ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå3

Практическое занятие №3
Тема: Топологические многообразия
План занятия
1. Клеточное разбиение. Ориентируемость поверхности.
2. Эйлерова характеристика поверхности.
3. Топологическая классификация поверхностей.
Понятие n-мерного многообразия и поверхности
Основные факты
n-мерным многообразием называется такое хаусдорфово
топологическое пространство, каждая точка которого имеет
окрестность, гомеоморфную n-мерному евклидову пространству En (или, что то же самое, открытому шару в En).
Поверхностью будем называть такое хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу
(рис. 9).
Рис. 9.
Компактные поверхности чаще всего называют замкнутыми поверхностями. Например, сфера, тор и проективная плоскость – это замкнутые поверхности, а гиперболоиды и параболоиды не являются замкнутыми поверхностями.
Поверхностью с краем будем называть такое хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную
евклидовой плоскости E2 или евклидовой полуплоскости (рис. 10).
Те точки поверхности с краем, которые имеют окрестности, гомеоморфные
плоскости, называются внутренними точками поверхности, а те точки, которые имеют
окрестности, гомеоморфные полуплоскости,
называются точками края.
Если край ∂F поверхности с краем F
не пуст, то он имеет простое строение: каждая его компонента гомеоморфна либо
Рис. 10.
окружности, либо прямой.
Рассмотрим так называемую операцию «склеивания». Она заключается в следующем. Берутся две поверхности с краем F/ и F// и на их краях ∂F/ и ∂F// выделяются некоторые гомеоморфные части L/ и L// (рис. 11). Соответствующие (по некоторому гомеоморфизму f) точки Х/∈L/ и Х//∈L// отождествляются («склеиваются») в одну точку Х. «Склеенные» окрестности точек Х/ и Х// становятся окрестностями точки Х. Получается новая поверхность с краем F, «склеенная» из F/ и F// (посредством гомеоморфизма f). «Склеивать»
можно и отдельные части края одной и той же поверхности с краем. Именно так из квадрата I2={(x,y), 0≤x≤1, 0≤y≤1} в плоскости ℜ2 «склеивается» лист Мебиуса. Он получается
из I2 отождествлением точек вида (0,у) и (1,1-у) (рис.12).
Рис.11.
Рис.12.
111
Край листа Мебиуса гомеоморфен окружности, поэтому лист Мебиуса не гомеоморфен кольцу, у
которого край состоит из двух окружностей.
Если в квадрате I2={(x,y), 0≤x≤1, 0≤y≤1} считать эквивалентными точки вида (х,0) и (1-х,1), а также точки (0,у) и (1,у), то поверхность, «склеенная» из
I2 по этому отношению эквивалентности, называется
бутылкой Клейна (рис. 13).
Рис.13.
Клеточное разбиение. Ориентируемость поверхности
Основные факты
Простой дугой называется гомеоморфный образ отрезка, а простой замкнутой
кривой или циклом – гомеоморфный образ окружности.
Пусть F – компактная поверхность с краем. Сетью Σ на F назовем любой набор конечного
числа точек А1, …, Аm и конечного числа простых дуг γ1, …,γn, которые имеют концы в
точках А1, …, Аm и не пересекаются друг с другом во внутренних точках. Точки А1, …, Аm
называются вершинами сети, дуги γ1, …,γn – ребрами сети.
Областями сети назовем компоненты множества F\(( ∪ Ai )∪( ∪ γ j )).
i
j
Если каждая область сети Σ гомеоморфна открытому кругу, то говорят, что сеть Σ
задает клеточное разбиение поверхности с краем F. В этом случае вершины сети называются нульмерными клетками клеточного разбиения, ребра сети с исключенными концами
– его одномерными клетками, а области сети – двумерными клетками разбиения.
Приведем примеры сетей и клеточных разбиений.
1. Сеть на сфере S2, состоящая из одной точки А, задает клеточное разбиение сферы, состоящее из одной нульмерной и одной двумерной клетки (рис. 14а).
2. Параллель и меридиан разбивают двумерный тор Т2 на одну нульмерную клетку - точку пересечения параллели и меридиана, две одномерные и одну двумерную клетку
(рис.14б).
3. Клеточное разбиение проективной плоскости
Р2 можно построить следующим образом: в Р2
возьмем проективную прямую Р1 и точку Р0∈Р1.
Клетки определяются так: одна нульмерная Р0,
одна одномерная Р1\Р0 и одна двумерная Р2\Р1.
Клеточное разбиение Т поверхности с
краем F называется триангуляцией F, если в Т
граница каждой двумерной клетки ti∈T состоит
из трех различных одномерных клеток τi1, τi2, τi3
Рис.14.
разбиения Т, а концы каждой одномерной клетки γ∈Т лежат в двух различных одномерных клетках разбиения Т. В этом случае нульмерные клетки триангуляции Т именуюытся
ее вершинами, одномерные клетки – ребрами, а двумерные клетки с границами – топологическими треугольниками.
Каждая поверхность с краем может быть триангулирована (Тибор Радо).
Пусть γ - ребро триангуляции Т поверхности с краем F с концами в точках А и В. Ориентацией ребра γ называется порядок в паре его вершин. Ребро γ имеет две ориентации
(А,В) и (В,А). Их называют противоположными. Ребро γ называется ориентированным, если выбрана одна из двух его ориентаций.
Ориентацией треугольника t называется порядок в тройке его вершин. Треугольник t имеет две ориентации. Треугольник называется ориентированным, если выбрана его ориентация.
Рис.15.
Говорят, что два ориентированных соседних треугольника в Т имеют согласованные ори112
ентации, если на общей стороне они индуцируют противоположные ориентации (рис. 15).
Поверхность с краем F называется ориентируемой, если существует такая ее триангуляция Т, все треугольники которой можно ориентировать так, что ориентации любых
двух соседних треугольников согласованы. Если такой ориентации не существует, то поверхность с краем называется неориентируемой. При проверке поверхности на ориентируемость можно выбрать любое ее клеточное разложение.
Примеры ориентируемых поверхностей: евклидова плоскость (рис.16а), сфера
(рис.16б).
Примеры неориентируемых поверхностей: проективная плоскость, лист Мебиуса
(рис.17), бутылка Клейна.
б)
Рис. 17.
Рис. 16.
Пусть γ - простая замкнутая кривая (цикл) на поверхности с краем F, не имеющая с
краем ∂F общих точек. Возьмем некоторую «достаточно узкую» окрестность G кривой γ. Если множество G\γ состоит из двух компонент, то γ называется
двусторонней (или двубережной) кривой, а если G\γ для любой области G⊃γ состоит из
одной компоненты, то γ называется односторонней (или однобережной) кривой. Например, у средней линии листа Мебиуса одна сторона (рис. 14).
Теорема. Поверхность с краем ориентируема тогда и только тогда, когда каждая простая замкнутая кривая на ней двусторонняя.
а)
Примеры решения типовых задач
Задача 21
Дан тетраэдр АВСD. Доказать, что его грани – треугольники АВС, АВD, АСD и
ВСD – представляют собой клеточное разбиение боковой поверхности тетраэдра.
Решение
Под клеткой понимается любое многообразие с краем, гомеоморфное выпуклому
многоугольнику. Грани тетраэдра представляют собой треугольники, т.е. выпуклые многоугольники. Треугольники АВС, АВD, АСD и ВСD пересекаются по общим ребрам. Поэтому они служат клеточным разбиением боковой поверхности тетраэдра.
Задача 22
Построить клеточное разбиение листа Мебиуса.
Решение
Способ 1.
Лист Мебиуса можно получить из прямоугольника АВСD отождествлением точек
отрезков АВ и СD, которые центрально-симметричны относительно центра прямоугольника. Пусть P и Q – точки, лежащие на сторонах ВС и АD прямоугольника. Разрежем лист
Мебиуса по отрезку PQ. Получим двумерное многообразие, гомеоморфное прямоугольнику. Действительно, как видно из рисунка ,а, отрезки АВ и DС отождествляются, точка
А – с точкой С, точка В – с точкой D. На рисунке отмечена одна и таже точка М. Поэтому полученный прямоугольник представляет собой клеточное разбиение листа Мебиуса.
Способ 2.
113
Клеточное разбиение листа Мебиуса получим, если в квадрате I2 проведем диагональ d из вершины (0,0) в вершину (1,1). Т.к. эти вершины отождествляются при «склеивании», то клеточное разбиение листа Мебиуса состоит из одной нульмерной клетки, полученной из точек (0,0) и (1,1), двух одномерных клеток – диагонали d и края листа Мебиуса, и одной двумерной клетки – множества внутренних точек квадрата I2.
Задача 23
Выяснить, ориентируемой ли поверхностью является лист Мебиуса.
Решение
Лист Мебиуса неориентируем. В этом легко убедиться, разбивая его на три треугольника t1, t2, t3 (рис. 19в) и замечая, что при согласованности ориентаций в парах (t1, t2)
и (t2, t3), ее нет в паре (t1, t3) на общей стороне АВ (рис. 19в).
Задача 24
Выяснить, ориентируема ли проективная плоскость.
Решение
Чтобы проверить, является ли многообразие ориентируемым, достаточно построить клеточное разбиение и ориентировать одну из клеток. Затем проверить, можно ли подобрать согласованные ориентации для других клеток.
Рассмотрим модель проективной плоскости – сферу с
отождествленными диаметрально противоположными точками. Возьмем произвольный трехвершинник АВС, т.е. три точки, не лежащие на одной прямой и три прямые, их соединяющие. На рассматриваемой модели прямые изображаются
Рис.18.
окружностями больших кругов с отождествленными диаметрально противоположными
точками.
Три окружности большого круга разбивают сферу на восемь сферических треугольников: АВС, ВСА/, СВ/А/, АСВ/, АВС/, АС/В/, А/В/С/, А/С/В (рис. 18). При отождествлении диаметрально противоположных точек склеиваются точки А и А/, В и В/, С и С/. Поэтому триангуляция проективной плоскости состоит из четырех треугольников:
1) АВС или А/В/С/; 2) А/ВС или А В/С/; 3) А/ В/С или АВС/; 4) АВ/С или А/ВС/.
Без ограничения общности можно выбрать ориентацию А→В→С треугольника 1.
На рисунке она изображена стрелкой. Ориентация отождествленного сферического треугольника имеет вид А/→В/→С/. Треугольники 1 и 2 имеют общую сторону ВС . Поэтому
согласованная ориентация треугольника 2 определяется порядком С→В→А/ (она также
изображена стрелкой), или в силу отождествления С/→В/→А. Треугольник 2 граничит с
треугольником 3 по стороне А/С. Для того чтобы их ориентации были согласованы, порядок следования вершин треугольника 3 должен иметь вид С→А/→В/. Но с другой стороны,
треугольники 1 и 3 граничат по стороне А/В/. Их ориентации согласованы, если треугольник 3 имеет ориентацию С→В/→А/, т.е. противоположную ориентации С→А/→В/.
Полученное противоречие показывает, что для клеток построенного клеточного
разбиения нельзя выбрать согласованной ориентации. Следовательно, проективная плоскость – неориентируемая поверхность.
Задачи для самостоятельного решения
105. Можно ли получить цилиндр в результате склеивания квадрата?
103. Какое многообразие получится при склеивании граничных окружностей цилиндра,
если отождествлять точки, лежащие на одной образующей.
104. Что получится, если лист Мебиуса разрезать по средней линии?
105. Можно ли закрасить:
а) цилиндр;
б) лист Мебиуса,
114
не отрывая кисть и не пересекая край?
106. Сделайте из бумаги лист Мебиуса, разрежьте его так, чтобы линия разреза была в 2
раза ближе к одному краю бумажной полосы, чем к другому. Будет ли ориентируемо полученное многообразие?
107. Доказать, что сфера с дырой, заклеенной листом Мебиуса, гомеоморфна проективной
плоскости.
108. Доказать, что сфера с двумя дырами, заклеенными листами Мебиуса, гомеоморфна
бутылке Клейна.
109. Построить клеточные разбиения следующих поверхностей:
а) сферы;
б) тора (сферы с одной ручкой);
в) ручки;
г) кренделя (рис.19);
д) бутылки Клейна.
Рис. 19.
110. На сфере S дана окружность ω. Доказать, что два сферических сегмента F1 и F2, пересекающиеся по ω, образуют клеточное разбиение сферы S.
111. На кубе задана триангуляция с помощью ребер и диагоналей граней. Доказать, что
задание ориентации на одном ребре однозначно определяет согласованные ориентации всех треугольников триангуляции.
112. Выяснить, ориентируемо ли топологическое многообразие:
а) сфера;
б) тор;
в) бутылка Клейна.
Эйлерова характеристика поверхности
Основные факты
Каждая поверхность с краем F допускает клеточное разбиение. Если F компактна,
то для любого ее клеточного разбиения F число клеток каждой размерности в этом разбиении конечно. Обозначим через αi число клеток размерности i, где i=0,1,2. Число χ(F)=
α0-α1+α2 называется эйлеровой характеристикой поверхности с краем F.
Примеры:
1. Сфера S2: α0=1, α1=0, α2=1. Тогда χ(S2)=1+1=2.
2. Тор Т2: α0=1, α1=2, α2=1. Тогда χ(Т2)=1-2+1=0.
3. Проективная плоскость Р2: α0=α1=α2=1. Тогда χ(Р2)=1-1+1=1.
Теорема. Любой цикл на сфере разбивает ее на две области и является их общей
границей.
Теорема. Пусть Σ - сеть на сфере S2, α0 – число вершин сети, α1 – число ребер, α2
– число областей сети и l – число ее связных компонент. Тогда
α0-α1+α2-l=1.
Из этой теоремы следует, что для любого клеточного разбиения сферы α0-α1+α2=2.
Для любого замкнутого многогранника, гомеоморфного сфере S2, набор его вершин, ребер и граней задает его клеточное разбиение. Поэтому для такого многогранника
α0 означает число его вершин, α1 – число ребер, α2 – число граней. В этом и состоит известная теорема Эйлера для многогранника.
Топологическая классификация поверхностей
Основные факты
Пусть F – поверхность с краем. Число р называется родом F, если в F существует
система из р циклов γ1,… γр, которые:
1) попарно не имеют общих точек;
2) не пересекают край ∂F;
3) не разбивают F (т.е. F\γ1∪…∪γр) связно);
4) не существует системы из р+1 цикла
115
с такими свойствами.
Примером ориентируемой поверхности рода р является так
называемая «сфера с р ручками», т.е. поверхность Фр, которая получена из сферы S2 c p «дырами», по краям которых «приклеено» р «ручек» (рис. 20).
Неориентируемая поверхность Ψ р рода р получается «заклеиванием» всех дыр в сфере с р «дырами» листами
Мебиуса.
Рис. 20.
Теорема. Для того чтобы две связные компактные поверхности были гомеоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковый род и были одновременно
ориентируемы или неориентируемы.
Эйлеровы характеристики ориентируемых и неориентируемых поверхностей рода р таковы:
χ(Фр)=2(1-р) и χ( Ψ р)=2-р.
Теорема. Для того чтобы две связные компактные поверхности были гомеоморфны, необходимо и достаточно, чтобы они были одновременно ориентируемы или неориентируемы и чтобы их эйлеровы характеристики были равны.
Примеры решения типовых задач
Задача 25
Найти эйлерову характеристику круга D2.
Решение
На границе круга – окружности ω возьмем любую точку А. Получим клеточное
разбиение круга, состоящее из одной нульмерной клетки А, одной одномерной клетки ω\А
и одной двумерной клетки D2\ω. Поэтому α0=α1=α2=1 и χ(D2)=1-1+1=1.
Задача 26
Доказать, что в пространстве Е3 не существует выпуклого многогранника, все грани которого – шестиугольники.
Решение
Пусть В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней. Если такой многогранник существует, то Р=3Г. Так как из каждой вершины выходит не меньше трех ребер, то
2
2Р≥3В. Поэтому В≤ Р=2Г, но по теореме Эйлера
3
В-2=2Г. Получили противоречие: 2+2Г≤2Г.
Задача 27
Пусть Гk – число k-угольных граней выпуклого многогранника, Вn – число его вершин, в которых сходится n ребер. Доказать, что
2Р=3В3+4В4+5В5+…=3Г3+4Г4+5Г5+… .
Решение
Каждому ребру можно сопоставить две соединенные им вершины, при этом вершина, к которой сходится k ребер, считается k раз. Поэтому 2Р=3В3+4В4+5В5+… .
Каждому ребру можно сопоставить две прилежащие грани, при этом k- угольная
грань считается k раз. Следовательно, 2Р=3Г3+4Г4+5Г5+… .
Задача 28
Доказать, что для любого выпуклого многогранника 3Г≥ Р+6, 3В≥ Р+6.
Решение
Так как 2Р=3В3+4В4+5В5+…, то 2Р≥3В. Применяя теорему Эйлера, получим неравенство 2Р≥3(Р-Г+2). Второе неравенство доказывается аналогично.
116
Задачи для самостоятельного решения
113. Найти эйлеровы характеристики следующих многообразий:
а) замкнутого круга;
б) замкнутого кольца;
в) боковой поверхности n-угольной призмы;
г) боковой поверхности n-угольной пирамиды;
д) кренделя;
е) листа Мебиуса;
ж) бутылки Клейна;
з) ручки;
и) сферы с р дырами;
к) сферы с р ручками.
114. Доказать, что не существует выпуклого многогранника, число ребер которого меньше
шести.
115. Доказать, что не существует выпуклого многогранника с семью ребрами.
116. Пусть у выпуклого многогранника все многогранные углы содержат не более четырех граней и ни одна грань не имеет более четырех вершин. Докажите, что сумма чисел
трехгранных углов и треугольных граней равна 8.
117. Докажите, что в любом выпуклом многограннике существует либо треугольная
грань, либо трехгранный угол.
Вопросы для самоподготовки
1. Дайте определение n-мерного многообразия. Приведите примеры.
2. Что такое поверхность? поверхность с краем? Приведите примеры.
3. Чему гомеоморфен край круга; кольца;боковой поверхности цилиндра; листа Мебиуса?
4. В чем сущность операции «склеивания» поверхностей? Как получить «склеиванием»
многогранную поверхность, цилиндр вращения, тор, лист Мебиуса, бутылку Клейна, сферу с ручками?
5. Приведите примеры сетей и клеточных разбиений на сфере S2, двумерном торе, проективной плоскости, листе Мебиуса?
6. Как найти эйлерову характеристику поверхности? Чему равны эйлеровы характеристики сферы, тора, проективной плоскости, листа Мебиуса, круга, произвольного замкнутого многогранника?
7. В каком случае поверхность называется ориентируемой, а в каком – неориентируемой?
Приведите примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей.
8. Какие поверхности являются односторонними, а какие – двусторонними? Как это связано с возможностью «окраски» поверхности? с ориентируемостью поверхности?
9. Приведите топологическую классификацию поверхностей.
117