Лабник_ТАУ

УДК
681.398
M54S
УДК: 681.51/54(076.5)(072)
Методическое пособие для учебно-лабораторного практикума по
курсу "Теория управления"/Державин О.M., Коломейцева М.Б.,
Митрофанов В.Е.- М.:
Изд-во МЭИ , 1995. – 75с.
Состоит из описания восьми лабораторных занятий по курсу "Теория
управления". Тематика занятий охватывает основные разделы теории
непрерывных
и
импульсных
САУ
и
нелинейных
систем
при
детерминированных и случайных воздействиях. Пособие предназначено для студентов вузов различных специальностей, для которых
программой подготовки предусмотрено изучение теории автоматического управления.
Московский энергетический институт, 1995 г.
УДК
621.398
М 545
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧЕБНО-ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА
ПО КУРСУ
«ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ»
Москва
1995
Предисловие.
Развитие
современных
информационных
технологий
позволяет
дополнить традиционные методы преподавания и изучения дисциплин
при
подготовке
специалистов
применением
проблемноориентированных
инструментальных
средств
в
виде
пакетов
прикладных программ на базе персональных компьютеров (ПК). Тем
самым расширяются возможности и эффективность обучения в рамках
аудиторных
занятий
и
самостоятельной
работы
студентов.
Предлагаемый учебно-лабораторный практикум включает в себя
инструментальную базу и методические средства для исследования
систем автоматического управления с применением классических
методов
теории
управления.
Инструментальные
средства
разрабатывались с учетом возможности их использования на ПК
класса IBM/PC стандартной конфигурации, широко распространенных
до настоящего времени среди пользователей, в том числе в сфере
образования.
Учебно-лабораторный практикум концентрирует внимание обучаемого
на основных этапах и особенностях применения методов анализа и
синтеза систем, в отличие от известных проблемно-ориентированных
пакетов, позволявших в большинстве случаев моделировать системы
управления только во временной области. Разнообразие исследуемых
в рамках практикума методов в определенной мере накладывает
ограничения на структуру рассматриваемых систем. Эти ограничения
связаны главным образом с реализацией удобного интерфейса при
исследовании того или иного метода, что обеспечивает быстрое и
наглядное задание структуры и параметров исследуемой САУ. В то
же время следует отметить, что в рамках принятых ограничений
допускается
исследование
неограниченного
числа
вариантов.
Поэтому
учебно-исследовательский
практикум
может
быть
использован не только при проведении лабораторных работ, но и в
процессе практических занятий на семинарах, а также для
самостоятельной
подготовки
при
изучении
методов
теории
управления.
Учебно-лабораторный практикум по курсу "Теория автоматического
управления"
охватывает
основные
разделы
теории
линейных
(непрерывные и дискретные системы) и нелинейных САУ. В сборник
включены описания восьми занятий. Каждое занятие посвящено
изучению определенного раздела теории управления. Описания
содержат задание на проведение исследований, вопросы для
подготовки к занятию, методические указания по проведению
исследований и исходные данные по вариантам. Предложенные
варианты
могут
рассматриваться
как
примерные,
и
при
необходимости задание может быть дополнено другими вариантами.
Описания занятий содержат также контрольные вопросы для проверки
знаний по выполненному разделу теории управления.
Пользовательский
интерфейс,
на
базе
которого
реализован
практикум, соответствует стандарту, выработанному фирмой IBM SAA-CUA (System Application Architecture - Common User Access).
Основные
составляющие
стандарта
поддержка
многооконного
режима, иерархическое управляющее меню, наличие строки статуса.
Для пользователя это обеспечивает возможность наглядно управлять
процессом исследования либо с помощью манипулятора типа "мышь",
либо, используя функциональные клавиши, за которыми закреплены
определенные действия. В процессе работы всегда доступна
контекстная помощь или краткая справочная информация. На каждом
шаге исследования можно вернуться к заданию и "вспомнить"
исходные
данные
для
его
выполнения.
Предусмотрена
также
возможность сохранения графической информации, представленной на
экране дисплея, в файле, имеющем формат "PCX". В дальнейшем
сохраненная информация может быть распечатана и представлена в
форме отчета по работе.
Следует отметить, что предлагаемая версия учебно-исследовательского практикума является развитием автоматизированного
лабораторного
практикума,
выполнявшегося
ранее
на
базе
вычислительного комплекса ИВК-2 (СМ 1420) и в течение ряда лет
успешно применявшегося в учебном процессе на кафедре Управления
и Информатики (Автоматики) МЭИ. В создании методических и
программных
средств
для
практикума
участвовала
группа
сотрудников и студентов СКВ МЭИ под руководством профессора
Державина
О.М.,
профессора
Коломейцевой
М.В.
и
доцента
Митрофанова В.Е. В настоящее время проводится работа по
дальнейшему
совершенствованию
и
развитию
методической
и
инструментальной базы практикума.
ЗАНЯТИЕ 1.
Типовые звенья систем автоматического регулирования и их
соединения.
Цель работы - исследование частотных и временных характеристик
типовых динамических звеньев-САР и их последовательных соединений.
Программа исследований
1.
Исследование характеристик звеньев первого порядка.
Исследования
проводятся
для
заданных
типовых
звеньев
в
соответствии с номером варианта задания (табл. 1.1).
1.1.
Введите в
ПК
коэффициенты передаточной функции
исследуемого звена.
1.2.
Снимите и постройте по точкам графики частотных
характеристик (АЧХ, ФЧХ)
и амплитудно-фазовой характеристики
(АФХ).
1.3.
Постройте
асимптотическую
логарифмическую
амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) исследуемого звена.
1.4.
По частотным характеристикам оцените параметры эвена
и сравните с данными в задании.
1.5.
Введите в
ПК
математическое описание
звена
в
форме дифференциального
уравнения
и
проанализируйте
вид
переходной функции h(t) и весовой функции w(t).
2.
Исследование характеристик колебательного звена.
Содержание и последовательность этапов исследования совпадают с
приведенными в п.1.
3.
Исследование
влияния
коэффициентов передаточной
функции колебательного звена на параметры его переходной
функции.
3.1. Изменяя коэффициент затухания ζ, в диапазоне (0,2-0,9)
при фиксированном значении постоянной времени Т, заданной в
табл.1.1,
постройте
график
зависимости
времени
затухания
переходного процесса tp и величины перерегулирования переходной
характеристики σ
от параметра
ζ.
3.2. Изменяя величину постоянной времени Т в пределах 0,52,0 от величины,
заданной
в
табл. 1.1,
постройте
зависимости tp(T) и σ(Т). Значение ζ при этом принимается
постоянным согласно варианту задания.
3.3.
Постройте
зависимость
степени
колебательности
M
от параметров колебательного звена
ζ и Т.
4. Исследование частотных характеристик разомкнутой САР,
состоящей из последовательно включенных типовых звеньев.
4.1.
Для структуры последовательного соединения звеньев
(разомкнутая САР), заданных вариантом
задания (табл. 1.2),
снять и построить частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ), АФХ, а
также ЛАЧХ и определить предельный коэффициент
усиления
кгр,
при котором замкнутая САР будет находиться на границе
устойчивости.
4.2.
По полученным частотным
характеристикам определить
параметры
передаточной
функции
разомкнутой
системы
(коэффициент усиления, постоянные времени звеньев и др.) и
сравнить с значениями, заданными при проведении исследований.
Задание на подготовку к работе
1.
Для всех звеньев
первого порядка, исследуемых
в
работе, запишите передаточные
функции и аналитические
выражения для построения характеристик: АЧХ, ФЧХ, АФХ, ЛАЧХ,
h(t), w(t). Постройте качественно графики этих характеристик.
2.
Для колебательного звена
запишите
передаточную
функцию W(p) и аналитические выражения для частотных и временных
характеристик (см. п.1). Постройте качественно графики этих
характеристик.
3.
Представьте в виде графиков
предполагаемые
зависимости σ(ζ), tp(ζ), tp(T), σ(Т).
4.
Для структуры последовательного соединения
звеньев,
заданных вариантам
задания, постройте
качественные графики
АФХ и ЛАЧХ.
Методические указания по выполнению работы.
Частотные характеристики исследуемых в работе типовых звеньев и
их
соединений
снимаются
путем
проведения
вычислительного
эксперимента. На каждом шаге исследования на вход звена подается
гармонический сигнал, значения амплитуды и частоты которого
могут быть установлены до начала эксперимента. Осциллограммы
гармонических сигналов на входе и выходе звена отображаются в
графическом окне на дисплее. Здесь же в цифровой форме выводятся
значения модуля коэффициента передачи и фазового сдвига.
Полученные величины помечаются точками на графиках АЧХ, ФЧХ и
АФХ. Эти графические характеристики отображаются одновременно в
соответствующих графических окнах.
Добавление новой точки в графики производится при повторении
эксперимента для другого значения частоты сигнала на входе
звена. Диапазон изменения частоты входного сигнала выбирается с
учетом параметров передаточной функции исследуемого звена так,
чтобы построенные характеристики в полной мере отображали его
частотные
свойства.
Полученные
в
результате
исследования
частотные характеристики переносятся в файл для протокола по
работе
На следующем этапе выполнения задания производится построение
ЛАЧХ исследуемого звена. Первоначально устанавливается нижняя
граница частотного диапазона, в пределах которого предполагается
проводить построение графика. Для построения ЛАЧХ используются
встроенные инструментальные средства, позволяющие формировать
график ЛАЧХ в виде последовательно вводимых линейных отрезков,
отображаемых в графическом окне. Исходной информацией для построения является вид и значения параметров передаточной функции
звена. Ввод начинается с задания точки на нижней граничной частоте. Далее в соответствии со значениями сопрягающих частот
последовательно фиксируются точки перегиба ЛАЧХ. После ввода
очередной
по
возрастанию
частоты
точки
перегиба
она
автоматически соединяется отрезком с предыдущей точкой, задавая
участок ЛАЧХ с необходимым наклоном. Построения проводятся с
помощью мыши (левая клавиша - фиксация точки ЛАЧХ,
правая удаление последней
введенной точки). Если мышь отсутствует, то
построения осуществляются с клавиатуры (перемещение указателя в
пределах окна - по стрелкам, ввод точки - Ctrl+Enter, удаление
точки
Ctrl+Backspace).
Построенную
ЛАЧХ
также
следует
сохранить в файле для оформления протокола.
Для анализа характеристик звена во временной области необходимо
ввести
в
ПК
коэффициенты
дифференциального
уравнения,
описывающего связь между переменной на выходе и входной переменной. Далее выбирается вид входного воздействия ("скачок", линейный или гармонический сигнал). При исследовании переходной
характеристики
на
вход
звена
подается
единичный
скачок.
Одновременно с переходной характеристикой h(t) отображается
график весовой функции w(t). При необходимости графическая
информация копируется в файл протокола.
Последовательность анализа характеристик колебательного звена та
же, что и при анализе звеньев первого порядка. Дополнительно
требуется проанализировать влияние коэффициента затухания звена
на показатели переходной характеристики. Требуемые графические
зависимости σ(ζ) и tp(ζ) строятся на основании анализа вида
переходного
процесса
при
изменении
значения
коэффициента
затухания в заданном диапазоне. Степень колебательности звена
определяется как отношение максимального значения коэффициента
передачи звена к коэффициенту передачи на нулевой частоте
M=Amax(ω)/A(0).
Зависимость
M(ζ)
можно
построить
либо
на
основании анализа АЧХ звена, либо по виду годографа комплексного
коэффициента передачи (АФХ).
В п.4 задания исследуются свойства разомкнутой САР, состоящей из
трех последовательно включенных звеньев. На рис.1.1 показана
общая структурная схема системы
x(t)
A1  B 1 p
C1  D1 p
A2
C2  D2 p
A
B3  C3 p  D3 p 2
y(t)
Рис.1.1
Параметры звеньев исследуемой САР для каждого из вариантов
задания приведены в табл. 1.2. В процессе исследований значения
коэффициентов передаточной функции каждого звена вводятся в
соответствии
с
вариантом.
Далее
снимаются
частотные
характеристики разомкнутой САР, включая АЧХ, ФЧХ и АФХ. На
основании
построенных
характеристик
требуется
определить
предельный коэффициент усиления разомкнутой CAP, при котором
замкнутая САР (на рис. 1.1 отрицательная обратная связь
обозначена пунктиром) будет находиться на границе устойчивости.
Предельный коэффициент усиления разомкнутой САР определяется на
основании критерия Найквиста, в соответствии с которым применительно к рассматриваемому случаю, замкнутая система является
устойчивой, если годограф разомкнутой системы не охватывает
точку с координатами (-1,j0). Соответственно, замкнутая система
будет
находиться
на
границе
устойчивости,
если
годограф
разомкнутой системы проходит через точку с такими координатами.
Таким
образом,
значение
предельного
коэффициента
усиления
системы можно рассчитать либо по виду годографа разомкнутой САР,
либо по частотным характеристикам (АЧХ и ФЧХ).
Для полученного значения коэффициента усиления проводится анализ
вида переходного процесса при воздействии на вход системы
ступенчатого сигнала.
Исходные данные для проведения исследований
Таблица 1.1
Параметры звеньев для исследований по разделам 1-3 задания
Номер
Типы
Значения параметров
варианта исслед.
Коэф.
Постоянная Постоянная Степень
звеньев
передачи
времени
времени
затухания
знаменателя числителя
2.5
1
А
2.0
1.5
И
4.0
ИФ
0.1
0.8
2.0
К
0.8
0.35
2
А
1.8
0.5
ИД
0.5
1.2
ИФ
2.5
0.8
0.2
К
2.5
1.25
0.4
3
И
1.5
ИД
1.5
0.5
ИФ
2.0
0.4
2.0
К
3.0
0.5
0.3
4
А
0.5
0.5
И
0.4
ИД
1.5
0.4
0.8
К
5.0
0.4
0.45
5
А
1.25
0.4
ИД
2.0
0.8
ИФ
1.2
1.25
0.4
К
4.0
1.25
0.3
6
И
1.5
ИД
0.5
0.4
ИФ
2.5
1.5
0.3
К
2.0
0.4
0.45
7
А
2.5
0.5
И
2.5
ИФ
1.5
0.4
2.2
К
2.5
0.8
0.35
8
А
2.0
0.3
ИД
1.2
0.8
ИФ
1.8
0.6
0.15
К
5.0
1.5
0.3
9
А
4.0
2.0
И
1.5
ИД
4.0
0.25
К
2.0
0.4
0.4
10
А
0.5
2.5
И
0.5
ИФ
4.0
2.5
0.5
-
К
5.0
0.5
-
0.35
В табл. 1.1 приняты следующие обозначения :
А - апериодическое (инерционное) звено,
И - интегрирующее звено,
ИД - инерционно-дифференцирующее звено,
ИФ - инерционно-форсирующее (упругое) звено,
К - колебательное звено.
Таблица 1.2
Параметры звеньев разомкнутой САР
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W1(p)
W3(p)
W2(P)
1  2.0 p
1  0.2 p
4 .5
1  5.0 p
1  0.5 p
1  2.0 p
12.0
1  0.2 p
4(1  0.5 p)
1  2.0 p
2 .0
1  0.2 p
1  4.0 p
1  0.5 p
2.0
1  0.1 p
1  1 .0 p
1  0.15 p
1.2
1  0.2 p
10.0
1  0.08 p
10.0
1  0.4 p
10.0
p
5.0
1  0.1 p
10.0
p
10.0
1  0.08 p
1.0
p
10.0
1  0.05 p
10.0
1  0.08 p
6 .0
p
1 .0
1  0 .8 p  p 2
4 .0
1  0.05 p
2 .5
1  0.08 p
4 .0
1  1 .2 p  p 2
1 .0
1  0.36 p  0.4 p 2
1 .0
1  0 .8 p  p 2
4.0
1  0.12 p  0.01 p 2
4.0
1  1.2 p
1 .0
1  1 .2 p  2.0 p 2
4.0
1  1.5 p
Контрольные вопросы для подготовки работы к защите.
1. Каким образом по частотным
и
временным
характеристикам определить параметры звена или разомкнутой САР?
2. По дифференциальному уравнению звена
определить его
передаточную функцию и написать аналитические выражения для
частотных характеристик.
3. Объяснить построение АФХ по частотным характеристикам АЧХ
и ФЧХ.
4. Объяснить построение асимптотической ЛАЧХ по АЧХ.
5. Написать
дифференциальные
уравнения
для
исследуемых звеньев.
6. Объяснить форму зависимостей σ(ζ), tp(ζ), tp(T), σ(Т).
ЗАНЯТИЕ 2
Исследование типовых законов регулирования
Подавляющее большинство систем промышленной автоматики содержит
регуляторы, реализующие типовые законы регулирования. Данная
работа посвящена исследованию влияния параметров типовых законов
на качество процесса регулирования САУ заданной структуры.
Программа исследований
1. Для объекта регулирования, параметры которого задаются
вариантом задания (табл. 2.1), провести исследование влияния
типовых законов регулирования на следующие показатели качества
работы САУ: время регулирования tp, перерегулирование σ, установившуюся ошибку Δуст.
1.1.
Исследовать и построить зависимости tp(k1),σ(k1) от
коэффициента k1 пропорционального регулятора. Определить значение
k1*, обеспечивающее требуемое качество
САУ
(см. далее
"исходные данные для выполнения задания").
Зафиксировать
построенные зависимости, а также переходную характеристику h(t)
и годограф разомкнутой САУ в протокол работы.
1.2.
Для ПИ-закона регулирования определить на основе
анализа зависимостей tp(k2)|k1=const и σ(k2)|k1=const значения
k1* и
k2**, обеспечивающие требуемое качество САУ. Зафиксировать в протокол результаты в виде графиков h(t), tp(k2)|k1=k1**, σ(k2)|k1=k1**
и
годографа разомкнутой САУ с ПИ-регулятором.
1.3.
Проанализировать зависимость показателей
качества
САУ
(tp(Tд),
σ(Tд)|k1=const)
для
ПД-закона
регулирования
и
определить значения k1*** и Tд***, обеспечивающие
заданное
качество системы. Зафиксировать в протокол результаты настройки
ПД-регулятора.
1.4.
Для заданных преподавателем коэффициентов настройки
ПИД-регулятора
k10,
k20
и
Tд0
зафиксировать
в
протокол
переходный процесс и оценить параметры качества регулирования.
1.5.
Ввести в структуру объекта
запаздывание
τ0
(согласно
варианту
задания).
Найти
оптимальные
значения
параметров для всех типовых регуляторов по алгоритму п. 1.1-1.4.
1.6.
Для
оптимальных настроек регулятора определить
установившуюся ошибку
от
возмущения
f(t)
в виде
единичного скачка, действующего на входе
объекта. Определить
те
параметры регулятора, которые влияют на величину ошибки и
найти их
значения, при которых ошибка по возмущению имеет
минимальное значение.
2.
Исследовать
качество
работы
заданной
САР
с
трехпозиционным регулятором.
2.1. Построить зависимость показателей качества
регулирования tp, σ, Δуст от величины зоны нечувствительности.
2.2.
Построить зависимость показателей качества
регулирования tp, σ, Δуст от уровня сигнала регулятора.
Задание на подготовку к работе
1. Записать передаточные функции типовых законов регулирования и определить вид преобразования сигнала,
реализуемого
каждым типом регулятора.
2.
Вывести формулы для расчета
статической
и
кинетической ошибки САР для случаев П-, ПИ-, ПД- и ПИДрегуляторов
и
для
объектов
с
самовыравниванием
и
без
самовыравнивания
(см.
методические
указания
по
выполнению
работы).
3.
Качественно оценить влияние
параметров
типовых
законов
регулирования
на
показатели
качества
переходного
процесса:
время регулирования tp,
перерегулирование σ,
установившуюся ошибку Δуст. Построить предполагаемые зависимости.
4.
Качественно оценить влияние параметров нелинейного
трехпозиционного регулятора
на
показатели качества
переходного процесса. Построить предполагаемые зависимости.
Методические указания по выполнению работы.
При выполнении первого пункта задания требуется путем выбора
коэффициентов настройки регулятора обеспечить требования по точности САР, а также требования относительно показателей качества
системы в переходном режиме (величины перерегулирования и
времени регулирования). В зависимости от типа объекта и вида
воздействующих
на
входы
системы
сигналов
могут
быть
сформулированы требования по обеспечению на выходе системы
заданного значения статической или кинетической ошибки как по
управляющему, так и по возмущающему воздействию.
Общая структурная схема исследуемой САР с типовым регулятором
представлена на рис 2.1.
k
x(t)
δ(t)
1
k2/p
Регулятор
f(t)
k 0 e  p 0
y(t)
( A  pB)(1  pT1 )(1  pT 2)
pTд
Рис.2.1
В общем случае регулирующее воздействие включает пропорциональную (k1≠0), интегральную (k2≠0) и дифференциальную (Tд≠0) составляющие, формируемые по сигналу отклонения σ(t). Объект также
представлен в общем виде звеном с передаточной функцией,
содержащей в знаменателе полином третьего порядка относительно
комплексного
аргумента,
а
в
числителе
описание
звена
транспортного запаздывания. Основываясь на общем представлении,
можно исследовать два типа объектов: объекты с самовыравниванием
(A≠0, B=T3) и объекты без самовыравнивания (А=0, k0/В добротность объекта).
Качество процессов
отработки
задающего x(t) и возмущающего
f(t) воздействий в установившемся режиме характеризуется ошибкой
САР. В работе исследуется два типа ошибок САР - статическая и
кинетическая,
возникающие
при
подаче
ступенчатого
и,
соответственно, линейно изменяющегося сигнала на входы системы.
Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействию
определяется при подаче сигналов x(t)=x010(t) и f(t)=F010(t) на
основе следующих соотношений:
F
ΔСТ X = lim [PW δx(p) 0 ] = W δx(p) x0
(2.1)
p
p 0
F
ΔСТ F = lim [PW δf(p) 0 ] = W δf(p) F0
(2.1)
p
p 0
Передаточные функции относительно входов x(t) и f(t) для САР,
представленной на рис.2.1, имеют вид:
p( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )
p( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )  k 0 e  p ( pk1  k 2  p 2Td )
(2.3)
pk 0 e  p 0
Wδf(p) =
p( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )  k 0 e  p ( pk1  k 2  p 2Td )
(2.4)
Wδx(p) =
Из выражений (2.3) и (2.4) следует, что при наличии в законе
регулирования интегральной составляющей (к2≠О) и при рассмотрении
объекта с самовыравниванием (А≠О) W δx(p) = W δf(p) =0 и статическая
ошибка САР Δст x = Δстf = 0.
Этот вывод также справедлив для САР, содержащей объект без
самовыравнивания
(А=0)
и регулятор с интегрирующим звеном.
При отсутствии в законе регулирования интегральной составляющей
передаточные функции по задающему и возмущающему воздействию
имеют вид
( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )
( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )  k 0 e  p (k1  p 2Td )
(2.5)
k 0 e  p 0
Wδf(p) =
( A  pB)(1  pT1 )(1  pT2 )  k 0 e  p (k1  p 2Td )
(2.6)
Wδx(p) =
В этом случае для объекта с самовыравниванием:
Δст x = 1/(1+k0k1/A), Δст f = (k0/A)/(1+k0k1/A),
для объекта без самовыравнивания:
Δст x = 0, Δст f = 1/k1.
Точность
САР в установившемся режиме при отработке сигнала
постоянной скорости (x(t)=X1t10(t), f(t)=F1t10(t)) определяется
кинетической ошибкой
ΔкинX = lim [X1 W δx(p)/p]
(2.7)
p 0
ΔкинF =
lim [F1 Wδf(p)/p]
(2.8)
p 0
Как и при анализе статической ошибки САР на основе определений
(2.7) и (2.8) и, принимая во внимание вид передаточных функций
по каждому из входов САР (формулы (2.3)-(2.6)), нетрудно по-
лучить выражения для расчета кинетической ошибки системы, что
предлагается в качестве вопроса для самостоятельной проработки
при подготовке к занятию.
Полученные выражения для ошибок САР используются в процессе
исследований для оценки ограничений на диапазон изменения
коэффициентов k1 и k2 при настройке регулятора.
В переходном режиме основными критериями для определения
настроек регулятора являются величина перерегулирования переходной характеристики σ и время регулирования tp.
Выбор
коэффициентов
настройки
регулятора
для
типовых
законов
регулирования рекомендуется проводить на основании построения
номограмм, характеризующих зависимости показателей качества при
варьировании одного из коэффициентов настройки и фиксированных
значениях других коэффициентов. Для исходной постановки задачи,
когда требуется обеспечить заданные ограничения на величину
перерегулирования и, одновременно, минимизировать длительность
переходного процесса, номограммы зависимости σ(k1) позволяют
оценить допустимый интервал изменения варьируемого параметра, на
котором затем определяется точка, обеспечивающая минимальное
значение параметра tp.
Исходные данные для выполнения задания
Вид передаточной функции объекта регулирования
k 0 e  p 0
W0(p) =
p(1  pT1 )(1  pT2 )
Таблица 2.1
Параметры передаточной функции
номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
K0
[1/с]
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
4
4.5
T1
[1/c]
0.1
0.2
0.1
0.25
0.12
0.18
0.22
0.07
0.3
0.25
T2
[1/c]
0.05
0.12
0.18
0.15
0.07
0.12
0.15
0.11
0.18
0.17
Значение параметра τ0 при выполнении п.1.5 задания следует
принять τ0 = 0.5Tmin , где Tmin - наименьшее из T1 и T2 значение
постоянной времени.
Требования к показателям качества САР:
-
кинетическая ошибка по задающему воздействие
величина перерегулирования
б < 15Х;
ΔкинX < 10%;
-
время регулирования - минимальное.
Вопросы для подготовки работы
к
защите.
1.
Объяснить форму графиков,
отражающих зависимость
показателей
качества
процесса
регулирования
от
параметров
настройки
типовых
законов
регулирования
и
параметров
трехпозиционного регулятора.
2.
Для
типовых
законов
регулирования
написать
передаточные функции регулятора и построить амплитудно-фазовые
характеристики.
3.
Каким образом изменяется форма
годографа
АФХ
исходной разомкнутой системы
при введении в САУ типовых
законов регулирования?
ЗАНЯТИЕ 3
Синтез линейной системы автоматического регулирования
методом ЛАЧХ.
Цель работы - практическое освоение методики синтеза линейных
систем регулирования, удовлетворяющих требуемым показателям качества, путем включения корректирующего звена в контур регулирования последовательно или по схеме стабилизирующей отрицательной
обратной связи.
Программа исследований
Часть 1. Синтез последовательного корректирующего устройства.
1.1. Путем
ввода в ПК заданных
вариантом
коэффициентов
установите
структуру и значения
параметров
звеньев
исследуемой САР (табл. 3.1).
1.2.
Наблюдайте и проанализируйте с позиции оценки
устойчивости
и качества системы вид переходного
процесса
в
замкнутой САР, а также
ЛАЧХ и
фазочастотную
характеристику
разомкнутой системы.
1.3.
Проведите построение желаемой ЛАЧХ скорректированной
системы
при
условии,
что
коррекция
осуществляется
последовательным
включением
в
контур
регулирования
одного
упругого звена.
Коррекция
САР должна обеспечить
требуемые
значения
показателей качества системы в пределах:
величина ошибки в установившемся режиме
(статической
или
кинетической в зависимости от наличия интегрирующего
звена в контуре регулирования ) – Δуст ≤ 5.0%;
величина перерегулирования
переходной характеристики
б ≤ 10.0 % ;
время регулирования - минимальное для выбранного
варианта коррекции (типа корректирующего звена).
1.4.
Постройте ЛАЧХ последовательного корректирующего
устройства, определите и введите в
ПК соответствующие
параметры звена коррекции.
1.5.
Проанализируйте переходный процесс в
замкнутой
скорректированной системе
и, в случае
не выполнения
заданных
требований к качеству
САР по точности и величине
перерегулирования, повторите процедуру синтеза
корректирующего
звена,
начиная с процедуры построения желаемой ЛАЧХ
разомкнутой системы (п. 1.3).
1.6.
При достижении заданных в количественной
форме
требований к качеству САР проанализируйте вид фазочастотной
характеристики разомкнутой
скорректированной
системы.
Изменяя
величину коэффициента
усиления
звена
коррекции,
исследуйте и постройте зависимости
времени регулирования,
величины перерегулирования и ошибки
от коэффициента усиления
(или
добротности)
разомкнутой
системы.
На
основании
проведенных
исследований
определите
параметры
корректирующего
устройства, обеспечивающие
минимальное время
регулирования в системе
при выполнении
ранее установленных
ограничений (п. 1.3) на показатели качества.
1.7.
Повторите процедуру синтеза
корректирующего
устройства
(п.п.
1.3+1.5)
для
случая
коррекции
САР
последовательным включением в контур регулирования двух упругих
звеньев
при
условии, что показатели
качества
САР должны
быть обеспечены в пределах: Δуст ≤ 1.0%, б ≤ 10.0 %.
Минимизация времени регулирования в скорректированной САР при
этом исследуется, как и в п. 1.6 только за счет изменения
коэффициента усиления корректирующего звена.
Часть 2. Синтез корректирующего устройства в форме
стабилизирующей
отрицательной обратной связи.
2.1.
Путем
ввода в ПК заданных
вариантом
коэффициентов установите
структуру
и значения
параметров
звеньев
исследуемой САР (табл. 3.1).
2.2.
Проанализируйте с позиции оценки устойчивости и
качества переходный процесс в замкнутой
системе,
а также
ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.
2.3.
Постройте желаемую
ЛАЧХ системы из
условия, что
одно из звеньев САР (в зависимости от варианта задания )
охватывается жесткой обратной связью. Требования к показателям
качества системы указаны в п. 1.3.
2.4.
Определите по отображаемой
ЛАЧХ
корректирующего
звена значения параметров звена жесткой обратной связи
и
введите их в ПК.
2.5.
Проанализируйте характер
переходного
процесса, а
также фазочастотную характеристику
скорректированной системы.
2.6.
Изменяя
значение
коэффициента
передачи
корректирующего
звена,
зафиксируйте
изменение
параметров
качества
САР
в
форме графиков зависимостей ошибки,
величины
перерегулирования и времени регулирования от
коэффициента усиления или добротности системы.
Определите по
найденным зависимостям
значение
коэффициента передачи,
обеспечивающее
минимальное
время регулирования при заданных
ограничениях на величину ошибки и перерегулирования.
2.7.
Повторите процедуру синтеза
корректирующего эвена и
исследование системы (п.п.2.3 + 2.6)
в случае,
когда
коррекция осуществляется путем введения
звена гибкой обратной
связи
с
передаточной
функцией,
соответствующей
реальному
дифференцирующему звену.
Величину
ошибки
на
выходе
системы следует
принять в пределах Δуст ≤ 1.0%.
Задание на подготовку к работе.
1. Повторите раздел курса ТАУ "Синтез линейных САР", обратив
особое внимание на уяснение следующих вопросов: понятие качества
САР, показатели качества системы, коррекция САР путем введения
корректирующих обратных связей (жесткой или гибкой), синтез параллельного и последовательного корректирующих устройств методом
построения желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы.
2. Для системы заданной структуры (по вариантам) постройте
следующие характеристики:
- ЛАЧХ исходной разомкнутой системы,
- вид желаемой ЛАЧХ системы,
скорректированной последовательным включением в контур регулирования одного и двух
упругих звеньев,
вид желаемой ЛАЧХ для случая коррекции введением жесткой и гибкой обратных связей, как это указано в варианте
задания.
Методические указания по выполнению работы.
Исследуемая система регулирования содержит три динамических
звена первого порядка. В зависимости от варианта задания (табл.
3.1) система является либо статической (три инерционных звена),
либо астатической (интегрирующее и два инерционных звена).
Структура системы и значения параметров динамических звеньев
вводятся
на
первом
этапе
исследования
в
соответствии
с
вариантом. Исходная система является неустойчивой, в чем следует
убедиться, наблюдая переходный процесс на выходе замкнутой САР.
Характерной
особенностью
неустойчивой
системы
является
отрицательный
запас
по
фазе
(
значение
фазового
угла
комплексного коэффициента передачи на частоте среза φ(ωср) ≤ π).
ФЧХ системы можно проанализировать в процессе исследования.
В соответствии с заданием требуется исследовать различные варианты коррекции исходной САР. При этом ставится задача достижения устойчивости системы и обеспечение заданного качества САР по
основным показателям: ошибка системы в установившемся режиме
(статическая или кинетическая), величина перерегулирования и
время достижения установившегося состояния.
В первой части работы (п.п. 1.1+1.7) проводится коррекция исходной САР способом последовательного включения в контур регулирования одного или двух упругих звеньев. В конечном итоге задача
состоит в выборе параметров соответствующих корректирующих звеньев, обеспечивающих достижение заданного качества переходного
процесса в замкнутой системе. Для решения задачи синтеза корректирующего звена в работе используется графоаналитический метод,
основанный
на
построении
логарифмических
частотных
характеристик.
Для случая последовательной коррекции, исследуемой в первой
части работы, соотношения для логарифмических частотных характеристик (LСК(ω) И φск(ω)) скорректированной системы ( рис.3.1)
имеют вид:
Lск(ω) = Lнс(ω) + Lк(ω)
φск(ω) = φнс(ω) + φк(ω)
(3.1)
где
LHC(ω), φнс(ω) - ЛАЧХ и ФЧХ исходной системы,
Lк(ω), φк(ω) - ЛАЧХ и ФЧХ звена коррекции.
WНС(p)
WK(p)
Рис. 3.1.
Из (3.1) следует основное соотношение для нахождения
LК(ω) = LСК(ω) + LНС(ω)
(3.2)
Важным этапом синтеза корректирующего звена является выбор вида
и построение желаемой ЛАХЧ скорректированной системы. Построение
LCК(ω)осуществляется с учетом следующих рекомендаций:
WНС(p)
- наклоны участков
ЛАЧХ
в области низких и высоких частот
WK(p)
для скорректированной системы следует
задавать равными
наклону соответствующих участков ЛАЧХ исходной системы
(исключением является случай, когда корректирующей жесткой
обратной связью охватывается интегрирующее звено и система
становится статической);
для построения низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ
следует принимать во внимание соотношения, связывающие
заданную величину ошибки на выходе системы в установившемся
режиме
с коэффициентом
усиления
(kР) или добротностью
(D) разомкнутой САР ( Δст = 1/(1+kp)или Δкин = 1/D);
на частоте среза ω = ωср (LCK(ωср)=O)
наклон желаемой
характеристики рекомендуется задавать равным -20 дВ/дек;
величина частоты среза
выбирается с учетом
соотношения
tp < 4π/ ωср.
- сопрягающие частоты ω1 и ω2, лежащие ниже н выше частоты
среза, должны отстоять от ωср на
0.1+0.9
декады, что
позволит обеспечить
достаточный
запас по фазе и
требуемое качество переходного процесса.
Исходя из перечисленных рекомендаций производится построение
желаемой ЛАЧХ скорректированной системы. Применяемые для построения ЛАЧХ инструментальные средства позволяют путем последовательного задания точек перегиба характеристики формировать на экране дисплея кусочно-линейную ЛАЧХ и при необходимости редактировать форму ломаной.
По завершению ввода ЛАЧХ скорректированной системы путем выбора
соответствующего пункта меню производится вычисление и отображение на дисплее ЛАЧХ звена коррекции. Если полученная характеристика LК(ω) не соответствует типу корректирующего звена, исследуемому на данном этапе работы, то следует вернуться к построению желаемой ЛАЧХ и провести необходимую коррекцию LCК(ω)
Далее по виду LК(ω) могут быть определены параметры звена: для
одного упругого звена - коэффициент усиления и две
постоянных
времени, а в случае использования для коррекции двух упругих
звеньев - коэффициент усиления и четыре постоянных времени.
Контроль за правильностью ввода параметров звена коррекции
осуществляется путем отображения характеристики, соответствующей
введенным значениям и сравнения ее с LК(ω), полученной на основе
построений желаемой ЛАЧХ.
Одновременно с отображением кривой переходного процесса на выходе скорректированной системы выводятся значения показателей
качества САР. Очевидно, что существует бесконечное число
вариантов
коррекции
исходной
системы
при
заданном
типе
корректирующего звена, отличающиеся лишь конкретными значениями
параметров
и
обеспечивающие
достижение
точности
и
перерегулирования в системе в пределах установленных в задании
ограничений.
С целью выбора окончательного варианта коррекции
(см. п.1.6 программы исследований) предлагается исследовать
влияние коэффициента усиления (добротности) разомкнутой системы
на длительность переходного процесса.
В процессе работы для нескольких значений Kр или D определяются
показатели качества и полученные данные используются для
построения
зависимостей
Δ(kр),
σ(kp)
и
tp(kp).
Полученные
зависимости позволяют определить вариант коррекции, обеспечивающий минимальное время регулирования в системе при одновременном
выполнении ограничений по другим показателям.
Следует обратить внимание на то, что повышение требований к
точности корректируемой САР несколько усложняет
корректирующее
устройство. По этой причине в п. 1.7 задания требуется
синтезировать корректирующее устройство, состоящее из двух
последовательно включенных упругих звеньев и обеспечивающее
величину ошибки не более 1%.
Во второй части работы исследуется параллельная коррекция САР,
когда одно из звеньев системы охватывается жесткой или гибкой
отрицательной обратной связью. В этом случае также используется
метод построения ЛАЧХ, хотя задача синтеза звена стабилизирующей
отрицательной обратной связи методом коррекции ЛАЧХ решается
несколько сложнее, чем в случае синтеза последовательного корректирующего устройства.
В качестве исходного выражения для определения ЛАЧХ звена коррекции используется передаточная функция разомкнутой скорректированной системы (рис.3.2):
W0 ( p)W1 ( p)
WСК(p) =
1  W0 ( p)Wk ( p)
где Wo(p), WK(p) - передаточные функции звена, охватываемого
обратной связью и звена коррекции,
W1(p)
передаточная
функция
частя
САР,
не
охваченной
корректирующей связью.
W1(p)
W0(p)
WK(p)
Рис.3.2
Рассматриваются две области частот, соответствующие условиям
|Wo(jw) WK(jw)| ≤ 1 и |WO(jw) WK(jw)| ≥ 1. В первом случае звено
коррекции не оказывает существенного влияния на характеристики
исходной системы и можно приближенно считать, что LCK(W)≈ LHC(W) и
φск(ω) ≈ φнс(ω). Во второй частотной области справедливы следующие
приближенные выражения:
Lск(ω) ≈ Lнс(ω) - Lк(ω) – L0(ω)
φск(ω) ≈ φнс(ω) + φк(ω) – φ0(ω)
(3.4)
Из (3.4) может быть получено выражение для нахождения Lk(ω):
LК(ω) ≈ LНС(ω) - LСК(ω) – L0(ω)
(3.5)
При этом диапазон частот, в пределах которого в соответстии с
(3.5) определяется LК(ω), ограничен условием |Wo(jw)WK(jw)| >1,
или (LК(ω) + L0(ω)) > 0.
На начальных этапах синтеза корректирующего устройства производится построение ЛАЧХ исходной системы и желаемой характеристики скорректированной САР. При этом можно руководствоваться
приведенными выше рекомендациями. Далее на основе отображаемой
LK(ω) и с учетом ограничения на частотную область вводятся параметры звена коррекции (коэффициент жесткой обратной связи в
одном варианте коррекции или коэффициент и постоянная времени
реального дифференцирующего звена в случае коррекции гибкой
обратной связью). Результат коррекции отображается в виде графика переходного процесса на выходе скорректированной САР с выводом соответствующих значений показателей качества системы.
Исходные данные для проведения исследований.
Структурная схема САР.
W1(p)
W2(p)
W3(p)
Рис. 3.3
Значения параметров звеньев САР
Таблица 3.1
N вар.
W1(p)
1
2
8 .0
p
12.0
1  0.02 p
W2(P)
W3(P)
2. 5
1  0.02 p
7.0
1  0 .2 p
4.0
1  0.1 p
2.0
1  2 .5 p
Звено,
Звено, охохватываемое ватываемое
ЖОС
ГОС
W3(p)
W1(p)
W2(p)
W3(p)
3
W3(p)
W1(p)
1.0
40.0
1 .5
p
1  0.03 p
1  0.15 p
4
W2(p)
W3(p)
10.0
1 .0
15.0
1  2 .5 p
1  0.02 p
1  0.25 p
5
W3(p)
W1(p)
2 .0
20.0
2. 5
p
1  0.02 p
1  0.12 p
6
W2(p)
W3(p)
10.0
2 .0
9.0
1  0.01 p
1  0.15 p
1  1.2 p
Контрольные вопросы для подготовки работы к защите.
1.
Перечислите основные показатели качества САР. Каким образом
они определяются?
2.
Запишите выражения для
определения
ЛАЧХ корректирующего
звена для случаев коррекции последовательного вида и
коррекции
с помощью стабилизирующей отрицательной обратной связи.
3.
Сформулируйте основные правила, используемые при построении
ЛАЧХ скорректированной системы.
4.
Дайте объяснение зависимости показателей качества
САР от
коэффициента усиления (добротности) системы. Подтвердите выводы
полученными в работе результатами.
5.
Поясните
характер влияния величины сопрягающих частот ω1 и
ω2 на величину запаса по фазе и время регулирования в САР.
6.
Проанализируйте и объясните влияние жесткой и гибкой обратных связей на параметры звена, охватываемого
стабилизирующей
обратной связью, и на параметры САР.
ЗАНЯТИЕ 4.
Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
Цель
работы
закрепление
теоретического
материала
по
исследоваванию динамических систем второго порядка методом
фазовой плоскости.
Программа
исследований.
1.
Исследование динамики линейных САУ методом
фазовой
плоскости.
1.1.
Задайте уравнения движения линейной САУ второго
порядка в переменных состояния, соответствующие указанному в
варианте задания виду фазовых траекторий (табл.4.2).
1.2.
Путем задания
различных
начальных
условий
постройте фазовый портрет, отображающий динамику
системы.
Зафиксируйте вид фазового портрета в протокол.
1.3.
Проанализируйте
и
запишите
в протокол вид
переходных процессов в системе.
2.
Исследование динамики нелинейных САУ.
2.1.
Для заданного варианта структурной схемы НСАУ и
характеристики
нелинейного
звена
введите следующие
исходные данные: параметры
линий переключения, разделяющие
фазовую
плоскость
на области,
соответствующие
переходу
с одного
линейного
отрезка характеристики нелинейного звена
на другой; уравнения движения НСАУ в форме переменных состояния
для каждой из областей.
2.2.
Проведите анализ динамических свойств каждого из
линейных описаний НСАУ, соответствующих выделенным в
плоскости
областям. При выполнении
этого пункта
задания
каждое
линейное описание раздельно анализируется
в пределах всей
фазовой плоскости. При этом исследование проводится
в
следующей последовательности:
построение
семейства фазовых траекторий в пределах
выбранного
окна
на фазовой плоскости путем
задания
различных
начальных
точек
(при
выборе начальных
условий стремитесь,
чтобы полученный фазовый портрет
достаточно полно отражал динамику движения системы);
анализ вида переходных процессов Y1(t), Y2(t) для разных
значений начальных условий;
запись в протокол вида фазовых
портретов,
соответствующих каждому из линейных описаний, а также
вида переходных процессов в системе для произвольно
заданных начальных условий.
2.4.
Исследуйте
методом
фазовой
плоскости
динамические свойства заданной в варианте НСАУ.
Последовательность выполнения этого раздела задания такая
же, как в предыдущем пункте: построение и анализ фазового
портрета НСАУ, исследование переходных режимов и вывод
графической информации в протокол.
2.5.
Исследуйте условия возникновения в системе особых
динамических
режимов
(устойчивого предельного цикла или
скользящих
траекторий)
при
изменении
структуры
системы,
параметров или вида характеристики нелинейного
звена,
либо
параметров
линейных звеньев САР. Для этого в соответствии
с
предложенными в
каждом варианте (табл. 4.3)
изменениями
структуры
и
параметров
НСАУ введите уравнения движения и
линии
переключения на плоскости, постройте
фазовый
портрет
и проанализируйте
переходные режимы. Результаты исследований
зафиксируйте в протокол.
Задание на подготовку к работе
1.
Повторите
основные
положения раздела ТАУ "Метод
фазовой плоскости".
2. Запишите в форме переменных состояния уравнения
движения
линейной
системы второго порядка. Коэффициенты уравнений
выберите
таким образом,
чтобы фазовые траектории системы
соответствовали виду, указанному в варианте задания (табл.4.2).
3. Запишите в форме переменных состояния уравнения движения
исследуемой НСАУ. Для каждого варианта задания структурная схема
НСАУ и параметры
звеньев приведены в
табл.4.2.
4. Проведите качественный
анализ
вида фазовых траекторий,
соответствующих описанию системы, полученному либо для
каждого
из линейных
участков
на
характеристике нелинейного звена,
либо для всех значений переключающей функции.
5. Получите уравнения линий переключения на фазовой плоскости
в соответствии с характеристикой нелинейного эвена.
6. Качественно постройте
и проанализируйте фазовый портрет
НСАУ, заданной номером варианта.
7.
Проанализируйте,
каким образом заданные в варианте
изменения
структуры
и
параметров системы повлияют на вид
уравнений движения,
фазовых траекторий.
положение линий переключения и характер
Методические
указания по
выполнению
работы
В первой части работы исследуется динамика невозмущенного
движения линейных САУ второго порядка (ненулевые начальные условия при отсутствии задающего воздействия). Уравнение системы
имеет вид:
Y” + a1Y’ + a0Y = 0,
или в форме переменных состояния:
Y1’ = Y2
Y2’ = -a1Y2 – a0Y1
Уравнение фазовых траекторий в этом случае имеет вид:
dY2/dY1 = -a1 – a0Y1/Y2
Решение Y2 =f(Y1) содержит одну произвольную постоянную, величина
которой зависит от начальных условий. Совокупность кривых
Y2 = f(Y1) для всех возможных значений этой постоянной представляет собой все возможные фазовые траектории, а значит и все
возможные виды переходных процессов в рассматриваемой САУ.
Вид фазовых траекторий зависит от корней характеристического
уравнения системы
a1
2
 a0
4
Возможны шесть вариантов решений:
1) Корни чисто мнимые при a1=O, a0>O. Тогда Y1=ωAcos(ωt+b),
ω = a0. Амплитуда А и начальная фаза b зависят от выбора
начальных условий.
Фазовые
траектории
представляют
собой
концентрические
эллипсы с особой точкой типа "центр" в начале координат.
2)
Корни комплексные и имеют отрицательные вещественные
части при a12<4a0, a1>0, a0>0. Общий вид решения
Y1 = A exp(-αt) sin(ωt + b), α=a1/2, ω=a0-a12/2,
Y2 = A exp(-αt)(-αsin(ωt+b) + αcos(ωt+b). Фазовые траектории
имеют вид спиралей. Начало координат является точкой
устойчивого равновесия и носит название устойчивого фокуса.
3)
Корни комплексные и имеют положительные вещественные
части при а12<4ao, a1<0, ао>0. Решения для фазовых переменных
имеют тот же вид, что и в предыдущем случае, но фазовые
траектории имеют вид раскручивающихся спиралей. Точка
начала координат называется неустойчивым фокусом.
4) Корни вещественные отрицательные при a12>4ao, a1>0, ао>О.
Фазовые переменные: Y1 = с1 exp(-p1t) + C2exp(-p1t),
Y2 = -P1c1exp(-p1t) - P2C2exp(-p2t).
Это
решение
соответствует
затухающему
апериодическому
переходному процессу. Фазовые траектории представляют собой
кривые параболического типа и монотонные кривые, имеющие
общую касательную в особой точке. Начало координат является
в этом случае точкой устойчивого равновесия (устойчивый
P1,2 = -a1/2 ±
узел).
5) Корни вещественные положительные при a12>4ao, a1<0, ао>О.
Имеет место расходящийся апериодический процесс и точка
равновесия - начало координат - в данном случае является
особой точкой типа неустойчивый увел.
6)
Корни
вещественные и имеют разные знаки при а12>4ao,
a1<0, ао<О. Начало координат является особой точкой типа
седло.
При исследовании нелинейной САУ в каждом варианте задается
структурная схема системы, а также тип и параметры нелинейного
звена. При подготовке к занятию требуется определить уравнения
фазовых траекторий, описывающие движение системы. Уравнения движения должны быть получены либо для каждого линейного участка на
характеристике нелинейного звена (варианты 1,3,4,5,7,8), либо
для всех значений переключающей функции (варианты 2,6). Ввод в
ПК уравнений движения линейной и нелинейной САУ в переменных состояния осуществляется в форме:
dY1/dt = k10 + k11Y1 + k12Y2
dY2/dt = k20 + k21Y1 + k22Y2
(4.1)
где K10,K11,K12,K20,K21,K22 - вводимые коэффициенты уравнений.
Для анализа нелинейной САУ в ПК вводятся уравнения линий
переключения, разделяющих фазовую плоскость на области, в пределах каждой из которых движение системы описывается линейными
уравнениями. Линии переключения задаются прямыми с точкой Y10 на
оси. Y1 и тангенсом угла наклона относительно оси Y2 равным к:
Y1 = Y10 + kY2.
(4.2)
В зависимости от типа исследуемой системы возможны два различных
варианта задания линий переключения. Если исследуется НСАУ,
содержащая нелинейное звено с кусочно-линейной характеристикой
(в частном случае - с характеристикой релейного типа), то
параметры линий переключения вводятся последовательно, начиная с
крайней левой линии в области положительных значений Y2. Затем
вводятся параметры левой линии в области отрицательных значений
Y2.После этого задаются параметры следующих по возрастанию Y2 пар
линий. В случае однозначной нелинейной характеристики линии
попарно совпадают, а при наличии гистерезиса каждая пара прямых
имеет смещение относительно друг друга. Если в НСАУ отсутствует
обратная корректирующая связь,
охватывающая нелинейное звено,
то линии переключения располагаются параллельно оси Y2. При
наличии обратной связи линии переключения имеют наклон. Следует
помнить, что ввод параметров линий переключения производится
строго попарно,
в том числе и для случая, когда линии попарно
совпадают.
При исследовании системы с переменной структурой (СПС, варианты
2,6) линии переключения задаются отрезками, лежащими в верхней и
нижней полуплоскости и имеющими начало в точке начала координат.
Установлена
следующая
последовательность
задания
линий:
первоначально вводятся параметры первой слева линии, лежащей в
верхней полуплоскости, затем задается левая линия в нижней по-
луплоскости, потом вводятся параметры второй слева линии в верхней полуплоскости и аналогично расположенной линии в нижней полуплоскости.
На рис.4.1 показан порядок ввода параметров линий переключения
для случая нелинейного звена с характеристикой трехпозиционного
реле с гистерезисом. В этом случае количество областей, рассматриваемых на фазовой плоскости, равно 3, а число линий переключения - 4.
Y1
m
e
Y2
-e -m
линия
линия
линия
линия
1:
2:
3:
4:
Y10
Y10
Y10
Y10
= -m
= -e
= e
= m
;
;
;
;
k=0;
k=0;
k=0;
k=0.
Рис.4.1
Для варианта исследования СПС переключающая функция Z(Y1,Y2)
синтезируется на основе соотношения Z= -Y1sign(Y1)sign(A1Y1+A2Y2).
В этом случае линии переключения должны быть заданы следующими
прямыми:
линия 1: Y10= 0; k=-A2/A1;
линия 2: Y10= 0; k=0;
линия 3: Y10= 0; k=0;
линия 4: Y10= 0; k=-A2/A1.
При
выполнении
работы
предполагается
следующая
последовательность задания параметров системы. Первоначально производится
выбор типа системы. Предусмотрена возможность исследования линейных и нелинейных САУ. Затем устанавливаются параметры прямоугольного окна на фазовой плоскости, в пределах которого в дальнейшем проводятся построения фазовых траекторий.
При исследовании линейной структуры следующий шаг состоит в
задании коэффициентов уравнений движения. Если же предполагается
исследовать нелинейную систему, то прежде следует установить
число областей на фазовой плоскости, необходимых для полного
отображения фазовых траекторий при произвольном выборе начальных
условий.
Вопрос о количестве областей решается либо исходя из вида
характеристики нелинейного звена, либо на основании анализа переключающей функции. В общем случае число областей совпадает с
количеством кусочно-линейных участков (в том числе участков с
постоянным значением сигнала) на характеристике нелинейного
звена. Для систем с переменной структурой в соответствии с
функцией переключения производится разделение плоскости на
области и затем определяется общее число областей, которые
пересекаются горизонталью Y2<>0 при изменении Y1 во всем
диапазоне значений. После того, как определено число областей,
производится установка параметров линий переключения в порядке,
описанном выше. Далее вводятся коэффициенты параметрических
уравнений, описывающих движение системы в каждой из областей,
после чего можно перейти к исследованию системы на фазовой
плоскости.
Для построения фазового портрета , дающего полное представление
о характере движения системы, нужно последовательно задавать
разные начальные условия (Y10,Y20) и отобразить в пределах
установленного окна семейство фазовых траекторий. При этом рекомендуется координаты начальных точек выбирать по периметру окна.
Следует также помнить, что за пределами окна просмотра фазовые
траектории не отображаются.
В соответствии с программой исследований в процессе работы
последовательно
анализируются
фазовые
портреты
линейных
САУ, затем исходная нелинейная система и влияние изменения
параметров системы на характер динамических режимов. После
завершения каждого этапа исследования производится переход в
режим установки параметров системы и, при необходимости,
изменяется тип исследуемой САУ, вносятся изменения в уравнения
линий переключения и в параметрические уравнения движения
системы, а также переопределяется расположение и размеры окна
просмотра на фазовой плоскости.
Методические данные для проведения исследований.
Варианты структурных схем НСАУ (рис. 4.2 - 4.5):
Вариант S1
U
Y1
Z
-Y2
W1(p)
Z(U)
W3(p)
W4(p)
W2(p)
W1(p=k1); W2(p)=k2/p; W3(p)=k3/(l+pT3); W4(p)=k4.
Рис. 4.2
Вариант S2
W2(p)
Y2
W1(p)
A2
Y1
A1
Z
U
Z(U)
W1(p)=k1/p; W2(p)=k2/p; Z(Y1,Y2)=-Y1Sign(Y1)sign(A1Y1+A2Y2).
Рис.4.3
Вариант S3
W2(p)
Y2
W1(p)
Y1
Z(U)
Z
W3(p)
W1(p)=k1/p; W2(p)=k2/p; W3(p)=k3.
Рис.4.4
Вариант S4
Y1
W1(p)
Z(U)
Z
W3(p)
-Y2
W2(p)
W1(p)=k1; W2(p)=k2/p; W3(p)= k3/(l+pT3).
Рис.4.5
Таблица 4.1 Варианты характеристик нелинейных блоков
номер тип нелинейного вид
вар. звена
характеристики
нелинейного звена
N1
Двухпозиционное
идеальное реле
Z
a
U
-a
N2
Двухпозиционное
реле с гистерезисом
Z
a
e U
-e
-a
N3
Трехпозиционное
идеальное реле
Z
a
e U
-e
-a
N4
Трехпозиционное
реле с гистерезисом
Z
a
-e -m
U
m e
-a
N5
Переключающее
устройство
в
системе с переменной структурой
Варианты исходных данных
Номер
варианта
задания-
Тип и параметры НСАУ
Тип особой точки
фазового портрета тип тип HЭ параметры
САР
линейных
звеньев
1
Эллипс;
S1
неустойчивый узел;
2
седло;
устойчивый узел;
S2
3
устойчивый фокус;
ЭЛЛИПС;
S3
4
Неустойчивый
кус; седло;
5
устойчивый
узел; S1
неустойчивый
фокус;
6
эллипс;
устойчивый фокус;
N4
а=0.2
е=5.0
m=2.5
N5
фо- S4
S2
K1=10;
к2=1.О;
к3=5.О;
к4=2.0;
Т3=1.0;
K1=1.0;
k2=1.0;
A1=1.0;
А2=0.8;
K1=1.0;
k2=l.0;
к3=0.2;
N4
а=1.О
е=0.5
m=0.25
N2
K1=10;
а=0.2 к2=1.О;
е=2.5 к3=5.0;
Т3=1.0;
N4
K1=8.0;
а=1.О k2=1.0;
е=4.0 к3=2.0;
m=2.8 к4=4.0;
Т3=2.0;
K1=1.8;
N5
k2=2.4;
A1=1.0;
А2=0.5;
7
эллипс;
седло;
S3
8
неустойчивый узел S4
устойчивый фокус;
N4
а=2.0
е=1.0
m=0.6
N2
а=1.0
е=4.0
K1=1.5;
к2=1-2;
к3=0.3;
K1=8.0;
k2=1.0;
к3=2.0;
Т3=2.0;
Таблица 4.3.
Содержание
номер
вар.
1
2,6
3,7
4,8
5
исследований по разделу 2.5 задания
Содержание исследований
Исследуйте условия возникновения устойчивого предельного цикла в НСАУ при отсутствии в системе обратной
связи по скорости (k4=0) и в зависимости от ширины
гистерезиса
1=m/е
на
характеристике
Z(u).
Экспериментальным путем определите предельное значение
параметра l, при котором в системе наблюдается
предельный цикл.
Исследуйте влияние соотношения весовых коэффициентов
А2/A1 переключающего элемента на вид переходных процессов в НСАУ. Изменяя А2/A1 в пределах [0.6,2.0],
наблюдайте появление в НСАУ скользящего режима. В том
же диапазоне изменения A2/A1 получите зависимость
времени достижения установившегося состояния в системе
от отношения А2/A1 и постройте график.
Исследуйте заданную систему при условии, что в качестве переключающего элемента используется идеальное
двухпозиционное реле. Для этого случая проанализируйте
влияние величины коэффициента k3 на время достижения
установившегося
состояния.
Постройте
график
зависимости времени установления переходного процесса
в системе от величины k3.
Исследуйте зависимость параметров (периода и амплитуды
колебаний) устойчивого предельного цикла, имеющего
место в системе при изменении величины гистерезиса
переключающего звена в диапазоне [О,5]. По результатам
исследований постройте графические зависимости Т(е) и
Y1m(e).
Путем изменения глубины обратной связи по скорости k4
добейтесь появления скользящих режимов. Исследуйте и
постройте график зависимости времени установления
переходных процессов в системе от глубины обратной
связи.
Контрольные вопросы для подготовки работ к защите
1.Поясните методику получения уравнений движения САУ (на примере системы второго порядка) в форме переменных состояния.
2. Что такое линии переключения? Как получить уравнения линий
переключения в фазовой плоскости?
3.Какие типы особых точек и соответствующие им фазовые траектории возможны при исследовании линейных систем второго порядка
методом фазовой плоскости? Укажите условия возникновения различных ВИДОР движений.
4. Как построить переходный процесс в НСАУ по виду фазовой
траектории?
5. Условия возникновения скользящего режима в НСАУ. Вид фазовых траекторий и переходных процессов в этом режиме.
ЗАНЯТИЕ 5
Исследование устойчивости нелинейной САУ
Целью
работы
является
закрепление
знаний
по
исследованию нелинейных систем автоматического регулирования на
основании критерия Попова и методом гармонической линеаризации.
Программа
исследований
1. Для нелинейной САУ (рис.5.1),
характеристики которой
определяются
вариантом
задания
(табл.5.1),
исследовать
устойчивость с помощью критерия Попова или критерия Гелига
(в
зависимости
от
статической
характеристики
нелинейного
элемента).
1.1.
Определить
границу
области
устойчивости
в
пространстве двух варьируемых параметров САУ, отмеченных в
табл.5.1.
1.2.
Зафиксировать
в
протокол
график
АФХ
модифицированной линейной части
системы
для двух различных
точек,
выбранных
в пространстве варьируемых параметров
(см.
далее методические указания).
2.
Заданную
нелинейную
САУ
исследовать
методом
гармонической линеаризации.
2.1. Для нелинейного элемента исследуемой САУ построить
годограф
эквивалентного комплексного коэффициента усиления
Wнэ(А).
2.2. Определить границу области отсутствия
автоколебаний
в пространстве двух параметров, отмеченных в табл.5.1, на
основании
анализа
расположения
на
комплексной
плоскости
годографа
линейной части системы Wлч(jω) и эквивалентного
комплексного
коэффициента усиления
нелинейного элемента
Wнэ(A).
3.
Исследовать
НСАУ
путем
численного
моделирования
процессов на ПК.
3.1. Определить параметры автоколебаний в системе.
3.2. Определить границу области устойчивости НСАУ
в
пространстве двух параметров.
4.
Провести
сравнительный
анализ
результатов
исследования НСАУ различными методами.
Примечание: устойчивость НСАУ рассматривается в смысле
устойчивости положения (отрезка) равновесия.
Задание на подготовку к работе
1. Перед
выполнением
работы необходимо повторить
следующие разделы теории нелинейных систем:
- критерий
Попова для анализа устойчивости положения
равновесия САУ и его геометрическую интерпретацию;
критерий
Гелига
для
анализа
устойчивости
отрезка
равновесия;
метод
гармонической
линеаризации,
геометрическую
интерпретацию
метода
гармонического
баланса,
правило
определения
устойчивости
периодических
решений
уравнения
гармонического баланса.
2. Подготовить ожидаемые результаты экспериментального
исследования формы кривой области устойчивости и вида годографа
Wнэ(A)в соответствии с вариантом задания на проведение работы.
Методические указания
по выполнению работы
При выполнении
первого пункта программы исследований на
экране монитора выделяется два графических окна. В левом окне
по
точкам
строится
кривая,
обозначающая
границу
области
устойчивости в пространстве двух варьируемых параметров НСАУ.
Для этого производится
выбор
точки
в области
параметров
путем
перемещения указателя
с
помощью
мыши, либо
по
стрелкам
с
клавиатуры.
В установленной
точке, которая
определяет значения
изменяемых параметров
НСАУ, проверяется
выполнение критерия абсолютной устойчивости системы. Проверка
производится проведением
вычислительного эксперимента (двойное
нажатие
левой кнопки
мыши, либо по нажатию
<Enter> с
клавиатуры).
При этом в правом окне отображается графическая
интерпретация критерия Попова для системы
с соответствующими
выбранной
точке
значениями
параметров
линейной части и
нелинейного звена. В первую очередь производится построение
модифицированного годографа линейной части,
затем проверяется
выполнение критерия Попова и, если критерий выполняется, то
в правом окне
отображается
расположение
прямой Попова
относительно
модифицированного
годографа.
В
том случае,
если критерий не выполняется, линия не выводится.
Необходимо
подобрать
значения
двух
варьируемых
параметров, соответствующих границе выполнения критерия Попова.
При
этом
прямая
Попова
будет
касаться
модифицированного
годографа ЛЧ,
не пересекаясь с ним.
При выполнении данного
пункта задания требуется получить 8-10 точек, лежащих
на
границе области устойчивости в пространстве параметров.
После
построения области устойчивости НСАУ в протокол
заносятся графики модифицированной АФХ линейной части системы
для двух разных точек, расположенных
вблизи
полученной
границы со стороны области устойчивости и неустойчивости НСАУ.
Во втором пункте задания проводится построение графика
зависимости эквивалентного комплексного коэффициента
усиления
нелинейного элемента
от амплитуды входного синусоидального
сигнала. Значение частоты сигнала вводится в ПК в соответствии
с номером варианта; амплитуду необходимо изменять в пределах,
определяемых параметрами и видом нелинейной
характеристики
так,
чтобы получить законченный вид
Wнэ(A). Полученный график
заносится в протокол.
Далее годограф эквивалентного комплексного коэффициента
усиления нелинейного звена применяется для анализа отсутствия
автоколебательных режимов в НСАУ. Анализ проводится на основе
графического решения уравнения гармонического баланса,
которое
представляется точками пересечения
АФХ
линейной части
и
инверсного
годографа
нелинейной
части
системы.
Точка
пересечения,
соответствующая
устойчивым
автоколебаниям,
позволяет определить частоту и амплитуду колебаний.
Аналогично первому
пункту
требуется
в
пространстве
двух варьируемых параметров отыскать координаты
нескольких
точек,
соответствующих
границе
области
отсутствия
автоколебаний.
Для определения координат этих точек необходимо
подобрать такие значения варьируемых параметров, при которых
годографы
характеристик
ЛЧ
и
НЭ
САУ
соприкасаются,
не
пересекаясь.
Все
построения
и
анализ
также
проводятся
с
использованием двух графических окон.
Левое окно предназначено
для
построения границы в области параметров, а правое окно для отображения результатов решения уравнения гармонического
баланса. Полученные ранее результаты с применением критерия
Попова
отображаются
в
области
параметров.
Поиск
точки,
принадлежащей
границе
области
устойчивости,
рекомендуется
осуществлять, перемещаясь в пространстве параметров из области
устойчивых автоколебаний к границе. При выходе на границу
области устойчивости в НСАУ наблюдается срыв
автоколебаний, и
соответствующая точка фиксируется на графике.
Как и в первом
пункте,
требуется
занести
в протокол
два
варианта
графиков,
отражающих
решения
уравнения
гармбаланса
для
двух
различных
пар
значений
варьируемых
параметров.
В третьем пункте задания проводится исследование НСАУ на
основе цифрового моделирования
процессов, протекающих
в
системе. Моделирование
осуществляется
путем
численного
интегрирования дифференциальных уравнений системы.
Для
проверки
результатов,
полученных
методом
гармонической
линеаризации,
производится
моделирование
автоколебательного режима НСАУ. При этом начальные условия для
дифференциального уравнения выбираются автоматически, исходя из
полученных во втором пункте значений
частоты
и
амплитуды
устойчивых автоколебательных режимов.
Для получения
графика
переходного процесса в системе
задается
время
интегрирования
исходя
из
оценки
периода
автоколебаний, полученной методом гармонического баланса. После
завершения интегрирования на заданном интервале времени расчет
процесса в системе можно продолжить до получения установившихся
колебаний.
Интегрирование необходимо продолжать до того момента,
когда процесс в САУ можно будет считать установившимся. При
наличии
устойчивых
автоколебаний
в
системе
необходимо
определить их период и амплитуду по нескольким периодам
колебаний
на
графике.
После этого необходимо сформировать
график процесса в САУ для занесения в протокол. На графике
должны быть изображены либо устойчивые автоколебания в системе,
либо процесс срыва колебаний.
Далее
подбором
значений
варьируемых
параметров
необходимо найти реальную область устойчивости НСАУ. Для этого
требуется
определить
координаты
точек
в
пространстве
изменяемых
параметров системы, в которых автоколебания в НСАУ
находятся на грани исчезновения.
Аналогично первым двум пунктам задания
по построенному
графику границы области устойчивости НСАУ задаются две пары
значений варьируемых параметров и полученные графики переходных
процессов в системе заносятся в протокол.
Значения варьируемых параметров следует задавать
в
области устойчивости НСАУ вблизи ее границы. В этом случае на
графиках для протокола необходимо отобразить срыв колебаний
после длительного процесса колебаний уменьшающейся амплитуды.
После выполнения всех трех пунктов лабораторной работы
необходимо занести в протокол
сводный
график
области
устойчивости
НСАУ,
содержащий
3
графика
границы
области
устойчивости,
полученные
разными
методами
(для
метода
гармбаланса - границы области отсутствия автоколебаний). Для
протоколирования графиков необходимо выбрать один из 4-х
предлагаемых
масштабов:
линейный,
логарифмический
или
логарифмический по одной из осей координат и линейный по другой.
Выбор масштаба производится из соображений наглядности графиков.
Диапазоны изменения величин по осям координат необходимо задать
таким образом,
чтобы все 3 графика можно
было хорошо
различить.
Исходные данные для проведения исследований
Структурная схема НСАУ
Wнэ(А)
Wлч(jw
)
Рис 5.1.
Таблица 5.1
Значения параметров НЭ и Wлч(p) НСАУ
№
вари
анта
1
Вид характеристики
нелинейного
элемента
Передаточная функция линейной части
W1(p)
W2(p)
W3(p)
0 .7 *
p
1
1  15 * * p
1 2p
1  20 p
2
8
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
-
3
8
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
-
4
8
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
-
5
4 .0
p
1 2 p
1  10 * * p
1 2 p
1  15 p
6
4 .0 * *
p
1 2 p
1  10 * * p
1 2 p
1  15 p
7
4 .0
p
1 2 p
1  10 * * p
1 2 p
1  15 p
8
7 .0 * *
p
1 2 p
1  10 * * p
1 2 p
1  15 p
9
1 2p
1  20 p
1 2 p
1  20 * * p
160 *
1  16 p
10
1 2p
1  20 p
1 2 p
1  20 * p
100 * *
1  16 p
11
10 * *
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
1 p
1 2p
12
14 * *
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
1 p
1 2p
13
10 * *
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
1 p
1 2p
14
0 .7 *
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
1 p
1 2p
15
100 * (1  0.4 p)
1  3.3 * * p
1  0. 8 p
1  6 p  25 p 2
-
16
7 .0
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
-
17
8.0 * *
p
1
1  15 * * p
-
18
8.0 * *
p
1
1  0 .5 * p  0 .1 p 2
-
Примечание: в таблице выделены варьируемые параметры:
* - 1-ый варьируемый параметр;** - 2-ой варьируемый параметр.
Вопросы для подготовки работы к защите
1.
Сформулируйте
критерий
Попова
(в
аналитическом
и
графическом
варианте)
для
анализа
устойчивости
положения
равновесия применительно к выполненному варианту задания.
2. Сформулируйте критерий Гелига применительно к НСАУ,
исследуемой в Вашем варианте.
3. Объясните
форму полученного графика границы области
устойчивости НСАУ.
4. Дайте
определение и изложите методику аналитического
нахождения эквивалентного комплексного коэффициента усиления
нелинейного звена Wнэ(A). Сравните годограф
Wнэ(A), построенный
на
основе
цифрового
моделирования,
с
аналитическим
представлением.
5.
Основываясь
на
предпосылках
метода
гармонической
линеаризации, сформулируйте условия возникновения в
НСАУ
устойчивых автоколебаний. Поясните на полученных графических
результатах
выполнение
этих
условий
применительно
к
исследуемой системе.
ЗАНЯТИЕ 6
ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Целью работы является
исследование
особенностей динамики
линейных импульсных САУ с амплитудной модуляцией, связанных
с наличием в них квантования по времени. Изучаются свойства
реального импульсного элемента, условия устойчивости линейных
импульсных систем (ИСАУ), переходные процессы при регулярных
воздействиях, оптимальные процессы конечной длительности,
а
также методика коррекции импульсных САУ.
Программа исследований
1. Определение передаточной функции элемента с заданной
формой импульса (см. методические указания).
1.1. Проанализировать форму импульса, представленную
на
экране, и ввести коэффициенты передаточной функции элемента,
формирующего заданную импульсную последовательность.
1.2. При совпадении формы заданного импульса и импульса,
определяемого
введенной
передаточной функцией, занести в
протокол передаточную
функцию и вид импульса, в противном
случае - повторить п.1.1.
2. Определение условий, когда ИСАУ может рассматриваться
как непрерывная (см. методические указания).
2.1.В соответствии с вариантом работы ввести параметры
ИСАУ.
2.2. Проанализировать виды спектров входного квантованного
и выходного
сигналов,
представленные
на экране, и ввести
период квантования
T0 импульсного элемента, который позволит
рассматривать ИСАУ как непрерывную.
2.3. Сравнить переходные процессы в импульсной САУ
и
аналогичной непрерывной системе и ввести такие
параметры
непрерывной части
ИСАУ, которые обеспечивали
бы
необходимую
степень фильтрации квантованного сигнала
и
совпадение
переходных
процессов с ошибкой менее 10% (см. методические
указания).
2.4. Установив значения параметров ИСАУ, обеспечивающие
непрерывный
характер
регулирования, занести в
протокол
следующую информацию:
- структурную схему и значения параметров ИСАУ;
- вид спектров входного и квантованного сигналов;
- графики переходных процессов в импульсной и соответствующей
непрерывной системе.
3. Исследование устойчивости замкнутой импульсной системы.
3.1. Установить параметры ИСАУ, найденные в результате
выполнения п.2 работы.
3.2.
Последовательно
изменяя
коэффициент
усиления
и
анализируя годограф и переходный процесс в ИСАУ, определить для
заданного периода квантования T0 граничный коэффициент усиления
kгр.
3.3. Занести полученную точку на график kгр(T0).
3.4. Повторяя п.3.2 и п.3.3
для
различных периодов
квантования (8..10 точек), построить график зависимости kгр(T0) в
диапазоне
T0=0.05T1...2T2, где
T1, T2 - соответственно
наименьшая и наибольшая постоянная времени непрерывной части
ИСАУ.
3.5. Занести в протокол следующую информацию :
- изображения годографа и переходного
процесса
в
ИСАУ для трех случаев :
k > kгр , k = 4гр , k < kгр при одном и том же значении T0;
- график зависимости kгр(T0).
4.
Минимизация
длительности
переходного
процесса
в
замкнутой импульсной системе (см. методические указания).
4.1. Ввести параметры ИСАУ, использованные при расчетах
в процессе самостоятельной подготовки (п.4).
4.2. Наблюдать на экране вид переходного
процесса в
замкнутой ИСАУ.
4.3. На основании
представленной на экране информации о
передаточной
функции
ИСАУ, ее
нулях
и
полюсах
выбрать
порядки вспомогательных полиномов M*(z) и N*(z),определяющих
передаточную функцию последовательного корректирующего звена
Wк*(z) (п.4 самостоятельной подготовки).
4.4. Ввести в компьютер систему уравнений относительно
коэффициентов полиномов М*(z) и N*(z), полученную
в
ходе
самостоятельной подготовки (п.4).
4.5. Если оптимальный процесс конечной длительности в
системе не наблюдается, повторить п.4.3 или п.4.4.
4.6. Ввести в коэффициенты
полинома N*(z) вариацию в
пределах 5-20 % и наблюдать
переходный
процесс в системе
в
реальной ситуации, когда не может быть обеспечена точная
компенсация ряда членов знаменателя передаточной функции ИСАУ.
4.7.Занести в протокол следующую информацию:
- передаточную функцию W*(z) ИСАУ без коррекции;
- значения нулей и полюсов W*(z);
систему
алгебраических
уравнений
относительно
коэффициентов полиномов M*(z) и N*(z);
- импульсные передаточные функции
корректирующего
звена Wк*(z) и замкнутой скорректированной ИСАУ Kз*(z);
- графики переходных процессов в ИСАУ без коррекции и
с включением последовательного корректирующего звена;
- график переходного процесса
в скорректированной
ИСАУ при неполной коррекции (результаты выполнения п.4.6).
Задание на подготовку к работе
1. Вывести импульсные передаточные функции разомкнутой
и замкнутой систем. Приведенная непрерывная часть системы
задается номером варианта (табл. 6.1).
2. Вывести аналитически зависимость kгр=f (T0).
3.
Определить
минимально
возможное
число
тактов
переходного процесса в замкнутой импульсной системе.
4.
Для
определения
передаточной
функции
последовательного корректирующего звена:
- задать период квантования
импульсного элемента, при
котором ИСАУ нельзя рассматривать как непрерывную, и рассчитать
значения
коэффициентов
импульсной передаточной функции
разомкнутой системы для случая k > kгр;
- выбрать степени вспомогательных полиномов M*(z) и
N*(z);
- записать полиномиальное уравнение синтеза;
составить
систему
уравнений
для
расчета
коэффициентов вспомогательных полиномов.
Методические указания
по выполнению работы
Для
ввода
параметров
ИСАУ следует выбрать пункт основного
меню "Задание
параметров системы".
При этом на экране
появляется структурная схема системы, соответствующая варианту
задания, и окна
для
ввода
всех параметров (исключение
составляет п.2 задания, при выполнении которого переход в режим
ввода параметров
осуществляется
нажатием
клавиши
F8).
Ввод
импульсной
передаточной
функции
ИСАУ
производится один раз за
все
время выполнения работы. Для этого нужно войти в
пункт основного меню "Ввод
импульсной
передаточной
функции
разомкнутой системы", после
чего ввести формулы
для
коэффициентов передаточной функции. В формулы могут входить
идентификаторы параметров непрерывной части системы (k1,T2 и
т.д.), период квантования T0, обозначения математических функций
(exp(), sqrt(), ln(), sin(), cos()). Для обозначения степенной
функции
сначала
вводится
пробел,
а
затем
целочисленный
показатель
степени.
Занесение
информации
в
протокол
осуществляется в два этапа. Сначала
в ходе
выполнения
отдельных пунктов работы нужные копии экрана сохраняются в виде
отдельных файлов путем нажатия
клавиши F6. После окончания
работы эти файлы последовательно выводятся на устройстве печати.
При
выполнении
п.1 задания
следует проанализировать
представленную на экране форму импульса реального импульсного
элемента и ввести
коэффициенты
передаточной
функции
формирующего элемента, представленной в виде:
i 3
Ai Bi
Wф( p)   (  2 )e ipT0
p p
i 0
Передаточной функции
W(p)=1/p
соответствует во временной
области единичный "скачок" w(t)=10[t] , а передаточной функции
W(p)=1/p2
линейная
функция
w(t)=t10[t].
Соответственно,
передаточная функция, содержащая запаздывание на время t=Т0
Ai Bi
W ( p )  (  2 )e  pT0
p
p
является изображением функции
w(t)= {0 , t < T0 или Ai10[t-T0]+Bi(t-T0)10[t-T0], t ≥ T0}
Второй
раздел
работы
посвящен
исследованию
прохождения
непрерывного сигнала с финитным спектром через разомкнутую
линейную импульсную САУ, условно представленную
в виде
последовательного соединения импульсного элемента и непрерывной
линейной части, являющейся фильтром низких частот. Импульсная
САУ может рассматриваться как непрерывная при условии :
w0 > wгр + wср ,
где w0=2π/T0 - частота квантования импульсного элемента,
wгр
- граничная частота спектра входного сигнала,
wср
- частота среза АЧХ непрерывной части ИСАУ.
При идеальной фильтрации квантованного сигнала импульсная САУ
может рассматриваться как непрерывная, если w0 > 2wгр.
В процессе работы о выполнении этого условия свидетельствует
неналожение основного и дополнительных спектров квантованного
сигнала.
ИСАУ утрачивает импульсный характер, если спектр ее выходного
сигнала
совпадает
со
спектром
соответствующей
непрерывной
системы (когда в САУ отсутствует импульсный элемент). В целом о
близости импульсной САУ к непрерывной
можно
судить
по
близости их переходных характеристик.
Исследование устойчивости ИСАУ осуществляется путем определения
зависимости
граничного коэффициента
усиления
импульсной
системы
от периода
квантования
(п.3 задания).
Решение
задачи производится в следующем порядке. С экрана вводится
выбранный период
квантования
импульсного
элемента Tя40я0 и
коэффициенты усиления всех звеньев, образующих
непрерывную
часть. ПК
рассчитывает и выводит на экран
годограф
АФХ и
переходный
процесс
в
системе.
Проанализировав
полученную
информацию, следует выбрать
коэффициент усиления системы,
обеспечивающий попадание
ИСАУ
на
границу устойчивости. При
этом можно изменять коэффициент усиления любого звена и
повторять процесс поиска многократно. Занесение найденной точки
(T0,kгр) на график
производится
нажатием
клавиши
F4
на
клавиатуре (см.также п.3.4 задания).
Для получения
переходного процесса
конечной длительности в
замкнутой
импульсной
системе
рекомендуется
применить
последовательное
корректирующее
звено. Если передаточная
функция разомкнутой ИСАУ имеет вид W*(z)=P*(z)/Q*(z), то
импульсная передаточная функция корректирующего звена может быть
записана в виде:
Q * ( z)M * ( z)
Wk ( z )  
N * ( z)
где Q+*(z) - полином, корни которого zi представляют собой полюса
импульсной передаточной функции разомкнутой системы, лежащие
внутри единичного круга на комплексной плоскости (| zi | < 1);
M*(z), N*(z) - вспомогательные полиномы, подлежащие выбору.
Для определения коэффициентов этих полиномов следует записать
полиномиальное
уравнение
синтеза
(п.4
самостоятельной
подготовки)
P*(z) M*(z) + Q_*(z) N*(z) = zn ,
(6.1)
где n -число тактов переходного процесса, а Q_*(z) содержит все
полюса W*(z), для которых | zi | ≥ 1. Система линейных
алгебраических уравнений относительно
коэффициентов
M*(z)
и
N*(z)
может быть получена путем приравнивания выражений для
коэффициентов при одинаковых степенях
z
в
правой и левой
частях уравнения (6.1).
Полиномы М*(z) и N*(z) имеют вид
M*(z) = m0znМ
N*(z) = n0znN
+ m1znМ-1 + .....+ mnМ-1z + mnМ
+ n1znN-1 + .....+ nnN-1z + nnN
Выбор степеней nМ и nN ограничивается соотношениями:
nN≥np
,
nM + 1 ≥ n Q
и условием разрешимости уравнения (6.1) : n ≤ nM + nN + 1 .
Импульсная передаточная функция замкнутой
скорректированной
ИСАУ определяется выражением
P * ( z)M * ( z)
Kз * ( z ) 
zn
Оптимальный
процесс
конечной
длительности
синтезируется
путем компенсации части
знаменателя
передаточной
функции
Q*(z) введением в систему корректирующего звена, числитель
которого содержит компенсирующие элементы (происходит сокращение
нежелательных
членов
знаменателя
передаточной
функции).
В
реальных
условиях
практически
невозможно
добиться
полной
компенсации, так как невозможно точно подобрать компенсирующие
элементы.
Именно поэтому в п.4.6 задания предлагается ввести
некоторую
вариацию в коэффициенты компенсирующих членов и
пронаблюдать переходный
процесс для реального случая.
Исходные данные для проведения исследований
Структурная схема ИСАУ
Wф(p)
Wнч(p)
Таблица 6.1.
Параметры звеньев ИСАУ
Номер
варианта
Wф(p)
Wнч(p)
1
1
k1k 2
p (1  T1 p )
2
1  e  pT0
p
k1k 2
p (1  T1 p )
3
1
k1k 2(1  T1 p)
p(1  T2 p)
4
1  e  pT0
p
k1k 2k 3(1  T1 p)
p2
5
1
k1k 2k 3(1  T1 p)
p2
6
1  e  pT0
p
k1k 2(1  T1 p)
p(1  T2 p)
Параметры
звеньев ИСАУ
k1=2.0
k2=1.0
T1=0.1
T0=0.3
k1=6.0
k2=2.5
T1=0.05
T0=0.2
k1=3.5
k2=12.0
T1=0.2
T2=1.5
T0=0.8
k1=8.0
k2=20.0
k3=0.5
T1=0.05
T0=0.12
k1=3.0
k2=4.5
k3=0.5
T1=0.2
T2=0.55
k1=0.9
k2=20.0
T1=1.0
T2=0.15
T0=0.2
Контрольные вопросы для подготовки работы к защите
1. Запишите условие, позволяющее
исследовать
ИСАУ
как
непрерывную. Поясните это соотношение на основании сравнения
спектров сигналов в ИСАУ и в непрерывной системе.
2. Как на основании известной передаточной функции
приведенной непрерывной части ИСАУ можно получить импульсную
передаточную функцию разомкнутой системы?
3. Какие соотношения применяются для построения
годографа АФХ ИСАУ?
4. Сформулируйте критерий устойчивости Найквиста для
импульсных систем.
ЗАНЯТИЕ 7
Исследование случайных процессов
в линейных системах автоматического управления
Целью
данной
работы
является
закрепление
основных
положений теории
исследования
динамики
линейных
систем
автоматического управления при случайных воздействиях.
Программа исследований
1. Исследование статистических характеристик случайных
процессов.
1.1. Для каждого из предложенных типов случайного сигнала,
задаваемого функцией спектральной плотности S(w), получите,
зафиксируйте
в
протокол
и
проанализируйте
следующие
характеристики:
- оценку автокорреляционной функции;
- оценку спектральной плотности;
- оценку закона распределения вероятности.
Параметры
функции спектральной плотности вводятся
в
соответствии с номером варианта задания (табл.7.1).
1.2.
Для
заданного
типа
случайного
процесса
(по
вариантам), изменяя параметры
функции
S(w), исследуйте
и
постройте график зависимости среднего времени корреляции τx от
значения средней полосы частот wx случайного сигнала.
2. Преобразование
характеристик случайного процесса при
передаче сигнала через линейное звено.
2.1. Для заданного в соответствии с вариантом линейного
звена и типа случайного процесса наблюдайте реализацию сигнала
на входе и выходе звена. Зафиксируйте полученные
реализации
сигналов на входе и выходе звена,
а также их статистические
характеристики в протокол.
2.2. Изменяя
значение постоянной времени звена (параметр
B1 передаточной функции звена), постройте зависимости среднего
времени корреляции сигнала на выходе звена τy и средней полосы
частот wy от варьируемого параметра.
3. Определение оптимальных параметров следящей системы,
минимизирующих среднюю квадратическую ошибку сигнала на выходе
системы при постановке задачи оптимальной фильтрации.
3.1. Методом
вычислительного
эксперимента получите
зависимость величины ошибки на выходе системы от изменяемого
параметра
(постоянной
времени
звена)
передаточной
функции
системы. Коэффициент усиления системы следует принять при этом
равным
оптимальному
значению,
рассчитанному
на
основе
соотношений для оптимального фильтра Винера.
3.2.
Зафиксируйте
полученную
зависимость
в
протокол,
определите по ней оптимальное значение варьируемого параметра
и сравните его с расчетным.
Задание на подготовку
к работе
1.
Запишите
выражения
для
определения
основных
статистических
характеристик
стационарного
эргодического
случайного процесса.
2.
Повторите
и
выпишите
соотношения,
позволяющие
определить
автокорреляционную
функцию
и
спектральную
плотность сигнала на выходе линейного
звена по известным
статистическим
характеристикам входного случайного сигнала.
Получите в общем виде выражения для автокорреляционной функции
и спектральной плотности
выходного сигнала для случая, когда
спектральная плотность сигнала на входе имеет вид
S(w)=
α/(1+βw2),
а
в
качестве
канала
передачи
рассматривается
инерционное звено.
3. Запишите вид оптимальной передаточной характеристики
следящей системы
(см. методические
указания по выполнению
работы), полученной на основе решения задачи оптимальной
фильтрации
помехи
по
минимуму
среднего
квадратического
отклонения, для случая, когда полезный сигнал имеет спектральную
плотность S(w)= α/(1+βw2),
а помехой является белый шум.
Рассчитайте
значения
оптимальных
параметров
следящей
системы для этих
условий, используя
в расчетах
значения
параметров
спектральных
плотностей
сигналов
на
входе
в
соответствии с вариантами задания (табл.7.1).
Методические указания по выполнению работы
Исследование
статистической
динамики
линейных
САР
проводится в работе на основе полигармонического случайного
процесса общего вида
N
x(t )   a i sin( wi t   i )
(7.1)
i 1
где
φi - случайная величина, равномерно распределенная на
отрезке [ 0 , 2π ] и соответствующая фазе гармонических
составляющих,
ai, wi - соответственно амплитуда и частота гармоник.
На основе полигармонического
представления
имеется
возможность
реализовать
генератор
случайных
сигналов
с
заданными статистическими свойствами. Исходной характеристикой
для генерации случайного процесса является функция спектральной
плотности S(w). Известно, что спектральная плотность случайного
сигнала,
реализуемого на основе выражения (7.1), представляет
собой дискретную функцию частоты вида
N
S x ( w)  0.5  a i [ ( w  wi )   ( x  wi )]
2
(7.2.)
i 1
где
δ(w-wi),
δ(w+wi)
- импульсные дельта-функции.
Линейчатый спектр, соответствующий выражению (7.2), с
симметрично расположенными по оси частот δ-функциями показан на
рис. 7.1.
При
большом
числе
гармонических
составляющих
путем
соответствующего выбора значений ai и wi может быть реализован
случайный процесс с заранее заданной спектральной плотностью.
Автокорреляционная
функция
полигармонического
случайного
процесса определяется выражением
N
Rx ( )  0.5 a i cos( wi )
2
i 1
В работе исследуются
три
вида сигналов, наиболее часто
используемых для описания случайных процессов, наблюдаемых в
реальных системах автоматического управления.
Эти
случайные
сигналы могут быть описаны следующими функциями:

1   2


S ( w) 

2
1  (   )
1  (   ) 2
S(w)=A при |w|<wгр и S(w)=0 при |w|>wгр
S ( w) 
Тип I
Тип II
Тип III
В
первом
разделе
работы
исследуются
реализации
и
статистические
свойства
случайных
процессов,
имеющих
спектральные характеристики (7.4). При этом имеется возможность
наблюдать
реализацию сигнала и полученные на основе этой
реализации оценки
автокорреляционной функции, спектральной
плотности, а также вероятностные
характеристики
исследуемого
процесса.
Все
полученные
характеристики фиксируются в протокол исследований.
Часто для приближенной оценки в качестве
статистических
характеристик процесса используются
усредненные величины –
среднее время корреляции τ0 и средняя полоса частот ω0, которые
определяются на основе следующих соотношений


0
0
S (0)0   S ( )d  20  R( )d

R(0) 0   R( )d 
0
0 
S ( )d
 0
(7.5)
Из (7.5) следует, что τ0 = 0.5 S(0)/R(0), ω0 = π R(0)/S(0).
При выполнении первого
раздела
работы
экспериментальным
путем устанавливается взаимная зависимость параметров τ0(ω0).
С этой целью производится вариация параметра
β
или
ωгр ,
определяющих функцию спектральной плотности процесса, и для
полученной
реализации фиксируются оценки
параметров
τ0
и
ω0. Результирующий график отображается в протоколе исследований.
Во
втором
разделе
работы
исследуется
связь
между
основными статистическими характеристиками случайного процесса
на входе и выходе линейной системы
с известной передаточной
функцией
W(p) (рис.7.2).
Передаточная
функция
системы
задается в общем виде
A1 p  A0
W ( p) 
B 2 p 2  B1 p  B0
где значения коэффициентов Ai и Вi приведены в табл. 7.1.
Тип исследуемого случайного сигнала x(t) и параметры
функции Sx(w) также указаны в таблице для каждого варианта.
Рис. 7.2
В процессе
выполнения
задания в соответствии
с
вариантом вводятся
параметры
передаточной
функции системы и
спектральная характеристика сигнала на входе x(t). На основе
полигармонического
разложения
генерируется
реализация
случайного процесса x(t). Одновременно отображается реализация
сигнала
на
выходе
y(t),
соответствующая
преобразованному
входному сигналу.
По
полученным реализациям осуществляется
оценка
корреляционных
функций
сигналов
Rx(τ),
Ry(τ)
и
спектральной плотности
Sx(ω), Sy(ω).
Полученная графическая
информация заносится в протокол.
При подготовке к работе
следует
вспомнить
соотношения,
на основе которых устанавливается связь между характеристиками
сигналов x(t) и y(t). Известно, что связь между корреляционными
функциями сигналов на входе и выходе линейной системы выражается
через импульсную переходную функцию w(t):


0
0
Ry ( )   w( )d  w( ) * Rx (     )d
(7.6)
Спектральная плотность стационарного случайного
на
выходе системы может быть найдена на основе соотношения
сигнала
S y ( )  W ( j ) * S x ( )
2
(7.7)
В процессе подготовки к занятию выражения
(7.6), (7.7)
используются для нахождения
общего
вида
характеристик
процесса на выходе по заданной спектральной плотности входного
сигнала.
Заданием
предусматривается
также
исследование
зависимости средней полосы частот ωy и среднего времени
корреляции τy сигнала на выходе от динамических параметров
системы.
Эта
зависимость
устанавливается
путем
вариации
заданного параметра с последующим наблюдением за изменением на
выходе вида реализации и величин ωy, τy.
В третьем
разделе работы решается задача
синтеза
следящей системы с минимальной средней квадратической ошибкой.
Эквивалентная структурная схема, наглядно поясняющая процесс
анализа ошибки на выходе системы, показана на рис.7.3. За
критерий качества работы системы принимается величина среднего
квадратического отклонения
ε2(t) процесса на выходе y(t) от
желаемого
сигнала
z(t), изображение которого связано с
изображением сигнала на входе соотношением Z(p) = Wэт(p) X(p),
где Wэт(p) - эталонная передаточная функция.
Рис.7.3
Исследования
проводятся для случая,
плотности входных сигналов имеют вид
Sx( w) 
когда
спектральные

1   2
Sf ( w)  A
передаточная функция системы - W(p) =k/(1+pT), а Wэт(p)=1.
Для случая оптимальной фильтрации
помехи
f(t)
можно
показать, что средняя квадратичная
ошибка
на выходе
системы
определяется из соотношения
 2 (t )  0.5 (T //   (1  k ) 2 ) /(   T )  0.5 Ak 2 / T
(7.9)
На основе зависимости (7.9) могут быть
определены
оптимальные значения коэффициента
усиления системы
kопт
и
постоянной времени Tопт при условии равенства нулю производных
функции по каждому из этих параметров. Выражения для определения
kопт и Tопт имеют следующий вид
(7.10)
kопт  T /( A(   T )  T )
Tопт   /(  (2  k ) / Ak  1)
(7.11)
В процессе
подготовки к работе , используя
эти
соотношения необходимо рассчитать значения kопт и Tопт.
В
ходе лабораторных исследований требуется на основе
вычислительного эксперимента построить зависимость СКО от T при
фиксированном исходном значении коэффициента усиления
k, а
также аналогичную зависимость для случая k = kопт.
При выполнении исследований нужно помнить, что генерация
случайных сигналов
x(t) и f(t) осуществляется на основе
полигармонического представления (7.1) с конечным
числом
гармонических
составляющих,
что
обусловливает
некоторое
отличие
спектральных характеристик генерируемых сигналов
от
заданных при постановке задачи фильтрации (7.8).
Исходные данные для проведения
исследований
Значения параметров спектральной плотности
сигналов и параметров динамических звеньев
Вар.
1
α
1.5
Раздел 1
β
3.0
ωгр
10
Раздел 2
x(t)
W(p)
Тип I A0=2.0
α=1.0 B1=1.5
β=1.5 B0=1.0
2
2.0
2.5
15
Тип I
α=1.5
β=3.0
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
3
2.5
2.0
20
Тип I
α=2.0
β=2.0
A0=1.5
B1=1.3
B0=1.0
4
2.0
1.0
15
Тип I
α=1.5
β=1.2
A0=1.2
B1=2.0
B0=1.0
5
1.5
2.5
8.0
Тип I
α=1.0
β=3.0
A0=1.5
B1=1.1
B0=1.0
6
1.3
2.0
10
Тип I
α=2.0
β=1.5
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
7
1.0
3.0
20
Тип I
α=1.3
A0=1.0
B1=0.8
f(t)
Тип
III
A=0.1
ωгр=15
Тип
III
A=0.2
ωгр=10
Тип
III
A=0.3
ωгр=10
Тип
III
A=0.2
ωгр=10
Тип
III
A=0.3
ωгр=15
Тип
III
A=0.1
ωгр=10
Тип
III
Таблица 7.1
исследуемых
Раздел 3
x(t)
W(p)
Тип I A0=1.0
α=1.5 B1=1.5
β=2.0 B0=1.0
Тип I
α=1.0
β=3.0
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
Тип I
α=2.0
β=1.5
A0=1.0
B1=1.3
B0=1.0
Тип I
α=1.3
β=3.0
A0=1.0
B1=2.0
B0=1.0
Тип I
α=1.8
β=2.5
A0=1.0
B1=1.1
B0=1.0
Тип I
α=1.5
β=3.0
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
Тип I
α=0.8
A0=1.0
B1=0.8
β=1.0
B0=1.0
8
1.5
2.0
12
Тип I
α=0.8
β=2.0
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
9
1.5
1.0
10
Тип I
α=1.0
β=1.5
A0=1.0
B1=0.7
B0=1.0
10
1.2
3.0
15
Тип I
α=1.5
β=2.0
A0=2.0
B1=1.0
B0=1.0
A=0.1
ωгр=20
Тип
III
A=0.2
ωгр=15
Тип
III
A=0.3
ωгр=15
Тип
III
A=0.3
ωгр=12
β=1.0
B0=1.0
Тип I
α=1.2
β=2.5
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
Тип I
α=1.6
β=2.0
A0=1.0
B1=0.7
B0=1.0
Тип I
α=1.3
β=3.5
A0=1.0
B1=1.0
B0=1.0
Контрольные вопросы для подготовки работы к защите
1. Дайте определение и поясните смысл
корреляционной
функции и спектральной плотности случайного процесса.
2. Запишите
алгоритм и
основное
выражение для
определения корреляционной
функции
по виду
реализации
случайного процесса, наблюдаемого на отрезке [0,T].
3.
Запишите
соотношения,
связывающие
корреляционные
функции и спектральные плотности случайных сигналов на входе и
выходе линейного динамического звена.
4. Как взаимосвязаны значения
среднего времени корреляции
и средней полосы частот случайного процесса?
Проиллюстрируйте
эту взаимосвязь на основе результатов, полученных в работе.
5. Сравните вид реализации случайного процесса
на
входе
и выходе исследуемого динамического
звена.
Поясните, чем
вызвано изменение вида случайного процесса на выходе звена?
6.
Сформулируйте
постановку
задачи
оптимальной
фильтрации помехи, воздействующей на вход следящей системы.
ЗАНЯТИЕ 8
Анализ нелинейных САУ при случайных воздействиях.
Цель работы - практическое освоение методов
статистических
характеристик
ошибки
замкнутой
воздействии на ее вход случайного сигнала.
Программа
определения
НСАУ
при
исследований
1.
Исследование
преобразования
нелинейным
звеном
случайного сигнала и его характеристик.
1.1.
Задайте
вид
случайного
процесса
и
характеристики нелинейного звена в соответствии с вариантом.
САУ
вид
1.2. Изменяя математическое ожидание сигнала на входе
звена в заданном
диапазоне
(3-4 значения),
наблюдайте
изменение вида реализации и вида функции плотности распределения
вероятности сигнала на выходе звена.
1.3. Проведите аналогичные исследования
для другого
указанного в задании типа нелинейного звена.
1.4. Зафиксируйте
в протокол полученные результаты для
граничных значений параметра mя4xя0 на отрезке варьирования.
2. Определение коэффициентов статистической линеаризации
нелинейного звена САУ.
2.1.
Выберите
тип
нелинейной
характеристики
исследуемого звена САУ (табл. 8.2).
2.2. Изменяя последовательно значения параметров mx и Dx
случайного сигнала
x(t), постройте семейство кривых
(4-5
графиков), характеризующих зависимость математического ожидания
сигнала на выходе звена mz(mx) для ряда фиксированных значений
Dx.
2.3. Постройте аналогичные зависимости Dz(Dx) для 4-5
фиксированных значений mx.
2.4. Зафиксируйте полученные результаты в протокол.
3. Определение статистических характеристик ошибки
НСАУ
методом статистической линеаризации.
3.1. Задайте тип и параметры нелинейного звена САУ,
параметры линейной части, а также параметры случайного сигнала,
воздействующего на вход системы, в соответствии с вариантом
задания (табл. 8.2).
3.2.
На
основе
графоаналитического
метода
(см.
методические
указания
по
выполнению
работы)
проведите
построения графических зависимостей,
отображающих решения
уравнений
замыкания
САУ
по математическому ожиданию и по
дисперсии случайного сигнала.
3.3. Определите
математическое ожидание
и дисперсию
ошибки НСАУ путем совместного решения в графическом виде
уравнений замыкания системы.
3.4. Повторите исследования по пунктам 3.3 и 3.4
для
других значений mx и Dx, указанных в табл.4.2.
Задание на подготовку к работе
1. Запишите соотношения, на основе которых могут быть
определены
mz, Dz
и
функция
плотности
распределения
вероятности сигнала на выходе
нелинейного
звена,
имеющего
статическую характеристику
кусочно-линейного
вида
при
условии,
что на вход звена воздействует гауссовский случайный
сигнал.
2.Для
заданного
типа
нелинейного
звена
постройте
качественно
графики
зависимостей
mz(mx)
и
Dz(Dx)
при
фиксированных значениях Dx
и
mx соответственно,
взятых на
границах варьирования этих параметров (табл. 8.2).
3. Запишите передаточную функцию линеаризованной системы
по постоянной и случайной составляющей сигнала.
Параметры НСАУ
приведены в табл. 8.2.
4. На основе
метода
статистической
линеаризации
запишите уравнения замыкания НСАУ по математическому ожиданию
и по дисперсии случайного сигнала.
Методические указания
по выполнению работы
В
первом
разделе
работы
исследуется
преобразование
реализации случайного процесса и его характеристик нелинейным
звеном САУ. В отличие от линейных САУ, при рассмотрении
случайных процессов в НСАУ в основу анализа приняты методы
усреднения
по
множеству.
Поэтому
в
качестве
основной
характеристики
случайного
процесса
в
исследовании
рассматривается функция распределения вероятности.
В табл. 8.1 задано два вида нелинейной
статической
характеристики, для которых последовательно проводится анализ
вида реализации случайного процесса на входе и выходе звена
и
соответствующих функций
плотности
распределения вероятности.
В процессе исследования анализируется влияние математического
ожидания
сигнала на входе звена на вид функции плотности
распределения вероятности сигнала, наблюдаемого на его выходе.
Вторым
пунктом
задания
предусмотрено
построение
характеристик преобразования
нелинейным
звеном
значений
математического
ожидания
mx
и
дисперсии
Dx
при
передаче
случайного сигнала на выход нелинейного звена. По существу,
этот
этап
работы состоит в определении коэффициентов
статистической
линеаризации
нелинейного звена
САУ в широком
диапазоне изменения статистических характеристик процесса на
входе.
На рис.8.1 качественно приводится вид зависимостей mz(mx) и
Dz(Dx), которые требуется построить в соответствии с заданием.
Построение проводится по точкам варьированием параметров mx и Dx
в
заданном
диапазоне
(табл.8.2).
Количество
графиков,
характеризующих каждую из исследуемых зависимостей,
должно
быть не менее пяти. При этом в обязательном порядке строятся
характеристики
для
граничных
значений
фиксированного
параметра (Dx для зависимости mz(mx) и mx для зависимости Dz(Dx)),
а также для трех промежуточных значений.
Рис.8.1
Число точек, используемых для построения каждого графика,
не должно быть более десяти. Следует отметить, что оценка mz и
Dz производится по реализации, наблюдаемой на конечном отрезке
времени, и носит случайный характер.
В работе предусмотрена
процедура уменьшения величины смещения оценок mz и Dz путем
повторения вычислительного эксперимента при выбранных mx и Dx.
При этом автоматически производится усреднение оценок mz и Dz с
учетом ранее полученных значений.
Процедуру
"уточнения"
графиков в отдельных точках рекомендуется применять в том
случае, когда на построенном семействе характеристик mz(mx) и
Dz(Dx) наблюдается "выпадение" некоторых точек на графиках.
Далее
с
использованием
построенных
зависимостей
определяются статистические характеристики ошибки замкнутой
НСАУ
при стационарном случайном входном воздействии. Расчет
ошибки НСАУ производится методом статистической линеаризации.
На
рис.8.2 приведена общая структурная схема НСАУ, которая
приближенно заменяется эквивалентной ей в статистическом смысле
линейной системой (рис.8.3).
x(t)
ε
(
t
)
y(t)
Z(ε)
Wл(jw)
Рис. 8.2.
Рис.8.3
В табл. 8.2
для каждого варианта
задания
указывается
тип нелинейного элемента и его параметры,
а
также параметры
передаточной функции линейной части САУ.
Для расчета параметров
me и
De
замкнутой
НСАУ
применяется
графоаналитический
метод,
включающий
следующие
этапы:
1.Составляются уравнения замыкания НСАУ по постоянной и
центрированной случайной составляющей:
me = F1(m ) = mx / (1 + k0 (m ,D )Wл(0))
(8.1)
De
1
= F2(D ) =
2

2
1
 1  k1 (m , D )Wл ( jw) S x (w)dw
(8.2)
где k0(m ,D ) = mz/m и k1(m ,D ) = Dz/D
- коэффициенты
статистической линеаризации, значения которых для заданных m и
D
могут быть
получены
на основании
характеристик,
построенных при выполнении второго пункта задания.
2. Последовательно
в графической форме производится
решение
уравнений замыкания (8.1) и (8.2) НСАУ (рис.8.4).
Рис.8.4
Решения каждого из уравнений получается в виде точек,
характеризующих соответствующие зависимости
D = f1(m ) и D =
f2(m ).
3. Находится совместное решение уравнений
замыкания (8.1)
и (8.2) относительно mуст и Dуст путем построения в плоскости
параметров (m ,D ) полученных на предыдущем шаге зависимостей
f1(m )и f2(m ) (рис.8.5).
Рис.8.5
Каждый из этапов решения реализован в виде отдельных
пунктов меню. Расчет значений функций F1(me) и F2(De) производится
в
ПК. Для построения графиков
следует
варьировать значения
параметров m и D .
Исходные данные для проведения исследований
Таблица 8.1
Значения параметров нелинейного звена и случайного процесса для
исследований по первому разделу задания (п.п. 1.1-1.4).
Номер
варианта
Вид
Z(x)
a
b
c
k1
k2
Dx
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B, D
D, BD
BD, L
L, DL
L, D
B, DL
B, D
D, BD
BD, L
L, DL
1.0
0.5
1.0
0.5
1.0
1.0
0.5
1.0
0.5
1.5
0.8
0.5
1.5
0.5
0.5
0.3
0.5
1.0
0.5
0.6
1.0
1.0
1.5
1.0
1.0
1.5
0.8
0.5
-
1.0
1.0
1.5
0.8
0.5
-
1.5*b
1.5*b
1.5*b
1.5*c
1.5*b
1.5*c
1.5*b
1.5*b
1.5*c
1.5*c
Типовые характеристики исследуемых
нелинейных звеньев
Диапазон
вариации
mx
[ 0,2b ]
[ 0,2b ]
[ 0,2b]
[ 0,2c ]
[ 0,2b ]
[ 0,2c ]
[ 0,2b ]
[ 0,2b ]
[ 0,2c ]
[ 0,2c ]
Рис 8.6
Таблица 4.2
Исходные данные для расчета ошибки НСАУ при случайном
воздействии (разделы 2 и 3 задания).
номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Тип
нелинейного
звена
L, a=1.0
b=1.0
mx
Dx
Передаточная функция
линейной части ИСАУ
0
0.5
0.5
0.5
D, b=1.0
k1=1.0
k2=2.0
DL, a=1.0
b=0.5
c=1.0
L, a=0.5
b=1.0
0
0.7
0.6
0.3
10
(1  0.5 p)(1  2 p)
15
2
p  0.7 p  1
0
1.0
0.5
0.5
20
(1  0.8 p)(1  2.5 p)
0
0.7
0.8
0.3
DL, a=0.5
b=0.5
c=1.0
L, a=0.5
b=0.5
0
1.0
0.6
0.3
25
1.2 p  0.6 p  1
20
2
1.4 p  0.4 p  1
0
0.5
0.3
0.5
D, b=0.2
k1=2.0
k2=2.0
D, b=0.5
k1=1.0
k2=1.0
L, a=1.0
b=1.0
0
0.5
0.4
0.4
25
(1  0.7 p)(1  1.8 p)
15
2
p  0.7 p  1
0
1.0
0.8
0.5
10
(1  0.5 p)(1  2 p)
0
0.5
0.6
0.5
25
1.8 p  0.8 p  1
2
2
10
DL, a=0.5
b=0.4
c=1.0
0
0.6
0.6
0.6
20
(1  0.6 p)(1  1.5 p)
Во всех вариантах в процессе определения
параметров
ошибки НСАУ спектральная плотность случайного сигнала на входе
задается в виде:
Sx(w)=α/(1+1.5w2)
где параметр α автоматически выбирается для заданного значения
дисперсии Dx.
Контрольные вопросы для подготовки работы к защите
1. Объясните изменение вида функции плотности распределения
вероятности случайного сигнала на выходе нелинейного звена по
результатам, полученным в работе.
2. Какова основная идея метода статистической линеаризации?
3. Напишите аналитические выражения для вычисления
математического ожидания и дисперсии случайного сигнала на
выходе нелинейного звена.
4. Поясните форму зависимостей mz(mx) и Dz(Dx), полученных
в работе.
5. Представьте структурную схему замкнутой НСАУ для
вычисления статистических характеристик ошибки системы.
6. На примере исследований, проведенных в работе, объясните
метод графоаналитического решения уравнений замыкания НСАУ по
математическому ожиданию и дисперсии случайного воздействия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Теория
А.В. Нетушила.
2. Теория
А.А. Воронова.
3. Цыпкин
Наука, 1977.
автоматического управления. Ч.1, Ч.2/ Под ред.
М.: Высшая школа, 1976.
автоматического управления. Ч.1, Ч.2/ Под ред.
М.: Высшая школа, 1986.
Я.З. Основы теории автоматических систем. М.:
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие..................................................
Занятие 1. Типовые звенья систем автоматического
регулирования и их соединения ...............................
Занятие 2. Исследование типовых законов регулирования...
Занятие 3. Синтез линейной системы автоматического
регулирования методом ЛАЧХ...................................
Занятие 4. Исследование нелинейных систем методом фазовой
плоскости....................................................
Занятие 5. Исследование устойчивости нелинейной САУ...
Занятие 6. Исследование линейных импульсных систем
автоматического управления...................................
Занятие 7. Исследование случайных процессов в линейных
системах
автоматического управления.......................
Занятие 8. Анализ нелинейных САУ при случайных
воздействиях.................................................
Литература..............................................
О.М. Державин, М.Б. Коломейцева, В.Е. Митрофанов
Методическое пособие
для учебно-лабораторного практикума по курсу
"Теория управления"
(Кафедра Управления и информатики)
Редактор В.А. Мжельская
Технический редактор
Темплан издания МЭИ 1994 г., метод.
Подписано к печати
Формат 60х84/16
Печ.л.
Уч.-изд.л.
Тираж
Изд.
Заказ
Типография издательства МЭИ, ротапринт
Красноказарменная, 13