Базовые понятия финансовой математики

Базовые понятия финансовой математики.
Тема 1. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам.
Ставка процента – это показатель, характеризующий ожидаемую прибыль от
инвестирования средств. Ставка рассчитывается как отношение прибыли к инвестициям и
вложенных затрат в необходимом количестве для получения этой прибыли. Процентную
ставку рассматривают за определенный стандартный временной промежуток (обычно год),
соответственно ставка поделенная на срок операции в годах будет иметь размерность
единица на год, если умножить эту величину на 100%, то соответственно будет в процентах
годовых. Ставка задает доход по операции и поэтому её также называют нормой дохода или
нормой доходности или просто доходностью (доходность = ставка). Различают процентные
ставки и учетные. При процентных ставках проценты начисляются в течении всего срока
операции. Периодичность начисления определяется условиями договора. При учетных
ставках проценты начисляются и удерживаются в момент начала операции.
Вся банковская деятельность базируется на том, что деньги отданные в долг должны
вернуться в большей сумме, то есть с процентами. Эти процентные деньги или проценты по
сути и есть плата за деньги, предоставленные в долг.
Базовым принципом финансовой математики является принцип временной стоимости
денег, в соответствии с которым деньги обладают свойством увеличивать свою стоимость с
течением времени.
S=P+I
Одна и та же сумма является одновременно первоначальной и наращенной. Все зависит
от того по отношению к какому моменту времени ее рассматривать. Если по отношению к
будущему времени – первоначальная, по отношению к прошлому – наращенная.
P
FV
Операция когда по известной стоимости находят её значение в будущем называется
операцией наращения.
FV
P
Обратная операция, когда по известной стоимости находят её значение в более ранний
момент времени называется операцией дисконтирования.
Дисконтирование по процентным ставкам обычно называется математическим
дисконтированием, а дисконтирование по учетной ставке называется банковским учетом.
Ставки бывают простыми и сложными. Простые процентные ставки обычно
используются для операций со сроком до года. При простых процентных ставках проценты
всегда начисляются на первоначальную сумму операции и никогда не начисляются на
проценты полученные в ходе данной операции. В большинстве случаев простые проценты
начисляют один раз в конце операции, но имеются исключения. Наиболее часто
встречаются 2 вида исключений, на которых далее остановимся отдельно.
Сложные процентные ставки применяются для операций сроком свыше года и для
инструментов, предусматривающих несколько выплат, в т. ч. периодических выплат.
Учетные ставки используют для расчетов с векселями и в ряде случаев при кредитных
операциях.
Сложные учетные ставки на практике не получили широкого применения.
Доходность
является
универсальным
показателем,
позволяющим
сравнивать
эффективность различных операций.
Простые ставки процентов (i)
P+I=FV
Проценты по простой процентной ставке:
I=P*n*i
, где Р – сумма
n- срок
i-ставка %
Формула наращения по простой процентной ставке:
Р(1+n*i) = FV
Коэффициент наращения показывает во сколько раз вырастит первоначальная сумма за
время операции:
Кн = FV / Р
Дисконтирование по простой процентной ставке:
Р = FV / 1+n*I
Коэффициент дисконтирования:
Кд = 1 / Кн = P / FV
Кд = 1 / 1+n*I
Формула дисконтирования:
Р = FV / 1+n*I
Формула срока операции:
n= I / P = FV-P / P*i
Формула процентной ставки:
i= I / P*n = FV-P / P*n = w / P*n
Доходность отдельных видов операций.
На доходность могут влиять различные факторы, в частности доход и затраты могут
состоять из нескольких компонентов, поэтому каждую конкретную операцию нужно
рассматривать с учетом её специфики.
1. Доходность акции. Акция – это процентный финансовый инструмент, при
выпуске определяют номинал акции (первоначальная стоимость) и доход по акции
получает владелец в виде дивидендов, который рассматривается как % от номинала
бумаги. Держатели крупных пакетов получают дополнительную прибыль от
управления капиталом. Для рядовых инвесторов их прибыль определяется размером
дивидендов и курсовой разницей между продажей и покупкой бумаги.
I = P2 – Р1 + I / Р1
I = ставка дивидендов * Р0
2. Доходность
безкупонных
краткосрочных
облигаций
(зерокупонные
облигации) – это дисконтный финансовый инструмент, номинал которого известен и
определен при выпуске. Если облигации котируются на фондовом рынке, то все
стоимости объявляются в виде % от номинала бумаги.
Рк = Р облигации / номинал. стоимость * 100%
, где Рк – курс облигации
Курс – это условная единица стоимости
Iаук = Р2 – Р1 / Р2 * n2
Рпог= FV – P2 / P2 * n2
3.
Доходность с учетом комиссионных. В ряде случаев при совершении операций
банк удерживает от суммы комиссионные. Обычно у процентных инструментов
комиссионные удерживаются от первоначальной суммы, а для дисконтных – от
наращенных.
Но
могут
быть
исключения,
которые
оговариваются
отдельными
соглашениями.
iэф = n√1+n*i / 1-G - 1
iэф= 1+ ic / √1-G
Iэф=1 / n*i [1 / (1 – n*d)(1-G) -1]
4. Доходность с учетом налогообложения. Налоги уменьшают прибыль организации, то
есть воздействуют на числитель общей формулы доходности. Ряд налогов включает в себя в
себестоимость, то есть увеличивает показатель Р в знаменателе.
i = w / P*n
Частные случаи начисления простых процентов.
1. Счета до востребования. Ставка по таким счетам зависит от ставки
рефинансирования и в зависимости от экономической ситуации может достаточно
часто изменяться. В этом случае % начисляются в момент изменения ставки.
Начисленные в ходе операции % учитываются на отдельном счете и не увеличивает
первоначальную сумму.
FV=P+I=P+I1+I2+I3=P+P*n1*i1+….+Pnin
Iобщ=FV-P / P*n=P(i1n1+i2n2+…)
2. когда на счет относится или снимается определенная сумма
FV = (P0+P1-P2)+P0n0i+(P0+P1)n1i+(P0+P1-P2)n2i
В этом случае считается, что вновь вносимая сумма увеличивает первоначальную сумму
и с момента довнесения % начисляются на новую сумму. Все процентные доходы
учитываются на отдельном счете и выплачиваются только при закрытии счета.
Расчет средней доходности операции целесообразно производить по формуле
среднеарифметической взвешенной.
Коэффициент наращения для данного случая не имеет смысла, поскольку база
наращения – первоначальная сумма – величина переменная.
Расчеты с векселями. Учетная ставка.
При работе с векселями, выдачи ссуд оформляемых в виде векселя, используется
учетная ставка. Большинство векселей, встречающихся в российской практике –
дисконтные, то есть, в момент выпуска известен номинал, то есть наращенная сумма. По
своей сути вексель -
это долговая расписка, оформленная соответствующим образом.
Расчеты по процентным и дисконтным векселям имеют различия.
Особенности расчета дисконтного векселя:
D=n1*d*FV
P1=FV-D=FV(1-n1*d) - дисконтирование по учетной ставке
d = D / n*FV = FV-P / n*FV
n = D / FV*d = FV- P / d*FV
Кн =FV / P
Кд =P / FV
Особенности расчета процентного векселя:
В процентном векселе содержится срок, процентная ставка, первоначальная сумма по
векселю, которая является номиналом.
При учете векселя для определения своего дохода банк должен найти наращенную
сумму по этому векселю по формуле наращения по процентной ставке.
В формулу подставляется срок от даты выписки векселя до даты погашения.
При определении своего дохода банки могут использовать не учетную ставку, а
процентную. В этом случае в начале по формуле математического дисконтирования
рассчитывается сумма, выплачиваемая продавцу векселя и далее рассчитывается доход
банка, как разница между наращенной суммой и суммой предъявления.
Тема 2. Сложные ставки процентов.
Номинальная ставка – это ставка когда проценты начисляются несколько раз в год.
Формула наращения по номинальной ставке:
FV=P(1+j/m)mn
Коэффициент наращения
Кн=(1+j/m)mn
Формула дисконтирования:
P=FV / (1+j/m)mn
Коэффициент дисконтирования:
Кд =1 / (1+j/m)mn
,где N- количество начисления процентов за весь срок операции.
mn=N
Особый интерес вызывает случай, когда N содержит целую и дробную части.
Существуют 2 способа расчете в этой ситуации:
1) точный – в этом случае степень возводится при помощи инженерного
калькулятора
2) приближенный (смешанный)- в этом случае за целое число периодов
наращение ведется по сложной % ставке, а за дробную часть периода- по простой
процентной ставке, поэтому его называют смешанным.
Эффективная ставка – проценты начисляются один раз в году.
Тема 3. Эквивалентность процентных ставок. Финансовая эквивалентность
обязательств.
Эквивалентность ставок.
В финансовом менеджменте возникает ситуация, когда нужно сравнить эффективность
операций, рассчитанных по различным процентным ставкам. Для решения этой задачи
необходимо иметь формулы соответствия между ставками. Эти формулы называются
формулами эквивалентности. Эквивалентными называются ставки, приносящие за
одинаковый срок одинаковый результат. Соответственно формула эквивалентности
выводится из равенства наращенных сумм. Следует рассмотреть формулы между простой
ставкой процентов и сложными ставками.
iэф = (1+ jc/m)m - 1
iэф-jc
iэф =n√1+n*in
iэф-jп
-1
d = 1- 1/1+n*iп
d-iп
iп = d/1-n*d
iп-d
jc = m* m√1+ Iэф
-m
jc-iэф
iп = (1+ic)n –1 / n
i п- iс
ic = n√1+ n*iп - 1
Ic-iп
jc = m(mn√1+niп - 1)
iн-iп
ic =(1+jн/m)m – 1
i c - iн
iн = m (m√1+ic
-1)
iн –ic(эф)
iп = (1+j/m)mn-1 / n
iп-iн
Эквивалентность финансовых обязательств.
В банковской практике достаточно часто встречаются ситуации, когда один график
платежей необходимо заменить на другой. Инициатором может выступать любая из сторон.
Проблема:
необходимо
рассчитать
сумму новых
платежей. Она
решается
с
использованием принципа временной стоимости денег.
Порядок действий следующий:
1. Стороны решают вопрос под какую процентную ставку будут вестись
преобразования. Абсолютно корректным считается случай, когда выбирается
сложная процентная ставка – обычно эффективная.
2. Выбирается момент времени, к которому будут приводиться все платежи, как
по первоначальным, так и по новым условиям договора. Вся логика преобразований
заключается в том, что платежи по первоначальному графику должны быть
эквивалентны платежам по новому графику. Если платежи эквивалентны – это
значит, что если их привести в любую точку, то в этой точке они окажутся равными.
3.
Записывают уравнение эквивалентности – это равенство, в левой части
которого сумма всех платежей по первоначальному графику, приведенных к
выбранному моменту времени, а в правой части сумма платежей по новому графику.
Каждый отдельный платеж приводится к выбранному моменту времени, при помощи
действий наращения или дисконтирования.
4. Из
уравнения эквивалентности находятся необходимые (неизвестные)
параметры.
FV1 (1 + iэф)n1..4 +FV2 / (1+iэф)2..4 + FV3/ (1+iэф)4..3 = FV0,1(1+Iэф)n4..4 + FV0,2 / (1+iэф)4..5
В левой части уравнения все показатели известны, а в правой неизвестно FV0,2
Тема 4. Учет инфляции в финансово- экономических расчетах..
Основные параметры, который характеризующие инфляцию: индекс инфляции и
уровень инфляции.
Индекс инфляции – это индекс цен. По сути – это темп роста цен. Он показывает во
сколько раз выросли цены на товары и услуг за определенный интервал времени. Этот
интервал времени стандартный и он равен месяцу, кварталу, году. Эту информацию
получают из Госкомстата.
Уровень инфляции или темп инфляции – это по сути темп прироста, то есть показывает
на сколько выросли цены.
Iи = 1 + τ
,где τ - темп инфляции
Iи – индекс инфляции
Эта формула действует, если эти показатели приведены за один и тот же промежуток
времени.
Срок реальной операции, как правило, не совпадают со стандартным временным
интервалом, поэтому для учета информации конкретной операции с начала следует
пересчитать индекс инфляции за стандартный интервал, в индекс инфляции за
срок
операции. Для этого используется взаимосвязь между цепными и базисными индексами.
Произведение цепных темпов роста равно соответствующему базисному. Тогда годовой
индекс инфляции равен произведению полугодовых индексов или произведению всех
дневных индексов за год. Эта взаимосвязь лежит в основе формализованного и
неформализованного способа расчетов.
В условиях инфляции все показатели делятся на номинальные или неочищенные от
инфляции (брутто-показатели) и реальные или очищенные от инфляции (нетто –
показатели).Более 90% показателей, встречающихся в реальной жизни, это брутто –
показатели.
FVτ = FVr*In
Эту формулу можно использовать, если τ<12%.
Формула наращенной суммы с учетом инфляции:
Sr = P (1+nir)
и
Sτ = P (1+niτ)
или
P(i+nir)*Iи
Формула ставки простых процентов с учетом инфляции:
iτ = Iи+Iи*n*Ir –1 / n
и
ir = 1+ niτ – Iи / Iи*n
Формула наращенной суммы с учетом инфляции:
Sr =P(1-ndr)
и
или
Sτ =P(1-ndτ)
P(1-ndr)*In
Формула ставки учетных процентов с учетом инфляции:
dr = I – Iи*dτ / n
и
dτ = I-(1-ndr) / Iи
Формула наращенной суммы с учетом инфляции:
Sr = P (1+ir)n
и
Sτ = P (1+iτ)n
Формула ставки cложных процентов с учетом инфляции:
ir = 1+ iτ / n√Iи -1
или
iτ = (1+ir)n√Iи - 1
Формула наращенной суммы с учетом инфляции:
Sr = P(1+jr/m)mn
и
Sτ = P(1+jτ/m)mn
или
P(1+jr/m)mn
Формула номинальной ставки процентов с учетом инфляции:
iτ = m[(1+jr/m)mn√Iи - 1]
и
jr = 1+ jτ /m /
mn
√Iи - 1
Тема 5. Потоки платежей. Финансовые ренты.
В экономической практике достаточно часто договор предусматривает выплату по
обязательствам определенными суммами, через равный промежуток времени. Такие
выплаты называются потоком платежей или финансовой рентой.
Для упрощения расчетов стороны, чтобы все платежи были одинаковыми. Такая рента
называется постоянной. Постоянная рента имеет три признака
1) равные платежи
2) через равный промежуток времени
3) сложные проценты
Рента характеризуется следующими параметрами: срок, размер одного платежа,
количество начислений процентов, количество выплат в году.
Кроме того ренту характеризуют при помощи 2-х обобщающих параметров, а
именно:
cсовременная сумма ренты, или PVA, наращенная сумма ренты, или FVA/
Современная сумма ренты – это эквивалент всей ренты в момент ее начала, то есть
эта сумма всех платежей ренты, приведенных в момент времени 0 (ноль) при помощи
операции дисконтирования.
Наращенная сумма ренты – это эквивалент ренты в момент ее завершения, то есть
это сумма всех платежей ренты, приведенных в момент её завершения при помощи
формул наращения.
Обобщающий показатель ренты часто используется для замены всей ренты одним
платежом соответствующей точки, то есть точки начала и точки завершения.
Различают 2 вида рент:
1. рента постнумерандо, или аннуитет с задержкой
2. рента пренумерандо, или аннуитет с опережением
У ренты постнумерандо все платежи выплачиваются в конце периода.
У ренты пренумерандо платежи выплачиваются в начале периода.
С точки зрения финансовых расчетов обобщающие параметры ренты пренумерандо
и ренты постнумерандо будут отличаться. Но с целью упрощения расчетов на практике
ренту пренумерандо обычно считают рентой постнумерандо, искусственно отодвинув
начало отсчета на один период влево. Соответственно как найден обобщающий
параметр
ренты
постнумерандо
простым
дисконтированием
или
наращением
обобщающего платежа переходят от ренты постнумерандо обратно к ренте
пренумерандо.
FVA = R*Kн
R = FVA / Кн
PVA = R*Kд
R = PVA/Кд
Кн = (1+ic)n-1 / P[(1+ic)1/P-1 ]
Кн = (1+j/m)mn-1 / P[(1+j/m)m/р-1 ]
Кд = 1-(1+ic)-n / P[(1+ic)1/p-1]
Kд =1-(1+j/m)-mn / P[(1+j/m)m/p-1]
n
S  R
(1  ic )  1
(1  ic )  1
n
 R
(1  ic )  1
ic
n
Величина
(1  ic )  1
ic
S  R  sn , ic .
S   S  (1  ic ),
A  A  (1  ic ) ,
j m
S   S  (1  m ) .
называется коэффициентом наращения ренты, который
S
R
n

(1  ic )  1
p (1  i )
c
1p
n
 R
1
(1  ic )  1
p  (1  ic )

1p
 1
.

1
p
S   S  (1  ic ) .
A R
1(1ic ) n
ic
где величина
,
1  (1  ic )
n
называется коэффициентом приведения ренты.
ic
A  R  an,i .
c
(1 j m )m n1
S  R
(1 j m )m 1
.
Тема 6. Планирование погашения долга
Существует несколько стандартных схем погашения долга.
1). основной долг погашается равными срочными уплатами, а проценты выплачиваются
вместе с частью основного долга. Размер процентов зависит от фактического остатка
основного долга.
R = P/n*p
2). основной долг вместе с процентами выплачивается равными срочными уплатами, то
есть существует 2 варианта:
а) на все платежи начисляются простые проценты. Этот вариант применяется при
потребительском кредитовании.
Rр = FV/n*p
FV может быть рассчитана по i или j в зависимости от условий
договора.
б) на все платежи начисляются сложные проценты. Этот вариант применяется при
межбанковском кредитовании.
Rp = R/p
3). Погашение кредита с депозитного счета, то есть на сумму кредита начисляются
проценты по кредитной ставке. Проценты и основной долг погашаются равными срочными
уплатами, которые выносятся на депозитный счет (в погасительный фонд). Соответственно
на взнос в погасительный фонд начисляются проценты по депозитной ставке. Размер взноса
в погасительный фонд должен быть таким, чтобы по завершению срока кредита наращенная
сумма кредита в погасительном фонде и наращенная сумма кредита оказались бы равными,
чтобы банк внутренней проводкой мог сдать деньги с погасительного фонда в зачет
кредита.
Р
FV
Размер одного платежа в погасительный фонд рассчитывается по формуле ренты. В
данном случае
FV = FVA
Rр
При постоянном финансовом расчете с размером платежей – R, выплачиваемых
ежедневно в конце года в течении n лет сумма каждого платежа с начислением на них
процентов, то есть наращенная сумма
(∑S1,S2,…Sn)
S1 = R(1+iэф)n-1
S2 = R(1+iэф)n-2
Sn-1 = R(1+iэф)
Sn = R
S = R*Kн
n
S  R
(1  ic )  1
(1  ic )  1
n
 R
(1  ic )  1
ic
n
(1  ic )  1
Величина
называется коэффициентом наращения ренты, который
ic
S  R  sn , ic .
S   S  (1  ic ),
A  A  (1  ic ) ,
j m
S   S  (1  m ) .
S
R
n

(1  ic )  1
p (1  i )
c
1p
n
 R
1
(1  ic )  1
1p
p  (1  ic )  1


.
1
p
S   S  (1  ic ) .
A R
1(1ic ) n
ic
где величина
,
1  (1  ic )
n
называется коэффициентом приведения ренты.
ic
A  R  an,i .
c
(1 j m )m n1
S  R
(1 j m )m 1
.