КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ

102
УДК 681.5.015:07
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
ОБЪЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
А.Н. Грачев
Тульский государственный университет
Россия, 300600, Тула, пр. Ленина, 92
E-mail: [email protected]
В.М. Понятский
Тульский государственный университет
Россия, 300600, Тула, пр. Ленина, 92
E-mail: [email protected]
Аль-Сабул Али Хуссейн Хасан
Дих-Карский (Сомрский) университет
Дих-Кар, Аль Рифаий, Ирак
E-mail: [email protected]
А.А. Мартьянов
Тульский государственный университет
Россия, 300600, Тула, пр. Ленина, 92
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: корреляционные методы, уравнение Винера-Хопфа, метод типовой
табличной идентификации, быстрый генетический алгоритм с резервной элитной популяцией.
Представлена инженерная методика параметрической идентификации линейных динамических объектов, основанная на корреляционных методах и использовании специального генетического алгоритма с резервной элитной популяцией. Приведены результаты
имитационного моделирования процесса идентификации предлагаемым алгоритмом.
Описаны плагины специализированного программного пакета идентификации, реализующие предложенную методику.
CORRELATION IDENTIFICATION OF LINEAR DYNAMIC PLANTS BY USE OF A GENETIC
ALGORITHM
A.N. Grachev
Tula State University
Russia, 300600, Tula, Lenina Prospect, 92
E-mail: [email protected]
V.M. Ponyatskiy
Tula State University
Russia, 300600, Tula, Lenina Prospect, 92
E-mail: [email protected]
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
103
Al-Sabul Ali Hussein Hasan
Thi-Qar (Sumer) University
Thi-Qar, Al-Rifai, Iraq
E-mail: [email protected]
A.A. Martianov
Tula State University
Russia, 300600, Tula, Lenina Prospect, 92
E-mail: [email protected]
Key words: correlation methods, Wiener-Hopf equation, method of type table identification,
fast genetic algorithm with reserve elite population.
An engineering procedure of parameter identification of linear plants is presented, based on the
correlation methods and applying a special genetic algorithm with reserve elite population. Results of simulation of the identification process by use of the proposed algorithm are presented.
Plug-ins of a special software package are described, implementing the procedure proposed.
1. Введение
Известно, что корреляционная идентификация линейных динамических объектов
управления по экспериментальным данным, полученным в нормальном режиме их эксплуатации, в самом общем случае сводится к необходимости решения интегрального
уравнения Винера-Хопфа [1-3]:

(1)
R yu (t )   w( )Ruu (t   )d ,
0
где Ruu t  – автокорреляционная функция входного сигнала объекта; R yu t  – взаимная
корреляционная функция входного и выходного сигналов объекта; w( ) – импульсная
переходная функция (ИПФ) объекта, подлежащая определению в процессе идентификации.
Однако, также известно, что решение интегрального уравнения Винера-Хопфа (1)
относительно ИПФ w( ) является некорректной задачей [3, 4]. Поэтому, чтобы избежать проблем, связанных с решением некорректных задач, в ИПУ РАН под руководством профессора Н.С. Райбмана был разработан метод типовой табличной идентификации устойчивых динамических объектов управления [3]. Этот метод позволяет получать модели в виде дифференциальных уравнений до третьего порядка включительно
yt   a1 yt   a2 yt   a3 y t   b0 ut   b1 ut   b2 u t  ,
(2)


используя экспериментальные авто Ruu t  и взаимно Ryu t  корреляционные функции,
рассчитанные по имеющимся реализациям входного u (t ) и выходного y (t ) сигналов
объекта.
Идея метода чрезвычайно проста: задавалось несколько типичных автокорреляциT
t  , работающего в режиме нормальной
онных функций входных сигналов объекта Ruu
эксплуатации. Далее по ним, последовательно для различных характеристик типовых
динамических звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями до 3-го порядка включительно, строились соответствующие взаимные корреляционные функции
входного и выходного сигналов RTyu t  . Таким образом, была получена достаточно обT
t  , RTyu t  и моширная таблица соответствия между корреляционными функциями Ruu
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
104
делями объектов, заданными в виде дифференциальных уравнений с известными параметрами вида (2), охватывающими достаточно обширный класс реальных объектов, названных типовыми [3].
В результате, процесс идентификации сводился, по существу, к нахождению оце

нок корреляционных функций Ruu t  и Ryu t  по экспериментально полученным выборкам входного и выходного сигналов и правильному использованию имеющейся
таблицы, что позволяло приближенно определить оператор объекта с очень малыми
затратами труда и времени.
Наряду с очевидными достоинствами: простотой и возможностями ограниченной
структурной идентификации объекта метод, описанный в книге [3], имеет существенный недостаток, а именно низкую точность определения параметров. Поскольку, таблица типовой идентификации [3], очевидно, не может быть абсолютно полной, т.е. содержать все множество возможных моделей (дифференциальных уравнений вида (2) со
всеми возможными значениями коэффициентов) даже для ограниченного класса линейных устойчивых динамических объектов до третьего порядка включительно, что
признается и самими авторами книги [3, стр. 13]. Следовательно, аппроксимация экс

периментально полученных оценок Ruu t  и Ryn t  табличными функциями, почти всегда будет приводить к некоторой погрешности в определении параметров модели объекта. Кроме того, используемое в данном методе визуальное сопоставление экспериментальных и табличных корреляционных функций, естественно, может приводить к
субъективным ошибкам.
В работе [5] была предпринята попытка использовать для уточнения параметров
объекта метод случайного поиска, что позволило получить достаточно хорошие результаты. Однако, известно, что метод случайного поиска обладает очень медленной
сходимостью [5], требует значительных вычислительных ресурсов и, следовательно,
практически неприменим в задачах идентификации реального времени.
С другой стороны, в последнее время при решении задач идентификации все чаще
стали использовать новые нетрадиционные подходы, например, такие как эволюционные вычисления и генетические алгоритмы [6, 7]. Так в работе [8] был представлен быстрый генетический алгоритм с резервной элитной популяцией (ГА с РЭП), способный
обеспечить, как правило, приемлемое качество оценок за приемлемое время.
В данной статье предложен корреляционный алгоритм параметрической идентификации линейных динамических объектов, основанный на идеях типовой табличной
идентификации Н.С. Райбмана [3] и использующий для минимизации функции потерь
ГА с РЭП [7, 8].
2. Постановка задачи
Управляемые движения широкого класса динамических объектов [1, 2] могут быть
описаны линейными дискретными разностными уравнениями вида
(3)
p
q
i 1
j 0
y (k )   ai y (k  i )   b j u (k  j ) ,
где y (k ) – выходной сигнал объекта; u (k ) – входной сигнал объекта; ai и b j – параметры разностного уравнения; p и q – структурные параметры модели.
Модель (3) может быть также представлена в частотной области с помощью zпередаточной функции
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
105
(4)
1
q
Y ( z ) b0  b1z      bq z

W ( z) 
.
U ( z ) 1  a1z 1      a p z  p
Предположим, что выходной сигнал объекта (3) измеряется с аддитивным белым
шумом v(k ) с нулевым средним и ограниченной дисперсией:
yO (k )  y ( k )  v (k ) .
(5)
Тогда задача корреляционной параметрической идентификации объекта управления (3) с учетом измерений выхода (5) может быть сформулирована, как задача минимизации квадратичной функции потерь вида [3, 5]:
n

 ( RyuM (k )  Ryu (k ))2
(6)
,
Q  k 0
n 1
M
где R yu
(k ) – взаимно корреляционная функция входного сигнала и выхода модели, n –
рассматриваемая глубина корреляции, при идентификации в реальном времени представляет собой размер скользящего окна учитываемых ретроспективных данных.
Заметим, что предварительно должна быть решена задача структурной идентификации, т.е. найден порядок и вид оператора модели (3) или (4). Напомним, что данную
задачу можно решить, например, с использованием таблиц типовой табличной идентификации [3, 5]. При этом, метод типовой табличной идентификации [3, 5] позволяет
также определить начальные оценки параметров и, следовательно, задать реальные
диапазоны их варьирования.
Таким образом, структурная схема корреляционной параметрической идентификации объекта управления (3) с использованием ГА с РЭП может быть представлена, как
показано на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема корреляционной идентификации с использованием ГА.
3. Быстрый генетический алгоритм с резервной элитной
популяцией
Для минимизации квадратичной функции потерь (6) (в терминологии ГА функции
приспособленности) предлагается использовать быстрый генетический алгоритм, в ко-
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
106
тором кроме обычной эволюционирующей популяции (ЭП) имеется специальная резервная элитная популяция (РЭП) [7, 8]. Схема ГА с РЭП представлена на рис. 2.
Главной особенностью данного алгоритма является использование в нем дополнительной РЭП, в которую на каждом шаге измерений из текущей ЭП по определенным
правилам мигрируют хромосомы (индивидуумы) с наилучшей приспособленностью,
постоянно вытесняя оттуда полученные ранее менее приспособленные решения. За
счет наличия РЭП удается значительно сократить время поиска приемлемых решений
на отдельных шагах измерений по сравнению с классическим ГА, поскольку такое решение каждый раз сначала ищется в РЭП и только затем, если его там найти не удается,
включается механизм эволюции классического ГА (внутренний цикл на рис. 2). Причем, работа классического ГА может продолжаться до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность оптимизации функции потерь (6), либо пока не будет сформировано заранее заданное число поколений в ЭП, либо пока не истечет заранее заданное
время работы алгоритма, что очень важно для задач реального времени. Однако, в любом случае после каждого измерения некоторое приемлемое решение (индивидуум из
ЭП или РЭП с наилучшей функцией приспособленности) будет получено.
Также характерными особенностями данного алгоритма являются: использование
вещественного кодирования хромосом и метода селекции поколения родителей, основанного на линейном ранжировании с «селективным давлением» равным двум [7, 8].
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
107
Рис. 2. Схема ГА с РЭП.
4. Результаты имитационного моделирования
При имитационном моделировании процесса корреляционной идентификации, согласно структурной схеме, показанной на рис. 1, использовался реальный непрерывный
объект в виде колебательного звена второго порядка с коэффициентом усиления K
=0,9; постоянной времени T =0,02 с и декрементом затухания  =0,1. На вход подавался
синусоидальный сигнал с частотой 11 Гц и амплитудой равной 1, который искажался
входным белым гауссовским шумом  (t ) с нулевым математическим ожиданием и
СКО равным 0,2. Выходной шум измерений v (t ) также брался белым гауссовским шумом с нулевым математическим ожиданием и СКО равным 0,2. Далее исходный непрерывный объект преобразовывался в дискретную форму (3), (4) с периодом дискретизации равным 0,001 с. Глубина корреляции (размер скользящего окна) при имитационном
моделировании задавалась равной 80.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
108
Результаты имитационного моделирования приведены на рис. 3-5.
Рис. 3. Процесс идентификации коэффициента усиления K.
Рис. 4. Процесс идентификации постоянной времени
T.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
109
Рис. 5. Процесс идентификации декремента затухания
.
Анализ представленных выше рисунков показывает, что оценки устанавливаются
примерно к 160 измерению, причем смещения в оценках практически не наблюдается.
При увеличении шума измерений выхода в 4 раза (СКО бралось равным 0,8) в
оценках появлялось небольшое смещение равное примерно 10% от величины истинных
значений параметров, однако аппроксимация выходного сигнала продолжала оставаться достаточно хорошей, т.е. модель продолжала успешно сглаживать существенные
шумы измерений, что показано на рис. 6.
Рис. 6. Аппроксимация моделью выходного сигнала объекта (настоящего и искаженного
шумом измерения) в процессе идентификации.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
110
5. Разработка плагина для программного комплекса
«Идентификация»
Программный комплекс «Идентификация» [9] предназначен для выполнения оценивания характеристик динамических объектов различными методами. Каждый метод
обработки в комплексе «Идентификация» реализуется отдельным подключаемым модулем (плагином). Плагины загружаются из .NET сборок, находящихся в подкаталоге
Plugins каталога приложения, имеют расширение dll и поддерживают интерфейс
IPlugin. Таким образом, подключение новых модулей обработки всегда может быть
осуществлено без перекомпиляции основной части комплекса.
Рассмотренный выше алгоритм был реализован в программном комплексе «Идентификация». Вид главного окна комплекса и пользовательский интерфейс плагина
«Идентификация Райбмана» приведен на рис. 7.
Рис. 7. Пользовательский интерфейс плагина «Идентификация Райбмана».
Экспериментальные данные, измеренные при исследовании сервопривода летательного аппарата [9], и результаты обработки, полученные с помощью плагина «Идентификация Райбмана», приведены на рис. 8-10.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
111
Рис. 8. Исходные данные при идентификации объекта в виде колебательного звена второго порядка.
Рис. 9. Сравнение взаимных корреляционной функций исследуемого объекта и его модели в
виде колебательного звена второго порядка.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
112
Рис. 10. Значения сигналов на входе и выходах объекта и модели.
Идентифицированные предлагаемым алгоритмом параметры модели сервопривода
летательного аппарата практически совпали с оценками, полученными другими методами [9].
6. Заключение
Воспользовавшись методом типовой табличной идентификации [3] можно достаточно быстро произвести приближенную структурную и параметрическую идентификацию любого линейного динамического объекта по имеющейся выборке входных и
выходных данных, полученных в режиме нормальной эксплуатации объекта.
В дальнейшем параметры модели, полученной методом типовой табличной идентификации можно уточнять, применяя ГА с РЭП в режиме реального времени. Причем
алгоритм обеспечивает хорошую фильтрацию искажающих шумов измерений выхода в
широком диапазоне (вплоть до отношения сигнал/шум равного 1).
Список литературы
1.
2.
3.
4.
Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.
Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.
Типовые линейные модели объектов управления / Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Энергоатомиздат,
1983. 264 с.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015
113
5.
6.
7.
8.
9.
Грачев А.Н., Понятский В.М., Во Конг Ту Структурная и параметрическая идентификация линейных
динамических объектов корреляционными методами // XII Всероссийское Совещание по проблемам
управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г. Труды. М.: Институт проблем управления им.
В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2926-2935.
Федорова, М.А. Эволюционные методы в системах с обнаружением и адаптацией // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника. 2007. № 1. С. 116-124.
Ali Hussein Hasan, Aleksandr N. Grachev On-Line Parameters Estimation Using Fast Genetic Algorithm //
Journal of Electrical and Control Engineering (JECE). 2014. Vol. 4, No. 2. P. 16-21.
Аль-Сабул Али Хуссейн Х., Грачев А.Н. Быстрый генетический алгоритм для приложений реального
времени // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 71-79.
Понятский В.М., Киселев В.Б., Замотаев И.В. Математическое и программное обеспечение
идентификации нестационарного динамического объекта с использованием метода инвариантного
погружения // Материалы VIII Международной конференции «Идентификация систем и задачи
управления». Москва, 26-30 января 2009 г.М.: Инстиут проблем управления им. В.А. Трапезникова
РАН, 2009. С. 546-571.
Труды X Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO ‘15 Москва 26-29 января 2015 г.
Proceedings of the X International Conference “System Identification and Control Problems” SICPRO ‘15 Moscow January 26-29, 2015