SU(3) х U(l). = ln { det [ ( i/µ D µ - m) ( i/µ д µ - m )-1

Вестник Московского университета. Серия
УДК
3.
Физика. Астрономия.
2001. No 1
13
530.145
ЭФФЕКТИВНЫЙ ЛАГРАНЖИАН ДЛЯ ОПИСАНИЯ
ИНТЕРФЕРЕНЦИИ МАГНИТНОГО И ХРОМОМАГНИТНОГО
ПОЛЕЙ
В. Ч. Жуковский, В. В. Худяков, А. С. Разумовский
(кафедра теоретической физики)
E-mail: thl [email protected]
Рассмотрен вклад в поляризацию вакуума кварков, взаимодействующих с интерферирующими
электромагнитным и неабелевым фоновым калибровочным полями в
SU ( 3)
модели квантовой
хромодинамики. Для случая интерференции магнитного поля Н и хромомагнитного поля В в од­
нопетлевом приближении вычислен эффективный л:агранжиан, являющийся обобщением лагранжиана
Гейзенберга-Эйлера квантовой электродинамики ~1 точно учитывающий вклад полей Н и В.
личина интерференционного вклада в эффективный
Введение
В последнее время большое число работ посвяща­
ется исследованию вакуума и вакуумных эффектов
в различных моделях квантовых неабелевых полей.
лагранжиан. Обсуждается возможность применения
усреднения
по
вакуумным
полям
стохастической модели вакуума
Однако, несмотря на все усилия продвинуться в этом
1.
направлении, точные результаты возможно получить
с использованием
[1].
Интерференция произвольных постоянных
полей
лишь в ограниченном числе задач. В большинстве
ряд по какому-либо малому параметру теории, и
Рассмотрим динамику фермионов на фоне кон­
денсата калибровочных полей группы SU(3) х U(l).
лишь иногда удается вычислить непертурбативные
В этом случае дираковский лагранжиан имеет вид
случаев
результат
получается
в
виде
разложения
в
слагаемые. В результате до сих пор структура ва­
куума калибровочных моделей остается далеко не
ясной. Предложены различные модели вакуума, ко­
торые позволяют получить некоторое представление
и содержит удлиненную производную
о его строении и с той или иной точностью оценить
-ieAµ -
величины физических эффектов, связанных с его не­
товой группы SU(3). Мы пренебрегаем флукту­
ациями калибровочных полей на фоне внешне­
тривиальной природой. Так, одной из наиболее ха­
рактерных черт вакуума КХД является наличие в нем
го
длинноволновых случайных флуктуаций глюонного
-а
поля. Эти особенности легли в основу стохастической
модели вакуума, рассмотренной, например, в рабо­
те
[1].
Настоящая статья посвящена дальнейшему
изучению структуры
вакуума с использованием мо­
дели постоянного фонового поля, которая позволяет
описать некоторые наиболее характерные особен­
ности вакуума, связанные с его непертурбативной
природой.
В настоящей статье вначале приводится и ана­
лизируется полученный в работе
[2]
(см. также
[3])
эффективный лагранжиан рассматриваемой модели
интерферирующих абелева и неабелева полей, за­
писанный в виде интегрального представления как
функция инвариантов электромагнитного и глюон­
ного
полей.
Далее
в
однопетлевом
приближении
определяется точное выражение для эффективного
лагранжиана типа Гейзенберга-Эйлера для случая
интерференции абелева магнитного поля Н и хромо­
магнитного поля В цветовой группы
исследуется
возможность
разложения
SU(3).
Затем
полученного
результата в ряд по степеням малого параметра, про­
igB~Ta.
поля
Здесь
дµАv
F µv =
-а
-а
Gµv = дµВv - дvВµ
-
та
дvАµ
дµ
Dµ =
генераторы
-
-
цве-
и поля конденсата
Ь -Ь-с
+ gfa свµВv.
В дальнейшем
предполагается, что эти калибровочные поля являют­
ся
ковариантно
постоянными,
т. е.
удлиненная про­
изводная коммутирует с тензорами калибровочных
полей: [Dµ, Fа,в] =О, [Dµ, Gа,в] =О.
Как известно
=
J d4
;i;
[4], эффективное действие ГА =
Lл калибровочного поля А, отвечающее од­
нопетлевому лагранжиану [,А , записывается в виде
iГ А = ln { det [(i/µ D µ - m) (i/µ дµ - m )- 1 ]
} .
Здесь второй множитель под знаком детерминанта
устраняет вклад нейтральных фермионов, не взаимо­
действующих с калибровочным полем.
При
вычислении
удобно
использовать
эффективного
лагранжиана
инварианты калибровочного
поля
'Т
.L.1
т
тµv
= 2.г
µv.г
,
где :Fµv = eF µv
'Т
.L.2
=
Е
а,8--у8 т
т
.г а,в.г --уа
,
+ gC:vтa.
порционального обратной величине напряженности
Опуская подробные вычисления с привлечением
фонового хромомагнитного поля, и оценивается ве-
метода собственного времени Фока-Швингера, кота-
Вестник Московского университета. Серия
14
рые приведены в работе
запишем сразу оконча­
[2],
тельное выражение для эффективного лагранжиана:
СХ)
ds
1 /
Lл=--r
-е
87r2
-im2s
х
ввели
(~vI1 +iI2) + cos (~vI1 -iI2) 1]
- cos
(~vI1 -iI2) +
+ gBA./2),
Легко видеть, что
'
(1)
нижнем пределе. Для регуляризации данной расхо­
димости
выделим
расходящуюся
часть
в
отдельное
слагаемое:
СХ)
единица входит с обратным знаком. Этот факт сле­
r
дует считать опечаткой, поскольку все дальнейшие
-
Ldiv -
m4 /
S7r 2
получены на основе правильного
[2]
маг­
(1) статьи [2] в пределе
I2 =О.
интеграл в (2) расходится на
где trc означает след по цветовым индексам. В рабо­
те [2] в соответствующую формулу под знаком следа
результаты в
напряженности
лагранжиана
I1=4(еН
(~vI1 +iI2)
безразмерные
нитного и хромомагнитного полей h = eH/m 2 ,
Ь = gB/(2m 2). Последнее выражение (2) мо­
ленного
о
i'I2 s 2 cos
trc [ 2 4 cos
мы
2001. No 1
жет быть получено и непосредственно из исправ­
х
sЗ
где
Физика. Астрономия.
3.
+ 32Ь2) .
ds -s(h2
---;
е
(3)
о
выражения для эффективного лагранжиана.
Интерференция магнитного и хромомагнитного
2.
полей
Эта расходимость естественным образом устра­
няется при помощи перехода к перенормированным
Рассмотрим частный случай интерференции чис­
зарядам
и напряженностям полей
er, gr
Hr, Br:
то магнитного и хромомагнитного полей в модели
х U(l) и рассчитаем эффективный лагранжи­
ан более простым способом. А именно потенциалы
SU(3)
СХ)
(1 -__:_:__ /
н2r = н2
калибровочных полей выберем в следующем виде:
ds e-s)
47r2
S
'
о
-а
Аµ= Hx1gµ2,
АЗ
Вµ= Bx1gµ22дg,
е2 = е2
r
где
метрический тензор,
g µv -
-
Гелл-Манна, Н и В
,\ з
m
2
'
о
напряженности магнитного
в2r = в2
квадрированное уравнение Дирака
-
S
матрица
и хромомагнитного полей соответственно. Используя
[П2
21= _!_e-s
d
)-1
(1- _е_
47r2
СХ)
(1 - L
247r 2
/
ds e-s)
S
'
о
+ ~17µv (eFµv + gGµv)]
'ljJ
=О,
2 1= __!_d e-s )-1
(
g2 = g2 l _ _ g_
r
247r 2
находим энергетический спектр возбуждений ферми­
S
о
онов:
После такой перенормировки, равносильной вычи­
2,
с: 2 л =leH+gB~1(2n+1-17)+k~+m
2
п,
танию расходящегося вклада
,а-
эффективный ла­
(3),
гранжиан вычисляется точно. Комбинируя несколько
n=0,1,2 ... ,
где kз
-
17=±1,
Л={-1,0,1},
табличных интегралов
проекция импульса на третью пространст­
[5],
можно вывести следующее
выражение:
венную ось. Суммируя этот спектр по дискретным
квантовым числам и интегрируя по
kз
,
=-е-х
с учетом
кратности вырождения энергетических уровней по­
~ (а)
1
=
лучаем эффективное действие в следующем виде:
ГА= -
п,Л,<Т
о
а cth ах
=-ln(2a)
(3
аз
1
- - -
о
gВЛ/21 1= ds2 х
'°'
( / d4x)
leH +
2
L.J
47r 2
х
(
2
-а+
х
1)
2
1
2
-а х
3
+
аз
)
dx =
1
- 3 4
(4)
s
х ехр {-s [leH + gВЛ/21(2п+ 1+17) + m 2]}.
После небольших преобразований получаем эффек­
тивный лагранжиан
где (
СХ)
4
m
Lл=-81!"2
L
Л=-1,0,1
/
0
(z,
J -
1
2
(-функция Римана [5]. Таким об­
разом, регуляризованный эффективный лагранжиан
ds
~e-sx
х {(h+Лb)cth[s(h+Лb)]- ~},
принимает вид
(2)
m4
LA = - 87r2 [~(Ь + h) + ~(lb - hl) + ~(h)].
(5)
Вестник Московского университета. Серия
Если в выражении
положить Ь
(2)
Физика. Астрономия.
3.
= О и отбро­
сить суммирование по цветам, то [,А
переходит в
В работе
дель вакуума
хорошо известный в электродинамике лагранжиан
нение
Гейзенберга-Эйлера. Используя выражение
лению
можно
записать
явное
выражение
для
(4), легко
15
2001. No 1
[2]
использовалась стохастическая мо­
[1].
С этой целью использовалось усред­
хромомагнитного поля по
гауссову распреде­
лагранжиа­
на Гейзенберга-Эйлера, точно учитывающее вклад
внешнего поля.
3.
Разложение по слабому электромагнитному
-3 (gBa)2] 3
а
)
х ехр
(
d (g В ) .
[ 2 g 2 Ва2 G
полю
Разложим эффективный потенциал в ряд по слабо­
му магнитному полю еН ~ m 2 . Тогда, используя (2),
для слагаемого порядка h4 получим
7;:: 1е-х х
Liн = -
[ - 3 cth(bx )
о
31
+ 4 cth(bx ) 2 -
30
4
нивается в пределах
где
+
18Ь 2
+
6Ь 3
+
1
4Ь 4
-
нельзя
(39)
в
2
-
оце­
что и используется
[2]).
Такая оценка
(8),
поэтому
нам представляется, что применение стохастического
+ 2 cth(bx )) ] dx.
Ф(l, -Jь)
6Ь 5
приме­
Jg B · В
фактически соответствует разложению
усреднения в работе
[2]
было произведено некор­
ректно.
Заключение
(7)
1
10- 4 -10- 3 ,
при оценке интеграла (см.
(6)
1
интегрирование
В работе [2] величина параметра m 2 /
Последний интеграл можно вычислить точно:
1
х [ - 45
гауссово
нять к разложению (8), поскольку интегрирование
ПО d3 (g Ба) В (9) ведется В пределах ОТ 0 ДО 00, В
то время как (8) справедливо только при gB ~ m 2 .
+
+ Ьх(3 cth(bx ) 5 -
- 5 cth(bx ) 3
Однако
(9)
Таким образом, в рамках подхода, основанного на
применении метода точных решений в модели посто­
янного поля для описания глюонного фонового поля,
Ф(2, -Jь)]
48Ь 6
мы получили оценку вклада интерференции абелева
'
и неабелева калибровочных полей в эффективный
лагранжиан. При этом в случае чисто электромаг­
Ф(п, х) =
dп
d
dxn Ф(х) и Ф(х) = dx ln[Г(x)] -
известная пси-функция.
получить, раскладывая
нитного поля для эффективного лагранжиана удается
получить явное выражение через (-функцию и ее
Идентичный ответ можно
производную. Представляет интерес дальнейшее раз­
h,
витие данного подхода для исследования воздействия
(5)
в ряд по параметру
малому по сравнению с Ь .
внешних электромагнитных и вакуумных калибро­
Разложение (7) в ряд Тейлора по степеням ь- 1 при
Ь---+ оо (gB ~ m 2 ) дает
вочных полей на распространение света с учетом их
Liн = - ~:~
4
1
[- 4 5
+ 1:ь2
- 6~3 + 4~4 + 0 ( ь 5)]
1
(8)
Первое слагаемое в квадратных скобках соответству­
ет чистой электродинамике при наличии внешнего
магнитного
поля,
а
второе
слагаемое,
пропорцио­
нальное ь- 2 , в рамках сделанных нами предположе­
ний представляет собой малую поправку за счет хро­
момагнитного поля. Следует отметить, что в случае
интерференции электрического и хромомагнитного
полей
на Ь.
соответствующая поправка
пропорциональ­
флуктуирующего характера.
Литература
1. Симонов Ю.А. 11 УФН. 1996. 166, №4. С. 337.
2. Elze Н.-Тh., Mйller В., Rafelski J. E-print Archive:
hep-ph/9811372.
3. Rafelski J., Elze Н.-Тh. E-print Archive: hep-ph/9806389.
4. Соколов А.А" Тернов И.М" Жуковский В. Ч., Борисов А.В.
Калибровочные поля. М.: Изд-во Моск. ун-та , 1986.
5. Прудников А.П., Брычков Ю.А" Маричев О.И. Интегралы
и ряды. М.: Наука, 1981.
Поступила в редакцию
21.06.00