Функция Эйлера - Уральский государственный Экономический
advertisement
Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Функция Эйлера Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Екатеринбург 2010 I. Функция Эйлера 3 II. Теорема о вычислении функции Эйлера 5 III. Следствие о ϕ (pα ) 21 I. Функция Эйлера Определение 1. Функция Эйлера ϕ определяется формулой: для натурального числа n число ϕ(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n. Рассмотреть пример? I. Функция Эйлера Определение 1. Функция Эйлера ϕ определяется формулой: для натурального числа n число ϕ(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n. Задача нахождения значения функции Эйлера возникает, например, при определении количества первообразных комплексных корней степени n из 1, см. критерий первообразности корня. II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 — множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 — множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 α равно pα1 1−1 · pα2 2 · . . . · pk k . II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 — множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 α равно pα1 1−1 · pα2 2 · . . . · pk k . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 — множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 α равно pα1 1−1 · pα2 2 · . . . · pk k . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно αk αk α α1 α2 α1 −1 α2 α1 α1 −1 p1 · p2 · . . . · pk − p1 · p2 · . . . · pk = p1 − p1 · pα2 2 · . . . · pk k . II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Итак, количество всех чисел из A0, делящихся α на p1, равно p1α1−1 · pα2 2 · . . . · pk k , а количество всех чисел из A0, не делящихся на p1, равно αk αk α α1 α2 α1 −1 α2 α1 α1 −1 p1 · p2 · . . . · pk − p1 · p2 · . . . · pk = p1 − p1 · pα2 2 · . . . · pk k . Напрашивается провести доказательство методом индукции. II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Итак, количество всех чисел из A0, делящихся α на p1, равно p1α1−1 · pα2 2 · . . . · pk k , а количество всех чисел из A0, не делящихся на p1, равно αk αk α α1 α2 α1 −1 α2 α1 α1 −1 p1 · p2 · . . . · pk − p1 · p2 · . . . · pk = p1 − p1 · pα2 2 · . . . · pk k . Напрашивается провести доказательство методом индукции. База индукции доказана. II. Теорема о вычислении функции Эйлера α Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p k (1) 1 αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαs s − pαs s−1 · ps+1 · . . . · pk k . II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 αs αs −1 p 1 − p1 · . . . · ps − ps · ps+1 · . . . · pk k . Тогда во множестве (A0\Bm) ∩ Bm+1 количество элементов равно αm+1 αm+2 α α1 α1 −1 · pm+2 · . . . · pk k p1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 = pm+1 II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 αs αs −1 p 1 − p1 · . . . · ps − ps · ps+1 · . . . · pk k . Тогда во множестве (A0\Bm) ∩ Bm+1 количество элементов равно αm+1 αm+2 α α1 α1 −1 · pm+2 · . . . · pk k p1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 = pm+1 αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k . II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 αs αs −1 p 1 − p1 · . . . · ps − ps · ps+1 · . . . · pk k . Тогда во множестве (A0\Bm) ∩ Bm+1 количество элементов равно αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k . Следовательно, количество элементов A0\Bm+1 = A0\ ((A0\Bm) ∩ Bm+1) равно во множестве II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 αs αs −1 p 1 − p1 · . . . · ps − ps · ps+1 · . . . · pk k . Тогда во множестве (A0\Bm) ∩ Bm+1 количество элементов равно αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k . Следовательно, количество элементов во множестве A0\Bm+1 = A0\ ((A0\Bm) ∩ Bm+1) равно αm+1 αm+2 α α1 α1 −1 αm αm −1 p 1 − p1 · . . . · pm − pm · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k − αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 · pm+2 · . . . · pk k = − p1 − p 1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 αs αs −1 p 1 − p1 · . . . · ps − ps · ps+1 · . . . · pk k . Следовательно, количество элементов во множестве A0\Bm+1 = A0\ ((A0\Bm) ∩ Bm+1) равно αm+1 αm+2 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k − αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 αm αm −1 − p1 − p 1 · . . . · p m − pm · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k = αm+1 αm+1 −1 αm+2 α α1 α1 −1 αm αm −1 = p1 − p 1 · . . . · pm − pm · pm+1 − pm+1 · . . . · pk k . · pm+2 II. Теорема о вычислении функции Эйлера Доказательство. Для любого s ∈ A0 обозначим через Bs множество всех чисел из A0, делящихся на p1, p2, . . . , ps. Допустим, что 1 ≤ m < k и для любого 1 ≤ s ≤ m количество всех чисел из A0\Bs, равно αs+1 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαs s − pαs s−1 · ps+1 · . . . · pk k . Следовательно, количество элементов во множестве A0\Bm+1 = A0\ ((A0\Bm) ∩ Bm+1) равно αm+1 αm+2 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k − αm+1−1 αm+2 α α1 α1 −1 − p1 − p 1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · pm+2 · . . . · pk k = αm+1 αm+1 −1 αm+2 α α1 α1 −1 αm αm −1 = p1 − p 1 · . . . · pm − pm · pm+1 − pm+1 · pm+2 · . . . · pk k . Шаг индукции доказан. II. Теорема о вычислении функции Эйлера Теорема 1 (о вычислении функции Эйлера). Если α n = pα1 1 · . . . · pk k , где pi — различные простые числа, то 1 1 · ... · 1 − = ϕ (n) = n · 1 − p p 1 k αk αk −1 α1 α1 −1 = p1 − p1 · . . . · pk − pk . (1) Доказательство. Итак, мы доказали, что для любого 1 ≤ m ≤ n количество элементов во множестве всех чисел, не превосходящих n и не делящихся на p1, p2, . . . , ps, равно αm+1 α α1 α1 −1 p 1 − p1 · . . . · pαmm − pαmm−1 · pm+1 · . . . · pk k . При k = m получаем формулу (1). III. Следствие о ϕ (pα) Следствие 1 (о ϕ (pα )). Если p — простое число, то ϕ (pα ) = pα − pα−1, Доказательство. ϕ (p) = p − 1. (2) III. Следствие о ϕ (pα) Следствие 1 (о ϕ (pα )). Если p — простое число, то ϕ (pα ) = pα − pα−1, ϕ (p) = p − 1. Доказательство. Это очевидное следствие формулы (1). (2) Спасибо за внимание! e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru сайты: http://melnikov.k66.ru, http://melnikov.web.ur.ru Вернуться к списку презентаций?
