АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец Экзаменационная (письменная) работа по математике

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Экзаменационная (письменная) работа по математике
итоговой аттестации выпускников старшей школы
Назарбаев Интеллектуальной школы
химико-биологического направления
2012-2013 учебного года
1. Структура письменной работы
В качестве измерителя уровня подготовки по математике выпускников старшей школы
используются задания экзаменационной работы. Экзаменационная работа состоит из двух
частей и содержит 18 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и числу
заданий.
Часть 1 содержит 14 заданий базового уровня, они обозначены Б1, Б2, …, Б14.
Задания Б1-Б10 – тестовые задания с выбором одного верного ответа из пяти предложенных
Задания Б11-Б14 – задания открытого типа с кратким ответом
Часть 2 содержит 4 заданий открытого типа с развернутым ответом продвинутого уровня,
они обозначены П15, П16, П17, П18.
2. Система оценивания письменной работы
Максимальный балл за всю работу – 34 баллов.
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б14 оцениваются 2 баллами.
Критерии оценивания заданий части 2
Полное и правильное решение каждого из заданий П15-П18 оценивается 4 баллами. Общие
требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть
математически грамотным, с необходимыми пояснениями и обоснованиями, полным, в
частности, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его
записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ
при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов. Полнота и обоснованность
рассуждений оцениваются независимо от выбранного метода решения.
3. Шкала перевода баллов в оценку
Оценка «5»
Оценка «4»
Оценка «3»
Оценка «2»
90 – 100%
75 – 89%
51 – 74%
0 - 50%
31 - 34 б
26 - 30 б
18 - 25 б
0 - 17 б
4. Время выполнения работы – 240 минут или 4 часа.
1
Образец экзаменационной работы
Часть 1
Б1. Бассейн наполняется двумя трубами за 4 часа. Первая труба наполняет бассейн за
5 часов, тогда вторая труба наполняет бассейн:
A) за 15 часов
B) за 25 часов
C) за 10 часов
D) за 20 часов
E) за 30 часов
Б2. На рисунке 1 показан график функции 𝒚 = 𝟒𝒍𝒏(𝒙 − 𝒂). Выберите правильный ответ:
A) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 5»
B) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно х = 6»
C) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 5»
D) «Значение а равно 6, а уравнение асимптоты равно х = 6»
E) «Значение а равно 5, а уравнение асимптоты равно у = 5»
у
0
х
6
Рис. 1
Б3. В треугольнике АВС, площадь которого равна 12, проведена медиана АМ. На медиане
взята точка К, АК:КМ = 1:2. Площади треугольников АВК и ВКМ соответственно равны:
A) 1,5 и 3
B) 2 и 6
C) 2 и 3
D) 2,5 и 4
E) 2 и 4
Б4. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из
трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобиля для каждого
перевозчика указана в таблице. Сколько тенге придется заплатить за самую дешевую
перевозку?
2
Перевозки
А
Б
В
А) 540800 тг
В) 520800 тг
С) 494000 тг
D) 485000 тг
E) 479700 тг
Стоимость перевозки одним
автомобилем
(тенге. на 100 км)
3200
4100
9500
грузоподъемность
автомобилей
(тонн)
3,5
5
12
Б5. Пусть 𝒙𝟏 и 𝒙𝟐 – корни квадратного уравнения 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟓 = 𝟎. Значение выражения
𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 равно:
A) 6 + 2√14
B) 6 + 4√14
C) 46
D) 36
E) 12 + 4√14
Б6. Угол правильного п-угольника равен 1350. Значение п равно:
A) 16
B) 14
C) 12
D) 10
E) 8
Б7. Значение выражения 𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏𝟎 ∙ 𝒍𝒈𝟐𝟕 равно:
A) 3
B) 3√3
C) 𝑙𝑔3
D) 1
E) 9
𝒙𝟑
𝟕
Б8. К графику функции 𝒚 = 𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟑 проведена касательная, параллельная прямой 𝒚 =
−𝒙. Сумма координат точки касания равна:
A) 1,8
B) 2
C) 3
D) 3,5
E) 12
Б9. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 900,
ВС = а, ∠А = 300. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 600. Высота
пирамиды равна:
A) а
B) 2а
C) а√2
D) а√3
E)
𝑎√3
2
3
Б10. Школьный оркестр состоит из учащихся средних и старших классов.
40% музыкантов мальчики, из них 30% из средних классов. 50% девочек также из
средних классов. Вероятность того, что наугад выбранный музыкант окажется учащимся
из средних классов, равна:
A) 0,41
B) 0,42
C) 0,43
D) 0,5
E) 0,53
 
Б11. Пусть a  b  2 ,
 
 
 b ; a  3b  c .



c  3,
 
a b,
 
a c ,
Ответ:
 
 
 b , c  60 . Найдите

 

a  3b  c
и

 
 
9 31
.
31 см,  b ; a  3b  c    arccos
62
Б12. Закон движения точки по прямой задается формулой st   t 2 , где t – время
(в секундах), st  – отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального
положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента t1  0 c до момента
t 2  0,2 c . Вычислите мгновенную скорость точки в момент времени t  1 c .
Ответ: vср  0,2 м / c , vмгн  2 м / c .
Б13. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин
быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник
проходил круг?
Ответ: 10 мин, 12 мин.
Б14. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y  xe x на отрезке 0; 2 .
1
Ответ: ymin  0 , y max  .
e
Критерии оценивания заданий части 1
Правильное решение каждого из заданий Б1-Б10 части 1 оценивается 1 баллом, а заданий
Б11-Б14 оцениваются 2 баллами.
Задания
Баллы
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Б6
Б7
Б8
Б9
Б10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
№ зада
Критерии оценивания
ния
Б11
Верно найдена длина вектора
Верно найден угол между векторами
Б12
Верно найдена средняя скорость
Верно найдена мгновенная скорость
Б13
Верно найдено время первого лыжника
Верно найдено время второго лыжника
Верно найдено наибольшее значение функции
Б14
Верно найдено наименьшее значение функции
Баллы
1
1
1
1
1
1
1
1
Максимальный
балл
2
2
2
2
Часть 2
 2
 1
П15. Решите уравнение: cos 2 
cos x   .
 3
 4
Решение.
1
4
2
 2
 1
 4
 1
 4

cos 2  cos x    1  cos cos x    cos cos x     cos x    2n , n  Z 
2
3
3
 3
 4
 3
 2
 3

1

cos x   2 ,



1
x    k , k  Z,
1 3n


 cos x   
 cos x  , 
3

2

2 2
cos x  1
 x  m, m  Z;

cos x  1

x    k , k  Z ,
Ответ:
3
x  m, m  Z .
П16. В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны 70 см 2 и 150
см2, а угол между ними – 600. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой
поверхности призмы.
Решение:
S б.п.  S ABB1 A1  S BCC1B1  S ACC1 A1 .
ABB1 A1 , BCC1B1 , ACC1 A1 –параллелограммы.
Проведем
DF,
EF,
DE
высоты
этих
параллелограммов соответственно.
AA1  BB1  CC1 (боковые ребра призмы равны).
S ABB A  AA1  DF  10  DF  70 (см2),
DF  7 (см).
S ACC A  AA1  DE  10  DE  150 (см2),
DE  15 (см).
S BCC B  BB1  EF ,
1 1
1 1
1 1
EF  DE  DF  2  DE  DF  cos  ABB1 A1 , ACC1 A1   2  DE  DF  cos  ABB1 A1 , ACC1 A1  
1
 7 2  15 2  2  7 15  cos 60  49  225  2  7 15   49  225  105  169  132
2
2
2
2
5
EF  13 , S BCC1B1  10 13  130 (см2)
S б.п.  S ABB1 A1  S BCC1B1  S ACC1 A1  70  130  150  350 (см2).
Ответ: 350 см2.
5 x
0.
x  4 x  12
Решение: В числителе находится выражение под корнем, для которого x  5 . Поскольку
выражение 5  x может принимать неотрицательное значение, тогда для выполнения данного
неравенства необходимо выполнения условия x 2  4 x  12  0 . Решим это неравенство:
x 2  4 x  12  0 ,
x 2  4 x  12  0 ,
D  16  48  64  8 2 ,
48
48
x1 
 6 , x2 
 2 .
2
2
П17. Решите неравенство
2
Ответ: x   2; 5 .
П18. Углы при основании трапеции равны 400 и 500. Средняя линия трапеции равна 4, а
длина отрезка, соединяющего середины основании, равна 1. Найдите большее основание
трапеции.
Решение.
Известно,
что
середины
Р
оснований трапеции, точка пересечения
диагоналей трапеции и точка пересечения
К
В
С
продолжений боковых сторон трапеции
лежат на одной прямой. В таком случае
очевидно, что треугольники АРD и ВРС
(рис. 2) прямоугольные, а РК и РМ
соответственно – медианы, проведенные к
гипотенузам в этих треугольниках.
Пусть РК = х, тогда ВС = 2х, РМ = х + 1,
А
М
D
АD = 2х + 2.
Рис. 2
С другой стороны, сумма оснований
трапеции равна 8, а АD = 8 – 2х. Решим
получившееся уравнение:
2х + 2 = 8 – 2х,
х = 1,5.
Итак, АD = 5.
Ответ: 5.
6
Критерии оценивания заданий части 2
№
задани
Критерии оценивания
я
П15 Проведены необходимые преобразования с применением
тригонометрических формул
Получены верные промежуточные значения
Верно решены простейшие тригонометрические уравнения
Приведен обоснованный отбор корней
П16 Верно выполнен чертеж/записано условие
Верно найдены промежуточные элементы
Верно использованы промежуточные элементы и сделан вывод
Верно найден и записан ответ
П17 Верно решено линейное неравенство
Верно решено квадратное неравенство
Верно сведены решения неравенств в одну координатную
прямую
Правильно найден и записан ответ
П18 Верно записано условие задачи и выполнен чертеж по условию
Верно найдены промежуточные элементы (дополнительные
элементы, необходимые для получения искомого элемента)
Грамотно и последовательно обоснованы этапы решения
Обоснованно получен верный ответ
№ задания
Б1
Б2
Б3
Б4
Баллы
Максимал
ьный балл
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
1
1
1
1
1
4
Ответы письменной работы по математике
Часть 1
Ответ
№ задания
Ответ
D
Б8
B
A
Б9
D
E
Б10
B
Е
Б11
31 см,
 
 
9 31
 b ; a  3b  c    arccos
62


Б5
C
Б12
vср  0,2 м / c , vмгн  2 м / c
Б6
Б7
E
A
Б13
Б14
10 мин, 12 мин
1
ymin  0 , y max 
e
Часть 2
№ задания
П15
Ответ

x    k , k  Z ,
3
x  m, m  Z ;
350 см2
x   2; 5
5
П16
П17
П18
7