Осцилляции нейтрино в квантовой теории поля

Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Осцилляции нейтрино в квантовой теории поля
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
XIV научная конференция «ОМУС 2010»
1-6 февраля 2010 г.
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
План
Описание осцилляций нейтрино
Квантовая механика
Противоречия и недостатки
Квантовая теория поля. Волновые пакеты
Пропагатор нейтрино в веществе
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая механика
Состояние нейтрино с определенным флейвором:
X
|να i =
Vαi |νi i,
i
где α = e, µ, τ, i = 1, 2, 3.
Эволюция во времени:
X
i
|να (t)i =
Vαi e − h Hi t |νi (0)i.
i
Амплитуда перехода |να i → |νβ i:
Aνα →νβ = hνα |νβ (t)i =
X
Vαi Vβi∗ e iEi t
i
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая механика
Рассмотрим случай двухнейтринных осцилляций. Матрица
смешивания имеет вид:
cos θ sin θ
V =
,
−sin θ cos θ
θ - угол смешивания.
Состояния |νe i и |νµ i в массовом базисе задаются в виде:
|νe i = cos θ |ν1 i + sin θ |ν2 i,
|νµ i = −sin θ |ν1 i + cos θ |ν2 i.
Вероятность перехода электронного нейтрино в мюонное:
1
Pνe →νµ (x) = |Aνe →νµ |2 = sin2 2θ sin2 (E2 − E1 )t.
2
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая механика
Для ультрарелятивистского предела
E2 − E 1 =
q
q
2
∆m21
~p22 + m22 − ~p12 + m12 =
,
2p
t ≈x.
Вероятность равна
Pνe →νµ = sin2 2 θ sin2
где L =
πx
,
L
4πp
- длина осцилляций.
∆m2
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая механика
Уравнение Шредингера на состояние ψf :
i
∂ψf
= (V ĤV † + W )ψf .
∂t
Для двухнейтринного случая
m12
 p + 2p
H=

0


0
p+
m22
2p
(
(1)

,

W =
WZ + We , 0
0
Wz .
решение уравнения:
Наумов Д. В., Потапова И. В.
ψm = e i H̃11 t ψ (1) (0)
(2)
ψm = e i H̃22 t ψ (2) (0)
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая механика
Собственные состояния нейтрино в веществе:
|ν1µ i = |νe icos θm − |νµ isin θm = |ν1 icos (θm − θ) − |ν2 isin (θm − θ),
|ν2µ i = |νe isin θm + |νµ icos θm = |ν1 isin (θm − θ) + |ν2 icos (θm − θ).
В предположении постоянной плотности Ne вероятность
перехода электронного нейтрино в мюонное:
Pνe →νµ (x) = sin2 2θm sin2
πx
,
Lm
характерная длина осцилляций в веществе:
"
Lm = L 1 +
Наумов Д. В., Потапова И. В.
L
Le
2
2L
+ cos 2θ
Le
#−1/2
.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Противоречия и недостатки
I
Скорость нейтрино
∆m2 L
|V~1 | = |V~2 | = 1 −→ ∆Φ =
,
4p
∆m2 L
|V~1 | =
6 |V~2 | −→ ∆Φ =
.
2p
I
Неопределенные энергия и импульс нейтрино
X
|να i =
Vαi |νi i,
π → µν.
i
I
Соотношение неопределенности δx ≈ ~/p
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая теория поля. Волновые пакеты
Одночастичные состояния с определенным импульсом и
проекцией спина:
q
|~k, si = 2E~k a~† |0i
ks
с нормой
h~q , r |~k, si = (2π)3 2E~k δsr δ ~k − ~q .
Определим волновой пакет как суперпозицию Фоковских
состояний в точке x:
Z
|~p , x, si =
d ~k φ(~k, ~p , σ)e i(k−p)x ~
|k, si.
(2π)3 2E~k
lim φsr (~k, ~p , σ) = (2π)3 2E~p δsr δ(~k − ~p ).
σ→0
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая теория поля. Волновые пакеты
Скалярное произведение состояний:
h~q , r , y |~p , s, xi = δsr e i(qy −px) D(~p , ~q ; x − y ),
Z
D(~p , ~q ; x − y ) =
d ~k
φ(~k, ~p )φ∗ (~k, ~q )e ik(x−y ) .
(2π)3 2E~k
Нормировка не сингулярна, в отличие от плоской волны:
h~p , s, x|~p , s, xi = 2E ~p V(~p ),
V(~p ) - трехмерный пространственный объем, занимаемый
пакетом:
Z
d ~k |φ(~k, ~p )|2
V(~p ) =
.
(2π)3 (2E~k )2
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Квантовая теория поля. Волновые пакеты
Амплитуда процесса и вероятность для двухнейтринного
случая:
hf |s − 1|ii
,
A= p
hf |f ihi|ii
dΓ
|A|2 ∝
Pαβ d σ.
d Ω L2
2
2 ∆m L
2
−f12
cos
Pαβ = sin 2θ 1 − e
.
4p
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Рассмотрим распространение электронного нейтрино в
веществе. Уравнение Дирака для волновой функции нейтрино:
1
{iγµ ∂ µ − γµ (1 − γ5 )f µ − m}Ψ(x) = 0,
2
G
f
f µ = √ (1 + 4sin2 θw )j µ , j µ = (n, nu).
2
Здесь n - плотность электронов среды, u - скорость среды.
1
{p̂ − m − fˆ(1 − γ5 )}G (p, u) = −1.
2
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
1
Z = p̂ − m − fˆ(1 − γ5 )
2
Наиболее естественным базисом для разложения является
γ-матричный базис:
S(p, u) = s1 I + s2 p̂ + s3 û + s4 σ µν pµ uν + s5 iεµνλρ σ µν uλ pρ +
+ s6 γ 5 + s7 p̂γ 5 + s8 ûγ 5 ,
где si — Лоренц-инвариантные коэффициенты.
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Построим Λ-базис
1 + x̂γ 5
,
2
1 − x̂γ 5
Q3 = Λ+
,
2
γ 5 + x̂
Q5 = Λ+
,
2
γ 5 − x̂
Q7 = Λ+
,
2
Q1 = Λ+
1 + x̂γ 5
,
2
1 − x̂γ 5
Q4 = Λ−
,
2
γ 5 + x̂
Q6 = Λ−
,
2
γ 5 − x̂
Q8 = Λ−
2
Q2 = Λ−
с использованием внемассовых проекционных (
нильпотентных (
Наумов Д. В., Потапова И. В.
1 ± x̂γ 5
)и
2
γ 5 ± x̂
) операторов соответственно.
2
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
1
p̂
Основу составляют операторы Λ± = (1 ±
), причем
2
W
p
Λ± Λ± = Λ± , Λ± Λ∓ = 0, W = p 2 .
Введенный вектор
x µ = b(p µ (up) − u µ p 2 )
обладает свойствами:
x µ pµ = 0,
x µ xµ = b2 p 2 [p 2 − (up)2 ],
где b — нормировочный множитель. Выбирая
b2 = 1/(p 2 [(up)2 − p 2 ]), положим x 2 = −1.
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
Q1
Q1
0
0
0
Q5
0
0
0
Q2
0
Q2
0
0
0
Q6
0
0
Q3
0
0
Q3
0
0
0
Q7
0
Q4
0
0
0
Q4
0
0
0
Q8
Q5
0
0
0
Q5
0
0
0
Q1
Q6
0
0
Q6
0
0
0
Q2
0
Q7
0
Q7
0
0
0
Q3
0
0
Q8 Q8
0
0
0 Q4
0
0
0
Мультипликативные свойства операторов базиса
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Уравнение для нахождения значения, обратного данному:
X
X
(
QM S̄M )(
QL ḠL ) = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = I .
M
L
Системы уравнений на коэффициенты ḠL :
S̄5 Ḡ8 + S̄1 Ḡ1 = 1,
S̄8 Ḡ1 + S̄4 Ḡ8 = 0,
S̄6 Ḡ7 + S̄2 Ḡ2 = 1,
S̄7 Ḡ2 + S̄3 Ḡ7 = 0,
S̄7 Ḡ6 + S̄3 Ḡ3 = 1,
S̄6 Ḡ3 + S̄2 Ḡ6 = 0,
S̄8 Ḡ5 + S̄4 Ḡ4 = 1,
S̄5 Ḡ4 + S̄1 Ḡ5 = 0.
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Выражения для Ḡi :
Ḡ1 = −S̄4 /∆1 , Ḡ2 = −S̄3 /∆2 , Ḡ3 = −S̄2 /∆2 , Ḡ4 = −S̄1 /∆1 ,
Ḡ5 = S̄5 /∆1 ,
Ḡ6 = S̄6 /∆2 ,
∆1 = S̄8 S̄5 − S̄4 S̄1 ,
Ḡ7 = S̄7 /∆2 ,
Ḡ8 = S̄8 /∆1 .
∆2 = S̄7 S̄6 − S̄3 S̄2 .
Тогда функция Грина в веществе имеет вид:
Gmatt =
−(p 2 − m2 )(p̂ + m) + fˆ(p̂ − m)PL (p̂ + m) − f 2 p̂PL + 2(fp)PR (p̂ + m)
,
(p 2 − m2 )2 − 2(fp)(p 2 − m2 ) + f 2 p 2
где
Наумов Д. В., Потапова И. В.
1
1
PL = (1 − γ5 ), PR = (1 + γ5 ).
2
2
Лаборатория ядерных проблем
Описание осцилляций нейтрино
Пропагатор нейтрино в веществе
Заключение
Расмотрен квантомеханический подход к описанию осцилляций
нейтрино, перечислены его недостатки. Предложена теория
волновых пакетов. Решена вспомогательная задача по
обращению пропагатора нейтрино, котораю в дальнейшем
планируется использовать в рамках теории с волновыми
пакетами.
Наумов Д. В., Потапова И. В.
Лаборатория ядерных проблем