Раздел 1 Примеры постановки задач

Примеры математической постановки задач тепломассообмена с различными граничными условиями
(К разделу 1 курса «Уравнения математической физики применительно к задачам теплоэнергетики»)
Пример 1
Металлический лист толщиной 2·δ в процессе термообработки подвергается нагреву до температуры
с
последующей закалкой в среде с постоянной температурой
Поставить задачу исследования эволюции температуры
внутри листа. Теплосъем с поверхности листа в процессе охлаждения осуществляется конвекцией с интенсивностью α.
Выбор системы координат. Поскольку пространственная область ограничена плоскими поверхностями,
целесообразно использовать декартовую систему координат. Предполагая толщину листа существенно меньшей длины
и ширины, считаем лист неограниченной плоской пластиной. Учитывая симметрию начальной температуры и
теплосъема с боковых поверхностей, достаточно ограничиться рассмотрением процесса в половине области, располагая
начало координат в плоскости симметрии. Температурное поле внутри листа считаем зависящим исключительно от
координаты х, перпендикулярной граням листа, что является следствием малости толщины листа по сравнению с
длиной и шириной, (0 ≤ x ≤ δ), что равносильно пренебрежению тепловыми потоками через торцевые поверхности
листа по сравнению с таковыми через боковые грани. Таким образом, T=T(x, τ). Внутренние источники (стоки) тепла в
области отсутствуют.
Постановка задачи. Уравнение теплопроводности с учетом допущений имеет вид
∂Т
∂ 2Т
=а 2 ;
∂х
∂τ
Краевые условия:
Начальное условие
0≤ х ≤δ, τ ≥ 0
(1)
Граничные условия Следствием симметрии процесса охлаждения является отсутствие теплообмена между двумя
половинами листа. Поэтому граничное условие при x=0 формулируется в виде условия адиабатной изоляции
qλ
x =0
= −λ
∂T (0,τ )
= 0;
∂x
∂T (0,τ )
=0
∂x
(3)
На боковых гранях пластины (x=δ) реализуется условие равенства тепловых потоков теплопроводности изнутри листа к
внешней поверхности грани и конвекции в окружающую среду.
qλ = qα ;
−λ
∂T (δ ,τ )
= α [T (δ ,τ ) − Tср ]
∂x
Совокупность выражений (1 - 4) представляет математическую модель постановки задачи.
(4)
Пример 2.
Цилиндрическая заготовка вала турбины диаметром d с начальной температурой Т0 перед обработкой давлением
нагревается в печи до температуры пластической деформации Тд. Исследовать процесс эволюции температурного поля
в заготовке с целью дальнейшего расчета продолжительности нагрева.
Выбор системы координат. При описании процессов в пространственных областях с осевой симметрией
целесообразно использовать цилиндрическую систему координат (x, Y, z) → (r, φ, z). Считаем длину заготовки H
существенно превышающей ее диаметр (d<<H). В этом случае заготовку можно считать неограниченным цилиндром.
Эта идеализация означает, что нагрев заготовки осуществляется за счет потоков тепла исключительно через боковую
поверхность, и температура внутри области при симметричном по углу начальном распределении и соответствующим
процессом подвода тепла может считаться функцией только радиальной координаты и времени T=T(r, τ). Внутренние
источники (стоки) тепла в области отсутствуют.
Постановка задачи Уравнение теплопроводности с учетом допущений имеет вид
∂Т
1 ∂  ∂Т 
=а
r
;
∂τ
r ∂r  ∂r 
0≤r ≤ R=
d
, τ ≥0
2
(5)
Краевые условия:
Начальное условие
Граничные условия В нагревательной печи разогрев заготовки проводится за счет излучения. Лучистый поток
тепла будем рассчитывать по закону Ньютона с коэффициентом интенсивности αлуч, полагая симметричный по углу
нагрев заготовки. При этом граничное условие на поверхности заготовки заключается в равенстве потоков подводимого
извне лучистого потока и потока теплопроводности, транспортирующего тепло от поверхности внутрь области
q луч = qλ ;
α луч [Т изл − T (R,τ )] = λ
∂T (R,τ )
∂r
(7)
Вторым граничным условием в случае области в виде сплошного цилиндра (граница области одна – наружная
поверхность цилиндра) является принцип ограниченности потенциалов переноса в любой точке области, в том числе и
на оси. Выражения (5 – 7) образуют математическую модель процесса нагрева заготовки. Для определения в
дальнейшем времени выдержки заготовки в печи потребуется задание дополнительно допустимой величины
неравномерности температурного поля, поскольку внешняя поверхность будет несколько перегрета по сравнению с
внутренними точками области.
Пример 3
Электрический проводник диаметром d длительное время нагревался электрическим током, выделяющим
. Исследовать процесс охлаждения
джоулево тепло с равномерно распределенной по объему плотностью
проводника после выключения тока, считая, что как в процессе охлаждения так и в процессе нагрева на боковой
поверхности проводника происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры с коэффициентом
теплоотдачи α.
Постановка задачи Аналогично предыдущему, построение математической модели процесса охлаждения
проводника целесообразно вести в цилиндрической системе координат. После выключения тока внутреннее
тепловыделение в проводнике отсутствует.
Уравнение теплопроводности
∂Т
1 ∂  ∂Т 
=а
;
r
∂τ
r ∂r  ∂r 
0≤r ≤ R=
d
, τ ≥0
2
(8)
Краевые условия:
Начальное условие. В формулируемой задаче начальное состояние системы в стадии охлаждения является
результатом длительного процесса эксплуатации проводника, при котором во внутренних точках области сложилось
распределение температур, равновесное с наложенными условиями, когда выделяемое током джоулево тепло
снималось с поверхности конвекцией в окружающую среду. Учитывая симметрию процессов выделения тепла током и
охлаждения с поверхности, полагаем сложившееся поле температур в проводнике перед отключением тока функцией
только расстояния от оси проводника
Граничные условия. На поверхности охлаждаемого проводника записывается равенство тепловых потоков
теплопроводности изнутри к наружной поверхности и конвекции в окружающую среду нулевой температуры
qα = qλ ;
αТ (R,τ ) = −λ
∂T (R,τ )
∂r
(10)
Вторым условием служит принцип ограниченности температуры в любой точке области.
Расчет конкретного выражения для начального распределения температур в проводнике после выключения тока
является предметом отдельной задачи. Поскольку в результате длительной работы в проводнике складывается
стационарное распределение температур, при котором температура зависит только от радиальной координаты, но
одновременно происходит выделение джоулева тепла, уравнение теплопроводности принимает вид
1 d  df (r ) q0
r
=
r dr  dr  λ
Граничным условием к уравнению (11) является выражение полностью аналогичное (10)
Выражения (8 – 12) образуют математическую модель задачи.
(11)
Пример 4
Охотники, изготовляющие дробь в домашних условиях, льют расплавленный свинец каплями в охлаждающую
среду (воду). Считая дробинки достаточно мелкими, полагаем, что капля расплава, попадая в охлаждающую среду,
мгновенно затвердевает и затем охлаждается, находясь в твердом состоянии. Исследовать процесс охлаждения
дробинки диаметром d. Коэффициент теплоотдачи α определить из условия Nu=2. Теплофизические характеристики
свинца и охлаждающей среды считать постоянными.
Постановка задачи Считаем форму дробинки правильной сферической. В этом случае предпочтительно
использовать для описания процессов сферическую систему координат (x, y, z) → (r, φ, θ). Поле температур внутри
дробинки формируется в результате отвода тепла с ее поверхности в окружающую среду. При этом источники или стоки
тепла внутри дробинки отсутствуют. Температура внутри дробинки в условиях симметричного охлаждения является
функцией только радиальной координаты и времени
Уравнение нестационарной теплопроводности
1 ∂  ∂Т 
∂Т
= а 2 r 2
∂τ
r ∂r  ∂r 
(14)
Начальное условие Принимаем, что в начальный момент времени дробинка имела температуру, равную
температуре отвердевания
Т (r ,0 ) = Tф.п
(15)
Граничное условие III рода Отражает особенности контакта дробинки с охлаждающей средой: тепловые потоки
теплопроводности изнутри дробинки к поверхности и конвекции в среду равны
qα = qλ ;
α [Т (R,τ ) − Т ср ] = −λ
∂T (R,τ )
∂r
(16)
Коэффициент теплоотдачи можно определить из выражения
Nu =
2λср
αd
= 2; α =
d
λср
(17)
Пример 5
Исследовать температурный режим работы изоляции электрического кабеля, металлическая жила которого
изготовлена из материала с высокой электро – теплопроводностью. При протекании тока в жиле кабеля выделяется
джоулево тепло с равномерно распределенной по объему плотностью q0, Вт/м3. Отвод тепла осуществляется с
поверхности изоляции в среду с постоянной температурой с интенсивностью α.
)
Уравнение стационарной теплопроводности, описывающее температурное поле в слое изоляции (
строится в предположении о симметричном по углу отводе тепла с поверхности. Источники (стоки) тепла в слое
изоляции отсутствуют. Описание температурного режима предлагается проводить в цилиндрической системе отсчета.
Температура в слое изоляции зависит только от радиальной координаты.
1 d  dТ из 
r
=0
r dr  dr 
Граничные условия На внешней поверхности изоляции (r =
α [Т из (R2 ) − Т ср ] = −λ
(18)
) реализуется граничное условие III рода
∂Tиз (R2 )
∂r
(19)
На внутренней поверхности слоя изоляции – контакт с металлической жилой кабеля. Граничное
условие формулируется в виде совокупности двух соотношений: 1. Температура жилы на ее поверхности
равна температуре внутренней поверхности изоляции. 2. Тепловой баланс произвольного отрезка длины
жилы, рассматриваемой как сосредоточенная теплоемкость приравнивает тепло, выделившееся при
прохождении тока на данном участке, теплу, воспринятому жилой при данной ее температуре
Т из (R2 ) = Tж
(20)
ρ ж С ж (Tж − Т ср ) = q0
(21)