РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Шармин В.Г.
ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов очной формы обучения
НАПРАВЛЕНИЕ 050100.62
"Педагогическое образование
профиль подготовки "Математическое образование".
Тюменский государственный университет
2013
"
Шармин В.Г. ГЕОМЕТРИЯ. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 050100.62
"Педагогическое
образование ", профиль подготовки "Математическое образование", форма
обучения - очная. Тюмень, 2013, 43 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с
учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«Геометрия»
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: заведующий кафедрой алгебры и
математической логики доктор физико-математических наук, профессор
В.Н.Кутрунов
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Шармин В.Г., 2013.
2
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины
Цели изучения дисциплины «Геометрия»
Формирование общекультурных и профессиональных компетенций студентов,
обучающихся по направлению «Педагогическое образование» на основе изучения дисциплины.
Задачи изучения дисциплины «Геометрия»
 формирование у студентов системы представлений о понятиях и фактах дисциплины «Геометрия»;
 формирование у студентов системы представлений о геометрических методах и
возможностях их применения;
 формирование представлений о важности (необходимости) изучения геометрии
(геометрических знаний, качественного геометрического образования) для осуществления будущей профессиональной деятельности;
 воспитание профессионально значимых личностных качеств студентов;
 формирование у студентов понимания о возможностях геометрии для развития
универсальных учебных действий учащихся.
1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП
Дисциплина «Геометрия» является дисциплиной цикла Б 3 – Дисциплины профессионального цикла (вариативная часть).
Для изучения дисциплины «Геометрия» студент должен:
Знать
 определения и свойства геометрических фигур, изучаемых в школьном курсе
математики;
 основные элементарные функции, их свойства и графики;
 методы решения уравнений, неравенств и их систем;
 основные формулы, используемые для преобразования алгебраических и трансцендентных выражений;
 различные методы доказательства математических утверждений.
Уметь
 работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию),
 точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики,
 решать задачи базового уровня сложности школьных курсов геометрии, алгебры
и начал анализа;
 проводить логические обоснования математических утверждений.
Владеть:
 навыками устных и письменных вычислений, преобразований алгебраических и
трансцендентных выражений.
 навыками представления информации;
 навыками интерпретации информации в различных формах ее представления.
Дисциплина «Геометрия» является предшествующей для изучения следующих
дисциплин подготовки бакалавра по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математическое образование»):
 Методика обучения и воспитания.
 Естественнонаучная картина мира.
3
 Элементарная математика.
 Практикум по решению математических задач.
 Курсы по выбору студента.
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля):
В результате изучения дисциплины «Геометрия» базового цикла (вариативная
часть) по направлению подготовки 050100.62
"Педагогическое образование " профиль подготовки "Математическое образование» с квалификацией (степенью) “бакалавр”
в соответствии с целями основной образовательной программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО, должен обладать следующими компетенциями:
4
КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ГЕОМЕТРИЯ»
НАПРАВЛЕНИЕ 050100.62 – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
код
профиль подготовки: «Математическое образование»
Формулировка
компетенции
Результат обучения в
целом
ОК-1
Знает методы и приемы
работы с различными
источниками информации
владеет культурой
мышления, способен к обобщению,
анализу, восприятию информации,
постановке цели и
выбору путей её
достижения
Умеет находить необходимую информацию
и применять ее для решения задач
Владеет методами и
приемами работы с
различными источниками информации
Результаты обучения по уровням освоения материала
минимальный
базовый
повышенный
Знает методы и приемы работы с учебником
Знает методы и приемы работы с различными печатными источниками информации
Знает методы и приемы работы с различными источниками
информации
Умеет находить необходимую информацию
Умеет находить необходимую информацию и применять ее
для решения стандартных задач
Владеет методами и
приемами работы с
учебником по вузовскому курсу геометрии
Владеет методами и
приемами работы с
различными печатными источниками информации
Умеет находить необходимую информацию и применять ее
для решения любых
задач, обосновывать и
пояснять выбор
Владеет самостоятельно использует
общие и самостоятельно созданные методы и приемы работы с различными источниками информации
5
Виды занятий
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Лекции,
практические занятия
Оценочные
средства
Тестирование,
контрольная работа
Тестирование,
контрольная работа
Тестирование,
контрольная работа
ОК-6
Знает словесную и символическую запись
геометрических понятий и утверждений
способен осуществлять логически верно устную и
письменную речь
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
задач, как специалистам, так и неспециалистам
Владеет методами и
приемами письменных
и устных сообщений об
основных понятиях
геометрии, доказательствах утверждений и
решениях алгоритмических задач
Знает основные понятия геометрии и запоминает их в словесной
форме
Знает и запоминает
словесную и символическую запись геометрических понятий и
утверждений
Знает, запоминает и
воспроизводит словесную и символическую запись геометрических понятий
и утверждений
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
простейших задач,
как специалистам, так
и неспециалистам
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения
стандартных задач,
как специалистам, так
и неспециалистам, используя диапазон качественной и количественной информации
Умеет сообщать идеи,
проблемы и решения,
как специалистам, так
и неспециалистам, используя диапазон качественной и количественной информации
Владеет методами и
приемами письменных и устных сообщений об основных
понятиях геометрии,
доказательствах простейших утверждений
и решениях алгоритмических задач
Владеет методами и
приемами письменных и устных сообщений о понятиях
геометрии, доказательствах утверждений и решениях
стандартных задач
Владеет методами и
приемами письменных и устных сообщений о понятиях
геометрии, доказательствах утверждений и решениях задач
повышенной сложности
6
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
ОПК -2
Знает об использовании
практических и теоретических знаний по
геометрии в практической деятельности
способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при
решении социальных и профессиональных задач
Умеет использовать
умения и ключевые
компетенции для выполнения задач, когда
действия регламентированы четкими правилами, описывающими
процедуры и стратегии
ПК - 1
Владеет навыками решения проблемы, используя предоставленную информацию
способен реализовывать учебные
программы базовых и элективных
курсов в различных
образовательных
учреждениях
Знает необходимый
фактический материал
по геометрии для реализации учебных программ базовых и элективных курсов
Знает базовые понятия геометрии, диапазон знаний ограничен
фактами и базовыми
идеями
Знает об использовании практических и
теоретических знаний
по геометрии в практической деятельности
Умеет использовать
умения и ключевые
компетенции для выполнения задач, когда
действия регламентированы четкими правилами, описывающими процедуры и
стратегии
Знает об использовании практических и
теоретических знаний
по геометрии в практической и теоретической деятельности
Умеет использовать
Умеет использовать
умения и ключевые
диапазон умений в
компетенции для выобласти для выполнеполнения задач, когда
ния задач и демондействия регламентистрировать личную
рованы четкими праинтерпретацию повилами, описываюсредством отбора и
щими процедуры и
адаптации методов,
стратегии с внешней
инструментов и матепомощью
риалов
Владеет навыками
Владеет навыками
Владеет навыками
решения проблемы,
решения проблемы,
решения проблемы,
используя предостав- используя хорошо из- используя хорошо изленную информацию
вестные источники
вестные источники
информации
информации, принимая во внимание социальные аспекты
Знает необходимый
Знает необходимый
Знает необходимый
фактический материал фактический материал фактический материал
по геометрии для реа- по геометрии для реа- по геометрии для реализации учебных про- лизации учебных про- лизации учебных программ базовых и
грамм базовых и
грамм базовых и
элективных курсов в
элективных курсов в
элективных курсов в
непрофильных классредней школе
различных образовасах
тельных учреждениях
7
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Умеет решать задачи и
доказывать утверждения по геометрии для
реализации учебных
программ базовых и
элективных курсов
Владеет методами решения задач и способами доказательства
утверждений для реализации учебных программ базовых и элективных курсов
Умеет решать задачи
и доказывать утверждения по геометрии
для реализации учебных программ базовых и элективных
курсов в непрофильных классах
Умеет решать задачи
и доказывать утверждения по геометрии
для реализации учебных программ базовых и элективных
курсов в средней
школе
Умеет решать задачи
и доказывать утверждения материал по
геометрии для реализации учебных программ базовых и
элективных курсов в
различных образовательных учреждениях
Владеет методами
Владеет методами
Владеет методами
решения задач и спорешения задач и спорешения задач и способами доказательства собами доказательства собами доказательства
утверждений для реа- утверждений для реа- утверждений для реализации учебных про- лизации учебных про- лизации учебных программ базовых и
грамм базовых и
грамм базовых и
элективных курсов в
элективных курсов в
элективных курсов в
непрофильных классредней школе
различных образовасах
тельных учреждениях
8
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
Лекции,
практические занятия
Тестирование,
контрольная работа
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 определения понятий и формулировки ключевых теорем каждого раздела дисциплины;
 математические структуры и взаимосвязи между ними;
 различные способы построения математических теорий;
 типизацию задач и различные методы их решения;
 теоретические основы школьного курса геометрии;
 строение дисциплины «Геометрия» и связь между отдельными ее разделами;
 межпредметные связи дисциплины «Геометрия».
Уметь:
 демонстрировать освоенные знания логично и последовательно;
 приводить примеры и контрпримеры в процессе изложения геометрических вопросов (материала);
 применять основные методы (векторный, координатный, аксиоматический, геометрических преобразований) при доказательстве утверждений и решении задач;
 аргументировать выбор метода доказательства математического факта или метода решения задачи;
 применять геометрические знания к решению проблем, возникающих в реальной
жизни.
Владеть:
 терминологией предметной области «Геометрия»;
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр: первый, второй и третий. Форма промежуточной аттестации: зачет – первый
семестр, экзамен – второй и третий семестры. Общая трудоемкость дисциплины составляет 13 зачетных единиц; 468 часов.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
.
9
Всего
часов
212
Семестры
1
2
72
68
3
72
106
106
36
36
34
34
36
36
256
72
зачет
144
4
76
экзам.
144
4
108
экзам.
180
5
468
13
3.
Тематический план.
1 семестр
Таблица 2.
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Тема
1
1.1.
2.1.
2.2.
3.1.
3.2
недели семестра
№
Итого
часов
по
теме
В том
числе
в интерактивной
форме
Итого
количество
баллов
2
Модуль 1
Векторная алгебра.
Всего
Модуль 2
Координаты на
плоскости.
Прямая линия
на плоскости.
Всего
Модуль 3
Эллипс, парабола, гипербола
3
Лек Семинарции ские
(практические)
занятия
4
5
1-6
12
12
24
48
16
0-30
12
12
24
48
16
0-30
7-8
4
4
8
16
6
0-10
9-13
10
10
20
40
12
0-30
14
14
28
56
18
0-40
14-16
6
6
12
24
8
0-25
Классификация
линий второго
порядка.
Всего
Итого (часов,
баллов):
В том числе в
интерактивной
форме
17-18
4
4
8
16
6
0-5
10
36
10
36
20
72
40
144
14
48
0-30
0 – 100
12
12
24
10
Самостоятельная
работа
6
7
8
9
48
2 семестр
Таблица 3.
Итого
часов
по
теме
В том
Итого количисле в чество балинтелов
рактивной
форме
3
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в
час.
Лек СеСации мимонарстоские
я(практель
тиченая
ские)
разанябота
тия
4
5
6
7
8
9
1-2
4
4
10
18
6
0-10
3-6
8
8
18
34
12
0-25
7-9
6
6
12
24
8
0-15
18
18
40
76
26
0-50
8
8
20
36
12
0-25
8
8
20
36
12
0-25
8
8
16
32
10
0-25
8
34
8
34
16
76
32
144
10
48
0-25
0 – 100
12
12
24
№
недели семестра
Тема
1
1.
2.
3.
1.
1.
2
Модуль 1
Координаты в пространстве.
Прямая и плоскость в
пространстве.
Поверхности второго
порядка.
Всего
Модуль 2
Аффинные и изометрические преобразования плоскости и
пространства.
Всего
Модуль 3
Многомерная геометрия
Всего
Итого (часов, баллов):
В том числе в интерактивной форме
10-13
14-17
3 семестр
11
48
Таблица 4.
Ито
го
часов
по
теме
В том Итого количисле чество балв инлов
терактивной
форме
3
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Лек Сеции миСанармоские
стоя(прак- тельтиче- ная
ские) разаня- бота
тия
4
5
6
7
8
9
1-5
10
10
30
50
16
0-20
10
10
30
50
16
0-20
8
8
24
40
14
0-20
8
8
24
40
14
0-20
6
12
18
36
12
6
12
18
36
12
18
36
54
108
36
30
60
90
180
10
20
30
60
60
0-20
0-40
0-60
0-100
№
недели семестра
Тема
1
1.
1.
1.
2.
2
Модуль 1
Проективная геометрия
Всего
Модуль 2
Элементы общей топологии
Всего
Модуль 3
Теория кривых
Теория поверхностей
Всего
Итого (часов, баллов):
В том числе в интерактивной форме
6-9
10-12
13-18
12
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
1 семестр
Таблица 5.
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
Итого количество
баллов
ответ на
семинаре
собеседование
0-10
0-2
0-3
0-8
0-7
0-30
0-10
0-2
0-3
0-8
0-7
0-30
0-2
0-3
0-5
0-10
2.2
0-5
0-5
0-15
0-5
0-30
Всего
Модуль
3
3.1
0-7
0-8
0-15
0-10
0-40
0-2
0-3
0-5
0-25
коллоквиумы
Модуль
1
1.1
Всего
Модуль
2
2.1
0-15
контрольная
работа
тест
0-5
3.2
0-5
Всего
0-15
0-2
0-3
0-5
0-5
0-30
Итого
0-25
0-11
0-14
0-28
0-22
0 – 100
2 семестр
13
№ темы
Устный опрос
коллок- ответ на собеседовиумы
севание
Письменные работы
контрольная работа
тест
Курсовая
работа
минаре
Таблица 6.
Итого количество
баллов
Модуль
1
1.1
0-2
0-3
0-5
1.2
0-2
0-3
0-15
1.3
0-2
0-3
Всего
Модуль
2
2.1
0-6
0-9
0-10
0-2
0-3
0-10
0-25
Всего
0-10
0-2
0-3
0-10
0-25
Модуль
3
3.1
0-10
0-2
0-3
0-10
0-25
Всего
0-10
0-2
0-3
0-10
0-25
Итого
0-20
0-10
0-15
0-20
0 – 100
0-20
0-20
3 семестр
14
0-10
0-5
0-25
0-10
0-15
0-15
0-50
0-15
Таблица 7
№ темы
Устный опрос
Письменные работы
Итого количество
баллов
ответ на
семинаре
собеседование
0-15
0-2
0-3
0-20
Всего
Модуль
2
2.1
0-15
0-2
0-3
0-20
0-15
0-2
0-3
0-20
Всего
Модуль
3
3.1
0-15
0-2
0-3
0-20
0-2
0-3
0-10
0-5
0-20
3.2
0-4
0-6
0-25
0-5
0-40
Всего
0-6
0-9
0-35
0-10
0-60
0-10
0-15
0-35
0-10
0-100
коллоквиумы
Модуль
1
1.1
Итого
0-30
контрольная
работа
Планирование самостоятельной работы студентов
15
тест
1 семестр
Таблица 8.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Векторная алгебра.
Виды СРС
обязательные
Домашние
задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Координаты на
Домашние
.
плоскости.
задания
2.2
.
Прямая линия на
плоскости.
Всего
Модуль 3
3.1 Эллипс, парабо.
ла, гипербола
3.2
Классификация
линий второго
порядка.
Домашние
задания
Домашние
задания
Домашние
задания
Объем
часов
Колво
баллов
24
0-30
24
0-30
Чтение дополни7-8
тельной литературы;
Знакомство с содержанием электронных
источников.
8
0-10
Чтение дополни9-13
тельной литературы;
Знакомство с содержанием электронных
источников.
20
0-30
28
0-40
12
0-25
8
0-5
20
72
0-30
0-100
дополнительные
Неделя
семестра
Чтение дополни1-6
тельной литературы;
Знакомство с содержанием электронных
источников.
Чтение дополни14-16
тельной литературы;
Знакомство с содержанием электронных
источников.
Чтение дополни17-18
тельной литературы;
Знакомство с содержанием электронных
источников.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
2 семестр
16
Таблица 9.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Координаты в пространстве.
Виды СРС
обязательные
Домашние
задания
1.2
Прямая и плоскость
в пространстве.
Домашние
задания
1.3
Поверхности второго порядка.
Домашние
задания
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Аффинные и изо.
метрические преобразования плоскости
и пространства.
Всего
Модуль 3
3.1 Многомерная гео.
метрия
Домашние
задания
Домашние
задания
дополнительные
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
3 семестр
Неделя
семестра
Объем
часов
Колво
баллов
1-2
10
0-10
3-6
18
0-25
7-9
12
0-15
40
0-50
20
0-25
20
0-25
16
0-25
16
76
0-25
0-100
10-13
14-17
Таблица 10
17
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
Модуль 1
1.1 Проективная геометрия
Домашние
задания
Всего
Модуль 2
2.1 Элементы общей то.
пологии
Модуль 2
Домашние
задания
Всего
Модуль 3
3.1 Теория кривых
.
3.2
Теория поверхностей
Домашние
задания
Домашние
задания
дополнительные
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство с содержанием электронных источников.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Неделя
семестра
Объем
часов
Колво
баллов
1-5
30
0-20
30
0-20
24
0-20
24
0-20
10-12
18
0-20
13-18
36
0-40
54
108
0-60
0-100
6-9
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
18
№
п/п
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1 семестр
2 семестр
3 семестр
1.1
1.
2.
3.
4.
5.
2.1
2.2
3.1
Методика обучения и вос- +
питания.
Естественнонаучная кар- +
тина мира.
Элементарная математика. +
+
+
1.1
1.2
1.3
2.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Практикум по решению +
математических задач.
Курсы по выбору студента. +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.2
+
3.1
1.1
2.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3.1
3.2
+
+
Содержание дисциплины.
1 семестр
Модуль 1.
1.1.Векторная алгебра.
Равенство направленных отрезков. Понятие свободного вектора. Сложение векторов.
Умножение вектора на число. Координаты на прямой. Линейная зависимость векторов.
Геометрический смысл линейной зависимости. Базис и координаты вектора. Условия линейной зависимости векторов в координатах. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярное произведение в координатах. Длина вектора и угол между векторами. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
Векторное и смешанное произведение векторов в координатах. Площадь параллелограмма
и объем параллелепипеда. Элементы векторной алгебры в школьном курсе математики.
Модуль 2.
2.1. Координаты на плоскости.
Аффинная система координат, репер. Деление направленного отрезка в данном отношении. Прямоугольная система координат. Расстояние между точками. Преобразование координат. Полярные координаты на плоскости. Метод координат на плоскости. Метод координат в средней школе.
2.2. Прямая линия на плоскости.
Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, точкой и
нормальным вектором. Векторное, параметрические, каноническое, общее уравнения
прямой. Прямая как алгебраическая линия первого порядка. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Особенности расположения прямой относительно
системы координат, уравнение прямой с угловым коэффициентом. Задание полуплоскости
с помощью линейного неравенства. Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и определителями. Расстояние от точки до прямой. Направленный угол между прямыми. Уравнение прямой в средней школе.
Модуль 3.
3.1. Эллипс, парабола, гипербола.
5.
19
Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы,
эксцентриситет, построение по точкам. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение формы, асимптоты, эксцентриситет, построение по точкам. Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы, построение по токам.
Директориальное свойство эллипса и гиперболы. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат. Окружность в средней школе.
3.2. Классификация линий второго порядка.
Общее уравнение линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго
порядка к каноническому виду с помощью преобразования прямоугольной системы координат. Классификация линий второго порядка.
2 семестр
Модуль 1.
1.1. Координаты в пространстве.
Аффинный репер (= аффинная система координат) в пространстве. Радиус-вектор и координаты точки в данном аффинном репере. Ортонормированный репер (= прямоугольная
система координат – ПСК). Простейшие задачи, решаемые с помощью координат. Метод
координат в пространстве. Метод координат в средней школе.
1.2. Прямая и плоскость в пространстве.
Нахождение уравнения плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством
(двумя неколлинеарными векторами, параллельными плоскости), точкой и нормальным
вектором. Векторное, параметрические, общее уравнения плоскости. Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Условие параллельности плоскости и вектора.
Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. Особенности расположения плоскости относительно системы координат, уравнение плоскости в отрезках.
Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений. Угол между плоскостями. Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором. Векторное, параметрические и канонические
уравнения прямой. Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим, параметрическим и обратно. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение
двух прямых в пространстве. Расстояние между прямыми в пространстве. Уравнения
плоскости в средней школе.
1.3. Поверхности второго порядка.
Поверхности второго порядка. Метод сечений. Цилиндрические поверхности. Цилиндры
второго порядка. Конические поверхности. Конические поверхности второго порядка. Сечения невырожденного конуса. Поверхности вращения. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Сфера в средней
школе.
Модуль 2.
2.1. Аффинные и изометрические преобразования плоскости и пространства.
20
Отображения, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Преобразования
множества, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры. Композиция отображений и преобразований. Теорема о том, что множество всех преобразований данного
множества есть группа. «Эрлангенская программа» Феликса Клейна. Определение геометрии по Клейну, геометрические свойства фигур, эквивалентные фигуры. Примеры.
Движения плоскости. Задание движений парой соответствующих ортонормированных реперов. Свойства движений. Аналитическое задание движений. Движения первого и второго рода. Классификация движений плоскости. Группа движений, ее подгруппы. Определение метрической евклидовой геометрии по Клейну. Преобразования подобия. Гомотетия как пример подобия. Разложение подобия в композицию гомотетии и движения.
Формулы подобия. Группа подобий, ее подгруппы. Геометрия относительно группы подобий. Аффинные преобразования. Свойства аффинных преобразований. Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов. Группа аффинных преобразований,
аффинная геометрия по Клейну. Определение инверсии, формулы, геометрические свойства. Образы прямых и окружностей. Метод инверсии. Применение инверсии к задачам
“на построение” (одним циркулем) и “на доказательство”. Движения пространства, их
представление в виде композиции отражений от плоскостей. Классификация движений
пространства. Группы самосовмещений правильных многогранников. Преобразования
плоскости и пространства в школьном курсе геометрии.
Модуль 3.
3.1. Многомерная геометрия
Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы Г.Вейля и
их следствия. Аффинный репер, координаты точек. Определение k-плоскости. Свойства
k-плоскостей. Уравнения k-плоскостей. Взаимное расположение k-плоскостей. Отношение
«лежать между», понятия отрезка, середины отрезка,
луча, угла, r-мерного
параллелепипеда. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность),
ортонормированный базис, формула скалярного произведения в координатах. Евклидово
точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь с отношением
«лежать между» и с простым отношением трех точек.
3 семестр.
Модуль 1.
1.1.Проективная геометрия.
Определение проективного n-мерного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Простейшие свойства проективной плоскости. Проективные реперы
на прямой и плоскости. Проективные координаты точек и построение точек по их координатам. Однородные аффинные координаты на расширенной прямой. Уравнение прямой
на проективной плоскости. Принцип двойственности на проективной плоскости.
Трехвершинник. Теорема Дезарга. Обратная и двойственная теоремы к теореме Дезарга.
Приложение к решению задач на построение одной линейкой на ограниченном чертеже.
Сложное (двойное, ангармоническое) отношение четверки точек на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек.
Связь с простым отношением трех точек в аффинной плоскости. Гармонические четверки.
Полный четырехвершинник, применение его свойств к решению задач. Проективные преобразования плоскости. Включение проективной геометрии в схему Ф. Клейна. Понятие
21
квадрики на проективной плоскости. Приведение уравнения квадрики к каноническому
виду и проективная классификация квадрик. Квадрика и прямая, их общие точки. Полюсы
и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник. Построение касательной к овальной квадрике. Теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона. Построение
овальной квадрики по пяти точкам. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения.
Модуль 2.
2.1. Элементы общей топологии.
Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры. Открытые
множества, определение топологии. Критерий эквивалентности баз топологии. Индуцированная топология, подпространства. Замкнутые множества и их свойства. Определение
топологического пространства через замкнутые множества. Окрестность точки. Точки
прикосновения и предельные точки множества. Внутренние и граничные точки множества. Внутренность и граница. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию. Непрерывные отображения топологического пространства. Критерий непрерывности отображения. Гомеоморфизмы. Определение топологии по Клейну. Топологически эквивалентные фигуры. Связность, компактность и отделимость как топологические инварианты. Примеры поверхностей в трехмерном пространстве: лист Мёбиуса, ручка, тор, бутылка Клейна, проективная плоскость. Сферы с листами Мёбиуса и ручками.
Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве. Клеточные разбиения. Эйлерова характеристика. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Классификация двумерных замкнутых поверхностей.
Модуль 3.
3.1. Теория кривых
Векторная функция одной действительной переменной. Понятие гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения. Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом. Вектор
кривизны, кривизна, главная нормаль. Канонический репер и трехгранник Френе. Формулы Френе. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны. Кручение, его
механический смысл. Линии нулевого кручения. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях.
3.2. Теория поверхностей
Понятие гладкой поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Криволинейные координатные сети на поверхности. Плоскость в разных системах координат.
Сфера. Прямой геликоид. Координатные сети на сфере и прямом геликоиде. Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности. Углы между кривыми на поверхности. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление.
Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Соприкасающийся параболоид поверхности. Формула Эйлера. Главные
кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение. Гауссова и средняя
кривизны. Главные направления и линии кривизны. Понятие об изгибании и внутренней
геометрии поверхности. Геодезическая кривизна линии на поверхности. Геодезические
линии. Полугеодезическая сеть. Свойство геодезических линий.
22
Планы семинарских занятий.
1 семестр
Модуль 1.
Занятие 1. Линейные операции над векторами.
Занятие 2. Скалярное, векторное и смешанное произведение.
Занятие 3. Приложение скалярного, векторного и смешанного произведений.
Занятие 4. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии.
Занятие 5. Приложение векторной алгебры к решению задач элементарной геометрии.
Коллоквиум.
Занятие 6. Контрольная работа. Тестирование.
Модуль 2.
Занятие 7. Аффинные и прямоугольные системы координат. Метод координат. Простейшие задачи, решаемые методом координат.
Занятие 8. Прямая на плоскости в аффинной системе координат.
Занятие 9. Прямая на плоскости в аффинной системе координат.
Занятие 10. Расстояние от точки до прямой.
Занятие 11. Угол между прямыми.
Занятие 12. Решение задач элементарной геометрии координатным методом.
Занятие 13. Контрольная работа. Тестирование.
Модуль 3.
Занятие 14. Эллипс.
Занятие 15. Гипербола. Парабола.
Занятие 16. Приведение уравнение линии второго порядка к каноническому виду.
Занятие 17. Линии второго порядка в полярных координатах. Коллоквиум.
Занятие 18. Контрольная работа. Тестирование.
6.
2 семестр.
Модуль 1.
Занятие 1. Метод координат в пространстве..
Занятие 2. Уравнение плоскости. Аффинные задачи.
Занятие 3. Уравнение плоскости. Метрические задачи.
Занятие 4. Прямая в пространстве. Аффинные задачи
Занятие 5. Прямая в пространстве. Метрические задачи.
Занятие 6. Смешанные задачи на плоскость и прямую
Занятие 7. Смешанные задачи на плоскость и прямую
Занятие 8. Решение задач элементарной геометрии координатным методом.
Занятие 9. Контрольная работа. Тестирование.
Модуль 2.
Занятие 10. Классификация движений плоскости.
Занятие 11. Решение задач элементарной геометрии методом геометрических преобразований.
Занятие 12. Решение задач элементарной геометрии методом геометрических преобразований.
Занятие 13. Коллоквиум.
23
Модуль 3.
Занятие 14. Простейшие следствия из аксиом векторного, аффинного и евклидового пространств.
Занятие 15. Уравнение k-плоскости. Взаимное расположение k-плоскостей.
Занятие 16. Решение метрических задач.
Занятие 17. Коллоквиум.
3 семестр.
Модуль 1.
Занятие 1. Проективные координаты точки на проективной прямой и плоскости. Построение точек по их координатам. Уравнение прямой.
Занятие 2. Принцип двойственности. Теорема Дезарга и ее применение к решению задач
элементарной геометрии.
Занятие 3. Сложное отношение четырех точек..
Занятие 4. Овальные линии второго порядка. Применение теорем Штейнера, Паскаля и
Брианшона к решению задач элементарной геометрии
Занятие 5. Коллоквиум.
Модуль 2.
Занятие 6. Модели топологических пространств.
Занятие 7. Отделимость, компактность, связность. Подпространства.
Занятие 8. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы
Занятие 9. Коллоквиум.
Модуль 3.
Занятие 10. Плоские кривые.
Занятие 11. Трехгранник Френе.
Занятие 12. Кривизна и кручение кривой.
Занятие 13. Контрольная работа. Тестирование.
Занятие 14. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Занятие 15. Первая квадратичная форма и ее приложения.
Занятие 16. Первая квадратичная форма и ее приложения.
Занятие 17. Гауссова и средняя кривизна.
Занятие 18. Контрольная работа. Тестирование.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены.
8.
Примерная тематика курсовых работ.
ТЕМА 1. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Примерное содержание: История введения вектора в математику. Различные трактовки
вектора в школьных учебниках. Сущность векторного метода. Планиметрические задачи
по геометрии, алгебре, физике, тригонометрии, решаемые векторным методом. Планиметрические теоремы, которые можно доказать векторным методом.
TЕМА 2. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В СТЕРЕОМЕТРИИ
24
Примерное содержание: Сущность векторного метода решения задач и доказательства
теорем. Стереометрические задачи и теоремы, которые можно решить и доказать векторным методом (Подобрать аффинные и метрические задачи).
ТЕМА 3. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ
Примерное содержание: Исторические сведения. Сущность координатного метода. Различные системы координат в математике, астрономии, в жизни. Задачи по геометрии, алгебре, физике, астрономии, решаемые координатным методом. Подобрать 2-3 задачи, которые можно решить различными методами (координатным, векторным, синтетическим).
ТЕМА 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ДРУГИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ В МАТЕМАТИКЕ,
ПРИРОДЕ, ТЕХНИКЕ
Примерное содержание: Исторические сведения о линиях второго порядка. Канонические уравнения. Замечательные свойства. Задачи практического содержания на применение этих линий. Лемниската, циклоида, кардиоида и др. замечательные кривые.
ТЕМА 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ
ШКОЛЫ
Примерное содержание: Анализ школьных учебников по данной теме. Способы задания
прямой и исследование взаимного расположения прямых, типичные задачи. Геометрические преобразования плоскости и их применение к построению графиков функций и
уравнений.
ТЕМА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Примерное содержание: Движения, подобия, аффинные преобразования плоскости
(конструктивное и аналитическое задание). Задачи на все виды преобразований (конструктивные и аналитические). (Подобрать задачи на доказательство, построения).
ТЕМА 7. СИММЕТРИЯ В ГЕОМЕТРИИ И ПРИРОДЕ
Примерное содержание: Виды геометрий на плоскости и в пространстве и их свойства.
Конструктивное и аналитическое задание симметрий. Группы симметрий геометрических
фигур. Задачи. Симметрия в искусстве, природе, архитектуре.
ТЕМА 8.ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Примерное содержание: Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линий
2-го порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка. Уравнения касательных.
Оптические свойства и их исследование в оптике, технике, астрономии.
ТЕМА 9. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА, КАК ТРАЕКТОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТ
Примерное содержание: Некоторые сведения из истории математики о линиях второго
порядка. Сущность закона Кеплера для движения небесных тел. Вывод уравнения траекторий движения планет.
ТЕМА 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Примерное содержание: Движения, подобия, аффинные преобразования пространства
(конструктивное и аналитическое задание). Задачи на все виды преобразований (конструктивные и аналитические). (Подобрать задачи на доказательство, построения).
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
Текущая аттестация:
Коллоквиумы: В каждом семестре проводятся коллоквиумы (на семинарах).
Контрольные работы: В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
25
Тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
Промежуточная аттестация:
Тестирование по дисциплине;
Зачёт и экзамен (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех задач
контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо,
отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем
оценок.
Примерный вариант итоговых тестовых заданий для первого и второго семестров:
СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА ТЕСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
Тематическая структура
Линии второго порядка
Асимптоты гиперболы
Действительная полуось гиперболы
Каноническое уравнение линии второго порядка
Мнимая полуось гиперболы
Фокальное расстояние эллипса
Фокальный параметр параболы
Эксцентриситет
Плоскость и прямая в пространстве
Взаимное расположение двух плоскостей
Взаимное расположение двух прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости
Канонические уравнения прямой
Принадлежность точки плоскости
Расстояние от точки до плоскости
Угол между прямыми
Поверхности второго порядка
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Свойства поверхностей второго порядка
Сечения поверхностей второго порядка
Преобразования плоскости
Инварианты группы преобразований
Классификация движений
Произведение преобразований
Прямая на плоскости
Пересечение прямой с осями координат
Прямая в полярной системе координат
Расположение прямой относительно системы координат
Расстояние от точки до прямой
Угловой коэффициент прямой
Угол между прямыми
Условие перпендикулярности прямых
Система координат в пространстве
Сечения шара и сферы
Координаты точки в пространстве
26
Точка, равноудаленная от двух данных
Уравнение поверхности
Система координат на плоскости
Деление отрезка в данном отношении
Площадь ромба
Связь декартовых и полярных координат
Уравнение линии
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Вычисление векторного произведения
Вычисление скалярного произведения
Объем параллелепипеда
Свойства векторного произведения
Условие перпендикулярности векторов
Элементы векторной алгебра на плоскости и в пространстве
Длина вектора
Единичный вектор
Коллинеарные векторы
Координаты линейной комбинации векторов
Содержание тестовых материалов
1. Асимптоты гиперболы
Расположить гиперболы в порядке возрастания угла, образованного ее асимптотами и содержащего ось Ох
x2 y2
a. 

1
25 16
x2 y2
b.

 1
4
9
x2 y2
c.

 1
4 16
2. Действительная полуось гиперболы
x2 y2
Действительная полуось гиперболы

 1 равна …
25 16
Правильные варианты ответа: 5;
3. Канонические уравнения линий второго порядка
Соответствие между названиями линий и их каноническими уравнениями
Эллипс
x2 y

1
6 18
Парабола
x 2  16 y
Пара действительных пересекающихся прямых
4. Мнимая ось гиперболы
x2 y2

 1 равна …
Мнимая полуось гиперболы 
25 49
Правильные варианты ответа: 5;
5. Фокусы эллипса
Расположить эллипсы в порядке убывания фокального расстояния
27
a.
x2 y
 1
6 18
x2 y

1
16 8
x2 y
c.

1
42 8
6. Фокальный параметр параболы
Расположить параболы в порядке возрастания их фокального параметра
b.
a.
y 2  10x
b.
x2  6 y
c. x  12 y
7. Эксцентриситет
Расположить в порядке возрастания эксцентриситета
x2 y
a.

1
6 18
b. x 2  6 y
2
c. 
x2 y2

 1
25 16
Плоскость и прямая в пространстве
8. Взаимное расположение двух плоскостей
Плоскости 4x + 6y -8z +2 = 0 и 6x - y +9z -8 = 0 ...
a. пересекаются, но не перпендикулярны
b. пересекаются и перпендикулярны
c. совпадают
d. параллельны
9. Взаимное расположение двух прямых
x5 y z 3
 
Прямая
и ось Оу …
1
2
5
a. совпадают
b. скрещиваются
c. пересекаются, но не перпендикулярны
d. параллельны
e. пересекаются и перпендикулярны
10. Параллельность прямых и плоскостей
Соответствие между плоскостью и параллельной ей прямой
6x + 3y + 4z -7 = 0
x4 y
z
 
1
2 3
x + y -z +8 = 0
x4 y
z
 
5
2 3
6x + 3 y +z -8 = 0
11. Канонические уравнения прямой
Соответствие между параметрами, задающими прямую, и ее уравнениями
28
x y z2
 
1 2
3
x y2
z


1
1
3
Точка (0,0,2) и вектор (1,2,3)
Точка (0,-2,0) и вектор (1,-1,-3)
x y z 9
 
1 2
3
12. Принадлежность точки плоскости
Плоскости 4x - 7y + 5z -140 = 0 принадлежит точка ...
a. (35,0,0)
b. (20,0,0)
c. (28,0,0)
d. (0,0,0).
13. Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки (-4,3,3) до плоскости 5 x  8 y  11z  3 11  0 равно …
a. 6
b. 0,2
c. 0,1
d. 5,9
e. 4,4
14. Угол между прямыми
Расположить прямые в порядке убывания угла, образованного этими прямыми с вектором
(3,0,-1)
x y2
z


1
1
3
x4 y
z
 
5
2 3
x y z2
 
1 2
3
Поверхности второго порядка
15. Канонические уравнения
Соответствие между названиями поверхностей второго порядка и их каноническими
уравнениями
Гиперболический параболоид
z2 y2

 2 x ч
17
Двуполостный гиперболоид

Однополостный гиперболоид
16. Прямолинейные образующие
Прямолинейных образующих НЕТ у ...
a. гиперболического цилиндра
29
14
2
x
y2 z2


1
17 14 23
b. однополостного гиперболоида
c. гиперболического параболоида
d. двуполостного гиперболоида
17. Центр поверхности
Единственный центр имеют (ет) поверхности (ть) ...
a.
z2 y2

 2 x
17 14
x2 y2 z 2


 1
17 14 23
x2 y2 z 2
c.


1
17 14 23
d. y 2  18 x
18. Вершины поверхности
Ровно две вершины имеет поверхность ...
z2 y2
a.

 2x
17 14
x2 y2 z 2
b.


 1
17 14 23
x2 y 2 z 2
c.  

1
17 14 23
x2 y2 z 2


1
d.
17 14 23
19. Оси поверхности
НЕ менее трех осей симметрии имеют (ет) ...
a. эллипсоид
b. однополостный гиперболоид
c. эллиптический параболоид
d. гиперболический параболоид
20 . Сечения поверхности
x2 z 2

 2 y плоскостью y  4 является …
Сечением поверхности
6
3
a. мнимый эллипс
b. эллипс
c. гипербола
d. парабола
e. пара пересекающихся прямых
b.
Преобразования плоскости
21. Инварианты преобразований
При аффинных преобразованиях плоскости сохраняется ...
a. длина отрезка
b. свойство "быть прямой"
c. величина угла
d. простое отношение трех точек
e. скалярное произведение векторов
22. Классификация движений
Параллельный перенос есть движение ... рода.
30
Правильные варианты ответа: первого; первый; 1;
23. Произведение преобразований
Произведение двух параллельных переносов есть ...
a. параллельный перенос
b. поворот
c. осевая симметрия
d. скользящая симметрия
Прямая на плоскости
24. Площадь треугольника
Площадь треугольника, отсекаемого прямой 5x - 6y +60 = 0, равна ...
Правильные варианты ответа: 60;
25. Прямая в полярной системе координат
Расстояние между точками пересечения линий   10 и   cos   8 равно
a. 8
b. 6
c. 16
d. 12
26. Расположение прямой относительно системы координат
Прямая 3x - 7y = 0 ...
a. проходит через начало координат
b. параллельна оси абсцисс
c. параллельна оси ординат
d. совпадает с осью абсцисс
e. совпадает с осью ординат
27. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки А(5,-2) до прямой 3x + 4y - 2 = 0 равно ...
a. 1
b. 0,4
c. 4
d. 2,8
e. 4,6
28. Угловой коэффициент прямой
Угловой коэффициент прямой 4x + 2y -6 = 0 равен ...
Правильные варианты ответа: -2;
29. Углы падения и отражения
Луч света, направленный по прямой y = x - 5, отражается от оси Ох. Ордината точки пересечения отраженного луча с осью Оy равна ...
30. Условие перпендикулярности
Прямые 4x + 5y +6 = 0 и аx + 8y = 0 перпендикулярны при а равном...
a. 18
b. 10
c. -10
d. -18
e. 4
Система координат в пространстве
31. Координаты точки в пространстве
Сумма расстояний от точки А(3,-2,-4) до оси Оу и плоскости хОz равна ...
Правильные варианты ответа: 7;
31
32. Точка, равноудаленная от двух данных
Сумма координат точки С, лежащей на оси Оу и равноудаленной от точек А(-4,-4,2) и В(1,-5,4), равна ...
a. -3
b. 3
c. 1
d. -1
e. 5
33. Уравнение поверхности
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве
уравнением x  y  0 , является …
a. пустое множество
b. плоскость
c. две полуплоскости
d. полуплоскость
Система координат на плоскости
34. Деление отрезка пополам
Сумма координат точки, делящий отрезок с концами А(-8,3) и В(8,-3), равна ...
Правильные варианты ответа: 0;
35. Площадь ромба
Сторона ромба равна 5 37 , две его противоположные вершины имеют координаты. А(4,9) и. С(-2,1). Площадь ромба равна …
Правильные варианты ответа: 300
36. Уравнение линии
Фигурой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости уравнением x 2  y 2  2 , является …
гипербола
a. окружность
b. пара мнимых параллельных прямых
c. точка
d. пара действительных параллельных прямых
Векторное скалярное и смешанное произведение
37. Вычисление векторного произведения
Сумма координат векторного произведения векторов (0,-3,4) и (8,2,0) равна ...
Правильные варианты ответа: 48;
38. Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение векторов (-1,-1,2) и (4,5,-9) равно ...
Правильные варианты ответа: -27;
39. Вычисление объема параллелепипеда
Объем параллелепипеда, построенного на векторах (-5,-3,-8), (3,-2,-4) и (0,-1,0), равен ...
Правильные варианты ответа: 44;
Элементы векторной алгебра на плоскости и в пространстве
40. Длина вектора
Квадрат длины вектора с координатами (3,-4,2) равен ...
Правильные варианты ответа: 29;
32
41. Единичный вектор
Произведение координат единичного вектора, противоположно направленного с вектором
(-2,-3), равно ...
a. 2/13
b. -2/13
c. 1/13
d. -6/13
e. 6/13
42. Коллинеарные векторы


Векторы a (3,5,  ) и b (12,20,16) коллинеарны при  равном …
a. 4
b. -3
c. -4
d. 2
43. Линейная комбинация




Сумма координат линейной комбинации  4a  6b векторов a (5,2,-6) и b (4,3,-8) равна …
Правильные варианты ответа: -10;
Замечание. Тестовые задания составлены в программе АСТ-тест. Для проведения тестирования по модулю отбираются задания, соответствующие изученной теме.
Примерный вариант итоговых тестовых заданий для третьего семестра (дифференциальная геометрия):
1. Касательная к параболе
образует угол
в точке ________ .
2. Угол, под которым пересекаются кривые
, равен ________.
3. Длина линии
между точками
равна _______.
4. Сумма координат единичного вектора главной нормали к кривой
в
точке равна _______.
5. Касательная плоскость, параллельная к плоскости для кривой
имеет уравнение _________.
6. Кривизна окружности
равна _________.
7. Произведение внутренних координат точки поверхности
, имеющей внешние координаты (3, 5, 7) ,
равно ______.
8. Нормаль поверхности
(3, 5, 7) пересекает плоскость XOY в точке _______.
9. Отрезок в тривиальной топологии на прямой является множеством
a. Открытым
b. Замкнутым
c. Открытым и замкнутым одновременно.
10. Установить соответствие:
Тип точек
Поверхность, целиком состоит из
33
указанного типа точек
1
Параболические
A
Сфера
2
Эллиптические
B
Тор
3
Гиперболические
C
Гиперболический цилиндр
D
Псевдосфера
Темы коллоквиумов.
1 семестр.
Векторная алгебра.
1. Сложение векторов.
2. Умножение вектора на число.
3. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
4. Базис и координаты вектора.
5. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
6. Скалярное произведение векторов и его свойства.
7. Скалярное произведение в координатах. Длина вектора и угол между векторами.
8. Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
9. Векторное и смешанное произведение векторов и в координатах.
Эллипс, гипербола, парабола.
1. Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение
формы, эксцентриситет, построение по точкам.
2. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение
формы, асимптоты, эксцентриситет, построение по точкам.
3. Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы, построение по токам.
4. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
5. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
2 семестр.
Аффинные и изометрические преобразования плоскости и пространства.
1. Отображения, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Примеры.
2. Преобразования множества, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры. Композиция отображений и преобразований.
3. Теорема о том, что множество всех преобразований данного множества есть группа. «Эрлангенская программа» Феликса Клейна. Определение геометрии по Клейну, геометрические свойства фигур, эквивалентные фигуры. Примеры.
4. Движения плоскости. Задание движений парой соответствующих ортонормированных реперов.
5. Свойства движений.
6. Аналитическое задание движений.
7. Движения первого и второго рода. Классификация движений плоскости.
34
8. Группа движений, ее подгруппы. Определение метрической евклидовой геометрии
по Клейну.
9. Преобразования подобия. Гомотетия как пример подобия.
10. Разложение подобия в композицию гомотетии и движения. Формулы подобия.
11. Группа подобий, ее подгруппы. Геометрия относительно группы подобий.
12. Аффинные преобразования. Свойства аффинных преобразований.
13. Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов.
14. Группа аффинных преобразований, аффинная геометрия по Клейну.
15. Определение инверсии, формулы, геометрические свойства.
16. Образы прямых и окружностей при инверсии. Движения пространства, их представление в виде композиции отражений от плоскостей.
17. Классификация движений пространства.
18. Группы самосовмещений правильных многогранников.
19. Преобразования плоскости и пространства в школьном курсе геометрии.
Многомерная геометрия
1. Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы
Г.Вейля и их следствия.
2. Аффинный репер, координаты точек.
3. Определение k-плоскости. Свойства k-плоскостей. Уравнения k-плоскостей.
Взаимное расположение k-плоскостей.
4. Отношение «лежать между», понятия отрезка, середины отрезка, луча , угла, rмерного параллелепипеда.
5. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
6. Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность),
ортонормированный базис, формула скалярного произведения в координатах.
7. Евклидово точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь с
отношением «лежать между» и с простым отношением трех точек.
3 семестр.
Проективная геометрия.
1. Определение проективного n-мерного пространства.
2. Модели проективной прямой и проективной плоскости.
3. Простейшие свойства проективной плоскости.
4. Проективные реперы на прямой и плоскости. Проективные координаты точек и построение точек по их координатам.
5. Однородные аффинные координаты на расширенной прямой.
6. Уравнение прямой на проективной плоскости.
7. Принцип двойственности на проективной плоскости.
8. Трехвершинник. Теорема Дезарга. Обратная и двойственная теоремы к теореме
Дезарга.
9. Сложное (двойное, ангармоническое) отношение четверки точек на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек.
10. Связь сложного отношения четырех точек с простым отношением трех точек в
аффинной плоскости. Гармонические четверки.
11. Проективные преобразования плоскости. Включение проективной геометрии в
схему Ф. Клейна.
35
12. Понятие квадрики на проективной плоскости. Приведение уравнения квадрики к
каноническому виду и проективная классификация квадрик.
13. Квадрика и прямая, их общие точки.
14. Полюсы и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник.
Построение касательной к овальной квадрике.
Элементы общей топологии.
1. Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры.
2. Открытые множества, определение топологии.
3. Индуцированная топология, подпространства.
4. Замкнутые множества и их свойства. Определение топологического пространства
через замкнутые множества.
5. Окрестность точки. Точки прикосновения и предельные точки множества. Внутренние и граничные точки множества. Внутренность и граница. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию.
6. Непрерывные отображения топологического пространства. Критерий непрерывности отображения.
7. Гомеоморфизмы. Определение топологии по Клейну. Топологически эквивалентные фигуры.
8. Связность, компактность и отделимость как топологические инварианты.
9. Клеточные разбиения. Эйлерова характеристика.
10. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Классификация двумерных замкнутых поверхностей.
Примерные задания для контрольных работ.
1 семестр
Контрольная работа по модулю 1..
1. Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит параллелограмм. Найдите координаты вектора SD в базисе {SA, SB, SC}.
2. В треугольнике AB = c, AC = b, BC = a. Найдите длину медианы CM.
3. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов
его сторон.
4. Векторы

a
и
b образуют угол  

6
. Зная, что
a  1 и b  2 , вычислить
a  3b 3a  b .
Доказать, что abc   b(ac)  a(bc) .
2
5.
6. Объем тетраэдра равен 5. Три его вершины находятся в точках А(2,1,-1), В(3,0,1),
С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на
оси ординат.
Контрольная работа по модулю 2.
Треугольник ABC задан координатами своих вершин в прямоугольной декартовой системе координат. Найти:
36
1. Уравнения сторон треугольника.
2. Систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника ABC.
3. Углы треугольника ABC.
4. Длину высоты СН.
5. Уравнение медианы АМ.
6. Уравнение высоты СН.
7. Уравнение прямой ВК, где К – точка пересечения медианы АМ и высоты СН;
8. Уравнение биссектрисы внутреннего угла С.
9. Уравнение прямой А1В1, симметричной прямой АВ относительно точки С.
10. Координаты точки С1, симметричной точке С относительно прямой АВ.
Сделать чертеж.
Контрольная работа по модулю 3.
1.
Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, заданной в декартовой системе координат xOy
2.
 : A * x 2  2B * x * y  C * y 2  2D * x  2E * y  F  0 .
3. (1)
Определить вид линии. Записать формулы преобразования координат.
Построить чертеж.
2. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку (1 2) , асимптотами которой
1
служат прямые y   x
2
2 семестр
Контрольная работа по модулю 1 (№1).
Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин в декартовой системе координат.
Найти:
1. Уравнения грани АВС.
2. Уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD.
3. Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ребру СВ.
4. Объем тетраэдра.
5. Площадь грани АВС.
6. Двугранный угол при ребре СВ.
7. Длину высоты, опущенной из вершины D.
8. Уравнение высоты тетраэдра, проходящей через точку D.
9. Основание высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
10. Координаты точки Р симметричной точке D относительно грани АВС.
Сделать чертеж.
Контрольная работа по модулю 1 (№2).
1. Исследовать уравнение поверхности второго порядка методом сечений.
2. Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида x 2  y 2  4 * z , параллельные плоскости x  y  z  1  0 . Найти угол между одной парой пересекающихся
прямолинейных образующих и уравнение плоскости, в которой они лежат.
3 семестр.
Контрольная работа по модулю 3 (№ 1).
Найти трехгранник Френе, кривизну и кручение кривой.
Контрольная работа по модулю 3 (№ 2).
Найти уравнение касательной плоскости, первую и вторую квадратичные формы, гауссову
и среднюю кривизну, линии кривизны поверхности.
37
Вопросы к зачету (1 семестр).
1. Сложение векторов.
2. Умножение вектора на число.
3. Линейная зависимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
4. Базис и координаты вектора.
5. Условия линейной зависимости векторов в координатах.
6. Скалярное произведение векторов и его свойства.
7. Скалярное произведение в координатах. Длина вектора и угол между векторами.
Векторное и смешанное произведение векторов и их свойства.
8. Векторное и смешанное произведение векторов в координатах.
9. Деление направленного отрезка в данном отношении.
10. Преобразование координат.
11. Полярные координаты на плоскости.
12. Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором, точкой и нормальным вектором.
13. Векторное, параметрические, каноническое, общее уравнения прямой.
14. Прямая как алгебраическая линия первого порядка. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой.
15. Особенности расположения прямой относительно системы координат, уравнение
прямой с угловым коэффициентом.
16. Задание полуплоскости с помощью линейного неравенства.
17. Взаимное расположение двух прямых, связь с системами линейных уравнений и
определителями.
18. Расстояние от точки до прямой.
19. Направленный угол между прямыми.
20. Эллипс, его фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение
формы, эксцентриситет, построение по точкам.
21. Гипербола, ее фокальное определение, вывод канонического уравнения, изучение
формы, асимптоты, эксцентриситет, построение по точкам.
22. Парабола, вывод канонического уравнения, изучение формы, построение по токам.
Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
23. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
1.
2.
3.
4.
5.
Вопросы к экзамену (2 семестр)
Нахождение уравнения плоскости, заданной точкой и направляющим подпространством (двумя неколлинеарными векторами, параллельными плоскости), точкой и
нормальным вектором.
Векторное, параметрические, общее уравнения плоскости.
Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка.
Условие параллельности плоскости и вектора.
Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости.
38
6. Задание полупространства с помощью линейного неравенства с тремя неизвестными.
7. Расстояние от точки до плоскости.
8. Взаимное расположение двух плоскостей, связь с системами линейных уравнений.
9. Угол между плоскостями.
10. Нахождение уравнения прямой, заданной точкой и направляющим вектором.
11. Векторное, параметрические и канонические уравнения прямой.
12. Общие уравнения прямой, переход от них к каноническим, параметрическим и обратно.
13. Взаимное расположение прямой и плоскости.
14. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
15. Расстояние между прямыми в пространстве.
16. Поверхности второго порядка. Метод сечений.
17. Цилиндрические поверхности. Цилиндры второго порядка.
18. Конические поверхности. Конические поверхности второго порядка.
19. Поверхности вращения.
20. Эллипсоид.
21. Гиперболоиды.
22. Параболоиды.
23. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
24. Отображения, инъективные, сюръективные и биективные отображения. Примеры.
25. Преобразования множества, их обратимость; тождественное преобразование. Примеры. Композиция отображений и преобразований.
26. Теорема о том, что множество всех преобразований данного множества есть группа. «Эрлангенская программа» Феликса Клейна. Определение геометрии по Клейну, геометрические свойства фигур, эквивалентные фигуры. Примеры.
27. Движения плоскости. Задание движений парой соответствующих ортонормированных реперов.
28. Свойства движений.
29. Аналитическое задание движений.
30. Движения первого и второго рода. Классификация движений плоскости.
31. Группа движений, ее подгруппы. Определение метрической евклидовой геометрии
по Клейну.
32. Преобразования подобия. Гомотетия как пример подобия.
33. Разложение подобия в композицию гомотетии и движения. Формулы подобия.
34. Группа подобий, ее подгруппы. Геометрия относительно группы подобий.
35. Аффинные преобразования. Свойства аффинных преобразований.
36. Формулы аффинного преобразования. Преобразования I и II родов.
37. Группа аффинных преобразований, аффинная геометрия по Клейну.
38. Определение инверсии, формулы, геометрические свойства.
39. Образы прямых и окружностей при инверсии. Движения пространства, их представление в виде композиции отражений от плоскостей.
40. Классификация движений пространства.
41. Группы самосовмещений правильных многогранников.
39
42. Преобразования плоскости и пространства в школьном курсе геометрии.
43. Понятие аффинного пространства над полем действительных чисел, аксиомы
Г.Вейля и их следствия.
44. Аффинный репер, координаты точек.
45. Определение k-плоскости. Свойства k-плоскостей. Уравнения k-плоскостей.
Взаимное расположение k-плоскостей.
46. Отношение «лежать между», понятия отрезка, середины отрезка, луча , угла, rмерного параллелепипеда.
47. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
48. Длины векторов и углы между ними, перпендикулярность (ортогональность),
ортонормированный базис, формула скалярного произведения в координатах.
49. Евклидово точечное пространство. Расстояние между точками, его свойства, связь
с отношением «лежать между» и с простым отношением трех точек.
Вопросы к экзамену (3 семестр).
1. Определение проективного n-мерного пространства.
2. Модели проективной прямой и проективной плоскости.
3. Простейшие свойства проективной плоскости.
4. Проективные реперы на прямой и плоскости. Проективные координаты точек и построение точек по их координатам.
5. Однородные аффинные координаты на расширенной прямой.
6. Уравнение прямой на проективной плоскости.
7. Принцип двойственности на проективной плоскости.
8. Трехвершинник. Теорема Дезарга. Обратная и двойственная теоремы к теореме
Дезарга.
9. Сложное (двойное, ангармоническое) отношение четверки точек на прямой, его независимость от выбора репера, его свойства и вычисление через проективные координаты точек.
10. Связь сложного отношения четырех точек с простым отношением трех точек в
аффинной плоскости. Гармонические четверки.
11. Проективные преобразования плоскости. Включение проективной геометрии в
схему Ф. Клейна.
12. Понятие квадрики на проективной плоскости. Приведение уравнения квадрики к
каноническому виду и проективная классификация квадрик.
13. Квадрика и прямая, их общие точки.
14. Полюсы и поляры, поляритет, сопряженность точек, автополярный треугольник.
Построение касательной к овальной квадрике.
15. Определение топологического пространства через базу топологии. Примеры.
16. Открытые множества, определение топологии.
17. Индуцированная топология, подпространства.
18. Замкнутые множества и их свойства. Определение топологического пространства
через замкнутые множества.
19. Окрестность точки. Точки прикосновения и предельные точки множества. Внутренние и граничные точки множества. Внутренность и граница. Замыкание подмножества. Критерий принадлежности точки замыканию.
40
20. Непрерывные отображения топологического пространства. Критерий непрерывности отображения.
21. Гомеоморфизмы. Определение топологии по Клейну. Топологически эквивалентные фигуры.
22. Связность, компактность и отделимость как топологические инварианты.
23. Клеточные разбиения. Эйлерова характеристика.
24. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Классификация двумерных замкнутых поверхностей.
25. Понятие гладкой кривой. Примеры.
26. Касательная прямая и нормальная плоскость гладкой кривой, их уравнения.
27. Длина дуги кривой, ее вычисление, натуральный параметр и его связь с касательным ортом.
28. Вектор кривизны, кривизна, главная нормаль.
29. Канонический репер и трехгранник Френе.
30. Формулы Френе.
31. Кривизна, ее механический смысл. Линии нулевой кривизны.
32. Кручение, его механический смысл. Линии нулевого кручения.
33. Вычисление кривизны и кручения.
34. Понятие гладкой поверхности.
35. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Криволинейные координатные
сети на поверхности.
36. Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности.
37. Углы между кривыми на поверхности.
38. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с
кривизной нормального сечения.
39. Соприкасающийся параболоид поверхности.
40. Формула Эйлера.
41. Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение.
42. Гауссова и средняя кривизны.
43. Главные направления и линии кривизны.
44. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности.
45. Геодезическая кривизна линии на поверхности.
46. Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. Свойство геодезических линий.
10. Образовательные технологии.
При чтении лекций применяются технологии объяснительно-иллюстративного и проблемного обучения в сочетании с современными информационными технологиями
обучения (различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При проведении практических занятий применяются технологии проблемного обучения, дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные
информационные технологии обучения (самостоятельное изучение студентами учебных материалов в электронной форме, выполнение студентами электронных практику41
мов, различные демонстрации с использованием проекционного мультимедийного оборудования).
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном
изучении части теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, а также современные информационные технологии обучения (системы поиска информации, работа с учебно-методическими материалами, размещенными на сайте университета).
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемная лекция, проблемное практическое
занятие, работа в малых группах, практические занятия в диалоговом режиме, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1 Основная литература:
1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 7-9 класс: учеб. для общеобраз. учрежд. - 13-е изд. - Москва: Просвещение, 2003. - 384 с.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений . - 15-е изд., доп. - Москва: Просвещение, 2008. - 256 с.
3. Баврин И. И. Аналитическая геометрия. - Москва: Высшая школа, 2005. - 85 с.
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: учеб. для студентов физ. спец.
и спец. "Прикл. мат."- 7-е изд., стер. - Москва: Физматлит, 2009. - 234 с.
5. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. - 17-е изд., стереотип.
- Санкт-Петербург: Профессия, 2005. - 200 с.
6. Мищенко А. С. и др. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии:
учеб. Пособие. - Москва: Физматлит, 2004. - 412 с. - Библиогр.: с. 410-411.
7. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии: учеб. для студ. вузов. - Москва: Физматлит, 2004. - 304 с.
8. Погорелов А. В. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений. - 6-е изд.,
дораб. - Москва: Просвещение, 2006. - 175 с.
9. Погорелов А. В.. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразов. учреждений. 6-е изд. Москва: Просвещение, 2005. - 224 с.
10. Цубербиллер О.H. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.- 32-е изд.,
стер. - Санкт-Петербург: Лань, 2005. - 336 с.
11.2. Дополнительная литература:
Александров А. Д., Нецветаев А. Д. Геометрия. - Москва: Наука, 1990. - 672 с.
Атанасян Л.С. Геометрия: часть 1. - Москва: Просвещение, 1973. - 480 с.
Атанасян Л.С. Геометрия: часть 2. - Москва: Просвещение, 1976. - 447 с.
Немченко К. Э. Аналитическая геометрия.- Москва: ЭКСМО, 2007. - 352 с.
Алгебра. Дифференциальная геометрия. Топология [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан.. - Москва: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. - 1 эл.
опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв.. - (Электронная библиотека).
6. Дифференциальная геометрия и топология [Электронный ресурс]. - Электрон. текстовые дан. - Москва: Компьютерные информационные технологии: Регулярная и
хаотическая динамика, 2005. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM); 12 см: цв. - (Электронная
библиотека).
Погорелов, А. В. Геометрия: 2-е изд. - Москва: Наука, 1984. - 288 с.
1.
2.
3.
4.
5.
42
7.
8.
Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия: учеб. для мат. спец. ун-тов и пед.
ин-тов. - 6 изд.. - Москва: Наука, 1974. - 176 с.
Привалов И. И. Аналитическая геометрия: учеб. - 37-е изд., стер. - СанктПетербург: Лань, 2008. - 304 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. www.math.ru - сайт посвящён Математике (и математикам. Этот сайт — для
школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.
2. www.exponenta.ru - образовательный математический сайт
3. www.matematicus.ru - учебный материал по различным математическим курсам
4. www.geometry.ru – материалы по элементарной геометрии
5. www.edu. ru - федеральный образовательный портал
6. www.xplusy.isnet.ru - математика для студентов
11.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий.
43