ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ В ЭКОНОМИКЕ Гареева Э.И., Сагадеева Э.Ф

ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ В ЭКОНОМИКЕ
Гареева Э.И., Сагадеева Э.Ф.
ФГБОУ ВО Башкирский ГАУ
Уфа, Россия
APPLICATION OF GAMES WITH NATURE IN THE ECONOMY
Gareyeva E.I., Sagadeeva E.F.
FSBEI of Higher Education BSAU
Ufa, Russia
Любая сфера человеческой деятельности, в том числе и экономическая, требует
принятия решений в ходе работы. Опыт показывает, что многие важные вопросы решаются
необдуманно, т.е. не основываясь на научных принципах. Мы прекрасно понимаем, что при
таком исходе шансы на правильный выбор невелики.
Сложный характер современной экономики и уровень требований, которые
предъявляются
к обоснованию принятия решений, делают необходимым использование
научно обоснованных методов в анализе всех аспектов принятия решений.
Неопределенность затрудняет выбор оптимальных решений и может привести к
неудовлетворительным результатам, а ведь состояние производственно-технологической и
финансовой сфер экономики находятся в прямой зависимости от принимаемых решений.
Следовательно, будут большие проблемы, если принимать решения, не учитывая
неконтролируемые факторы. Серьезное изучение данных факторов в экономической
деятельности является крайне важным и необходимым.
Одним из способов решения этих проблем является постановка принятия решений на
математическую основу, а именно применение игр с природой, которые позволяют делать
правдоподобные прогнозы и принимать эффективные решения.
Теория игр даёт научные методы решения задач по принятию решений и представляет
собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в
различных условиях, изучает гипотетическое поведение, направленное на получение
наилучшего результата.
Используя методы теории игр, лицо, принимающее решение, проводит анализ
ситуации и, следовательно, обоснованно и последовательно выбирает более оптимальную
стратегию поведения при решении сложных проблем.
В экономической практике довольно часто возникают ситуации с неопределенностью,
в связи с неполной информацией о факторах окружающей среды, которую называют
«природой», а саму модель – «игрой с природой» («статистической игрой»).
Здесь участвуют два игрока: один из них – «статист» - старается обдуманно
принимать эффективные для себя решения, а другой – природа - принимает случайным
неопределенным образом то или иное состояние, при этом не добиваясь какой-либо цели и
абсолютно безразлично относясь к результату игры [1].
Обычно состояния природы в таких играх считаются известными, а вот их
вероятности могут быть как известны, так и нет. Эффективность принимаемых решений в
играх с природой определяются различными критериями оптимальности [5].
Итак, отличительной особенностью игр с природой является то, что в ней имеется
активный игрок - игрок 1, а природа - игрок 2 - не действует сознательно против первого
игрока и выбирает случайным образом свои ходы. Игра с природой имеет следующую
платёжную матрицу:
 a11

a
A =  21
...

a
 m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 

... a 2 n  ,
... ... 

... a mn 
(1)
где a ij – выигрыш первого игрока при выборе им i-й стратегии, а вторым игроком – jй стратегии. Столбцы, отвечающие стратегиям второго игрока (природы), нельзя исключать
из матрицы игры А [4].
В условиях неопределённости решения принимаются с помощью следующих
критериев: Вальда, Гурвица, максимакса и Сэвиджа. Рассмотрим применение каждого из них
на примере экономической задачи.
Предположим, что первый игрок - это компания HTC со своим HTC Desire 300,
второй («природа») – это конкурент HTC - компания Sony со своим новым смартфоном Sony
Xperia Z5 Compact.
Необходимо выпустить новый смартфон, и первому игроку нужно решить, когда же
выпустить данный продукт, чтобы получить максимальную прибыль? У нас есть три
варианта: до конкурента (А1), вместе с ним (А2) или после него (А3). Состояния природы:
новый Sony Xperia Z5 превзойдёт наш телефон (В1), будет таким же (В3) или сильно уступит
в качестве (В3) [7]. Платёжная матрица имеет следующий вид:
A1
A2
A3
B1
4
7
1
B2
6
5
9
B3
2
4
6
1. Рассмотрим пессимистический критерий Вальда: игрок считает, что природа пойдет
по самом неблагоприятному для него пути, и поэтому нужно выбрать стратегию, которая
позволит получить максимальную прибыль при самом плохом исходе [7].
W = max min aij ,
(2)
1≤i ≤ m 1≤ j ≤n
B1
4
7
1
A1
A2
A3
B2
6
5
9
B3
2
4
6
min
2
4
1
W = max min aij = max(2;4;1) = 4
1≤i ≤ m 1≤ j ≤ n
Следовательно, наибольшую прибыль, равную 4, нам даст стратегия - А2.
2. Теперь рассмотрим критерий максимакса (крайнего оптимизма), определяющий
стратегию, которая максимизирует максимальные выигрыши для каждого состояния
природы [4]. Наилучшим решением является то, при котором достигается максимальный
выигрыш, равный:
W = max max aij ,
1≤i ≤ m 1≤ j ≤n
B1
4
7
1
A1
A2
A3
(3)
B2
6
5
9
B3
2
4
6
max
6
7
9
W = max max aij = max(6;7;9) = 9
1≤i ≤ m 1≤ j ≤ n
Итак, максимальную прибыль (9) в данном случае нам даст третья стратегия - А3.
3. Следующий критерий Гурвица предлагает рассмотреть средний результат,
определяющий положение между крайним оптимизмом и пессимизмом [2]. Исходя из этого
критерия, оптимальная стратегия находится следующим образом:
max hi = max(λ *α i + (1 − λ ) * β i ) ,
где
α i = min aij ,
(4)
β i = max aij
j
j
Для нашего примера выберем λ = 0,4 .
A1
A2
A3
B1
4
7
1
B2
6
5
9
B3
2
4
6
αi
βi
hi
2
4
1
6
7
9
4,4
5,8
5,8
h1 = 0,4 * 2 + (1 − 0,4) * 6 = 4,4 ,
h2 = 0,4 * 4 + (1 − 0,4) * 7 = 5,8 ,
h3 = 0,4 *1 + (1 − 0,4) * 9 = 5,8
max hi = max(4,4;5,8;5,8) = 5,8
Оптимальными оказались две стратегии – А2 и А3 (5,8).
4. Минимаксный критерий Сэвиджа – здесь выбирается стратегия, не создающая
чересчур больших потерь [7]. Строится матрица рисков и далее при каждой стратегии
игрока вычисляется максимальная прибыль, а из них выбирается наименьшая:
S = min max rij ,
1≤i ≤m 1≤ j ≤n
(5)
Строим матрицу рисков, рассчитав её элементы по следующей формуле:
R = rij = β j − a ij , где β i = max aij ,
(6)
j
β1 = 6 , β 2 = 7 , β 3 = 9
Матрица рисков:
 6 − 4 6 − 6 6 − 2  2 0 4

 

A =  7 − 7 7 − 5 7 − 4 =  0 2 3
 9 −1 9 − 9 9 − 6   8 0 3

 

S = min (4;3;8) = 3
1≤i ≤ m
Итак, минимальный риск достигается при второй стратегии игрока (А2).
Таким образом, большинство из рассмотренных нами критериев показали, что
необходимо выбрать
вторую стратегию, которая принесёт компании максимальную
прибыль.
Также решения могут приниматься и в условиях риска.
Риск – это разница между максимально возможным выигрышем при состоянии среды
и выигрышем при выборе конкретной стратегии [9].
Матрицу рисков по нашей задаче мы рассчитали при нахождении критерия Сэвиджа.
 2 0 4


A =  0 2 3
 8 0 3


Рассмотрим теперь критерии для принятия решений в играх с природой без
эксперимента:
1.) Первый критерий используется при известных вероятностях стратегий природы.
Предположим, что данные вероятности составляют:
Р( П1 ) = q1 ;
Р( П 2 ) = q 2 ;
…
Р( П n ) = q n , где
n
∑q
j =1
j
= 1 , q j ≥ 0 , j = 1, n ,
(7)
α i среднее значение выигрыша, которое первый игрок хочет
Обозначим через
максимизировать:
α i = ai1 * q1 + ai 2 * q 2 + ... + ain * q n , i = 1, m ,
(8)
Оптимальной здесь является стратегия, соответствующая максимальному среднему
значению выигрыша:

n

α = max α i = max ∑ aij * q j  , j = 1, n ,
 j =1

(9)
Пусть в нашей задаче q1 = 0,5 , q 2 = 0,3 , q 3 = 0,2 , тогда:
α 1= 4 * 0,5 + 6 * 0,3 + 2 * 0,2 = 4,2
α 2= 7 * 0,5 + 5 * 0,3 + 4 * 0,2 = 5,8
α 3= 1* 0,5 + 9 * 0,3 + 6 * 0,2 = 4,4
α = max α i = max{4,2;5,8;4,4} = 5,8
Следовательно, наилучшим вариантом является стратегия – А2.
2.) Также наиболее рациональную стратегию при известных вероятностях можно
вычислить при помощи показателя риска [8]. Для этого нужно определить степень значения
риска:
r i = ri1 * q1 + ri 2 * q2 + ... + rin * qn ,
i = 1, m ,
(10)
То есть в качестве оптимальной стратегии в данном случае выбирается та, которая
обеспечит минимальное среднее значение риска [3]:
n

r = min ri = min ∑ rij * q j  , j = 1, n ,
 j =1

Отсюда находим:
r 1= 2 * 0,5 + 0 * 0,3 + 4 * 0,2 = 1,8
r 2 = 0 * 0,5 + 2 * 0,3 + 3 * 0,2 = 1,2
(11)
r 3 = 8 * 0,5 + 0 * 0,3 + 3 * 0,2 = 4,6
r = min ri = min{1,8;1,2;4,6} = 1,2
Таким образом, оптимальной также является вторая стратегия.
Для одних и тех же исходных данных критерии среднего выигрыша и среднего риска
дают тот же результат.
Но бывает, что объективно оценить состояние природы невозможно, поэтому оценку
можно провести субъективно на основе:
1. Принципа недостаточного основания Лапласа, который применяется, когда ни одно
из состояний природы нельзя предпочесть другому:
q1 = q 2 = ... = q n =
1
,
n
(12)
В нашем случае: q1 = q 2 = q3 =
1
.
3
2. Принципа убывающей арифметической прогрессии.
Этот приём применяется, если можно расположить состояния природы в порядке
убывания их правдоподобности (вероятности совершения):
qj =
2 * (n − j + 1)
,
n * (n + 1)
(13)
Для нашей задачи:
q3 =
2 * (3 − 3 + 1) 1
=
3 * (3 + 1)
6
3. Принципа получения средних значений вероятностей состояния природы с
помощью оценок экспертов [3].
Таким образом, мы на примере рассмотрели, каким образом применяются игры с
природой при принятии решений в экономике и какие результаты на их основе мы можем
получить.
В настоящее время данные модели применяются в разных областях экономики: при
выборе эффективных стратегий в бизнесе и оптимального поведения фирмы, для
рационального
управления
финансами,
в
инвестиционной,
инновационной,
любой
коммерческой деятельности, в менеджменте и маркетинге и т.д. [1]
Таким образом, теорию игр можно рассматривать в качестве необходимой
составляющей экономико-математического моделирования.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лабскер Л.Г. Экономические игры с природой: Учебно-методическое пособие для
студентов, обучающихся по направлению «Экономика». - М. Кнорус, 2015. - 512 с.
2. Садовин Н.С., Садовина Т.Н. Основы теории игр. Учебное пособие. – Йошкар-Ола,
2011. – 119 с.
3. Самаров К.Л. Элементы теории игр: Учебное пособие для студентов. - М.
"Резольвента", 2009. - 21 с.
4. Смагин Б.И., Бутенко А.И. Игры с природой: Учебно-методическое пособие для
студентов экономических специальностей. - Мичуринск – МГАУ, 2008. - 14 с.
5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браннов А.В. Математика в экономике:
Учебник: в 2-х частях. – М. Финансы и статистика, 2000. – 224 с.
6. Высшая математика в экономике: [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://fislac.ru/lin_prog/veroatnoct91.htm. Дата обращения: 16.01.2016;
7.
Сайт
публикаций:
[Электронный
ресурс].
Режим
-
доступа:
http://habrahabr.ru/post/179811/. Дата обращения: 16.01.2016;
8.
Свободная
энциклопедия:
[Электронный
ресурс].
-
Режим
доступа:
http://ru.wikipedia.org/. Дата обращения: 16.01.2016;
9. Энциклопедия для студентов: [Электронный ресурс]. - Режим доступа:
http://studopedia.ru/3_188706_elementi-teorii-statisticheskih-resheniy.html.
16.01.2016
Дата
обращения: