Линейная зависимость и незав

§ 7. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
(продолжение)
3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис
Напомним, что если M – некоторое множество, элементы которого
можно
складывать
и
умножать
на
числа,
то
выражение
1  m1   2  m 2     k  m k (где m1 , m 2 ,  , m k  M , 1 ,  2 ,  ,  k –
числа) называют линейной комбинацией элементов m1 , m 2 ,  , m k с коэффициентами 1 ,  2 ,  ,  k . Если m M и m является линейной
комбинацией элементов m1 , m 2 ,  , m k , т.е.
m  1  m1   2  m 2     k  m k ,
то говорят, что m линейно выражается через элементы m1 , m 2 ,  , m k .
Пусть L – линейное пространство над ℝ(ℂ), a1 , a2 ,  , ak  L .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a1 , a2 ,  , ak линейно зависимы, если существуют числа 1 ,  2 ,  ,  k , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1  a1   2  a2     k  ak равна нулевому
элементу o линейного пространства L .
Если же равенство 1  a1   2  a2     k  ak  o возможно только
при условии 1   2     k  0 , то векторы a1 , a2 ,  , ak называют
линейно независимыми.
Справедливо следующее утверждение.
ЛЕММА 4. Векторы a1 , a2 ,  , ak линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1) Необходимость.
Пусть векторы a1 , a2 ,  , ak – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа 1 ,  2 ,  ,  k , не все равные нулю и такие, что
1  a1   2  a2     k  ak  o .
Пусть, например, 1  0 . Тогда
1  a1   2  a2     k  ak ,

a1  

2
 a2    k  ak .
1
1
2) Достаточность.
Пусть один из векторов a1 , a2 ,  , ak линейно выражается через
оставшиеся. Например, пусть
1
a1   2 a2   3 a3     k ak .
  a1   2 a2   3 a3     k ak  o .
Следовательно, векторы a1 , a2 ,  , ak – линейно зависимы.
Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 4.
ПРИМЕРЫ.
1) Рассмотрим матрицы
1 0
0 1
0 0
0 0
1 2
E1  
 , E2  
 , E3  
 , E4  
, A  
.
0 0
0 0
1 0
0 1
3 4
Матрицы E1 , E 2 , E 3 , E 4 , A – линейно зависимы, матрицы E1 , E 2 , E 3 ,
E 4 – линейно независимы.
2) Многочлены g1 ( x )  1, g2 ( x )  x , g3 ( x )  x 2 , g4 ( x )  (1  x )2 –
линейно зависимы, так как g4 ( x ) является линейной комбинацией g1 ( x ) ,
g2 ( x ) , g3 ( x ) .
Многочлены f1 ( x )  2 x  1 , f 2 ( x )  x 2 , f 3 ( x )  x 3  x  1, f 4 ( x )  x 4  1 –
линейно независимы.
3) Пусть a1  (2;  3; 1) , a 2  (3;  1; 5 ) , a 3  (1;  4; 3 ) . Выясним, является ли эта система векторов пространства ℝ 3 линейно зависимой.
1a1   2 a 2   3a 3  o .
Пусть
1a1   2 a 2   3a 3 
Тогда имеем:
 (21;  31; 1 )  (3 2 ;   2 ; 5 2 )  ( 3 ;  4 3 ; 3 3 ) 
 (21  3 2   3 ;  31   2  4 3 ; 1  5 2  3 3 )  ( 0; 0; 0 ) .
 21  3 2   3  0 ,

  31   2  4 3  0 ,
 1  5 2  3 3  0 .
Таким образом, векторы a 1 , a 2 , a 3 будут линейно независимыми,
если 1   2   3  0 – единственное решение системы. Согласно критерию единственности решения системы (см. §4) это будет иметь место, если r(A )  n , где A – матрица системы, n – число неизвестных.
A  35  0 ,
В нашем случае имеем:
 r( A )  3 .
Следовательно, система имеет только тривиальное решение 1   2 
  3  0 , и, значит, векторы a 1 , a 2 , a 3 – линейно независимые.
2
Теперь рассмотрим n ( n  3 ) произвольных векторов из ℝ 3 :
a 1  ( a11 , a21 , a31 ) , a 2  ( a12 , a22 , a32 ) ,  , a n  ( a1n , a2 n , a3 n ) .
Эти векторы всегда будут линейно зависимы. Действительно, рассмотрение линейной комбинации 1a1   2 a 2     n a n  o приведет нас к системе уравнений
1a11   2 a12     n a1n  0 ,

1a21   2 a22     n a2 n  0 ,
1a31   2 a32     n a3 n  0 .
Так как A – матрица размера 3  n и n  3 , то ее ранг r(A )  3  n .
Следовательно, система будет иметь нетривиальные решения, и, значит
равенство 1a1   2 a 2     n a n  o возможно не только при нулевых
коэффициентах.
Таким образом, мы можем утверждать, что в пространстве ℝ 3 линейно независимых векторов может быть не более трех.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства.
Иначе говоря, векторы e1 , e2 ,  , e n  L образуют базис в линейном
пространстве L если выполняются два условия:
1) e1 , e2 ,  , e n – линейно независимы;
2) e1 , e2 ,  , e n , a – линейно зависимы для любого вектора a из L .
Очевидно, что в линейном пространстве существует не единственный
базис (например, легко доказать, что если e1 , e2 ,  , e n образуют базис в
линейном пространстве L и 1 ,  2 ,  ,  n – отличные от нуля действительные числа, то векторы 1e1 ,  2 e2 ,  ,  n en тоже будут базисом). Но
справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 5. Любые два базиса линейного пространства состоят из
одного и того же числа векторов.
Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов,
то пространство называют конечномерным, а n называют размерностью
линейного пространства (пишут: dim L  n ).
Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim L   ).
ПРИМЕРЫ.
1) Линейное пространство
M (2  2, ℝ )
3
матриц второго порядка с
элементами из ℝ имеет размерность dim M (2  2, ℝ )  4 . Его базисом будут, например, матрицы
1 0
0 1
0 0
0 0
E1  
 , E2  
 , E3  
 , E4  
.
0 0
0 0
1 0
0 1
Базис E1 , E 2 , E 3 , E 4 в дальнейшем будем называть стандартным базисом пространства M (2  2, ℝ ) .
2) Множество свободных векторов плоскости V ( 2) является конечномерным линейным пространством. Его размерность dimV (2 )  2 . Базисом будут являться любые два неколлинеарных вектора.
Действительно, пусть e1 , e2 – неколлинеарные векторы на плоскости. Покажем, что они линейно независимы. Пусть
1e1  2 e2  0 .
Предположим, что хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации отличен от нуля. Например, 1  0 . Тогда
e1  
2
e ,
1 2
и, значит, векторы e1 и e2 – коллинеарные. Следовательно, предположение неверно и линейная комбинация векторов e1 , e2 равна нулевому вектору только при 1   2  0 , что и означает линейную независимость векторов e1 , e2 .
Теперь покажем, что любой вектор a V ( 2 ) можно представить в виде линейной комбинации векторов e1 и e2 . Для этого построим векторы
CA  a , CE 1  e1 и CE 2  e2 . Через точку
e2 E 2
A проведем прямые параллельные векторам
A2
e1 и e2 . Точки пересечения этих прямых и
a
прямых, на которых лежат векторы e1 и e2 ,
C
обозначим соответственно A1 и A2 . По
правилу параллелограмма имеем:
a  CA  CA 1  CA 2 .
Но векторы CA 1 и CE 1 коллинеарны, и, следовательно,
CA1   CE1   e1
для некоторого   ℝ. Аналогично
CA2   CE2   e2 .
Таким образом, получили
a   e1   e2 .
4
A
E1
A1 e1
3) Линейное пространство V ( 3 ) свободных векторов пространства
имеет размерность dimV (3 )  3 . Легко доказать, что базисом в пространстве V ( 3 ) являются любые три некомпланарных вектора.
Замечание. Хотя в качестве базиса на плоскости (в пространстве)
можно взять любые два неколлинеарных (любые три некомпланарных)
вектора, на практике предпочитают работать с декартовым прямоугольным базисом i , j ( i , j , k ). Это единичные векторы, которые сонаправлены координатным осям Ox и Oy соответственно (сонаправлены координатным осям Ox , Oy и Oz соответственно).
4) Арифметическое линейное пространство ℝ n тоже является конечномерным. Его размерность dim ℝ n  n . Базисом будут являться, например, векторы
e1  (1; 0; , 0 ) , e 2  ( 0; 1; , 0 ) ,  , e n  ( 0; 0; , 1)
(будем называть его стандартным базисом пространства ℝ n ).
5) Пусть задана некоторая система линейных однородных уравнений
AX  O , имеющая нетривиальные решения. Множество ℋ ее решений
является конечномерным линейным пространством. Его базисом будет
фундаментальная система решений, и, следовательно, dim ℋ  n  r , где
n – число неизвестных, r – ранг матрицы A
6) Линейное пространство ℝ [x] многочленов с коэффициентами из
ℝ является бесконечномерным. Легко проверить, что для любого натурального n многочлены
f 0 ( x )  1 , f1 ( x )  x , f 2 ( x )  x 2 ,  , f n ( x )  x n
будут линейно независимы.
Роль базиса в линейном пространстве характеризует следующая теорема.
ТЕОРЕМА 6 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства
линейно выражается через любой его базис, причем единственным образом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть e1 , e2 ,  , e n – базис линейного пространства L и a – произвольный вектор из L . Тогда, по определению, e1 , e2 ,  , e n – линейно
независимы, а e1 , e2 ,  , e n , a – линейно зависимы. Следовательно, существуют числа 1 ,  2 ,  ,  n ,  не все равные нулю и такие, что линейная комбинация
5
1  e1   2  e2     n  en  a  o .
Причем, коэффициент  не может быть равен нулю.
Действительно, если   0 , то 1  e1   2  e2     n  en  o , где
коэффициенты 1 ,  2 ,  ,  n не все равны нулю. Так как существует нулевая линейная комбинация элементов e1 , e2 ,  , e n с коэффициентами,
среди которых есть ненулевые, то e1 , e2 ,  , e n – линейно зависимые. Но
они по условию образуют базис, и, следовательно, линейно независимы.
Так как   0 , то a линейно выражается через e1 , e2 ,  , e n :
 a  1  e1   2  e2     n  en ,



 a   1  e1  2  e2    n  en .



Теперь докажем, что a линейно выражается через базис единственным образом. Предположим противное. Пусть
a  1  e1   2  e2     n  en
a  1  e1   2  e2     n  en ,
и
причем  i   i хотя бы для одного i 1, n . Пусть для определенности
1  1 . Тогда
a  a  (1  e1   2  e2     n  en )  ( 1  e1   2  e2     n  en ) ,
 o  (1  1 )  e1  ( 2   2 )  e2    ( n   n )  en .
Так как 1  1 , то 1  1  0 . Таким образом, получили, что существует нулевая линейная комбинация векторов e1 , e2 ,  , e n , среди коэффициентов которой есть ненулевые. Значит e1 , e2 ,  , e n – линейно зависимые.
Но они по условию линейно независимы, так как образуют базис.
Следовательно, предположение неверное и вектор a разлагается по
базису e1 , e2 ,  , e n единственным образом.
6