ФУНКЦИЯ ω2 ДЛЯ ПОЛНЫХ ДВУДОЛЬНЫХ

Ф. Г. КОРАБЛЁВ, А. А. КАЗАКОВ, А. И. СЕРГЕЕВА
ФУНКЦИЯ ω2 ДЛЯ ПОЛНЫХ ДВУДОЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРАФОВ
Исследуются свойства функции ω2 для полных двудольных пространственных
графов. Доказывается, что значение этой функции инвариантно относительно вложения и однозначно определяется абстрактным полным двудольным графом. Также доказывается, что функция ω2 всегда тривиальна.
Kлючевые слова: пространственный граф, гамильтоново зацепление, двудольный
граф.
Введение
В 1983 г. Дж. Конвей и К. Гордон [1] доказали, что любой полный пространственный (то есть вложенный в R3 ) граф с шестью вершинами содержит
зацепленную гамильтонову пару циклов. Для доказательства этого они использовали функцию ω2 со значениями в Z2 полного пространственного графа с шестью
вершинами. Было доказано, что значение этой функции совпадает для всех таких графов, и если ω2 = 1, то любой полный пространственный граф с шестью
вершинами содержит зацепленную гамильтонову пару циклов.
В настоящей работе рассматривается аналогичная функция ω2 для полных
двудольных пространственных графов. Основными результатами являются следующие две теоремы:
′
′′
Теорема 1. Пусть Km,n
, Km,n
— два полных двудольных пространственных
′
′′
графа. Тогда ω2 (Km,n ) = ω2 (Km,n ).
Из теоремы 1 следует, что значение функции ω2 не зависит от конкретного
вложения полного двудольного графа в пространство R3 , а определяется только
самим графом.
Теорема 2. Пусть Km,n — полный двудольный пространственный граф. Тогда
ω2 (Km,n ) = 0 при m, n ∈ N.
Из теоремы 2 следует, что подход Конвея и Гордона не позволяет доказать
существование зацепленных гамильтоновых пар циклов в полном двудольном
пространственном графе. Более подробно о задаче существования нетривиальных
гамильтоновых зацеплений в пространственных графах см. [2; 3].
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 12-01-31276), гранта НШ1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ, а также целевой программы
УрО и СО РАН (совместный проект 12-С-1-1018/1).
126
Ф. Г. Кораблёв, А. А. Казаков, А. И. Сергеева
1. Функция ω2
Пусть Km,n — полный двудольный пространственный граф, m, n ∈ N. Определим значение ω2 (Km,n ) функции ω2 как остаток от деления на 2 суммы
X
lk(α, β),
(α,β)
где суммирование берётся по всем гамильтоновым парам циклов (α, β) в графе
Km,n (то есть парам непересекающихся циклов в графе, проходящих через все
его вершины), lk(α, β) — коэффициент зацепления компонент α и β. Отметим,
что полный двудольный граф Km,n содержит гамильтонову пару циклов тогда
и только тогда, когда m = n > 4. Положим по определению ω2 (Km,n ) = 0 при
m 6= n или m, n 6 3. Так как функция ω2 принимает значения в Z2 , то при ее
вычислении ориентации компонент α и β не важны.
Доказательство теоремы 1. При изотопии коэффициент зацепления lk(α, β) не
меняется. Поэтому для доказательства теоремы достаточно проверить, что значение функции ω2 не меняется при одном преобразовании переброски, которое
состоит в локальной замене одного перекрёстка на противоположный перекрёсток — нижнее ребро становится верхним и наоборот (рис. 1).
Рис. 1. Преобразование переброски
Пусть m = n > 4, и пусть полный двудольный пространственный граф
′
получается из полного двудольного пространственного графа Kn,n
с помо′
щью одной операции переброски. Обозначим a, b рёбра графа Kn,n , к которым
применяется эта операция переброски. Если в гамильтоновой паре циклов (α, β)
либо какая-нибудь из компонент не проходит по одному из рёбер a или b, либо
какая-нибудь компонента проходит по обоим ребрам a и b, то значение коэффициента зацепления lk(α, β) не меняется при переброске. Если a ∈ α и b ∈ β, то
при операции переброски коэффициента зацепления компонент α и β меняется
на 1.
Покажем, что число гамильтоновых пар циклов, одна из компонент которых
проходит по ребру a, а вторая по ребру b, чётно. Пусть V = {v1 , . . . , vn } и U =
′
{u1 , . . . , un } — доли графа Kn,n
, и пусть компоненты гамильтоновой пары циклов
(α, β) имеют вид
′′
Kn,n
α = (vi1 , uj1 , . . . , vik , ujk ), β = (vik+1 , ujk+1 , . . . , vin , ujn ).
Без ограничения общности можно считать, что ребро a инцидентно вершинам vi1 , vj1 , а ребро b инцидентно вершинам vik+1 , ujk+1 . Сопоставим гамильтоно-
Функция ω2 для полных двудольных пространственных графов
127
вой паре циклов (α, β) пару (α′ , β ′ ) по следующему правилу:
α′ = (vi1 , uj1 , vik+2 , ujk+2 , . . . , vin , ujn ), β ′ = (vik+1 , ujk+1 , vi2 , uj2 , . . . , vik , ujk ).
′
Так как граф Kn,n
является полным двудольным графом, то пара (α′ , β ′ )
′
является гамильтоновой парой циклов в Kn,n
. Непосредственно проверяется, что
′
′
пары (α, β) и (α , β ) различны. Следовательно число гамильтоновых пар циклов,
одна из компонент которых проходит по ребру a, а вторая по ребру b , чётно.
2. Функция ω2 для канонического графа Kn,n
Из определения функции ω2 и теоремы 1 следует, что для каждого n > 4
значение функции ω2 достаточно искать для одного конкретного полного двудольного пространственного графа. Построим канонический полный двудольный
пространственный граф Kn,n следующим образом (рис. 2):
1. Вершины первой доли V = {v1 , . . . , vn } находятся в вершинах правильного
n-угольника, расположенного в плоскости Oxy с центром в начале координат.
2. Вершины второй доли U = {u1 , . . . , un } находятся на оси Oz симметрично
относительно плоскости Oxy так, чтобы вершина ui располагается в точке
(0, 0, n+1
− i).
2
3. Ребрами графа Kn,n являются прямолинейные отрезки, соединяющие вершину vi с вершиной vj , i, j = 1, . . . , n, i 6= j.
Рис. 2. Канонический граф K4,4
Зададим инволюцию τ : Kn,n → Kn,n , индуцированную следующим отображением вершин:
τ (vi ) = vi , τ (uj ) = un+1−j , i, j = 1, . . . , n.
Инволюция τ состоит в симметрии относительно плоскости Oxy. Обозначим
через Γ множество всех гамильтоновых пар циклов в полном пространственном
128
Ф. Г. Кораблёв, А. А. Казаков, А. И. Сергеева
графе Kn,n , через Sτ множество гамильтоновых пар циклов в графе Kn,n , неподвижных относительно инволюции τ . Непосредственно проверяется, что в силу
гамильтоновости рассматриваемых пар циклов, если n > 4, то множество Sτ пусто, а если n = 4, то множество Sτ состоит из шести пар циклов (рис. 3). Причем
для каждой из этих шести пар (α, β) коэффициент зацепления lk(α, β) равен 0.
Рис. 3. Шесть пар циклов из множества Sτ для графа K4,4
Доказательство теоремы 2. По определению ω2 (Km,n ) = 0 при m 6= n или
m, n 6 3. Найдём ω2 (Kn,n ), n > 4.
Рассмотрим случай n > 4. Тогда каждой гамильтоновой паре циклов
(α, β) ∈ Γ можно сопоставить другую пару циклов (τ (α), τ (β)). Так как инволюция τ является симметрией относительно плоскости Oxy, то коэффициенты
зацепления этих пар имеют одинаковую чётность, следовательно,
lk(α, β) + lk(τ (α), τ (β)) ≡ 0 (mod 2).
Тогда ω2 (Kn,n ) = 0.
Рассмотрим случай n = 4. Пусть (α, β) ∈ Γ. Если (α, β) ∈ Sτ , то, как
отмечалось ранее, lk(α, β) = 0. Если (α, β) ∈ Γ \ Sτ , то, аналогично предыдущему
случаю, этой паре можно сопоставить другую пару (τ (α), τ (β)), причем lk(α, β)+
lk(τ (α), τ (β)) ≡ 0 (mod 2). Следовательно, в этом случае также ω2 (Kn,n ) = 0.
Список литературы
1. Conway, J. H. Knots and links in spatial graphs / J. H. Conway, C. McA. Gordon //
J. of Graph Theory. — 1983. — Vol. 7. — P. 445—453.
2. Веснин, А. Ю. О зацепленности гамильтоновых пар циклов в пространственных
графах / А. Ю. Веснин, А. В. Литвинцева // Сиб. электрон. мат. изв. — 2010. —
Т. 7. — C. 383–393.
3. Bowlin, G. Knotted Hamiltonian cycles in spatial embeddings of complete graphs /
G. Bowlin, P. Blain, J. Foisy, J. Hendricks, J. LaCombe // N. Y. J. of Mathematics. —
2007. — Vol. 13. — P. 11–16.