿìè
ïî ìàòðè÷íûì èãðàì áûëè ðàáîòû Í.Í. Âîðîáüåâà è Å.Ñ. Âåíòöåëü [29], à
ïåðâûé ðóññêèé ó÷åáíèê ïî ëèíåéíîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ áûë íàïèñàí Ä.Á.
Þäèíûì è Å.Ã. Ãîëüøòåéíîì [28].
Âàæíûå ñîáûòèÿ ïðîèñõîäèëè â îáëàñòè àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ. Â
1956 ã. Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí ñ ñîàâòîðàìè äàëè íîâóþ ôîðìóëèðîâêó çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è ïîëó÷èëè íîâîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè,
òàê íàçûâàåìûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà. Ýòî áûëî äàëåêî èäóùåå ïðîäîëæåíèå
ðåçóëüòàòîâ â îáëàñòè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ [30].
Êàê ÷èòàòåëü ìîæåò çàêëþ÷èòü, ýòî áûëî âðåìÿ âûñîêîé àêòèâíîñòè.
Îäíàêî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû áûëè ðàçðîçíåíû è íå ðàññìàòðèâàëèñü êàê
10
÷àñòè åäèíîé íàó÷íîé äèñöèïëèíû. Åñòü ëè êàêàÿ-ëèáî ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûì ïðîãðàììèðîâàíèåì è îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì, ìåæäó ïðîáëåìîé
ìîìåíòîâ è ×åáûøåâñêîé àïïðîêñèìàöèåé èëè ìåæäó ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè
áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè è ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ? Â 50õ
ãîäàõ òèïè÷íûé îòâåò áûë îòðèöàòåëüíûé.
5. Øåñòèäåñÿòûå: çîëîòîé âåê
Ê íà÷àëó 1960õ ãîäîâ ñèòóàöèÿ êîðåííûì îáðàçîì èçìåíèëàñü. Âðåìÿ ïðèøëî; âñå ÷àñòè ãîëîâîëîìêè áûëè ãîòîâû ñëîæèòüñÿ â ïðåêðàñíóþ
öåëîñòíóþ êàðòèíó è íåìåäëåííî ïðèâëå÷ü â íåå êàëåéäîñêîï íîâûõ äåòàëåé.
5.1. Îñíîâíûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé
5.1.1. Îáùàÿ òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ïåðâûì ïðîðûâîì â ýòî âðåìÿ ñòàëî ïîíèìàíèå îáùåé ïðèðîäû ðàçëè÷íûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Â
ñòàòüå Êàíòîðîâè÷à [18] âïåðâûå ôîðìóëèðóåòñÿ ñõåìà àíàëèçà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, îäíàêî â íåé íå ñîäåðæèòñÿ íèêàêèõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ îáùèõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè äëÿ îòäåëüíûõ çàäà÷. Ýòîò íåäîñòàòîê âîñïîëíèë ôîðìàëèçì Äóáîâèöêîãî-Ìèëþòèíà [31]: òåîðåìà î êîíóñå, ñîïðÿæåííîì ê ïåðåñå÷åíèþ íåñêîëüêèõ êîíóñîâ, ñòàëà ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì
äëÿ ôîðìóëèðîâêè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ýêñòðåìóìà â åäèíîîáðàçíîé ìàíåðå. Ýòîò ïîäõîä õîðîøî ðàáîòàë äëÿ øèðîêîãî êëàññà îïòèìçàöèîííûõ çàäà÷, óïîìÿíóòûõ âûøå: çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ, òåîðèè àïïðîêñèìàöèé è ìíîãèõ äðóãèõ. Áîëåå òîãî, îí äàë âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü íîâûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ íåêîòîðûõ òðóäíûõ
çàäà÷ (íàïðèìåð äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ îãðàíè÷åíèÿìè íà
ôàçîâûå ïåðåìåííûå). Äàííàÿ òåõíèêà ñòàëà øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ñîâåòñêèìè èññëåäîâàòåëÿìè, è â åå ïîïóëÿðèçàöèè áîëüøóþ ðîëü ñûãðàëà êíèãà
[33] È. Ãèðñàíîâà. Ïîçäíåå Â. Áîëòÿíñêèé [32] ðàñøèðèë ïîäõîä è íàçâàë åãî
ìåòîäîì øàòðîâ.
Äðóãîé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé Á. Ïøåíè÷íûì â ñåðåäèíå 60õ ãîäîâ (è
ïðåäñòàâëåííûé â åãî êíèãàõ [34, 35]), îñíîâàí íà ìåòîäàõ âûïóêëîãî àíàëèçà.
Îí òàêæå èñïîëüçîâàë èíñòðóìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà äëÿ ïîëó÷åíèÿ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè. Ýòó ëèíèþ èññëåäîâàíèé ïðîäîëæèëà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìîíîãðàôèÿ À. Èîôôå è Â. Òèõîìèðîâà [37]. Àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ íà çàïàäå âûïîëíÿëè Ð.Ò. Ðîêàôåëëàð,
Ë. Íåéøòàäò, Õ. Õàëêèí, Ë. Áåðêîâèòö, È. Âàðãà è äðóãèå.
11
Îáùàÿ òåîðèÿ äâîéñòâåííîñòè äëÿ çàäà÷ âûïóêëîé îïòèìèçàöèè áûëà
ðàçðàáîòàíà Å. Ãîëüøòåéíîì [36].
5.1.2. ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ îáùèõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ïàðàëëåëüíî
ñ ðàçðàáîòêîé îáùåé òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ âîçíèêëî ïîíèìàíèå,
÷òî ÷èñëåííûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ òàêæå ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â åäèíîé
ñèñòåìå.  ïóáëèêàöèÿõ [38, 39] ïðèâîäÿòñÿ ÷èñëåííûå ãðàäèåíòíûå ìåòîäû
áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè è èõ ðàñøèðåíèÿ äëÿ îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè: ìåòîäû ïðîåêöèè ãðàäèåíòà, óñëîâíîãî ãðàäèåíòà, ìåòîä Íüþòîíà
äëÿ çàäà÷è ñ îãðàíè÷åíèÿìè, ìåòîäû îòñåêàþùèõ ïëîñêîñòåé, øòðàôíîé
ôóíêöèè è íåêîòîðûå äðóãèå. Äîêàçûâàþòñÿ îáùèå òåîðåìû î ñõîäèìîñòè
è î ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòèõ ìåòîäîâ íà çàäà÷àõ êîíå÷íîé è áåñêîíå÷íîé
ðàçìåðíîñòåé, ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ (ê ñòàíäàðòíîé çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ, ïîëóáåñêîíå÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, è ò.ä.). Ýòî íàïðàâëåíèå
èññëåäîâàíèé îñòàâàëîñü íåêîòîðîå âðåìÿ î÷åíü àêòèâíûì (ñì. íàïðèìåð
ìîíîãðàôèè [40-42]).
5.1.3. Íåãëàäêàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè òðàäèöèîííî ðàçðàáàòûâàëèñü äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è îñíîâûâàëèñü íà ãðàäèåíòíûõ
àïïðîêñèìàöèÿõ. Í. Øîð ïåðâûì èñïîëüçîâàë ýòîò ïîäõîä â íåãëàäêîé âûïóêëîé îïòèìèçàöèè. Â ñâîåé êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè (1964) îí ïðåäëîæèë
ñóáãðàäèåíòíûé ìåòîä äëÿ îïòèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è
ïðèìåíèë åãî ê ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è, äâîéñòâåííîé ê òðàíñïîðòíîé
çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîçäíåå ýòîò ïîäõîä áûë ðàñøèðåí è
îáîñíîâàí Í. Øîðîì, Þ. Åðìîëüåâûì è Á. Ïîëÿêîì [44-46]. Ìîíîãðàôèÿ [47]
îáîáùàåò ýòè èññëåäîâàíèÿ, ñì. òàêæå [43].
Äðóãîé ìåòîä, òàê íàçûâàåìûé ìåòîä öåíòðîâ òÿæåñòè áûë ïðåäëîæåí
À. Ëåâèíûì [48] (è íåçàâèñèìî Íüþìàíîì â ÑØÀ). Ïîçäíåå áûëî äîêàçàíî,
÷òî îí ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì îòíîñèòåëüíî ïîðÿäêà ñõîäèìîñòè ñðåäè âñåõ
ìåòîäîâ íåãëàäêîé âûïóêëîé îïòèìèçàöèè, êîòîðûå èñïîëüçóþò òîëüêî çíà÷åíèÿ ñóáãðàäèåíòà, îäíàêî îí âêëþ÷àë òðóäîåìêóþ îïåðàöèþ íàõîæäåíèÿ
öåíòðà òÿæåñòè ìíîãîãðàííèêà.
Â. Äåìüÿíîâ ðàçðàáîòàë ìíîãî÷èñëåííûå ìåòîäû äëÿ îòäåëüíûõ êëàññîâ
çàäà÷ íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè, ïðåèìóùåñòâåííî äëÿ ìèíèìàêñíûõ çàäà÷
[49,50].
5.1.4. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ. Çà÷àñòóþ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé è èõ ãðà12
äèåíòîâ èñêàæåíû ñëó÷àéíûì øóìîì.  òàêèõ ñèòóàöèÿõ òðåáóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàòü ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè, ÷òîáû ñîõðàíèòü èõ ñõîäèìîñòü. Ýòî ìîæíî äîáèòüñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ èëè ïóòåì ðåãóëèðîâàíèÿ øàãà
â èòåðàòèâíûõ ìåòîäàõ, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ â ìåòîäàõ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè â ñòàòèñòèêå. Òàêîé ïåðåñìîòð ìåòîäîâ ìèíèìèçàöèè ïðè ñëó÷àéíîì øóìå áûë ïðåäïðèíÿò Þ. Åðìîëüåâûì [51]. Ìíîãî÷èñëåííûå ïðèëîæåíèÿ èòåðàòèâíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ê çàäà÷àì
èäåíòèôèêàöèè, îöåíêè, ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ è ò.ä. ïðèâåäåíû â êíèãå ß.
Öûïêèíà [52].
Èíîãäà ñëó÷àéíîñòü ñïåöèàëüíî âêëþ÷àåòñÿ â ïðîöåññ ìèíèìèçàöèè, êàê,
íàïðèìåð, â ìåòîäàõ ñëó÷àéíîãî ïîèñêà. Àêòèâíûì ñòîðîííèêîì òàêèõ ìåòîäîâ áûë Ë. Ðàñòðèãèí [53].
 îáëàñòè ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (â òîì ñìûñëå, êàê ýòîò
òåðìèí ïîíèìàåòñÿ â çàïàäíîé ëèòåðàòóðå) ïðîèñõîäèëî íå òàê óæ ìíîãî
ñîáûòèé, è òåì íå ìåíåå ïîÿâèëñÿ ó÷åáíèê, íàïèñàííûé Ä. Þäèíûì [54].
5.1.5. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ñâÿçàííûå âîïðîñû. Ïîñëå äîëãîãî
ïåðåðûâà â ÑÑÑÐ âîçîáíîâèëèñü èññëåäîâàíèÿ â ýòîé îáëàñòè. Îíè áûëè
ñîñðåäîòî÷åíû íà ðàçðàáîòêå ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ äëÿ ðåàëèçàöèè
ñèìïëåêñ-ìåòîäà è åãî âàðèàíòîâ (È. Ðîìàíîâñêèé, Ó. Ìàëêîâ, Ê. Êèì, À.
×åðêàññêèé, Â. Ñêîêîâ, À. Ñòàíåâè÷óñ è äð.), ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (òðàíñïîðòíàÿ
çàäà÷à, ìåòîäû äåêîìïîçèöèè, ×åáûøåâñêèå àïïðîêñèìàöèè) [55] è èòåðàòèâíûõ ìåòîäîâ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [56-58]. Ñóäüáà ñòàòüè [56]
áûëà îñîáåííî èíòåðåñíîé. È. Äèêèí áûë ó÷åíèêîì Êàíòîðîâè÷à, è â ñâîåé
êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè îí ñòðîãî ñôîðìóëèðîâàë ýâðèñòè÷åñêèå ïðàâèëà, êîòîðûå åãî ðóêîâîäèòåëü ïðåäëîæèë äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷
ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Äèêèí äîêàçàë ñõîäèìîñòü èòåðàòèâíîãî àëãîðèòìà, íî íå ñìîã îöåíèòü ñêîðîñòü åãî ñõîäèìîñòè. Ñòàòüÿ (êàê è ðàííèå
ðàáîòû Êàíòîðîâè÷à, î êîòîðûõ ìû ãîâîðèëè âûøå) íå ïðèâëåêëà íèêàêîãî
âíèìàíèÿ è áûëà çàáûòà äî êîíöà 1980õ ãîäîâ, êîãäà áûëî ïðèçíàíî, ÷òî
ðåàëèçîâàííàÿ âåðñèÿ çíàìåíèòîãî àëãîðèòìà Êàðìàðêàðà [65] î÷åíü áëèçêà
îðèãèíàëüíîìó ìåòîäó Äèêèíà.
5.1.6. Äèñêðåòíàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ïåðâàÿ ìîíîãðàôèÿ ïî äèñêðåòíîìó
ïðîãðàììèðîâàíèþ íà ðóññêîì ÿçûêå áûëà îïóáëèêîâàíà â 1969 ãîäó [59].
Óñèëèÿ èññëåäîâàòåëåé â ýòîé îáëàñòè (Þ. Ôèíêåëüøòåéí, À. Êîðáóò, À.
Ôðèäìàí, Å. Ëåâíåð, È. Ñèãàë, È. Ñåðãèåíêî, Â. Åìåëè÷åâ, À. Êàðçàíîâ, Å
13
Äèíèö, Ñ. Ëåáåäåâ è äð.) áûëè íàïðàâëåíû â îñíîâíîì íà ðåøåíèå ñïåöèàëüíûõ êëàññîâ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷.
5.1.6. Ïðèëîæåíèÿ.  íà÷àëå 1960õ ãã. ñóùåñòâîâàëà âåñüìà îïòèìèñòè÷åñêàÿ âåðà â ïðàêòè÷åñêóþ ïðèìåíèìîñòü èäåé îïòèìàëüíîãî ïëàíèðîâàíèÿ
ñîöèàëèñòè÷åñêèõ ýêîíîìèêè è îáùåñòâà. Ìíîãèå ìàòåìàòèêè áûëè óáåæäåíû, ÷òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëåé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæíî
ðàññ÷èòàòü îïòèìàëüíûå ïëàíû è öåíû. Îäíàêî ðåàëüíûå ïîïûòêè ïðèìåíèòü ýòîò ïîäõîä ïðîâàëèëèñü. Ìíîãî èñòîðèé îá ýòîì ìîæíî íàéòè â [16].
Âîò òîëüêî îäíà èç íèõ. Èñïîëüçóÿ ðàáîòû Êàíòîðîâè÷à ïî îïòèìàëüíîìó
ðàñêðîþ êóñêîâ çàäàííîé ôîðìû èç ïðÿìîóãîëüíîãî ëèñòà, èíæåíåðû è
ýêîíîìèñòû ôàáðèêè, ïðîèçâîäèâøåé ñòàëüíûå èçäåëèÿ, ñìîãëè çíà÷èòåëüíî
óâåëè÷èòü âûïóñê ïðîäóêöèè. Îäíàêî îíè ñòîëêíóëèñü ñ íåîæèäàííûìè
íåïðèÿòíûìè ïîñëåäñòâèÿìè. Âî-ïåðâûõ, êàê ðåçóëüòàò, ïëàí íà ñëåäóþùèé
ãîä óâåëè÷èëñÿ (äëÿ ñèñòåìû ñîöèàëèñòè÷åñêîãî ïëàíèðîâàíèÿ áûëî îáû÷íî
òðåáîâàòü íåêîòîðîãî ïðèðîñòà ïðîèçâîäñòâà ïðîäóêöèè àâòîìàòè÷åñêè
êàæäûé ãîä), íî òåïåðü ó ôàáðèêè óæå íå áûëî ðåçåðâîâ, ÷òîáû âûïîëíèòü
íîâûé óâåëè÷åííûé ïëàí. Âî-âòîðûõ, ó êàæäîãî ïðåäïðèÿòèÿ áûë ïëàí
ñáîðà ìåòàëëîëîìà. Î÷åâèäíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïòèìàëüíîé
ñòðàòåãèè ðàñêðîÿ, êîëè÷åñòâî îòõîäîâ ñòàëè óìåíüøèëîñü, è ýòîò ïëàí âûïîëíèòü íå óäàëîñü. Ðóêîâîäñòâî ôàáðèêè ïîëó÷èëî ïàðòèéíûé âûãîâîð è,
êàê ñëåäñòâèå, îòêàçàëîñü îò äàëüíåéøåãî ñîòðóäíè÷åñòâà ñ ìàòåìàòèêàìè.
Ãîðàçäî ïîçäíåå Êàíòîðîâè÷ îðãàíèçîâàë è ðóêîâîäèë ðàáîòîé ñïåöèàëüíîé
êîìèññèè, ÷òîáû èññëåäîâàòü âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ îïòèìèçàöèîííûõ
ìîäåëåé â ñîâåòñêîé ýêîíîìèêå. Îñíîâíîé öåëüþ áûëî íàéòè ïðèìåðû èõ
óñïåøíîãî èñïîëüçîâàíèÿ è ðàñïðîñòðàíèòü ýòîò îïûò íà äðóãèå îòðàñëè
ïðîèçâîäñòâà è îáñëóæèâàíèÿ. Ïîñëå îáøèðíîãî èññëåäîâàíèÿ, êîìèññèÿ
êîíñòàòèðîâàëà, ÷òî òàêîé ïîëîæèòåëüíûé îïûò ñîâåðøåííî îòñóòñòâóåò.
5.2. Ãëàâíûå íàó÷íûå öåíòðû
 îòëè÷èå îò ÑØÀ, ãäå îãðîìíîå ÷èñëî íàó÷íûõ ñîîáùåñòâ ðàñïðåäåëåíû ïî ìíîãèì óíèâåðñèòåòàì, ãîñóäàðñòâåííûì è ïðîìûøëåííûì èññëåäîâàòåëüñêèì èíñòèòóòàì, ðàáîòû ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ â
ÑÑÑÐ áûëè ñêîíöåíòðèðîâàíû ëèøü â íåñêîëüêèõ íàó÷íûõ öåíòðàõ.
Ìîñêâà: Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò (È. Ãèðñàíîâ, Â. Òèõîìèðîâ, Á. Ïîëÿê, Ô. Âàñèëüåâ), ëàáîðàòîðèÿ Þäèíà â çàêðûòîì èññëå14
äîâàòåëüñêîì èíñòèòóòå (Ä. Þäèí, Å. Ãîëüøòåéí, ïîçäíåå À. Èîôôå, À.
Íåìèðîâñêèé), Öåíòðàëüíûé ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò (Å.
Ãîëüøòåéí, ïîçäíåå Â. Ñêîêîâ, Í. Òðåòüÿêîâ, Þ. Íåñòåðîâ), Âû÷èñëèòåëüíûé öåíòð ÀÍ ÑÑÑÐ (Í. Ìîèñååâ, Þ. Åâòóøåíêî, ïîçäíåå Ë. Õà÷èÿí, À. Àíòèïèí), äðóãèå èíñòèòóòû (À. Äóáîâèöêèé, À. Ìèëþòèí);
Êèåâ: Èíñòèòóò êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà (Þ. Åðìîëüåâ, Á. Ïøåíè÷íûé, Í. Øîð, Â. Ìèõàëåâè÷, Å. Íóïìèíñêèé), äðóãèå èíñòèòóòû (Ñ.
Çóõîâèöêèé, Ð. Ïîëÿê, Ì. Ïðèìàê);
Íîâîñèáèðñê: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
óíèâåðñèòåò (Ë. Êàíòîðîâè÷, Ã. Ðóáèíøòåéí, È. Äèêèí, Â. Áóëàâñêèé,
À. Ðóáèíîâ, À. Êàïëàí);
Ëåíèíãðàä: Ëåíèíãðàäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò (Â. Äåìüÿíîâ, È.
Ðîìàíîâñêèé, À. Âåðøèê).
Êðîìå ýòèõ ÷åòûðåõ öåíòðîâ, èññëåäîâàíèÿ âåëèñü â íåêîòîðûõ ïðîâèíöèàëüíûõ ãîðîäàõ, òàêèõ êàê Õàðüêîâ (Þ. Ëþáè÷, Ã. Ìàéñòðîâñêèé),
Ñâåðäëîâñê (È. Åðåìèí), Èðêóòñê (Â. Áóëàòîâ), Ìèíñê (Ð. Ãàáàñîâ, Ô.
Êèðèëëîâà, ïîçäíåå Á. Ìîðäóõîâè÷), Âîðîíåæ (Ì. Êðàñíîñåëüñêèé, À.
Ëåâèí), è ïð.
5.3. Îñíîâíûå æóðíàëû
Ïóáëèêàöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïîÿâëÿëèñü â ðàçëè÷íûõ æóðíàëàõ. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê îñíîâíûõ æóðíàëîâ.
• Æóðíàë âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, Ìîñêâà; æóðíàë ïî ÷èñëåííîìó àíàëèçó.
• Êèáåðíåòèêà, Êèåâ; æóðíàë ïî èíôîðìàòèêå, òåîðèè ñèñòåì è îïòèìèçàöèè.
• Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, Ìîñêâà; æóðíàë ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêå.
• Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà, Ìîñêâà; æóðíàë ïî óïðàâëåíèþ.
• Äîêëàäû ÀÍ ÑÑÑÐ, Ìîñêâà; âñå îáëàñòè íàóêè.
15
Îäíàêî ó íàñ íèêîãäà íå áûëî ñïåöèàëüíîãî æóðíàëà ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó
ïðîãðàììèðîâàíèþ!
5.4. Ãëàâíûå ñîáûòèÿ
Æèçíü îïòèìèçàöèîííîãî ñîîáùåñòâà â 1960õ ãã. áûëà íàñûùåíà ïðîôåññèîíàëüíûìè ñîáûòèÿìè. Íàçîâåì ëèøü íåñêîëüêî âàæíåéøèõ.
• Ñåìèíàðû è êóðñû ëåêöèé ïî îïòèìèçàöèè â ÌÃÓ, ñ 1961 ã. , È. Ãèðñàíîâ,
Â. Òèõîìèðîâ, Á. Ïîëÿê;
• Ñåìèíàðû è ëåêöèè â Êèåâå, ñ 1960 ã., Ñ. Çóõîâèöêèé, Á. Ïøåíè÷íûé,
Í. Øîð;
• Ìåæäóíàðîäíûé êîíãðåññ ìàòåìàòèêîâ, Ìîñêâà, 1966 ã. Â òî âðåìÿ ýòî
áûë ïåðâûé ñëó÷àé îáùåíèÿ ñ çàïàäíûìè ñïåöèàëèñòàìè, è îí ñûãðàë
âàæíóþ ðîëü â íàøåì âîâëå÷åíèè â ìåæäóíàðîäíîå ñîîáùåñòâî;
• Çèìíèå øêîëû ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ è ñìåæíûì âîïðîñàì â Äðîãîáû÷å. Ïðîâîäèëèñü åæåãîäíî ñ 1968 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Ñ. Çóõîâèöêîãî.  íåêîòîðûå ãîäû îíè ñîáèðàëè äî 500 (!) ó÷àñòíèêîâ;
• Ëåòíèå øêîëû ïî îïòèìèçàöèè, ïðîâîäèëèñü ñ 1966 ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Í.Í. Ìîèñååâà;
• All-Union Symposia on Optimal Programming Software, ïðîâîäèëèñü ñ 1970
ã. ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì Å. Ãîëüøòåéíà;
• Âñåñîþçíûå êîíôåðåíöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó ïðîãðàììèðîâàíèþ;
• Âñåñîþçíûå ñèìïîçèóìû ïî ýêñòðåìàëüíûì çàäà÷àì, ñ 1963 ã.;
• Âñåñîþçíàÿ êîíôåðåíöèÿ ïî ÷èñëåííîìó àíàëèçó, 1965, Ìîñêâà, ìíîãèå
ñåññèè áûëè ïîñâÿùåíû îïòèìèçàöòîííûì çàäà÷àì.
6. 1970-80å ãîäû: íîâûå íàïðàâëåíèÿ
Êàê ÿ îòìå÷àë ðàíåå, ïåðèîä ïîñëå 1970õ ãîäîâ õàðàêòåðèçîâàëñÿ ïîñòåïåííûì ñîêðàùåíèåì ìíîãèõ èññëåäîâàòåëüñêèõ îáëàñòåé â ÑÑÑÐ, êîñíóëîñü
ýòî è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ê òîìó áûëî ìíîãî âíóòðåííèõ
ïðè÷èí (ñïåöèôèêà ðàçâèòèÿ ëþáîé íàóêè), à òàêæå è îáùàÿ àòìîñôåðà
çàñòîÿ ñîâåòñêîãî îáùåñòâà ñûãðàëà ñâîþ íåèçáåæíóþ ðîëü. Êàê áû òî
16
íè áûëî, æèçíü ñîîáùåñòâà ñòàëà ìåíåå àêòèâíîé (ïðîâîäèëîñü ìåíüøå
êîíôåðåíöèé ïî îïòèìèçàöèè, îíè ñîáèðàëè ìåíüøå ó÷àñòíèêîâ, ïîÿâëÿëîñü
ìåíüøå íîâûõ èäåé, è ò.ä.). Òåì íå ìåíåå, â ýòî âðåìÿ ïðîèçîøëî íåñêîëüêî
ïðîðûâîâ, è ÿ íàçîâó íåêîòîðûå èç íèõ.
6.1. Ñëîæíîñòü îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè
 ñåðèè ïóáëèêàöèé 1976-1979 ãã. (îáîáùåííûõ â ìîíîãðàôèè [60]) À.
Íåìèðîâñêèé è Ä. Þäèí ââåëè íîâîå ïîíÿòèå ñëîæíîñòè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Èõ ïîäõîä çàêëþ÷àëñÿ â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, ñíàáæåííûõ îðàêóëîì, ò.å. íåêîòîðûì èñòî÷íèêîì èíôîðìàöèè î òîì èëè èíîì îòäåëüíîì ýëåìåíòå ñåìåéñòâà. Íàïðèìåð, ìû ðàññìàòðèâàåì êëàññ çàäà÷ áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé
ôóíêöèè. Òîãäà îðàêóë äàåò çíà÷åíèå ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè è åå ãðàäèåíòà â ëþáîé òî÷êå. Êàêîâû ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè ïðîèçâîëüíîãî
ìåòîäà, èñïîëüçóþùåãî ýòó èíôîðìàöèþ? Íåìèðîâñêèé è Þäèí óñòàíîâèëè
íèæíèå ãðàíèöû äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. Íàïðèìåð, îíè îáíàðóæèëè, ÷òî äëÿ óïîìÿíóòîãî êëàññà çàäà÷ áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ãëàäêîé ñòðîãî âûïóêëîé ôóíêöèè íå ñóùåñòâóåò ìåòîäà, êîòîðûé
√
äàåò ðåøåíèå ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ν çà ìåíåå, ÷åì O( Q ln 1/ν)
âû÷èñëåíèé ãðàäèåíòà, ãäå Q îòíîøåíèå êîíñòàíòû Ëèïøèöà ãðàäèåíòà ê
êîíñòàíòå ñòðîãîé âûïóêëîñòè. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû äëÿ
êëàññîâ ëèïøèöåâûõ íåïðåðûâíûõ (ìíîãîýêñòðåìàëüíûõ) çàäà÷, îáùèõ âûïóêëûõ çàäà÷, çàäà÷ ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè (ãäå îðàêóë äàåò çíà÷åíèå
ãðàäèåíòà, èñêàæåííîå ñëó÷àéíûì øóìîì), è äð.
Òàêèì îáðàçîì, àâòîðàì óäàëîñü íàéòè ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ìèíèìèçàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìåòîä èìååò ñëîæíîñòü, ñîâïàäàþùóþ ïî ïîðÿäêó
ñ íèæíåé îöåíêîé, òî îí îïòèìàëåí, ò.å. íå ñóùåñòâóåò äðóãèõ ìåòîäîâ, êîòîðûå ðåøàþò âñå çàäà÷è êëàññà áûñòðåå (â îòíîøåíèè ïîðÿäêà). Çàìåòèì,
÷òî ïîíÿòèå ñëîæíîñòè â [60] îòëè÷àåòñÿ îò ñòàíäàðòíîé àñèìïòîòè÷åñêîé
ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòî íå àñèìïòîòè÷åñêîå ñâîéñòâî. Ñåðüåçíûé âêëàä
â òåîðèþ ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ áûë ñäåëàí Þ. Íåñòåðîâûì [61]. Òàê, îí
íàøåë îïòèìàëüíûé ìåòîä ìèíèìèçàöèè ãëàäêèõ âûïóêëûõ (íå îáÿçàòåëüíî
ñòðîãî âûïóêëûõ) ôóíêöèé.
6.2. Ìåòîä ýëëèïñîèäîâ è ïîëèíîìèàëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäà÷ ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ
17
Âûøå ÿ óïîìèíàë ìåòîä öåíòðîâ òÿæåñòè À. Ëåâèíà [48] äëÿ ìèíèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ âûïóêëûõ ôóíêöèé. Â 1976 ã. Þäèíûì è
Íåìèðîâñêèì [62], à ãîä ñïóñòÿ íåçàâèñèìî Í. Øîðîì [63] áûëà ïðåäëîæåíà ðåàëèçóåìàÿ âåðñèÿ ýòîãî ìåòîäà (â êîòîðîé âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à
íàõîæäåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè ìíîãîãðàííèêà çàìåíåíà òðèâèàëüíîé çàäà÷åé íàõîæäåíèÿ öåíòðà îïèñàííîãî ýëëèïñîèäà). Íà îñíîâå ýòîãî ìåòîäà
ýëëèïñîèäîâ Ë. Õà÷èÿí ïîñòðîèë èòåðàòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, äëÿ êîòîðîãî áûëà äîêàçàíà ïîëèíîìèàëüíàÿ
ñëîæíîñòü [64]. Òàêèì îáðàçîì, âîïðîñ: ÿâëÿåòñÿ ëè çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ NP-ñëîæíîé èëè íåò, îñòàâàâøèéñÿ äîëãîå âðåìÿ îòêðûòûì,
áûë ðåøåí.
6.3. Ïîëèíîìèàëüíûå ìåòîäû âíóòðåííèõ òî÷åê è ïîëóîïðåäåëåííîå ïðîãðàììèðîâàíèå
Íåñìîòðÿ íà ñâîþ íàäåæíîñòü ñ òî÷êè çðåíèÿ ñëîæíîñòè, ìåòîä ýëëèïñîèäîâ äëÿ çàäà÷ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå ñòàë ñîïåðíèêîì
ñèìïëåêñ-ìåòîäó. Èñòèííûé âû÷èñëèòåëüíûé ïðîãðåññ ñâÿçàí ñ ìåòîäîì
Êàðìàðêàðà [65]. Ïðîäîëæàÿ ýòó ëèíèþ èññëåäîâàíèé, Þ. Íåñòåðîâ è À.
Íåìèðîâñêèé çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèëè ïîäõîä â ñåðèè ñòàòåé, îïóáëèêîâàííûõ â 1987-1989 ãã. è îáîáùåííûõ ïîçäíåå â ìîíîãðàôèè [66]. Îíè ïîñòðîèëè
ïîëèíîìèàëüíûå ìåòîäû âíóòðåííèõ òî÷åê äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ çàäà÷
âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Áîëåå òîãî, îíè ðàçðàáîòàëè îáùèå ïîíÿòèÿ
è ïðèåìû (ñàìîñîãëàñîâàííûå ôóíêöèè, áàðüåðû) äëÿ òàêîãî ðàñøèðåííîãî
ïîäõîäà. Îäíèì èç çíà÷èòåëüíûõ âêëàäîâ ýòèõ ìàòåìàòèêîâ ñòàëî èññëåäîâàíèå çàäà÷ ïîëóîïðåäåëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ò.å. çàäà÷ îïòèìèçàöèè,
â êîòîðûõ â êà÷åñòâå îãðàíè÷åíèÿ ôèãóðèðóåò òðåáîâàíèå íåîòðèöàòåëüíîé
îïðåäåëåííîñòè íåêîòîðûõ ìàòðèö. Îíè ïîëó÷èëè ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷, îñíîâàííûé íà ìåòîäàõ âíóòðåííèõ òî÷åê ñ
ñàìîñîãëàñîâàííûìè áàðüåðíûìè ôóíêöèÿìè. Ýòè ðàáîòû îòêðûëè íîâóþ
ýðó â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Áîëåå òîãî, îäèí èç êëàññîâ
çàäà÷ ïîëóîïðåäåëåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òàê íàçûâàåìûå ëèíåéíûå
ìàòðè÷íûå íåðàâåíñòâà, íàøåë ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â óïðàâëåíèè
[68].
6.4. Ðàçâèòèå íåâûïóêëîãî è íåãëàäêîãî àíàëèçà
18
Ïðèåìû îáùåãî àíàëèçà, ïîÿâèâøèåñÿ â 1960õ ãã. äëÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè,
áûëè ðàçðàáîòàíû íà îñíîâå èëè êëàññè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ (äëÿ ãëàäêèõ
çàäà÷), èëè âûïóêëîãî àíàëèçà (äëÿ íåãëàäêèõ âûïóêëûõ çàäà÷). Íîâûå òèïû ïðèëîæåíèé òðåáîâàëè ðàçâèòèÿ áîëåå ñëîæíûõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûå
ïîëó÷èëè íàçâàíèå íåâûïóêëûé àíàëèç. Îäèí èç íàèáîëåå óñïåøíûõ ïîäõîäîâ â íåâûïóêëîì àíàëèçå áûë ïðåäëîæåí Á. Ìîðäóõîâè÷åì [69], îí îñíîâàí
íà ìåòîäå ìåòðè÷åñêèõ àïïðîêñèìàöèé. À. Èîôôå (íàïðèìåð, ñì. [70])
èçáðàë äðóãîé ïóòü, îí èñïîëüçîâàë ðàñøèðåíèå ïîíÿòèÿ ñóáäèôôåðåíöèàë
íà íåäèôôåðåíöèðóåìûå îòîáðàæåíèÿ. Þ. Íåñòåðîâ [61] ðàçðàáîòàë òåîðèþ
ëåêñèêîãðàôè÷åñêîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëèëà ïîëó÷èòü èñ÷èñëåíèå äëÿ íåãëàäêèõ ôóíêöèé. Å. Ëåâèòèí ñèñòåìàòè÷åñêè èññëåäîâàë
òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ çàäà÷ ãëàäêîé è íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè [71].
7. Çàêëþ÷åíèå
ß ïèøó ýòó ñòàòüþ ïîñëå ìíîãèõ äðàìàòè÷åñêèõ ñîáûòèé â íàøåé ñòðàíå,
òàêèõ êàê ðàçâàë ÑÑÑÐ è êîíåö êîììóíèñòè÷åñêîé ñèñòåìû. Êîíå÷íî, ïîëèòè÷åñêèå è ýêîíîìè÷åñêèå èçìåíåíèÿ ñèëüíî ïîâëèÿëè íà ñèòóàöèþ ñ íàóêîé â
Ðîññèè. Îðãàíèçàöèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé íå ïðåòåðïåëà íèêàêèõ
èçìåíåíèé è, ïî-âèäèìîìó, óñòàðåëà. Íåäîñòàòîê ãîñóäàðñòâåííîãî ôèíàíñèðîâàíèÿ è îòñóòñòâèå ïîääåðæêè ñî ñòîðîíû ïðîèçâîäñòâà è áèçíåñà íåèçáåæíî âåäåò ê ìåäëåííîìó, íî íåóêëîííîìó ñîêðàùåíèþ èññëåäîâàòåëüñêèõ
èíñòèòóòîâ. Ïîñêîëüêó íåò áîëüøå ïðåæíèõ ïðåïÿòñòâèé ê îòúåçäó çà ðóáåæ, ìíîãèå ñïåöèàëèñòû ïðåäïî÷èòàþò ýìèãðàöèþ êàê ñïîñîá ðåøèòü ñâîè
ëè÷íûå ïðîáëåìû. Ñåãîäíÿ ëèøü íåáîëüøàÿ ÷àñòü ó÷åíûõ, çàíèìàþùèõñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèì ïðîãðàììèðîâàíèåì, îñòàåòñÿ â ñòðàíå.  Ðîññèè ïðîâîäèòñÿ î÷åíü ìàëî ñåìèíàðîâ è êîíôåðåíöèé, è ìàòåìàòèêàì çàòðóäíèòåëüíî ïîñåùàòü ïîäîáíûå ìåðîïðèÿòèÿ çà ðóáåæîì, ïî ïðè÷èíå íåäîñòàòî÷íîãî ôèíàíñèðîâàíèÿ. Íàêîíåö, è ýòî òîæå íåìàëîâàæíî, íàó÷íàÿ ðàáîòà áîëüøå
íå ïðèâëåêàåò ìîëîäûõ ëþäåé, è ñîîáùåñòâî ñòàðååò.
Òåì íå ìåíåå, ìíå áû íå õîòåëîñü çàêàí÷èâàòü íà ñòîëü ïåññèìèñòè÷åñêîé
íîòå. ß âåðþ, ÷òî âåëèêèå òðàäèöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé â Ðîññèè
ñìîãóò ïðåîäîëåòü ñåãîäíÿøíèå òðóäíîñòè, è íàóêà âîçðîäèòñÿ...
Àâòîð áëàãîäàðèò ìíîãî÷èñëåííûõ êîëëåã è äðóçåé çà ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ ïî òåìå äàííîé ñòàòüè. Àâòîð ïðèçíàòåëåí Ï. Ùåðáàêîâó è À. Êîíí çà
ïîìîùü â ïîäãîòîâêå òåêñòà.
19
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Â.Ã. Êàðìàíîâ Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.: Íàóêà, 1975, 272
ñ.
[2] Â.Ì. Òèõîìèðîâ Ðàññêàçû î ìàêñèìóìàõ è ìèíèìóìàõ. Ì.: Íàóêà, 1986,
190 ñ.
[3] Äåëî àêàäåìèêà Í.Í. Ëóçèíà. Îòâ. ðåä. Ñ.Ñ. Äåìèäîâ, Â.Â. Ëåâøèí,
ÑÏá: ÐÕÃÈ, 1999, 310 ñ.
[4] À.Ñ. Åñåíèí-Âîëïèí Ôèëîñîôèÿ, ëîãèêà, ïîýçèÿ, çàùèòà ïðàâ ÷åëîâåêà.
Ì.: ÐÃÃÓ, 1999, 450 ñ.
[5] G. Freiman It Seems, I am a Jew. South. Illinois Univ. Press, Feer & Simons,
Inc., 1980, 97 pp.
[6] A. Vershik Admission to the mathematical faculty in Russia in the 1970s and
1980s. - Math. Intelligencer, 1994, V. 16, N 4, p. 4-5.
[7] A. Shen Entrance examinations to the Mekh-mat. - Math. Intelligencer, 1994,
V. 16, N 4, p. 6-10.
[8] S. Zdravkovska, P.L. Duren, eds. Golden years of Moscow Mathematics.
Amer. Math. Soc. And London Math. Soc., 1993.
[9] À.Ï. Þøêåâè÷ Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè â Ðîññèè äî 1917 ãîäà. Ì.: Íàóêà,
1968, 592 ñ.
[10] L. Euler (1744): Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive
propietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu
accepti. Lausannae et Genevae, 1744 (in Latin). Ïåðåâîä ñ ëàò. Ë. Ýéëåð
Ìåòîä íàõîæäåíèÿ êðèâûõ ëèíèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâàìè ìàêñèìóìà, ëèáî ìèíèìóìà èëè ðåøåíèå èçîïåðèìåòðè÷åñêîé çàäà÷è, âçÿòîé
â ñàìîì øèðîêîì ñìûñëå. Ì-Ë.: ÀÍ ÑÑÑÐ, 1934.
[11] Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ çà ñîðîê ëåò. 1917-1957. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959, ò.
1, 1002 ñ., ò.2, 819 ñ.
[12] Ìàòåìàòèêà â ÑÑÑÐ. 1917-1957. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1969, ò. 1-2, 1579 ñ.
[13] L.J. Leifman, ed. Functional Analysis, Optimization, and Mathematical
Economics: Acollection of Papers Dedicated to the Memory of Leonid
Vital'evich Kantorovich. Oxford University Press, 1990.
20
[14] I.V. Romanovskii L.V. Kantorovich's works in mathematical programming.
In: M. Iri, K. Tanabe, eds., Mathematical Programming: Recent
Developments and Applications. Tokyo, Kluwer, 1989, pp. 365-382.
[15] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ìîé ïóòü â íàóêå. - Óñïåõè ìàò. íàóê, 1987, ò. 42, âûï.
2, ññ. 183-213.
[16] À. Êàöåíåëèáîéãåí Ë.Â. Êàíòîðîâè÷: Ïîëèòè÷åñêàÿ äèëåììà â íàó÷íîé
äåÿòåëüíîñòè. - Ýêîíîìèêà è ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû, 1997, ò.33, âûï.
3, ññ. 30-42.
[17] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îðãàíèçàöèè è ïëàíèðîâàíèÿ ïðîèçâîäñòâà., Ë.: Èçä.-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1939, 64
ñ.
[18] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Îá îäíîì ýôôåêòèâíîì ìåòîäå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ
êëàññîâ ýêñòðåìàëüíûõ ïðîáëåì. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1940, N 28, ññ.212-215.
[19] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà.
- Óñïåõè ìàò. íàóê, 1948, ò. 3, âûï.6, ññ. 89-185.
[20] Ë.Â. Êàíòîðîâè÷ Ýêîíîìè÷åñêèé ðàñ÷¼ò íàèëó÷øåãî èñïîëüçîâàíèÿ ðåñóðñîâ. Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1960, 347 ñ.
[21] Ñ.Í. ×åðíèêîâ Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1968, 488 ñ.
[22] Å.ß. Ðåìåç Îñíîâû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ÷åáûøåâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Êèåâ: Íàóê.äóìêà, 1969, 623 ñ.
[23] Ñ.È. Çóõîâèöêèé Î ïðèáëèæåíèè äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé â ñìûñëå
Ï.Ë. ×åáûøåâà. - Óñïåõè ìàò. íàóê, 1956, ò.11, âûï.2, ññ.125-129.
[24] Í.È. Àõèåçåð Êëàññè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ìîìåíòîâ. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961,
310 ñ.
[25] Ì.Ã. Êðåéí, À.À. Íóäåëüìàí Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ Ìàðêîâà è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Ì.: Íàóêà, 1973, 551 ñ.
[26] Ã.Ø. Ðóáèíøòåéí Çàäà÷à îá ýêñòðåìàëüíîé òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îñè è
ìíîãîãðàííèêà. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1955, ò. 115, N 3, c. 627-630
[27] Linear Inequalities and Related Systems. Kuhn, H., Tucker, A., eds., Ann.
Math. Studies, No. 38, Princeton, Princeton Univ. Press, 1956. Ïåðåâîä ñ
àíãë. Ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà è ñìåæíûå âîïðîñû Ã. Êóí, À. Òàêêåð, ðåä.
Ì.: ÈË, 1959.
21
[28] Ä.Á. Þäèí, Å.Ã. Ãîëüøòåéí Çàäà÷è è ìåòîäû ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1964, 491 ñ.
[29] Å.Ñ. Âåíòöåëü Ýëåìåíòû òåîðèè èãð. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1959.
[30] Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí, Â.Ã. Áîëòÿíñêèé, Ç.Â. Ãàìêðåëèäçå, Å.Ô. Ìèùåíêî Å.Ô.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961.
[31] À.ß. Äóáîâèöêèé, À.À. Ìèëþòèí Çàäà÷è íà ýêñòðåìóì ïðè íàëè÷èè
îãðàíè÷åíèé. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, ò. 149, N 4, 1963, c. 759-762.
[32] Â.Ã. Áîëòÿíñêèé Ìåòîä øàòðîâ â òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - Óñïåõè ìàò. íàóê, ò. 30, âûï. 3, 1975, ñ. 3-55.
[33] È.Â. Ãèðñàíîâ Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1970, 118 ñ.
[34] Á.Í. Ïøåíè÷íûé Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà. Ì.: Íàóêà, 1969,
152 ñ.
[35] Á.Í. Ïøåíè÷íûé Âûïóêëûé àíàëèç è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Ì.: Íàóêà,
1980, 320 ñ.
[36] Å.Ã. Ãîëüøòåéí Òåîðèÿ äâîéñòâåííîñòè â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè è åå ïðèìåíåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1971, 352 ñ.
[37] À.Ä. Èîôôå, Â.Ì. Òèõîìèðîâ Òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.: Íàóêà,
1974, 479 ñ.
[38] Å.Ñ. Ëåâèòèí, Á.Ò. Ïîëÿê Ìåòîäû ìèíèìèçàöèè ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé. - ÆÂÌ è ÌÔ, 1966, ò. 6, N 5, ñ. 787-823.
[39] Â.Ô. Äåìüÿíîâ, À.Ì. Ðóáèíîâ Ïðèáëèæåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ë.: Èçä-âî ËÃÓ, 1968, 180 ñ.
[40] Á.Í. Ïøåíè÷íûé, Þ.Ì. Äàíèëèí ×èñëåííûå ìåòîäû â ýêñòðåìàëüíûõ
çàäà÷àõ. Ì.: Íàóêà, 1975, 320 ñ.
[41] Ô.Ï. Âàñèëüåâ Ëåêöèè ïî ìåòîäàì ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Ì.:
Èçä-âî ÌÃÓ, 1974, 374 ñ.
[42] Á.Ò. Ïîëÿê Ââåäåíèå â îïòèìèçàöèþ. Ì.: Íàóêà, 1983, 384 ñ.
22
[43] N.Z. Shor (1991): The development of numerical methods for nonsmooth
optimization in the USSR. In: Lenstra, J.K., RinnoyKan,A.H.G., Shrijver,A.,
eds., History of Mathematical Programming, Amsterdam, CWI, NorthHolland, pp. 135-139.
[44] Þ.Ì. Åðìîëüåâ Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. Êèáåðíåòèêà, N 4, 1966, c. 1-17.
[45] Á.Ò. Ïîëÿê Îäèí îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - ÄÀÍ
ÑÑÑÐ, ò.174, N 1, 1967, ñ. 33-36.
[46] Á.Ò. Ïîëÿê Ìèíèìèçàöèÿ íåãëàäêèõ ôóíêöèîíàëîâ. - ÆÂÌ è ÌÔ, ò. 9,
N 3, 1969, ñ. 509-521.
[47] Í.Ç. Øîð Ìåòîäû ìèíèìèçàöèè íåäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé è èõ
ïðèëîæåíèÿ. Êèåâ: Íàóêîâà äóìêà, 1979, 200 ñ.
[48] À.Þ. Ëåâèí Îá àëãîðèòìå ìèíèìèçàöèè âûïóêëûõ ôóíêöèé. - ÄÀÍ
ÑÑÑÐ, 1985, ò. 160, N 6, ñ. 1244-1247.
[49] Â.Ô. Äåìüÿíîâ, Â.Í. Ìàëîçåìîâ Ââåäåíèå â ìèíèìàêñ. Ì.: Íàóêà, 1972,
368 ñ.
[50] Â.Ô.Äåìüÿíîâ, Ë.Â.Âàñèëüåâ Íåäèôôåðåíöèðóåìàÿ îïòèìèçàöèÿ. Ì.:
Íàóêà, 1981, 384 ñ.
[51] Þ.Ì. Åðìîëüåâ Ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1976, 240 ñ.
[52] ß.Ç Öûïêèí Àäàïòàöèÿ è îáó÷åíèå â àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ì.:
Íàóêà, 1968, 400 ñ.
[53] Ë.À. Ðàñòðèãèí Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ïîèñêà. Ì.: Íàóêà, 1968, 376
ñ.
[54] Ä.Á. Þäèí Çàäà÷è è ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ì.:
Ñîâ. Ðàäèî, 1979.
[55] Å.Ã. Ãîëüøòåéí, Ä.Á. Þäèí Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè. Ì.: Ñîâ. Ðàäèî, 1966, 524 ñ.
[56] È.È. Äèêèí Èòåðàòèâíîå ðåøåíèå çàäà÷ ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ. - ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1967, ò. 174, N 4, ñ.747-748.
23
[57] Á.Ò. Ïîëÿê, Í. Â. Òðåòüÿêîâ Îá îäíîì èòåðàöèîííîì ìåòîäå ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ è åãî ýêîíîìè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè. - Ýêîíîìèêà è
ìàò. ìåòîäû, 1972, ò.8, N 5, c. 740-751.
[58] Â.Ç. Áåëåíüêèé, Â.À. Âîëêîíñêèé è äð. Èòåðàòèâíûå ìåòîäû â òåîðèè
èãð è ïðîãðàììèðîâàíèè. Ì.: Íàóêà, 1974, 240 c.
[59] À.À. Êîðáóò, Þ.Þ. Ôèíêåëüøòåéí. Äèñêðåòíîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ì.:
Íàóêà 1969, 368 ñ.
[60] À.Ñ. Íåìèðîâñêèé, Ä.Á. Þäèí. Ñëîæíîñòü çàäà÷ è ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè. Ì.: Íàóêà, 383 ñ.
[61] Þ.Å. Íåñòåðîâ Ýôôåêòèâíûå ìåòîäû â íåëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè.
Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989, 301 ñ.
[62] Ä.Á. Þäèí, À.Ñ. Íåìèðîâñêèé Èíôîðìàöèîííàÿ ñëîæíîñòü è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ âûïóêëûõ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷. - Ýêîíîìèêà
è ìàò. ìåòîäû, 1976, ò. 12, N 2, ñ. 357-369.
[63] Í.Ç. Øîð Ìåòîäû îòñå÷åíèÿ ñ ðàñòÿæåíèåì ïðîñòðàíñòâà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. - Êèáåðíåòèêà, 1977, N 1, ñ.4250.
[64] Ë.Ã. Õà÷èÿí Ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè.
- ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1979, ò. 244, N 5, c. 1093-1096.
[65] N. Karmarkar A new polynomial-time algorithm for linear programming.
Combinatorica, 1984, N 4, pp. 373-395.
[66] Yu.E. Nesterov, A.S. Nemirovskii Interior-Point Polynomial Algorithms in
Convex Programming. Philadelphia, SIAM, 1994, 405 pp.
[67] R. Saigal, L. Vanderberghe, H. Wolkowitz, eds. Handbook of Semidenite
Programming. Waterloo, Kluwer, 2000.
[68] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan Linear Matrix Inequalities
in Systems and Control Theory. Philadelphia, SIAM, 1994, 193 pp.
[69] Á.Ø. Ìîðäóõîâè÷ Ìåòîäû àïïðîêñèìàöèé â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè è
óïðàâëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1988, 359 ñ.
[70] A.D. Ioe Nonsmooth analysis: dierential calculus of nondierentiable
mapping. - Trans. Amer. Math. Soc., 1981, V. 266, N 1, pp. 1-56.
24
[71] Å.Ñ. Ëåâèòèí Òåîðèÿ âîçìóùåíèé â ìàòåìàòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè è ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1992, 360 ñ.
25