643КБ, pdf - Нижегородский государственный университет

Математика в высшем образовании
2008
№6
СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ
УДК 511(07)
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
А. Ю. Эвнин
Южно-Уральский государственный университет,
Россия, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76;
e-mail: evnin@prima.susu.ac.ru
Предлагается вариант изложения темы “Мультипликативные функции”, доступный для первокурсников. Приводится вывод формулы обращения Мёбиуса,
основанный на рассмотрении группы мультипликативных числовых функций.
Ключевые слова:
биуса.
мультипликативные функции, формула обращения Мё-
1. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ
Функция натурального аргумента θ(n) называется мультипликативной,
если θ(1) = 1 и для любых взаимно простых чисел m и n выполняется равенство
θ(m · n) = θ(m) · θ(n).
Простейшим примером мультипликативной функции является степенная
функция θ(n) = nα .
Пусть n1 , n2 , . . . , nk — попарно взаимно простые числа. Индукцией легко
доказать, что для любой мультипликативной функции справедливо соотношение
θ(n1 · n2 · · · · · nk ) = θ(n1 ) · θ(n2 ) · · · · · θ(nk ).
Из этого свойства вытекает, что мультипликативная функция однозначно
определяется своими значениями на степенях простых чисел.
Важную роль в теории чисел (а также в комбинаторном анализе и криптографии) играет функция Эйлера ϕ(n) (см., например, [4]). ϕ(n) — количество
натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.
Докажем мультипликативность этой функции.
Пусть m и n — взаимно простые числа. Чтобы подсчитать количество
чисел, не превосходящих mn и взаимно простых с mn, расположим все числа
от 1 до mn в виде прямоугольной таблицы
1
n+1
2n + 1
..
.
2
n+2
2n + 2
..
.
3
n+3
2n + 3
..
.
...
...
...
..
.
n
2n
3n
..
.
(m − 1)n + 1
(m − 1)n + 2
(m − 1)n + 3
...
mn
89
А. Ю. Эвнин
Любое натуральное число взаимно просто с mn тогда и только тогда, когда оно взаимно просто и с m, и с n (в силу взаимной простоты чисел m
и n). Числа из каждого фиксированного столбца таблицы попарно сравнимы по модулю n; поэтому можно оставить в таблице только столбцы, первые
элементы которых взаимно просты с n, не потеряв при этом ни одного интересующего нас числа. Число таких столбцов есть ϕ(n). Рассуждением от
противного нетрудно убедиться, что элементы каждого столбца имеют попарно разные остатки от деления на m. Поэтому ровно ϕ(m) элементов каждого
столбца взаимно просты с m. Таким образом, всего имеется ϕ(n) · ϕ(m) чисел не больше mn и взаимно простых с mn, т. е. ϕ(mn) = ϕ(m) · ϕ(n), что и
требовалось доказать.
Используя свойство мультипликативности, выведем формулу для вычисления ϕ(n).
Пусть число n имеет следующее разложение на простые множители
n = pk11 pk22 . . . pks s ,
где p1 , p2 , . . . , ps — не равные друг другу простые числа, а k1 , k2 , . . . , ks —
натуральные числа.
Поскольку ϕ(n) = ϕ(pk11 ) · ϕ(pk22 ) · · · · · ϕ(pks s ), достаточно научиться вычислять функцию Эйлера от степени простого числа. Для этого заметим, что
если p — простое число, то среди любых p последовательных натуральных
чисел ровно p − 1 чисел взаимно просты с p, а также с любой степенью p.
Поэтому ϕ(pk ) = ϕ(p · pk−1 ) = (p − 1) · pk−1 . Таким образом,
¶
¶
s µ
s
s
s µ
³ ´ Y
Y
Y
Y
1
1
ki
ki
ki −1
· pi = n
1−
.
ϕ(n) =
ϕ pi =
(pi − 1) · pi
=
1−
pi
pi
i=1
i=1
i=1
i=1
µ
¶µ
¶
1
1
Пример. ϕ(24) = 24 1 −
1−
= 8.
2
3
Приведем эффектное доказательство бесконечности множества
простых чисел с помощью функции Эйлера.
Предполагая, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел
p1 , p2 , . . . , ps , рассмотрим их произведение P = p1 · p2 · · · · · ps . Ни одно число,
кроме 1, не может быть взаимно просто с P , откуда ϕ(P ) = 1. С другой
стороны,
ϕ(P ) = ϕ(p1 p2 . . . ps ) = (p1 − 1)(p2 − 1) . . . (ps − 1) > 1.
Противоречие.
Рассмотрим еще несколько задач, при решении которых возникают мультипликативные функции.
90
Математика в высшем образовании
2008
№6
1. Найти τ (n) — число различных делителей натурального числа n (включая 1 и n).
Общий вид делителя n имеет вид
d = pr11 pr22 . . . prss ,
где для каждого i показатель степени ri принимает значения 0, 1, . . . , ki . Произвольный делитель числа n можно построить в результате выполнения процедуры из s действий, где i-е действие состоит в выборе ri — показателя
степени простого числа pi . Поскольку i-е действие может быть выполнено
ki + 1 способами, применение правила произведения дает
s
Y
τ (n) = (k1 + 1)(k2 + 1) . . . (ks + 1) =
(ki + 1).
i=1
Примеры
¡
¢
1) τ 23 · 34 · 56 = 4 · 5 · 7 = 140;
¡
¢
2) τ 23 · 34 · 45 = τ (213 · 34 ) = 14 · 5 = 70.
2. Найти σ(n) — сумму всевозможных делителей числа n.
Покажем, что
σ(n) = (1 + p1 + p21 + · · · + pk11 ) · · · · · (1 + ps + p2s + · · · + pks s ).
Действительно, раскрывая скобки и не меняя при этом порядка множителей,
получим σ(n) = 1 · 1 · · · · · 1 + 1 · 1 · · · · · ps + · · · + pk11 pk22 · · · · · pks s — сумму всех
делителей n. С помощью формулы суммы членов геометрической прогрессии
получаем компактную формулу
σ(n) =
s
Y
pki +1 − 1
i
i=0
pi − 1
.
Примеры
23 − 1 32 − 1
·
= 7 · 4 = 28.
2−1 3−1
2) σ(60) = σ(12) · σ(5) = 28 · 6 = 168.
Проверка мультипликативности функций τ (n) и σ(n) проводится непосредственной подстановкой.
С помощью функции σ(n) вводятся совершенные и дружественные чи1
сла .
Число m называется совершенным, если σ(m) = 2m.
Примеры совершенных чисел: 6, 24, 496, 8128, 33 550 336.
1) σ(12) = σ(22 · 3) =
1
Об этих числах особенно уместно вспомнить в связи с 300-летием со дня рождения
Леонарда Эйлера, внесшего большой вклад в их изучение.
91
А. Ю. Эвнин
Число Мерсенна Mn = 2n − 1.
Упражнение 1. Доказать, что при составном n число Mn также составное.
Упражнение 2. Доказать, что если Mn — простое число, то число
n−1
2
Mn — совершенное.
Оказывается, что любое четное2 совершенное число имеет вид, указанный
в предыдущем упражнении. Доказательство этого факта, открытого Эйлером, приводится в книге [8], где можно найти и другие интересные сведения,
касающиеся чисел Мерсенна.
В 1750 г. Эйлер установил, что M31 — простое число. Оно оставалось более
100 лет наибольшим известным простым числом. В сентябре 2006 г. найдено
44-е простое число Мерсенна — M32 582 757 (в рамках проекта распределенных
вычислений GIMPS; по данным Википедии).
Числа m и n называются дружественными, если
σ(m) = σ(n) = m + n.
Примеры дружественных чисел: 220 и 284, 1184 и 1210.
2. ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ МЁБИУСА
2.1. Группа мультипликативных функций
Для дальнейшего нам понадобятся функции E(n), I(n), J(n):
½
E(n) = 1 ∀n;
I(n) = n ∀n;
J(n) =
1, если n = 1,
0, если n > 1
и функция Мёбиуса µ(n), которая вводится следующим образом:
µ(1) = 1;
если n делится на квадрат простого числа, то µ(n) = 0;
если n свободно от квадратов и представимо в виде произведения s различных простых чисел, то µ(n) = (−1)s .
Мультипликативность этих функций очевидна.
Произведением Дирихле функций f (n) и g(n) называется (см. [2]) функция
³n´
X
f ◦ g(n) =
f (d) g
.
d
d|n
Очевидно, что J ◦ f = f для любой функции f (n).
2
Существуют ли нечетные совершенные числа, до сих пор неизвестно. Установлено, что
в промежутке от 1 до 10300 таких чисел нет.
92
Математика в высшем образовании
2008
№6
Потренируемся в вычислении произведения Дирихле.
Упражнение 3. Проверить, что E ◦ E = τ ; I ◦ E = σ; I ◦ I(n) = nτ (n).
Упражнение 4. Доказать, что µ ◦ E = J.
Доказательство. Отметим сразу, что
µ ◦ E(1) = µ(1) · E(1) = 1 · 1 = 1.
Пусть теперь n > 1. Тогда n = pr11 pr22 . . . prkk , где k ≥ 1. Поскольку µ(d) 6= 0
только если число d свободно от квадратов, имеем:
X
X
X
µ(d) = µ(1) +
µ(pi ) +
µ(pi pj ) + · · · + µ(p1 . . . pk ) =
d|n
= 1 − k + Ck2 − Ck3 − · · · + (−1)k = (1 − 1)k = 0.
Операция ◦, очевидно, коммутативна. Докажем, что она также ассоциативна. Действительно,
X
f (d1 ) g(d2 ) h(d3 ).
(f ◦ g) ◦ h(n) = f ◦ (g ◦ h)(n) =
d1 d2 d3 =n
Пользуясь ассоциативностью и предыдущими результатами, вычислим
еще несколько произведений Дирихле.
µ ◦ τ = µ ◦ E ◦ E = J ◦ E = E;
µ ◦ σ = µ ◦ E ◦ I = J ◦ I = I.
Из мультипликативности функций f (n) и g(n) следует мультипликативность f ◦ g(n).
В самом деле, для взаимно простых n и m имеем
µ
¶
³ nm ´
X
X
nm
f (d) g
f ◦ g(nm) =
f (d1 d2 ) g
=
=
d
d1 d2
d|nm
d1 |n,d2 |m
µ ¶ µ ¶
X
n
m
=
f (d1 ) f (d2 ) g
g
=
d1
d2
d1 |n,d2 |m
µ ¶X
µ ¶ ³
´ ³
´
X
n
m
=
f (d1 ) g
f (d2 ) g
= f ◦ g(n) · f ◦ g(m) .
d1
d2
d1 |n
d2 |m
Пусть f (n) — мультипликативная функция. Найдем такую мультипликативную функцию f 0 (n), что f ◦ f 0 = J. Определим функцию f 0 (n) следующими соотношениями. Пусть f 0 (1) = 1. При этом f ◦ f 0 (1) = f · f 0 (1) = 1.
Для каждого простого числа p положим f 0 (p) = −f (p). Тогда f ◦ f 0 (p) = 0.
Положив
¡
¢
f 0 (pn ) = − f (pn ) + f (pn−1 )f 0 (p) + · · · + f (p)f 0 (pn−1 ) ,
мы добьемся того, что для любого n справедливо f ◦ f 0 (pn ) = 0.
93
А. Ю. Эвнин
Теперь значения f 0 определены на всех степенях простых чисел и свойство
мультипликативности полностью задает функцию f 0 .
Произведение Дирихле мультипликативных функций Φ = f ◦ f 0 мультипликативно. Поскольку Φ(1) = 1 и для любого простого числа p и любого
натурального n справедливо Φ(pn ) = 0,
Φ(pn1 1 · · · · · pnk k ) = Φ(pn1 1 ) · · · · · Φ(pnk k ) = 0.
Значит, Φ и есть J. Доказано, что f ◦ f 0 = J.
Мы установили следующий факт.
Теорема 2.1. Мультипликативные функции образуют коммутативную
группу с единичным элементом J и произведением Дирихле в качестве групповой операции.
Следствие. Из мультипликативности функций f (n) и f ◦ g(n) следует
мультипликативность g(n).
Доказательство. Пусть f 0 — мультипликативная функция со свойством
f ◦ f 0 = J. Тогда функция g = J ◦ g = (f 0 ◦ f ) ◦ g = f 0 ◦ (f ◦ g) также
мультипликативна.
Функция F = f ◦ E называется сумматорной функцией для f (n). Таким
образом,
X
F (n) =
f (d),
d|n
где суммирование ведется по всем делителям числа n (включая 1 и n).
Из предыдущего вытекает, что f (n) — мультипликативная функция тогда
и только тогда, когда мультипликативна её сумматорная функция F (n).
Упражнение 5. Доказать, что ϕ ◦ E = I, т. е. что сумматорная функция
для функции Эйлера имеет вид:
X
ϕ(d) = n.
d|n
1-й способ . Представим число n в виде произведения простых чисел:
n = pr11 pr22 . . . prkk .
Любой делитель d числа n имеет вид d = ps11 ps22 . . . pskk , где для каждого i
справедливо 0 ≤ si ≤ ri . Поэтому
X
¡
¢ ¡
¢
ϕ(d) = 1 + ϕ(p1 ) + · · · + ϕ(pr11 ) . . . 1 + ϕ(pk ) + · · · + ϕ(prkk ) .
В этом легко убедиться, раскрыв скобки.
Вычислим сумму в каждой скобке:
1 + ϕ(pi ) + · · · + ϕ(pri i ) = 1 + (pi − 1) + (p2i − pi ) + · · · + (pri i − pri i −1 ) = pri i .
P
Q
Таким образом,
ϕ(d) = pri i = n.
94
2008
Математика в высшем образовании
№6
1 2 3
n
2-й способ . Рассмотрим дроби , , , . . . , . Сократим каждую дробь.
n n n
n
Получатся дроби, знаменатели которых являются делителями числа n, причем количество дробей со знаменателем d равно ϕ(d). Общее количество дробей равно n.
С помощью упражнения 4 по сумматорной функции можно найти исходную функцию.
Теорема 2.2 (формула обращения Мёбиуса).
F = f ◦ E ⇐⇒ f = F ◦ µ.
Таким образом, найдено выражение функции f (n) через её сумматорную
функцию:
³n´
X
f (n) =
µ(d) F
.
d
d|n
Замечание 1. Другие способы вывода формулы обращения Мёбиуса
можно найти в книгах [3] и [7].
Замечание 2. Формула обращения Мёбиуса может быть значительно
обобщена — на случай функций, определенных на конечном частично упорядоченном множестве (см. [1] и [6]).
В качестве упражнения покажем, как можно получить выражение для
функции Эйлера, зная её сумматорную функцию:
¶
Yµ
X µ(d)
1
1−
=n
.
ϕ(n) = n
d
p
p|n
d|n
Соотношение
ϕ(n) X µ(d)
=
n
d
(1)
d|n
пригодится нам в дальнейшем.
Упражнение 6. Убедившись в справедливости равенства
Y
d = nτ (n)/2 ,
d|n
найти сумматорную функцию для натурального логарифма.
τ (n)
Ответ. ln ◦E(n) =
· ln n.
2
Упражнение 7. Пусть
½
ln p, если n = pk , где p — простое, k ∈ N ;
Λ(n) =
0
в противном случае.
Доказать: 1) Λ ◦ E = ln; 2) Λ = ln ◦µ.
95
А. Ю. Эвнин
2.2. Задача о числе ожерелий
Имеется неограниченный запас бусинок k цветов. Сколько можно составить различных ожерелий из n бусинок (ожерелья, получающиеся друг из
друга плоскими вращениями, не будем различать)?
Математической моделью ожерелья является понятие циклической последовательности.
На множестве (линейных) последовательностей длины n, элементы которых принимают значения из некоторого конечного множества, зададим отношение эквивалентности
(a1 , . . . , an ) ∼ (ai , ai+1 , . . . , an , a1 , . . . , ai−1 ) (i = 1, . . . , n).
Класс эквивалентности назовем циклической последовательностью. Подсчитать число различных циклических последовательностей не так просто,
поскольку в разных классах эквивалентности может быть разное число (линейных) последовательностей; например, постоянная циклическая последовательность порождается одной линейной последовательностью, а циклической последовательности из n попарно различных элементов соответствует n
линейных последовательностей.
Период циклической последовательности (a1 , . . . , an ) — наименьшее число
d такое, что ai+d = ai для всех i, где сложение ведется по модулю n (т. е. если
i + d > n, то i + d заменяется на i + d − n). Ясно, что период d должен быть
делителем числа n.
Обозначим через T (n) количество циклических последовательностей длины n, а через M (n) количество циклических последовательностей длины n и
периода n. Тогда
X
M (d).
T (n) =
d|n
Пример. При k = 2 и n = 4 имеем
T (4) = M (1) + M (2) + M (4) = 2 + 1 + 3 = 6.
Пусть M (d) — количество циклических последовательностей длины и периода d, элементы которых могут принимать k различных значений. Тогда
X
kn =
dM (d).
(2)
d|n
Действительно, каждая циклическая последовательность длины и периода d порождает ровно d различных линейных последовательностей.
Введем функции m(n) = nM (n) и h(n) = k n . Формула (2) говорит о том,
что h = m ◦ E. Применим формулу обращения Мёбиуса:
X
n
m = h ◦ µ; nM (n) =
µ(d) k d .
d|n
96
Математика в высшем образовании
2008
Таким образом,
M (n) =
№6
n
1X
µ(d) k d .
n
d|n
Всё готово для того, чтобы подсчитать общее количество циклических
последовательностей длины n.
Теорема 2.3.
X
n
1X
T (n) =
M (d) =
ϕ(d) k d .
n
d|n
d|n
Доказательство.
X
d|n
M (d) =
X1X
d|n
d
c|d
X 1 X µd¶
X kc X c µ d ¶
c
µ(c) k =
µ
k =
µ
=
d
c
c
d
c
d
c
d|n
c|n
c|d
c|d
X k c X µ(e) X k c ϕ(n/c)
n
1 X c ³n´ 1 X
=
=
=
k ϕ
=
ϕ(d) k d .
c n e
c n/c
n
c
n
c|n
e| c
c|n
c|n
d|n
В процессе выкладок мы меняли порядок суммирования, а также применили тождество (1).
Упражнение 8. Составляются ожерелья из бусин трех цветов. Каждое
ожерелье состоит из 1) 5; 2) 6; 3) 7; 4) 8 бусин. Не будем различать ожерелья,
получающиеся друг из друга поворотом в плоскости. Пользуясь предыдущей
теоремой, найти число различных ожерелий.
Ответ. 1) 51; 2) 130; 3) 315; 4) 834.
Замечание. Задачу о числе ожерелий можно также решить с помощью
теории Пойа [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Айгнер М. Комбинаторная теория. — М.: Мир, 1982. 558 с.
2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.:
Мир, 1987. 415 с.
3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981. 176 с.
4. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. —
М.: Высш. шк., 2000. 320 с.
5. Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. и др. Вся высшая математика: Учебник.
Т. 7. — М.: КомКнига, 2006. 208 с.
6. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
308 с.
7. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. — М.: Наука, 1977. 320 с.
8. Шибасов Л. П. От единицы до бесконечности. — М.: Дрофа, 2004. 208 с.
97
А. Ю. Эвнин
MULTIPLICATIVE FUNCTIONS IN THE NUMBER THEORY
A. Yu. Evnin
We propose a variant of lecturing on the theme “Multiplicative functions” accessible
for the beginners. The article demonstrates a derivation of Möbius inversion formula
using the group of multiplicative number functions.
Keywords: multiplicative functions, Möbius inversion formula.
98